葛军高中数学解题技巧

不论试卷难和易，难易可能会有一些上下的波动，但是不论他波动如何，一百二十分，他是您的，他当时的心态就是说，这些孩子们 我给您了，请您收下啊。那么这里就回头说一说高考卷，注意与竞赛是搭不同的高考卷。首先他有一个主题叫人人有德， 人人参与是自然，人人有德是必然，各种其能是本领，无贪自喜是应该。 那我们可能有的孩子在哪里出了问题呢？在后面四个字， 无贪则喜。那么事情他本身的要求呢？其实叫回归本人本人在哪里啊？这个学科的基本的要求，追寻恰当，因为他涉及到一个区分，都城世界， 因为你有前面的这八个字，所以表明试卷他是要多层世界，层层区分。 有人说，老师凭什么每每一道题是几个问啊？他对了，你就讲对了，因为他层层气氛，他本可以一个问吗？为什么要三个问呢？ 其实不需要的，但不需要的背后，他为什么胜利呢？是因为让不同的学习水平的孩子都有德，我要区分不同的学习水平的孩子， 所以他就会力求公公平，实现公正。习惯决定一切。我想归纳成三区三个角度。第一，独自训而思自大，有时莫名其妙 这样，我们简单做题，怎么做的？看眼刷，当然有人说的叫一秒一秒啊，秒了呢，完了，我们一起标志题错了，然后自己说，这怎么可能呢？我都看了，你看完 完了吗？越简单的题，往往你要问一下，再回头看一眼你上上上境界，上哪个境界？最好？能上到什么？人间磁化的里面的第三层境界，蓦然回首的境界 对吧。血之冲而丢之毒是夫生难。为什么你丢的太多了总能找个借口。那就生是非，说什么这个真的都难的， 但男的我做不出来，尤其现在父母对你们太关心，你回家只能找一个借口，这不好。 第三个现象呢？本支书的书本三年不木， 哪来的明灯和改和拐杖。无以为耻，仰天长叹， 天生我材没得用。对啊，而弃之国，最后呢？成空恨。干什么事要开始否诽谤有些孩子对吧，无奈之下找借口。没什么就说了这题难， 难在何处啊。不知道就是难，我曾经问过一个孩子，我说题目怎么样难哦，我说难在哪里，是不是干的 不知道那不知道他还知道难，那牛对吧。细节决定成败，心理决定难度。刚才说 说过了，我们很多的在造成的是分，为什么我们能涨分是因为我们自己给自己把心搞乱了，没人搞你，有的只是关爱 你。有些题他不真的不难，原因是你沉不住气，原因是你没有良好的解答题的习惯。第一读题 都读或者慢读。为什么要强调都读？我是告知你要扭转自己冷静下来读一遍两遍。为什么成为慢读啊？那大家练太极拳的都知道，他其实在匀球的时候你看到动漫， 但是你开发家的积极的时候他就突然的这样，这是白蛇吐信，武学上是不能随便乱用的。对， 那么你要是什么，你读的时候要读出如干个角度。哎，这样的一个知识我有哪些角度？比如说我看到了九的九分之 x 平方加十六分的完一平方等于你会看到什么？第一个角度， abcde， 第二个角度，投缘，第三个角度，准现。第四个角度，骗我，为什么你这上面无非是这些点的个子， 甚至你会有第一定义，第二定义等等等等，你应该在脑子里很快上线。 所以读题读到最后，难题有人说怎么破的？一句话，你读了三遍就一定能把难题破掉一半，读了四遍用草稿纸一定难题没有了。第二， 解决难题去找，这也是你们日期期待的。其实我最不想说的，因为我不想误导你。解了难题就能拿到高分是一个误区，只有你把你该拿的基本分，你该得到的分数拿到手，才能够拿到高分。 你们我们在座的可能也听过你们的例子，对吧？我们有一个文科专业，他的做法就是我把我的会做的做的，所以他告诉你，难题有两对题 你们要平时去总结，第一类表很平和，还有一类是怪怪的。那有人说了，什么题最难？平和的题最难，出什么题最容易？怪题最容易，对吧？我先让你吓唬吓唬你，把你吓得都 跑到了，是不是啊？对吧？或者解放上有选择，比如还有一种题呢，他没有什么题面上你能看得懂，但是他需要的什么？你对这个题的解题方法的有，比如有四个，四种解题方法，或者说四个思考的角度 你只会两个，那你几乎就已经预示着你提醒你，还有两个角度你不熟， 因为当你发觉我用这两个方法之一，无论有哪个方法，我发觉我的运赞比较复杂，我发觉我还是下不去的时候，就已经提示你这个，你的知识不熟，这个时候你只能服你。你的复习的时候没复习到位， 所以他难，难题就这样，当你第一印象说我套套子，哎，我，我来就马上用一个跟 记住，其实人家根本不是，为什么你都要提高警局这个题，很显然我们所有的人，几乎全球地地地球上的人都能明白，跟一休的人告诉你这道题是什么，跟一休的不占广，尤其是他的题位摆在后面，他已经提醒你了，对吧？ 所以菩提的吃力我想不说了，因为考题大家都看到，有的题绕绕来绕去，有的题呢，反反复复重叠的，有的题呢，莫名其妙，他还缺一点什么，或者说不完全，他只是考察你的一种能力。菩提呢？ 有时候菩提有绝招吗？有，你看，就这就是我碰到你绕的，我读个两遍，你想想，你静静的，他绕来绕去你这 来来你这，在山间走，云中早上有，早上有雾气，你走你的，你不去管他的雾气，你一不迷路，二还享受清新，还三还享受有趣，你绕吧绕吧，你绕你的，俺这俺的， 对吧？所以你要读啊，你读明白，他不是冲着你绕的，他就这么绕的，你管他呢，是不是夫呢？他能反，他能反复，他就表明这道题肯定简单，但是他构成了构成让你后怕，其实假的。 那么如果碰到了一个题，怪怪的说我没见过这样的面孔，你这个时候你要从常识从哪里？常识还是一样从简单的。怪，怎么生出来的？不怪啊，不怪才怪啊。不怪什么？什么叫不怪？不怪？你见过？ 什么叫你见过？你见过？你看的简单呢？完了，对吧？最妙的是越奇鬼的故事，读者又能猜到结局，我们猜到了吗？ 所以最后就引出破难题的绝招，无招 要再说，有绝招就是从简单开始，就这样，所以就有了乔布斯的字繁归于字节，因为烦的是简单的生长出来的， 对吧？当你不喜欢冬天的树上的时候，当你看到冬天的一棵树在那里挺拔着，在寒风中依然 请你的时候，你不要忘记春天来的时候，他变得复杂了，他有绿，但是也让你感受到了一种生命力，其实更多的是一种复杂， 春夏秋冬的变化，让你感受到有简单到复杂，再简单。这样的一个历程其实并不难， 三百六十五天的结局，我们花了三年的时间还没有领悟吗？

让我们来感受一下葛大爷的巅峰之作。在零三年沿海地区就已经把数列作为压轴题了，快艾特你的学霸同学来感受一下葛君的巅峰之作吧！

对吧？不断的激发你啊，不断的把它蔓延开来，不断的激发你沿着一根藤，沿着它攀岩上升，对吧？所以这一些周度的情志在一体渡劫，一劫渡劫，一体渡劫的状态下进行，所以我把它说了，万物生长从简单入手， 这是最为基本的啊。因此我们就看看一题多久。这个题我们刚刚说了有四个解法，其实有五个，那每一个解法都会连接着，就相当于我刚才讲的是一个长青藤，它不断的在向上生长。好，这里我们就会看到有四种方法，我给了四种， 四个，还有一个题目有多个解决的路径，一个路径可以连接着多个题目，对吧？一个题目关联着不同领域的题目，这是高考必须体现，中考也现在必须体现，所以中考的题目的命题他就必须服从高考。 那接下来我们也会看到，不仅如此，一个概念，一个观念、一个词语、一句诗，一个实验，如果我们的学习如果沿着这样的一个三一思考来的话，那你基本上。

就是每年高考数学之后那一天，大家为什么会觉得有，有，今年会觉得难，明年会觉得简单，或者会会有这样的一个可能，比如说哎，鸣笛的一个团队，他的认识第二个当当下很多的一些一些发展的要求的认识，就是相对稳定这个基本要求。 其实这增加九分度对大多数人来说是不影响的，构不成一个绝对的影响状态，对吧？但就是我就不会增加，比如说我现在这一道题三个层次，事实上我可能出现了第四个层次，而第四个层次可能又藏在第三文里面， 这个都是公平的。第二问里面可能又又有，他可以要结构成三个角度，而这三个角度是针对不同的人的。举手的，那你当然你平时的过程中你要去掌握这个 基本的一些机构，而不是简单的做个题，然后得到个结构，再做个题，最后就变成了错误了呢？错误了就是在定证不是这样认识的，就开始的时候就叫他再去换一个角度探究，记住他有两个结法， 再换一个角度抬你抬三个角，今后遇到以后他解决的速度就快。我只是考虑从数学的本身来营造，因为在卷子的背后的问题他还是比较复杂的。

好，朋友们，大家好，我是葛老师。我们上节去讲到了这个三角函数五米杆取值范围的三种常见考法，主要讲了根据这个单调性，根据函数图像平移 啊，根据对称性去求五米杆的取值范围。那么今天这节课的话，我们把另外三种情况去啊讲完了。呃，另外三种情况的话，是根据最值，根据零点以及零点对称性、单调性这种综合性的题目。好，那我们先看 第四种类型，结合函数的最值去求五米的取值范围啊。已知 f x 在 零到三分之派上恰取到一次最大与一次最小，求五米的取值范围 啊。 f x 已经是最减了，不用再去画了，给的这个范围的话是 x 的 范围啊，要注意了，那我们要用这个函数图像，要把 x 的 范围转化到整个什么五米 x 加 六分之派的范围，那么带入的话，他是大于六分之派，小于三分之派，五米杆 加六分之派区间的这个左端点是确定的，那么右端点是是含参数五米杆的，那我们只需要画出来正弦函数图像即可。好，我们来画图，从六分之派开始画六分之派，大约是这个位置是一个开的， 然后，哦，我们去画一下啊。好嘞，画完那么包含第一个最大值是在二分之派出去，第二个最大值是在二分之，第二个最小值是在二分之三派出去。那么 他有一次最大与一次小，因为都是开区间吗？所以说他的这个区间的这个右端点是不是应该介于二分之三派与二分之五派之间啊？ 也就是这个三分之派五米杆加六分之派，应该是介于二分之三派与二分之五派之间。 好，那我们来看一下这个临界值哪边是可以取等的？当它等于二分之三派的时候，因为这个是个开区间，是吧？所以说这个最小值有没有取到？没有，所以不能等于二分之三，那就可以等于二分之五派，对不对？ 等于二分之五派，这样我们去化简一下，可以得到，五米杆是大于四，小于等于七，大于四，小于等于七，所以选选 a。 题目比较简单啊，我们直接通过图像就能够得到，其实就一个区间端点的这个这个范围的问题。 好，我们再来看第二道已知函数， f x 是 一个余弦型函数。呃，五米杆大于零， f 三分之二 pi 等于 f 六分之五 pi， f x 在 这个区间上有最大无最小，求五米杆的最大值，求五米杆的最大值，有最大无最小。我们画一个这个三角函数的这个图像， 去想一个问题啊，我们就不画外值了，因为我现在画的就是这个余弦型函数它的图像啊。然后我们去想一想，三分之二 pi 和六分之五 pi 的 值相等，值相等的话，我们就取一个相等的值，比方说这个值吧， 这个值是 y 等于 m， 我 比方说这些值都都相等，都是等于 m， 那 么它交的这些点是不都有可能是三分之二派与六分之五派？我们去想想，三分之二派与六分之五派，它可能是相邻的呢？还是不相邻的？ 因为它包含有一个最大值，是吧？如果它是相邻的，是不是也只可能是这种相邻？它中间是不是也有一个波峰啊？ 如果他不相邻的话，比方说他中间间隔了一个点啊，这样子，这样子的话，是不是他就会包含一个波谷与一个波峰？这样的话是不是既既有最大又有最小了？ 那么也就是说三分之二派与六分之五派，他这个值可能是什么？只可能是相邻的两个值，相邻的两个 都等于 m 的 这样的一个 x， 是 不是啊？他们是不是包含的是一个什么函数的一个最大值？那么也就说他们的中点三分之二派有六分之五派的中点，我们用三分之二派加上六分之五派， 我们相加去除以二，得到的这个值是不是就是他的一个什么？四分之三派是他的一个对称轴所取的值，而且是一个最大值了，对不对？最大值我们想想正余弦型函数最大值在什么时候取？ 我们把四分之三派代入，也就是五米杆去乘上四分之三派，再减去三分之派啊？这个是 x， 等于它，这是取到什么？ 取最大？是不是？呃，这个 cosine 它是取到最大， cosine 叉取到最大的话，那这个角度， 这个角度是等于多少？这个角度是不是应该等于二 k pi 啊？五米杆去乘上四分之三 pi， 再减去三分之 pi， 是 不是当它等于二 k pi 的 时候才能取到最大 啊？为什么是二 k pi？ 画个图像就能看出来是吧？因为在零处取最大，在二派处取最大，在四派处也取最大，所以二 k pi 处取最大，这样我们去算出来，五米杆，五米杆是等于九分之四加上 三分之八，三分之八 k， 是 吧？九分之四加上三分之八 k， 哎，这是 k 五米杆与 k 的 一个关系，它让我们求五米杆的最大值还不行？为什么 你们 k 可以 取任意整数都好像没有最大了，那么还有没有什么限制条件？我没有考虑到。我们来看一看这个区间啊，我们已经分析了这两个端点啊，它都是怎么样？ 他是终点，是一个最大值，那么这两个区间的宽度可以无限的往两边去变宽吗？比方说当他跨到这个位置，这个是三分之二派，这个是六分之五派的时候，也就是说这是三分之二派，这个位置是六分之五派的时候，这个时候如果 刚好这个端点是在两个波鼓的位置的话，那么它包含的区间是不是就中间这一段？中间这一段是不是还是有最大没有最小？因为最小值这个位置刚好空过去了？如果说这个宽度再宽一些的话啊，比方说这个是六分之五拍，这个是三分之二拍，那么他们的中间是不是就有一个最小值了？而且是有两个最小值了 啊？有两个位置取最小了，那么既有最大又有最小了，那么也就是说这个区间的宽度是不是一定要比这个什么？当它两个都在拨鼓的时候，是不是刚好是整个函数的周期也就这个区间宽度是不是一定要比周期小于等于周期啊？ 区间宽度是多少？区间宽度是六分之五派，减去三分之二派是等于六分之派的，他是不是应该是小于等于周期啊？ 什么时候等于周期刚好这两个都是拨鼓的时候，是不是他就等于周期了？那么这个周期是多少周期的话，嗯，这是五米杆周期，是不是二派去除以五米杆，那么我们解这个不等式是不就可以解出来五米杆 小于等于二乘六是十二，五米杆是小于等于十二了，哎，这就是我们通过他的区间宽度所分析出来的五米杆的一个大致的范围。 那么这样的话是不是就可以去确定 k？ k 取几的时候没干最大，他越接近十二越好， k 可以 取三， k 取三的时候九分之四加八。嗯， 那 k 取四的时候呢？ k 取四的时候， k 取四的时候，我们去试一下 k 等于四的时候，看会不会超啊？ k 等于四的时候是九分之四加上三分之八乘上四， 也就是九分之四加上三分之三十二等于九分之四加上九分之九十六，九分之一百 九分之一百，有，这个答案是吧？九分之一百，九分之一百，没有超十二，对不对？没有九分之一百是十一点几，九分之九十九啊？九分之一百是十十点几，十点几，十点几的话，我们再加一个三分之八，是不是就超了呀？就超了十二了。 三分之八是大于二的，所以 k 的 话最大值就是取四了，这个时候五米杆的最大值是不是就九分之一百？那就是 d 了。 ok， 这个是啊，我们根据这个它给的区间宽度，然后分析区间宽度，得到五米杆一个大值的范围，然后再根据它的这个，呃，这个 这个对称轴的位置啊，然后去确定五米杆与 k 的 关系，从而确定五米杆的最大值，那我们这是根据最值，我们再看一下第五种类型，根据零点求五米杆的范围 啊。 f x 在 这个零到派上恰有两个零点，求我们的范围，我们一样啊，第一步先去把这个 f x 去进行一个化解啊，前面是二倍的 sin 乘口 sin， 它就是一个正弦的二倍角公式，是吧？也就是这个 肾二五米杠 x 后面提出一个根三，就相当是二倍的余弦的平方减一，是吧？所以说他是一个余弦的二倍角公式，也就是口肾二五米杠 x 这样用辅助角公式提出一个二去，可以变成肾二五米杠 x 去加上 这个是二分之根三，余弦乘的十二分之根三是绿，是三分之派的正弦值，是吧？那这加三分之派了。 好在零到派上恰有两个零点，我们化简完了，就把 x 的 范围转化成整个二五，一个 x 加三分之派的范围，把零带进去是大于等于三分之派，把派带进去是二派五一个 加上三分之派啊，两边都是可以取等的，这样的话我们是不是就可以去画图了？正弦型啊，前面这个系数二是不影响这个图像的零点的位置，那么从三分之派开始画三分之派是个实心，然后一个零点， 两个零点，我们把第三个零点也划出来，那么也就是说他这个区间的这个什么右侧是含着参数的吗？区间的右侧这个位置是二派，这个是位置是三派，他是不是只有划到中间这个位置的时候，他才会怎么样， 他才会有里恰有两个零点，也就是说这个二派五米嘎加上三分之派，是不是应该介于二派与三派之间啊？哪边可以去？等当他可以等于二派的时候，刚好这个实心的包含二派这个零点 是不是正好有两个零点？那么如果是它等于三派的话，那三派也算一个了，就四个了，就三个了，就三派，这不能去的，这样我们就可以去求出来五米杆化解一下。五米杆是大于等于六分之五，小于三分之四，六分之五，三分之四， 我可以选 d 啊，这个题型还是比较常规比较简单的啊。我们再来看一下这个变式啊，变式可能会稍微难一些。 呃，已知函数在区间上没有零点，没有零点，求五幺八的取值范围。我们把这个这个函数 f x 也是进行一下化解啊。二倍的余弦的二倍角是吧？这是余弦和正弦， 那我们就直接化简了，他可以变成二倍的四五米杠 x。 四五米杠 x 这个是， 呃，二分之根，三是余弦是六分之派。哦，我们去化简完了，他在派到二派上没有零点，没有零点，这是 x 的 范围。我们常规的去想想，如果说把 x 的 范围转化成这个五米杠 x 加六分之派的范围的话，是大于呃 派五米杆加六分之派，小于二派五米杆加六分之派。这个范围前面左边和右边都含着五米杆，都是在变的，在这个上面没有零点，也就这个里面不含整数是吧？ 啊，不是这个里面不含 k 派是吧？因为正弦的零点是不是都是在 k 派出去？正弦的零点都是在 k 派出去，那么我们也就去想一想这个 k 派， k 派它是不属于这个什么不属于派？五米伽加六分之派与这个二派五米伽加六分之派，它不在这个范围内，这个范围内没有任何一个 k 能够满足的，对不对？好不好？去求啊？ 呃， k 不 属于这个范围内，我们因为这里面都有派嘛，我们把派给约掉啊。也就是说，呃， k 不 属于它是不是也可以变成 k 不 属于？这个是。呃。五米杆加上六分之一，这个是二五米杆加上六分之一， 嗯，也就是说在五米杆加六分之一到二五米杆加六分之一这个区间内，它是不含 k 的， 它是不含 k 的。 哎。不含 k， 呃，还是不是很好想？我们想想我们根据这个区间能不能缩小一下五平方的一个范围， 他在派到二派上没有零点，我们去想想一个正弦型函数，一个正弦型函数，他的零点，他在一个周期内。一个周期内的话，如果这个是完整周期，是不是有三个零点？半个周期， 他的任意半个周期内是不一定存在一个零点，如果这个区间是 b 区间的话，他的任意一个半周期内是不一定存在一个零点。他没有零点，也就意味着这个区间这个区间宽度上，这个二派减派一定要比这个半周期要怎么样？ 是不一定要小于这个半周期啊？因为这个二派到派到二派这个开局线是不也可以等于啊？他如果等于半周期，刚好什么时候就没有零点？比方说，哎，派在这，二派在这， 刚好把什么刚好，把两个零点都空过去了，那么他在这个范围内刚好没有零点，也就是说这个区间的宽度一定要小于等于二分之 t， 二分之 t 是 等于多少？ t 是 等于 t 是 等于二。 pi 去除以五米杆的，再去除一个二，是不也就是五米杆分之 pi， 五米杆分之 pi 大 于等于这个也是等于 pi 的， 那么是不也就可以把这个不等式解出来，五米杆是小于等于一啊？ 五米杆是小于等于一，并且是大于零的，这就是我们通过区间宽度得到的一个五米杆的一个基本范围 啊。我们发现我们前面做的这些题啊，多数题。当五米杆我们求出与 k 的 关系的时候，我们如果发现它不好分解的时候，那就是我们区间宽度的这个与五米杆的关系。没有去，没有去干嘛？没有去分析分析分析区间宽度与米五米杆之间的关系，更方便我们去解析。 好，我们现在去想想，当五米杆等于零的时候，这是六分之一到六分之一， 当 omega 等于一的时候，这是六分之七到这个到六分之十三，是不是六分之七到六分之十三，也就是说这个范围的最大也就是六分之十三，是不是最小，最小的话也就接近于六分之一，是不是六分之一到 六分之十三？这个范围内能够取整的是不是只有一和一和二，只有一和二？ 而且这个区间的左端点是否一定是怎么样的？区间的左端点一定是介于零和二之间的，区间的右端点是不永远都介于，也是永远都介于，这个 是比二稍微大一些的，也就说能够使 k 取到整数的这个范围是不零一之间，一二之间，二三之间， 六分之一是在零一之间，六分之十三是在二十三之间，这三个区间内它都不含整数，是不是？这三个区间都不含整数，也就是说 k 不 能属于这个区间，是不？这个区间一定是这三个区间的某一个区间的一个子区间啊， 某一个区间内的一个子区间，这样的话就好办了。那么这个 omega 加六分之一，他是不是应该大？如果是第一种情况，他是不是应该是大于等于零，另外的那部分呢？这个二五米杠加上六分之一，他是不是应该是小于等于一？ 这是第一种情况，他是这个区间的一个子区间，他也可能是这个区间的一个子区间，或者是怎么样？这个五米杠加六分之一，他大于等于一 二五米加六分之一，它小于等于二，是吧？或者呢？或者是五米 加六分之一，它要大于等于二，那么五米加二，五米加六分之一，它要小于等于三，是吧？这三种情况我们去分别去解一下。解第一种情况的话，我们可以得到五米， 嗯，大于等于负的六分之派，那我们把本身要大于零的，也就是大于零。解另外这一个的话是小于六分之五，除以个二小于十二分之五，是吧？小于等于十二分之五，这是解第一个解。解第二个的话， 五米杆大于等于六分之六分之五，五米杆大于等于六分之五，这小于等于，这是二，加上除以二是一度，是不是小于等于小于等于一，因为五米杆本身要小于等于一嘛。那么这部分的话，五米杆是大于等于 这个六分之十一超范围了，是吧？那这个就这个就不管他了，这个情况根本就不用分析了，这两个是不是都可以的？这两个都可以的话，那我们是不就求出来这个 哦，这个，这个范围不是一二，减去六分之一是六分之，是六分之十一，六分之十一除以二是十二分之十一，是吧？这是十二分之十一，嗯，这样的话，五幺二的范围是不是就是零到十二分之五，并上六分之五到十二分之十一？ 呃， b b 选 a 了，是不是？ 好同学们，这个题学会了吗？啊？我们来看一下。其实每个题我们都涉及到两点，一个是去分析 omega 和 k 的 关系，另外一个是通过区间，什么 区间，这个长度与什么，与周期的， 与周期的关系，通过分析区间长度与周期的关系。去求谁啊？去求五米杆的一个大体啊，大体的一个范围去求五米杆的一个大体的范围。 好，那我们再来看最后一个类型，最后一个类型叫综合型问题啊，综合型问题的话，就是把我们前面讲的一到五种类型全都结合到一起，它可能包含零点，包含单调性，包含对对称性、包含平移等等啊，综合到一起去求 omega 的 一个 取值范围。好，我们来看一下例六啊。例六，一个正弦型函数是偶函数是偶函数，在零到三分之派单调递减，并且在该区间上没有零点。 看了啊，给了三个条件，既是偶函数又又是一个单调性，又没有零点。去求五平方的一个已知项，那么它是一个偶函数的话，也就是说当 x 取零的时候， 那么它的应该是一个最大值，对不对？ x 取零的时候是一个最大，当然也可能最小值，因为 a 我 们不确定嘛。也就是说这个 sum 它是等于正负一的，对不对？ sin f 等于正负一，在零到这个 pi 上，谁可以等于正负一？是不？只有二分之 pi 是 能等于正一的， 所以说我们可以推出来这个 f， 它是等于二分之 pi 的， 那么这样的话，中间的这个角度的话，我们就可以确定了。中间这个角度的话，呃， f x 是 等于 a 倍的。 sin omega 加 x 加上二分之，加上二分之派，加上二分之派，其实我们也可以用诱导公式去把它给化简一下，是吧？化简一下的话，可以得到，把这个二分之派给它去掉吧。二分之派 五米加数，第二象限是不要变成余弦，取 a 倍的 cos 五米加 x 符号还是正的，对不对？呃，在开局线上没有零点，在零到三分之派上单调递增，零到三分之派上单调递增，五米加 是正的，五米加是正的话，当 x 取零的时候，呃， 他应该是单调递减的，是吧？鱼弦弦，说明这个 a 是 怎么样的？他既然是单调递啊，是单调递减的，说明这个 a 是 怎么样的？本身在零到零到零一开始的时候，在零的左侧就是单调递减的，说明他这个方向上并没有翻转，说明这个大 a 是 怎么样的？大 a 是 大于零的，是吧？大 a 是 大于零的，他这个题跟大 a 没有关系啊。 那么他在零到三分之派上单调递减，那么我们把这个零到三分之派去乘上五米杆，那么也就是说五米杆 x 是 大于等于零， 小于三分之派，五米杆他要是单调递减的话，他是不是应该这个什么？这个左端点应该是要怎么样？要小于要小于派可不可以等于派？当然也可以等于派， 这样的话，我们是不是求出来一个五米杆的范围，五米杆是不是小于等于小于等于三呢？ 它并且说在这个区间上没有零点，哎，没有零点的话，它不光要小于等于三，它在这个地方呢，小于等于是不是这个位置应该是小于等于二分之 pi 啊？ 因为在二分之派处是不是有个零点，他没有零点的话，是不是他这个区间的这个右端点这个位置是可以取到二分之派的？一直看这空心是不是这个样子的，那么这个样子我们可以求出来五米杆是不是小于等于二分之二分之三了。 ok， 那 这个题我们就分析完了，这个题我们就分析完了，偶函数是帮我们求出来 by 的 一个值，是不是单调递减，在这个对称在这个外轴的这个右侧是单调递减的，那么说明这个 a 是 正的， a 是 正的话，那么单调递减的这个区间内， 但有这个 d 减的区间内，既要是减又是没有零点，那么也就是说他这个区间的右端点要小于等于二分之派，五幺打是小于等于二分之三，那么也就是 d 选项了。 好，我们再来看这个最后一道题目啊，最后一道题目，已知函数 f x 等于 sin， 正弦型函数在负的三分之二派到六分之五派上单调递增，它这个区间是包含什么？这个区间是包含 这个原点的，对不对？是包含零的，那么单调递增且存在唯一的 x 零属于零到派，使得 f x 零等于一求实数五米伽的范围，两个条件我们分别去求一下啊。 第一个在这个范围内上单调递增，这个范围是 x 范围乘上五米伽之后，是不是也就是负的三分之二派五米伽到六分之五派五米伽， 哎，这是一个整体角度的范围，他要是单调递增的这个范围是包含零的，对不对？这个范围内包含零，包含零的这个正弦的单调递增区间是谁啊？ 是不负的二分之派到二分之派啊。那么他既然是能够满足单调递增，所以说这个区间是不是后面这个区间的一个子区间啊？他是一个子区间，我们是不是就可以得到这个负的三负的二分之派， 这个六分之五 pi 五 minus 是 不是应该小于等于二分之 pi？ 这样我们去求一下啊。上面这个不等式我们可以求出来，这个五 minus 是 负负得要变，要改变不等号的方向。然后这个二分之一乘上个二分之三等于四分之三，五米杆小于等于四分之三。另外一个五米杆是小于等于五分之六，乘二分之一等于十分之六等于五分之三，是吧？那么综合是不是可以求出来，五米杆是小于等于五分之三的 五米的小于等于五分之三啊？这是我们通过单调性得到的。那么他这还有一个存在，唯一的 x 零属于零到派，那这是也就在这个范围内只有一个值能够使得 f x 零等于一，是吧？那么也就相当于零到派是 x 的 范围， 那么五米杆 x 在 零到派乘上零到派，是不也就是大于等于零，小于等于五米杆派，也就是说在这个范围内是不是只存在一个什么？ 只存在一个值能够使得它等于一啊？只存在一个最大值，正弦，正弦从零开始只存在一个最大值， 这是最大值，是在二分之派处区。另一个最大值是在什么？二分之五派处区，也就是说它区间的这个右端点 omega 派，它应该是不介于谁啊？是不应该介于二分之派与二分之五派之间啊？ 啊？我们去想想这个临界值哪边是可以取等的？当它等于二分之派的时候，当它等于二分之派的时候，啊，啊， 它这个 b 区间确实包含了这个什么临界值了，是吧？包含这个临界值，所以这是有意义的，如果等于二分之五派它就怎么样？它就有两个 x 零使得它能够取到最大值了，是吧？所以说这个范围我们再去分析一下五米八是怎么样？是大于等于二分之一， 小于二分之五的好，也就是说两个条件我们分别就解出来两个不等式，是吧？那这两个不等式是不是要同时满足啊？因为它是一个且的关系，这样我们就可以得到五米杠是小于等于五分之三，大于等于二分之一好，也就是选 a 了 好，这就是这种呃，关于五幺八取值范围这个综合型的一种考察。这种类型的话，当我们把前面这五种类型都学完了之后，那么实际上在高考里面我们最常遇到的就是它是会把这些单调性啦，零点啦， 对称性了啊，最直了，进行一个结合，去考察我们五米大的取值范围啊，其实拆分开他就是一个个的小的题目进行一个组合。好，那我们通过这两节的内容的话，就把三角函数中五米大取值范围的六种考法给大家做了一个综合性的一种讲解 啊，同学们有什么问题的话也可以给老师这种留言，那么老师看到的话都会给同学们进行解答的。好，那我们今天的内容就讲到这里。

零三年江苏高考压轴，时至今日仍是一大批考生难以跨越的鸿沟。

葛军来了！那个让无数高考生闻风丧胆的数学教育专家，昨晚登台颁奖，给数学教学博主一束，送上弹幕人气奖。台上，葛老师一席话直戳人心。很多人觉得现在年轻人躺平了，但他却从弹幕里看到了完全相反的样子。 学生们互相解题，彼此鼓励，我还要为弹幕里面求知分享的同学点赞。在学习的道路上，暂时没有做对的题不重要， 孩子会主动进行思考，这样的热情和勇气值得永远保持下去。对于江苏考生来说，葛军两个字含金量，从葛军出征寸草不生的江湖传说就能看出。 不过葛老师本人曾回应自己只参加过四年江苏数学高考命题，而且他自己做高考数学卷也拿不到满分。

高考数学弟葛军现身给线上数学教学博主颁奖，并表示在学习的道路上，暂时没做对的题不重要，主动思考的勇气值得永远保持。葛老师出自学霸名校江苏如东，是数学高考难题的代言人， 我等无数学子又敬又畏，可以说是如东荣耀。葛老师是数学领域，是教师，也是如东人民的荣耀。而 magic 八 pro air 则是荣耀手机的荣耀，超越苹果 air 六点一毫米 一百五十五克，四卡双待，还有超强信号、超强续航、超好影像及屏幕，真想让葛老师回如东时来看看。话不多说，你对葛君老师有啥印象呢？

大家好，今天我们来讲一下导数中的引零点啊。我们其实研究导数的话，实际上是通过对一个函数求导，来通过它导函数的大于零小于零来判断原函数的单调递增、单调递减区间，是吧？ 而这个函数的单调性实际上是与他导函数的零点有着紧密的联系的，那比方说导函数等于零，那可能在这一点的左右的话，他的这个导函数的大正负是不一样的，那么也就可以判断出来原函数的一个极值点对不对？ 那么有一些函数零点是能够精确求解的，所以说这一类能够精确求解的零点我们称之为是显零点，而有一些零点我们只能够判断它存在啊，但是并不能某用某一个特具体的数值给它表示出来，那么这类的零点我们就称之为是引零点 啊。所以说我们今天的话，就通过这种引零点来通过这种单极值点问题和双极值点问题，然后我们去讨论一下有一类叫含餐的， 那我们先从单极值点问题来进行讨论啊，我们知道那个来判断函数有没有零点的话，我们有一个叫零点存在性定力是不是，那这里的话我就不去念了啊。也就是说如果他在某两个值，然后他的这个函数值是一正一负的，那么他在这个 a b 之间一定是存在某个零点的， 如果他单调，那这个零点是唯一的，那有的时候我们零点是没法求出来的，这个时候我们就可以设零点，然后那么得到一个零点满足的代数式，然后用一个整体思想去代入化简证明，那我们就通过几个题目去看一下，我们首先来看单极值， 然后来证明无参的不等式 f x 等于 e 的 x 四方减漏 x 减二大于零，横乘力啊，横乘力实际上就是求 f x， 它最小值要大于零，对不对？那我们正常就去求导了， 求 e 的 导数的话，它是等于 e 的 x 四方减去 x 分 之一啊，有的同学可以看到它这个 e 的 导函数 增减减是一个增，对不对？那如果我们没法判断的话，你就再求一个二阶导就可以了，那么他的二阶导函数的话，是等于 e 的 x 四方加上 x 方分之一啊，很显然他的二阶导函数是大于零的，所以说他一阶导函数是单调递增的， 单调递增的话，我们可以去呃，简单一分析啊，比方说当 x 去零的时候，那么这个 e 的 x 方啊，它是去一的，那么这个的话是一个 呃，去零的时候是一个正无穷，是吧？那么很显然它一减的话是一个负无穷，当 x 去正无穷的时候，那么它是正无穷减零，是吧？又趋于正无穷，所以说它肯定是能够穿过 x 轴的，这个时候我们就知道它肯定是存在着一个零点， 那这个零点能不能解出来呢？我们有的时候可以带一些特殊值，比如说 x 等于一了，等于零了，然后来看看他是否就是这个零点，那么很显然这个题我们带个一进去的话，是 e 减去一 啊，他不是零点，对不对？那也就是说啊，我们常用的那些带值法的话，是没法确定零点的，那么这个时候怎么办呢？ 那我们就可以用零点存在性定理了。首先我们刚才讲了在一处的导函数值，在一处导函数值是等于一减一，是吧？那么很显然这个值是大于零的，那么也就是说在一处他的这个导函数值是正的，那么在零处又一定是负的，对不对？ 那么啊，那零的话，我们说零没有意义吗？那我们也可以取个别的值吗？比方说我们取个二分之一，三分之一，可以去试一下吗？然后我们取一个三分之一，那么我们会得到这个他在三分之一处的导函数值，是不等于啊？ 三次根号 e， 然后减去三，是不是啊？那很显然这个是不是小于零的？也就是说在三分之一处的导函数值小于零，那么它又是单调递增的嘛？一除大于零，三分之一处小于零，那很显然它存在着一个 导函数，存在着一个零点 x 零，它是属于三分之一到一的，能够使得这个 f x 零的导函数等于零， 那么这个时候 x 零具体是多少呢？我们不知道，但是我们可以得到一个 x 零的式子，就是 e 的 x 零次方减去 x 零分之一等于零，也就得到一个 x 零的方程，对不对？ 那我们知道这个原函数，那一定是在零到 x 零上单调递减，在 x 零到正无穷上单调递增，对不对？那么它就是有一个最小值，就是 f x 零，那 f x 零是多少呢？我们代入原函数中，是等于 e 的 x 零次方减去 loan x 零减二，那我们就可以把这个 e 的 x 零次方去换成什么？我们用这个方程去换成 x 零分之一 啊，那这个 loan x 零呢？那很显然 loan x 零， loan x 零，我们来看一下啊， e 的， 呃， loan x 零， 我们是不是可以给两边同时取？对啊， x 零，我们化简一下 x 零，移到左边的话， x 零分之一等于 e 的 x 零次方，那么 x 零就等于 e 的 负 x 零次方，是吧？那么 lone x 零也就等于 lone e 的 负 x 零次方，也就是负的 x 零，对吧？啊，所以说我们可以把这个零 x 零变成负的 x 零，那也就是减负 x 零就是加 x 零减二了，那么这样的话，我们实际上就可以把这个值和对都换变成了 x 的 一个什么密的形式了。 那我们可以用基本不等式来判断，那么他肯定是要大于等于二倍的根号下一再减去二啊，而显然这个他们俩相等的前提是 x 零等于一，是不是？而显然 x 零不等于一嘛，所以说这边就只能取大于号，那么他就是大于 二减二，也就是大于零的，这样的话，它的最小值大于零，是不是 f x 就 大于零横成立了啊？这个就是啊，引零点的一个应用 啊，我们再看一道题吧，也是一样的题目啊，无参的一个函数，那么它这个大于等于零横成立， 那么同样的啊，我们求它最小值，那么我们依次求导之后，得到了一阶导函数，没法判断正负，那么我们就 求到二阶导函数是 e 的 x 次方减四，那么很显然，二阶导函数它的零点就是 lo n 四，是吧？所以二阶导函数是先负后正，那么一阶导函数的话，那么它是在零到 lo n 四上是不是单调递减？它在零处的函数值，我们可以带入去减一下， 在零处的一阶导函数值是负四，是吧？所以说他在零到洛恩四上是单调递减，那么在洛恩四到正无穷上是单调递增， 那么我们也可以用极限思想去去去想一想，正无穷 e 的 x 方一定能穿过 x 轴，是吧？所以说他在这个这个他的一阶导函数也一定是存在一个零点的， 那么很显然他在 lo 四的导函数值一定是小于零的，是吧？那么他在什么时候的导函数值会大于零呢？我们可以带个数去试一下 啊，比方说我们去带一个三，那么他在三处导函数值，那么我们去算一下，是 e 的 三次方减去十二，再减去四啊， e 的 三次方是十九点几，是吧？那很显然是大于零的吗？那么也就是说在 lo 四小于零，在 三处的导函数值是大于零的，那么他就存在一个零点，那么在三处的导函数值是大于零，那么他就存在一个 啊， x 零使得属于这个论，四到三使得他在 x 零处的一节导函数值为零，这样我们把 x 零带入一节导函数里面，就可以得到 x 零的一个方程，那后面的化简，那我们就直接用这个整体了去换元了，是不是 看我们把最小值 x 零求出来，那么他是这样的一个式子，那么在这里的话，我们可以把这个 e 的 x 零侧方是不是用四 x 零加四来代替啊？这样我们代入移化减啊，就可以得到这样一个函数是十八减 二倍的 x 零方，那因为我们说 x 零是属于洛恩四到三的嘛，所以在这个范围内的话，它这个式子整体一定是大于零的，那么最小值大于零，那么我们也就得到了这个 f x 是 大于等于零，是横乘立的。 好的，那么这个是不含餐的，我们来看看啊，我们说证明含餐不等式，我们说含餐不等式，其实我们有很多的这种处理方式，对不对？好，我们来看这道题， f x 它等于， 我们来看一下单级式问题里面的这个证明含餐不等式，我们来看一下这个例题啊， f x 如果 a 是 大于一小于二，然后让我们证明 f x 小 于零啊，其实这个题目还是比较简单的，我们现在出题大部分都是怎么样出题都是当 f x 小 于零横成力啊，然后求 a 的 参数范围对不对？ 好，那我们就就着这个题目去看一下 f x 小 于零，那么我们其实可以把这个等式这边给它去化解一下，我们两边同乘 x， 然后我们来看一下，我们可以把它变成这样一个不等式横成力，对吧？ 这样一个不等式恒成立，那我们其实有很多方法，我们也可以参变分离，也可以半分离啊，我们也可以去整体去求它的一个最小值大于零，都可以去对 a 进行讨论，那么 这里的话，我们来看一下题目是整体去讨论，那么 h， 我 们把这个不等式的左边去看成 h x， 那 么 h x 等于等于它，那我只需要证明 h x 大 于零，恒成立就行。那么我们直接去求导， 去求导的话，得到这样一个形式，那么去求导函数的零点的话，实际上就是分子等于零即可，是吧？那分子等于零的话，因为 a 现在不确定， 所以说我们去没法确定零点，但是我们可以简单去分析一下，那它这个零点的话，当 x 等于零的时候，那分子这部分，分子这部分的话，那么如果我们把它看成一个函数，当 x 等于零的时候，值是等于负一的， 那么他的 d 二它是 b 方，也就是一减去四 a c， 也就是加上八 a， 当 a 是 大于一小于二的时候，那么很显然这个 d 二它是大于零的，对吧？那么对称轴又是多少？对称轴是 负的，四 a 分 之负一，那么也就对称轴是 x 等于四 a 分 之一啊，对称轴又是大于零的，所以说他就是这样的一个 图像，是不是那么很显然他有一个零点，这个零点的话，我们记住 x 零的话，那么呃，这个这个 x 零的话，那么就使得这个分子等于零是不是能成立啊？那么也就说原函数啊，我们所这个导函数 h h x 导函数的话，那么它是在零到 x 零上是小于零的，那么原函数是单调递减，在 x 零到正无穷上，它大于零， 所以说原函数是单调递增，是先减后增，所以说他在 x 零处是取到一个原函数，取到一个最小值，那我们去把这个最小值 h x 零，我们去代入，求一下，化简一下，会得到这样的一个式子，那么我们能否判断这个最小值是大于零的呀？ 那这个最小值大于零的话，他分两部分，是吧？那么我们现在就要确定一下，这个 x 零他到底是在一个什么样的范围内，在什么样的范围内的话，那我们可以在这个呃 导函数里面我们去确认一下，那么导函数我可以带入 x， 然后带入一些比较简单的值，带入 x 等于一吧，去试一下。那么他在一处导函数值是等于二 a 减一的啊，当 a 是 小于 二大于一的时候，那么很显然它是大于零的，那么它在一处是大于零的， 那么在什么时候会小于零呢？那我们就可以带个二分之一去试一下，是吧？然后在二分之一的导函数值是小于零的，那么我们就可以判断这个 x 零是属于啊 x 零， 那么它是属于这个二分之一到一之间的，对不对？那么我们就可以去判断一下这个这两部分的正负了。那么第一部分的话很显然是大于零，那么这个负的洛根 x 零是也是大于零的，那这两部分合到一起是不？整体也是大于零的，那么也就是说 h x 它最小值是大于零的， 那么也就是说原来这个不等式小于零是不是就得正了？哎，这是我们直接通过整体去讨论啊，去得到这样一个结果。其实这个题的话，我们再去想一想啊，就是当我们化解到这一步的话，我们还有没有别的办法 啊？我们去半分离一下试试啊？我们半分离的话，就是 a x 方减 x 加一，它要大于零， x 等式的左边是一个二次的，等式的右边是一个啊对数的形式，那我们知道这个 loan x 我 们可以去放松一下，是吧？ loan x 是， 它是，呃， 小于等于 x 减一的，对不对？那我们可以去证明一下，其实就是说这个对数函数，它这个切线嘛，是不是我们用切线放松，它是小于等于啊？ x 减一的，如果 x 减一也小于这个什么 a x 方减 x 去加一的话 啊，如果我们能证明这边成立，是不是也就是洛 x 也小于这个横成立了啊？那么这个比较简单的对不对？那么他都是这个啊，多项式的形式啊，那我们都移到同侧去，会得到这个 a x 方减二， x 加二，那么我们是不是也就证明他大于零在这个一到二场横成立啊， 那么它大于零在一到二上，我们就相当于二次的了吗？那么它是呃开口向上，当 a 大 于一小于二的时候，开口向上，然后单调呢？ b 方 b 方是四四减去八 a， 那 么单调四减八 a， 当 a 大 于一，小于二的，单调是小于零的，所以开口向上单调小于零，是不是大于零横成立啊，那就得正了 啊，所以说这个方法也可以，我们可以用这个切线放缩去证明啊。好，我们再来看一下这个啊，横乘力求参的问题啊。 好，我们来看一下 f x 等于 a， b 的 零， x 减去 e x 方加 a， 然后我们直接看第二文，当 f x 小 于零，横乘力去求 a 的 取值， 取值范围。哎，我们前面去讲过这个叫什么啊？这个必要性探路是不是？然后那我们就去 探一下路啊，那么既然他含对数，那么小于零横乘以，我们可以取一个值吗？ f 一 是不是？我们看看 f 一 的话，我们代入会得到 a 乘六一，也就是零零减去 e 的， 以此方，然后再加上 a， 它也要小于零，对不对？然后我们就可以得到 a 是 小于 e 的， 那么这是它的一个必要条件。那么我们能否证明在 a 小 于 e 时，它横成立呢？那我们就下面去证啊， 就证明 a 小 于 e 时，这个 f x 小 于零， 横乘立。那么我们对这个 f x 我 们进行一下这个求导，它求导之后是 x 分 之 a， 然后减去 e 的 x 方，哎，我们去整理一下，变成 x 分 之 a 减 x e x， 那 它的分母是 x 大 于零呢？我们只看分子就行，是吧？那我们把分子设成 g x 吧， g x 就 等于 a 减 x e 的 x 方，那我们对这个 g x 我 们进行求导，求导之后，我们可以得到 g x 的 导函数是，嗯，前面求导是零了， 前导是负的 e x 减去去加上后导，加上后导的话，那就是这个 e x 负的 e x 负 x e 的 x 方，也就是它是等于负的 x 加一倍的 e 的 x 方。 好，那我们就可以确定了，是不是啊？这个当 x 是 x 是 大于零的，那么这部分为正，这部分也为正，整个导函数是小于零的，是吧？那么 g x 是 不是也就是单调递 g x 是 不是也就是单调递减的？单调递减的，那么 我们来看一下它在零到正无穷上它的图像，嗯，什么时候穿过的 x 轴，能不能穿过 x 轴？当 x 等于几？我们取个 x 等于一吧。当 x 等于一的时候， 我们来看下 g 一 是多少 g 一， 它就等于 a 减 e， 是 不是？而 a 是 小于 e 的， 在 a 小 于 e 的 前提下， a 减 e 是 小于零的，是吧？它在一处的导数值是负的， 在一处的导数值为负，它是单调递减的，那么它是是不是什么时候穿过的 x 轴？那么我们可以再带一个，比方说我们带一个 g 零吧， g 零的话，我们代入它的这个式子，可以得到是 a， 是 不是啊？ g 零就等于 a 减 a， 那 么 a 很 显然是大于零的题目里面，是吧？所以说它在零处的导数值是正的，那么也就是说它是不是存在一个什么？ 它是不是存在一个 x 零属于这个啊？零到一，然后是不是就使得它这个 g， 使得这这个 g 零是等于零的？使得它这个 g x 零，它就等于 a 减去 x 零， e 的 x 零次方，让它等于零，对不对？ 那么这样的话，呃， f x 它导函数是不就是在什么？在零到 x 零上是单调递增，在 x 零到正无穷上是单调 递减，是吧？那我们就可以得到这个 f x 它导函数，那么在这个零到 x 零，然后它是正的，它为正，也就是大于零，然后也就是说 f x 是 单调递递增的，然后 这个导函数小于零，我们可以得到是在 x 零到正无穷上，那么这个 f x 是 单调递减的， f x 是 先增后减，所以说 f x 他 有一个最什么值啊？ f x 他的最大值是不是也就说是在 x 零处取得的？那我们把这个 x 零带入他的原函数里面，是不是也就是 a 倍的 lo x 零减去 e 的 x 零次方去加上 a 啊？啊？那我们用这个式子去换一下，来看一下这个 e 的 x 零次方啊，那么这个我们去变形，这个 a 等于 x 零， e 的 x 零， 然后那么 e 的 x 零次方是不是等于 x 零分之 a 啊，那么这里我们去换一下等于 a 被的 lo x 零， 然后去减去 x 零分之 a， 再去加上 a， 那 么现在都有 a， 我 们把 a 提出来，零 x 零减去 x 零分之一，再加上一， 那么刚才我们证明了这个 x 零是属于零一之间，那零一之间这部分是小于零的，然后 零一之间这部分小于零，然后这部分呢？这部分的话是大于一的，那么大于一的那么加符号就是小于负一，是吧？小于负一，加上这个一是整体，这个也是小于零的。哎，这时我们得到，当什么？ 当 x 零属于这个零一时，然后零 x 零是小于零的，然后负的 x 零分之一加一也也小于零，所以说它这个 f x 零的整体值是不是也是小于 小于零的？那么它的最大值小于零，是不也就是 f x 小 于零是横成立的了？哎，那这样的话，我们就啊得到了 a 的 取值范围，那就是 a 是 小于 e 的， 那么这个就是一个呃，必要性探路是不是 与这个引零点的一个综合的应用？那我们再来看一下这个双极值点的问题， 这里的话会用到维达定律，我们来看看双极值点怎么去用啊？嗯，首先我们来看一下这个函数 f x f x 啊，有两个极值点，让我们去求一下 a 的 取值范围，有两个极值点，那我们先对这个 f x 我 们进行一下求导， 那么求导之后可以得到它是 x 分 之 a， 然后加上 x 减去 a 啊，我们通分一下，可以得到 x 分 之啊 x 方，然后减 ax， 然后再加上 a， 是 吧？好，然后因为它有两个极值点， x 又是大于零的，对不对？有两个极值点， x 又是大于零的，嗯，也就是说是不是？也就是说这个 x 方减去 a， x 加 a 等于零，是不是有什么？有两个 正根，那我们把这两个正根分别设成是 x 一 和 x 二，我们利用这个 x 一 小于 x 二，那么这两个正根的话，它满足的前提条件得是什么啊？首先 delta 是 不首先得是大于零的， 要是它大于零的话，我们再来看啊，两个正根啊，两个正根。当 x 等于零的时候，那么也就是说这个 a 啊，因为它两个正根是不是得是这个样子？离在这零是不是在零处的值，是不是一定得为正啊？所以当 x 为零的时候，只剩了 a 了，所以 a 首先要大于 大于零，然后对称轴，那么对称轴是二分之 a 是 吧？对称轴是不是也要大于零？也就是说二分之 a 也要大于零，所以在这个三个条件下，那么也就能满足他有两个不同的正根了。那么我们可以推出来， a 是 大于二， a 要大于零，但是大于零， a 是 a 整体是大于大于四的， 那我们就得到了这个 d 的 取值范围了。这样的话，他是不是就在零到 x 一 上是单调 d 什么递增？ x 一 到 x 二上是单调为负吗？单调递减， x 二到正无穷上是不是又是单调递增？所以就有两个基知识点了。 好，我们再来看一下第二问，第二问的话，这个设两个极值点，分别为 x 一、 x 二，然后让我们去证明这个不等式恒成立那么大的最小值， 两个极值点是不就是这个方程两个根啊，我们可以得到两个极值点的一个微大定律的关系，就是 x 一 加 x 二，两根之积， x 一 乘 x 二，它等于 a 分 之， c 也是等于 a 的， 哎，两根之合，两根之积，那么它让我们证明的这个不等式横乘立啊，我们是不可以把这个 lambada 单独分离出来， 这个 x 一 加 x 二是等于 a 的， a 又是大于四的，那么实际上是不是也就是 lambada 是 大于这个 x 一 加 x 二分之 f x 一 加上 f x 二， 那么我们把这个式子给它表示出来来看看啊，我们令它等于什么？嗯，我们整体去写一下等式的这个不等式的右边，不等式的右边是等于这个 x 一 加 x 二，我们是不是直接可以代入 a 啊？ f x 一 加 f x 二，我们冲原式去进行一下整理， 也就是 a 倍的 loan x 一 加 loan x 二，然后再加上二分之一倍的 x 一 方加 x 二方，然后在这里我移动一下啊， 然后再减去 a 倍的 x 一 加 x 二。好，我们来看一下啊。呃，第一个部分 lo x 一 加 lo x 二，是不就说 lo x 一 乘 x 二，也就是 a 倍的 lo a， 对 不对？ 然后第二部分的话，是二分之一的平方和是不也就是二分之一的啊？ x 一 加 x 二的平方，也就是 a 方，减去二 a 呀，减去二倍的 x 一 乘 x 二， 然后再减去这个是 a 方，是吧？再减去 a 方，我们整理一下会得到什么？ low a， 嗯，减去二分之一倍的 a， 然后这有一个减一，减一除以 a， 我 们是不是就得到这个式子了？那我们也就说栏目打是要大于它的对不对？那它是什么？在 a 大 于四的前提下，是不是要求它的一个最什么最小值啊？那么我们就不妨把它设成一个新的函数，新的函数就是 g， a 就 等于零， a 减去二分之， a 再减于一，然后 a 是 大于四的，我们对这个这个函数我们求导之后会得到，这是 a 分 之一 减去二分之一， a 分 之一减二分之一，它这个导函数，因为 a 是 大于四的，它是小于零的，对吧？所以说这个 ga 是 不是单调递减的，那么也就是说这个 ga 就 有一个对，什么值 这一，它就有一个最最大值，最大值就是在什么在四处区，在四处区我们带入进去的话，是不也就是 loon 四，然后减去二分之四，减去二，再减去一，也就等于 loon 四减三， lamborrah 要大于它横成立，那么这个 loon 四减三就是 lamborrah 的 最最小值了 啊。这里的话，因为它是有两个极值点， x 一 x 二，我们虽然求不出来，但是我们可以找到这两个极值点之间的一个关系，是吧？核等于 a， 乘积也等于 a， 然后我们就把这个式子 x 一 x 二，我们代入，然后通过它们的这个 关系，然后把这个式子代换出来，代换出指向 a 的 式子，通过 a 的 范围再去求它们的最小值。好，这里有一个答案，同学们也可以去看一下，我刚才写的是一个推导的过程。 好，我们再来看一下，再来看一个另一个双极之点的问题啊，消餐，我们来看一下这个式子啊， 给了 f x， 然后 a 是 大于零，小于四分之一，两个极值点， x 一 x 二，并且 x 一 小于 x 二， 来证明这个式子啊，这有个 f x 二，这还有个 x 一， 那我们去对 f x 既然是极值点呢？我们对 f x， 我 们进行一下求导，求导之后可以得到是， 嗯，外导是一减 x 分 之一，内导是负一，也就是说是负 a， 然后再加上再加上 x， 然后我们去通分一下，会得到一减 x 分 之，然后 x 去乘一减 x， 那 么也就是负 x 方负 x 方 加 x， 然后再减去 a， 然后分子是分母，是恒大于零的了，那么是不也就说分子等于零，负 x 方减 x 啊？加 x 减 a 等于零，它是不得有两个根啊， 它是不有两根，这两根就是 x 一 和 x 二啊。那么我们会发现，那么 x 一 加 x 二，是不也就两根之合等于等于负的一分之 b 是 不也就等于正一？两根之积等于 a 分 之 c， 是 不也就等于 a 呀？那么也就是 x 一 加 x 二等于一 x 一 乘 x 二等于 a， 那 么这里的话，我们是不是啊，就可以去代入了， 那么我们去代入 f x 二，然后减去 x 一， 我们看它等于什么？ f x 二，那么也就是 a 去乘上零一减 x 二，然后再加上二分之一 x 二的平方，再减去 x 一 啊，那么这里我们去替换一下啊。替换一下的话，比方说我们替换成什么啊？这里有一减 x 二，是不是就是 x 一， 就是 a 倍的洛 x 一， 然后我们不妨把这个 x 二我们也换成 x 一 吧。 x 二是不等一减 x 一， 有二分之一倍的一减 x 一 的平方，再减去 x 一， 等于 a 倍的洛 x 一， 然后加上 二分之一，减去 x 一， 再减去二分之 x 一 的平方加上，然后再减去 x 一， 这不得到一个只含 x 一 的一个式子了。当然，这里面还有个参数， a 啊， d 可以 代换成什么？ d 是 不是可以代换成 x 一 乘 x 二？ 是不？也就是说 a 其实可以代换成 a 等于 x 一 去乘上一减 x 一 啊。那么我们再继续去化简的话，也就是说是 x 一 乘上一减 x 一 倍的零 x 一， 然后减去加上二分之一 x 一 方减去二 x 一 加上二分之一。 好，我们把这个等式的左边，我们给它整理成一个只含 x 一 的这样一个函数的对不对？ x 一 什么范围啊？ x 一 是小于 x 二的，我们来看看 x 一 和 x 二什么范围啊？这个函数的对称轴是 x 等于， 对称轴是 x 等于负的二一，对称轴是 x 等于二分之一，所以它有两个根，它有两个根，而且必须是 两个根，那么小的那个根是不一定要比二分之一小啊。所以说这个小的根二 x 一 是不一定是小于二分之一的。小于二分之一， 小于二分之一， 而且这两根之积等于 a， 两根之合等于一，这个 x 一 还得满足什么条件？它要比二分之一小，那是不是还要得是正的才可以？ 因为 x 一 乘 x 二是 a， a 是 一个大于零的数， a 是 大于零的，明显含 x 二是正的，所以 x 一 也得是正的，所以 x 一 是大于零小于二分之一的。 哦哦，这个范围其实我们也可以用一个不等式去解决它哪个不等式？就是 x 一 乘 x 二是大于它是 a 吗？是大于零小于四分之一， x 一 加 x 二等于一，我们去做一个代入，代入之后，然后得到一个 x 一 的不等式，就可以把 x 一 解出来了，对不对？ 那么这是 x 一 的范围，我们求了 x 一 的范围，实不实实际上就是这个函数，那我们就可以令什么，我们就可以令，比方说我们可以令 g x， 就 等于我们把这一坨里面的 x 一 全都换成 x， x 乘上一减 x log x， 然后再加上二分之一，被的 x 方减去二， x 加上二分之一，然后在这个 x 大 于零，小于二分之一的这个条件下，是不去去求它的，最去证明它怎么样大于这个， 嗯，这个原式中的这个值就行了，那么这里的话，我们就可以对它再次进行求导了，我们对 g x 进行求导， 那么求导之后，我们可以得到它的导函数，那么这里的话求导的过程我们就省略了啊，看一下它，它的求导值是一减二， x 去乘上零， x， 再减去个一，当 x 属于零到二分之一的时候，然后这个系数呢？是，呃， x 是 大于零小于一，然后这个系数为正，零 x 为负， 那么整体为负，这部分是负，减去一整体还是为负，是不是这个式子整体是小于零的？整体小于零的话，那么也就是说 g x 是 一个单调递减的，那么我们是不就可以得到这个 g x 的 一个最大值了？ g x 它的一个最小值，我们应该要求大于号，我们去可以求 g x 最小值，那么最小值是不是就是在二分之一处取？那我们就可以把二分之一代入，代入的话就可以去化简了，这个时候化简的结果的话啊，同学们可以再去算一下，这里的话在旁边我们去写一下 这个 g 二分之一，我们代入是二分之一。 b 乘上一减二分之一， 再去乘上 lone 二分之一，然后再加上二分之一乘上二分之一的平方二分之一乘上四分之一，然后再减去二乘二分之一，然后再加上二分之一。 哦，这个式子的话，二分之一乘二分之一，四分之一 lone 二分之一，然后再加上八分之一，八分之一减一， 八分之一减一，再加上二分之一是等于呃，八分之五，八分之五减一是负的八分之三，是吧？这部分就是减八分之，减八分之三。然后前面这个我们可以把这个 他题目里要证的是零二，我们可以把零二分之一变成负的四分之一。零二减去八分之三，通分一下，是不是也就是八分之负的二倍的这是零二，然后减三， 他题目要正的是把这个符号提出去，是不就可以你是负的八分之三加上二倍的零二，哦，这个就是这二分之一，那么这个最大，这个最小值是不是也就是题目里要正的这个八分之三加上二倍的零二， 那这个题我们就证出来了，那么这个题目里的话我们也是用的，因为它有两个极值点，这两个极值点具体是多少 x x 二没法求，但是我们可以用维达定律把它与 a 的 关系我们给它 表示出来，表示出来的话，我们首先通过 x 一 x 二，我们先把这两个变量转化成同一个变量，那么同样的话，我们再把这两个变量都把里面的参数 a 也转换成这两个变量，这样把变量从多变成一，然后再设成新的函数，求最小值即可 啊，这就是双级知识点的问题，那么今天的话，我们就把这个引零点的问题从这个求最值，然后关于单级知识点，双级知识点呢？然后都给同学们去做了一个讲解哦，有什么问题的话，同学们可以给老师留言。

当你拿到题目不会做的时候，你要想个什么问题啊？你要想，肯定是我的公式研究的不够深，第一它的变化之道掌握的还不够， 那你就返回头来研究有关的公式，它是如何变化，有哪些变化之道，你如果研究清楚了，看一些题目就会非常通透。下面我们以这一道题为例， 比如说求这个式子的最大值，当你拿到这个题目的时候，假设你不会错，你就想也是，我有关的公式肯定还不会用， 你就想他有哪些公式啊？那么这道题目呢？他有一个 q c 不 等式，应用起来是比较好的。嗯，我们来这样看一下啊， q c 不 等式， a 的 平方加 b 的 平方大于等于啊，这个式子的平方。 那么当我们学这个公式的时候，你觉得，哎，这是很简单的东西，对吧？但是当我们对到这个题目跟这个公式相比较下，发现他相差十万八千里， 那你可能就做不上去，用不了。那你有没有想到，在研究这个公式的过程中，你有没有想到，哎？老师会考我们， 他怎么考啊？啊？他可能会考这个，把这个隐藏了，或者把这个隐藏了，或者把这个隐藏了啊，或者把这个 a 啊，这里不用平方啊，反正他就是搞的乱七八糟， 就你去逐步去完善。你要这样来想，你学这个公式就有相当的把握了。看到题目你就有联想功能，为什么有时候你会产生呢？要老师一讲我就懂了，我自己做就不会了。就是你对这个公式的变化，知道他有哪些变化的方式，并不是说这个题目都是有 人家把这个公式摆好了，这个题目按照这个公式一个个摆好了，直接套公式。不是的，而是他可能这里变化一下，那里变化一下。哎，你就平时就研究这个公式有哪些变化，知道吧？他出题目的时候是不是都是 a 的 平方啊？都是 b 的 平方，不是的，他搞个如果不是个 a 的 平方，我怎么样把它变成个 a 的 平方啊， 对不对？如果只有这个，这个这个东西，没有这边东西，我怎么样又把它配起来呀，是吧，等等呢，多反复的去琢磨是吧，你就会猜到老师出题的方式，下次你一看，耶，这不是我研究过的方式吗，你就可以 轻松搞定。下面我们来解一下这个题啊，这个 x 加 y 除下二， x 平方加 y 的 平方加六，那么看你啊，看这两项，这个 q c 不 等式，你看这里， 这个，人家是两项相乘，你这里没有两项相乘，我们就把它配起来啊，配起来这个，这个又不是 平方的东西，就是 a 不是 平方的东西，那么你把它配成一个根啊，括号啊，括号啊， x 括号的平方，那么这里就变成了啊， a 的 平方， b 的 平方，就有两项吧，那么这个 c 和 c 的 平方， d 的 平方，没有啊，你就根据它的数字变化，适当的配上一个一个东西， 配了东西，你配了以后又增加了东西啊，你多了吧，多了就有相乘，让它跟颜色啊，不变， 那么就可以配好啊，就能够找到相关的数字啊，相关的数字啊，配好了以后，你才能够跟这个结构模式一样吗？公式的结构模式一样，你就可以用这个东西合起来吧，那么合起来本来就大一等于它分母就小一等于啊， x 加 y， 你 这个里面这个这样合起来相乘，它正好是 x 加 y 啊，然后括号的平方，哎，你现在就可以看到这个非常简单了，那么分子分母同时除一个 x 加 y， 这个就变成了这个三分之二，跟呃，科普 x 加 y 加上一个，这个六十就是 x 加 y 分 之六了啊，分之一， 那么这个就变成了我们非常熟悉的基本不等式啊，禁止不等式，那么就是小于等于啊，四分之一，算一下奇等的条件啊，我们就有两次奇等我就不说了，那么在这个里面主要是要讲什么东西呢？当你拿到这个题目的时候啊，一定要想到， 如果是不会做，你就想到我的公式研究不够，他的变化知道我还没掌握，你再回头研究一下他的公式有多少种变化啊，平时就加强研究，那么其中有一个很好的学习的方法，就是望闻问切，那么这个 是治病的方法，那么用在我们数学学习的方法上也是非常很好的。切是一个第一层次，就是啊，这个做题嘛，问，哎，只要你做不到的话啊，你就问，哎，还有可能公式我还不熟悉，变化知道还不清楚，你就再去研究一下，那问，那还有没有其他的公式 啊？到当你研究了这个三个层次以后，你最后你就会看一下这个题目，我能不能一看就知道这个用什么方法啊？这个望是最高级的境界，就是看一眼就知道啊， 所以我们在学习数学的时候，有这样来研究数学的话，你学习数学就会比较通透了啊。