七年级上册数学角解题技巧最后一题

锄禾日当午，上学好辛苦。忙完一上午还有一下午， 天天数学动脚问题还让人头疼到跺脚，被他折磨的死去活来的宝子们，听我的，考试前刷这条视频， 绝对能帮你大忙！动脚问题，顾名思义，运动的点射线图形会带来多种位置可能性，所以必须分情况讨论，而角平分线就是这类题里最常考的一大限定条件。 我们先来快速回顾角平分线的知识点，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线就是角平分线。必须满足以下三个条件， 比如这里 o c 是 角 a o b 的 角平分线，将其分为大小相等的角一角二，并且大小等于角 a o b 的 一半。也可以说，角 a、 o b 的 大小为角一角二的两倍。只要知道了其中一个角，就能算其他两个角的大小。趁热打铁，让我们看看洋葱穴原理这道经典动点旋转题。 三角板以十度每秒的速度绕顶点旋转直线 o n 是 三角板的一条边，当 o n。 平分角 a o c 时，求旋转时间 t。 注意看， o n 是 动点，要考虑它的所有可能位置。第一种情况，动点 o n 旋转后本身直接平分角 a o c。 根据角平分线性质，角 a o n 等于二分之一，角 a o c 等于三十度。结合图一的出式位置，咱们能算出 三角板从初始位置到此时一共旋转了一百二十度，时间 t 等于一百二十，除以十等于十二。第二种情况，百分之九十的同学都会漏这个动点 o n 旋转后，它的反向延长线停分角 a o c。 为什么会有这种情况？因为 o n 在 旋转过程中，不仅本身能到达角平分线位置，它的反向延长线也可能刚好经过角平分线的位置。这时候三角板从图一的位置 旋转至此时的角度为三百度，此时的时间 t 等于三百，除以十等于三十。好了，这下有关动脚的题目是不是由刃而解了呢？还有很多复杂的平面几何题型等你尝试哦！去洋葱学员那搜索，你好，免费解锁所有课程，复习巩固更高效。

今天我们来讲动脚问题，动脚是七年级上册期末考的压轴题，确实有难度，比朔州动点呢更难一些。在讲之前呢，先给大家讲一个小故事。一天呢，熊大和熊二正在上七年级的课，老师出了一个动脚问题，熊二摸着脑袋百思不得其解， 经过了七七四十九天的冥思苦想，他创造了一个独门绝技，两步法解决冻脚问题。第一步，用钉子把冻脚的所有的边都给他定住，让他彻底的不带动。 第二步，直接拿量脚气去量定住的脚的度数，然后找他们的等量关系，两步就可以解决问题，非常的暴力。 我讲这个故事主要是想告诉大家，不要盲目的去追求快速解决压轴题的方法。 大家想一想，一个压轴题怎么可能那么容易解决啊，一道要拉开孩子差距的题目，根本就没有速成的方法，所以老老实实的练基本功才是关键。今天老师把脚的动态问题拆解成一道一道简单的问题，带着大家慢慢的熟悉动脚的思路。 解决动角需要有三个核心的能力，第一个，角度之间的和差辈分的分析能力，这一步是为了找等量关系的，因为角之间呢，不就是相加相减，谁是谁的多少倍，谁是谁的 几分之几？第二个能力是分类讨论的能力，这一步能力呢，非常重要，为什么要进分类讨论？因为动脚和动点不一样，动点是什么？他主要是在线上做的是一个直线的运动，而脚的运动，他的本质是什么？是射线的运动。设现在运动的过程当中，他会和 另外一条射线相遇，然后再分开，也有可能会形成的超过一百八十度角。那这所讨论的什么呀？讨论的是对时间的这个分段能力。最后一个是画图， 因为你要找角的等量关系的时候，就往往需要把视域图画出来。那这一步主要依附于第二部分类讨论的能力，如果你把时间能分好的话，画图应该不是什么大的问题，下面我看一下解决步骤以及方法。第一步，我们要确定什么线的起始位置， 方向和速度。我们需要第一步在图上读题过程中呢，就在图上标注好它。另外一个，计算所有的动线转动用的什么总共的时间，什么意思呢？因为在出题过程呢，老师会告诉你某一条线是旋转一周，还是和某一条线重合以后就不再运动了。 有可能呢，射线运动时间都是不一样的，我们需要呢，先在延长把运动时间，各自的运动时间给他算出来。那下一步就是用 t 的 代数式 表示动脚，这一点呢，和动点很相似。最后我们呢找等量关系列方程求解。好，下面老师就带着大家先去熟悉简单的角的运动状态。第一种情况，单边运动 且变大，这个角呢，只有一边的运动，比如说这一题，角 c o d 是 六十度角 a o b 呢，是一条直线啊， o p 呢？从哪地方运动呢？从 o d 开始运动，它是一个顺时针运动 速度的十度每秒。让我们求什么角 cop， 那 我们这时候呢，设时间为 t， 下面的题目呢，所有的都是设时间为 t， 那 角 cop 呢？实际上它就等于 角 cop 加上角 dot， dot 是 o p 转动的角，那就是它的时间乘以速度，你的十度 t 就是 角 cop 加上角 dot， 所以 这个结果就是六十度加上秒十度 t 是 吧？ 好，下面我们看一下单面运动，先变小后变大，什么意思啊？给大家说一下。 o p 从 o d 开始，它是一个逆时针的运动，速度呢，仍然是十度每秒， c， o d 呢，仍然是六十度。让我们来表示角 cop， 角 cop 呢，它是逐渐变小的，然后呢 变成零度，对吧？那就是 o c 和 o p 已重合， o p 再往左走，这时候呢它会逐渐变大。我们先来研究一下逐渐变小的情况，那逐渐变小就是 cod 减去这个角，这个角呢，实际上是 o p 转动后的角，那就是十度 t c， o p 就 等于六十度角减去十 t 度，我们来算一下 t 的 时间范围，因为它的逐渐变小的，我们把它变成零度的时候情况算一下，那就是原来是六十除以它的速度是十 等于六秒，六秒的时候 o p 和 o c 重合了，所以它的运动时间是零小于等于 t， t 小 于等于六。那下面看一下逐渐变大的情况， o p 和 o c 重合以后，继续往下走，速度不变，那这时候这个角 cop 怎么去表示？实际上我们简单的来想一下，这个角就是 o p 与 o c 相遇后 转动的角，就等于速度乘以，相遇以后用的时间，就是十度乘以 t 减去六，因为相遇时用的时间不是六秒吗？最后减去 六秒就是相遇以后用的时间。这是通过我们简单的去分析就可以得到这个答案，如果我们看图的话也比较简单， o p 从 o d 开始运动是吧？ 他走的这个角是十度 t， 那 你这个角是六十度，就是角 p o d 减去角 c o d， 所以 说呢，是十度 t 减去六十度和这个是是一样的，那自从他的运动实践者大于 六的我们下面讲的这些角逐渐增大以后，肯定他会出现了超过一百八十度的情况，超过一百八十度的情况，我们到后面呢会单独去讲。这个地方我们先不讲这个问题，下面双面运动且变大，他的反方向运动出现两条动射线了，一个是 oku， oku 呢，速度是五度每秒，他是从 oc 开始运动的。 o p 呢，是从 o d 开始运动的，它的速度呢是十度每秒，它是一个顺时针旋转，那要求的角 p o k， 我 们看一下很好观察的吧，你中间的这个六十度角对吧？加上 o k 有 转动的角，那就是五度 t 对 吧？ o p 转动的角呢，就是十度 t， 那把这三个角加在一块就是嘛？ p o q 的 这个角度的大小，那 p o q 就 等于六十度，加上他俩的速度和乘以时间。下面这个双变运动，先变小后变大，仅类比一下我们小学学的行程当中的相应问题， 它的一个反方向运动啊， o q 是 从 o c 出发，速度是五度每秒。顺时针运动， o p 是 一个逆时针运动，它的速度是十度每秒，它是从 o d 出发的，那要求的这个角 p o q， 那 很明显它就等于 原来这个 c o d 是 吧？减去 o q 转动的角，那就是五度，再减去 o p 转动的角，那就是十度 t。 好 了，那这个等量关系就是六十度减去他俩的速度和 乘以这个时间转动时间，这时候 t 的 范围我们要求一下，因为他是逐渐变小的，最小的变了零呢，说明他们他俩相遇了，那总的角度是六十，除以速度和 十加上五，那就等于四，这个时候相遇时间是四，所以它的运时间的取值范围就是零小于等于 t， t 小 于等于四。下面我们看一下变大后的情况，也就是 o p 和 o q 已经相遇了，继续朝各自的方向去转动， o p 继续向左，对吧？十度每秒 o k 用顺时针五度每秒，那这时候要求角 p o q， 我 们可以讲一个简单的方法，假如这时候这条线是它相遇时的这条线， 那你看一下 p o k 呢？不就是相遇后 o p 转动的角度，这个角呢就是 o q 相遇后转动的角，就它俩的和，那它就等于什么呀？速度和乘以相遇以后用的时间就等于十度加上五度， 这是速度和相遇以后用的时间，不就 t 减去四吗？对吧？四秒之后相遇了，这样呢，可以快速的解决这个角的问题，当然呢，我们也可以通过角的和差关系去解决。 o q 转动的角是这个角，是吧？ o p 转动的角是下面这个角，那我们看一下角 c o q 加上角 p o d， 实际上它就等于我们把 p o d 给它分开来写啊，你的角 c o q 加上角 d o q， 再加上角 p o q， 那 我们要求的角是什么呀？ p o q， 那 p o q 就 等于 c o q 加上角 p o q 减去它俩的和是多少？实际上得六十度，那你 p o q 就 等于什么呀？等于五度几是吧？ 加上角，那就十度， t 再减去一个六十度，和上面呢，实际上结果是一样的，这时候呢， t 要大一次，下面我们看一下双面运动千面小，什么情况呢？ o q 从 o c 开始运动，它的速度是五度每秒， o p 使用 o d 运动，它的速度是十度每秒，两者的方向是一样的，都是逆时针旋转，这时它的本质就类似于我们小学学的呢追级问题，一个快的追一个慢的，那这都是它们两者之间的角度是越来越小的， 直到呢变成零以后， o p u 追上 o q， o p 呢？有超过的 o d 会，角度会变得越来越大。我们先来看一下变小的情况，变小的情况呢？ p u o p 追上 o q 之前，那指数呢？它原来的角度是多少？是六十度， 它的追的过程当中，它每秒追多少度啊？每秒是追十度，减去五度，每秒是追五度，那你要乘以它的这个时间，那这就是它追上的角度。它的 p o q 是 不是等于六十度，减去它追上的角度？所以这个等量关系根据小学的知识点很容易想到的。就六十度减去追及的角度，它的这个 t 的 取值范围，那我们需要算一下，六十除以它的速度差，速度差是五是十二秒， 那运动时间则零小于等于 t， t 小 于等于十二，那这个角度呢，就是目标角， p o q 就 等于其次角减去追及角度。如果是从角的和差关系呢，也比较简单，我们来看一下， o p 是 从 o d 开始转动的，这个角是十度 t 的 o q 是 从 o c 开始转动， 这个角呢，是五度 t 要求的角 p o q， 实际上它就等于角 c o q 加上角 c o d 减去角 p o d， 角 c o q 是 五度的 t， 角 c o d 呢，是六十度 减去角 p o d， 那 就得十度 t 啊。实际上这个结果呢，是六十度减去角 p o d， 那 就得十度 t 啊。实际上这个双面运动先变小后变大的， 咱们看一下，后变大，也就是 o p 已经追上了 o q， 还是同方向运动，这时候我们想一想，是它追极的角度超过了原来的角度，那你想最后形成的这个度数，不就是追极角度减去原来的角度吗？所以角 p o q 等于 追极的角度减去。其次角度。如果从从角的和差关系，我们来观察一下， o p 是 从 o d 出发 转动的，这个角 o q 是 从 o c 出发转动的，这个角是五度 t。 这个大的角是十度 t 啊，那就是角 p o d， 减去角 c o d， 减去角 c o q， 那 结果就是 p o d 的是十度 t， 对 吧？减去 c o d 是 多少啊？六十度 减去到 c u q， c u q 呢，是五度 t， 那 这个结果呢，跟我们上面呢，仍然是一样的，这束 t 呢，是大于大于十二的。我们来总结一下，这束球的目标角呢，等于锥积角度减去其四角度。 下面我们看一下双面运动且变大，同方向运动，这束呢是这样的， o q 呢，仍然是从 o c 出发，它的速度里面比较快， 有十度每秒。 o p 呢，是从 o d 出发，他的速度呢比较慢，他的五度每秒。那你想想原来的 之间的距离是多少？是六十度是吧？那后来在运动的过程当中，由于 o p 要比 o q 要慢一些，他每秒就会怎么样增加五度的这个角度， 那这所形成的角 p o k o 实际上就等于原来的度数，加上它增加的度数，也是我们通过简单的分析也能想出来这个结果，当然你要通过图上角的和差关系呢，我们来看一下，这是五度 t， 这是十度 t， 原来这个角 是六十度，那要求的角 p o k o， 它就等于角 c o k o 加上角 c o d 是 吧？减去角 p o d， 那 角 c o d 就是 六十度是吧？ 加上角 c o d 呢？是十度 t 的， 减去五度 t 和上面是一样的，就是我想锻炼大家呢，通过简单的分析，能快速的得到这个角的这个等 表达式，这样能节约你做题的时间。好脚的运动主要是前面两种情况，单边运动，双边运动，我们都给大家分析完了，下面我们看一下当脚在无限增大的时候，他一定会超过什么呀？一百八十度的情况，由于我们的初中呢学的脚他必须小于等于一百八十度， 当它超过一百八十度，我们怎么办呢？我们要学会修脚，那看一下修脚它是一个技术，尤其是你要给贵妃修脚，那这个呢，要求呢？技术是杠杠的，但是我们数学上的修脚和这个不一样，它最大的特点呢是不要钱。我们来看一下数学上的修脚怎么来修的， 比如说这个角 cop op 是 顺时针旋转它的十度每秒，它 他的逐渐增大的一个过程，那他的表达式是六十度加上实体，那当他超过一百八十度数，我们要用什么呀？三百六十度减去这个角的表达式，就是我总结的上面这句话。 当角是逐渐增大的状态，这句话很重要，是逐渐增大。当他超过一百八十度数呢，我们要用三百六十度减去这个角的表达式，因为我们在算数呢，是这种情况，比如说 o c 在 这个位置呢，就是 o c， c， o p 呢？ o p 转到这边来了，我们计算的这个呢，实际上六十度加上十度 t， 实际上呢，算的是这个角啊，我们需要表达的是左边这个角，所以呢，要用三百六十度去减掉它，这是修脚的情况。 另外一个大家常见的还会出现什么角平分线？还是用这个微粒子假设 o m 平分的角 cop， cop 是 六十度加上直角，它的速度仍然是十度每秒。 coco 是 一个动角，那你 o m 平分它以后形成的两个角呢？ c， o m 和 pop 呢？它也是一个运动的角，如果你需要表达 c o m 或者角 p o m， 那它就等于二分之一的角 cop， 是 吧？等于二分之一，括号六十度 加上十度 t， 也就是说我们需要表达的是角。平分线形成的角的时候呢，我们第一步要干什么呀？就平分哪一个角，先把哪个角用含 t 的 式子表达出来，我们一起来练习一道题。 iob 三点在同一条直线上， 角 o c 等于三十度，角 b， o d 等于八十度。然后射线 o m 和 o n 分 别平分了角，一个角 a， o d， 还有一个角 b， o d。 如图二，将射线 o y 以每秒八度的速度 绕 o 点逆时针旋转一周，那这个 o y 的 转动速度，在图上我们标一下， o y 是 八度每秒，它绕 o d 是 逆时针旋转一周，同时将角 c o d 以每秒六度的速度绕 o d 也是逆时针旋转。 角 c o d 的 旋转实际上就是 o d 和 o c 同时的一个旋转速度，都是六度每秒。当射线 o c 与 o b 重合时，角 c o d 就 停止转动，设射线 o i 的 运动时间为 t 秒。 我们先来算一下 o i 的 转动时间， o i 是 什么呀？绕了 o 点旋转的一周，那一周是三百六十度，除以它的运动速度是八度，等于四十五秒。那下面我们看一下 cod 角， cod 是 旋转的， o b 又结束了，那 oc 或者 o d 它用的这个时间是一样的，我们来看一下它转动的角度是多少？ b o c 的 大小 b o c 是 一百八十，减去这个三十度，那就是一百五十度，一百五十除以这个六度， 等于二十五秒就结束了。那通过这地方就可以看出这个角 c o d 是 吧？停直转动的时候， o y 呢？还在进行旋转。那最后问什么，在旋转过程当中，当 t 为何值是 o d？ 平分角 b m。 我 们先这个图上标一下，大概看一下 o d 平分角 b o m 这两个角呢？要相等是吧？那我们来分析一下 o d 在 旋转过程当中，它有几种状态，一种是 o d， 什么呀？在 o b 的 上方，那后来什么呀？转到了 o b 的 下方去， 我们先来分析下，第一种情况是 o d 在 o b 的 上方式，那这时候它的这个运动时间的范围我们计算一下，就是八十，它所用的时间就是八十除以六度等于，哎，三分之 四十秒。接着我们要做题的时候呢，讨论的这个时间范围是零小于等于 t 是 吧？ t 小 于等于三分之四十，那由于 o d 呢？平分的角 b o m， 我 们来看一下角 b o d 能不能表示出来。角 b o d 可以 看成什么？角的单边运动 是 o d 在 旋转， o b 是 一个固定的线，那这时候它的这个角的表示方式什么呀？是七十角度，那就是八十减去 o d 转动的角 o d。 转动角呢？它的速度是六度秒乘以时间，那就是六度 t。 好 了， b o d 表示出来，那下面我们想办法把 d o m 表示出来。由于 o m 平分子角 a o d， 我 们前面讲了 它平分谁，我们先来表示角 i o d。 角 i o d， 它是两条动射线， o y 和 o d 都在旋转，很明显它的一个追击问题。我们前面讲了追击问题要注意两种情况，一个是 未追上的时候，一个是追上并超过的时候，在这个三分之四十秒内， o y 有 没有可能追上 o d。 我们先来看一下原来这个角 a o d 是 多少度？一百八十度减去角 b o d 等于是一百度，这是原来的距离，它每秒追赶多少度？每秒追赶是两度，它就是八减去六，这是每秒追赶的，它乘以运动时间三分之四十 等于多少？三分之八十。那这个呢？很明显的是没追上之前，那没追上之前的很好表示了，那就是原来的七十角度，是吧？一百度 减去它的面积角度，那就是二度 t， 那 下面我们再来表示，角 d o m， 角 d o m， 它就等于是吧，二分之一的角 l d 等于应该是五十度， 减去 t， 那 很明显这两个角是相等的，那我们让角，因为这个角 b o d 等于角 d o m， 所以 八十减去六 t 应该等于五十呢？减去 t 一项以后，五 t 等于三十， t 应该等于六。好了，这个呢，符合我们的这个范围的，下面我们来思考一下， o d 呢？有可能转到什么呀？ o b 的 下方，跑到这个位置，我们大概画一下 o y， 他 有可能超过 o d， 假如说超过了 o m， 它要平分是角 i o d 啊，有没有可能出现这种情况？ o d 平分角 b o m。 我 们来分析一下，原来角 i o d。 是 啊，一百度 o i 要追上 o d 得需要多长时间？我们算一下，那就是一百 除以，他的速度差是二，需要五十秒才能追上档。但是 o i 的 转动时间我们前面做了，一共是四十五秒，那这时候就说明只要他们在同时转数，那四十五秒内 o i 是 追不上 o d 的。 那但是前面他说了， o c 与 o b 重合时，角 c o d 停止转动的时候，我们看一下 他的一百五十除以六，是吧？前面算过了，是二十五秒，二十五秒以后， o i 已经停止转动了，但是 o i 还在转动，他要多转动多长时间？二十秒？ 二十秒，你想想他走的路程是多少？二十乘以八是一百六十度，他会转动一百六十度，那这肯定是超过 o d 了，那我们把这个图重新来画一下，这时候 oc 和 o b 重合了， 那角 c o d 是 一个固定的角角， c、 o d 等于多少度？我们前面看一下这个 b、 o、 d 是 八十度，对吧？ l c 三十度， c、 o d 是 一个七十度角，这个角是七十度角。假设存在这种情况，那 o d 平分角是 b o m， 那 这面还得出来是 o b， o b 一定是也是七十度。那由于 o b 平分是角 a o d， 那 你想想这边呢？还要 a， o b 也要是是七十度，那大家算一下，七十度你乘以三是不等于二百一十， 那二百一度显然不符合条件，因为 o y 转到一周他就结束了。那我们做完这一题，像这个动脚问题，关键是分类讨论各种情况，充分考虑到要算一下他的时间，你这种情况有可能存在，但是在这个时间内他不存在。

今天我们来讲一讲七上几何部分会出现的一个非常重要的考点，叫双角平面模型。那双角平面模型他研究的是什么呢？在研究的就是两条角平面线所形成的夹角，该如何计算，或者该如何表示出来。 那对于双角平面模型，一共会分成三种类型，我们先看第一种相交型。什么是相交型呢？就是两个被平分的角，他有一条公共边，也就是会挨一块。 那像这个图一中 o m 平分角 a o b， 好， 那我们来标一下两个角相等， o n 平分角 b o c。 好， 继续标一下两个边上，那这个途中两条角平分线所形成的假角，也就是角 m o n， 它该如何表示呢？ 啊？很明显，它是等于一个 alpha 加一个 b r， 那 这个 alpha 又是谁呢？它是左边被平分角的一半， 哎，所以阿尔法呢？就是二分之一角 aob， 那 这个班上呢，他是右边被平分的角的一半，所以他是二分之一角 boc。 然后我们再提取一个二分之一出来，哎，也就是等于二分之一括号角 aob 加上角 boc。 好， 我们在图中找到角 aob 角 boc， 那 么其实啊，它就是这个整体的大角，也就是角 aoc。 好，由此我们就推出两条角平分线所形成的这个夹角，角 m o n， 它就等于整体的最大的这个角角 a o c 的 一半。我们写一下它的结论，就是夹角， 两条角平分线，夹角等于整体的最大的这个角它的一半啊。 好，我们再看第二种情况，相邻，什么是相邻呢？ 哎，就是这两个被平分的角啊，它中间会间隔一部分，也就是两个被平分的角是不挨着的，哎，像这个图二中 o m， 它平分角 a o b。 好， 那我们继续标一下两个 alpha o n。 平分角 c o d。 好， 标出两个 bar。 那 么在图二这种相邻的这种类型中，该如何表示两个角平分线所形成的假角呢？也就是角 m o n。 那 由图中我们可以看出来啊， 它是由一个阿尔法加上一个 bar 塔，再加上中间相间隔的这个角，也就是角 boc。 那 阿尔法跟 bar 塔分别又是谁呢？ 哎，我们可以把它替换掉，那阿尔法是左边被平分的角的一半，也就是二分之一角 aob。 边上又是谁呢？哎，是右边被平分角的一半，也就是二分之一角 c o d。 哎，然后再加上中间这个间隔的角角 b o c。 好， 对于前面两个，我们又可以提个二分之一出来，哎，所以等于二分之一括号角 a o b。 哎，加上角 c o d 啊，然后再加上角 b o c。 那在图中我们观察一下角 a o b 和角 c o d 啊，是左右两个被平分角的之和， 那他又可以怎么去表示出来呢？哎，他又可以用整个的这个最大的角，也就是角 a o d 减去中间这个间隔的角，也就是角 b o c。 哎，然后后面这一部分我们继续找写， 然后接下来我们可以去括号，它就等于二分之一角 a o d。 减去二分之一角 b o c， 再加上一个角 b o c。 那 后面两个啊，可以进行合并同类项，所以就可以得出等于二分之一角 a o d 加上二分之一角 b o c。 好， 我们在图中找到 a o d 和 b o c a o d 最大的这个角 b o c 是 两个被平分角相间隔的这个度数，那由此我们可以总结出来，像第二种相离的这种情况，那么两个角平行线所形成的这个夹角呢， 他就等于整体的这个角的一半，也就是二分之一乘以整体，再加上相间隔的角的一半 就可以了。那么接下来我们再看第三种相交的这种情况。什么是相交的呢？ 哎，就是两个被平分的角，他会重叠一部分角度，像图中白色的角，哎，也就是角 a o c 被 om 平分，蓝色的角，角 a o d 被 o n 平分，那么白色的角跟蓝色的角，他会相交一部分，重叠一部分。 那对于相交的这种情况呢，他是最为复杂的，因为他的线条太多，哎，显得有点乱，不着急，我们一点点来分析。 那继续看角 m o n 该如何表示在前面两种类型呢？ 这个角 m o n， 它是可以通过几个角相加得来的，但是对于最后这种情况，角 m o n 之间，它没有其他的射线，所以它无法用加法来表示，那它只能用几个角相减来构造出来。 那由图像哎，可以观察出，这个角 m o n 呢，哎，他可以用角 a o d， 哎，减去左边的这个角，也就是角 a o m， 再减去右边的这个角，也就是角 n o d。 那这样看着不够，一目了然，所以我们在图中呢，也可以给它标一个 alpha 跟一个 beta， 哎，也就是这个角 m o n 呢，哎，它等于角 a o d 减去一个 alpha， 再减去一个 beta， 哎，其实就是减去 alpha 与 beta 的 和。那这里的 alpha 是 谁呢？哎，它是被平分的这个白色的角的一半，所以把 alpha 替换掉，也就是等于二分之一角 a o c。 那单调是谁呢？哎，他是被平分的这个蓝色的这个角的一半。哎，所以把单调替换掉，就是二分之一角 b o d。 那 我们继续把括号里面的二分之一给它提到外面来。哎，就是角 a o d 减去二分之一括号 角 a o c。 啊，加上角 b o d。 这里重点来了，角 a o c 加上角 b o d 是 谁呢？那通过图中啊，可以看出来，它就是角 a o d。 整体的这个大角， 再加上它们重叠的部分，也就是角 boc。 啊，一条蓝线跟一条白线组成这个角。好，那其他的部分我们照写。 那么接下来去括号，就等于角 a o d。 减去二分之一角 a o d 再减去二分之一角 b o c。 好，前两线可以合并同类项，那么就等于二分之一角 a o d。 减去二分之一角 b o c。 好， 那在途中找到角 a o d 和角 b o c a o d。 总体的这个大角 b o c。 是 两个被平分的角重叠的部分。那么由此我们再把第三种相交的情况的结论给他总结一下，就是两条角平分线，他所形成的假角呢？ 哎，是等于总体的这个大角的一半，二分之一乘以整体， 再减去两个被平分的角的重叠的一半。 好，那么双角平分线模型这三种情况我们就讲完了，你听懂了没有？

本视频耗时一个月精心制作而成，总时长四十二分十六秒，带你一口气复习完七上最后一张， 期末考试又要来了吧，今天我们进行七上最后一张几何图形初步所有知识点总结以及重点题型梳理，我们一起来学习。关于我们几何图形初步，这里呢给大家分两个大板块，一个是我们的立体图形，一个是我们的平面图形。 关于立体图形，这里呢重点要讲什么呢？重点我们来学正方形的这个展开图啊，展开图这里呢是我们一种题型，而且还是有一些难度的，我们一起来学习正方体的展开图呢，请记住，一共有十一种， 那么这十一种呢，我们来分门别类的进行总结啊。我们这十一种展开图可以分为一四一型、二二二型、三三型以及一三二型， 什么意思啊？我们第一行有一个，第二行有四个，第三行有一个，这叫一四一行， 那么一四一行呢，一共有这样的六种，你怎么去记这六种呀？我们首先呢，这里啊站一号位，然后我们这四个呢排列好，接下来下面这一个呢，你可以在一号位，二号位，三号位和四号位都可以依次来一遍，这样不就出现了四个了吗？ 对吧？那么剩下的我们就可以来动一动第一行的，第一行的你可以把一号位动成二号位， 然后我们第二行的呢，你不能从一号位直接开始了，为什么？因为会有重复啊，所以直接从二号位和三号位开始，那一共就这样的六种，剩下的全部都是重复的了，这是我们的一四一型啊，这个也是最多的一种形式， 那我们剩下的就可以把这四个呢，让他哎减少一个，变成一三二型。那关于一三二型，这里的三和二啊，是固定的 啊，我们只需要让这个上面有一个的再占一号位，二号位和三号位，所以一共是这样的三种， 记住了吗？那剩下的我们的二二二型和三三型呢，各自只有一个，只有二二二三三这种排列的啊，这我们特殊来记就可以了，一共是十一种的展开图，大家按照规律去记，就不会记错了，那这里呢就会有题型总结了，请听老师的大招啊。 我们现在在判断展开图的时候呢，有两句话啊，可以快速帮我们判断出来，叫做一线不过四填凹七弃之。什么意思？ 我们一条线上这个展开图，你看无论是哪种形式，都没有超过四个的吧，对吧？最多就是四个小正方形了啊，所以说一旦出现了比四多的，那一定不是你的展开图，然后还有一些特殊的形状，比如说出现了我们的填字格， 如果有这种形式的，那一定不是我们的展开图啊。同理，如果出现了我们的这种凹字形，出现了我们这种七字形，这都是我们非展开图，而且比较常考的啊，看到这些特征之后呢，直接判断他不对就可以了。 好吧，那关于我们的展开图这里呢有一个非常非常重要的题型，叫做什么呢？我们判断啊，对立面 告诉你展开图了，来问你们啊，这个小正方形，它的一个对立面应该对着哪个啊？那么这会就特别考验孩子的什么呀，一个空间想象能力， 如果你但是有的小孩呢，刚开始就是他想象不到我怎么去找那个对立面，不可能考试的时候现场折一个，那是不可能的，对吧？其实也是有技巧有大招的啊，叫做两句话，同行隔一个，一行 z 两端来，记住老师，这个大招非常好用， 比如说举个例子，比如说我们同行隔一个，举一个例子，那这个小圈圈和这个小圈圈，那么这两个正方形在折回去之后，他就是一个对立面， 这就满足我们的同行隔一个，所以如果这两个面在同一行上，只要他中间隔着一个，这就叫做两个对立面，同理这里也是啊， 这个圈圈和这个圈圈，那就是同行隔了一个啊，所以这就叫我们的对立面，这是判断同行的那一行呢？如果不在同一行，叫做一行 z 两端，你去找这个 z 去啊，什么意思？比如说我们来看 这里呢，画一个 z 字形，那么 z 的 头跟 z 的 尾，这就是我们的一个对立面，这两个面呢，它没有在同一行上，对不对？所以你就不用套 同行隔一个了，咱们套的就是一行 z 两段，他是我 z 的 头和 z 的 尾，这就是我们的对立面，这个大招在解决问题用起来还是非常好用的，大家一定要记住这两句话啊。那么剩下的呢？还有一种类型，就是我们的三式图， 这个也是也很考验咱们孩子的一个空间想象能力啊。这个你就主要是你从你的这个主视图以及你的俯视图，你看到了什么样子，你就按照什么去画 好吧，尤其是涉及到一些什么，一些这个测试图，或者叫左视图和俯视图的时候，你就要去想象，你站在了这个物体的左面，你站在了这个物体的上面，还是有一些空间想象能力的。那这里老师提醒一点，如果你在你的视线当中，你能看得见的这些线呢？你就画成实线， 如果说有一些线，你是看不到，他也真正存在的啊，你从你的这个仕图里面并没有看到，那这种呢，一定要画成虚线，他也是存在的，只是你当下没有看到而已。好吧，画成虚线啊， ok， 那 关于三仕图这里呢，有一种比较难点的题型，就是已知告诉了你某些仕图，比如说告诉了你的主仕图和俯视图，举个例子 告诉了你这些仕途，让你给我判断这一堆小正方体，它到底有多少个，甚至让你判断最多多少个，最少多少个。这种题型应该已经见过了吧，还是有些难度的啊，今天老师教你一个大招去解决问题， 后面我们也会有这个这种题的，给大家重点讲解啊，叫做什么呀？叫做我们的地基法。哎，什么叫地基法？你可以想象一下，就类似于你搭房子，先铺好一个地基，然后一层一层一层往上去盖，怎么去盖？一会遇到题目，老师带着大家重点的来学习， 好，这是我们的立体图形部分，接下来呢，来到我们的平面图形部分，平面图形我们初一上学期啊，两个重要的线跟角， 这里首先上来呢，就会有特别多的概念变息类的啊，非常非常易错，一会我也会给大家去分享一些题目啊，大家好好去听。那关于我们线的概念之这个我们里面的易错点呢，会涉及到三种， 一个叫做我们的直线，一个叫做我们的射线，一个叫做我们的线段。这三种线之间啊，他的端点情况，延长线情况和表示情况，以及还有一个点再给大家总结，还有他的一个长度能否背肚梁的一个情况， 这是我们在考试当中比较啊，容易能够遇到的。来给大家画画这三种线啊，什么叫直线？你这样直直的划过来，没有任何的端点去限制，这叫我们的直线，所以直线是零个端点啊，并没有端点， 射线呢？射线你想象一下是从一个点发射，对吧？发射的感觉啊，所以射线呢，还是有一个端点的从这发射出去的，好吧，这里有一个端点， 线段呢，哎，线段呢，就是我们可以能够量出来它到底是多长，是两个端点在限制你啊，所以线段的左右两边都是有各有一个端点，所以线段是有两个端点情况。 然后接下来我们来看延长线，因为线段呀，是两头都堵住你了，所以你想要想做他的延长线是能够做出来的，对吧？比如说我们这样直接延长，哎，就能做出来延长线， 那或者说我这样来反向延长也能做出来延长线，所以说我们的线段呀，哎，既有延长线，又有反向延长线， 那射线呢，就是这样的，因为射线本身我在这一点发射出去之后，就已经是无限延伸了，我还需要借助外界的力量来帮我去延长吗？不需要了，所以说射线这里是没有延长线的，但是 因为这一头啊，有端点在堵着他啊，所以我们这一头还是能够画出来什么反向延长线的，所以说射线是有反向延长线，没有延长线，然后最后来到了直线，直线自由的很呀，没有任何的端点去限制他， 对不对？我想往右延伸就往右延伸，我想往左延长就往左延长，不需要借助外界力量。所以说啊，他没有延长线，也没有反向延长线。记得了， ok， 那 么剩下的我们来讲一讲表示啊，我们这三种线呢，都有两种表示方法， 你就可以理解为咱们一个人，他有可能有多个名字，对吧？他有个正名，还有个小名。那比如说我们的这个直线在表示的时候呢，可以用两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。 那如果我们用两个大写字母来表示的时候，比如说我可以叫做什么呀？叫做它的直线 a b， 在这啊，直线上任意取两个点，注意这两个点你别堵住它了，因为我们的直线是没有端点的，那可以叫做直线 a b， 也可以叫做直线 b a， 这里是没有顺序的差异的 啊，都表示的是这条直线，但射线呢，射线你再给他起名字的时候就有限制了，因为射线本身是从一个点发射出去的，那你再给他起名字的时候啊，第一个字母呢，表示的一定是它的端点，这个你不要反了， 也就是说射线 a b 和射线 b a， 它俩不一样，代表的不是同一条射线。 ok， 那 么剩下就是我们线段，哎，线段呢，是有两个端点是限制的， 你可以叫做它的线段 a b， 你 也可以叫做线段 b a 啊，就没有顺序的差异了，都是表示这同一条线段。 最后我们来讲一讲这个长度的问题，也是我们考试高频的考题。来，我想问问大家，我说孙悟空在天上画了一条十万八千里的直线，你觉得这句话对不对 啊？有人上来可能觉得对了，在我们数学角度这句话是不对的，因为我们说直线是无限延长的，哪怕你足够长有十万八千米，但是呢，我们的直线在十万八千米的基础上还可以无限延长啊，也就是你在描述直线的时候，你不能说它的长度 到底有多长，他的长度呀，是不可以被度量的。好吧，你不能告诉我这条直线到底有多长，限制住他，这个考试特别特别易错，一定注意了。 然后接下来射线，同理，虽然有一个点在限制了我的发展，但是我另外一头很自由呀，我可以无限延长，对吧？所以射线这里也不需要啊，去给他讲长度，他的长度也是不能被度量的。 好，那么剩下就是我们的线段了，线段呢，它就有所限制了，两个端点卡住了我，对吧？它的长度呀，还是可以被度量出来的，所以你可以告诉我说这条线段有多长，比如说刚才那句话 啊，说孙悟空在天上画了一条十万八千米的线段，哎，这个就对了，好吧， ok， 这是我们的一个基本概念啊，关于它的一个区别，也是咱们考试比较爱考的 概念，变式类的一个题目。好，那么剩下的两个基本事实很简单，我们要考这两个基本事实就是考两点，确定跳直线，两点之间线呢，最短 你给他取一个啊，这种题做的时候小孩没有做错的好吧，亲啊，要记住啊，那么我们还有关于线和角这里呢，咱们学了一些尺规作图，做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角，这两个尺规作图非常简单， 当然我们尺规作图呢，也是在我们的新课标当中啊，我们要这个在新中考当中也是要重点去考的啊，所以后面呢也会给大家出专题啊，将我们的尺规作图。好，接下来关于我们的线段的中点， 线段的中点呢，类比于角，就是我们角的什么角平分线啊，这些在做的时候呢，概念类的也不难啊，就是有小小的易错点。比较难的就是什么呀，这里就题型，什么题型啊，我们就涉及到双中点题型， 还有我们角这里呢就是双角平分线题型，这两种题型呢是有什么是有大招可以帮着大家去解决的， 考试的时候非常快的，能够做出来题目，很节省时间，一会老师给大家进行分享。好，那我们角度的基本的定义，这啊啊，这个比较简单，没什么难度啊，我们在这个表示角的时候呢，是有四种方法，注意这四种方法呢，有的会有限制， 那如果我们表示用三个字母啊，三个大写字母去表示这里呢，叫什么呀？这叫我们的万能方法，你所有的角都可以这样去表示， 什么方法呢？就是我以这个角的啊，这个顶点 o 放在中间的位置，然后在角的啊，这两条射线上任意取一个字母，一个取 b， 那 你可以称为角 a o b， 也可以称为角 b o a 描述的都是这个角， 这是我们的万能方法，所有的角都可以用三个大写字母去表示。还有一些比较简洁的方法，比如说呀，我这个这个点 o 这里呢？我不在边上取点了，我直接叫做角 o， 可以 吗？这个图里面是可以的 好吧，但是它有一些小小的限制。什么限制？如果说呀，我从这个 o 这发射的不止一个角了，因为你现在叫角 o 就 描述不清楚了，角 o 到底是代表的这个角 还是这个角还是这个角嘞？咱说不清了，对吧？所以这种情况下，你必须用三个字母来表示了啊。 好，那我们还有两种呢，用我们的阿拉伯数字，或者用我们的希腊字母来表示啊，我们可以标一个一角一标个阿尔法，叫做角阿尔法，这个也很简洁，后续我们到了初二初三，几何学的比较难，角比较多的时候，可以用这种方法去表示。 它也有一个小小的限制啊，就是我们尽量不要跨角去标注，比如说还是这样的图， 你可以说这个叫角一可以的，但是呢，哎，你这个如果叫做角一的话，就不太啊， 不太对了，你跨角标注就不规范好不好，注意这个小小的限制啊。 ok， 这是我们一些关于线和角的基本知识。 那题型这里重点会给大家讲什么呀？像涉及到我们的双中点和双角平行线，以及我们线段的计算和角度的计算，是咱们期末考当中的占分大项，接下来呢，我们一种一种题型给大家进行梳理，一定要认真听。 好，我们先分享一道啊，期末必考题，叫做我们的展开图的问题，我们来看啊，这里告诉你，展开图呢，我们像要剪掉一个小正方形，那么剪掉之后呀，就能够拼成正方题了， 对吧？问，剪掉的这个小正方形不可以是谁？这里就可以很快用老师的大招我们来看啊，什么大招？因为你打眼一瞧就发现了什么，立刻发现了一个填字格。 老师刚才给大家讲了，你如果要判断是否为展开图，当出现填， 出现凹，出现七这种图案的呢，那都不是我们的展开图。 所以你要想减掉啊，变成我们的展开图，一定要在这个田字格里面去选出来一个，减掉一个，让他不不能变成我们的田字格，所以你可以选一，可以选二，可以选三啊，我们的前三个都正确， 好吧，一定要把它分开，所以这个题啊，我们不可以的，就是我们的四 d 了，你如果把这个四减掉了，那你就把田字格留下了，留下田字格还能变成展开图吗？ 一定不能了好吗？记住老师的解决方法啊，看到田，看到凹，看到七字形的都要给他叉掉，这种都不是我们的展开图，你学会了吗？ 好，接下来我们来分享一道找对立面问题。这种问题呢，一属于咱们期末必考。二、很考验咱们家娃的什么空间想象能力，有的小孩就跟老师说，老师，我真的想象不到他是怎么去折的啊，你考试的时候也没办法，我立刻给你拼起来呀， 怎么办也是有解决方法的，好吧，学会今天老师这个大招啊，让大家立刻啊了解我们的对面问题，叫做同行隔一个 哎，一行 z 两端 什么意思？如果大家在找我们对立面的时候，处于同行的呢，你可以来中间隔一个，它旁边这俩就是对立面， 如果在同行找不到了，找什么呀？找不同行的啊，在不同行的呢，我们就来画 z 字形， z 的 这两端啊，就是我们的一个对立面，比如说这， 比如说这道题呢，就考察的咱们跟学的一个对立面学在这。首先你同行隔一个能找到吗？显然找不到， 对吧？同行最多留两个，你怎么去隔呢？找不到，那找不到了怎么办？我们来画 z 在 一啊，一行画 z 字形，注意，我们这个 z 呢啊，就能找两端， 这个 z， 你 可以横着画，竖着画都可以啊，反正画这种正规的。我们的 z 型画完之后呀，这就是我们的两头啊，我们现在这个学跟我们的广啊，它就是一个对立面啊，选我们的 c 选项啊，老师的这个大招还是非常好用的啊，同学们一定要记住，你学会了吗？ 接下来呢，我们来学习一道难题，突破啊，这种问题呢，是带图案的，这种题啊，小孩碰到了就更头大了，我不带图案的都想不明白，你现在还给我带图形了，哎呦，这可怎么去整啊， 别急别慌，也是有方法的。我们来看问图中的立方体展开之后，应该是下图当中的哪一个，我们来观察一下这个立方体。这个立方体呢，给我带了啊，这三个点，而且这三个点的面呢，分别都是什么呀？这叫离面， 相邻的面并没有相对啊，看似是在考你邻面的问题，实则仍然是考对立面的问题，你只需要让他们不是对立面是不是就可以了，因为不是对立面的话，那不就是邻面了吗？ 对不对啊？所以我们来看一下 a、 b、 c、 d 当中有没有两个小点点是对立面的呀？如果有，赶紧给我叉掉啊！又回到老师，今天啊，教你那个大招叫什么呀？你如果在同一行里面去判断，叫同行隔一个， 如果是在不同行里面去判断，叫做一行 z 两端。 好的，我们来观察一下现在这三个圈圈啊，是在这，那我立刻就扫到了，什么，这是在同一行，哎，同行隔一个，所以它们两个变成对立面了，那怎么办？就不对了， 因为你需要点点是同啊，是里面。接着我们来看 b 同里呀，哎，同行隔一个，这两个又是隔了一个，哎，又变成什么对立面了，所以不对。 好，我们来看 c 选项， c 选项呢，仍就是我们这两个点点是在同一行啊，同行隔一个，又变成我们的对立面了，所以他也不对啊，那只剩下四 d 了。四 d， 我 们来观察一下这里，现在呢，发现，哎，无论是同行 不是隔一个的这种关系，无论是一行，他也没有最两端，对吧？所以这个呢，他们都不是对立面，那就是我们的平面了啊。所以这道题应该选我们的四 d 选项，你学会了吗？ 好，今天我们来分享一道什么呢？用地基法来解决我们的最多最少啊这种小正方体的问题，这个问题对于孩子们来说是一个难点啊，一起来学习一下老师这个方法啊。 说若一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成的，如图，分别是它的左式图和俯式图。问该几何体用的小立方体的个数是 m， 问 m 的 一个最小值， 当然有的题也会问你最大值，其实同理的啊，这种问题怎么去做呢？一个大招叫做递级法，就是你无论给了你什么仕途，你先帮我把俯视图判断出来， 那么这个题比较简单的是俯视图直接给你了，有的题也是告诉你左视图，告诉你主视图，让你自己呀，先把俯视图啊确定了， 一旦确定了俯视图，开始干什么？打地基，盖高楼啊，因为你的俯视图如果长成这样子，说明呢，你至少底上，哎，每一块上都得有一个啊，小正方体 b g 搭好了，接下来根据我们的左式图在一一去匹配。左式图呢，第一列你看到了两个，哎，哪里代表他第一列啊？你想象一下你这个人啊，站到了左边去看，这里是代表他的第一列，对吧？第一列，如果你看到了两个，说明这呢？哎，要给我改成二了，一个就不够了。好， 第二列呢，你是看到了三个，第二列是这里看到的，你在这如果想看到三个的话，说明什么呀？说明至少啊，这上边要么是这个，要么是这个，得是有三个小立方体， 对不对？所以这里二选一就可以了，因为咱们本身问的就是最小，好吧，你随便选一个，比如选它 是三个，好吧，然后接下来呢，我们的这个第三列你看到了一个，那么第三列呢，就是我人站到了这，刚刚好有一个，哎，这一个就能够帮我把左视图的这个确定好了，所以我们最小的情况就是他了啊，二加三，再加上一二三四， 答案就是九，这是我们最小值，是九个。如果老师给你变形一下，你能不能告诉我 m 的 最大值，好，最大值是多少？大家可以在弹幕里面啊，去把你的答案写出来。 怎么去求它的最大值啊？最大值呢？就是我现在，哎，不选择其中一个摆三个了，我让啊，这两列啊，都摆上三个，并不影响我的左视图吧，也没有影响你的俯视图吧，对吧？啊，所以我们现在在九的基础之上呢，又增加了两个，所以它最大值呢？是十一， 你学会了吗？好的，同学们，谁又在这种关于概念变式类的题上面给我做错了， 说的是不是你啊？今天老师呢，把这里线与角这常考到的啊，概念辨析类都给大家总结到这里了，我们一起来学习一下，期末拿掉啊，学会这三分，我们来看啊。现在呢，给了大家十种说法，关于线和角的一一去分析， 圈一过两点，有且只有一条直线没问题，对吧？两点就是确定一条直线，所以圈一是对的。 好，第二个，第二个非常非常高频考啊，你今天一定一定要记住，它说连接两点的线段叫做两点之间的距离，比如说，老师，看着没毛病呀，你来分析一下啊，这什么意思呀？说你连的这条线段叫什么呀？叫距离， 是线段叫距离吗？你距离应该说咱俩离多远，对不对？所以你应该说线段的长度啊，一定注意啊，这个，这原话说的是这个线段的长度 叫做距离啊，你说这条线段有五厘米长，代表这两个点呢？距离是五厘米，明白了吧？啊，这个一定要记住了，那么圈三两点之间线段最短没问题，这也是刚才给大家讲过的基本的原理啊。圈四在线段射线直线当中直线最长， 这是不是我说的刚才你总结的那个长度问题啊？注意，直线跟射线，你能用长度去度量我吗？ 啊？换句话，你能用多长多长就能限制住我吗？你并不能，我的长度是可以无限延长的 好不好？所以你进行长度比较的时候不能去比啊，因为它长度就是无限延长，你没法度量出来，你怎么去比较呢？所以圈字不对啊，因为射线跟直线啊，他你都不要去谈长度的概念了，他们都无限延长， 记住这一点好，那么五跟六是一样的啊，说画直线 ab 等于三厘米，你能给我画出一条直线是多长吗？你画不出来啊？好吧，一定注意，这是错的啊，我们 直线的长度是无限延长的，那它不可以被度量的，你能说画一条线段是三厘米啊？好，圈六延长直线 o a 来这条直线，还记得老师刚才讲过的吗？ 它有没有延长线？它有没有反向延长线？它木有啊，因为本身人家就是无限延长的，所以圈六也不对，圈七两条射线组成的图形是角。哎呦，我说老师没毛病啊，这不是两条射线 o a 和 o b 吗？ 你这个画的是对的，我们的定义是什么呀？我们定义是指的有公共端点的两条射线，对吧？你看，我随便给你画一条射线，这叫 o a， 这画一条射线叫做 b c， 他能组成角吗？显然不能啊，所以指的是有公共端点的两条射线组成图形，叫做角啊，加上公共端点来。第八个，说，角的大小呀，与边的长短是有关系的，有吗？ 换句话讲，这个还怎么去考？还去考你？我拿着一个放大镜，我去观察这个角，哎，这个角就被我放大了，对吗？一定注意。不对，它跟角的长短没有关系 啊，我脚的大脚跟我脚的扩张有关系。我很快给大家举一个反例，比如说呢？来，我们第八个的反例举到这。我说呀，我这里两条射线，你看现在呢，这个脚呢，大概扩张的是这个样子，对吧？我再把这个边啊给你写长一点。 这里还有个角叫做角，也是 a o b， 明显哪个角大呀？是不是我上面画的这个角一比下面这个角二更大一些，对吧？跟长短并没有关系。而且呀，我们说这个角的啊，角的一边是什么呀？是一条射线，它本身就是无限延长的呀， 对吧？跟长短并没有关系啊。来第九个，因为平角的两边组成了一条直线，所以一条直线就可以看成一个平角，有人又觉得没毛病了，这不就是吗？ 对吗？一定注意。不对，你怎么能把两个概念给我混为一谈呢？啊？这个概念叫做线，这个概念叫做角，线能变成角呀，啊？角能变成线呀，不对的啊，你只是你的眼睛看着像啊，为什么像呢？因为我说呢， 比如说老师画的这是一条直线，而角是什么呀？角是有公共端点的两条射线啊，所以我这里点个点叫做 o 啊，这里呢，有一条射线，叫做 o a， 这里有一条射线啊，叫做 o b， 只不过这两条射线呢，哎，互为反向延长线了。所以啊，我们刚好构成了一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，是不是同一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，说周角是一条射线，同理， 角跟线就不是一回事好不好啊，不能做一些对比啊。所以我们现在正确的只有圈一和圈三啊，只有两个，这道题选我们的 a 选项，好吧，你学会了吗？ 好，关于我们线与角这里的一种难点问题啊，就是我们的一个技术问题啊，小朋友们就记不明白了，没有方法。今天老师教给大家一个招，叫做什么呀？打枪法， 哎，我们就可以很快把这种技术问题呢搞懂。我们来看啊，铁路上的火车票啊，是根据两站距离的远近而设定的， 距离越远票价越高啊，符合我们的常识。那如图呢，这就是一条这个火车线路图， a、 b、 c、 d、 e 呢？是五个火车站。而且告诉我呢，每两站间的距离呀，都不一样 啊。问，这段铁路上一共有多少种不同的票价，票价是怎么规定的呀？人家说了，票价是根据我们这个两站之间的距离，那你就要看一看啊，每两站之间有多少种不同的距离，是不是就有多少种不同的票价， 那每两点之间的距离都不一样。所以这个题最终就被我转化成问啊，有多少条线段，就有多少种不同的距离，也就是多少种不同的票价了，对吧？其实这就是数线段问题啊。那么数线段问题呢？你看一看，我们现在是一二三四五， 有这样的五个点，怎么样去打枪呢？你想象一下，你站在这里啊，这每个点上的都有只小鸟，你去打他啊，你可以怎么打到你？首先二，这你是不是能打到一只小鸟，这里又打到一只，这里打到一只，这里打到一只，也就剩下的这四个点，你都会被打到一只小鸟，那一共是不是四只 啊？所以从 a 出发的 a、 b， a， c， a， d， a， e 啊，就是咱的四条线段啊。同理啊，你把枪放在这儿继续打小鸟啊，剩下的三个点都能被我打到， 然后呢？把枪放到这里是两条，然后把枪放到这，只能打到一这里一只小鸟了，加到一起呢，就是我们的十啊，所以我们数线段问题呢，十种不同的线段就对应十种不同的距离，也就是十种不同的票价。好，那么这题还没完啊，老师快速给大家来一个辨识。 现在呢，还有一种问法，不是问你票价了，而是问你车票， 我问你现在有多少种不同的车票？什么叫车票呀？大家都坐过车吧啊？车票上会写什么呀？会写你的这个出发地是哪里？你的目的地是哪里，对吧？比如说你从 a 出发，你要去 b， 那 你的车票呢？可能写的是 a 杠 b， 那反过来讲，你如果说，哎，从 b 出发，再回到 a 呢？那你的车票上写的是什么？是 b 杠 a？ 你 思考一下，这两种车票长得一样吗？ 长得一样吗？比如说我们从北京到上海，车票长的是啊，应该写的北京杠上海， 对吧？你从上海回北京呢？那应该是上海 to 北京两种不同的车票啊。所以我们如果给你改成车票问题了，你把这个线段数完呀，还没有完还得干什么？还得给他 double 一下，给他乘以二啊。因为 线段 a b 和线段 b a 你 在数线段的时候认为是同一条，但是我现在在这个描述票价的时候，它就不是一条了。 a 杠 b 和 b 杠 a 票价啊，这个，这个车票是两个。好吧，所以我们现在车票问题呢，就改成有二十张不同的车票了啊，这种问题你彻底学会了吗？ 好，今天给大家分享一道期末必考题，关于我们线段的计算问题啊，这种问题呢，一旦看到我们的题干之后，立刻想到我教你的题眼方法啊，怎么去做？说，点 c 是 线段 a c 的 什么中点？ e 是 线段 ab 的 中点，那我们来看一看啊，条件，在图上标一标 d， 如果是中点，说明这两条线段啊是相等的，然后我们的 e 呢，是 ab 的 中点 啊， e 是 ab 的 中点，说明我们的 ae 和我们的 b e 也是相等的。如果告诉咱， a c 比上 bc 等于什么呀？等于二比三啊，我这里写成二份，这里是三份。 好，一旦在看到这种问题，就是我教你的啊，解决的体验叫做什么呢？记住我们的大招啊，看到这种笔直赶紧给我干嘛？射出来 见比射参，射出来参数怎么去？射两份你就射成二 x， 三份就射成三 x。 好 吧，记住咱们的大招叫做见比射参，然后已知 c e 长的是十二。接下来让我们去求 d e 的 长度啊，求 d e 是 多长，这种问题怎么办啊？我们来教教大家解， 看到比值呢，我们来进行射啊，射 a c 长为二 x， 那 么所以我们的 bc 长就是什么呀，就是我们的三 x， 那 现在整个线段 ab 长，你是不是会表示了，对吧？所以我们的 ab 长就是等于 ac 加 bc， 二 x 加上我们的三 x 就是 五 x。 好 了，有了总长，你的终点啊，它分的一半的线段就都可以表示了，对吧？来，因为啊， d 是 线段 ac 的 终点，我就不抄了。 然后呢，又告诉咱们， e 是 线段 a b 的 中点。好吧，大家把这句话抄下来，有了中点之后呢，我们就可以来表示一半了啊， a d 就 会等于我们的 c d 等于啥？等于二分之一的 a c， 因为 a c 是 两个 x 啊，它的一半呢啊，就是一个 x， 同样的 a e 就 会等于 b e 的 一半，因为 ab 是 五个 x 呀，它的一半就是二分之五 x。 好吧，你看看啊，这里是 x x， 然后呢啊，这里是二分之五 x， 那 你已知的这个十二是不是可以用含 x 代数式来表示了？这样不就列出来方程了吗？对吧？因为 c e 啊， c e 啊，咱们知道是等于 a e 减 ac 的， 看图啊， 那等于什么？ a e 是 我们的二分之二 x， 那 减完是二分之一 x g 是不是得到我们的二分之一 x， 就是 这个十二，所以 x 求出来是二十四 x 求完还没完，人家让你求的线段 d e 的 长，那我们来看一下 d e 呢，是不是我们的 a e 减去 a d， 对 吧？所以最后我们要求的这个 d e 长呀， 就是 a e 减去我们的 a d， a e 呢，是咱的二分之五 x， 不 用着急算出来啊。 a d 呢，是我们的 x， 所以 是二分之三 x， 那 也就等于二分之三乘以我们的二十四， 约分十二乘以三三十六，所以我们的最后答案的定义呢，就是三十六啊。今天教你比较好的方法就是见笔设参，一旦在线段计算或者后面我们要的角度计算问题， 看到笔直之后，把我们这个分数给我设出来，就很快能解决了。好，这个题大家学会了，接下来先不要走，再来教你个更厉害的大招。这还是我们的什么问题啊，这个问题也有特征，什么呀？终点，终点，这叫什么呀？这是咱们的 双中点问题，双中点还有双角平行线，一定是我们线与角这一张期末必考的题，有非常好的大招让大家去学习啊！请记住老师四个大字叫做去重留半， 什么意思啊？后面再看到我们双中点问题，你就看一看 d 是 不是 ac 的 中点，把 ac 给我写在这， e 是 不是 ab 的 中点，你把 ab 给我写在这儿，接下来干什么？去重留半，你把重复的字母给我去掉。 哎，剩下留下了谁？留下了 b 和 c， 所以 留下的呢？取一半啊，就是二分之一的 bc， 这就代表我们双中点组成的线段长，因为 d e 是 这俩双中点，说明 d e 长呢，就会等于去重留半。哎， d e 就 等于二分之一的 b c， 超级好用这个大招，那接下来我们来验证一下。我们来看 bc 呢，是咱们设的三 x， 你 看二分之一乘以三 x， 不 就是二分之三 x 吗？在这呢对不对？所以这个结论一定成立啊！后面再看到两个啊，终点问题，如果这两条线段有公共的字母， 直接把公共字母去掉，留下的这两个字母取一半，就是两个终点之间的一个距离啊，你学会这个大招了吗？ 来分享一道我们的期末易错题，叫做我们的双中点问题。什么叫双中点问题啊？当我们后面看到啊，给你描述两个点，比如说 e、 f 是 按某两条线段的什么中点，这不就出现两个中点了吗？顾名思义，双中点问题。 还记得刚刚给大家分享的双终点问题的解析大招吗？请给我打四个字，叫什么？去重留伴，这个大招非常好用，一定要学会了。什么叫去重留伴啊？我们现在呢，因为 e 呀，是 a c 的 终点，你把 a c 给我写在这， f 呢，是 bc 的 中点，你把 bc 给我写在这，然后把重复的字母呢去掉，只留下谁了，只留下我们的 a b 了。所以现在啊，就能得到我们双中点之间的距离，就等于留下的一半，就是二分之一的 a b。 这题就已经做对一半啊，双中点问题很快啊，节省我们的时间，叫做两个中点之间的距离，就等于去重留半。好，既然等于二分之一 a b 了，那我们只需要算算 a b 是 多少， e f 是 几，就可以做出来了。 我们来看啊，现在告诉我的是点 c 啊，在直线 a b 上来，大家读题一定要会读关键词，把直线请给我赶紧勾出来， 在直线 a b 上，如果 a、 c 是 四厘米， b， c 是 六厘米啊，那我们就通过这两条线段长，你是不是得帮我确定一下 a b 长呀，一旦有了 a b 长， e f 不 就搞定了吗？那我们啊，画一下图试一试 这个问题呢，他是没给你画图的，对吧？所以接下来还记住老师教大家的一句话，在你的这个初中几何问题里面，给你的几何题没有画图，那百分之九十五以上都是要干嘛？分类讨论的，所以记住四个字，叫做无图有坑 就等着你往坑里跳呢啊，一定注意，没给大家图的大概率都是要进行分类讨论的，而且呢，也跟我们是一样，跟我们直线，这印证了，对吧？他并没有在线段上去限制你，而是在直线上限制这个让你自由的啊，去发挥，找那些点去让我们画一下图啊。说 a c 等于四， 先随便画吧，反正在这 a b 上呢， a c 是 个四厘米，对吧？ b c 呢是个六厘米。哎，你在找 b 的 时候，我现在好像就找到了不止一种 b 了， 为什么呢？因为我现在啊，可以在哎右边找一个 b， 让这是四厘米，这一边这是那个 b， c 是 六厘米，是不是也是可以的，对吧？所以用这样的两种情况，在这两种情况下，咱们要求的谁啊？先求 ab， 那 这个 ab 呢，就是四加六啊，是十厘米， 那么这个 ab 呢，是六减四啊，就是我们的二厘米，好吧，一个十，一个二，然后接下来我们去重留，什么留半呀，所以结果就是十二的啊，一半十的，一半是五，二的一半是一，所以这题选我们的四 d 选项 做出来啊，就会非常快了，请记住四个字，再来一遍，去重留伴，你学会了吗？好，继续啊，给大家分享一道我们的双角平行线问题，跟我们的双中点问题的解决方法是同理的，记住我的四个大字，大招叫什么啊？去重留伴啊，我们一起来看。 现在又告诉我，这个 o、 d、 o e 分 别是什么呀？分别是两个角的角平分线，对吧？所以你直接把这个角 a、 o c 写下来，把这个角 b、 o c 写下来，把重复的射线 o c 给我勾掉，就是剩下的这个角的一半，剩下了 a 跟 b。 那 你看你的 o a 跟 o b 组成谁啊？这是不是就组成我的角 a o b 了？好吧，用老师的结论啊，那现在两条角平分线组成的这个角 d、 o e 就是等于去重留半啊，就是等于二分之一的角 a、 o b。 有 了这个结论，简直不要太爽了啊，因为结论可以直接秒了，因为人家告诉你角 d、 o e 呢，是六十四度， 求谁啊？求这个角 a o b， 那 么 a o b 不 就是它的二倍吗？对吧？二倍一百二十八度，太简单了 好吧，啊，通过这个视频呢，老师给大家快速的证一下，为什么啊？会去重留半？我们来看啊，因为 o、 d、 o e 分 别是角平分线，如果是角平分线的话啊，那么这两个角相等，比如说我们都标为阿尔法，那如果 o d 是 我们的这个角平分线的话，这两个角相等，我们都标为贝塔。 好的，你看整个大的 a、 o b 是 不是两个阿尔法加上两个 beta 呀，对吧？哎，小的角 d、 o e 呢， 是不是一个阿尔法加上一个 beta 呀？所以它们之间一定会有一个角 d o e 等于角 a、 o b 的 一半啊，这是我们去重留半就是这样来的， 所以后面但凡在看到了双中点问题，还是双角平行线问题，直接把这两个线段或这两个角拿出来重复的勾掉啊，然后剩下的留一半，简称去重留半，你学会了吗？

角度动态问题一定是我们新初一最难压轴板块，没有之一，如果角度动态问题再加上我们的折返跑问题的综合，那可以说百分之九十五的孩子都拿不到分那同学们，我们今天一起来分析一道经典的折返跑角度动态问题。好吧，来，我们一起来看一下。 积木是这样说的，他说最开始呢， o m 从 o a 开始，以速度为六，顺时针旋转的 o b 啊，它的速度为六，然后是顺时针，当它转到 o b 之后呢，再以相同速度向 o a 去旋转啊，那就说， 哎，我的 o m 从 o a 到 o b 到了 o b 之后来发生蛇反跑，它的速度方向发生变化，但是速度大小呢，还是为六对吧？好，这是我们的 o n 好， 再看我们的 o n， o n 呢？从 o b 开始，哎， o n 和 o b 是 重合的，以速度为三，逆时针旋转。当我们的 o n 到达对边 o a 的 时候，来这两个动边 o m 和 o n 同时静止， 当这两个角 b o n 等于二倍的 m， o n 的 时候，问时间 t 应该等于多少？徐老师已经把初一期末所有经典必考题型， 包括一元一次方程解应用题、线段动点问题、角度旋转问题、规律探究问题、换方与程序框图问题等压轴必考板块，再结合往年专题，优中选优，整理成了期末复习压轴必考十三大题型，练完期末考一定拿高分！需要的家长我发你一份， 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题。好来，题目说的是最开始呢， o m 和 o a 是 重合的哎，从 o a 开始，以速度为六，顺时针旋转到 o b 来，我们把方向和大小给他 教一下，好，到达 o b 之后呢，再以相同的速度向 o a 去旋转，对吧？什么意思呢？先从 o a 转到 o b， 到达 o b 之后呢，它的方向发生变化，但是速度大小呢？没有变化，所以分析到这个地方吧，我会发现 o m 这个动边它有一个临界点，那么临界点就是 o m 和 o b 重合，对吧？因为这个临界点前后它的方向是不同的，所以读到这个地方，哎，我们就先把 o m 的 临界点的时间，哎，先给它 算出来，哎，非常好算，对吧？那么从 o a 转到 o b， 正好是一百八十度，速度又为六，所以呢，临界点的时间就应该为一百八，去除于六，等于 三十秒，对吧？好，这是我们第一个好，再来读，他说 o n 呢，从 o b 开始，以速度为三逆时针旋转，最开始 o n 和 o b 重合，以速度为三逆时针旋转。当我们的 o n 到达 o a 的 时候，这两个动边 同时静止。来，这句话告诉我们什么？告诉我们的总时间，对吧？来，总时间应该等于多少呢？那就是我们的 o n 旋转的时间从 ob 转到 o a， 同样是一百八，速度为三，所以总时间也是一百八 除以三，应该等于我们的哎，六十秒，对吧？哎，等于我们的六十秒，好来，所以呢，这里面呢，我们把零界点和总时间都算出来了，他说当我们的这两个角等于二倍关系的时候，求时间 t 应该等于多少。 那么我们既然分析出来了，这道题中间有一个零界点，只要有零界点，说这道题肯定什么呀？需要分类讨论，那到底分几种情况呢？哎，我们来分析一下哈，我们只要把什么 把这两个时间在时间轴上给他划出来，那就很简单了，时间从零开始。好，三十是一个什么零界点，对吧？他发生什么方向变化好，六十秒呢？两个边同时静止来看，有几段，我们就应该分几种情况，第一段零到三十， 第二段三十到六十。所以这道题我们应该分两种情况啊，两种情况好，所以接下来呢？哎，我们要解决这个 角度动态问题，就应该把它转化为我们的速轴动点，那么要转化为我们的速轴动点，哎，我说第一步，先给它粗实化标我们的零刻度线以及我们的正方向，那么你随便选一个啊，这里面来，你选择 o a 也可以，选 o b 也可以啊，随便选一个，如果选 o a 为零刻度线， 然后呢？把顺时针方向系为正方向，可以吧？哎，你随便选择哈，没有固定答案。把 o a 选为我们的零刻度，顺时针为正方向，所以你看 o b 也出来了， o b 在 o a 的 顺时针方向一百八十度，所以它的刻度就正好等于一百八， 对吧？好，下面呢，我们分两种情况去讨论，第一个就是 t 小 于等于三十，大于等于零，哎，在这一段的时候，好吧，那么这个时候呢，我们把我们的动边和定边分别给它表示出来， 我们最后是需要去表示这两个角，哎，这两个角需要的边分别是 o n、 o b 和 o m， 对 吧？好，那么 o b 很好表示哎， o b 是 个定边，不会变的一百八十刻度，对吧？好，关键是这两动边，哎，第一个， 我们的 o m 啊， o m 这个边，他从零刻度出发，以速度为六，顺时针，顺时针，我说正好是正方向，那就加 零，再加上几，再加六 t， 对 吧？哎，零表示我们初时位置，加表示方向，哎，速度为六，时间为 t， 这两个相乘呢，正好是我们的旋转的角度，对吧？那你可以化简一下， o m 就 应该等于六 t。 好， 再看 o n 啊， o n 这个边， o n 从 o b 出发，它的刻度为一百八，好，一百八，它是逆时针，不就减了， 减去三 t， 你 看，全部表示出来了。好，接下来表示角度，第一个角 b o n， 我 们来表示下 b o n 这个角度需要的刻度，一个是 o b 的， 一个是 o n 的， 对吧？那我说，哎，用大的刻度减小的刻度，就是这两个刻度线 加角，哎，如果确定不了大小，就需要加一个绝对值，跟我们数轴动点问题是一样的。好，那么很明显看这里面的 o b 是 要大一些的啊，我们的 o n 呢，是要小一些的，因为我的 o n 是 从 o b 出发， 哎，往我们的历史的负方向走的，所以呢，他肯定要小一些，他肯定要大一些啊，可以确定，那就用大的一百八减去小的 一百八，减三 t， 再加三 t， 哎，抵消掉答案，就等于三 t， 哎，错了，对吧？好，再看我们下一个 来，下一个就是我们的角 m o n， 那 么 m o n 来我们需要的哈刻度，一个是 o m， 一个是 o n， 来，这两个能不能够定大小呢？大家看一下， 最开始这两边是相向而行的，哎，这个角度越来越小，哎，中间某个时刻这两边可以正好重合，好，重合之后看，刚开始 o n 在 右边， o m 在 左边，所以它大它小，那么重合之后交换位置， 那么我们的 o n 就 跑到了左边， o m 呢？跑到了右边，对吧？所以相遇之后它的大小就不不一样了。那所以整个过程当中， 我们的 o m 和 o n 是 确定不了大小的，对吧？那怎么办呢？确定不了大小，就加一个绝对值就可以了。那这两个我们就盲减加绝对值啊，比如说一百八减三 t， 再减六 t， 知道一百八 减九 t 的 绝对值，对吧？好，表示出来了，哎，接下来我们就可以列方程了，这两个角是二倍关系，所以 b o n 就是 三 t 等于二倍的一百八，再减去九 t， 好， 三 t 就 等于一百二，乘进去三百六，再减去十八 t， 那么这个绝对值方程好写吧。哎，两种情况，第一种，三 t 等于三百六，再减去十八 t 啊，你一下就是二十一 t 就 等于三百六，那么这个算出来， t 就 等于约一个，约一个三嘛，七分之一百二，哎，刚好这个答案在 范围里面的可以。第二种情况，三 t 等于十八 t 再减去三百六， t 就 等于二十四， 也是可以的，对吧？来，所以综上所述哈，这种情况有两个答案，哎， t 小 字，哎，就等于七分之一百二，或者是二十四，对吧？两种情况， ok， 好， 是第一个范围，我们还有第二个范围来，第二个范围就是三十到六十 啊，这个时候呢，开始折返跑了，对吧？好，第二个范围我们写下， t 应该是小于等于六十，大于 三十，那么这是，哎，我们一样哈，去表一下我们的边，首先 o b 是 不变的， o b 为一百八好， o n 呢？也不变，因为中间 o n 没有发生变化啊，那还跟前面是一样的，是一百八， 再减去三 d， 变化最大的就是我们的 o m， 很多同学容易出错的点也这个地方。来，我说一下哈，很多同学容易错的还是怎么说的呢？他说 o m 怎么表示呢？这个时候他换了出发点了，从 o b 出发是用一百八，好，一百八来， 刚开始是顺时针，现在变成逆时针，从一百八出发，逆时针就减了好，速度为几呢？速度还是为六一百八，再减去六 t 来。百分之九十五的同学都是这个答案，但是我可以明确告诉你，这个答案是错的。来，为什么错了呢？来，因为你有一个概念，你没有搞懂好这里的 t， 它指的是从头到尾的总时间，对吧？总时间什么意思呢？好吧，哎，我们这个 o m 看怎么走的，从头到尾， o m 从 o a 开始先到 o b， 这个是一段时间好，到了 o b 之后呢？它再回过头来走，比如说你的 o m 走这个地方了，回过头来走，那么这个时候你看它的总时间应该是我们的， 哎，应该是什么？应该是我们的这两段时间，对吧？这两段时间之隔就这一段加这一段才是 t， 哎，这个时候呢，你从一百八出发，你换了出发点，实质上只走了这一段时间， 对吧？哎，你这段是没有走的，之前有走过的，所以你换了出发点，换了速度方向以后呢？他的时间应该是这一段，那你的总时间应该是这一段和这一段才是我们的 t， 所以 你只要这一段时间怎么办呢？应该去减去前面这个临界点的时间，他正好为三十，所以这段时间有多少是 t 减 反式，听懂了吗？所以哈，这个契值是从头到尾的总时间厘子算是这段时间，所以应该减去前面的临界点哈，这是我们什么这个折反旁特别容易出错的地方，懂吗？哈，好，来，把这个搞懂之后哈，那么 o m 就很好表示了啊，一百八是没问题的，出发点一百八好减也是没问题的，逆时针好，速度为六也是没问题的，哎，但是呢，这个时候时间就不是 t 了，你只能算从 o b 重新出发的时间。这段时间应该什么？应该是 t 减去我们的零减零 pingo 奥特曼，好，我们化简一下哈，他等于写的等于一百八，哎，所以这个时间的话一定要减去零节点，你不减零节点，他就什么就是错的。一百八减去六 t 好， 再加上多少？呃，一百八减到三百六，再减去我们的六 t， 好 来，所以它等于三百六， 再减去六 t 好， o m 出来了，好，接下来我们一样的可以表示角度，第一个角 b o n 啊， b o n， 那 b o n 没有变化，因为 o b 和 o n 这两个刻度都没有变化，跟前面是一样的，还是为 三 t 啊，主要变化的就是我们什么角 m o n 啊，因为这个刻度在这个范围里面发生了变化， 好，那么这两个刻度出来之后，一样的哈，我们要确定一下这两个谁大谁小，如果能够定，就大减小，定不了，加绝对值，对吧？来，能不能够定呢？我们看一下哈。呃，他们的运动状态，那么我们的 o n 这个边从 o b 到 o a 整个时间是不是六十？哎，没有折反跑好，我的 o m 呢， o m 先从 o a 到 o b 走了三十，好，再从 o b 到 o a 又走了三十，哎，最后在 o a 停止下来，所以同学们，这两个边最终都在 o a 这个边 停止，而且重合，对吧？好，来，那么我们来看一下啊。呃，三十秒之后， o m 和 o n 能不能定大小呢？三十秒的时候来，我们的 o m 在 这，那我的 o n 呢？比如说已经走到这个地方了啊，已经走了一段时间了哈，好，这个时候呢，它的速度为六， 它的速度为三，对吧？那它要快一些，它要慢一些，哎，有没有可能追上它呢？哎， 哎，我们分析下啊，对啊，中途有没有可能追上他？刚才我们已经分析了哈，最后两个边重合，他要追上，他又应该在一个在 o a 边最终位置才是重合的，所以中间的时候 o m 和 o n 是 没有重合的，那么 o m 呢？都在 o n 的 右边，那在右边说明什么？ o m 始终比我们的 o n 要什么要大啊，它什么它要什么？它要小一些， o m 呢？始终在右边，它要大一些，对吧？最后刚好在 o a 重合， 哎，结束，对吧？哎，刚好追上的时候它就结束了。所以呢，这边我们可以盘成大小， o m 比 o n 要大一些啊，三百六 减六 t 大 减小减去一百八，再加上三 t 就 代表一百八，哎，再减去 三 t， 对 吧？啊，出来了，好，接下来我们去什么立方整就可以了。那么这里面 b o n 等于二倍的，它一样的三 t 就 等于二倍的一百八，再减去三 t 来就是三 t 等于三百六，再减去 六 t， 九 t 等于三百六 t 就 等于四十。哎，刚好在里面的。所以综上所述，这道题有 三个答案，四十啊，二十四，七分之一百二。这道折返跑的角度动态问题，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路。

动脚问题，射线旋转真的难倒了我们太多孩子了，其实这种问题解析是有技巧的，咱们把解析的三要素四步曲掌握，所有的动脚问题按照这个方法都能拿满分。 那有关于动脚问题啊，这里常考有五大压轴题型，老师都给大家总结出来了，如果孩子啊，做压轴题还经常没有思路，拿不到满分，那对应我们一定要把它打印出来，分题型进行练习， 带着孩子把对应动角问题旋转的本质学会，这种题咱们是轻松拿下的啊！下面咱们就借着这道题，带着大家一起说一下动角问题通用的解析技巧来这里说， a o b 等于一百二十度，这是一百二十度， o c 从 o a 开始绕着点 o 逆时针旋转啊， o c 是 这么转过来的对不对？每分钟转二十度， t 时间不就转这么大的角度吗？ o d 从 o b 开始绕点 o 逆时针旋转， 速度为每分钟五度， t 时间不就转动这么大的角度吗？那 o c 和 o d 同时旋转，设时间为 t， t 在 这个范围内 t 取和值的时候，两条射线是垂直的， 现在啊，它是一个射线旋转的问题，我想求它俩和时垂直，那我只需要求对应的这两条射线组成的角角 c o d 等于九十度不就完事了吗？ 那关键是怎么表示对应的角 c o d 呢？咱们来一起看，这里有一个小技巧，我可以把角度旋转的问题变成什么。 竖轴上动点的问题拍平了，用点的动态问题的方法来解决这道题目，也就是表示，你看动点问题怎么表示，是不是表示的是点运动 t 时间之后到达的位置？ 动角问题就表示对应的哦，射线运动 t 时间之后的位置，我以这条线为基础，假设它为那个竖轴上的圆点，哎，那对应这个数字，哎，字母不就是 a 吗， 对吧？然后接下来有一个动点 c 从 a 出发，哎，它的速度走的路程是不是就表示出来了， 对吧？同样这有一个 b 啊， a 和 b 之间差多少呢？是不是差一百二十啊？那 b 不 就是一百二十吗？哦，那这还有一个动点 d d 往这走，运动时间 和速度都有了，那距离不就有了吗？所以表示角不就是竖轴上表示两点间的距离吗？表示两点间的距离怎么表示啊？先表示点运动 t 时间之后的位置呗，对不对？所以其实这里面动射线 oc， 咱们就可以用零加二十 t 表示，因为这是正方向， 同样 o d， 咱们就可以用一百二十再加五 t 来表示。对应射线表示出来了，下一步表距离， 也就是表示对应这个角 c， o d， c， o d 怎么表示啊？由于这是一个追级问题啊，刚开始 c 在 d， 后面追，一会儿就追上了，所以 c 点和 d 点的大小位置关系是不确定的。对于这种点求距离，我们要用哪一句口诀啊？ 已知大减小还是未知差？绝对啊？未知差，绝对，所以我们直接用这两点表示的数作差加绝对值就可以表示距离了，就可以表示两条动射线之间的夹角了，也就是一百二十加上五 t 再减去二十 t， 哎，化简一下，不就是一百二十再减去十五 t 的 绝对值吗？我们想让这个夹角等于九十度，我们让它等于九十度，直接解这个绝对值，方程时间 t 不 就出来了吗？ 所以你看，把动角问题拍扁变成竖轴，动点问题一样的思路，三要素四不取，咱们就可以轻松求解。那这道题答案交给大家，请你来算一算最后的时间等于多少，把答案留在下面吧！

动脚问题一定是我们七年级上册期末必考的一类压轴题型，但是百分之九十五的同学都会在这一类题型上面白白丢分，那今天我们来用一道典型例题带大家搞清楚这一类题型。 我们来看题，若两条射线 o c、 o d 分 别以每秒六度，每秒两度的速度呢？同时从射线点 o 顺时针旋转，当 o c 与 o d 第一次重合的时候，停止旋转射，旋转时间为 t 秒。问，当 t 为何值时， 射线 o c 垂直于 o d？ 那 解这一类题目呢？我要怎么做呢？首先第一步就是把题目中的几个动角给它表示出来。我们知道题目中的两条动射线，一个是 o c， 一个是 o d， 所以 说它们的这个角 a o c 和这个角 a o d 也会随着他们射线的运动角度在变化。那我们这里就给他们来用代数式表示一下这两个角。首先一个是角 a o c， 那 我们知道这个角度它是等于时间乘以它的这个速度，那它的时间是 t， 那 o c 的 这个速度呢？是每秒六度，所以角 a o c 的 这个角度应该是等于六 t 度。那这里还有一个角 a o d， 角 a o d 的 时间也是 t， 那 它的速度则是每秒两度，所以角 a o d 应该等于二 t 度。 好，那我们再把这样的动角表示完后，我们接下来来看下一个。那题目中的这个条件是问说当 t 为和值时，射线 o c 垂直于 o d， 也就是说他要让图中的这角 c o d 等于九十度， 那这里我们就要来考虑一下角 c o d 可以 用哪两个角相加或相减得到的，那这里我们就要进行分类讨论。先来说一下 第一种情况，就是角 c、 o d 等于角 a o c 减去角 a、 o d 也是用这个角减去这个角得到的。那我们上面就说角 o c 等于六 t 度减去角 a、 o d 是 二 t 度， 那我们得到的他这边是等于九十度，那我们就可以解得 t 的 值就为二十二点五，所以这就是第一种情况。但是这里重点来了，很多同学考虑不到第二种情况，那第二种情况是什么呢？我们来说一下 这里的话，它说 c， 它速度比较快，所以说它会比 d 更快的先旋转一圈，也就是说它在某一段时间内，它的这个 o c 射线会在 o d 的 后面，那此时角 a、 o c 又该怎么表示呢？ 那我们知道它的这角度运动，运动的这角度呢？是六 t 度，那当它旋转一圈后，那是不是就要用六 t 度减去三百六十度？所以在这段时间内，角 a、 o c 的 角度就是等于六 t 度减去三百六十度。 好，那我再来说一下第二种情况，那第二种情况就是角 c、 o d 等于角 a o d 减去角 a、 o c 也是我们第二幅图中所展现的这种情况。好，那此时 a o d 表示的这个代数式呢？依然是不变的是二 t 度 减去六 t 度减三百六十度的差，那我们解一下，它是等于九十度，那这里解得 t 等于六十七点五。好，那就是第二个答案。但注意这还有一个易错点， 我们来看一下，他说当 o c 与 o d 第一次重合时，就停止旋转，所以这里的一个易错点就是我们要去求一下什么时候 o c 与 o d 第一次重合，并且停止旋转，看一下这样的值是不是在这范围内。那我们来看一下， 那由于 oc 他 是运动的比较快，所以当他们两个重合的时候，也就意味着 oc 的 运动角度比 o d 要多三百六十度，所以这里就是用三百六十度去除以他们的这个速度差，速度差是六度减二度， 那我们解得的话就是等于九十秒，也是 t 等于九十的时候，他们是停止旋转，那我们现在来看一下这两只数值是否在九十以内，我们发现是不是都刚好在九十以内，所以这两个答案都是正确的， 答案就是 t 等于二十二点五或六十七点五，这一类动角问题我们就解决了。怎么样这一类经典的动角问题你学会了吗？

我们来总结下具体与动点问题的相似之处。首先我们来表示下这些点的初识的度数，这是第一步。第二步我们来表示一下他们的动起来的坐标。第三步，我们根据题目的要求来列方程解决问题。 ready go！ 初一数学必考的问题之一就是动角问题，尤其是涉及到角平分线的动角问题，更是天花板级别的难度，百分之九十以上的孩子只能望而却步，拿不到分。 今天我们来以这样一道动角问题为例，来解释一下怎么用三步法来解决动角问题。如图，角 a o b 等于二十度，角 a o c 等于九十度，角 a o d 等于一百二十度。通过这个条件我们迅速的可以得到角， a o b 等于二十度，角 b o c 等于七十度，角， c o d 的 度数等于三十度。 好，第一步可以根据题目的已知条件得出这些小角的角度。接下来它告诉我们这个射线 o b 绕着 o 点每秒十度逆时针旋转，我们可以标在图上，每秒十度逆时针旋转。好， oc 以每秒二十度顺时针旋转， o d 以每秒三十度顺时针旋转。这样子我们就可以把这个射线 o b， o c 和 o d 的 运动的方向以及它的速度标在旁边。很多同学啊，做到这一步就不同下手了，那么我们怎么来解决这个问题呢？ 我们可以把动点问题搬到动角问题来，一点二线三方程。好，那我们现在来看一下怎么把动点问题和动角问题融合到一块呢？首先我们可以把 o d 看作零度啊，顺时针方向为正方向，我们把 o d 当做零度， o c 就是 三十度， o b 就是 一百度， o a 就是 一百二十度。同时我们也可以把 o a 的 反向延长线给它标出来，也就是 o e 等于负六十度，因为这个地方它是六十度，当我们知道了他们的度数的时候，就相当于我们在动点问题里面知道他们的初矢坐标， 那么根据他们的运动方向以及运动的速度，我们就可以表示这些线段的度数。那么我们来表示一下 o d， o d 可以 表示为零加上三十 t， 其中这个零是它的初十度数，这个三十是因为它的速度是三十，而且是顺时针，所以我们用加三十 t， 那 么我们可以继续表示 o c 三十度加上二十 t 以及 o b， 一 百度减十 t， 大家一定要注意这个 o b， 因为它的方向是逆时针，所以我们用减十 t， 这个和我们动点问题里面左减右加是一样的，在动角问题里面，只要是和我们规定的方向是相同的，我们就用加，与我们规定方向不同，我们就用减。题目说，当一条射线与直线 o a 重合的时候，三条射线都停止运动啊，为什么我们要把 o e 表示出来呢？ 因为 o e 是 直线 o a 的 一部分，通过这个信息啊，我们就可以求出 t 的 范围，最后我们求出来 t 的 范围应该是 t 大 于零，小于等于四秒， 做到这里我们就成功的把这些线段表示出来了，我们来看看题目让我们求什么？题目问，我们运动到几秒的时候，一条射线是另外两条射线的角平分线，大家来看一下， o d 为零度， o b 为一百度，大家想想他们的角平分线 是多少度呢？应该很容易应该知道是五十度，大家可以把这个和钟点公式来类比，所以我们可以得到一个角的角平分线，它的度数是它的两边角的度数和的一半。那么运用这个公式，我们可以对这题进行分类讨论。 第一种情况，我们可以讨论 o d 为角平分线，那么我们就可以得到 o b， 加上 oc 再除以二就等于 o d， 这样的话我们可以求到 t 等于五分之十三秒。第二种情况，我们可以讨论 o b 为角平分线，那么我们就可以得到 o d， 加上 oc 除以二就等于 o b， 从而我们可以求到 t 等于七分之十七秒。 好，我们来看一下最后一个，当 o c 为角平分线，那么我们就可以得到 o d， 加上 o b 除以二就等于 o c， 所以我们可以得到 t 等于两秒。那么这题我们就可以得到三个答案， t 等于两秒，七分之十七秒和五分之十三秒。那么这样一道题目我们就结束了。我们来总结下这题与动点问题的相似之处。首先我们来表示下这些点的初使的度数，这是第一步。第二步我们来表示一下他们的动起来的坐标。 第三步，我们根据题目的要求来列方程解决问题，所以动点问题和动角问题我们可以统一归纳为一点，二线三方程。如果你会了，请在弹幕处打出六六六，关注习老师带你学习更多有趣的数学！

角度计算中的少而不成问题，一定是我们七年级上册新课常考的一类压轴题型，很多同学不知道这一类题型要怎么做，今天呢，我们来用一道典型的压轴题型来教大家如何做这类题型。我们来看这道题， 将一副直角三角板，直角顶点 c 叠放在一起看，是这种图，一角 d、 c 以等于三十三度，角 b、 d、 c 等于多少度？角 a、 c、 b 等于多少度？那我们先来看一下这第一题，他告诉我们说角 d、 c 以也就是这是角为 三十三度，然后这里是问说角 b、 c、 d， 也就是说这个角为多少度，那这里他说直角顶点 c 叠放在一起，其实就隐含了一个条件，就是说这里在图中角 b、 c、 e 等于九十度，这个角它为九十度。那这个角是用哪两只角组成的呢？没错，我们知道角 b、 c、 e， 它是由角 d、 c、 e 和角 b、 c、 d 组成的。那 d、 c 一， 我们刚才已经说了它是多少度？三十三度，所以就是等于三十三度。加上角 b、 c、 d， 所以 说我们就可以得到角 b、 c、 d 的 度数，就是等于五十七度。那这就是我们低空的答案，五十七度。 好，现在我们来看一下下一个他会说角 a、 c、 b 等于多少度？那角 a、 c、 b 在 哪？是不是这个角，那角 a、 c、 b 等于多少度呢？这里我们来看一下。如果我用角 a、 c、 d 和再加上角 b、 c、 e 相加在一起，我们来看 角 a、 c、 e 是 不是算了一遍，对吧？角 b、 c、 d 是 不是也只算一遍？但是中间的角 d、 c、 e 由于重叠在一起，所以我们在相加时候就会重复算两遍，所以这里的话，如果我们用 这两个直角相加在一起，就需要再减去中间的这个角，所以说我们就可以得到角 a、 c、 b 就 等于两个九十度相加，然后再减去中间的三十三度，那我们算一下，一百八十度减去三十三度， 那么等于多少呢？没错，等于一百四十七度，所以第二种答案就是一百四十七度。好，现在我们来看一下下一道题。图二，若两个同样的直角三角板六十度 锐角的顶点 a 重合在一起来看，是这个，然后呢，则角 b、 a、 b 与角 d、 a、 e 的 数量关系是多少？我们来看 d、 a、 b、 d、 a、 b 是 这角，对吧？那 c、 a、 e、 c、 a、 e 的 话是这角，那它们数量关系是多少呢？这里的话，我们不妨就设中间这角 c、 e 为 r 法度。 然后来看一下角 d、 a、 b 是 用哪几部分组成呢？因为角 e、 a、 c 等于 r 法度，并且它们是什么？两个同样只有三角板六十度锐角顶点重合在一起，也就意味着说在这里面角 b、 a 移和角 d、 a、 c 长着它们是都是六十度的，那这里就可以得到角 d、 a 移就等于这个六十度减去这儿法度。在那这里角 c、 b 也是一样的，等于六十度减去 r 法度。 那题目中问的是说角 d、 a、 b 与角三一的数量关系是多少？那角 d、 a、 b 它是由这三个角组成的，那上面这两个角它们的和是等于六十度减而法度加上六十度 减而法度，然后再加上而法度，那等于多少？很明显，那这里的话是等于一百二十度减去而法度， 其中角 c、 a、 e， 它是，我们是用 r 法度来表示，所以这里如果我们将这两个角夹相加在一起，那这里这个角的话，它是角 d a、 b， 我 们标下 等于一百二十度减 r 法度，那这里角 d a、 b 加上角 c a 一， 我就会发现这里一百二十度减 r 法度，再加上 r 法度， r 法度会抵消掉，所以就剩下一个一百二十度可以得到答案，这里 角 d a、 b 加角 c a 一 的和为一百二十度，那接着就是我们本道题目的答案，这道题我们就解决了怎么样这一类角度计算的适而不求问题你学会了吗？

射线引入问题一定是我们七年级上册经络常考的一类压轴题，那么今天我们来看一道经典的射线引入压轴真题。 我们来看题，已知点 o 在 直线 e、 f 上，点 a、 b 与点 c、 d 分 别在直线 e、 f 的 两侧，并且角 a、 o、 b 等于七十度，角 c、 o、 d 等于一百二十度，那这里我们先把这样的条件给它标一下， 这个是为七十度，角 c、 o、 d 是 一百二十度。好，我们来看一下问题。问题是如这个图，若两倍的角 l、 e 减去角 e、 o、 c 等于一百零五度，在角 b、 o、 d 的 内部做一条射线 o m， 若角 b o m 比角 d o m 等于二比三，直接写出角 f、 o、 m 分 之角 a、 o、 e 的 值是多少？ 那这道题目我们讲的一个方法叫做设而不求，只要我们用对这方法，用代入式去表示图中的这些角的话，这道题目就能迎刃而解。那这道题目我们要怎么用设而不求来解呢？其实它核心突破点就在于我们给出的这个 关系式上。我们来看它这关系式说两倍的角 a、 o e 减角 e、 o、 c 等于一百零五度，那这里的话，我们不妨就设角 a、 o、 e 等于 x 度， 那如果角 a、 o、 e 等于 x 度的话，那这个我们来算一下，那我们就可以得到角 e、 o、 c 的 度数就应该是等于二 x 减一百零五度。好，那我们这里把这两个角度给它标到图中。 好，我们来看一下下面他说在角 b、 o、 d 的 内部做一条射线 o m， 注意这里是内部，我们把这关键词给它画出来一下，加出来内部，那是不是就说明说这 o m 不 可能跑到角 b o d 这外面去，所以就是排除了其他情况， 那这里我们来猜测下 o m 可能是不是在这地方，我们等一下划一下也比较好算那些代数式。然后呢他说角 b o m 比角 d o m 等于二比三，那这里我们同样的要用代数式来表示一下这样的角，那这里我们这样的角要怎么表示？我们知道角 b o m 加上角 b o m 是 不是就等于角 b o d， 那 角 b o d 又等于多少呢？很明显直接用三百六十度减去我们外面得到的这四个角就可以了， 我们得到角 b o d 最终结果是等于二百七十五度减去三 s 度。后面说角 b o m 比角 b o m 等于二比三，那也就是说角 b o m 是 角 b o d 的 二加三分之二，也就是五分之二，而角 d o m 是 二加三分之三，也就是五分之三，那我们现在分别用五分之二 和五分之三去乘上这个代数式，那是不是就可以得到角 b o m 和 d o m 了？那我们是不是就得到了角 b o m 和 d o m 这两个代数式，对吧？那我们现在来看一下，最后的话是要让我们求角 f o m 分 之角 a o e 是 多少，那角 a o e 我 们这里已经设好的是 x 度，所以我们现在就要去求一下角 f o m 用代数式来怎么表示。 我们来看一下角 f o m 是 不是等式的样子，那我们来看一下它由哪两个角相加或相减而成，那我们知道它其实可以看成是由角 b o f 减去角 b o m 得到的， 那所以这里我们角 b o m 是 不是已经写出来了？是多少？一百一十度减去一点二 x 度，所以现在我们只要去求一下角 b o、 f 它等于多少度就行了。那我们来看一下上面它题目说是点 o 在 直线 e f 上面，是不是也就能说明说角 e、 o、 f 是 等于一百八十度？ 那我们用一百八十度减去七十度和 x 度，是不是就能表示出角 b o、 f 了？那我们写一下。好，那我们接下来就用角 b o、 f 减去角 b o m， 我 们是不是可以得到了？那我们也写一下， 那我们得到角 f o m 是 等于零点二 x 度，那我们这里直接把两个角的代数数给它带进去就可以得到角 a o e 除以角 f o m 等于 x 度，除以零点二 x 度，那我们就可以得到它值是不是就是五？所以本道题目的答案就是五。我们利用设而不求这种核心方法就解决了这道题。怎么样这类设限引入问题，用设而不求方法来解决，你学会了吗？

期上期末最坑的压轴题来了，动脚加新定义，去年这道题的正确率不足百分之十，不要着急，今天王老师带大家彻底搞懂这道题。 如图，射线 o c 在 角 a o b 的 内部，图中共有三个角，角 a o b、 角 a o c 和角 b o c。 若其中一个角的度数是另外一个角度数的两倍，则称 o c 是 角 a o b 的 巧分线。 其实这道题呢，不光是动角，也是一道新定义题。先看第一，问一个角的平分线是不是这个角的巧分线？ 来，我们先一起把巧分线的定义搞清楚。首先，这条射线要在角 aob 的 内部。 其次呢，它分成的这三个角 aob、 aoc 和 boc， 其中一个角的度数得是另外一个角度数的二倍。 好，老师用红色这条线代表射线 o c， 如果它刚好是这个角 a o b 的 角平分线的话，那这个时候是不是角 a o b 就 等于二倍的角 a o c 了， 同样也等于二倍的角 b o c 了？所以说，大家说这个角的角平分线是不是这个角的巧分线呀？那当然是了， 那除了这种情况，大家想这个 o c 还可能在哪个位置呀？对，你让 o c， 比如说稍微靠上一点。哎，在这里，这个时候它分的两个小角，一个是角 b o c， 一个是角 a o c。 如果我们让这个角 b o c 是 角 a o c 的 二倍，是不是也可以呀？ 好，那你想 b o c 是 a o c 的 二倍，那这个时候是不是相当于 o c 把这个大角 a o b 分 成了三份儿，下边儿是两份儿，上边儿是一份儿。那你说这个时候 o c 是 什么线呀？ 对，它就是这个大角的三等分线，那它在比较靠近 o b 的 这个方向，是不是也可以呀？ 这个时候 o c 把这个大角 a o b 分 成了两个角。哎，上边这个角大一点， a o c 等于二倍的 b， o c 是 不是也是满足要求的？因为一个角本身它的三等分线就是有两条的。 好，来，我们把角分线的定义现在搞清楚了，其实就是这个角的两种线，一种是角平分线，一种是什么呀？对，三等分线。好，那第一问，我们填的肯定是是了。 好，再来看第二问。现在一个角 m p n， 它的度数我们记为二法， p q 是 角 m p n 的 巧分线，则 m p q 等于多少度，用含阿尔法的代数式来表示。 好，我们根据巧分线的定义，其实这个巧分线就两种情况，一种是这个角的平分线，另一种是这个角的三等分线。 好，如果 p q 是 角， m p n 的 角平分线的时候，大家看这个时候 m p q i， 它是不是就等于整个大角的多少呀？ 对，一半了，那我们表示出来，也就是二分之二法。除了这种情况， p q 还可以是这个大角的三等分线。 那这个时候很明显是不两种情况，一种呢， p q 哎，可以靠近 pm 这一点，也就是它上面的三等分线 p q 呢？也可以靠近 p n 这一点。哦，这是它下面的三等分线， 如果 p q 靠近 pm 的 话。好，那这个角就等于整个大角的多少？对，整个大角是阿尔法，那它是不是就等于三分之阿尔法呀？ 那如果 p q 比较靠近下边的这条线 p n 的 话，整个大角是等于阿尔法的，它是不是就等于三分之二阿尔法了？ 好，这是第二问。我们接着再来看第三问，若 m p n 等于六十度，好，这个角是等于六十度的。 现在射线 p q 绕点 p， 从 p n 的 位置开始，以每秒十度的速度逆时针旋转。 好，它是逆时针旋转。哎，这样子旋转速度呢？是十度每秒， 当 p q 与 p n 乘一百八十度时停止旋转，旋转的时间为 t 秒。除了它转，还有谁转呢？另外一条射线 pm 也在转， a pm 在 这里， 它呢也是逆时针旋转，它的速度是五度每秒，并与 p q 同时停止。请求出 p q 是 角 m p n 巧分线时 t 的 值。好，大家不要着急，来，我们一起来看一看。 什么时候 p q 是 角 m p n 的 巧分线呢？对，结合我们前两问， 它是不是就这三种情况呀？要不然等于整个角的一半，要不然等于整个角的三分之一，或等于整个角的三分之二，那我们给它写出来，也就是角 q p n， 要不然等于二分之一角 m p n。 或者说角 q p n 等于三分之一角 m p n。 或者角 q p n 等于三分之二倍的角 m p n。 就 这三种情况。 好，我们把三种情况捋清楚了，下边是不是只需要把这两个动角表示出来就行了？好，我们用上节课讲到的知识看这个角 q p n 怎么表示。我们把 p n 记成刚开始的零点， 那它的速度是十度每秒，时间是 t， 那 q p n 这个角度是不是就是十 t 了？ 哎，再来看角 m p n， 角 m p n， 大家想，它并不是从 p n 这个零点开始的，它是从哪开始运动的？对，它本身，你看它就是从 p m 这开始运动的， 而 mpn 本身就是六十度，相当于他就是从六十度开始的。好，哎，大家来看，随着他的运动，就相当于在这个六十度的基础上，哎，增加了这一块的角， 而这个角怎么表示呢？非常明显，他的速度是五，时间是 t， 那 是不是就是六十度加上五 t 了？ 好，这是一个非常简单的方程，我们解出来 t 是 等于四的。好，这个会了，我们再看下一种情况是不是就更简单了，左边还是十 t， 右边只需要把二分之一换成多少了。三分之一，好，里边还是六十度加五 t， 这个时候 t 解出来是等于五分之十二的。最后一种情况，十 t 就 等于三分之二倍的六十度加五 t， 好，这个时候解出来 t 是 等于六的。所以最终我们再总结一下，也就是当 t 等于四秒、五分之十二秒或六秒时，这个时候射线 p q 刚好是角 m p n 的 巧分线。 好，同学们，这道题听懂了吗？是不是很简单？你只要把题中的这个意思理解清楚，我们按照他给的这个新定义，巧分线比葫芦画瓢，你把这些角的关系找到， 但是有一点很重要，就是我们一定要会把这个动角给表示出来，然后再把表示的角带入相应的等量关系，一个简单的方程就能解决问题了。 好，同学们，这道题都听明白了吗？更多压轴好题就在七上拔高专题课！

小问题一定是拉开孩子期末考差距的题目，今天清南老师带着大家继续用我们在上期视频讲过的那种思路来解决一道高难度的题，一起来读下题。如图，角 a、 o、 b 是 一百一十度 三角形， c、 o、 d 是 一块含三十度角的三角板，与 a、 o、 b 呢，摆在同一个平面里，且三十度角的顶点与角 a、 o、 b 的 顶点 o 是 重叠的，边 o、 c 与边 o、 b 重合， o e。 平分角 a、 o、 c 和 o f 平分角 b、 o、 d。 在 强调了本题中的角均大于零度，且小于一百八十度。注意边 o、 c 和 o、 b 重合了， 三角板的另一边 o、 d 是 吧？ o、 d 是 在角 a、 o、 b 的 外部，那这时候求角 e、 o、 f 的 度数，我们标一下， o、 e 平分是角 a、 o c o f 平分角 b、 o、 d。 两个角相等，我们看一下，角 e、 o、 f。 邻角 e、 o、 c 加上角 b o、 f b o c 等于二分之一的角 a、 o b。 而 b o、 f 呢，是等于角 b、 o、 d 的 一半系数呢？ c 和 o b 呢，是重合的，所以它就可以等于二分之一的括号。角 a、 o、 b 加上角 b、 o、 d， 质数呢，就是角 i、 o、 d 的 大小。我们看一下， i、 o b 是 一百一十度，那下面这个 c、 o、 d 呢？三十度角，这个就等于二分之一，括号一百一十度， 加上三十度时间就等于七十度。好，我们重点研究一下。第二问，图二把三角板绕点 o， 逆时针选上 r 法度， 角 b、 o、 z 就 等于 r 法，指的就是它的旋转角，这个旋转的角度是零度，小于 r 法小于一百四十度。我们简单的先分析一下啊，所以从 o、 b 开始旋转，那它要旋转一百一十度呢？ y 重合了，它要旋转接近一百四十度，应该跑到转到 o i 的 左边去了， 那这时候你的 o d 看一下啊， o d 在 转的时候，它是先和 o b 重合的吧，到以后，然后它要旋转接近一百四度，那就是无限接近于 o i 这个位置。下面他说探求三角板在旋转过程当中，角 e、 o f 的 大小是否发生改变，若有改变呢， 请直接用含阿尔法的式子呢，表示角 u f， 如果不改变，请直接求出定值 u f 的 度数。像这样的含有角平分线的动角的问题，他只要问的这个角含有角平分线了，还有 o e 或者 o f， 那 我们一定要去分析 被平分的那个角，那你这地方他问的是 o e 和 o f 角平分线形成的夹角，那至此 被平分的那两个角 a， o c 和有呢？ b， o d， 我 们都要去分析他的情况。第一步是找到目标角，那这时候呢，首先这个目标角就是被平分的这两个角。 由于我讲的动脚问题都是按照这条视频讲透，所有动脚问题按照这个视频里面解析的底层逻辑来进行分析的，所以大家一定要先去看这个视频，因为在这个视频里面，我们把脚分成了单边运动，还有双边运动两种情况， 对每一个运动里面呢，分析的非常的详细，你只有听了这个视频来听今天的讲解，你才会更有收益。很多家长都是 看到讲洞讲的问题还挺有难度，抓紧时间收藏起来，给孩子看一看。实际上这样呢，没什么效果，因为难题是讲不完的，你需要掌握的是解决难题的方法， 所以建议大家一定要先去听这篇视频，然后再听今天的课，才会有收获。 第二步是判断动角的类型，我们先来研究一下角 ioc。 好， ioc 看一下， o i 是 一条固定的射线， o c 是 一条运动的射线，它是逆时针运动，从 ob 开始。那这就是我们讲过的什么呀？边运动的角 o c 的 转动的时候，从 o b 开始，一开始在角 i o b 内部转动，那第二种情况，他就是在 o i 的 左边， 就转动到这个位置去。下面呢，我们又对每一种情况呢，含阿尔法的式子来表示，这个角 i o c。 我 们看一下第一种情况，当零度小于阿尔法小于等于一百一十度的时候，那这时候这个角 i o c 如何进行表示？我们先来看一下 b o c。 角 b o c 是 oc 转动形成的角，那这个角的度数就是阿尔法，而角 a o b 它是固定不变的，是一百一十度，那很明显，角 a、 o c 就 等于一百一十度，减去阿尔法。第二种情况，当他转到 o y 的 左边的时候，也就是旋转角度已经大于一百一，而小于一百四十度左右， 那这个角 a o c 我 们看一下，它就等于角 b o c。 角 b o c 实际上就是算法 旋转的角度啊，角 a o b 不 变的，它还是一百一十度，所以这时候角 a、 o c 就 等于算法减去角 a o b， 就 得减掉 一百一十度。下面我们研究一下角 b、 o d 的 运动状态呢？两种情况，一个是在 o b 的 下方，第二种情况呢，它是旋转到角 a、 o b 的 内部， 下面我们对每一种情况呢，用含二法的式子来进行表示。先来看第一种情况，当它的旋转角度小于二法小于等于三十度的时候，在这地方呢，增加了一条视线， o q o q 呢，它是 o d 的 起始位置，这时候角 b o d， 我 们看一下 b o q 它的奇数位置形成的角，是啊，三十度角 b o d 是 等于角 b o q， 减去角 d o q， d o q 是 什么呀？ b o d。 旋转形成的角度，那就是 r， 所以 这时候呢，三十度减去 r， 那第二种情况，它转动到角 l b 的 内部去了，那这时我们看一下角 b o d， 角 b o d 就 等于角 b o q， 那 这是它旋转的角，就是 r。 减去角 b o q， b o q 呢，是三十度角。好的。那第二种情况，当 旋转度数大于三十度小于四十度，一百四十度左右，这是阿尔法减去三十度。好了，我们提前对每一种情况的 角 b o d 和角 b o c 是 吧，都用含阿尔法式进行的表示。 b o、 c 是 分了两种情况进行讨论。如果我们画一个关于角度的这个轴， 他的是零度到一百四十度，中间呢，有一个一百一十度进行的讨论。角 b、 o、 d 呢，也是分了两种情况，他也是零到一百四十度，那中间呢，是在三十度进行的讨论。由于这一道题呢是这两个角呢都要进行分析， 所以我们可以呢把这个关于角度的轴给它划在一起，那就是零到三十度，三十到一百一十度，一百一十度到一百四十度。我们大致呢要分成三种情况呢，从讨论我们来看一下。第一种情况，当 零度小于二十八，小于三十度的时候，那这时候 o d 在 o b 的 下方。第一种情况，那这时候角 e、 o f 实际上就等于 e o c 加上角 b o c， 再加上角 b o f。 角 e o f 等于角 o c 加上角 b o c 加上角 b o f。 角 e o c， 它就等于二分之一角 i o c 呢是 o c 转动的角就是二， 加上角 b o f 是 二分之一的角 b o d。 二分之一的角 i o c， 那 就是 二分之一括号一百一十度，减去 r， 加上 r， 加上二分之一 b o d， 这个是三十度，减去 r， 我 们去掉括号是五十五度，减去二分之一 r， 再加上 r， 加上十五度， 减去二分之一二。好了，我们看一下，这地方有负二分之一二法，加上负二分之一二法，正好做负二法和这个二法底斜掉了，那加五十五度，加上十五度，那就是 七十度。下面我来分析下第二种情况，那是三十度小于二法，二法小于等于一百一十度做， 那指数呢？ o d 正好在角 a o b 的 内部，那角 e、 o f 就 等于角，还是角 e o c 是 吧？加上角 c o d， 再加上角 d o f。 角 e o f 等于角 e o c 加上角 d o f o c 仍然是二分之一的角 i o c 加上角 c o d c o d 都很好判断的，就是三十度角的加上二分之一的角 b o d 等于啊，代入就可以了。二分之一括号，一百一十度减二法， 加上三十度，加上二分之一括号，这测大于三十度了，应该是二法减去三十度去括号，五十五度减去二分之二法， 加上三十度，加上二分之一 r 减去十五度。好，来我们看一下这个负二分的 r 法和一个后面呢二分之一 r 法抵消掉了， 那就是五十五度减去十五度，这样四十度加上三十度还是七十度。第三种情况，当一百一十度小于 r， r 法小于 一百四十度的时候，这时候 o c 在 我的左边， o d 仍然是在里面的，对吧？在 ob 角， ob 内部的，那我们看一下孩子求角 e o f e o f。 就 等于角 i o e 加上角 i o d， 再加上角 d o f。 写一下角 e o f， i o e。 实际上还是角 i o c 的 一半，我们直接写角 i o c 的 一半， 再加上角 i o d， 加上二分之一的角，因为角 d o f 就是 角 b o d 的 一半，我们看一下这是角 i o c 就是阿尔法减去一百一十度，加上角 i o d。 那 我们来看一下 i o d。 怎么去表示，你在表示动角的时候呢？思路都是一样的，你要去判断它是单边动还是双边动，那很明显 i o d 是 什么样的 单边洞的角，我们看一下 o d 是 从哪地方开始走的，他是从 o b 的 下方这个位置三十度的夹角这个位置开始走的，走到以后，这时候呢，碰到这个位置，那你在表示时候呢？一定要先找什么呀？其时角度，那你想想其时角度， 假如这地方是咱们用 q 来进行表示啊，这个其时角度是怎样？是 i o q， 看到没有？这角 i o q 减去角 d o q， i o q 是 多少度呢？ i o q 就是 一百一十度，加上下面这个三十度角这一百四十度减去角 d o q d o q 呢？就是 o d。 旋转的角，那就是阿尔法加上二分之一的符号，阿尔法减去三十度，等于二分之一，阿尔法减去五十五度，加上一百四十度，减阿尔法加上 二分之一。啊，减去十五度，我们给他化简一下，这个二分之一二法和这个加上后面二分之二是二法，减去二法就没了，那下面是一百四十度减去 七十度还是七十度，所以这个角 euf 呢？实际上是一个固定的角的度数，就是七十度角。那咱们分析完这个问题后，大家你想一想，像关于动角的问题，观念在于分类讨论，你在分类的时候呢，如果这个角是 有速度的角，一般我们讨论的都是对时间进行分段，像这一题呢，您透出他没有速度， 他只是告诉了旋转的角度，那这时候我们就讨论讨论角度，对角度来进行分类讨论。好的同学们，如果你能听懂的话，请在评论区回复六六六。