八年级上册数学几何辅助线冀教版

每天结束节课， hello 同学，今天继续学习十二点五分式方程的应用。 简单回忆一下我们解应用题的一个一般步骤。第一步，先干嘛？题目审好。审好题目要求让我们干嘛？求什么？找出已知的量和未知量，根据已知量，未知量找好等量关系，然后设设未知量 列，根据等量关系列方程解，解完以后记得检验，写上我们标准的作答。那列分式方程要怎么去做？其实整体上和刚刚的一元一次方程大差不差， 仍然审题，设未知数，根据等量关系列分式方程，然后解，检验，最后做答来。简单看下我们的题目。 某文教店老板到批发市场选购 a、 b 两种品牌的绘图工具套装，每套 a 品牌套套装比 b 品牌每套套装进价多二。那这就是我们的第一个关系式。已知用二百元购进 a、 b， a 种套装数量和用一百五十元购进 b 种套装数量相同，这就是我们第二个关系式。根据这两个关系式去求解 a、 b 的进价哦。选好题了两个条件，然后关系能写出来，它们的数量是相同的，所以我们可以用数量去列式。 a 花了多少钱？二百元除以 a 的 进价等于一百五，除以 b 的 进价， 我们不妨就设 a 的 进价为 x 元， b 的 进价是 s， 减二点五元，然后去把这个方程列出来， x 分 之二百等于 s 减二点五分之一百五十，解去括号，去分母是吧，然后解出来即可，一定记得检验。 所以说解 a 品牌套装每套进价十元， b 品牌的套装每套进价为七十五元， 这就是步骤，标准步骤。其中其中我们前面解析过程是不用写的，直接写解得即可计算过程，在草纸上写写即可了。有一排 有一并排电路，如图，两个电阻的阻值分别为 r 一 和 r 二，总电阻阻值为 r。 然后他说了，给了我们一个关系， 若已知 r 一 和 r 二，求出 r 的 值，那咱这种题不要被它表面现象所迷惑。和 r 三个变量啊，看似三个变量，其实人家告诉我们 r 一 和 r 二是两个固定的值， 那它就是已知的，那未知的就是 r， 给我们了一个关系，所以根据这个关系去做解这分式方程即可。同时乘上它们的自减公分母，然后变成整式化简， r 一 乘 r 二，等于 r 乘上 r 一 加 r 二，所以消过来，消过来 看下。第三个，七一班、七二班两班的师生前往郊区参加义务支书活动，已知七一班每天比七二班多种十棵树。第一个关系找到了， 有一个速度上的关系，如果分配给七一班和七二班的支书，任务分别是一百五十颗和一百二十颗，每天支出多少 才能同时完成任务？同时啊，同时，所以说他们时间是相同的。设呗，假设你看他这这七二班多重十棵树，那我不妨说七二班为 x， 那 另一个七一班就是 x 加十，然后他们的天数可以算一下，如果是七一班完成的话，那就是 一百五十克除以 x 加十天七二百完成，就是一百二十克除以 x 天，他们两个时间一样列完式了解出来即可。检验一定要记得检验好。再看一个我们的选择题，直列式子不拷图是唐朝画家颜立本的作品，如图呢，是他的局部画面， 其在装表前是一个边长五十四厘米，宽为二十七厘米的长方形。装表后宽长比是一十，一比二十，也就是说长度和宽度发生一些变化，自周边边框的宽度相等，那边框应该是多少？假设边框为 x， 那 我们怎么去列这个方程？看一下 正常去走长度，我给他把这图稍微画一下，是吧？再加上了边框，这个边框就在外边出来，对吧？这样种形式的，现在长画笔变了，所以长度加几个 x， 二 x， 对 吧？这是长度， 这是我们的宽度，都加二 x， 所以 五十四加二 x 除以二十七，就是长度比上宽度等于二十比十一。看好千别选上第一个、第二个。改造路的学校在改造过程中整修门 口三千米的道路，但是实际施工时求实际每天整修道路多少。在这个题目中，若设实际每天整修的道路是 x， 那 可以这样列，那我们这个省略号省省略的是什么条件？来分析一下。 他说若实际每天整修的是 x， x 减十，那那原来每天是是多少呢？对吧？所以咱再找出来原来的计划和现在计划的一个差比关系， x 米， 现在实际上是 x， 那 原来原来他现在减了一个十，减了一个十，那减了一个十的话，实际上的应该比原来的怎么样啊？多啊，多了一个十米，实际上比原来那多了， 也就说原来就是 s 减十米。然后他说原来的时间三千除以原来的时间减去三千除以现在的这个，这个等于十五，那就是原来的 时间会更多一些，对吧？所以应该是怎么样了？提前了，对吧？所以会选了，是吧？选第二个，好啊，分享好几课。利润问题，看一下。用三千元购进某商品，售完后，第二次购进时，每件商品 进价提高百分之二，然后同样的用三圈勾进的数量实践。那看下我们的这个式子怎么去？这个式子 我们啊，去设一下，设一下，原来这个进价是 x 元，那提高了百分之二十呢，就是一点二 x， 对 吧？好，现在 x， 那 咱进价进的会更多一些，三千除以 x， 这是我们现在的。呃，这，这，这是我们第一次的，这个进，进的这个商品的数量减去，现在进的商品数量还是三千，是一点二 x 了，等于 时间，对吧？挤出来，好，这是我们横速的，一个轮船在净水中横速，就是没有水流的时候，横速是固定的啊，三十千米每小时以最大横速也将顺流行驶九十千米速需时间和逆流横。 呃，逆着水流行六十千米速，需时间相等，求水速。那不妨说水速为 x 最大横速，这是我们在净水速度，所以顺水速度应该是三十加 x， 逆水速度就是三十减 x， 然后他说时间相看一下他们的距离，顺流航行九十千米，逆流千米，他们整体相等，算解出来就行了。咱看一下后面的。哎，学校组织了一次汉字打字比赛，阳光中队的小聪输入了一千个字的时间， 比小明输入一千两百次时间少了两分钟每分钟。打字之笔给我们了五比四射，小聪每分钟 打字五 x， 那 小明呢？就是四 x， 对 吧？所以看一下他们的时间，有时间少了两分钟，那咱就写呗，小葱用多少除以小葱的速度是吧？小葱的时间就加上两个，等于 一千二百除以小明的，对吧？四 x。 再看网店，用五千元购进了一批新品种草莓进行销，销售状况还冷。然后网店呢，又用一万一千元第二次购进这个品种草莓， 但第二次的进货价比试销时每千克多了零点五零点五元，然后第二次购进的数量是试销时的两倍。进货价是多少？共购进草莓多少？咱可以列一下例子啊，比方说， 他说每千克多了零点五元，那我不妨说第一次的进货价为 x， 是 吧？ 那第二写什么？区分一下，第二次就是 x 加零点五元，第二次的数量是公试销时的一的找一下 t， 二次的数量是一万一千元除以我们的进价， x 加零点五，它的数量是原来的二倍，等于原来的是五千 乘上除以 x 啊，五千除以 s， 再整体乘二即可。式子练完了，咱就即拓展类的甲乙两种茶具的套装，甲种茶具套装单价比乙种茶具少三十，那我可以说乙的单价是 x， 那 甲就是， 嗯，这个 x 减十啊， x 减三十，花了一千五购进的假的数量是花九百购进乙的二倍除以购假的，这是购买假的，它的这个数量是乙的二倍，乙的是九百 除以 x 整体乘二解开 s 等于一百五，经检验，是吧？是原分式方程的结，所以在这个呢，学习的是列分式方程的一个，一般大致分为以下几步，先审题， 审好题目，确定出已知量和未知量，然后去寻找等量关系。这个等量关系一般的题目条件会有两个，这两个光在处理的时候，一个用来设，一个用来 用来计算。然后第二步设未知数。第三步，根据等量关系去列分式方程。第四步，解分式方程一定要记检验啊，分式方程一定要记得检验是否是分式的根，是否符合题意，然后进行缩减即可。好，这就是我们这节课的一个基本内容。

每天一节数学课 hello， 各位同学，今天我们学习十三点二图形的全等，来看一下以下的几幅图片，它们这些图形有什么特点呢？左图和右图都是 完全相同的图形，对吧？一模一样是吧？好，这是我们的概念，能够完全重合的两个图形，叫做全等的图形。 来，举个例子吧，我们生活中比较常见的全等的图形的例子，比如说窗户玻璃是吧，还有咱那些栅栏门等等啊，课本是吧，蝴蝶啊等等，非常多啊， 同一张底片洗出相同尺寸的照片啊，给他复制了一个，对吧？来观察下图啊。观察下图， 稍等，从图中找出全等图形与同学交流啊。这个比较简单，咱就不再去过多表述了啊， 看一下这几个他为什么不是全段的图形。嗯，四和七虽然都是由四个黑色正方形呃，摆出来的，但是他们出现了什么问题啊？这个上面的图形位置不一样，五和十呢，大小不一样，对吧？ 所以说，注意好，我们必须要形状相同，而且怎么样大小也相同，是吧？不能重合的就不是全等的图形。全等图形的特征能够完全的重合啊。完全重合 来，试着用不同方法沿着网格线把正方形分成两个全等的图形，想怎么分就怎么分了，是吧？举个例子，比如说， 哎，我竖着来一下啊，左右它是可以的，对不？那？哎，我再再举个例子，比如说，这样呢，我横着 横着也可以，上下的也是可以重合的，再有我斜着来也可以，对吧？ 嗯，也是可以的，对吧？所以说很多啊，很多哎，我们看对比，看一下下面的几种划分方法是吧？ 竖着的啊，这种啊，也可以啊，各种各样的，其实都可以啊。 全等图形的两个重要的特点是形状大小要完全一样，这样的两个图形才可能会重合，可能重合了，它才会可能全等，对吧？ 好，看一下概念啊，那有一些三角形，那我们重点要学的是什么？是像这个全等的三角形。所以说，咱们把全等三角形概念展开，能够完全重合的两个三角形叫做全等的三角形。 两个全等三角形重合的时候，互相重合的顶点叫对应边，互相重合的角叫做对应角啊， 对应零点。 a 和 a 撇， b 和 b 撇， c 和 c 撇啊，对应的边啊，就是各个边了。 ab 对 应的就是 a 撇， b 撇啊。注意好， b 这个 bc 和对应的边就是 b 撇， c 撇。那 ac 呢？对应的边就是 a 撇， c 撇啊， 对角，角 a 与角 a 撇，角 b 与角 b 撇，角 c 与角 c 撇啊。看一下，任意剪出两个全等三角形，摆一摆它们的位置，使其符合下列图形，并指出它们的对应顶点、对应边以及对应角。看一下括号一啊，括号一， c、 o 的 对应边是 o、 d 对 吧？ o、 d 啊？ a、 c 的 对应边，咱这个第二个就不看了啊，它这个图没有给它印出来啊。角 a 的 对应角是角 b 是 吧？角 b 啊， 角 a 的 对应角。底下这个图了，就变成角 d 了， c、 o 的 对应边，那就变成 b、 o 了啊。 全等三角形怎么去表示呢？如果我们去写，哎，这两个三角形，全等是不是字太多了呀？所以我们换了一种写法啊，有一个符号叫做全等符号上面是一个啊， s 型是吧？下面是一个等号，表示等于啊等于。 所以对应点写的时候有一个要求啊，这两个三角形全等，那 a 的 对应点就是 a 撇， b 的 对应点就是 b 撇， c 的 对应点就是 c 撇，通过我们写的全等的顺序，可以直接去定位出来两个三角形。 这两三角形写的时候，呃，直接可能看出来什么，它对应边是吧？ ab 和 a 撇， b 撇， bc 对， 对应边就是 b 撇， c 撇啊，所以说我们写的时候一定要注意好这个问题，一定要按着对应顶点来写啊， 不然就不符合我们全等三角形的规范了。两个全等三角形位置变化了，对应边对应角大小是否会有变化呢？哎，看一下这两三角形， 那你说对应边会不会变长或变短呢？不会，对吧，因为他俩是既然能够完全重合，那一定会出现什么呢？他俩这两条边会完全重合上，不会说谁长谁短，对吧？所以说长度不会发生变化，角的大小其实同理啊，也不会发生变化的。 哥们总结一下，全等三角形的对应边相等，对应角也是相等的 应用，怎么去写啊？因为三角形 a、 b、 c 全等于三角形 d、 f、 e， 所以 写它们对应边 a、 b 等于 d f， ac 等于 d、 e 啊，这叫什么呢？全等三角形对应边相等 角 a， 所以呢，是吧？角 a 等于角 d， 角 b 等于角 f， 同理，角 c 等于角 e 啊，这叫全等三角形的对应角相等。 哎，能够完全，什么样的图形叫做全等图形呢？完全重合是吧？两个全等的三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角 全等。三角形的对应边相等，对应角也相等。既两个三角形全等时，要，呃，通常要把对应顶点的字母的写在什么呀？对应的位置上啊？ 例如，三角形 a、 b、 c 全等于三角形 d、 f、 e 对 应顶点分别是 a 对 着 d， b 对 f， c 对 e 是 吧？ 然后两三角形全等时，对应顶点所在的角是对应的角，对应的角所对的边就是对应边是吧？对应边所对的角是对应角。 看一下下面啊，找出下列图形中一对全等的三角形的对应边和对应角 一组就行，是吧？比如说， a、 c 的 对应边是 b、 d 对 应的角角 c、 o、 a 对 着 b、 o、 d 啊，这两三角形全等对应边 a、 d 对 a、 e 是 吧？角 c 对 角 b。 好，总结一下我们这节课的学习内容，寻找对应元素的规律啊。有公共边的公共边就是对应边，有公共角的公共角是对应角。有对顶角的对顶角是对应角。尤其是前两个，我们找什么？找公共的对吧？ 找公共的两个全等的三角形最大的边就是对应的边啊，可以根据它是它们的长度大小来 啊，最大边对大边，小边对小边也可以啊，或者根据角的这个大小来啊，角度最大的角肯定对着角度最大的角啊。

好的，各位同学，我们今天继续来讲解几何模型中的双外角平分线模型，我们讲过双内和内外，今天讲双外，那三者之间呢，是很相似的，那么今天呢，咱们来看一看双外角平分线是什么样的。首先我们来看这个图形啊， a， e、 f、 b， d 和 c、 d 分 别是两个外角的角平分线，把这个两个外角分成了两个阿尔法和两个 beta。 那 我们来回忆一下啊，回忆一下我们的 a 字模型 啊， a 字模型还记不记得是两外角之和等于一百八十度，加上顶角对不对？也就是角一加角二等于一百八十度加角 a， 好， 我们这个图形呢，我们用 a 字模型和三角形内角和两个模型来证明这个结论。首先我们来用 a 字模型证明，那角一在这个图形里边就是两个阿尔法， 二倍的阿尔法，那角二呢，就是两个贝特，哎，两个阿尔法加两个贝特等于多少？等于一百八十度，加上顶角角 a， 好， 那我们来看在这个三角形 b、 c、 d 当中， 哎， b， c、 d 当中又存在一个阿尔法加贝特等于加角 d 啊，加上角 d 等于一百八十度。 好，我们给了两个式子，标上一式和二式，我们把二式呢乘以二，乘以二以后，我们就能得到两倍的阿尔法和两倍的贝特了。二阿尔法加上二贝特，再加上两倍的角 d， 哎，就等于三百六十度，好，我们给他标上， 那么我们用三式啊，减一式，我们看一看，二阿尔法减二阿尔法两个，二阿尔法抵消掉，两个二贝塔抵消掉。左边呢？三百六减一个一百八，还剩一个一百八， 哎，还有一个减角 a， 好， 那二倍的角 d 等于一百八十度减角 a， 那 角 d 就 等于多少呢？哎，同时除以二角 d 就 等于九十度，减去二分之一的角 a。 好， 我们通过第一个啊，第一个一式是用的 a 字模型， 哎，二式我们用的是三角形的内角和用这两个公式呢，我们就可以推导出来。双外角平分线的模型是什么呢？就是角 d 等于二分之一九十度，加上二分之一角 a 啊，我们也可以记底角，底角等于九十度啊，九十度减二分之一的角 a 啊，一定要记清楚，底角等于九十度，减二分之一的角 a， 好， 我们来记住这个结论，以后我们来做几道题练习一下。 好，我们来看。例五，如图，在三角形 a、 b、 c 当中，角 b 等于四十八度，然后又告诉你们， 咱们这个 a、 e 和 c、 e 呢，是两个角平分线啊，交于一点，阿尔法阿尔法贝塔，贝塔，这，这个完全就符合我们的双外角平分线模型。我们 双外角平分线模型是什么呢？是底角角 e 啊，等于九十度，减去二分之一的顶角，此时的顶角呢，是角 b， 对 不对？那我们只需要把角 b 给代入就行了，所以说角 e 就 等于九十度，减去二分之一乘以四十八度。 哎，所以说角 e 等于多少度？九十减去二十四等于六十六度，哎，所以说这道题答案选 b。 哎，我们牢记我们的这个模型公式就行了。好，我们来看下一题， 好，我们来看这道题，这道题给了很多角二分之一的关系啊，我们一定要把它捋顺了啊，其中在三角形 a、 b、 c 当中，角 m， b， c 啊，等于二啊，也就 b m 呢，是角平分线。第二个 角 mcb 啊， mcb 等于二分之一的 ecb， 那 就是这两个角是相等的。哎，角三等于角四，然后下边一个条件呢？ nbc， nbc 告诉我们这个角角五角六是相等的，哎，这个条件呢？哎，告诉我们角七跟角八是相等的。 好，那么就是两组这个角平分线模型，一组是什么呢？一组是内角平分线模型，对吧？哎，内角平分线模型， 哎，我们来回忆一下，我们的内角平分线模型是什么？角 n 等于九十度加上二分之一的角 a， 对 吧？哎，第二个呢，是什么呢？一个外角平分线模型， 咱们刚学的对不对？那角 m 等于什么呢？等于九十度减去二分之一的角 a。 好， 我们把 amn 都表示出来以后，题目上求的是角 m 加角 n 等于多少，对不对？那我们两个式子合并一下，那角 m 加角 n， 哎，九十度加九十度等于一百八十度，两个二分之一抵消掉， 所以说最终结果 m n 的 和就是一百八十度。那么这道题利用的是我们的双内角平分线模型和双外角平分线模型，两个模型特别的相似，一个是九十度加二分之一角 a， 一个是九十度减二分之一角 a， 一定要记清楚，不要记混淆。好，我们来看下一题， 好，练习。五点二呢，是一道选择题，在三角形 abc 当中，角 a 告诉我们是六十度，然后 fbc， abc 是 三分之一的 啊， d， b， c， o， 那 就是这个是阿尔法，那这个应该是几阿尔法？两二倍的阿尔法对不对啊？他是他的三分之一的角，这个可不是角平分线模型了啊，我们要先先考考虑清楚，那再看这边啊， fbc， fcb 那 一样的，这边是两倍的角贝特。好， 那这样的一个图形怎么做呢？哎，我们还是要利用什么？利用我们的 a 字模型来先代入啊，我们的 a 字模型大家还记得吧？啊？ a 字模型长什么样啊？ a 字模型两外角之合， 对不对？哎，角一加角二等于一百八十度加角 a， 这是我们的 a 字模型对不对？那此时的角一是谁？角一就是三倍的阿尔法 角 b 啊，角二是谁？角倍？角二就是三倍的 beta， 哎，加起来等于一百八十度，加上角 a， 角 a 是 六十度。 哎，那我们提出来一个三倍的，那就是三倍的阿尔法加 beta 等于二百四十度，那阿尔法加 beta 就 等于多少度？哎，八十度。好，那我们再看阿尔法 beta， 它们同时在哪个角里？哎，在哪个三角形里？ 哎，是不是在 b、 c、 f 当中？是不是？那 b、 c、 f 当中是不是角？阿尔法加上 beta 再加上角 f 是 不是等于一百八十度， 对不对？哎，加上角 f 等于一百八十度。好，那我们刚才求出来了，阿尔法加 beta 等于八十度，那所以说我们的角 f 等于多少度啊？哎，是不是等于一百度啊？所以说正确答案选 a。 哎，所以说我们在做几何模型的时候，要切记，要把这些模型给记准确，他们之间是可以互相去用的，哎，只要你够熟练，这些几何问题一目了然。好，今天的课就到这，我们明天再见。

一次函数与几何图形的综合题，今天我们一起来学习一下。第三问，由于题目难度比较大，所以咱们本期视频呢，主要以分析题目为主，那么具体的解答过程我们会在下一期视频进行讲解。首先我们来读一下第三问，问的是什么？它说在 y 轴上是否存在点 q， 使得以 o p q 为顶点的三角形与 o m p 全等。如果存在的话，要求出所有符合条件的点 p 坐标，如果不存在，要说明理由。 好，题目已经读完了，那么接下来我们就开始分析思考吧。首先他提到了一个点 q， 这个 q 在 哪，咱知道吗？咱不知道，对吧？但是他提到一个关键信息，他说在外周上，虽然我不知道它具体在哪，但我知道它在外周上，对吧？好，那我们看一下外周，外周这里被分成了三段，看到了吗？一段、两段、三段，那么这三段是不是都有可能？ 所以说它的 q 点的位置可能在 b 点的上方，对吧？那这我们是要分别讨论的哈。好， 接着他又说什么呢？他说使 o p q 组成的三角形要与三角形 om p 全等。好，他提到一个 p 点，那么 p 在 哪呢？咱们也不知道，对吧？但是呢，题目告诉我们一个条件，他说 p 在 直线 l 上， p 在 直线 l 上，它是这上的一个动点。 好，虽然我们不清楚它具体在哪，但是我们至少可以知道它大概的位置，对吧？它可能在哪里呢？可能在 b m 之间，还有可能在 a m 之间，还有可能在 a 的 右侧，对吧？ 那同样的，如果说 q 在 o b 之间的时候，那么这个 p 是 不是也分别有这四种可能？同样的，最后一幅图也有四种可能，我们可以拿一张草稿纸简单的画一下，跟着老师连一下线。好吧，我们先来简单的分析一下，假如说我们的 p 点在第一个位置， 如果 p 点在这，那么它组成的三角形 o p q。 o p q， 我 们可以简单的用铅笔连一下线和三角形 o m p， 我 们可以连一下，那你觉得它有没有可能选中呢？ 我发现这个三角形其实它有可能，对吧？啊，如果你画的你 q 点位置不一样，可能感觉不全懂，你可以稍微的，反正 q 点是可以移动的，稍微挪挪位置，对吧？哎，你看看是不是有没有可能全懂，我发现它有可能，对吧？好，那如果说我们的 p 点在中间这个位置有没有可能全懂呢？那么组成的三角形 o p q 是 黄色的这一块，那 omp 是 这块，我发现它俩有没有可能全懂呢？是不可能 的，为什么呢？因为这个 omp 一定是一定是一个直角三角形，哪怕我让 q 点再稍微的在上面，在一个位置，它也不可能是直角三角形， 所以我们知道它不可能全等。好，如果说再往下一个点，这个点是 p 点，那么它组成的 o p q 和 omp 能不能全等？嗯，很多人一眼就看出来不可能的， o p q 很 大呀，看到了吗？而且 om p 一定是一个直角三角形，可是这个它根本不可能是直角，无论你怎么移动这个 q 的 位置，它都不可能，对吧？因为我们现在讨论的 q 在 上方的时候 好，所以它不行。那如果是在最下面呢？哎，我发现肯定更不可能，对吧？所以说，综合前面的情况来看，我们发现只有第一种情况，这个是可能全等啊，是三角形 omp 和什么全等呢？和 p q o 全等，对吧？也就说这种情况可能存在。好，我们再来看一下，下一幅图，下一幅图，当 q 点在 o b 之间的时候，假如说 p 在 这，那么它组成的三角形就这一块，对吧？而我们的 o m p， o m p 是 整个这里， o m p 是 直角三角形，它一看就是个对角三角形，所以它不可能全等，对吧？好，同样的，如果在中间这个点，在中间这个点好， o p q， o m p 有 没有可能全等呢？ 哎，我们发现很有可能，对不对啊？也就是说这个情况也可能存在，对吧？好，我们再接着往后看，假如说我们的 p 点再往下一个，假如说在这了，那么我们的 o p q 就 长这个样子，我们的 o m p 就 长这个样子，哎，它不可能，对，不对？因为它是直角三角形，它不是。那么，但是 q 点在这之间的位置，能不能往下再挪动一点位置，这里是不是有可能是直角呢？ 哎，如果是往下来一点，它是不是就有可能是直角，对吧？也就是说，在 o b 之间的时候，当 q 点在 o b 之间的时候，那么 p 在 这之间的时候，它是有可能全懂，对吧？ 好，所以这种情况也可能存在。好，那我们的 p 点再往下走一点，假如说 p 在 这，我们的 o p q 和 omp 有 没有可能全懂呢？ omp 必须是直角三角形，你发现了吗？因为这里是直角， 但是 o p q， 无论你这个红点挪，怎么挪，对吧？哎，它在这里挪，或者你 q 在 这里挪，它都不可能是一个直角三角形，所以它不可能全等。好，综合判断，我发现第二幅图它可能存在两种情况，一种是这种全等，对吧？一种是这种全等，也就是我们的 om p 全等于 o q p。 好， 那我们再接着往后看 好。假如说 q 点在外轴的负半轴了，如果 p 点是第一个，有没有可能明显不可能，我们刚刚说了，不管怎么样， omp 一定是一个直角平行，而我们的 opq 是 一个钝角，所以它不可能好。那么如果是在这个点，有没有可能呢？也不可能，对吧？还是一个钝角和直角的问题，它不可能全等。好，接着在中间呢， 也不可能，还是对角和直角好，那我们再接着看，如果是下面呢？嗯，这个是锐角和直角，我们看起来像锐角和直角，对不对？哎，但是呢，看起来样子是不是像多了，对吧？那么能不能给他稍微移动一点呢？比如说我们的 q 点往上走走，或者说我们的这个 p 点往下走走，哎，他能不能就变成一个直角三角形了呢？ 哎，这个是非常有可能的，对不对？那么所以说这个某最后一种情况也是存在的，那么如果是最后一种情况的话，就是哪两个权杖，就是 omg 和 oqp 权杖。 好，综合前面的情况来看，我们发现了什么？我们发现它应该是存在满足条件的 p 和 q 的。 那么具体怎么该分情况讨论呢？ 我们可以分四种情况分别讨论，也可以分两种情况讨论，哪两种呢？你看一下 omp 和 p q o 全等。 omp 和 p q o 全等啊，第一种情况是当这两三角形全等的时候，那么第二情况是当 omp 和 o q p 全等的时候，对吧？这个都是可以的啊，你可以直接画出四个图分别讨论，对吧？也可以直接按照这两个，然后分别配两个图就可以了。 好，那前面的分析我们已经知道了，它是存在这个 p 和 q 点的，但是问题是我们做题的时候肯定希望写过程，对不对？我们要知道怎么去求这个 p 点坐标呀，对吧？我们刚只是分析它存在，但是 p 点坐标该怎么求呢？我们肯定要根据条件来，对吧？那么图我们只是画了个大概的图，但是具体点在什么位置咱们还不能确定，那根据什么求呢？ 好，那么屁点坐标怎么求？前面我们提到了关于具体数值的是哪个条件？提到了具体数值的是我们之前求出了 o a 为四， o b 为三，我们标上去，当 o b 是 三， o a 是 四的时候，我们能求出什么呢？我们知道这是一个直角的条件，对吧？哎，很多人已经知道了，勾三股四弦五，我们能知道 ab， 它一定等于五。 好， ab 如果是五的话，我们又能求出什么呢？我们知道三角形的面积是底乘高除以二，对吧？而巧的是，这一块三角形 aob， 它是一个 r t 三角形，也就是直角三角形，它的面积不仅可以用两个直角边相乘除以二，还可以用斜边上， 然后再去乘高除以二，对吧？所以说我们的面积可以是 oa 乘 ob 除以二，也可以是 ab 乘 om 除以二。所以说我们能得到一个东西，得到什么呢？得到我们的 ab 乘 o m， 斜边乘高就等于 o a 乘勾 b， 那 么代入数值，我们可以求出 o m 是 等于五分之十二的 o m 如果等于五分之十二，那接下来就好办了。为什么呢？因为我们已经知道哪两个三角形全懂了，对不对？如果说 o m 是 五分之十二，那么 p q 就是 多少，哎，前两幅图的 p q 也是五分之十二，对吧？因为全懂嘛，所以我们能知道 p q 是 五分之十二。 那同样的，如果是看后两幅图，如果 o m 是 五分之十二的话，那么我们的 o q 就是 五分之十二。一旦 q 点的纵坐标知道了，那 p 的 纵坐标知道， p 的 纵坐标知道了， p u。 在 直线 l 上，我们只要代入 y 的 值，就能求出 x 的 值。同样的，前面都一样好，所以这一位我们就可以做完了。

好了，各位同学依旧是继续我们的内容，平方根好看一下，上节我们学过了 实数的一个基础运算，然后今天呢，去学习了解一下。平方根啊，哎，我们之前学过哪些运算呢？加减乘除，对吧？加减乘除，当然这个除法后面会有一个乘方啊，乘法是乘方，是两个一样的数相乘，对吧？嗯， 加法与减法互逆，乘法和除法是互逆的，那乘方有没有逆的预算呢？今天就给大家展示一个，比方说图一正方形面积七七四十九，那反过来第二个正方形的边乘，谁乘谁得一百呢？十乘十，对吧？ 所以说边长就是十米，那这个时候除了十以外，还有什么数的？平方也是一百，有没有啊？其实并没有的，并没有 啊，负十，不好意思，负十啊，带到题上来了，各位见谅啊， 来看一下啊。填空三的平方等于九，负三的平方仍然是九，对吧？二分之一平方，四分之一，负二分之一平方，还是四分之一零的平方呢？就是零。 什么叫乘方？什么叫密啊？乘方，乘方就是，哎，比如说咱这种形式啊，这种形式，这就叫乘方，那密呢？ 密，什么叫密呢？九可以写成三方，对吧？底数指数，哎，后面的就是我们的密，就是说这个后面的就是我们的密啊。 正负三的平方，那正负二分之一的平方等于四分之一，零的平方等于零，有没有数的平方等于负四呢？有没有啊？其实不存在的，对吧？ 那如果知道密，然后知道指数，我们求底数的时候，这个时候就叫乘方的逆运算，所以这就叫我们的根号啊，平方根， 一般的，如果一个数的平方等于 a， 那 么这个数就叫做 a 的 平方根，也叫做 a 的 二次方根。那咱问一下，一般来说我们这个数存在几个啊？比如说 a 的 平方根一般有几个？一般情况下有两个，对吧？ 什么叫一般呢？什么叫一般情况？就是如果说我这个 a 是 一个正数， a 是 个正数， a 大 于零啊，那这个时候就有两个减，两个减，那如果 a 等于零了，那就是一个必须是零，对吧？如果 a 小 于零，有没有？没有 a 小 于零？没有啊。五 x 就 叫做 a 的 平方跟 x 有 几个数？有两个，一个是负的，当然零除外啊，如果 x 等于零，那咱只有一个了，是吧？ 呃，概括平方根的性质看一下啊，刚刚不难发现了，对吧？一个正数有两个平方根，他们互为相反数，如果说这个数是零了，零只有一个平方根，他是零，本身负数就没有平方根，所以我们这个平方根据这个， 根据咱这个定义去走就行了，根据这个符号给它分开啊，因为咱说乘方是，呃，这个根式的这个逆算，对吧？那我是不是可以这样理解？你看啊， s 平方等于 a， 那 可以写成根号 a 等于 x， 这对吗？ 这对吗？这不一定对啊，为啥？我这个 s 当然可以是负的，对不对？所以说正负根号 a 等于正负 x 带上正负号，所以一般情况下，我们这个 这个 x 啊，有两个值，什么叫一般情况正数正数零，特殊情况特殊记零只有一个， ok。 一 般的，如果一个数的平方等于 a， 那 么这个数叫做 a 的 平方根，也叫做 a 的 二十四方根啊，这是我们的性质， a 要求必须要大于等于零，不可能是负的。没听过没，没有听说过。谁的这个数的平方是一个负数的，对吧？嗯， 平方根的表示方法啊，看一下平方根的表示方法。呃，以及读法。那什么叫平方根啊？就是正负根号 a， 其中 a 要求非负数，非负数就是大于等于零的数啊， a 叫做被开方数，然后这是我们的根号，前面是有符号的一个正数 a 的 正平方根，用根号 a 表示，然后一个 a 的 负的平方根就是负的根号下 a 啊，负根号 a 啊，合起来一个正数的平方根，就用正负根号 a 表示了 九的平方根。九的平方根有几个？两个正负根号九等于正负三，然后九的正平方根，正平方根直接写根号九等于三，九的负平方根就是负的根号九等于负三，是吧？ 正二数，这个二十五刚好，二十五表示二十五的正平方根就是五，正负根号七表示的是平方根啊。零的平方根它就是零，只有一个数啊，注意好，特殊情况。 开平方求一个数 a 的 平方根的运算就叫做开平方。开平方运算是已知指数和密求底数。 就是了解一下。比如说给咱一个 a 的 平方根计算，举个例子， a 等于八十一，求它的平方根等于正负根号下八十一等于正负九，这个过程就叫做开平方啊。开平方。 首先是不是所有的数都能进行开平方呢？不是，对吧？比如说负的不行，对吧？那零和正数才可以啊。有要求的啊，有要求的。嗯， ok， 看一下我们后面的内容学已知，用判断下列个数有无平方根有，求出来没有说明理由。首先正数和零才能有，对吧？那咱复数是不是就没有了 啊？我给大家标一下啊，这个就没有了。这是，这是正的负四整体平方了啊，有，对不对？嗯，那基本上只有这个三不能有，剩下的都能有。那咱们再把它求一下。零点八一的平方根，零点八一的平方根啊， 正负零点九啊，注意好，正负号，第二个，第二个，嗯，不难是吧？三十六分之二十五整体开根，正负六分之五，正负六分之五，第三个没有。第四个正负四，对吧？ 正负四啊，第五个零的平方是零。第六个，呃，二又四分之一等于四分之九，等于正负二分之三整体平方啊， 好，十的平方是正负根号，是啊，两个数算数平方根。什么叫算数平方根？就是，哎，我们正数 a 的 正的平方根就叫做 a 的 算数平方根。也就是说我们取那个正的正的根啊，取正的根，那零的算数平方根就是零啊，零。 第一个九的算数平方根，取正的是三，注意好。第二题，根号九是谁？根号九是三，对不对？三的算数平方根是根号三啊，根号三。嗯， 零点零一的算数平方根，取正的零点一，是吧？零点一啊，没打好啊。零点一 十的算数平方根，那就是根号十。负四整体平方的算数平方根。负四平方是谁？是十六十六的算数平方根是四啊，四算数平方根等于它本身的零，对吧？零一也是啊，一也是 根号三十六是六，根号下一点四，四一点二，是吧？二又四分之一，这就是四分之九，开根二分之三。 然后简单算一下啊，根号下一百九十六等于十四乘十四，对吧？一百九十六正负，根号下一百二十一等于正负十一零点八，一是零点九，负的二十五分之九就是负的五分之三。 ok， 总结一下啊，我们这节学一个新的运算，开方和乘方互为逆运算， 从而完背了我们初等代数六种基本代数计算加减乘、除乘方和开方啊。 然后了解两个定义，第一个，平方根，平方根。首先分好符号，正数有两个，对吧？正数有两个 零，只有一个零啊，是它本身平方根的性质，正数有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。平方根的表示方法了解一下啊，一定是带着符号的正负的，求一个数的，求一个数的 平方根的运算就开平方，是吧？然后算数，平方根的定义，取正的那个根，对吧？表示方法直接写根号啊。

ok， 继续我们三角形往下说啊，上次学的三角形的全等判定，现在往下来看一下三角形的尺规图做图 来。首先了解一下这个尺规图在几何作图中，我们把没有刻度的直尺和圆规做图称为尺规做图。其实尺规做图里面我们用的最多的是我们的圆规。圆规啊， 矢图图，做一条线段等于已知线段。第一步怎么样呢？先做一个射线 a b， 哎，做一个射线 a、 b， 然后用圆规量出我们这个已知线段的长量出来啊， 这是我们的圆规开口是吧？量出来再往上面截取是不就可以了？所以说尺规作图整体的原理是，直尺画什么？画直线啊，画射线这这样的。然后我们的圆规负责截取长度啊，看一下后面的 已知三角，这个角 a o b， 求做角 a 撇， o 撇 b 撇，使得两个角相等。呃，让我们做两个相等的角，还是啊，先确定一个边嘛，对吧？先做一个射线， 做一个射线啊，画这块吧， 做一个设限。然后呢，以 o 为圆心，任意长为半径画弧，开始交于两个点，比方说我，我以它任意长为半径画弧是吧，交 a 于 d 点，交 o b 于 c 点，现在得到两个新的点，然后他说以 o 撇为圆心， o c 长。哎，我把这段卡住，是吧， 为半径画弧，交 o 撇， b 于 c 撇点。那我给它画出来就行了呗。就我们的 c 撇， 以 c 撇为圆心， d 非常为半径画弧，交前弧于 d 撇。哎，看我们 c d 看一下啊，以 c 撇为圆心， c、 d 长为半径画一个弧， 这是我们刚刚的弧，画长一点， c、 d 长一半，箭化弧，那这连上就行了是吧？这是我们的 d 撇啊，连接，这就是我们的这个相等的角啊，相等的角。 然后再看一下我们的教学活动，在三，已知三角形的三边，求做三角形了。 a， b， c 求做三角形。 a， b， c， 使得他们三个边啊，围出来一个三角形做线段， b， c 等于 a， 先任意做一个，对吧？ 等于 a， 然后以 c 为圆心， b 为半径进行画弧。哎，这，这是我们的半径了，开始画弧啊，可以，可以，画很多呢 啊，咱就做一面就得了。继续， 此时再以 b 为圆心， c 为半径画弧，这两个边相交于 a 点，那这就是我们的 a 点，然后连上即可。三角形，这就出来了， 主要利用的条件是什么？三 s， 你 看，咱用以，首先先确定一个具体线段，比如说我把 bc 等于 a 了， 然后呢，再让另一个边，比如你看啊，他刚刚是以 c 圆心 c， b 长为半径画弧，那这就是我们的弧嘛，对吧？弧上都相等， 所以说以 b 为半径画弧，那我们这段就应该等于 b， 那 再以 c 为半径画弧，这段就得 c。 所以 这个，这就是我们使回作图的一个基本原理，主要是为了构造全等的三角形或者全等图形啊。 来往后看，已知三角形的两边及其加角，求做三角形。 哎，这个题啊，跟别的不太一样了，他给了两个边和这个加角长度，所以我们先得怎么样呀？确定一下我们的角度。哎，这个角度很特殊，先把角度确定确定下来，先把我们这个角做出来， 跟刚刚那个做角相等的就一样了啊，咱就不再过多展开了啊，以这个为原先是吧，任意长半径画弧交于 d 两点，然后咱把这个等角给它做出来啊。 做出来等角以后干嘛？截上一段？截这个角它两边可以无限延伸的，对吧？截一段得 a， 截一段得 c， 然后就完事了啊， 脸上，脸上，这就是我们三角形啊，哎，已知三角形的两边继续加角，求做这个三角形。刚刚说了咱就不再展开了啊， 一样的啊，不说了啊，不说了，比较简单啊， 所以就了解一下我们这一块的一个基本原理，其实没有想象中那么麻烦，其实就是全等三角形的一个延伸。看，再来一个。已知三角形的两个角和加边，求三角形，那咱是不得先把两个等角做出来是吧？嗯， 做两个等角，然后截取即可啊，做两个相等角，然后截取就行了啊。 已知两角和一角对边能不能做啊，那不也一样的吗，是吧，两个角，先把两个等角做出来，然后截取一个边啊，先做角，再做边，最后再做角也可以啊。 这是一个详细的作图步骤啊，了解即可。我们中考河北省的考察的时候更加侧重于垂直平行线啊，或者角平行线的一个考点啊，这块还是考的比较少的。 顺序角，边角加边角，是吧，角 作图语言作图语言，注意一下啊各位，这个作图语言作哪个角和哪个角相等，在哪个线上去截取，使得谁等于谁。这个线是直线或者射线啊，然后以谁为顶点，以另一个为边，做一个角， 做两个等，巧做线段，谁等于谁，连接什么或者连接谁，谁交于点什么啊，这就是我们的实践题了啊。

同学们，今天我们一起来看一道八年级上册的手拉手模型的题目。看题，在直线 a、 b、 c 的 同一侧做两个等边三角形，也就是三角形 a、 b、 d 与三角形 b、 c、 e。 我 们做完这两个等边三角形后，又把 a、 e 与 d、 c 连接起来了。 第一问，我们要证明 a、 e 与 d、 c 是 相等的，这个时候我们应该如何证明？一般是通过三角形的全等得出对应边相等，这个时候我们发现它所在的三角形 a、 b、 e 与 d、 b、 c 应该是全等的。我们应该用到哪些条件呢？因为它是个手拉手模型，中间的 b 点就是它们的公共点。 从公共点出发，我们发现 b、 d 与 b、 a 是 相等的， b、 e 与 b、 c 也是相等的，有一组边了。然后我们再找对应角，因为等边三角形的三个角都是六十度，所以角一等于角二等于六十度。 这个时候我们发现中间还有一个公共角，所以我们角一加角三与角二加角三的和是相等的，那么我们就可以通过边角边、边角边来正全等就出来了。我们应该如何书写呢？第一步，先写证明。 因为我们要用到等边三角形的对应边相等，所以第一问，我们要先写上三角形 a、 b、 d。 三角形 b、 c、 e， 它们为等边三角形， 所以我们就得出来了， a、 b 是 等于 db 的， 同理 e、 b 也是等于 c、 b。 还有一个角一等于角二等于六十度，这个时候因为角一加上角三等于角二加上角三，所以我们就可以得到角 a、 b、 e 是 等于角 d、 b、 c 的， 这个时候就可以证全等了。在三角形 a、 b、 e 和三角形 d、 b、 c 中，首先我们先写边，就是 ab 等于 db， 然后我们再写角角 abe 等于角 db、 c， 接着我们再写最后一组边，就是 e、 b 等于 c、 b， 那 么所以三角形 a、 b、 e 就 全等于三角形 d、 b、 c。 我 们的判定依据一定要写上是 s、 a、 s， 判定完以后，它所以对应边相等就正出来了。 a、 e 是 等于 dc 的， 这是第一问，第二问，我们要求线段 a、 e 与 dc 所夹的角 a、 f、 d。 这个时候我们一般会通过八字模型来找看老师给你画的这个线段，我们把它描起来以后，看这个八字模型， 首先我们这标上一个四和五，四和五，通过第一问的全等我们就可以推了出来了，这个时候发现六和七又是一组什么呀？对顶角，因为三角形的内角和是一百八十度，八字形现出来以后，我们就可以得到所求的角与角一是相等的，也就是六十度。写的时候我们应该如何写？先写解， 然后第一问，我们是正完全等了，我们应该写由全等可知，我们角四是等于角五的，然后又因为什么角六等于角七，它们俩是因为是一组对顶角，所以它们是相等的。 然后同样在三角形里面，我们发现角 d、 f、 a， 它是等于一百八十度，减角四，再减角六， 然后角一呢，它也是等于一百八十度，减角五，再减角七的，所以说我们就可以用等量代换得出来了，角 d、 f、 a 是 等于角一的，所以就是等于六十度，也就是所以角 a、 f、 d 的 度数 为六十度。这就是我们今天讲的手拉手模型，同学们喜欢的话给老师点个关注吧！

结束了三角形，今天开始我们后续的一个内容啊，识数，识数这一块呢，更加强调大家的计算的功底了。 简单看一下一个题，如图，已知一个边长为三米的正方形花坛，要在其中一条对角线 a、 c 上单独种植某种花卉，相邻两棵树之间相距根厚二米，能种多少多少棵。那我们得需要分析一下我们的条件啊， 边长是三米，这个是三米对吧？那勾定里，勾定里 a c a c 能求不能是吧？三三三倍根号二，所以说，呃，用根三倍根号二去，两个数之间相距根号二米，那就看看有几个根号二呗，应该是有三个，对吧？别忘了得加一个啊，所以一共是四个，对吧？ 所以这是我们二次函数，二次函数的二次根式的一个概念。一般的我们把形如根号 a 这样的式子叫做二次根式，这个根号呢，就叫做二次根号。这个二次根式下面有要求啊，所以说 a 必须得大于等于零啊。了解一下， 二次根式有两个要求，第一个被开方数 a 一定大于等于零， 根指数就是我们这块啊，是二，不能是其他的数。那你看咱这个题，他没有二，对吧？这个是二的话，可以省略啊，可以省略 指出下列哪些十二次根？十二次根是满足两个性质，第一个必须得是二次的。第二个是什么？是根号下的数大于等于零，所以第一个 ok， 第二个不行是吧？第三个三，这是负的不行是吧？第四个 b 大 于等于零， ok， 第五个 a 大 于 等于二，那一减二肯定等于零也 ok 啊。第六个 a 减 b， a 小 于 b 不 行，对吧？第七个是不是也不行？看啊，这，这肯定不行了，那是负的，这三次的不行， s 方加一， s 方是一个大于等于零的，加一个一肯定也满足啊。 然后看一下这些数怎么去计算。根号是什么意思。其实咱可以这样理解，举个例子啊， 二的平方等于四，这没有问题，我们就可以写成根号四等于二， 那其实是一个什么关系呢？看一下啊，把这根号四给它展开，根号四等于根号下二的平方，哎，平方根二一消掉，呃，平方跟这个根号一消掉，就剩一个二了，所以说可以理解为这个根号可以跟平方去抵消啊，抵消 好，所以此时它等于二，四十七，哎，三分之一零，对吧？都不难啊， 注意好啊，看见二次根式去想办法平方，想办法平方 根号二是二的算数平方根，一个概念，算数平方根，根据算数平方根的定义，根号二是一个平方等于二的非负数，因此有根号二的平方等于二。什么叫算数平方根呢？举个例子啊， 看咱刚刚说的，二的平方等于四，另外负二的平方也等于四，但是我们在写的时候可以写成什么根号下四等于二，不能写成根号下四等于负二，这是不对的。为啥？ 咱这个根号有一个性质叫被开方数要大于等于零，所以他开完方以后还得是一个大于等于零的，也就是双重非负性 两个性质。第一个 a 要大于等于零，那我们根号 a 本身也是要大于等于零的，所以说不可能开到负数，那这个时候我们就给它称为根号 a， 这种形式叫做 a 的 算数平方根啊，那反言之， 反言之，根号正负根号四，这就写可以写成正负二了，对吧？这就叫平四的平方根四的平方根是正负二啊。 好，一般的根号下 a 方 a 要是大于等于零的话，那我们出来以后就直接变成 a 啊，直接变成 a， 看下这个题。哎，咱是有规律的，是吧？根号下四乘五，就根号下一百 根，一百一百是十的平方等于十，根号四呢，是二，根号二十五呢，五二乘五也得十，对吧？ 六，呃，这个九乘十六，九乘十六，十六乘九等于一百四十四，根号下一百四十四正好是十二，那根号九三，根号六是四，三乘四也得十二啊。 这个开出来五分之二，开出来根号二十五分之，根号四也是五分之二啊，后边同理啊，不带展开了， 那啥规律呢？就是这个根号在在这个乘除法计算的时候，可以分别带有根号，对吧？ 根号二乘根号三等于根号下二乘三，根号三除以根号八等于什么整体的啊？八分之三的整体根开根啊，这就是我们根式的运算性质。根号下 a 点乘根号 b， 根号下 b 乘根号 a 啊， 这就是我们的一个运算性质啊，简单画个简。根号八等于二乘四的整体开根，对吧？根号四四能开出来，根号二乘根号四等于二倍根号二。那根号五十等于根号下。 根号下二十五乘二等于根号二十五乘根号二等于五倍根号二啊，五倍根号二 化简。根号二十四等于根号下。哎，四乘六等于根号四乘根号六等于二倍根号六，对吧？这不难，根号九十八除以十六， 一步一步来算啊。等于根号十六分之，根号下九十八，根号十六是四，根号九十八呢？展开，根号下二乘上四十九，等于四分之，根号二 乘根号四十九，等于四分之七倍根号二啊，根号五十二， 根号的五十二，它等于根号下四乘十三，等于根号四乘上根号十三，等于二倍，根号十三。然后根号零点七五，它等于 根号下零点二五乘三等于零点二五开根，零点二五开根乘上根号三，零点二五呢，就是零点五乘根号三，所以等于二分之根号三啊。 化简的时候就习惯于去给他写成啥呀，写成咱们的呃，能开得进方的因素，比如说根号下的四啊，根号下九啊，对吧？有平方的这种啊， 最简二次根式有一个概念，被开方数要求必须得是整数，不可以是分数。比如说根号下三分之一啊，这种我们写成根号三分之，根号一，以后写成三分之，根号三，去分母，不让存在根号，所以说这样直接写成这样是不对的，分母的根号必须得消掉，怎么消呢？ 分母有理化啊，用哎，我一下再乘一个根号，根号对化平方了嘛。所以说这就消掉了，那这个整数呢？不含能开得进方的因数或因式啊。 比如说根号八，对吧？这种能开出来就不行，然后在运算的时候注意好乘除法运算。这这个给他举个例子吧，先化简啊，根号八是二倍，根号二， 根号二乘根号二，这样去算去前面整数部分一乘二，然后再乘上根号二，再乘根号二，对吧？平方了，所以就是二，二得四，这个可以这么来，根号三分之，根号二乘上根号八分之，根号二是七，还是先化解根号八，咱能化 乘上根号八二倍根号二，根号二十七是九乘三，所以是三倍。根号三化简，根号，根号消了，所以二分之三啊。比较简单，这个根号六分之，根号七十二，我们可以分成根号下， 根号下的六乘上，根号十二，根号十二能开出来四乘三，所以根号六，根，根号六消了，就是哎， 削掉了，就是根号四乘根号三，那咱就是二倍根号三了。最后看好啊，它是除法，除法先变乘法再匀算，等于根号五分之，根号四， 哎，乘上，反过来，根号八分之，根号五，那根号五，根号五消掉，所以就是最后结果应该是根号八分之，根号四。继续化简根号四是二，根号八呢是二倍。根号等于根号二分之一。分母不让有根号分子分母同时乘上根号二啊。二分之，根号二。 好，简单做一个小结，二次根式要求根号 a 的 形式，然后且满足被开方数 a 大 于等于零，根指数必须得是二啊，其他数不行，最减二次根式呢，在被开方数必须得是整数，不可以是分数或者分式， 此时这个整数必须得是开得进方的因素或因素啊，不可能说再往外开了这种。 然后就是我们的运算性质，运算性质的话，根号呢，因为是二次的，最怕的是平方，根号和平方可以直接消掉。注意好形式啊，如果说里面是一个负数的平方，出来以后必须得是正数， 然后根号下 a 乘 b 等于根号 a， 点乘根号 b， 根号下的 b 分 之 a 等于根号 a 除以根号 b。 啊，就是这个根号可以跟随分子、分母或者某个单独项去一起运作。

hello， 各位，今天继续向下学习我们的立方根，好观察哦，观察一下谁的三四方等于零。 先看这个比较特殊的，谁的三次方等于零呢？肯定得是零吧，下面这个谁的三次方等于负的二十七分之八，我们可以分开看，谁的三次方等于二十七三，对吧？三次方， 三次方就是三个一样的数，相乘三乘三，再乘三三三得九三九二十七啊，所以说二十七能出来了，哎，谁的三次方是八呀，谁乘谁再乘谁二，对吧？嗯，所以给他分开去看啊。 好，再看我们简单的，谁的三次方等于负六十四四四四相乘等于六十四，所以说前面带上符号即可。然后十三次方等于一千，负的十三次方等于负一千啊，这个就比较简单了， 然后给我们概呃，引出一下我们的概念，一般的，如果一个数的 x 次方 x 的 立方等于 a， 即 x 的 三次方等于 a， 那 么这个数就叫做 a 的 立方根，也可以叫做三次方根啊， 和平方根很像，但是呢，它只有一个。看一下，二的立方等于二的三次方等于八，对吧？ 是否有其他的数他的立方也是八呢？没有了，对吧？负三的立方等于 负二十七，有没有其他的数立方也是负二十七啊？没有。那负五分之六的立方等于五的三次方一百二十五六三次方二百一十六，对吧？所以说带上带上符号即可啊。 没有了零点七的立方，零点七的立方是谁？零点七乘点七，再乘点七，零点三四三零的立方是零。所以说咱这个立方根 和平方根唯一的区别是什么？是个数和运算上一个正数只有一个正的立方根，但是平方根的时候他有两个，对吧？嗯，一个负数有一个负的立方根啊，零数，零，零的立方根就是零。 每个数 a 啊， a 都只有一个立方根，叫做三次根号 a 读作三次根号 a 啊，有点乱码了。嗯， 简单看一下，三次根号下六十四等于四，咱可以简单这样写，六十四是四的三次方，咱这是三次根，三三一交，最后根号没有了，变成四。同理，负六十四的三次根等于负四， 下面就不再展开了啊，一样的， 求一个数 a 的 立方根的运算叫做开立方， a 叫做被开方数，和我们的平方根是非常像的， 如果说 x 的 三次方等于 a， 那 么 x 就 等于三次根号下 a 啊，就是一个逆运算。 求下列个数的立方根，那就是负八的立方根，三次杠下，负八等于负二二十七分之八，整体开三次根等于三分之二，然后负的零点零六四开根， 三次根等于负的零点三位啊，零点四比较简单啊， 求下列各式的值五百一十二拆解拆成，谁乘谁，再乘谁等于等于五百一十二啊。 三次三次消了，最后等于八，负的根号下零点一二七啊，零点零二七，不好意思，打错了，零点零二七 可以展开啊，负的零点三，这个二百一十六是六的三次方，所以说可以写成负的六分之一啊。 ok， 简单做一个小节，整体上不算难的一个章节。立方根有什么概念？和我们开平方是非常像的，立方根呢？就是 a 的 三次方等于 x， 那 么我们可以说求 a 的 过程就是开立方，对吧？三次根号加 x 即是我们的 a， 所以 这就是开立方。 同时当然我们也需要注意它和根号的那个根式是一样的性质，对吧？性质上是一样的。然后立方根与平方根它一同 强调，主要是根的个数啊，和运算上是有差异的。其他方法上，呃，没有太多的一个界定。 开被开方数，我们在平方根要求也必须要大于等于零，但是我们在立方根上是任意的一个数了，范围在扩大， 根据乘方与开方的互逆关系求一个数的立方根。所以说我们这节课以后要注意一个东西了， 零的三次方，一的三次方等等等，一直要记，记到什么？最起码咱得背到五的三次方等于谁啊？这些东西咱需要掌握一下我们常考的这些数，他的三次方到底等于多少，可以帮助我们去快速的运算啊。

大家好，我是吴老师，今天给大家出示一道相似三角形的练习题，请听题。如图， b、 d 等于 c， d， a， e 比 d， e 等于一比二，延长 b、 e 交 a、 c 与点 f， 且 a、 f 等于四厘米，则 a、 c 的 长等于几厘米？ 大家按下暂停键给自己计时，看看你几分钟能完成。正确答案是二十，你对了吗？来听听我的分析。 我根据题目当中的这两个条件，也就是比例线段我想到的相似，那就要做平行线构造 a 字形或者是八字形的相似模型。 要注意做平行线的两个原则。首先要将两组比例线段都联系起来来，我们看图，题目当中给的是 b， d 等于 c、 d， 那 也就是 b， d 比 c， d 是 等于一比一的， 还有一组是 a， e 比 d， e 等于一比二，我们要将这两种线段，两组比例线段都联系起来。 再有要注意呢，不能拆分已知线段，那么这个已知线段指的是哪些呢？也就是题目当中涉及到的 b、 d， c、 d， a、 e， d， e 和 a、 f 全部都不能把它拆分开，所以我做的辅助线呢，是过点 d 做了一条平行于 a、 c 的 这条线 d、 g， 那这样一来来看图，我就构成了这个 a 字形的相似， 还有一个八字形的相似。接下来我们就利用相似三角形对应边的 b 啊乘比例来计算一下。来看啊， a， f 是 等于四的，来看这个八字形， 那么 a， f 比 d， g 是 等于 a， e 比 d， e 的， 也就是一比二，这样我们可以算出 d， g 是 等于八了。再来看这个 a 字形里边， d， g 比 c、 f， 它是等于 b， d 比 bc， 也就是一比二，那么 c、 f 就 等于十六， 而所求的 a c 是 这两边的长答案就出来了，搞定，感谢大家的聆听，我们下次见。

初一寒假有一件事情大家一定要记住，那就是几何一定要提前让孩子去学一下。我们建议大家，如果你不是百事版的其他所有版本的数学，把几何模型和几何辅助线的前三章要学一下， 因为从小学到目前初一上册为止，孩子他是没有几何思维，也没有几何证明的流程的学习，当然他也没有几何模型的思维。 对于孩子来说呢，我们需要在学习三角线，平行学习三角形的时候，把这些模型的概念和内容认真让孩子理解一下， 那么这本书里面包含了全部的视频讲解和所有题目的分析。每一个模型首先第一部分是知识点，然后接下来是模型的证明过程，这些孩子要认真去学，并且要把过程写出来的，那么有了这样的一个证明过程以后，接下来就是我们所对应的 这个立体部分。然后下面是我们的练习部分，让孩子每周花半个小时，每天花半个小时把里面的模型认真学一遍，这样的话，我们在后面学几何的时候，孩子才比较轻松的去理解这些问题， 所以几何模型加几何向量，在假期里面过一下前三单元是非常有必要的，明白了吗？