南京盐城一模数学三角函数

啊，这道题目并不难，他都甚至不需要用到你高一下学期和高二的知识，他只要高一上学期的知识就足以了。 我们来看这个十四题，这个十四题他说两条曲线啊，就是两条曲线，就是这个三角函数，它们产生的相邻的三个焦点恰为一个直角三角形的三个顶点。我们可以观察一下这两个三角函数， 你会发现他们的一个特征是不是就是他们的欧米伽是一致的，那也就是说他们的周期是一致的，那么是不是就说明他们的形状是一致的， 但是后面这个三角函数是有变化的，你可以发现他欧米伽前面填负号了，那么这个变化是什么呢？比如说我们画一个 sin x 的 图像，那么我们如果画一个 sin 负 x 的 图像，大家能不能理解他会变成这个样子？ 它其实会关于 y 轴折叠，但是你要知道，你既可以理解为它是折叠，我是不是也可以理解为它是平移， 所以这个符号你可以理解为它平移掉了，那么前面三分之派是不是更是平移？说白了就是这个函数平移了一下，也就是说这两个函数三角函数错开来了，那么我们可以画图， 画一个 c 图就可以了，不用间隙，我们先画 sin omega x， 好， 再画一个错开一些的。 好，后面我不想画了，它不就是产生了三个焦点吗？已经有了吧？好，我们来找到这三个焦点，一个、两个，三个。好，我们把它画起来， 他告诉我们这个是一个直角三角形，从图上看，除了直角他还是什么？等腰，这也太明显了，对不对？好，那么我们怎么能让他是一个等腰直角三角形呢？他传递出来的等量关系是什么？ 你等腰直角三角形传递出来的关系是不是就是一比一比根号二？他会有边的等量关系？那么我是不是就要尝试去表示这里的一些边长，给他产生限制？ 好，我要有边长，是不是就必须要有点坐标？那我也有点坐标吗？我没有，没有，怎么办？可以假设一下呀，比如说我们可以假设 这个点的坐标为 x 零，那么你想这个第三个点和它是不是实际上正好间隔了一个周期？ 他周期是多少啊？我们知道周期 t 等于二派除以欧米伽，所以这个点是不是应该是等于 x 零加上一个欧米伽分之二派？好， ok， 继续再来。 那么中间这个点的横坐标呢？太明显了吧？是不是只需要把这两个点加起来除以二就行了？终点，所以我们可以得到他的横坐标为 x 零， 加上欧米伽分之派。好，继续。如果我们要用直角边和斜边的比是一比根号二，那就不方便，为什么呢？因为你斜这边表示肯定没有横平竖直的边表示的方便，对不对？ 那么我们无需这样，实际上我们只需要让他这段长等于这段长度就可以了。 横平竖直的是不是只要用横中坐标坐标去做差就可以了？来，这段长度等于多少？明显不明显，明显，是不是就是欧米伽分之派？好，那么竖着这条直线是不是我就要需要点的纵坐标？点的纵坐标是不是就需要把横坐标往三角函数里面带， 那么我们可以把这个 x 零带到你第一个这个函数里面，其实带两个时候结果应该是一致的，所以我们就拿它带吧。所以这里的话，我们可以带出它的结果就是 sine omega x 零。好，这里带出来的一个结果是， sine omega x 零加上 pi， 看懂了没有？好，所以我们就可以列出等量关系式了， 我们可以得到 sine omega x 零减去一个 sine omega x 零加 pi 就 等于 omega 分 之 pi。 好， 这里是不是可以用诱导公式去进行变形？既变偶不变，不变 未知角加一百八十度第三项线，第三项线的 side 值是负值，所以这里我们就可以把它变成两倍的 side。 omega x 零等于 omega 分 之 pi， 大家看懂了没有？好， ok， 我 要求欧米伽，我要求欧米伽，是不是只要把前面这部分求出来就行了？好，我们还有一个条件，到现在都没用呢，你想一下，后面这个函数我是不是到现在都没有用？ 那么后面这个函数怎么用？你要知道 x 零是不是他们的焦点，那么是不是就意味着我把 x 零带到这两个三角函数处里面的话，它的三角函数值是一样的？好，所以我们在这里写 sine omega x 零是不是应该是等于 sine 三分之 pi 减去一个 omega x 零？ 好，三值相等，三值相等只有两种情况，第一种情况， 他们两个角度是相等的，第二种情况，这两个角度是互补的。这种思想是不是在解三角形题目里面经常使用？好，那么我们就来列第一种情况， 相等，那么也就是 omega x 零是等于三分之二减去 omega x 零的， 但是如果你这么写，其实不严谨，如果你想要完完全全的严谨，你可以在后面加上一个二 k 派，为什么？因为角度不需要完全相等对不对？他只要间隔二 k 派是不就可以了？ 能听懂吗？好，所以这里我们可以求解一下， omega x 零就等于六分之派加 k 派？好， 请，那么请问上欧米伽派，上欧米伽 x 零现在是多少呢？那么这个东西是不是要么等于六分之派， 要么再下一次是不是加派？是不是就会等于六分之七派？再下一次我就不用再算了，因为他又回来了，能理解吗？好，来，六分之派带进去多少？三三十度是多少？ 三，三十二分之一。所以这时候是不是就是一等于 omega 分 之 pi？ 所以 omega 解出来就等于 pi， 答案是不是就出来了？好，再来第二种情况，六分之七 pi， 也就是三二百一十度，三二百一十度是负的二分之一，所以我们是不是就可以解到此时的 omega 负一等于 omega 分 之 pi， omega 是 不是等于负 pi？ 但是题目要求我们欧米伽必须要大于零，所以这里的欧米伽是不是就只能去拍？但是如果题目把这个条件给他取消掉，那么你就可以去正负拍了。 好，继续再来第二种情况，这两个角互补，互补是不是就加起来等于一百八？这两个角加起来是不是就等于三分之拍了？ 三分之派等于一百八，或者后面可以加个二 k 派？这不可能吧？所以他是不是也不会是互补的？所以没有第二种情况了啊，答案就是派 啊，这道题目并不难，他都甚至不需要用到你高一下学期和高二的知识，他只要高一上学期的知识就足以了。

刚考完的南京和盐城高三数学一模质量较高，三道压轴难题全是优质改编题，第十四题直接源自去年的广州一模第十八题改编自二零一二年江苏卷真题，第十九题源自多道天津卷压轴导数题。

来，我们看一下这个题啊，这是一个三角函数图像平移变化的题，所有的这种题啊，它都是就是只要是跟三角函数有关的题，我们全部都是整体代化法来做题。 换句话说，三角函数这里考试的时候都是复合函数，复合函数就是换元来做啊，先把这个概念先贯穿始终，然后我们来做一下这个题啊。设函数 g x 等于三 omega x， omega 是 大于零的，把它圈起来 的图像向左平移五五 omega 分 之 pi 单位左右移动，指对 x， 所以 是 x 左加 x 加五 omega 分 之 pi 各单位长度得到 f x 图像。你这个 f x 求对着 r， 我 把它写到下边， f x 就 等于 sine omega x 加五分之 pi 哎，加五分之 pi， 那 我现在先不用做别的啊，我一看 omega x 加五分之 pi 不是 重的三元 t 三元 x 的 函数对不对？我就换元啊，如果 你就对整体代换法算的时候不熟悉，你就换元做，我就令 t 等于 omega x 加五分之 pi。 因为我们换元第一步要写星元的范围，所以我来看一下 x 有 没有给我取值啊。 他下边后边就说了， f x 在 零到二派上有且只有五个零点，那零到二派这个范围是不就是 x 属于零到二派这个范围啊？因为 x 属于零到二派，所以 omega x 加五分之派就属于五分之派， 五分之派到呃，二派 omega 加五分之派，对不对？ 然后 g t 是 不是就属于这个范围？ omega x 加五分之派属于这个范围，那 t 是 不是就属于五分之派到二派 omega 加五分之派这个范围啊？ 哎，所以我这个时候它函数是不是就变成了 y 等于三 a t 了？那 y 等于三 a t 的 函数图像你会画吗？你会画的呀，它就是三 x 图像。来，我把它画出来。那我就哎哎扭一下啊，把它扭出来。 哎，扭的不太好看，你就凑合着扭吧。理解这个意思啊。哎， 来我们看看啊，当我三 a t 啊，这是横坐标是 t， 纵坐标是 y， 我 三 a t 的 图像画出来之后，我这个图像是全要吗？不是，我只要 t 在 五分之派到二派，我们给他加五分之派这个范围内的 图像就可以啦。那我来标一下，五分之派是不是在这儿呀？哎，五分之派它肯定在二派，在二分之派的左侧啊。五分之派我先标在这儿，这是五分之派， 然后他说尤且只有五个零点，那我数一下，呃，一个，两个，三个，四个五个，尤且仅有五个零点，那我二派 omega 加五分之派是不是最要不就等于它， 对不？刚好等于它的时候是刚好取到了第五个零点，要不就比它大，但是比它大，我能跑到第六个零点这里吗？不可以，对不对？所以我的二派欧米伽，我们标一下，这里是派，这里是二派，这里是三派，这里是四派，这里是五派，这里是六派，所以我就有了二派。 二派欧米伽加五分之派肯定是大于等于五派啊。 大于等于五派，小于六派的，就是我刚好等于五派的时候刚好有五个零点，对不对？但是我到六派的时候，我如果取六派，我就有六个零点了，那我就不能到六派啊，不能到六派，那这个反解出来， 把欧米伽给反解出来啊。是能算出来的，把欧米伽反解出来就是大于等于，嗯，五分之十二， 小于十分之二十九啊，小于十分之二十九，这就是我对题目的翻译，也就说我这个图呀，最多也就从哪哎，到 x 属于零到二派的时候，我的图，哎，就是我紫色的这一部分啊， 就这个图没有缺要。只要的紫色的这一部分啊，只要了紫色的这一部分，没有缺，要。然后接着我来看一下选项， a 选项说 f x 的 等于二分之派对称。 我们对于这种题看到了选项，它说选项已经告诉你了，说它是对称轴，是谁？对不对？我们直接把这个 x 等于二分之派带到 题中啊，带到题中就是令 x 等于二分之派，那我就得到了什么？得到了 omega x 加五分之派就等于二分之派。 omega 加五分之派，因为它说它要对称轴，那我塞进 t 的 对称轴是二分之派加 k 派， 但是二分之派 omega 并不等于二分之派加 k 派，因为 k 是 属于整数的啊， k 是 属于整数的，所以它不是 就是二分之派。 omega 加五分之派并不等于二分之派加 k 派，这不就是整体代换法吗？因为在内的 t 的 对乘轴就是二分之派加 k 派，哎，不等于，那我这个就错的啊。然后再来看 b 选项， 零到二派上方程 f x 等于一的根有三个，那 f x 等于一，我们最大值不就是一吗？ c t 整体代化法之后，最大值就是一，最小值就是负一，最大值是一，最小值是负一。那我们从图像上来看看， 零到二拍，哎，那我这个图不是已经画好了吗？画好了啊，那等于一的时候，这个根有一个、两个、三个，对不对？等于负一的时候的根有几个？一个？两个，那我会不会取到第三个呢？ 负一的根会不会取到第三个？哎，就是我等于负一的根，有可能。怎么了？有可能只有两个，有可能只有这两个， 哎，但是也有可能会去到第三个，就是当我的二派 omega 加五分之派，如果走到这儿，就是我还没有走到六派，但是我已经超了这里的时候，哎，超了这里的时候 就超了这里的时候我就会有三个啊，对，负一就会有三个，如果没有超，我就是两个，所以这里你是确定不了的啊，这里你是确定不了的，就是有可能是两个根，有可能是三个根，知道吧？哎，有可能是两个根，有可能是三个根， 所以这里是确定不了。那 b 选项就错误了啊，他说只有两个，那不一定有三个，如果我按我这个图画，就是我算出来 omega 的 这个范围来看，我就是有三个啊，然后 b 错了，图像啊，图像看出的， 嗯，然后再来看 c 选项， c 选项说 f x 在 零到十分之派上单调递增，我们说还是整体代化法，就是零到十分之派，那就是 x 属于零到十分之派，当 x 属于零到十分之派的时候， omega x 加五分之派就属于五分之派 啊，五分之派到十分之派。欧米伽加五分之派，十分之派，欧米伽加五分之派， 我们看看在哪啊？欧米伽的范围是五分之十一到欧米伽的范围是五分之十一到十分之二十九啊，十分之二十九，嗯，那我们看看 欧米伽又因为欧米伽是属于五分之十二到十分之二十九，所以十分之派欧米伽加五分之派就属于。来，我们算算啊，十分之派乘以五分之十二， 那除以二五，除以二六，二十五分之六派加五分之派加五分之派，然后这个二十五分之六派加五分之派，那就比他刚多了一点点吧。 嗯，或者你说二十五分之五派，那我就属于二十五分之十一派，然后再乘个十分之二十九，十分之派乘以十分之二十九， 一百分之二十派，然后那个时候五，那就一百分之二十派，一百分之四十九派， 对不对？一百分之四十九派，然后看看啊，二十五分之十一派到一百分之四十九派上是不是单调递增的 一百分之四十九派是不是还没有到二分之派？所以我们来看我的图啊，我图像只有哪一截？五分之派，你看哦，十分之派欧米伽属于五分之派，就加五分之派就属于这个，所以我的图像呢？在哪？是不是？就在， 就是我，我换个蓝笔标一下啊，换个蓝笔标一下，我的图像是不是这边最大都没有到二分之派，那我就是比二分五分之派多一点点，这一部分是就这一部分的图像只就标蓝色的那一点点啊，那是不是单调递增的？是的吧？ 哎，是的啊，所以我 c 选项正确的，然后我的 d 选项， d 选项是 omega 的 取值范围是五分之十二到十分之九，呃，这我们一开头就算出来了，所以 c 和 d 是 正确的啊。

嗯，来，我们看一下这个就是逻辑用一个三角函数有关的这种题型啊。我建议这种题型出来的时候，你最好在草稿纸上把我熟悉的三元和三元的函数图像，就是基本出的函数的图像画出来，然后去解析啊， 加上这个第二文。他说 a 大 于零， b 大 于零，则 log a 大 于 log b。 我 们知道 log 是 一个对数函数，是一个以实为底的单调递增的函数，所以他说 log a 大 于 log b， 那 我就能得出来 a 大 于 b 没有问题。 接着他说 a 大 于 b， 就 一定能推出来，呃，能否推出来三以内 a 大 于三以内 b， 能不能我们来从图上看一下嘛？随便取两个数字啊，比如说 a 大 于 b， 好， 我取个二分之三派大于二分之派，可不可以 二分之三派？你看二分之三派是不大于二分之派的，这是 a 大 于 b 吧。二分之三派大于二分之派，就一定有三以内大于三以内 b 吗？ 一定有吗？没有。因为 sine 二分之三 pi 是 负一， sine 二分之 pi 是 一负一，怎么可能大于一呢？所以前推不出后啊，前推不出来后， 那就说明不充分吧。前推不出后不充分。接着他又说， sine a 大 于 sine b， 就 一定有 log a 大 于 log b， 那 是一样的。我们来看看 sine a 大 于的值啊。值，取值。比如说你取的一个就是二分之 pi， 可以 吧？ 你取的一个是二分之派，你就说三 a 嘛，二分之派大于三 a， 好， 我 b 取个二派。 哎，就是我反过来，我 a 取一个二分之三派，二分之派 b 取一个二派，那三 a 确实大于三 a， 因为三 a 等于 一， sine b 等于几零？ sine a 等于一， sine b 等于零。那我 sine a 大 于 sine b， 一定有 a 大 于 b 吗？没有对不对？没有。所以这个啊，既不充分，也不必要就画图来啊，画图来。下边这个题也是一样的道理，我们画 图，所以每一个有特殊条件的，你都给它用特殊符号给它标记出来，画个线也行啊， 则 cosine x 等于一。我们看看图， cosine 函数图像一出来等于一的，这里是不都是 x？ cosine x 等于 e， x 是 不都等于 零加二 k 派啊？那就是二 k 派，对不对？ x 都等于二 k 派，是三元 x 等于零的。什么？我们再看这个图，三元 x 等于零，三元 x 等于零，那 x 都等于什么？零派？二派？再往后三派，那是不都等于 k 派呀？ 是不是？我们看看 x 等于二 k 派，能不能推出来？ x 等于 k 派， x 等于 k 派，能不能推出来？ x 等于二 k 派，对不对？我们叫什么？叫小推大，大不推 小，小推大，大不推小。哎，那小推大，大不推小，怎么推？那你看这个 x 等于二 k 派，二 k 派， k 可以 取哪些数？ catch 零的时候，它等于零， catch 一 的时候，它等于二派。 catch 二的时候，它等于四派。它是零，二派、四派。但这个呢，是零派、二派、三派、四派。所以我小能推大，大不能推小，那是谁推谁呀？ 是不？这个肯定能推出来这个，但是这个里边儿有一些派什么的，能推出来它吗？推不出来啊，推不出来。所以我们说小推大，就是说 当 x 等于零的时候，它也确实等于。当 x 等于零的时候，它等于一，它等于零，当 x 等于二， pi 的 时候，它等于一，它等于零，对不对？但是当它等于 pi 的 时候，它能推出来它吗？推不出来啊，所以这个是充分，不必要，你就举两个例子就可以。 然后包括这个题，在三角形 a、 b、 c 中，我之前说过，我说看到在三角形 a、 b、 c 中这几个字，你就立马写出来， a 加 b 加 c 等于 pi 等于 pi 的 b 加 c， 对 不对？ 然后 cosine a 等于负的 cosine b 加 c。 因为互补的两个角正斜值相等于斜值相反嘛，我先放在这，我用不用再说啊？然后那我们来看啊， 就是我们把这个写完之后，就是把这些写完之后，我们来看，继续往后读题，它是 sin a 加 呃，继续往后读题，它是 sin a 等于 sin sin a 等于 sin 的 二分之派解 b， sin 二分之派解 b， 可以 用诱导公式化成 cosine b。 所以 你首先想到的就是 a 和 b 两角互余 物，鱼的两个角正于斜值相等，对不对？这只是其中一种情况，你不要忽略了另一种情况。另一种情况是什么？三影 a， 三影 a， 它是正斜正斜的两个角，只要就是，比如说 a 是 个锐角啊， a 如果是一个锐角的时候， a 是 锐角的时候， 哎，那我们画图啊， a 是 锐角，那是不是跟 cosine b 都是正的就相等，对不对？但是当 a 是 一个动角的时候，哎，当 a 是 一个动角去到这里的时候，这么大个角， 它和 b cosine b 要想相等，那 cosine a 是 正的， cosine b 也是正的，要想相等是什么？是 九十度啊，中间确实是差九十度，所以这个时候 a 是 锐角的时候，是 a 加 b 等于 pi， 那 还有另一种情况，就是 a 减 b 等于二分之 pi， 这是在 a 是 动角的时候啊， 这个翻译必须要记住了，这个翻译啊，不能忘，就是两个角，两角正于斜值相等。我们说在直角三角形中互余的两个角肯定是正于斜值相等的。当我们上了高中全反三角函数之后，你就要知道，还有另一种情况， 就是两个角的正于斜值相等。还有另外一种情况，那就是 a 减 b 等于二分之派。那你不信来看一看啊。那 sine a 等于 sine 二分之派加 b 也等于什么？ sine 二分之派加 b， sine 二分之派加 b 等于 cosine， 哎，还是 cosine b， 对 不对？哎，对吧？还是 cosine b， 你 看一下嘛，是不是？所以 cosine a 等于 cosine b 有 多少种情况？一种是 a 加 b 是 二分之派，一种是 a 减 b 等于二分之派。那你再看一下。所以当 a 减 b， 如果是二分之派的话，我能推出来角 c 等于二分之派吗？ 那因为这个时候他已经有一个角是动角了，那怎么可能有一个角是直角呢？所以前推不出来后啊。前推不出来后，但是后能推出来前，就前推不出来后，但是后能推出来前。因为后推前。这个是我们学直角三角形，就是三十度、六十度、九十度角的时候就已经学过的， 所以前不能推后，但是后能推前，那就是必要不充分调节啊。这个最好，画画图就能看出来了啊。

同学们大家好，今天和大家讲一道二零二五届大湾区一模第一道大题。首先呢，他给了我们一些基本的信息，就是一个三角形啊，对边 abc， 然后呢， a、 d 为 bc 上的中线，那我们先快速把图像给他画出来， 因为呢 d、 a、 d 为 bc 边上的中线，所以 d 点应该是 bc 的 中点，所以 b、 d 等和 dc 分 别都等于二分之 a。 好 了，那现在第一小问让我们证明的是 这样的一个式子哈，我们首先可以观察到这个式子呢，它利用到了就是这个现在这个三角形中间的这条边， a、 d 边啊，以及呢三条边啊， a、 b、 c 的 三条边。那像这种情况下我们怎样才能引出来呢？那这个模型其实是比较常见的，我们以后再遇到这个模型的时候呢，我们都可以针对现在 列的这两个角，分别给它去使用余弦定力。好了，哪两个角就是刚刚连接 a、 d 后形成的这两个小角，我们把把这个角叫做角一，这个角叫做角二，针对这两个角，在两个小三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 d、 c 当中分别列 两次鱼弦定律啊，那我们先把式子给它列出来，那针对角一，角二，列好了鱼弦定律之后，我们会发现角一加角二，它是等于一百八十度的。那像这样的互补的两个角，他们的鱼弦值有什么特征呢？比如我们现在举个简单的例子哈，比如 cosine 六十度和 cosine 一 百二十度 啊，我们会发现勾三二六十度是等于二分之一的，勾三一百二十度呢，是等于负二分之一的。所以我们由此可以看到，如果两个角是互补的，他们的余弦值相加，应该是等于零的，所以呢，我们可以针对这两个列出来的式子哈，就是勾三角一加上勾三角二，他应该要等于 零的。好了，那我们现在观察到两个式子，它们的分母都是相同的，都分母都是 a 乘上 a d， 分 子呢，直接加起来，那就是四分之 a 方加四分之 a 方，就是二分之 a 方，我们快速整理一下 好了，那整理好了之后呢，现在要让这个式子等于零，那首先现在这个小 a 边和小和 a d 边肯定是个正数来的，所以呢，只能让分子的部分等于零啊，那我们可以把这个式子给它抄下来啊，就是二分之 a 方加上二 a d， 那 我们就是要让这个分子的一个整理啦，整理出我们呃题目当中出现的这个形式， 再同时两边开根号。那，那这个时候呢，我们就证明完了第一小问了，所以呢，第一小问呢，像这种场景，就是当我们的第一个大三角形 啊，一个大三角形被平被被分成两个小三角形的时候，我们都可以针对角一角二这个这两个位置去给它列一次余弦定力啊，我们就可以把中间的这条 a d 边给它扯进我们的一个式子当中了啊，所以呢，这个式子，这个让我们证明的这个式子，其实也是给了我们一定的一个提示的。 好了，那我们接着来看第二问，第二问呢，我们知道 a 角是等于三分之拍的啊， a 边又等于二，所以我们对边的 b d 和 c d 都等于一了。好，那现在呢，让我们求 a、 d 的 最大值，那 a、 d 的 最大值，其实我们 d 小 问已经证明好了这个式子， 而且 a 边也知道了，我们可以先把这个信息给它带到第第一个式子当中哈，我们可以得到 a d， 它是等于 小 a 边是知道的，所以我们整个 a d 的 市值就变成这样子了。那现在要求它的最大值，我们相当于就要求 b 方加 c 方的一个最大值了。那 b 方加 c 方能在哪里引出来呢？首先我们已经知道了大 a 角和它的对边，那现在我们可以针对这个扣这个 a 角去列一下弦定力， 因为 a 角呢，是等于三分之拍的，所以扣上 a 呢，就等于二分之一了。那我们把已知的信息带进去，可以得到 把二 b c 乘到右侧就等于 b c 了。好了，那我们现在要的是 b 方加 c 方，那现在把它弄成等于 b c 加四。 好，那现在我们再去看啊，现在呢，我们要求的是 a d 的 最大值，就相当于要求的是 b 方加 c 方的一个最大值了。好，那现在这个式子我们如何来求它的最大值呢？啊？现在我们先对 b 方加 c 方的这个位置哈，我们去用一个基本不懂事 b 方加 c 方啊，大于等于二倍的根号下， b 方乘上 c 方，所以我们可以得到呢， b 方加 c 方呢，它是等于二倍的二倍的 bc 的， 因为 b 方加 c 方呢，又等于 bc 加四，所以我们可以把 bc 加四替换进来啊，它就大于等于二倍的 bc 了啊，可以得到 b c 是 小于等于四的，由此可以得到 b、 c 的 一个最大值呢，它是等于四的。嗯，这里通过一个基本不等式可以得到这个信息啊，那最大值等于四，那我们的 b 方加 c 方的最大值，那就等于 b c 的 最大值加四了，那就是四加四就等于八了。好了，所以呢，我们可以知道 b 方加 c 方的一个最大值是等于八了，那重新代进来，我们的 a d 就 可以出来了，那 a d 就 等于二分之一乘上 好了，由此我们可以求到 a d 的 一个最大值是等于根号三的。好了，那第二小问呢？其实和第一小问的一个关联性是非常强的啊，所以呢，我们在这里还结合到了一个，呃，余弦定理以及基本不懂事啊，去求一个最值的问题好了。那同学们对这道题有什么疑问可以在评论区提出。

那部分图像如图所示，那我知道这个图是 f x 的 图， f x a a 影响的是纵向的伸缩，所以它是最大值，最小值，看最大最小，那我由图就可知 a 就 等于二，对不对？ 然后 omega 是 什么？横向的伸缩？横向的伸缩计算的时候， omega 计算的时候都是用的什么？用的是周期来算的，而算周期的时候，我们看什么？看？对称轴和对称中心之间的距离是我的几个周期，所以我由图就可知我的 四分之三个周期，哎，是不刚好这里对称中心，这里对称轴，我刚好知道我的四分之三个周期是多少，是我的十二分之五派，减去负的三分之派，那就是四分之三派，所以就，哎，等于四分之三派， 哎，四分之三派，所以我就知道了，我的 t 就 等于派，而 t 等于派又是怎么？呃，这个就可以算出来， t 等于派，那 t 周期 t 又可以怎么算？是不又可以用二派比上 omega 的 绝对值来算？所以我就得到了我的 omega 就 应该等于二， 所以我就知道了，我的函数解析式是二倍的 cosine 二 x 加 f， 那 现在是不是只剩 f 一个未知数啦？那 f 这个未知数计算的时候是不是叫带点坐标啊？你就记住了， a 是 看的是最大最小值最直， y 的 最直，因为它是纵向的伸缩， 然后 omega 看的是因为它影响的是横向的伸缩，所以它看的是对称中心和对称轴啊， 之间的距离是你的几个周期就可以了。然后这里边的斐是什么？什么？斐是横向的平移，所以他一般是带点坐标计算啊，带点坐标计算， 哎，那我们来算一下你今天这个啊，你跟我说你算出来斐有两个值取的是哪一个？我预估你算出来斐的两个值是用的负三分之派零这个点算的啊，那我就要给你讲一下，如果你是用的负三分之派零这个点算的啊，那我就要给你讲一下，如果你是用的负三分之派零，那这个方法我们把它叫做单调姓法，求派， 哎，单调刑法囚犯啊，单调刑法囚犯就必须要考。为什么叫单调刑法？因为负三分之派零这个点在你曲线递减的图像上，而我们对于这种函数全部都叫什么？叫复合函数？ 负函数做题的时候其实就是整体代化法，对不对？你有一个点在递减的这个区间上，其实就代表着你整个 t 就 应该在你原来 cosine t 图像的递减区间啊，递减区间，哎，就是什么？呃，如果啊，也就是说负三分之派零在这个， 呃，在这个递减的图像上，然后我的 omega x， 其实 omega x 加 five 其实是一个复合函数，我们以前做的时候经常会换元，对不对？换元做就整体代换换元，那换元的时候，哎，那我原来的 cosine t 是 不是长这样子啊？你三分之派 负三分之派零在这个递减上，是不是意味着你负三分之派零带到这里来的时候，也应该在你 cosine t 函数图像的递减区间上呀？ cosine 函数图像的递减区间上，呃，所以这里就必须要写啊，呃，因为点负三分之派零 在递减取递减曲线上，哎，因为你要搞懂一个，你的这个负函数其实就是元函数图像平移变化得来的，所以你必须要同时满足大前提条件，得在这个点，得在递减曲线上啊。递减曲线上。所以我的负三分之二派 加派就应该是属于哪个区间元函数的递减呢？就是二 k 派到派加二 k 派， 哎，派加二 k 派啊，啊，这里 k 属于整数。然后呢，我把这个点坐标，这是我的大写题啊，这是我的大写题。如果你想带这个点，这个大写题条件就必须得有啊，必须得有，然后又有 我的。我的这个解析是，那由二倍的 cosine 负三分之二 pi 加 f 等于零啊，等于零。嗯，可以解得什么？可以解得 cosine 多少等于零？ cosine 我 有图可以知道 cosine 多少等于零。 二分之派加 k 派吧，得负三分之二派加派等于二分之派加 k 派，二分之派加 k 派。所以派就等于什么二分之派加三分之二派加 k 派， 那就是等于六分之四加六分之二派加 k 派， 哎，六分之七派加 k 派，我就开始复制。当 k 等于零时，我的 five 是 等于六分之七派的。六分之七派满足这个提议吗？六分之七派不满足啊，因为六分之七派不在那个什么题目的要求？题目要求 five 绝对值是 小于派的啊。 five 绝对值小于派，那 five 大 于负派小于派对不对，所以这个是不合提议要舍去的，那我再来。当 k 等于负一时，那 five 等于负派小于派对不对，所以这个是不合理，要舍去的。那我再来。当 k 等于负派小于派对。多少 函数等于六分之派，哎，看上去六分之派是不是满足题一了？它刚好在负派到派之间，对不对？但是不要忘了， 我说有一个大前提条件，就是你这个点得在我递减的曲线上，因为你是图像平移变化得来的，就是你现在看到的所有的复合函数是原函数经过平移变化得来的，所以你必须得满足原式也得递减，是不是？那我就带进来看看。 我把六分之派，将 five 等于六分之派带入负三分之二派加 five 中，就得到负三分之二派加六分之派，那就是负的六分之四派加六分之派，那就负的六分之三派就等于负二分之派。 负二分之派在这个区间内吗？在二 k 派。呃，二 k 派到派加二 k 派之间吗？不在啊。所以这个题派不是六分之派啊，不是六分之派，这个一定要明确。这个派不是六分之派， 那这个派不是六分之派等于多少呀？就像你跟我说的说，老师，我算出来两个值，对不对？哎？两个值，那两个值是多少？ 那，那你现在再取的话，再取 k， k 等于负一不行， k 等于负二，行吗？那就更不行，行吗？啊，都不行。所以这里啊，你带这个点坐标就算不出来了啊。这个周期算就不对了啊。不对，那我这个周期负 i 就 不取它了啊。所以负 i 不 能等于六分之派啊。 然后我们再来看，那我还有哪个点坐标可以带了？将十二分之五派二这个点， 哎。将十二分之五派二这个点带入 f x 等于二倍的 cosine 二 x 加 f 中。 哎，你这个时候带入，你来看看。为什么这个时候带的，不带的时候不考虑了，因为这个时候没有增没有减啊，在这一个点上我只是有一个最值，只是有一个最值， 并没有发生增减变化啊，并没有发生增减变化。你可以跟我说先增后减，先减后增无所谓，反正这个点点的时候没有发生增减变化，所以我这个时候不需要考虑单调性。我就带最值就可以了啊，这个叫最值法 啊，这个囚犯叫最值法，我直接带点坐标就可以啊。中，然后我们得到什么？二等于二倍的 cosine， 六分之五 pi 加 five， 那 我就得到六分之五 pi 加 five。 cosine 多少等于一二 k pi 吧，等于二 k pi， 所以 five 就 等于负六分之五 pi 加二 k pi， 当 pi 等于零时， five 等于负六分之五派。满足题吧啊？满足在哪个范围内？在负派到派之间，然后当 k 等于一的时候，肯定不满足了，六分之十二和六分之五差的是六分之七，不满足。当 k 等于负一，是不也更不满足？所以最后 five 就 等于负六分之五派啊。 five 值等于六分之负六分之五派。这也就是解决了你昨天问题的那个关键点。就是为什么老师这个题我算出来 five 有 两个值，那我究竟该该取哪一个值？你记住，你一旦算出两个值，说明你肯定是用什么算的，一定是用单调的。那有一个点在单调曲线曲线上算出来的啊， 那现在懂了吗？剩下的应该就能判断了吧。记住，全部都用整体代化法做啊。

hello 宝子们，今天咱们讲的是三角函数的零点问题，来看一下这道题。既函数 f s 等于 cos omega， s 加 f， 其中 omega 大 于零， f 大 于零小于 pi， 它的最小正周期为 t。 若 f t 等于二分之，根号三 x 等于九分之 pi 为 f s 零点，则 omega 的 最小值为多少？ 来分析一下这道题。 f x 的 最小正周期为 t， 我 们知道 t 等于二 pi 除以欧米伽，这就是它最小正周期。若 f t 等于二分之二三，那就把这个 t 等于欧米伽分之二 pi 带入到这个函数当中去。 f t 等于口算，欧米伽乘以 s 换成 t， 欧米伽分之二 pi 加上 f 等于欧米伽和欧米伽约调，也就是 cosine 二 pi 加 f， 它就等于 cosine 二 pi 加 f， 它就等于题目当中给了二分之二三。 又因为这个 f 是 属于零到 pi 的， 我们来画一下这个余弦函数的图像，零到 pi 的 时候， cosine f 等于二分之二三，那这个 f 只能取到六分之 pi， 所以 five 等于六分之派。接着 x 等于九分之派时，为 f s 零点，我们知道零点就是使这个 f s 等于零的点，所以 f 九分之派。 cosine omega 乘以九分之派加上 f f， 咱们刚才得到了它是等于六分之派加上六分之派，零点就是使它等于零。好，来看一下这个是 cosine 函数的图像， 使它等于零的点可以是二分之派，也可以是派，所以它的零点就是二分之派加 k 派，也就是 cosine 里边的值。 欧米伽乘以九分之派，加上六分之派等于 k 派加二分之派。 解得欧米伽等于九 k 加三，其中这个 k 是 属于 z 的， z 代表的是整数。这道题让求的是欧米伽的最小值，那也就是当 k 等于零的时候，欧米伽为最小值， 最小值是三，拜拜宝子们。

三角函数图像变换，一不小心你就会丢分。所以说咱们这节课把平移伸缩变换的本质给大家讲透，以后这种题咱一分不丢行不行？行，好，第一件事，我们先来说平移的问题。 哎呀，这个比较简单呀，初中都学过了，叫什么左加右减，哎，左加右减。好，咱通过考题说一下他怎么去应用的问题。例，看这里啊，我说 f x 等于 三二 x 加上三分之派，把它向哪移？ 向左移行不行？向左移三分之派个单位，请问得到什么？我给你两个选项，你自己选啊。 a 选项 f x 等于三左。啥？左加左加？那是不是给他加一个三分之派啊？就加这个吗？加一个三分之派，然后这个三分之派我是不是赵超这第一个选项 b 选项 f x 等于三左加。哎呀，给 x 加吧，加个三分之派，然后这个三分之派照抄 蓝色的啊，三分之派在这两个位置，请问选 a 还是选 b？ 选 b？ 亲爱的同学，怎么看呢？ 左加右减，从初中老师都给你讲了，左加右减移的是谁，移的是纯纯的 x， 就是 给 x 进行左加右减呢，而不是给整体加，明白了没有？所以只要把握住这个点，你就不会出错了， ok 啊，所以这个应该选的是 b， 有 问题吗？没有没有问题，好， q 音讲完，然后再来说第二个问题， 跟伸缩有关的问题。我举几个例子啊，来，我每次通过例子去看，写上例二吧， 你看 y 等于三 x 变到 y 等于二倍的三 x， 这两个图像之间发生什么改变？自己打 发生什么改变了？变高了。三 x 图怎么画？我先给你画一个草图啊，是不大概长这样子的。这个是派，这个是二，派该没问题吧？ 取同一个 x 的 时候，你得到的 y 值，我在你的基础之上成了个二。咱俩取同一个 x 的 时候，我的 y 值是你的几倍？二倍，二倍。取同一个 x 这些个点，二倍的情况下还是这些点吗？不变是不是？是的， 那其他的点取同一个 x， 我 的 y 值得变为原来的二倍。所以你说发生什么改变了？ 叫啥？长高了，长高了叫 y， 拉伸为原来的两倍，没问题吧？没问题，那同理啊，那如果变成 y 等于二分之一，三 x 呢？你告诉我图像发生什么改变？ 取同一个 x 的 时候，你看零这些点，他乘个二分之一是不还是零啊？是的，除了零这些点之外。哎呀呀呀，其他的取同一个 x 的 时候，我的 y 值是你的 二分之一。我图画的不是很好，很美观。这两个是对称的啊，画的有点扯，但是你们自己知道就可以了，没问题吧？没有好，所以说外面这个数字 影响的是 y 值的伸缩问题是不是？是的，这个叫 y 深为两倍，下一个叫 y， 怎么了？缩？缩。啥叫深？啥叫缩？ 就是 y 变为原来的几倍，这个倍数字大于一吗？大于一是不是变越来越长了？是的，零到一之间是不是就缩小了？对， 能理解，看这个数字大于一较深，零到一之间读什么缩？是不是叫 y 缩为原来的二分之一倍，没问题吧？没有。好嘞，这个事搞定，然后我再来一个，叫做力三， 咱别急啊，一个一个给他把它讲清楚。例三的话回答我， y 等于三， x 到 y 等于三。二 x 二跑哪了？刚才是不是在外面来？是的，现在跑到是不是 x 的 位置了。对，来看看图像发生啥改变了？我先把三 a 的 图像给你画出来啊，关于中心对称的啊，这个点是派，这个点是二派， 你如果不知道发生什么改变，你就用五点描图法把你俩画到同一个图像里面去比较一下嘛，对不对？对，但是我们还有一个技巧，就是描图多慢的呀，考试中你描图吗？算周期吗？你走一圈周期是二派。 那你走一圈周期 t 是 不等于二派？除以这个二啊，等于谁？等于派？是不是你在零到派之间内你就走了一圈了，姿势不变，大家姿势都是这样一拐 是不是？那你说人家都走一圈了，来咋走？就是领导派内我就要走一圈。高低是一样的吧？是的，高低是一样的， 长这样最高点大家都是一样的，最低点大家都是一样的，没问题吧？没有，然后你再看我再给他。哎呀呀呀，画的又高了又高了，哎，好，大概姿势知道就好了， ok 吗？所以你说图像发生什么改变了？ 把原来的图啪。原来走一圈是这么长，现在走一圈是不是给他压扁了？对，那图像是深了还是缩了？缩了是不是 x？ x 怎么了？ 缩为原来的缩为二分之一了，缩原来的二分之一背了是不是？是能跟上啊？来，开始再来搞下一个啊，比如说 y 等于三二分之一， x 呢？ 一样的嘛，算周期呗，悄悄旁边算一下你的周期 t 等于二派除以二分之一几个派？四个派，你走一圈用二派，我走一圈用了多少？四派？四派， 那咱走的一圈用的时间更长了吗？是不是好？哎呀，你看不错呀，四排，比如说在这二排，在这我给你换一下他头像，你看咱高低不变啊，咱们高高低都是一样的， 是不是这样子？我画的有道理没有道理啊，其实的是这根白色的吗？ 刚才是压压密了，是不现拉稀疏了，所以他叫什么？从这到这，自己打一下这个过程， x 身长为原来的身为原来的两倍。好，我们来总结一下，你可以看一下，如果给三 x 外面乘个数字，说明谁发生改变了 y， 哎，乘以谁， y 就 变为原来的几倍，是不是？是的，那这个呢？你看是不是 x 前面的系数影响的是 x 方向的伸缩呀？对，那他还是乘以谁变为原来几倍吗？ 乘个二反而小了，除个二反而变大变大了。所以我们给大家总结的口诀来注意，叫做横除 纵乘。什么意思？纵坐标乘以谁 就变为原来的几倍总乘，没问题吧？对，横除横坐标除以谁就变为原来几倍。你看横坐标是不是这个相当于 x 除个二分之一啊？除个二分之一倍， 对，对吧？这个呢，是不给 x 除了个二，这不二分之一吗？就 x 除以二的意思吗？是不是除以谁就变为原来的几倍，所以它叫做横除总乘，没问题吧？ 啊？接下来我们再给大家去讲第三类，就是平一和伸缩，给你整一块一类到底是先平一还是先伸缩的混合顺序问题，这个同学们经常出错，我们通过一个例子给大家讲明白好不好？好，你看啊，比如说我问你， y 等于三 x， 你 经过什么样的变化能给我把它变成 y 等于三 x 加二 x 加三分之派， 这个东西是不是跟什么有关？伸缩跟伸缩有关吗？对，这个东西是不是跟平移有关呀？对，那你说他怎么变呢？先平移还是先伸缩的问题，先，哪个自己说？法医，先平移 后伸缩行不行？可以，那咱试一下，看一下怎么能变过去啊？先平移怎么移？ y 等于三 x 先平移，是不是先到现在出现三分之派啊？是的，可以吗？可以，你看 y 等于三 x 加三分之派出现它吗？ 这咋移的？左加右？对，是不是叫向左平移三分之派个单位，向左移三分之派个单位，然后人家前面得是二，多了一个二，立马跟谁有关了？ y 等于三，二 x 加三分之派， x 多了个二，说明 x 方向怎么了？深还是缩了？缩了。 给除以谁变为原来的几倍是吧？是的，变为原来几倍了。二分之一， x 变为原来的二分之一倍。具体来说，这个变为就是缩缩为二分之一倍吗？ 给 x 除了二分之一吗？除谁横除除以谁就变为原来的几倍吗？是不是？是啊，对，这个目标就达成了。当然，我们还有同学说，胡老师，我不想这么干。反二， 我想先伸缩行不行？后平移。 先伸缩，是不是先让 x 前面出现那个系数呀？对， y 等于三 x 怎么样？变成 y 等于三个二， x 先变成它怎么变？ 还是给 x 除了个二分之一吧。是的， x 变为原来几倍，二分之一倍就缩为原来的二分之一，没问题吧？没有，然后你得出现 三分之派，怎么由它变成三二 x 加三分之派呢？ 告诉我往哪移？左移三分之派个单位是吧？是的，第一题白听了啊。 不用不用告诉你平移永远移的是纯纯的 x 啊。看给 x 发生了什么改变。你看给这个 x 发生什么改变了？提出去变成一个六分，这个东西是不是跟他相等的？ 从这到这只给 x 加一个六分之派就变成他了。对，左加，所以应该是向左移六分之派个单位。 所以你没有发现先伸缩后平移和先平移后伸缩，他们缩的这个是一样的，但是平移的单位是不一样的。 所以大家以后你自己不管是从哪个路走，这两个单位不是一个单位。治疗强调的是移的是纯纯的 x， 没有问题吧？没有。好，我们做一道跟他有关的综合问题来。先看题，他说 f x 为函数，向左平移 六分之派，各单位得到的就你先得得到这个函数，然后这个函数与它的焦点个数有几个？那你是不是第一步先干嘛？本题回答胡老师，你得先找到 f x 是 谁吧？ f x 等于谁？自己说 他是不是应该等于靠三什么有，你向左左加右减是不？给 x 平移六分之派个单位，跟其他没有关系对不对？然后再加一个六分之派来整理一下，变成靠三二 x 加上 二分之派，加上一个二分之派。哎呀，还可以化解吧。诱导公式吗？是的，二分之你可别拷拷塞塞展开诱导公式是不是可以踢出去啊？名称要发生改变，外面不要忘了， 既变偶不变符号看象限是吧。后面还有个正负问题，正的还是负的？负的看的是原来角度对应的原三角函数的正负，这个到第二象限了吗？对应的 cos 是 负的？对，所以他是负的。完了，叫第一步解决了他的问题，然后才有了第二步。干嘛 画图画图。哎呀，三二 x 的 图像你会画吗？宝子们，看这里， 他取零的时候是不是也还是零啊？是啊，原没有符号的话是不长这样子。对，取零的时候还是零，姿势不变长这样 添了个符号说明什么？添过正的变负，说明图像是不是关于 x 轴对称一下，正的变负的，负的变正的图像长这个样子，这个点和这个点分别是谁走一圈吗？这叫一圈？ 他走一圈是谁？是不是立马去算一下周期？二派除以二等于派，你走了一圈用了派，说明这里是二分之派是吧？是的，最高点是谁？最高点是一，这应该都知道吧？最高点应该是一在这， 然后题让你求啥，与他的交点个数。哎，这个当 x 等于零的时候取谁 取负的？这不是，这最低点是一是吧？负一啊，负一，这是负的二分之一过这个点，然后嘞取一的数字，一在哪啊？一是在这，不是三点一四吗？对，除以二，一点几了是吧？一是不？大哥在这个位置。对， 是把他俩一连来，注意，我给你连啊，假如这样一连连过来啊，拉长几个焦点告诉我，一二三三个，一个，两个三个。 这人为因素可太大了吧。那有人说，胡老师，我手一抖嘚，我这样连这几个焦点两个跟他相亲了，一个几个两个。要说，哎呀，我就怕你，我不想这么干，我这么干一个。那有几个？ 一个吧，你看每个人的焦点不一样，核心在于什么？怎么判断？核心在于你看他最高点是不是一， 我只要超不过人家的最高点一，我就一直在人家底下，我就看你的图像一直有焦点吗？但是如果有一天我的白纸能到达一，那我肯定往上走，我肯定骑在你上面了，远远超过你了。你最高点才是一，我在这都达到一了，我永永远后面就超过你了吗？ 所以取决于什么？取决于这个东西什么时候到达一，他什么时候等于一的问题是不是？是的，早点到达一，早点骑到你头上去，晚一点的话，你在后面，未来会相交吗？是吧，来算一下吧，这多少？ 三 x 等于几？ x 等于三，三在哪里？派是三点，一四？是的，就比三大了一点点，所以三是不是应该在这嘞？对，三对应的白值是 一在这，所以你看人家，这不是他的那个最高点吗？多三点。所以这个图像会画了吗？会了，哎呀，要画准啊，这个这个这个，这三一条线我给他也画。来吧，一个两个，三个 啊，第三个在这描错了，三个，这个不算没问题吧？没有，这就叫做跟图像有关的平移伸缩及其综合问题。 当然这只是咱们三角函数经典的二十三大题型中的之一，你要拿下整个三角函数，咱剩余的二十二大题型必须去做深度训练，每一个从一级别要干到几几级别， 旧级别。所以说手边哎呀，还没有二十三大题型，你可以给胡老师留一下二十三大题型，抓紧时间拿走，打印下来，跟着胡老师课程匹配用起来，我相信三角函数这块的实力会大大增加的，好不好？好好下课。

重点来了，今天我们正式来讲三角函数领域最核心的知识，我们正弦函数的图像的性质，那么大家拿做好笔记，跟着老师一起上课， ok， 同学们，那么我们学正弦函数，顾名思义，正弦，正弦嘛，它是由我们的正弦塞 引导出来的函数 y， y 等于 sin x， 那 么这个 sin 呢？是什么意思呢？老师在刚讲三角函数定义的时候，就给大家强调过，什么叫 sin， 什么叫 cosine， 大家的思维要往哪方面靠呢？要往平面直角坐标系上的横纵上去靠， 准确点说，要往我们单位圆里的坐标的横纵坐标上靠，那么 sin 就 应该是纵向的坐标， cosine 就是 横向的坐标， 那么也就是说，随着角的变化，他的纵坐标在单位圆上有什么样的变化呢？哎，就是这样的一个函数，我们要去学习，所以说大家学习函数一定要明白他怎么来的，以及他的图像的细节。那么老师带大家一起来画三角函数的正弦函数的图像。大家来看， 我们在画图之前，我们必须得有一个单位圆，大家来看，必须得有一个单位圆啊啊，老师随手画一个圆，大家用圆规好好打出一个圆来， ok， 那 么我们可以把这个横给他延长延长一些，然后呢，我们的纵坐标呢，可以在这 y x， 也就是我们的平面直角坐标系圆点在这啊，在这在这，我们的图像往右画，但是呢，我们借助这个圆去画，这个圆是单位圆，边长是一，半径是一。 ok， 那么我们 x 扮演了一个自变量，也就是这里边的角的自变量，那么他的起点应该是零，从零开始，沿着逆时针方向为正去旋转，对不对？那么从零增加到九十，增加到一百八，增加到二百七，增加到三百六，在这旋转。那么图像是什么样呢？我们关注的是什么来的？大家想关注的是 纵坐标，哎，大家注意， side 就是 纵坐标，那么我们以后要学鱼线函数呢，那我们的重点就是横坐标，大家注意一定要明白这个点，那么请问大家起点这个点的纵坐标是多少呢？ ok， 这个点众坐标，谁都知道，他应该等零，所以说零对应的众坐标是零，他过圆点，第一个零是指横坐标的零，也就是这个角就是零，那么零度对应的众坐标是零，也就是他的正弦值的零，大家能明白吧？零度对应的正弦值的零，也就是三点零的零啊。继续我们往上抬， 大家看我抬到某一个点的时候，他的纵坐标是不是在变大呀？对不对？所以这个图像很明显是增函数在上升，那么怎么个上升法呢？大家跟上他在这走，我们学过物理更好了，这个走的什么运动呢？这个叫匀速圆周运动， ok 吧？匀速圆周运动有什么？有角速度？ omega， 它以一个均匀的 omega 在 这，它不快，不，它不，不是嗖，哎，变慢了，嗖，变慢了，不是这样跑的，它是均匀的在这跑。大家想象时钟，时钟给它反过来，时钟再转，均匀的再转， ok 吧？那么大家想均匀的再转，我们把这一套给它平分成三个系列， 哎，相当于一个披萨，我给它切成三等份啊，切成十二等份啊，这个，这四分之一份切成三个等份，那么大家说这一个多少度？ 是不是应该三十度啊？对不对？三十度，三十度，三十度，那么从他转圈的角度来讲，是不是路程是一样的，对不对？这个路程和这个路程和这路程一样，那么速度还一样，路程还一样，说明时间是一样的。大家想横坐标是什么？横坐标我们就可以给他想象成一个时间 不同的时间，他的纵坐标的位置的图，对不对？那么一个时间他来到了这啊，又来一个时间，他来到了 这，又来一个时间，他来到了饼，哎，大家看这个图是不是应该这样式的？有时候老师你这图为啥不是直的呢？为什么是一个这样的弯曲的呢？ 大家看啊，同样的时间，他的嘚了 y 也是 y 值的变化，一样吗？他的 y 值变化了这些， y 值变化了这些， y 值变化了这些。 那么大家都学过三十度的正弦是多少？三十度算正弦，是不是二分之一啊？大家看二分，这是不是一啊？二分之一是不是占一的一半啊？对不对？所以说这个点是二分之一，也就是三分之一的时间走了二分之一的路程， 大家看这就是三角函数正弦函数的特点，一定要学会。再走三分之一的时间，他又走了一个路程，那么这个路程还有那么多吗？注意，没有那么多了， 六十度的正弦是二分之根号三，那大家注意二分之根号三，约等于多少呢？约等于这个是一点七除以二，约到一点七除以二，零点八六左右，零点八五，零点八六点，对吧？零点八六几， 那么零点八六还没到一呢，对不对？也就是说这个从零点五走到零点八六，这个长度他并没有这么长度，那么大，他变小了，所以这个图像是这么走的，大家看能理解吧？那么第三个时间呢？从零点八六变成一就走了，这么不点 走了零点一几，对不对？所以说他是有个大中小的一个变化，同理，那怎么上来的他就得怎么下去， 下来，下来是不是有一百二，一百五、一百八呀，对不对？所以说下来大家看，又来一个时间，走到了二分之二，又来个时间，走到了二分之一，又来个时间走到了零，大家看上上上下下，对不对？ 那么下边也是一样的，我们把这个线都给他延长出去，这个应该是二百一十度，这个应该是二百四十度，这是二百七十度，这个呢？应该是三百三，这个呢？应该是三百二百七，三百三百三，对不对？那么他下来从这往下来负二分之一，对不对？这不正二分之一吗？这不负二分之一吗？都是对称的，大家注意。来，再来一个，再来一个，我们把横轴标伸长， 把横着不要伸长， ok， 两个、三个、四个、五个、六个。第一个来到了负二分之一，负二分之一，大家看啊，负二分之一，老师在这画出来，负二分之根号三。哎，老师搁这画出来 啊，负一啊，老师说这个手画可能是存在的一点小误差，大家去感受，你们可以用格尺去挡啊，自己争取画出一个完整的图像来。负二分之一，负二分之三，负一也就二百七十度，二分之三派对应负二分之三，那么这个呢？应该是三分之四派，这个是六分之七派，派六分之五派， 三分之二派，二分之派，三分之派，六分之派，他们分别对应哪个点？大家都要把它记住来，这个往上来，哎，这个是负二分之二三，这应该是三分之五派， 哎，再往这来应该是这个角，应该是这个角了吧？刚才三分之五派在这，这个应该是这个角了，负二分之一，这个角六分之十。一派最后回上来二派，大家看一个完整的正弦图像出现在你的眼前， 那当然了，他还可以继续转，所以说这边图像还可以继续延伸，他可以往回转，这边图像也可以延伸，所以说这个图像是一个无限的延展的图像。但是老师画出来了一个圆，出现的一个图像，也就是一个周期，一个周期 啊，我们管这个叫最小正周期，最小正周期等于二派，大家看周期函数最小正周期，二派在零到二派上一个完整的周期，我们可以清晰的感受到正弦函数的一个一些特点，比如有最大值一，谁对应的呢？最大值 是二分之派，那如果我们带上周期呢？就是加上二 k 派对应的来看，最小值是不是二分之三派？最小值是二分之三派加二 k 派对应的。那么我们往这边延展的时候，我们会发现它过圆点，所以它是一个奇函数 积函数，那么他在，他在这二分之派就用最大值，那这边的最小值应该负二分之派，对不对？所以说这个上是增的，这上是减的，所以说他是一增一减，一增一减，一共是二派，所以说它的增区间长度是派， 减区间长度也是派，所以说这就是单调性、基调性以及最大值、最小值以及一些零点。那么大家注意，零点老师也写上零点， 得零的点都有哪些呢？零派、二派、三派，所以说我们写成 k 派啊等等。那么所以说我们对于正弦函数，老师觉得这些东西都是附属产品，不是很重要，我们要自己独立的将这些二分之一、二分之二、三一下降上升这些点位把它掌握好。

今天给大家讲一个三角函数里面超级好用的万能公式，其实这公式啊，起源于二倍角公式，来我们看一下， 我们知道 sin 二阿尔法等于二倍的 sin 阿尔法， cos 阿尔法，这个没有问题， 但对于这个式子啊，我给他分母带上一个一是不影响的，而一等于什么呢？一等于三引方阿尔法加上扣三引方阿尔法。 这时候大家注意啊，分子分母都是二次的，我给他分子分母同时除以扣三引方阿尔法， 这个时候我会得到二倍的 tan 值阿尔法比上 cos 也发阿尔法，比 cos 也发阿尔法，是个一三也发阿尔法，比 cos 也发阿尔法，是 tan 值的，发阿尔法我就会得到这个东西。 同样的道理，我们再来看，那 q 三引二阿尔法等于什么呢？来二倍角公式，它等于 q 三引方阿尔法，减三引方阿尔法。再构造个分母，分母是一，换成是 q 三引方阿尔法加上三引方阿尔法， 分子分母同时除以 cosine 方阿尔法，那我就会得到一减贪整的方阿尔法，比上一加贪整的方阿尔法。 其实这两个公式就叫做万能公式，你看，三也二二法可以用贪整来表示，扣三也二二法也可以用贪整来表示。 为了方便记忆，我们可以这样想啊，你把贪婪的阿尔法想成是一个 t， 它相当于是二 t 比上一加 t 方， 而这个呢，相当于是一减 t 方，比上一加 t 方，你可能还记不住是吧？不要紧，我画个三角形你就忘不了了，来一个直角三角形， 看这里啊，这个相当于是二 t， 这个是一减 t 方，这个是一加 t 方，他们正好构成勾股定律，你拿三角形一捋，哎，就出来了。当我们知道了这个东西以后啊，我们以后再求角就很快了。你比如说我给你举例了 这道江西的高号题，说贪婪二分之二法等于三，问你抠三引阿尔法等于多少？你看哈，阿尔法和二分之阿尔法是二倍关系。我就用刚才那公式 抠三引阿尔法其实等于什么来相当于是一减贪整的方二分之阿尔法比上一加贪整的方二分之阿尔法， 或者你可以把它看成是个 t， 对 吧？那我们代数了啊，你看一减三的平方是九，一加三的平方是九，哎，一算负的五分之四。这就出答案了。各位爱徒，这个方法你学透了吗？

近十年的高考当中，每一年都会考到 a 倍的三欧米伽， x 加 f 加 b 的 形式， 它占了三角函数整个的半壁江山，超高频考点，那么我们这节课把它的所有核心考点，八大题型给大家讲透好不好？好好，咱们先来说你要掌握的第一个题型一， 跟他有关的画图问题。你别觉得画图简单啊，高考考了很多回，很多宝字们拿不下，必须得快速学会去高效率画图好不好？好好，这是第一个，那么题型二呢？ 考什么？考性质吗？他也是函数吗？函数共几个性质？常见六大性质吗？对不对？第二个考大家直域问题，直域一般怎么考你？我给你写 而上的止于，给定，区间上的止于，以及二次性止于。全是考点，每一个都可以考。你好，还有呢？第三个 考什么？单调性，重中之重，大题小题各种考，你那么单调性考的压什么呢？一样的，而上单调性，区间上单调性，给你单调性，请你给我求参数的问题。 还有呢？第四个叫什么叫奇偶性的题型，奇偶性的题型怎么考？你 f 等于谁的时候为基， f 等于谁的时候为偶得清楚好。第五个，还有什么周期性？有人说胡老师这个周期性没什么可好的可考的啊，简单啊， t 等于二派除以欧米伽是吧？ 哎，那是拉不开差距的，要考你的。第一个叫做变态周期，第二个叫动态周期。什么叫动态？求 omega 范围的问题，难点亚洲见过没？第六个，对称性的问题， 对称线这里分为什么你首先得知道轴啊，中心啊，我应该怎么去求的问题，然后反过来我告诉你，你得会去求一些参数的问题，全是考点，你脑海里面得有这个体系行不行？第七个叫什么很重要， 看图，我给你一个图，求什么？这不应该都见过吗？求解析式的问题，对吧？第八个叫做它跟复合函数、零点各种综合在一块考，你考大家八大题型，脑海里面看着燃不燃？ 有没有体系？有了，哈哈。我们先来一个一个去讲好不好？接下来讲第一个题型一， 我们先来讲题形一，就是我如何快速的通过不同的路子把它的图画出来看黑板啊。首先我们先来说这个式子当中，你得知道 a， omega 负 b 代表什么？ 先说 a， 你 觉得 a 代表什么？我画图，你思考 a 代表啥呀？自己说。 比如说我画一个图啊，这个图我画到这来吧， 我画了一个图，这是 x 轴啊， a 代表的叫振幅。什么叫振幅？就是震动的幅度。 什么叫震动的幅度呢？看到没？最高点到起始位置，最高点是不是在这？起始位置就在这，你俩之间这一块叫做 a， 明白没？所以说从最高点到最低点是什么？自己打， 这块是 a， 这块也是 a 吧？震动的幅度吗？他不是对称的吗？往上震了 a， 不是 往下震了 a 吗？这两个，这是关于这个点对称的啊，没问题吧？所以整个最高到最低之间的距离是几个 a？ 两个 a？ 好， 这要分清楚了， b 代表什么？ 上下平移的那个数据吧，是不是？你看我原本这个图像，你看这不是在这呢，我是不是往上平移走了，是不是往上移了？所以 b 大 于零叫往上平移， b 小 于零叫做往下平移，没问题吧？好， 继续。欧米伽代表什么？欧米伽跟什么有关？跟周期有关。 t 等于二派除以欧米伽绝对值。欧米伽越大 t 越小，是不是 t 越小？对，欧米伽越小 t 越大。一个周期嘛？我们经常说，哎呦，我研究一个周期啊，什么叫一个周期？从这儿给你画一下， 从起始点开始到结束，下一个是不是下一个周期了？你俩之间的距离是不是就一个周期了？能，能跟上吧。可以，关键问题在于什么？在于这个 f， 这个 f 在 物理里面叫什么？ 出向胃，这个 f 是 最难理解的， f 决定着什么？ f 决定着 图像，我写下来与 y 轴 从哪开始交起来，什么意思？来看一下这个 f 的 理解，我通过不同的简单的题目带大家深深理解一下 f， 这很重要的啊，不要去死记硬背好吗？ 比如说我们举个例子啊，第一个，我们先来看这个函数图像怎么画，然后跟它有关的，搞个 omega， 加个斐，怎么快速去画你都会会学会本质好不好？好，那它的函数图像是怎么产生的？还记得不？ 哎？对，我们在定义里面是不是给大家讲了，它的本质就是单位员转出来的。我先给大家画一个单位员中去转一下它。对的 y， 这个圆画的有点扯好，如果在单位圆中，我把这个角度的起始边放在这，然后呢？我从这开始转，你看，比如说我有一天，哎呀把这个角度转到这来了， 这个点叫做 p 点， p 与单位圆交出来两个坐标 x 零，白零是不？给一个角度对应一个白零，给一个角度对应个白零啊， 是吧？那其实我们根据三角函数的定义， y 零是谁？就是三 x， 就 这个角度的三值就等于 y 零了， 是不是？知道了？嗯，所以我现在他的图像是啥意思？就是我想把这些不同角度对应的 y 全给他拎出来，我看一下，转一圈，哎，随着角度的不同，我的 y 值是怎么变化的？这个变化趋势吗？能理解不？可以，可以。 那我们把它的图画一下，我给你取几个特殊的角度，咱先研究一下趋势，好吧？好的，那这几个特殊的角度是谁呢？比如说这个是四分之派，好吧？好，那这个是二分之派，行不行？行，我们取以四分之派为一个间隔吧。那这个是多少？ 四分之三派，这个是派，下一个呢？就是四分之五派。这个是四分之六派吗？就是二分之三派吗？对吧？还有这边这个是 四分之七派，四分之七派，这个是二派。我们取这些角度看看他的 y 值是怎么变化的。来，一定要去理解这个函数图像啊，你不能只去死背这个函数图像，要知道它的本质是在干什么。开始当角度取零的时候，他的 y 值是不是应该是零？ 是不是？来我下一个角度取谁？四分之派，下一个呢？二分之派，下一个呢？ 四分之三派，再下一个呢？派。还有呢？四分之五派，四分之五派，再下一个二分之三派，四分之六派吧，好不好？下一个四分之七派，下一个是二派。二派。 我们看趋势来看图啊，在单位圆中看这里，如果取四分之二的时候， y 值是不是就这么高？对，取四分之二，把它 y 值这么高，移过来就这么高的 y 值吗？我就瞄到这来，没问题吧？没有，来，取二分之二，是不是就这么高啊？平移过来一，哦，这么高， 那这个呢？是不是两半是一样的高度啊？对，对称的呀，对称的啊，对称的，看到没有哎。对称的没问题啊，下一个呢？下一个呢？ 这这这俩图画的不是很标准，取派的时候他不是零吗？对，对不对，再取下一个的时候是不是你两个应该是什么大小相等？大小相等 y 值是负的，嘣嘣嘣，移过来是不是应该在这来，对，来四分之六派的时候呢？负一 哦，跟这个是不是？你看把，刚才走过的路其实就是相反方向，是不是再走了一遍来，这边的白纸呢？是不是？哎呀，跟上面是不是大小相等方向一样的，方向相反的一样的在这，然后这个是零，这就是随着角度的变化歪的趋势。 那我们研究究的是特殊点啊，人家研究的肯定不是特殊点啊，我要研究所有的点啊，是吧？然后你可以把所有的点你发现全给他搞出来，最后那个函数图像啊，就长这样子，这些就在函数图像上， 你现在知道 y 等于三 x 描述的是什么了吧？就这些长度的那些变化全搞过来了，明白了，不？明白了，然后我给他一 j 二，我给你稍微变一点点啊， 大家别觉得前面听起来麻烦，都是跟你后面的地基问题好不好？来，你看，开始看啊， y 等于三欧米伽 x， 这个图你会画吗？ 它是我从两个点跟你去讲啊，它也是由单位员转出来的吗？对不对？你看这是单位员，一样的。当胡老师把起点选在这里的时候，这 x 此时此刻角度是几？角度是零吗？我们都默认 omega 是 大于零的。好吧，那他对应的函数图像应该怎么去画呢？来看这里， 嗯，一样的吗？ x 取零的时候就是角度起始边就在 x 轴上吗？它的 y 值是不是就是零了？那随着 x 的 增大， 那是不是角度再成个欧米伽一转，那个角度就出来了？有一个角度，那是不就对应了一个 y 值了，是吧？那个 y 值的变化跟这边变化是一样的，一模一样的，还是这么变的，转一圈，只不过你不知道这里是谁， 反正就这样转一圈吗？你转的过程中，你来你来转一下，来，角度一点点增大，是 y 值越来越大，越来越大，越来越大， y 值变到一了， y 值越来越大，越来越大， y 值变成一了，然后 y 值越过一，是不？从这边 y 值开始越来越小，越来越小，越来越小， y 值不就变小了吗？是不跟这变化趋势是一样的吗？是吧，反正你描述这个角度 x， 你 一点一点给他取他他他 y 值的变化跟这边的 y 值变化是一样的吗？ 是不是？是啊，只是不一定说是这里是二分之派的时候到达一了， 是这意思吧？是的，嗯，反正你起始在这，你在转的过程中，你的 y 值一定会经历这个过程。这，这能理解吧？可以可以，来开始这第二个啊，我们再来说第三个， 那第三个 y 等于三欧米伽 x， 我 给他加个三分之派，我们默认欧米伽大于零。好吧，好。哎，那他的图像咋画呢？ 你得会画图啊，平移了。哦，你还知道平移了是吧？我们也是从单位员的定义本质出发。哎呀，这个单位员画的。你告诉我，如果，其实当 x 等于零的时候， 如果 x 等于零，它的 y 值是多少？从哪起始的？从哪开始的？ x 一 旦取零的话， x 取零啊， x 取零。注意啊，我要取 x 等于零的时候是，是不是找它那个 y 值的变化去设来，对吧？起始变成什么了？ 起始变成三分之派了，从这高移过来，我是要描它的 y 值吗？这不就在这吗？ 能理解不？然后开始转，那 y 值你跟我说咋转来？从，从这开始随着 x 的 增大，什么 omega 加乘以 x 加三分之派是越来越大了。 那你整个角度越大的时候来，整个角度越大，你整看成整体了，是不是？给个 x 乘个 omega 加个三分之派？一旦 x 等于零，好， y 值其实在这可是一旦 x 变大的过程中来， y 值怎么走？你告诉我 角度越来越大是不是？ y 值怎么变化？ y 值是一样的吗？ y 值先到谁？先到一，然后从一开始往下降是吧？对，降降，降到 y 值为零，然后是不是走的姿势跟他一模一样的，把刚才变化那个趋势再走一遍？对，所以他的 y 值这样变化的 能理解不？能，所以我要为什么要给你讲这个事？你看啊，一旦加了欧米伽 x 进来，一旦，一旦加了三分之派进来，其实你的起始位置就变了。 x 等于零的时候， y 值起始，从这开始的，从三三分之派开始的，然后从三三分之派开始之后的整个图像的变化趋势和原始里面三分之派之后的变化趋势是一模一样的。再走了一波， 我看的成 y 值的变化吗？你这从三分之派之后 y 值是怎么变的？那这里三分之派之后 y 值就先怎么变的吗？一模一样的先到一吗？再到零吗？是这意思吧？所以你绘制出来的图像是一样的，我再考察一下，看你们到底学会了没有，来再给你举个例子啊。第四个 你看好了， y 等于三欧米伽， x 减去四分之三排，嗯，然后我们默认欧米伽是大于零的，没问题吧？来，开始，你看他咋画。 这就是你把定义理解的不一样，你跟别人做题那个感觉就不一样，你不要去给我瞄点啊，瞄点也行，但是我希望你能够理解到这个层面上。 开始画吧，随着 x 的 变化，我的 y 值是如何变化的？把图像趋势给我画出来就可以了。 x 等于零的时候，起始位置在哪里？注意起始位置，四分之三派，负四分之三派，哎呀，往过倒吧，是不是在这这样子吗？负四分之三派 是不是从这开始起始的？对，负 x 等于零的时候，对应的 y 值是不是你对应的 y 值的高度？我这里本来图像表现的就是这个角度对应的 y 值吗？是不是它对应的 y 值是不是就这么长吗？你过来，就在这。 好嘞，来吧。那随着这一块的增加，这个角度是不是越来越大？就这样转吗？ 看嘛， omega 是 正值， x 越来越大，是不是乘起来它是一个正值吗？ 随着 x 的 变大，看这里欧米伽越来越大， x 越来越大，减个四分之三派是不是就越来越大了？角度随着角度变大的过程中角度就这么转，变大的过程中，你跟我说 y 值怎么变化？ y 值看转这条线吗？往过转吗？角度大呀，大大， y 值咋变化了？看 y y 值到哪了？ 对啊，你这是不是还没到负一嘞？哎呀，角度先到负一，然后呢？从负一是不是又回回去？他还是负的吗？回到谁？回到零，然后呢？再继续转是吧？从零再到一，再下来，图像的姿势就长这样子。 会了，不会了，明白了没有？明白了，这就是我是怎么快速大概把这个图像姿势定出来的， 就在这的本质上反复去看， ok 吗？然后我们来给大家去讲二零二四年高考专题，当时考过你的这个本质是怎么考的？来看题，来继续看二四年新高考一卷考过的这道题目。 然后呢？他说零到二派之间，然后有两个函数，一个是三 x， 这个我们会画，是吧？然后与另外一个函数图像焦点的个数问题。嗯， 画呗，画出来几个焦点就是几个焦点呗，行吗？我先画三 x 行不行？可以，三 x 图像 大概长这样，这里是派，这里是二派，对称的啊，最高点一，最低点负一，没问题吧？再画它的图，我想把它的图画到旁边，然后最后给它二合一，行不行？行好，你看它的图咋画？ 首先，哎，你走一圈用的二派他，他走一圈用了多少？ t 等于二派除以三三分之二派，是吧？是的。哎呀，那这个图像字是怎么画呢？其实位置注意，刚想刚才我跟你讲过的，其实位置 x 等于零的时候，它的白值是多少？ 在你心里有一个单位元行不行？行， x 等于零，它的起始位置在哪里？先看这块，我们待会最后再说这个二的问题。 起始位置在单位员的起始位置在哪里？负的六分之派，使零的时候研究的是这个角度，对，那 y 值，所以 y 值就在这，对到这，是吧？叫负二分之一嘛？我们先把它画完， 可以不可以？那他的图像姿势怎么画呢？这位置负二分之一，随着这个角度的变大来，角度的变大，往正的越来越大来，让角度越来越大，是不是？这么转 对不对？ x 越来越大，乘个三减个六分之派，是不是角度越来越大呀？随着这个角度一直在变大的过程中，其实位置在这，它的 y 值怎么变化？ y 值从负二分之一先一直回到零了吧？ 是还是不是？是从二分之一回到零，然后呢？从零到多少？从零上去到一，再下来，是不是？然后从下来再到负二分之一，然后再往下再走，到负一，到哪才转一圈，回回来才到，转了一圈了， 对，是不是？你看嘛？你这到是在这个位置，这个位置是这边对应的图像吗？是不是？然后回过来，是不是？这是一个周期了，然后再往上走下一圈， 能明白不？所以他此时此刻最高点是一，他的最最低点是负一，没问题吧？没有。然后我们把这两个图二合一嘛，二合一的过程中，只不过给这个图要成个谁二倍成个二就行了。特殊点成个二，你比如说这个点变成什么了？ 他这个位置是不是变成负一了？对，负一，然后我这个图像的最高点变成谁了？二，变成二。那这个图咋画呢？ 二合一，而且你发现啊，这两在二合一的过程中，你的周期 t 是 不等于三分之二派，他的周期等于二派是不等于他的三倍， 说明我得把你这二派分成三份。三份，我其中一份就走完了一个周期了，能理解我意思吧？能理解，分成三份，这是一份，这是一份。我在这一份里面是不是要走完这个周期呢？ 把，我这个这个姿势是不是要走一遍呢？对，能理解吧。哎，你的周期是我的三倍吗？人家是我的三倍，就是我走三次，人家走一次，就这意思啊。转一转，一次。来，开始这个过程。怎么画？ 难度极大。我开始往上走了啊，照这个位置往上画啊，先嘣嘣嘣，嘣到多少？到二到二来上去，然后继续呢？下降，下降，下降，然后呢？下降到多少？ 下降到负二，然后呢？再上来，是不是一个周期了？到这是这个过程。不知道哦，我这个图像画的不标准啊，这不是负二，这不正二吗？对不对？对，你知道就可以了啊。来，继续再往上走，是不是把这个过程再重复一遍啊？对，噔噔噔噔噔噔，上去了，是不是？ 噔噔噔噔，经过最低点拐上来，是不是到这个点？对，第二个周期了，没问题吧？没有，来，开始，你看，再往上走，走走走，走到这，到经过负一拐上来，是不是到这了？对，我走了三次，完了， 这个图就画完了。会了，不会了，这个图像其实是以及这个提示咱教材里面的题目哦，教材里面用的是五点画图法，你可以五点画图吗？用五点把两个图一画，你找焦点，你如果你说我就想快，你看，按照图像姿势，这就是能力问题了，就是高手就这么做题的， 明白不明白？来找一下焦点吧。一个，哎呦，这几个，一个，两个，三个，还有呢？ 四个，四个，五个，五个，六个，所以焦点的个数是六个。 会了没？会了，这就是我为什么煞费苦心前面给你讲了那么多图像的本质。 第一个画图新高考考了好几次了，我们未来新高考中一定还会再次考到大家对于图像本质的理解的明白没有？你包括画图里面我们现在给大家讲的是什么？讲的是直接画，你后面还会遇到就是跟平移伸缩有关的一些问题，画图的技巧我们这节课讲不完了， 但是呢，这八大题型是大家拿下三角函数你必须要攻克的，而且每一个题型你必须要把它练扎实，练透，从一级别练到九级别。如果你不知道怎么去练，胡老师全给大家准备了八大题型整个的通关秘籍， 你跟着胡老师把这块全部抓紧时间打印下来，练好，那么你三角函数就下课了，拜拜。嗯。

同学们，南京盐城一模结束了！不少同学反映计算量大，新题多。别慌，老师拆完试卷发现， 真正决定你能否突破一百三十五加的其实是这五道高辨识度大题，它们都是高考常课核心考题。第八题，函数同构与双变量问题选择压轴核心考点，函数同构只对转换 构造函数求范围高考风向。近几年全国卷导数大题常考同构转化，本题以小题形式出现，是检验你是否掌握结构意识的试金史。解析，速递由 f x 一 等于 g x 二等于 t， 发现之一的 x 一 次方等于 f x 一 x 平方等于 e 的 x 一 次方，目标是化为 t 减 l n t 构造函数 h t 等于 t 减 l n t 球岛的最小值。一、范围一加关键识别指对姐妹函数关系统一变量构造函数。第十一题， 立体几何翻折加最值加外接球多悬压重核心考点翻折中的动点轨迹体积最直线面垂直存在性外接球半径高考风向翻折问题是立体几何大题的热门在体常融合最值证明球体计算 考察空间想象与代数处理能力。解析，数 d、 a。 体积最大值在面面垂直时取得，计算得八分之三倍，根号三 a 错 b。 可通过调整翻折角度实现。 c、 p、 b、 d、 b。 对 一百体积最大实高最大，线面角最大 c 对 d 用双半径单交线公式得二等于一三二二等于二一三 d 对 关键动态问题，先找临界位置外接球记双半径单交线模型。第十四题， 三角函数图像焦点与直角三角形构建核心考点，三角方程焦点周期性直角条件的代数转化高考方向填空压轴常考三角与几何结合， 需快速解出焦点坐标规律并转化为方程。解析，速递解方程 sin omega， x 等于 sin 派三减 omega 成 得 x， k 等于派六加 k 派斜杠 omega 总坐标交替为二分之一，取相邻三点 a、 b、 c 构成直角。利用向量 b， a 乘 b， c 等于零，解得 omega 等于派。关键利用正弦方程得焦点通式用向量垂直列式。第四八题椭圆中四边形面积最大值 解析，几何大体核心考点，椭圆方程平行弦性质对称性简化面积函数最值高考方向解析，几何最值问题必考本题。通过对称性减少变量，将面积表示为单变量函数，是典型简化建模加求最值套路。解析，速递一 离心率加点坐标 x 平方，四加 y 平方等于一二利用 a、 n、 b、 m 及对称性连立直线于椭圆，通过维达定理得 k， m、 n 等于减八分之三。设 cos 等于 k， 推导出面积函数 s， k 等于三 k 根号七 k 平方加四 d 加四 k 平方，换圆或求导的最大值为两。关键发现 m、 m、 e， n、 n 对 称，将四边形化为三角形，简化计算。第十九题 导数综合压轴题证明加估计核心考点，切线函数凹凸性零点估计周期平移加放缩高考风向导数压轴题最后一步长考 零点偏移或不等式估计。本题融合周期性、单调性放缩是区分一百四十加考生的关键。解析，速递移求导 g， x 等于二 e 的 x 次方 cosx 切线， y 等于二， x 加一二。利用 f， x 小 于等于零在区间上的凹性结合切线不等式正得结论。三 令 t n 等于 x 按减二人派，将问题划归到同一区间，利用二、结论和单调性比较放松得正。关键通过周期平移统一变量，利用以正不等式进行代换放松。刷题指南，目标小于等于一百二十。 此课第一到十十五、十七题，确保基础中档题满分。每天加练一道函数单调性，一道数列求和一道立体几何证明题，目标幺二零到一百三十五 突破第八十一、十四十八题，每周精做两道同构函数小题，二道翻折外接求大题，两道解析几何面积最值题，训练转化与计算速度，目标一百三十五加主攻第十九题同类题型，每天研究一道导数证明加估计大题，重点学习 周期平移加放缩技巧，并保持前中档题限时训练。如果这份解析帮你摸清了命题套路，请一定点赞、收藏、转发！你的支持是我持续更新高质量内容的动力！关注我，带你用最短时间破解高考数学的难题密码！

三角函数这个模块是重点，但不是难点，咱很多同学只会背公式，压根不知道题怎么做。 那么每一个公式对应到我们的三角函数里面，一共是三大方向概念，九大组公式、三大图像和六个性质，每一个怎么考，每一个题型对应的同类型的辨识训练，胡老师全都给大家总结出来了。 针对你们的期末考试，这里三大方向一共就考大核心题型， 大家跟着老胡的大核心题型一个一个去训练，期末考试妥妥冲一百四，没有任何问题。胡老师把对应的全给他安排好，拿走打印，跟着我的系统课程去训练起来吧，好不好？好好！

昨天刚考完的南京盐城高三一模，代表江苏最佳模拟卷水平，整体难度不算很大，但质量很不错，推荐高三同学都做这份试卷，能上一百二十，高考数学肯定没问题。视频最后有解析，公考完的同学对答案单选压轴。第八题是比较简单的铜构题， 多选第十一题最难的必选项，掌握了面面垂直的外接球模型，就可以秒杀填空。第十四题有点难度，但是去年广州一模考过的原题，就看大家刷题够不够。解答题，非压轴题，均为常规简单题。最后两道压轴大题有难度，第十八题比较常规面积，最值已经考烂了。第十九题的含三角函数导数题出的比较有水平。 第三位有难度，但第二位铺垫的很不错。官方解析尚未公布，考过的同学可以参考这份解析，对答案不分。这份解析里，每道压轴题几乎都给出了多种解法，帮助提升大家的发散思维能力。尤其是最后一道压轴大题的多种解法，十分值得研究。

拿下三角函数，你必须得会的技巧叫凑角，做题速度不但快，而且正确率还高。 那么这节课我们就把题型三凑角里面的门门道道给大家讲透彻，以后考试这个直接拿满分行不行？行，好，我们来先来看凑角问题长啥样。 那很多同学其实拿到这种题型，第一个展开塞考，考塞是不光会展， 除了会展之外，我们得用点思维去做题，他就快嘛，计算量就少嘛，对不对？对，来，你看啊， 什么是凑脚？首先你得有第一个就是意识。什么意识呢？只要题目给了一个角的某一个三角函数值，这个角就是一只角。来，这个意识记得写到本子上啊。 我问你，这个角是不就是已知角？知道，只要给了这个角度的随便一个三角函数值，这个角就得当已知角，对不对？ 明白不？为什么？因为他的考三值，他的贪着的值全能算出来，你三十度，六十度，为什么为已知角呀？那不就是因为他三考三贪着的，知道吗？知道对不对？他是不是可以三十六十九十度平起平坐？ 他是不是可以和这些角度平起平坐了？是的吧，哎，对了，那是不是这个角也叫做已知角？所以本题有两个已知角，打包看整体啊，一个是你，一个是你，然后我们要求的这个角度叫做未知角。那凑角的核心就是用已知凑未知吗？就这么简单。 来。第一步，你跟我说这道题尔法加四分之派，怎么拿已知角给他凑出来？ 一般就是两一加，两一减吗？来两一加还是两一减？两一减而法加上贝塔，这是一个整体哦，打包看整体哦。减去贝塔减去四分之派用已知表示未知就欧了。 先给它凑完第二步。这不就简单了吗。题上咱求啥呀求考三。我写一下啊。求的是考三 阿尔法加四分之派给左边添个烤餐给右边同时添个烤餐。但是你这里注意细节啊你可千万不要把它打开了啊。人家这个是整体这个是整体别再给他展开回回去了明白了吗？明白好嘞然后接下来你不就会了吗 两个东西一剪哎呀所有人都会叫什么考考考塞塞是吧上攻是吗考塞我写下啊注意易错点。考考这里是塞塞加号 减面加吗？是不是知道哎。加号三耳法加贝塔这里应该是三贝塔减去四分之派来把已知的结果全给它往进带。哪个知道这个这个是负的五分之三 这个是十三分之十二这俩一乘是不是来继续加号的前面啊这个是多少你别在那跟我墨迹半天啊。看这两关系。什么关系 同角吗？对，同一个角的三也和考三加起来平方和为一你可以拿平方和为一去算但是有点麻烦喽你看五分之三和谁是一组数据啊 和谁是平方和为一这都要脱脑而出的正负五分之四平方和一定是一 常见数据要倒背如流的啊。来你看看这两个是不是也是同角啊。平方和为一哎呀，十三分之十二和谁啊正负正负十三分之五平方和为一吗对不对？对哎，接下来主要干嘛 第三步要干啥确定什么正负的问题这很重要。咋确定啊跟谁有关呀 是不跟你俩加起来所在的象限有关？是的，而法已知范围我写喽，认真看哦。 尔法大于四分之三派小于派，贝塔大于四分之三派小于派。你把他俩加起来不就欧了。 同向可以加吧。哎，不懂事的性质。同向是可以加的，尔法加贝塔大于你俩。一加二分之三派小于二派。哎呦，这在第几项线呀？第四项线， 这个是在第四项线哎。第四项线的 cos 值正的还是负的？正的 正的还是负的？正的正的还是负的？正的正的。哎，符号就没了。确定下来了，该下一个了。贝塔减四分之派来是不？再搞一波贝塔有了没？没有，贝塔减一个。四分之派大于 四分之二派，就是二分之派小于四分之三派。哎呦，这在哪呢？这个确定出来在哪？ 第二项线对应的考三值，正的还是负的？负的。负的。把正号抹掉对吧。会算答案了，不会来告诉我答案是多少。底下 负的六十五分之二，六十五分之负二十，负的五十六，这不就答案了吗？ 是吧。所以这道题其实比较简单。简单的地方在哪里？在于第一步，凑脚，没有为难你。简单呀， 但是不是所有的题目人家给你一个条件，吭哧，你俩一加俩一减往出一凑就能出来的很多，你发现哦，靠，题目条件已经不够用了。那怎么办？我们等下会讲，不要着急哈。然后接下来这道题目 就是他比较简单的地方在于确定范围，没有为难你，你很快能确定出来，但有的题目你发现你的范围确实确定出来是模棱两可的，就是你确定那个范围，咦，他可正可负，那应该怎么办呢？这都是我们接下来给大家讲的问题，来看下一个题目。看凑巧的第二种考法， 一样的吗？你看这道题目中已知角是哪个角度？有几个已知角？是不？刚刚说过了，给这个角的三角函数值，它就是已知角，那这个是未知角， 当你有了凑角的思维，你就不会想着光想着把它塞考考塞展开了。哎，你就会想把这个未知角是不是用已知角给它凑出来来，能凑出来不？你告诉胡老师，能不能 就一个呀？这一个咋凑他呢？是不是压根就不够呀？是的，所以那咋办呢？除了他是一只脚，咱们心里是不是还有三六九四十五也叫一只脚？ 所以呢，凑脚的核心就是，我可以用已知角加减一个你心里的特殊角，我把这个未知角给他凑出来也可以， 是吧？哎呀，关键问题，就这道题中这个特殊角是谁呢？你是不是想半天呀？想吗？你告诉我是谁呢？ 嗯，胡老师，我想不来，就不是让你想的，是让你算的。既然不知道这个特殊角是谁，我告诉你个技巧哦， 咱们可以通过移项，只要把已知角和未知角一加一减，能出来一个特殊角就可以了，然后再把这个未知角用你俩一表示结束， 反其道而行，就我算，我算出来你这个特殊角是谁，我就往这一带，你俩一加一减就是他了。但是我现在不知道是谁，我就这不是可以移项吗？是不是现成的这两个一加一减，只要能够出来特殊角，这不就找到特殊角了吗？ 能理解这意思了吗？来，我带你们操作一下第一步。有的宝贝可能都已经蒙了。没蒙吧。来，你看现有的角度是谁。我先写下来啊，叫做 六分之派减而法。一只角和他是不是一加一减啊。我再把这个写下来，这是三分之二派加二而法。哎呀，他俩一加一减能出来特殊角吗？不行 不行。为啥？因为阿尔法消不掉。对是吧，那你把阿尔法消掉不就完了吗。这个角是一致的，他的二倍能求出来不？可以，二倍角也是一只角，一半也是都是，都是连带的。所以这事不简单吗？我给他乘个二，二倍角也是一只角。 是的，不是的。来，接下来是加还是减呢？能跟上不？两个一加等于谁啊。哎呀，二而法这是整体啊。二而法二而法没了，三分之派加三分之二派是派，这不就特殊角度吗？ 我们要干嘛？我们要表示的是踏实是不是。是的，来，开始了啊。所以说定准啊。 三分之二派加阿尔法未知角用两个东西去表示是不是拿你两个去表示就可以了。派减去二倍的，六分之派减阿尔法搞定。 这是不叫已知角？是的，这是不叫特殊角。是的，不就把它表示出来了吗。对，所以这个特殊角不是想出来的，是算出来的。发现没有发现。哎。第一步搞定之后后面第二步就简单了。题让我求啥。求 cosine 两边同时给他加 cosine。 哎。这个你写个小括号就可以了啊。我写个大的了。写大的就写大的吧。靠，再派减去二倍的来六分之派减一个而法展开吗？考考塞塞。展开是还是不是啊？是个毛线是什么？又是 这个东西是什么？诱导公式？嗯？诱导公式嘛，是吧，派钱是整数，可以给他踢出去。是用诱导公式。名称变还是不变？名称不变，靠三，这应该是 二倍的六分之派减个 r 法是不是长这个样子？我再带个括号吧，这样你看起来更加清楚一点 是吧，外面是正还是负的？负的正还是负的？负的。哎呀，看的是原来角度派捡一个东西捡哪去了？对应的考餐值负的负的，欧了 是吧，能看懂吗？等于你可千万不要把这个二给人乘进去啊。你乘进去你就看不来他和这个角度是二倍的关系了，你就把二写到外面看的很清楚吗？对不对？来吧，你看二倍的这个角度， 然后题目给的是这个角度。啥关系啊？二倍角公式吗？二倍角公式一共有三个，还记得不记得有哪一个 考三二二法等于写一下，考方减去三方，第二个二倍的考方减一，第三个一减二倍的三方二倍的一倍角的三值， 你二倍的，这不一倍吗？一倍角的三值用第几个？一二三是不是用第三个？是不是只要你两个是二倍关系就可以了吗？是不是来开始带一下啊？哦，符号不变， 一减去二倍的三六分之派减去，而法这六个平方 是不可以出结果了，出一下吧，等于负的一减去二乘以九分之一，所以答案是负的九分之七。完了，这是我今天给大家讲的法一凑脚 没问题吧。没有，从上一道题目到这道题目，两种凑法不太一样，上一个，哎，直接一凑，这道题目直接凑不够用了，这个特殊角应该怎么去找？这就是所有这种类型题目的思路。会了啊，但是这道题我还想给你升级一下， 就是像这种哎呀，需要借助特殊角去做的题目啊，或者题目很明显啊，他只有一个条件，只有一个，让你求其他的啊。我们还有一种做法，就是我想把它看成整体。嗯，这叫什么思路？ 再给你讲个法二非常好换元。我们来讲一下法二，把这种类型问题给大家升级一下，像刚才的立一，拿换元做不太好做，为什么？因为条件里面有尔法和贝塔两个角度，如果凑脚的问题，就像这个只有一个尔法， 只有一个尔法，我们往往可以采用换元的方法。我来写下来，法二叫做换元， 货源就是整体思路呗，把那个打包看整体来，我如果令 t 等于六分之派减去 r 法，是吧？把这个打包看成整体的思想吗？那这不就是三 n t 吗？ 没问题吧？没有，然后题目让你求靠三，既然引进了新元，我就把所有的东西全给他换成 t 吗？把这个而法是不是也得给他换成 t 啊？那你不得反解一下吗？来把而法反解一下吧。而法等于谁？而法等于 六分之派减一个 t 该没问题吧。所以说带入了开始，别着急啊，来，我写一下啊，考赛三分之二派加上二倍的把耳法是不是换一下六分之派减一个 t 长这样能跟上吗？对， 这是多少写一下啊。考三，这应该是派减去一个二 t 吗？是不是搞进去跟刚才一样，又到公式踢出去名称不变吧。考三二 t 外面是正的还是负的？外面是负的， 然后这给的是什么 t？ 三 t， 这是二 t， 是 不是二倍角公式啊？跟刚才一模一样的啊，我写到这来等于负的多少？一减去二倍的三 t 的 平方带进来， 一减去九分之二，所以答案是负的九分之七。 按道理来说，换元一定要确定什么？确定新元的范围，那这道题新元的范围 怎么确定呢？或者说鑫源的范围对于我做题影响大吗？如果不影响的话，我确不确定其实都无所谓了，是吧？你算题，你看鑫源的范围对我没有影响吗？你可以看一看， 好，有影响就去确定，没有影响我就不用确定了吗？确定的目的就是因为他对我做题有影响吗？是吧？看一下有影响吗？没有，这就是我们今天给大家讲的凑脚问题，然后第一个正常凑，第二个不够了，借助特收角，第三个换圆。 但是呢，凑脚的技巧和方法远不止这些，他还有更多高级版的考法，你只有把基础版高级版所有的考法全部掌握透彻，那么以后做这种题型才不会出错。 所以这些基础和高级版的方法全部在我们给大家配套的三角函数二十三大题型当中，都是期末必考的， 老师全都给大家梳理出来了。而且你配套的同类型题目的辨识训练，然后你可以留一下二十三大题型，然后我给你安排拿走打印，尽快训练起来。跟着老胡的课程，我们期末考试冲刺满分好不好？好好下课！

已知函数 f x 等于 x 加一的 x 方， g x 等于洛 x 加洛 x 洛 f x 等于 g， x 二等于 t， t 大 于零，则求目标 x 一 加 x 二减洛零 t 的 取值范围。 那么这种题目的话呢，变数比较高的，考虑的方向呢，也是非常明显。首先根据这个关系得到 x 加上 e 的 x 一 次方，等于 x 二加上 line x 二等于 t。 那 么考虑到对于子队的一个形式同个，那么我们可以把这个左边的写成 这个 e 的 x 一 次方不变，后面这个 x 可以 写成对数，就是 line e 的 x 一 次方。那这样的话呢，和右边化为相同结构， 右边 x 二加 x 二等于 t， 那 么考察 f x， 考察 x 加 x 加 x， 这个函数单调递增，所以的话呢，如果这两种相等，必然就有 e x 一 次 e， x 一 次方等于 x 二。 好，那么这样的话呢，可以实现消元，目标是 x 一 加 x 二，减去 x 二 t， 那 也就是等于 x e 加上把 x 二消掉，就是 e 的 x 一 次方，然后再减 x 一 t， 那么还要继续消元，这时候不能发现 x c 加洛弦 c 是 等于 t 的， 因此他得到了大面量函数 t 减洛弦 t， 这里的 t 是 大零的，可以设这个函数为新的外 t， 然后利用导数去对它进行研究。外撇 t 等于一，减去 t 分 之一，也就是 t 分 之 t 减一有一个极值点，也就是最值点，所以这个外 x 他应该发现 t 他 应该有最小值，他是先减后增，所以把 e 带进去最小 e 带进去的话呢，是等于一，所以他应该是一到中无穷，选 c 正确。那本题的话呢，就考察一个同个的肖元， 建立新的函数去求这个新函数的值域。问题，这是我们把左边化为右边的相同形式，当然也可以把右边化为左边相同形式。那这里的话呢？呃，实际上就是把这个 x 号看成整体，那么前面 x 号十可以写成 e 的 x 号次方，然后再加上 x 号，然后考察新函数 e 的 x 次方，加 x 仍然单调增，仍然可以得到 x 和 x 的 关系，从而去消元，从而建立目标函数求它的值域。