山东综评数学试题三角函数

拿下三角函数，你必须得会的技巧叫凑角，做题速度不但快，而且正确率还高。 那么这节课我们就把题型三凑角里面的门门道道给大家讲透彻，以后考试这个直接拿满分行不行？行，好，我们来先来看凑角问题长啥样。 那很多同学其实拿到这种题型，第一个展开塞考，考塞是不光会展， 除了会展之外，我们得用点思维去做题，他就快嘛，计算量就少嘛，对不对？对，来，你看啊， 什么是凑脚？首先你得有第一个就是意识。什么意识呢？只要题目给了一个角的某一个三角函数值，这个角就是一只角。来，这个意识记得写到本子上啊。 我问你，这个角是不就是已知角？知道，只要给了这个角度的随便一个三角函数值，这个角就得当已知角，对不对？ 明白不？为什么？因为他的考三值，他的贪着的值全能算出来，你三十度，六十度，为什么为已知角呀？那不就是因为他三考三贪着的，知道吗？知道对不对？他是不是可以三十六十九十度平起平坐？ 他是不是可以和这些角度平起平坐了？是的吧，哎，对了，那是不是这个角也叫做已知角？所以本题有两个已知角，打包看整体啊，一个是你，一个是你，然后我们要求的这个角度叫做未知角。那凑角的核心就是用已知凑未知吗？就这么简单。 来。第一步，你跟我说这道题尔法加四分之派，怎么拿已知角给他凑出来？ 一般就是两一加，两一减吗？来两一加还是两一减？两一减而法加上贝塔，这是一个整体哦，打包看整体哦。减去贝塔减去四分之派用已知表示未知就欧了。 先给它凑完第二步。这不就简单了吗。题上咱求啥呀求考三。我写一下啊。求的是考三 阿尔法加四分之派给左边添个烤餐给右边同时添个烤餐。但是你这里注意细节啊你可千万不要把它打开了啊。人家这个是整体这个是整体别再给他展开回回去了明白了吗？明白好嘞然后接下来你不就会了吗 两个东西一剪哎呀所有人都会叫什么考考考塞塞是吧上攻是吗考塞我写下啊注意易错点。考考这里是塞塞加号 减面加吗？是不是知道哎。加号三耳法加贝塔这里应该是三贝塔减去四分之派来把已知的结果全给它往进带。哪个知道这个这个是负的五分之三 这个是十三分之十二这俩一乘是不是来继续加号的前面啊这个是多少你别在那跟我墨迹半天啊。看这两关系。什么关系 同角吗？对，同一个角的三也和考三加起来平方和为一你可以拿平方和为一去算但是有点麻烦喽你看五分之三和谁是一组数据啊 和谁是平方和为一这都要脱脑而出的正负五分之四平方和一定是一 常见数据要倒背如流的啊。来你看看这两个是不是也是同角啊。平方和为一哎呀，十三分之十二和谁啊正负正负十三分之五平方和为一吗对不对？对哎，接下来主要干嘛 第三步要干啥确定什么正负的问题这很重要。咋确定啊跟谁有关呀 是不跟你俩加起来所在的象限有关？是的，而法已知范围我写喽，认真看哦。 尔法大于四分之三派小于派，贝塔大于四分之三派小于派。你把他俩加起来不就欧了。 同向可以加吧。哎，不懂事的性质。同向是可以加的，尔法加贝塔大于你俩。一加二分之三派小于二派。哎呦，这在第几项线呀？第四项线， 这个是在第四项线哎。第四项线的 cos 值正的还是负的？正的 正的还是负的？正的正的还是负的？正的正的。哎，符号就没了。确定下来了，该下一个了。贝塔减四分之派来是不？再搞一波贝塔有了没？没有，贝塔减一个。四分之派大于 四分之二派，就是二分之派小于四分之三派。哎呦，这在哪呢？这个确定出来在哪？ 第二项线对应的考三值，正的还是负的？负的。负的。把正号抹掉对吧。会算答案了，不会来告诉我答案是多少。底下 负的六十五分之二，六十五分之负二十，负的五十六，这不就答案了吗？ 是吧。所以这道题其实比较简单。简单的地方在哪里？在于第一步，凑脚，没有为难你。简单呀， 但是不是所有的题目人家给你一个条件，吭哧，你俩一加俩一减往出一凑就能出来的很多，你发现哦，靠，题目条件已经不够用了。那怎么办？我们等下会讲，不要着急哈。然后接下来这道题目 就是他比较简单的地方在于确定范围，没有为难你，你很快能确定出来，但有的题目你发现你的范围确实确定出来是模棱两可的，就是你确定那个范围，咦，他可正可负，那应该怎么办呢？这都是我们接下来给大家讲的问题，来看下一个题目。看凑巧的第二种考法， 一样的吗？你看这道题目中已知角是哪个角度？有几个已知角？是不？刚刚说过了，给这个角的三角函数值，它就是已知角，那这个是未知角， 当你有了凑角的思维，你就不会想着光想着把它塞考考塞展开了。哎，你就会想把这个未知角是不是用已知角给它凑出来来，能凑出来不？你告诉胡老师，能不能 就一个呀？这一个咋凑他呢？是不是压根就不够呀？是的，所以那咋办呢？除了他是一只脚，咱们心里是不是还有三六九四十五也叫一只脚？ 所以呢，凑脚的核心就是，我可以用已知角加减一个你心里的特殊角，我把这个未知角给他凑出来也可以， 是吧？哎呀，关键问题，就这道题中这个特殊角是谁呢？你是不是想半天呀？想吗？你告诉我是谁呢？ 嗯，胡老师，我想不来，就不是让你想的，是让你算的。既然不知道这个特殊角是谁，我告诉你个技巧哦， 咱们可以通过移项，只要把已知角和未知角一加一减，能出来一个特殊角就可以了，然后再把这个未知角用你俩一表示结束， 反其道而行，就我算，我算出来你这个特殊角是谁，我就往这一带，你俩一加一减就是他了。但是我现在不知道是谁，我就这不是可以移项吗？是不是现成的这两个一加一减，只要能够出来特殊角，这不就找到特殊角了吗？ 能理解这意思了吗？来，我带你们操作一下第一步。有的宝贝可能都已经蒙了。没蒙吧。来，你看现有的角度是谁。我先写下来啊，叫做 六分之派减而法。一只角和他是不是一加一减啊。我再把这个写下来，这是三分之二派加二而法。哎呀，他俩一加一减能出来特殊角吗？不行 不行。为啥？因为阿尔法消不掉。对是吧，那你把阿尔法消掉不就完了吗。这个角是一致的，他的二倍能求出来不？可以，二倍角也是一只角，一半也是都是，都是连带的。所以这事不简单吗？我给他乘个二，二倍角也是一只角。 是的，不是的。来，接下来是加还是减呢？能跟上不？两个一加等于谁啊。哎呀，二而法这是整体啊。二而法二而法没了，三分之派加三分之二派是派，这不就特殊角度吗？ 我们要干嘛？我们要表示的是踏实是不是。是的，来，开始了啊。所以说定准啊。 三分之二派加阿尔法未知角用两个东西去表示是不是拿你两个去表示就可以了。派减去二倍的，六分之派减阿尔法搞定。 这是不叫已知角？是的，这是不叫特殊角。是的，不就把它表示出来了吗。对，所以这个特殊角不是想出来的，是算出来的。发现没有发现。哎。第一步搞定之后后面第二步就简单了。题让我求啥。求 cosine 两边同时给他加 cosine。 哎。这个你写个小括号就可以了啊。我写个大的了。写大的就写大的吧。靠，再派减去二倍的来六分之派减一个而法展开吗？考考塞塞。展开是还是不是啊？是个毛线是什么？又是 这个东西是什么？诱导公式？嗯？诱导公式嘛，是吧，派钱是整数，可以给他踢出去。是用诱导公式。名称变还是不变？名称不变，靠三，这应该是 二倍的六分之派减个 r 法是不是长这个样子？我再带个括号吧，这样你看起来更加清楚一点 是吧，外面是正还是负的？负的正还是负的？负的。哎呀，看的是原来角度派捡一个东西捡哪去了？对应的考餐值负的负的，欧了 是吧，能看懂吗？等于你可千万不要把这个二给人乘进去啊。你乘进去你就看不来他和这个角度是二倍的关系了，你就把二写到外面看的很清楚吗？对不对？来吧，你看二倍的这个角度， 然后题目给的是这个角度。啥关系啊？二倍角公式吗？二倍角公式一共有三个，还记得不记得有哪一个 考三二二法等于写一下，考方减去三方，第二个二倍的考方减一，第三个一减二倍的三方二倍的一倍角的三值， 你二倍的，这不一倍吗？一倍角的三值用第几个？一二三是不是用第三个？是不是只要你两个是二倍关系就可以了吗？是不是来开始带一下啊？哦，符号不变， 一减去二倍的三六分之派减去，而法这六个平方 是不可以出结果了，出一下吧，等于负的一减去二乘以九分之一，所以答案是负的九分之七。完了，这是我今天给大家讲的法一凑脚 没问题吧。没有，从上一道题目到这道题目，两种凑法不太一样，上一个，哎，直接一凑，这道题目直接凑不够用了，这个特殊角应该怎么去找？这就是所有这种类型题目的思路。会了啊，但是这道题我还想给你升级一下， 就是像这种哎呀，需要借助特殊角去做的题目啊，或者题目很明显啊，他只有一个条件，只有一个，让你求其他的啊。我们还有一种做法，就是我想把它看成整体。嗯，这叫什么思路？ 再给你讲个法二非常好换元。我们来讲一下法二，把这种类型问题给大家升级一下，像刚才的立一，拿换元做不太好做，为什么？因为条件里面有尔法和贝塔两个角度，如果凑脚的问题，就像这个只有一个尔法， 只有一个尔法，我们往往可以采用换元的方法。我来写下来，法二叫做换元， 货源就是整体思路呗，把那个打包看整体来，我如果令 t 等于六分之派减去 r 法，是吧？把这个打包看成整体的思想吗？那这不就是三 n t 吗？ 没问题吧？没有，然后题目让你求靠三，既然引进了新元，我就把所有的东西全给他换成 t 吗？把这个而法是不是也得给他换成 t 啊？那你不得反解一下吗？来把而法反解一下吧。而法等于谁？而法等于 六分之派减一个 t 该没问题吧。所以说带入了开始，别着急啊，来，我写一下啊，考赛三分之二派加上二倍的把耳法是不是换一下六分之派减一个 t 长这样能跟上吗？对， 这是多少写一下啊。考三，这应该是派减去一个二 t 吗？是不是搞进去跟刚才一样，又到公式踢出去名称不变吧。考三二 t 外面是正的还是负的？外面是负的， 然后这给的是什么 t？ 三 t， 这是二 t， 是 不是二倍角公式啊？跟刚才一模一样的啊，我写到这来等于负的多少？一减去二倍的三 t 的 平方带进来， 一减去九分之二，所以答案是负的九分之七。 按道理来说，换元一定要确定什么？确定新元的范围，那这道题新元的范围 怎么确定呢？或者说鑫源的范围对于我做题影响大吗？如果不影响的话，我确不确定其实都无所谓了，是吧？你算题，你看鑫源的范围对我没有影响吗？你可以看一看， 好，有影响就去确定，没有影响我就不用确定了吗？确定的目的就是因为他对我做题有影响吗？是吧？看一下有影响吗？没有，这就是我们今天给大家讲的凑脚问题，然后第一个正常凑，第二个不够了，借助特收角，第三个换圆。 但是呢，凑脚的技巧和方法远不止这些，他还有更多高级版的考法，你只有把基础版高级版所有的考法全部掌握透彻，那么以后做这种题型才不会出错。 所以这些基础和高级版的方法全部在我们给大家配套的三角函数二十三大题型当中，都是期末必考的， 老师全都给大家梳理出来了。而且你配套的同类型题目的辨识训练，然后你可以留一下二十三大题型，然后我给你安排拿走打印，尽快训练起来。跟着老胡的课程，我们期末考试冲刺满分好不好？好好下课！

就是这种三角求最值问题啊，经常会出现啊，经常会出现，尤其是在这个高一阶段的期末考试啊，或者是呃，这个高三阶段的。这个求这个三角里面参数范围也经常会出现啊， f s 是 两倍的考三 e omega s 啊，其中 omega 大 于零， 在零到四分之派上出现两次最大值二，求 omega 的 取值范围是什么？ 首先这个图像你一定要会画啊，这个图像你一定要会画，这图像你们知道知道怎么去画吧。来，我们把这个图像给画出来啊，我们先去画图。好，各位同学，各位家长，把画图两个字打在公屏上 啊，所有的三角求参数范围问题，你一定要采取数形结合的方法，你一定要把这个图像给画出来，知道吧？来，我们把这个图像画出来啊，画坐标系，来我们这这一步到位啊，画一个 s 轴， 再画一个 y 轴，好，然后再来二倍的三 omega s， 它图像来画个草图，就这样画啊，这边这样 就画出来了，是吧？然后接下来一定要注意啊，它的周期是多少？这个这个二倍的三 e omega s， 它的周期 t 等于二派除以 omega， 懂了吧？就是二派除以 omega， 那 么它的周期是二派除以 omega 的 话，你看这个地方是零，那么这个地方呢？就是二派除以 omega， 因为它周期是二派除以 omega， 一个周期的长度是二派除以 omega， 对 吧？从这到这不就刚好是一个周期的长度吗？就是这个地方是二派除以 omega， 那 么这个地方是二派除以 omega 的 话，那这个地方呢？就是派除以 omega， 每个地方一半，那么这个地方呢？ 就是派除以 omega 的 一半啊，就是二分之派除以 omega 是 吧？这地方应该没有问题，是吧？那同理啊，那这地方就是负的二分之派除以 omega， 那 么你知道知道这个这个百分之之后，它的最大值是几呢？最大值是二，对吧？这地方是二， 那负四分啊，零，零在这个位置是吧？啊？零在这个位置，他说在零到四分之派上啊，出现两次最大值，二。那我问大家， 这地方是第几次最大值？是不是第一次最大值是吧？第一次最大值，二。那么第二次最大值二在哪呢？来，我要往后开始画啊，继续继续补着画，继续往后补 第二次最大值，第三次最大值，我都把它画出来啊，这个呢，是第二次最大值，是吧？那这个地方是多少？来？这地方的横坐标，我们把它算出来， 就是二派加上二分之派，是吧？二派加上二分之派是二分之。呃，二分之五派，二分之五派除以我们一个，这是第几次最大值？哎，这个地方是第二次最大值， 第二次最大值，他说他刚好要出现两次最大值，那出现两次最大值的话，那么这里面的这个四分之派是不是一定要超过 r omega 分 之五派，对不对啊？所以这个四分之派你看啊， 这四分之派一定要超过第二次最大值，它才能够出现两次最大值。能不能理解？好，那么四分之派要超过二 omega 分 之五派，所以列的第一个限定条件就是这里面五派比上二 omega 一定要小于等于四分之派， 这是第一个限定条件，因为它要出现两次最大值的话，这四分之派一定要超过啊，这个二 omega 分 之五派，这样的话它才能够出现第二次最大值。那么这个四分之派能不能超过第三次最大值呢？你比如这个地方是第三次最大值， 第三次最大值是不能够超过第三次最大值啊？如果超过第三次最大值，它就出现了三次最大值了，是吧？所以这四分之派还要小于这个地方。那这个地方的横坐标是什么？我们算一下啊，这方的横坐标呢？其实很简单啊，来，我们算一下来。 呃，这个是 r omega 分 之二派啊， r omega 分 之五派，再加上一个周期，是吧？再加上一个周期周期的话，就是这个 r omega 分 之四派，就 r omega 分 之九派，是吧？这地方啊，一定要会算啊， 你看从这个地方到这个地方刚好是一个周期的长度，是吧？那一个周期的长度是 omega 分 之二 pi， 在 r omega 分 之五 pi 的 基础上加上 omega 分 之二 pi， 是 吧？是不是就是 r omega 分 之九 pi， 所以 这个四分之 pi 还要小于它，对吧？啊？四分之 pi 还要小于这个地方啊，来，我们就能得到，就是九 pi 比上 r omega 要大于四分之 pi， 这是第二个限制条件。 把这两个限定条件解一下，就是 omega 的 取值范围。好，能听懂，在评论区打数字一啊，互动一下能听懂，在评论区打数字一，因为他，他告诉我，他在零到四分之派上出现两次最大值，那要出现两次最大值的话，那四分之派一定要超过这个二 omega 分 之五派 啊，这样的话它才能够出现第二次最大值，是不是？但这四分之派又不能够超过第三次最大值的横坐标，如果超过了第三次最大值的横坐标的话，那么它就出现了三次最大值了，是不是？所以这四分之派呢？要介于这个 r omega 分 之五派和 r omega 分 之九派之间。 我分别解一下，取个取个交集就可以了，就能算出 omega 的 取值范围了。好呢，听懂，在评论区打数字一，互动一下，来，我们第一个解一下，就是 omega 大 于等于多少？ omega 大于等于十，没问题吧？啊？这个解一下，这是 omega 小 于多少？小于十八，所以 omega 的 取值范围就是从十到十八 来。能听懂在评论区打数字一啊，互动一下，来，把你们想法打打在公屏上。能听懂的在评论区打数字一，它的核心思想就是画图，你把这个图像画出来就可以了。 那图像画出来之后，他说在零到四分之派上出现两次最大值，就这四分之派一定要超过第二次最大值，要小于第三次最大值，这样的话他在零到四分之派上才能出现两次最大值。二，这是第一次，这是第二次，懂了吧？

大家好，我们看这样一道题目，这道题目从已知条件很容易找到突破口。 已知 f s 事实是个辅助角函数的形式，也就是说 f x 十一斜进行整理，它是根五倍的 cx 压菲 解根三。这里面三三等于一， b 根五扣三三等于三， b 根五 假设费这个角为第一象限零到二分之一这样的一个范围。 我们再看一要税告诉你，函数 f s 与两个零点 s 一 x 二，则说明 f c 一 等于 f s 二等于，即 sin x 一 加费等于 sin x i 加费应该等于当 s 一 根五。当然， s 一 加费 x r 加费， 角的分都介于费斗牌加牌之间。考虑到上面 三 x 一 加 f 等于三 x 加，所以 s 二加 f， 所以 我们不妨 得到 s 一 加 f 与 x 二加 f， 二者相加，再除以 pi， 即三等于二分之 pi， 即二分之 s， 一 加 z 二。 所以我们很容易得到 c e 二分之派 g 二分之 s e 加阿萨，就应该等于十一面的五分之根号五，即 q 三二分之阿萨五用五分之根。 所以啊，我们利用二倍角公式得到 q 三 s 一 加 s 二比二倍的 cosine 二分之 s 一 加二的平方。建议，对这道题 答案，我们还有那个 c 形之三，因此这道题目答案选择 a。

hello， 宝子们，今天咱们讲的是三角函数的单调区间问题，来看一下这道题。已知函数 f s 等于三， omega s 减四分之派在区间零到二分之派上恰有三个零点，其中 omega 为正整数。 第一问，求函数 f s 的 解析式。这是一个散函数，我们把这个 omega s 减四分之派看作一个整体， 令 t 等于 omega x 减四分之派，则函数 f x 就 等于三 t 这个区间零到二分之三派指的是 x 的 范围，当 x 属于零到二分之三派时， t 属于负的四分之派到二分之三派 omega 减四分之派。 我们来画一下这个正弦函数的图像， 这是负的二分之派，负的四分之派在这儿， 负的四分之派到二分之三派 omega 减四分之派上面有三个零点，那么来看一下，一个零点，两个零点，三个零点，那就说明二分之三派 omega 减四分之派一定要在这个第三个零点的右边， 这是派，这是二派，这是三派。二分之三派 omega 减四分之派一定要大于等于二派，小于三派，它才会有三个零点。 二分之三派 omega 减四分之派大于等于二派，小于三派， 所以 omega 大 于等于二分之三，小于六分之十三。其中 omega 是 正整数，二分之三是一点五，六分之十三是二点多，那正整数 omega 只能等于二， 所以函数 f x 的 解析式等于三二 x 减四分之差。好，第二问，我们下个视频再讲，拜拜宝子们。

hello 宝子们，今天咱们讲的是三角函数的综合体来看这道题，已知函数 f s 等于 cos 乘以括号里根号三 cos 加三倍 cos 减 a 的 图像经过点六分之派二分之三。第一问，求实数 a 的 值，并求 f x 的 单调减区间。我们先把这个函数 f x 的 括号展开， f x 等于根号三 cos x， cos 加上三倍 cos x 方，再减 a 等于这有 cos x 和 cos x， 那 咱们就用二倍角公式，也就是 根号三除以二，那也就是再乘以一个二二倍的三 x 扣三 s 加上三倍的扣三 s 方扣三 s 方。用降密公式，也就是三乘以二分之一加扣三二 x 再减 a 等于二分之根号三散二 x 加上这个分式，把它拆分出来，也就是二分之三 扣散二 x 加上二分之三再减 a。 好， 接着等于 这个二分之根号三，还有这个二分之三，它们两个的平方和再开方，提取出来一个根号三，然后乘以这个还剩下一个二分之一 散二 x 加上它提取出来一个根号三乘一个二分之三，最后加上二分之三 减 a， 这有散 s， 这有扣散 s。 然后二分之一和二分之根号三分别是三分之帕的散值和扣散值，这个利用的是两角和差公式，那它就等于根号三乘以 三，二 x 加上三分之派，加上后边的二分之三再减 a。 因为这个函数 f x 经过六分之派二分之三这个点，所以 f 六分之派 等于根号三算二乘以六分之二，加上三分之二加二分之三，再减 a 等于二分之三，那把这个 a 求解出来， a 等于二分之三。所以函数 f x 的 解析式就是根号三 散二 x 加上三分之派，然后加二分之三，再减二分之三，也就是抵消掉了，所以这就是 f x 的 解析式。 f s 是 一个散函数，那它的单调递减区间。我们来看散函数的图像，单调递减区间是二分之派加二 k 派到二分之三派加二 k 派。 所以里边二 x 加三分之派大于等于二分之派加二 k 派，小于等于二分之三派加二 k 派。 所以 s 的 范围是大于等于十二分之派加 k 派，小于等于十二分之七派加 k 派，这就是它的单调递减区间。 再来看第二问，当 s 属于零到二分之派时， f s 大 于等于 m 横成力，求实数 m 的 取值范围。既然 f s 大 于等于 m 横成力，那就说明 f s 最小值肯定也是大于等于 m 的， 那我们只需要求一下 f s 最小值就可以了。这时候可以用换元法来解决这道题目。 令 t 等于二 x 加三分之派，也就是这个函数 f 解析式里边，整体则 f x 等于根号三散 t， 当 x 属于零到二分之派时， t 属于 三分之派到三分之四派。那么来画一下图像，很明显，在三分之四派的时候，这个 f x 取得了最小值。 f x 的 最小值等于根号三三分之四。 pi 等于根号三，乘以 pi， pi 是 一百八十度，加上三分之 pi 是 第三象限角，那它是一个 pi 值是一个负的等于负的根号三 三三分之派，也就等于负的二分之三，所以 f s 的 最小值是负的二分之三，然后它的最小值也要大于等于 m， 所以 m 就 要小于等于负的二分之三。好，有其他问题可以给老师留言，拜拜宝子们。

朋友们大家好，欢迎来到六品数学课，我们来看今天的题目。已知函数 f x 等于 x 平方加上二， x 看成 c， 它减去一，其中 c 它不等于二分之派加 k 派， k 属于 z。 第一个，当 c 它等于负的六分之派的时候， x 属于负一到根号三的时候。 求函数 f x 的 最大值和最小值。第一问，相对来说比较容易，那当 c 它等于负的六分之 pi 的 时候，我们知道 tan 负的六分之 pi， 它是等于负的三分之根号三的，对不对？然后代进去嘛，那就有 f x 等于 x 的 平方， 减去三分之二倍的根号三， x 减去一，现在说 x 是 属于负一到根号三。 首先我们看一下这个二次函数的对称轴是负的二， a 分 之 b， 它是等于三分之根号三的，对不对？它是等于三分之根号三的。然后我们大致给一个图像，啊， 三分之根号三在这里，然后你看负一，假设负一在这里啊，那它对应的值在这里，你可以算一下嘛？当 x 等于负一的时候，当 x 等于负一的时候， 那么函数值，也就说 f 负一，它是等于三分之二倍的根号三的，对吧？然后我们看一下啊， f 根号三， f 根号三，他是等于零的，对吧？那也就说最小值在这里，最小值在这，根号三在这里，那么最大值就是负一对应的，最小值就是三分之根号三对应的，对吧？所以最大值就是 m a x 最大值那就是三分之二倍的根号三了。最小值那就是 f 三分之根号三，它算一下等于负的三分之四，所以最大值和最小值就已经算完了。看第二问， 若函数 g x 等于 x 分 之 f x 为奇函数，求 c 它的值。那简单的，我们把 g x 给它进行相应的变换， 本来它等于 x 分 之 f x， 那 么我们把 f x 这个式子代进来，那就有 g x 是 等于 x， 加上 二倍的 ten theta， 再减去 x 分 之一的，是吧？那它是一个奇函数，那么我们把负的 g 负 x 给它算出来，它是等于 x 减去二倍的 ten c 减去 x 分 之一，它是奇函数，所以这一部分跟这一部分是相等的，对吧？你看，这里相等了，这里相等了，那这一部分现在不相等呀，所以我们就得到 ten to c 应该是等于零的，对吧？所以这时候 c 就 应该等于 k pi 了，哎， 当然了，这里 k 是 属于 z 的 啊，这是第二问。接着我们来看第三问，求使 y 等于 f x 在 区间负一到根号三上单调的 c， 它的取值范围。 那首先我们明确一下， f x 现在是等于 x 的 平方，加上二倍的 x 特 c， 它减去一的， 它的对称轴是负的二 a 分 之 b， 我 们计算一下，它等于负的 tenth theta， 对 不对？它等于负的 tenth theta。 然后我们画个头像，画在这里啊，你看第一种， 第一种它是这样的，这里是负的 tenth theta。 那 么要让它单调的话，不管是单调递增还是单调递减啊，你看啊，对称轴这里对应的 x 的 值应该要大于根号三， 你想嘛，当它大于根号三的时候，肯定是大于负一了，对吧？所以你看它在负一到根号三这一部分是单调递减的，对吧？那么我们这时候是不是就可以得到你看负的整 数，它是大于根号三的，对吧？ 它是大于根，它是大于根号三的，那就有 ten theta 是 小于负的根号三的，对吧？小于负的根号三，然后再结合 theta 的 取值范围，应该在 k pi 减二分之 pi 到 k 以 pi 加二分之 pi， 把这两个结合起来，你看，当它的 c 它等于负的根号三的时候， c 它是不是等于负的三分之 pi， 对 吧？所以我们把这两个结合起来，我们就能够明确 c 它的取值范围， 这里是可以取等的啊，这里也是可以取等的。然后我们现在明确一下 c 它的取值范围，那它就是 小于等于 kpi 减三分之 pi 大 于 kpi 减二分之 pi， 对 吧？这是一个范围了。那么看第二种情况啊，第二种情况它可能是这样的， 这里是对称轴，也就是说它是负的 tenth theta， 那负一在这里，哎，那根号三在这里，对吧？如果满足这种情况，它是不是也是单调的，对吧？所以这时候我们就应该知道，负的 ten to sit 是 小于 等于负一的，小于等于负一的，然后同样再结合这个式，再结合这个取值范围啊，结合这个取值范围，那 c 它就是小于 k 派加二分之派， 大于等于 k 拍加四分之拍的，对吧？哎，要不然取这个范围，要不然取的就是取的就是这个范围，哎，这两个范围是或者的关系嘛，对吧？取这两个范围。 那么这道题还是比较复杂的，但是内容总的来说还是比较好理解的嘛，对吧？好了，这道题你学会了没有？

一个视频带大家解决三角函数的值域问题，另外关于三角函数的专项练习，李姐已经给大家整理好了，如果你三角函数这块还不熟悉的话，那你一定要拿去做一做，拿去练一练。好，我们来看， 碰到这种三角函数让你求值域的话，大家一定要记住，不管是三还是口算，它的范围都是负一到一，如果整体前面是有系数的，那咱们直接给他乘上去就行了。 第一题，三 x 直接它的范围就是负一到一，接着第二个好，还是一个口三，前面有没有数啊？没有，它还是一，所以直接还是负一到一，接着第三个，发现前面是不是有一个数字三了，所以咱们整体给它乘上三， 负一到一的范围乘以三的话，那这里变成三，这里也变成三，所以他的值域是负三到三。第四个，同样的，先找这个整体整体的范围是负一到一，前面有个系数乘以二，那我们直接给他乘上去，就变成了负二到二，别忘了后边还要加上一， 左右两边同时给他加上一，负二加上一等于负一，二加上一等于三，所以他的范围是负一到三。最后一个，这个整体他的范围是负一到一，前面还有一个系数二， 所以我们给它乘上二的话，就是负二到二，别忘了最后还要加上一个二，所以左右两边同时加上二，负二加二等于零，二加上二等于四，所以它的范围是零到四。同学们，你们学会了吗？学会的同学记得点个关注和收藏，免得下次找不到了。

三角函数让大家最头疼的是什么？是不是公式太多了，知道背不过记不住，好不容易记住了不会用， 而且还变着花样考你是不是？是啊，我们这节课就教会大家这些所有的公式必考题型跟老胡学透，那么我们的期末考试这块拿满分行不行？行，九大组公式里面对应的题型考哪些必考的啊？题型一，咱一个一个来说 叫做闲话切，问题。第二个呢，叫做黄金三角问题， 我会一个一个给你们讲透，不要着急。第三个，凑脚问题，基础的凑脚怎么凑？升级版的凑脚怎么凑？第四个，什么问题？ 辅助角公式有关的一些最值问题。第五个，考什么教材深挖出来的， 高大考刚刚考过激化和差。第六个和差化积，这两个你要是会的话，你做题的速度会 比其他的方法用起来会快很多。咱先来说第一个，弦化切的问题。好吧，好，弦化切的问题其实核心考察的是我们所学的第一组啊，常见的公式知道叫什么吗？ sine 而法方加上 cosine， 而法方等于一，以及主要用的是这两个公式啊， sine 除以 cosine 等于 tan。 我 们来先讲第一道题目，它在题目中怎么去应用的问题好不好？好，我们先来看第一道题目题型一，闲话切。那闲话切是啥意思？你先得认识这种题型， 条件一般会给你一个切看到没有，然后所求的东西是啥？弦？正弦与弦是吧？知道是不是叫切，所求的东西是不是叫正弦与弦？对，那你是不是把所求的东西得化成条件给你的？ 那这个过程就叫做弦化切，那么弦化切一共有两条核心要求，首先， 你看你要用的是左面的这个公式吗？三除以烤三是不才能是摊着他呀？对不对？要给他肯定要做除法吗？是吧？给他们除以烤三才能变成摊着呢，是不是？所以你不能莫名其妙给这个式子除吧？那一般得满足什么条件呢？第一个， 这个式子首先得是分式，嗯，因为它是分式，你上下同除原式不变吗？是不是？然后第二个，这个式子必须得是其次式。 什么叫做其次式呢？我先问一下大家啊，你看单项式 a 的 立方，这是几次的三次？那 a b 的 平方，这是几次的三次？对单项式的次数看的是字母之合，是吧？我如果把它加起来，它是不是就是其次式了？是的，其几次？三次，其三次没问题，这叫其次式。所以我们所有的闲话切满足这两条要求就可以做了。那第一个，你告诉我它是分式？不 是，是分是你给他们同除，是不是原是保持不变，满足第二个其次。那为什么是其次呢？因为只有是其次，你同除完之后，把这里面所有的东西才能化成条件，就不会剩余你所陌生的东西在里面了。 比如说我们以这道题目为例，你看这个是关于三或者考三的几次式。一次加减号连接起来的每一项次方都得一样，一次一次，一次，它是几次一次，其几次式， 它其几次式。我们就给这个式子同除以考三的几次方。所以本道题同除多少？同除考三而法就完了， 是吧？来开始跟我得结果吧，三除以考三是多少？二倍的攀枝特尔法 减去考三除以考三，一，再比上三除以考三，攀枝特尔法加上多少？二二。你看，如果你是其次，使你同除完之后，它就完全变成条件了。发现没有？没有？往进带四减三，四减一， 四减一是三，这四四四分之三就完了。会了，不会了。再来一个变形。看题。 给的是切，求的是弦，是不是弦化。切好，你再把弦换成切的过程中要做除法吗？除靠三是吧。那你除的话，你这一个整式咋除呢？原式是不是变了，所以不满足。什么分式？不满足分式，你得满足是分式。那不满足分式，我们怎么给他把它变成分式呢？ 你得搞成分式呀，它不是分式呀，除个一。哎，借来一个免费的一一嘛。往这一写行不行？行，那 分式没有问题。来，这是其次是不？其几次？这是几次？两次这是几次？两次，这是上下都得是其次。这是关于三考三的 一次零次，零次零次。是吧？是不是大家都得是起二次式啊？那这没有二次式啊，怎么办呢？ 哎呀，很聪明吗？是不是用的就这个式子了？把它写成什么？把它写成三 c 塔的平方加上一个 cos 塔的平方，这叫免费的。一来开始告诉我咋做同除，谁同除？一 起几次式就除以 cosine 的 几次方嘛。起几次嘛？两次同除以 cosine c， 它的平方你除完之后它全能变成的这个了。你试一下来开始变吧。三方除以 cosine 方式 tan 整数的平方加上 cosine， cosine c 除以你的平方，一约掉一个 cosine c， 它除以你的平方，一约掉一个 cosine c 了，对，来，继续减去二比上，这是 贪方，贪方好，这是加，加多少？一，等于直接往进带吧， 四加二，再减二，这是四吗？五五分之四，会了，不会了，所以这叫基础版闲话。切，问题先得满足这两个要求，而考试就从这两个点上去考，你 不是其次变，其次，不是分式，想办法变成分式，题型一我们就搞定了，会了，没？会了，接下来我们来讲第二个，黄金三角。那么黄金三角这块主要考察的是你什么的公式呢？其实说白了是二倍角公式， 二倍角公式最常见的一个是 sine 阿尔法，等于二倍的 sine 阿尔法， cosine 阿尔法，还有一个是 cosine 阿尔法。你首先得对这两组公式熟悉嘛，是吧，知道这有几个公式还记得不？三个， 三个啊，不要死记硬背啊，要知道这三个公式怎么来的啊，第一个知道了，是不是另外两个都知道了？来，这个是二倍的，靠方减一，一减去二倍的三方就是第一组 是考三三，第二组只有考三，第三组只有三，没有问题吧？没有，来，接下来我们说，哎，黄金三角怎么去考察？大家题目来看，题型二，黄金三角。我们先来说什么叫黄金三角，说的是看这里啊，同一个角度，三 c 糖加上考三 c 糖， 来，这里是 sine theta， 减去 cosine theta， 还有一个是 sine theta， 乘以 cosine theta， 这三个东西注意叫做之一求二，就光这个经常在考试中去考，大家 啥意思来？比如说给你加，让你求乘积，怎么由加能够求出乘积呢？它们俩之间什么关系？ 平方嘛，平方完之后不就乘积了吗？是的不是的， 一样的。给这个求乘积会不会什么关系？平方嘛，给你求他会不？他俩之间有关系？没有 乘积的关系吗？一平方不都跟乘积有关吗？对是吧，这就叫黄金三角来看题，比如说这道题，哎呀，三个 earth 二倍角公式吧。所以第一步这其实里面暗含的是什么？乘积？嗯，然后有一个角度的范围让你求差 成绩和差之间的关系是不是？所以要求他怎么样让他能出现条件里面的成绩呢？来告诉胡老师，首先第一步干嘛？先干嘛？给所求的东西是不是先平方 行不行？求他的平方吗？三 c 塔减去考三 c 塔我不会求你我还不会求平方了吗？对，求完平方再开根不就完了吗？是不是来平方完之后三方考三方是几？一加一减去二倍的三 c 塔乘以考三 c 塔 是还是不是？是的来等于一减去乘积。乘积是多少？这不就是三二 c 糖吗？二 c 糖展开不就是糖吗？不就是成绩关关系吗？所以呢，一减去三分之一，三分之二。所以说我们的三 c 糖减去 cosc 糖等于多少？ 正负根三分之根二，三分之根六吗？嗯？正负两个都要吗？ 都要吗？那为啥给你一个这个嘞？范围是吧？哎呀，你第二步你不得确定一下正负的问题吗？说白了是不是确定一下角度的就大概的范围问题吗？ 这大坨的范围是不是？是啊，这大坨到底是正的还是负的？我写的。呃，细致一点，我写个正负的问题吧。确定正负的问题看谁大谁小是吧，如果你大他小不就正的吗？你小他大不就是负的吗？对， 那咋确定呢？ c 塔在四分之派到二分之派之间在哪？呃，我先说 c 塔，这是四分之派吧，等于 c 塔 这个角度，零到四分之派之间谁大？谁大谁大还记得定义吗？忘光了，三指的是什么？这条线与单位圆 交点的什么坐标？还有人有印象没？坐标 y， 这个是 x。 嗯，零到四分之派之间谁大？ cosine 大 是吧？是不是 x 更大嘛？所以应该是零到这个角度之间谁更大一些。 写下来 cosine 是 不应该是 cosine 值，你拿定义就能够推了吗？我们不是讲过定义吗？ cosine 是 不是大于 sine 呢？对，来，那超过这个嘞，是不应该是 cosine c 它小于 sine c 它了，注意范围哦。搞定了吗？ 根据定义一样，一个是指的是 y， 一个是 x 吗？你一盼了就知道了。是不是来开始，你说的是四分之派到二分之派之间是不是在这来？ 所以三大这个小大减小，减完之后取得是正值，因此本道题目答案是三分之根六。完了， 确定范围这个事很重要，我们后面学凑脚的时候，不断的要学会去用范围去定正负的问题呢。好吧，来，我们再来一道题目，让你再次感受一下黄金三角怎么去用来看题。首先是不是尔法的三值考三值再做叉 给的是叉吧，求的是这个东西。这好像也不是成绩的结构吧。 靠三，阿尔法角度之间是二倍，所以第一步你只要看到有阿尔法，先利用二倍角公式先给他展开吧。那不然咋跟阿尔法挂钩呢？是这意思吧。来，我开始，我先给你讲啊，靠三有阿尔法， 往左边看，一二三三组公式用哪一个用哪一个用哪一个不是你随便想的。看题啊，尽量跟他要挂钩啊。用哪一个用第一个。为什么？ 因为第一个可以写成两数和乘以两数差不就是和差的问题了吗？是不是最后第一个叫做考三而法方减三而法方。我不写了，我直接给他展开啊，他写成你两之和 考三而法减去三而法你两之差，是不是？然后题目又告诉我它是五分之一，所以这一坨是多少？ 你减我是五分之一，我减你是多少？负五分之一，负的五分之一没问题吧？来下一个相当于我是不是只要把这一大坨给它求出来就结束了。 那这个问题变成什么了？给的是差，求的是和这不给差求和我刚刚说了吗？和差之间的关系就在这， 是不是你俩找一个中间人嘛，咱俩都跟成绩有关系，借助中间的桥梁让咱俩建立关系嘛，是不是？是啊，来第二步跟我说咋办呢？求他。哎呀，我求他，只要求他的啥就可以了， 只要求它是什么就可以了。平方，所以我先给他平方一波来。平方，我求的是 cosine 尔法加上一个 cosine 尔法括号的平方，注意待会要把它开根往这一带是吧。思路很清晰啊，展开之后是一 加三方加考三方是不就是一了？一加上二倍的三个而法乘以考三而法要求你转化成求他了是吧？问题得到了转化，那他咋求呢？ 哪里有成绩是不？这里也有，给他干嘛是不？只要把你求出来，往这一带是不就这个结果就出来了？对， 开完歌是往这带就可以了。哎，我再次给他平方叫做三而法减去考三而法来平方一下等于一，减去二倍的三而法乘以考三而法等于多少？ 二十五分之一。所以说我们的三二倍的三而法乘以 cos 而法等于二十五分之二十四，把这个数字往这一带是不就出来了？来，带一下结果吧。 这是多少？二十五分之四十九。那你是不是还得开根给人家给他带回去啊？往这带，知道我们要什么搞清楚了吗？来，往这带。哎呦，开完根是正的还是负的？正的为什么是正的？ 为啥是正的？题目说尔法在零到派之间，零到派之间塞是正的，可是你不一定保证这个是正的呀。正的加正的是不才能够是正的呀？是的哦，看，这， 这是大于零的，这大于零的三一定是正值。那两一乘是大于零，说明考三一定为正值，所以你也为正的，那么正的加正的，它一定是正的。开完根这个结果应该是五分之七， 这不就完了吗？所以说，本道题让我求的考三，我写一下，阿，尔法等于 负的二十五分之七，这就是答案了。会了吗？会了，黄金三角，所以考试的过程中就这三者之间，知一求二，来回考你，你都要会。这个是相当于已知减，让你求加，这里一定要注意开根确定范围的问题， 没问题了吧？没有，那么这是我们今天来讲的哎，六大组题型中的第二大题型，但咱们时间原因有限，我没有办法把所有题型全讲完，但是这些是我们在学三角函数以及期末考试当中必考题型， 所以呢，为了帮助大家期末考试把这块拿下满分，胡老师把他对应的题型全给大家梳理出来了，你可以留一下横等变形， 每一个我都给大家配套了同类型题目的专项训练，跟着老胡的课程训练起来，咱期末考试这里一分绝对都不丢好不好？好，直接拉开差距，好下课！

今天给大家讲一个三角函数里面超级好用的万能公式，其实这公式啊，起源于二倍角公式，来我们看一下， 我们知道 sin 二阿尔法等于二倍的 sin 阿尔法， cos 阿尔法，这个没有问题， 但对于这个式子啊，我给他分母带上一个一是不影响的，而一等于什么呢？一等于三引方阿尔法加上扣三引方阿尔法。 这时候大家注意啊，分子分母都是二次的，我给他分子分母同时除以扣三引方阿尔法， 这个时候我会得到二倍的 tan 值阿尔法比上 cos 也发阿尔法，比 cos 也发阿尔法，是个一三也发阿尔法，比 cos 也发阿尔法，是 tan 值的，发阿尔法我就会得到这个东西。 同样的道理，我们再来看，那 q 三引二阿尔法等于什么呢？来二倍角公式，它等于 q 三引方阿尔法，减三引方阿尔法。再构造个分母，分母是一，换成是 q 三引方阿尔法加上三引方阿尔法， 分子分母同时除以 cosine 方阿尔法，那我就会得到一减贪整的方阿尔法，比上一加贪整的方阿尔法。 其实这两个公式就叫做万能公式，你看，三也二二法可以用贪整来表示，扣三也二二法也可以用贪整来表示。 为了方便记忆，我们可以这样想啊，你把贪婪的阿尔法想成是一个 t， 它相当于是二 t 比上一加 t 方， 而这个呢，相当于是一减 t 方，比上一加 t 方，你可能还记不住是吧？不要紧，我画个三角形你就忘不了了，来一个直角三角形， 看这里啊，这个相当于是二 t， 这个是一减 t 方，这个是一加 t 方，他们正好构成勾股定律，你拿三角形一捋，哎，就出来了。当我们知道了这个东西以后啊，我们以后再求角就很快了。你比如说我给你举例了 这道江西的高号题，说贪婪二分之二法等于三，问你抠三引阿尔法等于多少？你看哈，阿尔法和二分之阿尔法是二倍关系。我就用刚才那公式 抠三引阿尔法其实等于什么来相当于是一减贪整的方二分之阿尔法比上一加贪整的方二分之阿尔法， 或者你可以把它看成是个 t， 对 吧？那我们代数了啊，你看一减三的平方是九，一加三的平方是九，哎，一算负的五分之四。这就出答案了。各位爱徒，这个方法你学透了吗？

三角函数图像变换，一不小心你就会丢分。所以说咱们这节课把平移伸缩变换的本质给大家讲透，以后这种题咱一分不丢行不行？行，好，第一件事，我们先来说平移的问题。 哎呀，这个比较简单呀，初中都学过了，叫什么左加右减，哎，左加右减。好，咱通过考题说一下他怎么去应用的问题。例，看这里啊，我说 f x 等于 三二 x 加上三分之派，把它向哪移？ 向左移行不行？向左移三分之派个单位，请问得到什么？我给你两个选项，你自己选啊。 a 选项 f x 等于三左。啥？左加左加？那是不是给他加一个三分之派啊？就加这个吗？加一个三分之派，然后这个三分之派我是不是赵超这第一个选项 b 选项 f x 等于三左加。哎呀，给 x 加吧，加个三分之派，然后这个三分之派照抄 蓝色的啊，三分之派在这两个位置，请问选 a 还是选 b？ 选 b？ 亲爱的同学，怎么看呢？ 左加右减，从初中老师都给你讲了，左加右减移的是谁，移的是纯纯的 x， 就是 给 x 进行左加右减呢，而不是给整体加，明白了没有？所以只要把握住这个点，你就不会出错了， ok 啊，所以这个应该选的是 b， 有 问题吗？没有没有问题，好， q 音讲完，然后再来说第二个问题， 跟伸缩有关的问题。我举几个例子啊，来，我每次通过例子去看，写上例二吧， 你看 y 等于三 x 变到 y 等于二倍的三 x， 这两个图像之间发生什么改变？自己打 发生什么改变了？变高了。三 x 图怎么画？我先给你画一个草图啊，是不大概长这样子的。这个是派，这个是二，派该没问题吧？ 取同一个 x 的 时候，你得到的 y 值，我在你的基础之上成了个二。咱俩取同一个 x 的 时候，我的 y 值是你的几倍？二倍，二倍。取同一个 x 这些个点，二倍的情况下还是这些点吗？不变是不是？是的， 那其他的点取同一个 x， 我 的 y 值得变为原来的二倍。所以你说发生什么改变了？ 叫啥？长高了，长高了叫 y， 拉伸为原来的两倍，没问题吧？没问题，那同理啊，那如果变成 y 等于二分之一，三 x 呢？你告诉我图像发生什么改变？ 取同一个 x 的 时候，你看零这些点，他乘个二分之一是不还是零啊？是的，除了零这些点之外。哎呀呀呀，其他的取同一个 x 的 时候，我的 y 值是你的 二分之一。我图画的不是很好，很美观。这两个是对称的啊，画的有点扯，但是你们自己知道就可以了，没问题吧？没有好，所以说外面这个数字 影响的是 y 值的伸缩问题是不是？是的，这个叫 y 深为两倍，下一个叫 y， 怎么了？缩？缩。啥叫深？啥叫缩？ 就是 y 变为原来的几倍，这个倍数字大于一吗？大于一是不是变越来越长了？是的，零到一之间是不是就缩小了？对， 能理解，看这个数字大于一较深，零到一之间读什么缩？是不是叫 y 缩为原来的二分之一倍，没问题吧？没有。好嘞，这个事搞定，然后我再来一个，叫做力三， 咱别急啊，一个一个给他把它讲清楚。例三的话回答我， y 等于三， x 到 y 等于三。二 x 二跑哪了？刚才是不是在外面来？是的，现在跑到是不是 x 的 位置了。对，来看看图像发生啥改变了？我先把三 a 的 图像给你画出来啊，关于中心对称的啊，这个点是派，这个点是二派， 你如果不知道发生什么改变，你就用五点描图法把你俩画到同一个图像里面去比较一下嘛，对不对？对，但是我们还有一个技巧，就是描图多慢的呀，考试中你描图吗？算周期吗？你走一圈周期是二派。 那你走一圈周期 t 是 不等于二派？除以这个二啊，等于谁？等于派？是不是你在零到派之间内你就走了一圈了，姿势不变，大家姿势都是这样一拐 是不是？那你说人家都走一圈了，来咋走？就是领导派内我就要走一圈。高低是一样的吧？是的，高低是一样的， 长这样最高点大家都是一样的，最低点大家都是一样的，没问题吧？没有，然后你再看我再给他。哎呀呀呀，画的又高了又高了，哎，好，大概姿势知道就好了， ok 吗？所以你说图像发生什么改变了？ 把原来的图啪。原来走一圈是这么长，现在走一圈是不是给他压扁了？对，那图像是深了还是缩了？缩了是不是 x？ x 怎么了？ 缩为原来的缩为二分之一了，缩原来的二分之一背了是不是？是能跟上啊？来，开始再来搞下一个啊，比如说 y 等于三二分之一， x 呢？ 一样的嘛，算周期呗，悄悄旁边算一下你的周期 t 等于二派除以二分之一几个派？四个派，你走一圈用二派，我走一圈用了多少？四派？四派， 那咱走的一圈用的时间更长了吗？是不是好？哎呀，你看不错呀，四排，比如说在这二排，在这我给你换一下他头像，你看咱高低不变啊，咱们高高低都是一样的， 是不是这样子？我画的有道理没有道理啊，其实的是这根白色的吗？ 刚才是压压密了，是不现拉稀疏了，所以他叫什么？从这到这，自己打一下这个过程， x 身长为原来的身为原来的两倍。好，我们来总结一下，你可以看一下，如果给三 x 外面乘个数字，说明谁发生改变了 y， 哎，乘以谁， y 就 变为原来的几倍，是不是？是的，那这个呢？你看是不是 x 前面的系数影响的是 x 方向的伸缩呀？对，那他还是乘以谁变为原来几倍吗？ 乘个二反而小了，除个二反而变大变大了。所以我们给大家总结的口诀来注意，叫做横除 纵乘。什么意思？纵坐标乘以谁 就变为原来的几倍总乘，没问题吧？对，横除横坐标除以谁就变为原来几倍。你看横坐标是不是这个相当于 x 除个二分之一啊？除个二分之一倍， 对，对吧？这个呢，是不给 x 除了个二，这不二分之一吗？就 x 除以二的意思吗？是不是除以谁就变为原来的几倍，所以它叫做横除总乘，没问题吧？ 啊？接下来我们再给大家去讲第三类，就是平一和伸缩，给你整一块一类到底是先平一还是先伸缩的混合顺序问题，这个同学们经常出错，我们通过一个例子给大家讲明白好不好？好，你看啊，比如说我问你， y 等于三 x， 你 经过什么样的变化能给我把它变成 y 等于三 x 加二 x 加三分之派， 这个东西是不是跟什么有关？伸缩跟伸缩有关吗？对，这个东西是不是跟平移有关呀？对，那你说他怎么变呢？先平移还是先伸缩的问题，先，哪个自己说？法医，先平移 后伸缩行不行？可以，那咱试一下，看一下怎么能变过去啊？先平移怎么移？ y 等于三 x 先平移，是不是先到现在出现三分之派啊？是的，可以吗？可以，你看 y 等于三 x 加三分之派出现它吗？ 这咋移的？左加右？对，是不是叫向左平移三分之派个单位，向左移三分之派个单位，然后人家前面得是二，多了一个二，立马跟谁有关了？ y 等于三，二 x 加三分之派， x 多了个二，说明 x 方向怎么了？深还是缩了？缩了。 给除以谁变为原来的几倍是吧？是的，变为原来几倍了。二分之一， x 变为原来的二分之一倍。具体来说，这个变为就是缩缩为二分之一倍吗？ 给 x 除了二分之一吗？除谁横除除以谁就变为原来的几倍吗？是不是？是啊，对，这个目标就达成了。当然，我们还有同学说，胡老师，我不想这么干。反二， 我想先伸缩行不行？后平移。 先伸缩，是不是先让 x 前面出现那个系数呀？对， y 等于三 x 怎么样？变成 y 等于三个二， x 先变成它怎么变？ 还是给 x 除了个二分之一吧。是的， x 变为原来几倍，二分之一倍就缩为原来的二分之一，没问题吧？没有，然后你得出现 三分之派，怎么由它变成三二 x 加三分之派呢？ 告诉我往哪移？左移三分之派个单位是吧？是的，第一题白听了啊。 不用不用告诉你平移永远移的是纯纯的 x 啊。看给 x 发生了什么改变。你看给这个 x 发生什么改变了？提出去变成一个六分，这个东西是不是跟他相等的？ 从这到这只给 x 加一个六分之派就变成他了。对，左加，所以应该是向左移六分之派个单位。 所以你没有发现先伸缩后平移和先平移后伸缩，他们缩的这个是一样的，但是平移的单位是不一样的。 所以大家以后你自己不管是从哪个路走，这两个单位不是一个单位。治疗强调的是移的是纯纯的 x， 没有问题吧？没有。好，我们做一道跟他有关的综合问题来。先看题，他说 f x 为函数，向左平移 六分之派，各单位得到的就你先得得到这个函数，然后这个函数与它的焦点个数有几个？那你是不是第一步先干嘛？本题回答胡老师，你得先找到 f x 是 谁吧？ f x 等于谁？自己说 他是不是应该等于靠三什么有，你向左左加右减是不？给 x 平移六分之派个单位，跟其他没有关系对不对？然后再加一个六分之派来整理一下，变成靠三二 x 加上 二分之派，加上一个二分之派。哎呀，还可以化解吧。诱导公式吗？是的，二分之你可别拷拷塞塞展开诱导公式是不是可以踢出去啊？名称要发生改变，外面不要忘了， 既变偶不变符号看象限是吧。后面还有个正负问题，正的还是负的？负的看的是原来角度对应的原三角函数的正负，这个到第二象限了吗？对应的 cos 是 负的？对，所以他是负的。完了，叫第一步解决了他的问题，然后才有了第二步。干嘛 画图画图。哎呀，三二 x 的 图像你会画吗？宝子们，看这里， 他取零的时候是不是也还是零啊？是啊，原没有符号的话是不长这样子。对，取零的时候还是零，姿势不变长这样 添了个符号说明什么？添过正的变负，说明图像是不是关于 x 轴对称一下，正的变负的，负的变正的图像长这个样子，这个点和这个点分别是谁走一圈吗？这叫一圈？ 他走一圈是谁？是不是立马去算一下周期？二派除以二等于派，你走了一圈用了派，说明这里是二分之派是吧？是的，最高点是谁？最高点是一，这应该都知道吧？最高点应该是一在这， 然后题让你求啥，与他的交点个数。哎，这个当 x 等于零的时候取谁 取负的？这不是，这最低点是一是吧？负一啊，负一，这是负的二分之一过这个点，然后嘞取一的数字，一在哪啊？一是在这，不是三点一四吗？对，除以二，一点几了是吧？一是不？大哥在这个位置。对， 是把他俩一连来，注意，我给你连啊，假如这样一连连过来啊，拉长几个焦点告诉我，一二三三个，一个，两个三个。 这人为因素可太大了吧。那有人说，胡老师，我手一抖嘚，我这样连这几个焦点两个跟他相亲了，一个几个两个。要说，哎呀，我就怕你，我不想这么干，我这么干一个。那有几个？ 一个吧，你看每个人的焦点不一样，核心在于什么？怎么判断？核心在于你看他最高点是不是一， 我只要超不过人家的最高点一，我就一直在人家底下，我就看你的图像一直有焦点吗？但是如果有一天我的白纸能到达一，那我肯定往上走，我肯定骑在你上面了，远远超过你了。你最高点才是一，我在这都达到一了，我永永远后面就超过你了吗？ 所以取决于什么？取决于这个东西什么时候到达一，他什么时候等于一的问题是不是？是的，早点到达一，早点骑到你头上去，晚一点的话，你在后面，未来会相交吗？是吧，来算一下吧，这多少？ 三 x 等于几？ x 等于三，三在哪里？派是三点，一四？是的，就比三大了一点点，所以三是不是应该在这嘞？对，三对应的白值是 一在这，所以你看人家，这不是他的那个最高点吗？多三点。所以这个图像会画了吗？会了，哎呀，要画准啊，这个这个这个，这三一条线我给他也画。来吧，一个两个，三个 啊，第三个在这描错了，三个，这个不算没问题吧？没有，这就叫做跟图像有关的平移伸缩及其综合问题。 当然这只是咱们三角函数经典的二十三大题型中的之一，你要拿下整个三角函数，咱剩余的二十二大题型必须去做深度训练，每一个从一级别要干到几几级别， 旧级别。所以说手边哎呀，还没有二十三大题型，你可以给胡老师留一下二十三大题型，抓紧时间拿走，打印下来，跟着胡老师课程匹配用起来，我相信三角函数这块的实力会大大增加的，好不好？好好下课。

近十年的高考当中，每一年都会考到 a 倍的三欧米伽 x 加倍加 b 的 形式， 它占了三角函数整个的半壁江山，超高频考点，那么我们这节课把它的所有核心考点八大题型给大家讲透好不好？好好，咱们先来说你要掌握的第一个 题型一，跟他有关的画图问题。你别觉得画图简单啊，高考考了很多回，很多宝子们拿不下，必须得快速学会去高效率画图好不好？好好，这是第一个。那么题型二呢？ 考什么？考性质吗？他也是函数吗？函数共几个性质？常见六大性质吗？对不对？第二个考大家值域问题，值域一般怎么考你？我给你写 儿上的值域，给定区间上的值域以及二次型值域，全是考点，每一个都可以考。你好，还有呢？第三个 考什么？单调性，重中之重，大题小题各种考。你那么单调性考的呀，什么呢？一样的儿上单调性，区间上单调性，给你单调性，请你给我求参数的问题。 还有呢，第四个叫什么？叫奇偶性的题型，奇偶性的题型怎么考？你斐等于谁的时候为基，斐等于谁的时候为偶得清楚好。第五个， 还有什么周期性？有人说胡老师这个周期性没什么可考的啊，简单啊， t 等于二派除以欧米伽是吧？ 哎，那是拉不开差距的，要考你的。第一个叫做变态周期，第二个叫动态周期。什么叫动态？求 omega 范围的问题，难点压轴见过没？第六个，对称性的问题， 对称线这里分为什么你首先得知道轴啊，中心啊，我应该怎么去求的问题，然后反过来我告诉你，你得会去求一些参数的问题，全是考点，你脑海里面得有这个体系行不行？行。第七个叫什么很重要， 看图，我给你一个图，求什么？这不应该都见过吗？求解析式的问题对吧？第八个叫做它跟复合函数、零点各种综合在一块考，你考大家八大题型，脑海里面看着燃不燃？ 有没有体系？有了，哈哈哈。我们先来一个一个去讲好不好？接下来讲第一个题型一，我们先来讲题型一，就是我如何快速的通过不同的路子把它的图画出来 看黑板啊。首先我们先来说这个式子当中，你得知道 a， omega 负 b 代表什么？先说 a， 你 觉得 a 代表什么？我画图，你思考 a 代表啥呀？自己说老外的高低。比如说我画一个图啊，这个图我画到这儿来吧， 我画了一个图，这是 x 轴啊， a 代表的叫振幅。什么叫振幅？就是震动的幅度。 什么叫震动的幅度呢？看到没？最高点到起始位置，最高点是不是在这对，起始位置在这对，你俩之间这一块叫做 a， 明白没？所以说从最高点到最低点是什么？自己打这块是 a， 这块也是 a 吧？震动的幅度吗？他不是对称的吗？往上震了 a 不 就往下震了 a 吗？ 这两个就是关于这个点对称的啊，没问题吧？没有，所以整个最高到最低之间的距离是几个 a， 两个 a。 好， 这幅清楚了 b 代表什么？ 上下平移的那个数据吧。是不是？你看我原本这个图像，你看这不是在这呢，我是往上平移走了，对，是往上移了。对，所以 b 大 于零叫往上平移， b 小 于零叫做往下平移，没问题吧？对，好， 继续。欧米伽代表什么周期？欧米伽跟什么有关？跟周期有关。 t 等于二派除以欧米伽绝对值。欧米伽越大 t 越小，是不是 t 越小？对，欧米伽越小 t 越大。一个周期吗？我们经常说，哎，我研究一个周期啊，是不是要一个周期？从这我给你画一下， 从起始点开始到结束，下一个是不是下一个周期了？你俩之间的距离是不是就一个周期了？是，能，能跟上吧。可以，关键问题在于，在于这个 f， 这个 f 在 物理里面叫什么？出向位，这个 f 是 最难理解的， f 决定着什么？ f 决定着 图像，我写下来与 y 轴 从哪开始交起来。什么意思？来看一下这个 fly 的 理解，我通过不同的简单的题目带大家深深理解一下 fly， 这很重要的啊，不要去死记硬背好吗？好， 比如说，我们举个例子啊，第一个又回到之前的基本概念了，你看一下概念有多么重要， y 等于三 x。 我 们先来看这个函数图像怎么画，然后跟它有关的，搞个 omega， 加个斐，怎么快速去画你都会会学会本质好不好？好，那它的函数图像是怎么产生的？还记得不？ 哎，对，我们在定义里面是不是给大家讲了，他的本质就是单位员转出来的，我先给他画一个单位员啊，我们从这个单位员中去转一下他。对的歪， 这个圆画的有点扯。好，如果在单位员中，我把这个角度的起始边放在这，然后呢？我从这开始转，你看，比如说我有一天，哎呀，把这个角度转到这来了， 这个点叫做 p 点， p 与单位员交出来两个坐标， x 零， y 零是不？给一个角度对应一个 y 零，给一个角度对应一个 y 零啊， 是吧？那其实我们根据三角函数定义 y 零是谁？就是三 x， 就 这个角度的三 a 值就等于 y 零了吗？ 是不是？知道呀？嗯，所以我现在他的图像是啥意思？就是我想把这些不同角度对应的 y 全给他拎出来，我看一下，转一圈，哎，随着角度的不同，我的 y 是 怎么变化的？那个变化趋势吗？能理解不？理解？可以。 那我们把它的图画一下，我给你取几个特殊的角度，咱先研究一下趋势，好吧？好的，那这几个特殊的角度是谁呢？比如说这个是四分之派，好吧？好，那这个是二分之派，行不行？行，我们取以四分之派为一个间隔吧。那这个是多少？ 四分之三派，这个是派派。下一个呢？四分之五派，这个是四分之五派。这个是四分之六派吗？就是二分之三派吗？对吧？还有这边这个是四分之七派，四分之七派，这个是二派。 我们取这些角度看看他的 y 值是怎么变化的。来，一定要去理解这个函数图像啊，你不能只去死背这个函数图像，要知道他的本质是在干什么。开始当角度取零的时候，他的 y 值是不是应该是零？是不是？是。来，我下一个角度取谁？ 四分之派，我把角度选给你，选一秒，下一个呢？二分之派，下一个呢？ 四分之三派，再下一个呢派。还有呢？四分之五派，四分之五派。再下一个二分之三派，四分之六派吧，好不好？好，下一个四分之七派，四分之七派，下一个是二派，二派。 我们看趋势来看图啊，在单位圆中看这里，如果取四分之二的时候， y 值是不是就这么高？对，取四分之二，把它 y 值这么高，移过来就这么高的 y 值吗？我就瞄到这来，没问题吧？没有，来取二分之二，是不是就这么高啊？对，平移过来一。哦，这么高。 那这个呢？是不是两边是一样的高度啊？对，对称的呀？没问题啊，下一个呢？图画的不是很标准， 取派的时候他不是零吗？对，对不对？再取下一个的时候是不是你两个应该是什么？大小相等？大小相等， y 值是负的。嘣嘣嘣，移过来是不是应该在这来？对，来四分之六派的时候呢？负一。 哦，跟这个是不是？你看把刚才走过的路其实就是相反方向，是不再走了一遍，对，来，这边的白纸呢，是不？哎呀，跟上面是不是大小向的方向相反的吗？在这，然后这个是零，这就是随着角度的变化歪的趋势。 那我们研究究的是特殊点啊，人家研究的肯定不是特殊点啊，我们研究所有的点啊，是吧？然后你可以把所有的点你发现全给他搞出来。最后那个函数图像啊，就长这样子，这些就在函数图像上， 你现在知道 y 等于三 x 描述的是什么了吧？就这些长度的那些变化全搞过来了，明白了，不？明白了，明白了，好，当你会了这个之后，然后我给他一，这二，我给你稍微变一点点啊， 大家别觉得前面听起来麻烦，都是跟你后面的地基问题好不好？来，你看，开始看啊， y 等于三欧米伽 x 这个图你会画吗？ 他是我从两个点跟你去讲啊，他也是由单位员转出来的吗？对不对？你看，这是单位员，一样的，当胡老师把起点选在这里的时候，这 x 此时此刻角度是几？角度是零吗？对不对？我们都默认欧米伽是大于零的。好吧，那他对应的函数图像应该怎么去画呢？来看这里， 嗯，一样的吗？ x 取零的时候就是角度起始边就在 x 轴上吗？他的 y 值是不是就是零了？那随着 x 的 增大， 那是不是角度再成个欧米伽一转，那个角度就出来了？有一个角度那是不就对应了一个 y 值了，是吧？那个 y 值的变化跟这边变化是一样的，一模一样的，还是这么变的。 转一圈，只不过你不知道这里是谁，反正就这样转一圈吗？你，你转的过程中，你来你来，转一下，来，角度一点一点越来越大，越 来越大，越来越大，我这变成一了，然后我这越过一，是不？从这边我这开始越来越小，越来越小，越来越小，我这不就变小了吗？是吧？反正你描述这个角度 x， 你 一点一点给他取他他他 y 值的变化跟这边的 y 值变化是一样的吗？是吧？反正你描出这个角度 x， 你 一点一点给他变化是一样的吗？是吧？反正你描述这个角度 x， 你 一点给他变化是一样的吗？是吧？反正你描述这个角度 x 变化是一样的吗？ 是不是？只是不一定说是这里是二分之派的时候到达一，有可能你 x 取个别人跟欧米伽一成啪， y 就 到达一了， 是这意思吧？是的，嗯，反正你起始在这，你在转的过程中，你的 y 值一定会经历这个过程。这，这能理解吧？可以可以，来开始这第二个啊，我们再来说第三个。 那第三个 y 等于三 omega x， 我 给他加个三分之派，我们默认 omega 大 于零。好吧好，哎，那他的图像咋画呢？ 你得会画图啊，平移了。哦，你还知道平移了是吧？我们也是从单位员的定义本质出发。哎呀，这个单位员画的， 你告诉我，如果 x 等于零，他的 y 值是多少？从哪开始的？ x 一 旦取零的话， x 取零啊， x 取零。注意啊，我要取 x 等于零的时候是，是不是找他那个 y 值的变化去设来，对吧？其实变成什么了？ 其实变成三分之派了，从这开始转的那三分之派定的 y 值是不是这么高？移过来我是要瞄他的 y 值吗？这不就在这吗？ 能理解不？然后开始转那 y 值，你跟我说咋转来？从从这开始，随着 x 的 增大，什么 omega 加乘以 x 加三分之派是越来越大了。 对，那你整个角度越大的时候来，整个角度越大看成整体了，是不是给个 x 乘个 omega 加个三分之派？一旦 x 等于零，好， y 值其实在这可是一旦 x 变大的过程中来， y 值怎么走？你告诉我？还是你 角度越来越大，是不是 y 值怎么变化？ y 值是一样的吗？ y 值先到谁？先到一，然后从一开始往下降是吧？对，降降，降到 y 值为零，然后是不是走的姿势跟他一模一样的，把刚才变化那个趋势再走一遍？对，所以他的 y 值这样变化的 能理解？不？能，所以我要为什么要给你讲这个事？你看啊，一旦加了 omega x 进来，一旦加了三分之派进来，其实你的起始位置就变了。 x 等于零的时候， y 值起始从这开始的，从三三分之派开始的，然后从三三分之派开始之后的整个图像的变化趋势和原始里面三分之派之后的变化趋势是一模一样的。再走了一波， 就我看的成 y 值的变化吗？你知道从三分之二之后 y 值是怎么变的？那这里三分之二之后 y 值就先怎么变的吗？一模一样的先到一吗？再到零吗？是这意思吧。所以你绘出来的图像是一样的， 能理解这意思吧？我再考察一下，看你们到底学会了没有。来再给你举个例子啊。第四个，你看好了， y 等于三 欧米伽， x 减去四分之三排，嗯，然后我们默认欧米伽是大于零的，没问题吧？对，来，开始你看他咋画， 这就是你把定义理解的不一样，你跟别人做题那个感觉就不一样，你不要去给我瞄点啊，瞄点也行，但是我希望你能够理解到这个层面上。 开始画吧，随着 x 的 变化，我的 y 值是如何变化的？把图像趋势给我画出来就可以了。 x 等于零的时候，起始位置在哪里？注意起始位置，四分之三派，负四分之三派。哎呀，往过倒吧，是不是在这这样子吧，负四分之三派，对，是不是从这开始起始的？对，负 x 等于零的时候， 对的 y 值是不是你对的 y 值的高度？是的，我这里本来图像表现的就是这个角度对的 y 值吗？是的，是不是它对的 y 值是不是就这么长吗？对，移过来就在这。好嘞，来吧，那随着这一块的增加，这个角度是不是越来越大？就这样转吗？ 看嘛， omega 是 正值， x 越来越大，是不是乘起来它是一个正值吗？随着 x 的 变大， 看这里，欧米伽越来越大， x 越来越大，减个四分之三派是不是就越来越大了？角度是随着角度变大的过程中角度就这么转，变大的过程中你跟我说 y 值怎么变化？ y 值看转这条线吗？往过转吗？角度大呀，大大， y 值咋变化了？看 y， y 值到哪了？ 对啊，你这是不是还没到负一嘞？哎呀，角度先到负一，然后呢？从负一是不是又回回去？他还是负的吗？回到谁？回到零，然后呢？再继续转是吧？从零再到一，再下来，图像的姿势就长这样子， 会了，不会了。对啊，明白了没有？明白了，这就是我是怎么快速大概把这个图像姿势定出来的，就在这的本质上反复去看， ok 吗？然后我们来给大家去讲 二零二四年高考真题，当时考过你的这个本质是怎么考的？来，继续看二四年新高考一卷考过的这道题目。然后呢？他说零到二派之间，然后有两个函数，一个是三 x， 这个我们会画，是吧？然后与另外一个函数，图像焦点的个数问题。 嗯，画呗，画出来几个焦点就是几个焦点呗，行不？我先画三 x 行不行？可以，三 x 图像 大概长这样，这里是派，这里是二派，对称的啊，最高点一，最低点负一，没问题吧？没有，再画他的图，我想把他的图画到旁边，然后最后给他二合一，行不行？可以。好，你看他的图咋画？ 首先，哎，你走一圈用的二派，他他走一圈用了多少？ t 等于二派除以三三三分之二派，是吧？是的。哎呀，那这个图像字是怎么画呢？起始位置，注意，刚想刚才我跟你讲过的，起始位置 x 等于零的时候，它的白值是多少？ 负一，在你心里有一个单位元行不行？行， x 等于零，它的起始位置在哪里？负一嘛？先看这块，我们待会最后再说这个二的问题。 起始位置在单位员的起始位置在哪里？负的六分之派，取零的时候研究的是这个角度，对，那 y 值，所以 y 值就在这对到这负二分之一，是吧？是吧？叫负二分之一嘛。我们先把它画完， 可以不可以？那他的图像姿势怎么画呢？这位置负二分之一，随着这个角度的变大来，角度的变大往正的越来越大来，让角度越来越大，是不是这么转 对不对？ x 越来越大，乘个三减个六分之派，是不是角度越来越大呀？随着这个角度一直在变大的过程中，起始位置在这，它的 y 值怎么变化？ y 值从负二分之一先一直回到零了吧？ 是还是不是？是从二分之一回到零，然后呢？从零到多少？从零上去到一再下来是不是？对，然后从下来再到负二分之一，再往下再走，到负一到哪才转一圈，回回来才到，转了一圈了， 对，是不是？你看嘛，你这到是在这个位置，这个位置是这边对应的图像吗？是不是然后回过来，是不是这是一个周期了，然后再往上走下一圈， 能明白不？可以，所以他此时此刻最高点是一，他的最最低点是负一，没问题吧？没有。然后我们把这两个图二合一嘛，二合一的过程中，只不过给这个图要成个谁二倍，成个二就行了。特殊点成个二。你比如说这个点变成什么了？ 变成负一，变成负一，对负一，然后我这个图像的最高点变成谁了？二变成二，那这个图咋画呢？ 二合一。而且你发现啊，这两字二合一的过程中，你的周期 t 是 不等于三分之二派，他的周期等于二派是不等于他的三倍， 说明我得把你这二派分成三份，三份，我其中一份就走完了一个周期了，你能理解我意思吧？能理解，分成三份，这是一份，这是一份，我在这一份里面是不是要走完这个周期呢？ 把，我这个这个姿势是不是要走一遍呢？对，能理解吗？哎，你的周期是我的三倍吗？人家是我的三倍，就是我走三次，人家走一次，就这意思啊，转一转一次。来，开始这个过程。怎么画？ 难度极大。我开始往上走了啊，照这个位置往上画啊，先嘣嘣嘣，嘣到多少到二到二来上去，然后继续呢？在下降，下降，下降。然后呢？下降到多少？ 下降到负二，然后呢？再上来，是不是一个周期了？到这是这个过程吗？是的哦，我这个图像画的不标准啊，这不是负二，这不正二吗？对不对？对，你知道就可以了啊。来，继续再往上走，是不是把这个过程再重复一遍啊？ 噔噔噔噔噔噔，上去了，是不是？对，噔噔噔噔，经过最低点拐上来，是不是到这个点？对，第二个周期了，没问题吧？没有，来开始，你看再往上走，走走走，走到这到经过负一拐上来，是不是到这了？对，我走了三次，完了， 这个图就画完了。会了，不会了，这个图像其实是以及这个题是咱教材里面的题目哦，教材里面用的是五点画图法，你可以五点画图吗？用五点把两个图一画，你找焦点，你如果你说我就想快，你看，按照图像姿势，这就是能力问题了，就是高手就这么做题的， 明白不明白？来找一下焦点吧。这几个一个，两个，三个，还有呢？四个，四个，五个，五个，六个，所以焦点的个数是六个， 会了没？会了，这就是我为什么煞费苦心前面给你讲了那么多图像的本质。 第一个画图，新高考考了好几次了，我们未来新高考中一定还会再次考到大家对于图像本质的理解的明白没有？你包括画图里面我们现在给大家讲的是什么？讲的是直接画，你后面还会遇到就是跟平移伸缩有关的一些问题，画图的技巧我们这节课讲不完了， 但是呢，这八大题型是大家拿下三角函数你必须要攻克的，而且每一个题型你必须要把它练扎实，练透，从一级别练到九级别。如果你不知道怎么去练，胡老师全给大家准备了八大题型整个的通关秘籍， 你跟着胡老师把这块全部抓紧时间打印下来练好，那么你三角函数妥妥里面拿高分。行，好，我们这节课就下课了，拜拜。嗯。

重点来了，今天我们正式来讲三角函数领域最核心的知识，我们正弦函数的图像的性质，那么大家拿做好笔记，跟着老师一起上课， ok， 同学们，那么我们学正弦函数，顾名思义，正弦，正弦嘛，它是由我们的正弦塞 引导出来的函数 y， y 等于 sin x， 那 么这个 sin 呢？是什么意思呢？老师在刚讲三角函数定义的时候，就给大家强调过，什么叫 sin， 什么叫 cosine， 大家的思维要往哪方面靠呢？要往平面直角坐标系上的横纵上去靠， 准确点说，要往我们单位圆里的坐标的横纵坐标上靠，那么 sin 就 应该是纵向的坐标， cosine 就是 横向的坐标， 那么也就是说，随着角的变化，他的纵坐标在单位圆上有什么样的变化呢？哎，就是这样的一个函数，我们要去学习，所以说大家学习函数一定要明白他怎么来的，以及他的图像的细节。那么老师带大家一起来画三角函数的正弦函数的图像。大家来看， 我们在画图之前，我们必须得有一个单位圆，大家来看，必须得有一个单位圆啊啊，老师随手画一个圆，大家用圆规好好打出一个圆来， ok， 那 么我们可以把这个横给他延长延长一些，然后呢，我们的纵坐标呢，可以在这 y x， 也就是我们的平面直角坐标系圆点在这啊，在这在这，我们的图像往右画，但是呢，我们借助这个圆去画，这个圆是单位圆，边长是一，半径是一。 ok， 那么我们 x 扮演了一个自变量，也就是这里边的角的自变量，那么他的起点应该是零，从零开始，沿着逆时针方向为正去旋转，对不对？那么从零增加到九十，增加到一百八，增加到二百七，增加到三百六，在这旋转。那么图像是什么样呢？我们关注的是什么来的？大家想关注的是 纵坐标，哎，大家注意， side 就是 纵坐标，那么我们以后要学鱼线函数呢，那我们的重点就是横坐标，大家注意一定要明白这个点，那么请问大家起点这个点的纵坐标是多少呢？ ok， 这个点众坐标，谁都知道，他应该等零，所以说零对应的众坐标是零，他过圆点，第一个零是指横坐标的零，也就是这个角就是零，那么零度对应的众坐标是零，也就是他的正弦值的零，大家能明白吧？零度对应的正弦值的零，也就是三点零的零啊。继续我们往上抬， 大家看我抬到某一个点的时候，他的纵坐标是不是在变大呀？对不对？所以这个图像很明显是增函数在上升，那么怎么个上升法呢？大家跟上他在这走，我们学过物理更好了，这个走的什么运动呢？这个叫匀速圆周运动， ok 吧？匀速圆周运动有什么？有角速度？ omega， 它以一个均匀的 omega 在 这，它不快，不，它不，不是嗖，哎，变慢了，嗖，变慢了，不是这样跑的，它是均匀的在这跑。大家想象时钟，时钟给它反过来，时钟再转，均匀的再转， ok 吧？那么大家想均匀的再转，我们把这一套给它平分成三个系列， 哎，相当于一个披萨，我给它切成三等份啊，切成十二等份啊，这个，这四分之一份切成三个等份，那么大家说这一个多少度？ 是不是应该三十度啊？对不对？三十度，三十度，三十度，那么从他转圈的角度来讲，是不是路程是一样的，对不对？这个路程和这个路程和这路程一样，那么速度还一样，路程还一样，说明时间是一样的。大家想横坐标是什么？横坐标我们就可以给他想象成一个时间 不同的时间，他的纵坐标的位置的图，对不对？那么一个时间他来到了这啊，又来一个时间，他来到了 这，又来一个时间，他来到了饼，哎，大家看这个图是不是应该这样式的？有时候老师你这图为啥不是直的呢？为什么是一个这样的弯曲的呢？ 大家看啊，同样的时间，他的嘚了 y 也是 y 值的变化，一样吗？他的 y 值变化了这些， y 值变化了这些， y 值变化了这些。 那么大家都学过三十度的正弦是多少？三十度算正弦，是不是二分之一啊？大家看二分，这是不是一啊？二分之一是不是占一的一半啊？对不对？所以说这个点是二分之一，也就是三分之一的时间走了二分之一的路程， 大家看这就是三角函数正弦函数的特点，一定要学会。再走三分之一的时间，他又走了一个路程，那么这个路程还有那么多吗？注意，没有那么多了， 六十度的正弦是二分之根号三，那大家注意二分之根号三，约等于多少呢？约等于这个是一点七除以二，约到一点七除以二，零点八六左右，零点八五，零点八六点，对吧？零点八六几， 那么零点八六还没到一呢，对不对？也就是说这个从零点五走到零点八六，这个长度他并没有这么长度，那么大，他变小了，所以这个图像是这么走的，大家看能理解吧？那么第三个时间呢？从零点八六变成一就走了，这么不点 走了零点一几，对不对？所以说他是有个大中小的一个变化，同理，那怎么上来的他就得怎么下去， 下来，下来是不是有一百二，一百五、一百八呀，对不对？所以说下来大家看，又来一个时间，走到了二分之二，又来个时间，走到了二分之一，又来个时间走到了零，大家看上上上下下，对不对？ 那么下边也是一样的，我们把这个线都给他延长出去，这个应该是二百一十度，这个应该是二百四十度，这是二百七十度，这个呢？应该是三百三，这个呢？应该是三百二百七，三百三百三，对不对？那么他下来从这往下来负二分之一，对不对？这不正二分之一吗？这不负二分之一吗？都是对称的，大家注意。来，再来一个，再来一个，我们把横轴标伸长， 把横着不要伸长， ok， 两个、三个、四个、五个、六个。第一个来到了负二分之一，负二分之一，大家看啊，负二分之一，老师在这画出来，负二分之根号三。哎，老师搁这画出来 啊，负一啊，老师说这个手画可能是存在的一点小误差，大家去感受，你们可以用格尺去挡啊，自己争取画出一个完整的图像来。负二分之一，负二分之三，负一也就二百七十度，二分之三派对应负二分之三，那么这个呢？应该是三分之四派，这个是六分之七派，派六分之五派， 三分之二派，二分之派，三分之派，六分之派，他们分别对应哪个点？大家都要把它记住来，这个往上来，哎，这个是负二分之二三，这应该是三分之五派， 哎，再往这来应该是这个角，应该是这个角了吧？刚才三分之五派在这，这个应该是这个角了，负二分之一，这个角六分之十。一派最后回上来二派，大家看一个完整的正弦图像出现在你的眼前， 那当然了，他还可以继续转，所以说这边图像还可以继续延伸，他可以往回转，这边图像也可以延伸，所以说这个图像是一个无限的延展的图像。但是老师画出来了一个圆，出现的一个图像，也就是一个周期，一个周期 啊，我们管这个叫最小正周期，最小正周期等于二派，大家看周期函数最小正周期，二派在零到二派上一个完整的周期，我们可以清晰的感受到正弦函数的一个一些特点，比如有最大值一，谁对应的呢？最大值 是二分之派，那如果我们带上周期呢？就是加上二 k 派对应的来看，最小值是不是二分之三派？最小值是二分之三派加二 k 派对应的。那么我们往这边延展的时候，我们会发现它过圆点，所以它是一个奇函数 积函数，那么他在，他在这二分之派就用最大值，那这边的最小值应该负二分之派，对不对？所以说这个上是增的，这上是减的，所以说他是一增一减，一增一减，一共是二派，所以说它的增区间长度是派， 减区间长度也是派，所以说这就是单调性、基调性以及最大值、最小值以及一些零点。那么大家注意，零点老师也写上零点， 得零的点都有哪些呢？零派、二派、三派，所以说我们写成 k 派啊等等。那么所以说我们对于正弦函数，老师觉得这些东西都是附属产品，不是很重要，我们要自己独立的将这些二分之一、二分之二、三一下降上升这些点位把它掌握好。

那三角函数的动态周期是我们期末考试的常考题型，而且往往无论是在我们期末考试还是在高考里面，它都是一个压轴题。很多同学呢，对这种问题说啊，总觉得我这个地方变来变去啊，没有一个什么好的方法，其实都是有套路的啊。那今天华哥呢，带着大家摸 清这个套路，类似于这种题目，它总是说什么 f x， 然后呢？ find omega， 它在 x 系数前面有个 omega， 那 说明什么？说明它的周期是一个变化的对不对？加上 sum 派，在某一个范围上单调递增也好，或者在某一个范围上面，它是有几个零点也好，或者至少几个零点也好，然后我们去把这个 omega 的 范围求一下，那这种题目我们 处理的方法是什么呢？首先一定要画图，树形结合嘛，但是我们再去画这个函数图像的时候，很多人就想啊，我这怎么画呀？你？王敏啊，不是一个变动的东西吗？那我到底该怎么去画一个变动函数图像呢？其实也没有那么复杂啊， 只是你要转变一下数学思维，你比如说对于这个函数图像来讲，那是不是我们整个函数图像左加右减，向左边平移多少多少个单位？那我平移了多少个单位呢？首先我们看啊， 它的周期等于二派除以 omega， 而我们向左边平移的把 omega 提取出来之后是 x 加上三分之派除以 omega， 也就是说我要向左边平移三 omega 分 成派个单位，那你的 omega 是 变化的，我向左边平移多个单位，我能能去看呢？没法看对不对啊？它是个变化的平移， 那我们该怎么处理呢？我们平移，不要平移具体的单位，而是平移它的周期，因为我们用这个数字去除以它的周期派 除以三倍欧米伽，再除以什么二派比上欧米伽，那你会发现这个欧米伽是不是就约掉了呀？那是不是得到的是什么？得到是不是六分之一个周期，对不对？所以我们等于说向左边平移六分之一个周期就行， 类似于这种，那你就在这个地方去标记好，它这是负的六分之一个周期，那么到这个点它就变成多少个周期啊？它是整个，这是一个周期，对不对啊？那它是不是应该是六分之五倍的周期？那它中间这个点我们是不是也能够把它描述出来？它应该是三分之一个周期，对不对？ 好，那么这个点是不是也能够看出来它是负六分之 t 和三分之一个周期，对不对？它就是十二分之一个 t。 好， 你看啊，我们整体去画这个图的时候，一定不要想着说我是向左边平了多少个单位，然后去把这个图画掉，而是平了多少个周期，就这么一点点的变化，这个题就很好做了，然后我们看下题目条件怎么说的。零到三分派上是单调递增的，那说明三分之派是不是只能放到这个地方来？你从零到三分之派不能超过十二分之 t 是 不就可以了？ 所以你是不是得到这么一个不等式？我的三分之 pi 要小于或者等于十二分之一 t 啊？是不是就得到了这样一个不等式？那你把这个不等式求出来，我们一个方就出来了，我说明白了吗？我们再总结一下啊，就你去处理所谓的这种动态周期问题，这个后面的范呀，它是已知的情况下啊，你不要想着我去平移它的 多少多少个单位，因为这个单位它是个变量，你是没有办法去说的。但实际上呢，如果你采用周期我平移的按周期来去算的话，它就是可以就变成一个定量了， 从一个变的变成一个定的，那么这个图像就很清楚了。而一旦你知道它是负的六分之一 t， 那 剩下的所有的这些特殊点，已知点也好，零点也好，它的这个点它都可以用周期去描述出来，然后你再结合题目条件去 列出对应的不等式就可以了。好，这是一个啊，第二个呢，其实你会发现啊，我们可以把这些东西稍微的省略一下，大家有没有发现啊？我这个地方我是用三倍的 omega 分 之 pi， 这个地方呢是二 pi 除以 omega， 那 么它们两者相处，你把 omega 约掉之后，你发现没有，它其实就是三分之 pi 除 除以二 pi， 所以 我可以迅速的判断它的周期的个数，那就是直接拿这个尾巴我们去除以二 pi 就 好了。我们下面来看这道题，他说在零到二 pi 上恰好有三个零点，那我们去求 omega 的 取值范围，那这个地方是不是负的 三分之 pi， 所以 我们用负的三分之 pi， 那 说明左加右减，那是不是向右平移，那直接用它除以二 pi， 是 不是向右平移六分之一个周期就可以了，所以我的图像你看 画出来，那就往这边来六分之一个周期，再去画一个整个周期啊，当然你也可以多画几个周期啊，因为这个地方它是三个零点，那么这边是不是也就对应的就变成这样子了？ 好，我们把这个六分之一个周期标记上去行不行？那这是六分之一个周期是不是？那么到这来多一个周期吧？他是不是就是六分之七个周期？那么再往下面走，他这个地方就变成中间会变成相加除以二六分之四，是三分之二个周期， 那么你到这个地方来，到这个点来，它是几个周期？从三分之二 t 再多一个周期，是不是三分之五个周期啊？你注入此类所有的这一点，我是不是都能把它用周期把它表达出来了？没问题吧？我们再看题目条件，他说 零到二派范围内刚好是三个零点，零到二派内有三个零点，你看这是第一个吧，这是第二个零点，第三个零点在这，那么二派是不是就只能到这个范围？它可不可以等于这个点？可以吧？所以它大于等于 六分之七个周期，然后小于可不可以等于这个点？没有办法，如果你等于这个点的话，那是不说明我有四个零点了，说明它只能小于三分之 五个周期。你把这个不等式一解，我们给他放就出来了，画图就可以了。核心是什么呢？就是大家平时在去做这个题的时候，他没有办法去画图，因为他不知道向右边平移了三倍 omega 分 之 pi 多少，因为我没，那是变的，所以我要往右边平移多少呢？你没法去画，但是呢，你实际上用这个东西除以二派得到的是六分之一个周期，那你这边平移过来是六分，这个周期三分，这个周期六分，七个周期就完事了，这个 期就很简单了，我说明白了吗？这就是这种压轴题的考法，所以同学们以后再遇到这种动态周期的问题，是不是发现也可以轻松拿下了？所以啊，再难的东西，只要你掌握了好的方法，也可以轻松拿高分。

老师，三角函数只学不会快，具体如何成交？推一下这种题，三种方法教给你。第一种，分子分母同时除以 cosine 二， c 比上 cosine 剩一个二倍的 tangent 的 阿尔法，加上 cosine 比 cosine 剩一个。一来分母 c 比上 cosine 剩一个 tangent 的 阿尔法。 cosine 比上 cosine 减去一来代入变成二乘以三加上一比上三减去一等于二分之七秒。 方法二，我知道 sin 比上 cosine 等于三，化简一下是给写成 cosine 阿尔法等于三倍的 cosine 阿尔法，然后代入 二乘以三倍的 cosine 阿尔法，再加上 cosine 阿尔法。下边儿是不是三个 cosine 阿尔法啊？三倍的 cosine 阿尔法减去 cosine 阿尔法， 这六个加一个剩七七倍的 cosine 阿尔法比上两个 cosine 阿尔法一约分二分之七秒。方法三， cosine 阿尔法比上 cosine 阿尔法。我如果等于三，直接魔法相等，让 cosine 阿尔法等于三， cosine alpha 等于一，给我带入变成二乘以三加上一比上三减去一等于二分之七秒。总有一种适合你，单招小助手上岸就看我。

我是胡老师，我们继续讲几道计算题啊。好，已知第一个式子好， cosine 七度减去 cosine 十五度乘以 cosine 八度。下边是 cosine 八度，我们来观察这个式子啊，我们来观察这个式子。 这个式子七和八都和哪个角度有关呀？十五度，这个题最可怕的就是你把十五度给它换成七加八， 因为七加八的话呢，我们展开之后又是比较长的一个式子，对不对？所以我们说这个题，你记着啊，我们说就虐单身狗，我们来观察这个是一个单身狗， 对吧？好，这个题的做题方法就在这里，因为塞以十五和八已经不能拆开了，对不对？好，那我们拆谁呀？我们拆单身狗七度，我们可以给七度给它写成十五度，减去多少八度啊？这个就是我们单身狗的一个位置。 好，那接下来我们这样写啊， cosine 十五度乘以 cosine 八度。好，加上 sine 的 十五度乘以 sine 的 八度，继续减去 sine 十五度乘以 sine 八度。 好，下边的话呢，是 cosine 的 八度好，上方的 sine sine 我 们约掉了啊，单单剩下 cosine 十五度乘以 cosine 八度， 下边 cosine 八度。好，八度。八度。约掉之后，剩的就是 cosine 十五度啊， cosine 十五度，那 cosine 十五度的话呢？我们平常让孩子们怎么写？ cosine 四十五减去多少呀？三十对吧？ cosine 四十五乘以 cosine 三十啊，那就是四分之根号二加上根号六啊， 好，展开代入就可以了。好，我们继续看一道题。好，根号三和一的题的话呢，我们先进行一个配凑啊，我们先提出来二好，二分之根号三的三减去二分之一的 cosine 等于五分之根号十。我们可以直接写啊， alpha 减去多少呀？ 六分之派，嗯，六分之派啊，就等于十分之更好使。好 sign 的 这个式子有了，我们现在需要求解的是这样一个式子，哎，这样一个式子，那这个的话呢，我们应该怎么样去求解？ sign 和 cosine 的 话呢？我们这样啊，已知这个式子的话呢，我们先写一个符号，嗯，我们先写一个符号，那这个式子我们可以写成 sign 的 六分之 pi 减 alpha 等于负的十分之，刚好十。好，我们来观察这个角，我们当做 a， 这个角我们当做什么呀？ b， 我 们不难发现啊， a 加 b 刚刚好等于多少度呀？九十度互余的关系对吧？我们说 sin 和 cosine 是 互余就 相等， a 互余就相等啊，所以这两个值， cos a 的 值就等于 d 选项啊。负十分之根号十，我们就求解出来了。我们说看到 c 和 cos 题，我们就要找互余啊，要找互余。好，接下来的话呢，我们看一下序号一这个题啊。 好，已知根号三， a cos a 十五度减去四倍的。好，那这样的话呢，这个式子我们需要的是 二倍的 sine 十五度乘以 cosine 多少呀？十五度。好，那这样的话呢，我们会多于一个二倍的 cosine 多少呀？ 十五度，那这样的话呢，我们来观察啊，这个式子是 sine 的 二倍角啊， sine 二倍角，我们可以直接写成 sine 的 三十度啊。好，我们拉下来写根号三倍的 cosine 十五度减去 二倍的三十五度乘以，哎，这个圈的位置是三十度等于多少？二分之一，那这样的话呢，我们很简单的话呢，就配出来了一个根号三和一的题啊。 根号三和一，我们提出来二倍，对吧？好，二分之根号三的 cosine 十五度，减去二分之一的 cosine 的 十五度。好，我们继续啊，我们继续。好， 二分之根号三，我们可以给他写成 side 的 多少？六十度。好，二倍。 side 六十度，减去十五度，那就是二倍。 side 的 四十五度。好，那就是根号二啊。那这个题答案我们选择的是 d。 记得点赞关注哦。

大家好，我是超越老师，我们再讲两个很等变换的解答题哦，你把前面那个选填比较难的跳过去，或者说尽量去学，然后跳到这一边，他又变简单了。 为什么他又是一个很简单，像这个三九题这种画几个公式，完了之后又画图像，因为我们说了在图像上可以解决所有问题。第一个这是三个相乘，没有公式这第一个特点，第二个特点就这两个角度也不相同， 所以他的方法显然就只能硬展开。你看他是四倍的扩三 x， 把里面展开啊，里面展开是扩三 x， 扩三 x， 扩三 x 是 不是二分之根号三，扩三 x 三十度啊？然后这边是扩三 x， 我 们说要变符号，这样细心啊，减去是不是三一啊？三一，这边是二分之一，然后三一 x 减去根号三，然后给他展开了呢？这个相乘 二倍根号三，你看是扩三 x 乘以扩三 x， 那 就平方，然后减去一个二倍的。什么？ 是不是三 x 乘以扩散 x， 然后减去根号三，这个是典型的三个相乘，三个相乘，这个也是，你看二倍根号三乘扩散 x， 再乘扩散 x。 我 们说三个相乘，没有公式，只有两个，所以你要什么降次，谁能降次？二倍角公式能降次啊，你考试能， 其实成绩稍微能及格的基本上都能记住啊，你如果说记不住，没事你就把它背一下嘛。对，把这个背一下，然后另阿法等于背到这公式给他写出来，遇到的时候你把它写一下就行了。然后这个是不是二倍角公式展开，他就等于什么？这个二跟他在一起哈，是不是刚好就是根号三，然后这边是不是应该是一加上一个 q 三一二 x， 然后这边是不是刚好减去一个二倍的三一二 x， 然后减根号三，这个减根号三跟前面这个加是不是约掉，最后合在一起就是根号三倍的 q 三一二 x 减去二倍的三一二 x。 提过多少的？这个这个地方是没有二了呀，你要有有点问题了，为什么你你提的话，你想这个地方是四，这个三就提根号七就有问题，一般都没有啊，是不是这边是一啊？这系数是一，一的话 你提长提一下，他就变成是不提个二在前面，而且我们讲过我们希望三赢在前面啊。记住，为什么 其实他那四个都能用，但是我们你看辅助工，基本上我们都是用三赢，为什么他不用变符号，这是他最重要的原因啊。所以我们提负二在前面去，然后把这个给他交换一下，变成二分之一三一二 x 减去 二分之。根号三扩散一二 x， 然后合在一起，他就等于负二倍的三一或二 x 减去零，这符号不要变啊，就这一步是全抄下来，然后扩散一多少等于二分之一，是不是三分之 pi 然后就画出来了啊？这轮有个符号，记住啊，等会求单调性什么的可能就有问题啊，而只果然让你求单调性啊，你看他让你求真。区间 对称，我们说这个函数外部函数是个有个符号，里面是对称同一减合在一起，就是找三 e 的 什么减区间，三 e 的 减区间，把三 e 图像一改来一化，我们用通解法啊，所以减区间那个这个二 x 减去三分之派，这个整体就会怎么样？大于等于 是不是二分之派加上二 k 派，然后小于等于二分之三派加上二 k 派， 哎呀，这个一过去加都还除一个二，那就是 k 派加上这个是不是六分之三加六分之二，六分之五，那就十二分之五派小于等于 x， 小 于等于这边一过来加六分之九，加上一个六分之二啊，就等于六分之十一，六分之十一，是不是十二分之十一派，然后再怎么样 加上这个 k 派，看到没有？这个地方你把它减一下呀，十二分之一加减十二分之派，可能二分之派就是这个周期的一半， 看到没？这个周期是本来是派了，对不对？这个地方你可以验算一下，别算错了啊。然后 k 水 z 千万别忘了啊，你看这个整个就是他常见的解答条，这个很简单，只要你这个稍微变形会做对， 你只要记住那几个公式，如果记不住就自己摸一摸，然后再结合后备角，基本上都能解决啊。然后他告诉你 f 的 这个范围，让你算这个，那把带进来，带在这里面， 那就是，嗯，在这写的这啊就是，呃，我把这个负二除过去好不好？那就是三 e 括号二 r f 减去三分之 pi 是 不是等于负的五分之三？看到没有？把这个负二除过去啊？然后他让你求这个对不对？我们讲过我们叫 叫什么叫已知角和目标角的问题，我们来做一下啊，首先把这个扩三应对不对，二 r f 减去三分之 pi， 这个角给他表示出来， 然后我们给他怎么样？给他把前面填一下空，对不对？前面填什么？这里刚好就是一，这是加号了，看到没有？就是 of， 然后这里是不是只能填三分之派啊？对，根据我们常见的，这前面一般都是二分之派的，什么 k 倍，但他不是，他不是，你看一下自己有没有看算错，对不对？观察一下，好像没有算错。那就是嘛，那就是要硬算了啊，说明这个要展开，这个展开就是，那这个地方你要去缺一个，你看我们来算一下啊，那你要把它的扩散音给他算出来啊，是不是五分之四，到底正的负的，我们来看一下啊， 看这个范围，你看他是零到派减三分之派啊，是不是负三分之派，然后再到 再到一个三分之二拍，看到没有？然后他这个三音是负的，你看三音是负的的话，他一定是什么在在这个范围呢？他，他一定在在在这边，在这个第四项，所以这个扩散音扩散音正的说等于五分之四啊，你自己判断一下，要写一下啊，稍微写一下啊， 然后就可以展开了啊，你看这个展开是根号三，然后再乘以扩散，这个是五分之四，然后这边编号减去三亿，这个是不是？哎，那这个写错了啊，这是二分之根号三，然后这边是负的五分之三。对，然后你算一下这个等于 是不是十分之，然后这边是不是四，然后这边负负的正，是不是加三倍根号三就做出来了啊？这种我们说过极少极少，前面不是二分之开的倍数啊，基本上都是。记住啊， 我们再看下一个啊，下一个他有我们一盖，有我们一盖也是一样的，我们首先观察一下这个地方是三个相乘，记住三个相乘对不对？根据我们的经验，这刚好有二分之派，是不是用那个二分之派去调节他的名称啊？刚好有二倍角，你看这个，这个其实就是什么？就是扩散引 我敏感 x 对 不对？然后结合这个是不是他就可以变成？你看前面是不变成前面我先不动啊，是变成二分之根号三，然后再来什么？是不是三？一括号二，我敏感 x， 看到没有？就这样的啊，打括号吧， 然后你想后面是二，我敏感 x 是 不是就这个角的两倍？所以你一定要怎么样用二倍角公式出现二倍我们那个对不对？所以这个三是不是他等于二分之一减去一个 q 三亿欧米伽 x， 二倍的？看没有？然后你再给他怎么样调节一下顺序，合并在一起就是二分之根号三，然后再来一个三亿二欧米伽 x， 减去二分之一， q 三亿二欧米伽 x， 再加上二分之一，对，然后这个一写啊，它就等于一个 三亿二欧米伽 x， 然后再怎么样，那 q 三亿多少等于二分之二，是不是六分之派啊？六分之派啊，哦，这呢？减号，减号啊， 题目中他说这个等于这么多，而且我们应该大于零，那是不是这样的？所以 t 就是 不是我们应该等于一啊，这个式子就变成三 e， 哦，这还有个加二分之一，漏掉了三 e 二 x 加，减去六分之派，然后再怎么样 加上二分之一，对不对？他要找 d 减区间，看一下内部函数是真区间，所以外部也找减区间，减区间就是其实跟刚才那个一样了，那就是二 x 减去六分之派， 然后大于等于是不是二分之派加上二 k 派，然后小于等于二分之三派加上二 k 派啊？你如果不熟悉，你就把这个图像画出来，再从这到这，从这到这再下降，做出来了啊， 这个就是通解啊，通解，然后剩下的自己算了。我真不算了啊。再看这个，他能求值域，求值域求我们一个范围，他这个范围是给你 x 范围，我们怎么样？先算范围再去画图，对不对？这个图就先不管，他算一下，你看二 x 减，减去六分之派，你算一下是不是负六分之派， 然后再到这个，呃，六分之五派是这样的，是不是这个范围？三亿这个范围，然后你算这个二分之一，最后再加。你看你把这个图像画一下，或者画单位也行，随便你，随便你画哪个都行啊。你画单位圆，其实也行，我们画一下单位圆，你看 负的，哎。在这负的六分之派是不是在这看在这，然后六分之五派是不是在这看到没有？所以从这到这，你看他的最大值就在这，最小值就在这看到没有，或者画这个图也行啊，是不是这样的？ 这样的啊？这样的，然后负六分之派大概在这，然后六分组派在这，你看这样，是不是这样的？画这个，所以他的最小值，最小值就在这取，对不对？就是就是三亿六分组派是不是负二分之一，对不对？负二分之一，然后最大值一，所以就是你要写个因为对不对？因为这个， 因为，因为这个，因为 x 在 这个范围，所以就这个整体在这个范围里，所以这个三 e 这个整体他是大于等于负二分之一，小于等于一，然后再加个一，所以最终函数的图像就是是不是加加个二分之一，所以就是零到二分之三，看没两边去等号。