曲直交点怎么数

七年级数学如图，两条直线最多有一个焦点，三条直线最多有三个焦点，四条直线最多有六个焦点，那么五条直线最多有几个焦点？ n 条直线最多有多少个焦点？ 这个呢，实际上来讲是一个找规律的题。那关于找规律的题啊，一般情况下，我们都是先找到前三个，然后呢通过前三个的规律去找他的通向。 比如说两条直线最多有一个焦点，首先呢，他是两条直线，会产生一个焦点， 三条直线最多有几个焦点呢？三个焦点，三条直线在原来 这个焦点的基础之上，也就是说原来有一个焦点又增加了几个呀？又增加了两个焦点，所以说有三条直线的时候，他的焦点个数应该是一加二、三个。 然后我们再看四条直线，四条直线呐，那我们来观察，这三个焦点肯定是有的，也就是说我们看这三个焦点， 然后在这个基础之上，他又增加了几个焦点的问题，那我们一观察，又增加了一个、两个、三个，所以就是一 加二加三。那这样呢，我们就基本上已经找到了规律。他最后问的是谁？ 五条直线和 n 条直线，那关于五条直线的呀，那咱们肯定就知道了，应该是一加二加三，再加上四。 你看第二个两条直线，两条直线，不是第二个两条直线的时候是一，三条直线的时候是一加二，没有加到三。那四条直线的时候是一加二加三，没有加到四。 所以说五条直线的时候，就应该是一加二加三加四，这样呢，就有十个焦点。那 n 条直线， n 条直线最多有多少个焦点？ 那很显然就应该是从一开始加，加二、加三，一直加到多少 一直加到，不是加到 n， 应该是加到 n 减一。这个地方很重要，你看五条直线的时候，他是加到了四，所以说 n 条直线呢，应该是加到了 n 减一，加到 n 减一啊。 那关于这个数列，他的求和公式，这是一个等差数列。等差数列的求和公式是首相加末相，乘以项数除以二。首相是一，末相 n 减一， 首相加末项，这是乘以项数。关于乘以项数这一块啊，有一些同学根本就不会算，像这个好，比较容易看得出来，就是 n 减一项，那如果说 从十三一直加到随便写一个吧，二十七也是等差数列，十三加十四加十五，一直加到二十七，那这一共有多少项呢？有的同学是不会算的，那么你就记住一个公式， 关于这个一共有多少项，简单来讲就是一共有多少个数，他这个公式就是尾剪头加一，或者说用咱们数学术语来讲，就是 末相减，首相加一，就是说最后这个这个数减去最前面这个数，再加一，就是他的相数， 所以就是 n 减一，再减一，再加一，那就是 n 减一，不要忘了除以二。 所以啊，我们就找到了 n 条直线，最多有多少个焦点呢？这个一和一没有了，那就是二分之 n 乘上 n 减一， 直接这样放着也行，你把它拆开也可以。

宝贝，今天妈妈带你来研究一下直线和焦点之间的关系。先来看第一幅图，第一幅图我们一眼就可以看到，这是几条直线，两条，两条直线。两条直线相交，有几个焦点？一个，一个焦点。我把它描一下，啊，一。 那再看第二幅图，由第一幅图到第二幅图，它发生了什么变化？增加了一条直线。好，增加的这条直线，妈妈给你描一下， 是这条直线增加了一条直线，所以这次我们的直线的整数就变成了三条，变成了三条。再来看它的焦点，原来只有一个焦点，对吧？原来只有一个焦点。那在这里我增加了一条直线，又增加了 几个点，两个焦点，一个两个，所以此时我的焦点数变成了一加二。再来看由第二幅图到第三幅图发生什么变化了？又增加了一条直线，所以现在从三条就变成了四条，四条。我把增加的那一条给描一下，啊，是这个 中间的一条直线，又多了几个焦点。看一下，一、二、三，增加了几个焦点，三个，三个焦点。所以此时的焦点数就由一加二变成了一加二加三。一加二加三。来，我们再看一下前三幅图， 当有两条直线相交的时候，它的焦点数是一。三条直线相交的时候，它的焦点数是一加二。 四条直线相交的时候，他的焦点是一加二加三。那看最后一幅图，有几条直线？五条，五条直线。你能告诉妈妈他的焦点数吗？ 一加二加三、加四。非常棒，一加二加三、加四。来，我们拓展一下啊，如果现在妈妈给你九条直线相交， 请问他有多少个焦点？八加七、加六、加五、加四、加三、加二、加一，非常棒。八加七、加六、加五、加四、加三、加二、加一，好，你学会了吗？

学会这个万能公式，我让你的图形推理十秒一题，并且达到百分百的正确率。你比如说拿到这题，很多同学还在什么点心逆角速，一个一个考点往里去带入，那这种方法就太慢了。那接下来我教给大家一个万能公式，你只要能够记住，那你的图形推理，你会发现非常之简单。 这个万能公式叫做，如果说你遇到了竖叉，或者说横叉一角以及相同元素的话，你直接去考虑其他的什么面呐，什么线呐，不用去考虑，直接去数焦点， 那这个原理呢？也非常之简单，大家来看哈，竖叉就非常容易了，对吧？那这个大家都知道，主要是横叉一角和相同元素，为什么我们还去考虑焦点呢？ 好，大家来看一下哈，他本来是不是你看一圈一圈一圈一个非常规整的一个图形，对吧？在这里偏偏给你横叉一角，再包括这个是不是也是一个比较规整的图形，也给你叉一角，给你叉一角，给你叉一角，你看我从这里叉一角与剩余的图形，它们之间构成的羁绊是什么？ 是不是就产生这两个交点呢？对不对？你再比如说这个每一幅图形当中，它都有一个圆，对吧？那都有一个圆，这是相同的元素，那这个相同元素与其他的这个元素，你比如说这个云朵呀，对不对？这个小图形呢？还有这个小三角形，还有这个线条，它们之间构成的羁绊又是什么？是不是还是交点？ 所以以后如果遇到竖叉、横叉一角以及相同元素，直接去考虑交点，其他不要去带入。好，那接下来我们做题，你会发现非常之简单， 再来观察一下，在这里出现了等于号出现了，约等于是不是都是非常规整的图形？在这里偏偏给你来一角，给你来一角，给你来一角。说明什么？说明横叉一角要跟你制造羁绊，什么羁绊？ 焦点的羁绊，对不对？好，那你来去数一数呗，两个焦点，两个，两个都是两个焦点，这是一二三四，一二三四，全部都是四个焦点，所以一二三四答案直接秒的，没有任何好犹豫的地方。 再比如说这道题，二五年省考的真题，百分之五十六的正确率，但是现在如果说大家学会了万能公式，是不是非常之简单，对吧？你来看，在这里像一个小蝌蚪一样，哎，给你来了一脚是吧？这里还有像小桌子一样围成了一圈，哎，又给你来一脚，说明什么？ 说明横叉一角制造羁绊，数焦点，一二两个，一二三四四个，一二三四五六六个，所以二四六等差数列，对吧？那你来看一下，这是一个，一二三，这是三个，所以问号处我们要找五个的，那你来一二三四五，所以答案直接秒定，能不能理解？好，你再比如说这道题， 来观察一下，所有的图形是不是都出现了一个相同的元素，正方形啊，对不对？你看每一幅图形当中都出现了正方形这个相同元素，所以咱们直接去考虑焦点。那有些同学数了是吧？一个两个，三个四个五个六个，七个八个，这有八个，这是一二三四 五六六个，加四个，这是十个，这是一二三四五六七七个，加四个，十一个，他说老师没有规律啊。来，同学们，我说他考焦点，又不是仅仅去考这个总焦点。来，同学们， 如果说你判断出来了，它是考焦点，利用刚才教给大家的万能公式，好，那判断出来了之后，那关于咱们焦点的考法，在公务员考试当中一共有这三种。 首先第一步你要去看一下结构，如果说它是单一结构，咱们去数总焦点，那如果说是内外结构的话，咱们去数内部的焦点。好吧，这是首先第一步看结构。但是如果说我们所有的图形当中出现了相同元素，优先去数相同元素上的焦点，好吧？那最后再去考虑十字焦点。 那你比如说这道题来，同学们是不是都出现了相同元素正方形啊，对吧？那咱们要去数正方形这个相同元素上的焦点，来数一数一个 两个，对不对？一个两个一个两个一个两个一个两个，全部都是有两个焦点，那你来看一下，一二三，不对， b 选项一个不对， c 选项很多个不对一二，所以答案直接秒定。好。同学们，你再比如说这道题二五年时考的真题，来 观察一下，所有的图形都出现了相同元素圆，对吧？那出现了相同元素，咱们优先考虑焦点，并且要优先考虑相同元素上的焦点。好，来数一数，一个两个三个四个，对吧？一个两个三个一个两个 一个。哎，你看四三二一，所以问号处我们圆上要不要有焦点？不要有对不对？所以答案呢？直接秒 a。 好 的同学们，所以啊，掌握了这种做题的逻辑和思维的话，你会发现 非常非常快来。再比如说这道题，你看出现了这个小叉叉，对不对？竖叉子是吧？那咱们优先考虑焦点，那你来观察一下所有的图形是什么结构？ 内外结构，那内外结构要优先去数内部的焦点。好，这是内部，是零个，这是一个一二两个，一二三三个，这是一二三四四个。所以混合处我们要数内部有五个焦点的，后来这个内部只有一个，不对，这是一二两个。不对， c 选项一二三四五，所以答案直接秒 c 逆向来一二三四，这是四个，所以你看大家千万不要去数错了啊，你如果说数错了，那这老师也没有办法了，行吧，一定要细心。好。再比如说这道题，来，同学们 首先宏观的观察一下，在这里你会发现图二，好好的一个二，哎，我给你横叉一角，对不对？再包括这条曲线，好好的，我跟你又来了两笔，对不对？所以你看横叉一角，横叉两角，所以我们优先去考虑焦点，那焦点的话，这是零个，这是一二三，这是一二两个。没有规律。接下来来有没有相同元素？没有。所以最后我们要看什么？ 太十字交点，不要忘了哈，首先结构，然后呢相同元素，最后是十字交点，十字交点在这里要提醒大家哈，这个十字他必须这四个头都漏出来才算是十字交点。 能不能理解？好，来看一下哈，这是零个十字交点，这是一个十字交点，你像这个他就不是。好，你不能说老师我这个延长呀，不可以啊，一定是这四个头都漏出来了，才能算作十字交点。好，所以这是一个十字交点，这是一个两个，这是一个两个、三个、一个两个、三个、 四个，所以接下来我们要找五个十字交点的，那你来看一下，一个两个、三个、四个五个，所以答案直接秒 a。 好 同学们，所以这个点大家一定要注意。再比如说这个你会发现是不是出现了小叉子，对不对？出现了这个横叉一角，所以呢，咱们优先去考虑 焦点。那关于焦点的话，大家来看一下，如果说去数这个总的焦点，你会发现一二三四五六七八九九个，这是一二三四五五个，没有什么规律对不对？所以接下来呢，我们要去数什么？相同元素有没有？没有？所以我们要去数十字焦点，那你来看一下一个十字焦点，然后一个十字焦点，一个 一个所有的图形都是具备一个十字交点的，那你来看一下 a、 b、 c、 d， 是 不是答案直接秒 a， 好 同学们，所以呢，这个大家一定要注意。行，那简单的来总结一下哈，如果说出现了竖叉、横叉一角以及相同元素，咱们要优先去考虑这个交点，那交点呢？不是说仅仅去数这个总交点哈，我们要先去看一下它的结构， 单一结构数总焦点，内外结构要去数内部的焦点，那如果说出现了相同元素呢，要优先去数相同元素上的焦点，好吧，那最后呢再去数这个十字焦点，这就是咱们整个公务员考试当中关于焦点的考法。好吧，那这些呢，老师都给大家整理好了，你自己拿去看一看，包括其他的，对吧？这个图推特征思考法呀，汉字字母结构图，黑白球 以及其他的这些所有的资料，所有的模块都给大家整理好了啊，怎么样去领取呢？给老师点个小关小注好吧，然后给老师扣一个思维导图，我看了就发给你。那另外呢，有些同学可能会担心看不懂怎么办？不用担心哈，老师呢，还给大家配套了两节精品课， 课上会把我们资料上所有的内容给大家进行详细的讲解，就是你听完之后提升十至十五分是没有任何问题的好吧，全部都是直接可以领取的。这个扣思维导图集课，那最后呢，老师还要再跟大家讲两句哈，送给大家一句话，宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 前两天成绩出来了，那有些同学一问考多少分，难以启齿，遇到难回答的问题又不说话了是吧？你光看着人家岗位第一行，侧身论说八十面试，我只要不骂考官，随随便便上啊！ 但是你要知道同学们，人家思想有多努力对吧？起早贪黑，知识点学不顶，这个题刷不停，堆起来比人还高。那有些同学呢，做题 对这个做十个错，八个错，八个，之后还得洗个水果吃，犒劳一下自己，辛苦了，老几。嗯，这咋上岸呢？同学们，对不对？你要知道，咱最终的结果是不会骗人的，还有最后五十多天，你不要等到上到考场上了，开始懊悔啊，老师总结的这个知识点虽到，我咋没有多看几遍呢？是不是成绩出来了， 别人都是神仙打架，你在那后悔？哎，我平时要是好好学就行了，有用吗？同学们，没有用哈！所以同学们，老师真心希望大家，最后的这段时间五十多天吗？对不对？冲一冲，坚持住，你为你的梦想拼一次，不要给自己留下遗憾。 好吧，同学们，及时当勉励，岁月不待人，咱希望今年所有的同学，三幺四三幺五考完之后，能够看到所有同学喜悦的笑脸，听到大家成功上岸的好消息。好同学们，加油啊，一定不要这个浪费时间。

其实现象呢，是我们图形推理当中的一个高频考点，那么这类题型啊，你一定要吃透，这道题呢，它考察是非常新颖的，正确率呢极低，它就只有百分之三十的正确率，我们一起来看一下，那观察题干之后呢，你会发现它们之间不相同，也不相似，那么我们要先考虑一下属性规律。 属性规律先来看一下对称，那对称的话，第一个图形它是对称，第二个也是对称，那么第三个的话它就不是对称了，因为下面的话它是一个折线嘛，折线的话它就不是一个对称图形，到这里的话它就行不通了，行不通。我们来看一下曲直，曲直的话，它有曲也有直，我们选项里面也是有曲也有直，那么我们再来看一下 开闭，开闭的话，我们的图案当中它都有封闭面，那我们选项里面也都有封闭面，那么也是行不通的，所以说我们属性规律是走不通的，那么这种情况下，我们要去看一下数量规律嘛，那么数量规律里面的点线、面角数优先去看哪一个呢？那我们刚才看了对称它是走不通的，因为第三个图形它不是一个对称图形， 所以第三个图形它就特殊一点，特殊一点的话，我们要去重点的看一下它下面的话，它是一个折线的一个情况吧， 它原本的话，它应该下面是一个直线，直线的话给它改成了一个折线，那么你想一下，那同学们想一下 折线它会增加什么呢？它是不是会在原本我们直线的基础上再增加一条线，它不会增加面，所以说我们可以优先地去看一下点或者是线， 那如果是看点的话，我们来看一下点嘛。点的话，第一个图案呢是有一二三四五六七八九是九个点，那我们第二个图案的话，一二三四五六七八九也是九个点。第三个图案的话，一二三四五六七八，它才有八个点，那就说明了看点的话，它也是行不通的，那是不是没有规律了？ 没有规律的话我们再来看一下线，那线的话，它是出现了曲线，也出现了直线，那取直线明显的话，我们就优先去考虑取的线条数量或者它们的一个交点嘛， 那么我们看的话一定要去分开数啊，分开数的话，无论你是做叉还是组合，它都会一目了然。我们再来看一下嘛，来看下第一个图形，第一个图形的话，你看它是有两条曲线， 第二个图案的话，它也是两条曲线，第三个也是两条曲线，第四个也是两条曲线，第五个也是两条曲线，那我们这五个图形它都是两条曲线。接下来我们再来看一下直线的部分，直线的部分的话，那你看这里一二三四五六七，它是有七条直线。第 第二个图案的话，一二三四五六七也是七条直线，那第三个图案也是七条，第四个也是七条，第五个也是七条。 所以大概率我问号的这一个图案，它一定会是有两条曲线。 e 七条直线的，那我们来图案里面看一下， a 选项的话直接排除，但因为它只有五条直线，那么 c 选项的话，它是有八条直线，也可以排除 选项的话，它是有六条线，那么也可以排除答案，直接选到一个二 b 选项，我们再来确认一下二 b 选项的话，那你看二 b 选项的话，它外面呢是有四条直线，里面是有三条直线，那就是有七条直线，曲线的话，它是有两条，那就说明了它是两条曲线，七条线，那么正确答案就是一个二 b 选项。 这道题呢，肯定很多同学都想不到，他最后考察的居然是取值的线条数量。好，那么趁热答题，我们再来看下面这道题啊， 这道题呢，它稍微的简单一点点啊，那么很多同学拿到这类题呀，他第一反应就是去看它的一个封闭区域，那我们观察之后呢，你会发现第一个图案它是有三个封闭区域，第二个图案呢，是有一二三四四个封闭区域， 第三个图案的话，一二三三个封闭区域，那么看封闭区域的话就行不通了，行不通的话，我们再来观察一下图案，你会发现第二个图形当中呢，它这里有一个曲线， 而我们其他图形当中的都是直线，那么既然出现了曲线，出现了直线，曲线明显的话，就优先去考虑其余的线条数量，或者他们的一个焦点嘛。那如果是焦点的话，你会发现我们第一个图案当中呢，是一个菱形和一个三角形相交在一起， 那我们就去看一下他们之间的一个焦点，焦点的话，那第一个图案的话，它是有一个两个两个焦点。第二幅图案呢，这里是有三个焦点，第三幅的话，一二三四四个焦点， 第四个图案的话，你看一二三四五是有五个焦点，那么大概率的话，我们问号这里填的也是要有五个焦点的一个图案，那我们来看一下，五个焦点的话， a 选项直接排除，因为它没有焦点，那我们 b 选项 一二三四五六是有六个点，那么答案就直接选到一个二 b 选项，这呢就是我们图形推理里面的曲直线条这类题型啊，他要考察呢，是 我们针对近五年的真题整理总结出来一些高频考点，一两个视频呢，肯定是讲不完的，所 说我都把口诀给同学们梳理成了四天的精品技巧课，无偿的分享给大家。第一呢是一个小白的先导课，教你迅速去理清每个板块的备考要点，以及行测和直测的区别。第二天讲的是判断和言语，不用读题，拆解框架直接秒。 第三天讲的是数量和资料，不用计算口诀十秒出答案。那么第四天讲的就是申论攻击和综应公式化答题，多拿分配套呢。还有我们每个板块的思维导图啊，定义判断的，数量关系的，资料分析的都有，这些思维导图能教你去梳理你的思路，还有我们的口诀卡片，快速记住口诀。 另外还有我们自己内部的技巧库，整理好了五大板块每个题型对应的口诀和复习巩固。那么有需要这些精品课口诀和技巧课的同学呢，我们评论见哦！

下面这句话很重要，我后面还会用到这个，还会用到这个思路。出题人在设置位置的考法的时候，无论是线的位置关系，还是点的位置关系，还是面的位置关系，出题人始终要不开一个逻辑是什么？是定量的逻辑。 所以说在我们公考出题的时候，大家会发现，出题人凡是位置考法，大部分的位置考法啊，咱不能说百分之百，我怕有学员抬杠啊。就大部分的位置考法，无论是线也好，点也好，面也好，出题人在考位置考法的时候，往往会让图形在这个， 在这个要素上，在这个要素上，你考线的位置，那就是在线的这个定量上，你考面的位置就是在面的这个定量上，让他们什么呀？达到一致。 这样怎么样才能引导考生去想位置？那我凭啥看位置？大家要心里没有这问题吗？那，那我凭啥去看位置？数量不成规律，我就看其他规律呗，是吧？你线的数量不成规律，那我往面上去想呗，往点上去想，我凭啥看位置？ 凭啥看形状啊？但形状现在没提到呢，现在没提到呢。后面也会讲一个道理，必须得用定量的一致， 这样的话才能引导考生，哎，我数量一致，但是呢，我还是要考这个要素，我不是考点面角，我还是考线的要素，我要算数量一致是为了什么呀？刻意的让他，刻意的让他都是将本题，刻意的都是让他一取四四值。 就是想告诉你什么，我还是想考线，我不考线，我就没有必要这么刻意的设计他数量了。我还是考线，但是呢，我不考他的数量，我考他的别的考法。 哇，这是出题人的潜台词，大家透彻没？能理解吗？我表达清楚没，这是出题人的潜台词，我是，我是想考线，你别往点面角上去想去啊，但是呢，我不考数量，我考他别的考法，你再琢磨琢磨，你再想想，哈哈，是吧， 哎，回去时候回过头来，大家看这个题目，也会发现大家心里可能也能解决这个疑惑。老师，你说一道考位置的题目，你看这道题的答案，其实大家一看答案很简单，对吧？第一幅图分离，第二幅图相切，第三幅图相交， 第二组图形也是的，第一幅图形圆，这个曲线和直线分离，第二幅图形相切啊，第三幅图形相交，选德选项。这答案很简单，但大家心里没有疑惑吗？你考个分离相切和相交，你出题人为啥都用一取四值啊？就尤其这个直线，你为啥非得用这个折线？是四条啊， 三条能不能就不能考这规律吗？我把这个第一幅图，第一幅图这么画，这道题影响这道题答案吗？大家来看我第一幅图，这么画，影不影响这道题的答案？我去掉两条线，我这么画，影不影响？不影响答案，但初天为什么不像我这么画？ 大家心里没有这个疑惑吗？初天为啥不像龙飞老师这么画，非得把它画成四条，目的在哪？就是目的，就是在于 目的，就在于龙飞老师开篇给大家对齐的颗粒度。出题人想考这规律，他必须得让图形怎么样？ 他怎么才能让这个图形怎么样排，帮助考生排除掉其他干扰， 我必须得让他这个线条数量一致，引导考生，你别，你可别往其他规律上去想，你就在线的维度里边给我打转转，我只不过不考数量，你再琢磨琢磨我要考啥？我考位置， 懂，懂吗？各位？这是出题人的命题心态，他必须得通过这个来排斥掉，来弱化掉其他规律啊。所以说这个不是多此一举，不是多此一 举，懂车吧。好，以上我讲的这些大家有没有问题？ 那为啥四条直线呢？有些老师都是三条不行吗？你不要在意四这个数字，四这个数字是没有意义，是没有意义的。同学们，我想他是什么？有意义是数量相等，是有意义的。 我也可以每幅图的线条数量都是三啊。哎，他的重点是在数量相当好，大家到现在透彻了，没有问题了啊。好，我们休息十分钟，哈哈，行吗？各位啊，休息十分钟啊，缓一口啊缓一口啊，我们休息个十分钟，休息个 八点三十五吧，八点三十五回来啊，你们呢？不要太在意龙飞老师这个课程的这个进度啊，我讲的慢，我强调一下，我讲的慢对你们有好处，课程的内容我不会 注水，我不会打折扣，都会给你们讲完。有的选手老师你课程慢，你十节课讲不完咋办？十节课讲不完咱就十一节课，讲不完咱就十二节课， 但必须得让你们听明白，对吧？哎，换句话说，龙飞老师也丢不起那个人，对不对？你说你出去一场，你说我听着，龙飞老师十二节十来节课的基础课程 是吧？听完之后一出去就啥也没听懂，你就说我都，我丢不起那个人说我必须得让你们学明白，哈哈哈，对吧？完然后呢，我还给你们加一节课啊，加一节课。所以说呢，大家都稍安勿躁，不要着急，你就把它学透啊。咱们八点三十五回来继续，同学们，我们稍作休息 喂，同学们，能听到吗？ 我们课间休息结束哈，这个忘忘下课的时候着急烧烧，烧点热水，忘放歌了哈，好，不知道大家上半堂课听的怎么样啊？同学们，呃，我来下半堂课的内容呢，回答 大家的一点小问题。同时呢，我一会还会问大家一个问题，看大家听的怎么样，吃没吃透啊，我先来回答一个小问题，有人说老师定性这块在细说，定性像本题就是啊，纯取纯取值的一组，非纯取值的一组， 他还可以怎么考呢？就纯曲线的一组，纯直线的一组，这也可以，对吧？这仨纯取，那仨纯直分组，这当然都可以啊，定量呢，其实我这块我们细展开说，因为我觉得大家一看这讲的这个应该就能看懂。取就说白，啥意思呢？就取值的数量呢，既可以单独的去数， 也可以呢，考线条的数量和，那就是所有线条的数量成规律，也可以 能听懂吗？各位也可以考，曲线和直线的数量差就曲线比直线多几条啊，你也可以像这道题一样分开单独去数啊，曲线都是一条，直线是一二三四，单独去数都成规律，这也可以啊，这块我都没细展开，因为我觉得大家应该能看懂啊，这是简单的数学问题。 好，下一个区位置这块呢，刚才我说了，得需要数量一致考位置。刚才课间有学员说，老师，你说这数量一致是需要曲线和直线所有数量都一致吗？都一致，那固然更好， 都一致，过完更好。你最起码你得给我保证某一种线条的数量一致，听懂没？各位，最起码你得给我保证某一种线条数量一致，这是底线。但是呢，你如果都一致啊，像本题一样，都是一条曲线，四条直线都一致，那这是最理想最完美的，最没有瑕疵 啊，最优质的考法考位置。好，这就是大家课啊，课间一点小问题，我给大家解答一下。好，可以了吧，我来问一个问题啊，我来问一个问题，看大家课听怎么样啊？ 嗯，属线呐，各位，大家来告来，我再来回答一个问题啊，这个第四组图形，这算四条线还是八条线？这叫四条线，你说的八是线段，线是线，线段是线段。线段现在不考了？ 二零一四年的时候浙江考过一回线段考的呀，那是，哎呀，考的稀碎呀。 是不是一四年的时候浙江考过一回线段？试了一手发现这玩意不行，考这玩意不行，是不是不符合中国，中国考生的口味？ 哈哈哈，所以说呢，线段考法呢，就基本上没有再出现过，所以我们现在就是线啊，就是四条线。那你说的八是指线段，但现在不这么考了啊，哎，不能说把它断开啊。好， 我来问一个小问题啊，看大家听话听课听的上半堂课听得怎么样？吃没吃透啊，你们可以在公屏里作答，也可以不在公屏里作答啊，但是你们一定要过脑子去思考， 答对答错都无所谓，你们一定要过脑子，养成好的听课习惯啊。我来问这问题，请听龙飞老师讲现的理论的时候， 常规的，也就是说常规线条的，常规考法的这三个啊，线条的定性、定量和位置，龙飞老总体给出现条考法的图形特点是什么呢？给出来这一二三， 但是大家有没有发现一个问题，这一二三，这三个特点都是什么呢？都是典型的局部特征，刚才讲过了，是吧？典型的局部的特点。那为什么线条的图形特点没有整体的共性特点呢？ 都迈正步，都打军礼，怎么没有这种呢？大家没有感觉奇怪呢？啊，为什么？ 为什么？线条考线条这个规律啊，常规的考法，线条规律，常规的这种考法，为什么图形特点没有共性的特点呢？嗯， 哎，有些学员已经回答正确了，我非常高兴，我非常高兴啊，哎，例如这个啊，剁椒面，你说的非常对，剁椒面，对吧？哎，一定能上岸，这说的非常对，因为什么？因为龙飞老师，其实上半堂课已经给大家提到了，不知道，不知道，大家认真听没？ 因为线，所有图形都是由线条构成的，所以正因为所有图形都是由直线曲线构成的，就像每一个人都是俩耳朵一个鼻子， 所以在线条里面，共性特点是他们的固有属性，是所有图形的固有属性，因此他没有办法成为我们做题的一个判断的依据，大家听懂了吗？ 出题人没有办法通过共性特点来给予考生以提示，所有人都是俩耳，俩耳朵一个鼻子，你说这这玩意怎么给提示？ 正因如此，所以说大家会发现曲线、直线的特点，龙飞老师给大家三个都是典型的局部特征。你看这个问题，如果你回答上来了，就说明上半堂课你认真听了，你吃透了是吧？好，我我们下面到下半堂课的内容啊， 特殊线，特殊的线条啊， 那么线里面呢，还是有一些特殊的情形存在啊。特殊的线，咱们分别一个一个来看一下啊。第一个呢是平行的线，平行线，大家这个上学都学过，数学都学过，对吧？平行线，平行线，说明弹的是某一条线，不 弹的不是弹的是什么？同学们弹的是一主线啊，一主线， 哎，但是大家这一主线没毛病，但是在我们的图推世界里边，这一组 加减号的这一组，大家一定要记住，他就只能是两条，两条啊，打个重点号这块一定要给我记住，一定得是两条。例如为什么有些人老师，为啥？例如 现在龙飞老师画两条，这叫什么？一组平行线啊，那如果老师咱来个三条呢？三条，请问大家这算几组？平行线，这算两组，算三组啊，是俩俩看呢？还是哥仨一起看呢？ 对，不是哥仨一起看还是俩俩看呢？所以说这个东西存在争议，那么存在争议出题人怎么样？ 那就别别，别让他有争议，反正我要考个平行线，对吧？别让他有争议就规避掉他。所以说现在我们就出题考平行线的所有题目，时至今日， 时至此时此刻，考所有平行线的题目都在规避这个问题。所以说我们的平行线，在某一方向上的平行线，在某一方向上的平行线只能是两条，三条有争议，这个 他带给我们的另外一个好处是什么？就说明我们在做题的时候，如果看到了这种图形样式，右侧的这种 图形样式就意味着什么，意味着这道题目你就别往平行线上去想了，碰雷区了，对吧？哎，哎，就是哎，你就别往平行上去想了，一旦看到这种三个的这种线的，那你就别看了，别想平行了，虽然他平行，但他不可平行， 听懂了吗？好，这个首先我要来解释一下啊，好，再来。那么出咱们还是刚才那个问题，那这哥几个哥几个图形，这哥几个站一起出题，想考平行，他得让这 他得通过什么样的特征，共性特征或者说局部特点来让他呈现出平行呢？ 嗯，当然咱就先别说共性特征了，因为刚才说线条这玩意，共性特征本身就是固有属性，咱就说局部，典型的局部特征，怎么来来让它呈现出平行呢？出题怎么好，命题好选图呢？ 第一个啊，卢伟老师给大家了以下的这几种啊，这几种思路，第一个我分别来讲，第一个就是用自带平行线的轮廓， 大家看有没有道理啊？第一个，用自带平行线的轮廓。什么叫自带平行线的轮廓？例如长方形或者说正方形，这叫什么？各位，自带两组平行线对不？ 长方形也好，正方形也也罢，自带两组平行线啊，平行四边形也是如此啊，你要梯形也行，梯形自带一组平行线，用这种自带平行线的轮廓，出题人是不是命题就比较简单呢？ 对吧？命题就比较简单呐，同学们， ok 吧，它省事啊，这玩意就自带的，人家是不是 它省事啊？好，这是第一个。第二种样式，它可以用什么形容？那如果轮廓咱说完了，咱还可以说内部的线条，说线条，对吧？不说轮廓，说线条 啊，开放的线条也可以呈现出平行。什么叫开放的线条呈现出平行啊？啊？一般咱们平时做题什么 z 字形，你这是不是带出平行线，他竖着放，倒是 z 字形，竖着站立起来不就是 n 字形吗？ 例如弓字型啊，立起来就是 h 型，这都是自带平行线的，开放的线条，这是，这不叫做轮廓啊，他没有，他不封闭，他是开放的，没有空间，没有面，对吧，哎，也可以，这是我给大家说的第二种，其实他俩都是异曲同工之妙，有好命题，好命题， 好命题啊，好，那么第三种还可以用哪一种呢？就常见的用相似图形， 相似图形也好命题。例如说，我想考三组平行线，怎么办呢？同学们，考三组平行线怎么办呢？哎，来俩三角形就完了，是不是三组平行线人相似不相似是吧？我想考四组平行线，咋办？哎，来俩正方形就完了嘛， 相似就完了嘛，对吧，来俩梯形也可以，对吧？反正来俩四边形就 ok 了，对不对？你这玩意好命题不好命题， 所以说用相似图形也可以达到这一效果。所以说这三类图形样式是平行线的一个什么样？典型的局部特征，同时呢，它也是出题人的一个选图喜好。它好命题呀，它好命题呀， 来，听懂了吗？ 好，我们再来看一下平行线的 考法啊，刚才讲常规线条的考法？是啊，分着讲的对吧？分着讲的什么定性定量啊，平行线的考法就放到一起了啊，两大考法啊， 俩正方形是四条平行线呢，是四组。啊啊啊啊，对，刚才大家说的这个，对，龙飞老师，你碰雷区了啊？对，这个忽略，这碰雷区不用他用梯形。梯形碰雷区吗？梯形好像也碰了，那用不规则的四边形不碰雷区，不规则的四边形是不碰雷区这种的， 这种是不是没有雷区不规则的？哈哈哈哈，最好是不是？哎，没毛病啊，我希望大家这样啊，这说明你们认真听课啊。好，那么平行线的主要考法两个，第一个主流考法，那肯定是最主流考法，就是考平行线的主数，你有几组？ 第二个相对他来讲是小概率的考法，是小概率的考法啊。打个箭头啊，是小概率的考法，是平行线的方向 考平行线的方向。好，我来问大家一个问题，看大家通过上半堂课的吸收有没有进步啊。如果出题人想考平行线的方向，什么叫平行线的方向？各位，首先咱先理解的概念，什么叫平行线的方向？ 什么叫做平行线的方向？平行线的方向还能垂直呢？假就是什么。假如说第一幅图形平行线是竖直方向的，第二组图形平行线是这个方向的，第三组图形平行线是这个方向的。第四组图形平行线是这个方向的。看明白没？各位，旋转四十五度看明白没？ 这叫考平行线的方向。哎，那么好，大家来看，如果一道题目想考平行线的方向，得要求什么 啊？平行线的组数相同，而且得是几组，得是几组，一组最好是用一组，你两组的话，我咋看就是一组。 就提到每一幅图形有些仅有一组平行线考他的方向，方向其实就是位置的特殊呈现，其实考方向就是考位置，对不？你所以说你看图推的底层逻辑是不是一致的？刚才龙飞老师讲了，凡是涉及到位置考法，出题往往喜欢得怎么样，让他在定量上达成一致？ 上半堂课是不是重点说这个问题了，就是说我们要把图推的底层逻辑学明白了，你往后听，往后听，你就会发现他有很多东西是异曲同工之妙，是一脉相承的。 所以说你既然想考方向，方向就是位摆放的位置嘛，对吧？你是横着板，你是竖着板，你是左斜是右斜，就是位置考法。位置考法就要求数量上一致。所以说大，大家做题的时候，省老师 平行线总数是大概率考法，那什么时候会出现这种小概率考法，什么时候往那小概率方向上去思考啊？那就是当你发现题干所有图形都是有且仅有一组平行线的时候，这个时候你就要什么呀？ 你要意识到，那为啥都是一组啊？数量上的一致不是偶然，不是巧合，而是出题人的有意设计。那就指考什么？考位置，考方向，听懂了吗？ 啊，通了，哎，所以这知识大家就学通了，哎， 好，来，我们来看，来看，回头看这个案例啊，回头看看下面这个案例，好，那这道题大家一看啊。当然这道题目例题就是这样摆在这，大家可能闭眼睛都知道，老师，那你平行线的例题肯定考平行，那如果不放到这个例题里，放到一套试卷里， 你这道题目还是有一定难度的吧。那老师考试的时候碰到这题，怎么咋想到的平行呢？ 啊？咋想到的平行呢？同学们，首先我们龙飞老师一幅一幅来问啊，首先请问大家，第一幅图形有没有提示点？ 因为这道题题干图形比较多啊。九宫格八推一，第一幅图形有没有提示点？有什么提示点？用的是哪一个题干一二三的哪一个 题干一二三的？哪一个？三？相似对不对？只不过是龙飞老师这个画的这个相似的一个变形有两条边重合了而已。相似，利用相似对不？这是利用三来，对吧？ ok 吗？好，第二幅图形利用，有没有提示题干的第二幅图形有没有局部特征？有吧，自带平行的轮廓是第一个提示点，对吧？好，第三幅图形有没有提示？ 跟第一幅图一样吗？跟第一幅图形是不是一样？相似吗？两个梯形相似吗？ 两个梯形相似吗？你说自带轮廓也可以，也可以一三，那你行，一三也行，但我认为主要是三，因为相似是吧？色彩更浓 好吗？各位，好吗？好，第四幅图形有没有提示点？第四幅图形来，第四幅图形有没有提示点？ 哎？自带平行线的轮廓，为啥？这个外轮廓五边行，为啥不画成常规的五边形，不画成正五边形？因为正五边形没有平行线，他必须得画成直角五边形，直角五边形，这才怎么样？平行线对吧？哎，所以这是一啊。第二幅图形呢？ 这个这是，这也是一自自带平行线了，对吧？也是一梯形嘛，对吧？啊，好，第三幅，第六幅图形呢？第六幅图形呢？朱老师，这个图，这个图我 啊，像四啊，二啊， n 字形，这字形。看到了， 其实第六幅图形我跟大家讲哪个都不太好看，但有些人说，老师，那不行啊，你那不行，那不没特点，那能行吗？对，各位，局部特征，刚才咱说了，毕竟他不是共性特征，他是局部特征。局部特征，要不要求？我们奢不奢望题干里每幅图都有局部特征， 其实我们不奢望你像本道题八推一对吧，你可能九八已知的八幅图形里面，说实在话，你在考试的时候啊，我都不要求你八幅图都看出特征来，可能有的图他也确实没特征，你用八幅图里，你能看出三幅四幅来，其实就已经支撑你做题了， 对不对？各位，已经就支撑你做题了，好吗？哎，好，再来往下啊，哎，有几个给个方向对就够，够我们用了。所以说我们不奢求，不奢求啊， 所以第六幅图形一看，没有什么特征，那就没有特征呗，对不对？往下看，对吧？第七幅图形呢？啊， 这个自带平行线轮廓了，这轮廓自带平行线了，没有吧？这轮廓是不规则四边形吧，是哪个二吧，这是二了，终于出现二了，什么？ z 字型吧，在这呢啊， 对吧？哎，有的选手老师，那这个轮廓这两边那可能不太好看，因为它上下不规则啊，你不能叫它梯形啊，它不规则，所以你用这个 n 字型可能更好看一点用这个 n 字型可能更好看一点 啊，因为他不是标准意义上的那种梯形，是吧？好，第第五幅图呢？我们第八幅图呢？这就是轮廓，这就是轮廓，这是梯，这是直角梯形。 七不是直角梯形，八是直角梯形，是不是？哎，这就可以了，这一好，透彻了没？各位，所以说你这，如果说，你如果说你把这些东西掌握了，吃透了，你就这道题目，我刚才说了，你说放到考试试卷里，他是不是一道难题，他肯定有难度，但是呢，你像龙飞老师讲过之后，咱看， 你能说这个题目里边他没有提示点吗？八幅图里七幅图有提示点，你能说出题人没给你提示吗？ 不能说，那能不能看出来那是你水平的问题，但你不能说人家没有给你提示，对吧？你不能说人家没有给你选举典型的特征图形，人家给你选了选七幅，你没看出来，那是你水平的问题， 对吧？哎，给你选了七幅是吧？八里边选了七个啊，所以这道题考的是平行线。 平行线的哪一个呢？组数对吧？组数啊，第一行每一行分别都是一组、两组、三组，我就不领着大家数了行吗？大家自己去数就得了。这就不关键了，思路很关键，这数数我就不领着你们数了啊。所以说我们问号处选三组平行线呢，选哪一个？ 三组平行线呢？ c 选项嘛，是吧？哎，这个大家下去自己数就得了啊，我就不在课上那啥了，思路更重要啊。好，来，下一个特殊的线条，延伸线， 延伸线啊，什么叫做延伸线呢？各位，延伸线的图形特征呢？是 是很好识别的，因为什么？各位，平衡线那是利用图形的特点来命名的，说你得有这个平同一方向的线条平衡。延伸线是什么？各位，是根据这个图形的形状形状来拟明的啊。换句话说，延伸线在本质上来讲没有这个概念， 就在官方来讲是没有这个概念的，听懂没？各位，这完全，这是龙飞老师根据图形的样式特点给他命名，起这么个名， 在官方概念里边是没有这个概念的。所以说正因为我能起出这么个名来，就说明延伸线的图形特点 不是典型的局部特征，而是共性特点。只有所有的图形看到了吗？所有图形就说明这是共性特征，所有图形得是什么的？ 得是怎么的一种形状，一种构型，我们才能称之为延伸线呢？就是单区域的轮廓，你可以像本题一样，下面的案例一样都是圆也行，你三角形也行，你正方形也行，无所谓，反正你单区域轮廓外边给我加一条线条 ok 吗？这我们就叫延伸线加外部线条，注意，这个线条一定是外部线条，他不能到空间里边去，对吧？你这能叫延伸线吗？各位， 不能，所以说我们的延伸线指的是向外延伸，向向这个轮廓的外面延伸。长头发，别往里长啊，是往外长头发 啊，好，好吧，不是说官方没有就是共性是，是说官方中间有句话你听漏了，是官方没有。那龙飞老师给他起名这名是怎么起出来的？是根据这个图形的什么呀？ 形状的这种整体特点取出来的延伸线，所以我们叫他像长头发的延伸，所以正因为这么能起出名来，才叫所有图形啊，是这个意思啊，这五指，这个，这个不关键啊，你就记住，延伸线的特点是共性 啊，是共性特点，所有图形都得是的，就换句话说，什么意思？同学们，就是但凡这道题目里六幅图里题干的六幅图也好，五幅图也好，八幅图也好，他一旦存在这种图形，一旦存在龙飞老师，蓝笔圈起来的这个图形，你还用往延伸线上去想不？ 那就不能了，那延针线就被 pass 了对吧？哎，但凡有一副图形不符合这种样式都不行。所以说延针线是一个共性的特点，必须得，大家都这样是吧？必须得，都穿白大褂，有一个不穿都不行， ok 吗？ ok 吗？哎，就军人就都得穿军装，有一个不穿都不行，是吧？哎，就是这种 好。那么有的学员说，老师，那这种图形考什么？这种图形，那后面去讲啊，今天不是不是现在所说的啊，后面会讲这种图形考上回过头来。那么延伸线都有哪些考法呢？这整体特点啊， 都有哪些考法？都是一个空间加一条线的考，考法第一考延伸的位置就是说白了老百姓，话说你长这个头发，你从哪往出长，对吧？哎，你是从额头往出长，你还是从后脑勺往出长，对吧？你是从左边长，你是从右边长 延伸的位置，那么就轮廓，这延伸的位置就与曲线轮廓。假如说像本题一样，圆轮廓而言，圆形轮廓而言，曲线轮廓而言，它的位置会有什么特点呢？各位， 就是本题的一个考点，对吧？你到底是什么呀？沿着什么怎么怎么，从哪长怎么样？你是沿着 割线的方向长还是沿着切线的方向长好， ok， 打一就是方向的问题。位置吗？方向就是位置吗？位置题，刚才说过对吧？方向就是位置的题。那么对于直线图形呢？直线图形就不存在切线和割线了吧？ 割线是啥？就就相交线，延伸就交线啊，你就理解为这样啊？ 啊，这直线图形是不是就不存在切和割的问题了？那直线图形的位置就存在什么呀？不是方向的问题了，那就是位置的问题了。哎，我卡了吗？就是位置的问题了啊，哎，你是从边上往出长还是从点上往出长， 是不是？哎，你是从边上往出长还是从点往上出长，或者是像这种图形再来看啊，你是从这个位置长还是从这个位置长？你看这都是由点往出长，有什么区别？ 这个一和二有什么区别？你看都是这个头发，都是有点往出长，但有什么区别？哎，一个是直角往出长，一个是锐角往出长，对吧？这也可以区分是吧？一个直角往出长，一个锐角往出长，这就是靠延伸线的位置， 好有细节，对，很细节啊， 好，再来往下下一个啊，就延伸线的数量。啥叫延伸线的数量？各位啊，啥叫延伸线的数量？各位， 就是，哎呀，你长几根头发对吧？你是三毛还是四毛对吧？哎，嗯，你自己是几毛的问题是吧？好，各位， 简单的几毛啊，大家都会数，例如，各位，我来跟大家说，你说这算长几根头发？各位， 两根，这大家都好看，对吧？这老师，这两根头发二毛是吧？那好，大家来告诉我。来看啊，这个你认为是二毛了？我，请问大家这个算几毛哎，这个切线，哎，这个算几毛？ 这算一毛，算二毛，哼。有些人说有争议，我跟大家讲这个其实没什么争议，我认为没什么争议，这个就是考过，这就是二毛， 他就相当于这个。为啥大家没说？大家说这是二毛，没啥，他就相当于这两个。头发怎么样？梳平了，梳成一个平角，那也是二毛，因为这是两个方向。各位，你从这个点你能一笔把这条线画出来不？你不得两个方向长吗？往两个方向长吗？ 就相当于第一幅图形，两个头发，你给他熨平了，对吧？我来个平，来个平分啊，哈哈。哎，变成一个平角，那就是二，也是二毛，好， 听，理解了吗？各位？就这块有点争议啊，我给大家说清楚啊。好吧。啊，就是延伸，这就叫延伸线的数量，别的就没啥争议了啊。好，咱们再来说下一个啊，好点啊， 这个跟那个线段没关系，不用往那上去想啊。你们现在脑海里边，大家听我讲，你们现在脑海里边不要有线段这个概念， 你看龙飞老师整个讲义里边也没有这个概念，就你们脑海里边不要有这个概念，你越有这个概念，你越你越会有分歧啊，你就脑海里边没有这个概念，是吧？图推里边没有线段这个概念啊。 好，再下一个，就延伸线，自身的线，这个线段说这个。老师这句话为啥加线段？我加掩号的，因为我实在找不到一个更贴切的词来表达它了，就几条线的问题。 好，例如龙飞老师来就提干他第一、第二幅图形吧。各位提干第二幅图形吧，你告诉我这叫几根头发？嗯， 其实他这叫叫一根头发，但这根头发有可能就像花老花似的，是吧？给烫个卷是吧？嗯，哎，是吧？老花烫个卷是吧？烫个卷，烫烫。这卷几折啊 啊？他是几折呀？一两三四五六。哎，其实是由六条线组成的，但是为了让此线跟这个线吧还得区别，你说这个叫延伸线数量，我后边不能再叫延伸线数量，我只能说延伸线自身加掩号线段数量，但是尽量还是避开线段的词汇，但是实在是这个地方没法避开了，要不重复了， 他俩变一样了，是属于一个被动无奈之局啊，这相当于是五个， ok 吗？ 好，大家再来看龙飞老师，这个大家好理解吧，这块应该没什么争议啊。大家再来看最后一个合法轮过线与延伸线的关系，大家来看啊。 好，这俩图形我说它成规律。这俩图形什么规律？什么特点？各位能不能看出规律来？什么特点？这俩图形如果放到一道题目里边 图一是两条延伸线，说的没错啊，平行或垂直数量相等对吧？这就是我说的最后一个轮廓线与延伸线的关系对吧？哎，你这个轮廓线是几条 三角形哎，轮廓线是三条三角形吗？三条延伸出延伸的线拐几条弯？三条弯，对吧？ 其实延伸线是一条，其实这个叫这个应该叫延伸线。这个线段啊，还叫延伸线段吧，加个掩号吧。哎，是三是吧？相等是吧？您四边形对吧？这个烫这个头发就烫出四条弯来，好， ok， 大 一是这个意思啊 你你三角形就三个弯啊，四边形就四个弯，你看这也可以考，这也可以考好？ 平分头那个不太理解，你就记住就行了，记住就行了。但是那种争议图形说实在话出现过没？出现过，但出现频次还是少啊。尽量规避出题人， 你像本题也是本题，他考的也不是他这个数量，他尽量规避啊，只不过，只不过一旦没规避掉的话，我要跟你们说清楚，他算两条，他就相当于这是二，这算两条吧，就相当于把这两条线段放平了，给他摆成平角，那摆成平角一百八十度，那不就是 第一幅图吗？那他也得算两条，对不对？哎，好，来，各位那本题来看这案例吧，咱把这案例做一下吧，没有选项就没有选项，咱直接做一下。这是考的是哪一个？考的是哪一个？嗯， 位置，位置对吧，哎，一四五一组对吧？切线方向，二三六一组，割线方向。好，没有问题吧？ 没有问题，下面我要来回答一个问题，这个学员不问，我也要讲这个，这问的还挺好，就说明这个还是挺让我高兴的啊，能问到点上，问到我想讲呢，说明我们想到一起去了。 那么有学员会有这么一个问题啊，说，老师，大家来看啊，这问题怎么来理解？所以有的学员说，老师，你看这个延伸线会不会这么来考呢？这么来考啊，大家来看啊， 举个例子啊，假如这么两个图形，老师是，或者，哎，或者这么的啊，我再给他，咱进来，或者这么来画啊，咱们这么来画，换个圆也行啊，无所谓。怎么考呢？说，老师，这个可不可以这么来考，这也成规律，你看， 哎，初矢线段和尾端线段平行，哎，延伸这个，这个头发不不折了好几道弯吗？老师你讲那么第一道弯和最后一道弯垂直，哎，你看平行垂直这玩意能考不？ 认为能的打一，认为不能的打二。你也可以都不打，但是你要过脑子，你要过脑子。 好，可以了，同学们啊，思考一下就可以了。我看到了很多技，很多学员都打了一，认为这个考法是成立的，那么龙飞老师告诉你，这个考法是不成立的，是典型的错误， 是不成立的，是典型的错误。也是这学员不问我也要讲这个问题是典型错误，知道为什么吗？这就是开篇我跟你们讲的第三个 就是各种规律之间如何选择的问题，就如何判断这个规律成不成立，是不是出题人想考察的方向，这规律成不成立，那你怎么怎么来判断， 就要看同学们听我讲啊，认真听，就要看你看的这个规律是不是契合本题图形的特点，共性特点。 就换句话说，这哥五个在一起都都都穿白大褂，你说这哥五个能不能是老师？ 你说老师，我就感觉这哥五个都长得挺有学问的样子啊，都看挺斯文似的。我感觉那也有可能是老师啊，那你这个判断对不对？那时候你就要看你的这个判断器不契合他的特点，共性特点。这时候你好像就立不住了，你说要五哥五个都是老师的话，那怎么都穿白大褂呢？ 你要说碰巧了有一个人穿白大褂，这玩意还还有可能说的过去啊，说这人就好穿白大褂，怎么五个老师全穿白大褂 是吧？哎，一个道理，同学们，这题也是一样的，如果说出题人，大家回到图形里啊，大家来看，如果出题人想考这考法的话，他有没有必要上面都用这种延伸线来考？都用这种，上面都给你带个轮廓。龙飞老师，黑笔画的轮廓有没有存在的必要？ 这三角形和圆圈没有存在的必要啊，你把三角圆圈去掉，你这个规律一样成立， 发现了吗？同学们，那这个东西是多余的，出题人，出题人年龄都不小，是吧？嗯， 能能没事干多余的事不？好像不太符合出题人习惯，哈哈哈哈，是吧，哎哎， 能做这无用功不？好像不太喜，好像不太符合，对吧？同学们，所以就是我说的，我们看到规律一定要把图形的特点利用上，要把图形的特点利用上， 对吧？哎，那么龙飞老师说的这几个都是把它的特点能利用上，朋友们，要利用上啊，利用上 好，我们再来往下啊，下一个线条啊，特殊的线还可以，怎么呢？各位，是横线和竖线， 横线和竖线啊，还有一个分体角度，横线和竖线啊，有的选。刚才还有问题啊，说，老师，这第一幅图形，你就说两条延伸线的话，那考位置考延伸线的位置，你刚才不说考位置一般数量得一致吗？ 是的，没有问题，所以说本题六幅图里有五幅图形是一致的，第一幅图形呢，也是大家说的那种小概率的正一点，但是他即使是两条，他也是切线方向，切线方向啊，这个呢，我到后面讲图形的时候，讲空间的时候，讲面的时候，包括后面后期讲讲图形的时候，我会跟你们说啊， 其实呢，我现在说说的有点早，我在我提一嘴吧，问到这了，我提一嘴，同学们啊，大家都听一下，我提一嘴吧。我们说考位置需要的是什么？是数量一致， 但是图推里边没有绝对的事情，各位，数量一致是对位置提示的，咱们说的这是什么？最完美的呈现，最标准的呈现，最优质的呈现，但是还是我那句话，可遇而不可求，有的时候呢，怎么样，他有一点小概率，搁到考位置的时间是什么？是数量基本一致， 这在整体里边呢，也小概率的出现过啊，在考面的时候呢，小概率的出现，我们后面会道 遇到啊，就是题干图形，大家到时候也现在不问，反正到时候也会有这问题。老师，你看题干图形的数量，空间面的数量没，都一致啊，没完全一致，有，对吧？有四幅图一致，有一幅图稍微差一点啊，那这道题怎么还考形状呢？或者考位置呢 啊，其实也可以，也可以基本一致就行啊，其实也可以，但是呢，怎么样大那大概率我们遇到的时候都是什么数量完全一致的这样，因为这样的题目更优质， 我就说清楚没，同学们，蓝色梦想听明白没啊？大家听明白没有？哎， 好，来我们讲横竖线啊，第下一个，横线和竖线那么好，大家自己你们其实不，你们如果学到现在啊，如果吃透了的话，其实你们不看龙飞老师写这个，你下去啊， 包括后面课程的预习的时候，你都可以这块空出来，你自己去闭眼睛想想，如果我是出题，我想考横竖线，我会怎么来选图形呢？对吧？你看看跟出题人英雄所见是不是略同啊？横竖线一般什么样的图形比较好呈现横线和竖线呢？嗯， 横线和竖线呢？那就是我们说的什么十字型，这个十字型注意，可龙飞老师加减号的。什么叫十字型？各位，那就是横线和竖线这种交叉型，他指的是这种十字型，也可以，你这种十字型也可以。看到没，龙飞老师画的这种十字型就这个图形，你看 它，虽然整体来看它不是十字，但是它好像是几个十字形交织在一起啊，这都叫做十字形的图形，就比较喜欢考横竖线。好， ok， 打一啊。虽然这个图形整体它不是十字形，但是它这好像是有几个十字形去组成的，是吧？

哈喽，各位局长，不知道大家做海海刷的图推感觉如何呢？今天我带着大家一起来用刘一恒老师的思维去复盘一下这个海海刷。第一题，我们可以看到图案是一样的，所以我们可以考虑位置规律，位置规律又分为了平移、 翻转和旋转，很显然这个不可能是翻转和旋转，所以我们从平移来考虑，平移的话又分为了宫格和非宫格，这题很显然是宫格类的，宫格类像题目中的九宫格、十六宫格，二十五宫格，我们可以看内部有没有规律，如果有规律我们就内外分开看， 如果没有规律的话，我们考虑一方面是常规的平移，另一方面是非常规平移呢，就是上下左右或者是斜着移动，那非常规的平移就是十六宫格。分为两部分， 我们来看这题，他这个小黑球是怎么移动呢？根据就近原则，一是往下移动一格，那二他有可能是走到这， 也有可能是走到这。假如我们二是往下移动一格，第三幅图是不是应该移动到这里？所以二就不是往下移动，应该是向左移动，第三幅图就跑到了这里，那这个三呢？每次往左移动一格，也就是跑到这，然后又跑到这。第四幅图，问好，这里三向左移动一格，是不是从头来跑到这里来？ 二向左移动一个应该是在这里，一往下移动，从这里穿过来，应该是到这里，那我们来看选项，只有 a 选项符合。再来看第二题，这里是不是出现了独立的元素， 而且图形是不是都很规矩，很美观？所以我们考虑对称，我们来看图，这是轴对称，这是中心对称，这是轴对称，这也是轴对称，这是轴对称，这是轴对称，这是轴对称，这是轴对称加中心对称，也就是说每个元素都具有对称的属性， 那我们一起来看选项，这个不对称，这个不对称，这个也不对称，那么只剩下 d 选项，我们这题选 d。 再来看下一题。首先我们看到图案是不是很美观，一般美观我们就考虑对称，但是这一题我们来看一下，这是轴在中心，这是轴对称，轴对称轴对称轴对称轴对称轴对称， 轴加中心对称。如果按轴对称和中心对称图形来分的话，是没有选项的，这个时候我们就要考虑一下我们的方向是不是错了。 我们再来看图一，是不是出现两个相似三角形？相似三角形我们考虑什么？是不是考虑平行线？那我们来数一下有多少组平行线，这里是一组，这里一组，两组，三组，这是一组，这是一组，这是三组。 那么这题也就是按照平行线的组数来分类，一三五为一组，二四六为三组。你直接看 b 选项，这个形状 是不是就应该是这个白的，但是它翻转一下是不是变成了这样的？也就是说它翻转之后的图形应该是这样子的，但是它颜色应该是黑色，而这边的图形是这个翻转之后得到的，它图形应该是白色， 这两个图形颜色搞反了，所以它不能由其拼成，所以这题我们选 b 选项。再来看下一题，这几个图形中是不是都出现了曲线，所以我们考虑属性中的二哥取值， 取值属性，我们来看一下，这里是取值，取值，取值，这里是全值，全值，全值，所以我们按照取值性进行分类，一三五为取值，二四六为全直线。再来看下一题， 这里是不是出现了多端点，多端点我们考虑什么？是不是考虑笔画和点？那我们一起来数一下笔画，这里两个，这里四个基点，所以是两笔画，这里两笔画，这个也是两笔画，这个也是两笔，两笔。也就是说题目中的图案都是两笔画。 我们来看选项，这是一笔，这是两笔，这也是一笔，这是四笔，所以我们这题选 c 选项。第七题，我们看到这里跟这里是不是都出现了单一的线条，单一的线条或者是都有曲线多边形，我们是不是考虑线，那我们一起来数一下线，这里有六条线，这里有一条， 这里有八条，这里有七条，这是五条，这是三条。可以看到线的数量是没有什么规律的，这个时候我们再来考虑线的运算，六加一加八等于十五，而七加五加三也等于十五， 所以这一行第三行线的数量之合也应该为十五。我们来数一下现在有了多少条线，这里是两条，这里是四条，也就是说在问号处要填一个九条。我们来看选项， a 选项七条， b 选项三条， c 选项九条。 d 选项。给大家放大看一下，这里是一条，两条，三条，四条，五条、六条， 所以这题我们选 c 选项。再来看第八题，第八题我们就直接用箭头发做题，我们来看 a 选项，它这里的箭头底部是不是接触的这个回字形的图案， 我们来看题干中的展开图，把这个箭头翻转一下，是不是这样的，它底部是这个回字形的图案，所以底部是正确的。再来看在右边，这个箭头的右边是不是日字型，这个箭头的右边 日字图形，所以也是正确的。这题选 a 选项，我们来看一下 b 选项， b 选项，这个箭头的顶部是这个三角形，而它的右边就只有这个白色的方框，我们来看它右边是一个回字形的方框，所以 b 选项错了。 再看 c 选项，这个箭头跟这个三角形的箭头方向是平行的，那我们在题干中看一下这里的箭头，把这个三角形转一下，转到这来，这个箭头再转一下，转到这里，也就是这样子的，那我们再把它翻转一下， 翻转到这里应该是这样子的，也就是说他们俩的箭头方向变成垂直了，跟选项的方向是不一致的，所以可以排除。我们再来看 d 选项，这个箭头的底部 挨着的是三角形的这个面，而题干中展开图是箭头尖尖挨着三角图挨着这个三角形，所以 d 选项也可以排除。再来看第九题，第九题是不是明显的是黑白块？那黑白块是不是常考的就是对称，非对称，非对称中又常考的是位置、黑白运算 和部分数，如果这么看都没有规律的话，我们再去考虑个数问题。除了这些，还会考明显明显中又考图形之间的关系，面积相邻比较和笔画或者是周长。 这题我们可以看到题干中给的信息非常明显，是不是出现了一个黑色面加多个白色面，也就是出现了一黑加多白，那我们就可以直接定位到 考的是图形关系。这个时候我们再来看这里的黑色的面与外框是不是接触的边数为两条，这里是一二三三条，这里是一条，这里是两条，这里是零条，这里是一条，这里是一条。这里是多少条呢？我们来看横着看，二加三加一等于六，一加二等于三， 横着看没有规律，我们竖着看是不是一加一等于二，这是一加二等于三，那几加零等于一呢？是不是这里要找一个 黑色的面与外框接触的边，接触的边数为一。来看选项是不是只有 b 选项， a 选项是零个接触的边， c 选项也是零个， d 选项是两个，所以这题我们选 b 选项。第十题我们可以看到选项中的方块数量，三个、五个、五个、四个 方块数量不一致，我们先用方块数量看能不能直接选出答案。题干中所给的方块总共有二十四个，也就是说已知的有十九个，那十九加多少等于二十四呢？这里是十四个， 那已知方块数量是二十个，二十个加多少等于二十四呢？是不是加四个方块？所以这题直接选 d 选项，那我们一起来回忆一下刘玉恒老师做图推的宏观思维导图。首先拿到一个题，我们先来观察是否有一样图案， 如果有一样图案，我们看是完全一样还是部分一样，如果是完全一样的话，有可能考的就是位置，比如说平移或者是翻转、旋转，如果这样都做不出来的话， 我们再去考虑相邻比较，如果没有一样图案，我们第一个考虑的是属性，属性中大哥是对称，二哥是取值。第三考虑的就是开臂。除了属性还会考的就是数量，数量中会考 面的数量，点的数量，线的数量，元素的数量，直角的数量或者是笔画数。第三个就是考虑图形间的位置关系。那今天复盘就到这里了，我们明天再见，拜拜。

考试的时候啊，除了难题和压轴题是大家容易丢分的板块以外，还有一个板块是大家容易忽略的，那就是概念变稀，这类问题的出错率非常高。而解决这类问题的办法呢，不能单纯的靠记忆， 他需要我们深刻的理解和用正确的方法进行逻辑推理。今天歪歪老师就带大家一起来突破这一关，一起来看。 这位老师已经把人教版期末卷、北师版期末卷、华师版期末卷、浙教版期末卷、苏科版期末卷、乡教版期末卷、互课版期末卷等全国各地名校期末专题优中选优，为大家整理了期末模拟经典必刷试卷， 看完这个视频再拿去给孩子练习，练完考试直接拿满分，需要的家长我发您一份。下列说法错误的是，若 a 和 b 负为相反数，则 a 分 之 b 等于负一。 我们知道负为相反数的两个数，它们的绝对值相同而符号相反。所以呢， a 分 之 b 等于负一。乍一看没毛病，但是它忽略了一种特殊情况，那就是零的相反数就是它自己。 所以当 a 等于 b 等于零的时候，那么 a 分 之 b 就 没有意义了。所以第一小题是错误的。第二小题用四舍五入法把数二零二五精确到百位是两千。 二零二五，他的百位是零零，后边的二和五经过四舍五入过后就没有了，所以是两千。哎，这个做法正确吗？我们来看一看， 实际上两千他仍然是精确到个位的，哎，并没有精确到百位。所以这道题我们应该怎么办呢？他需要两个步骤，我们需要把二零二五给他，用科学计数法表示出来， 我们需要把二零二五五后边的小数点呢，给它移动到第一位二的后边，也就是小数点，需要向左移动三位，小数点向左移动三位，那么我们就乘以十的三次方，所以它就等于二点零二五乘以十的三次方， 用科学计数法把它表示了出来之后，再来进行四舍五入。题目要求我们精确到百位，百位上的数字是零，就对应这里 零后边的二和五，四舍五入掉了，所以就约等于二点零乘以十的三次方， 这里的二在千位，零就在百位，所以就把它精确到了百位。那像这种比较大的数，要把它精确到百位，千位、万位，我们就需要用科学计数法表示出来，再来进行四舍五入。需要两个步骤，所以第二题也是错的。 第三题，三条直线两两相交，会产生三个焦点。三条直线两两相交，确实会产生三个焦点， 但是呢，这三条直线它们也可以相交于同一个点，这种情况它们也是两两相交啊，因此这个说法是不完整的，它可以产生三个焦点，也可以产生一个焦点。 第四题，两点之间直线最短。这个错误就比较明显了，直线它是可以无限延伸的，它是无法度量的，因此呢，它没有长度。那么我们应该怎么改呢？两点之间线段最短，把直线改成线段。 第五题，连接两点间的线段，叫做这两点的距离。哎，这个句子比较长，我们把它浓缩一下， 去掉这些细枝末节。哎，我们来看句子的主干呢，就是线段，叫距离， 线段它是一个几何图形，而距离呢，它表示长度，表示数量，几何图形和数量之间并没有直接的联系，所以它的这个逻辑肯定是不对的，那我们应该如何改呢？我们把它改成线段的长度， 哎，就叫做距离，所以应该是连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 第六题，若 ab 等于 bc， 则 b 是 线段 ac 的 终点。考察了终点的定义，终点的定义呢，要求是非常高的，它要求两个方面，也就是要求数量关系和位置关系。什么意思呢？我们一起来看看线段 ac 的 终点。那 我们先先画出线段 a、 c 来，那它的中点呢？我们就要求 位置关系，也就是要求它的中点一定要在线段 a、 c 上，比如说 o 点是线段 a、 c 的 中点，那我们就要求 aoc 这三点共线， 这是它的第一个要求。同时呢，要求 o 点把线段 a、 c 分 成相等的两部分，这是对它的数量关系的一个要求，所以呢，既对它有位置的要求，又对它有数量的要求。而题目当中是 ab 等于 bc， 只对它的数量关系有要求，那么 b 点的位置实际上是无法确定的， 它实际上只要求了 b 点到 a 点和 c 点这两个端点的距离相等，也就是说，到线段 a、 c 这两个端点距离相等的点就是我们的 b 点，那 b 点呢，我们就可以找到它的轨迹，实际上 b 点 它就是在 线段 a、 c 的 垂直平分线上， 哎，这就是我们 b 点的轨迹，哎，我们把 a、 c 的 垂直平分线呢记为 l， 实际上这个 l 上面的每一个点，它到 a 端点和它到 c 端点的距离都是相等的，也就是说，直线 l 上的任意一个点 都可以是我们的 b 点，那这样的 b 点呢？就有无数个，而中点线段 a、 c 的 中点它有，且只有这里的一个，必须要求中点在线段 a、 c 上， 因此第六题肯定是错的，所以这六个小题呢，说法都是不对的，都是错误的。同学们，你听懂了吗？关注微微老师，学习如此简单！

数一数，下面的图形中有几条直线，有几条射线，有几条线段， 这是让我们数线的，对不对？嗯，首先我们需要干什么？找点，找点。找什么点呢？是不是找焦点呀？两条线的焦点，我们来找一下， 一个点，两个点，三个点，还有没有？没有？我们给它标上 a、 b、 c。 首先我们来看直线， 先找 a 点，通过 a 点的直线有没有？有，有哪条？这条是不是？是也就是直线 a、 c， 对 不对？嗯。 这条是不是？嗯，不是通过 a 点的 a、 c。 那 通过 b 点的呢？这条不是刚才说了，对不对？这条是吗？也不是 b 点的，没有。那么通过 c 点的呢？ a、 c， 刚才已经说过了，是不是？嗯，那么直线有一条就是直线 a、 c， 对 不对？嗯，写一下，我们再来看射线， 通过 a 点的射线，我们看向左，是吗？是一条，向右不是两条，向上是三条，对不对？嗯，通过 a 点的有三条。我们再来看通过 b 点的 向下有吗？没有，向上有一条，对不对？嗯，向下 没有， b 点的有一条。那么再来看 c 点的向左有一条，向上没有，向右有两条，一共是几条啊？嗯，三加一加二，等于一共六条，对不对？再来看线段 线段 a、 c 是 不是？是 a， b 是 不是？是还有吗？嗯。 b， c， b、 c 几条？嗯，一二三三条，对不对？嗯。