包头联考高一数学最后一题评分标准

同学们好，咱们今天来看一道解直角三角形的题型，这道题也是二零二五年到二零二六年包头的 初三期末联考题。好，那咱们首先呢来读一下题，如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中， ab 等于三， ad 等于五点 e。 在 d、 c 上 将矩形 a、 b、 c、 d 沿 a、 e 折叠，使点 d 恰好落在 b、 c 边上的点 f 处，那么三角 e、 f、 c 的 值为多少？好，那咱们一起呢来分析一下这道题。首先呢，题干中给到 a、 b 等于三， a、 d 等于五，那又通过折叠，咱们可以得到折叠前后对应边相等，对应角相等，那根据对应边相等，咱们可以得到 a、 f 也是五，那再次，根据 对应角相等，那角 d 是 九十度，所以说角 a、 f、 e 也是九十度，这个是根据折叠得到的。好，那得到这个以后呢？那接下来咱们就可以在直角三角形 abf 中， 因为 ab 等于三， abf 等于五，通过勾股呢，咱们就可以求一下 bf 了， bf 就 等于根号下 a、 f 的 平方减去 ab 的 平方，那往里边带一下值吧，就等于根号下五方减三方，通过计算呢，咱们可以得到 b、 f 等于四。好，那求出 b、 f 等于四以后，接下来咱们来看题干中让求三元角 b、 f、 c 的 值，那三角 e、 f、 c 这个角，咱们要求这个角的正弦值的话，咱们需要知道 c、 e 和 e、 f， 那 很明显 c， e 和 e、 f 咱们都不知道，那如何来求呢？咱们可以通过倒角的方式来求 角 e、 f、 c 加上角 a、 f、 b 就 等于九十度。那么在直角三角形 a、 b、 f 中，角 a、 f、 b 加上角 b、 a、 f 也等于九十度，所以说咱们根据等角的与角相等，从而就可以求出角 e、 f、 c 就 等于角 b、 a、 f， 那 这两个角相等，那所以说这两个角的正弦值也相等。因此呢，体干中让咱们求的三角 e、 f、 c， 咱们就可以转化为求三角 baf， 那 三角 baf 呢？它是在直角三角形 abf 中呢？那三角 baf 就 等于对边比上斜边，也就是等于 bf 比上 af， 那 af 咱们刚才求出来等于四， af 是 五，所以说三角 e、 f、 c 的值就应该是四比五，也就是五分之四，所以说这道题应该选择的是 c。 好， 那这道题咱们就说到这里了，同学们，你们做对了吗？

天上午呢，辽南协作校举行了高一联考啊，数学是上午考完的，这个试卷啊，我刚刚拿到手里，我第一时间呢啊，带你们来看一下，我也是以考生的这种视角啊，去带你们分析每一道题 啊。一呢，是让你们啊看一看我是如何迅速的答完一套卷的。二呢，是我也把这套卷上的题啊，借着这个机会呢给大家讲解一下， 今天晚上大家放学回家之后正好期末刚考完了吗？啊，晚上应该作业也比较少了啊，回家当你吃夜宵啊，玩手机的时候，顺便呢刷刷抖音，把这个卷上的不会的题啊，也就弄懂了 啊。那好，咱们话不多说，来看这套卷。首先看第一题啊，第一题是个集合题，这个题非常简单对吧， m 是负一到三， 而是负二到一，求 m 病啊，这你要做题做的多，一眼就看出答案了，选二 b 对吧。那你说我没有那么多的题量啊，我没做过那么多的题，我看不出来。那也没关系嘛，换个数轴就 ok 了。好比如说即刻负二到一，即刻 m 呢是负一豆三， 所谓的病急是什么呢？就是他们两个覆盖过的地方啊，全算上那很明显负二到三嘛。 哎，这个题有没有同学选西了呀，我怀疑有可能有少部分同学选西，如果你选了西，说明集合这块啊，你没有理解到本质啊，这题如果怎么出答案才是西呢？如果我这样去出， 如果我这样去改一下这道题，那答案就选 c 了啊。你看，如果像我这样出的话，那 m 和 n 都是什么呢？都是以点构成的集合，他是点集，所以 m 和 n 并在一起之后也是个什么，也是个点集。但是现在就考试卷里这道题的这个除法而言，这 m n 指的根本就不是点的坐标。他是开区结，对吧？他是开区结啊，是这样的， 好，第一题咱们过，然后来看第二题。第二题啊，应该是考抽样是吧？啊，我通读一遍，题干好啊，某科研院所共有科研人员八百人，其中什么什么什么啊，我看一下啊，继续往下读啊，决定运用分成抽样的方法 去抽一百个人。那所谓的分成抽样是不就是按比例抽样啊？这个没问题吧，那我看一下他最后问的是什么，问的是无支撑的科研人员，所以他题案中给咱的什么中级呀，又是高级呀，又是 初级呀，这些人数是完全没有用的，因为他最后的问题就是归结到无知成的人数上，对吧？那所以我关注无知成就好了。好，分成，瞅样，刚才我说了，相当于按比例。瞅样啊，这两个成含义是相同的。 那我总共是八百个人，其中无支撑的占八十个，那就十分之一呗。所以我抽出来这一百个人里，无支撑也应该也占什么，应该也占十分之一。所以呢，选 a， 咱过啊。第二题， 好，第三题下令说正确的。是啊，这题太简单了， a 的四分之三乘 a 的三分之四等于啊。 a 的四分之三加三分之四次方吧，不可能等于 a 的一次方啊，对吧？ 二 b， a 的一次方除三分之二等于三分之一吧。好西， a 的啊，那 a 的多少次方乘多少次方，他也不可能乘出个零出来呀。这西 错的太离谱了，对吧？就剩个四弟了，对不对？他也得对了。 a 的四分之一次方的四次方等于 a 的一次方。没毛病，所以选四弟过好。第四题 啊，事件 ab 相互独立，你说两件事相互独立意味着什么？独立的冲要条件，或者说咱正常来讲，一般都用什么去验证两件事独不独立，是不是就是用这个式子， 对吧？那既然咱们知道这个知识点的话，这道题我就可以把条件啊翻译一下。好，他给咱们这个 p a b 其实就是啥呢？ p a 乘 p b 等于六分之一 啊，那后边呢？相当于啥呢？ pa 乘 pb 非，那就是 b 不发生的概率，那不就是一减 pb 吗？这样式的吧，到这没问题吧，对吧？到这没问题吧？好，那然后我看他要求啥？他要求 求啊，他要求 p b， 那通过这两个式去解 p b， 这不是轻而易举吗？既然我要解 p b， p a 没用的话，那我把他俩除一下不就 ok 了吗？ p b 除一减， p b 等于二分之一好，谁除一减自己等于二分之一，那很明显三分之一吗？选二 b 过 好看第五题啊， abac 啊，那么三点贡献的重要条件，三点贡献等同于这三个点构成的两个项链贡献。这个知识点在我这三个月同学都听我讲过，对吧？那所以说这两个项链贡献，那贡献又等同于什么呢？ 贡献等同于成比例啊。贡献等同于成比例，那所以说相当于这道题没给坐标，那就是系数成比例。好，二 栏目的比一等于一比喵，你们小学都学过？比例的性质叫内向知己等于外向知己，所以西过 啊。好，然后看第六题啊，密函数，密函数的图像与 m 轴外轴都没有焦点，那你说这句话意味着什么？这句话 啊，与 x 轴没有焦点，那你想一个图像，他与 x 轴如果没有焦点的话，那是不意味着 y 不能等于零，这个没问题呗， 与 y 轴没有交点，相应的就意味着 x 不能等于零。那所以我现在得出了这个密函数的应该算第一个信息吧，就是定音域里应该没有零，这对吧？好，定音域里没有零的话，那你想什么样的密函数定音域里能没有零呢？是不是应该是 x 的复数字法？ 这个没问题吧？好，所以这段话啊，我刚才读完了，翻译成这道题，应该是 x 的复数次法。那图像又关于 y 轴对称相当于啥呢？它得是个偶函数，那密函数什么时候能成为偶函数呢？就得是 x 的偶数次法，它才是偶函数 啊。那所以中上所述，我把这两个条件都读完之后，这道题，这个 fx 应该是啥呢？应该是 x 的复偶数。吃法 啊，那做到这之后，下一步呢？因为毕竟他是选择题，他也不要求我写步骤啊，我不管用什么手段，我只要把这五分给他揣到兜里，我就胜利了，这个没问题吧？ 好，那所以说接下来啊，我会选用一个相对比较省力的方法，我去，代数对吧。啊，选这个题得费那个劲干嘛呀啊？去一步一步算， m 方减二， m 减三， 等于一个负偶数，那你说啊，他可以等于几呢？咱们试一试，反正就眼巴前的这几个偶数，负二啊，负四负六啊，那你看负二带进去呢，我一个项之后 m 方减二减一等于零，这没有那种没有整数根，对吧？ 那我是负四啊， m 方减二， m 减三等于负四， am 等于一，确实是有整数感的好，没问题。那所以说这道题啊，我这个 fm 就算出来了，应该是 x 的负四次方到，这能看懂吧。 那所以相应的 g x 就是 x 的负四次方减八。下边选项问 g， x 是零点所在的区间，这种题也给你们讲过好多道，怎么办呢？就是带两个端点，两个端点如果一正一负啊，说明在这个区间的两头 y， 一个是正的，一个是负的，那中间那肯定经过什么？经过 y 等于零，对吧？这叫零点存在性定理，这都知道，对吧。那我带一下啊，我看啊， a 选项零那头取个极限的话，应该是肯定是正的了， 四分之一带进去四的，四的房子好几百了，对吧。减八，正的二分之一十六减八啊，得八也是正的，好一呢啊，一带进去是负的了，所以相当于二分之一带进去是正，一带进去是负。好选息过 现在啊，看一眼表，用了，我刚才是不是四点整开始录的啊？用了七分钟啊，前六道题我已经做完了，当然了，如果我自己答卷，我会比这快的多，因为这我得边做边给你们讲，所以大家现在能够理解为什么我我五十分钟能答完卷了吧，而且我针对的是高三的卷，高一卷我会答的更快。 好，我看看七啊啊，积函数零到正无穷，是减函数 f 二等于零啊，这种题啊，这个模型太常考了啊，如果你们做题做的多，这个函数图像应该不费劲啊，就能画出来，他是不是应该是这么个型 啊，他是不是应该是这么个写，然后让你去解这个不等式，如果这道题是填空，我只能去一点点，按部就班的去算，但是这道题是选择呀，而且是单选呐， 对吧？那所以呢，我会想，我会思考一个问题，我怎么做能把这个分以最快的速度稳稳的给他揣到手里啊？那我看一下啊，减函数我想一想啊， f 二等于零。哎呀，那你们帮我想一个问题，你说当 f 是特别大的时候，比如说 一百的时候啊，那你看 f 九十六肯定是个负数对吧？除一百是不是，那也肯定是个负数啊，那所以相当于正无穷 在正确答案中一定是有的。好，那我看一下，那只剩四 d 了呀。哎呀，这个题他没想，难为咱们啊，这个干扰项的破绽啊，出的很明显。好，那直接我就选四 d 走了啊，这是万无一失的对吧？这是万无一失的，绝对不可能有任何问题的啊。我说 理解的莽绝不是像你们那样什么三长一短，什么三短一长，我如果一道题走到啊用非常规方法做的这个啊步骤上去，那我一定是能够确保自己得五分的情况下我才会这样去干啊 啊，第八题啊，这也是非常常考的一个类型对吧？好，咱们直接画图像就 ok 了。 图像我先画好，画的那边先画那个 log 啊，对数那边，对数那边以二为底，哎，对数的绝对值。这个你要是做题做的多呀啊，背都背下来了对吧，图像长这样 好，然后左边呢，我看一下啊，三分之一 x 方加三分之四 x 加一二点数，我给他提个供电式这样式的。啊， 那我画的图像应该是负三，负一是零点，是不是这样的，然后大概就这样的，这块是实行哈。对，是实行负三。 破译好，图像画完了，那现在呢， m 这个横线与 fm 是这个曲线啊，有四个焦点，这个线大概在这。好，那我看一下这道题啊，他问咱这一堆的范围啊， 啊，咱们怎么去算呢？我瞅一眼啊，问咱这一堆的范围。好，这个 s 三乘 s 等于一，这个不用我多说吧。啊，我的学员们肯定对这个事不陌生啊，因为我讲过这种类似的题。好， 然后呢，那咱就可以把要求的东西翻译成求他的范围了对吧？好，那我看看下一步啊，这个东西该怎么办啊？呃，想一想 这题我能不能省点劲呢？我不去正常算，我也通过投机取巧的方法把这个答案啊给他整出来，我试一试啊， 想一想 x 有个负二这个数，这三个选项里都出现过。哎，咱们这么分析，你看啊，我想偷懒 啊，我相信你们一定也和我一样想偷懒。那咱这样呗，咱从选项入手，你看四个选项中有个数出现了三回负二，看没看着 好出现这三回当中啊，有两回是 b 区间，一回是开区间。那我就看看这道题，当实际情况取到负二的时候应该是 b 区间还是开区间。我瞅一眼啊 啊，我看看这个时候是不是负二啊，我试一试，如果说这个 m 等于一的话， m 等于一的话，那相应的应该是 x 一等于负四。 x 二 等于啊什么呢？负啊， x 应该是等于零的，对吧？好，那 x 一减 x 等于负四，负四加一加一， 哎，这个时候正好是负二，对吧？那负二这边你看，因为这是个时间，他是能取到的，所以啊，二 b 已经不可能对了，而且负二是一个边界情况，因为这个 m 这个直线最大就到这个什么呢？到这个位置再往上走就不是什么不是四个焦点了，对不对？所以 啊，负案一定是个边界，那湿地也没了啊，所以就剩什么了？就剩 a 和 c 了。那 a 和 c 咱再看看另一面的边界应该是啥？另一面的边界那啊，这个直线最高是上到这，那最低呢？最低是不就下到 l 轴这块，而且应该是个开区间，对吧？那我看看此时是什么状态。 此时的话， x 一等于负三， x 二等于负一。好，这是负三减负一负二啊，加一啊，此时 m 是零，好，等于负一，而且开学前取不着，好，直接吸， 你看，我没有正常的去用那种按部就班的逻辑去算，我用最快的速度把这个题啊选项给他推出来了，你看，所以说啊，看看我刚才选这个答了多长时间啊？十八分钟，我是边给你讲啊，然后呢，我边去写，而且中间我还接了一个电话啊， 好，来，然后咱看第九题啊，一百名学生组成一个方阵进行表演，他们按照啊谢男女的 pm 啊，男生的比例吧，对不对？ m 这里边是多少个人？十八加十三， 五十二个人一百分之五十二，对吧？错了， m 加 f 等于一，那肯定的呀，啊，男生和女生加一起，那肯定是覆盖总人数的啊，这二 b 啊，这是非常简单的选项。好，然后咱再继续看啊，继续看这个 c 呢，这玩意能不能不挡它这个 c 呢？ fg 三 好， f 是这个， g 三是这个啊， f g 三十嘛，对吧？十除一百十分之一好， m 加 g 二，我看啊， m 加 g 二 总共是多少个人？这是 m， 这是 g 二，那就是十四加二十加十八加二十一，算一下，三十二，四十一，七十三。好，五分之一错了吧，必须过啊，看第十题。好，第十题啊， a 选一下 f 二 x， 我看看等于啥啊。二分之一的二 x 加一的负二 x 好， f 乘积等于啥呢啊，哎啊， f 二 x 是吧，中间那是减号 啊。 f x 乘 g x， 那应该等于四分之上面平方差呗。 e r x 减一，负 r x 你看差个二倍，哎呀，没了。 好，然后咱再看二 b 啊，二 b g 发减 f 发等不等于一，这二 b 咱平方差吧，我觉得平方差比较好算啊， g 减 f 乘 g 加 f， 我看看等不等于一啊。 g 减 f， 那就是我看啊， e 的正 x 减没了，剩个正好，剩个 e 的负 x， 那 g 加 f， 相应的就是剩个 e 的正 x， 哎呀，相乘正好等于一二 b， 对了， 好， a b 结束了，我擦掉了啊，我擦掉了，然后给你们算 c 和 c d。 我看看西啊， g 二 x f 方 x 应该是啥呢？我瞅一眼啊， f 方 x， 关键平方公式呗。 啊 f 哈，减好，他说 f 方 f 是加二分之一，那加个二分之一之后，那就是四分之 啊，这是 f 方 f 是，然后再乘二呢，那就是啥呢？这样的 啊，哎，正好等于 g 二啊，这是看没看出来好，这其实就是考一个基本的多项式运算啊。其实与其说是高中题，不如不如说是初中题啊，好看，四弟 四弟啊啊，他又提到 g r x 了，那咱可以用西里的结论呐，对吧？咱可以用西远一下的啊，研究成果呀，对吧。那就是这样的，二 f 方 x 加一加 f x， 是这样式的 啊，这样式的。好，那咱要算他是不是小于等于八分之二十三，那我先算 f x 的范围吧，这小 f 很明显他是单调递增的，因为你增减减嘛，很明显是单调递增的， 那所以 f x 的范围呢？就是最小就是 f 零，最大就是 f 蓝牙这样式的啊， 所以呢，相当于啥？ f 零，那就是零吧，然后 f 拉音二呢，那就是二分之二减二分之一啊，那就是四分之三 啊，这样式的，这是小 f 的范围。那接下来这不就是个普通的二次函数题了吗？相当于我这个 y 呀，等于二 t 方加 t 加一 t 呢，是零到四分之三。那我算一下子哈，这个歪的范围应该是啥？那就是最大值啊，这也是在零到四分之三单调递增的。你肉眼观察都看出来了。 我把四分之三带进去啊，就是最大值二乘八分之啊，八分之九，然后加上八分之六加一八分之十四，正好八分之二十三必吸力。好，这题结束了，过能看懂了吧。 好看，十一题啊，七函数看基友性是吧。那我这题我就用定义吧，或者说反正咱代数倒也行，但这题用定义也不麻烦。我用定义得了啊，用定义啊， f 负 x 等于啥？ 我先看定义玉啊，定义玉呢，他有绝对值了，我不用关注负的这个现实条件了，那就是他只要怎么办呢？只要啊， 他啊，绝对是理这一堆不等于零，然后有意义就行了。那就是满足他，再满足他就行了 啊。所以定义域是 x 不等于正负二分之一啊，没毛病，定义域确实关于原点对称，我可以接着往下算啊。赖啊，那就是相当于什么呢？ f 负 x yeah， 没问题吧？那你看 f 负 x 加上 f 正 x 等于啥呢？ 没问题吧？你看一约正好等于烂人乙等于零。好， a 对了，二 b 错了，然后咱们来看 c 啊， c 选一下，问 f x 值域是否为二。那其实呢，我就是想看一看这个东西啊， 他能否吸引一下哈，能否取到全体证书，这个没问题吧？好，那咱看一下啊，我给他 啊，分离常数，我看看他能否取到全体正数啊。分离完常数之后啊， 咱算一下这个范围啊，二 x 减一啊，分之二，他的范围是负无穷到零并上零到正无求，加个一之后，负无穷到一并上一到正无求，这个没问题吧 啊，这是相当于这个整体他的范围啊，那我加绝对值之后，咱想想能不能取到所有正数啊。首先零到一并上一到正无穷这里的数啊 啊，不加绝对值直接也能取到，唯独差一个一。那差一个一的话，你这范围里有负一啊，加完绝对值之后是不是就变成什么了，变成正一了，对吧？所以说呢， 这个东西加完绝对值之后就是能取到全体证书的，或者你如果说感觉理解困难，你可以换图像吗？这个图像不就是一个反比例函数平移出来的吗？然后你再翻一下啊，也能得到这个正确的结果。好， ac 都对了， 然后再看四弟啊，还有个四弟。那我终究还是逃不开，图像还是得画一遍。那我就画一遍吧。好，我先画他的图像。这赖人我不带了啊，因为我要看单调区间的话，赖人本身。他这个增函数同征一解啊。那其实单调线就取决于里程函数了。 我画一下啊，先画谁呢？先画这个啊，他的图像那也就是一加上啊， x 减二分之一分之一的图像，这图像怎么画呢？咱们看一眼啊，怎么去画。 那就是 y 等于 x 分之一又一二分之一在上一一。是不是这样的 啊，我把上面这箭头擦了，搁这块有点影响我发挥啊， 然后啊，大概这样的。好吧。然后呢，我要加绝对值，那加绝对值所起到的效果就是 l 上方的部分啊，一律不动 l 下方的部分啊，我给它翻上去， 这样的，对吧。这样的。好，那咱看一下这个单调曲解啊，这块应该是啥 啥呀，咱想一想。这块应该是啊，他等于零的几啊，那我去解一下啊，他等于零的话，那应该是矮的负二分之一啊，所以这个东西其实正常来讲应该在负半轴上，无所谓了啊，咱们 这个不影响咱们做题。好，所以减去减。那我看一下负无穷到负二分之一，然后呢，二分之一到啊，正二分之一到正无穷没毛病，是不是 a c d 啊，好选择，我就给你们讲完了，回去之后你们帮我对个答案啊， 这个十二题他考的是一道物理题对吧。这道题啊，我觉得是这次出题当中的一个事故吧，这怎么能把物理题放数学卷里呢啊，这应该是出错了吧啊，我觉得这十二题是本市 出卷的一个重大的事故，这道题我拒绝作答啊。物理题，你把物理题放数学卷里这种可能性是在高考中绝对绝对不存在的啊，你要文科生怎么办对吧。这是一道纯物理题啊，我过啊，拒绝作答 题出错了啊。这道题在我这上课的同学一定不陌生啊。这道题呢啊考察的点就是两组数据混合的期望和方查。我是给你们写过公式的啊我是给你们写过公式的。那咱们看一下 在我给你们啊上课的时候讲的那个公式里边啊 x 方种等于啥呢？那个公式大家帮我回忆一下是不是这样的。 这是我给你们讲的一个公式， 这没问题吧对吧，那咱们把数带进去就可以了呀，对不对。 m 加嗯个数呗。啊，一个是二十一个是十那就是三十分之二十乘啊。第一组的方差好加上 五减，那我算一下这个 g 八等于啥啊？整体的平均数。整体平均数二十乘五啊，加上这个十乘八除三十啊，那就是一百八除三十六啊。整体平均数是六 五减六的平方加上三十分之十对吧。 s 法 s 二法 s 二法十四哈加上啊，歪法八减六的平法这样式的，所以等于啥呢？ 十四加四啊，等于多少呢？ 六加六是不是啊？十二吧啊，你们有空帮我对一下答案看是不是十二啊。啊他还考样本平均数了啊，那就相当于啥呢？六啊，六十二回去帮我对一下看我算的对不对啊，好过记得点赞关注啊。十四啊， 抽样按住的题对吧？抽样按住题的核心呐，就是负值，我看看这题怎么负哈，咱们应该得求解一式我感觉，那我就先把 y 设成 x 吧。 啊，那相当于是把这四能变成什么？二倍 f x 加二 x 方等于 f 二 x 啊， f x 啊，我先不除二了吧，我先看看后边这个条件怎么去翻译啊，想一想这题怎么做好。嗯， 我把这里的 x 也换成二 x 吧，那相当于是 呃负八 x 立方哈 f 二 x 分之一这样处理一下啊，那既然这样的话啊，那你看你根据这个式的啊，你根据啊， 根据这个式子的话，那你想咱们现在 f 二 x 分之一啊， f x 分之一吧，应该等于什么呢？应该等于二倍的 f 啊，二 x 分之一加上 x 方啊，二 x 方分之一是不是应该是这样的？就是把这个是里边所有的 x 换成什么呢？换成二 x 分之一应该能得到这个东西，这个没问题吧。 啊，那所以说呢，我往里换一下，那就是应该等于负八 x 的立法乘啊，相当于是二分之一 fx 分之一 啊，然后呢，再减去四 x 方分之一这样的，这样式的啊，等于负八 x 立法，然后呢，这里是二分之一 fx 分之一等于啥呢？这个应该是等于啊，负这个 x 三次方分之一乘啊 fx， 然后减去四 x 方分之一这样式的。那所以说呢， 咱们给它化减一下，看看能等于什么啊。化减一下应该是等于 啊四 f x 呗。啊，负八乘二分之一乘他挨的地方越掉了哈，两个负号，这块是负八负四二哈二 x 呗，加二 x 这样的，然后左边呢 f 二 x 还等于他，那我换一下， 对吧？所以呢，啊，我把解析式解出来了， f x 应该等于什么呢？咱们看一下，一个项之后， f x 应该等于的？是啊， x 方减 x， 那这回呢，这道题应该就迎刃而解了，我看一眼， x 方减 x， 那他这相当于是个 f 正 x 减 f 负 x， 那不应该等于，我看看啊，正 x 方负 x 方减没了，等于二 x 吧， 是不是应该等于二 x， 那所以说啊，在，哎，等会啊。啊，负二 x， 对吧。那所以说这块应该是什么呢？负二零二六， 那 f 零呢？等于零，所以答案负二零二六。这题做完了啊，这题做完了，这是十四题啊，刚才这些题里，我觉得唯一一道相对有有一些难度的题啊。好，然后咱们过回去之后，帮我对下答案，看看对不对啊。看一下， 阶梯电价，百分之七十五在第一阶梯内，百分之二十在第二阶梯内， 求 a b 的值， a b 是那个阶梯的分界点，是吧？那这个题实际上不就是求百分百数吗？给直方图求百分位数，我是不是天天给你们讲，对吧？那咱看一下啊，给直方图求百分位数，求百分之七十五分位数，这个是百分之二十五，对吧？ 这是百分之五十哎，那加一起之后，这块正好是零点七五那个点，所以，哎，就是什么呢？二百呗。 然后啊，第二阶梯的那个右端点，应该是百分之七十五加百分之二十，百分之九十五分为数，对吧？所以呢，应该是三百啊，所以 b 等于三百，这样的 a 等于二百， b 等于三百。那所以第一问就结束了呀。 啊，很简单，那第二问呢？ f x 的解析式，我看一眼解析式 fs 是啥呀？找一找。 fs 是啊， 电费，对吧？ f l 等于什么呢？咱看一下电费和用电量之间的关系啊。 第一阶题哈，那就是第一段肯定是个分段函数了，含 aa 是二百哈。嗯，零点五乘用点列，对吧？然后呢，第二段，那就是二百到三百， 那应该是什么呢啊？那就是零点五乘零到 a 的部分 啊，然后加上什么呢？加上零点五五啊，乘 那超二百的部分。那我换一个减，看看应该等于啥。咱算一下啊，一百减去一百一吧，然后加零点五五 x， 对不对？那就零点五五 x 减十啊，我直接在这上改了，好吧，省点空间啊。 然后呢，看看这个 l 大于三百的时候啊，大于三百的时候，那就是相应的啊，前两百啊，前前 a， 前两百 电费呢？总共是两百乘零点五一百啊，然后二百到三百的电费是啥呢？二百到三百的电费是一百乘零点五五五十五块钱，那总共就是前两阶梯，我花五十五了，花完五十五之后，第三阶梯是啥呢？零点八乘 l 减三百，这是第三 三阶梯。所以呢，都加完之后应该是零点五 x 啊，相当于什么呢啊？零点八 x， sorry 啊，减二百四啊，加一百五八十五吧，是不是减八十五啊？应该是这样的一个结果啊，应该是这样一个结果，这是框二 好看，科二三，每月交一百九十五元电费。我怎么感觉初中数学也考过类似的题，是不是 每月交啊？本月交费一百九十五元。那咱看看应该是哪个阶梯啊？咱刚才算出个一百五十五，那说明干啥呢？前俩阶梯我把店干满 才一百五十五块钱。那你如果说电费达到一九五了，肯定是你用到最高那个阶梯了，第三阶梯了，所以这个一九五啊，他肯定只能对应什么，只能对应这段对吧？那 所以说相当于就是零点八 x 减八十五等于一九五，那零点八 x 等于啥呢？一九五是二百八对吧？ x 等于二八除八三五零，对吧？啊，应该是三百五啊。然后咱们看一下这道题，回去帮我对个答啊，我现在手里还没有答。 然后呢？咱们继续往后啊，继续往后。好，看，第十六题啊， fg 给了两个函数解析式对吧？ a 是他必是他。括号一啊，括号一。对于括号一来讲，人只看这块就够了，这个东西应该是得分类讨论了。那我算一下，这种题很容易漏。情况啊，好，第一种情况啊，括号一哈啊，我先验证分解吧。先验证分解 这东西很明显是能十指相乘的啊， 那就是 x 七十等于 a 和先令它等于零啊，先令它等于零， a 和 a 分之一吧。好，第一种情况呢， a 如果等于零， a 如果等于零啊，这个结果应该是啥？咱分类讨论一定是先讨论最好解决的那个情况啊。 a 等于零，这个不等式变成负 f 是小于等于零了，那所以呢，就是 f 是大于等于零，这个没问题吧？ 好，那如果我看一下啊，哎，大于零的话，哎，大于零的话呢啊， a 大于零的话，那相当于是小于在中间了。那他俩谁大谁小呢？这还得分类对吧？ a 大于零当中，咱还要分三类，那就是应该是啊，他俩是 a 等于一的时候，等大，那就 a 大于一， a 小于 a 等于一吧， 三种情况啊，那当 a 大于一的时候，是 a 大了，那就是这个结果啊， 你们做答案的时候啊，写集合形式，不要写区间，他明确的问集合 a， 我这是讲的时候，为了给你们省时间了啊，那相应的这个就是他，对吧？那 a 等于一的时候呢？咱直接解一下就行了。 a 等于一的时候，这不能是变成他了， 那就是小于等于零。解题直接就是啊， l 竖线 l 等于一呗，或者直接不 s 竖线也行，解题就是一，这个单元 是不是也可以？好，这是我把什么呢？ aa 等于零和 a 大于零都讨论完了，最后还剩个 a 小于零， a 小于零，那反而变成小于在两边了，对吧？小于在两边啊，那这俩东西谁大谁小？然还得去分类，分什么呢？ a 等于 a 分之一是负一好，负一是记。 那我看一看哈，首先我先算最好算的，等于负一等于负一的话，那变成了啊， 这样的，对吧，那就是这样的。解题应该是全体实数吧，对吧？等于负一的时候，解题应该是全体实数啊，那小于负一的 的时候呢？这俩东西谁大？我带个数验一下就行。哎，等负二的时候，负二负二分之一，他大。好啊，小于这回这两边那就是小于小的，大于大的啊， 我简写了啊，考试时候你可千万别像我这么写啊，一定要写规范，那相应的这个就是 对吧？啊，这道题呢，咱们应该算完了。好，然后咱们大概检查一下啊，瞅一眼 啊，等于零的时候，我想想啊，等于零的时候是大于等于零啊，应该是没有啥问题的，回去帮我对一下答啊，如果我算马虎了，到时候你们评论区告诉我一声啊。然后最后一定要写小结，这道题几种情况呢？一二三四五六七， 应该是七种情况，最后写个小节圈，圈一圈二圈三圈四圈五圈六圈七啊，这个事一定要注意啊，规范会做的题，一定要咱们让他得满分。然后看框二框二， a 等于二，求 a 并 b。 那你看这刚才这里找 a 等于二对应哪段等于二 在大于一这里对不对？那七和 a 直接咱们就求出来了吗？啊，括号一的这个啊，已经得到的这个结果啊，咱们是要想着用的 b 是什么呢？ b 是我看看啊， x 属于 a 的时候， g x 的值域，那好 相当于。是啊，这个 g x 哈，那就是，那我先把 g l 解析式写出来，这样不太行哈。 g l 解析式啊，那就是 log 二 x 加二加上反函数，这反函数我得算一下啊，怎么算反函数呢？我先把原函数抄一遍， x y 互换一下， 然后呢，我再把它归拢成正常函数解析式的那种形式啊， 好，算完了，这就是他的反函数。那然后呢，我想一想啊，然后啊，咱要求值域，求他在 x 属于 a 上的值域就是 b， 是吧，那咱们，哎，这个东西很明显是单调递增，这能看出来哈，直接带端点就可以了，那就是， sorry， i didn't catch your name earlier。 一带进去应该是 是这样的，这样的啊，这个是 g x 的值域啊，这个就是即刻 b， 对吧？然后他要求 a b b a b b。 那就应该是 b 级哈，同大取大同小取小呗。 烙个二三和一。那很明显他大，所以右边啊选他。那左边呢？我比一下这个东西和二分之一谁大。我想一想怎么去比啊。那咱比较大小最直观的方式。做叉呗。我剪一下哈。 加根号二他给估计值了吗？这不给也应该能背下来一点四一四嘛。啊一点四一四二我写一点四一就够了，然后减二点 二五吧。前面那他给没给啊。他给这个了，给这个之后。那我可以换题公式，你看这个东西等于什么。他等于的应该是烙个二五减一啊，后边我就不抄了。等于的应该是 lg log 五除 log 二啊，那就是一减 log 二除 log 二，然后这回我再抄后边啊。减一加一点四一减二点五那就是相当于 log 二分之一啊。减二减四点五呗。 加一点四一呗，这样式的呗，对不对。好，捞个二约等于零点三对吧。那零点三分之一是啥？三分之十是吧。 减三点零九吧。三分之十和三点零 有谁的。三分之十应该是三点三三三是不这样的。那就是啊大于零对吧。所以呢他减他大于零，那就意味着他比他要大啊， 从小取小的吧。那所以啊，左端点应该选什么呢。应该选二分之一，所以最后并完之后应该是他啊。回去之后啊， 你们帮我去对一下，咱们检查检查啊，咱们检查检查，看看有没有问题啊。瞅一眼，做完大题之后咱们要看一眼啊。金额哎嗯 哎，等会二分之哎。这块是二分之一到二十吧这块是二分之一 到二是吧。啊 a 分之一到 a 抄错了啊，做的有点着急了，那我看看下边相应的得怎么改。 哎呀，解一是不用动，这块我得改换个色啊，这一这个一，我得改成二，那这回我带二吧，烙个二，四加这块改成四啊，这块需要改 啊，那好像改这些就够了，左端点仍然得比右端点，这回是四和二了，同大取大这回，那这块应该最后结果应该改，是不是？那应该是二分之一到四，回去之后你们帮我看看是不是二分之一到四啊。 好了，那咱们呢，现在就结束了啊，这是十几题呢，这是十六题，然后咱们再来看十七啊，十七啊，向量的题，咱们 我一下啊， a i 不等于三分之二 a c， 求 a b 比 a e 的值，那我可以，既然他要求这个值，我可以设呀，我设，比如说我直接设项链的比就行， a b 等于喇么的 a e 可以这么去设，对吧？ 然后呢，现在是 p， 是三等分点，对吧？那就是 三等分拣的结论给你们讲过，离谁近谁岁数大。三分之二，三分之一啊， 然后 ap 还等于什么呢？ ap 还等于什么呢？咱们再运用一下 epf 三点公线啊，那就是等于 tae 加上一减 taf， 对吧？那就是 t 乘栏目的分之一 ab 啊，加上相当于什么呢？这个一减 t 倍的 af 啊， a f 的三分之二 a c， 那就是这样的，到这可以理解吧，那我想一下，那就是 a p 既等于这些 a b 加这些 a c， 又等于这些 a b 加这些 a c， 那很明显就是要怎么办呢？系数对应相等，那就是， 那我解一下哈，一减 t 的二分之一， t 的二分之一二 二分之一除几，那得三分之二呢？我想一想啊，二分之一等于三分之二了啊，不得四分之三，是不是四分之三？第一问啊，咱们做完了啊，检查检查，看看能不能有问题。 a b b a e 四分之三嗯，一瞅大概也差不多啊，这种题我告诉你，考试时候你可以怎么检查，你可以拿尺量，你可以量着检查啊， 好这些啊，省时间的。这些歪门邪道，这些技巧都是我原创的啊，都是我原创的，你如果看啊，有人在这个啊网上发布的比我晚，那他就是可以说理解为是抄袭啊。 画完啊，咱们瞅一眼，我把黑板擦了吧。 这个题咱们要怎么做？想一下啊， a c 的 lamp 的 a f a b 的 miu ae 仍然是用贡献呗，对吧，看看啊， a p 然后呢 a f 我看看啊 e p f 三点共线 对吧。那么相应的，咱仍然是用系数定向的啊。 其实对应相等，那就是三分之二等于 mu 分之 t， 然后三分之一呢栏目的分之一减 t， 那我最后要求的是栏目的缪的这个啊事，那所以 t 是多余的对吧？ t 是我自己引进来的，那我就这样的呗， t 等于三分之二缪， 然后呢一减 t 等于三分之一喇么的我把这个 t 消掉，那就是 这样的，对吧，相当于我给他稍微画个减呢。是这样的好，也就是说啊，前边 这一系列的信息黄色的部分最后翻译成白话文就是这句话啊，那所以这道题咱给他改写一下。改写成什么呢？已知二喵加喇么等于三求啊喇么的加一分之一加二喵分之一的什么呀？这个最小值，那我可以换元啊， 我可以换元啊，我把这个栏目的加一啊，换成，比如说 a， 然后呢，这个二喵啊，换成 b， 那继续翻译，这句话相当于变成啥了？变成，求 a 分之一加 b 分之一的最小值。前面是什么呢？ m 的加一，那就是 a 加 b， 应该是等于四了。翻译成这道题了，这是这道题我翻译到最终的形式，这个没问题吧？好，那接下来咱们就可以算了，一的逆代嘛。啊，四分之一 a 加 b 乘 a 分之一加 b 分之一，等于啥呢？四分之一乘二加上 a 分之 b 加上 b 分之 a， 那大于等于应该是一吧。回去之后你们帮我对个答案，看看是不是一这道题啊。答案应该是一，好，那咱们接下来继续看十八题啊。 十八题括号一。这要是除选乘填空，直接就能看出来 a 等于什么的啊。应该是正负一，然后他说也大于零等于正一，这我教过你们，结论在我视频里有，去年发的啊。 那如果咱想按部就班的做，那也很简单，那就这样做吗？ f x 加 f 负 x， 哪个零给你们做一遍啊？啊， 对吧？ log 三，它加 log 三，它等于零，那就是给它平方叉吧。这个东西横等于零，那就是 这个东西横等于一，对吧？那所以，哎，等于正负一，然后呢？对吧？所以最后留什么？留正一舍负一啊，咱就做完了。好，这是啥呢？括号一，然后咱先来看括号二啊，看括号二， 判断单调性并证明啊。这种题啊，是两个问题，一是判断，二是证明。你先给他判断一下，判断完之后你再去证啊，这样的话最起码你能得一个判断的分，如果你不会证明的话，怎么判断呢？咱带俩数就行啊，你看 f x 等于 露个三，根号 x 方加一减 x， 你带俩数，比如说 f 二，对吧？露个三， 根号五减二，然后啊，这个 f 比如说六啊，是唠个仨，根号三十七减六。那你看根号五减二，等于的是根号五加二分之一，根号三十七减六等于的是根号三十七加六分之一。 很明显，分母来看是谁呢？分母来看是他的，所以整体来讲是他的。那所以 f 二比 f 六大，他是单减的啊，他是单减的。那如果写步骤怎么去写？我给你们写一遍啊。稍等， 你先把单调递减这几个证给他写上判断的分就到手了。二分啊，这种题正常都是给二分，你们有 评论瞄准之后可以看看是不是正正常。这种都是啊，那证明怎么去写呢啊？证明冒号 任取 x 一， x 二属于啊二，对吧？起 x 二大于 x 一这套话。我在啊，给你们上课的时候啊，我总教你们折 f x 二减 f x 一等于，你就开始写呗，对吧？ 三为底啊，比如说根号 x 二方加一减 x 二减去啊，漏个三。根号 x 一方加一减 x 一好，等于啥呢？等于以三为底啊，给他这样一下吧，好，算 x 二哈，然后减去 这样的，对吧？然后我给你跳一步啊，中间的符号啥的都能啊，就是我给他相当于唠个 a 减，唠个 b 等于唠个 a 除个 b 嘛。我给你跳一步啊，那就变成啥了呢？变成这样的了， 这样的了，对吧？那咱看一下这东西是正的还是负的？你现在 x 二大于 x 一，这分母肯定是大于分子的。 所以啊，我荧光笔画这一堆要怎么样呢？荧光笔画这一堆要小于一，所以整体就是啥呢？小于零的。所以你看第二问啊，咱们就做完了啊，第二问咱们就做完了，然后看看第三问，这第三问可能能难一点。我把黑板先擦了 啊，先擦了。 求证。对于任意的，任意的， 那就是比如对于任意的一班同学，任意的二班同学，一班同学永远比二班同学矮，那是不就是一班最高的同学要比二班最矮的同学要矮呀？这个也是在我去年发的比身高那个视频里 啊，你可以找到相应的这个答啊。那然后啊，我想一想这个题接下来应该怎么做。那我求最直不就行了。先求他啊，先求他，他的最小值是什么呢？ 他的最小值，这是个偶函数对吧？偶函数 x 大于零的时候肯定他是单张了，偶函数根据他的镜面对称对吧，那小于零他不就得递减吗？那很明显 最小值是啊，在零那块取的，所以就是什么就是四百啊，哎，是谁？不，不对不对不对啊，三的零四方加啊，零的平方一啊，应该是一， 所以这道题翻译成啊，他这是个正名题是吧。啊，那相当于我现在只需正， 只需正小于等于一啊。最大值小于等于一， 那最大值是啥呢？刚才咱算出来它是单掉地减了。那所以最大值是不是就是左端点 f 负三分之四，所以计证什么呢？计证 f 负三分之四小于等于一，这个没问题吧 啊，记证 f 负三分之四小于等于一，那所以说呢啊，咱们看一下 f 负三分之四， 咱们带一下，应该是唠个三啊，负三分之四，九分之二十五，然后啊，加上什么呢？三分之四，三分之五加三分之四等于一，你看最大值正好是一，所以这道题完美结束啊，记得点赞关注啊。

咱们今天呢，跟大家来分析一下我们高一期末这个联考卷，就是二中省实验外国语文里高一期末这个数学试卷。这个试卷啊，我这个详细做了一下，整体的难度的话呢，属于是前面的选择题比较难， 后面的监控题和解答题的话呢，难度上可可以接受，但是问题就在于我们把难题放在前面了，很多同学打着打着心态可能就崩溃了啊，你比如说前面啊，前三个题 啊，比较常规是吧，正常答就行了。第四题的话呢，本来以为啊，这个散养二零二六可能会比较难，需要计算了，因为另外两个值的话呢，一个比正一大，一个比负一小， 所以说中间这个正弦值不用算啊，这个挺好。第五题，求正切的值啊，正切的这个范围正常没有问题。第六题，一个指数密计算啊，指数对数的这个计算是吧，可以互化呀，怎么的可以通过指数计算就能完成这个事啊，只要审题审细了，基本上问题不大啊。 第七题，这个题的话呢，相对来讲复杂一点，但是这种类型的题的话，你说平时练没练过呢，也练过对吧？啊，这个函数是单调啊，完了之后是 奇函数去法则，最后的话，咋的呢？在这个式子当中有口算二谁的，但是你得把算谁的范围求出来，再去求啥呀？口算二谁的范围，所以这个希望有难度，但不是说呃，难到不能做，那这样比较麻烦。算是第八题的话呢，是负函数的零点 啊，图像画出来，正常去做操作一下，特别是啥呢，如果能看出来换元之后，这二次函数能沿着分解，那就贼简单， 你要没看着音质分解器限制可能会麻烦一点，是不是啊，这样这种类型的题的话呢，咱们以前是讲过啊， 基本上给咱们讲的题差不多都一样正常的，是吧，咔咔，现在第七题这样一解释，第八题这样一解，是吧，就可以了。九题的话呢，难度还算可以， 只不过说需要大家的基本功非常扎实，因为四个选项相当是四道题，你得把每个题都能精准的快速的是吧，判断做出来。第十题的话是比较难的，算是三角函数变幻，所以这个第十题啊，估计很多同学可能会感觉确实难。这个题啊，第十题， 十一题，这个题的话呢，怎么说呢，也有一定的这个难度啊。第十题，十一题比较难，七题八题 是吧，整个你看前面这些题一做了，感觉有点蹩手啊。有，所以说心态上可能就发生一些变化，有可能做完选择题，大家花了一小时特别浪啊，花了很多时间，后面哪位呢？即便是会想答， 那可能也没时间答了，有可能会出现这种情况啊。二十三题吧，算是常规的问题，难度不大对不对？四题的话，虽然说是新定义，但是你能够咋的耐心的去做一下，而且真是的基本功扎实，那这题做起来的话呢，难度还行 啊，是毕竟是新定义吗？很多同学坐到这的话，可能咋的都已经啊，心态上已经彻底啊，就崩溃了，有点 就不一定能仔细耐心的把题审好都有可能，这样十五题算是常规。所以说大家你像这次考试题，如果哪个学生要是呃这个先答大题，有可能这个试卷考的挺好 啊，大家大题非常常规十五题，常规十六题的话呢，也不算多难，但是整个题这个面上看啥呢，好像都挺新， 就是起点很高，但是落点很低，就乍一看好像离我们很远，但是细一做呢啊，别看宏观，看细节 戏，做一个知识一个知识，一个条件一个条件去整。哎，这集还行，这不是说难道他会崩溃，明白吗？各位家长啊，各位小伙伴，是这样的，十七集涉及到这个什么的三问就问题比较多啊，三问完之后记函数还得用定义来证明是一个纯函数的问题。第三问的话呢，双参数的 这种横乘力问题，嗯，带指数，还是说这个计算量比较大？十八题吧，我本来乍一看以为这个题挺难的，但十八题做着做着发现，哎呀，好像也行 啊，就是我一开始一看好像瞅着挺复杂，但是去做一做的话，那你看也行，但是关键一点啥，就是你的基本功，基本功，基本功，基本功。 啥叫基本功？就说这记函数立刻反应咋地。二，斐四分等于二分之三拍，所以斐四分三拍马上出反它的基本功看，比如往这去带，降密化简，三角式子的化简，咔咔就化简每种形式怎么办？这个是基本功，就是你对于每一个 基本知识、基本题型、基本概念、基本计算好，那做这种题就六，你说难不难？确实不简单，但是基本功扎实，做起来也能挺六。就这样的十九题的话呢，咱们呢，形式上复杂 算是一个新定义，在期中考试上，很多学校就出现了这个题，也是在十九题的位置出现的，所以的话呢，他也是难在什么呢？一个是难在有点心上，平时大家没咋接触，另外的话呢，就难在这个式子变形和计算上。纵观我们这个联考的这个二中，省实验外国语啊，文理的这个联考题打的呢 题确实有难度，但是话说回来了，一个是考你在考场上随机应变的能力 啊，做一道题思路受阻，另辟蹊径的能力，思路受阻了，能不能再想想其他的道，更重要的是考察大家对于基本知识，基本方法，基本题型的 掌握能力到底怎么样，必须得熟练，你说模棱两可，他不行。这种直给的题特别少，都是绕一点，而且面上的事还比较不容易看， 但是落点哎，你只要能认真做下来还可以说的话，给大家提出来的要求是啥呢？第一个像这种试卷是吧，大家基本功扎实很重要，在后续的学习当中一定要重视基础。还是这个。另外的话呢，我们期末考试大家也别想，哎呀，期末考试这么难，是不是以后这题都这么难的，怎么样，大家还是要充满信心， 寒假马上到了，无论这个考试你考的怎么样，咱们要按照既定的计划，既定的规划，坚定不移的往前走。好，各位小伙伴加油！

今天给大家说一下，我们今年二零二六年高一期末考试的数学总体来说有一个什么样的变化。首先可喜的消息是今天不太难，然后专门专门邀请卢老师给大家讲一讲函数的占比，集合的占比以及不等式的占比。 我跟大家讲一讲，说二零二五年到二零二六年这个年，呃，学年结束以后，高一这套数学卷子一共十九道题，其中函数题是占了十道题，函数题还是占了主力的地位，特别是压轴题，看加轴题，几乎都是出的是函数问题， 无论是单选的最后一道题，那他出的是比较大小倒数第二道题，那就是说第七题多选第十一题，那就是函数。还有就是说十九题他也出的都是函数问题， 所以函数高一就是拉开学生差距的一个最主要的一项了。你像这个函数是拿函数作为压轴题，特别是他的函数的基偶性、单调性、周期性结合，像现在这个高一出这份题，他没有跟周期性结合， 所以这个对于学生来说，他做起来就是有一定的难度了。像前几道题，就是集合问题，是考的是最简单，也就是高考题的标准，最简单的一道题 不等式，几乎就是说在十月份的月考就是不等式，不等式，咱们比如说第六题，这个是有关不等式的问题，在月考中呢，是常考，说单位一的妙用，只不过给换了一个数字而已，就需要转化转化一下。 就像这第十五题，这都是书上的课后题，这个十六题三角函数，因为刚学三角函数，这要比我看同期，比如说二零二三年到二零二四年这个学年度末的这个卷子，要说难度系数是降档了，真的难度是自己的哪个题 拉差距？还是就是说这种函数问题？高中不光是这个思维要求你有数学思维。另外计算量大，像今天我做了一套高考题，特别是像圆锥曲线的问题，没有难度，但是就是计算量大，算不对也不行，对上对一步上对全盘都出错。 咱们第十九题分了几问？第一问，第二问，第三问，分了三问。那你看重点，高中的娃娃觉得这套题应该要比他们以往的简单一点，但是普高的娃娃可能就会 要比平时的题要更难一些。您作为多年的数学老师，给屏幕前的家长和孩子们有什么意见？必须这个数学，必须预习，这个普遍初中生养成的习惯，学习就是喂养式的学习， 你觉得是吧？对，就是喂养式，投喂式的学习真的就需要。高中了以后跟初中和小学学习方式发生了一个极大的改变，原来的投喂式现在一定要变成是自主去学习，去。对，我经常跟我培养这个深度思考，有自己，自己有发现问题。 上课呢？怎么才能就是高效的学习？就是带着问题去上课去，你别等着老师上课，不知道下节课讲啥。大多数学生就是高中生，为什么成绩往下掉呢？他就是沿用的是小学和初中学习办法，然后导致了上了大学一样，他不会规划，他就说没有目标的去学习去， 所以没目标的人生就相当于一团散沙一样。关于数学学习，大家有任何问题，欢迎在评论区互动。

下面要讲的是二零二五年三星学童联考高一数学的试卷。首先看第一题，已知集合， a 集合是自然数，而且在负一到二之间，所以 a 集合可以写出来是等于零一二， b 集合是负一到一的 b 区间，问交集是多少，负一到一里面再加个什么零一二吧，所以分别有零跟一啊。大家应该选 b 选项， 选项可能会有区别，自己斟酌一下。关键还是看选，不是要看选 a、 b、 c、 d 啊，看选项内是什么内容。第二题，任意的 x 是 q， q 什么意思？ q 什么数？有理数吧啊？ quantity number， x 方加 x 加二是有理数的否啊，他还问否定啊，那跟这个没有关系，存在任意改存在，属于改成不属于，所以答案应该选 存在改成任意改存在，所以答案应该选 d 选项，这里面选 d 选项。第三题，三 x 减一为整数，是 x 为整数的，什么？ 三 x 减一？打比方，三 x 减一等于一的话， x 等于多少？三分之二吧，所以得不到 x 为整数，但 x 为整数的话，三 x 减一一定是整数 啊，整数乘个三，那还是整数，再减个一，依然是整数。能过去叫充分，能回来叫必要，现在是不能过去，不充分能回来，不能回来叫必要。必要不充分。条件，大家应该选 a 选项。 第四题，函数 f， x 等于三的 x 平方减 x 单调递减区间符合函数。问题。三的 t 次方是递增的啊， t 是 等于 x 平方减 x 找递减增，减得减吧，所以要找这边的减区间，它是个开口向上的二次函数， 对角负一分之 b 二分之一，所以当 x 取负无穷到二分之一的时候，大家都理解，所以大家选 c 选项。第五题，若函数 f x 是 这样的，画个图吧。 这种函数简单的，能简单画图的，我们就直接画一下零到一之间，所以这里是一，这是二， 而另外一个是三 x 三减二。 x x 取一的时候是一， x 取二的时候是负一。 注意实心，空心啊，长这样子， 已知实数 x 零是在零到一之间，求 f x 零， f f x 零也在零到一之间，则 x 零的取值范围为多少？ 它这里指的是什么？先把它定成 t 啊，相当于是 f t 在 零到一上找一下 y 在 零到一上是这个范围， 所以可以得到 t 的 范围零到一上，是吧？一可取吗？一不可取，零是可取的， 取这一段，取这一段，所以 t 的 范围这里是几啊？一二二分之三， t 的 范围是小于等于二分之三大于一吧， 相当于现在变成了 f x 零的范围是小于等于二分之三大于一好找第二段，二分之三在这 e 在 这 y 在 这个范围内的时候，求 x 的 范围，所以 x 零的范围是小于等于这个点。对，那个是二分之一，二分之一 大于一大于零啊，所以是零到二分之一的左开右闭区间，大家应该选 c 选项。第六题， maxim a b 就是 取较大的那个值， 我随便画两个函数哈，譬如说一个函数长这样，另外一个函数长这样，这是 a， 这是 b。 那 maxim a b 是 什么东西呢？ 是这样一个东西吧，能理解吗？啊，取这两个函数里面较大的那个值，红色的就是取，所以对于这个红色的来说，我看一下它要求的是什么？给了一个 x， 给了一个 y， 求 x， y 中最大的那个东西的最小值为多少。如图所示。 这里画出来之后，你会发现它的最小值并不会并不一定出现在它的最小值，或者它的最小值有可能出现在你这地方的交点处，当然也有可能是出现在 a b 中的最小值。那个譬如说这是 a， 这是 b， 这是 a， 这是 b， 那 maxim a b 是 不是这样一段？那最小值是不是出现在这里？它也有可能是 a 或者 b 中的最小值？ 这道题有点麻烦，我感觉我看一下 x y 最小值，主要是 x 是 关于 mn 的 一个二元函数。我没学过二元，既然出现了二元函数，它又是我们高中没学的部分，所以它肯定不是通过函数的方法来求解。 这里头有个很明显的东西，就是 m 跟 m 分 之一以及 n 跟 n 分 之四吧。第一反应什么均值不等式，怎么样才能把 m 跟 m 分 之一合在一起呢？ x 加 y， x 加 y， 是 等于 m 加 m 分 之一，加上 n 加 n 分 之四。前面这个地方是大于等于两倍根号一，这里是大于等于两倍根号四。其实在前面这里， m 大 于零， n 大 于零，就应该能想到要用到均值不等式， 但它没必要限制 m 大 于零跟 n 大 于零。这从题目中看出来一种思路，所以整个式子是怎么样大于等于六的？二加四等于六， x 加 y。 好， 我随便画两个函数，两个曲线，这个是 x， 这个是 y， x 加 y 大 于等于六，也就是说随便画条线啊，这个点跟这个点之和是不大于等于六，那一定是有一个大于三，一个小于三。 因为都是正的嘛， x 跟 y 都正的。譬如说，如果两个不等哈，这个 y 是 在零到大于零的话，那这个就一定会大于。一个大于三，一个小于三。没错， 不是不是一个大于三，一个小。我想一下怎么解释这个问题。稍等，相加大于等于六，不可能两个都大于三。这第一点，两个大于三的数相加是不是大于六了？我取最小值的时候， x 加 y 等于六的时候，我先考虑这个问题。 x 加 y 等于六的话，不可能两个都大于大于三。不会，两个都小于三，就可能一个大于三，一个小于三。这第一点， 第二点，他在这里面会取到什么较大的那部分嘛，就会取较大，大于三的那部分就在什么地方可能取到两个都等于三，相交的地方取到两个都等于三的数，所以 x y 中最大的较大的那个数最小值应该是三，应该是三。 这道题相对抽象一些，因为它不是一个，具体能画出来一个样子，所以很难理解，但应该选 d 选项，应该选 d 选项。 没错，是选 d 选。我刚看了一眼，好，下面看第七题已知， a。 零点六零点五 b。 零点五零点六 c 是 四分之三。那先比较 ab 比较好一些，因为它都是一个指数函数的形式。我先画个图， 假如这条曲线是 y 等于零点六的 x 次方， 取一的时候是零点五，那这样的曲线是 y 等于零点五的 x 次方能理解吧。它应该下去点就 x 取一的时候，这条线一个对应的是零点五，一个对应的是零点六，零点六要大一点，所以这个翘起来一些。 a 是 在哪？零点六的零点五次方，假设这里是零点五，那这个点对应的就是零点六的零点五次方，然后另外一个是零点五的零点六次方， 这里是零点六的话，那这个点就是零点五的零点六次方，它不光要先下来，再下来，所以零点五的零点六次方它不光要先下来。所以你要用证明的话，大体的证明你来找谁？找这个点？ 找零点五的零点五次方，零点六的零点五次方是大于零点五的零点五次方，零点五的零点五次方是大于零点五的零点六次方，所以得到上面不大。 ok， 作为证明题，你可以拿它作为中间变量来看，因为零点六的零点五次方大于这个绿色点是零点五的零点五次方， 然后零点五的零点五次方是大于零点五的零点六次方。因为零点五的 x 次方是怎么样单调递减的吧，所以得到这里是 a， 这是 b， a 大 于 b。 第一个条件出来好，再看第二个 c， c 的 话，我先跟 a 比较， a 好 比较点， 比较 a， c 大 的关系，当不好比较的时候怎么办？比较 a 方跟 c 方的大的关系，因为这里开个平方是不是零点六，开个平方就是零点六 正数，正数开平方之后它是怎么样？哎，不等号是不变的，有正数。 a 方等于几？零点六， c 方等于几？一十六分之九，十六分之九，大概是多少算一下。九十六， 零点九十六六不行，零点五、零点五几几。所以 c 方 a 方要大于 c 方也要得到， c 也小于 a 吧， c 也小于，那既然求到这里的话，还要比较 a， c 和 b 的 大小关系， c， b 怎么比较？你得把这个变成一个整数，那需要乘个五吧？ 要乘个五，所以我们要比较的是 b 的 五次方和 c 的 五次方的大小关系。这个有点难比较吧。先看一下， b 的 五次方是等于零点五的三次方， c 的 五次方是四分之三的五次方， 零点五的是一百二十五，零点五五二十五， 再乘股二五一十五，一百二十五，零点一二五，对吧？然后他的五次方呢？四的五次方是多少？一千零二十四啊，相当于二的十次方，这个是要背的。三的五次方是九乘九乘三三九二九九八十一八十一乘三三八二十四，二百四十三。 所以谁大点？肯定 c 大 一些吧。 c 大 概是接近零点二了，零点二几吧。 ok， 嗯， b 零点五的零点六次米，不是小于零点五的零点五次米吗？啊，等于二分之二， 二分之二，可以约等于零点七，零点七四分之三，零点七五。对， 那也可以，但这场算还是，哎，都行吧，这个没有什么太那个什么方法。所以得到 a 大 于 c 大 于 b。 答案，选 a 选项开平方也行。第八题 也是在定义在负无穷到零以及零到正无穷上的函数 f， x 满足这样一个东西，当 x 大 于一的时候，嗯，这里给了一个条件，这个条件应该是要用上的。 下一条错误的是像这类题啊，我们可以从选项里头出发，它其实选项就是提示，譬如说 a 选项找 f 负一， f 负一的话，我可以取 x， y 都等于负一，可以吗？可以， x 等于 y 等于负一。那这地方算出来应该是等于 f 一 等于 f 一 加二分之一 等于 f 负一加 f 负一，对吧？就把这个 x y 等于负一带到这里去， 所以得到两倍的 f 负一等于 f 一 加二分之一。那现在问题就变成求 f 一 等于几。那 f 一 的话，我可以令 x 等于 y 等于一，得到 f 一 加二分之一等于 f 一 等于二分之一。把 f 一 等于二分之一带进去，得到 f 负一等于二分之一。嗯， a 选项正确， b 选项偶函数啊，既然偶函数的话，我得凑。凑什么东西，凑负 x 吧。 f x 和 f 负 x， 那 这里面我就令 y 等于负一就行。 所以得到 f 负 x 加上二分之一等于 f x 加上 f 一， 是不是就等于 f x 加上二分之一？因为前面 a 选项就已经求了吧， 两边把二分之一约，就可以得到 f 负 x 等于 f x。 偶函数没问题，好 记。首函数 这里有一个什么函数的不等式的问题，一般来说涉及到函数小于某一个值，那你的第一反应应该往单调性上去走，譬如说某一个值小于二分之一，这里是二分之一。哎，因为前面已经求这个二分之一了，是不是只要它单调递减，我就比它小 或者单调递增的话，那就取这边吧。所以 c 选项的话，我们的思路应该是往这里写一下，往 单调性上去扣，凑单调性我们现在只学了一种方法，就是定义法，定义法的话令 偶函数了，偶函数我只要找一边就行了，另外一边跟它对称了。零小于 x 一， 小于 x 二，我们要凑的是谁？ f x 一， 减去 f x 二吧。啊，那我拿 f x 二减 f x 一 吧，回头这样算，正的就递增，看起来舒服点。减 f x 一 这头有减吗？没有没有，可以凑，把它挪过去，挪过去。这个式子是不可以写成 f x y 减去 f x 等于 f y， 减二分之一，减二分之一， 其中 x 乘 y 是 x 二， x 是 x 一， 那 y 是 多少？ x y 等于 x 二，所以 y 就 等于 x 分 之 x 二， x 是 等于 x 一 啊。 x 一 分之 x 二，这就是 x 一 分之 x 二等于 f x 一 分之 x 二，再减二分之一。 而题目给了，当 x 大 于一时， ok， 那 我这里换个写法， x 比一大，我们只要不一定要找中间的单调性啊，只要找两边的就行了，只要普通某个区域就可以。 呃，我找一到这么穷的单调性，那零到一之间可能就算不出来了。 x 大 于一的时候， f x 大 于二分之一啊。不需要，这大于零就行了，没必要换，因为 x 二大于 x 一 嘛，而且都是正的，是不是？这个括号里头是怎么样？大于一的？这一坨是大于一，因为 x 二大于 x 一， 所以整个式子会大于零，由此可以得到 f x 怎么样？在零到正无穷上是单调递增的， ok， 单列性找到，单列性找到了，还有些特殊点，然后还有个偶函数，是不是这个函数图像的大致样子，我们可以画一下，画一下，看一下啊。 我们已知的是 f 一 跟 f 二 f 几啊。这里 f 一 是等于二分之一的，标一下，这是一，这是二分之一，大大大大负一也是二分之一，然后单调递增，这边是单调递减。 ok， 那 函数大致就长这个样子，它的凹凸性啊，到底怎么怎么单，那个是怎么变的无所谓，只要画个大致样子就行。现在要找的是 f x， 这里先不要写 x 加二吧，改成 t， f t 小 于二分之一， f t 小 于二分之一，小于二分之一，取哪一块？取这一块吧。所以我们 t 的 范围应该在哪里？ t 的 范围应该是在负一到零并上零到一之间， t 是 等于 x 加二，所以 x 的 范围应该是在 一到零。 t 是 等于 x 加 x， 等于 t 减二， t 减二，所以是负三到负二，便是负二到负一上， 有没有问题？应该是这个范围，所以这里改一下。这如果改成大于二分之一的话，就这个范围上。嗯，没有问题。 d 选项二零二四，这边一个二零二四，负二零二三，是不是这边越靠近？从这个图像可以看到，越靠近 y 轴应该是越小的吧，因为这在负离负弦到它是三点， d 键 越靠近外头越想。没错， d 选项正确，所以答案选 a b d。 其实这道题啊，只要图像大致的样子出来了，其他都好选。嗯啊，说法错误的是，不好意思，答案选 c 选项，单选择题没问题吧？这单选择题还有问题吗？嗯，没问题，我就往后了。好，下面看第九题。 已知函数 y 等于洛克 a， x a 不 知，要分类讨论，当 x 大 于二时，很有 y 大 于一，那 a 的 值。可能是大家都不要分类讨论。画个图吧， 先画极限状态，这在物理头也是按照这种思路来的，先找极限状态就找 x 等于二的时候， y 等于一就行了。过谁过二一这个点 一二一 pia 同样长这样，它要求 x 大 于二的时候，就这一边， y 必须要大于一，这种情况是不是可以的？刚好这种情况是可以，所以 a 的 值能等于二，这是罗格二 x t 选了可以，然后 x 大 于二的时候， y 要大于一。这个线应该是往上走还是往下走？那肯定是要往上走吧， 对不对？从这一段往后， y 大 于，如果你往下走的话，这一段是不是有一部分小于一啊？不行， 往上走， a 落在哪里？零到一之间啊，一到二之间，所以 a 只要在一到二之间呢？都可以。答案，选 c。 选项一是不能等的，不能等一下，答案，选 c d。 第十题，对于函数 y 一 y 二 y 三，下列说法正确。是这个在考前应该练过类似的题，他找的是指数函数幺函数跟对数函数的增长的速度问题。 我们先看找几个点吧。一二一 y 一 的话，过一一点二的时候是多少？二到六次方。哎，好大呀，非常大。先随便画一下， 这是 y 等于 x 的 六次方， y 一 再画 y 二， y 二的话，肯定没有它那么快的啊。 x 取二的时候才是四嘛，这样子，这是 y 二， y 三取二的时候还没到一， y 三等于零， x 搞定。 那现在来看题目，图像画出来再看。对于任意的 x 大 于零， x 大 于零的时候， y 一 大于 y 三没有问题， a 项正确。 对 b 选项 x 大 于零， y 二大于 y 三没问题， b 项也正确，一定存在于 x 零。当 x 大 于 x 零的时候，总有 y 二最大，再是 y 一， 再是 y 三。那肯定的，因为指数函数增长速度是最快的。在未来的某点上， 总有一刻蓝的会超过红色吧。总有一刻会超过，当然在很后面。 所以假如这边是 x 零之后，那一定是 y 二最大，中间是 y 一， 最下面是 y， 所以 c 选项也正确。 第二项有几个焦点？那现在已经看出来了，一个两个，这里还有一个，这个是在很远的地方，只是表达一下，所以有三个焦点。大家应该选 a， b， c。 没看左边是吧。嗯，画图画的不全。嘿， 好吧，可惜啊可惜。那你选了 a， b， c， d 吗？啊，这道题不应该错，比较可惜。几分？六分好高。实际题已知定义在 r 上的 g 函数 f x 和 g x， h x 等于两个相除。那这道题的话，他既然给了他哈。 f x 是 g 函数， g x 偶函数，那 f x， g x 可以 写出来， f 负 x 加上 g 负 x 等于二 e 负 x 次方，这是换元嘛？先换元，然后通过 f x g 函数， 所以是负的。 f x 加上 g x， 偶函数等于二 e 负 x 的 方，那两个是连立啊。相相加得到两个 g x 等于相加。直接写了，直接写了， 由此得到 g x 是 等于 e 的 x 方，加上 e 的 负 x 方。我看相减相减得到 f x 应该是等于 e 的 x 方，减去 e 的 负 x。 好 搞定。 现在回到问题里头， h x 是 奇函数还是偶函数？ 或者 h x 写一下， h x 是 等于 f x 除以 g x， e 的 x 方，减去 e 的 负 x 方，除以一个 e 的 x 方，加上 e 的 负 x 吧。 g 函数 g 函数肯定 g 函数。把 x 等于 h， f x 算一下，稍微算一下就出来了， 所以 a 选项正确。 b 选项 g x 的 增函数 g x， 它递增递减增加减， 不一定的。增函数加减函数不一定是增函数，它是偶函数啊，它偶函数啊，就不可能是增函数吧，对吧？ 因为如果零到正无穷递增，那负无穷到零就递减，一定是有单调性，会相反的。所以 b 选项是直接可以排除，只要知道它的偶函数，就不可能是 完全单调递增和单调递减啊。继续往后看 h x 的 值域， h x 值域怎么算？因为我们已经知道它是个 g 函数，单调性要不要看？单调性也不是不能看，我先把它化解一下。 分子分母同乘一个 e 的 x 次方，相当于是 e 的 二 x 次方减一，除以一个 e 的 二 x 次方加一，对吧？它也可以写成一加一减一减去 e 的 二 x 次方加一分之二吧。 ok， 这样的一个东西，当 x 趋向于无穷大的时候， 这整个式子趋向于零的。整个式子趋向于零，就这一块，这一块趋向于一。减零是趋向于一的，但是比一要小，它是无限靠近于一的。图先画一下 无限靠近一，那 x 趋向于负无穷的话， 这这肯定肯定是个单调递增的，因为它递增，这也是递减减号整体递增。当 x 趋向于负弦的时候，这个是趋向零吧。零加一分之二，所以趋向负一， x 取零的时候， 是不是这样一个函数？它的函数图像长这样，函数图像长这样的话，值域是多少？负一到一。没错， c 样进去，图像画出来就好说， d 选项好。接着往后看。 我们要求这两个式子能否相等，那实际上是个什么问题？就化解问题，就是化解问题。先把 h x 减 y 写一下， h x 减 y 是 等于一减去 e 的 两倍， x 减 y 加一分叉。嗯，好，接着把后面的化解一下， 后面是 h x 减去 h y， 再除以一个一减 h x 乘一个 h y。 好 难算啊。这个它等于一减去 e 的 二 x 方加一分叉，减去一减 e 的 二 y 次方加一分叉除以一个，一减去两个相乘， 这是加号。一减一减 a 乘一加 b， 一 减 b。 ok， 我 先这么写啊。先这么写，展开之后，上面是一减 a 减去一加 b， 下面是一减一减 ab 加 a 加 b。 我是把这个当做 a 了，这个当做 b 了。先这么写，不然的话每次抄那么多东西，好烦。这个也没问题吧。这一打开，一加 a， b 减 a 减 b， 没错。嗯，所以等于 a 加 b 加减 a， b 上面一减掉，就是 b 减 a， b 减。 那化简一下吧。嗯，我们得分子分母同时乘以谁乘以它二，可以约掉了，写慢点。 相当于 e 的 二 y 次方加一分之一，减去 e 的 二 x 次方加一分之一，再除以一个 e 的 二 y 次方加一分之一，再减去 e 的 二 x 方加一，乘以一个 e 的 二 y 次方加一分之二。不要忘了是分之二，因为原本是这两张乘分子分子上是四吧，或者分子分母同约了个二这个二，然后再分子分母同乘，这个分母同乘，这个分母 就变成了 e 的 二 x 加一，减去 e 的 二 y 次方加一，除以一个 e 的 二 x 方加一乘一个 e 的 加上 e 的 二 y 次方。加一， 再减个二，等于上面是 e 的 二 x 次方，减去 e 的 二 y 次方。除一个 e 的 二 x 次方，加上 e 的 二 y 次方。 好，我这里 h x 减 y， 我 用它来做，把它来做，把 x 换成 x 减 y 是 不就可以了？它等于 e 的 x 减 y 减去 e 的 负，就 y 减 x 嘛。 y 减 x 除以一个 e 的 x 减 y， 加上 e 的 y 减 x， 分 子分母 同时乘个 e 的 x 次 x， y 次方同时乘个这个东西上面就是 e 的 二 x 减去 e 的 二 y， 出一个 e 的 二 x 加上 e 的 二 y， 长的是一样的， 所以递向正确。递向没有什么别的内容，就是单纯的一个运算化解 还是蛮难算的吧。算是比较难算的一道题，纯考计算量。我们在高考的卷子里面总会有那么一套卷子啊，总会有那么一道题来考大家计算量。呃，高考里面会出在原子曲线里面。其实类跟这个类似都，他也是个二次方程，得这样慢慢算下去有没有问题。 没问题吧。没问题。好，下面看十二题。若密函数 f x 等于 x 的 a 次方经过这样一个点，则 a 的 值。这是送分题吧，也就是二分之一等于二的 a 次方得到 a 是 等于负三， 二的负三方等于八分之一。 十三题不考虑空气阻力情况下火箭的最大速度 v 和燃料的质量。 m 火箭的，哎，火箭的最大速度是 v， 燃料的质量为大 m， 火箭除燃料外的质量为小 m。 但还是关系满足这样一个关系，当燃料的质量是火箭质量的多少倍时，可以达到八公里，相当于把 v 换掉啊。 v 换成八就行了。八等于两倍的多个二，一加 k， 一 加 k 对，我们要求的就是 k。 注意是大 m 跟小 m 的 比值啊，因为有些题目他故意坑人嘛，就把这里写成小 m 跟大 m 的 比值，回头你自己要算的时候是 k 分 之一，这里要注意谁比谁大。 m 燃料的质量跟火箭小 m 的 质量比值没问题。 嗯，拿拿过去，得到 log 二 k 加一等于四啊。 log 二 k 加一等于四，所以这里面是多少？二的四次方，二的四次方， g k 加一等于二的四次方是一十六，得到 k 等于十五十五倍的数。 继续往后十四题。已知函数 f x 的 定义为 r。 第一句话什么意思？看到它的反应函数关于 x 等于一对称吧，这个还需要说吗？不用推了吧。啊， 不知道的话自己可以回顾一下。书上都有这一块的结论性的东西， x 等于对称， f 二等于三，任意 x 一 x 二在负无穷到一上的时。这什么意思？单调递增吧，单调递增，所以它图像我就可以画了呀。 这里是一对称轴，取二的时候等于三，然后对称过来。是不是取零的时候也是等于三， 然后负无穷到一是递增这样上来，那一到正无穷呢？递减这样下去，这就是 f x 的 大致样子， 然后要求 f x 这后面东西可以挪过去啊，变成两个函数的大小关系，比值 f x 要大于 x， 方减二， x 减加三，我把它拎成 g x， g x 是 个开口向上的二次函数，对角也是一。那我把零带进去看看，零带进去的时候是不是刚好等于三啊， 所以这个 g x 的 图像应该这么画，应该这么画啊，刚好过零三和二三这两个点对角也是一样的。我们要找的是红色的比蓝色要大的部分吧。哎，是不是刚好这一块 x 的 范围是 领导之间？哎，所以这作这个作为压轴题反而还简单。 ok 啊，这个作为压轴题不难。好，继续看大题部分。十五题已知 a 集合是这样的， b 集合是这样的，若 a 等于一，求 a 跟 b 的 并集是多少啊？第一问， x 方减二， x 减三等于零，得到 x 减三，乘一个 x 加一等于零，还得到 x 等于一，负一或 x 等于三，所以 a 集合实际上就是负一三， b 集合是 x 大 于负一吧， 所以 a 跟 b 并在一起之后，相当于把这个点给变成实心了。故 a 并 b 是 等于 x， x 大 于等于负一大于等于负一。 第二问，第二问，要求 a 是 b 的 一个子集， b 的 范围是 x 大 于负一， a 是 一个二次函数跟 x 轴的交点。打比方，譬如说 a 长这样，这两个点是不是在这个范围内啊？在吧啊，这个就是 a 是 b 的 子集，但如果是长这个样子的话， 那是不是 a 级和这个点就超出了 b 的 范围吧， a 就 不是 b 的 子集？好， 那一定要注意一点什么空集问题，空集是任意集合的子集啊，所以有可能 a 是 跟 x 轴没交点，就是方程无解，这也要考虑进去。 那么第一种情况，德塔，哎，你不用看，我们先看得塔， b 平方减 c， a， c 相当于是四 a 方 减加一十二个 a 方等于十六， a 方必然怎么样，大于等于零吧，所以它 a 是 一定有解的。那有解的话，我只要满足什么较小的这个根比负一大是不就可以了？ 这样做会简单点，就不需要做分类讨论等等问题。借 x， 一 是代约二 a 分 之负 b 这个方程，二 a 分 之负 b， 二 a 加减根号 b 平方减 c c 十六 a 方 既得到二分之二 a x， 一 是减，我改一下 x， 一 是减号，减去绝对值四 a x 一 只要大于负一就可以了。好的，思代那含绝对值的不等式里面，我们一定要对绝对值做怎么样分类讨论吧。所以第一种情况， a 大 于等于零的时候 记二 a 减四， a 除以个二要大于负一得到 负二， a 要大于得到 a 要小于一吧。所以综上所述，可以得到 a 是 小于一大于等于零的。 第二种情况，如果 a 小 于零的话，那相当于是二 a 加四 a 再除以二要大于负一得到三， a 大 于负一，即 a 要大于负三分之一， 所以可以得到 a 的 范围是小于零大于负三分之一。综上所述，最后 a 的 范围是大于负三分之一，小于一就可以了， 有问题吗？这个 十六题第二问好。我们把先把式子列一下，要求 f x 就是 骷髅二 x 减一，再乘一个骷髅二四分之 x 要小于 n 倍的骷髅二 x 吧。这个是不可以写成骷髅二 x 减二呀， 它写着萝卜二 x 减去萝卜二四，萝卜二四里面都有，谁都有它。这样看的很不舒服怎么办？令乘 t， 令乘 t， 令乘 t 的 话，这个式子就看起来很舒服了。 t 减一乘一，个 t 减二要小于 mt 姐，这个不等式，它要求横乘立啊， x 的 范围是在二到四上， t 是 令成了骷髅二 x， 所以 它的范围应该是在一到二上。 t 是 大于零的，所以这个 t 可以 直接除过去。我们相当要求 m 要大于 t 分 之 t 分 之 t 减一， t 减二。

下面看解答题部分第十五题已知集合 a 等于这样个东西， b 是 等于 x 加一大于零，若 a 等于一的话，求 a 跟 b 的 并集。 第一问， a 等于一的话， a 集合是 x 方减二， x 减三等于零，它写成 x 减三，乘以个 x 加一等于零，则得到 x 等于负一或 x 等于三吧，由此得到 a 集合就是负一三， b 集合是 x， 要怎么样大于负一？所以两个交在一起， a 并 b， a 并 b 的 话，并出来就是 相当于多加了个谁，多加了个负一吧，并在一起， x 大 于等于负一，如果 a 交 b 的 话，就是只有三这一个元素。 好，这有问题吗？没有。第二问，若 a 是 b 的 子极，求 a 的 曲值范围， b 的 范围是负一大于负一， a 呢？ a 的 两个根都要落在这边吧， 这样的话， a 的 元素才在 b 之间， b 里面，如果你把它挪过去，哎，又跟出去了，那是不是就 a 不是 b 的 字型？ ok。 但是二次函数要注意的是两种情况，第一个是根的数量问题， 有根没根嘛，起根跟根，说一个根，两个根没有本质上的区别。如果 a 它没有解的话， a 是 空极，空极是不是 b 的 负极？是。所以第一个要讨论的是德塔效应力，就是 a 为空极的数， a 为空记的话，那就一定是 b 的 子奇。那先看一下， b 方减 c， c 四， a 方减去 c， c 三四一十二个 a 方要小于零，得到 a 方小于零？不存在啊，不存在，所以它必然是 一个啊。有解的。后面我们要找的什么，只要较小的，这个解比负一大是不就行了？ 那第二种情况，得它大于等于零，较小的解为几？ x 一 等于二， a 分 之负 b 加根号， b 方减 c c 吧。 嗯，二 a 分 之负 b 减去根号， b 平方四 a 方减去四 a c 三四一十二 a 方 g 等于二 a 减去 一十六， a 方一十六 a 有 没有说大于零？没说一十六， a 方开根号，所以是四 a 的 绝对值除以个二。能否理解四 a 的 绝对值除以个二，那只要这个 s 一 比， 它只要大于谁大于负一就可以，就能满足较小的根比负一大，那较大的根就不用管它了。 我个人觉得这样做会简单点。那么再分一下，如果 a 大 于零的话， a 大 于零的话，那 x 一 等于几？ x 等于二， a 减四， a 除以二等于负， a 要大于负一，则得到 a 要小于一， a 要小。第二种情况，如果 a 等于零呢？ a 等于零的时候，零是大于负一的，可以第三种情况， a 小 于零，那 x 一 较小的那个根是二 a 加上四 a 除以二要大于负一，得到 a 要大于负三分之一， 这是三 a 吗？三 a 大 于负一， a 要大于负三。 ok， 综上所述，得到 a 的 范围是负三分之一到一。我个人觉得这样做会简单点。那你用别的方法也行。 其实啊，这个式子写出来，它应该是可以因式分解的吧。啊，可以，它可以写成 x 减加 a 乘以个 x 减三 a 吧， 对吧？哎，无所谓，也是一样的，要分这头的 a 大 零跟 a 小 零没问题，因为它两个根，一个根是负 a， 一个根是三 a 吧。如果 a 大 零的话，加小的根是负 a， 如果 a 小 零的话，加小的根是三 a。 十六题， 已知函数 f x 等于 log， 二 x 减一乘一个 log 二四分之 x。 第一问，关于 x 的 方程， f x 减二 b 等于零，有两个不同的数解，它实际上就要求什么？我先说一下思路，我可以把 f x 图像先画一下，再画一条线，因为他找的是 f x 等于二 b， 这个二 b 可以 怎么样？随便挪吧，一个根，两个根，三个根，三个根一个根啊。当然我们这道题里面，你也你得先把 f 要先把这个图给它画出来。 好，怎么画呢？这里是挪个 x 吧，挪个 x， 实际上这里也是挪个 x， 你 只要把这个挪出去，是不是减减去个螺丝？我写一下， 先化减下。第一问， f x 等于 log x 减一乘一个 log x 减 log 二就等于 log x 减一乘一个 log x 减二吧， 是不是等于 t 减一乘 t 减二。好， t 的 取值范围是负无穷到正无穷，因为 x 的 范围是零到正无穷嘛，而且它是单调的。单调？单调是什么意思？每个 x 只对应了一个 t， 它不存在说啊，我在这里头有一个根，在这里头算出一个减会对应两个 x， 它每个 t 就 只对应了某一个 x 啊，我就把 t 图画一下，喊 t 的 图像画一下。所以对于 f 来说， 它有个最小值，最小值是取一点五的时候，一点五的话就是零点五，二分之一乘一个负二分之一，负四分之， 然后画条线，这是二 b 要有不同的实数解，所以二 b 只要超过这四分之一就行了啊。二 b 只要超过这四分之一就行了。 所以我们可以得到二 b 要大于负四分之一即可。记 b 大 于负八分之一就可以了。第二问，对任意的 x 在 二到四上 f x 都小于 m 倍的某个二 x， 嘿， 切，我们的角度范围原理上还是一样的，它是不是可以写着 f x 是 等于？刚写了洛克二 x 减一乘一个洛克二 x 减二要小于 m 倍的洛克二 x 吧。 然后式子是不可以写成 t 减一乘一个 t 减二小于 m 倍的 t 啊，其中 t 是 等于若干二 x， 然后因为 x 的 范围是在二到四十二，所以我们 t 的 范围是在一到二上。 ok 啊，它就变成了，因为 t 是 大于零的，所以就要求 m 要大于 t 分 之， t 减一乘 t 减二， t 分 值 t 减一横直立啊。是不是 m 只要大于这个式子的最大值就可以了？ 对于这种分子分母都有 t 的， 我们做法是先把它展开啊。减三， t 加二除以个 t 分， 把分子上 t 给它换下来，是不等于 t 减三加 t， 分 叉 带 y， t 加 t 分 之二减三。这个式子是一个双勾函数。好吧，这是双勾函数。 呃，根号二的时候取最小值，但是我们要找的是它最大值。最大值应该在哪？短点上，比如说这个地方是一，这地方是二，这地方应该是根号二吧。最小值是根号二的时候，我令这个值为 g x， 令 g x a g t 等于 t 加 t 分 之二，这是 gt， 这是 t。 ok， 那 找两个端点，一个找 g 一， 一个找 g 二，因为 t 的 范围刚在这里有了一到二之间，最大是在端点上。 g 一 是等于，算了，再减个三吧。 把这些求出来，一加二减三等于零， g 二是等于二加一减三也等于零，最大值就是零，所以我们只要得到 m 怎么样，大于零即可，可等吗？不可等，为什么？因为 t 能取到一和二， 所以也就是这个后面这个地方是能取到零的吧。如果这里改成小括号， t 的 范围改成小括号，就是 x 改成小括号的话，那我们就是大于等于零 啊。不等式能不能等在最后？一定要再看一下，看完这就好了。好，我们下面看十七题啊。十七题， 已知函数 f x 等于 a 倍的 x 平方减 a， x 再加一，已知 f x， 图像横过两个定点，求这两个定点坐标。要注意的是，只要这个含参的问题，含参数问题，然后说固定点，说白就要把 a 怎么样给弄掉， 怎么样弄掉 a 使得 a 前的系数为零嘛？使得 a 跟零相乘就行了。好，第一问， f x 是 等于 a 乘一个 x 方减一，哎，减 x 再加一，只要这个东西等于零就可以。这东西什么时候等于零呢？我再的对它进行因式分解，是不是可以写 a 乘 x 乘 x 减一加一。好， 哈哈哈， f 一 也等于一吧，所以它 b 过两个地点，零一和一，一零一和一，这样一下就出来了。 好，第一问解决，下面看第二问。 g x 是 一个开口向上两根，分别是三和四的，当 a 等于一的时候， 求函数 h x 两个函数相乘的最小值来看， h x 是 不可以写成 x 减三，乘一个 x 减四， 然后乘以一个 x， h 一 哈 x 方减 x， 再加一，再减一，它写成 x 乘以一个 x 减一，乘以个 x 减三，乘以个 x 减四吧， 这能理解吗？那么它的函数图像我们画得出来的， 它一定过零，零点一，零点三，零点一，零点三，零点跟四零点。 yes， 还是图像的样子就长这样， ok 呀。另个 t 等于 x 减二，另 t 等于 x 减二，那 h x 等于 x 乘一个 x 减一，乘一个 x 减三，乘一个 x 减四，把 t 等于 x 减二往里面带就可以变成了。 x 等于 t 加二， t 加二， t 加一， t 减一， t 减二，能理解吗？那它可以写成像 t 加一跟 t 减一，是不可以写成 t 方减四啊， 有问题吧？没有问题吧。好，所以 我再把 t t 方拎成一个别的东西， p u 拎成一个 m， m 减一跟 m 减四，求这个式子的最小值。那不就开口向上的一个二函数对应轴，对应轴一到四之间，一到四中点二分之五吧。把 m 等于二分之五带进去，所以 h x 最小， x 等于几无所谓。等于二分之五减一乘一个二分之五减四，二分之三乘一个负，二分之三等于负的四分之九。这样做也行啊，没必要说一定要求。 给了这样一个函数，求关于 x 的 不等式 g x 大 于这个的解集。嗯，二乘三的 x， 一个是 x 加三倍的 x 加一，一减 x， 我 看一下稍等，要不要对它化减？ 还有不化减的直接求吧。第一问，我们相当于是要求三的一减 x 方加一分之三要大于二乘三的 x 方分之三吧。 咱点的是显示，而且都大于零，随便换就行。那交叉相乘一下吧，两边把三约。相当于是要求二乘三的 x 次方要大于三的一减 x 方加一吧。所以 一项要不要一项两边同时乘个三的 x 次方？二乘三的 x 次方的平方大于 三，加上三的 x， 我 把三的 t 写成三的 x 方写成 t 啊，相当于二 t 方减 t 减三大于零。 ok， 把它挪过去了。整体，嗯， 一元分解，求公式。二 t 减三乘一个 t 加一吧。 没错，要大于零，所以得到 t 大 于二分之三或 t 小 于一。但别忘了，三的 x 方是恒大于零啊，小于负一，这个要舍掉。相当于求三的 x 方要大于二分之三就可以了， 所以等于得到 x 要大于 𫽋 个三二分之三。 化简一下吧，一减 log 二三 log 三二，一减 log 三二。由此到第一问 x 取值范围，试试 x 取解集嘛。好，要求解集，那个解集就是 一减罗格三二到这五九他就行。这第一问没问题吧？嗯，哈哈哈哈，关键是花那么多时间还算错了，可惜。好，我们来看一下。第二问 要求的是 g x 加上 g 二减 x， 现在没思路啊，要先把它列出来。 g x 加上 g 二减 x 的 话是等于。 嗯，直接往里面带。一减 x 加一分之三，加上减一 x 减一加一分之三吧。 要计算的话，得把分母变得一样，分子分母同乘 三的 x 减一次方，相当一加上三的 x 减一次方。上面是三的三乘三的 x 减一次方。 你到第二问总有十分了。我也觉得，那到第二问，嗯，差不多十分。第三问，若对于任意 x x x 加 x 大 于二，不等式横成立 求 t 的 取值范围。它是两类函数，这是一类函数，这是第二类函数。相当于要求 g x 一 加 g x r 的 最小值吧，然后它的最大值要小于这后面的最小值 就可以能理解。那一个个来吧。 首先这个函数我先看一下 g x， 稍等，我把这个 g x 先化简一下， g x 看，太难受了。 分子分母同乘三的 x 次方相当于三加三的 x 次方。分之三乘三的 x 次方啊。三乘三上面加个九，再减个九等于三，加上 三的 x 方加三分之负九，这就减九了。我这样是来看它的形形状的样子。递增递减减递增，整体递增的吧。这个还是递增，包括它图像我也可以画出来。 当 x 趋向无穷大的时候，它是整个式子趋向于零，这里是三，它这边会无限靠近于三，然后我看一下。另外是取零的时候，零的话 有可能是风这边会无限靠近三，然后另外一边啊，当 x 趋向负无穷的时候。分母，这个是趋向零吧。零加三分之九，一减 啊。去相于零， x 去零的时候等于几？我看一下。四分之九，三减四分之九。不管了， 这函数是长这样子的，它的形状先长，这样能画出来。呃，单调递增。第一点，单调递增 我们可以知道的是， x 一 加 x 二是大于二的，那就得到 x 一 是大于二减 x 二，所以 g x 一 是要大于 g 二， 二减 x 二。 ok， g x 一 是大于 g 二减 x 二。为什么要这么做？因为它前面有个第二个，里头是不是提示了一个东西啊， g x 跟 g 二减 x 值吧。 所以 g x 一 加 g x 二是大于 g。 哈哈， g 二减 x 二加 g x 二等于几？等于前面一问等于三。所以也就是说可以得到 g x 一 加 g x 二，它最小是三，所以我们的 t 方 加二， t 是 小于等于三。注意，这里是取不到三的。这次加这个是大于三，但取不到三，所以我 t 方加二， t 是 可取的， t 加三乘 t 减一小于等于得到 t， 要小于等于一大于等于负三 啊，小一点一大一点不难吧，为什么要把这题这题放这里是吧？前面也没有哪道题说，特别是有题， p q 非空，那是有题，要说吗？要说吗？你觉得要说吗？ 啊？说一下吧，还把十六题看一下。前两问先说一下。一般来说就算是压轴题啊，包括我们高考的最后道题，他第一问第二问，第一问，第二问都不难。设 p q 是 非空时数级，若对 p 中任意两个时数 s t， 按照某种确定的对应法则， g 在 q 中都有唯一时数 u 称之为从 p 到 q 的 一个二元函数。前面全是废话， 我店里手机被我不小心带过来喂。你好，布尔茅舍零七零二那个单元门可以直接可以直接拉开吧应该。嗯， 算了，等我跟他们说其中 p 是 就是二元函数嘛， y 点 f x 嘛，就是 y 是 由 x 这个变量所决定的。然后像生活中很多例子，它并不是说有一个变量可以控制的。打个比方， 比如说苹果的价格随着月份、气候等等多个元素所导致，哎，所以有些时候并不是一个因素所决定的， st 两个因素决定了 u 的 值。 已知 g s t 等于 s 方加 t 方。哎，这个第一问，第一问小问题送分，对吧？ g 负三，二是等于负三的平方，加二的平方等于九加四一十三吧。你知道吗？我刚看到这道题的时候，我来仔细想，它是不是有坑。没有 哇，第一问都很简单的，像这种题，第一问跟第二问，第二问稍微麻烦一点点，第三问会比较难，太长了是吧。对于定域 i 中的一个二元函数，若存在一个实数 n， 存在实数 n， 满足任意的 st 都属于这个定域范围内。有说白这个 n 是 什么东西啊？它最大值吧。 对于任意就是你 s t 随便取，不管取多少，我的函数值都会小于等于，并且会存在一个点是把它等于，所以 n 实际上就是这个一，一跟二加起来，意思就是 n 是 这个函数的最大值。翻译过来， 上减上去减就最大 s t 在 零到正无穷上，且 s 加 t 等于两倍的 s t， 判断函数是否存在向上界若存在，求出函数若不存在，这是二元的最值问题 啊。君子不等式，君子不等式，我看一眼感觉就是君子不等式。 s 加 a 加 b， a 乘 b 都大于零， 一正二定三相等。哈哈哈哈，是吧，第一反应应该是往君子不等式上去靠。哈哈哈， 好，不是看这段话是从这里看起。读完这个应该感受到它有跟均值不等式是有关系的。写下 s 加 t 是 等于两倍的 st 啊， 然后 s 加 t 是 大于等于两倍的根号 st， 所以 两倍的 st 是 大于等于两倍的根号 st， 由此可以得到 s 乘 t 是 大于等于 根号 s t。 两边看根号是大于等于一的，所以这里可以得到 s t 大 于等于一吧。 s t 大 于等于一，这第一个是。然后接着我们看一下这个 g， s t 等于四倍的 s t 减去 s 方减 t 方。提个符号出来，里面是不是 t 方加 s 方减去四倍的 s t 啊？ 是不是等于负的中括号 t 加 s 的 平方，再减去两个 s t， ok， 好， 所以等于多少呢？等于呃，是减。呃，要加的话减，减去六个。因为我们这里给的是 s 加 t， 我 们要错的是 s 加 t 的 平方。 本来想你写 s 减 t 的， 加上 s 加 t 是 等于两倍的 s t 开平方相当于是四倍的 s 方， t 方减去六倍的 s t， 算把负二还回还回去吧。相当于六倍的 s t 减去四倍的 s 方 t 方 好，令 s 乘 t 等于 p 等于 x 吧。大于等于一，它是不是写成负四倍的 x 方减去六 x， 求它的最值吧， 就它最大值。它这个开口向下的函数两根，一根是零，一根是负的， 这是加。 sorry， 那 零在这边，另外一根是多少？另外一个根是二分之三， 所以这个对称轴是多少？四分之三， ok， 对 称轴是四分之三。然后我们要找呃，这个 x 的 取值范围是大于等于一，一在这里我们要找这条线的最大值，是不是就把 s x 等于一带进去就行， 就是最大值，因此得到 g s t 的 最大值 maximum 是 等于负四加六等于二，所以有上界，有上界，上界为二，最大值为二。 什么样情况叫没有上界？就是开口向上大的函数，它往无穷大走，这就就是没有上界。 要先瞄一眼。哈，我还没看这道题。定义为 r 存在 m 大 于零，使得这样一个，则称关于 m 单调递。呃，递减 存在就可以吗？等一下，存在就叫单调递减啊。关于 m 单调递减，任意的 若存在二到正无穷上。关于 a 单挑的减 q k 的。

今年高一期末啊，情况有些特殊，不再有全市通考或者联考个小自主命题啊，这意味着什么？传统的横向比较失灵了，很多家长呢，开始焦虑，没有统一的标识，我怎么知道孩子掉队没有？今天呢，我给大家三个清晰的判断维度，分数、 位置。最后是行动。首先，我们看分数啊，按常规六科计算，试卷整体难度系数大约在零点七左右，一个比较现实的参考线，总分在四百五十分左右，可以认为基本跟上了大部队。这是一个基于普遍教学进度的估算积分。 其实呢，我们看位置在学校内部啊，比平均分更值得参考的数据是中位数，把全年级成绩从高到低排列最中间的那个分数，他比平均分更能反映普通学生的真实水平， 了解孩子的成绩与中位数的差距，就能更客观的定位他在年底中的位置。最后呢，也是最关键的，从现在到期末，孩子该怎么做？我提三个核心的建议啊。第一，策略上，尽跟老师，决不妥协。 老师讲到哪，你的主要经历就投到哪。允许暂时在没有完全吃透的知识点， 允许暂时有没有完全吃透的知识点，但决不允许彻底放弃任何一个章节。先确保会的越来越多，暂时不会的，标记好，利用课后、周末乃至寒假，专想解决高中学习的是滚雪球，跟住是底线。第二，态度上， 被动为主动。高中知识的密度大，等着被问是行不通的，必须养成主动学、主动问、主动找题、做、主动总结的习惯，缺乏这份主动性，投入再多时间也可能是低效劳动。第三，心态上坚持长期主义。 即使考试分数不理想，不必过度的沮丧，偶然考得好也无需得意。高中呢，是一场马拉松，比拼的是持续稳定的输出能力，重要的是养成扎实的学习节奏和主动钻研的习惯，这些才是支撑你跑到终点的根本。 所以呢，请告诉孩子们啊，不必为了一次独立命题的考试过度的焦虑。真正的竞争不在于一时一效的排名，而在于你是否建立了适应高中的学习模式，并维持持续的努力。 把焦点呢？从分数排名收回，放在是否主动与是否跟住这两个更本质的问题上，路走对了，结果自然就会好。我是胡杨，关注我，一起把握高中学习的节奏！