八年级上册数学动点问题怎么写？

本期视频我们来讲解期末压轴定角轨迹来解决线段最值问题。分析条件如图，角 abc 等于三十度， ab 等于四， bc 等于二，说明这两条线段是 定长，并且点 d 是 射线 b a 上的一个动点，那么这句话它表明了我们地点的一个轨迹好，就是这条射线将线段 c、 d 绕着点 d 顺时针旋转一百二十度。既然是线段旋转，所以我们可以得到什么条件呢？哎，可以得到 dc 是 等于 d 的， 并且旋转角是多少度，也就是角 c d e 等于一百二十度，那么对于一百二十度，我们能想到的应该是对应着六十度，对应着三十度， 好等腰又看到了旋转，那这时候毫无疑问我们应该会想到手拉手旋转型全等模型 好得到线段 e d 连接 c e a e。 让我们求 c e 和 a e 的 最小值来对问题进行分析。 c e、 a e 这三个点当中，看一看哪些是定的，哪些是动的？ c 定的还有吗？ a 是， 这两个是定点，那毫无疑问只有一点，他是动点喽。那此时 啊，我们要解决问题，就必须知道一点的轨迹是什么呢？好， 我们想一想，一点是自己动的吗？不是，是因为谁在运动？哦，是因为地点在跑，导致我旋转过后一点也在跑。由于地点的轨迹是射线，那么一点轨迹他一定也是一条射线。那怎样借助地点轨迹把一点轨迹给找到呢？我们来看他最终要求的是什么？ o c 加上 a， 定点，定点动点，你想到了什么？哎，四个字毫无疑问叫做将军印马对不对？那么将军印马就是走对称，很明显，现在 c、 a 都在一点的同侧，那也就意味着一点的轨迹应该是在这个部分，对不对？然后我们把它翻折上去，那怎样把它找到呢？刚刚讲了，我们现在的核心就是手拉手全等，那现在一个等腰已经给我们了 啊，旋转角是一百二，所以这两个角通通都是三十度，三十度，哎，这时候你会发现哟，这里不给了我们一个三十度吗？那么毫无疑问， 手拉手旋转是不共顶点旋转呢？顶点是谁啊？ d 嘛，所以一个三十度已经出来了，那另一个呢？哎，很明显，怎么样啊？哎，我们再给把 b、 d 给它旋转一百二十度不就行了吗？好，所以得到这条边和这条边也是相等的，对不对？我们直接来个 b 一 撇， 好，此时可以得到什么？哎呦，两组等腰三角形 d、 e、 c 和 d b， b 一 撇 手拉手旋转圈的嘛，所以此时我只要连接谁哦，连接 b， 立马就能得到两个三角形圈的，哎，这个三角形和对应角的来写一下，哎，三角形 b、 e、 d 全等于三角形 b 撇 c、 d， 对 吧？那么这两个三角形全等，我们可以得到哎，角等吗？ 角 b 撇等于三十度，等腰三角形嘛，所以我是不是可以得到角 b 撇等于角 e、 b、 d， 它也等于三十度，由此，哎，那么这个大角它不就等于 六十度了吗？好，由此，什么？ e 点的轨迹是不就是确定了 bc 动不了，而它的章角 b、 e 是 六十度固定的，所以，哎呦， e 点的轨迹只能在 b e 这条射线上， 对不对？那此时来轨迹确定了啊，将军马和找到了过和做对称点是不是就可以了？好，过和做我们 c 的 对称点好， c 一 撇，对称过来之后啊，此时我们要求的 c e 加 a， e 就 变成了什么来 在这， c e 原本在这，在这，对不对？就变成了，哎呦， c 撇 e 加 a e， 因为 c e 和 c 撇 e 是 相等的吧，那我们把它的轨迹给它稍微延长一下，对不对？这条河，哎， 什么时候最短？来，你看看最短加这段什么时候最短一点在上面跑，那当然是跑到三点共线的时候啦。好，所以我们只要把 哎 c 撇 a 一 连，这就是我们要求的最小值，对吧？好，最小值就是 c 撇 a， 那 请问 c 撇 a 怎么求啊？我们之前讲过，这部分求解最值的方法一定都是勾股定律，说明他需要直角三角形， 对吧？你是反折对正过去的，我当然要把它给连起来喽。好，一连，你看看，哎， 这是六十度翻上去，这是不就是六十度？再加上这个小角是三十度，六十加三十，毫无疑问，这是多少度？对了，这个是九十度。而翻折 bc 等于二，翻上去二， a ab 是 几？四，所以，哎，我们的 c 撇 a 等于根号下几的平方加几的平方。啊。哦，二的平方加上四的平方等于根号二十，根号二十四乘五，二倍的 根号。好，所以最终的结果就是二倍根号。 ok， 好， 那么本期视频就到这里，大家拜拜。

本期视频我们来讲解期末压轴依次函数与全等模型结合的动点最值问题。分析条件如图，在平面直角坐标系中， q 是 直线， y 等于二分之 x 加三上面的一个动点。好，那么这个条件告诉了什么？第一个， 既然 q 点在这个直线上，那么我们把 q 点的坐标就可以用同一个字母表示，所以它的本质给我们带来的就是消元，要不然我们得用 x y 对 不对？好减少未知数。那除了这个条件还能得到什么呢？对了， q 点的 轨迹他是动点，但是呢，他在这条直线上，好将 q 点注意绕点零一，这是什么？这是一个定点，旋转九十度，到了 q 一 撇，那本质上来说，他想告诉我们是什么？ 哦，一条线段，它的名字叫做 q p， 然后绕着点 p 旋转，得到了 q 一 撇， p 旋转多少度？九十度，那么这两条线段是不是相等的来？这两条线段相等，并且旋转九十度，立马得到等腰 怎么样？直角三角形，而我们知道等腰直角三角形在全等这边的模型它是全都有的，比如说我们的 k 字形，对吧？比如说我们的手拉手， 旋转全等。好，还有吗？当然有，对角互补，有半角等等。但是这里提示的很清楚，到底有哪个 两个字表明了给我们的前进的道路叫做旋转，这里面哪一个设计了旋转？对了，旋转手拉手，所以一定是构造这样的一个 全等图形。好，那我们既然要等腰直角，那当然把它连起来，但是现在图中好像只有一个等腰直角吧。别急，我们来看看他要求什么？ o q 一 撇，然后求 o k 一 撇的 a 最小值？那接下来我们对题问题进行分析，你看 o q 一 撇 o 是 什么定点？ q 是 什么？动点对不对？ q 一 撇吗？那我要求一条线段的最小值， 是不是得把这个动点的轨迹给他找到？那你要想这个 q 一 撇是自己动的吗？不是，是因为 q 点在动导致他运动的，所以这叫什么？哎，这叫蛙斗，对不对？ 种瓜得瓜，种豆得豆，那么主动点怎么动？从动点就知道。 q 一 条直线，那 q 一 撇也是一条直线，那现在我们的目标就只有一个，如何把这个 q 一 撇的轨迹做出来呢？哎，提示了，用手拉手圈的来， 我们的 a p 点是一个定点，然后你会发现这条线是一个定长，为什么要找这条线？因为手拉手旋转是不共顶点旋转，那我肯定是围绕的 p 点啊，对不对？好，那他的上方 刚好和我们的什么？哎， q e q 在 同一条直线上，那这条线呢？是定长，那么这个点我们的坐标是可以求出来的，对不对？零 x 对 零，所以这个点就是零 三，那么我们给他标为 g， 所以 我可以知道 p g 的 长度，他其实就是几减减三减一等于二的。好，接下来同样操作，我们把 p g a 也绕着点 p， 顺时针旋转九十度，好，大概 来顺时针旋转九十度啊，大概在这个位置，接下来，哎，这两边相等也是九十度，那么一连是不是？哎，好，没拉成来，拉起来 是不是得到两个等腰直角？接下来，哎，连接什么？连接我们的？哎，这个点我们记为 g 一 撇， q 一 撇， g 一 撇瞬间就能得到两个三角形呢，哎，这个三角形和 这个三角形全等，条件够不够呢？来，第一个一组边，第二个 两组边。接下来假角，哎，这个假角为什么相等？因为这个小角等于九十度减去中间的角，同样的，这个小角也等于九十度减中间 公共的角。所以，哎，我们得到了三角形。谁 p q g 是 全等于三角形 p q 一 撇记一撇的，既然全等，来， 你看看对应的角，哎，这个角叫做 q g p 对 不对？是不是等于 q 一 撇记一撇？呸， 角度是确定的，并且这是个定长，那就说明我们的 q 点 q 一 撇只能在哎 q 一 撇， g 一 撇这条直线上进行 运动，是不是只能在这条直线上进行运动？ ok， 好， 那我们把它拉起来。那现在 q 一 撇的轨迹找到了，那我要求的是什么？ o o q 一 撇的最小值毫无疑问，怎么办？ 变成了点到直线的垂直问题，哎，当然是做垂线段了。好，我们把它记为点 h， 所以 现在我们的问题就变成了求 o h 等于多少？ 那么如何求 o h 呢？哎，我是不是只要把 h 点的坐标给它求出来是不就可以了？那么请问一下，这个 h 点的坐标该怎么去求呢？来， 我们看你要求 h 的 坐标，那我们就过点 h， 对 吧？做垂直。好，那我们来看看这两个直线， 这条直线和这条直线它是什么关系？应该是互相垂直的对不对？换句话说，这条直线的解析式我是能够求出来的，因为它经过 g 一 撇，那么 g 一 撇这个点的坐标你知不知道？当然知道， g 一 撇的坐标，来，带你算一下。算个啥呀？我不就是由它旋转过来的吗？所以 p g 长度是二，那么 p g 一 撇的长度也是二呗。那这个高度是一，所以 g 一 撇的坐标它就是多少横坐标是二，纵坐标是一样，然后这两条直线的关系是什么来着？哎？是垂直，对不对？那垂直怎么看出来的？你看我们把这个进行延长，其实是一个八字形，对吧？好，来看这里，你看 这个角和这个角是相等的，对不对？那我要证明这个角是九十度，是不是就行了？你看，那就要证明这个角加这个角是九十度，或者说证明这个角加这个角等于九十度， 等吗？当然了，你看这里是不是九十，所以这个小角加它是不等于九十度？ ok， 同理，这个角和它是相等的，是不是这个角，所以这个小角加它当然是九十度，也就是加它九十度，所以这里是垂直的。那么有了垂直有什么用呢？我们知道两条直线垂直 k 一 乘 k 二等于什么？负一对不对？所以给我们这条直线是斜率是 二分之一，所以我们新做的这条什么 g 一 撇 h， 它的斜率就是 负二，对不对？ k 等于负二，那么我们把它带进来，再带一个点呗。是一撇好，所以 y 等于负二， x 加 b， 这样的话，我是不是可以把它带进来，那么一等于负四加 b， b 就 等于五。好，所以这条直线来 解析式我们就搞定了，那么这条直线的解析式搞定了，来，我们是不是可以得到这个点和这个点的坐标了？那么我们有了这两个焦点的坐标，注意，不要忘了我们的目的是什么，哎，我们的目的是求 o g 一 撇，所以，哎，我可以在这个三角形当中使用面积法， 是不是就搞定了？ ok， 好， 或者你说，哎，我在这个小三角形当中用面积法可不可以搞定？当然也可以。好，我们来看 这个点的坐标，哎，直接解一式，我们清楚了，它的名字叫做， y 等于 f， x 加上五，对不对？好，零，哎， y 等于零， x 就 等于多少，哎，二分之五，所以这个点的坐标就是二分之五零， 对不对？所以，哎，这个底就是多少，哎，就是二分之五，好，高在这， 高是多少？哎，高是五，那么这个长度你会不会求啊？当然会求，两点之间的距离公式嘛，对不对？好，两点之间来哪两个点？第一个是二分之五零，第二个点呢？哎，这个点是 零五，好，所以两点之间的距离公式可以解出来吗？可以，二分之五减零的平方四分之二十五，加上零减五的平方二十五，对不对？所以等于四分之 一百二十五，好，开根等于二分之来一百二十五，由二十五乘五得到，对不对？所以是五倍根号，哎，那这样的话，我是不是可以用最终的面积把它给表述出来来？底乘高， 这是底好，这是高，就等于底乘高。好，所以我们列出的方程就是二分之五倍的根号乘我们的 o h 就 等于什么？ 哎，就等于二分之五乘五倍，二分之二数好，约，分一下，哎，哎，没了，好，五约了，还有个五， 对不对？所以 o h 就 等于什么？ o 根号五， o h 等于五，所以同除以根号五，根号五分之五，哎，五，是不是根号五的平方一约，哎，他就是 根号好，所以最终 o a 撇的值就是根号。 ok， 那 么这道题目它综合运用了我们的全等模型的知识，那 重要的是什么？重要的是我如何从他的条件当中一步步去分析他让我们是干什么？辅助线，我怎么想到去这样去做的？ ok， 因为他的标号是作为压轴，所以他考的是思维，而不是我们的纯粹的计算或者是几何证明，这一点非常重要。 ok， 那 么本期视频就到这里，大家拜拜。

大家好，今天我们讲一下八上几何的思维突破，培养构造全等的意识。我们看一下这个题目，三角形 abc 角， abc 呢是六十度的边， bc 呢是等于二， ac 呢是等于三， ab 边上有一点 d， ac 边上呢有一点 e， 并且呢 ad 等于 c e， 要我们求 cd 和 b 一 的最小值。那么这个题目呢，我们看一下已知条件以及所求有两个难点。第一个点呢是已知条件，这个 a d 等于 c e， 这两个线段呢离得比较远，没什么关系，所以不好用。 第二个难点呢，就是我们所求的这个 cd 和 b e 的 和的最小值，这两个线段呢是相交线段，没有办法直接求线段的和。 那么根据这两个点呢，我们看一下如何去处理。首先我们所求的线段是相交线段，我们怎么去处理呢？我们可以将所求的线段 cd 和 b e 呢转化成有公共端点的线段， 比如说我们可以保持 c d 不 动，我们把 b e 呢转化到这个 d f 这个位置， 使得呢 b e 这段线段长呢，跟 c d 有 一个公共点， d 这样转化呢，这个 c d 加 b e 呢，就变成了 c d 加 d f， 他们就有一个公共端点。有了公共端点之后呢，我们就可以利用三角形的三边关系，任意两边之隔呢大于第三边去求最小值。 好，我们现在明确了这个转化的这个需求，然后我们根据已知条件以及我们的转化需求，我们现在呢就要构造去构造全等三角形， 那么这个三构造全等三角形是构造哪个全等三角形呢？我们看一下已知 c e 要需要转化的是 b、 e， 那 么其中一个三角形呢，肯定是这个三角形，然后已知 a、 d 需要转化的是 df， 那 我们把 a、 f 连接起来，另外一个三角形呢，肯定就是这个三角形， 也就是说我们现在明确目标是要转化使得三角形 a、 f、 d 和三角形 c、 b、 e 是 全等的。 那么我们怎么转化呢？我们已经有了这个 a、 d 等于 c、 e 已经有了一条边相等，我们只要做 a、 f 等于 bc， 又得到了一条边相等，然后再使这个角 f， a、 d 呢等于这个角 b、 c、 e 可以 利用全等的判定 s、 a、 s 就 得到了这个全等三角形。得到这个全等三角形之后呢，我们就完成了这个转化的目的，也就使得呢 d、 f 呢等于 b、 e 了。 我们现在要求 c、 d 加 d f 的 最小值呢，也就是求 fc 这个线段的值，因为在这个三角形里面呢， c、 d 加 d f 总是大于 c、 f 的。 什么时候能取到这个等号呢？就是当这个三点 c、 d、 f 这三点贡 献的时候呢，我们就可以取得这个等号，也就是 最小值就是 cf。 我 们现在的问题呢，就转化成了求 cf 这个线段长，那么如何求线段长呢？我们初中阶段主要的方法就是勾股定律或者是等积法， 那么用勾股定律的话呢，需要有直角，我们看一下，我们刚刚勾到全等的时候呢，我们把这个 c、 d 边呢勾到到了这个 a、 f 这边，所以这个 a、 f 呢，是现在是等于二了。我们还知道这个 a、 c 呢是等于三的，我们要求 c、 f 的 话，肯定是在这个三角形 a、 f、 c 里面去求， 那么还有一个条件没用，就是这个角的六十度，那么这个角呢给我们转化到了这边，然后这个圈在三角形 abc 里面，这个圈加这个角呢是等于一百二十度的，那么这个角就等于一百二十度， 但是一百二十度这是一个钝角，我们不用这个钝角，我们是用它的补角，也就是这个角等于六十度，那么我们就可以做垂直了，过 f 点做这个垂直，做垂直的话呢，我们就可以得到了， 因为这个角是六十度，所以这个呢是一，这是根号三，所以 c f 呢就等于根号下四平方加三，也就是根号十九， 那么这个题目答案呢就是根号十九。那么我们讲这个题目呢，是为了让大家有这个构造全等的意识，根据已知和所求去构造全等，然后呢转化这个边角来解决这个题目。 那么我们刚刚讲的这个转化呢是 c d 不 动，让 b、 e 去转化，还可以有其他的转化方式，大家可以去试一下另外一种转化方法，体会一下构造全等三角形的这个解析方法。然后呢可以在评论区里面贴出自己的解析过程。

第十五题，咱先给这个题下个定义，这个题叫做动点问题， 这是动点问题当中较简单的题目，考察的是三角形的中位线。好的，一块来看， 已知四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形 h 是 一个洞点，在 c、 d 边上。我现在搁这取了个 h 啊，好， g 也是一个洞点，它在 bc 这条边上，我也随便取了个 g 点， 好，连接 a h 和 g h。 我 取 a h 的 终点是 e g， h 的 终点是 f， 它俩呢，一定是随着 h 和 g 的 变化而变化的。是这样，是这样的。 ok， 那 题目让我求谁？求 e f 的 长度的最小值。 因为 h 会变， g 点会变，所以 e、 f 点也会变，我要转化成一个啊， 不变的，或者说可以找到它的变化范围的去研究 e f。 好， 看到 e 点和 f 点，我知道它是中点，所以我要想 e f 一定是一条中位线，中位线，但是它却没有在三角形当中，所以第一步你要把它连接 a g， 非常好，连接 a g， 你 连起来了吗？嗯， 好，连完之后这个题几乎就解完了。连完之后我就知道 e f 一定是 f g 的 一半，也就是等于二分之一，二分之二分之一 a g， 那 既然要求 ef 的 最小值，也就是直接去求 a g 的 最小值就可以了，是吧？这点在哪里啊？这点在 bc 的 这条边上，也就是让我们去求 a 点到 bc 的 最短距离， 是吧，对吧？对， ok， 找最短距离一定是从 a 点向 b、 c 做啊，垂心，非常好啊，垂心 啊，这个我把它写成 g 一， 那这个 a g 一 就是 a g 的 最小长度，是不是啊？是啊，就等于二分之一啊， a g 一。 来，我们看 a g 一 怎么去成？ 题目当中已经告诉了我 ab 是 二，二 ab 是 二，还告诉了我九 c 是 一百二十度， 这个是一百二十度，也就因为这个多少度？六十度，这个多少度？三十度、三十度。写对了，直角边等于斜边呢？一二，所以它就等于一，所以 a g 就 等于四号四号三， 平方下二方减一方等于根号三，所以 a g 等于根号三。那么求出来 e、 f 就 等于二分之根号三，这个求解法。

同学们好，今天我们来看一个八年级的期末复习题。本题是依次函数综合题，需要求解图形面积和点的存在性。在求解此类题型的时候，我们需要综合运用几何与函数的知识，寻求最简变的方法，减少运算量，从而提高解析的效率。 如图，直线 l 一， 它的解析式为 y 等于负 x， 加三与 x 轴外轴分别交于 a 点和 b 点，点 c 的 坐标已知是负五负二，连接 a、 c、 d 点是线段 ab 上的一个动点，直线 l 二是过 cd 两点。第一个问，让我们求三角形 abc， 就是 这个三角形的面积。 要求三角形 abc 的 面积，我们需要先把 abc 三个点的坐标求出来。那么根据解析式， a 点的坐标，它就是三零 b 点的坐标是零三， c 点的坐标已知负五、 负二，在平面直角坐标系当中，要求解三角形的面积，尤其是像本题这样三角形的三条边，它既不在 x 轴和 y 轴都不平行的情况下， 我们通常可以利用 x 轴外轴或者平行于 x 轴外轴的直线，把三角形切分成两个小的三角形， 然后分别求解小三角形的面积，从而求得大三角形的面积。比方说，本题我们可以先求解 bc 所在直线的解析式，然后它和 x 的 交点。我们假设为 f， 求得 f 点的坐标，那 a、 f 的 长度已知作为底， b、 o 的 长度作为高，我们就可以求得 a、 b、 f 这个三角形的面积。那同样以 a、 f 为底， c 点的纵坐标的绝对值为高，我们就可以求得 a、 c、 f 这个三角形的面积，从而求得整个大三角形 a、 b、 c 的 面积。 当然我们也可以求解 a、 c 的 解析式，从而求得它和外轴的交点。比方说仍然为 f， 它的坐标。 通过求解 b、 f 的 长度，以 a、 o 的 长度为高，我们可以求得 a、 b、 f 这个三角形的面积。以 b、 f 为底， c 点的横坐标的绝对值为高，我们可以求得 b、 c、 f 这个三角形的面积，从而求得整个三角形 a、 b、 c 它的面积。 刚才讨论的两种方法，他们都有一个问题，首先他需要求解一条直线的解析式，然后还需要求解这条直线和 x 轴或者 y 轴交点的坐标，然后还需要求解两个三角形的面积，然后求和，从而求的三角形 a、 b、 c 的 面积。 这样的方法显然运算量是比较偏大的，所以我们再仔细观察一下已知的条件，我们可以看出 ob 的 长度和 o、 a 的 长度是相等的，从而 oba 这个角 它是四十五度的。然后我们也可以看出 b 点和 c 点它的横坐标之差和纵坐标之差也是相等的，都为五。那么我们做上辅助线连接 c、 f， 使得 c、 f 垂直于外轴，那我们可以看出 b、 f 的 长度，它是等于五，然后 c、 f 的 长度也是等于五，所以 c、 b、 f 这个角它也是四十五度。 既然我们求到了 a、 b、 o 是 四十五度， c、 b、 o 也是四十五度，那么很显然，角 abc 它就等于九十度。那对于三角形 abc 来说，它有一个角是九十度，所以我们只需要求出两条直角边的长度，就能够求出这个三角形的面积。 首先 a、 o 等于三， b、 o 也等于三，所以 ab 的 长度就是三倍的根号二， 然后 b、 f 的 长度为五， c， f 的 长度也为五，所以 bc 的 长度就是五倍的根号二。那么当然就有 s 三角形 a， b， c， 它等于二分之一，乘以三倍的根号二，再乘以五倍的根号二，所以它是等于十五。 第二个问，如果点 d 的 横坐标为一，那直线 l 二上面是否存在着点 e， 使得点 e 到直线 l 一 的距离为三倍的根号二。如果存在，让我们求出点 e 的 坐标，如果不存在，请说明理由。 那 d 点它的横坐标为一，由于它在 l e 上面，所以它的重坐标为二。 c 点的坐标已知是负五负二，那么所以 c、 d 所在的 l 二，它的解析式就是， y 等于三分之二， x 加上三分之四。 我们需要在 l 二上找到一点 e， 使得它到 l 一 这一条直线的距离为三倍的根号二。我们假设垂足为 f， 通常的做法，我们需要设 e， 它的坐标为 x， y， e， f 既然垂直于 l 一， 我们先求得 e， f 的 解析式，从而求得 f 点它的坐标， 然后求解线段 e， f 的 长度，使得它等于三倍的根号二，从而求得 x 和 y 的 值，求得 e 点它的坐标。上述的方法我们可以看出它的运算量仍然很大， 所以我们考虑一下，看是否能有更为简变的方法。由于 e 点它到直线 l， e 的 距离是三倍的根号二是一个定值， 我们知道在平面上到已知直线的距离为定值的，这样的点，它一定是在已知直线的平行线上面。所以，如果我们能够找到一条平行线，使得它平行于直线 l 一， 并且它的距离和 l e 的 距离为三倍的根号二，那么点 e 一定是在这条平行线上面，我们做出平行于 l e 的 一条直线 l 三， 如果 l 三和 l 一 的距离为三倍的根号二，那么 l 三和 l 二的交点，那么一定就是我们需要求解的 e 点 l 二的解析式我们已经求解出来了，现在的问题是，我们如何来求解 l 三它的解析式，我们过 a 做 a， f 垂直于 l 三垂直为 f， e 点是 l 三和 l 二的交点， l 三同时和 x 轴的交点为点 m， 那 af 的 长度就是三倍的根号二，同时由于 l 三和 l 一 是平行的，所以 fma 这个角是四十五度。 afm 这个角是一个直角，那么当然 am 的 长度，那么肯定它就是六。 由于 a 点的横坐标是三，那么 m 点的横坐标肯定就是九，所以 l 三由于它平行于 l 一， 所以它的解析式肯定是 y 等于负 x， 然后加上 b， 由于 l 三过 m 点， m 点的横坐标为九，所以我们可以求得这个 b， 它就是等于九。然后我们连立 l 二和 l 三的解析式，就可以求得 e 点的坐标，所以 x 等于五分之二十三， y 是 等于五分之二十二，这就是我们求得的 e 点它的坐标。这里需要注意的是，在平面上到已知直线的距离为定值的平行线，它有两条。我们刚才做出了 l e 的 一侧的平行线 l 三， 那么其实在 l e 的 另外一侧，它也应该有一条和 l e 平行，并且距离为三倍根号二的直线。 接下来我们做出 l 四这条直线，它平行于 l 一， 并且和 l 一 的距离为三倍的根号二，那同样的方法，我们可以求得它和 x 轴的交点 n 点的坐标。 然后由于 l 四和 l 一 平行，所以我们可以求得 l 四的解析式，然后它再和 l 二的解析式连立，从而求得这个时候 e 点的坐标。 具体的过程我们留给同学们去自行完成正确的答案。这个时候 e 点的坐标是负的五分之十三，负五分之二。 通过上述的讨论，我们发现在直线 l 二上面到已知直线 l 一 的距离为三倍根号二的 e 点，它有两个，分别是五分之二、十三、五分之二和负的五分之二，负的五分之二。 本题的解答过程再次说明一个道理，在面对函数与几何综合题的时候，我们需要灵活运用函数和几何的知识，选择运算量更小的解析思路，从而用更少的时间得到正确的结果。感谢关注行有界思悟界，这里是无界数学，我是彭老师，我们下期再见。

哈喽，各位小伙伴大家好，我是英才的数学薛老师 啊，临近期末啊，我再给大家助力一把，今天咱们浅浅的讲一下关于一次函数啊，里边一个动点问题。 那其实这个问题是比较广泛的啊，这动点问题里边我们会有一些什么呢啊，线段的关系啊，还有个面积的关系啊，包括会形成一个特殊图形的啊，类似于这样的题型。 那咱们今天的话只是简单讲一下啊，这个有关于面积类的一些问题，那么相信啊，通过这个视频之后啊，大家对于这类动点问题以后就不再头疼了啊，那来我们先看这样的一个题目啊，啊，他，他说这个啊，坐标系里边有一个直线 l 啊，找到这个直线 l， 然后呢，他经过圆点以及另外一个点 a， 五豆三，然后呢又说还有另外一条直线啊，也经过这个点 a 啊，而且呢是交于呃，这个 x 轴与这个什么呢？点 b， 交 y 轴与点 c， 哎，非常不错，告诉我们点 c 坐标这个零豆八，比较可惜的是点 b 坐标，他没说啊，那我们来看一看啊，他下面的问题是什么？ 那首先啊，我也看了一眼第一问和第二问，让我们去求这个直线的表达式，那这些都是老生常谈的一个一个问题了啊，也是咱们一个基本功，那就是用待定系数法，我们去哎，求他们的表达式， 你比如第一个啊，直线 l， 我 瞄了一眼这个直线 l 才过原点，说明它是一个什么正比例函数，那这个忒简单了，来写一个第一问啊，解 啊，首先我们先把这个表达式给写出来啊，假设直线 l 的 一个表达式，正比例函数是 y 等于 k， x， 对 不对？那我们写 k 不 等于零 啊。然后呢，找到这条直线上有没有一个已知的点数标呢？除了圆点之外的，有的啊，有这个点 a， 然后我们将这个点 a 是 五豆三代入，我们看会得到什么啊？得到，那这是一个三等于五 k， 哎，那我就很快可以知道，这个 k 的 话就等于五 k， 哎，那我就取完这个表达式了啊，写一写，所以这个直线 l 的 一个表达式啊，就是一个 y 等于五分之三 x 啊，大家注意这个格式啊，那么相同的一个方法。第二问里边，我让我们去求这个直线 bc 表达式，我们再瞄一眼，发现这个直线 bc 好 像是一个，呃，不，它不是个正面函数啊，它是一个依次函数，它不过原点，所以说我们先把它的表达式老规矩啊， 假设直线 bc 的 表达式啊，为 y 等于 k x 加 b， 那 我们所求的就变成个 k 和 b 了，我们需要两个点坐标，找一找有没有已知点 c， 哎，一个还有一个点 a， 那 就我们将 这两个点 a 五豆三带入，嗯，再写一个吧，将点 a 还有点 c 零豆八，我们分别带入，我们看会得到什么啊？来得到是两个式子，第一个式子，那就是，呃，上面的，呃，五 k 啊， 加上一个 b 就 等于三啊。第二个，我们把点 c 带进去，就直接有了，一个什么呢？ b 是 等于八，哎，然后我们再去分别求出 k 和 b 的 值，那 b 的 话呢，就是个八了。我们再看这个 k 啊， k 的 话，那就等于负一，所以这个直线 b c 表达式就有了，是 y 等于负 x 的 加八啊，那这样的话，我们第一问和第二问这个 b 拿分，这个啊，已经到手了啊，我们再看下边这几个啊。 第三问，让我们去求这个三角形 a o b 的 面积，我发现啊，不管是 a 啊， o 啊， b 啊，它都是一个什么呢？定点不会变的啊，所以，所以说它还没有到这个动点问题啊，那我们就按照正常的一个啊，三角形求面积就好了，底乘高除二嘛，对不对？那在这个问题里边我发现什么呢？哎， 那 o b 是 一个横平的线，我们就以它为底，那么这个高的话呢，应该就是个点 d 了啊，是不是？来。那么第三问，那么写个由题可知 啊，我准备去算的时候，我发现什么呢？哎，这个，这个 a d， 这个长度刚好就是 a 的 纵坐标，这个我知道，但它这个 o b 呢，好像需要知道点 b 坐标对不对？来，我们是不是需要将点 b 给求一求， 根据直线去求坐标轴的交点，很简单，与 x 相交，我们就将这个 y 等于零，带入 这个，我们钢球的 y 等于负， x 加八，就会得到一个式子，变成负 x 加八等于零， x 呢，等于八，所以说点 b 坐标八到零， 那么至此的话，我就可以写，所以这个三角形 a o b 的 面积就等于二分之一的 o b， 再乘上个 a 的 总坐标 啊，那就那一只，你看啊，我们是先表示再去带入啊，再次强调一下啊，这个是 y a 的 意思就是 a 的 纵坐标啊，你看，我这么写就看着很美丽啊。来，继续往后边写，带入二分之一 o b， 横平线段横叉右减左，那是乘上个八 哎，那再乘上一个 a 的 纵坐标，那我们看是三，那最终结果就直接有了，是十二 啊，都很简单，以前三问里边没有动态问题啊，是比如说我们这个拿手好戏啊，来，我们正式进入到这个第四问 啊，我瞄了一眼，发现什么呢？点屁是直线上的一点没有说在什么位置，说明点屁他大概率就是我们的一个动点。我们可以这么理解，就是有一个点屁啊，在这个什么呢啊，直线 l 上动，在这跑， 然后的话不知道啥时候啊，满足了。这个什么呢？ b o p 面积的一半是等于 a o b 的 面积， 哎，那我看看啊， b o p， 那 我就假装啊，我假装的啊，这个点 p 我 们现在画出来，先让这个三角形 o b p 啊， o p p， 这图形有，有图有真相吗？是不是？然后再看看这个面积啊，我们该怎么去处理它啊？当然了，这个点 p 是 我随便画的啊，因为点 p 是 是是随便动的啊，啊，这个我们要注意下细节，再次强调，这个点 p 是 我随便画的啊， 那么接下来我们就要去进入到如何去处理动点问题啊这样的一个章节了啊，来动点，那是未知对不对？也就是说，来我们分析一下啊，分析 他竟然是个动点问题呢？是未知，那有未知数，我自然就想到了一个什么呢，方程思想啊，方程思想里边，我一直提倡我们用这四个字啊，射 标找猎啊，射标找猎，那这个四个字如何去理解的话，我们挨着来看看啊。那么首先是第一个射， 那这个毫无疑问就是假设一个未知的意思，对不对？那这是个动点问题。所以第一步我们大概是需要先假设出这个动点的一个坐标来，我们写假设 动点是屁，对不对？好，我假设动点的横坐标是 m， 接下来要利用这个动点的点作弊的特征，点在哪啊？点在这个直线 l 上，对不对？那直线 l 有 没有表达？是哎，有的，我们前面已经求完了，哎，就是 l 是 吧？那是它 啊，你横坐标是 m， 我 把横坐标 x 等于 m 带入到这个表达式里边，就知道你的纵坐标 y 就 等于五分之三 m 啊，对吧？然后我们就可以把这第一步给做好了啊。第二步，标标是什么意思呢？来标的意思就是我们准备去求三角形的面积了，对不对？那求的话是不是根据面积公式 底乘高除二？所以说你需要用什么呢？你假设这个字母把这个他的底，他的高都给他表示出来啊，那这个就是标的意思啊。那然后我们来看看标啊，如果说现在我们准备去求这个 obp 的 一个面积， 那自然还是一个底乘高除二，哎， o b 依然啊，是顺眼的横平的线段，以它为底，那我们过这个点 p 往下做一个垂线啊，垂坠 x 轴的交一点 q 吧， 行不行？那此时我如果想求或者表示这个三角形 b o p 的 面积，那就是底 o b 乘上个高 p q， 再除上个二来，那我就需要准备准备了啊。先看这个 o b 的 长度， 那 o b 它是一个线段的那个横叉右减左啊，直接就是八了啊。问题就在于这个 p q 啊， p q 等于什么？有同学说，老师我会太简单了， p q 等于什么呢？点 p 的 一个纵坐标啊，它是 m 到五分之三到 m， 对 吧？好，那就是什么呢？啊？点 p 的 纵坐标五分之三 m 啊，减去一个零对不对啊？来，这也是我们这个问题里边动点的魅力所在啊，它的位置我们并不能够确定它对不对，点屁到底是在上还是跑，哎，是不是还有可能跑下边呢？对不对？ 是不是也就是对于点 p 和点 q 位置之间我们是不确定的，对吧？那前面我们提过啊，我们去表示线段的时候，我们知道横平的线段，那就是一个横叉右减左， 如果是数值的线段，那就是一个纵差上减下，对不对？一旦我说上下左右这个位置我不确定怎么办呢？来，我重点写一下啊，来，位置不确定， 我们只需要在表示基础上加一个绝对值就好了啊，这个特别好用啊，你比如现在 p q 是 不是那谁上谁下我不确定。那原本应该是表示为是五分之三减零啊，五分之三 m 减零，但因为位置不确定，咱给它加一个绝对值， 那这样的话，这一步就走完了。有些老师好像我可以进行分类讨论呀，我不建议用分类讨论，因为分类讨论第一 啊，你需要对这个题型非常熟悉啊，简单题还好，万一难的话，情况你可能会遗漏掉。第二，过程又臭又长，当然不是当代我们新生代的一个首选方法啊，我们需要只需要掌握点位置不确定，我家绝对这就好了吗？ 对不对？好，那么接下来第二个字标也走完了，最后一个啊，还有一个找， 这个找是什么呢？来，我们列方程是不是需要一个等量关系啊？就需要一个关系是不是？那这个找的话，就是我们所找到那个等量关系。那其实在这例题里边最仁慈了啊，不用找，他会直接告诉我们他们的关系是什么来，他不说了吗？ 啊，这个 b o p 的 面积啊，是等于什么呢？呃，他的一半是等于 a o b 的 面积的，那我们就就直接用这个关系建立方程 来，因为二分之一的三角形 b o p 的 面积是等于这个三角形 a o b 的 面积，那我就可以开开始了啊，射标找，找到了 b 二分之一乘上一个，注意啊，这个二分之一不要漏掉了啊，来，面积开始算啊，二分之一的底乘高，那应该是乘上个 o b， 再乘上一个 p q o b 再乘上一个 p q 就 等于 a o b 的 面积。我们算过了，是十二，那我就直接写了啊，来代入集，这是二分之一乘上的二分之一， o b 是 八，然后 p q 是 五分之三， m 等于十二。哎，我得到了一个什么呢？含绝对值的一个一元一次方程，那这个我们之间解太多了啊，解得 第一个 m 一 等于，我们算算这是几啊？这是二四，那 m 的 话，应该是要么是等于三分之二十或者是什么呢？ m 等于负的三分之二十， 对吧？好，那么这样的话，我们就可以求出点 p 的 坐标。第一个，如果横坐标是三分之二十，那么纵坐标就是四。 第二个，如果你的横坐标是负的三分之二十，那么你的纵坐标就是负四。哎，至此我们就把这个点 p 动点坐标给它讲完了啊， 那我们不妨来总结一下啊，其实整个题来说啊，我们只需要把这个第四个给它梳理好就可以了啊。来，那如何处理这个依次函数里边动动点问题呢？我们只需要遵循啊，来，这次这这个字啊，来就是设 标找列啊，这个框架非常清晰啊，第一步假设一个动点的一个坐标，第二步 开始标记，那当然这是有方向的啊，你看看我们所求那个我到底要去标什么？我去标一个线段呢？还是标一个面积？面积有面积的话，底是谁高是谁找到它，然后把它给标一标就可以了啊，之后开始找 啊，一般情况下题干里面会给出这个线段关系，那么随着往后的学习，可能这个人家不给，需要我们自行去找啊，那么找线段关系呢，也就是我们导线段吧，也也是咱们的一个拿手好戏啊，一旦你具备了，就是说我们有会就是这个标和找，那么剩下这个射和列的话，其实比较简单的啊， 那当然了啊，我还是希望大家能够掌握这个什么呢，来点坐标表示线段这一块啊，有不熟悉的同学可以继续继续继续去翻看咱们的笔记本好不好？那临近考试，祝大家有个好成绩，今天就这样，下次再见。

朋友们，关于圆与圆这个位置关系这个题目一般般都可以出的，好难，就是后面这道题啊，很多很多的人都做不出来，你有没有胆量试一下？来，我们一起来看下这道题。 如图，圆一的直径 ab 的 长度为十二，你看直径 ab 的 长度为十二，我们就知道其实这个是这个圆的直径为十二，对不对？那么圆二它的直径为八，那么角 a、 o o 一 o 二它们之间的角度为三十度，你看这个角为三十度，那么 o 二沿着直线 o 一 o 二平移，对不对？ 当 o 二平移到 o e 和 a 和 a b 所在的直线都有公共点，都有公共点时，令圆心距它们这些圆心距为 x， 原句为 x， 求 x 的 取值范围。我们一看，一定要注意哦，这里是指 a b 所在的直线啊，一定记住是直线而不是线段好不好？一定要记住是直线，既然它是直线，意味着什么？意味着它是没有端点的，对不对？ 它是没有端点的， ok， 那 我们呃原二开始往这边移好不好？移它移到这里的时候，你看由于跟它相交的时候，先它先接触到 o 一 的时候，这个时候接到 o 一 呢？ 它还没有碰到这条直线，是吧？这个时候你看 o 一 到 o 二之间的距离，好吧，你看这两个，如果我是刚刚相接的时候哈，你看它们之间距离是多少？ 这个是，这个是直径为一十二，那么这个距离为六吗？对不对？那么这个直径为八，那么这个半径就为四吗？那这个就为十，对不对？看见他是三十度的角，那么这个等于多少？等于五，对不对？他 a 那 个我以这个点，我这个点，我把它记为 c 点吧。那么 c、 o r 之间的距离为多少？ c、 o r 之间的距离为五，对不对？五是大于它的原二的半径的，它半径只有四，所以这个所以说这个时候 那个 o r 它还没有碰到 a b 这条直线，对不对？所以它还需要继续往前移，然后才能够碰到 a b 这条直线， ok， 那 我假如我 o r 我 继续往前移，移到这里来了，好不好？那么 o r 这个时候跟直线 a b， 它有焦点了，这个时候有焦点，那么过这个圆心做 a b 的 垂线，对不对？那就最好是跟 a 跟直线 a b 相切，对不对？哎？正好相切，那我们知道，知道了。哎，这这条线就是 o 二，它的 o 二这个圆它的半径，那么它就是四，对不对？哎？那我们就知道根伸了三十度角，那么 o 一 o 二之间的距离， o 一 o 二之间的距离就会等于，这个时候 o 一 o 二之间的距离就会等于 四，乘以二就等于八，对不对？那这个时候 o 二还可以继续往前移，对不对？哎？移。但是你要记住， o 二 o 二还必须跟 o 一， 要有焦点，要有公共点，对不对？然后记得它要有公共点，它不能够移到完全脱离 o 一， 对不对？他最后是什么状态？最后就要跟 o 二，最多还是 o 二要跟 o 一， 要进行内切，他就只有一个公共点，对不对？就内切。哎，那刚才我们已经学过了，当两个圆内切的时候，他们中心距，他们两个的圆心距之间的距离多少， 那 o 一 o 二它们之间的圆圆距就会等于两个圆的半径之差的绝对值对不对？ r 一 减去 r 二，它们之间的绝对值对不对？ r 一 等于多少？ r 一 就是等于 六，对不对？ r 二就是等于四，对不对？等于二。所以说我们这个 a 的 取值范围是多少？ x 的 曲值范围就会等于二和八，对不对？就是 x 必须要小于等于八，大于或等于二。这里面一定要大家一定要记住啊，一定要 加上等于号，为什么？因为你你在八的八这个值的时候，它确实是跟圆还有这条直线是有交点的，因为它只是正好 相切，对吧？正好相切这个二你也一定要加到等于号，因为这个时候确实是有公共点，因为他们是正好内切，是吧？这个不能够，不能够丢掉，这个等于不能丢掉啊，所以大家做题目的时候一定要很细心啊，通过这道题 我们可以学到什么内容呢？第一个就是两个圆，他们这两位置关系从外切到 这相离吧，先相离到外切，对不对？然后再进行相交，然后再进行内切，对不对？ 再做个内涵，这五个位置关系大家一定要很清楚。还有就直线，直线与圆他们之间的位置关系，对吧？他们要相切相切的话，那就是这个 圆形到直线之间距离正好就是圆的半径，是吧？所以大家一定也要有这种运动的思维哈，运动，运动的思维，圆不断的往这边移，它的整个过程它是怎么去变化的？要有这个运动的思维，好吧，大家都学会了吧？

数轴动点问题往往涉及多个动点，在数轴上的运动需要根据题目条件准确判断动点的运动方向、速度以及运动时间，进而求解出相关位置、 距离或时间等未知数。这一过程中可以培养逻辑思维、空间想象和代数运算等多种能力，为今后的学习打下扎实的数学基础。 分析动点运动过程需要关注的四个关键要素，动点起始位置中指位置表示的数 动点运动的速度和方向。结合运动确定动点运动的时间描述或运动状态的转折。极点的运动发生变化，如，动点的运动速度、运动方向、运动时间的变化。 数轴上动点必备知识点数轴上动点运动后表示的数向左运动起始数减运动的路程，向右运动起始数加运动的路程。 例如，动点 p 从数负三表示的点向右运动五个长度单位，此时点 p 表示的数为负三加五等于二。动点 p 从数负三表示的点向左运动八个长度单位， 此时点 p 表示的数负三减八等于负。十一、路程时间速度的关系，移动的距离等于时间乘速度。 例如，动点 p 从数负三表示的点以两个长度单位每秒的速度在数轴上移动，经过 t 秒后，点 p 表示的数为， 负三加二 t 或负三减二 t。 注意运动的路程是二 t。 如果题中没有明确向右还是向左移动，需要分类讨论两种情况存在，如果明确了，则只有一种情况存在。 两点间的距离表示等于这两个点所表示的数值差的绝对值。即如果有两点 a 和 b， 它们对应的数分别是 a 和 b， 那 么 ab 的 长度就是 a 减 b 的 绝对值。 已知两点的位置关系，直接写右边的数减左边的数或者叫大数，减叫小数。 例如，三和八的距离是八减三等于五负七和九的距离是九减负七等于十六。未知两点的关系。做叉球绝对值。两点终点表示的数。 设 a、 b 的 终点表示的数是 x， 分 a、 b 和 a、 b 两种情况。根据距离的等量关系，都得到 a 和 b 的 终点，公式为二分之 a 加 b。 继续探索已知一点表示的数和终点表示的数，则可得到另一点表示的数。 解决数轴上的动点问题，通常需要遵循以下基本步骤，确定动点的始位置。明确动点在数轴上的始位置。确定动点的运动规律。 了解动点是如何移动的，例如速度、方向等。建立代数表达式。根据动点的运动规律，用代数式表示动点的位置。 列出方程。根据题目条件，设出未知数，列出一元依次方程或不等式。含有绝对值时，要分类讨论。 求解方程。解方程，得出结果。含有绝对值的方程要化简绝对值，必须分区间化简，一般采用零点分段法。有的根据提议，通过数轴可以直接化简。 竖轴是竖形结合的产物，分析竖轴上点的运动要结合图形进行分析。点在竖轴上运动形成的路径可以看作竖轴上限断的和差关系。 下面介绍几类常见的竖轴动点题型。题型一，动点表示竖， 如此例要求两绝对值和的最小值，即 x 的 取值范围。绝对值 x 加一加绝对值 x 减二代表的几何意义是， x 到负一表示的点的距离与到二表示的点的距离和。 当 x 在 负一点左边时，距离和肯定也大于三。当 x 在 点二右边时，距离和肯定也大于三。 当 x 在 负一点与点二之间任意位置包括负一和二，这两个数表示的点距离和等于三。由此绝对值 x 加一加绝对值 x 减二取最小值时， 相应的 x 取值范围为， x 大 于等于负一，小于等于二，最小值是三。题型，二，相遇问题这类问题需要同时考虑两个动点的速度和移动时间， 我们可以通过列出两个动点移动的方程来解决这个问题。如此例，已知两点对应数，两动点分别从此两点相对运动，求运动到条件距离的时间。 设运动时间为 t 秒，根据数轴上两点距离公式，可得线段 a b 的 长为五。减负十等于十。五向右运动的 p 点表示的数在负十的基础上加上其运动路程。 向左运动的 q 点表示的数在五的基础上减去其运动路程。根据两点间的距离，即 p q 等于三分之一， a b 分 p q 相域前和 p q 相域后列方程求解即可。 题型，三，追击问题这类问题需要我们找出两个动点的速度差，假设一个动点的速度是 v 一， 另一个动点的速度是 v 二，那么他们之间的速度差就是 v 二减 v 一， 然后我们可以用这个速度差来计算他们何时会重合。如此例，点 b 对 应的数为一， ab 等于六， bc 等于二，所以点 a 对 应的数为一，减六等于负五，点 a 对 应的数为一加二等于三 动点 p q。 同时从 a、 c 出发，分别以每秒两个单位长度和每秒一个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为 t 秒。点 p 对 应的数是负五加二 t， 点 q 对 应的数是三加 t。 依据 o p 等于 o q 这一等量关系可得到一元一次方程。注意要分当点 p 与点 q 在 原点两侧时，与在原点同侧时两种情况讨论。求解方程 题型四、中点等分点问题。已知数轴上的点 a 表示的数为六点 b 表示 d 数为二点， c 表示 d 数为负八。根据中点坐标公式可得 m 点表示的数为二分之二，加负八 点 p 表示 d 数为六减 t。 利用中点公式可分别得到点 m、 p、 n 表示的数。利用距离公式得到 m n 的 长度。此时还根据 m n 的 相对位置需进行分类讨论。当点 n 在 点 m 右侧时， 二分之八减 t 大 于负三，即 t 小 于十四时， m n 等于七减二分之 t。 当点 n 与点 m 重合时，二分之八减 t 等于负三 既 t 等于十四时， m n 等于二分之 t 减七。

长郡八年级数学的期末压轴啊，我们一起来看一下。呃，这个卷子前面的难度呢？整体算是一个中档 二十五题呢，其实也是一个中档题，不算非常难啊，如果你对这个呃动点问题练的比较多呢，其实这个题对于你来讲难度就非常小了。好吧，好，我们一起来看一下这个题啊，来，一起读题。 如图一，在平面直角坐标系中，已知点 a、 b 的 坐标分别为二零和零二。好，我们先标出来对吧？ a 点的坐标是二零， b 点的坐标是零二。好，继续读点 p 是 o a 延长线上的一个动点，而且它不能跟 a 重合，对吧？ o a 在 这吧，那么 o a 延长线是不是在这 p 点是不是就在这个线上去运动啊？ 然后以 p 为直角顶点， b p 为直角边，在第一象限做等腰直角三角形 b pe， 对 吧？我们看一下，是不是就是这个三角形啊？等腰直角三角形，对吧？然后角 b pe 等于九十度啊，那这是废话，这角是九十度啊， pb 等于 pe 连接 a e， 对 吧？ pb 等于 pe 连接 a e。 好， 这就是大的题干啊！接下来我们来看题，先看第一题， 若点 p 的 坐标为四零，求点 e 的 坐标。好，那么这个 p 点的坐标呢？他第一题告诉我们是四零，让我们求 e 点的坐标。如果说你是练题练的比较多，或者学校老师有讲，我们应该轻易的就可以发现，哎，这是一个什么模型啊？ 这是不是一个三垂直的模型啊？是不是？是不是我们在这个全等三角形里面经常讲的一个模型啊？三垂直模型，对吧？那么这个模型它本来应该是什么样子啊？我们随便画一下，它本来啊，它可能是这个样子， 对吧？哎，或者你给他反过来对称一下都可以，然后这个角是直角，这个角是直角，对吧？这个角他也是直角， 然后呢，这个边跟这个边相等，对吧？那么我们就可以通过这个模型去证明这个三角形跟这个三角形全等啊。好，这是我们经常可以见到的一个模型，但是呢，这个题我们发现 这个东西啊，他并不是这个整体，我们发现他是不是缺了一块啊？所以我们在这个题我们很轻易就可以想到，我们是不是要做出一根辅助线来形成这样一个模型啊？那这个辅助线也是非常好想的，对吧？我们就照着这个模型去做一下就可以了，哎，做到这就 ok 了，对不对？ 然后这个底边是垂直的吗？对吧？好，我把这个擦掉，好，接着我们来写题啊，那我们刚才说了，这个三垂直模型我们很轻易就可以证明，什么？这个三角形跟这个三角形是全等的，对不对？怎么证明？我们简单看一下啊， 这个边跟这个边是相等的，是不？斜边相等啊？哎，这个是直角，这个是直角，是不是有个角啊？ 这个地方是直角，那么这个角加这个角是不是九十度啊？同理，这个角加这个角也是九十度，对不对？所以这个角就等于这个角，对吧？哎，同理，你也可以证明这个角等于这个角是一样的，好不好？你去正一下就可以了。所以在第一题里面，我们很轻易就可以得到三角形 b o p 是 全等于三角形，这个啊，这个焦点我还没设出来，比如说这个 垂直于 f， 好 吧，那么三角形 b o p 就 全等于三角形 p f e， 对 不对？那么根据这个其实一点坐标，大家是不是就可以很轻易的看出来了，对吧？这个长度跟这个长度是不是相等啊？ 那这个长度是不是四啊？因为第一题告诉我们 p 点的坐标是四零吗？所以 e 点的纵坐标这是不是横向的？所以说 e 点的纵坐标就是四啊，我们写一下， e 点的纵坐标应该是四，那横坐标呢？横坐标是不是这一段加上这一段，然后这个 p f 这一段刚好跟这一段是相等的，是不等于二啊？所以这个长度是不就应该是四加二等于六啊？所以 e 的 横坐标就应该是六啊。第一题我们就解决了，非常简单。 好，接下来我们来看第二题啊，我们一起来读一下题，现在他告诉我们 a e 是 平分角， b e p 的， 对不对？我们看一下啊， a e 在 这，对吧？他把这个角啊给它平分开了，那是不是说明这个角是等于这个角的？ 然后让我们探求 ab 跟 ap 的 数量关系，并且让我们证明来， ab 在 这， a p 在 这，对吧？这个时候大家想一下了啊，第一个条件是不是在第二题里面是不能用的呀？对不对？所以现在这个 p 点的坐标可不是四零了啊，所以我们现在把这个条件给它擦掉啊，这个 p 的 坐标现在我们是不知道的啊。 好，我们接着来看，那么我们要去证明 ab 和 ap 的 数量关系啊，前两节课我也经常讲这个问题，就是他让我们证明他俩的数量关系啊，往往我们是不能够直接去证明 ab 和 ap 的， 对不对？我们通常需要把 ab 转化成另一个边，或者把 ap 转化成另一个边，甚至有的时候我们需要把 ab 转化成一个，再把 ap 转化成另一个，我们需要通过他们转化之后的两个去建立联系， 对不对？所以这个地方我们优先想到的思路就是，哎，我怎么可以把这个 ap 给他换到另一个位置去呢？对不对？这个是我们的一个整体的思路， 然后我们再结合题目的条件，题目告诉我们这个地方它是角平分线，所以这两个角是不是相等啊？哎，如果这个时候比较敏感的同学就可以发现了，哎，这个角，这个角 a p 是 不是在这啊？说明，哎，这个地方是不是有一个三角形呢？看到没有？那么 这个角又跟这个角相等，那我是不是很轻易就可以想到，我能不能在这个左侧去构造一个这样的三角形，那么这个三角形跟右边这个三角形是不是就很可能相等了？如果说这个三角形 跟右边这个三角形是全等的话，那我是不是很轻易就可以把 a b 给转化到这个位置去啊？ a b 如果转化到这去是不是就很舒服了？说明我们只需要去找这根线和 a b 的 关系就可以了，对不对？好，这个我们现在是不是形成了一个比较正向的一个思路，好，我们现在就开始直行， 那么我们要做出一个三角形来，对不对？所以这个地方我们是不是肯定要做出一个辅助线啊？好，我们先把这个辅助线给它画出来， 好，这个辅助线画出来是这样的，呃，比如说，呃，这个点是 q 点吧？好吧，我教的这个 q 点好，这个地方我要强调一个事情，大家要仔细听啊，我的辅助线虽然是这个 a q， 但是大家在试卷上写的时候怎么去描述， 这是不是一个问题啊？所以我现在给大家几种选择啊，大家可以看一下，第一种，我让这个 a q 等于 ap， 第二种，我让这个角 q a e 等于角 p a e， 第四个，我让角 a q e 等于角 a p e。 好， 我们一个一个来看啊。我们先来看第一个，如果我们做辅助线，我们让这个 a q 等于 ap， 可不可以啊？我们想一下， 我们要证明这两个三角形是全等的，对不对？那么你想，现在我假设 a q 跟 ap 相等好，这个地方是不是还有个公共边， 这两个角是不是相等？那大家想一下，这些条件支撑我们证明这两个三角形全等吗？想一下行不行？这是一个什么东西啊？是不是 s s a 呀？ 那么 s s a 可不可以证明三角形全等啊？是不是不可以啊？所以第一种情况是 s s a， 我 们是无法证明三角形全等的啊？好，所以第一种情况我们是不行的。 第二种可不可以？我们来看，我们如果让 eq 等于 e p， 哎，这个时候可不可以啊？来，是不是？哎？一组边相等， 还有一个公共边对不对？它们的两个夹角是不是也是相等的？所以第二种辅助线的做法我们要正的是不是 s a s 啊？那么 s a s 是 不是就可以证明两个三元全等了？所以第二种做法是可以的啊，我们再来看第三种， 让 q a e 等于 p， a e 来， q a e 在 这， p a e 在 这，好，是不是有一组角相等了？ 然后是不是还有个公共边？然后是不是还有两个角啊？所以第三种我们要证的是什么？是不是 a s a 啊？ a s a 是 不是可以证明两个三角形全等啊？没问题。 再来看第四种，我们如果让 a q e 等于 a p e 呢？好，我们来看是不是一组角相等，然后两组角相等， 还有一个公共边，对不对？那么这种我们用的是哪个？是不是 a a s？ 那 么 a a s 是 不是也可以证明三角形全等？好，所以这个地方啊，我们来画一下啊，这个地方是什么啊？做辅助线时候的什么描述吧。 我们这个时候要去在我们的试卷上，答题卷上，我们要去描述一下它，虽然线都是同一根线，对吧？都是这根线，但是我们描述的方法不一样，有可能导致我们最终就做不出来这个全等， 这个是不是就不行了？哎，这个地方大家一定要注意一下，好吧，考试中你去选择这三个中的任意一种都可以啊。 好，我们接着往下讲啊。好，现在我们是不是通过这三种都可以去证明什么？我们是不是都可以去证明三角形 eqa 是 全等于三角形 epa 的， 对吧？我们来画一下， eqa 全等于 epa， 对 不对？好，这个时候我们就把 ap 这个东西转化成了什么？是不是转化成了 aq 啊？ 没问题吧？那现在如果让我们探究这个 ab 跟 ap 的 数量关系，是不是就是探究 ab 和 a q 的 数量关系啊？ 有没有问题啊？哎，没有问题，好，现在我们就干什么呢？我们就来着重去研究这个 a q 和 ab。 哎，这个图画出来大家就猜了，它是不是很有可能是一个什么等腰三角形啊？它如果是一个等腰三角形，那 ab 不 就等于 a q 吗？对不对？那如果我要证明它是一个等腰三角形，我有很多种方法，对不对？我们常见的有几种方法，最简单的我是不是就证明这两个角相等啊？ 哎，或者我去做一个垂线，证明三线合一，可不可以啊？是不是也可以啊？好，这两种方法都可以啊，我们来写一下吧。好，我们现在要去证什么呢？我们现在要去证明这个三角形 abq 啊，为等腰三角形， 我们有几种方法呢？我们有两种基本的思路啊，第一种思路就是干什么？我们是不是证明什么两个底角相等啊？哎，两底角相等 能不能证明两个边相等啊？其实也可以，但是这个两边相等是我们要得出来的结论，对不对？所以说不行。还有一种是什么？是不是我们去证明一个三线合一啊？我们也能证明他是一个这个等腰三角形，对吧？那我们在这个地方肯定我们优先选择这个简单一点的去证嘛，好不好？好，我们来看一下， 我们要证明他是个等腰三角形，刚才说了，我们只需要证明这两个底角相等是不就可以了？然后呢，我们看 刚才我们是不是证明了这两个三角形是全等的，所以这两个角是不是相等的？然后这两个角是不是作为这两个角的外角啊？所以这两个角是不是也是相等的？好，我们来写一下 三角形 a q e 全等于角 a p e， 是吧？ a q e 等于 a p e， 所以 我们就得到了角 a q b 也是等于角 e p f 的， 没问题吧，对吧？这俩外角是相等的，好，我们在图中给它标出来，我们现在证明这两个角是相等的， 然后啊，我们在第一问，是不是又证明了这两个角是不是也相等啊？好，我们写一下三角形 b o p 全等于三角形 p f e， 所以 我们的角 ob p 是 等于角 e p f 的， 对不对？ ob p 等于角 e p f， 然后看一下 a q b 等于 e p f o b p 等于 e p f， 所以 我们是不是得出来了什么角 a q b 是 等于角 o b p 的， 对吧？哎，这个角跟这个角它也是相等的，我们还是一样在途中给它 标出来。好，到这我们要证明他等于他，对不对？现在我们已经证明了他等于他了，那我们现在是不是只需要证明这个角等于这个角就可以了？那我们来观察一下，是不是也很好证明啊？这是不是一个等腰直角三角形啊？ 这个角是四十五度，对不对？这也是一个等腰直角三角形吧，所以这个角是不是也是四十五度啊？哎，中间这个位置是不是一个公共角啊？哎，所以这个角加这个角是不是就是相等的了？哎，到这我们就证明了啊，角 这个 obp 是 不是等于四十五度，加上角 abp 的， 对吧？这个角 a b q 呢，也是等于四十五度加上角 a b p 的， 所以说它跟它是不是就相等了？好，我们写出来，角 o b p 等于角 a b q。 好， 前面我们知道 a q b 是 不等于 o b p 啊， o b p 又等于 a b q， 所以 我们写出来什么是不是角 a q b 是 等于角 a b q 的 了？至此，我们是不是就证明了这个角跟这个角是相等的了？所以这个三角形是不是就等腰三角形了？好，那就出来了，对不对？我们就知道了， a q 啊，它是等于 ab 的 对吧？前面已经说了 ab 是 等于 a q 的 吗？所以 ab 是 不是就等于 ap 啊？好，这个第二题就结束了。好吧，如果没有看懂的，可以保存回放一下啊，我们现在把这些擦掉。 好，第三题，我们一起来读一下题如图二，延长 b， a e p 交于点 m 啊，现在看这个图二了啊，我们把 b a 啊， e p 都给它延长，最后交于 m 点 啊， bp， a e 交于点 n， bp a e， 我 交点是 n 点啊，点 p 的 坐标现在设为 t 零。 好，大家看一下，这个 t 肯定是一个变量，对不对？这个 t 我 们在遇到这种变量问题的时候，先不要管，后面我们先要注意的就是这个变量它的范围是什么？ 他的范围是什么？题干是不是告诉我们，这个屁点是 o a 延长线上的一点，而且屁点是不能跟 a 点重合的， a 点坐标是不是二零啊？所以这个 t 的 范围我们先写出来， t 是 不是一定要大于二啊？好，这个我们先写出来啊，然后我们再往下读， 当三角形 a p、 e 的 面积与四边形 a m p n 的 面积之比为整数时，求整数 t 的 值。好，我们看这两个是谁呢？一个是 a p e， 还有一个是 a m p n， 这个四边形对不对？好，我们简单给它画出来吧。一个是这个三角形啊，还有一个是这个四边形， 然后他把它们两个的面积啊给它比起来了，对不对？好，我们写出来 s 三角形 a p e 比上 s 四边形 a m p n， 对 不对？是不是有一个比值啊？这个比值它告诉我们是一个整数。好，我们先不管这个整数啊， 这是不是一个面积比值问题啊？哎，上节课刚刚讲过这个问题，面积比值问题，我们通用的手法是什么？这个地方我们再复习一遍啊，来， 面积之比的问题，我们通常是两种手法，对不对？第一种手法，我们要去找什么公共底，我们会把面积比这个问题转化成一个什么问题啊？转化成一个高之比的问题， 对不对？还有一个问题是什么？还有一种方法是什么？是不是直接用这个面积公式去表示啊， 对不对？哎，上节课讲的这个问题吧。好，现在我们来观察一下这个东西 跟这个东西它们的面积是不是有公共底啊？哎，是不是就很舒服了？它是有公共底的对不对？ ap 是 不是就公共底啊？如果这个时候有同学对这个面积的公式啊，特别是这个四边形的面积，它不熟悉的话，它就看不出来这个 ap 是 公共底。 我们等一下，看一下这个 ap 为什么是公共底好不好？好，我们先来看一下啊，那我现在是不是要把面积比转化成一个什么高度的比值吧？那我们就把高给它做出来啊，我们做个辅助线，好， 我坐下来。哎，这个高度，比如说我们就让它是这个 h 一 吧。啊？下面是垂直的，对吧？好，同理，这边是不是也应该有高度啊？一个高度在这，一个高度在这，对不对？哎，我们也通过这个，呃辅助线把它做出来， 一个在这，还有一个在这，对不对？当然了，这都是垂直的 啊，好，比如说这个高度我们让他是 h 二吧，这个高度我们让他是 h 三，可以吧？这个点我们也给他设一下吧，这个点比如说是这个垂足我们设为这个 x， 这个垂足我们设为 y。 啊，好，接下来我们再来看啊，我们怎么把面积比转化成高支笔呢？这个地方如果对面积不熟悉的同学一定要仔细看一下好不好？来，我们在下面写 三角形 ape 的 面积是不是等于二分之一倍的 ap 乘以 h 一 啊，对吧？二分之一底乘高吗？ 然后这个四边形我们是不是可以把它拆成两个三角形来看啊？一个三角形在这，一个三角形在下面，对不对？是不是就这两个三角形的面积加起来啊？好，我们来看 s 四边形，我就简写了啊，这个地方 a m p n 是 不是等于三角形 a n p 的 面积加上三角形 a m p 的 面积啊，对吧？刚才说了，这个四边形是上下两个三角形拼起来的， 然后我们再来算，三角形 a n p 的 面积是不是二分之一乘以 ap 乘以一个 h 二，对吧？ a m p 是 不是二分之一乘以 ap 乘以 h 三呢？ 所以这个地方我们提取共音式是不是二分之一倍的 ap 乘以一个 h 二加上 h 三啊？ 哎，到这是不是就看懂了？所以我们现在这个比值就变成了什么 s 三角形 ape 比上 s 四边形 ampn 是 不是等于二分之一倍的 ap 乘以 h 一 比上一个二分之一 ap 乘以括号 h 二加 h 三了，对不对？到这你看二分之一 apap 约掉了， apap 约掉了， 他是不是就等于 h 一 比上一个 h 二加 h 三了？好，到这我们是不是就把这个问题变得更加的简单了呢？好，中间过程还是一样，我给它擦掉了啊，没有看懂的啊，或者说记不得的可以回放一下。 好，我们现在把这个问题转化成了什么？这个东西是不是等于 h 一 比上 h 二加 h 三就可以了？ 然后我们来看这个式子啊，现在我们是不是只需要令他是一个整数就可以了？其实观察这个式子我们还是觉得他不够简单，我们看一下能不能让他变得更加的简单哦？第一题，我是不是证明了这两个三角形是全等的了，所以这个 h 一 是不是很轻松，直接给他放到这来了， 非常舒服吧？好，我们写出来 h 一 是等于 o p 的， 那么 p 点坐标是告诉我们了， p 点坐标是不就是 t 零啊？所以这个 o p 的 长度是不是就是 t 啊？哎，所以这个 h 一 比上 h 二加 h 三是不是就转化成了 t 比上 h 二加 h 三了？好， h 一 我们处理完了。好，然后我们是不是就要接下来处理这个 h 二 h 三了？我们看看这个 h 二 h 三可不可以继续画 跟这个 t 挂上钩呢？我们来观察，哎，这个跟这个相交了，对不对？所以这两个三角形啊， 是不是都是等腰直角三角形啊？没问题吧？这个角跟这个角都是对，顶角都是四十五度吧，这是一个直角，对不对？所以我们发现这个三角形啊，是不是一个等腰直角三角形啊？ 那么这个边跟这个边是不是就相等啊？所以我们就把 h 三转化到了什么？是不是转化到了这个位置上？ 好，到这大家就可以发现一个很舒服的东西，如果我可以把这个 h 二放到这来，那么 h 二加 h 三是不是刚好就是这个 ap 了？哎，所以说我们现在就要处理什么问题啊？就是我们现在能不能把它放到这来呢？好， 到这你就可以观察出来了，这个三角形和下面这个三角形有没有全等的可能啊？是不是看起来是比较像的？那我们现在就来研究一下，可不可以去证明他们两个全等呢？我们来试一下，哎，首先有一个直角啊， 对不对？然后我们再来看，还有什么其他的条件吗？哎，这是不是一个直角啊？那右边这个角是不是也是直角？所以这个角加这个角是不是直角？ 那么这个地方是垂直的，这个角加这个角是不是也是直角啊？所以我们是不是就可以证明什么？这个角是不是等于这个角啊？对不对？这个地方他有点小啊，我放大一点给大家看啊，大家再看一遍，仔细再看一遍， 这个角是直角，所以这边这个角也是直角，对不对？所以这个角加这个角是不是就是直角啊？ 这个地方又是垂直的，所以这个角加这个角是不是也是九十度啊？那么这个角是不是就等于这个角啊？是不是一个很轻松的一个传递关系啊？好，我们回来。哎，这怎么没了？好，我们回来，我们把这个东西给它写上啊，我们是不是在这个地方可以通过 证明三角形 n x p 啊？这个地方不要忘了啊，这个点我们是设为 x 点啊，这个点我们设为 y 点啊， n x p 是 不是全等于三角形？什么 m y p 吧。 好，这俩三角形全等之后，我们是不是就得到了这个 h 二啊？是不是等于这个 y p 啊？没问题吧？哎，这个是等于这个的好，然后前面又说了， 这个三角形是一个什么？等腰直角三角形，对不对？所以我的 h 三就等于什么？是不是就等于 这一段是不是 a y 啊？所以 h 三等于 a y， 哎，到这我们就发现了， h 二加 h 三是不是就等于 y p 加 a y 刚好就等于什么 ap 吧。好，到这我们就转化成了什么 h 一 比 h 二 加 h 三是不是就等于 t 除以 ap 了？那 ap 的 长度是不是也非常好表示啊？ ap 在 这吧，是不是这一段就是这一段？减去这一段没问题吧？这一段是 t 吗？这一段上是二吗？所以是不是 t 减二啊？所以它就等于 t 啊？上面是 t， 下面是 t 减二，对不对？所以我们再来回顾一下，我们把它这个面积的比值转化成了它， 我们现在把它又转化成了它，我们现在要证明它是一个整数，是不是只需要证明它是一个整数就可以了？好，我们现在把这个问题写到左边啊，我们要让什么？我们是不是要让 t 比上 t 减二是一个整数啊？ 哎，到这个地方其实很多人就处理不了啊，那说明什么？你分式的这个章节没有学好啊？ 对于这种形式，我们通常要用的手段是什么？通常要用的手段叫做降次的手段啊？好，它是一个整数，你看不懂对不对？那我们现在我们如果要降次的话， t 除以 t 减二，我们就需要在上面配出一个 t 减二， 我配了一个减二，是不是就要加上一个二啊？等于 t 减二，这是不是没有问题啊？那么这个位置 和下面是不可以约分啊？哎，他是不是就等于一加上 t 减二分之二啊？好，现在我是不是要让他是一个整式啊？哎，要是一个整数啊，那前面有个一，不管是不是，是不是要让后面这个也要是一个整数啊？ 那你想上面分母？哎，上面分子是二，下面是 t 减二，我要让它是一个整数， 我的 t 减二能不能比二大呀？是不是？不能啊？我 t 减二要是比二大了，我这不就是变成一个比一小的数了吗？所以我们通过这个地方我们就判断了 t 减二应该要小于等于二， 对不对？所以通过这个式子我们是不是得出来 t 是 小雨等于四的了？好，所以 t 可以 取哪些值呢啊？ t 是 不是告诉我们是一个整数了，对吧？他让我们求的是整数 t， 所以 t 是 不是可以取一二三四啊？好，到这个地方我们要注意啊，我们在这个题的一开始我们就说了 t 要大于二， 是不是啊？因为屁点要在 a 点的右侧，所以我们最终 t 的 范围应该是什么？是不是 t 大 于二，小于等于四啊？而且 t 要是一个整数，所以 t 最终应该等于三或 四好不好？那么这个题我们就算结束了啊。这个题其实呃难度没有想象中那么大好不好，大家如果比较熟练的话，还是比较轻松能够做出来的啊。

好，各位同学啊，这边有一个三动点啊，有个三动点，我们一起来看一下 啊，它以是 a、 b、 c 和 a c 啊，它的长都知道，然后第一点 e 点 f 分 别是 a、 b、 b、 c 和 a、 c 三个边上的啊， 动点它也是它的直角，三角形啊，这是直角，对吧？然后让我们求三角形， d、 e、 f 周长的最小啊，周长的最小， 那么这里面的话，涉及到这种三动点的话，我们不要慌啊，不要慌，我们目的的话，还是把动变成啊，进 那么这个题目里面的话，它没有近点，是吧？没有不动点， d 啊， e、 s 都没有不动点，那么这时候的话，我们就要干嘛啊？假受啊，动为静， 所以我们可以假设什么呢？假设这三个动点中，某一个点是一个近点啊，是一个近点，是一个不动点，也就是电是不动点啊， e 点或者是 f 点不动点，然后再试着去求他们三个啊，长度的最小值， 那么证明我们是假设哪个最好呢？我们知道在将军印法中的话，我们假设不动，对吧？我们的不动点，你说金不动点啊，动点，我们是把不动点 做动点所在直线的运动点，然后连接，对吧？所以我们这里面的话需要去做什么呢？做个对称，不要垂直，所以这里面我们最好做的是什么呢？假设 啊， f 也是不动点，因为这边是用垂直的， f 做对称的话很好做啊，所以我们假设 f 是 对称点啊，是不动点，这里啊，在这里 好，那么 f 这样是定点的话，那么在这边对吧？一是动动点，所以我们把 f 也做过来，对称好， f 一 好， f 一 f 二， 那么这个时候呢，我们要求两个的最值的话，我们要注意一下啊，我们要注意一下，现在我们知道了 d f 应该等于 d f 一， 并且啊，并且这边啊，这边这个长度注意一下， e f 和 e f 二 应该也是相等的啊，应该也相等的，所以这个时候的话，我们在干嘛呢？啊？要把它们俩连起来啊，把它们俩连起来，那我们来看一下啊，我们的现在所要求的长度现在变成了 b 啊，这个蓝色线段啊，三条线段的长度和啊，长度和，那么很明显 f 二和 f 一 这两个点是什么点？很明显是一个补洞点，对吧？啊，很明显是一个补洞点，这两个点都是补洞点， 在什么基础上不动呢？在我们假设 f 是 不动的时候，他就不动啊，但是 f 如果一旦动，对吧？其实 f 一 的话也就随之改变了啊，那现在我们来看一下啊，来看一下我们现在求这个线段，这个线段，这个线段三条线段的长度的最小值，而我们想一想啊， 这两个点其实相当于走路，对吧？那么现在呢，两点之间我可以这么走过去，也可以直接走过去，对吧？所以呢，两点之间的最小值，两点之间线段最短的问题，所以我们这个时候的话，我们的最小值 应该就是 f 一 f 二 f 一 f 二，现在就是让我们怎么来求 f 一 f 二的问题啊？怎么求 f 一 f 二的问题。 那么还有一个，这个图上的话，我画的时候呢，它好像过 b 点，那它是否真的过 b 点，我们也要去啊，证明一下。好， 我们这时候把把 b f 连接起来啊， b f 连接起来，那我们知道做对称，所以这个角如果是阿尔法的，看到这边这个角肯定也是阿尔法，对吧？好，同样的， 这边也是不对称，这边是贝塔，这边也是贝塔。好，我们知道阿尔法加贝塔应该是九十度，所以阿尔法这整个阿尔法加贝塔二贝塔啊，其实就是一百八十度，对吧？ 阿尔法加贝塔等于九十，所以阿尔法加二贝塔的话等于一百八，这说明的话， f 一 b f 二三点是共线，三点是共线，那么现在是要求值的话，我们现在来注意一下啊， 由于我们是把它做对称，把这边也做对称，对吧？好，那么这个时候我们看见 f 一 f f 二的三角形，是不是三角形啊？是不是三角形？我们知道这边肯定是垂直的，这本身就是个直角，对吧？然后 所以在做对称的时候，这里肯定也是一个直角，对吧？所以 f 一 f f 二是一个直角三角形， 它是一个直角三角形。好，既然是一个直角三角形，那我们注意一下，我们现在要求的是什么呢？ f 一 f 二的啊，值啊， f 一 f 二的值，那我们注意一下，这既然是一个直角三角形，而 b f， 对吧？啊？ b f， 那 么 b f 怎么来判断对吧？怎么来判断 b f 的 问题，那 b f 和这两个又有什么关系呢？我们明确的知道 b f 应该等于 b f 一 b f r， 对 吧？所以其实 f 一 f r 其实就是两倍的 b f， 那 我们要求 b f 最小，那么 f 一 f 二就最小，那么很明显 b f 最小在什么时候呢？由于 f 是 在 a c 直线上，所以 b f 的 最小值其实就是什么呢？ b 点往 a c 上做垂线，那么这个其实我们就是我们的啊，最小的时候啊，最小的时候，所以这个时候的话 b f 的 长度啊，啊， 那么 b f 这个长度啊，我们最最小的时候怎么求呢？这时候我们要想到啊，这是个直角三角形啊，这个是什么呢？是个高，对吧？是个高，所以我们可以用面积啊，面积六乘八除以十，也就是四点八，四点八， 那我们的 f 一 f 二也就等于啊，九点六，九点六，所以我们这个三角形周长最小，就是啊，九点六啊，九点六啊，这是一个三动点啊，最值问题，大家可以注意一下，其实它也是一个将军嘛。啊，其实 我们之前我们自己的平时遇到过什么呢？脚内一定点，对吧？遇到过这种脚内一个定点往脚两边，对吧？啊，这个点是啊， m 点在角 a o b 中，让我们求 m、 e、 f 这个三角形周长的最小值，如果 m 点是定点，我们就是把它做对称，把它做对称，然后连接它走，那么这个问题其实就是 这个问题的啊，翻版啊，翻版，好，今天到这啊。