泰若智公式证明

这道题啊，纯纯送分题等差速率，是不是有好多结论？全是考场高频结论 a 选项，这个结论超高频考点 b 选项非常简单，直接被结论就出来了。既选项这五年还是二十年刚好的结论，不要死记硬背，你会推就可以了，险哥直接手把手教你秒推秒选，险哥教你做题小题狂练篇来看一下这道题啊！ 他说等差数列等差数列是不是有好多结论还记得否？他的前一项和为 s n 公差为 d， m n 是 互不相等的正整数下来说正确的是 a 选项，对不对？ a 选项是一个结论，这个结论超高频考点 就说白了， s a 比 n， 它是一个一次函数，为什么它是一次函数呢？就是因为 s n 等于个 n 倍的 a 一 再加上一个二分之 n 减一乘以 d， 那 么他除一个 n 之后，他就变成了一个关于 n 的 一次函数。 只要是一次函数，他肯定是一个等差数的呀。所以第一道题简单啊，考试大部分题都是简单题啊。好，来，我们再看第二题。第二题简单否呢？ 那第二题当然也是个结论，如果你会的话，那你直接背，结论就出来了。如果你没有背过，现算呗。 a n 等于 m， a m 等于 n， a n 等于 n， 那 这时候他俩相减，就应该差 n 减 m 个 d， n 减 m 个 d 的 话，就应该是 m 减 n， 所以 d 就 应该等于个负一，简单不？那所以 a n 加 m 就 应该等于个 a n 再加上它俩相加多个 d 呢？ m 个 d， 那 a 是 谁呢？ a n 是 a， n 是 m 呀， m 个 d， d 是 负一，那所以它等于零。所以这些结论不要使劲背， 你会推就可以了。那么这是 b 选项，非常简单，那 d 选项简单不？ d 选项是二五年还是二十年？刚好的就是考这个结论。等差速列， s n 等于 s m， s m 加 n 立刻等于零，那为什么 d 选项它是对的呢？就是因为 等差数列的前一项和是关于 n 的 二次函数，而且常数项为零。那既然常数项为零的话，那你思考一下，我们假设开口朝下，那这个 sn 的 图像大概长这个熊样， 所以 sn 等于 sm， 我 们假设这辆是 n， 我 们假设这辆是 m， 那 对称轴很明显就是二分之 m 加 n 了。又因为这辆是零，所以这个点一定是 m 加 n， 所以 m 加 a 所对应的函数值一定是零，所以 d 选项是正确的，对吧？那那 c 肯定错了，那 c 为什么错的呢？很多同学又做笨了，看见了吗？这道题是简单题，都是结论，但是结论不要使劲背推。那如果 d 选项你千万不要套求和公式， 我们喜欢 s 几减 s 几，所以这个式子就等价于 s n 减去一个 s， n 减一大于 s， n 加一，减去一个 s n， 所以 前 n 项和减去前 n 减一项和，就应该是 an 大 于 an 加一， 前 n 加一项和减去前一项和是 n 加一。又因为人家说 d 大 零，这个等差数的应该是单调递增的，所以与单调递增矛盾， c 选项是错误的。明白了不？ ok？ 考试题肯定也有简单题啊，等差数列的常见结论推导一下，理解一下，记忆一下就可以了，基本上就能搞定。

老规矩，第一题，太弱智！第二题，太弱智！第三题，太弱智！第四题，太弱智！第五题，太弱！第六题，太弱智啊！第七题，太弱智！第八题，第九题，太弱智！第十题！

我们老规矩，第一期太弱智，第二期太弱智，第三期太弱智。

透镜的相关计算是八上期末的五星压轴难题，百分之九十的孩子都不会做，他会涉及到一个特殊的公式，很多孩子知道这个公式，但是不明白背后的原理，那今天老师从头给大家证明一下， 学会之后呢，再配合这套透镜的考点清单。除了这种计算之外，咱们还会有透镜的实验以及作图的各类经典考题，学会之后期末轻松多拿二十，还没领取的家长赶快给孩子领取打印。 接下来我们来看题啊！题干当中给了我们这样一个式子，叫做 f 分 之一等于 u 分 之一加 v 分 之一，就是焦距的倒数，等于物距的倒数，加上象距的倒数。图上给了大家一个特殊的成像情况啊，也就是当物距等于二倍焦距时，对应的象距也等于二倍焦距， 所成的象是一个倒立等大的实象。我们用物理的思路带进去，你会发现这个等式是成立的，因为你看我把二倍的焦距分之一，再加上二倍的焦距分之一加，这不就是二 f 分 之二吗？结果就是 f 分 之一。但是这是一个很特殊的情况， 我们接下来通过严谨的数学推导去给大家说明啊，由于很多八年级的同学都没有学到相似啊，但今天咱们只能用全等， 我们一起来看。首先从图上去找全等的三角形，哪个三角形全等呢？最明显的大家能直接看出来的啊，是三角形 a、 o、 b 以及三角形 c、 o、 d 这两个最大的三角形，给大家描出来 它俩是全等的。为什么全等？你看在这里有一个对顶角对吧？然后这边又是两个直角，然后 bo 和 o d 这两个线段的长度都应该等于二倍焦距， 那全等给大家说完，你看我利用这个全等能得到什么关系式呢？如果我说 ab 这个物体的高度为大 h， 所成的象的高度为小 h， 我 把左边 o b 这段距离，咱们说它应该是物距， 然后右侧呢？ o d 这段距离就是象距，我最终要得到一个物距，象距的关系式啊。那行，我用物距再比上象距，是不是就应该等于啊对应的 ab 大 h， 再比上这侧的一个小 h， 用这样一个特殊的方式去证明啊，那紧接着光有一个式子肯定是证明不出来的，我们再找图上还有一个全等三角形在哪？在这，如果在这里标一个地点，你看三角形 e， o f 和三角形 c， f， d 这两个蓝色的三角形，它俩肯定也是全等的啊，它俩肯定也是全等的，那这块就不用去过多的证明了。怎么去应用它这个原理呢？你看 我把 ab 这个线段平移过来，因为咱们做的这束光应该是平行于主光轴的，那 o e 这个线段长，它也是大 h， 然后 cd 的 长度还是小 h， 是 吧？那我们来看怎么和焦距结合到一起？ 从焦点到凸透镜光心的这段距离，它一定就是焦距，但是右侧是象距啊，那剩下的 df 这一段，我就可以用象距减去焦距来表示，还是对应边乘比例，我用大 h 这边的这个底边，也就是 f 比上啊，右侧的这个 d， f 的 长度相距减去焦距等于什么呀？它也等于大 h， 再比上小 h， 那 你看两边式子都是等于这个结果，那不就是说明我用蓝色圈起来的这两部分，大小应该是相等的吗？ 接下来我们按照这个思路把它证明一下啊，写一下 u 比上 v 等于 f， 比上 v 减 f， 想写这个式子，孩子们第一时间的思路一定是交叉相乘，对吧？交叉相乘，那我就得到一个答案啊， u 乘以 v， 再减去 u 乘以 f， 等于 v， 再乘以 f， 你 看人家是一个加法的式子，所以咱们也把它写成加法的形式啊，就是 u 乘以 v 等于啊， v f 加上 u f， 你 看着这个式子又没有头绪了，怎么办啊？我们可以把左右两边同时除掉一个物理量，除谁啊？同时除掉 u v f 同时除去 u v f， 同时除掉 u v f 同时除掉 u v f， 你 看出完会得到什么结果啊？见证奇迹的时刻到了，左边把 u v 削掉， f 分 之一，等于中间这一项呢？把 v 和 f 消掉， v 和 f 消掉，得到结果就是 u 分 之一，再加上这个是把 u 和 f 消掉，结果就是 v 分 之一。这个式子我们就证明出来了啊，当然最严谨的方式还是用三角形相似 好。那说到这，接下来你看我们用这个式子到底有什么用？大家一定在实验题里见过这样的题型，见过这样的题型， 就是关于用这个关系式去解析的。很多同学他是不知道这个图像的一个由来，所以，哎，不知道怎么去解这个题。实际上这个题解法非常简单，我看的就是这个特殊点， 此时的物距的倒数跟象距的倒数相等。那我说一下这图像到底怎么来？你看，如果我说对于一个给定的图透镜而言， f 分 之一焦距的倒数，这不就是一个固定值吗？对吧？它是一个固定值，你看它的纵坐标微分之一，这不就相当于是 y 吗？然后 u 分 之一不就相当于 x 吗？如果我说 x 加 y 等于一，我随意举一个固定值，你一定能画出来它的函数图像，就是这样一个一次函数呀。 而且咱们物理学这块，大家一定要注意，这两个点是取不到的，因为我的物距和相距都不可能是零，对吧？都不可能是零。好啊，那明白这个图像怎么来的？我们用两种方法去解决这个问题。要求凸透镜的焦距。首先要注意审题，我找的这个特殊点， 它对应的数据都是四，也就是说物距分之一等于相距分之一等于四，它的单位呢？是米的负一次方。把它翻译成人话啊，米的负一次方实际上就是米的一次方分之一啊，米的一次方分之一，这就是四的米分之一 米分之一这么一个单位。但是我需要的是物距和象距啊，所以咱们接下来把它倒过来啊，倒过来，物距等于象距，应该是等于四分之一米，米分之一的倒数对应的不就是米吗？哎，找到了物距和象距四分之一米，也就是二十五厘米， 然后此时应该乘的是倒立等大的矢向，它们同时就应该是二十五的一半，也就是十二点五厘米。 当然，如果说你想用这个式子去解也可以啊，我推荐大家用原理去解。为什么给大家证明式子？很多同学他不明白这个图像到底怎么回事，实际上我是通过这个原理公式得到的。那再来看，如果用公式解怎么做， 公式解怎么做，求的是焦距，对吧？那你看 f 分 之一，它不就等于 u 分 之一加 v 分 之一吗？我从这些点上随意去取数据，比如就取这个点， u 分 之一是四， v 分 之一也是四，四加四结果是八，但是要注意它的单位是米分之一啊，米的负一次方也是米分之一。 那这样的话我就能得到啊， f 应该等于八分之一米，你看一看，是不是十二点五厘米，还是这个结果啊？还是这个结果。那关于这类啊，凸透镜的相关计算的问题，你学会了吗？

我们讲一个求通项公式的类型，就是让你证明一个式子是等差或者等比数列。这类题怎么做呢？ 我的方法一般就是先把你的目标写出来，你要能证出来他是等比数列，是必须说明他的后一项比前一项是一个常数，是不是才能说明他是等比数列？那谁是后一项，谁是前一项？我们说了不算，要看已知， 你看已知这个下角标是不是有一个 a n 加一，有一个 a n， 所以 我们很明白，是不是 a n 加一应该叫后移项，所以你把要正的这个式子的后移项，是不是就写成，把这里面所有的 n 都换成 n 加一，是不就叫后移项？ 所以你的目标是不是其实就是证明 a n 加一减去，把 n 都换成 n 加一，这个 n 加一是整体，所以要加括号啊。是不是比上，这是叫后一项，比上前一项，对不对？ 比上前一项，前一项是不是就是 a n 减 n？ 当你能证明它是一个常数的时候，是不是就说明问题了？ 这是你的目标，你最终要挣出来后一项比前一项是一个常数，你才能说明他是等比数列，这样问题才能挣出来。好，这个目标呢？就一上来先写到草稿纸上，不能写到卷子上啊，因为你还没挣出来，你刚开始不能这么写， 这么写的目的是什么？就是给自己一个目标，你看着目标，你才知道咋用已知进行配凑，变出来后一项变出来前一项，对不对？好来看，那你写过程是不是证明， 一般先把目标写出来，看着目标就好配凑，要不然你大脑一片空白，不知道要干什么来，是不是因为已知？是不是叫因为？因为 a n 加一，等于四倍的 a n 减三， n 加一来配的时候，你要么先配凑出来后一项，要么先配凑出来前一项，你去观察谁好配，先配谁。那我要先配凑出来后一项的话，我是不是得给这个 a n 加一，是不是减个 n 加一？ 因为这是等式，那你给左边减 n 加一，所以你给右边是不是也得减？你得保证这个式子要依然成立，所以这是不是就写成 a n 加一对吧。减去 n 加一，然后等于给等式，左边减了个 n 加一，那你给右边是不是也得减？ n 加一， 是不是等于四倍的 a n 减三， n 加一，再减 n 减一，对不对？等式两边都减 n 减一，好把，右边是不是化简一下，左边照抄啊。 a n 加一，减去 n 加一，等于四倍的 a n 减三 n， 这是不是减 n， 是 不是减四 n， 然后正一和负一抵消了？那你观察一下，那你要得到前一项，是不是把这提个四出来，是不是前一项就出来？这是不是等于四倍的括号？ a n 减 前一项，是不是照抄？ a n 加一，减去 n 加一，把这后一项除以前一项，把它是不是除过去，是不是就得到了后一项？ b 前一项等于一个常数，所以是不是就正出来？ a n 减 n 是 一个等比数列，对不对？好，它的公比 q 等于四啊，我们正出来了， 那我们说谁是一个等比数列或者等差数列，谁就能求通项公式。因为有的题有时候让你求 a n 的 通项公式， a n 直接求不了，但是 a n 减 n 可以 求通项公式，因为它是一个等比数列，所以这是不是就是求谁的通项公式，找谁的公比，找谁的手相？把他的所有 n 都换成一，是不是就叫他的手相？ a 一 减一叫手相？ a 一 等于二，是不是二减一等于二，他的手相是二，所以 a n 减 n 是 不是就等于手相？ 嘿，二减一是一，你看我这个嘴，是不二减一是一，然后手相是一，是不是手相一 乘以 q 的 n 减一次方，那 a n 减 n 的 通项公式有了，所以 a n 的 通项公式是不是就出来？是不是把这个 n 移到右边，是不是四的 n 减一次方？加是不是 a n 的 通项公式就出来？好，我们再来看第二个 这类啊，同样，他让你证明 b n 是 一个等差数列，而 b n 呢，是一个式子，要证明一个式子是等差数列。就像我刚才说的，一上去，先把你的目标写出来， 那我们的目标是不是后一项减前一项得等于一个常数，才能说明等差数列？那得看已知，已知是不给了个，这 已知有 a n， 有 a n 减一，所以我们是不是得把这里面的 n 换成 n 减一，他是不是才叫前一项？ 而 a n 是 不是叫后一项？是不得写后一项？减前一项等于一个常数来，我现在把目标先写出来，做这类题，都先写目标，然后拿着已知，看着你的目标去配凑，给已知去配凑，把前后向就找出来来， 这是不是后一项？ b n， 你 是不是就要写 b n 减 b n 减一，那 b n 是 不是就是 a n 减一分之一 减去 b n 减一，把这 n 换成 n 减一，是不是就要后一项？是不是 a n 减一，再减一分之一， 这是不叫后一项？减前一项对吧？等于一个常数，只要能正出来，这是不就说明 b n 是 等差数列问题就解决了？那我们现在来看啊，那我怎么来找前一项和后一项？肯定是用已知来找了对不对？把已知超过来，然后观察你的 目标，按目标来配凑，是不是因为 a n 把已知超过来， a n 等于二减去 a n 减一 分之一，对不对？好，来观察一下。我们说你在配凑的过程中，你要么只盯着后一项，要么只盯着前一项，不要都看，都看的话脑子就乱了啊。 比如说我只看后一项，那我现在手里有的是 a n， 我 想得到这个我得干什么？那这道题是不得两步？第一步是不是给他减一？第二步是不是取倒数， 是不就得到后一项了？好，那我是不是给 a n 减一？因为这是个等式，那你给左边干啥？右边是不是得同时干什么？要不然这个等式就不成立了。 a n 减一给左边，是不是？一？是不是就变成了 一减去 a n 减一分之一？下来是不是取倒数？左边取倒数直接得到了 后移项，但是右边是个多项式，取倒数是不是就不好取？不好取怎么办？记住，在取倒数的时候，我们就把这个多项式先给他通分，变成单项式，因为单项式取倒数是分子分母，直接换位置就行了，比较简单。所以先把多项式通分以后再取倒数。 是不是 a n 减一，就等于 a n 减一分之， a n 减一，再减一，对不对？下一步我们说，那我得到 a n 减一了，我想要这后一项，是不给等式两边同时取倒数， 那是不是就得到 a n 减一分之一，等于给他也取倒数，是不是 a n 减一减一分之， a n 减一 好，后一项是不是就出来了？那怎么出来前一项呢？我们观察一下，要出来前一项，我们说人家分子是一，你分子是不是有东西，那你就要把它咋， 是不是就要分离常数，把它是不是弄走，怎么弄呢？我们说当分子不想要这种未知量的时候，我们就把它变得跟分母一致就行了，就进行配凑， 变得跟分母一样，只要题不变就行了。那我是不是得把分子也变成 a n 减一，再减一，那减个一，我把题是不是就变了，对不对？我直接在上面写，要不然空不够了，是不是给他减一？减一的同时，我是不是再加个一，相当我什么都没，相当于我什么都没干？ 我这个减一的目的是不是让他看成一个整体？他和分母一除是不是就没有了？所以是不是就变成 a n 减一分之一，等于他除以分母，是不是一加上一，比上 a n 减一减一，我这个前一项是不是也就出来这是不是后一项？这是不是前一项把它减过去是不等于一？所以我正出来这个公差是不就等于一了？所以是不是正出来 a n 减一分之一，是一个等差数列，就是先把目标写出来，然后把已知超过来 进行配凑。需要配几步呢？那你就先观察一下，这是未知，这是已知，是不得两步，第一步减一，第二步取倒数。重点就是这个右边取倒数的时候多项式取倒数，你想想分母一大堆多吓人。 所以取倒数的时候先通分，把它变成单向式，然后再取倒数，最后再分离常数就行了。分离常数这一步也很关键啊，就是把分子 未知量的地方变得跟分母一样，可以含系数啊。就是他如果有系数提出去，剩余的变得跟分母完全一致，多加了个几就减个几，就加个几回来就行了，保证题不变就行，是不就出来 第二问。我们还会求 a n， 我 们说 a n 直接求不了，只有等差等比才能直接套通向公式，是不是去求？ 我们说 b n 是 等差，数列已经正出来，所以你把它的首项求出来就行了。那它的首项是不给 n 取一，是不是就是 a 一 减一分之一， n 取一已经给了，是不就是五分之三， 对吧？减一分之一结果是不是就等于五分之三？减一，负的五分之二分之一是负的二分之五倒过来。好，首项有了。因为它是等差竖列，所以它的通项公式是不是 a n 减一分之一就等于首项 加上 n 减一乘 d， d 是 不等于一一化减，然后等式两边同时取倒数，对吧？我就不化减了啊。同时取倒数， a n 减一是不是就等于给他取倒数 数？负的二分之五加 n 减一分之一。取完倒数以后，把一是不是挪过去？通分是不是 a n 就 出来了？ t 是 不就完了？ 我没有细算啊，我主要说方法就行。是不是加个一 a n 就 求出来？

哈喽，朋友们，今天我们不讲压轴题，今天带给大家的是一个非常可爱的树列，叫做兔子树列，那么它的官名叫啥呢？是不是叫飞波那些树列？那么对于飞波那些树列，在新高考里面，它是一个热度非常高的考点，你不是欺负老实人吗？ 首先第一个关键就是它的地推关系，那它的地推关系描述的是我的第三项等于前两项之合，所以我们可以写成 a n 加二等于 a n 加一加 e n。 好，那好，那么接下来就是关于菲律宾那些树列经常在使用过程中用到的一些二级结论，那么我们在推导这些二级结论的过程中用到的一个核心的思想叫做类比推理思想。 好，那么首先我们从第一个开始啊，那么 s n， 那 么类比推理，我们就可以先取一坨，假设我先要搞它的前三项的核，那么前三项的核 a 加 a 二，它是等于 a 三，那么如果是 a 三加 a 三，是不是等于 a 三了？ 他没有办法啊，我们继续往下走啊，所以我们这个时候选择是把 a 三进行拆分啊，拆成啥呢？拆成 a 四减二 a 二，那么拆成 a 四减 a 二之后，你会发现 a 三加 a 四刚好等于啥？是不是 a 五，所以我们画出来他是不是 a 五减 a 二，那我们继续往后，如果要求前四项是和， 那么 a 四加 a 五，他是不是等于 a 六啊？那后面是不是还是 a 二，所以他就等于 a 六，是不是减 a 二？ 那我找一下规律，如果要求前三项的和数，它是不是 a 五加 a 二，也就是最后一项角标是不是多加一个二？求前四项的和数是不是也是一样的？角标是不是多加一个二变成 a 六减 a 二，那如果要求前 n 项和，那是不是在 n 的 基础上是不是也要加一个二，它就变成 a n 加二减十二，是不是还是一样的减 a 二？ 好，那么接下来我们讲第二个结论，就是关于它的基数项的和，偶数项的和，还是一样的减 a 二，好。那么接下来我们讲第二个结论，就是关于它的基数项的和偶数项的和，那么首先对于基数项的和， a 一 加 a 二， n 减一 好。这个时候我们可以把 a 一 是不是可以换成 a 二？因为 a 一 和 a 二是不是都等于一？但是我们换成 a 二之后，是不是可以继续走了？ a 二加 a 三，数到 a 四，那 a 四加 a 五是不等于 a 六？那么一直往后走，那最后的话是不是就是 a n 减二，加上 a n 减一就等于啥呢？ 是不是等于 a 二 n？ 哦，所以它最终得出来结论就是 a 二 n， 那 第二个偶数项的和，那么偶数项的和我们的操作方式哎，稍微有一点点小区别。我们先给他前面加一个 a 一， 加一个 a 一， 那我们是不是最后是不得减一个 a 一 啊？ 所以前面 a 一 加 a 二，是不是 a 三， a 三加 a 四，是不是 a 五啊？一直往后走，要写到这是不是变成 a 二， n 加一，减去谁？是不是减去 a 一？ 好，那么最后一个就是关于它的平方和的应用，那么平方和，也就是 a 一 平方加 a 二，平方加 a 三平方一直加到 an 的 平方，那么我们处理的原则也是一样的，我们先找到前面几项来，首先处理的方式，我们把 a 二 进行拆分，把 a 二的平方我们拆成啥呢？拆成 a 三减 a 一 乘以 a 二。好，那我们看前两项，那这个数就变成 a 一 的平方。好，那么 a 三乘 a 二，那么 a 一 乘 a 二，你会发现它刚好等于啥呢？是不是等于 a 一 的平方？ 所以我们给它处理掉之后，前两项的平方和是不是等于 a 三加 a 二？那么同理，我们继续往后走，我们把 a 三也经拆离，变成 a 二， a 四减 a 二乘以 a 三。好，整理了之后， 那么它就变成 a 四乘 a 三，减去 a 二乘 a 三，那么在我们原始的基础上，你会发现 a 三乘 a 二和 a 二乘 a 三，是不是约掉了？剩下谁了？是不是剩下 a 四乘 a 三？好，我们找一下规律，首先第一坨如果前两项的时候，我们最终得出来的结论是不是 a 三乘 a 二？如果是前三项的话，是不是变成 a 四乘 a 三了？ 哎，是不是最后一项的基础上是不是给他下标，是不是加了一个一样，那意味着我们如果是前 an 平方向，那么意味着我们是不是可以写成 an 乘以 an 加一。好，那想来这样原理吧。啊，好，那么我们 c 去拨那些树列它里面的相关结论的推导啊，我们已经证明完了啊。如果你有哪一个点不清楚，可以在评论区上进行留言，记得点赞关注哦！

老规矩，第一题，太弱智！第二题，太弱智！第三题，太弱智！第四题，太弱智啊！弱智题太多了！第五题，太弱智！第六题，太弱智啊！第七题，太弱智！第八题，太弱智！第九题，太弱智！第十题，说实话，太弱智啊！第十一题，说实话啊！太弱智！

一张图讲清楚正弦与余弦的二倍角公式及其推导证明超直观的方法。看完秒会先画个平面直角坐标系里的单位圆截取半圆后取对应 z 角的 c 点，利用圆周角使圆心角的一半就能得出 cd 长 c 二 f t o d 长 cos 二 f t o c 和 a o 都是一 d， b 就是 一减 cos 二 f t 再看边长 a、 c 能用二 cos 表示， c、 b 则是二 cos 在 的，这个很容易推出来。先正正弦二倍角公式，用等面积法就够了。三角形 a、 b 的 面积有两种表达形式，一是二分之一 a c 乘 c b。 二十二分之一 a b 乘 c d。 把 a c c b a b c d 的 数值带进去一算，就得出 sin 二 f 等于二， sin f 乘 cos f 是 不是超简单？接下来正余弦二倍角公式用勾股定律在直角三角形阿克里满足 c、 d 加等于 a c， c、 d 是 sin 二 theta 是 一加 cos 二 theta a c 十二 cos 在 等。把这些全部带入公式展开计算，利用 sin 加 cos 等于一的恒等式化简，就能推出 cos 二 theta 等于二， cos theta 减一。再结合同角三角函数的关系，还能得到另外两个形式， cos 二 theta 等于 cos theta， 减 sin theta 也等于一减二 sin theta。 整个证明就完成了。这次用的等面积法和勾股定律比相似三角形的正法更直观。这张图的用处超大，一图多用，轻松搞定正余弦二倍角公式的证明。

一个视频三种方法，讲清楚科西不等式的底层逻辑，它的推导方法，那我们知道科西不等式是 a 方加 b 方乘以 x 方加 y 方，大于等于 a x 加 b y， 那 我们今天呢通过三个维度来推导第一个呢，方法一，几何法，几何法是什么呢？就是我们用直角三角形来推导我们，首先呢找到一个直角三角形， 然后呢我们来做它的相似三角形，等比例的放大一下， 在这个直角三角形里面，假如这一边长是等于 x， 这一边长是等于 y， 那 这个斜边当然就是根号下 x 方加 y 方，我们让这个边长是 ax， 这个边长是 a y， 所以 这个斜边就是 a 倍的根号下 x 方，再加 y 方， 我们让这一段长是 b x， 这一段长是 y， 那 么斜边就是 b 倍的根号下 x 方，再加 y 方，我们把第一个三角形呢给它勾下来，把第二个三角形呢也给它平移下来，平移后呢我们进行一点旋转， 这个时候保持这个这两个三角形是一样的啊，和上面这个三角形它们是一样大的。接下来我把所有的边长给它标上这个三角形，它的边长是 a x， 这里是 a y， 我 们进行了第二个三角形进行了旋转，所以呢这段长就是 b y， 这段长是 b x。 好，我们很快能够很清楚的发现，这个地方肯定是直角，因为这两个三角形是相似的，我们把它的斜边给它连起来，我们再次看到了勾股定律，这段长是 a 倍的，根号下 x 方加 y 方，这段长是 b 倍的，根号下 x 方加 y 方， 那么它的斜边长就应该是根号下 a 方加 b 方，乘以根号下 x 方加 y 方。我们来看一下这一段长这个直角边，现在这是一个直角梯形，在这个直角梯形里面，这个直角边显然是小于等于这个斜边的。那什么时候它们两个相等呢？如果 a y 等于 b x 的 时候，它们相等， 所以我们就会得到一个东西，叫做 ax 加 b y， 它是小于等于根号下 a 方加 b 方，乘以根号下 x 方加 y 方的。当前，仅当 a y 等于 b x 等号成立， 我们再给这个式子平方一下，我们就能得到 ax 加 b y 的 平方。小于等于 a 方加 b 方乘以 x 方加 y 方。 这是可求不等式的第一个解法，几何法。那么方法二，站在我们数学几何意义的角度，它还能代表什么呢？把这个式子呢挪下来，我们会想到什么？ a 方加 b 方，我们也会想到哦，向量的模长，模长的平方 a x 加 b y， 我 们是不可以想到向量的乘积数量积。 所以呢，方法二，我们用向量法，我们让 m 向量是 ab， 让 n 向量是 x y， 这个时候我们来看 m 向量乘以 n 向量，刚好就出现了我们右边的样子， ax 加 b y， m 向量的模长的平方就是 a 方加 b 方。 n 向量模长的平方就等于 x 方加 y 方。 m 向量 乘以 n 向量的平方。它展开以后，有 m 向量的模差乘以 n 向量的模差乘以 cosine c 塔的平方，所以 cosine c 塔的平方它是小于等于一的，所以这个式子显然是小于等于 m 向量的模长乘以 n 向量的模长的平方。那什么时候等号取等呢？那就是当前紧当这个 m 向量乘以 n 向量以后，这个 cosine c 塔的平方等于一，是 cosine theta， 平方等于一，那么就说明 cosine theta 是 等于正负一的。 cosine theta 等于正负一，说明两个向量的夹角是零度或者一百八十度，那此刻就说明 m 向量是平行于 n 向量的。 m 向量平行于 n 向量，那就意味着什么？那就意味着 a x 减 b y 是 等于零的。 那方法三，我们用代数的手法，我们要比较两个数的大小，我们就去做差来比较两个数的大小。所以呢， a 方加 b 方乘以 x 方加 y 方，我们减去一个 a x 加 b y 的 完全平方， 然后我们全部打开就会得到一个 a 方， x 方加上一个 a 方， y 方加上一个 b 方， y 方减去 a 方， x 方减去二， a b x y 方， 这时候 a 方 x 方就抵消了 b 方， y 方也抵消了一个，我们得到的是 a 方， y 方加 b 方 x 方减二， a b x y， 这又是一个完全平方，所以就会得到一个 a y 减 b x 的 完全平方，那我们知道完全平方肯定是大于等于零的，当前仅当 a y 等于 b x 是 取等。好了，以上就是我们从三个方法，几何法、代数法，我们来证明了一下科西不等式的底层逻辑。