6年级上册北师大版数学图形公式大全

同学们好，我是雷老师，很高兴能与大家一同学习。 今天我们将对教材中图形与几何的部分进行总复习。首先让我们一起翻开课本第一百页， 今天的学习将围绕这几个问题展开。同学们回忆一下我们学过哪些平面图形，你能将它们进行整理吗？ 好，我们来听听这位同学是怎么说的。 我们学过的平面图形有长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆。 其中长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形是用线段围成的封闭图形，而圆是由曲线围成的封闭图形。 是的，圆相对于其他几个平面图形而言比较特殊，它是由曲线围成的封闭图形。今天这节课我们就对圆进行整理和复习。 在圆这个单元中，我们学到了哪些知识呢？下面让我们跟随教材一起来回顾一下吧。 圆的认识让我们了解了圆的特征，以及用圆的知识解释生活中的简单现象， 欣赏和设计，让我们进一步感受了圆的对称美。在数学阅读中，我们了解了圆周率的历史，学习了圆的周长和面积后，能帮助我们解决生活中的实际问题。 看来这个单元的知识还是非常丰富的，同学们在复习的时候可以用数学报、 思维导图或者列表格的形式对所学的知识进行整理。接下来让我们来听一听这几位同学的知识整理吧！ 我对圆的特征进行了整理，圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆中心的一点叫做圆心，一般用字母 o 表示。 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母 r 表示。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母 d 表示。 一个圆中有无数条半径，这些半径都相等。有无数条直径，这些直径也都相等。所以说圆与中同长，也同一个圆里，直径长是半径的两倍， 用字母表示，可以写成 d 等于二 r。 好 的，这位同学对圆的特征进行了整理，让我们把它说的记录下来。 圆中心的一点叫做圆心， 通常用字母 o 表示。半径，用字母 r 表示。直径，用字母 d 表示。 在同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。 半径有无数条，直径也有无数条。 在同一个圆中，直径长是半径的两倍，用字母可以写成 d 等于二 r。 反过来也可以说 r 等于二分之一 d。 好 的，还有同学想补充 老师，关于圆的特征，我还有补充，我知道圆是轴对称图形，有无数条对称轴。将圆对折两次，两条折痕的焦点就是圆的圆心。 圆还是轴对称图形，有无数条对称轴。 好的，接下来我们来听听其他同学的整理。 我对圆的周长进行了整理，围成圆的曲线的长叫做圆的周长，一般用字母 c 表示。 上课时，我们用绕绳法和滚动法测量出圆的周长。通过研究发现了圆周率派，进而得到了圆周长的计算方法。用字母表示是 c 等于派 d 或 c 等于二派 r。 在圆的周长这节课中，我们用化趋为值的方法测量出了圆的周长，进而发现了神奇的圆周率 pi， 得到了圆周长的计算公式。可以用字母写成 c 等于派 d 或 c 等于二派 r。 ok。 在这一单元中，我们还学习了对圆的面积。接下来就让我们一起来看一段小视频，回忆一下圆的面积计算公式是如何推导出来的。 我们通过把圆分一分、剪一剪、拼一拼的方法，把圆拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的高就是圆的半径，平行四边形的底是圆周长的一半。 就这样我们就找到了圆的面积计算公式。在这个过程中，我学到了把未知的图形转化成已知的图形，找到它们之间的联系，从而解决新问题的方法。在以后的学习中，我也要试着多用用这种方法。 是的，在学习圆的面积这节课中，我们用到了一个非常重要的数学思想，转化思想就是把圆转化成学过的平行四边形。 当然，我们也可以把圆转化成长方形或者三角形，都能发现圆的面积计算公式是 s 等于 pi r 的 平方。 好，我们来看看还有同学有什么想说的。 雷老师，我发现学习了圆的知识后，我可以解决生活中的许多问题， 而且只要告诉我圆的半径、直径、周长、面积中的任意一个数据，我就能计算出其他的数据是多少。所以我把这些计算方法之间的联系也进行了整理。 圆的知识还帮我理解了生活中的一些现象，比如车轮、下水道的井盖为什么是圆的了？圆真是一个美丽又神奇的图形。 是啊，这位同学可真棒，他还能根据圆的半径、直径、周长和面积的关系进行整理，从而解决问题。 好了，课本上的知识整理就到这，接下来就让我们用所学的知识解决实际问题吧。首先，数学判断听，请看第一题， 圆的半径都相等，这句话对吗？ 这道题是错的。要说在同一个圆或者相等的圆中，圆的半径是相等的。第二题，半圆的周长就是圆周长的一半 对，这道题也是错的。我们来看一看，这是一个半圆，它的周长是一个半圆弧加一条直径， 这是一个圆，这是圆周长的一半，很明显它们是不相等的，所以这道题也是错的。注意，半圆的周长一定要记得加直径哦！ 半圆的周长可以用字母表示， pi r 加 d， 同学们可以把这个公式记录在你的笔记本里 再看。第三题，直径大的圆周长，大圆周率也大，对吗？ 直径大的圆周长的确也大，但是圆周率是一个固定的数，所以这道题是错的。 第四题，求阴影部分的面积。用三点一四乘八减五的差的平方等于二十八点二六平方厘米，对吗？我们一起来分析一下吧。 阴影部分的面积其实也就是这个大圆的面积， 减去里面半径为五厘米的小圆的面积， 然后用乘法分配率可以写成三点一四乘八的平方减五的平方的差，答案是一百二十二点四六平方厘米，所以这道题也是错误的。 好，接下来我们来完成数学书上的练习。看到数学书第一百零五页第二题，按要求先画圆，再求出圆的周长和面积。 请同学们在草稿本上动手做一做吧。 做好了吗？我们来看一看这两位同学的答案。 第一个同学先画了一个半径为两厘米的圆，求出它的周长是十二点五六厘米，面积是十二点五六平方厘米。 在这里雷老师要提醒同学们注意，虽然这道题的周长和面积都是十二点五六，但是它们的含义是不同的， 这个十二点五六表示的是周长，要用的是长度单位。这个十二点五六呢，是圆的面积，用的是面积单位，所以说圆的周长和面积无法比较。 再看第二题，画出一个直径是三厘米的圆，直径三厘米，说明圆规两角之间的距离应该是一点五厘米， 然后求出它的周长是九点四二厘米，面积是七点零六五平方厘米。这道题的数据比较大，同学们你算对了吗？ 接下来我们来看看第四题。陶器和笑笑便习径走，陶器沿长为九米，宽为四米的长方形花坛走，笑笑沿直径为八米的圆形花坛走， 他们的速度相同，谁先走完一周呢？哎，这道题是跟圆的周长有关，还是和圆的面积有关呢？我们来听听这位同学是怎么分析的。 这道题和圆的周长有关，我是从这些关键词发现的，例如沿着走完一周，这些关键词都说明这道题和圆的周长有关， 同学们，你们听明白了吗？这些关键词都告诉我们这道题是跟圆的周长有关。我们来看看这道题该怎么算呢？ 刨器是沿长方形花坛走，所以它的周长是长加宽的和乘二等于二十六米。笑笑是沿直径为八米的圆形花坛走， 算出来的周长是二十五点一二米，因为它们走的速度是相同的， 淘气走的路程更远一些，笑笑走的路程更近一些，所以笑笑先走完一周。同学们，你做对了吗？ 接下来我们来看一看第六题。动物王国在举行盛大的马戏表演，瞧，调皮的猴子正在进行走钢丝表演呢。 请看，他提了一个问题，车轮一共要转多少周呢？同学们，试一试，算一算吧！ 做好了吗？我们来听一听这个同学的答案。这道题问，车轮一共要在长城上转多少周，与圆的周长有关，我是这样做的， 咦，怎么连一周都不到呢？不符合生活实际呀！哦，我明白了。车轮的直径是用厘米做单位，身子全长是用米做单位，单位不同，要进行单位换算，赶紧定正，听明白了吗？ 这个同学虽然做错了，不过他有一个很好的习惯，就是能够结合生活实际进行反思。他发现算出来的结果连一周都不到。 因此又把这个题目读了一遍，发现了问题所在。单位是不同的，要注意单位换算。 同学们在做的时候，可以把它统一成米做单位，或者也可以统一成厘米做单位。最后的结果都是二十五周， 同学们，你做对了吗？接下来让我们来看看第五题。 题目要求我们先用圆规画出右面的图形，并涂上颜色，然后求出图色部分的周长和面积。嗯，这道题看上去有些复杂， 同学们，拿出你的圆规，在作业本上画一画，算一算吧！ 做好了吗？我们来听一听这个同学他是怎么画的？ 我先以两厘米为半径画出一个圆，再通过圆心画出两条互相垂直的直径，再找到这四条半径的中点， 以一厘米为半径，画出四个半圆，最后涂上颜色，这个风车图案就画好了。我先算小半圆的周长是五点一四厘米， 再算四个小半圆的周长是二十点五六厘米，所以涂色部分的周长就是二十点五六厘米，涂色部分的面积是六点二八平方厘米。好，我们一起来看一看这位同学的方法。 三点一四乘二，再除以二，求出来的是这个小半圆的半圆弧， 再加上这个直径二厘米，得到一个小半圆的周长是五点一四厘米，然后算出四个小半圆的周长之和等于二十点五六厘米。 面积也是先算出一个小半圆的面积是一点五七平方厘米，再算出四个半圆的面积是六点二八平方厘米。这个方法非常好，同学们，你做对了吗？ 还有别的方法吗？我们来听听这个同学是怎么说的。 雷老师，我计算周长的方法和它不同，我是这样做的。这四个半圆的半圆弧可以拼成两个整圆， 用三点一四乘二，再乘二等于十二点五六厘米，求出两个圆的周长， 再加上四个两厘米，二乘四等于八厘米，十二点五六加八等于二十点五六厘米。 图色部分的周长也是二十点五六厘米，面积就是这两个拼成的圆的面积之合，用三点一四乘一的平方，再乘二等于六点二八平方厘米。 哎，这个同学的方法你们听明白了吗？他是先把小半圆拼成了一个完整的圆，算出了两个圆，周长之和是十二点五六， 不过要提醒你注意，要记得加上这四条两厘米的直径，最后算出的结果也是二十点五六厘米，非常好！ 老师，我还发现了拼成的两个小圆的周长之和等于大圆的周长都是十二点五六厘米。因为这两个小圆的直径之和等于大圆的直径，所以他们都可以用三点一四乘二再乘二计算。 哎，你们听明白了吗？这个同学说的是，这两个拼成的小圆的周长之合等于大圆的周长，他们都可以用三点一四乘二再乘二计算。 这个同学的发现是巧合吗？不是的，它里面呐藏着一个数学道理，让我们来听听数学博士是怎么说的吧！ 把一个大圆的直径地分成若干份，以分成的线段为直径，画出 n 个大小不同的圆。 第一个圆的直径，我们把它叫第一，第二个圆的直径叫第二，第 n 个圆的直径叫第 n。 这些小圆的周长之合可以列示为，派第一加派第二，一直加到派第 n。 用乘法分配率可以写成太乘上 d 一 加 d 二一直加到 d n 的 和，而 d 一 加 d 二一直加到 d n 的 和，正好等于大圆的直径 d， 那么小圆的周长之合就等于派币，也就是大圆的周长了。所以说，当 n 个小圆的直径之合等于大圆的直径时，这 n 个小圆的周长之合就等于大圆的周长。 同学们，你们都听懂了吗？当几个小圆的直径加起来的和等于大圆的直径时，这几个小圆的周长之和就等于大圆的周长。 好了，今天的练习就全部结束了，希望同学们在以后的复习中能够学会归纳、整理，总结、反思。今天的课就上到这，同学们再见！

同学们好，我是雷老师。很高兴今天又和大家一同学习 这节课，我们继续对图形与几何部分进行总复习。今天要复习的是第三单元，观察物体。上课前，请同学们准备好以下学具， 直尺、铅笔、十个小正方体。好了，快去准备吧！ 准备好了吗？我们的课程开始了。在这一单元中，我们学习了巴基木比赛观察的范围和天安门广场三个内容。 通过这一单元的学习，同学们有怎样的收获呢？我们来听一听这几位同学是怎样说的。 在搭积木比赛这节课中，我能正确辨认从不同方向观察到的立体图形的形状，并画出相应的平面图形。也能根据平面图形还原立体图形。 如果只给我从一个方向观察的形状，我可以摆出无数种立体图形。 如果告诉我两个方向观察的形状，我就能确定所需正方体的数量范围，也就是最少需要几个正方体，最多需要几个正方体。如果告诉我三个方向观察的形状，我就能确定这个立体图形了。 看来，通过这节课的学习，同学们观察立体图形能够画出相应的平面图形， 也能根据平面图形还原立体图形。 在观察范围这节课中，我知道了人的视线是直的，不会拐弯。观察者看不到的地方称作盲区。 观察者站得越高，看到的范围越大，盲区就越小。观察者越靠近遮挡物，观察的范围越小，盲区越大。 学习了这节课后，我还能用数学的知识解释影子的现象。路灯下同样的物体，离路灯越近，影子就越短， 离路灯越远，影子就越长。数学真是太棒了！是的，数学真是太有趣了！ 这些现象都是因为观察范围会随着观察点的变化而变化。那么我们怎样确定观察范围呢？哪些又是我们看不到的盲区呢？ 我们一起来听听这位同学是怎么说的。先找到观察点和障碍点， 再连接观察点和障碍点，画一条射线，就能确定观察的范围了。总结的可真好，要先找到两个点，观察点 和障碍点， 然后连接两点，画一条射线， 这样我们就能确定观察的范围了。好在天安门广场这节课中，同学们又解决了怎样的问题呢？ 在天安门广场这节课中，我知道了从不同的角度观察建筑物的相对位置是不一样的。判断一组连续照片的先后顺序我们可以假设自己就是拍摄者， 想象自己会先看到什么，再看到什么，从而做出正确的判断。 是的，在判断一组照片是从什么角度拍摄下来的，或者是他的先后顺序。我们要学会根据照片中建筑物间的位置关系进行分析和推理。 如果实在想不明白，也可以用物体当做建筑物摆一摆，看一看。好了，教材上的内容我们就复习到这，接下来就让我们用所学的知识解决实际问题吧。 首先请看填一填第一题，从远处看物体看到的范围 对更大一些，看到的物体想象一下，从远处看，看到的物体会比较小。是的，再看第二题， 在路灯下散步，走向路灯时，影子会变，想象你正朝着路灯走去，离路灯越来越近了，影子会变短。第三题， 添一个小正方体，使这个立体图形从正面看形状不变。有几种添法呢？同学们，拿出你的学具，赶紧摆一摆，添一添吧！开始 好了，同学们，摆好了吗？我们来听一听这位同学是怎么摆的。 要让这个立体图形从正面看形状不变，我就把这个小正方体摆在他的前面或者后面，可以摆在这一种，一种，两种，三种，四种， 五种，六种，一共有六种摆法。瞧这位同学摆的多清楚啊！ 要让他从正面看形状不变，可以摆在这个立体图形的前面，也可以摆在他的后面，一共有六种摆法。同学们，你摆对了吗？再看第四题， 一个立体图形告诉了我们从上面和左面看到的形状。搭成这样的一个立体图形，最少需要几个小正方体？最多需要几个小正方体呢？ 来用你的学具摆一摆吧！ 好了，同学们，你们有答案了吗？我们也来听听看这位同学他是怎么摆的。 我根据从上面看到的形状，拿出四个小正方体，摆出一层，再根据从左面看到的形状，在这一排的上面摆一个，这样这个立体图形就搭好了。 我发现最少需要五个小正方体在上面，这个正方的右边还可以摆两个小正方体，也不会影响这个立体图形从上面 和左面看到的形状，所以最多需要七个小正方体。 好，这道题最少需要五个小正方题，最多需要七个小正方题。 因为题目告诉我们从两个方向看到的形状，所以我们不能确定这个立体图形唯一的样子，但是我们可以确定摆成这个立体图形的数量范围。 好了，填空题就做到这，接下来让我们翻开数学课本第一百页，完成第三题， 找出下面的立体图形，从正面、上面、左面看到的形状，并连一连。 同学们，你们有什么好办法吗？和你身边的小伙伴交流一下吧！ 好了，连好了吗？我们来看看正确答案吧！ 我是这样想的，正面正对着我们，最好观察，所以我先看正面。 从正面看能看到四个正方形，分为上下两层，下层有三个正方形，上层有一个正方形，在中间的位置是第二幅图。 我再从上面看，也能看到四个正方形，分为两排，上面一排有三个正方形，下面一排有一个正方形在左边，是第三幅图。 对于从左面看到的形状，我进行了一些想象，我想象自己站在左边观察，发现有三个正方形，分为上下两层， 下层有两个正方形，上层有一个正方形在左边，所以是第一幅图。 好的，这位同学可真棒！左面的形状我们是看不到的，那么在这里他用到了一些想象，想象自己站在左面，置身其中，这个方法非常好。 哎，我听到还有同学有别的想法，我们一起来听一听吧！ 雷老师，我观察这个物体，左面的方法和它不同，这个物体的左面我们是看不到的，但可以看到物体的右面，左面和右面是相反相对的， 所以我是根据看右面想左面的方法找到物体的。左面是这幅图 哦，这位同学是根据左面和右面看到的形状是相反的进行了推理，非常好，这种方法也很棒！同学们，你们是不是也是这样想的？你们都连对了吗？ 接下来我们看到课本第一百零五页第七题，分别画出从正面、上面、左面看到的立体图形的形状， 请拿出铅笔和尺子，动手画一画吧！ 画好了吗？我们来听听这位同学他是怎么画的吧！ 从正面看，我能看到三个小正方形，分为上下两层，下面一层有两个，上面一层有一个在左边，是这样的。怎么样，你们是这样的吗？ 从上面看，能看到四个小正方形，形成一个田字形。 从左面看，也能看到三个小正方形，分为上下两层，下面一层有两个，上面一层有一个在左边，是这样的， 非常好。这个同学三幅图都画对了，同学们，你们画的怎么样呢？如果错误了，请改正过来。 接下来我们看看第八题，如图，是从三个不同的方向看到的立体图形，请你搭出这个立体图形。好了，题目要求读完了，动手吧！ 搭好了吗？我们来看一看这位同学是怎么搭的。 根据从正面看到的形状，我先用三个小正方体搭出这个立体图形，再根据左面看到的形状，我可以在这个立体图形的左边的前面竖着放两个，也可以在它的后面放两个， 这样左边的形状也符合要求了。我再从上面看，这两个立体图形的形状分别是这样的，所以右边这个立体图形是正确的，这个是错误的。 搭好后，我又从正面、上面、左面三个方向观察了一下，进行检验，都是正确的。 真棒！同学们，你们答对了吗？这位同学有一个非常好的习惯，就是搭好以后，他还能从正面、上面、左面再看一看，进行检查。 这个好习惯，希望同学们都能向他学习。接下来我们来看看课本第一百零六页的第九题， 淘气和笑笑在剧院看演出，坐在二楼的淘气能看到笑笑吗？笑笑坐在什么位置时，淘气才能看到他呢？在图上标一标， 同学们，你们有什么样的想法呢？和你身边的小伙伴们说一说吧！ 好，我们来听一听这位同学他是怎么想的。 我将淘气的眼睛和楼上护栏的最高处看作两个点，过这两点画一条射线，发现笑笑在淘气的盲区内，所以坐在二楼的淘气不能看到笑笑。 哦，淘气不能看到笑笑，笑笑只要坐在淘气的盲区以外，我觉得这三个位置都是可以的哦。这个同学觉得这三个位置都是可以的。 哎，我听到了，还有同学有想法。雷老师，我一眼就看出淘气是不能看到笑笑的， 因为笑笑不仅坐在淘气的下面一层，而且还在淘气这一排的后面，所以淘气是不可能看到笑笑的。 怎么样，说的是不是很有道理，不仅坐在淘气的下面一层，而且还在他这一排座位的后面，所以一眼就看出淘气是不可能看到笑笑的。 嗯，还有同学有想法。老师，我认为笑笑坐在从右边数的第四个座位，淘气也是能看到他的。淘气能看到笑笑的头部。 这位同学认为笑笑坐在从右边数第四个座位，也是能被淘气看到的，你们觉得呢？同意他的想法吗？ 来，咱们让笑笑坐在这个位置上试一试，看一看好吗？ 怎么样，淘气？是不是能看到笑笑的头部？非常好，这位同学很棒，他能结合生活实际进行想象。 好了，看来坐在这四个位置淘气都是能看到笑笑的。同学们，你们明白了吗？ 书上的练习做完了，接下来呀，雷老师有两道挑战题，同学们有信心接受挑战吗？好，请看第一题。 下面是四个小朋友站在路灯下影子的情况看， 有的影子在左边，有的影子在右边，有的影子短，有的影子长。想一想，他们分别站在哪个位置呢？你能写出他们的名字吗？ 赶紧开动脑筋，和你的小伙伴们说说你的想法吧！ 怎么样，有想法了吗？我们来听听这位同学是怎么说的？ 我是这样想的，影子是由于这几个同学的身体挡住了光线产生的，站在路灯左边的同学影子也在左边，站在路灯右边的同学影子在右边， 所以路灯的左边是笑笑，其他三个同学在路灯的右边。 接着我又想到，离路灯越近影子越短，离路灯越远影子越长，所以在右边离路灯最近的同学是乐乐，然后是淘气，最远的是球球， 怎么样？这位同学是不是说的特别好，有理有据，条理清晰。 在路灯左边的是笑笑，在路灯右边的分别是乐乐、淘气和球球。怎么样，你们的想法和他一样吗？祝贺你挑战成功！接下来我们来看第二题。 机灵狗放学了，从学校出发，它看到下面四幅图片的先后顺序是怎样的呢？ 观察一下这四幅图片，仔细看上面的建筑物，开动脑筋想一想，排一排它的顺序吧！ 想好了吗？来，我们听一听这位同学他是怎样想的？ 机灵狗从学校出发，当他走到这个位置时，菠萝屋离他最近，所以他看到菠萝屋会比较大，风车塔会被菠萝屋挡住一些。 蘑菇屋离它最远，所以是图一的样子。怎么样？你们是这样想的吗？ 菠萝屋离它最近，蘑菇屋离它最远，是图一的样子。嗯，很有道理。 机灵狗继续往前走，会发现蘑菇屋、风车塔、菠萝屋都能看的很完整，没有遮挡。 蘑菇屋在左边，中间是风车塔，菠萝屋在右边。图二和图四很相似，都有可能，不过图二三个建筑物之间的距离更大一些。 图四，蘑菇屋和风车塔之间的距离很近，再往前走的话，风车塔就快要被蘑菇屋挡住了。所以机灵狗会先看到图二，再看到图四。 怎么样？你们是不是也是这样想的？再继续往前走，当走到这个位置时，菠萝屋就离他很远了，还被风车塔挡住了一些。 蘑菇屋在机灵狗的右边，离他很近，看着比较大，所以是图三。这四幅图片的先后顺序是一、二、四、三。 这位同学说的太棒了，老师都忍不住要给他一些掌声。 在观察时，我们可以根据建筑物之间的位置关系进行分析， 当两个图片的位置关系很相似时，我们也可以分析它们的距离关系，从而做出正确的判断。 不知不觉中，这节课即将结束了，同学们，通过这节课的学习，你有怎样的收获呢？ 孔子说，温故而知新，希望同学们在以后的学习中，能够经常对所学的知识进行整理复习， 提高学习效率。好了，这节课就上到这，同学们再见。

同学们大家好，我是杨老师，很高兴和大家一起学习元单元，练习一这部分内容。 首先我们一起回顾和整理一下本单元的内容。回顾与整理之前，大家对本单元还有什么困惑或问题吗？ 老师，我有一个问题，在这一单元中，我们一开始认识了圆，知道了圆是异中同长，它有无数条半径或直径， 而且直径等于两倍的半径，每条直径所在的直线都是圆的，对称轴正多边形逼近的方法可以趋近于圆等。我的问题是，圆的认识的学习对研究圆的周长和面积有什么帮助呢？ 老师，我也有一个问题，我们已经研究完圆这个曲边图形的周长和面积了。我想知道直边图形研究的经验对研究曲边图形的帮助到底体现在哪些地方？ 屏幕前的你们是不是也有和淘气笑笑同样的问题？那我们带着这样的问题一起整理我们是怎样研究圆的周长和面积的吧，看看你有什么发现？ 怎么样？整理完了吗？我们一起看看下面这几位同学的想法吧！这两位同学整理的思路你能看懂吗？ 我看懂了这位同学整理的思路，他先回忆了研究圆的周长和面积时遇到的困难，比如研究圆的周长时，不能用尺尺直接测量怎么办？用画方格的方法得到圆的面积，不是整格的怎么办？ 为了解决这两个困难，我们想到了用滚圆、绕线、割圆等方法得到圆的周长，将圆等分拼出近似的平行四边形，得到它的面积。整个研究过程中都用到了化取为值的思想。 齐思说的真清楚！听了你的解读，我们更加明白这位同学整理的思路了。在他的思路中提到了研究圆周长和面积时遇到的困难， 这两个困难屏幕前的你们是不是也遇到过？那造成困难的原因是什么呢？ 老师，我是这样想的，以前我们研究的都是长方形、三角形、平行四边形等图形的周长和面积。圆是取边图形，再用直尺直接量圆的周长数方格的方法得到圆的面积，就会出现困难。 妙想真会思考，我们从研究对象和工具方法再来看看这个问题。我们可以用直尺和数方格的方法直接得到直边图形的周长和面积。 本单元研究的圆是取边图形，研究直边图形的这些方法就不适用了，所以我们想到了用滚圆、绕线、割圆等方法来得到圆的周长， 将圆等分拼出近似的平四边形，得到它的面积。但是这样的方法我们当时又是怎么想到的？你们还记得吗？ 当时我想到了研究平行四边形面积的过程，我们把平行四边形转化成了长方形， 借助长方形的面积得到平行四边形的面积。所以我也在想，圆能不能转化成我们以前学过的图形呢？经过尝试，我们利用化曲为直的思想，将圆等分后拼成了近似的平行四边形或长方形。 就像笑笑所说，我们在研究圆时，将圆与其他已经学过的图形建立了联系。 其实不仅仅是圆，我们在研究一个新图形时，都可以用转化的方法建立新图形和已经学过的图形之间联系，从而解决问题。 同学们第一个整理的作品给了我们很多启发，我们一起来看看第二个吧。 这位同学在整理研究圆周长和面积的过程与方法的基础上，还增加了圆的认识的相关知识。他梳理三个方面知识的同时，还发现了圆的认识与圆周长、圆的面积的关系。 老师我给妙想补充一下。其实从这位同学的整理中，我还发现，在圆的认识中，我们知道正多边形变数越多，它的形状就越逼近圆。正是这种正多边形逼近圆的方法，为我们探索圆周长和面积提供了思路。 同学们通过淘气和妙想的发言，我们可以看出，圆的认识对探求圆的周长和面积起到了重要的作用。 我们再来一起看一看，无论我们用圆形纸片滚动一周的轨迹来得到圆的周长， 还是将圆等分拼成近次的平行四边形得到圆的面积，都跟圆一中同长这个特征有关。看来圆的认识的学习是研究圆周长与面积的基础。 同学们通过刚才的整理，我们对圆这单元又有了新的理解与收获。 带着这些理解，我们一起来解决几个问题吧。解决问题一，你能在下面的正方形中画一个面积最大的圆吗？ 大家先不着急，在解决这个问题之前，我们应该思考哪些问题？ 老师，我是这样想的，因为要在正方形中画一个最大的圆，所以我在想画一个怎样的圆，也就是说半径是多大的时候面积最大呢？既然要画圆，圆心又要定在哪里呢？ 笑笑真会思考问题，屏幕前的你们是不是也是这样分析问题的？现在大家按照这样的思路来解决这个问题吧！怎么样，大家解决出来了吗？我们一起看看妙想的方法吧！ 因为要在正方形中画一个最大的圆，当圆的直径等于正方形的边长的时候，圆的面积最大，所以圆的直径就是四厘米， 半径就是四，除以二等于两厘米， 圆规两角之间的距离也是两厘米。 确定好半径之后，我们再找圆心，圆心在哪里呢？应该就是正方形的中心点，也就是正方形对角线的交叉点。 现在以正方形的中心点为圆心，两厘米为半径，在正方形中画出最大的圆。 妙想解决问题的思路真清晰，画圆时要知道圆的圆心和半径，利用圆的特征解决了这个问题，你真棒！屏幕前的你们跟妙想的方法一样吗？我们再来试一个吧！ 解决问题二，陶器用两根长度都是六十二点八厘米的铁丝分别围成正方形和圆，它们围成的面积一样大吗？ 跟刚才一样，不着急解决，先分析一下你打算怎样解决这个问题， 怎么样，你们有想法了吗？谁来分享一下？ 老师，我分享一下我的方法。首先根据问题中的信息，我们知道六十二点八厘米表示正方形和圆的周长，要想得到正方形和圆的面积，我们只要知道正方形的边长和圆的半径就可以了。 所以我用六十二点八除以四等于十五点七得到正方形的边长，然后十五点七乘十五点七等于二百四十六点四九平方厘米得到正方形的面积。 接下来求圆的面积，用六十二点八除以三点一四除以二等于十得到圆的半径。然后三点一四乘十乘十等于三百一十四平方厘米得到圆的面积。最后作比较， 二百四十六点四九小于三百一十四，所以得出结论，周长一样的正方形和圆圆的面积最大。 屏幕前的你们跟笑笑的结果一样吗？关于这个问题，还有一位同学是这样想的，我们一起看看吧！ 我用的是推理的方法，假设两根铁丝长度都是四 a， 先求正方形的面积，用周长四 a 除以四等于 a 得到正方形的面积。 再看圆的面积，用周长四 a 除以 pi 再除以二等于 pi 分 之二 a 得到圆的半径。用 pi 乘上圆的半径 pi 分 之二 a 再乘上圆的半径 pi 分 之二 a 等于 pi 分 之四 a 方得到圆的面积。 因为 pi 分 之四大于一，所以正方形的面积 a 方小于圆的面积 pi 分 之四 a 方，所以得出结论，周长一样的正方形和圆圆的面积最大。 同学们，这种方法你们理解了吗？它用四 a 表示实际的长度，利用周长和面积的关系来解决问题。 无论是计算还是推理的方法，我们都得出同样的结论，周长一样的正方形和圆圆的面积最大。 老师，这个结论让我想到生活中一个现象，不管是乔木、灌木还是大树小树，他们的树干都是圆柱形的，很少能见到其他特殊形状的树干。 是不是在相同大小材料的情况下，圆面积是所有形状的面积中最大的呢？妙想从数学联系到生活，真是一个爱思考的孩子， 不知道你们观察过没有，其实不只是树干，我们生活中常见的水管、煤气管等横截面都是圆的。 是不是像妙想思考的那样，在相同大小材料的情况下，原面积是所有形状的面积中最大的呢？ 对这个问题感兴趣的同学，课下可以深入的研究一下。好，今天的课就上到这里，同学们再见！

球员的周长、圆环的面积、方中圆、中方，阴影部分的面积是六年级数学的重难点。期末能够满分的孩子，都是在考前就把三十六个模型给吃透了。有规划的妈妈都给孩子准备了这本几何三十六模型， 他把小学阶段并学的三十六个几何模型清晰规范为九大类别，像孩子常困惑的公型模型、弯角模型等，高模型、圆方模型、圆环模型、椭圆模型、鸟头模型等，每个专项都有模型推导过程、核心总结、模型模题讲解， 学完还有举一反三、变式练巩固知识。题型由易到难，还带有动画视频演示，孩子直观好理解，不会的还有免费的讲解， 搭配一本练习册，及时查缺补漏。考前把这些重难点都给吃透，期末就稳了，下学期几何也能轻松衔接，为小升初打好基础。快给孩子准备起来！

这是一道小学六年级上册数学期末考试题，题目是这样的，一的平方加二的平方加三的平方，以此类推，一直加到十的平方会等于多少？这道算式主要考察了学生的数学思维能力，有一定的难度。我们来看下面的四指，找出规律。 一的平方，它会等于六分之一乘二乘三，而一的平方加二的平方，我们可以推算出它会等于六分之二乘三乘五 一的平方加二的平方加三的平方则会等于六分之三乘四乘七。大家从这里发现了什么规律吗？ 我们会发现，从一开始的连续自然数的平方数的和它的得数分母都为六，而分子是最后一个数， 比如说这个数是三，是最后一个数，再乘以比这个数大一的数就是四，再乘以一个比这个数的两倍大一的数就是二，乘三加一就等于七。 因此，我们可以得出本题的最后结果了。这算式最后一个数是十，所以结果会等于六分之十乘十一，再乘以二十一，得出最后结果是三百八十五。

六年级数学寒假补对一个点，小升初稳题二十分。六年级寒假数学补落关键图形计算占分超百分之二十，假期吃透衔接初中更顺畅。 图形计算专项必刷分数应用圆组合图形高频考点全覆盖，四十九道精选题加全详细线段图到阴影面积，难点全突破，每天十道高效刷吃透解析逻辑突破不落点可打印速列，寒假稳扎基础，开学逆袭题分需完整版回复十六。

同学们好，我是雷老师，很高兴能与大家一同学习。 今天我们将对教材中图形与几何的部分进行总复习。首先让我们一起翻开课本第一百页， 今天的学习将围绕这几个问题展开。同学们回忆一下我们学过哪些平面图形，你能将它们进行整理吗？ 好，我们来听听这位同学是怎么说的。 我们学过的平面图形有长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆。 其中长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形是用线段围成的封闭图形，而圆是由曲线围成的封闭图形。 是的，圆相对于其他几个平面图形而言比较特殊，它是由曲线围成的封闭图形。今天这节课我们就对圆进行整理和复习。 在圆这个单元中，我们学到了哪些知识呢？下面让我们跟随教材一起来回顾一下吧。 圆的认识让我们了解了圆的特征，以及用圆的知识解释生活中的简单现象， 欣赏和设计，让我们进一步感受了圆的对称美。在数学阅读中，我们了解了圆周率的历史，学习了圆的周长和面积后，能帮助我们解决生活中的实际问题。 看来这个单元的知识还是非常丰富的，同学们在复习的时候可以用数学报、 思维导图或者列表格的形式对所学的知识进行整理。接下来让我们来听一听这几位同学的知识整理吧！ 我对圆的特征进行了整理，圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆中心的一点叫做圆心，一般用字母 o 表示。 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母 r 表示。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母 d 表示。 一个圆中有无数条半径，这些半径都相等。有无数条直径，这些直径也都相等。所以说圆与中同长，也同一个圆里，直径长是半径的两倍， 用字母表示，可以写成 d 等于二 r。 好 的，这位同学对圆的特征进行了整理，让我们把它说的记录下来。 圆中心的一点叫做圆心， 通常用字母 o 表示。半径，用字母 r 表示。直径，用字母 d 表示。 在同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。 半径有无数条，直径也有无数条。 在同一个圆中，直径长是半径的两倍，用字母可以写成 d 等于二 r。 反过来也可以说 r 等于二分之一 d。 好 的，还有同学想补充 老师，关于圆的特征，我还有补充，我知道圆是轴对称图形，有无数条对称轴。将圆对折两次，两条折痕的焦点就是圆的圆心。 圆还是轴对称图形，有无数条对称轴。 好的，接下来我们来听听其他同学的整理。 我对圆的周长进行了整理，围成圆的曲线的长叫做圆的周长，一般用字母 c 表示。 上课时，我们用绕绳法和滚动法测量出圆的周长。通过研究发现了圆周率派，进而得到了圆周长的计算方法。用字母表示是 c 等于派 d 或 c 等于二派 r。 在圆的周长这节课中，我们用化趋为值的方法测量出了圆的周长，进而发现了神奇的圆周率 pi， 得到了圆周长的计算公式。可以用字母写成 c 等于派 d 或 c 等于二派 r。 ok。 在这一单元中，我们还学习了对圆的面积。接下来就让我们一起来看一段小视频，回忆一下圆的面积计算公式是如何推导出来的。 我们通过把圆分一分、剪一剪、拼一拼的方法，把圆拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的高就是圆的半径，平行四边形的底是圆周长的一半。 就这样我们就找到了圆的面积计算公式。在这个过程中，我学到了把未知的图形转化成已知的图形，找到它们之间的联系，从而解决新问题的方法。在以后的学习中，我也要试着多用用这种方法。 是的，在学习圆的面积这节课中，我们用到了一个非常重要的数学思想，转化思想就是把圆转化成学过的平行四边形。 当然，我们也可以把圆转化成长方形或者三角形，都能发现圆的面积计算公式是 s 等于 pi r 的 平方。 好，我们来看看还有同学有什么想说的。 雷老师，我发现学习了圆的知识后，我可以解决生活中的许多问题， 而且只要告诉我圆的半径、直径、周长、面积中的任意一个数据，我就能计算出其他的数据是多少。所以我把这些计算方法之间的联系也进行了整理。 圆的知识还帮我理解了生活中的一些现象，比如车轮、下水道的井盖为什么是圆的了？圆真是一个美丽又神奇的图形。 是啊，这位同学可真棒，他还能根据圆的半径、直径、周长和面积的关系进行整理，从而解决问题。 好了，课本上的知识整理就到这，接下来就让我们用所学的知识解决实际问题吧。首先，数学判断听，请看第一题， 圆的半径都相等，这句话对吗？ 这道题是错的。要说在同一个圆或者相等的圆中，圆的半径是相等的。第二题，半圆的周长就是圆周长的一半 对，这道题也是错的。我们来看一看，这是一个半圆，它的周长是一个半圆弧加一条直径， 这是一个圆，这是圆周长的一半，很明显它们是不相等的，所以这道题也是错的。注意，半圆的周长一定要记得加直径哦！ 半圆的周长可以用字母表示， pi r 加 d， 同学们可以把这个公式记录在你的笔记本里 再看。第三题，直径大的圆周长，大圆周率也大，对吗？ 直径大的圆周长的确也大，但是圆周率是一个固定的数，所以这道题是错的。 第四题，求阴影部分的面积。用三点一四乘八减五的差的平方等于二十八点二六平方厘米，对吗？我们一起来分析一下吧。 阴影部分的面积其实也就是这个大圆的面积， 减去里面半径为五厘米的小圆的面积， 然后用乘法分配率可以写成三点一四乘八的平方减五的平方的差，答案是一百二十二点四六平方厘米，所以这道题也是错误的。 好，接下来我们来完成数学书上的练习。看到数学书第一百零五页第二题，按要求先画圆，再求出圆的周长和面积。 请同学们在草稿本上动手做一做吧。 做好了吗？我们来看一看这两位同学的答案。 第一个同学先画了一个半径为两厘米的圆，求出它的周长是十二点五六厘米，面积是十二点五六平方厘米。 在这里雷老师要提醒同学们注意，虽然这道题的周长和面积都是十二点五六，但是它们的含义是不同的， 这个十二点五六表示的是周长，要用的是长度单位。这个十二点五六呢，是圆的面积，用的是面积单位，所以说圆的周长和面积无法比较。 再看第二题，画出一个直径是三厘米的圆，直径三厘米，说明圆规两角之间的距离应该是一点五厘米， 然后求出它的周长是九点四二厘米，面积是七点零六五平方厘米。这道题的数据比较大，同学们你算对了吗？ 接下来我们来看看第四题。陶器和笑笑便习径走，陶器沿长为九米，宽为四米的长方形花坛走，笑笑沿直径为八米的圆形花坛走， 他们的速度相同，谁先走完一周呢？哎，这道题是跟圆的周长有关，还是和圆的面积有关呢？我们来听听这位同学是怎么分析的。 这道题和圆的周长有关，我是从这些关键词发现的，例如沿着走完一周，这些关键词都说明这道题和圆的周长有关， 同学们，你们听明白了吗？这些关键词都告诉我们这道题是跟圆的周长有关。我们来看看这道题该怎么算呢？ 刨器是沿长方形花坛走，所以它的周长是长加宽的和乘二等于二十六米。笑笑是沿直径为八米的圆形花坛走， 算出来的周长是二十五点一二米，因为它们走的速度是相同的， 淘气走的路程更远一些，笑笑走的路程更近一些，所以笑笑先走完一周。同学们，你做对了吗？ 接下来我们来看一看第六题。动物王国在举行盛大的马戏表演，瞧，调皮的猴子正在进行走钢丝表演呢。 请看，他提了一个问题，车轮一共要转多少周呢？同学们，试一试，算一算吧！ 做好了吗？我们来听一听这个同学的答案。这道题问，车轮一共要在长城上转多少周，与圆的周长有关，我是这样做的， 咦，怎么连一周都不到呢？不符合生活实际呀！哦，我明白了。车轮的直径是用厘米做单位，身子全长是用米做单位，单位不同，要进行单位换算，赶紧定正，听明白了吗？ 这个同学虽然做错了，不过他有一个很好的习惯，就是能够结合生活实际进行反思。他发现算出来的结果连一周都不到。 因此又把这个题目读了一遍，发现了问题所在。单位是不同的，要注意单位换算。 同学们在做的时候，可以把它统一成米做单位，或者也可以统一成厘米做单位。最后的结果都是二十五周， 同学们，你做对了吗？接下来让我们来看看第五题。 题目要求我们先用圆规画出右面的图形，并涂上颜色，然后求出图色部分的周长和面积。嗯，这道题看上去有些复杂， 同学们，拿出你的圆规，在作业本上画一画，算一算吧！ 做好了吗？我们来听一听这个同学他是怎么画的？ 我先以两厘米为半径画出一个圆，再通过圆心画出两条互相垂直的直径，再找到这四条半径的中点， 以一厘米为半径，画出四个半圆，最后涂上颜色，这个风车图案就画好了。我先算小半圆的周长是五点一四厘米， 再算四个小半圆的周长是二十点五六厘米，所以涂色部分的周长就是二十点五六厘米，涂色部分的面积是六点二八平方厘米。好，我们一起来看一看这位同学的方法。 三点一四乘二，再除以二，求出来的是这个小半圆的半圆弧， 再加上这个直径二厘米，得到一个小半圆的周长是五点一四厘米，然后算出四个小半圆的周长之和等于二十点五六厘米。 面积也是先算出一个小半圆的面积是一点五七平方厘米，再算出四个半圆的面积是六点二八平方厘米。这个方法非常好，同学们，你做对了吗？ 还有别的方法吗？我们来听听这个同学是怎么说的。 雷老师，我计算周长的方法和它不同，我是这样做的。这四个半圆的半圆弧可以拼成两个整圆， 用三点一四乘二，再乘二等于十二点五六厘米，求出两个圆的周长， 再加上四个两厘米，二乘四等于八厘米，十二点五六加八等于二十点五六厘米。 图色部分的周长也是二十点五六厘米，面积就是这两个拼成的圆的面积之合，用三点一四乘一的平方，再乘二等于六点二八平方厘米。 哎，这个同学的方法你们听明白了吗？他是先把小半圆拼成了一个完整的圆，算出了两个圆，周长之和是十二点五六， 不过要提醒你注意，要记得加上这四条两厘米的直径，最后算出的结果也是二十点五六厘米，非常好！ 老师，我还发现了拼成的两个小圆的周长之和等于大圆的周长都是十二点五六厘米。因为这两个小圆的直径之和等于大圆的直径，所以他们都可以用三点一四乘二再乘二计算。 哎，你们听明白了吗？这个同学说的是，这两个拼成的小圆的周长之合等于大圆的周长，他们都可以用三点一四乘二再乘二计算。 这个同学的发现是巧合吗？不是的，它里面呐藏着一个数学道理，让我们来听听数学博士是怎么说的吧！ 把一个大圆的直径地分成若干份，以分成的线段为直径，画出 n 个大小不同的圆。 第一个圆的直径，我们把它叫第一，第二个圆的直径叫第二，第 n 个圆的直径叫第 n。 这些小圆的周长之合可以列示为，派第一加派第二，一直加到派第 n。 用乘法分配率可以写成太乘上 d 一 加 d 二一直加到 d n 的 和，而 d 一 加 d 二一直加到 d n 的 和，正好等于大圆的直径 d， 那么小圆的周长之合就等于派币，也就是大圆的周长了。所以说，当 n 个小圆的直径之合等于大圆的直径时，这 n 个小圆的周长之合就等于大圆的周长。 同学们，你们都听懂了吗？当几个小圆的直径加起来的和等于大圆的直径时，这几个小圆的周长之和就等于大圆的周长。 好了，今天的练习就全部结束了，希望同学们在以后的复习中能够学会归纳、整理，总结、反思。今天的课就上到这，同学们再见！

求圆的周长、圆环的面积、方中圆、中方、阴影部分的面积是六年级数学的重难点。期末能够满分的孩子，都是在考前就把三十六个模型给吃透了。 有规划的妈妈都给孩子准备了这本几何三十六模型，他把小学阶段并学的三十六个几何模型清晰归纳为九大类别，像孩子常困惑的弓形模型、弯角模型、 魔方模型、圆方模型、圆环模型、椭圆模型、鸟头模型等，每个专项都有模型推导过程 核心总结、模型模题讲解，学完还有举一反三辨识练，巩固知识难度。题型由一到难还带有动画视频演示，孩子直观好理解，不会的还有免费的讲解， 搭配一本练习册，及时查缺补漏。考前把这些重难点都给吃透，期末就稳了，下学期几何也能轻松衔接，为小升初打好基础。快给孩子准备起来！

图形侦探又来了，今天我们一起来解决这个问题，来看这道题。已知圆的半径为四米，求图中阴影部分的面积单位是米。我们先看图，这个图呢是一个圆中 接一个正方形，正方形的四个顶点呢，正好落在这个圆的圆周上，已知圆的半径是四米，那么阴影部分的面积是不是就等于 大圆的面积减去中间正方形的面积，那么圆的面积等于 pi r 的 平方 r， 也就是半径是四。 重点来了，那么正方形的面积是多少呢？通常我们说正方形的面积公式是边长乘以边长，但是已知条件中没有给到正方形的边长， 我们是不是可以把图中正方形割为两个直角？三角形，三角形的面积等于底乘以高除以二。那么我们看这个三角形的底是不是就是两个半径，两个半径 就是四加四底乘以高除以二。那么一共有这样的两个三角形， 十六派减去 除以二乘以二。好，十六派等于五十点二，四减去三十二等于十八点二四平方米，就求出了阴影部分的面积。

这里有两个图形，他们这样就变成了一个图形。像刚才有两个图形变成另一个图形的过程就是组合。我今天要讲的内容就是图形组合规律。 现在再给你两个图形，他们直接组合就变成这样，那再给两个图形，他们直接组合，就是这样。 除了直接组合之外，还有很多其他组合形式。比方说这有两组图形，他们有什么规律呢？很显然，中间图形是由两边图形重叠组合而成的。如果再给你两个图形，根据这个规律，中间的图形就应该是他 将三组图形放到一个表里，是这样的。如果把这个表的图形变成这样，那空缺的图形应该是什么呢？咱们还是横着看，先看第一行，将前两个图形重叠组合，就是这样。对比第三个图，你发觉圆还留着，但是俩斜线没了，那圆跟两条斜线究竟有啥区别呢？ 圆在前两个图形中都有，是它们之间相同的部分，但俩斜线就不是了，是它们之间不同的部分。将不同部分去掉，相同部分保留，这就是第一行的规律。 再看第二行，这个规律也符合，根据这个规律，空缺的地方应该是将前两个图形重叠组合，去掉不同部分，保留相同部分。所以答案是这样的。 比较这两个表，第一个表中中间的图形是将两边图形重叠组合，并且既保留了相同部分，又保留了不同部分。 而第二个表中第三列的图形是将前两个图形重叠组合，并且去掉了不同的部分，只保留了相同部分。如果同样是这三组图形，但只保留不同部分又会是什么样呢？先看第一行，将前两个图形重叠，去掉相同部分，将不同部分保留，就应该是这样。 再看第二行，保留不同部分是这样，那么第三行就应该是这样。好了，以上就是图形组合规律的全部内容，现在问题来了，如果表里的图形是这样，那这里应该是啥图形呢？点赞关注走一波，不然下次刷不到小李校长的趣味课堂哦！