九年级下册怎样画相似图形

同学们好，我是来自于南京市高城区第一中学的陈正清老师。今天我们学习的课题是五点二、图形的相似一， 下面我们来看。例一，如图已知点 e 是 矩形 a、 b、 c、 d 的 边 c、 d。 上一点 b、 f 垂直于 a、 e 垂足为 f。 求证，三角形 abf 相似于三角形 e、 a、 d。 先从结论出发，要想证明两个三角形相似，需要两个条件，从已知条件出发，矩形可以得到相关的边角的关系。 从条件和结论综合考虑，我们选择 角 b、 a、 d 等于角 d 等于九十度。 而另一个条件 b、 f 垂直于 a， 一， 可以得到角 a、 f、 b 等于九十度。那么把两个条件得到的 综合起来，我们发现角 d 等于角 a、 f、 b 等于九十度，恰好是相似需要的一组对应角。再考虑角 b、 a、 d 等于九十度， 可以变化为角 b、 i、 f。 加角 d、 i、 e 等于九十度。 而角 a、 f、 b 等于九十度，又可以得到角 b、 i、 f 加角 abf 等于九十度。根据同角的与角相等，我们可以得到角 abf 等于角 d、 i、 e。 这样两个三角形相似得正，这是我们的思路的分析，那么下面我们来完整的把这个题目证明一下。 因为四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，所以角 b、 a、 d 等于角 d 等于九十度，有 b、 a、 f 加角 d， a、 e 等于九十度。 因为 b、 f 垂直于 a 一， 所以角 a、 f、 b 等于九十度， 有角 a、 f、 b 等于九十度，又可得角 b、 a、 f 加角 a、 b、 f 等于九十度。 综合以上条件，我们可以得到角 a、 f、 b 等于角 d。 两个直角角 a、 b、 f 等于角 d、 a、 e。 它们都和角 b、 a、 f 互余，所以三角形 a、 b、 f 相似于三角形 e、 a、 d。 好， 下面我们继续看。例二，如图，已知三角形 a、 b、 c、 p 为 ab， 上一点 连接 cp， 要使三角形 a、 c、 p 相似于三角形 abc， 只需添加的条件是什么？只要写出一种合适的条件， 那下面我们来看一看这两个三角形对应的边和角，它们分别是，角 cap 对 应角 bac。 角 a、 c、 p 对 应角 abc。 角 a、 p、 c 对 应角 abc。 从边的角度来看， a、 p 比 a、 c 等于 a c 比 a b， a p 比 b c 等于 c p 比 bc 或者 c p 比 bc 等于 a c 比 abc。 那么这六个对应当中，角 cap 和角 b、 i、 c 显然是一组相等的角，公共角， 那么我们需要的条件就应该使另外一个角相等，或者是假角 a 的 两组对应边成比例， 添加的条件是，角 a、 c、 p 等于角 abc。 依据两角分别相等的两个三角形相似， 或者是角 a、 p、 c 等于角 abc。 同样依据是两角分别相等的两个三角形相似，或者是 a、 p、 b、 a、 c 夹的是角 c i p 等于 a、 c 比 a、 b 夹的是角 b、 a、 c。 依据式，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 那么通过这个题呢？我们复习了相似三角形的三种判定方法， 那么三边对应成比例为什么没有拿出来？那是因为已经有一个角 c i、 p 等于角 b、 i、 c 的 条件，我们只需要两两边对应成比例即可，就不需要三边对应成比例。那么下面我们来梳理一下 两个三角形相似的三种判定方法。 与他类似的全等的三个判定分别是角边角或者角角边边角边边边边， 我们知道全等是特殊的相似，也就是相似比为一的相似，所以在由全等到相似的判定过程当中， 这个条件发生了一点变化，比如说边角边，那么这个两边对应成比例， 角边角或者角角边的这个边，因为只有一条边，它肯定有一个比例， 所以呢就只需要两角相等，而边边边有三边相等，比值为一，变成了比值为 k， 即三边对应成比例。下面我们看例三， 学习图形相似后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。我们知道两个直角三角形全等，它的判定方法有 边角边、角角边以及 h l。 因为有已经有两个直角是相等的，所以我们不选择用边边边。那么针对这样一个问题，我们可以提出这样的问题， 对于两个直角三角形，满足一边一锐角分别相等，或者两直角边分别相等，两个直角三角形全等，这就是我们刚才讲的角边角角角边或者边角边， 那么把它推广到相似类似的，我们可以得到满足 一个锐角对应相等，一个锐角加一个直角分别相等，可以得到两个三角形相似，或者假直角的两条边及两直角边对应成比例。两个直角三角形相似。 这个题的解决其实就是来源于刚才我们的分析全等和相似之间的关系， 继续研究满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，这就是我们 所谓的 h l 类似的，你可以得到满足什么的？两个直角三角形相似， 从刚才的分析可以看出，有原来的斜边和斜边相等，直角边和直角边相等，那么理解其实就是 b 为一， b c 比 b 撇 c 撇在全等的时候 b 为一， a， b 比 a 撇， b 撇全等的时候 b 为一， a， c 比 a 撇 c 撇全等的时候 b 为一。那么现在要推广到相似，应该是满足斜边 a b b a 撇 b 撇 等于一个相似，等于一个比开， a、 c 比 a 撇 c 等于一个相似避开，或者 b、 c 比 b 撇， c 等于相似避开。所以我们这里应该填斜边和一条直角边对应成比例。 那么下面我们要结合图形，把文字语言转化为符号语言。 在描述的时候，首先要描述特征是两个直角三角形，角 c 等于角， c 撇等于九十度。然后选择斜边和其中的一组对应的直角边成比例。比如我们可以这样， 在 r g 三角形 a、 b、 c 和 r g 三角形 a 撇 b 中角 c 等于角， c 撇等于 a c， b c 撇 c 撇， 所谓的斜边和一组直角边成比例。求证这两个直角三角形相似。 怎样解决这个问题呢？在之前我们先来回顾一下相似三角形的几个判定定律是怎么得到的。 首先我们是从一个基本事实入手，两条直线 a、 b 被一组平行线 l 一 l 二 l 三所截 所得的对应线段成比例，即 a b 比 d 一 bc 比 e f， a， c 比 d f 比值相等。 在这个基本事实的基础上，我们得到了这样一条定律，平行与三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与圆三角形相似， 也就是由 d 一 平行于 bc， 我 们可以直接得到三角形 a、 d 相似于三角形 abc， 当然 d 和 e 可以 分别在 b、 i、 c、 i 的 延长线上。 那么在这个定力的基础上，我们逐一的探究了相似三角形的三种判定方法，我们来看一看他们的通法。 以第一个为例，两角分别相等的两个三角形相似，比如角 a 等于角 a 撇，角 b 等于角 b 撇。 我们要证明三角形 abc 相似于三角形 a 撇 b 撇 c 撇。我们是这样做的，先在 a、 b 上截一段 a、 d 等于 a 撇 b 撇。当然我们假设 a、 b 大 于 a 撇 b 撇， 然后过点 d 做 d 一 平行于 bc， 那 么有刚才的定理可以知道，三角形 a、 d 一 一定相似于三角形 a、 b、 c。 那 么下面我们要证明 a 三角形 a 一 全等于三角形 a 撇 b 撇 c 撇。 这样就把一个相似的判题转化为一个全等的判题。那我们再分析一下这两个三角形当中，在第一步中截得的 a、 d 等于 a 撇 d 撇已经具备了一条边， 然后角 a 等于角 a 撇是一个已知条件，所以我们只要去证明 角 a、 d 一 等于角 b 撇，为什么选择这个条件呢？因为在已知条件当中，有角 b 等于角 b 一 撇， 要想得到角 a、 d 一 等于角 b 一 撇，而角 b 一 撇又和角 b 相等，那么就只需角 a、 d 一 和角 b 相等， 显然这个可以有平行得到。 那么同样的第二个两边乘比例且夹角相等的两个三角形相似，以及三边乘比例的两个三角形相似，这两条定律的证明方法是一一致的， 都是这样一个思路，先结 a、 d 等于 a 撇、 b 撇，然后过点 d 做 d， 平行于 bc， 得到三角形 a、 d、 e 和 a、 b、 c 相似， 再证明三角形 a、 d、 e 和 a 撇、 b 撇、 c 撇全等，从而得到三角形 a、 b、 c 和三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇相似。那么在这样一个一以观之的方法中，我们来解决这样一个问题， 两个直角三角形，我们要去证明它相似，那么我可以先在 a、 b 上截取 a、 b 两撇等于 a 撇 b 并过 b 两撇做 b 两撇， c 两撇垂直于 a、 c 就可以得到角 a、 c 两撇， b 两撇等于九十度， 也可以得到 b 两撇， c 两撇平行于 bc， 保证了三角形 a、 b 两撇， c 两撇相似于三角形 a、 b、 c。 那么下面我们的任务就是去证明 a、 b 两撇， c 两撇全等于三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。 我们来看一看这两个三角形全等的判定具备的条件有，角 a、 c 两撇， b 两撇等于九十度。角 a 撇、 c 撇、 b 撇等于九十度。所以有一组对应角相等， 截取了 a、 b 两撇等于 a 撇、 b 撇，有一条斜边相等，那么下面我们去寻找第三个条件。 从前面的经验口可以，同学们可以想到，我们可以应该是去正直角边 a、 c 两撇等于 a 撇、 c 撇。 为什么会选择这个呢？我们从已知条件当中可以看到有这样一个比的关系， a、 b 比 a 撇， b 撇 等于 a、 c 比 a 撇、 c 撇。那么 a 撇、 b 撇换成 a、 b 两撇， 而 a、 c 比 a 撇、 c 能不能换成 a、 c 比 a、 c 两撇呢？如果能，那么我们就可以得到 a 撇、 c 撇和 a、 c 两撇相等，而这个比例可以通过刚才的相似得到。 下面我们结合具体的证明过程，再做详细的分析。证明 在 ab 上截取 ab 两撇等于 a 撇、 b 撇，并过点 b 两撇做 b 两撇， c 两撇垂直于 a、 c 垂足为 c 两撇。 因为角 c 等于角， a、 c 两撇， b 两撇都等于九十度，所以 bc 平行于 b 两撇， c 两撇。 所以 rt 三角形 abc 先相似于 rt 三角形 a、 b 两撇 c 两撇。这是我们解决的第一个问题。 然后下面我们来证明，三角形 a、 b 两撇， c 两撇全等于三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。 有刚才的相似，可以得到 a、 c 比上 a、 c 两撇等于 a、 b 比上 a、 b 两撇，这是对应边乘比例我们创造的这个条件， a、 b 两撇等于 a 撇、 b 撇。 那么替换过以后呢，这个比例式就变成了， a、 c 比 a、 c 两撇等于 a、 b 比 a 撇、 b 撇。 再加上条件当中的 a、 b 比 a 撇 b 撇等于 a、 c 比 a 撇、 c 撇。 把这两个比例式结合起来，我们就可以得到 a、 c 比 a、 c 两撇等于 a、 c 比 a 撇、 c 撇。从而 a、 c 两撇等于 a 撇、 c 撇。 结合刚才我们得到的另外两个条件， a、 b 两撇等于 a 撇 b 撇，角 c 等于角 a、 c 两撇， b 两撇等于九十度。这样就组成了一个直角三角形判定的 h、 l 的 三个条件， 所以 rt 三角形 a、 b 两撇， c 两撇全等于 rt 三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。 加上刚才的 r、 g 三角形 a、 b、 c 相似于三 r、 g 三角形 a、 b 两撇 c 两撇，最终证得三角形 a、 b、 c 相似于三角形 a、 p、 b 撇 c、 p。 应该说这个证法和我们三个定义的证明证法是一以贯之，当然此题还有其他的证明方法， 朋友们可以在课后啊自己去加以证明。好，下面我们对本节课做一个小结。 本节课的主要的重点是相似三角形的判定， 那么三种方法不再赘述，那么相似三角形判定的一般化， 那么要想掌握相似三角形的判定，需要我们同学对相似的一些基本模型要做到认识，并且呢，能够用变换的眼光 去看相似。今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！

好，同学们，好啊，来，我们第一个红包先走着啊。 好，那我们第一个红包先发到这啊，今天是我们秋夏的第二讲啊，真题一错，相似高端模型一啊，相似高端模型一，那首先呢，我们来进入到进阶拓展一啊， 其实就是个三垂直模型哈，就是个三垂直模型，已知四边形 a、 b、 c、 d 当中啊， e、 f 分 别是我们这个 a、 b、 a、 d 边上的点啊，然后 d、 e、 c、 f 相交于点 g 啊，把这连接了一下， d、 e 连接了一下 cf 交与点系，如图一，若四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形啊，这现在是个矩形，而且我们的 d、 e 垂直于我们的 c、 f， 那 也就说在这应该是个直角，对吧？ 这是个直角，我说就是个三垂直，因为你在这还有个垂直，这有个垂直，这应该见过啊。题目现在要求证 d、 e 比上 c、 f， d、 e 是 什么？ d、 e 是 个斜边， c、 f 是 不是个斜边，所以它这个斜边比上这个斜边，它要证明它等于 a、 d 比上一个 c、 d 是 不等于一个长值要边，比长值要边，所以思路极其明确，我们在这是不是就是要证明什么呢？ 啊，这个要证明的比例能推能倒，推出哪两个三角形相似吗？啊，那不就是要证明那两个三角形要什么？这先送个金币啊，他这也不好出互动题，他就这么出什么走着呢啊，这个相似也太好挣， 挣完了，我们的第一问就结束了啊，结束了。 好的，这个就三十秒提交答案啊， 来，我们倒计时啊，准备三二一。好，我们结束做的啊，结束做的 其实就是要证明三角形 d、 a、 e 啊，来，我们三角形 d、 a、 e， 它相似于三角形，如果是 d a、 e 的 话，应该是 c d f 啊？ c， d、 f 这两个三角形他为什么相似呢？啊？为什么相似呢？第一，他们都是直角三角形， 对吧？第二个，应该在这有个经典，一二三组合，角一，然后这个等于角二，为什么呢？因为他们都和这个角三互余啊， 都和角三互余，一二互余啊。不不，一三互余是因为这垂直，二三互余是因为这垂直， 所以一二就相等，对吧？一三互与二三互与一二就相等了，那有一个锐角相等，有一个直角相等，怎么着？这两个三角形是不都相似了？那相似以后不就是对应边的吗？对吧？我们的 d e 比上一个 c、 f， 它就等于一个 a， d 比上一个 c、 d 了。所以啊， d e 比上我们的 c、 f， 它等于我们的 a、 d 比上一个 c、 d。 第一问呢，我们就过了啊，来，下面我们看一下第二问。第二问呢？ 它如图二，现在这是个平行四边形了，不是个矩形了啊，是探求我们的角 b 与我们的角 e， g， c 啊， e g， c 与这个角之间满足一个什么样的关系的时候，我们的这个 d e 比上 c、 f 还是这个边比这个边，它等于 a、 d 比上一个 c、 d 啊？ a d 比上一个 c、 d。 好 的，那有没有发现？ 呃，我们依然是要让这里边的某两个三角形相似，对吧？某两个三角形相似。我觉得在这，你如果找不着这个相似，你其实可以更比一下啊，你更比一下，你更比的话，是这样，我们把那个 a、 d 给 移过来，那就是 d e 比上一个 a、 d 啊，然后它等于我们的 c、 f 比上一个 c、 d， 你 明白这样写一下，我们比较好找吗？ 因为他都是拿自己的边去跟别人的边的比啊，那是来回切换呢，看的就不是很准。 我们自己跟自己比，这个看的就比较准啊。我让这个 d、 e 比上 a、 d， 那 是不是就应该是我们的 d、 a、 e 这个三角形？然后呢？我们在这有一个 c、 f 比上一个 c、 d， 那 是不是就是一个 d、 c、 f 这样三角形？ 而且我还可以把对应点找到啊，我们就是要让三角形啊，这个地方有没有发现有两个字母是 d， 因为你在那是四个字母啊， d， e、 c、 f 很 难啊，把它搞出一个三角形。你这也是啊，你这倒是两个字母 a、 d、 c、 d， 但你在这四个字母， 但我这样进行更比之后，你会发现啊，分子分母里边一定得有一个公共字母，就每边都只有三个字母的时候，是比较好找出三角形相似的。那既然 d 是 分子分母的时候，是比较好找出三个字母，我先写这个 d， 然后写分子， 然后写分母啊， d、 e、 a， 它应该相似于我们的三角形哦，我把这个公共的字母放在第一个了，那我这边的公共的字母它也得放在第一个啊，那是不是 c 放在第一个， 然后是 f， 然后是 d， 然后就是分子，然后分母，对吧？我们的 d、 e、 a 看一下， d， e、 a 和我们的这个这个 c、 f、 d 这两个三角形相似，是吧？ 如果这两个三角相似，马上就可以得出一个，那我现在怎么让这两个三角形相似呢？这两个三角形要相似的话啊，如果相似了，那我们能得到什么结论啊？首先我看看啊， d， e， a， c， f， d， 是 吧？我看看啊，这两个三角形还相似不了 啊？这两个三角形还相似不了？相似不了的原因是我们这个角 a 和角 d 它是互补的 啊，角 a 和角 d 是 互补的啊，各位能明白我说的意思吗？啊？角 a 和我们的角 d 现在是互补啊，现在是，现在是互补的。你这个 a 和我们 d 是 对应点对吧？那这个角 a 和我们的角 d 是 不是应该就是对应角了？ 这两个角现在没有办法相等，如果相等了，他就变成一个矩形了，那就不符合我们平行四边形的定义了。所以我们这样去尝试了一下，发现怎么着呢？你是不是失败了啊？没有办法这样，这两个三角相似，那我们得怎么办？ 我们得构造相似啊，我们得构造相似。构造相似的方法就是，我还是要把我的这个定义 和我们的 c、 f 啊，放到一块去啊，放到一块去。然后呢，我们还要让我们的 a、 d 和我们的 c、 d 跟这个东西有关系啊，有关系。那方法是这样的啊，那就得做垂线啊，做垂线了。 好，如果我们来做垂线是这样的啊，来过点 d 去做 a、 e， a 的 垂线，哎，等会我得用虚线， 我要把它变成一个矩形，对吧？啊，其实也不是变成矩形，要变成直角三角形，然后我们在这再去做一个垂线啊， 在这再做一个垂线。那得到的结论，我在这做了个垂直，这个点呢，我们假设它是点 m 啊，然后我在这又做了个垂直，这个点呢？我们假设它是点 n 啊，假设它是点 n。 呃，首先我们在这应该有两个三角形先相似啊，哪两个三角形先相似呢？是我们的 d a m 和我们的三角形 d a m 啊，它相似于我们的三角形 d a m 的 话， 应该是我们的 c d n 啊， c d n。 为什么呢？第一，它们都是直角三角形，对吧？ 第一，他们都是直角三角形。第二，他们还有一个锐角相等，就是这个角一啊，他等于这个角二，原因是他们都跟角三互补， 对不对？一三互补是因为这是个平角啊，零补角，对吧？二三互补是因为同旁内角互补， 所以一个锐角相等，然后一个直角相等。这两个三角形一旦相似，我们的 a d 比上我们的 c d 啊， 我们的 a d 比上一个 c d 就 可以换个地儿了啊，换到哪来呢？你还得想去跟我们的 d e 以及我们的 c f 去建立联系。你怎么跟 d e 还有我们的 c f 去建立联系呢？ 你是不是要去跟我们的这个 d m 以及 c n 建立联系？那就是右边还有个直角三角形，对吧？好的，我看看啊。 a d 啊，那就是 dm a d 比上 c d 等于 d m 比上 cn 啊，等于 d m 比上一个 cn 啊，比上一个 cn 是吧？ dm 比 c n。 好 的，那现在我要让这个 dm 比上 c n 等于我们的 d e 比上我们的 c f， 你 是不是就是要让这两个直角三角形相似啊？我要想让它等于我们的 d e 比上一个 c f， 对 吧？ 那就是要让三角形啊，我们在这 d m 跟 d e 有 关，那 d m e 呗， d m e 啊，它相似于我们的三角形啊， d m e d m e， 那 就是 c c n f 啊， d m e 对， c n f 啊， c n f。 如果这两个三角形相似了，那我们这个啊，直角边比直角边，是不是就应该等于一个斜边比上一个斜边，对吧？斜边比上斜边好的，那这两个三角形他怎么才能相似呢 啊？首先是不是已经有个直角等于一个直角了，对吧？直角等于直角，然后我再来一个角相等就行啊，我就来这个锐角呗， 刚刚一二三了，那我就让这个角四啊，它必须得等于这个角五啊，角四必须得等于角五啊，所以再继续倒推，要让这两个三角形相似，我得让角四，它等于我们的角五。 那角四等于角五以后，怎么去建立这个 b g。 之间的关系呢啊？建立这个 b g。 之间的关系呢？ 要注意一下了啊。嗯，我们的角五啊，角四其实是等于这个角六的，有没有发现 这是个内错角，对吧？这是个内错角，我的角四啊，它是等于一个角六的，所以我们在这啊，角五必须得等于角六。角五要想等于角六，其实就是 b e g c 是 不是四点公圆？因为你一个外角等于 啊，它的内对角啊，这个外角现在等于它的内对角，是不是就四点公园啊？然后，那我们的 b g 就 必须满足一个什么条件？其实已经出来了，对吧？如果要写的更详细一点啊， 角五加角七就必须等于角六加角七， 对吧？要想角五等于角六啊，那角五加角七是不等于角六加角七，而你的角五加角七是不等于一百八十度，所以我们的角六加角七就是个一百八十度，那你的角 b 和角 g 有 什么关系了呢？完了 啊，那你的角 b 和你的角 e、 g、 c 有 什么样的关系了呢？走着呢， 这个就三十秒提交答案了啊，来我们倒计时啊，三二、一 不还是互补吗？对角互补，对吧？所以我们继续再往下推，我们就必须得让我们的角 b 啊，加上角 e、 g、 c 等于一百八十度，都已经提到四点公园了，对角本来也是互补的，这就是我们的第二问啊，其实有点复杂 啊，但是我们在这讲了一个方法，哎，你发现这两个直接正相似，正不了，对吧？那我们怎么办？我们做个垂线，把它放到直角三角形，因为你做了垂线，直角三角形相当于会新增一些条件啊，比如说有九十度了，对吧？有九十度了，好的，来给大家把这个第二个红包发一下啊，走着。 好的，那我们这个红包就发到这啊。下边我们来看一下第三问，其实第三问的做法跟第二问是一样的，呃，如图，若 b、 a 等于 bc 等于六啊， b、 a 等于六， bc 等于六，是吧？ 好，然后这个 d、 a 等于 d， c 等于八， d a 等于一个八， d、 c 也等于个八，有没有发现这是个征信， 对吧？这是个中形啊，其实我们的 b、 d 应该是垂直平分我们的 a、 c 的 啊， 因为你有一个点到线段，两端点距离相等，有一个点到线段，两端点距离相等，所以这两个点都在这个线段 a、 c 的 中垂线上，所以 b、 d 就是 a、 c 的 中垂线啊，就是 a、 c 的 中垂线，它是由两个等腰三角形组成的，那么这样的图形它有什么特点呢？其实我们的角 a 已经等于角 c 了， 对吧？角 a 呢？我如果连接 b、 d 啊，你上面这个三角形是不是和下面那个三角形是全等的呀，对吧？ b、 a、 d 和 b、 c、 d 这两个三角形全等，所以这个角和角 a 是 相等的啊。当然这个角 b 和角 d 不 相等， 现在我们的角 b、 a、 d 等于九十度呦， b、 a、 d 九十度，那意味着什么啊？意味着 b、 c、 d 是 不是也是九十度， 对吧？我刚刚说过这两个角相等啊！ b、 a、 d 九十度，那么 b、 c、 d 也是九十度， d、 e 垂直于我们的 c、 f。 在 这又来了个垂直啊， d、 e 垂直 c、 f 啊，请直接写出 d、 e 比上 c、 f 的 值。那跟刚刚一样，你这两个三角形目前不相似。 你含有 d、 e 和含有 cf 的 三角形，有没有发现它们目前是不相似的，对吧？不相似的，那我就得先构造相似， 我是不是又得做垂线，对吧？你这个 cf 啊，目前所在的是一个这样的一个锐角三角形，你的 d、 e 所在的是不是这样的一个直角三角形？那我在这要做个垂线。好的，过 c 做 df 的 垂线。嗯，还没完， 我们要过 c 再去做 ab 的 垂线。我还是要先来一组相似，然后得到第二组相似啊。 好的，我在这做了个垂直，在这做了个垂直，这个地方是我们的 m， 然后这个地方是我们的 n 啊，来这个就是过 c 做 c， m 垂直 ab 交 ab 延长线， 交 a， b 延长线于点 m 啊， 然后做 c、 n 啊，做 c， n 垂直 a、 d 于点 n。 这个倒是直接垂直到这好上来，瞬间有两个三角形先相似啊，是我们的三角形 c m b 啊， c m b， 它相似于三角形 c n d 啊， c n d， 原因是什么呢？ 第一，他们都是直角三角形，第二个就是应该在这又有一个经典一二三组合啊，这个角一，然后这个地方是我们的角二，这个地方是我们的角三，一二互余，是因为我们在这其实出来了个矩形啊，出来了个矩形，我这个图怎么画的这么难看， 是不是有点不像在延长线上 啊？这次好一点。好吧，我们的 a m c n 是 个矩形，因为有三个角是直角了，所以第四个角必然是角，所以一二互余，二三本来就互余。刚刚我们是不推出这个角 c 是 等于九十度，因为它等于角 a， 对 吧？那角一就等于角三了 啊，角一等于角三了，而且他们的相似比是不是应该是个六比八，也就是三比四的，对吧？相似比是一个三比四的啊，三比四的，为什么呢？因为我这个斜边等于六，这个斜边等于八，看到了吗？ 斜边等于六，斜边等于八，所以相似比是个三比四的啊，三比四的。然后我们的这个三角形和这个三角形又相似啊，就是我们其实在这是不是已经出现了个矩形，对吧？出现了个矩形，然后我说的是我们的三角形啊，三角形。 呃，我看看啊，这个地方应该是 cnf 啊， c n f， 他 相似于三角形 c n f 的 话是 d a e 啊， d a e 这两个是为什么相似呢？第一，他们还是直角三角形，第二个我觉得应该又是那个经典一二三组合，这次我们选择这个吧。 呃，我刚刚用了一二三，是吧？那这就是个四，我要证明他等于这个五啊。角四等于角五，原因是他们都和这个角六互余吗？ 啊？其实不用四等于五是因为这是个直角，这是个直角，一个外角等于他的内对角，所以这个四边形是不是应该又四点共圆了啊？其实我们可以说他都跟这个角五互补，哎，四五六都跟这个角六互补就完了，对不对 啊？其实这已经四点共圆了，我们的四加六是不是应该等于一百八？五加六一百八，所以四等于五，所以这两个三角形怎么都相似了？我干嘛要这两个三角相似呢？就是我要把这个 d e 和我们的 c f 能比一下，我们的 d e 啊，和 c f 是 不是就能比一下了啊？所以我们的 d e 比上一个 c f， 它就等于什么呢？我们要往我们已知长度的边上转换 ad 啊，比上一个 c n 啊， ad 比上一个 c n 好 吧， 它就等于我们的 ad 比上一个 c。 嗯，我看看 d e 比上 c f， ad 比上 c n 没有问题。好，其中我们的 ad 是 知道的 啊，我们的 a d 是 不是等于一个八呀？对吧？那关键就是要把这个 c n 求出来，我怎么求这个 c n 呢？我就得利用第一组相似啊，利用第一组相似， 第一组相似，是不是得到他们相似比是个三比四了？那我假设这个地方是个三 x 的 话，那这是不就是个四 x， 对吧？我设他是个三 x， 这就是个四 x， 长直角边和长直角边三比四啊，这如果是四啊，这如果是三 x， 那 我们的 a、 n 是 不是也是三 x？ 我 们的 n、 d 就是 一个八减三 x 了， 这串能跟上吗？你的 a、 m、 c n 是 一个矩形啊，它的宽是个三 x， 那 我的 a、 n， 这是三 x， 总共是个八啊，减去那边是个三 x， 这就是八减三 x， 行了，齐活了，对吧？ 利用这个直角三角形，拿勾股定力来列个方程啊，拿勾股定力，那应该是个四 x 括号的平方加上一个八减三 x 括号的平方， 四 x 方加八减三 x 方，它等于一个八的平方啊，等于一个八的平方，好，那就是十六 x 的 平方加上一个八八六十四， 减去三八二十四，四十八 x， 然后加上一个九 x 的 平方，等于一个八八六十四，你会发现六十四和六十四约没了 啊，那十六 x 方加九 x 方，他是不是应该是个二十五 x 的 平方减去一个四十八 x 等于一个零，于是你的 x 一 就等于零舍， 对吧？然后我们的 x 二，他就等于一个二十五分之四十八了啊，当你知道这个 x 等于二十五分之四十八了，你是不是就知道四 x 等于多少了，对吧？ 四 x 啊，四 x， 它就应该等于，其实就是我们的 c n， 对 吧？是不是二十五分之四十八乘上四一百九十二啊？一百九十二，那这个题又做完了啊？又做完了，因为我的 a、 d 比上 c n， a d 是 个八，对吧？那就是八。除以一个 c n， c n 是 我们的四 x 除以二十五分之一百九十二，你是不是乘上一个一百九十二分之二十五啊？最后这一步留给你们了啊，那，那，那我们这个比它应该等于多少了 啊？ d e 比上 c f， 好 吧，走着呢。 好的，来准备倒计时。三二一，来我们结束做的这个八和一百九十二约一下呗，对吧？ 二八十六，四八三十二，所以我们最终的答案应该是我们的二十四分之二十五啊，就结束了。好吧， 在这就是做垂直啊，来去构造这种相似啊。做垂直构造相似其实就是个对角互补模型啊，对角互补模型里边我们经常利用这种垂直啊旋转来构造，只不过这次我们是个旋转相似啊，以前的对角互补模型都是旋转型的。全等 好的，给大家发一下卡牌啊，走着。 好，这个卡牌我们就发到这啊，下一个我们来看一看我们的进阶拓展二啊。进阶拓展二这个题每年都讲， 要讲了很多次了，他说三角形 a b c 内有一点 p， 满足 p a c。 来给大家标一下啊， p a c， 也就是我们在这有个角一啊，等于角 p b a p b a 等于这个角三啊，等于这个角三。好的， 呃，然后则称点屁为三角形 a b c 的 布罗卡尔。点啊，点屁是这个三角形的一个什么什么点啊，这名字都无所谓。三角形布罗卡尔点是我 记得以前叫布洛卡点还是叫什么点，反正翻译不一样。是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现啊，后来被数学爱好者布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名。好的，这些都没什么用， 已知我们的三角形 a、 b c 当中， c a 等于 c b c a 等于 c b 等腰，然后 b 啊不 ac b 是 个一百二十度，对吧？那就是三十三十一百二的等腰三角形呗， 对吧？三十三十一百二的等腰三角形， p 为它的布罗卡尔点啊，并且 p a 等于一个根号三啊， p a 等于一个根号三，则我们的 p c 等于多少？ 在这里边，每次只要出现部落卡尔点，我们应该能得到一个结论，就在这个等幺三角形里边，我们能得到一个什么结论呢？我们能得到这两个三角形相似 啊，这两个三角形相似原因是角二已经等于角三了， 角四还等于角五，对吧？你的角一加角五，它等于我们的角三加角四是不是都等于三十度，对吧？ 一加五等于三加四，其实都可以不用写那个三十度。那所以啊，不不应该是又因为啊，我们的一还等于三，对吧？题目已知的啊， 角一还等于我们的角三，所以我们是不是可以得到我们的角四等于角五，对吧？而这个角三他还等于我们的角二啊，还等于我们的角二。 二维有个三等于二，四等于五，是不是就可以得出这里边有两个三角形相似？就这两三角形啊，那就是三角形。我们从 p 开始吧， p c b 啊，它就相似于我们的三角形 c 这个二应该跟 b 这个三是对应的，所以你 pcb 就是 pba 啊，他是个拧过来的 pba， 这两个三角形相似啊，这两个三角形相似了以后，我们还知道他们两个的相似比， 他们两个的相似比是不是一比根号三的，对吧？啊？最长边是个一份，这个最长边是不是个根号三份啊？他们的相似比是一比根号三的啊，一比根号三， 呃，因为三十三十一百二的等腰三角形，这个我们之前给大家说过啊，他的三边就是一比一比根号三啊，一比一比根号三。我们现在是不是要求 pc， 我 们已知 pa， 对 吧？已知 pa 要去求这个 pc， 呃，我看一下啊， 那我这个 pc 肯定是要跟别人比一下，它是不是得跟 p b 比，对吧？所以 pc 比上一个 p b 啊，它应该等于我们已知的，是不是应该有 pa， 那 肯定得用上 pa， 那 就是 p b 比 pa 呗， pb 比上 pa， 但是你会发现我们在这现在是不是啊？啊，这是这个，目前是不是应该还得不到啊？得不到我们这个 pc 的 长度，因为我们只知道 pa 等于根号三，你除非知道 pb 的 长，对吧？ 啊？我如果知道 pb 长，我就可以把 pc 的 长求出来，那 pb 的 长怎么求呢？来，别忘了啊，我们这还有一个就是我们的 bc 比上 啊， ab 啊，它等于 bc 比上一个 ab， 对 不对？它等于一个一比根号三，所以关键是我们知道它的相似比啊，相似比，它还等于我们的 bc 比上 ab 啊， 三个我都写出来了，那如果知道这是一比根号三啊，我们是不是知道这个 p a 是 等于根号三的，那意味着 p b 它就等于一，那这个 p b 是 不是也等于 p c 就 出来了，是吧？ p c 就 出来了啊？一比根号三，它正好是根号三，所以它正好是一啊， 那其实就是个根号三倍的 pc， 它等于一个啊，根号三倍的 pc 是 不等于一乘一，对吧？等于一个一，所以我们的 pc 它应该等于根号三分之一，也就是三分之根号三了。完了啊， pc 的 长度三分之根号三。 每次出现这个的时候，你要意识到在那有两个三角形相似，而且可能知道他们的相似比，利用这个相似比，直接可以把这里边的长度全部求出来啊，全部求出来。行呗，我看看 啊，发两个互动题吧。首先有已知可得图中的相似三角形。 嗯，走着，看准了啊，这个图中是哪两个四角形相似， 那我们来倒计时了吧。三二一，这个是考验你的阅读速度的，因为你这个字母太多是吧？好，第二个，我们最后得出 p c 等于多少，检验听课效果。走着呢， 我们最后算出来 p c 等于多少。这没问题。 好，来准备倒计时啊。三二一，好，我们结束这个问题。那今天内容就结束了啊，给大家发个红包雨，再走一个。 好的， 来倒计时啊。三二一，这个红包雨我们就发到这了啊，最后还有个红包。 那我们来倒计时了啊，这个红包就发到这了啊。三二一，今天的内容全部结束了，各位同学，我们下次课再见。拜拜。

hello， 我是 你们的萌萌老师。今天呢，咱们来做相似判定的类型题，用到的判定定律是两边对应成比例，夹角相等。 做题之前，咱们先回顾一下做题步骤，读题，画出重点，拆解分析重点部分，并且最后进行验证。 前三步能同时完成，咱们就同时完成。下面咱们来开始做这道题吧。如图，由三个大小相同的正方形 说明每个边都相等，并且每个角都是九十度，拼成了矩形。看 a， b， e， f， 让我们求证两个三角形分别是 a， c， k 和 e， c， a 是 相似的， 直接观察到 c 和 c 在 一个位置上，并且同一个字母，说明了我们的角。 c 是 什么呀？哎，是公共角， 那再没有像 c 这样的同一个字母，并且在同一个位置，那就没有任何角的信息了，我们只能去找什么的信息呀？哎，找边 找边的信息，我发现他没给我们，那我们的突破口只能在这个正方形上，我可以设每个小正方形的边长为一， 那我现在就可以标记 c， k 是 一，还有 c， e 是 二，以及 a， c 是 一比一比根号二。哎，用勾股钉里求出了 a， c， 那 你看老师为什么要把这三个边标出来，而没有把其他边标记呢？ 不光是它们好求，还有一个原因是角 c 这个位置，它是由 c k 和 a c 这两个边，以及 c， e 和 a c 这两个边形成的，你看我们不是要求夹角等吗？ 哎，所以现在我们对应成比例，并且比例相同以及夹角相等，我们就可以直接判定出来两个三角形相似了。 现在我们可以开始写了，设正方形的 边长为一啊，所以我们就可以得到 c， k 等于一， c， e 等于二， 以及 a， c 是 等于根号下一的平方，加一的平方等于根号二。好， 我现在是不就可以一一对应边了？但是这里边我们容易对应混，那老师教给你们一个小技巧，就是他现在已经给我们每个边对应好，我就先把 左边这个小正方形放到分号上面，是我们已知的边。哈，已知谁呀？哎， a c 还知道 k c， 也就是 c k， 那 现在对应的时候，上面放一个三角形，下面也放另一个三角形，那 a c 对 应的是 c， a 也可以写成 a， c 啊。 好，那下面我们就可以往里带了。 a， c 是 根号二， e， c 是 二 k， c 是 一， a， c 是 根号二。这里边咱们需要注意什么呀？ 需要注意根号下这个数不能放在分母的位置，也就是分母不能含有根号。 那我们需要怎么办呢？上下同时乘根号二变成二分之根号二。哎，他们两个现在是不是已经相等了呀？所以我们就可以写成 a c 比 e， c 等于 k， c 比 a， c。 咱们是不是还有一个要说假角相等，又因为 a c， k 等于角 e c a， 咱不能说角 c 等于角 c， 因为它现在被 c h 分 割开了。 那现在咱们就可以说两个三角形是什么关系啊？相似的关系，再最后检查一下就没有问题了。

今天我们一起来学习相似中的手拉手模型。如图，在拉 t 三角形 a、 b、 c 中，角 b、 a、 c 等于九十度， a、 b 比 a、 c 等于 k 点 p 在 b、 c 边上一个不与 b 重合，角 p a、 d 等于角 b 等于角 b。 然后试判断一下角 a、 c、 d 与角 b 的 数量关系， b、 p 与 c、 d 的 数量关系。然后我们先说一下相似手拉手中的构成条件， 相似的数和我们共同条件，首先是要有一对相似的三角形，并且它们的对应点有一个公共点，就它们有一个公共点，刚好是一对对应点。 哎，叠在一块，它们叠在一块，在旋转的过程中是朝同一个方向旋转。我们先观察一下这个图形啊，这个三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 p、 d， 它们两个其实都是直角，并且还保证的角 a、 p、 d 等于角 b， 也就说这两个直角三角形中 还有一个锐角相等。所以说我们不难发现三角形 a、 b、 c 一定是相似于三角形 a、 p、 d 的。 这两个象形有什么特点呢？就是直角顶点刚好叠在一块，就是重合的，也就咱们说的有一对对应点，他们是有共点的。在旋转过程中，我们发现， 哎，刚好是这个角 b 和这个角 a、 p、 d， 它们这两个角相等，并不是说翻过来，不是说 a、 角 d 的 这个它并不是， 它刚好都在同一个方向，你也可以理解为这个这样子的斜边，它都是在上，都是向上，就朝同一个方向旋转，这就是咱们典型的相似手拉手握形，它有什么样典型的结论，第一步就是加这个 a、 b、 c 和 a、 p、 d 它们是相似的， 那我们能得到一些比例关系，因为我们后续啊，你发现我想找到这个 b、 p 和 c、 d 的 关系，一定要找到 b、 p 和 c、 d 所在的三角形是否相似？三角形 a、 b、 p 和三角形 a、 c、 d 就是 咱们要找的目标三角形。那我们先根据第一个，因为三角形 a、 b、 c 和三角形的 a、 p、 d 是 相似的，那我们可以摆一下这个比例条件，也就是 a、 b 比上 a、 c， 它就应该等于 a、 p 比上 a、 d， 因为这个 a、 d 比 a、 c 不 等于 k， 所以 说它不就等于 k， 这是得到了一个点的关系。其次的话，手拉手，手拉手，我们能想到的就是在手拉手中最常见的问题就是公共角，其实这里面也有公共角，这个角 b、 a、 c 是 九度，这个角 p、 a、 d 也是九度，它们同时减掉中间这个公共角 p、 a、 c 是 能得到角 b、 a、 p 和角 c、 a、 d 是 相等的，因为角 b、 a、 c 等于角 p、 a、 d 等于九十度，所以它们同时减掉中间部分角 p、 a、 c 能得到角 b、 a、 p 是 等于角 c、 a、 d 吗？它受这组角的相等，再配上这组边的比例关系 a、 b、 a、 c、 p、 a、 a、 d， 再加上这两个角相等，是不是刚好满足咱们所说的一组对应边乘比例，并且加角相等，也就是能证明三角形 a、 d、 p 是 相似于三角形 a、 c、 d 的。 既然相似的话，所以 b、 p 比上 c、 d 就 等于 ab 比上 a、 c， 那 不就等于 k？ 除此以外的话，是不是还有对应角相等？角 a、 c、 d， 它肯定等于角 b 啊？因为刚好是一个对应角，这时候就得到了 a 数量关系和这两个角相等，这就是咱们这个相似手拉手中的一个重要应用，有什么问题的话在评论区给我留言。

a、 b 是 圆 o 的 直径三角形 a、 c、 d。 内接于圆 o， 弧 c、 d。 等于弧 d、 b、 a、 b、 c、 d 的 延长线相交于点 e， 且 d、 e 等于 a、 d。 第一小问，求证三角形 c、 a、 d 相似于三角形 c、 e、 a。 证明冒号。第小问，先由第一个已知条件，因为弧 c、 d 等于弧 d、 b。 弧 c、 d 等于弧 d、 b。 圆中有一个结论叫等弧所对的圆周角相等， 那么角一和角二应该相等，所以角一等于角二。第二个已知条件，又因为 d、 e 是 等于 a、 d 的 d、 e 和 a、 d 相等等幺三角形中有一个结论叫等边对等角，所以角二呢，等于我们的角 e 中间使用等量代换，一和二相等，二和 e 相等，所以我们的角一应该等于角 e。 接下来看我的问题，三角形 c、 a、 d。 相似于三角形 c、 e、 a。 这是 c、 a、 d。 这个地方是 c、 e、 a。 角一已经和角一相等了，而角 c 呢，它是属于公共角， 又因为角 c 等于角 c。 那 么两个三角形如果有两组角对应相等，这两个三角形就相似。 总结结论，三角形 c、 a、 d。 相似于三角形 c、 e、 a。 这是我们的第一小问，接下来我们继续看第二小问， 求角 a、 d、 c 的 度数，这是 a、 d、 c。 第二题呢，需要做条辅助线去连接我们的 d、 b。 由于 ab 是 圆 o 的 直径，那么角 a、 d、 b 应该是九十度，理由是直径所对的圆周角是直角。如果我们把角 e 当 x， 那 么角二和角一应该都是 x， 再继续往下 角 c、 d、 a 是 三角形 c、 a、 e 的 外角等于不相邻，两个内角的和为 x 加 x， 也就是二 x。 四边形 c、 a、 b、 d 是 圆的，内接四边形对角是互补的， 所以角 c、 a、 b 加上角 c、 d、 b 应该是一百八十度。二 x 加二 x， 再加九十等于一百八。我们可以把 x 给它解出来，解出来之后，角 a、 d、 c 对 应的是二 x， 也就计算出来了。 我们来看一下第二小题的步骤。连接 d、 b， 因为 ab 是 圆 o 的 直径， 所以角 a、 d、 b 等于九十度。我们这里面去设角一、角二、角 e 都是 x， 所以 角 a、 d、 c 是 x， 加 x 为二 x。 因为我们四边形 a、 b、 d、 c 为圆 o 的 内接四边形， 对角是互补的。 c、 a、 b 加上角 c、 d、 b 等于一百八十度， 所以二 x 加上二 x， 再加九十度，等于一百八十度，直接算二 x 的 值。 二 x 加二 x 等于一百八，减去九十等于九十度，那么二 x 就是 九十，再除以二应该是四十五度， 所以角 a、 d、 c 正好是占二 x 的 结果为四十五度。总结下，角 a、 d、 c 的 度数为 四十五度。