高二数学基础题

高二期末复习考试必须要掌握的一类题，叫做直线和圆的关系。咱们今天来看这样一道题目，他说已知这个点在这个圆的内部， 如果存在这样一条线，与圆交于 ab， 两点满足这两个三角形的面积有二倍关系，问的是 m 的 取值范围。 首先这道题目拿到了之后，这个圆的形态是一般式，我们给它变成标准方程，找到圆心和半径，整理一下 x 加上 m 的 平方，再加上 y 减一的平方，等于四 m。 然后他说这个点在圆的内部，所以把点带到圆的方程的左边一定小于右边，直接带入 m 方一定小于四 m， 所以 我们解得 m 应该是在零和四之间。 然后我们去画一下这个圆以及对应的点，看看有没有什么重要的几何关系 好画出图来之后，我们来看，既然 p b， c 的 面积是 p a c 面积的两倍， 而 c 到这两条边， p b 和 p a 的 距离是相等的，所以这个面积的比例其实就是 b p 的 长度和 a p 的 长度的比例，也就是它俩有这个关系。那接着再来看，在圆里面只要涉及到了弦 a b， 咱们肯定是要做一个辅助线，就是过 c 做它的垂线，这里面有一个垂径定律， 假设这个垂足叫做 h， 那 么我们来看 h 平分 ab， 而 p 又是 ab 的 一个三等分点， 所以我们把这个比例关系找一下。咱们假设 a p 的 长度等于 k， 那 么 b p 的 长度对应的就是二 k， 那 么 a， h 的 长度等于 b， h 的 长度 都等于二分之一的 a b， 也就是二分之三 k。 那 么大家来看这个三角形 c h p， 在 这个三角形里面呢，就会有一个勾股定律， c h 的 平方加上 h p 的 平方就等于 c p 的 平方， 而 c p 的 长度其实就是我们 c 的 横坐标的绝对值，所以它就等于 m 方。 接着再来看在三角形 a c h 这个直角三角形里面也有一个勾股定律，那就是 a h 的 平方加上 c h 的 平方等于 a c 的 平方，而 a c 就是 半径，所以它的平方就是四 m。 那 么接下来看这两个式子里面是不是都有 c h， 所以 我们来找一下关系。 c h 的 长度就应该是 c 到直线的距离，所以我们来看点 c 的 坐标是负 m， 逗号一，这条直线，我们给它设成 y 等于 k， x 加一， 所以 c h 的 长度就等于点 c 到直线的距离。我们写一个距离公式，根号下一加 k 方，上面对应的是负 k m 加上一再减去一的绝对值，整理一下就是 k m 的 绝对值比上根号下一加 k 方。接着我们再来看 h p 的 长度，它可以用 h a 的 长度减去 a p 的 长度， 所以 h p 就 应该等于 a h， 也就是二分之三个 k 就 等于二分之一 k， 而 a h 的 长度是二分之三 k， 所以 很明显这两个之间有一个三倍的关系。那么我们把它进行一个转化，第一个式子和第二个式子就可以分别写成 m 方，减去 c h 的 平方 等于四分之一 k 方，而对应的四 m 减去 c h 的 平方就应该等于四分之九 k 方， 所以我们把这两个做一个整理，它是它的九分之一四 m 减去 c h 的 平方， 接着我们对它做整理，我们整理这个式子，它就会变成四， m 减去九 m 方，把它移向过来是九 c h 方，再减一个 c h 方，加上八倍的 c h 的 平方等于零，然后我们把 c h 带到这个式子里面， 四 m 减去九 m 方，加上八倍的它的平方， k 方 m 方比上一加 k 方等于零。 因为 m 本身是在零到四之间，所以咱们可以先给他抵消掉一个 m， 消掉，消掉，消掉，那么这个式子我们最后要算的是 m 的 取值范围，所以我们要把它表达成 k 和 m 在 等号两边的结构，我们对它接着做变形。 八倍的 k 方， m 比上一加 k 方就等于九， m 再减去四， 然后两边同时除以 m 八倍的 k 方比上一加 k 方就等于九。减去 m 分 之四，上下同时除以 k 方，八比上 k 方分之一，再加上一，这个分母是大于一的，所以整个的范围应该是小于八，并且大于零。也就是说这个东西的范围是在零和八之间， 所以九减去 m 分 之四，大于零，小于八，我们来求它的取值范围。第一个 m 分 之四要小于九， 所以 m 要大于九分之四。第二种情况，那就是 m 分 之四要大于一，所以 m 要小于四， 那么最终 m 的 取值范围是大于九分之四，并且小于四。再有一个情况，大家注意一下这个地方，我们上下同时除了 k 方， 当然要考虑 k 等于零和不等于零两种情况。如果 k 等于零，那么这条直线其实就是 c p， 这样就不会形成三角形，所以这种情况直接舍掉。 对于这道题目来说，对于高二的同学，在期末复习的时候一定要认真的看，因为直线和圆的关系是考察的重点。

接下来呢，我们再来看第五个题型，是等比数列的证明。如何去证明一个数列是否是等比数列？很明显我们可以通过定义法去证明，去看这个数列相邻两项的比是不是一个确定的常数。那有时候我们碰到的数列它比较的奇怪，它不是单个的 a n， 那 像这种我们就尽量的去把已知的这种形式去靠近。 那同学们在等差数列里见到过这种分子，分母上都有 a n 的 情况，而我们要证明的这个东西呢，又是 a n 的 倒数，所以可以对这个条件进行左右两边怎么样？同时取倒数对不对？ 那同时取倒数，左边的话呢，就会出现这种情况，右边的话呢就会是啊，四 a n 分 之， a n 加二，咱们给它拆开，拆开的话就是四分之一加上二 a n 分 之一， 我们再来看它让咱得到的是这样的一种形式，那你是不是要想证明它是等比数列，你把它记为 b n 的 话，你得是 b n 比上 b n 减一是个确定的常数， 那 b n 的 话，是不是 a n 分 之一减二分之一，那 a n 减一的话是 a n 减一分之一减二分之一。当然 我们的条件里是 d n 加一项和 d n 项，所以我们在这里也可以让它的下标都给它加一，反正就是相邻两项的比嘛。 啊，那这样的话就变成了 d n 加一项比上 d n 项，那你看我们的这现在的这个形式哈，他怎么往这个方向去靠拢？是不是左边减了右边来， 右边也得减二分之一，这样才能让等式仍然成立啊？那四分之一减二分之一等于什么？等于负四分之一，对不对？等于负四分之一，那我们想要的是 a n 分 之一减二分之一啊，所以把这个 负四分之一呢啊，减去二分之一，同理，它这个前面这一项也给它都除都都就是分母上都除以二，相当于整体乘了个二嘛。那括号里面乘了二，括号外面呢？是不是乘二分之一啊？ 好，那这个东西它其实就是 b n 加一 d n 加一项，对不对？那这个呢？就是 b n 项把它除过来来，除以 b n 等于多少？等于二分之一，所以它是不是等比数里是公比，是二分之一？ 就是说像这种证明一个什么什么数列是等比数列、等差数列的，反而很容易我们就知道我们的目的地是什么了，我们就是要往这个形式上去靠拢，我们的目的就是出现这种形式。当然有的解析里面就会从这种目的出发去化简啊。 那从目的出发去化简的话，也是一样的哈，倒着去写，让他左右两边都出个都减个二分之一先。好，这是我们的这道题，那这种题呢？他出现的呃频率非常的高，尤其是在高考题里面，也考过几次了。所以我们来看一下咱们的第二个例题， 它让咱挣的是这个数列，是等比数列，那咱是不是得出现这种情况呀？那条件里现在有的是这样的，我们给这个条件哈，给它通分一下，那是不是 n 分 之 n 加一 a n， 咱想的是 n 分 之 a n， 这个 n 加一，给它弄弄过去，弄到左边去，左右两边都除个 n 加一 啊，当然这个二不能把它丢掉，我们把它记为 b n 的 话，那这个东西就是什么？就是 b n 加一啊 啊，所以就是二。 b n 加一等于 b n， 那 b n 加一比上 b n 就 等于什么？等于二分之一。所以 b n 是 不是等比数列是公比是几？公比是二分之一， q 等于二分之一。当然你求的是 a n 的 通项公式，所以我们要先去求 b n 的 通项公式。 b n 的 话要先求手相，手相的话呢？ b n 等于这个东西，是不是他手相就是 a 一 比一， a 一 是一，一比一等于一。手相是一， 公比是二分之一，所以 b n 是 二分之一的 n 减一次方， b n 又等于什么？ b n 是 等于 n 分 之 a n， 所以 a n 等于什么？等于 n 乘二分之一的 n 减一次方。好，这是我们的这道利器。那接下。

挑战十分钟讲完，箭头还是五点问题，一共三大题型，带你用四步解题程序，吃干抹净期末压轴题，这节课的讲义和构思力我都整理好了，大家可以在我的主页正面向上领取。 好，我们来看到这道题哈，他说已知函数 f x 为这么多，哎，分段函数的考点就在于画图哈， 这是恒定不变的高点，所以我们先把图画出来，而不去管后面这句话说的是什么。 f x 嘞，他在左边是二的 x， 次方也是这个样子上去的，但是嘞，他在这是取不到的，是一个空点还是个一的？ 我们再来看 x 大 于等于零时，他是一个一次函数，然后呢，在二这里开始走，但是我具体不知道他是往上走还是中间走还是向下走哈，咱们都不知道的，所以你要分情况讨论， 如果说 k 大 于零时，如果说 k 等于零时，如果说 k 小 于零时，第三种情况出来了，然后后面一句话说，他说，若方程这个样子，油钱形有一根， 则实数 k 的 取值范围是多少？哎，我跟大家说哈，只要你看到 f 括号，括号里面很大一坨，无论他写的是 f x 还是别的形式，只要令括号里面这一坨为 t 就 可以了。所以在第一种情况下，我们去令咱们的 f x， 它是等于 t 的， 所以此时这个式子，它是不是就可以转化成 f 括号里面这一坨变成了 t， 所以 f d 它是等于二分之一的，那么我们就先要把这个 t 给它解出来，解出来 t 一 t 二这些啊， t 三这些就是表示它的一个根。 那么我们再回到这一幅图里边，此时来 k 大 于零，所以我应该是向上走的，而 f d 等于二分之一嘞，你就会发现，哎，这幅图像里面只有一个点，它是等于二分之一的，也就是在左边这一段图像上再取负一的地方，也就是二的负一次方等于二分之一嘛，对吧？ 所以说我们就只能解出来一个 t， 也就是 t 一， 它是等于多少的？等于咱们的负一的。好，我们把 t 一 给解出来之后，第二步是干什么来？这是我们要回到刚才给自己埋的坑这里，我们念了 f x 等于 t 了，对不对？ 所以此时来我们的 f x 此时是等于负一的，把这个 t 就 给他带过来了，所以我们就要去解， 对于 f x 的 图像来说，他等于负一有几个点，那你来看我这幅图，其实他也是 f x 的 图，对不对？我们就不用多画了， 那么如果等于负一的话，我们在下面给他来一刀，这里就是等于负一嘛，你就会发现，我跟函数图像之间没有任何交点，也就说明啊，咱们找不到这样的 x 点，所以说这一个根呢？他是不存在的，我们在这种情况下是零个根，所以就不看他 二个的话，可以等于零时，也就是说我是一条水平的，这水平的时候跟刚才向上走的时候是一模一样的情况， 为什么嘞？我们仍然是令 f x 等于 t， 则此时 f t， 它就应该等于二分之一，等于二分之一，那也只有左边这一段能取到这个二分之一，也就是 t 解出来只有一个负一的， 所以又会得到 f x， 它是等于负一的，那么在这样的情况下，等于负一，它跟这个函数图像之间又没有任何交点， 所以呢，它是取不到任何根的，它也要舍掉。那么只有第三种情况了，你再来看 a、 b、 c、 d 选项，是不是你就可以把零到正无穷给它排除掉？所以 c 和 d 肯定是错的。我们再来看第三种情况， k 小 于零时，好家伙，它就开始要向下走了，对不对？向下走， ok， 向下走了之后嘞，我们仍然是去令 f x 等于 t， 则此时 f t 它就等于二分之一， 则我解出来 t 一 是等于负一的，也就是说，在这肯定是有一个二分之一点的，对不对？负一，但是右边肯定也是有一个的，我们要把它解出来，所以说我们可以去令 这个右边 k x 加二，哈，这里就不是 x 了，它是 t 了，因为我们令了自变量为 t， 对 吧？所以我要去令 k t 加二，它是等于二分之一的， 也就是 k t 等于负二分之三，又因为 k 它是不等于零的，所以除过去 t 就 等于负二 k 分 之三的，所以我们解得了第二个 t， 也就是 t 二，它是等于负二 k 分 之三的。 ok， 我 们在这种情况下就解得了两个 t， 好， 我们再把这两个 t 给 给它，放到第二个里边，也就是当咱们的 f x 等于 t 时，此时呢，我有两个 t， 一个 t 是 等于负一，一个 t 是 等于负二 k 分 之三，所以我们要分成两幅图来看， 第一个呢，就是 f x， 它是等于负一的，第二个就是 f x 等于负二 k 分 之三的。那我们来看，如果说当 f x 等于负一时，我负一在这画一条水平直线哈，在这，哎，你就会发现，我取得了一个根，取得了一个焦点， 那么这个焦点其实就是题目说的这一个根呐， ok， 满足了。那么如果在这种情况下，我都有一个根了，那就说明我在这种情况下，零个根，或者说跟这个情况是一个重根的关系哈。 那我们来观察，我们的 k 是 小于零的，则此时负二 k 肯定是大于零的，所以负二 k 分 之三肯定是大于零的， 他肯定是在 x 轴上方的，那在 x 轴上方我又要没有交点，所以我只能往上移，往上移，哎，往上移到这的时候，我只要不跟这个点相交的时候，我在这个点之上的时候，他跟这个图像之间就没有任何交点了呀，他就不会产生新的根了，对不对？ 所以只要使得负二 k 分 之三，他大于这个零界点二就可以了。然后呢，大家去解出来，我的 k 应该是大于负四分之三的， 又综合我们的小条件， k 小 于零，所以得到 k 是 在负四分之三到咱们的零之间的。 over 了。这道题呢，属于讨论比较多的，希望大家再重复做几次。 好家伙，那我们就来看到解析程序哈，姐妹讲题从来都是从解析程序来讲的。第一步，你要先去画出来 f x 的 图像，尤其是分段函数，它的考点就在于图像。然后呢，这个图像一定要注意了，渐近线 最大值、最小值都是你等一会要去画的，因为它会跟那个水平直线之间产生交点，对不对？第二步， 关于 f x 的 方程中，如果说括号里边这一坨就是 f x 哈，我们主要就讲这一种，如果是 f x， 你 就令它为 t， 如果说别的东西，你也令它为 t， 然后来来解 t 的 方程，我们这里就讲 f x 为主的哈， 所以说令他为 t 了之后呢，你就会解得咱们的 t 一 啊， t 二呢？ t 三呢？ t n 呢？解出来。第三步，你解出来之后呢，你就会得到咱们的 f x， 刚才不是等于 t 吗？所以说你就要把它分成两个函数，一个是 y 等于 f x， 另外一个呢，是 y 等于 t 啊， y 等于 f x， 其实就是你第一步画的这个函数图像，而 y 等于 t 嘞，其实就是一条水平直线，是一条直为 t 的 水平直线， 那么我们就可以把关于这一个方程的解转化成这两个函数图像的焦点问题，哎，他问的是几个根，也就是几个焦点问题哈，然后最后一步就是你看几个焦点，它就等于题目问的几个零点，或者说几个根了。 我们来看到第二个题型哈，二次函数可分解性，它是相对比较简单的。首先呢，我们第一步是干什么？不管三七二十一，直接画图开干，是吧？ 那么我们来看这一个分段函数哈，然后呢，它是分成两段的，一段是 x 大 于零，一段是 x 小 于等于零的，我们先就看 x 大 于零，它本质上呢，本来是零， x 也是这个样子的，对不对？然后呢，取一个整体的绝对值，也就是说我们要去下翻上翻上去的， 所以说我们右边的函数图像，哎，他应该是这个样子的，对吧？ ok。 然后呢，我们再看左边，左边的话呢，它是一个二次函数，我们可以写成是负 x 方加四 x， 然后外面是一个加一的，而这里呢，我们可以用配方法哈，然后再给他加一个四， 就可以凑一个完全平方，然后这个加四拿出来呢，就是减四，减四的话，我还要再给他加一个四，加四加一 a， 这里就变成了加五了， 所以它是负 x 加二的，平方加五的，所以它的顶点是不是在负二五处取得？然后呢，我们就看它的端点值哈，也就是当 x 等于零时，此时来就是零加一就是一等，所以说左边这一段它的函数图像画出来应该是这个样子的，对吧？ 然后这个点呢，是咱们的顶点，也就是负二五的。在咱们的画图题中，你一定要标注好咱们的最高点呐，最低点呐，端点呐，近近线呐，是什么样的哈，你才好去做第二步，第三步， 第一步 over 了，我们去看第二步是干什么嘞？第二步的话，就是说去令这个 f x 为 t 啊， 不管三七二十一，我都令他为 t， 那 么这一坨东西，他马上乖乖地变成了 t 方减二 a t， 再加上 a 方减一，这时候就叫做二次函数可分解型，因为它是可以因式分解的。我拆成 t t， 这里是 a 减一，这里是 a 加一，但是他们前面都要添一个负号，那这时候你看哈，我交叉相乘再相加，这里就是负 a 加一倍 t， 再减 a 减一倍 t， 它就变成了负二 a t 啊，也就跟这里对上了，而这两个 e 相乘，就是 a 方减一的，所以此时哈，我们就得到了两个根， ok， 它就非常的简单了。然后呢，咱们的 t 一， 它是等于 a 减一的 t 二等于 a 加一的 over 了，这是第二步。我们的第三步是干什么嘞？就是我们要把它拆成两个函数，一个呢是 y 等于 f x， 另外一个呢是 y 等于 t， 那 么 y 等于 f x 这个图像我们已经画出来了，另外一个呢是 y 等于 t， 是 一条水平直线，我们刚才是不是第二步里边，我们得到的是 f x 等于 t 这样一个方程，而现在呢，我给它拆成的是两个函数图像的交点型问题啊，对不对？ 然后呢，这个 t 我 们在第二步的这个阶梯去走， 看他总共分为产生多少个焦点哈，就是这条水平直线。好，我们首先在下面的时候，他是不会产生一个焦点。 ok， 然后的话再往上面移一步，这里又会产生两个焦点，好，继续往上面走，这里是不是一二三三个焦点了？ 好，从这开始往上他就是一二三四四个焦点，再往上面走也是四个焦点，但是呢，从这里开始他就是三个焦点，再往上面走来就是两个焦点了。 所以说他的阶梯图是哈，就是有多少个焦点吗？往上走就是一二，然后这里是三四，然后这里是三，往上面走二的哈，那么我的题目说的是，我总共有八个焦点呦，乖乖，那八个焦点怎么由这两个根给它凑出来呀？ 是不他们两个人都必须是四个焦点，那我四个焦点加上四个焦点才是八个焦点呐？所以说，来到咱们的第四步，我就是要去逗一个根出来呀，对吧？此时嘞，咱们的 t 一 t 二，它是不是 都应该在这四个根里边啊？也就是在这一个范围里边哈，我们来看，从这一往上面走，这里是四个根了，这里是五哈。 所以呢，我们的 t 一 t 二，它都必须是在一到五的左开右闭区间。其次，第二个，咱们的 t 一 它是不能等于 t 二的，我们题目已经说了是八个不相等的，那么我们的 t 一 t 二也是不能相等的哈。好，我们先来解一下第一个 part， 就是 咱们的 t 一 t 二它的范围哈， t 一 就是咱们的 a 减一的，它是在一到五之间解出来呢，就是在二到六的左 b 右开区间。而咱们的 t 二呢，在这里它是 a 加一的，它也是在一到五之间，那么我们解出来呢，它是在零到四的左 b 右开之间的。 好，这两个综合起来，那么 a 的 取之范围就应该是在二到四的左 b 右开。然后我们再看第二条，它说两个根不能相等， 那你看哈，我一个是 a 减一，一个是 a 加一，他们俩天生的就隔了一个二呀，所以他天然的就不相等了，我们就不用再去验证了哈。如果说我是出题人，我想再出高一个难度，我会咋搞嘞？我会把 t 一 哈可能解出来嘞，我解出来是一个二 a 减一， 那么 t 二解出来是 a 加一等，那么此时哈，如果他们俩不相等，也就是说二 a 减一不能等于 a 加一，也就是说 a 不 能等于二等，所以你还要额外的去掉这个限制条件，这是更高级的考法哈。 那么对于这道题来说哈，他应该是选什么？答案是不是选二到四的左边右开，也就是选 b 选项。 那么我们刚才讲了二次函数可分解型，我是不是马上要讲二次函数不可以分解的呀，对吧？就必须要用上的呀，维达定理这些东西了，这才是咱们北大堂肯定会去进阶的哈。已知一个 f x 为这么多，那它的考点在哪里？就在于化读这么多个绝对值，是要绕死谁哈？ 所以说我们直接来看一下它的原型，肯定是二的 x 次方，然后来下一步是干什么嘞？是不是给它变成一个二的 x 的 绝对值？ 这里加绝对值就是只对单独的 x 取绝对值，也就是去左翻右啊，我原来二的 x 次方是这么多的，那么我去左翻右，哎，也就变成了这个样子的，所以我们先画出来第二幅图，第二幅图是这个样子的， 然后我们再来，我给他变成二的 x 的 绝对值，再减去一个二，也就是说我要向下平移两个单位，哈， 向下平移两个单位，哎，也就是这个样子的，这里就是负一了，然后这里两个零点呢？你是可以解出来的，一个一，一个负一哈，你带进去这里二的一次方减二等于零，二的负一的绝对值减二也是等于零的， 所以我们就得到这样个东西，下一步是干什么嘞？我整体去取一个绝对值，这就是什么去下翻上了，所以我不要下面这一段，我翻上去，对吧？我就翻上去了，得到这样一个东西，好，也就是这么一段，我得到了， 好，我们的第四步是干什么嘞？我就是要再给他减一个一呀，对不对？我再减一个一，也就是这个函数图像我整体上再向下走一个单位，我们也可以把图最终给他画出来哈，是这个样子的，向下走，然后呢，刚好在这 这个样子的，然后这里就是零了，而这里来对下来也是负一，这里来对下来是一的，而这里对下来是负一的。好，我们把图像就给他画出来了，我们再去看后面这句话就非常游刃有余了哈。他说，则关于 f x 的 方程， 你来看一下我这里谁是基础元素啊？是不是 f x？ 所以 step one 仍然是去另一个 f x 等于 t 啊，则此时方程转变为 t 方，加上 mt 再加 n 等于零啊，对， 然后呢，我们来看一下这一个方程，我们其实是讲解出来 t 一 和 t 二的对不对？然后其次第二步嘞，我们就会回到原方程， f x 等于 t 上面，然后呢，一个 y 等于 f x， 一个 y 等于 t 的 这一条水平直线和咱们的 f x 之间产生交点， 所以说又会回到说我们一个动态问题，从下往生的去移动这条水平，看他跟咱们的函数图像之间产生多少个交点哈。首先来看 这里是不是产生两个交点，这里来一二三四四个交点，这里来三个交点，一二三，再往上面走就是两个交点了，所以由下往上去走来，我们的这一个点数是不是两个、四个、三个、两个的， ok， 这个样子， 那如果说我们要产生七个不同的时数减，也就是说我的两个 t 一 和 t 二啊，我要组合在一块，使得它们俩加总在一块的这个根，这个交点数等于七的，那应该怎么办呢？是不是只能选择这两个相加呀？ 对不对？而其实哈，你们是可以选择说，哎，我选两个四，或者说选两个三，这样重复的是 ok 的， 这是我这里是七个根，所以就只能是四加三才能组合出来这个七呀。 所以说一个 t 一 是在这里刚好取三个根，而另外一个 t 二，它是在这里刚好取得四个根，所以说这一个解就已经出来了，对不对？ 对，咱们的 t 一 是不是刚好等于这里等于零的？而咱们的 t 二嘞，它是不是在这里之间的？也就是在咱们的负一到零之间的？也不能取等哈，如果取等了，它就会变成两个根， 在这里驱动了它就会变成三个根哈，所以它是在负一到零之间的，而 t 一 等于零，那我是不是可以直接代入这个方程里边？是不是零加上零加 n 等于零，所以解的 n 是 等于零的，所以 a 和 b 肯定错了，因为它 n 的 取值范围错了。 然后我们再来看 t 二属于这么多怎么办嘞？我们就用维达定律了，我的 t 一 加 t 二，它是不是应该属于负一到零之间呢？我把这个零带进去，是不是一模一样的负一到零之间？而 t 一 加 t 二呢，它是等于负 a 分 之 b 也是负一分之 m 的， 所以负一分之 m 也就等于负 m， 它应该是属于负一到零的，则此时 m 是 不是应该属于零到一之间呢？ 所以此时是不是选咱们的 c？ 学校，所以说我们讲到这里，你可以发现，数学每道题背后对应的都是有题型的，每个题型来都是有对应的解析程序的，大家可以思考一下，你们学校老师有没有从题型出发就跟你讲对应的解析程序嘞，如果没有跟你讲过的话， 那你数学不会很烦，觉得分数提不上去真的就不奇怪了。所以，如果说你们学校老师也是这样不教你的话，大家可以点击我的主页置顶情聊，你来帮你分析成绩，我来告诉你如何按题型学习哈。 当然了，老师的时间也是有限的，所以如果说你不是发自内心的想把数学提起来的话，那你就不要来加我了，你把机会留回来些，真的愿意努力，真的愿意好好把数学提起来的同学哈，我们下期再见！

导数单调性，苏教高二期末必考研教，下学期开头就学，容易混淆，但巧基重要，五分钟弄清一类题， 同学们，好呀，今天我们继续来讲导数的问题，今天讲的是单调性问题，也就是说在利用导数去求解单调性的情况，那么这边有有几个常考的题型要注意一下。首先先要了解一下 求单调性的步骤，这个是非常容易的一个问题，在正确求导的前提之下，我们确定定义之后正确求导，然后令导函数大于零得到它的真之间，小导函数小于零得到它的减之间。那么第一个最经典的问题就属于那种无参数的导数单调性比较容易， 属于那种夏侯惇的不屑，懒得看一眼的那种，如果说你有问题，那可能你的基础知识存在比较大的一个那个漏洞，希望你重点去关注一下。 接下来我们来看一下第二个题型，是我们的已知单调性求参数的范围问题，这三个特别的重要， 也就是说在函数 d， 函数 f x 在 d 上单调递增，我们得到的应该是导函数大于等于零，横成立在上面单存在增区间，也就是我们的导函数大于零在上面有解。如果说 函数在地上不单调，也就是说导函数在地上有编号零点这三个的话，要特别拆开来去细讲一下。首先第一个单调递增这边的话，一定要注意， 这个等于号是不能漏的，我这边那个等于号不会因为你 d 是 开区间还是 b 区间有影响，它都是一定都是 有等号的，除非他是横等于零的。导数横等于零的情况，导数横等于零的情况，他就是个常数函数，所以说那个就很简单，都不需要用导数来进行理解了。那第二个是我们的在区间上存在真区间，这个时候的话，我们把它转换成一个大于零有解， 注意一下这边是不能取等号的，这是非常重要的一个问题。上面是一个是必须要有等号，下面一个不能有等号，然后是横沉力和有解的情况。那么接下来横沉力有解的问题的话，我们就是 利用我们的之前所讲的一些知识，就是不等式的知识来进行处理，它到底是分餐也好还是讨论也好，都是可以的。第三个是我们在上面不单调，这个的话一定要注意是编号零点，啥叫编号零点呢？我们这边就不说其他的一些名词了，直接就说编号零点， 比如说这个是一，这是二。如果说我们的导函数是这样子的情况，一和二是编号零点，因为在一的左右两侧是一号的，在二的左右两侧也是一号的。但是如果说我们导函数的图像是这样子的， 这个点是一在一的左右两侧他都是同号的，这个叫同号零点，那这个情况我们是不能满足我的要求的，这点一定要特别注意一下。好，我们来看三个例题，第一个例题就是我们在上面单调递增咱们求 m 的 范围， 我们来看一下，也就是导函数大约等于零，对 x 属于一到中求横成力，然后接下来的话就变成一个横成力问题，也就说导数的知识已经 结束了，接下来就是说求这个一元二次不等式大于等于零横成立的时候， m 的 取值范围，我们来分析它的最小值就可以了。这边这个题目的话，我们不推荐用分差去写，因为分差的话你还得讨论， 所以说我们这边直接去讨论它的最小值，它的最小值可以知道对称轴的情况和 那个最小值的取得点。这边第一个情况是对称轴小于等于一的时候，应该在一的时候取得我们的 最小值，需要我们的大于等于零。第二种情况是对称轴如果说大于一的时候，也就是说在 m 也就是我们对称轴的时候取得我们的最小值，那么这个情况这个情况都是可以的。最后应该是取一个并集， 这是我们的第一个问题，就是已知单调递增或单调递减，让我们去求它的一个参数范围的时候，注意这个等于号，千万不要漏了。 第二个是我们导数在这个负二分之一到一上存在递减区间，注意存在递减区间，咱们得到的应该是导函数小于零，在这上面有解，你看求导正确 小于零，然后是有解问题，那么这个有解问题的时候，我们是可以帮助可以用 分叉来解决的，因为这个分叉的话，我们直接可以把 x 加一给直接除过去，因为 x 加一我们可以明确知道它在 负二分之一到一上，负二 x 属于负二分之一到一上，它是一定正的，所以说现在只要小于它的最大值就可以了。然后接下来问题就是转变成求这个式子的最大值，我们勾到一个新函数出来，分析出它的单调性就可以求出来的最大值，那么这个问题也就迎刃而解了。 第三个是我们函数的 在一到四上不单调，那不单调的情况下，也就是说在上面有编号零点这边一定要注意一下，也就是说我们这个是怎么可以把它转化成函数的？两个图像，一个是 x 加 x 分 之四，一个是 a， 也就是 y 等于 a 和 y 等于 x 加 x 分 之四，它在一到四上的时候的交点情况注意一下，如果说我们的 a 等于四 和 a 等于五的时候，它都是同号零点，这个情况要把它给舍掉，所以说咱们的结果应该就是 a 属于几啊？四到五。 好，这是我们已知单调性求参数的范围时候的三个常见的问题。好，这是第一个问，第一个知识点。我们后面的话再继续去讲一下单调性的其他题型。今天先说到这边，下课，下期见。拜拜。

直线语言在高二期末也太容易翻车了吧，你信不信危机关系判断靠蒙切线方程算不对？这一级问题直接卡壳，明明会做题，硬生生丢分。要知道直线语言在期末卷里占十五到二十分，这分丢了太可惜。基础的结论不足以支撑你的考试，你必须拓展并练习各类题型，为了避免你考场 头晕，简哥用五道题帮你一次破题，期末考前必做题。第四题，直线元 题相对来说是比较简单，也涉及到一个轨迹问题，也涉及了一个轨迹问题啊，只要弄明白他的轨迹，这道题就是非常简单的。来，我们看一下 m a 是 圆上的两点。首先，我们先把这个圆给配个方，配个方的话，就应该是 x 方， x 方再加上一个 y 减一的平方，他就应该等于一个三加一是四， ok， 他 就是以零一为圆心，以零一为圆心，以二为半径的这么一个圆。 好，以二为半径的这么一个圆，大概这个圆是这个样子的呗。 ok， 这个地方是零一啊，半径为二。 然后呢，他有告诉我 m n 的 长度是二根三 o m a 的 长度，难道 m a 的 长度是二根三？我想到了垂径令理啊，因为它是个弦长呀，所以圆，考什么它不就是考什么垂径令理啊，什么切线啊，相切啊， ok， 就 它。然后呢， p 是 直线上一动点啊， q 是 m n 的 轨迹 啊， q 是 m a 的 轨迹，这是 q， 那 么 p q 的 最小值。那么由于这个 p 是 这么一条直线上的移动点啊，就是 y 等于一个根三 x 减五，我们假设这个地方是个 p， ok， 没问题吧？他让我们求 p q 的 最小值，当然让我们求 p q 的 最小值， p q 点也是动的， p q 点在直线上动， q 怎么动我不清楚。 所以这道题还是研究轨迹问题，我们就得想明白，屁点，它很明显动的轨迹，我们确定了它就是个直线，我们就得想明白， q 的 动的轨迹是一个什么？是圆还是椭圆，还是双曲线？ ok， 那 么啊，这个直线为什么是相邻呢？你可以简单的做一下，圆形到直线的距离显然是大于半径了啊， 圆心是零一，零一的话是六，比上一个二啊，它是三，比半径要大， ok， 所以 q 的 轨迹是多少？那么这道题考了一个弦长，弦长的话，当然就垂径定力，大家我们看一看，垂径定力的话，是不是相当于我们做一个垂直啊？这个长度是半径， 半径的话就应该是个二，又因为 m a 的 长度是二，根三说明这个是根三说明这个长度是一。哎，那这道题这么简单吗？哎，幸福来得太突然，你会发现， q 不 论怎么动，它到圆心的距离都是一。那所以 q 的 轨迹不就是以零一为圆心，以一为半径的一个小圆吗？ 听明白了吗？哎，所以 q 的 轨迹就是以圆心为圆心，就是说白了就是以零一为圆心，它的圆心为圆心，那么以一为半径的这么一个圆，因为 q 到圆心的距离是一。那现在我知道 q 的 轨迹在这么一个圆上动，现在呢？你让我求 p q 的 最小值，那当然，我知道 p q 什么时候最小了。 p q 的 最小值显然就是啊，圆心到这个直线的距离垂直的时候就是 p 点，正好在在这个点的时候， q 点呢，正好在这个点的时候， 就说白了，圆心到直线的距离，然后减个半径，这就是 p q 的 最小值。所以这道题 p q 的 最小值就应该等于圆心是零，一到这个直线 到这个直线是根三 x， 再减去个 y， 减去个五，等于零，他的距离来一个点到直线的距离的话，他就应该是六比上一个二，然后呢，再减去半径，半径是一，所以就应该得个三减一，他正好得个二， ok， 所以 这道题就做出来了，非常简单。不就。说白了，我们高考的时候，这道题只是简单而已。高考的时候，我们很多题目都涉及到一个引元， 就是隐含着的一个圆，你得想明白，得求出来这个轨迹是一个圆，这样的话才可以。所以这道题是非常的简单，你只要能够求出来 q 的 轨迹是一个圆，那这道题就非常简单了。因为一个动圆上的一个，一个圆上的一个动点和直线上的一个动点的最小值，显然是圆形到这个点的距离这一段距离， 圆形到这个直线的距离减个半径， p 点在这 q 在 这的时候是最小的，所以这是一道简单题，我不知道你做的轻松否？ ok， 好， 大家一定要把圆这一张最基本的啊，垂直令理像相切，我们下一道题讲的是相切，这些内容一定要好好的去搞一搞，这是我们高考必考的内容， 我们看一道必错题，这道题很容易错，当然这道题是一道多选择题，当然这道题是改编的二零零九年全国高考题，当年是考的一道压轴小题，来我们给大家分享一下啊。 嗯，他说什么呢？他说这个 p 是 半径为二的，圆 o 上一定点啊，圆 o 上一定点啊，我们就不要画周角线了，半径为二，然后呢， o p 等一，那 o p 等一的话，那我们就明白了。那这样就应该涉及到一个里边有一个啊，单位圆， 半径为一和半径为二，那这不就相当于一个圆环吗？啊，他就相当于一个圆环，这都没问题。现在呢？他说，嗯， p， 是 啊，这，这是 p 的 轨迹，这 p 啊， p 点在这儿。他说过点 p 做圆 o 的 两条相互垂直的弦啊，明白了，我做两条相互垂直的弦，它可以这样做 啊，当然呢，它也可以这么去做，它都是垂直的，这两个弦显然都是动的，一个是 ab， 我 们假设这辆是 ab， 一个是 cd， 这辆是 cd， ok， 这辆是相互垂直的。 那么这时候呢？他说 pa 乘 pb 是 定值，然后 a、 c 乘 b、 d 是 定值，然后他的最大值是多少？他的最大取的范围是多少？首先 a 选项就非常容易错，他说 pa pa 乘一个 pb， 他 是定值啊，因为他的夹角反向吗？他的夹角一定是一百八十度，所以我们就看这个长度乘这个长度是不是定值。那可能很多同学说 p 这两条线是动的，比如 p a 在 这， p b 在 这，那 p a 动了， p b 也动了，它俩成在一起，当然动了，再乘以考成一百八十度，当然它不是定值了，这就要想当然错了， 错了啊，哎， a 选项是最容易错的，为什么呢？因为这个弦确实动的，如果 p a、 b 是 这样的，那 p、 c、 d 就 应该是这样的，因为它俩永远都保证垂直， p 点是在这个单位圆上，中间这个圆上， 那所以他们都动，为什么藏在一起不一定动呢？嘿嘿，这道题考到了一个初中所学的知识，叫相交弦定离，来，我们连接一下他，我先复制一下啊，一会还得用这个图 好，所以这个 a 选项考的是非常好的，也是非常容易错的。当然，我们先给大家说一个知识，先说一个知识啊，就是在圆里边你必须会两个知识点，在圆里边会两个知识点。第一个是啊，相交弦定离， 相交线定律啊，这是圆，随便两个相交线，他是利用相似来证明出来的。这辆是 a， 这辆是 b。 呃，这辆是 c， 这辆是 d， 这辆是个 p。 也就说 pa 的 长度乘一个 pb 的 长度，他一定等于个 pc 的 长度乘一个 pd 的 长度， 这叫相交线定律。那么切割线定律我们这一张也是经常用的。切割线定律好像都是在相似那一张学的吧， 哎，它都是通过相似能够证明出来对不对。然后切割线定律是怎么回事呢？这个点是一个 p， 然后假设这个地方是个 t， 这点是 a， 这点是 b， 这点是 c， 这点是 d， 证明方法我就不证了，记下来就可以了。 也说 pt 的 平方就应该等一个 pa 乘一个 pb， 等一个 pc 乘一个 pd， 这叫什么切割线定律啊，都是圆明定律嘛，所以这些大家要知道， ok， 所以 像刚才这道题，为什么它的定值呢？大家可以看一下啊。来来来，我们连接下它， 连接连接下，圆心过圆心啊，我们假设这个地方是 e 啊，这地方是个 f， 没错吧？那么由我们刚才说的相交线定律， pa 乘以 pb， 他 是不是就应该得个 pe 乘以 pf， 那 么 pe 由于这个半径是二，大大圆半径是二，小圆半径是一，所以 pe 的 长度显然是一， pf 的 长度显然是三。 听明白我的意思了吗？也就说 pa 的 长度乘一个 pb 的 长度，他就应该等于个 pe 的 长度乘一个 p f 的 长度，而 pe 的 长度显然是一， p f 的 长度显然是三，所以答案就是三。 明白了，那所以 a 选项他是一个定值，他的数量几乎是反向的，他就按等一个啊，三乘一个考生一百八十度，所以最终答案是负三，所以他是一个定值，答案是正确的，千万不要觉得他是错误的啊，需要用到一个相交线定律，所以 a 选项非常的容易错。 好，来，我们再看这个 b 选项， b 选项他说 o a 乘 o b 的 曲度范围是它，所以这道题我们怎么去作弊呢？我们就应该不是作弊啊，怎么作弊？选项，那么这时候呢，我们就应该啊，想一想我们， 哎，这个 o a o b， 我 们选择用什么方法呢？我们选择用什么方法来求这个数量积呢？选择用什么方法来求这个数量积啊？来来来，我们看一看 b 选项啊，那 b 选项的话， o a 乘以 o b， 来，我们看一看这张是 o a， 对 不对？这张是 o b， 来体会一下，数量积的方法非常多，这道题如果是你的话，你会选择哪一个方法？你看我们想的是不是一样的？ 当然可能很多同学说这是二，这是二，我们求这个夹角的余弦值不就完了吗？这个夹角余弦值咋求呢？所以你看我选择了哪一种方法？我选择的是极化恒等式，也就说我做出 ab 的 中点来，我们假设它是个 m， 当然这地方是 ab 的 中点啊， 那么所以我连接一下 o m 啊，当然它这个点也是垂直的，因为终点垂直定律一定是啊，一定是什么呢？一定是垂直的。所以这道题 o a 乘以 o b， 我 选择几何方程，由几何方程 o a 乘 o b 等于什么呢？等于 o m 的 平方，再减去个 mb 的 平方， 好能接受不？ o a 乘以 o b 等于 o m 的 平方，再减去 m b 的 平方，那 o m 的 平方是什么呢？实际上就是圆心到这个直线 a b 的 距离， 而这个 mb 呢？它正好是垂径定律，弦成了一半，所以我们都可以用一个字母来表示。我们假设 o m 的 平方就是地方，再减去 mb 的 平方， mb 的 平方，那就应该得个四减地方，来了一个垂径定律啊，这个长度是二，这个长度是 d， 四减地方就是它， 所以最终这个数就应该得个二地方，再减去个四。所以我求出 d 的 取的范围来，不就完了吗？那么又因为 p 是 圆上，随便一点，大家思考一下，那么过圆上随便一点做了一个弦 a b， 那 这个弦 a b 的 话，它可以这样这样做，这样是相切的，对不对？所以那么圆心到这个直线 a b 的 距离正好是半径一，那当然也可以这么去做呀。啊，这不就这样吗？这不就 ab 吗？ 哎，这不是圆上一点 p 做一条直线，那圆心到这个直线的距离也有可能是零吧，所以这个 d 的 距离显然是最小值是零，最大值是半径一，能想明白不？ 这个 d 是 到直线 a b 的 距离，直线 a b 是 过啊，这个单位圆上一点， p 做的一个啊。一条直线，如果恰巧做的正好是切线，这时候它到它的距离正好是一，没法再远了， 再远的话，他就不过这个小圆了。 ok， 所以 正好是零到一，我们把零带进去，他就正好等于一个负四，我们把一带进去，他正好是负二，所以这个范围是负四到负二，他是非常正确的。 哎， ok， 所以 你想到怎么转换就变亮了吗？所以这是一道非常好的题目。来，我们再看 c 选项，那么这个 c 选项怎么去做呢？这个 c 选项的话， a c 乘以 b d， a c 乘以 b d。 很多同学蒙了啊，这这这，这不可能，这加角，不知道呀， 你不可能毛毛考虑 c 它吧。所以这道题我们没有无缘无故的疑问，我们已经知道 pa 乘以 pb 是 定值，同理， pc 乘以 pd 也是定值， 这同理的嘛，对不对？ p c 乘 p d 啊，也可以转换成 p e 乘 p f 嘛，所以怎么办呢？这道题我们就应该是用肌底转化，也就说 a c 乘一个 b d， 我 们把 a c 写成什么呢？大家可以看一下 a c， 它显然是 pc 指向被减数，也就是说 pc 向量减去个 pa 向量，这时候就是 a c， 然后呢，这地方就应该是 p d 向量，再减去个 p b 向量， ok， 这没问题吧？它正好是 b d， 我 们把框打开，它整整好好是 p c 乘一个 p d， 再加上一个 pa 乘一个 p b， 再减去一个 pa 乘一个 p d， 没错吧？然后再干嘛呢？再减去一个 p b 乘一个 p c， ok， 大家体会一下。 pa 乘以 pdpa 乘以 pd， 显然是垂直的，等于零。 pb 乘以 pc 显然是垂直的，等于零，那也就说这量是零，这量是零，而这个数显然是定值， 这个数显然是定值，我们刚才已经算了，听懂了吗？也说这个数是负三， pc 乘 pd 也是负三，因为它是同理的。再说一遍，为什么这个长度乘以这个长度，再乘以考成一百八十度， 那这两长度相乘，等于这个长度乘以这个长度，所以是一乘三，所以这时候他的定值是负三，他的定值也是负三，负三加负三，就用那个负六，所以他也是定值。 又因为啊，不可能选四个选项，所以他一定是错误的。哈哈，那 d 选项为什么错误的呢？我们再给大家讲讲 d 选项，好吧，再给大家讲讲 d 选项啊，那 d 选项我们怎么去理解呢？ d 选项我们怎么去理解？来，我们再加入一页吧。 d 选项我们怎么去理解呢？他说这个四边形面积的最大值是多少？ 四边形的面积的最大值，大家思考一下，这个面积我们怎么去体会啊？这个面积用什么方法求最值？那么大家一看就明白了这道题，显然 啊，它的对角线啊，它，它是相互垂直的，这个四边形的对角线是相互垂直的，所以它的面积的最值，我们就应该想到了，对角线相乘乘二分之一，也就说它正好是二分之一。 ab 的 长度乘一个 cd 的 长度，而 ab 的 长度是什么呢？ ab 的 长度显然是， 显然是嫌长，嫌长的话，我们就来个垂直定力，所以我假设啊，垂直定力的话，我们假设圆形到这个直线 a、 b 的 距离是 d， 时间就刚才的 d， 我 记得 d 一 吧，因为一会还有个 d， 这个半径是几呢？半径是二， 半径是二的话，那所以 ab 的 长度就应该是两倍的根号下，根号下四减去第一的平方，再乘一个 c、 d 的 长度。 c、 d 的 长度两个字同理。我们假设往这做了个距离，这个距离是多少呢？这个距离假设是 d 二，是不是这条也来了个垂 直的这个长度呢？嗯，不对，他让我求的是 c、 d 的 长度，所以啊，到连接 d， 那么这个长度呢，也是半径为二，所以这个 c、 d 的 长度就应该是这个长度的两倍。因为垂直过去一定是终点，垂径定律一定是终点，垂直是终点啊，只要往圆的弦上做垂直，一定是终点，所以这个长度是多少呢？这个长度就应该是两倍的根号下 啊。两倍的根号下，四减第二的平方， ok， 两倍的根号下四减去第二的平方，这就是 c、 d 的 长度， ok， 所以 我们化简一下，就应该是两倍的， 对吧？哎，那怎么说？那这就说说明这个第一和第二肯定有个关系喽。两倍的根号下四减去第一的平方，再乘以根号下四减去第二的平方，那第一和第二到底有什么关系呢？这道题的思路啊，这不是这道题，就这道题改了个数而已，就是二零零九年全国高考题 啊，改变了。那所以这个第一和第二什么关系呢？大家可以看一下，这是第一，这是第二，又因为这个 o p 显得是半径一， 那所以这个长度也是第一。因为这是个矩形嘛，所以第一方第一方加第二方，正好等于它的平方。因为第一方加第二方，就是这两个直角三角形，直角边的平方和等于斜边的平方。所以这里有一个很大的隐藏信息，就是第一方加第二方，它正好等于一个 o p 的 平方是一， 那两数之和是定值，那你看他俩加在一起，平方和啊，是定值，所以两数之积有最大值，也就说两倍的刚小 a 乘 b 小 于等于 a 方，两倍的 ab 小 于 a 方加 b 方。也说四减第一的平方，再加上一个四减去第二的平方。 大家可以看一下，这数是 a 方，这地方是 b 方， a 方加 b 方大点，两倍的 a b 正正好好的。所以又因为第一方加第二方等于一，那所以八啊，这是二，八减去一，八减去一，那就应该是七，那就应该是七，所以这个四边形面积的最大值应该是七，而不是四根三。 好，你看看这道题，考的太好了，四个选项，每一个选项都非常好，也就说你的会选择我到底每一个选项我应该是用什么方法求，这都是分析出来的，正好这四个选项呢？嗯，我觉得考的挺好，这道题啊，你再好好的体会一下。好吧， 你会直线的方程会几种形式？你可以在公屏上打出来，你会我猜一猜啊，斜斜式啊，点斜式，然后拮据式，两点式啊，一般式， 反射式，你知道吧？在我们高考原地曲线当中，特别喜欢反射直线，还有一个叫法线式，所以法线式方程一般情况下我们不会讲解，但是这个课本上扣题出现了啊，法线式方程。 法线式方程在一些很多老教材上是有讲解的，当然这个方程你到底有没有必要记忆呢？我觉得是没有必要的，你只是理解他怎么推导的，我觉得很重要，求轨迹方程的方法还是非常重要的啊。 好，来我们看一看，他为什么叫法线式方程呢？因为你做题老马虎吗？法线式，法线式，他肯定这里边有法线，法线就是垂直于直线 l 的 直线，所以我们看一看，由圆点 o 向直线 l 做垂线 啊，然后呢？啊，垂线 o n 垂足为 n， 其中这个 o n 的 长度是 p， 然后 o n 与 x 轴正方向所成的角为 c 塔。听明白了，它就是指的是直线 l 的 法线，法线就是垂直于直线 l 的 线， 这个法线与 a 轴正方向所成的角是 theta， 而且这个 o n 的 长度是 p， 所以 法线式方程有都是法线的一些参数，所以人就叫法线式方程啊。那么，呃，这个法线式方程怎么去求的呢？啊？这个求法是非常重要的，法线法线，你得想垂直，垂直，垂直，你得想向量。 好的，要把向量数量记点零。那么怎么想向量呢？首先我们先求出发现这个这个这个 o n 向量来。怎么求 o n 向量呢？我们先写出 n 点坐标来，由于这是 c 塔， n 点的坐标显然是 往下做个垂直呗，它的考甚，它的 x 就 应该是 p 乘以考甚 c 塔，没错吧？所以 n 点的坐标就应该是 p 乘一个考甚 c 塔，那么重，坐标就是 p 乘一个甚 c 塔， ok， 所以 第一问的话，我们就能够写出这个这个这个法向量来，就是 o n 向量，就是垂直于 l 的 向量，它就应该等于一个 p 乘一个 cos theta， 然后 p 乘一个 cos theta， ok， 那么我们怎么求直线 l 的 方程呢？求直线 l 的 方程，说白了就是求直线 l 上任意一点 x y， 它所满足的式子，对不对？所以我们下一步是干嘛呢？任意取一点 m 啊，设它是 x y， 它是属于直线 l 的， 懂了吗？我们假设这个点 m 在 这啊，这个点是 x y 随便一点，那么既然是随便一点的话，那么大家思考一下，这个 n m 向量， 它是不是一定是在直线 l 上？那 a m 向量和 o n 向量一定是垂直的嘛？所以它乘以 o n 就 应该等于零， 那所以这道题就做出来了，就这么简单。那 a m 呢？就应该是拿着 m 减 n， m 减 n 的 话，就相当于 x 减去 p 倍的考差 c， 它， 然后呢？拿着 m 减 n， 就 应该是 y 减去屁背的肾 c， 它乘以个 o n o n， 当然就是屁考肾 c， 它，然后呢？屁肾 c， 它 ok， 然后拿出我们强大的计算能力来，它俩成开之后呢，就应该是有个屁呃，考肾 c， 它 x， 然后呢？再减去一个屁方，考神方就是 x 乘 x 加上 y 乘 y， 就是 屁乘一个肾 c 塔，然后呢？乘一个 y， 然后再减去一个屁方乘一个肾方，然后呢？它是等于个零的， 好理解吧，因为它等于零吧啊，垂直，那么它等于零的话，大家可以看一下，这个可以合并，它俩加在一起，显得是屁方减去一个屁方倍的考神方加肾方 p 方的话都有 p， 所以 p 约掉了，因为 p 是 o n 的 长度，显然是不为零的，所以我们就能够求出它的方程来，就是 x 乘一个 cos theta， 然后呢，再加上一个 y 乘一个 cos theta， 减去一个 p 方，约掉了一个 p 吗？减去一个 p 等于一个零， ok， 这就是直线的反向式方程。再强调一下，这个 p 是 什么？这个 p 是 从原点出发，指向往这做垂直啊， o n 的 长度， 那么这个 c 塔呢？是指的这个法线就说白了就是法向量直线 l 的 法向量，法向量与 a 轴正方向所成的角， ok， 所以 这叫法线式方程。 那么第二问，利用上面的方法推导点到直线的距离公式。哇，这给人感觉好难啊，那怎么推导点到直线的距离公式呢？我们做的是第二问了啊，点到直线的距离公式怎么去做呢？实际上我们在前面讲过了，是吧，大概讲了四种方法。 这四种方法啊，那这个地方我们怎么去做呢？点到直线的距离公式，我们假设这地方有个什么点呢？ p q 啊，叫 q 吧， q 呢，我们假设是 x 零 y 零， ok 吧，所以 q 到这个直线的距离，大家思考一下怎么去做，是不是我们还是利用向量？既然是发现，发现，我肯定得用向量的方向方方法了，所以怎么用向量的方法呢？ 大家可以看一下，是不是相当于 qm 啊？ qm 乘以法向量，法向量实际上就是 o n， 听懂了吗？ qm 乘以法向量， 法向量 o n 或者 n o 都可以啊，法向量不为一吗？所以这时候怎么办呢？我们就应该这样去做，我们假设这个角是二法啊，实际上大家可以看一下，这个考生二法等于什么呢？他就应该等于个 q m 向量， q m 向量乘一个 q n 向量，比上一个 q m 的 膜，然后 q n 的 膜给他加，再推掉一遍，对不对？加个绝对值。那么考生二法还等于什么呢？还等于邻边比斜边，这个邻边，它不就是那个 d 吗？斜边呢，是 q m q m， 所以 q m 就 约掉了，立刻我们就能够求出 d 等于什么来。 d 就 应该等于，大家可以看这个 q m 约掉，那 q m 约掉的话，大家可以看一下 q n 是 什么？ q n 不 就是垂直于直线 l 吗？垂直于直线 l 不 就相当于法向量吗？法向量你找哪个向量都可以，我们当然找 o n 了，那所以这个 d， 那 这个 d， 它就应该等于个 q m 乘一个向量 o n， 然后呢，再比上法向量的 o n 的 膜。 听明白了，这个 q n 是 法向量，找哪个法向量都是可以的啊，对吧？法向量不为一，所以我们找的是 o n， 那 么又因为 o n 啊，它的长度是 p， 所以 这个分母是非常好求的，就是 p， 然后呢， q m 呢？就拿着 m 减 q， 就 相当于 x 减去 x 零，然后呢， y 减去一个 y 零乘以个 o n， 哎， o n 是 多少嘞？上面 p 考甚 c， 它，然后 p 甚 c， 它计算量有点小大， 对不对？然后呢，这个 p 当然就没有用了，我们 p 就 直接干掉了嘛？这辆 p 和这个 p 都和这个 p 约掉了，没错吧？所以它最终就应该算出来之后是什么了？得加绝对值啊。长度嘛，它是正的，加个绝对值，它最后算出来是什么呢？就应该是好复杂 啊， x 乘一个 c 乘一个 c 乘，对不对？然后呢？再加上一个 y 乘一个 c 乘， 然后呢？再减去一个外零乘一个 c c 塔， ok， 就 到这一步了，那么到这一步了，下一步我们怎么去做呢？我们怎么能够推出点到直线距离公式呢？ 对不对？就到这一步了，到这一步了，大家思考一下，我们点到直线距离公式，这个直线他写的是一般式，不是法线式方程， 所以你应该把 c 态考量 c 态得干掉它，对不对？那我们怎么干掉它呢？是不是相当于我们应该把普通方程写成法线式方程呀？那大家思考一下，法线式方程有什么特点呢？就是 x y 的 系数平方和是一， 就是 c 方加括号等于一，但是这个 a 方加 b 方不一定是一啊，所以我们要把这个一般方程改成法线式方程。大家思考一下，这就是为什么推导公式能锻炼大家的数学能力。 这就我们在讲什么公式的时候，前面讲了老多了，什么辅助角公式讲过吧？什么这个复数的三角形是讲过吧？所以这个地方我们两边同除以根号下 a 方加比方，就可以把这个直线写成法线直方程了。 思考一下，为什么这辆是 x， 再加上一个 b 比上一个根号下 a 方加比方，这辆是 b 比上一个根号下 a 方加 b 方，然后这辆是 y， 再加上一个 c 比上一个根号下 a 方加比方。思考一下为什么 啊？然后这辆等于零，原因就在于你同除以根号下 a 方加 b 方之后，它俩的平方和加在一起是 一，正好考成 c 它，所以我们把这个四值带进去，就应该等于个， 对吧？啊，应该是这样的啊， x 乘一个考生 c， 他 考生 c， 他 就应该是 a 比上一个根号下 a 方，再加 b 方，再减去 x 零乘一个 a， 比上一个根号下 a 方，再加 b 方，再加上一个 y 乘一个什么呢？ a 比上一个根号下 a 方加 b 方。 重新写吧，能跟上不？能跟上不？所以推导公式确实比较抽象。然后再减去一个外零乘一个 c c 塔就是 b 比上一个根号下 a 方，再加上一个 b 方，然后 ok， 就 到这一步了。那到这一步之后，大家可以看一下，不要忘了 m 点在直线，在直线上， m 点在直线上的话，那这就说明这个数加上这个数等于什么？应该等于这个数的相反数， 明白吧？ x y 在 直线上，所以它是和直线的方程，所以最终的答案它应该等于负的。 c 啊，由于都是负的，我就写成正的了，所以它就应该等于个啊，时间我能写出来了吧。再说一遍啊， 这个数加这个数，因为 m x， y 在 直线上，所以把它带进去，就应该等一个负的，负的 c 比上一个根号下 a 方加比方，那所以这张是负的，这张也是负的，所以最终的答案就出来了，就应该等一个根号下 a 方加 b 方，上面的话是 ax 零加上一个 b y 零，再加上一个 c， ok， 所以 这样的话，我们就推出点到直线的距离公式来了，它实际上利用的还 是啊法向量投影， ok， 只是通过这道题，大家要学会求轨迹的一些方法，垂直要了解一下直线的法线式方程，具体背的话我觉得是没有必要的。 第十七题，这道题考的也是非常好的，很多模拟题也会考，他说 s 大 零小一， y 也大零小一，那么证明他大约得二根二，并求等式成立的条件，说明上式不等式的几何意义。 那么这个地方怎么求最值呢？你想到什么了呢？根号，当你出现根号下 x 方 y 方了，这点是高考很容易考到的，他的意义表示的是两点间距离公式，听懂了吗？所以第一个根号表示的是 x y 到哪个点呢？到零零这个点的距离。 第二个根号表示的 x y， 你 应该把它写成 y 减一啊， y 减一的平方，所以 x 减零的平方。根号下，所以它表示的是 x y 到零一这个点的距离， 懂了吧？第三个括号也是一样道理，我们把它写成 x 减一的平方，加上一个 y 减零的平方，所以它表示 x y 这个动点到一零这个点的距离。 后面呢，我们把它想成 x 减一的平方加 y 减一的平方，它表示的是 x y 到一一这个点的距离。 那这道题的意思不就说明在坐标系当中，一个动点到这四个点的距离啊之合的最小值吗？又因为 x y 都在零到一之间，我们把这个四个点画出来，零零啊零一，然后一零一一绝了，这不是个正方形吗？ 这就是正方形对不对？哎？那平面上某个点，这个正方形里边的某个点，他到这四个点的距离之和，那就说明到他到他，到他，然后到他，所以这时候到这四个点距离之和的最小值是多少呢？ 思考一下，我们给他起个名，这是 o， 这是 a， 这是 b， 然后这是 c， 这是 p， 所以你能想到什么求最值呢？大家思考一下我们求最值的常用方法啊。这道题肯定间隙肯定不行了，因为作变函数太复杂了，根号加括号没法算啊，均值不等式 啊，三角还原二次函数，对号函数对吧？求导，两边之和大于等于第三遍，你想到了没？所以这道题显然是两边之和大于等于第三遍。原因是 ob 的 长度是定值， 所以 p o 加上一个 p b， 两边之和大于等于第三边，当且仅当 p 在 o b 上的时候。 同样道理， pa 加上一个 p c， 两边之和大等第三边 ac， 它也是定值，所以 p o 加上一个 p， b 加上一个 p， a 加上一个 p c 大 于等于 o， b 是 根二， a c 也是根二，所以大于二根二 当且紧当。屁点在哪呢？屁点在 ob 这条直线上，或者是同时在 a c 这条直线上，当然当且紧当屁点在哪了？屁点在正方形的对角线的交点上，屁点在这的时候是最小的， ok 了吧？所以是二比二。当然这种题特别喜欢，怎么考求值域呢？考两个，比如让你求他加他的最小值，他也是用两点间距离公式，用几和 e 来求最值， ok 吧。 那么说明几和 e 是 什么呢？说明几和 e 就是 这个正方形里边的动点到四个顶点的距离之和最小值 就应该是屁点落在正方形中心的时候，距离是最小的好，嗯，这道题我觉得还是挺好的，我们平常考试的时候也是经常考的，给大家随便写个题啊，一定要想这种方法，什么时候用这种方法呢？当你见到 根号下，比如 x 方加上一个外方，随便写答啊，就这道题吧，根号下 x 减一的平方加上一个啊，外减二的平方，求它的最小值， 你看求他的最小值，怎么去求？我们随便画一画啊？随便画一画？嗯，不对，他考试的时候不这样考，他这样考 x 方， x 方加上一个四， 加上一个根号下 x 减一的平方啊， x 方 减去个二 x， 然后呢？加上一个五，让你求它的最小值啊，他喜欢这样考，那所以这道题怎么办呢？我们把一个动点想成 x 轴上的动点， x 减零的平方加上一个零减二的平方， 体会下。什么意思啊？到谁的距离？我们把这个洞点当做 a 轴上一个洞点，因为他只有 x， 这样的话，我们就能够想成三个点了， 一个洞点到一个定点，再到另外一个定点来距离之和的最小值，这样我想成 x 减一的平方加上一个四，是吧？四的话就应该是零点二的平方，所以前面呢，表示的是这个洞点到谁呢？ 到零二是吧？那么后面那个表示的是 s 零到什么？到一二是吧？所以 x 轴上的一个动点，别说最小值了，直域也能求出来。 x 轴上的一个动点到谁呢？到零二的距离和到一二的距离之和的最小值，这是零二，然后呢？这是一二，好，你体会一下啊。 嗯，没问题吧？那这时候最小值在哪呢？我们假设 x 零在这儿，假设这个点是 p， 考了一个初中的问题，是吧？这时候呢，让我们求 pa 加上一个 pb 的 最小值，那你告诉我什么时候最小？这是 pa， 这是 pb， 当然是对称了，我把 a 点对称到这，也就说 a 撇是零负二。所以当 a， 当 p 点在哪的时候呢？在两边之和大等第三边，在这的时候距离最小。 因为 pa 等于 pa 撇，所以呢，把它放到 a 轴两侧， p 点是动的，当然动到这的时候，两边之和大的第三面共线的时候，所以它的最小值就应该是两点间距离。公式最大值多少呢？最大值极限思想。当 p 点跑得非常远的时候，就应该是到正无穷， 因为 pa 是 正无穷， p b 也是正无穷，所以完全可以到正无穷。那么最小值就应该是 a 撇 b 了， a 撇 b 来一个两点间距离公式一减零的平方是一，二减负二的平方就是四的平方十六，所以等于根号下十七，好，你看能接受了吧？ 对，没错，是吧？所以最终的值域是根号下十七到正无穷。 这道题考得非常的好，非常非常的好。为什么我给大家讲这道题呢？其实这道题本身难不难呢？不难，是因为我在讲去年讲这个模拟题的时候，看到了模拟题考那个外接球 啊，立体几何当中的外接球。外接球呢？你当你当然就得求底面的这个外接圆半径，而外接圆半径一般情况下都是什么三角形啊，然后这个正方形啊，矩形啊，正六边形啊，他都是非常特殊的， 但是现在高考他是越来越一般化，所以呢，他会不会以后就考一个梯形呢？ 所以考一个梯形，我让你求这个梯形的外积圆半径，你能求得出来吗？所以这道题真的是非常好，来，我给大家让你感觉一下啊，在八十六页， 他说在四边形 a， b， c， d 当中， ab 等于六，然后呢？ cd 等于三，然后呢，这个高等于三，然后求外积圆的方程，当然我们说过了，我们主要是求外积圆半径，因为这个知识点十有八九是和立体几何结合在一起考察的。 那么我们给大家讲两种方法，第一个呢，大家看图已经看到了他间隙了，那间隙，那就比较简单喽，间隙不就是坐标预算吗？所以我也不知道外接圆这个外接圆的这个 啊，原心在什么地方？嗯，不清楚，人家可没说在 ab 上啊，我们就假设在这，这辆是零 a 啊，不知道在哪啊，这辆是零 a， 那 么所以我们假设这个点是 e， 那 么当然 a e 它是等于半径的，当然 c， e 呢，也是等于半径的， 所以利用这个等量关系，不就求出 a 来了吗？求出 a 来圆形知道了，半径不是也都知道了吗？所以这是半径啊，其中 a 点的坐标， a 点的坐标在什么地方呢？ a 点的坐标在什么地方？显然 a 点的坐标就应该是负三零， 然后呢，啊，这个这个，这个，它的坐标就应该是三零，因为 ab 的 长度是六，看清楚人家怎么建的细，教程上直接给你建好细了 间隙的时候，我们就是以 a b 所在的直线为 i 轴。原心，我就假设在零 a 上啊，具体在什么点上咱不知道，几等分点不晓得。 所以呢， a e， 呃，这个 c 点坐标是的话呢， c 点坐标显然是 c， d 是 三，那就是二分之三，然后重坐标是 高，高整号也是三。所以 a、 e 的 长度我直接平方了，就应该是零减三的平方，就应该是九，加上一个 a 方， 两点间距离公式没错吧？再加上一个，再等一个 c、 e 的 平方，就应该是零减二分之三的平方。四分之九加上一个 a 减三的平方， 所以九加 a 方正好都约掉了，这量是四分之九，这量有个 a 方，这量有个九，这量有个六 a， 所以 九加 a 方约掉，九加 a 方约掉，所以六。 a 等于个四分之九。 a 就 应该等于个多少呢？约个三十二，约个三十三，八分之三， 那么这个圆的方程当然也就搞定了，因为圆心是啊，圆心是多少？零八分之三，那么半径是谁呢？这就是半径的平方，也就说半径的平方等于个九，加上一个六十四分之九，你自己去算就可以了，这个数不是特别巧。 好，这是第一种方法，你学会了吗？第二种方法怎么办呢？我们不见系啊，不见系，你不就是让我求这个半径吗？对吧？我求就是了。 那么这个外接啊，圆的圆心，那显然是在这个高上，极等分点我是不晓得的，一定是在高上，所以随便点一下子。那么又，因为你让我求半径，所以我们连接它啊，这辆就是半径，那这个长度是几呢？这长度是三， 因为 a b 等于六，那么这个地方它也是半径呀。啊嘿，这辆也是半径呀， 对不对？正量也是半径，因为圆心到任何一个点的距离都等于半径，因为这是一个外接圆，所以呢，这个长度是几呢？这个长度是二分之三。体会一下 c、 d 的 长度是三吗？所以又因为他告诉我整个的高是三，所以他俩相加等于三吗？他俩相加等于三，就应该是二方减去个九开根号，加上一个根号，下二方减去个四分之九开根号，他就应该等于个三，会了吧？ 等于三，所以呢？呃，一个项完全平方就能算出半径来。我已经说过了，我讲这道题的目的就是为了给大家讲 外接圆半径怎么求方程？不需要求，因为这个考点十有八九和外接球结合在一起考察两边平方嘛，一定狂，算狂不狂好不好？算它平方是这样的，它平方是九，加上一个二方减九 啊。然后呢？减去一个六倍的根号，下二方减九。还可以，是吧？二方约掉了，九约掉了啊，约个三，约个三是两倍的根号，下二方减九。约个三等于四分之三两边平方，所以二方等于个。 呃，六十四分之九加上一个九，和刚才这个数一样的。怎么样，你学会了吗？你学会了吗？

你永远也比不过一个从高一就开始训练数学计算题的孩子。因为高考数学一百五十分、百分之九十五以上的题都涉及计算，许多学生因为计算量太大而做不完， 就用这套腾远高中数学计算题。这是一套专门训练计算的书，市面上再也没有第二本。拿高一版数学为例，他仅靠教材梳理了二十五个常考的训练点，七十一个计算技巧和三十六个解析模板，有基础巩固练习考点综合练，循序渐进 有一道难。这些题全部来自高考真题，含金量满满。这个寒假，坚持每天训练一夜，你的计算速度会越来越快，正确率也会大幅提升。有规划的孩子已经备上了。

我们在这里讲第四点和第五点，我们再回顾一下，我们说等差竖列和等比竖列，只出现一条等式啊，只有一个条件，那就是把它当成两长竖列来搞 啊，什么叫长竖列？就每个相等一样嘛，我们可以把它两看成 x 嘛，对不对？而根据一条式子把 x 给两截出来， 我再来给你解释一下原理啊，然后这两个例子啊，你再看一下，那，那我们演一下，就是如果题目给出两个条件啊，两个四，那么就回到基本量等差速列。基本量什么啊？首项和公差对吧？ a 和 d 嘛，整体速列基本量，什么 首项和公比嘛，那么有两个条件，自然就可以列两两条四子，两个四减两，减两个微十四嘛，对不对？这第五点 可以吗？啊？那一般有时候等比数量，没事可以看看，看一下一些啊，常见的比数量啊，比如说一二四八，培养一下一些速感，对吧？一二分之一，四分之一，八分之一嘛， 对吧？一三九二十七，公比为三嘛，对吧？一三分之一，九分之二十七分之一，公比为三分之一。有时候你试试一列出来，你凭感觉都可以解得出，就是这个 a 和这个 q 了。 来第六点，第六点就是我们今天第一个痛点哦，就是说知道 s n 有 表达数，要求通向 a 啊，或者是求一个常数微矢量， 那么最常见的方法，我们最常见的方法就是啊，做吧，我们看一下最常规的方法，特别的解答题，其他题就这么做啊，先写个两解，把题目两抛下来， 把题目的四两 s n 的， 把 s n 的 叫四两，上下标成一，然后当 n 的 大于等于二十，然后把 n 减一两带进去，标成二， 然后就说一减二得啊，左边减左边等于右边减右边嘛，然后等到 a n 等于多少啊？ a n 等于多少啊？ a n 等于多少啊？就是当它前提是 n 的 大于二，然后再看一下当 n 的 等于十 啊。通过题目四，先把 a 算出来，看一下符不符合上四，如果符合的话就给两并进去，那就 a 就 可以从一两开始，如果不符合的话，我们就把它两分道分出来， 可以吧？在学上有没有讲过类似的动作吗？有没有？有什么摇头啊？有没有？ 没有事啊？那没有事你就我作为备胎吧，你说一下吧啊，你自己看一下，就是出现 s s i 怎么做？我们最常见做法怎么做？我刚才说了好了，没有钞票掉位置了。 一嘛，那当 n 这样大于二十，把 n 减一两带进去嘛，然后标成两二嘛，两四两相减嘛，左边减左边两边，右边减右边嘛，可以吧？然后的话去一下化解一下。人家可以求着 n 了，可以吧。好的，这里有很常见的意思， 用常见例子，比如说这个例子，比如说这个例子啊，他说 s n 等于二， a n 减四，然后问你 a n 等于多少，问你 a n 等于多少啊？ 我有三种做法来教你做。我有三种做法教你做什么呀？那我就常规做法，先先教你做，而且这是我们必须掌握的解答题。你是怎么做的啊？我们刚说了，就是先把它的，比如说我填空白的点，我们先写个 a n 等于的二， a n 减四，标尾， 先把它脱下来，先把它脱下来标一，当 n 的 大于等于二十，把 n 减一两带进去， 标为二。当 n 大 于二十，把 n 减一两带进去，标为二，可以吧？然后一减二得啊，这么减 怎么减妹，各位 baby 怎么减？左边减左边等于啊，右边减右边嘛，对不对？那 s n 减 s n 减一边左等于功项嘛？ a a 嘛， 对吧？那右边减右边复式，复式的你消掉了，那现在这个减法就是二 a n 减掉的二 a n 减一了，那这叫化减。什么化减？你记住这个化减这个词啊，减完了，你以后一定遇见重题了。减完了，你同学不知道怎么办？他减完了，不知道怎么办 啊？他没有学好，他不知道怎么办啊。他会减你的 l 加会先抄下勾 a， 把 a 减二啊，把 a 带二十，把 a 减了两次想减，减完他不知道怎么办。我遇见这同学了啊，减完之后怎么办？你给我记一个词啊 啊，一下，一下，一下，等于一下就好。那把来，把这个移过来，把这个移过去。那是不是我们是不是可以得到 a n 等于二个 a n 的 减一了，对不对？那这个时候的话，我们可以知道是什么数量， 我们看得出，看得出什么数量。你看不看得出什么数量？看不看得出？看不出的，到时候没关系，叔叔教你。哦哦，我们把这个项链已除过了，那是后一项除以两，前一项等于二， 所以它是什么数量啊？怎么定义啊？等比式的定义嘛。后一项除以前一项尾的长是二嘛？你把它数过来就好了，当我记到这里就可以不用数啊。但是如果你要，你要更加的清晰一点啊，你要更加清晰一点，就是直接把它移过来了， 但是你实际上你解答题是可以不用再再移过来，你那看其实就可以了啊，可以吧，这是我们的母笔啊，差什么差什么？差手相嘛，对不对？我们干脆当 n 的 大于二十，对不对？那当 n 的 又还没有算完，我们还要再加一个吧。当 n 的 等于十， 单等于十二，把它带进去，这个条件，这个条件二等于二是 s 一 等于二二， a 一 减四，所以 a 一 等于多少？ s 一 就选， 这里可以讲 s 一 就选。首先嘛， a 一 嘛，对不对？对不对？二等于 a 一 嘛，那把它俩移过去，把负四两移过来，是不是？ a 等于多少四， a 等于四嘛？ a 等于四吧，可以吧，手相搞定，公比搞定，对不对啊？如果解答题里面我们得我们得加一句话，所以竖列 a n 是 以手相为四，公比为二的等比竖列把它指出来， 如果起来两分，再加乘以一句话，就这样算完了。 n 大 于二十， n 等于十，那么还得说一句话，所以向量 a n 是 以首项为啥公比为啥的等比向量，可以吧？那公项啊，那这个 a n， 这个 a n 呢？这个 a n 等于两 a， e 等于两 a， e 等于 q 的 两 n 减一嘛？等于二的 n 加一，知道吗？ 可以吧， ok 吧，不是你你你感，你感受了没有？就是这么做法，你是自己一定要会了， 你一定要会了，可以吧？ ok， 你， 你听懂没？听得懂一点？懂哪一点？没有，你懂哪一点？ 第一，第一点，第一点不需要你懂第一点，只需要你钞票了。第二点，你懂这一点吗？啊，那我让你懂两点， 你，你这个时候来是吧？来来，我让你懂第二点，第二点就是讲解。讲解会不会啊，这么减左边减左边，那等于右边减右边，可不可以两点了再让你懂。第三点，你减那么多岁 移来移去。那不会，那移过来，移过去不就整理一下吗？啊，那看似是什么势力吗？啊，你不要一直在啊啊啊， 自信点好不好，要当 n 的 等于一嘛，我们抽出 a 嘛，我们搞 a 嘛，搞 q 嘛，对不对？那基本都要搞好了。那你现在就可以算出它的功效嘛，用公式嘛， a 一 乘以的 q 的 n 减一嘛，对不对？ 听得懂吗？啊啊，没事，慢慢感受完，完了，我们要做很多种题了，谁道题选错选 a 吧，对不对？可以了啊，那我们讲第二种做法， 我说了三种吧，我刚才教你是解压点数吧，那还有选择题做吗？对吧？选择题做吗？是非常简单的几种功效啊，几种功效？选择题是很简单的，你看吧。啊，选择题有选择题做吧。我们先说 a 嘛，我们听这里的。唯一嘛，唯一嘛， 代入去吧，那是给双子 a 等于多少？等于四吧，对不对？那你就让这里为一吧，代入去这些公这些表达式吧，看谁为四吧，对吧。一代入去吧，一代入去一代入谁为四啊，谁为四啊。 a m a 嘛，对不对？哎，搞定了搞定了。哎，真这么牛逼啊，你做的多就知道对不对，你要自己总结完，求个 a n 的 方向公式对吧？知道 s a 求 a 的 方向公式。 选择题最简单了，带一下就好了。那我同学说老师带完了，如果两个三个都等于四怎么办？ 那接着带嘛，你算 a 二出来嘛，你通过题目条件把 a 二算出来，再带 a 二， a 二一带绝对出的来，能够再排到一圈，听得懂吗？啊，这是， 这是个选择题啊，那我说第二步做吧，万一有填空题怎么办？老师啊，不能带怎么办？那我又不会上去了，你让我做哦，你听得懂我在说什么？我说什么？遇见填空题啊，填空题都没有选项的，不能带吧， 对不对？那请答题，那样你就说啊，老师有点复杂，我这还小，我还不会啊。没关系，填空题，然后题目教你，填空题不错，第七点在这里， 在下面，就在第六点下面，有没有看到啊？那我们说一下，我们做一下， 我们说 s n 的 关于 n 的 二次函数，但不能带长度项，我们说这个数又是个等差数列，这么上几个角，这么上几个角， s n 关于 n 的 二次函数， 那么 a n 这个数列就是等差数列，然后是不能有常数项的，不能说带个数字啊，我刚才跟你们讲，如果带个数字，等一下要干嘛？分段分出来 对不对啊？那还有第二种，这两种最最常见的，你高中阶段刚开始学啊，肯定是要了解的，一眼看出来，这等差，他的是不是等差。那还有第二种，如果 s n 关于 a n 的 一上数， s a 帮 a n 的 一上数，那等一下我们就可以推出它是个等比数列。其实我们刚才已经我们我们今天用解答题啊，那写下来了，确实是个等等比数列嘛，对不对？其实也是一样的，等一下我们把 a n， g 带进去，两次加减整比上，它确实是个等比数列， 可以吧。 s n 关于 a n 的 e 上数，我们 e 上数是 y， 对 不对？ k s 加 b 嘛，这是不是 e 上数哦，还记不记得说了 e 上数哦，你现在已经高二了， 比他大三岁了啊。那现在如果是 s n 关于了 a n 的 e 上数， 把 y 看成 s m 哈，对不对？把 s 看成 a a 嘛，那这不是光 a 的 一项数，那等下我们推到最后，我们是 a， 发现它是个等比数列，那么我们需要记同， 我们需要记它的公比的表示来，公比表示就是 a 系数除以的系数减应用， a 除以 a 减应用，这个系数除以一个 c 减一 手相。不需要你记啊，我们需要知道两个基本量，一个叫手相，一个叫公差或公比嘛， 对不对？那公比我说它是等比的竖列，那等比的话，我们等下它的公比是可以推出的，那公比推到出了，等于是这系数属于休减零， 我说要怎么推的？有，但是我们就不去推了，把 n 减一的带进去，标为一，标为二，两次相减一下，整体就出来了。听懂我讲什么， 然后我说这风点表示节气风点的错，系数除以两系数减一吧。 你如果字母你看不懂，你有些东西啊，他对数，他对字母数字啊，不是敏感，那你就用你最喜欢的语文来记啊。那这个 q 它就等于系数除以系数减一系数对系数啊， a 什么对系数啊，可以吧？可以， 可以吗？可以可以，看到了叔叔教你做填空题啊。去年期末考就考了一道填空题啊，我没看我们做题填空题啊，噔噔噔噔，你看到了，现在是没有选项的， 下面有选项填空题啊，看看数数怎么做。数数已经给你讲了解答题还有选择题怎么做了，现在给你讲填空题怎么做啊。那你看啊，这样是不是 s n 关于的 a 对 不对？一三是吧？是不是一三 对不对？所以它什么数量？等比嘛，哎，等比嘛，哈，对不对？那等我们先搞什么？先搞公比对不对？ q 等于多少？二除以二，二除以两减一，二减一嘛，等于二嘛。哎， 可以吗？可以，那我没搞定。那就那这个时候差什么？问你差什么？手相？手相嘛，对不对？差手相嘛，噔噔噔，是差 a e 啊，那 a e 你 会不会看有没有到位啊？你答应的啊，答应去吧。啊啊，就这么简单，就这么简单。 来，那 a 带进去叫做 s 一 嘛。 s 一 是谁？ a 一 嘛，我讲了很多遍了， s 一 就是 a 一 嘛，属相嘛？ a 一 嘛。哎， a 一 嘛，四的 a 四 可以吧？可以，那什么属相都没搞定了，对，那六。哦，那什么，求 a a 啊，你会不会公式？ a a 会不会，公式等于几啊？ 首项乘以的 q 的 n 减一嘛，对不对？四是二的二四八嘛。那这两个三只有指数的呀，相加嘛。哈哈哈哈哈哈，出来了 出来了。你这样跟我讲什么？你再说一遍。能不能再说一遍。可以啊，当然可以啊，我一直都跟你说啊，我们可以再讲一遍了。我说 s n 关于 n 的 一项数， 那么这个 a n 它就是个等比数量，我们要记公比的，表示公比等于几啊？去数除以，去数减一，那是不是公比搞定了？那这时候要搞首项怎么搞？ 把一怎样带进去嘛。所以我说首项不要你去嘛，你直接带嘛，对不对？你带进去会不会带 该函数的 a 等于四？那你首先知道公比，知道会不会求 a n 啊？哎，会不会？有没有公式？小姐妹，有没有公式？ a n 等于什么？ a n 等于什么？ a n 等于 a 怎样乘以的 q 的 的 n 减一嘛，对不对啊？这公式嘛，对吧？ a n 等于的 a 乘以的 q 的 n 减一嘛， a 等于转四嘛，是二嘛，对不对？ 然后四是二的二次方嘛，到底命相折嘛，底数一样嘛，那指数相加嘛，对不对？ 哎哎哎，搞定了啊，一道题啊，跟你讲了三种做法，选择选择叠错吧，填空叠错吧，还有解答叠错吧，对吧？解答题是一定要会的，因为经常会考解答题，可以吧啊。

第一题，他说已知圆锥曲线啊，这里呢，是 a 大 于 b， 所以 是不是交点在 x 轴上的一个椭圆呢？离心率是 a 分 之 c， 那 是等于二分之一，过右交点 f 二，两条直线互相垂直 ab， 这是一个算弦长的一个比较经典的式子啊，来，我们算一下 啊，然后当什么呀？当这个直线 ab 的 斜率为零，斜率为零，那不就是水平的直线吗？ c， d 和它呢？互相垂直，那是啥？那不就是。来，我们先画个图啊。 好，这是过右角点，右角点 f 二，左边 f 一， 右边 f 二呗， 过 f 二，一条直线互相垂直的 ab， ab 的 斜率为零，那不就是二 a 吗？是不是 c， d 呢？那就通径呗。通径，那还记得吗？应该等于多少？是不是通径？通径，通径，通径的长度应该等于 a 分 之二， b 方，是不是 好，所以第一题呢，我们看看，应该是二啊， a 分 之十一，人家告诉你了，等于一个二分之一，然后呢，通径，通径就是二啊，不对，就是长轴加上通径，通，通径就是什么？ a 分 之二， b 方等于一个七。 好啊，如果看能不能用顿减法，顿减法 a 等于二的时候啊，不对，这里是不是应该是 a 等于二？可以啊， c 等于一， b 呢？等于三呗。 啊，看看可不可以，这里是 a 等于二十四啊， b 等于一哎， b， b 等于啊啊，应该是等于三 啊， c 等于一的话， b 以 b 方等于三，刚好可以啊，正弦法啊，所以 a 是 等于二，所以 c 呢，是等于一个一的， 所以 b 方是不是应该是等于个三， b 等于根三啊，所以椭圆的方程应该是 x 方除以四，加上一个什么 y 方除以三等于个一？好，第一题没问题啊，我们看看应该可以啊。嗯， 来我们看看第二个，他说是什么呀？求 ab 和 cd 的 曲值范围。 ab 和 cd 的 曲值范围。所以第一个 ab 的 斜率为零的时候是不是已经算出来了？所以呢，应该是我们算第二个 a b 的 斜率不为零的时候，不为零的话，然后呢，右过横过的定点是什么呀？是 x 轴上的右角点，所以我们应该什么呀？是你的话是正射直线还是反射直线？反射会方便一些。为什么？因为零的时候是不是已经讨论出来了？所以呢，我们反射直线会好一些啊， 但你要正射呢？也可以，但是可能公这个计算量会大一点点啊， 计算量会大一点点。好好交于 ab， 这是 a， 这是 b 呗。啊，这边是 c 和 d 呗，交于 c 和 d， 两条直线是互相垂直的，互相垂直啊， 好，求 ab 和 cd 的 曲值范围。那我们把弦长算出来不就行了？把弦长算出来不就行了？怎么算弦长？弦长？刚才我们的公式说了，如果是正射直线的话呢，就是一加 k 方，什么 x 一 x 二是吧？如果是反射直线呢？是一加上一个什么 t 方，然后呢？ y 一 减 y 二，是不是 啊？好，刚才我们说了，反射直线会好一些啊。第一个，反射直线不需要讨论，讨论的时候，你看 ab 为零的时候水平的时候我们已经呢算过了啊，所以呢，我们反射直线， 反射反射，所以第二个，嗯，当然也要讨论一下啊，这个讨论的步骤是不能少的啊。第一，当 ab 和 cd 一个水平一个数值的时候，是不是一水平一数值 十？那不就是什么 ab 加 cd 吗？是等于七啊， 加 c d 等于个七。好，第二个啊，第一种情况，第二种情况。第二种情况是是 ab 呗，我们刚才说了要反射啊，是 ab x 等于一个什么 t y 加上一个啊，顶点是多少？是不是一啊？是一啊，加上个一呗，这样的话 cd 是 不是也出来了？因为它们是互相垂直的呀，所以 cd 应该就是 x 等于一个负的 t 分 之一外再加上一个一 好搞完之后那应该怎么办？直接和这个椭圆点列啊，算出，我们先把引点定义给它整出来啊， x 方除一个四加上什么外方除一个三等于个一，把它写完，一般是 t y 减 x 加上一个一等于个零。是不是啊，写完了一般是这里连力呢。我不写连力了啊，你可以自己连啊，连力 得好。后面我们是什么呀，是不是削 x 留 y 啊？所以下面应该是 y 一 加 y 二，千万不要搞错了，你直接摸一个 x 一 加 x 二出来，不合逻辑，懂了吗？一定要把这些基本的基础 内在的逻辑关系搞清楚啊，你说小于 x 嘛，是不是还乘 a y 啊，所以应该是 y 一 y 二的了。回答啊，啊， y 一 加 y 二等于啥？等于 a 方大 a 方， b 方大 b 方啊， 反射啊，不用讨论了，其实做大题的话还是要讨论一下啊。做大题啊，那两个数字和是等于七怎么来的哈？我，我瞪眼法瞪出来的啊，这里呢，你看 ab 水平的时候 ab 斜率为零，那不就是这条吗？这不是长轴吗？ 这个它垂直，那不叫通经吗？所以 ab 嘛， ab 等于二 a 啊， c d 那 叫通经嘛， a 分 之二平方啊。对，不好意思啊，我没有没有认真看，你说自古这自己讲的啊，没事，我经常留意一下啊， 搞懂没有？二零幺五，这位同学应该应该可以啊。好，所以这个内在的逻辑跟你讲清楚了啊，你可你可千万不能什么 x 加 x 啊，我们是消的，是 x 反射的话消 x 啊，留 y 好， y 的 话应该说好。是不是四倍的梯方？ 我没有看答案，我是真的算的啊。 ok， 这四倍的梯分加上一个三呗。好，上面呢是求谁流水，剩下的负两倍你看是正六。好，我看看 y 求谁流水。 y 加 y 二，是不是它 x t y 加个一，所以 y 一 加 y 二 啊。 y 乘 y 二 x 等于 t t y 加一 x t 啊，四 t 方加三。嗯， y 一 加二 x t 完蛋，搞反了，应该 x 放前面啊。嗯， 顺序不要搞错了， f 大 平方。哎呀，完蛋了，减去一个一啊，等于个零。 哎，把 x 要写成什么呀？ a x 要写成 a x 加 b， y 加 c 的 形式啊。我刚才搞完了，把 d y 放到前面了啊，所以应该是多少打错了啊， 错了错了啊哈，你对对一写啊，千万不要搞错了啊，刚才老师给你表演了一个失误，实际上我真的错错了。所以 y y 是 啥？ y 一 加 y 二应该是四倍的，加上一个三 t 方，四加三 t 方， 四加上一个三 t 方，剩下的呢？负两倍除以负两倍负号是不是还三个符号还剩一个啊？应该是负六 t 啊， 负六 t。 好， 这下对了啊，然后呢，是不是 y 一 乘以 y 二应该等于多少？好，还分母是一样的，四倍的三加上个三 t 方，剩下的，呃，两倍 三乘以常数的平方是以减去分母的一部分。是不含。不含什么呀？不含三的分母的一部分啊，它应该等于多少？负九啊？我直接写个负九啊。 负九负九，负九。 好，那上面是不是就可以写了？应该是四倍的四加上三 t 方，括号 y 方，然后加上一个什么六 t y， 然后减去一个九等于零。这样的话呢，我们就把连立的方程是不是也可以写出来了？连立的方程写出来了，好吧，好，不要搞错了啊。 好，应该怎么办啊？还有要不要写对他，其实对他不用写。为什么？因为他经过的是什么啊？这个点。但是呢，我们还是写一下，我们把这个流程不能忘了啊，不能忘， 所以这个对他是对他 y， 为什么对他 y？ 因为是消掉的 x 留了个 y， 是 吧？所以对他，所以你写个对他啊。我为什么写个 y？ 为了让你什么区分一下啊？所以应该是是四倍的 a 风 b 方，然后大 b 方，然后大 a 方啊，大 a 方就是一，我就没写了。然后那分母的一部分分母，分母是整体啊，然后再减去乘数啊，应该是大零。是不是很大零的呀？你看看 是不是很大零啊？好，嗯，然后我们接下来的呢，写斜长呗，斜长啊，斜长的话所以 ab 呗， 所以 ab 的 弦长。因为我们是反射的直线，所以应该就是一加上一个 t 方啊，一加上一个 t 方，然后呢 y 一 减 y 二， 对不对？那么把 y 一 和 y 二呢啊，翻译一下，所以应该是根号下 y 加上一个 t 方，然后再乘以根号下 y 一 加 y 二，括号的平方减去一个四倍的 y 一 为二， 在数学上还是要多写两步啊，这样的话，为什么？因为你如果后面就算算错了，也是有过程分的啊。哈，如果说你算对了，那没得说，因为算错了，过程分没有了啊。 好，那我们直接把它带进去吧。这下可以带了啊，我们带的话是不是应该是根号？是这塔把它带进去啊？这里没有问题啊，然后把分母把它写出来就可以了， 是不是应该是，你看如果记得公式的话，后面就非常简单啊。根号对它是不是根号下三十啊？四乘以四乘以三，这应该等于多少？四十一，十六，四十八，四十八，后面是不是还可以约一个三？ 四十八乘以，后面应该是可以提个三出来，应该是提分加上一个一，好，有没有问题啊？下面呢，就是分母的一部分，应该是四加上一个什么三提分。好，我们把它化解一下。 三十一，十二，后面是不是可以开个十二出来？对，你开个十二 t 问号加一加 t 方是不是也可以开出来？ t 方加上一个一 啊？应该是四加上一个什么三 t 方好。 ab 是 不是出来了？ cd 还要不要？没有 cd 不 需要 cd 是 不是？同理，是不是可以算出 cd 啊？ 同理，我们 cd 这应该是把 t 改回来负 t 方分之一，是不是？所以 cd 的 话应该等于。嗯，十二倍的负 t 方分之一啊， 十二倍的括号负号我就不用学了啊。说 t 方分之一的平方加上一个一啊，这是上面啊，下面的话应该是四，加上一个什么三乘以什么？ t 分 之一？括号的平方，我们上下同时乘一个 t 方，所以上面应该是十二倍的， 所以上面应该是十二倍的括号。嗯， t 一 加 t 方啊， 十二倍的一加上一个什么梯方，下面呢？是不是应该是四倍的梯方加上一个三。好，有没有问题？他们是倒过来了啊。四倍的梯方加上，嗯，好，没问题啊。然后呢，我们把两个相加呗， ab 和 cd， ab 和 cd 相加啊。 ab 和 cd 相加，我看看写哪条。哎呀，真没写好，没有写好， 整体放这里下， 这样的话会不会好一下？ 好，然后 a、 b 加 c、 d， 所以 我们就知道。所以 a、 b 加上一个什么 c、 d。 那 就把它们直接凶，是不是要通风啊，通一下风啊， 直接先加进来吧。写不通啊，所以四加上一个是吧？三， t 方上面呢？十二倍的括号， t 方加上一个一，再加上什么？四倍的 t 方加三，上面是不是可以提个公式啊？ 好，下面我们把公式提出来。嗯，然后分母相加就可以了。要分，所以应该是等于一个十二倍的括号 t 方加上一个一啊，然后乘以 四倍的三替分乘以括号，四倍的替分乘以三。上面的话，嗯，是不是应该是七倍的替分加上一个七啊？或者说直接提出来也可以啊。 好，完了，这什么四次比四次，四次比四次的话，是你的话怎么办呢？ 应该变成多少？是不是变成那个八十七倍的啊？八十四括号， t 方加上一个一括号的平方，下面呢是四 三 t 方乘以什么呀？嗯，四倍的平方，四四 t 方加上个三。好，算这个的什么呀？取值范围啊，算这个取值范围啊。人家说的是取值范围啊，如果说要算最小值的话呢啊，你能不能看出来 小，小于等于二？算最小值的话是不是可以用基本不等式啊？但是我们要算的范围的话呢？啊，这样算基本不等式还是不好。 如果说只要算最小值啊，我改一下题啊，这里有一个很好的运算技巧啊，如果只要 算最小，那题目它有可能只算最小，你能不能看出来？你看这个分母是 a 和 b， 是 不是小于等于四分之一倍的 a 加 b cos 平方，大家看看如果它们相加的话，是不是刚好可以和上面的替方加一，是不是可以约掉？能不能看出来？可不可以看出来？ 嗯，它们是。嗯，我把红色的写在这里啊。写在哪里啊？写在这边吧写在这边啊。 是不是 ab 小 于等于四分之一倍的括号， a 加 b 括号的平方基本不等式啊？好，如果说我们只要算最小，所以这个是不是小于等于啊？然后它在分母上是不是大于等于分母不变。 t 方加上一个一括号的平方，下面是不是应该是四分之一倍的括号？呃，他们相加是不是应该是四加三 t 方加上一个什么四 t 方加三括号的平方， 能不能看出来？所以这个时候呢，我们就可以直接把最小值算出来，能不能看出来上面是不是 t 七 t 方加个 t 啊？把 t 提出来 是不是应该是四分之七倍的什么 t 方加一括号的平方，这个数刚好跟他说明圆掉，所以倒过来的话应该多少啊？乘一个七分之四，所以应该是。嗯，所以应该多少？所以应该是七分之 七分之八四四四四四，提到上面的话，上面是八十二，完了，八十四 那个算下面应该是多少是不是？应该是四七的话，应该是四分之四十九，是不是啊？四十九把它倒过来的话，四十九，分之 七分之四十九，四十九乘以七啊。把四四提到上面的话四分之四十九， 所以应该是等于一个多少，是不是八十四。上面还这两个可以约掉，这里应该是 七倍的括号 t 方加一括号的平方是不是应该是七的平方加它的平方应该四十九，所以现在八十四除以一个什么四分之四十九， 对不对？四四分之四十九能不能约啊？好像可以约掉，可以约掉一个七啊。七，所以下面应该是七分之四十四十八， 所以应该是等于一个八十四乘以四十九，分之四，应该等于一个什么七分之四十八。后面就不写这么多了啊。七分之四十八啊。 好，如果说只要算最小值的话呢？我们这样的话是不是就可以直用？是很麻哈，很麻烦啊。只算最小值的话。所以这里为什么要这么说呢？希望你能够看出来。哎，他们两个相加刚好可以提个什么替分， 可以提个七出来，是替分加个一，这样的话一步就可以到位。当前简单自己写啊。当前简单两个相等的时候，当前简单 四加三 t 方等于一个什么四 t 方加三十啊，可以把它解出来啊。 t t 等于多少？ t t 应该等于正负一的时候， g t 等于正负一十。去的好，这次呢？如果算最小，但是我们要算的什么重要取的范围啊？嗯， 有可能这个出题人想为难你，想算这个范围，算范围的话呢，那不就是设计了我们最基本的是吧？哎，上面是四次，下面也是四次，四次比四次的时候呢？前面跟大家讲过一定要把什么最简洁的部分简，简洁， 简洁，是不是它的部分设为一个位置数啊？设为一个单独位置数，这样的话大家看看第二个，我们如果求范围 把整体的部分呢？设为一个简单简洁的部分，但它有可能在上面，可能在下面啊，没所谓，就把这个平方 t 方加一，我们设它为啊 u 或者说 x 都可以的零， 这个 u 等于一个。什么 t 方加个一， t 方加一 u 的 范围是不是可以算出来应该是 t 可不可以为零啊？应该大于一是吧？ u 应该大于一 右，它应该是属于一到正无穷，不能等于一啊，因为一呢，我们单独讨论过了。好，那我们的原式是不是就可以改写一下？所以 ab 加 cd， 所以 ab 加上一个什么 cd 是 不是要等于八十四倍的右方？ 上面是 u 啊？下面呢？呃，下面是什么呀？嗯啊，因为三 u， 因为 u 等于梯方加一，下面多少是不是三右方加个一啊？右方加一嘛，两边乘个三三，梯方加三是不是应该是三右加个一啊？ 好，这边后面呢，是不是四 u 减个一啊？四 u 减一啊？ 好，来，我们再把它合在一起啊。大家下面来打开，是不是八十四倍的右方下面应该是多少？三十十二倍的右方，一个是加四，一个是减，一个是加上一个右，然后减去一个一，好，有没有问题？十二倍的右方加一个右，嗯，好，右能不能为零呢 啊？右不为零啊，所以上下我们同出一个右方，右不为零啊，同出右右方， 所以应该是等于一个八十四除以下面一个是十二，加上一个多少？六分之一减去一个，是吧？六方分之一好，下面是个什么？下面是不是一个二次函数？下面是个二次函数，对不对？二次函数的话，我们令 六分之一等于什么？等于 x， 是 不是下面应该是负 x 方？写哪里去啊？写到左边去了啊， 所以应该是不是等于一个八十四除以一个多少啊？十二加上一个 x， 减去一个什么 x 方，但这个 x 的 范围是多少？ u 分 之一的话，因为这里因为 u u 的 范围是一到正无穷，所以 u 分 之一呢？是不是应该是零到一啊？所以开口是往下的一个二次函数对称轴是多少？负的二分之一 x 应该等于二分之一啊。出去的好，一个是零，一个是一，刚好是可以对称的啊。一个是零，一个是一 好，我们要算的是什么值啊？算的是范围啊，没所谓。最值应该是在二分之一处取啊，或者说在零的零处取，把零往里面一带刚好啦，这也是零，十二除以八十四是七七啦，是个开去减啊，所以应该是等于十七啊，最小值是应该是刚好是可以取个七， 所以他的范围应该是属于啥？属于我们可以算的出来啊，下面应该是八十四。 取零的时候七是最大还是最小嘞啊？分母，分母最大，这里是取最小，那应该是最大，七应该是右边啊，所以这边应该多少是不是二分之一啊。把二分之一带进去呗。 应该是八十四除以一个十二加二分之一减去一个四分之一应该是十二加上一个什么四分之一，所以应该是四分之四十九。哦是一样的这上面啊所以应该是八十四除以一个什么四分之四十九。这边呢应该是八十四除以一个十二。是开局减，所以应该等于多少？ 是不是应该是八十四还是应该是七开局减啊。好，有没有问题？应该没问题啊。 咳也没有问题。所以最后应该是什么？中上是不是自己写啊？中上 所以这个方法应该多少这个七是不是可以取得啊？可以取得的啊所以两边都是 b 区间一个是多少一个是七分之四十八一个是七。 好吧好跟大家讲的两种可能性啊。第一种比较简单就可以直接了用基本不等式哎。把分母啊小于等于他就可以大于等于他可以直接算出来。第二个呢把它转化为什么呀啊二次四次比四次 这种十次比十次怎么处理呢？把分母或者分子呢简单简单简洁的部分整体设为一个位置数，你看 t 方加个一块的平方就把它设为一个整体设为一个位置数设为右右方，下面也可以用右来表示。所以上下一同组的话可以转化为一个二次函数啊。二次函数对不对？ 然后呢我们再把二次函数一算哦就可以把它范围算出来啊，有没有问题啊没有问题的话我们继续啊。所以 其实这个题呢你说难吗？它不难啊，主要是你要把引理定你搞懂了，把把这什么，把这个行程公式来。 那简直就是带公式吧。啊。没什么，可能后面的计算可能会稍微复杂一点点。啊？稍微复杂一点点其实还好吧啊，圆锥曲线大题应该都是差不多这个计算难度啊。

好漫长的秋学期终于要结束了啊，我们来看一下。呃，这周五乱一中高二哈数学周考的试卷啊，我们来看一下最后一题， 好啊，第十九题啊，已知，抛物线 c y 方等于二 p x， 它的焦点为 f 啊， 那焦点 f f 的 坐标就二分之屁零啊。过点 f 的 直线 l e 与 c 交于 a b 两点，且向量 o a 啊，乘上向量 o b 等于负三。呃，我们大概画个图，对吧？长这样，这是 f， 这是 a， 这是 b， 那 肯定适而不求啊， a 点是 x y 一， b 点是 x 二 y 二，对吧？好，那向量 o， 这是 o 点啊， x x 二加上 y 一 y 二， 对吧，它等于负三，好，呃，那我们肯定接下来要把 x x 二和 y 一 y 二给它表示出来，对不对？好了，那肯定是年历啊，直线方程与这个抛物线方程 啊，得到一个什么关于 x 或者 y 的 一元二次方程，然后我们用韦达定律，对不对？把 x x 二 y 加 y 一 y 二啊，给它表示出来，好，来看一下。 呃，这里啊，我们看啊，因为你这个直线，它与抛物线啊，它相交于两个点， 对吧？啊，然后你直线又不可能是水平的，对不对？直线水平的时候，你与抛物线只交于一个点，所以我们就是采用反射法啊，我们设 l 一 啊，是 x 等于 y 加上二分之 p， 对 吧？然后年历啊，得到关于 y 的 方程啊，所以得到 y 一 乘上 y 二，那所以 x 一 乘上 x 二呢？ 呃，它就是 y 一 乘 y 二的平方啊，再除以四 p 方，对不对？好，这样就得到了 x c l 啊， 和 y 一 乘 y， 然后你给它蹬进去，得到这样一个式子啊，所以 p 方就等于四，那 p 是 不是等于正负二呢？不是，因为我们题目讲了 p 是 大于零的，对不对？ p 大 于零啊，那所以 p 就 等于二啊，所以这个抛物线 c 的 方程啊，就是 y 方啊，等于啊，这个四 x 啊，这就第一问啊，非常的简单。好，那接下来我们来看一下这下面的这个第二问。若直线 l 一 与 c 的 准线交于点 p， 那 你这个我们刚刚算出来， p 等于二，那二分之 p 就是 一，它的准线应该是 x 等于负一，就是这条线，对吧？好说，直线 l 一 与它交于点 p 啊，那这一点就是点 p， 好，然后呢，我们裹点 p 呢，再做一条直线，它是 l 二啊，然后与这个抛物线交于 m 点和 n 点，对不对？且直线 l 一 l 二啊，它的且斜角是互补的，啥叫且斜角互补呢？我们可以看一下， 你比如说这条直线，它的这是 r 八，对吧？好，那这时候我们做一条关于这个数值虚线啊，对称的直线，你看这个角是 r 八，所以，嗯， 所以这个 l 的 倾斜角是不是一百八十度减法，对吧？一百八十度减 r 加上这个 r 啊，是不是等于一百八十度，对不对？这时候我们说 l e l 啊，它关于这个 啊，啊， l e l 啊，它的倾斜角互补，所以倾斜角互补的意思就是说 l e l 这两条直线啊，关于这个数值虚线啊，它是左右对称的，对不对啊？或者说它们俩的斜率， 你看，你比如说你的斜率是正二，那你的斜率是不是负二，对吧？啊？你们俩的斜率相加为零， 对吧？好，那我们知道题目的意思之后，我们继续往下看啊。第一问，让我们求直线 l 啊过的定点的坐标啊，那这也是这个常规题啊。呃，我们根据第一问的话，你先把 l 一 与直线啊，在 l 一 这个直线我们现在是不是已经有了， 对吧？ x 等于 m， 好， 我直接念啊， x 等于 m， y 加二分之 p 就 加一，然后在这个直线中当中，我们念 x 等于负一，是不是得到 y， 这样的话，我们就得到了这个动点 p， 它的坐标，对不对？动点 p 的 坐标，好， 你知道动点 p 的 坐标了之后，然后我们说，呃， l e 的 斜率啊，它， 你看你，你把它改一下，把它改成 y， 对 吧？ y 就 等于 x 减一除以 m， 所以 l 一 的斜率它是 m 分 之一，那 l 的 斜率应该是负 m 分 之一，对不对？负 m 分 之一， 对吧？我们刚才啊，已经得出结论，你们俩这个斜率相加应该为零嘛，对不对？好，所以 l 的 斜率它应该是负根部分之一，所以 l 我 们用点斜式表示一下，对吧？整理一下就得到它，那所以我们看，当 y 等于零的时候， x 等于负三啊， 对吧？ l 过定点啊，负三零点啊。这道题也非常简单啊，然后接下来是第三问啊，第三问的话，趣乐系啊，我给同学们讲过啊，这个题目对不对啊？ i m b n 四点共圆，呃，这这，我们说你这四点共圆考察什么呢？一个圆上面有四个点， 对吧？ a， b， c， d， 哎，稍等一下。哎，这电脑怎么弹广告？怎么了？吓死我了，我重新画一下啊， a b 随便画 c， d 啊，不好意思啊，刚才电脑弹后弹广告，好， 那你四点是共圆的，说明对角啊，阿法和贝塔相加是一百八十度，对吧？嗯，这是圆周角的性质啊，就是你，你同弧所对的两个圆周角，它互补嘛， 对不对？就如果在一条弦的左右两边，如果在同一边，它相等，对吧？在 左右两边的话啊，你一条弦所对应的两个角互补，这是初中学的，对不对？好了，这道题是不是考察对角互补了？这不是， 对吧？你这里把它们四个如果连起来，你要想想求对角的话，你会发现不太好求，因为这是动值线，对吧？这是动值线，所以我们还有第二个思路啊，第二个思路，我们就是找这个圆周角，对不对？好， 那，那看是不是有有有，那个哪一条啊？线是直径，那这时候我们就采用瞪眼法，哈哈，对吧？采用瞪眼法，哎，我们看这个角像直角，对不对？那是不是这个角也是直角呢？ 对吧？这个角也是直角呢，对吧？有弦， a b 是 直径，对不对啊？ 那如果啊，这个角 a m b 啊，角 a m b 啊，它都是九十度也可以，为什么呢？你要画一个圆，这是直径啊，你看，这是 a， 这是 b， 假如这是 m， 假如这是 a， 对 吧？你这样就符合要求了，这样就符合要求了，对不对啊？因为我们说直径所对的圆周角是九十度，这是圆周角定的推论，对吧？好，那所以我们就大胆的算一下， 那你想证明 am 与这个这个角是九十度，那你就要证明 am 与 bm 它们两这两条直线相互垂直， 是不是啊？证明，证明它们俩相互垂直，相互垂直，那就是 k am 乘上 kbm， 它的斜率的成绩是负一，你就证明它就可以了。好，呃，然后接下来我们来算一算啊， 设点 m 是 x 三， y 三，点 a 是 x 四， y 四，好，然后 l 二已经表示出来了，对吧？所以连立啊，抛物线的方程和 l 二， 好，然后我们就得到一一个这样式子啊，然后你 y 三 y 四啊，不对，点 m 点 a 不 都在上面吗？所以我们把 y 三带进去肯定是扯离的，对吧？所以 k m 它应该等于，嗯，等于什么？你看 k a m 它就你看 a 是 x y 一 m 是 x 三 y 三，对吧？那 k a m 就是 y 三减 y 一 除以 x 三减 x 一， 然后 x， 嗯，你，你这个 y 方不是等于 四 x 嘛。所以 x 是 y 方，除以四，对吧？好，那所以 x 三就是 y 三的平方除以四啊， x 一 是 y 一 的平方除以四，这个式子给它算一下啊，算出来是这个东西，对吧？那，嗯，同理， 开 b m 也是也是一样的算法，对吧？开 b m， 那 肯定是，嗯，这个 y 三减 y 二啊，等于 x 三啊，除以 x 三减 x 二，对不对？然后咔咔一顿算，最后算出来是它啊，然后你们两个相乘， 那就这两个相乘，相乘之后是这个东西，对吧？啊，相乘是，是它啊，是它，嗯，我们来看看啊，然后 根据我们这个前面算的，我们知道 y 加 y 等于二， pm p 是 等于二，那所以这是四 m， 哎，等一下， 这什么鬼啊？好，这个，嗯，所以这是，哎，怎么不动了？不好意思啊， 软件出了一点意外，哎，画面咋回事？哎，等一下，我这笔好像有点问题 哎，不让我写字了。怎么搞的，服了，怎么还这样，怎么搞的， 行了啊，哎，好久没录啊，哈哈哈。呃，软件用的不太习惯了。 y 一 加 y 二，这不是四 m 吗？对吧？所以这个， 这，这个地方就改成四 m， y 乘外是是负二的平方，对吧？那不就负四吗？就这地方改成负四，对不对？好，然后，那，那，那你这个，嗯，你这里我们知道 y 三，你看，通过它我们知道，那我放大一点啊，通过它，我们知道 y 三的平方加上四 m， y 三等于负十二，对吧？然后，所以这个是负十二，然后减四，对吧？刚好是十六除以负十六等于负一， 对不对？好，所以我们就证明了什么， a m 与 b b m， 它它是相互垂直的， 相互垂直的，相互垂直的说明，说明你这个 a b 为直径，对吧？你 m 刚好在这个圆上，对不对？直径所对的圆周角是九十度嘛？好，然后，同理啊，那你要是把这里 把点 a 带进去了，你会发现计算过程不是一样的吗？对吧？你，你 k i n 算出来了，肯定，那不就是四除以 y 三加 y 二吗？ 啊，不是，不是四除以，你，你 n， 这不是 y 四吗？ y 四加 y 一， 对不对？然后开 b m， 那 这是四除以 y 四加 y 二，对吧？ 好，那所以呢，你们俩相乘，我们咔咔一顿算，算出来，发现也是负一对不对，说明啊，这个，呃，以 a b 为直径的话，对吧？你点 a 啊，它也在这个圆上，对不对？它也在圆上啊，说明点 m 点 n 均在以 a b 为直径的圆上，对吧？啊？也就是说 a b m a 四点共圆啊，这道题就做完了。

ok， 同学们，今天我们来讲一道圆和直线的题目，那么这种题目如何分析，如何进行判断呢？今天我们用真题思维我们系统的来讲一下，高二的同学，你们已经学完直线和圆了，高三的同学，你们是不是已经开始复习直线和圆了？ 来我们看一下。首先这个题告诉了我们一条直线，告诉了我们一个圆的方程，有一些题目它要求圆的方程，这个题目很明显它是比较偏基础的， 给了一个什么一个直线和圆的位置关系，首先要告诉什么？要判断他们之间的关系，如果相交要求弦长，如果不相交，我们还要求出来一个他们的位置关系，但是后面既然这么问了， 我们做题做的多了，你就会发现，他只要这么问，他感觉这个题就是相交的，如果说你没有思路，那么我们在这里就应该写上相交。 ok， 我 们再来求这个弦长 来，那么这个题目首先给了我们一个圆的一般方程对不对？那么想我们把圆的一般方程我们要想系统的去求解，一般情况下老师都会推荐大家干什么，很聪明，就是化成标准方程，所以说圆的标准方程就是把半径和圆心求出来，对不对？那么这个半径和圆心是多少？ 是不是一和负二啊？所以说我们带入到我们的圆的标准方程里面，就是 x 减一的平方，加上 y 加二，括起来的平方等于九，所以说半径就是三，对不对？来我们标准方程有了，那么我们的圆心是多少？是不是一负二，我们的半径就等于三？ ok， 我 们有了这个式子之后，我们要看什么？ 我们要看是否相交，也就是求我们的位置关系，如果相交我们要求弦长来，同学们，什么叫弦长？是不是我这一个的距离对不对？所以说我们现在要怎么求弦长？首先我们由圆心到直线的距离， 所以说我们这里是可以求出来，这里是半径，那么我这个弦长，我是不是可以求这一部分？是等于我勾股定律对不对？我勾股定律就可以求出来，那么我弦长就是这一部分的两倍， 所以说我现在就可以求出来我整个的弦长来，我现在应该干什么？应该用点到直线的距离来求，所以说直线我知道吗？直线知道，圆心知道吗？圆心也知道用圆心到直线的距离，所以说 整体就等于 d， 等于我们直接代入公式一，减去负二，括起来加一，然后绝对值比上根号下 一的平方，加上负一的平方，等于我们直接算一下，等于四，比上根号二，我们根号二乘上去就是二分之，根号二就等于对二倍根号二，对不对？来， 现在我们有了这个距离了，来，我们看一下这个距离是不是要比半径小，所以说它就是这里要小于我们的三，所以说我们就得到了是一个相交的关系。 ok， 既然是相交的关系，我们要求的是弦长，就要公补定里就可以了， 那么弦长就等于勾股定律的两倍，对吧？就是这一部分的两倍，所以说我们直接乘一个二，再用勾股定律半径是因为三三的平方减去，这是二倍，根号二扩起来的平方等于多少？等于二倍的根号，九减八就等于二， 所以说这个题最后就等于二。来第二问说的是什么呢？过点四负一与圆 c 相切的直线方程来相切是什么呢？相切就要找垂直关系对不对？我们这里点到直线的距离应该是等于半径了， 但是这题有一个关键的点，就在于我们要求直线方程必须要考虑什么，也就是考虑斜率来，如果说我们垂直下来，我们垂直于 x 轴，那么我们的斜率是不存在的，所以说一定要考虑一个斜率存不存在。 来，我们现在要过我们的四负一，四负一这个点，所以说我们当我们的 k 不 存在的时候，我们写第一种情况， k 不 存在， ok， k 不 存在的时候，我们的 x 应该是等于我们的横坐标，所以说 x 就 等于四，那么的圆心刚才也求出来了，是一负二对不对？圆心有了，我们看一下到直线的距离，也就是到这个 x 等于四， 我们要满足我们的半径等于三，也就是四减一，等于三，等于二，所以说它是满足的，所以说满足相切条件来。第二种情况， 当 k 存在的情况下，你想当 k 存在的时候，我们就要假设我们的方程，因为我们现在方程不知道对不对？我们要求直线方程，所以说 y 加一就等于 k 倍的 x 减四，我们要把这个直线方程，因为你想这样写的话，我们没有办法带入直线方程里面，我们也可以把它换成一个只有 y 的， 或者是把它写在一边来，我们先写把括号展开，这里就是 k x， 然后减 y， 减四 k， 然后减一等于零，这就是我们最后的直线方程。 来，我们现在要求什么？要求圆心到直线的距离来，为什么要求圆心到直线的距离？看到没？我们要求的是相切，所以说我们要求完点圆心到直线的距离，看一看是否等于三，如果说等于三呢？那么就说明是相切了。所以说我们直接代入到公式， k 一 减去负二， 然后减去四， k 减一绝对值比上我们的 k 方加一点到直线的距离。公式如果不懂，回去看一看，一定要认真起来 来，等于多少呢？等于负三， k 加一的绝对值比上根号下 k 方加一等于三， ok， 这就是我们点到直线距离，你会发现三正好等于半径，对不对？所以说我们可以在这里求得什么？我们可以在这一个部分求出来我们的 k， 因为相切，所以说我们的距离是等于三，所以说这样我们就可以求出来 k 了，所以说这里直接 k 求一下， ok， 我 们直接把这一部分我们乘过来，然后括起来的平方，我们就可以展开这个 k， 也就是求解一个一元二次方程，所以说最终的 k 算完了之后，等于负的三分之四。来， 这样我们写完了吗？记住，没有写完，我们问的是切线方程，所以说把这个 k 带入到我们的切线方程里，也就是带入到这个里面， ok， 带入到这个里面，还写完了吗？记住，同学，没有写完。我们问的是什么？我们问的是切线方程，所以说我们要把这个切线方程第一种情况和第二种情况的答话写全， ok， 这个就是完整的答案，那么这个题比较基础来，如果说不会的同学们可以后台私信给我，我们再系统的讲一讲。

各位高二的小伙伴大家好，咱们的圆锥曲线第二波福利要来了，之前的圆锥曲线一周两练呢，老赵在更新的过程中，把一到二十练呢给大家整成合集发在主页上了， 发现跟着练的小伙伴还是非常多的。然后截止到这一周呢，咱们就把这一学期一周两练的二十一到四十就全部跟完了。所以说接下来二十一到四十的整个讲义，包括视频的合集也会陆续发给大家，有需要的小伙伴呢，老规矩，评论区下你留言，一周两练，咱们一起练起来！

好，各位同学，大家好，我是高中数学高老师，今天我们讲数列当中的并向求和法。首先看题有这样一个通项，他问我们 a 一 加二一直加到 a 二零一九的结果是多少？ 那么在这里啊，老师给大家提前总结一下，如果是出现负一的 n 次密的，像这种，他一定是对他的正负号进行一个调节，也许产生的结果是正负正负或者是负正负正取决于他的指数啊。 那这个题啊，怎么去做呢？很简单，只要是你连续的负值，比方说你求 a 一， 求 a 二，又发现 a 一 和 a 二合在一起之后呢，他就是一个 常数三，这三是谁呢？就是 n 前面这个倍数啊，以此类推， a 三 a a 四呢？隔壁在一起的又是三，那这么一说的话，他这一对一对的，那我就思考了，就是从 a 一 一直加到 a 二零一九，一共有多少对？经过分析之后啊，就二零一九， 可以猜成二乘以一千零九等于一，所以说应该有一千零九对啊， 一千零九对三，所以说最后呢，我们的结果是三乘以一千零九，再加上最后一项单独的这一项，这一项的话就可以带入这个同向公式啊，带入这个值呢就出来了啊，最后最后一合并就可以了。 好，这是第一种方法，其实我们还可以用第二种方法再观察一下这个同向，我认为啊，它是由等差和等比的同向乘积产生的。 那在这里边观察一下后边的一次函数，在我看来，它就是等差的通项公差是三，前面呢是等比的通项，公比是负一，它就符合了我们之前总结过的 a n 等于 b n 乘以 c n， 其中一个是等差的通项，一个是等比的通项，那如果是符合这样的模型的话，我们可以把它叫做叉比模型，它就可以用错位相减求和 啊。所以说这题呢，第二种方法就是可以把它观察出来，它符合了错位相减求和，那就错位相错位相减求和，再去算一下也可以的啊。好，先讲到这里。

好，我们来看一下这次一中啊，高二数学啊，周考填空题的第十三题啊， 这题我个人觉得难度不大啊，最近刚好高一啊，也在学习这个三角函数，刚给高一讲过这个知识点啊，就这种算法。嗯，这个，这道题是一道导数的题目啊，考察这个即值 最值啊，极值最值的问题啊。好，那，那他问啊，函数 f x 等于三，二 x 再加上二倍的 cos 在 零到 pi 上的最小值是什么？那很明显，你上来先求个导啊，求个导到这一步， 很多同学就不会算了，对不对？那实际上很简单嘛，我们说你这个 cos 二 x， 你 是不是可以变成一减去二倍的 cos 平方 x， 然后就到下面一组， 然后接下来给它拆开，之后我们说你就化成了二次函数嘛，它不就这个不就是负四替方再减二 t 再加二嘛，对吧？啊？就把它化成二次函数了，然后看看能不能拆开啊， 能不能拆开，你把负二提出来，这里面是二倍替方再加 t 再减一，然后一二，嗯，一负一交叉相乘，它刚好可以拆开，对不对？拆到下一步，对吧？好， 然后我们说题目说了啊， x 是 这个零到 pi 之间，那三 x 它就是零到一之间，对吧？那所以这个三 x 加一，它是大于零， 对吧？那我们念 f 一 撇 x 大 于等于零，那也就是二倍的三 x 减一，它小于等于零，好，那也就是三 x 小 于等于二分之一，对吧？三 x 小 于等于二分之一，好， 对吧？这是二分之一，那很明显，这是六分之 pi， 这是六分之五 pi， 对 吧？所以啊，满足三 x 小 于零的二分之一的区间，就在零到六分之 pi 和六分之 pi 到六分之五 pi 到 pi 之间， 对吧？也就是说 f x 啊，它在这个零到六分之派是单调递增的，在六分之五派到派上也是单调递增的，对吧？那在中间啊，六分之派到六分之五派之间是单调递减的。根据题目的意思的话，那就先增，再减，再增，大概我们定性地画下它的图像， 对吧？然后他让我们求的是最小值，我们说最小值他一定是，呃，他是不是一定在这个极，一定，是不是就是极小值，不是，对吧？他也可能在端点处，对吧？当然，这里你这个零求不到，如果这道题你把这里改成 b 区间的话，还具有迷惑性一点，对不对？ 好，嗯，那所以我们这时候要比较一下 f 零与 f 六分之五 pi 的 大小，把它们俩都求一下啊，求一下发现，哎，这个 f 六分之五 pi 果然是最小的， 对吧？好，嗯，所以我们说这个 f x 啊，在零到 pi 上的最小值啊，就是这么多啊，这道题就写完了。

我们的同学学习了太多没用的数学知识，反而忽略了对解析底层逻辑的学习。其实呢，很多题目你只要掌握了它的底层分析方法非常的简单。比方说这道关于我们解析几何的综合题， 他说已知圆 o 与 y 轴是相切的，然后呢，误又和这个 y 等于零， x 相切于这个点求圆 o 的 半径。这种题应该怎么来求呢？ 首先大家一定不要吝啬自己的草稿纸，是吧？图像画一下嘛，画了图像之后，我们来分析一下，自然就容易的多。这是我们的 x 轴，这是我们的 y 轴，这是我们的 lon x， 是 不是？ 那这个时候他说有一个圆，又要相切于 y， 又要相切于 lon x， 那 我们简单分析一下，是不是就可以这样子来切，是不是这样来切 啊？但我们画的可能没那么的精准，尽可能调整一下，调整一下啊，大概这样子， 这样来切。那这样来切了之后，我们思考一下，首先既然他相切于这个点，那我这里画一条切线的话，是不是他的公切线啊？这样的话，我画一条线，是不是他的公切线啊？这个大应该没有问题吧？ 这个应该没问题。好，接下来我们再再思考一下，怎么来求这个圆的半径呢？那如果我假设这就是圆心的坐标， 我们把圆心的坐标设出来，圆心的坐标呢？我们就假设是 a 和 b， 是 不是因为它和 y 轴相切，所以这个圆的半径是不是自然就出来了？因为和 y 轴相切，我这样做个垂线，不就刚好是它的半径吗？而这个垂线所代表的不就是它的横坐标吗？所以它的半径 r 就 应该等于 a。 好， 这是我们通过提问的条件，能够非常快速得到的一个信息。那得到信息了之后，要求出这个 a， 我 们就要去建立方程。怎么建立呢？首先第一点， 因为它和这个 y 等于零 x 相切于这个点，相切于这个点的话，这个切线的斜率我们是可以确定的。 因为 y 等于零 x， 它的导函数是等于什么呢？就等于 x 分 之一横坐标。知道了呀，四分之三，所以这里的 k 就 应该等于多少？等于四分之三的导数。三分之四是不是？ 那这个三分之四除了用我们导函数来计算，是不是也可以用圆心 到他这样的一个斜率来计算？因为他们刚好是垂直的嘛？你是切线，那我刚好就垂直啊。既然是垂直的话，那我圆心到这个点的斜率和这个斜率就应该是一个负一的关系。所以呢，我的 b 减去他的 横坐标值，重坐标值也就是零四分之三，再除上什么呢？ a 减去四分之三，乘上这个的三分之四，应该是等于负一，这是我们的第一个条件， 但是有这个条件还不注意，不足以解除 a 和 b 啊。为什么？因为是两个未知数，只有一个方程，两个未知数，一个方程解不出来，还要建立，怎么建立呢？那我们再思考一下，思考什么？就是我这样的一个圆心，再到你这个 切点的这个距离，是不是又应该等于什么？等于半径啊？两点之间的距离吗？两点之间距离刚好，你是切点，那我又应该等于半径。所以我们还有个方程可以通过什么来建立呢？可以通过点到点的距离， 也就是 a 减四分之三的平方，再加上什么，再加上 b 减去零四分之三的平方要等于半径的平方， r 平方， r 平方也就等于什么 a 平方，那它就是二十。 现在基于一式和二式，我们是不是就可以去求出他的 a 的 值了？因为两个圆两个方程，我们具备理论的可信性，大家可以去求一下，求出来的话，我们这里面的 a 其实会有两个值，一个值呢是等于四分之十五，还有一个值呢，是等于多少？是等于十二分之五的， 为什么会有两个值呢？原因是因为我的切线除了有这样一种状态，是等于十二分之五的。为什么会有两个值呢？原因是因为我的切线除了有这样一种状态，是等于十二分之五的。为什么会有两个值呢？原因是因为我的切线除了有状态，我不太好画， 就是这里相切了之后呢？我是这边在他右边切线的右边，然后也是一个相切的状态，但我这里画的画不太好画，大家能理解这个状态就好了，对，他还有这样的一个状态能够满足，所以呢，最终其实就应该是两个答案。好了，本次到这里就结束了。

好，各位朋友们来看绵阳高二期末这个十八题。如果说你用常规方法解析，很难把它算出来，这道题考的是引元模型， 我们不妨设这个 a、 b 档为 c 档，那你想，我们以这边为 x， 这边为 y， 肯定间隙是要减的，对吧？然后这个 b 点坐标，你想它是不是应该是三倍？扩散下斗零斗零， 然后单点坐标是零斗三倍三一下斗零， c 点坐标做个垂线嘛， 这个角，这个角是二分之拍减 c 他 呀，那是不是应该三倍 cos， 在 那加上一乘以 cos 这个角，是吧？ 而这个角是不就是你算出来就应该什么三 a c， 他 斗什么一乘以什么三 c 它吧。道理好了，每个坐标你都能写出来，那你就可以把这个 b、 b、 d 的 法向量好，你就用叉乘法叉乘，同学们自己算一下，算完了结果比较简单，这样一个结果 很好算的。各位好了，算出来之后还差个什么 c m 线了， c m 线了，你也可以写出来，这都不什么难事，只要你设出来之后好了， c m， 同学们也可以自己写，写出来就是这个东西， 然后逗塞在那紧或塞上逗零。好了，你去算这个塞阿尔法。你算完之后，它的表达是非常简洁，就是一除以括号角一加上 四分之一三二 c 的 平方乘以根号，要求它的最小值，它是不是求这个分母的最大值？分母的最大值是不是求这个三二 c， 它 当且它等于一十，也就二十等于九十度， c 它是不是等于四十五度？我想到这已经没有任何难度了。所以 ab 等于什么？三乘以二分之二，好没得说了，第三问 这个第三个，只要你会第二问第三个，很快搞定好了。你刚刚已经算出三 r 等于什么？一除以根号下这么多乘以根号二，他 是不是推出来是不等于二分之二？减倍大是不是等于 cos 倍大？那 cos 倍大你想是不是还有另外一个表达？是，就是这个法向量相乘， 然后 p a b 的 法项 p a b， 各位法项是现成的，就是 a 大 项，对吧？ a 大 项呢？你给它写出来也很简单，括号被它最终 化简，它就等于这个。嗯，朋友们自己写三倍三，最终算完啊。就这样一个九，然后这一坨乘以什么？这个三倍三是它好了，然后它就应该等于这个十字， 你想这两个是不是消掉了？这个是不是消掉了？那是不是就得到求扩散？是不是等于二分之一？二分之二。 哎，说明什么？说明此刻这个加角是四十五度，等于幺，对吧？那也就说 v 就 等于三分之一，乘以二分之一。什么？乘以 二分之三倍？根号这个一个平方乘以三等于四分之九。好，这道题如果你用这个方法事半功倍。好。

抛物线应该是圆锥曲线里面比较简单的一个板块，尤其是抛物线的定义，经常是作为它的入口来跟平面几何进行结合。 所以说我们在做抛物线题的时候，首要考虑的是抛物线的定义问题。来，我们看一下这个题说给了你这样一个抛物线，哎，首先看一次项 决定的焦点位置啊，这应该是一个焦点在 y 轴上的跑过线啊，那他的系数是二，所以直接除以四啊，这也是也是个基本技巧，是吧。等于二分之一，所以这个 a 选项我们可以简单画个图啊， 啊，这是 f 点啊，零二分之一啊， ab 是 抛线的两点，但是没有说在哪里啊，没有说在哪里，只是说是抛线两点， o 为圆点啊， o 为圆点。 嗯，第一个 a f 如果垂直有外走，那垂直，那应该是 比如说 a 点在这里吧，哎，加这就 a 点啊，垂直垂直的话，他说则 af 等于一啊，那这个简单呢， af 如果垂直的话，那说明 这条线就是 y 等于二分之一嘛，是吧，哎，好，那所以我可以解出 a 点坐标啊，那所以 a 点坐标应该是中轴标，就是二分之一了嘛，是吧，横坐标呢？单进去嘛， s 方等于一嘛，所以此时 a 点这个地方应该是一啊，因为你画在右边了嘛，哎，所以 af 呢，等于一，这个是正确的啊，没毛病。第二，若 af 等于二， 点到焦点距离等于二啊，立马想到什么，立马想到定义，是吧，立马想到定义，那就将就着这个图吧，重新画一个吧，重新画一个， 比如这是 a 点，这是 f 点，说 af 等于二，哎，那这个准线画出来，所以这段也等于二，这是 a 撇吧。 那这段呢？这段是二分之一，是吧？哎，因为这是 y， 等于负二分之一吧，它是准线。嗯，那这段呢？这段应该是二减二分之一，应该等于二分之三。那所以这个 a 点又写出来了， 这段应该是中轴标，中轴标是二分之三，那横坐标呢？代入 x 方，等于二，乘以二分之三等于三，所以 x 等于根绕三。哎，所以 x 等于根绕三。 好，要求 a o f 的 面积， a o f， 这是 o 点啊。那 s 三角形 a o f， 那 应该等于二分之一 乘以 o f， o f 是 底边吗？对不对啊？再乘以高啊，高是谁啊？高，其实就是这个高吧。哎，对，做垂线。哎，其实就是 a 点的横坐标，是吧，所以得二分之一， o f 等于二分之一 乘以杠三，等于四分之杠三。所以这个 b 选项也是正确的啊，也正确的。然后 c 选项， c 选项说 ab 的 长度最小是二， 那这个题应该很好判断为什么？因为 ab 只是说是任意两点，没有说什么特殊位置，所以 ab 的 长度理论上可以趋近于零的， 也不存在最小值的，是吧？那这个就就排除掉了啊，就排除掉了，然后看 d 选项好， d 选项应该是工作量稍微大一点点啊。说 a u b 等于九十度，九十度说明垂直啊，那再再再画一个 是吧？那这个是个，应该是个直角三角形了，是吧？哎，那这个是可以设下坐标吗？哎， a 点设为 x 一， y 看见九十度，自然想到向量，或者说是斜率之积等于负一，是吧？所以你用向量也可以啊，你用斜率之积等于负一也可以，所以我自然会想到， 如果用项链的话，那就项链 o a 乘以项链 o b 应该等于零的，那也就是 x 一 x 二加 y 一 y 二应该等于零的啊，应该等于零的， 那对于抛线来讲，比起椭圆和双曲线来讲，它有一个特殊之处，就是我能直观的写出 x y 的 关系，你看，这不几意思，那 x 一 的平方呢，那应该就等于二 y 一 x 二平方呢，那应该等于二 y 二， 那如果说我两边相乘呢，那就 x 一 乘以 x 二的平方，那应该等于四倍的 y 一 y 二， 那由这个式子加上这个式子，我其实就可以几个方程组的，是不是？哎，可以几个方程组的， x 一 x 二 y 二应该是相反的，哎，所以我直接带进去不就可以了，对不对？带进去之后，但是由此可见，但是 y 一 y 二应该是正的呀，对吧？因为你自此时抛物线开过，方向向上嘛，对吧？哎，所以我可以把 y 一 y 二带进去之后，我直接可以解除谁 y 一 y 二的 平方等于四倍的 y y 二，对吧？哎呀，所以 y y 二应该是 等于四的啊，等于四的，好，下面求 o a 乘 o b， 那 这是两个弦长了， o a 乘 o b， 那应该等于根绕下 x 一 的平方加 y 一 的平方，再乘以根绕下 x 二平方加 y 二平方，那我就可以直接换掉了。 我把 x 一 的平方换成谁？换成二 y 一， 是吧？哎，所以这里面变成了二 y 一 加 y 一 的平方乘以二 y 二 加 y 的 平方，哎，然后把它乘开，乘进去，它乘它应该是四 y 一 y 二， 然后再乘它，那应该是二 y 一 y 平方，它乘它应该是二 y 二 y 平方，所以我可以可以提个谁啊？可以提个二倍的 y 一 y 二里面有个 y 一 加 y 二。好，最后一项，那就是 y 一 y 二的平方， 是吧？我可以直接代入了，因为你等于四嘛。那这四四一十六，四四一十六，所以应该是三十二，这二四得八加八倍的 y 一 加 y 二，那根据均值不等式，大于等于根号下三十二加八乘以二倍的 根号下应该是 y 一 乘 y 二。哎， y 一 乘 y 二，带进去应该是根号六十四，应该等于八。当 y 一 等于 y 的 时候去等号。 所以这个第四个选项应该也不是太难啊，就是你敢不敢算，你敢不敢带基本的弦长公式，你敢不敢把 x y 之间的关系表示出来，进行转化，进行消元。 好，这个抛物线的题呢，应该说是中等难度，不能说非常简单，但是也绝对称不上难题。 那这个题如果你能得满分多选题，那应该还是不错的，这也是可以拉开差距的一个题。 因为你想数学上的一百分以上先不说高吧，因为高二本身同学平均分数学分都不太高啊。那这种题你还是应该拿满分的，还是知道拿满分的啊。 好，关注我的视频号，关注抖音账号，分享好题，分享学习数学的底层逻辑，谢谢！

好，我们来一起看一下这两个对称中心的题目啊，对称中心的类型题的话呢，它就是差不多有三种，有，因为可能每个老师的总结方法那个方向可能不太一样，对吧？反正我的总结方向就差不多有三种方法， 我们就拿其中一种出来，拿两道题跟大家啊一起来看一看啊。一般这种这种题型他很很少会单独考，你说放在一个选啊，放在一个那种什么一道题考，你可能在大体的某一个小小步骤，或者我们呢啊选择题的一个 小小的步骤里面，但是有可能会考啊，这个几率不大啊几率不大啊，我先看这种方法怎么来做呢？ 就是一般求对称中心的话呢，你看如果是这种形式，我们这个它下面是两个相加嘛。哇，两个正数相加嘛。啊，那我就干嘛我就令他们先等啊，得到什么？得到我的对称中心啊，这个 根号三是不是相当三了三分之一是吧，三了二分之一是吧，啊呸，三了，二分之一是吧，所以说我的 s 点二分之一，然后只要把 s 点二分之一把它带进去，就是得到我的对称中心的重坐标啊。二乘以什么三的二十分之一是吧？ 三了什么？二分之一加上刚好三，三了二，二分之一就是我的刚好三嘛，所以就是二倍刚好三，这是二倍刚好三啊，消除就等于多少 number one， 是 不是？所以对应中心的是二分之一对吧？二分之一这个也一样啊，我们先看他是 f s 等于 s 加上他这个基本来说可以称的是为秒杀，所以说正常的话就是这样来做啊，但是也可以称作为秒杀了，但是这个是正常的解法啊，我们是直接干嘛令他这个 等于一啊？令他等于一啊，然后我把 s 减出来， s 等于一吧，所以说 s 等于一，所以我把它带进去就得到什么啊？ 一加上一加上一等于什么？一加上二分之一等于二分之三。所以说呢，对称中心就是我的一二分之三啊，所以以后遇到这类题目多了，直接开干就行了啊。直接开干啊，它难点不大啊，但是说还有那种不能直接带进去的啊，有一些可能用 用那种方法求它的 y 是 求它的 y 是 这样求啊，这样求吧。其实不需要啊，其实不需要这个方法正无穷和负无穷啊，带进去相加左右 啊，相加除以。哎，我靠，这个字写的有点丑了，对吧？这个就得到他什么啊？得到他对称中心了， y 坐标，你用这个也行，但是说呢，我是完全可以避开这个方法啊，但是你如果能够学的会就更好。如果啊，直接学不会啊，那也不用理他啊，不用理他就用我这种方法来把它给解决，但是说。

计算是数学的基础，二零二五年高考全国卷百分之九十七以上的题设计，计算练习要趁早快用藤远计算题，提高计算能力、速度和正确率，搞定不细心！以高一计算题为例，很多计算都是在初中基础上学习， 所以我们设置初高衔接练复习初中基础联动高中新课，不怕知识点有遗漏，练基础计算，夯实基础，练出手感。再练教材改编题，多角度改编练习，而且知识点都详细划分， 每天按照建议用时训练题速度知道思路解法，结果计算，花过多时间没做完，亏不亏？高一版同步教材训练新人教 a 版教材的同学都可以练。高考版全国通用，包含高中三年计算题和考点，综合性更高。练藤远高中计算题功课数学计算题短板， 高中数学计算题的答案一定要这样详解详细，让你知道每一步是怎么来的！每天现实练题的速度，提高做题效率。 教材改编题踏实记住练创新考法题宽视野。数学想学好计算不能丢分！高一高二的学生们，你们要提前准备起来，高考数学题越来越难了，还不赶紧行动起来！这套高中数学计算题快来一起挑战吧！

其实高中数学是可以作弊的，而且是光明正大的作弊，因为真正的高考数学有一套，书上不讲，老师也不敢提，但考场上能拿一百三十加的作弊级打法，这套方法特别适合基础差的同学，甚至会让你直呼数学原来这么简单。为了防止你们又说我吹牛， 我们来看看二五年一卷的整体，看起来人畜无害，据说能做出来的人不到万分之一。但是我讲完之后，你真能吹牛这么简单？ 来，我们看下答案。三角函数恒等变换，换圆，求倒求其值，其中一个你可能都不会，甚至干嘛你都不会，那这题你打算用什么？柯西全方合泰勒论琴？ 其实这题让我来做，我真的不需要十分钟，我只需要十秒。利用琴声不等式其实就两步，一，判断函数凹凸性，口诀就是求两次倒，如果真，那就是凹，反正是图二，使用琴声不等式，就这个 不用读吧？那知道这个二五年最难的小题，是否就能轻松秒了？该函数是由基本初等函数 cosine x 构成的， 令 g x 等于 cosine x 在 区间内是上凸函数，再利用诱导公式变换，秒得最大值。这种解法其实在二零一八年全国一卷就出现过了，也是三角函数求最值的问题，换汤不换药，利用情深不等式，因为是奇函数，所以最小值是负二分之三，刚好答案，高考状元 一个小时做完数学试卷，然后考一百五，靠的是什么？靠书写速度吗？还是靠名师？都不是，是一些你不知道的高级工具。 而如果你掌握这些公式或者解题模型，其实你就有可能考九八五，幸好类似这样的公式，我们九八五教育团队花了四年的时间，把其中最精华的五十五个录成了视频课，你只需要私信告诉我你的年级高二高三。