鲁教版六下数学线段解题技巧

下面就请大家和我一起踏上寒假的提分之旅，今天咱们来学习鲁教版五四至六下的第五张基本平面图形的第一节，线段射线直线。 这节课的学习目标呢，主要有三个，第一个在现实情景中理解线段射线直线的概念，以及他们的区别与联系，也是咱们本节课的重点。第二个会用不同的方法表示线段射线直线， 这个是咱们本节课的难点。第三个是了解两点，确定一条直线这个几何事实，并会用这个几何事实解释生活中的一些常见数学现象。 好，大家请看下面三张图，第一张，绷紧的琴弦，第二张，手电筒射出的光线，第三张，向两方无限延伸的笔直的切轨。 那么大家想象一下，他们可以分别抽象出哪些简单的平面图形呢？例如第一个，绷紧的琴弦，琴弦的两端是不是固定在琴的端部啊？然后中间是一条 b 值的什么 线段？哎，对，绷紧的琴弦是线段，手电筒射出的光线是射线， 向两边无限延伸的笔直的铁轨是直线。那么线段射线、直线这三个简单的几何图形呢，在咱们小学当中已经有所涉猎，下面咱们 一起来探究线段射线直线的概念以及表示方法。 那么问题来了，线段射线直线是如何定义的呢？ 像刚才咱们看到的绷紧的琴弦以及咱们教室当中黑板的边缘，都可以近视的看着线段，线段有两个端点，这是线段的定义，下面咱们来看射线， 有了线段的定义以后，咱们根据线段的定义可以延伸出来射线，将线段向一个方向 无限延长，就形成了射线，请大家注意啊，将线段向一个方向， 这指的是一个方向，不是两个方向哈，也不是三个方向。将线段向一个方向无限延长，就形成了射线，例如手电筒、探照灯所射出的光线就可以近视的看出射线， 射线呢，有一个端点，大家可以想象到，手电筒和探照灯光源所在的位置就是端点。 如果将线段向两个方向无限延长，就形成了直线。哎，这个地方是向两个方向无限延长，就形成了直线，因为它是向两个方向无限延长，所以直线呢，没有端点。 那么大家看到线段、射线、直线这三个的定义以后，是不是感觉即像是又有区别呢？那么大家首先来看啊， 线段，它与直线的联系是什么？那是不是可以看成直线上的两点，以及这两点之间的部分就是线段呢？哎，是的，你非常聪明。 那么射线呢，是不是可以看成直线上的一点和它一旁的部分构成的几何图形啊？哎，是的， 课后呢，请同学们思考一下，生活中还有哪些物体可以近似的看着线段射线、直线呢？ 那么咱们来看第二个问题，咱们第一个问题知道了线段、射线、直线的定义，那么咱们在数学当中如何来表示线段射线直线呢？首先来看线段的表示， 咱们可以用线段的两个端点字母来表示，比如右图可以表示为线段 a b 或者线段 b a， 哎，另外呢，还可以用一个小写字母来表示，比如线段 a， 这就是线段的表示方法。 下面再来看射线的表示，可以用端点和射线上另外一个点来表示， 比如射线 o m， 其中 o 是 端点， m 是 另外一个点，那么 o m 的 方向就代表了射线的方向点， o 呢，表示是射线的端点。大家请注意，射线必须有端点，有方向，这两者缺一不可。 如果两条射线他端点相同，如果他们射线的方向呢，也是同一个方向，那么这两条射线呢，指的就是同一条射线。否则，如果说是端点或者是方向，这两个当中只要有一个不同，那么就不是同一条射线。 端点呢，必须写在前面。直线的表示， 咱们可以用直线上任意两点来表示。直线，例如直线 ef 或者直线 fe， 大家可以看到 ef 也好， fe 也好，是没有先后顺序的，也就是说是没有方向的。这一点呢，和线段一样，比如线段 ab， 也可以说成线段 b a， 他 们两个没有先后顺序，也就是没有方向。 在这里呢，只有射线是有方向的，必须端点写在前。另外呢，直线还可以用一个小写字母来表示，比如直线 l。 好， 那么大家来看一下问题三，如图所示，射线 o m 与射线 o n 表示同一条射线吗？ 射线 m n 与射线 n m 呢？首先咱们来看射线 o m 与射线 o n。 刚才老师讲到了，两条射线是不是同一条射线，必须满足两个条件，一，他们的端点 是不是同一个端点，或者是不是重合，首先 o m 和 o n， 他 们的端点都是 o， 然后是不是同一个方向呢？那么射线 o m 是 这个方向，那么射线 o a 呢？也是沿这个方向，所以呢，是同一个方向，而且是同一个端点，所以射线 o m 和射线 o n 表示一条射线， 那么射线 m n 与射线 a m 呢？首先，射线 m n 是 端点是 m， 而射线 a m 的 端点呢，是 n， 他 们两个的端点都不同，所以啊， 射线 m n 和射线 a m 表示的不是同条射线。下面咱们一起来做两道题，巩固刚才咱们所学的知识点。 第一题，下列图形中表示射线 ab 的是。首先呢，大家来看 a， a 表示的是固定的两个端点和它中间的部分，所以这是线段，所以 a 不是 b 呢？ 一个固定的端点 a， 然后向 b 的 方向延伸，所以指的是射线 ab， 所以 啊， b 是 正确的。那么 c 表示的是什么呢？端点是 b 向 a 的 方向这个延伸，它表示的是射线 b a 而不是 ab， 那 么 d 呢，是两个端点 ab 向两个方向无限延伸，所以它表示的是直线 ab， 所以正确的结果是 b。 第二题，如图所示，下列说法正确的是 a。 直线 a b 和直线 c、 d 是 不同的直线。大家来看啊， 直线 a b 和直线 c d 是 不是同一条直线？如何来判断呢？首先来看，直线是可以向两个方向无限延伸的，那么咱们把直线 a b 向两个方向无限延伸， 向左侧无限延伸，然后向右侧无限延伸，那么直线 ab 无限延伸以后，是不是就会碰到了 c 点和 d 点，如果继续延伸上去，就会超过 d 点，所以呢， c 点和 d 点也在直线 ab 上，所以直线 ab 和直线 cd 是 同一条直线，也就是说， 直线的表示方法可以用直线上任意两点来表示，那么直线 ab 也好，直线 bc 也好，直线 cd 也好，在这道题中指的都是同一条直线，所以 a 的 说法是不正确的。 再来看 b， 射线 a b 和射线 b a 是 同一条射线。这个老师刚刚讲过了，射线 a b 的 端点是 a， 射线 b a 的 端点是 b， 两个都不是同一个端点，所以啊，是错误的。 线段 a b 和线段 b a 是 同一条线段，哎，这个是正确的。对于线段来讲，端点的两个字母没有先后顺序，所以啊， c 是 正确的。所以呢，该题的答案是 c。 那 么咱们一起来归纳一下线段射线与直线的区别以及联系。首先呢， 线段是不是有两个固定的端点呢？哎，一个 a， 一个 b， 它有两个端点，那是否可以延伸呢？大家注意啊，线段是不可延伸的，既不可向 a 的 左侧延伸，也不可可以向 b 的 右侧延伸。 那么线段是否可以度量呢？度量的意思就是指线段的长度是否可以计算测量。那么线段 a b 的 两个端点是固定的，那么咱们拿指尺量一下，自然可以量出它的长度，所以线段 a b 也是可以度量的。 那么它的表示方法可以用线段 a b 或线段 b a， 以及用一个小写字母线段 a， 这三种方法都可以表示。 这个地方大家注意的是， ab 两点没有先后顺序，即可以说线段 ab， 也可以说线段 b a。 如果在作图的时候，咱们一般说线段 ab， 怎么来作图呢？它的几何语言是连接 ab， 连接 ab， 大家注意啊！ 好，咱们再来看射线，射线 a b， 它的端点个数呢？只有 a 一个，所以它是有一个端点，因为向 b 的 方向是无限延伸的，所以它只有 a 这一个端点， 是否可以延伸？刚才说到了可以向 b 的 方向无限延伸，哎！可以向 b 的 右侧无限延伸， 因为它可以无限延伸，所以它的长度是不可测量，也不可计算的，所以它是不可以度量的，大家一定要注意啊！射线，它的长度是不可以度量的。表示方法，可以用射线 ab。 大家注意， ab 两点有先后顺序，因为端点必须在前，另外一个点在后。测。 作图的时候，一般描述为以 a 为端点做射线 ab， 这里指的 a 是 端点，然后 b 是 另外一个点，那么就可以描述为以 a 为单点做射线 ab。 下面来看直线，直线因为可以向两个方向无限延伸，所以直线呢，是没有端点的，因为它可以在 a 的 左侧无限延伸，也可以在 b 的 右侧无限延伸，所以它是两端，是没有端点的， 因为它可以向两个方向无限延伸，所以它的长度也是不可计算，不可测量的，因为它的长度是无限的嘛。就像射线一样，虽然射线是向一个方向无限延伸，但是它的长度仍然是不可计算，不可测量。 表示方法，可以用两个大写字母，直线 a， b 或者直线 b， a 来表示，就是直线上的任意两个大写字母都可以表示直线，也可以用小写字母直线 a 来表示。 ab 两点呢，和线段一样，是没有先后顺序的。过 ab 两点 做直线，哎，这就是在做直线时候，他的作图描述的几何语言，大家注意一下，对于这张表来讲，大家要记住啊，非常重要，因为他是第一章节咱们做题的基础，有了这张表，大家理解 并记住并会应用，才能会做下面的一些经常见到的题目。好，咱们一起来看一下， 咱们来试一试这道题啊。如图，已知平面上三点， a、 b、 c 让来画线段 a、 b 画直线 bc， 画色线 c a。 大家思考一下怎么来画呢？首先 大家来看画线段 a、 b 是 不是就直接连接 ab 就 可以了，即不要向左侧延伸，也不要向右侧延伸，只能连接 ab， 这个时候就是线段 ab。 那 么画直线 bc 呢？ 那就是过点 b 和点 c 做直线，向两个方向无限延伸，即向左下侧延伸， 也向右上方无限延伸，一定要越过这两个点，哎，这才是直线 bc， 一定要越过啊！ b 要往上延伸， c 要往下延伸，一定要越过这两点，这才是直线 bc。 那 么大家来看一下射线 c a 呢？ 那就是以 c 为端点画射线 ca， 这时候大家一定要注意， c 是 端点，所以啊， c 点是不能往下延伸的， ca 是 另外一个点，因为它是射线，所以要在 a 点的左上方无限延伸，哎，这时候就表示的是射线 ca， 所以 在做线段直线射线，一定要理解他们的定义和区别， 谁有端点，谁没有端点，谁有几个端点，哎，这是最主要的。来看第四题，第四问啊，如何由线段 ab 得到色线 ab 和直线 ab 呢？ 有了线段 a、 b 以后，根据射线的定义，是不是向 a、 b 的 方向延伸就可以了呀？将线段 a、 b 向 b 方向延伸，是不是就能得到射线 a b 呀？哎， 那如何由线段 a b 得到直线 a b 呢？是不是将线段 a b 向两个方向无限延伸，就可以得到直线 a b 呀？ 哎，咱们来画一画啊，射线 ab 是 不是就是在这朝 b 的 方向延伸，这时候这条线就可以描述为射线 ab， 如果是想把它变成直线的话，那么左侧也需要继续延伸，这个时候就变成了直线 ab。 题目当中又问，直线 a b 与直线 b c 有 几个公共点啊？那大家来看， a、 b 与 b c 有 几个公共点啊？是不是仅有 b 这一个公共点啊？所以啊，只有一个公共点 b。 下面咱们一起来讨论一个问题啊，当直线 a 上有 n 个点时，可得到多少条射线，多少条线段？咱们先来解决第一个问题，比较简单，大家来看图啊，当直线 a 上有一个点时， 那么可以得到几条射线啊？大家知道啊，对一个点来说，他至于能有几条射线在直线上，是不是在以 a 点为例，是不是可以向 左侧一条，向右侧一条，这是不是两条射线啊？所以啊，一个点对应的就是两条射线， a 点也好， o 点也好，他们对应的是不是都是 两条射线啊？也就说，在直线上的每一个点，他们都各自对应两条射线，这两条射线 互不重合。为什么呢？因为他们每一个点都是对应的射线的端点，端点不同就是不同的射线，所以直线上的每一个点都对应两条射线。那么大家根据这条规律，是不是就可以得到，当直线上有一个点时， 是不是就能得到两条射线呀？哎，对，因为每一个点对应两条射线嘛，那么两个点时，自然就乘以二是四条，三个点是乘以二六条，四个点时乘以二八条，五个点时乘以二十条，同理，六个点时十二条。 哎，这就是射线的规律。那么当直线上有一个点时，可以得到几条线段呢？如果直线上仅有一个点，那大家可以想象啊，因为咱们线段的定义是有两个固定的端点，所以啊，他只有一个点时啊，他应该是零条线段。 如果当直线上有两个点时，那么可以得到几个线段呀？哎，咱们的定义也是线段有两个断点，所以当直线上有两个点时，比如 a 和 o， 是 不是可以得到一条线段啊？大家来看上图， 如果当直线上有三个点时，比如 a、 o、 b， 那 么已经有了线段 a、 o， 是 不是还可以有线段 o、 b 和线段 ab 啊？大家请看这两个绿色的。 刚才已经有了一条红色的，再加上这两个绿色的，是不是有三条线段啊？这三条线段是不是也可以表示成一个红色的，加上两个绿色的呀？哎，咱们继续往下看，当直线上有四个点时，比如这时候再把 c 点加进来， 那么大家可以看一下，是不是就多了蓝色的这些线段呀？ 与三个点相比时，就多了三条蓝色的线段，线段 oc、 线段 bc 和线段 ac。 刚才有了三条了，那么又多了三条蓝色的，是不是一共有六条啊？ 哎，六条是不是也可以按颜色来表示成一条红色的，两条绿色的，然后 三条蓝色的，对，所以是六条。如果当直线上有五个点时，怎么着像这样一直数下去，大家会觉得非常繁琐，是吧？根据咱们学的 上学期当中的整式规律来探索的话，咱们来探索一下他们具体是不是有什么样的规律来表现呢？大家来看啊，当直线上有三个点时，他有三条线段是一加二，哎，加到二是不是比三少一啊？当直线上 有四个点时，那么他有一加二加三条线段，哎，三是不是又比四少一啊？那么同理，咱们是不是就可以啊 推得。当直线上有五个点时，那么是不是可以应该写成一加二加三加四，哎，这么多条线段呢？ 一加二加三加四就是十条线段。同理，当直线 a 上有六个点时，那么应该有一加二加三加四加五，共十五条线段。 通过上面六个小问，那么大家是不是可以总结一下，如果当直线上有 n 个点时，那么是不是可以得到二 n 条射线啊？哎，对，因为每一个点对应的都是两条射线， 如果直线上有 n 个点，那么它能对应多少条线段呢？根据上面的规律，是不是可以对应一加二加三，一直加到 n 减一啊？是不是这个规律大家看一下，三个点的时候是一加二， 四个点的时候是一加二加三，五个点的时候是一加二加四，六个点的时候是一加二加三加四加五。大家请看最后一位是不是都是比点的个数少一啊？ 哎，四个点加到三，五个点加到四，六个点加到五，那么 n 个点是不是应该加到 n 减一啊？所以可以得到一加二加三，一直加到 n 减一条线段。至于这个 算式求出来结果是多少，这可以用倒数向加法求和，老师在这里就不享受了，结果就是二分之 n 倍的 n 减一条线段， 这个结果大家一定要记住，在后来的题目中会经常遇到这个结果，当直线上有 n 个点时，那么会产生二分之 n 倍的 n 减一条线段。 如果大家想具体了解倒数相加法求和是如何进行的，大家可以看我前面的视频。

六年级的同学们请注意啦！寒假数学预习不用慌！这份超实用攻略请收好！照着学，开学直接当领跑者！这册书的五大核心板块，咱们逐个击破！ 基本平面图形，先认清线段、射线、直线的区别，学会比角、线段长短和角的大小。把多边形和圆的基础概念过一遍，动手画一画图形认知轻松到位。 一元一次方程是基础重点先掌握方程的定义，把一项合并同类项的解析步骤熟练，再试着做几道简单的应用题。理清数量关系很关键， 相交线与平行线分清对顶角、邻补角、平行线的判定定律和性质定律要吃透，试着用，因为所以说清推理逻辑，几何思维直接拉满。 整式的乘除是代数重头系统，底数幂的乘除，幂的乘方运算法则记牢固平方差，完全平方公式，反复练基础计算别出错，这可是后续学习的基本功。 变量之间的关系，掌握表格、关系式图像三种表示方法，能看懂变量的变化规律，就可以为以后学函数打下基础。

下面这个题呢，如图呢，已知 a m 平行于 b n， a m 和 b n 是 平行的，然后呢，角 a 知道了，角 a， 它是五十二度， 角 a 五十二度，现在呢，角 p 在 这个射线 a m 上，角 p， 那 并且呢，还是一个动点啊，角 p 是 移动的啊，角 p 是 移动的，但是呢，它和点 a 是 不重合的，就是它移动不到这个地方。 b c 和 b d， 我 们又知道 b c 和 b d 分 别是平分呢？角 a、 b p， a、 b、 p， 也就说这个角等于这个角， 然后呢，这个角和这个角相等，对吧？你看 b、 c 和 b、 d 分 别平分了角 a、 b、 p 和角 p b、 n， 对 吧？就是说两个红的和两个蓝的相等，两个红的相等， 分别呢？交射线于 c 和 d。 我 们第一问要求 c、 b、 d 的 度数 c、 b 度 d， 也就是说这一份红的和这一份蓝的，它们它这个角的度数是多少？ 那我们看一下这道题，已知呢，要求这道题它的度数，那我们看一下。 嗯，首先咱大家看一看啊，我已知呢， a m 和这个 b n 平行， a m 和 b n 平行，我能得出来什么条件，并且呢，角 a， 你 看角 a， 我 已经知道了，我给它画出来啊，角 a 是 不是和这个 a、 b， n， a， b、 n 这两个角是同方对角，就是角 a， 因为 a m 平行于 b、 n， 所以呢，角 a 加上角 a、 b， n 数等于一百八十度，这个我可以在这那用到的是什么？是吧？两直线平行，同旁，内角互补， 同方对角互补对不对？那已知角 a 的 度数，那角 a、 b、 n 的 度数能求出来吧，等于一百八十度，减去角 a 就 等于一百八减五十二，是不是一百二十八度，那 a、 b、 n 我 知道了，是吧？那咱再看一下啊。 嗯，我要求的角角 cbd 看一下啊，它可以拆成什么？它是不是可以拆成两个角 看啊？ cbd 可以， 它等于角看 cbp 是 吧？ cep 加上角什么角是吧？等于 pbd， 也就是说你看我要求的这个 cbd， 它等于这个小红的一一段和这个蓝的一段，是吧？ cbp 和 pbd 对 不对？那 cbp， cbp 大家来看一下啊， cbp 是 不是 bc 是 角平分线，也就说这个红的是吧？它分成了这个红的相等的，那也就是说是不？ cbp 可以 说等于 abp 的 一半 角 a、 b， p 的 二分之一，那角 p b、 d， 这个蓝的是不是也等于这个 p b、 n 的 一半？ p b、 n 的 一半，对不对？那我们把二分之一提出来，可以看一下， a、 b p， a、 b， p 加上 p b、 n 等于哪个角？ a 加上角 p b， a、 b、 p 加上 p p、 n 是 不是等于二分之一的角？ a、 b、 n， a、 b、 n， 我 们是不是已经求出一百二十八二分之一六十四度，那角 c、 b、 d 是 把咱的度数就已经求出来了， c、 b、 d。 你 看这个从始至终我们都是一直在倒角，是不是 一直我们都是在倒角哈，一直在倒角。 所以啊，同学们，如果老师在讲的时候，如果你跟不上思路啊，这个咱也没有关系，你看我后边，哎， 我给大家有详细的步骤啊，我给大家练了一个详细的步骤，就是我们呢先带着大家看思路啊，看思路就是我们想一想我们找的这个数量关系啊， 就是我们通过数量关系，大家要一定要知道啊，换一个地方， 这个平时我们看到的数量关系，我们要知道角一等于角二对不对？或者是什么角一等于两倍的角二，或者是呢，什么角一加上角二等于九十度，或者是 什么特殊的度数，什么八十度是不是？或者一百八十度？大家一定要知道这种我们推出来才叫数量关系，对不对？就是呢，我们一定要通过平行去给他，把角给他导到，导到一块去啊，然后呢找他们的数量关系， 这个整期的整个的过程啊，整个的过程，咱这边呢，哎，有这个详细的啊，有个详细的步骤，大家没有问题啊，大家可以看一下，可以看这个是一个详细的步骤。 嗯，可以截图哈，也可以看后面的那个视频的播放，都没问题，大家可以多看两遍，你可以截下图来仔细看你的做题的过程和老师的过程，哪里地方不一样啊？好，那我们再继续看第二个，看第二个 就是已知了，我们求出来这个，这个角没问题了，是吧？现在问当点 p 运动的时候啊，点 p 运动时候，你看这个 a p b， 就 a p b， 就 看这个角角 a p b 和角 ad b ad b， 我 再换一个红色的和这个角 ad b， 哎， 就是我们分了这个 a、 p b 啊，这个角和这个 a、 d b， 它们之间是什么关系？ 就是这个数量关系啊，是不是变化数量关系，就是刚才咱讲到了数量关系，是吧？这个数量关系， 我们就说就可能角一等于角二，或者呢角一等于两倍的角二，对不对？或者角一加上角二等于一个确切的度数，你像九十度， 七十度等等，或者一百八十度啊，就是，这才是我们的一个数量关系啊，就是问他们的数量关系是不是变化。首先我们要看角 ab 和角 ad 他 们之间的关系啊， 我们先看一下已知呢，还是 am 平行于 b n 是 吧？ am 平行边，你看我能把这个 adb 是 不是能导到这边来，能导到这边来， 大家看一下啊，因为 am 平行于 bn 是 吧？所以呢，角 adb 等于角 d b， 哎，对吧？这是用的什么呀？两直线平行，是不是内错角相等？ 内错角相等啊，就是我把这个角我导到这边来了，是吧？那你看一下角 a、 p b， a， p b 和哪个角相等，你看还是 am 是 吧？那我们也可以推出来。你看角 a、 p b 等于什么呀？ a、 p b 是 不是等于角？我换一个。 你看 a、 p b 这个角，说它和这个角相等，等于角 p b n， 对吧？其实呢，它用的也是两直线平行，把内错角相等， 内错角相等哈。你看，我把这个 a p a d b， 我 换成了 d b n， a p b， 我 换成了 p b n， 大家有没有一致条件？你看是不是 a p b 和 p b n 是 不是分别平分呀？ 你看 a p b 换成了 p b n， 这个角 角 p b n， 角 p b n 和这个角 d b n 和这个角 d b， n 是 什么关系？你看 d b， n， 我 们是不是 b d 是 这个角平分线，也就是说， d b， n 是 不是等于角二分之一的 p b n， 那 就等于两倍的角 d b n 是 吧？ p b n 等于两两倍的角平分。那我把 p b、 n 换成角 a p b， 所以呢，是不是角 a p b 等于那 d b、 n， 我 给它换成 a d b， 是不是 a p b， 你 看和 a、 d、 b 是 不是一个两倍的关系，我就给它整出来了，是吧？它这个是不变的，因为你只要 b、 d 的 角平分线不变， 所以呢，它这个总量关系就不会变，大家能明白吧？同样的啊，咱这一个题的解题的过程啊，也也整理出来啊，整理出来，大家呢，可以截屏啊，可以截屏来看， 嗯，就是我带着大家呢，给大家先讲思路啊，讲思路，具体的解析过程我这边都给大家整理下来了，大家可以看一下，看一下，是吧，它已知条件 说可以推出两直线平行，你看推出这两个都是绿色角相等，又因为 b、 d 说平分 p b n， 这是已知条件，所以呢， d、 b n 是 不是就等于二分之一的 p b n 等于二分之一的 p b， 所以呢， a、 d、 b 就 等于二分之一 p b a p b， 对 吧？ a p b 那 你说 a p b 角 a p 等于两倍的 a， d、 b 也没有问题，是吧？等量代换。

首先呢，我们看一下啊，直线他的图形是什么对吧？是向两边无限延长，无限延伸的射线什么？有一个端点对不对？我们就叫他点 o， 点 o， 然后呢，他可以往一边无限延伸，对不对？那线段呢？ 他是有两个端点的，对不对？这两个端点和他中间的连着，中间的部分合起来叫一个线段是吧？叫一个线段 ab， 这个呢，我们可以叫它叫 o a， 对 不对？也可以叫 l， 都可以叫 l， 对 吧？这边我们也可以叫 ab， 只要直线上两个点，对吧？也可以叫直线 b a， 都没有问题啊，那我们大写直线 ab， 直线 b a， 大家看一看这个说法有没有问题啊？射线 o a， 射线 ao 有 没有问题？线段 ab， 线段 b a， 大家看一看有没有问题？ 你看这个是不是 a b b a 是 没有问题的，对不对？你不管是 a b b a， 只要是这个直线上两个字母两个点，它都可以表示，那 这个射线我们说 o a o 是 它的端点，对吧？ o a 是 没有问题的，因为它往这个方向延伸的。那你说射线 a o 行不行？ 断点在哪里对吧？断点在 o 啊，所以呢，你 a o 是 不对的啊？ a o 是 不对的，那线段 ab， 线段 b a 怎么样？是不是都是可以的？ 好，它的小写，那 l、 l， l 是 不是都没有问题啊？都没有问题啊，那我们看一看是否有长度？直线 ab 两百米可不可以？是不是直线是没有长度的？那射线 o a 两百米，是不是视线从 o 为端点，可以往这个方向无限延伸？你给他定上长度是不行的，先按 ab 是 不是两百米是可以的，那看看他的端点，你看零个端点无方向是不是对的？一个端点有方向是不是也是对的？两个端点无方向是不是也是对的？就是 大家一定要弄明白哈，端点它的个数以及它的方向有五、延长线是不是有延长线？那射线有没有延长线？是不是你往这个方向人家不需要延长对不对？那 ab 呢？是不是我可以延长 ab， 你看延长 ab 是 不是它是有延长线的？那反向延长线有没有？是不是你这个直线往这个边没有延长线？那你反向人家也是无限延伸的，人家也是没有的，对不对？那反向延长射线 o a 行不行？ o a 是 往反向 可以啊，反向延长 o a 行不行？你看 b a 是不是？它是跟 a b 相对的是吧？你延长了 a b， 那 你就反向 b a 是 吧？它就是往从 b 开始就是往这个方向了，对吧？ 那反向延长 b a 也是对的哈，大家呢，通过这一张图啊，一张图就是把我们的图形以大写小写，对吧？ 这是两种表示方法，以及他是否有长度，以及他们的端点个数，以及有无方向和延长线和反向延长线。全部呢给大家表示出来了。大家这张图啊，课后可以仔细的多看两遍，好吧，没有理解的哈，重点的大家一定要多看两遍 我们这个回放啊。好，那我们继续进行下面的啊，下面的内容。好，那我们呢，就做一个题看一看啊。做一个题看一看。就说下列说法中啊，下列说法中，咱看一看它正确的是哪一个，正确的是哪个啊？ 嗯，就是射线 ab 和射线 b a 是 同一条直线，大家看一看啊。射线 ab， 那 给大家表示一下啊？ 这个射线 ab， 那 嗯， 射线 ab 是 不是它有个端点？这边端点应该是 a， 是 吧？然后呢，这上面有一个点，然后呢？射线 b a， 大家看一下啊。射线 ab， 大家要看一下啊，你看，我是以 a 为端点啊，以 a 为端点，是吧？向 b 这个方向无限延伸的，对不对？这是射线 a b， 那 射线 b a 呢？是以 b 为端点， 大家要看着啊，也以 b 为端点，往 a 的 方向无限延伸的，那你说它们俩是同一条射线吗？ 大家判断一下是不是？首先你看你的端点，端点都不一样，对不对？你的端点 不是一个端点，然后呢，你弹合说是同一条射线，对不对？你这个是以点点 a 为端点，往这边无限延伸，你这边呢？是以点 b 为端点，然后呢，往这边无限延伸的，对不对？你的方向都不对， 所以呢，这个一条同一条射线，这个说法是错误的啊。那射线就是直线，大家能明白吧？射线和直线是吧？射线你是有断点的人，直线是没有断点的，对不对？所以呢，你这个说法也是不对的。那延长直线， 你的直线，我的直线，同学们，我这边呢？我这一条直线， 我自己可以往两边无限延伸，你还给我延长，我还需要，还需要延长吗？我不需要延长，对不对？我也没有延长线呀。那线段 a o a o 和线段 o a 是 不是同一条线段？同学们，我以 a 和 o 两个端点，对吧？以及它中间的部分是不是表示一条线段 a o 和 o a 是 把端点一致，然后中间的部分一致，所以呢，它们同一条线段是对的啊，所以呢，这个题的正确答案就是选 d 啊，就是选 d。 好， 那我们看一下这个题啊，看一下这个题，嗯， 就是给出了分别呢，有射线，也有直线， 还有线段，问到能不能相交，那我们呢？这个图它都没有画完整啊，我们给它，我们呢给它补全一下，咱看一看是否同学。首先呢，咱看一下这是 ab， 是 不是它是一条直线，直线的时候可以往两边，是不是可以无限延伸？ 然后呢，你看这个是 c， d 是 吧？这是一条射线，它是有端点的，那它， 嗯， 是不是我们看一看这边，它能，它能相交，是吧？你看我们从点 c 给它延伸一下，对吧？这是射线，是不是可以往 cd 的 方向？是不是射线 cd 可以 无限延长，是不是跟 ab， 它这边是可以相交的？那我们看一下第二个图，这是 ab， 这是 cd， 它能不能相交？是不是它的长度是固定的，它的长度也是固定的，它是不能延长的， 它的延长线可以有，但是呢，就是这个图形，图形的本身，这个图形的本身已经定死了，对不对？ ab 的 图形和 c 的 图形已经定死了，它们的长度是固定的。 然后呢，你看 a 和 d， 大家看一看它能不能，它能不能？ a 是 一条直线，对不对？那我们给它延长一下啊，然后呢， b 也是一条直线， 是不是可以，你看是不是这个也是有焦点的？ a， b， 你 看，因为它是直线，是不是可以往两边弧线延伸的？那我们来看一和三都是有焦点的啊？那咱再看一下第四个，第四个 a 和 b， 它是这个是一条 一条射线，对不对？它只能从 a 这个端点开始，可以往这边无限延长，对不对？然后呢，你看一下这个 c、 d， 它是一条直线，是不是它也可以无限延长？ 也就是说你看你这个端点定死了，它只能往 ab 的 这个方向无限延长，对不对？然后呢， c、 d， 它这个直线可以往两边延长，它们俩有没有可能有交点，大家看一下， 是不是？不可能啊？你这边端点给你定死了，你不能往这走，你只能往这边延长。所以呢，我们现在看是不是只有一和三有焦点？有焦点，对吧？一和三有焦点，我们只能选 d 了。 好，那咱再看一下下面这道题啊。嗯嗯， 就是点和直线的关系。同学们，点和直线的关系啊，那我标一个点。同学们，我标一个点啊，这个比点 c， 这个呢？我再标个点 a， 再标个点 b， 我 们看一下啊，同学们，我们看一下，那 我们这是一条直线，对不对？这是一条直线，直线呢，我们可以叫直线 ab， 是 吧？ 直线 ab， 直线 b， a 都可以啊，那我可不可以说我点 a 在 直线 ab 上 肯定了，对不对？为什么我要用直线 a、 b， 就 说明我在直线上选了两个点 a 和 b， 它都在这个直线上，对吧？我再让它来命名的，那点 a 肯定是在直线上，对不对？那 我可不可以说直线 a、 b 用过点 a 肯定了直线 ab， 它是两边无限延伸的，你点 a 只是上面一个点，是不是在这上一个点？那我可以说它是经过这个点 a 的，是吧？这个说法是没有问题的，那我们看一下点 c， 点 c 这个点，它和这个直线有什么关系？ 是不是明显的它在这个直线的外边呀？那我们就可以说点 c 在 直线 a、 b、 y， 也就是说点和直线的关系。同学们，有这上面这两种情况，咱大家能不能看出来？就说这个点，要么在直线上，要么在直线外，对不对？只有这两种情况，要么在直线上，要么呢在直线的外边， 找不出第三种的关系。好吧，大家呢，这个点啊，点和直线的关系只有两种可能，一个是在经过直线上，或者在这个直线上，或者直线经过这个点。另一种呢，说这个点呢，在直线的外面啊， 好，继续往下看啊， 咱呢，下面是一道题啊，下一道题呢，要我让我们看一看它的说法 错误的。同学们，大家呢，做题的时候啊，一定要认真的读题看一下。很多同学呢，你看啊，读第一个，直线 a c， 直线 a c， 我 们看一下啊，直线 a c 啊，你看这是个直线 a c 啊，直线 a c 和射线 b d 啊，射线 b d， 以 b 为端点 啊，教育点 a 啊，这不是对了吗？对不对？直接对了，直接就选了点，直接就选了 a， 所以呢，人家这个题，同学们，咱一定要读明白啊，人家选错误了，所以呢，咱不要 一看啊，这个对了，咔，直接就选上了，就是按照自己的思维惯性认为，是不是考试的时候一般都让我们找正确的，这是不对的啊，那再看一下哈，这第一个说法是对的。那第二个呢， bc 是 线段，我们看一下 bc 是不是两个端点，那我们说它是线段，是不是也没有问题啊？是吧？ bc 是 线段，对啊，这个说法也是对的。那直线 ac 经过点 a， 直线 ac 对 吧？直线 ac 没问题，经过点 a， 是 不是？这个说法也没有问题？那点 d 我 们看一下点 d 在 直线 ab 上， 那我们先看一下它是不是，它是不是这个 ab 是 不是直线？ 首先看一下 ab 是 不是直线，在刚才说了，是不是它是以点 b 为端点，然后呢，是不是往这边无限延长了？它是一条射线呀，对不对？它是一条射线， 射线 b a 对 不对？或者是什么？我们可以说是 b d， 射线 b a 或 b d， 但是呢，它不是直线 ab， 对 不对？因为呢，它这边有点 b 的 这个端点，对吧？只能往这个方向延伸，它不可以往这边延伸的，对不对？它是条射线。好吧，那这个题错误了，我们只能选 d 了。

我是新天地教育张老师，今天继续给大家带来线段计算的四大记法，记法二社员列方成法。那么呃，今天张老师给大家准备两个题型啊，这两个题型分别都适用于这个方法，那么第一类题型就是说在这个 给大家的一个线段的比例关系，然后通过这来解决我们线段的长度。那么还有一个就是说给大家了一些比较复杂的啊，避数关系，我们也可以通过列方程，然后从中从这个线段中找到等段关系来解决这一个 啊，解决这个现在长度的问题。好，那我们先看第一个技巧，在这里面题目都比较复杂，比较稍微难一点，那所以张老师在这边只给大家讲一下方法，那么最后呃算的时候或者什么过程，你可以私信张老师，张老师到时候给你发一下。好，那么先看一下内衣，那么告诉大家 a b b b c 这是线段的比，告诉大家那么二比三，那么遇到这种，我们直接就可以将这两个线段分别设为，我们直接可以解设 设 a c 为这个线段的长度为二 x， 那么 b c 的长度为三 x。 那么说完之后我们是不是就可以将 a c 和 b c 在这个题目中，哎，是不是进行了表示，是不是标识出来，哎，然后通过继续读题， n 是 b c 的终点啊，那很明显 c n 等于 b n， 那分别等于多少？二分之三 x， 好，再接着读 an 是三十五，好，那么通过这个标识，我们很明显能找到他们的等量关系，就是二 x 加二分之三 x 等于的话三十五，从而我们就可以列出我们的防城来，那么这里面过程就找 给大家省略了，那么想要的你可以私信我，那么最后答案是多少呢？ x 等于十，那么因为 ab 是等于五 x， 那就五乘以十等于五十， 那你们可以看一下自己做对了没有，那么再看一下题型二，做题型二的话，我们读下，先读下题已知线段 a b 延长 a b 到 c 点，使 b c 二分之 a b， 那么延长 b a 到 d 点是 a d 等于二倍的 a b， 那么点 m n 分别是 b c 和 a b 的终点，若 m n 是十八厘米，求 a b 的长度，那么在这里面他没有给大家画这个图，那所以说到这，我们自己要需要怎么样去画下这个图？首先我们先画出线上 a b 好延长 a b 到 c 点，使 d c 等于二十的 a b 啊，我们画一半就可以了，那么再反向延长是吧？或者 延长 ba 到地点，但这里面的地点是不是要长一点啊？因为我们的 ad 等于二倍的 ab， 好了，咱们再看 m 是 bc 的终点， n 是 ad 的终点，那么 mn 的距离告诉你了，是十八厘米。好，那么这里面是不是我们通过读题是不是反复的会出现，是吗？ a b 这么一个量，那所以我们在用这个方法的时候，我们怎么样是可以直接解设 a b 为 x 就可以了。好，那么咱们表示出来，那 a b 为 x， 那 b c 就等于 b c 就为多少 x 二分之一 x， 那么 a b 呢？啊为，对吧？ 二 x， 好，我们标示出来二 x b c 二分之一。 好，那又因为 n 是 ad 的终点，都能能知道 an 等于 bnan 是多少，这个 an 就是 x， 那 bm 等于 cm， 那么 bm 就是四分之 x， 那好了，能不能我们通过这个图是不是就可以看出他的等单？关键我们的 mn 就等于 x 加上 x， 再加上四分之 x， 又因为 x 十八弄的这个关系，就给你写出来了。二 x 加四分之 x 等于 十八，那么从从而我们解出来啊，那同时乘以四，那么八 x 加上，呃， x 等于十八乘以四，那么九 x 等于十八乘以四啊，我们这一块预约，那 x 就等于八。好， 那么你们再算一下，那 x 就是我们的 ab。 那你看一下这个题你们自己写对了吗？好，那么过程也是啊，如果想需要过程的话可以私信张老师，张老师给你们啊。好，今天就讲到这，关注张老师加油吧。

平行的模型呢？第一个是主体模型，主体模型先看它的已知条件，已知条件是 ab 平行于 cd， c， e、 b， e 交点为 e。 然后呢，要求重的是角 b， e、 c， e， c 是 这个角， 等于 a、 b， e 加上 d， c， e， a， b， e 在 哪里？ a， b， e 是 这个角，那 d、 c、 e 是 这个角，也就说要求重的是这个 b、 e、 c 这个大角，是吧？这是一个大一点，等于上面这个小角和下面小角之和。 我们为什么叫它猪蹄模型，大家可以看，是不是这一个很像一个猪蹄啊？对不对？猪蹄，那我们呢，比较形象化，就让它叫猪蹄模型。 刚才咱说了，那这里面已知了 a、 b 和 c、 d 平行，对不对？那没有出现第三条线，去把两条平行线去截断，直接去截断，但是呢，我们又知道这里边 b 到 e 再到 c， 是 吧？拐了一下，这个 e 就是 我们的拐点， 那既然出现了拐点，我们就要想办法去构造平线，对吧？我们要构造平线，那咱们今天呢就去证明一下，证明 咱们说了是不是要过拐点做平线，那这个拐点是一，那我们就要过点一证明过点一做平线 做 e， f 做 e， f， 过点 e 做 e， f 平行于 ab， 因为呢， ab 平行于 cd， 这是已知条件，是吧？所以 ab 它平行于 e、 f， 是 吧？咱们这是已知做的，那它也平行于什么？ c、 d， 这是咱们的平行的传递性，也叫平行公里。你看 ab 和 e f 平行，又和 c、 d 平行， 那么已知 ab 和 e、 f 平行，那我们就能推出了什么。说我们如果把这个角加成角一，那这个角加成角二，那角一是不是就等于角二，所以这个角 一就等于角二，那已知 ef 和 c、 d 平行，是吧？我们就知道角三这边就在角四，是吧？所以角三就等于角四，这个呢，就是通过平行的性质了，对吧？ ab 和 e、 f 平行，那内错角相等， e、 f 和 c、 d 平行，是吧？也是内错角相等，那大家想一想， 现在角一等于角二，角三等于角四，你想一想，那我这个原来的 b、 e、 c， 所以你看角二加上角三，是不是就等于角一加上角四，对不对？大家想想，是不是角二加上角三？你看这个角加上这个角，你就等于这个角加上这个角吗？这就是我们的一个量子电话， 量子电话，那角二加角三是谁？是不是就是咱们的角 b、 e、 c 啊？ 那角一是谁？角一不就是我们的 a、 b、 e 吗？那角四呢？角四不就是我们的 d、 c、 e 吗？ 对吧？所以呢，你看我们呢已知的条件就是 a、 b 和 c、 d 平行。要求中的结论，这个角 bc 等于角 a、 b、 e 加上角 d、 c、 e， 我 们呢只是通过拐点，过拐点做了一个平线， 对吧？通过，哎，一组平行，因为呢， a、 b 和 c、 d 是 平行的，通过平行公里我们就能推出来这三条直线都是平行的，对吧？它都是平行的，那我们就可以用平行的性质，两直线平行，内错角相等， 对不对？然后呢，再通过一个等量电话，最后的结论，咱们就挣出来这道题，他们这就是我们非常有名的平线的第一个模型，猪蹄模型，在这个模型里面，我们要知道第一个 辅助线如何去构造，对吧？过拐点，对，那它的描述你要知道，就是过点 e 做 e、 f 平行 ab， 对 吧？只要 ef 平行 b， 并且 ab 和 c d 平行，那我们就要通过平行公里，也就是平行的传递性，对吧？平行它可以传递的， e f 和 ab 平行， ab 又和 cd 平行，那 e、 f 就 传递，哎，它和 cd 也是平行的，这是第一个点辅助线的描述。第二个我们要记住它的结论，结论就是猪蹄模型的结论， 结论就是角 b， e， c 等于角 a， b e 加上角 d e c d c e， 大家可以看一下这个角 b， e， c 是 一个最大的角，是吧？ a， b， e 是 上面的小角，下边呢？ d， c， e 也是下面的小角，也就说中间的大角等于上下两个小角的和，对不对？那为什么我们要记住这个结论的朋友， 因为你记住了这个结论之后，很多的选择和填空题是可以秒出答案的，对吧？但是如果像这道题例题这样， 就说你需要去做证明才能去用它的结论呢？就是这道答题里面包含了主体模型，对吧？第一我们一眼能看出来它是主体模型，可以帮助我们秒思路。 第二个通过他的结论，对吧？我们可以往下去推导，但是这个结论我们不能直接去用，就说这个结论，选择填空是可以直接用的， 直接使用，然后证明证明题，那你需要去证明了，需要证明 大家能明白就是一定要知道哈，我们学习了模型之后， 你要知道在什么情况下我是可以直接使用的，在什么情况下我们是需要去做一下证明的，证明的过程，这个呢就是咱们的证明过程是不是非常的简单？

我们继续学习一下啊，线段中点模型结论的第四个结论叫三中点模型，三中点模型呢，顾名思义就是有三个中点，那分别是谁的中点呢？我们来看一下已知点 c 是 线段啊，读读题的时候不要关键词啊，因为以后的时候会碰见直线了哈。点 c 是 线段， a b 上任意一点， 点 c 是 线段， a b 上任意一点，然后点 m 一 是 m 二 m 三分别是终点，那三个终点，是吧？那么首先看，一个个看，别着急啊， m 一 是 a c 的 终点，这样 m 一 是 a c 终点，这样去看哈，找找到。 m 一 是 a c 终点，那 m 一 是 a c 终点，我们画一条短弧， m 一 是 a c 终点，对吧？ m 二呢是 bc 终点， m 二是 bc 终点，那，那，那因为这个弧跟差不多，那我们可以那这个画弧，我们可以画画条这样，这样带棱的这种，是吧？那就能明显区分出来他们不一样，对吧？那这是 m 二呢是 bc 终点。 好，我们再继续看一下， m 三呢是 ab 终点， m 三呢是全部的终点，是吧？那我们读到这时候，我们看 m 一 和 m 的 关系，是不是就我们前面那个啊？ 结论一两线段无共部分的，那我们读到这儿的时候，我们就发现这个 m 一 m 二，它就等于谁啊？等于二分之一 ab， 是 吧？二分之 ab， 对 吧？啊，就是说我们的第一个结论， m 一 m 二等于二分之 ab 是 我们前面第一个结论中两线段无共部分的时候，这个 m 一 是左边部分的终点， m 二呢是右边部分终点，它们之间间隔呢，等于全部的一半。 那我们看一下，因为这个 m 三呢，又是 a b 终点，那么 m 三是 a b 终点 a m a m 三和 m b 就 正好等于全部一半，是吧？就正好等于二分之 a b， 所以 它得到第一个结论。 好，这第一个这个结论本质上就是那个我们前面讲过第一个结论，是吧？我们来看一下第二个结论。那么看一下，既然我们 m 三是 a b 终点，我们再画一下 m 三是 a b 终点 m 二 m 三等于什么？看一下 m 二 m 三，这个 m 二 m 三指的是谁？你看 m 三是全部终点， m 二呢？是右边部分终点，这时候是谁啊？ m 二和 m 三，它分别是 bc 和 ab， 终点 bc 和 ac ab， bc 和 ab， 它们是有公务部分的，是吧？有公务部分呢？就是我们说的那个我们前面的结论二 图形前面那个什么结论二啊？结论二、结论二和结论三里面的结论，是吧？ bc 和 bc 和 ab， 它们是有共部分的，那这时候那有共部分的时候，这个 m 二 m 三，它就是什么点？这两个中点之间间隔就等于非共部分的一半，那谁是非共部分？这时候 bc 和 ab 看一下啊， bc 和 ab 的 非共部分就是 ac， 是 吧？所以它就等于二分之 ac， 他 们可还可以正出来，是吧？好， 那二分之 a c 呢？因为 a c， 那 a c 看一下 a c， 它也是有终点的，是吧？是 m 一， 所以说二倍的二分之一的 a c 就 等于什么 am 一 和 m e c， 是 吧？就等于 am 一 和 m e c。 就 这么一小结论，这三种点模型，这三种点模型里面，它本质上是，那我们前面的结论一和结论二、结论三就相当于两现在无共部分和两现在有共部分的，它一种综合一起总组成了一个什么三种点模型。 好，那我们再看一个叫线段的多中点模型啊，这一个其实更简单哈，我们看一下条件，如图，点 m， 在 线段 a n 的 延长线上点看，虽然很多，一个去找点 m， 找点 m， 在 这是吧？ m 在 线段 a n 的 延长线上能看出来了，这就在线段 a n 的 延长线上，且 m n 等于二，它中间部分标一下，它长度等于二 a。 第一次操作，分别取线段 a m 和 a n 的 中点啊，取 a m 的 中点是 m e， 得到什么？ a m e 等于 m e m， 对 吧？ m 分 别取什么线段 a m 和 a n 的 中点 a 呢？啊，得到一个什么？这一段等于画一下啊，这一段等于这一段 分别取线段 a m， a m 和 an 的 中点 m 一 和 m 二，这第一次操作是吧？啊，我们再看一下第二次操作呢，分别取线段 a m 一， 再取 a m 一 啊，和 a n 一 的中点 a m 一， 是在一段 a m 一 的中点得到，得到什么 m 二，是吧？得到一个 m 二 m 二啊， a n 一 的终点呢？得到一个什么 a n 一 的终点得到一个啊，这一点和这点相同，是吧？ a n 一 的终点得到 a n 二，等于 a n a n 二 n 一， 是吧？看画的有点乱，我们一个个去看，经过第三次操作，又这样找了，连续这样操作 n 次，让我们去总结一下 m n a n 的 一个关系， 如果考试的时候，比如说问你什么 m 二零二六， n 二零二六，还是这种 m n n 的 时候，那对于这种底数比较大的时候，我们一般情况找规律的时候怎么去找嘞？ 那我们上学期的找规律题有没有讲过？就是先从最小的开始找，我们先找求一下 m 一 n 一 等多少，再求 m 二 n 二等多少，再求 m 三 n 三等多少，然后找出规律就可以提出来 m n a n 等于多少，是吧？我们看一下。先求 m 一 n 一 m 一 n 一， 就是我们前面说的什么 m 一 n 一， 看一下他们是 m 一 n 一 m 一 是全部的中点， n 一 呢，是左边部分的中点，那它俩之间距离呢？就应该等于非公部分的一半，那就得到它等于二分之一的谁啊？非公分是谁啊？是 m n 的 一半，是吧？等于二分之一的 m n， 求出来，等于二分之一，乘一个 二，乘一个二 x 等于个 a 啊，这是 m 一 n 一， 那么再求 m 二 n 二，是吧？ m 二 n 二是谁的终点？我们看 m 二 m 二在这是吧？是这个是这个 a m 一 的终点， a 二呢，是它的什么？是它的谁啊？ n 二是 a n 二 a n 一 的中点，是吧？相当于也是左边部分中点，那么这两个，那这两个什么 m 二 n 二之间的间隔，它应该等于什么？也是非共部分，是谁啊？但是我没把没用的都擦掉哈， 来看一下。那这是一个什么来？ m 二 m 二是 a n a m 一 的中点， a 二呢？ 重新画一下啊， n 二呢，是 a n 一 的中点，这时候我们看这两个中点之间间隔就应该等于非共部分一半，是不是等于他一半，所以就等于二分之一的，什么 m 一 n 一 就等于二分之一，乘一个乘以这个 a 啊，是吧？到一个二分之 a， 好， 我们继续再看 m 三 a 三，重新看一下 m 三是 a a m 二的中点，是吧？ a m 二的中点 n 三呢？是 a n 二的中点，所以说这两个 m 三 n 三的间隔就等于二分之一，非共部分是写 m 二 n 的 一半就等于二分之一，乘以什么？ m 二 n 上一个引求出来，乘以个二分之 a 等于二的二次方分之 a， 对 吧？ 那你看一下，这是二的二次方分之 a， 这是二的一次方之 a， 这，这是什么二的？嗯，我们就不讲了哈，二的零次方分之还没求到，是吧？好，我们继续看一下，这时候我们看一下求 m n n a， 它的时候应该等什么？我们看一下它是三的时候这二的二次方，这二的时候是一次方。那么说你看一下这是这是 n 的 时候，它应该等于什么？二的二的什么 n 减一次方的 a 啊？上面答案是写的二分之一的 n 减一次方，跟正常本质上是一样的啊，当你也可以把它写成什么，比如说这就写成二分之一乘以 a， 这呢写成二分之一的二次方乘以 a， 是 吧，所以它也可以写成二分之一的。 谁啊？ n 减一次方乘以 a， 这个选项也是可以的，一样的哈，写他写他都对。好，这是他的几个结论啊，找规律的是吧？都是等于前面那个一半啊，这一个多重点模型，相对来说大家好好理解的话也是不难啊，对吧？ 好，大家要把这几个模型记下来，因为我们，嗯，后面的话还要继续去学习他的一些题型啊，我们用这些结论去去学习。好，这个视频就讲到这。