初一下数学如何用尺规作图垂直平分线

齿规作图，垂直平分线，我们来看一下这一道题，要求我们齿规作图以及这条线段 a、 b 求做 a、 b 的垂直平分线 c、 d。 齿规作图的话，需要动用到圆规来做， 那圆规的一个端点对准顶点 a， 你这条线段的一半再大一些，也就大于二分之一 a、 b， 这个是不够的， 这个是小了，我们还要再过来一点，比他一半大一点。上下画弧，上面画一条弧，下面画一条弧，要注意把它给加深， 我们可以看看到有两条弧的痕迹。好，然后保持这个距离不要动，他那圆规 对准顶点 b， 保持这段距离不动，继续上下做弧，上面做一个弧，下面做一个弧，要去把它给加深， 那此时我们会发现上面两条弧交于一点，下面两条弧交于一点，连接这两个点，也就是这个点以及下面这个点，我们把它也连接起来， 那么我们可以看到这条线，它是经过这一个交点跟这个交点，那这条线就是 a、 b 的垂直平分线，我们给它标上字母 c 跟 d， 作图要写结论，所以如图所示， c、 d 即为所求，那么这道题作图就完成了。作图保留作图痕迹，所以这些痕迹不要擦掉，这个就是线段 a、 b 的垂直平分线。

各位，尺规作图啊，在中考是必考的啊，今天老师要徒手啊，用尺规画出来这个三角形的内心、外心、垂心、重心、飞马心啊，看看老师怎么画的，这个方法很重要啊，咱们先画什么呢？ 咱们先画先画外心吧。啊？为什么先画外心啊？各位？因为内心太难了啊，内心太难，先画外心，外心怎么画外心？就是这个三角形的外接圆的心，这个道理能不能明白啊？外接圆，他的心 外接圆，怎么画？外接圆？你要画每条线段的垂直平分线垂直平分线怎么画？ 很简单啊，比如说，我要画这条线的垂直平分线啊，咱随便啊，指着一个端点随便指着一个端点，这什么烂烂圆规啊？这啊，随便指着一个端点啊，随便画个圆，你看我随便画个圆，对不对？ 然后指着这个断点再画个圆啊，再画个圆，还是这个半径以这个半径啊，还是这个半径画圆啊？是不是交于两点？是不是交于两点这两点？各位，这两点如果连起来的话，会发生什么啊？ 这个会，这是什么点？垂直平分线，因为这两个圆，他的两个交点连起来这个线啊，就是这条线的垂直平分线， 然后我再画这条线的垂直平分线这条线。画这条也可以啊，哪一条都行，画哪一条？这条吧，画画这条的垂直平分线。好吧，他的垂直平分线怎么画？ 还是老样子啊，随便随便画圆啊，这什么烂圆规？随便画圆？你看我随便画个圆，然后以这个圆形，我再随便画个圆。你看我是不是又教一两点啊？又教一两点。这两点如果连起来的话，各位啊， 是这个线是不是这条线的垂直平分线？垂直平分线，那这两条线的焦点是不是这个焦点？这个焦点有啥特点？这个焦点 他到这三个顶点的距离都相等啊，你说神奇不神奇？为什么？ 因为这是垂。这条线不是垂直平分线吗？那这个点到两到两个顶点的距离是不是相等啊？因为这个也是垂直平分线，那这两个距离不也相等吗？所以这三个距离都相等。这三个距离都相等的话，各位，我以这三个距离其中一个而画圆，你看， 哎，怎么画的不标准？我画的不太标准啊，回去自己画啊，你看我这样一画是不外界缘。各位，我画的不标准啊，方法，方法很重要，学会方法就可以了啊。这是不外界缘，外界缘就是外心啊，这什么烂烂缘，鬼外心。找到了，下一个。找什么？ 找他的锤心好找这个三角形的锤心啊锤心。好多同学说锤心。啥是锤心啊？锤心就是这个三角形啊，这个三角形， 三条垂线，三条垂线的的焦点，这个点叫垂心。好，那同学问了，那垂线怎么画？那这个垂线怎么画？关键是这个垂线怎么画？用尺规做图画，你可不能随便画。怎么画？画这个垂线怎么画？ 教给大家一个方法啊。这什么烂圆规，圆规修好了啊，他们再来啊。怎么画这个垂线？各位，从这个第一步啊，从这个点啊，随便画个圆，你看我随便画个圆。什么呀？ 给大家指，不给大家讲原理啊？从这个点我随便画个圆，然后再从这个点我随便再画个圆。 是不是又交一两点？这两点是不是又是这个点啊？这个线的垂直平分线啊？就是这个线的垂直平分线，找出它的终点就是找出这个线的终点，找到这个终点之后画个圆， 以它为直径，画个圆就是以它为半径，画个圆，交与这个点，这个点就是垂线。这个道理能不明白啊？各位， 为什么这个是垂线？为什么？因为这个是直径，以直以以这条线直径画的圆。各位，他所对的圆周角就是就是直角，所以说这个线就是垂线，那同样的道理，你再画他的垂线，再画他的垂线，这这交易。这个点不就是垂心吗？啊？这垂心， 那重心怎么画？各位啊，三角形的重心怎么画？我不用圆规了啊，各位，我给你们徒手画啊。什么叫这个重心？重心就是三个 终点，就是找到这三个边的终点连起来，终点连起来，这个心叫重心。 这个终点怎么找？刚才不是说过了吗？画圆不就找到这个中心了吗？这个这个啊，这个这个叫终点吗？这三个终点连起来，这个心就叫重心啊。重心。重心有什么特色？他有特色啊，他是什么特色呢？就是这条边啊，等于这条边的两倍。 这条边呢？等于这条边的两倍。帅气不？帅气啊，这条边等于这条边的两倍。为什么？回头给大家证明啊？这今今天就不证明了。这个什么啊？什么叫内心？ 内心，刚才说了，内心比较麻烦啊，内心就是内切圆的心，就是这个三角形内切圆的心。内切圆怎么画？内切圆怎么画？照脚平不厌啊，各位， 找角平分线啊，角平分线就是他的原心，为什么？因为角平分线啊，注意这个原理啊，角平分线到两端的距离啊， 就是到这个切点的距离是相等的，这个也是角平分线，这个距离和这个距离是不是也相等这两个距离 啊，所以说这三个距离不都相等吗？所以才是内切元，这个道理能不明白啊，这是内心费马辛，费马辛，回头给大家单独出一期啊，今天这个圆规太太垃圾了，回头再给他补录啊各位。

今天讲解一道直尺作图题。在方格纸上，线段 a、 b 的 两个端点都是格点，请仅用无刻度的直尺做 a、 b 的 垂直平分线，请暂停，自己尝试思考一下并做一做。 先找 a、 b 的 中点，找到以 a、 b 为对角线的矩形，用直尺连接另一条对角线， 交 a、 b 于 m 点， m 点即为 a、 b 的 中点。再找另一个与 a 点、 b 点等距的格点。矩形宽为四格，高为二格，要找的格点应该距 a 点、 b 点，二格到四格之间描一下垂直平分线容易找到该点。 一点到 a 点、 b 点的距离都是一乘三格矩形的对角线，一 a 一 b 相等，所以一点就是要找的点，用直尺连接 em em 即为 a、 b 的 垂直平分线。 改变一下 ab 的 格点，请暂停，自己尝试思考一下并做一做。先找 ab 的 中点，找到以 ab 为对角线的矩形，用直尺连接另一条对角线， 交 a、 b 于 m 点， m 点即为 a、 b 的 中点。再找另一个与 a 点、 b 点等距的格点，矩形宽为五格，高为三格。要找的格点 a 点、 b 点，三格到五格之间描一下垂直平分线，容易找到该点。 一点到 a 点、 b 点的距离都是一乘四格矩形的对角线， e、 a、 e、 b 相等，所以 e 点就是要找的点。用直尺连接 e、 m、 e、 m 即为 a、 b 的 垂直平分线， 再改变一下 a、 b 的 格点，请暂停，自己尝试思考一下并做一做。先找 a、 b 的 中点，找到以 a、 b 为对角线的矩形，用直尺连接另一条对角线， 交 a、 b 于 m 点、 m 点即为 a、 b 的 中点，再找另一个与 a 点、 b 点等距的格点，矩形宽为四格，高为三格，要找的格点应该距 a 点、 b 点。三格到四格之间描一下垂直平分线容易找到该点。 一点到 a 点、 b 点的距离都是零点五乘三点五格。矩形的对角线 e， a、 e、 b 相等，所以 e 点就是要找的点。 e 为方格的中点，用直尺连接，两条对角线 相交于一点，用直尺连接 em， em 即为 a、 b 的 垂直平分线。

让我们一起来总结一下今天学习到的知识吧！

二四年开始辽宁进行统一中考了，那么从统一中考之后，我们二四年二五年的中考，包括我们平时考试里边这个耻辱作图的占比比之前增加了好多。 这个知识啊，本来是在我们在北师版七年级学的，人教版呢，可能是八上也学了一些，然后之后就不咋学了，但是整个考试中，整个贯穿我们初中三年以及这也是我们中考必会的一个 用无刻度的直尺以及圆规去画垂直平分线，角平分线做三角形做角等等，那么有些小孩还不会呢， 那么佟老师啊，把这些梯形给大家汇总全了，并且对于那视频讲解，像咱们小孩在需要的时候，可能老师在黑板上一画就过去了，后来就没有这种演示的过程了。那么佟老师这个视频你可以反复观看， 助力咱们孩子二六年耻辱作图，没问题，领取的留言，耻归作图！

如何找到三角形的外心呢？首先画任意一个三角形， a、 b、 c 分 别做线段， b、 c、 a、 c 的 垂直平分线相交于 o， 以 o 为圆心， a、 o 的 长为半径画圆，该圆即为三角形的外切圆， o 为外心。

朋友们，我们今天来讲解一下此龟作图，这好像跟我们以前学的都不一样，对不对？以前我学的要么就是解，要么就是正门，对不对？哎，这次让我们此龟作图，要么动手了，好，那此龟作图告诉你们，就五种， 而且他用的支点就两个，一个是构建全等三角形，还有一个就是一条直一条线段，他的垂直平分线，他的中垂线 到他两个端点之间的距离相等，就这么两个特性好不好？那我们来开始了，一个是做角平分线， 做角平分线， 就比如说我现在这里有个角对不对？角 a， 那 我要去做它角平分线，怎么做呢？一个我用一个圆规，以 a 点为圆心画一条符好不好？相交于它这两条边，比如说这个是 b， 这个 c， 哈画两条边，然后就跟它相加了 一点和一点，好吧？然后再以一点以大于一一的二分之一的距离画一个弧，以一点为圆心，也和刚才一样的 半径画个弧，这个时候圆规千万不能调倍调半径啊，然后交于这一点会得到 f 点，然后只要把 a f 把它连接起来，那么得到的 a f 就是 角平分线， 为什么？你们知道吗？你看我们把 e f 把它连接起来啊，把 d f 连接起来对不对？刚刚我是用个圆规，以 a 点为圆心，对不对？画的圆对不对？所以 a d 速度就会等于 a， 一 对不对？ 好，那么我这里又是以一点为圆心画的圆，对不对？所以刚才 f， 呃，刚才画的这个圆弧，那用同样的半径以 d 点为圆心画的弧，对不对？那么 d f 是 不是也会等于 e f， 对 吧？那么 a、 e、 f 是 什么？是三角形 a、 d、 f 和三角形 a、 e、 f 的 公共边对不对？ 在公边对吧？所以三角形 a、 d、 f 它会全等于三角形 a、 e、 f 对 不对？它用的什么？它用的是边边边，三个边相全相等 对不对？在判定这里边边边对不对？所以角 d、 a、 f， 它会等于角 f、 a、 e， 对 不对？是不是证明出来了？所以这两个角相等好不好？ 这就是我们做角平分线的方法，就是用的反转三角形的方法啊。那我们好，接下来下一下一个方法。 第二，角做同角，就比如我现在这里有个角对不对？ 角 a、 b、 c 对 不对？那我呢？现在我要做一个角，跟这个 a、 b、 c 一 样，对不对？角 a 一 样的角，好，我先画条直线，好吧， a 一 撇， b 一 撇，对吧？好，然后我从用 a 点，用我的圆规画一下相交于相交 a、 b、 c 的 a、 c 分 别是 d 和 e， 好 不好？先 d， 那 我也依然用这个相同的半径以 a 撇画一个圆，那是不是会会跟 a、 b 相交于 d 一 撇，对不对？ 哎，那我这个时候我以 d 点为圆心，两以 d 一 这条直线 为半径，对，我把那个圆规啊定点定在 d 上面另外一个洞点，它呃量测到 e 这里，看它们的半径，然后用同样的半径以 d 撇点，哎，画一个圆弧，哎，画个圆弧到这里了，对不对？ 与刚才我画那个圆弧相交于 e 撇点，对不对？哎，那我只要把 a 一 撇，把它相连接起来， 那么他们那么 这两个角就是相同的角，为什么呢？你们有没有想过，我刚刚是不是用圆规画了这个弧，然后拉到这里也是用 a 一 撇， a 一 撇为圆形画了个弧，所以 a、 d 一定会 等于 a， d 一定会等于 a 一 撇， d 一 撇，对不对？因为都是用圆规画的嘛，那么 a e 呢？也一定会等于 a 一 撇， e 一 撇，对不对？ a 一 撇一定也会等于的，对不对？然后我又是以 d 点为圆心，对不对？ d 一 的长度画了，你要在这里，在这里量好了，然后再把它画了，那么 d 一 是不是一定会等于 d 一 撇一撇，对吧？ 所以三角形 a d、 e 它也是全等于三角形， a 一 撇， b 一 撇一撇，对不对？这也是用的 s s 的 判定方法是不是？既然它们全等，那么角 a 是 不是就会等于角 a 一 撇，是吧？所以大家记住这一种作图的方法啊，像角平分线和做同角都是采用的， 都是采用的相似我们的全等三角形来做出方法啊。 ok， 那 我们接下来看下下面啊， 是吧？第三个就是假设垂线段的垂直平面线， 如果我现在这里有一条线段， 然后现在这边吧有一条线段的，好吧，那么我要做已知 a b 嘛，对不对？好吧，那我要做它的垂直平分线，怎么做呢？我们有一个定律，一定要知道 一条线段，它垂直平分线上的任何一点到两个端点，这个距离是相等的，对不对？ ok， 那 我就以 a b 大 于它一半的，以 a b 大 于 a b 一 半的半径来画圆，以 a 点为圆心嘛，对吧？画一个圆浮出来，然后以 b 点 为圆为圆心，再画个图出来，对不对？然后这里画到上面了，也一人用同样的一个半截啊，不要，不要去变了啊，画一个 再画一个，都是同样的半径，好吧？画了上面也画下面，也 b 点，画了下上面，再画下下面，然后他们就会相交于这两个点，比如说 c 点和 d 点，对不对？然后我只需要把这两个点把连接起来，那么这条直线就是 它的垂直平分线，就是 a、 b 这条线段垂直平分线，你知道为什么吗？你看以 a 点为半径画的对不对？它们的 a、 c 是 不是会等于 b， c 对 不对？ 那么 a、 d 是 不是也会一样的，对吧？ 都是相等的，对吧？所以一条线段它的就是到这两点，到这两个端点距离相等的点都是在它的垂直平面线上面，好吧， 好，现在我们知道了这个之后，我们再来看第四个，就是做过直线上一点 做直线的垂线， 然后我这里有条直线，对不对？那么要过这个点做这条直线的垂线，怎么做？ 我们先刚刚我们知道对不对？这个采用的是直线上的 呃，中垂线到直线的两到线段的两端点之间的距离都相等的一个方法，然后我们也一样的可以啊，比如呢？这个点是 p 点对不对？我以 p 点为圆形，然后用圆规画两个，画个圆对不对？跟 直线相交于 a 点和 b 点， 然后再以 a 点为圆心大于 ap 的 半径比就比 ap 要大的半径来画圆， 那么他们一定会得到一个这样的圆弧，对不对？再以 b 点为圆心，再以刚才一样的半径来进行画圆，哎，画圆，那么这样这里就相加了一个点，我们以这点为 c 点的话，那我们连接 p c 下来，那就是他的垂直平面线， 那这个也很好证明嘛，是不是因为是对 ac 会等于 bc， 对 不对？ 所以它是一个等腰三角形，对吧？然后 p 点是 ab 的 中点嘛？因为刚刚是以 p 点为圆心画的圆，跟直线相交于 ab 两点嘛，所以 ab 会等于 pp， 对 不对？ 哎，那么这样，这个等腰三角形的中点， 那么它的中线，垂直垂线，还有角平分线，三线合一，那么这条线是不是会垂直于 a b， 对 吧？这个也被证明出来了，好写不下来了啊，那我就把这个抹掉一点啊。 那第五个就是过直线外一点， 做直线的 角平分线，做直线的垂线， 然后这一条直线，然后这里有个点 p， 对 不对？这条直线 l， 它的外面有一个点 p， 那 过 p 点做 l 直线，它的垂线怎么做？ 不要太简单了，我以 p 点为圆心大于 p 点大于 p 点到 l 之间的距离呢？一个半径画一个圆，呵呵，那就会相交于 直接 l， 它肯定有两个焦点， a b， 对 不对？画了之后相交了，对吧？然后以 a 点，你原先画一个大于 a b 啊，大于 a b 的 一半的距离，一半的长度，画一个圆弧，再以 b 点为圆心，画一个圆弧，跟刚刚一样的半径画个圆弧，再连接 p 和这个点，以这个点为 c 点吧，再连接一下 p c， 那 这条直线它就是垂直于 l 的， 你知道为什么吗？ 首先我们把 a、 p 连接起来，把 a、 c 连接起来，把 p、 b 连接起来，把 b、 c 连接起来啊，那你知道这个边一定会等于这个边，对不对？那这个边也一定会等于这个边，对不对？ ok， 那 么这两个三角形是不是 p a c 和 p b c， 它是不是全等三角形？肯定是，对不对？这个全等，那么这两个 角前面也相等，这两个角也相等，对不对？哎？你相等证明什么？证明了 p c 是 角 a p b 的 什么角？平分线对不对？哎？ p a 又等于 p b， 它是，那么三角形， p a b 它是什么？ 它是等腰三角形，等腰三角形三线合一，所以 p c 垂直 ab， 对 吧？所以就这么轻松的证明出来了。就这五种作图，大家一定要记住，记住了，你考试就是送分好吧？

看到终点就猛，这道题教会你用垂直平分线找思路。今天我们来拆解一道八年级下册的经典几何题，他把三十度角的直角三角形性质 和等腰三角形三线合一完美结合，绝对是期末考的高频考点。首先我们来读一下题， 如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于三十度点 d 是 a， c 的 中点， d， e 垂直 a、 c 交 b， c 于点 e 点 o 在 d e 上， o， a 等于 o， b， o， d， e 等于二，则 b、 e 的 长为多少？嗯，那读题的过程当中，我们对条件进行标记， 角 c 是 三十度， 点， d 是 a， c 的 中点， d， e 垂直 a、 c， 所以 我们可以知道 d， a 是 a、 c 的 垂直平分线， o， a 等于 o， b， 于是点 o 也在 a、 b 的 垂直平分线上， 所以 o 点是三角形 a、 b、 c 垂直平分线。我们可以知道两点， o， a 等于 o， c 等于 o， 那 此时连接 o、 c 可知 o， c 等于 o b。 题目还给了 o， d 等于一， o， e 等于二。 那么在直角三角形 c、 d、 e 当中， d、 e 这条边等于三，那由三十度角所对的直角边是斜边的一半，我们可以得到 c， e 等于六。 此时题目要求 b、 e 的 长，如何来解决呢？一条非常经典的辅助线， 过点 o 做 o， f 垂直 b， c。 利用 o， b 等于 o， c 做出这条辅助线，我们可以得到 c， f 等于 b、 f， 那么只要能够得到其中某一条线段的长， b、 e 的 长就可以解决。由角 c 等于三十度，我们还可以得到角 c， e， d 是 六十度， 于是角 e， o、 f 是 三十度， 那么三十度角所对的直角边 e、 f 等于 o， e 的 一半，所以 e f 等于一， c e 等于六， e f 等于一，那么我们可以得到 c f 等于五， 那 c f 又等于 b f， 所以 b f 也是五五，减去 e f 这个一，所以 b e 等于四，那这道题答案就出来了。这道题的关键就是通过连接 o c， 再利用三十度角，它的性质和三线合一， 是不是很巧妙？学会这招以后，遇到类似的几何题就再也不怕了。觉得有用的话别忘了点赞关注，我们下期再。

啊，同学们大家好啊，来我们研究研研究咱们这个初中数学的辅助线啊，辅助线，然后今天我们主要研究的是这个关于这个 啊，终点的，是吧？有这个，咱们题中几何中几何题中有终点的，咱们有什么想法是吧？大体咱们应该有四个想法，是吧？提到终点，一个是咱们直角三角形斜边终点是他的中线是斜边一半是吧？这一个终点还有终点呢？两个终点的话就是中位线是吧？ 还有这个等腰三角形是吧？等腰三角形也能想到这个，它有这个终点，三线合一啊，是吧？然后还有一个就是这个被长中线啊，大体上是这个四个方向，然后咱们看看这个题，先看第三题是吧？先看第三题啊，他说如图所示这个平四边形，然后呢？对角线 a、 f、 bc 相交于点 d 一 点，然后再角 c、 a、 b， 是 吧？角 c、 a、 b 又等于九十度减去角啊， c、 a、 b 减去二倍的角 a、 c、 b， 然后要给我们一些条件哈，他说这个 b、 f、 b、 f 等于八，这个这个边等于八，是吧？然后这边等于四，咱们的标标志条件啊，然后他是又说这个 这个 c、 a、 b 和这什么 a、 c、 b， 咱们写的时候有些时候是，呃，有一个角用三个字母表示来回写，它逻辑关系比较费劲哈，那我们这里就令这个什么呀？可以令这个角角 a、 c、 b， 它等于 r 法的，是吧？它可以等于 r 法，然后 那咱们就标表 a、 c、 b， 这个是 r 法是吧？它是 r 法。呃，然后咱咱们看一下呗，这是不是有一个终点出现了是吧？啥叫终点啊？是不是这个平行四边形的？这个这个对角线交点是终点，然后还出现了垂直，那大家会想到什么呢？对吧？有垂直，有终点，是不是想到垂直平分线？ 垂直平分线怎么做辅助线了？是不是垂直平分线点到两边两个端点距离相等？所以说我们瞬间就想到要谁啊？要把这个 b e 是 吧？想把 b、 e 连接起来， 嗯，把 b、 e 连接起来，然后垂直平分线两点就这个垂直平分线上点到两个端点距离相等的，那我们就能得到谁啊？啊？来辅助线，辅助线来，我们应该是先连 b e 啊， b e 是 吧？然后因为这个，呃，首先这个 e、 d 是 垂直于 a f 的，是吧？ d e 垂直啊 b c d e 垂直 b c， 因为这个 d e 垂直于 b c， 然后这个 d 又是这个什么啊？终点是吧？ b d 又等于 d c， 所以说我们得到结论，结论是什么结论呢？所以说这个 e d 是 a， e d 是 b c 的 垂直平分线， 垂直平分线是吧？垂直平分线，我们就得到了这个 e b 是 等于 e c 的，是吧？ e b 是 应该等于 e c 啊， e b 等于 e c， 我 们是这个，这个角是 r 法，那等于三角形，那这角也是 r 法， 对吧？他也是 r 发，他也是 r 发，呃，然后他这题叫我们求的是 c e 的 长度是吧？ 求 c、 e 的 长度来看啊，他是 r 发，他是 r。 然后这块还有没用的啊？还有个九十度减去二倍的 a c b 啊，我们是另类 a c b 的 r 发，那么角 c a b 就 等于这个九十度减去二 r 发，对吧？减二 r 发，那大家发现没有， 这个角是九十度，他啊，这个角是九十度减二阿法，然后我们这个什么 a、 e、 b， 又是这个三角形 b、 e、 c 的 外角，是吧？对吧？所以说我们角 a、 e， 所以 说我们的角 a、 e、 b 就 应该等于二阿法。 a、 b 角 a、 b 等于九十度减二法法， 那你没发现，如果说再加个 a、 b、 e 正好是啥呀？一百八十度吗？三个角，那说明就能推出了，我们那谁呀？ a、 b、 e 是 九十度，是吧？所以说我们的角 a、 b、 e 是 等于九十度，它等于九十度，就垂直了呗，垂直，然后叫我们求 c e， 求谁射谁，是吧？那我们再令这个 c、 e 等于 x， 对 吧？ c， e 等于 x， 它等啊，标一，标啊，它是 x， 那 它也是 x， 然后这个我们的 a、 c 长度和我们 e、 f、 b、 f 长度，那我们这个 a、 e 的 长度应该就是这个八减 x， 是 吧？长是八减 x， 然后呢？这个 a、 b 是 四啊，那就勾股定律呗，就可以用直接用勾股定律了，是吧？在这个二 t 三角形这个 a、 b、 e 中， 是吧？然后就用勾股定里边斜边是 a、 e， 是 吧？就是八减去 x 括号的平方。呃，等于四等于四的平方，加上这个 x 的 平方，然后很容易解了，是吧？解出 x 记得点赞关注哦！

无刻度尺规做图的绝招来了，垂直平分线，他的做法原来这么简单！孩子们是不是还在为无刻度尺做图的垂直平分线的做法蒙圈呢？今天呢， cc 老师就带你秒杀这个点。咱们可以先看一下下面这个图， 咱们可以直接根据垂直平分线的判定找到 c 和 d 这两点，一连垂直平分线就出来了。然后我们再看一下下面这个图，我们会发现我们找不到到线段两端点距离相等的点了， 那怎么办？我们可以直接套定义，我们先找到这条线段的终点，然后再过这个终点去加垂直就可以了。咱们可以看一下下面的做法，咱们各位家长啊，可以为孩子们点赞收藏起来，大家还想听哪些点，可以在评论区打出来。

如何找到三角形的内心呢？首先画任意一个三角形 abc， 分 别做角 b、 角 c 的 角平分线相交于 o， 经过 o 做 b、 c 的 垂线，交 b、 c 于 d。 然后以 o 为圆心，以 o、 d 的 长为半径画圆，该圆即为三角形的内切圆， o 为内心。