逆等线段几年级学

江苏初二的学生和家长们注意了这个题目，最近大家在做期末复习的时候，应该都做到类似的一个题目了吧， 基本上啊，九十分以下的啊，这个类型的题目都做不出来，为什么呢？单动点的题目已经够烧脑了，双动点的题目压根就没有思路， 那比如像这个模型啊，叫逆等线模型，题目里面会告诉里面 a d 和 b e 长度是相等的， d 点呢，在一个边上运动， e 点呢，也对应着去运动，对吧？它会有个等量关系，但是问题问的是什么呢？是 a e 加上 c d 的 和最小值为多少？ 这种双动点的问题是最烦人的啊，很多学生看到这种题目，人都麻了啊，那这种问题的解决思路是什么呢？一般来说，在初中阶段，我们遇到多动点的问题，都是想办法啊，先把双动点转化为单动点， 然后再分析单动点的一个运动轨迹，那所以这道题目我们要想办法哎，把这个 a e 和 c d 把它们结合到一起，因为目前看 a e 和 c d 它是没有关联的。那怎么去结合呢？就要用到我们在初二啊这个三角形章节学到了全等三角形的一个构造 啊，我们看一下考试里面具体他会怎么去考，考试里面他会考这两种类型的一个题目啊，这两种类型，那第一个就是上面这种图形， e 点和 f 点是在一条边上运动的， 但是呢，条件基本差不多，那 a e 等于 b f 这段长和 b f 长相等，问 c e 加 cf 的 和的最小值，对吧？这是一种。第二种就是刚才动图演示的，像这种类型告诉你 a d 等于 c e 啊，问 c d 加 b e 等于多少，对不对？这两个类型的题目都是动点问题啊，而且类型都是一样的，那么做题思路是什么呢啊？叫构造全等三角形， 把双动点转化为单动点，那这类问题其实我们在这个将军赢马的问题里面有做过类似的一个这个多动点转化为单动点的一个类型，那么我们看一下上面这个题啊，我们先讲一个类型，那大家去引发一下思考， 那现在已经知道了第一个题目，他这个角 a c b 等于九十度， ab 等于八啊，没有其他条件了，现在就要你去求这个 c e 加 c f 的 最小值，那我们这个题目怎么做啊？既然我已经知道了 a e 的 长度和这个 f b 相等，那我能不能把这两个合到一块啊？什么叫合到一块？我们看一下我们能否把这边的这个三角形，看一下这个 c f b， 把这个三角形给它挪到了这个下面这块来，把它合并在一起。那为什么能合并在一起呢？刚刚说了，因为 b f 长和 a e 长相等，然后呢？因为角 a c b 等于九十度，那么这个角 a 和角 b 的 和是不是也是九十度？ 所以我们把它挪下来，它是可以形成一个直角三角形的，那我们把这个三角形给它挪到了这里来 啊，挪到了这里来啊，也就是说到了这个位置，那这个就是 b 一 撇，对吧？把右边的这个三角形 c、 f、 b 就 挪到了左边这边来，并且我们还知道了这个角为九十度了， 那么我们这个时候再看要求的是什么啊？原题目求的是 c e 的 c e 加上 c f 的 和的最小值，那么这边就变变成了 c e 加上 b e 撇 e 的 最小值了吧。那么请问 c e 和 b e 撇什么时候最小呢？ 那这个时候可以被认为它是个单动点问题了啊，就是一个 e 点在 a b 这条边上运动了，对不对？那 c e 加 b 一 撇 e， 那 就是不是跟将军赢码的问题类似了 啊？就是这个点动到什么时候能够使得它线段和最小？那将军赢码的问题，我们知道的，其实就把 c 点和 b 一 撇进行连接，对吧？那么当 e 点运动到这个位置的时候 啊，运动到这个位置的时候，就是他们的盒子最小值。三角形三边关系嘛，两边之合大于第三边，当前仅当三点共线的时候能够取得最小值啊，这个时候最小值是不是就正好是 c b 撇叉 对不对？那么也就是说 c e 加 c f 的 最小值就是 c e 加 b 一 撇， e 的 最小值啊，就是 c b 一 撇，那么 c b 一 撇的长又怎么求呢？这个时候我们可以看一下 c b 一 撇啊，这样子，它是在这样的一个 直角三角形里面的吧，对不对？直角三角形里面的，而这个直角三角形的这个边呢，是 a c 这个边呢，又跟 ab 相等，对不对？然后呢，这条边是不是就相当于就是 ab 边， 对不对？就是这个三角形和原来的这个直角三角形，它是全等的，所以说这段长就等于 ab 啊，所以说这个长就是十啊，它的和的最小值就是十， 那同样这个思想是不是可以放到这一题里面？就是我们模型上这个题，对吧？那这个题，这个题的话用同样的方法是不是可以做一下？大家可以思考一下。

初二初三必会最值方法逆等线模型学会了，压轴题拿满分！如图，一个等腰三角形 a、 b 等于 a， c 等于六 角， a 等于三十度， d、 e 分 别是 a、 b、 a、 c 边上的动点，但是保证 a、 d 等于 c、 e。 当 b、 e 加上 c、 d 的 核最小的时候，问我们 e 到 ab 的 距离是多少？那要想解决最后的距离问题，其实就是看看你能不能知道它们的核什么时候最小。所谓逆等线模型，通常应用的情况就是这样的两定两动问题， 然后他们有一组线段相等。这种两定两动的问题，米老师之前讲过，底层的核心逻辑是什么？我们要降动， 当我们碰到这种逆等线的情况，我们降动的方法依旧是构造全等，只不过它构造全等的方式更有规律性。 来，咱们看图，这里是个动点 e， 这里是个动点 bc 呢？都是定点。我肯定是想把 d、 e 拼在一块，那你要么挪动线段 c、 d， 要么挪动线段 b、 e。 比如说我想挪这个 c、 d， 那 看 c、 d 在 哪个三角形中呢？ c、 d 在 三角形 a、 c、 d 中，我现在就想构造跟它全等的三角形，这里有个非常重要的已知条件，叫 a、 d 等于 c、 e。 好 三个条件才能构造出一个全等。那你还会选择 a、 c、 d 中的哪两个条件？肯定是这条 a、 c 固定长度的等线段，选了这条固定长度的线段之后，是不是再选它们的夹角就好了，也就是通过 s a， s， 那这里 c、 e 等于 a、 d。 我 只需要我要把 d 跟 e 拼到一块，也就是要把 a 跟 c 拼在一块，那 a， 这里是个三十度，我是不在这里做个三十度角就好了。 好，大家来看，我们就可以做 c f 平行于 a b， 然后这里就有一个内错角三十度，同样，我让在这里让 c f 这个点等于 a c 这条边，于是我们就构造出来了这个三角形和这个三角形 s， a s 全等，全等之后，对应边相等，我们的 c、 d 就 成功地转移到了 e f 这里。 这时候你看啊， d 到 e 这里，是不是就跟这个 e 两个动点合成一个了？然后呢？ f 这里，那现在它是定点吗？我们看我们做的这个图啊，做了个平行三十度角，是不是固定的？你截的让 c f 等于 a， c 这个长度是不是固定的？所以 f 它是一个定点， 那我们本题中的 be 加上 c d 就 转换成了 be 加上 e f， 那 b 是 一个定点， f 也是一个定点，那两点之间线段最短，直接连接 e， f 就是 我们想要的 这个点，就是我们最后想要的那个点 e。 那 看图我们会发现，哎呦，你这 c f 平行于 ab 还等于 ab， 所以 这是一个八字全等，那 e 就是 a c 的 中点， 那这题的答案二分之三咱们就算出来了。哎，别着急划走到这，其实你只学会了这类问题的第一层， 那更高一层的逻辑在哪里呢？再变换一下已知条件，你还会不会利用构造全等来转移线段呢？咱们来分析一下啊，你看我们这题的核心是依附于 c e， 是 不是构造了一个这样的全等，然后你发现我是在这一侧做的平行，有没有什么问题？ 问题就是为什么我在这做一个三十度呢？啊？我可不可以在这边做三十度呢？ 好，那你听到这了，你也有成为学霸的潜力了啊，我如果在这一侧做一个三十度，可以啊，依旧可以产生转移线段的作用，但是 大家作图可以发现啊，在原算纸上来自己画一画，你在这如果做了一个三十度，截了个 c f 的 话，这 f 是 不在这了，那它就会变成一个折线段的盒， 那折线段的和再用将军一马去解决，你还是得做对称跑到这个点 f 这，所以到现在咱们再来整体汇总一下啊，当你碰到这种逆等线段模型，相当于是两定两动的问题，最值问题的时候，先降动构造全等。那怎么构造全等？肯定要依附于这个等线段， 同时让这两个点位于啊这个 e 所在的这条线段的两侧，这样你就可以直接运用两点之间线段最短解决问题了。那到这为止，我们逆等线的方法和逻辑咱就说明白了。

今天我们一起来学习逆等线段模型。如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 b、 c 等于六十度， b、 c 等于八， ac 等于十点， d、 e 分 别在 a、 b、 a、 c 边上运动， 是两个动点，但是保持 a、 d 等于 c、 e， 然后求这个 c、 d 加 b、 e 的 最小值。其实咱们逆等线段模型常常见到的就是有两个动点， 但是保证两条线段是始终相等的，求这个 c、 d 和 b、 e， 它们并没有组成三角形，或者说存在一些特殊位置。那逆等线段的基本做法就是通过这个相等线段为一个对应的边，就构造一对全等三角形，使得这个 c、 d 转换到别的位置上，然后就和这个 b、 e 呢接在一起是最好的。 就在这个题当中，可以试着把让 c、 d 往外绕的话，那肯定就是把这个三角形 a、 c、 d 构造到别的位置上去，使得它们全等，那因为相等的线段是 c、 e， 那 我只能往外转， 并且我想把 c、 d 这条线和 b、 e 给它接起来，那既然给了接下来的话，你发现这个 d 点和 e 点，它就该是对一点，对不对？ 那这时候我们就可以向上去构造，比如说构造了 c、 f 等于 a、 c， 那 这两个三角形 f、 c、 e 和 a、 d、 c 如果相，使得它们两个全等的话，那 a、 c 和 c、 f 又在相等， a、 d 和 c、 e 也在相等，那是不是还需要它两个加成相等，也就是角 e、 c、 f 和角 a 是 相等，如果这两个角相等， 那我们做辅助线的话，就可以做一个 c、 f 平行于 a、 d， 并且使得 c、 f 等于 ac 就 行了。 c、 f 等于 v， c 角 e、 c、 f 等于角平分， v、 d 等于 c、 e， 所以 三角形 a、 c、 d 就 全等于三角形 c、 f、 e， 那 我是不是就把这个线段 c、 d 给它转化出来？ c、 d 就 等于 e、 f， 并且我们发现就是 e 点和 d 点在运动的过程中，它们随便动， 那 a、 d 和 c、 d 有 相同，那这两个大小都是边角边长的，那我是不是就完全把这个 c、 d 转换到了 f、 e 的 这个地方？所以说现在求这个 c、 d 加 b 的 最小值，就变成了求 f、 e 加 b 的 最小值。 哎，那这怎么看？ a、 c 长度是固定， c、 m 长度也固定，说明 f 是 个定点，那 b 点也是个定点， 这时候两点之间线段就短，我连接 b、 f 求 b、 f 的 值就可以。其实一般在求线段的长度还是一托于购物的米，那我们要找到就是这个三角形，首先这里面有没有特殊角，再者就是如何构造直角三角形去极短， 而这里面第一个，比如六十度 a、 b、 c 是 六十度，那根据平行线同旁内角互认为这个角 f、 c、 d 肯定是一百二，这个角是一百二， 那遇到类似于这个顺角三角形达尔多了。这种三角形咱们常常做法是向外做垂线，我们过 b 点或 f、 c 的 延长线的垂线交于点 h， 这个角 a、 b、 c 是 六十度，那上边平行线呢？能得到这个角 h、 c、 b， 它也是 六十度。这时候我们再把线段的长度标一个， bc 是 八， ac 是 十， ac 是 十，那 f、 c 也是十。 这时候我们如果你把这个三角形 f、 a 是 b 的 两条直角给它算出来，我是不是就可以用勾股定律算 b、 f 这首歌六十度角，那这个下边用三十度角， 三十度角，所以边是斜边，边角它是八，它就是四，那这条边等于四倍根号三，那这时候 b f 又差不就可以做了？ b f 就 等于根号下十加十四，等于十四的平方，加上四倍根号三的时候，就等于二倍根号六十一，那它的最小值就是二倍，一个根号六十一， 这就是咱们这个逆等线段模型的一个做法。逆等线段无非就是构造全等三角形，只不过它的方向是逆的，它并不是咱们旋转模型里边正常旋转的方向，它的目的就是把这两条线段能给它接在一起，有什么问题的话可以在评论区给我留言。

这题看起来很简单，其实一点也不难。 a、 b 等于 c、 d。 求角 c 的度数，暂停作答三秒后讲解 时间到。看到逆等线做等边或者平移。观察题目没有现成的六十度角，所以我们做平移平移 a、 b 这个脚为四十度，连接 a、 b 等于 c、 d。 紫色为等腰三角形，这个角为七十度。根据三角形，外角和这个角也是七十度，两个底角相等， 蓝色是等腰梯形，根据对称性 b。 正角 c 等于四十度。有人问为什么要平移 ab 我偏不，那我们就平移 cd。 这个角为四十度， 红色为等腰三角形，这个角为七十度， 蓝色为等腰梯形。两个腰相等，边脚边两个红色三角形全等 角 c 等于四十度。你学会了吗？

有同学在上期乌龟的视频中留言，周老师，我已经能够通过您的方法去分析出两条线段，扮演不同的角色后，按照这个明确的方向去把正确的俯卧撑做出来。并且通过您发给我的资料，我已经能够完成其中的几道题， 这种感觉真的确实很爽，让我对几何的信心增加了不少。能不能再给我分享一下逆等线的一个做题方法，我有点忘记了，有点模糊了。没问题，学的就是逆 等线。逆大家都知道是不相反的意思，反的意思等。什么意思？相等的意思。那么逆等线指的就是两条方向不一样， 但是长度始终相等的动线段。为什么叫动线段呢？比如说看这道题，在三角形 a b c 中点 e 是 a b 上的一个动点，那么随着一点的运动， a e 的 长度是不是在发生改变？那么 a e 就是 一条动线段， 又说 f 为 b c 上的一个动点，同理， f 在 运动的过程当中， b f 的 长度是不是也会始终发生改变？但是好就好在 a e 始终等于 b f， 那 我们不妨把它们标上相同的标记， a e 永远等于 b f， 那 么 a e 和 b f 就是 我们这道题的主人公。逆等线。周老师对逆等线的方法分为两个步骤，第一， 找到目标三角形。第二，用 s a s， 用 s a s 构造一个 与目标三角形全等的三角形。 那这个时候你就要知道什么叫做目标三角形，这个目标三角形认真听讲，因为这很重要，这就代表你做题的方向。这个目标三角形需要有三个特征，一个都不能少。第一，这个目标三角形 必须要拥有一条动线段。第二，拥有一个固定的角度。 第三，拥有一条固定不变的线段。大家不妨来看一看，这里面哪一个三角形能够符合咱们的目标？ 哎，对三角形 a、 b、 f， 大家看一看 a、 b、 f 满不满足目标三角形的三个特征，第一，一条共线段， b、 f 是 一条动线段吧。第二，一个定角，请问 a、 b、 f 当中哪一个角是固定不变的？ a 角 b 对 不对？那不妨把角 b 标为 r 法。请问 a、 b、 f 这个三角形当中哪一条线段是固定不变的？ 哎，随着 f 的 运动， b、 f 在 动， af 也在变，那是不就 ab 始终没有发生改变，所以说 ab 就是 咱们的定线段，咱们用圆圈把它标个标个符号，那现在咱们的目标三角形是不就找到了 abf？ 阅读去说老师 啊，对，当然可以，因为 ace 确实也满足这三个特征。那所以说这老师画了两幅图，大家都一起来做一做好不好？来，回到这里来，我们这里找的是 a、 b、 f 做我们的目标三角形，我们把它图为阴影部分。好，第二个步骤也很关键，要用 s a s， 我们知道全等的判定，那里一共有五个， s， s， s， s， a， s， a， s， a， s， a 以及 r、 t 三角形的 h、 l 对 不对？但是针对于逆等线，你的方式方法，你的方向必须要用 s a、 s， 这就是非常明确的方向，你的目的性，你的攻击性就非常强。好，来，用 s、 a、 s 去 构造一个与你目标三角形，全等你的目标三角形，我们已经找到了你的目标三角形，是三角形 a、 b、 f， 那 我们就去构造一个和三角形 a、 b、 f 全等的三角形，大家可以发现 a、 b f 当中是不是有一条线段 b f 其实告诉你了， b f 永远等于 a e， 那 么 b f 的 对应边是不很明显，就是谁 a e， 那 也就是说 b 点的对应点就应该在 a 点这里，那么理解 f 点的对应点是不是就应该在 e 点这里？ 能理解不？那你发现我们要用 s a s 去构造这里的 b f 等于 a e， 是 不是就已经满足了一组 s？ 而咱们找目标三角形的时候，是不还找了一个定角？这个定角大家能不知道什么作用啊？对，它应该满足的就是 a 的 作用，而这个动线段满足的就是 s， 那 大家发现这个定角是阿尔法，这个阿尔法在 a b f 这个三角形当中， 是不是 b f 旁边的这个 b 点拥有一个角度是阿尔法，而 b 点的对应点是不是 a 点，那说明 a 点的旁边是不是也应该拥有一个相等的阿尔法？那所以说咱们这个时候就可以做一个辅助线喽，什么？什么辅助线？什么方向， 在 a 点的旁边去做一个阿尔法的度数， a 点的旁边和 a e 形成一个阿尔法，那你发现这个阿尔法和这个阿尔法是不是要形成内错角？那么你这条辅助线是不是就应该是 过 a 点做一条横线，这个角度就是咱们的阿尔法， 对不好？第三一个，你这里是不是还拥有一条定线段？这个定线段是不是就是满足咱们的 另外一个 s 的 作用，而这个定线段是 a b， 对 不对？那我现在是不是要过 a 点画一个阿尔法，过后画多长呢？是不是一定要和 a b 一 模一样长？来我们量一下 a b 大 概在这，那我这个时候亮过来，是不是我们的这个点就是咱们梦寐以求的 q 点连接，谁是不连接 q e？ 那 么这个全等三角形 s a s 的 全等三角形是不是就已经出现了？哪两个三角形？是不是三角形 a f 全等于三角形 q a e， 例如 s a s， 这个 s 是 不是就是 b f 等于 a e？ 是不是因为调上点？是因为提上点的条件已知这个 a 是 不是？我就简写哈，是角阿尔法等于角阿尔法，这个阿尔法是不是你自己通过学逆等线的方法做了一个阿尔法都能数出来？ 第三个 s 就是 ab， 这条定线段等于 q a， 而这个 q a 和这个阿尔法是不是就是你自己做出来的两条非常具有攻击性的辅助线？ 能不能理解？所以说这个你打个圆圈，那你这里是不是也应该打标记为圆圈？所以做两个三角形是全等全等完了过后，这个题逆等线的方法你就已经学的差不多了。你证明全等过后，你的目的是什么？很简单，是不是实行线的 等量代换？这里 q e 是 不是永远等于 a f？ 那 咱们的问题叫你求 c e 加 f f 是 不是就等量代换成了 q e 通过全等 s a s 的 全等，那这个时候这两个相加 a e 点是一个动点， e 点的位置是不可以调整？是不是还是一样的道理？共线的时候就应该是最小的时候， q e 加 c e 什么时候共线？是不是这连起来？ 这个就是咱们的终极目标，那么这个点就应该是一点的准确位置，那咱们这个题的最终答案就应该是 q c， 当然我这里没有给数据，只是 教大家一下怎么样做这道题的方法。那你看一下这道题你是不是相当于一共做了三条辅助线？ 你不要再觉得辅助线难做了哈，还是那句话，你一定要按照非常强的方向，非常强的目的去做辅助线。好，刚刚有同学说我这里选择的目标三角形是 a、 b、 f， 也有同学有不同的意见，他说 a、 c、 e 可不可以？刚刚老师说了可以，对不对？好，那周老师的第二步读，我们来对 a、 c、 e 进行一个转化，那这个时候我们来找到这个 a、 c、 e 当中动线段是谁？ 是不是很明显是 a e 永远等于 b f， 这里的固定角度是谁？ a c e 这个三角形当中固定角度是不是这个角？ e a c， 我 们把它变为背它 背包，那这里的固定线段是谁呢？ a c e 当中， e 点在运动过程当中， a、 e 的 长度会变， c， e 的 长度也会变，但是 a、 c 的 长度是不是永远不会发生改变？ 能不能理解？所以说 a、 c、 e 完全有资格作为咱们的目标三角形。第二步，用 s a s 去构造一个和 a、 c、 e 全等的三角形，那周老师把下面擦掉哦，那周老师把这个擦掉哈， 好，看到这么多。同理， a e 永远等于 b f， 那 么 a 点它的对应点是不是应该在 b 点这里？而 e 点的对应点是不是就应该在 f 点这里？ 能不能理解？那你看这个贝塔固定的角度是不是在 a 点这里？那它的对应点是 b 点， 那你说 b 点是不是也应该拥有一个固定的碑塔？那你这里是不是应该围绕点 b 去做一个固定的碑塔的角度？那周老师这里怎么大概的画一画哈？嗯，大概是，我看一下哈，大概是这么多 这个样子画过来， ok， 这个角度必须等于贝塔。有没有同学发现，下一步你这个长度画多长呢？是不是应该要和你的固定线段一样长？你的固定线段是 a c， 那 我这里是不是要亮一下， a c 在 这儿，那么这儿就应该画这么长，那这个点就是咱们梦寐以求的 q 点连接 q f 好，是不是这个三角形？这个标为圆圈，是这个三角形 a e c 目标全等于我们的三角形。自己做的三角形谁 b f q 理由， s a s 对 不对？这个全等的作用是不是实行一个简单的边的等量代换，其中 c e 是 不是就永远等于 q f？ c e 永远等于 q f？ 那 这个题叫你求 c e 加 a f 的 最小值 c e 等量代换成了 q f， 那 是不是就变成了 q f 加 a f 的 最小值？ f 点是个动点，那是不是轻微调整一下共线就 ok 啦？那么这个线段是不是就是咱们的终极目标 a q？ 听明白了吗？好，咱们来实战一道题。哇，今天天气好好，希望大家每天都有一个好心情。好，我们来看这道题。在矩形 abc 大 中， ab 等于三， a 大 等于三倍根号三，也就是说这个长方形的长三倍根号三，宽三。有没有特别敏感的同学， 你应该做勾股定型的时候应该特别敏感，我们从小到大的三角板一比根号三比二，那你是不是马上可以反应出来， abc 其实就是一个三角板，那你是不是可以读到这里是固定的六十度， 能不能理解？这里是九十度，这里是三十度？好，继续读题。 e 为 a， c 上的动点， ok， 一个动点 f 为 c 大 上的动点，两个动点，且 a、 e 始终等于 c f， 是不是马上我们就会想到逆等线的做题方向 a、 e 永远等于 c、 f， 那 么这就是两条方向不一样，但是长度始终相等的动线段，按照我们逆等线的方向去做。 首先找目标三角形，请问这里面哪个三角形满足一条动线段？一个定角，一条定线段 a， 还是有两个，对不对？三角形 b， 它的固定角度是不是六十度，它的动线段是不是 a、 e， 它的固定线段是 ab 等于三。第二个三角形 b、 c、 f， 它的动线段 c、 f， 它的固定角度九十度，它的固定长度 bc 三倍根号三，那么完全看你心情。二选一，那周老师这里就选一个就可以了哈。另外一个你可以下来自己去做。一做周老师这里选 a、 b、 e。 好， 选择了目标三角形过后，按照逆等线的第二个方向，用 s、 a、 s 去构造一个和目标三角形全等的三角形。我的目标三角形是三角形 a、 b、 e， 那我们就全等于谁呢？很明显， a、 e 等于 c、 f， 那 么 a、 e 的 对应边一定是 c f， 中间这个字母是不是就是咱们需要做辅助线去找到的 q 点？怎么做？ a 点是不是它的对应点一定是 c 点， e 点的对应点是不是一定是 f 点这里， e 点的对应点是一定是 f 点这里？那么你可以发现这个目标三角形拥有的固定角度六十度，是不是在点 a 这里？ 那我这里是应该 f 点有六十度了，还是 c 点了？很明显， c 点对不对？因为 c 点的对应点是 a 点，那 c 点这里就一定要做一个六十度，是不是这个方向一下就明确了，我是应该往这个方向去做一个 六十度，这一定是多少度？六十度？好，问题来了，请问我这条线做多长呢？ 是不是要和固定线段 a b 一 样长？ a b 的 长度等于三，我们看一下 a 在 这儿，然后这里就是在这儿，所以说这个点就是咱们梦寐以求的 q 点连接 f q， 好，这个三角形是不是就是咱们全等于目标三角形的？一个三角形是完全属于咱们自己靠自己构造出来的一个非常具有目标，非常具有攻击性的三角形。 c q f 这个三角形的目的是非常简单，实行一个边的等量代换，请问我这里是代代等量代换成了谁？是把 b e 等量代换成了 f q q f 吗？对不？那是不是这个题就变成了 q f 加 b f 的 最小值 f 点是不是调整一下就 ok 啦？ 好，最终咱们的目标终极目标是不是就是线段 b q 的 长度？固定线段 b q 的 长度 b q 又怎么算呢？ 是不要把它放到直角三角形当中算 b q 怎么样把它放到直角三角形当中？很明显，是不是延长 b a 过 q 点做垂线，垂足为 h。 很 明显，我们这里是要通过 r t 三角形 b q h 解决 b q 的 长度。我们刚说了自己做辅助线的时候， a q 你 是不是画的和 ab 的 固定长度一样长，那这个长度就是三， 而你这里是六十度，你这里是延长，所以这个角三十度。而 q a h 是 不是又来到了咱们熟悉的三角板？这个占两份，那一份是不是就二分之三？ 那么根号三分是不是就是二分之三倍？根号三，剩下的 b h 知道了吧？ q h 知道了吧？勾股定律是轻轻松松算出 b q。 当然这里是八年级的逆等线，它构造的是全等，实行边的等量代换，从而攻陷求最小值。下期视频，周老师给大家分享一下九年级的逆等线的方法又该怎么做。 当然前提你要把八年级的历年线学的比较熟悉，你做九年级的历年线就会非常的轻松。如果你觉得一道题不够，欢迎你关注周老师，私信周老师免费发给你我呕心沥血总结出来的 关于历年线胡不归阿四元各个各个的一些专题免费分享给你下课！

这是一道非常具有代表性的几何里面的最值问题，这个题型如果你知道方法，轻轻松松就可以解决，但如果你没有听说过的话，这个题可能就无从下手了。同时他就是青山居八年级的期末考试填空题的最后一题。好，我们一起来看一下。 首先题目中告诉了我们 a、 c 是 等于六的，然后呢，角 a 是 一个直角，现在有一个 a、 e， 它是等于 c、 d 的。 现在他说当 c、 e 加上 b、 d 最小的时候，让我们求此时的三角形 b、 d、 c 和三角形 a、 e、 c 的 面积之和。拿到这个题目以后，这是一个非常典型的最值问题。 那现在的话呢，这是一个多线段求和，我们最容易想到的是将军硬马，但是你会发现一个很严重的问题，那就是这两条线段它们并没有公共的点，所以无法形成将军硬马的图形。 那这道题到底考察的是一个什么样的坠直呢？你会发现在屏幕条件中有一个 a 一 等于 c d， 也说当一点在动的过程中， d 点也会跟着一起运动，始终保持 a 一 等于 c、 d。 所以 当你看到了一个动线段相等的坠直问题的时候，它就是非常典型的逆等线的坠直模型。 好，那么逆等线锥子应该怎么解决呢？那就是你一定要把题目条件中两条相等的线段给它用出来呀， 怎么用呢？两条相等的线段，我们最容易想到了，肯定是全等啊。那你看看 a、 e 和 c、 d， 他 们俩相等所在的三角形明显是不全等的，所以呢，我们需要人为的去构造全等这个思想理念。在我们上一个视频中也给大家讲到了。 好，那么现在我们就应该用 a 一 和 c、 d 作为对应边去构造全等，那么以谁为标准呢？你会发现 a 一 它所在的位置呢？有一个直角，所以我们选择三角形 a、 c、 e 作为构造全等的标准， 也就说我们需要在 c、 d 这个地方去构造一个直角，三角形和 a、 c， e 全等，那么 c、 d 和 a e 呢？就是对应的边。 好，那么现在我们来想想，这个三角形比较特殊，是因为它有一个直角，所以接下来我们也应该去构造一个直角三角形，那到底是在 d 这里去做一个直角，还是在 c 这里去做一个直角呢？这个时候注意了， 那你想想这个地方 a、 c 的 直角是不是在点 a 这个地方，而点 a 这里很明显是三角形 a、 b， c 里面的一个固定的点，所以 a 类似于叫定点， 那么现在我们就想想 c 和 d d 在 运动，那么 c 呢？ c 是 不动的，所以呢我们就可以选择定点对定点，动点对动点，那么在 c 这里我们去构造一个直角，那就相当于可以做一个垂直， 这个垂直你可以往上，你也可以往下，其实都可以的，我们往下做一个直角，那么现在你就发现 有一条边相等了，有一个角相等了，那么全等是不还缺一个条件？那现在我们做垂直的过程中，是不可以再给它加上一个长度的相等， 也就是说让此时的比如说这里是 f 点，让 c f 呢等于 ac， 这样的话我们就可以构造出 s a s 的 全等。好，那么现在再将此时的 d、 f 给它连接起来， 那么这样我们就可以构造出三角形 c、 d、 f 和三角形 a、 c、 e 的 全等。好，这个辅助线我们说一下， 就是做一个 c、 f 垂直于 a、 c， 且 c、 f 等于 a、 c 构造出一个角，再构造出一条边，用 s、 a、 s 来得到全等。好，那么现在的话，我们会发现，根据全等的话呢，此时的 c、 e 就 可以转移到 d、 f 的 位置， 那么现在的话呢， c、 e 来加上 b、 d， 就 可以把它变成 d， f 来加上一个 b、 d， 所以 现在只需要让这两条线段的和最小。那我们看这两个线段呢，一个是 b、 d 在 这个地方， 另外一个呢是此时的 d、 f 在 这个地方，这两条线段它有个公共点，就是 d 点，然后呢 b 点它是固定不动的， 然后 f 点呢，它也是固定不动了，为什么呢？因为你做这个垂直和它相等，这个长度也应该是等于六的。 好，那么现在就相当于 d 点在 a、 c 上运动，什么时候这两条线段的和最小呢？很明显就是在一条直线上的时候，也就是此时连接 b、 f， 那 么 b、 f 和此时的 这个 a、 c 的 焦点就是最小值的地点位置，那么这样我们的最小值位置呢，就给它确定好了。那再来看，我们最终要求的目标是三角形 b、 c、 d 的 面积加上三角形 a、 e、 c 的 面积。 好， b， c、 d 的 面积呢？我们啊用蓝色了给它标注在这个地方，那么现在呢，还有一个什么呢？三角形 a、 e、 c 根据全等 a、 e、 c 不 就是 d、 c、 f 吗？所以说此次的 s 三角形 b， d、 c 加上 s 三角形 a， e， c 实际上就等于 s 三角形 c b f， 那 么这个面积我们怎么求呢？来看看这个扇形的面，你会发现这一个地方的 c f 呢，可以当做是底边， 又因为这里是垂直，这里也是垂直，所以这个 b a 和 c f 啊是平行的，所以它的高就相当于是这两条平行线之间的距离，也就是 a c 的 长度， 所以它的面积就等于二分之一的 c f 来乘以 a c， 最终就可以写成二分之一乘以六，再乘以六，所所以答案就等于十八。那么这道题就是一个非常典型的几何模型，也就是逆等线的最值问题。 在大家以后看到了两条相等的线段，在变化的过程中要求最值，或者说要进行几何证明，我们就应该利用这两条相等的运动的线段去构造全等，就可以把这类题目都解决掉，你学会了吗？