初中数学几何四边形知识点思维导图

这是平行四边形，当他的一只脚变成九十度的时候，他就变成了矩形，当矩形的零边相等的时候，他就变成了正方形。 再看这边，平行四边形，零边相等就变成了菱形，而菱形的一个角变为九十度，他就变成了正方形。 是不是觉得还有些简单？先别着急，我们接着看。这是平行四边形中的两个特性，对边平行且相等，对角线相互平分 举行完美继承了上面两个特性以外，还发展出了两个新的特性，对角线相等，四个角为九十度。 而正方形又把矩形的所有特性给继承了下来，然后又发展出了一个属于自己的新特性，对角线相互垂直。我们再看另一条之线，也是一样的，我们发现了一个规律，特性会沿着箭头 方向被继承下来。这些四边形其实都代表了一类图形，箭头的起始位置我们称为负类。负类只需要轻微感动一下就能延伸出子类， 而子类又可以完美的继承父类的特性，同时还允许发展自己的新特性。这不就是编程语言里的类与继承吗？其实很多高端的技术科研思想都是来自于这些看似不起眼的数学原理的。 再用一句话概括今天的内容就是既往开来，一往无前。

初中几何没思路，看完这个思维导图，你一定不要掌握，那么现在同学们要想，如果我们知道了这个思维灵是菱形，他知道了这个思维灵是矩形，那么菱形能够带给我什么呢？ 是吧？矩形能带给我什么？能告诉我什么？那么好了，我们说一下它的性质。先说菱形，菱形我们也是建立在四边形，三个维度来说，边角对角线， 那么从边来说，我们来考虑边上四边相当，但切记切记，思维导图当中一定要体现出一个问题，什么问题呢？对与边平行，因为他是什么？他是平行四边形啊， 对吧？它是平行四边形中的一个种类，换句话说，它是一个特殊的平行四边形，所以不光要及四边相等，还要及对边两大平行，这你看我们四部手就打开了。同时我们还要说，从对角线来， 那么对角线互相让它垂直啊，对角线互相垂直，而且它也具有平时变形的性质，对角线依旧互相平稳。 oa 等于 ocob 等于 od 都等于二分之一 c 等于二分之一 bd， 但是它特殊的情况就在于 ac 和 bt 垂直， 那么 a c 如果一旦跟 b d 垂直，同学们要想，这里的 a o d， a o d， 这里的 b o c， 这里的 c o d， 是不是又产生四个直角了？你看这个题的话，我们的思路是不是就更多了？那么 说了边说了对角线，对角线还有一个功能，什么功能呢？在这里的话，大家可知道每一条对角线平分了一组对角，在这里的话，大家看啊，角 b a d 和角 b c d 角对角，而是被这里的 a c 平分，说明顶上画点的 b o 和 d o 型号， 这里画点的 b c u 和这里的 d、 c u 相等，而且 b a、 d 和 b c、 d 本身具有平行四边形的一些性质，对角就是相等的，那么四个角都相等。所以我们用几根语言来写， b a u 等于 d， a u 等于 b c u 等于 d c u， 那么 ac 能做到的，那 bd 能不能呢？也一样，平分力度就叫谁啊？ abcadc 本身 abc 和 adc 建立在平视频平衡上就相当， 而如果被 bd 评分角 ado cdo 相等，和 ado 和 cdo 也相等，四个点也相等，那么我们写思维导图的时候就要把这些几个点写上。

昨天呢，我们已经掌握了这个平四的性质，那我们今天来看一下平四的判定，以及中位线怎么去玩。那来看一下判定， 那判定的话，首先你要了解一下它的定义。 ok， 也就说你首先要知道什么样的四边形，它是一个平四， a 才能够通过其他边角对角线的关系去判定它。 ok， 那 首先 a 两组对边分别平行的四边形呢？它叫做平行四边形， 那他本身是不是就是一个判定呀？也就说，哎，两组对边分别平行，我就能够推出来他是一个平四，那判定呢？ 判定的意思就是，哎，我要通过其他边角对角线的条件，通过其他边角对角线的条件，我要进一步的去推出来两组对边分别平行，哎，进一步是不就能够判定出来平四？ 哎，如果说通过其他边角对角线的条件推出来平行，再推出来平次，那我是不是可以，哎，直接的去推，那么它就是 判定定律。 ok， 你 首先要明白判定是个啥，通过其他边角对角线的条件通证明它是一个平次， 那么就思路就非常明了了，我肯定要通过边角对角线这三块去看了。那边角对角线的话，来，首先边，首先来边，边的话，通过刚才的定义呢，我们已经知道两组对边 它分别平行的话，那必然能够得到一个频次。 ok， 还有什么？那还可以两组对边 相等吧，两组对边分别相等，哎，我也能够推出来吗？来试一下吧，我不能看着像，我就说是了。 ok， 来两组对边分别相等，也就说圈等于圈，叉等于叉， 我要通过这个条件我去推出来平行，哎，进一步就得到平四了，好，来，平行怎么推？已知他俩相等，我要去推圈和圈平行，叉和叉平行怎么去推？ 那推平行正平行还是要通过正等角吗？ ok， 还是要通过正等角，那正等角的话，连谁？我肯定得把这个 a c 给它连起来。 好，连了 a c 之后看到啥了？圈等于圈，叉等于叉边，边边我就直接能够得到这两个三角形，它是全等的关系，能不能下来 边边边直接得到全等，哎，拿到全等我去同步信息来仔细看，同步信息的话，插对的边是阿尔法，那插对的这个边也是阿尔法， 圈对的这个边是贝塔的话，圈对的这个边也是贝塔。标到这里看到啥了？阿尔法等于阿尔法，哎，首先这两条红色的边，它俩就是平行。 ok， 阿尔法等于阿尔法，两条红色边是平行，那么进一步， 贝塔等于贝塔，我是不是就能够得到这两条绿色的边？它两也是平行的，哎，两组对边分别平行，平四不就出了吗？ ok， 平四不就出了吗？也就说，哎，判定就是通过其他边角对角线的条件，我能够推出来两组对边平行，推出来这个定义，那它必然就是一个平四，符合这个定义必然就是平四。 ok， 哎，也就说两组对边分别相等，是可以判定它是平四的。还有没有 两组平行，两组相等，哎，我还可以再组合一下，那么一组平行又相等行不行？一组对边既平行又相等行不行？还是一模一样的思路？还是一模一样的思路？还是来看一下，我就把这个条件再具体一下来，我让这两个圈它既平行又相等， 怎么去推？那还是要想到去连接 ac 嘛，连完 ac 之后它俩相等，那平行的话，哎，能够得到阿尔法等于阿尔法， ok， 标到这里，看到啥了？圈和圈相等，阿尔法和阿尔法相等，还有公共边，又得到，它俩是全等的了， ok， 又得，它俩是全等的了，那么它俩全等，哎，我要么能够推出来两组对边平行，要么能够得到两组对边分别相等，直接结束 a、 d 和 b、 c 它俩既平行，平行的话带来角相等，它俩相等的话，边角边得到全等。全等之后，哎，首先得到 a、 b， 它和 c、 d 是 相等的，那么两组对边分别相等，哎，平四是不是也就出了？平四是不是也就出了？ ok， 走到这里来，你检查一下边结束了没，你会发现边的各种组合我都考虑过了，两组对边平行，两组对边相等，哎，既平行又相等，结束了，边结束了来，再看。接下来看角，那角的话，就只能是，哎，两组对角 分别相等， ok， 同样的还是来推一下嘛。来，推一下，来，对角相等的话，我让他是阿尔法，我让他是贝塔的话，他也是贝塔， 我要通过两组对角分别相等，哎，去推，以上的条件怎么去推？倒角？倒角，那你就看一下角往哪放嘛。阿尔法，贝塔，贝塔，阿尔法只能往这个四边形里面放，哎，放到这个四边形里面，我就能够得到关系，也就说能够得到二阿尔法和二贝塔，它俩的和呢，是三百六十度， 哎，他俩的和是三百六十度，也就说阿尔法加贝塔就等于一百八十度来结束了，没标到这里，他俩的和是一百八，十度的话，得到什么了？他俩的和是一百八。十度的话，那我必然得到平行， 他加他是一百八，也就说，哎，这两个角互补，那我就能够得到这两条线，他俩是平行的，能不能下来？那么他俩平行的话，再来 阿尔法加贝塔是一百八的话，哎，能够得到这两条蓝色的边也是平行的，哎， 两组对边分别平行，平四结束， ok， 拿到平四直接结束。好，这是角，这是角，还有啥？那还有一个就是啊，对角线呗。再一个就是对角线呗。来，对角线怎么判定？怎么判定对角线呢？它就只能是 两条对角线，是互相平分的，两条对角线互相平分，也就是说，来，我们把这个条件再给他，在图里面具体一下来，先把对角线一连 连好，连完之后两条对角线互相平分，也就说圈等于圈，叉等于叉。在已知这两组等线的条件下，我要去推以上的这些， 要去已知他们相等，要去推以上的这些条件。能不能推出来？思路是不是一模一样？那标到这里，圈等于圈，叉等于叉。首先看到啥了？我首先肯定能够得到这两个三角形，他俩是全等的， ok， 他 俩一定是全等的，拿到全等再同步摆来仔细看。 拿到全能，我去同步信息的话，首先来叉线段，所对的角是阿尔法的话，那么这个叉线段所对的角也是阿尔法，阿尔法，阿尔法，哎，我就能够得到这两条线，它必然是个啥关系？这两条线呢？它必然是平行的关系，能不能像来 内错角相等，必然能够得到这两条绿色线，它俩是平行的，同时呢，它俩全等的话，哎，我就能够得到 a， d 和 b， c 还是相等的，哎，正出来了，一组对边既平行又相等，频次结束。 也就说不管判定还是昨天梳理出来的性质，一定不能去死记硬背，你会发现每一条它都是有逻辑的， 我只需要通过给的条件哎，去证明出来，两组对边分别平行，那他就是这个判定， ok， 每一种判定一定不能死记硬背，一定不能死记硬背，一定要自己会推会正， 同时呢，不仅要会正，你还要想清楚，哎，每一条之间有啥关系？那你想明白了判定推导的这个逻辑，那么进一步的我还要去考虑一下证明。那证明过程我们昨天说了，我肯定要考虑三个要素，第一个是思路， ok， 第一个是思路，第二个是结构，那第三个呢，才是逻辑语言。那我们今天还是来看一下他的这个判定的证明到底咋整，看一下。首先呢，最后我们总结出来了，判定的话，其实就这四个，两组对边分别相等，一组对边平行且相等。角的话，两组对角分别相等，以及对角先互相平分， ok， 四个判定，那我们来看一下到底咋整。那么要去证明他的话，那我首先肯定要干嘛？肯定先得来个涂鸦， 给个图，我要把我要正的已知的，要正的我给他。再具体一点，已知的是四边形，普通的四边形， 圈等于圈，叉等于叉，他让我去正的是这个四边形，是一个平行四边形。那么来来捋一下这个思路嘛，捋一下这个思路嘛，首先呢，我第一步肯定能够得到。什么？我第一步呢，是先得到了全等，也就说 a、 o、 d 呢，它一定是全等于三角形 c、 o、 b。 哎，拿到全等之后同步信息，得到什么？得到等线啊？这里是得到等线，既平行又相等，那我就能够推出来平次。整个思路是这样子的，好，那我们来试着一起写一下，我们试着来一起写一下。首先呢，来，因为这个 o、 a 呢，它是等于 o c、 o b 等于 o d， 且这个角 a、 o、 d 呢，它是等于角 c、 o、 b 的。 那我能够得到这两个三角形 a、 o、 d 呢，它是全等于三角形 c、 o、 b 的， 它俩是直接全等的。好，全等之后同步信息，这是角一，这是角二， 所以能够得到角一等于角二，且这个 a、 d 呢，等于角二的话，就能够得到 a、 d 呢，它是平行于 bc 的， 那 a、 d 平行， bc， a、 d 还和 bc 相等，也就说 a、 d 呢，它和 bc 既平行又相等，所以说我能够得到四边形 a、 b、 c、 d， 它是一个平四。 ok， 那 这里的证明呢，你写的时候，这个平四一定要给它展开写，写完整，我在这里是为了节省一点时间。 ok， 所以 说整个证明过程呢，你首先要明白，我要证明一个定律，我把它在 图上具体一下，哎，我已知的到底是哪些条件？正的到底是什么内容？我给他再具体一下。具体完之后，你首先要有个大概的思路，哎，有个结构，我再用逻辑语言去把它表示出来。好，来，我们接着这里会正。之后来，我们再接着看一下，这里咋整， 来，先梳理一下。首先呢，他说 a、 b 呢，是等于 b、 e 的， 他俩是相等的。接着呢，他说 a、 e 是 角分线，角分线的话，那这是 r 法，他也是 r 法。哎，等线对等角，他是 r 法的话，那这个角也是 r 法。 ok， 同时呢，还说说这两个角也是相等的。最后呢，让我去推这个平四，怎么推？那还是看这些条件咋用吧。 ok， 标到最后就是看这些条件到底咋用。 首先呢，标到这一步看到啥了？阿尔法和阿尔法相等，我首先看到了一组平行。 ok， 首先看到了一组平行，也就说这两条线他俩首先是平行的。 ok， 他 俩平行的话，那再紧接着脚臂和脚的相等咋用呢？他俩平行的话，那么脚臂加这个角，他俩是互补的关系。 ok， 互补的关系。哎，他俩相等的话，那他加他也是互补的关系，所以说进一步能够推出来 它俩也是平行的。 ok， 来，我们还是来写一下这个过程来，写的时候刚刚梳理思路的时候，我标 r 法没有问题，但是写过程的时候一定要记得这里标什么角一、角二、角三啊？ 角一，角二、角三，要不然你说 r 法，我不知道说哪个角。那么这里呢，首先已知的啥？因为这个 a b 等于 b e， 所以 角一等于角二等线对等角，那么又因为 a e 是 角分线， a e 平分角 b a d， 所以 角一等于角三，所以能够推出来角二等于角三，所以能够得到 a d 和 bc 是 平行的。得到平行之后，那我还要看一下，得到一组平行还不够呀，我再看一下还有啥条件。 ok， 得到平行之后，那么这两个角它俩就是互补的关系。也就说，哎，能够得到角 b 加上角 b、 a、 d 等于一百八， 那么又因为角 b 和角 d 相等，所以角 d 加上角 b、 a、 d 也是一百八， 那么它两的和是一百八，它加它是一百八，哎，我就能够推出来它两也是平行的关系，能不能想来也就说这里就能够得到 a、 b 呢？它是平行于 c、 d 的， 哎，标到这里 又因为标到这里 ab 平行 cd， 而且呢 ad 平行 bc， 所以 说我就直接能够得到这个四边形呢，是一个，是一个平行四边形，是一个平行四边形。 写证明过程的时候一定不要着急，一定不要着急，你首先要把思路给他理清楚了， ok， 思路理清楚了，有一个清楚的结构，有个明显的结构，我再用逻辑语言把它完整的清楚的给他表达出来。那么来看一下这个题，首先呢，他说 a、 c 平行于，他，也就说这两条线， 这两条蓝色的边，他俩是平行的，接着呢，接着呢，他说他俩相等， 然后呢， e、 f 是 终点，它是终点的话，它两相等，它两相等。然后让我们去证绿色的这个四边形是一个频次。要证绿色的这个四边形，它是一个频次。那首先还是看一下这个条件到底咋用吧。 标到这里，首先平行能带来啥？平行肯定能带来，等角呗。来标，首先呢，平行得到阿尔法，阿尔法贝塔等于贝塔 好，标完之后，哎，两组角加上一组边，得到啥了，我就能够得到一个八字全等。得到这两个阴影部分的三角形是一组八字全等， ok， 得到一组八字全等。拿到全等干嘛 拿到全等？我得同步信息，哎，就能够得到什么同步信息，就能够得到这两条线，他俩是相等的，得到这两条线，他俩是相等的。 ok， 那 么他俩相等的话，哎，又是终点，所以说他俩也是相等的。直接结束，两条对角线互相平分，平次，直接结束。 ok， 那 其实这个题给到条件的时候，他说他俩相等，最后绕正的这个这个次变形， 他俩呢，已经是这个四边形的对角线了，也就说，哎，我只需要证明他俩相等，问题就结束了。 ok， 你 是有方向的，不是说漫无目的的，我试一下这些条件到底都可以怎么用，慢慢试出来的，我一定是有个方向的。想明白之后来还是来写一下这个过程吧。首先呢，因为这个 a、 c， 它平行于 d、 b， 所以 说我能够得到角一等于角二，角三等于角四，又因为 o a 等于 o b， 所以能够得到全等三角形 a， o、 c 呢，它是全等于三角形 b、 o、 d 的。 ok， 它俩是全等的，拿到全等我就能够得到 o、 c 呢，是等于 o d 的。 那么又因为 e、 f 呢， 分别是它俩中点，分别是 o c， o d 中点， 所以就直接能够得到 o e 等于 o f， ok， 它俩相等，而且呢， o a 等于 o b， 那 么两组对角线互相平分，所以我就直接能够得到四边形 a， f， b， e 啊， a， f b e， 它是一个平行四边形，也就说一开始呢，你先要把这个判定想明白， ok， 先把判定的这个思路想明白，我到底可以通过边角对角线的哪些特殊条件，我去证明它是一个频次 思路想明白之后，那其实做题的时候我不一定说我全都试一遍， ok， 全都试一遍，那比如说这个题很明显的都给了 o a 等于 o b 了，那我只需要证明他俩也相等，那么直接利用对角线互相平分就正结束了。 ok， 也就是说我证明的这个方向一定是通过已知，哎，通过已知我就去去筛选，不是说我挨个把这些都试一遍，那这个题呢，首先他说 b、 e 等于 df， 它俩相等。接着呢，他说 a、 b、 c、 d 这个大的四边形呢，它是一个平行四边形，哎，相当于给了什么？昨天我们强调过了，给了一个平四，相当于给了一个巨大的条件包，给了边，给了角，给了对角线的关系，给了一堆的条件，你一定要注意，这些条件到底咋用？ ok 来， 首先呢，给了他两相等，而且呢，他说 a、 b、 c、 d 是 一个平四，能得到啥？他是平四的话，那我肯定能够得到，哎，这一组对边，他肯定是平行的，他们平行，哎，这两段还是相等的，得到啥了？ 既平行又相等，哎，得到一个什么？得到一个小的平四，得到一个小的平四，这个四边形呢，他是一个小的平四。接着呢，题目又说，哎， m 点是终点， n 点也是终点，最后让我去正 这个阴影部分的四边形是平四。来，最后通过什么来着？首先呢，根据已知条件，我得到了这个黄色的四边形呢，它是一个平四，它是平四的话，两组对边是分别平行且相等的。 哎， m 和 n 点分别是中点的话，也就是说这四条边就都是相等的吧。 ok， 本来呢，它是平四的一组对边它俩是相等的， 又因为他俩是终点，所以说这四条边都是相等的，标到这里结束了，没勾等于勾的话，哎，勾和勾还是平行的，也就说一组对边平行且相等，那么这个四边形，它就是一个平四，它就是一个平四。 ok， 来理一下这个结构， 这个题我们就不展开写过程了，来理一下这个结构。首先呢，通过已知的，已知的平四，我能够推出来平行平行加等线，平行加等线我就能够得到这个 b、 d、 f， 它是个平四。 ok， 它是一个平四，那它是平四的话，进一步能得到啥？进一步我就能够推出来。哎， em， 它是平行于 n f 的， 又因为是终点， em， 它还等于 n f， 所以 说频次就直接出了，走到这里的话，你会发现，哎，性质， 性质，讲了判定我们也了解了，那性质和判定虽然说内容比较多，但是呢，每一条都是有逻辑的，每一条都是可以证明的。 ok， 每一条都是可以通过定义出发去证明，性质可以通过定义出发去证明。那么判定呢？可以通过已知条件去得到这个定义，每一条一定都是有逻辑的推导的， 一定不是。书上给了我这些，我就把这些背下来，老师讲了这些，我就把这些背下来。 ok， 性质和判定一定不能死记硬背，一定要想明白这个推导的逻辑。 ok， 那 我们再来进行第三个内容，来看一下这个中卫线，来看一下这个中卫线。首先来第一个问题，啥是个中卫线？那中卫线其实也比较熟了，如果说你听过这个 中点的处理方式的话，听过这个几何辅助线中点的处理方式的话，对这个中卫线应该也比较熟了。那首先呢，中卫线呢，他就是把三角形哎中点的连线叫做这个三角形的中卫线。那这个中卫线你看一下像不像这个三角形的一个裤腰带。 ok， 首先呢，明确了中位线的定义呢，它是连接三角形两边中点的连线。那你再来想一下，知道定义之后，一个三角形到底有几条中位线，有三个吗？ ok， 那 我就看连呗来，首先呢，这两条 它这两条黄色边的中点的连线，哎，它两它两的连线就是一条中线， ok， 那 么这是一条，同样的，我也可以去 点这两条蓝色边的中点 a， 也得到中位线，所以说一个三角形呢，是有三条中位线的。好，知道了定义 a， 我 还知道一个三角形是有三条中位线的，那我还要进一步想一想，这个中位线到底咋用？ 也就是说这个中位线有什么特点？那么中位线最直接的就是嘛，中位线的性质定律大家也比较熟了，我们知道中位线呢，它是平行于底边，且等于底边的一半的， ok， 这是它的性质。也就说，如果我设这条边是 a 的 话，那这一段就是二 a， 同时呢，还能够得到，这是阿尔法的话，他也是阿尔法， ok， 也就是说，哎，中位线的性质呢，分为两部分，一个是位置，位置上呢，它是平行于底边的，还有一个什么？还有一个是数量， 数量上呢，它是等于底边的一半， ok， 有 这样的一个性质定律。那么再进一步，我们了解了性质，我，我还要知道它咋来的，它为啥就平行底边，为啥就等于底边的一半了？再强调一遍，这些性质绝对不能说，我在这里讲，你就记住它就完事了， 课本里面这么说，记住他就完事了？你一定要进一步去想一下这到底为啥怎么来的？所以说接下来呢，我们来证明一下这个性质， ok， 证明一下这个性质，来看一下那同样的证明定律。证明定律走到这一步应该是非常清楚了，我肯定先要明确已知什么条件的情况下我要证啥？ ok， 我 把已知和所要正的这个东西再具体一下，也就说，哎，已知什么？已知？它是中位线的话，已知圈等于圈，叉等于叉，我要正的是它两平行，它还等于底边的一半。 ok， 我 把我要正的这个东西先给他明确了，明确之后，那我要正的话，我要正 d e 等于二分之一 bc 的 话，来，你觉得这里难受的点在哪里？看着这个二分之一太难受了。 ok， 看着这个二分之一太难受了。 如果说，哎，你前面听过我们讲什么？讲背角的处理方式的时候，我们说了，背角不管是几背角都是没办法直接用的，我得把它转化成等角，那同样的证明也是 我要挣它等于它的二分之一，我是不好挣的，我不喜欢这样的关系，我更喜欢挣，哎，谁和谁直接的两条线段是相等，因为图上他就没有二分之一 bc， 怎么办？那我给他截个二分之一 bc 呗，也就说我只需要去截 bc 的 中点 m， 那二分之一的 bc 出现了，也就说我只需要去证它俩相等。哎，证这样的等线的问题我们是喜欢的。 ok， 那 同样呢，哎，我不仅可以找出来二分之一的它，我还可以怎么样？我还可以把二倍的 d e 整出来吗？也就说二倍的 d e 等于 bc， 二倍的 d e 来给它言出来，我让它俩相等，也就是说，哎，两种思路，我可以去证它俩相等， ok， 有 两种思路，哎，到底选谁，那都来试一下，犹豫不决的时候，千万不要把时间花在纠结上，我就都来试一下，不行就换呗。首先呢，我已知的是，来这两个点是终点的话，我就标上啊。终点的话，那么是他是 a 的 话，他也是 a， 它是 b 的 话，它也是 b， 那 么设它是 c， 它也是 c， ok， 标到这里，哎，我要正的是圈和圈，既平行又相等，也就是说要正什么正平四就行，也就说连谁啊，我是不是得把这个 e m 一 连？ 我要证圈和圈平行记相等，这不就是平四的判定吗？也就是说，我只需要证明这个四边形，它是一个平行四边形就结束了，你会发现，哎，标到这里，我是把能标都标了， 我是把能标的条件都在图上整出来了，但是正平四没有任何的方向，我可以去做，边和角都没有任何的方向，所以说这里有点卡住了，我推不下去了，那怎么办？推不下去我就换呗，推不下去我就换呗。那来换第二种。 第二种呢，我是把这个 d e 给它延长了一倍，哎，整成了二倍的 d e 等于 b c， 也就说证明这两个线段相等就完事了。我们证明过程中一定是更喜欢这种直接的它等于它，而不是说，哎，证明一个 d e 等于图上都没有的线段，我把这个问题再具体一点，我就证它俩相等，那我还是标一下还是标一下来，那么它是中点的话，同样的 a a， 然后它是 b 的 话，它是 b， 那 么因为我把 d e 给它延长了一倍，那它是 c 的 话，它也是 c。 来，我要证它俩相等的话， 我要证它两 d f 和 b c 平行且相等，也就是说只需要证啥？我要证明这两段红的既平行又相等，其实只需要证什么？也就说还是正平四吗？ ok， 还是要正平四连谁？我只需要把这个 c f 一 连，哎， 我去证明这个红色的四边形，它是一个平四的话，那问题直接结束标到这里，通过我们标的这个条件，你先看到什么了？来，先得到八字全等了啊，看着没？ c， c， b， b 还有啥？还有一个对顶角，也就说，哎，这两个三角形， 这两个蓝色的三角形就是一个八字全等吧。拿到全等再进一步标。 ok， 拿到全等再进一步标。首先呢， a a， 那 他也是 a， 对 应边他也是 a， 还有没有能标的全等得到了等线还带来什么？那肯定还带来了等角吗？还带来了等角。哎，我是这个角是阿尔法的话，那这个角是不是也是阿尔法？ c 这条边对的角是阿尔法， c 这条边对的角是阿尔法。标到这一步，看到啥了？看到内错角相等了，阿尔法和阿尔法相等，也就是说得到啥了？我得到平行了，我的平行有了。来，仔细看，阿尔法，阿尔法，也就说 它俩，它俩，它俩就是一个平行的关系。 ok， 也就是说这两条红色的边是平行的。 首先呢，拿到题，哎，要正它的话，我肯定希望直接正，两条线段相等，图上都没有二分之一的 bc， 所以 说进行了一个转化，转化的话可以把二分之一 bc 转出来，那当然也可以把 d、 e 转化成它的二倍。 两种方法不知道用谁，我就都试一下。第一种呢，发现卡住了，那我就来第二种呗。第二种呢，首先标完之后得到一组八字全等蓝色，这组八字全等拿到全等，再来等边等角，我再去标 两条红色的边是平行的，而且呢，这是 a， 这是 a， 平行且相等，那么它两 它两平行且相等，也就说下面这个红色四边形，它就是个平四，平四的话，那么它两平行还相等，那么这就是二 c， 它平行底边且等于底边的一半结束，最后再进行一个等量代换，直接结束。我把这个思路再串一遍，你一定要 仔细去体会。我想告诉大家的，绝对不是说，哎，我这样直接去构造就完事了。我们做题过程中遇到这样的问题， 遇到去挣什么二分之一，三分之一的线段或者角的关系，这样的线段关系是没办法直接挣的，我们肯定更喜欢挣的是，哎，比如说让我去挣他两三段，让我去挣两条具体的线段，而图上都没有二分之一的 b、 c， 所以 说我要把这个问题给他具体化。 我们做题过程中肯定是喜欢这让我们去正具体的两个角，具体的两条边，那图上都没有二分之一的 bc， 所以 说我把它再具体化，把它再转化一下，找个中点二分之 bc 出来了， ok， 也就说，哎，可以正它俩。那当然我也可以把这个分数，把这个二分之一转化成二倍，也就说正它俩相等就完事了。那你接下来遇到其他的问题，是不是也可以这么去处理？ 遇到让我们去挣线段的几倍关系，或者说几分之几的关系，我是不是都可以这样去想，都可以这样去处理。所以说这里的重点一定不是说，哎，这里中位线到底是咋挣的， 而是整个处理的这个逻辑以及方法的选择。那么这也是平时做题过程中想要和大家传递的。我做题过程中方法比较多的时候，首先第一个点，一定不能把时间过多花在纠结上，我到底用谁？ 我先做，我先大胆试一个，一种不行，卡住了立马换另外一种，一共两种方法，一个不行，那我就另外一个肯定行。 ok， 一定不能把时间花在纠结上，以及说这块卡住了我就死磕他。那我们就来看一下这个证明过程到底咋写。思路呢？已经想的非常明白了，那我们就来看一下证明过程到底咋写？那同样的证明之前，我得先把这个辅助线给它做出来。 ok， 辅助线做出来， 也就是说这个辅助线描述怎么描述呢？我直接延长 d e 至点 f， 使得 d e 和 e f 相等，然后连接 c f， 连接 c f， 怎么做的就怎么写，把它完整地详细地描述出来。 ok， 一 开始做的时候，我们肯定是追求的是完整，那么你把这个过程非常熟练之后呢？我接接下来可以再精精简，再进一步准确， ok， 来接着写。那么辅助线描述完之后得到啥？那么因为呢？他说什么？他说第一呢，是 三角形 a、 b、 c 的 中位线，那我就能够得到 a、 d 是 等于 b、 d 的， 然后 a、 e 呢，是等于 c、 e 的， 它俩相等，它俩相等。那么又因为这个 d、 e 等于 e、 f， 角一等于角二，所以能够得到 三角形 a、 e、 d 全等于三角形 c， e、 f。 首先得到了一组全等，好来接着啊，接着得到全等之后，我就可以同步信息了，同步信息的话，也就说这个 c、 f 呢，它就等于 a、 d， 然后呢， 角三就等于角四，所以就得到了平行 ab 呢，平行于这个 c、 f， 它平行的话，又因为 b、 d 等于 a、 d 等于 c、 f， 而且呢， b、 d 还平行于 c、 f， 所以 能够得到这个四边形，这个四边形是四边形 b、 d、 f、 c， 它是个平次， 你写的时候一定要写完整啊，它是个频次，得到频次之后呢，下一步干嘛？等量代化？下一步直接等量代化。所以说我能够得到 d、 f 呢，它是平行且等于 bc 的， 那么又因为 d、 e 呢？它等于二分之一的 d、 f， 所以 d、 e 呢？它平行且等于二分之一的 b、 c 来直接结束。重点一定不说，我告诉你这个中位线到底咋正，那我只要说重点，要说这个的话，我上来直接延长，直接正， 整个过程中一定要把思路想明白， ok， 正的过程中更重要的是想给大家传递。哎，当你遇到这类问题，我该怎么处理？我把问题再具体一点，我到底是正哪两个线，或者说哪两个角？我把问题再具体一点， 那面临方法选择的时候，哎，两种方法看着都可行，符合我的目的，那怎么怎么选？我不纠结，先做一种，一种不行直接换另外一种。 ok， 这才是更多想要给大家传递的。那你因为你在做题过程中也一定会遇到这样的情况，那到底如何避免，如何处理呢？ 更多要给大家传递的一定是这些做题思路，到底是怎么想的？为什么这么做？好，来看一下，那这里呢，他让我们去正的是说三角形的一条中位线与第三边的中线互相平分， 翻译一下，啥意思？也就说让我去正圈等于圈，叉等于叉。来要正圈等于圈，叉等于叉，其实正的是啥？我是不是只需要正个频次呀？ 我是不是只需要正平次？也就说我要连谁？我得把这个 d f 和 e f 一 连。我只需要证明这个黄色的四边形，它是一个平行四边形的问题，就结束了。 ok， 我 要证明呢，它是一个平行四边形的问题就结束了。 好，那么要正平行的话，来，你先看到啥了？看到一堆的终点。 ok， 他 是中位线的话，那么这三个点都是终点。哎，这么多终点想到什么了？多终点，我肯定想着会有中位线出现，会有中位线出现。 ok， 来，仔细看，仔细看。 首先呢，第一是中位线的话，我就能够得到什么？第一是中位线的话，我就能够得到。哎，他俩是平行的， 平行且等于底边的一半，那么进一步还能多少？那么这两个连线的终点我能够得到，他俩也是平行且等于他的一半。 那么同样的来，还有，哎，这两个终点的连线也是平行且等于底边的一半。 ok， 来，标到这里结束了没？ 绿的和绿的平行，蓝的和蓝的平行，哎，两组对边分别平行，平四直接结束。 ok， 平四直接结束。再来串一遍，这块是怎么想到的？首先呢，要正，圈等于圈，叉等于叉，我肯定想着，我直接去正这个四边形，它是个平四，这是我这个方向 方向确定了，那到底咋正呢？看一下有啥条件。给了三个中点，哎，中点这么多，我肯定想着会有中位线出现， 那中位线到底用谁呢？三条中位线都标出来呗。哎，三条中位线带来三组平行，标完之后，哎，两组对边分别平行，平四直接结束，他是平四，那么平四对角线互相平分，圈等于圈，叉等于叉。来看一下， 首先呢，拿到题之后，得到这样的一个，得到四个中点，让我们去正因一部分的四边形是一个平四，从哪里开始？我肯定从中卫线这个方向去看吧，中卫线的话，那么四个点都是中点，四条线都是中卫线，那我到底看谁呢？到底看谁？ 定不下来，我就先，我就先都试一下吧。 ok， 来，首先这条边来，这条边是谁的中位线呢？看中位线取决于哎这个终点所在的直线到底往哪个三角形边放？那么 f 点呢，它是这条边的终点，而这点呢，它是这条边的终点。 三角形定下来没，那我就能够确定。哎，黄色这条边呢，就是黄色三角形的中位线，也就说，哎，我就能够得到 f， g 和它是平行，且等于它的一半。好，那么再来，再来，那么同样的来， g， e 是 一模一样，它是中位线的话， g 呢，是这条线 这条蓝色的边所在的终点，而 e 点呢，是这条边所在的终点， ok， 哎，三角形我也定下来了，也就说它是蓝色三角形的中位线，它们是平行且等于底边的一半的。 好，那么来，再来直接说这个 e、 h 是 哪个三角形的中位线，我还是去看它，到底它所在的直线到底放哪个三角形里面。那么 e 点呢？它是这条边的中点， h 点呢，是这条边的中点， ok， 那 么三角形，哎，就定下来了，平行且等于底边的一半，那么同样的这个 f h 是 不是也是如此？ f h 呢？来，它 它，所以说它是绿色三角形的中位线。好，来，标到这里结束了没？标到这里呢，你会发现，哎，黄的平行，黄的 同时呢，还有啥？这两条边，这条边，这条边，他们三是平行的，绿的、蓝的他们三是平行的， ok， 平行且相等，那平四就直接结束了。那么这里要重点看，强调的是，哎，首先多终点 你就要去想中位线，多终点就一定要先去想中位线，那中位线咋找呢？关键在于什么？终点所在的直线怎么去放 一点，所在的终点是它，而这点所在的终点是它。所以说 g、 h 呢，是蓝色三角形的中位线，一定要熟练地会找好。那么接下来呢，就是关于这个中位线的一些计算，直接看好吧，来，它说 它是中位线， e、 f 呢，是这个三角形的中位线。拿到中位线，你就要想一下，它是平行于底边且等于底边的一半，有一个位置上的性质， ok， 那 么它是平行于底边且等于底边的一半，有一个数量上的性质， ok， 那 么它是五的话， bc 就是 十呗， bc 是 十，这是一个等边三角形，那么他俩也是十呗，他是十的话，亦是终点，他是五，他也是五， 那他也是五。来答案是多少？最后呢，求的是这个四边形的周长，你会发现最后的答案就直接是二十五结束，那这个就是顺手标了， ok， 顺手就给他标了，标着标着答案就出来了。那首先哪道题呢？他说一点呢，是这条边上的终点， 而 f 点呢，是这条边上的中点。标到这里想到啥了？两个中点，那我肯定要想中位线嘛，它中位线的话，它是哪个三角形的中位线呢？ e f 它是哪个三角形的中位线？首先呢，两个中点多中点，要想中位线， 那 e、 f 呢？是哪个三角形的中位线？那么你把这两条边标出来之后，我肯定三角形就定下来了，也就说，哎，它是这个 黄色三角形的中位线，他是中位线的话，谁又知道了？那他是六的话，他是多少？十二呗，来标到这里，还有没有能标的？还能标角，这个角的条件一定不能忽略啊。我们知道中位线呢，他的性质定律 一定是两部分，一个是位置，一个是数量，位置呢是平行，数量呢是等于底边的二分之一，这两块都要去给它同步标到这里呢，我要求的是这个角，只需要求出来 这个角里面，他知道我只需要把剩下这部分求出来就行。我要求这个角，我要求这个角的话，来看哪个三角形，把这个角放在这个蓝色的三角形里面，用什么用？勾股呢？逆定离 织三边。要想着去验直角，那我能够得到这是一个直角，所以说要求的这个角度呢，就是一百四结束，也就是说拿到中位线之后，你要标的不仅有位置，还有数量， ok， 带来平行，且等于底边的一半。那么第二个点呢？就什么？你看到三角形织三边， 你要主动的去验直角之三边要主动的去验直角。来，这个题呢，他说给了一个什么？给了一个等腰，腰是十四，接着呢，他说 b， d 呢？是 a， c 边上的高。来， 什么意思？给了一个等腰三角形，还给了底边上的高，想到啥了？想到三线合一了，它不仅垂直，它还是中线和角分线，也就说，哎， d 点呢，它是个中点， 那么这里还有角分线。给他标上。好，标完之后，接着呢，他说这个 e 也是一个终点，哎， e 呢，他是这条边的终点。标到这里，看到啥了？标到这里，哎，一个终点，两个终点，多终点，你就要想中位线，那么第一点是终点的话，哎， 那么第一呢，就是这个黄色三角形的中位线，中位线的话，他是五呢，他也是十， ok， 他 是五的话，他是十，他是十的话，这是十四，这是四。结束标准，标准就结束了。那么这个题的一个点就是，哎，你看到什么？看到等腰， 而且呢，给了什么底边上的高？一定要想到三线合一，那么接着呢？哎，三线合一，又得中点，又得角，平分线多中点，像中位线，那拿到中位线又可以标了，标着标着，问题结束。首先呢，他给了说，他说这个角是直角， 然后呢，他这是十二，这是五，然后给了这段是四，他说 n 是 个动点， n 是 一个动点，然后呢， ef 是 两个中点，那么他是中点，他是中点，两个中点，想啥？两个中点，我肯定要想中位线嘛，也就说，哎，这个 ef 呢，他一定是一条中位线， 那他是哪个三角形的中位线呢？我是不得把 d、 n 一 连呀？ e 点呢，是这条边的中点， f 点呢是这条边的中点，哎，他俩凑一起，三角形就定下来了。 e、 f 呢，就是这个三角形的中位线。 ok， 它是中位线的话，平行于底边，还等于底边的一半儿。对，那它是 a 的 话，它就是二 a， 我 给它标上，标完之后，它让我去求 e、 f 的 曲值范围， 也就是说求他的最大值和最小值能不能下来。我要求他的最大值，最小值的话，那么求线段最值，我得关注什么？我得看一下线段端点的定动情况呀。我要求一个线段最值，我得关注一下线段端点的定动情况。 那你来看一下 e 点和 f 点是啥点？ n 点是个动点的话，哎，这个是四啊。他是个定点， 它是随着 n 点动的，它是随着 n 点动的， m 点是定点， m 点是定点，那么它动的话，这个三角形就在动。 ok， 这个三角形，那你看一下，我画一个 n 点动的话，比如说 n 点跑到这里，那么 d n， 然后 m n， 那 此时呢？它俩的这个中点，这里一点定是个定点，一点是个定点， f 点是个动点。 ok， f 点是个动点。好，那么标到这里，要求 e、 f 的 最值，怎么求？一定一动？我要求最值的话，那我只能去求动点轨迹， f 点轨迹能不能求出来？标定动这块一定要理清楚啊。 m 点是个定点， d 点也是个定点，那它的中点一定是个定点，而 n 点动，所以说 f 点是个动点，那么要求它的最值能不能直接求？ 我不知道 f 的 轨迹啊，我不知道 f 是 咋动的，所以说它是没办法直接求的。 ok， 没办法直接求，所以才考虑转化。 e f 可以 转化成谁来？ e f 可以 转化成 d n 呀， 因为它俩是有关系的。 ok， 那 我可以把 e f 转化成 d n。 哎，也就说接下来的问题就是去求 d n 的 一个最值。那么要求 d n 的 最值的话，来地点呢？它是一个定点， 而 n 点呢，它在 a b 上动来，你想一下 n 点跑到哪里取得最小值，走到 a 点吗？ n 点走到 a 点的时候， d n 取得最小值，也就说，哎， d n 呢，它一定是大于等于 d a 的。 ok， 走到这里取得最小值，那么相应的走到哪里取最大？那它一定是走到 b 点，走到 b 点最远嘛？走到 b 点离 d 点最远，也就说，哎，它的最大值呢，就是 db， 那 么带进去，也就说，哎， d a 呢是五， d n 呢是二， a， db 是 多少？ db 是 十三， 也就说我就直接得到 a 呢，它是大于等于二分之五，小于等于二分之十三。 ok， 答案是这个。来，我再来串一下这个思路啊，再来串一下这个思路，那其中呢，你会发现，这里呢，利用中位线得到这样的一个比例关系，倍数关系，帮助我完成了转化， 帮助我完成了转化，那这里呢，转化只是其中一个小小的环节，我们来整个理一下这个求线段最值的思路。求线段最值呢，我首先肯定要去关注线段端点的定动情况， 哎，确定完定动之后，我肯定想着找动点轨迹，如果说轨迹直接求的话，那就直接算了，直接可以算， 如果说轨迹不好求咋整？那轨迹不好求，我就想转化给他换个位置看看。十三咋来的？十三呢，是走到 d b 的 时候，那我就连了 d b， 连了 d b 之后，五十二十三终于用上了，可以我们来画着试一下吧。来，比如说 n 点在这的话， n 点在这的话， 那么中点就这 ok， 中点这个就是 f 一 撇，那么这就是中位线，这是一种情况。好来再来。第二种情况呢，就是在 n 点在这的时候， n 点在这的时候，那么把 n m 一 连，这是它的终点，来一连，这是二分之五。如果说题目里面它明确说了说，哎，这个 n 点在运动过程中和 a b 不 能重合，那等号就不能取。如果说没有明确说等号都可以取的， 等号都可以取，然后这个四呢？哎，算的时候发现确实没没用上它，那这个四呢？锁定了 m， 把 m 确定下来，它是个定点。那我们最后再来理一下，我们看一下这几个题到底考的啥，那么这个题呢？是个啥？这个题呢？发现，哎，中位线可以帮助我去做这个转化，那么这个题呢？ 这个题呢？你要去关注给的其他条件。哎，看到等腰三角形，还给了底边上的高，你要想到三线合一，两个中点，想中位线来接着， 那这个题呢，要得到的是中位线其实是非常好找的，这个题中位线是非常好找的，那么重点是啥？ 你要理清楚中位线的性质，定力呢？既能带来平行，也能带来线相的，有一个位置关系，有一个数量关系，都要给他标清楚，那这个题呢，这个题呢，就直接标呗， 标着标就结束了。那最后呢，我们就来检验一下咱们的这个学习目标到底达到了没？首先呢，探讨四边形性质的时候，我们是通过类比三角形，哎，明确了四边形，我应该研究边角对角线，而研究四边形的性质呢，是研究边角对角线的特点， 性质和判定都梳理清楚了，同时呢，性质和判定不能死记硬背，要知道怎么来的。接着呢，哎，标的这个习惯应该是从头贯彻到尾，从头贯彻到尾的， 也就是说，尤其是在平四这里，那给了一个平四，相当于给了一大堆边角对角线的条件，也就说给了一个条件包，所以说要去标， ok， 最后呢，中位线的性质定力你要会正，但是呢，重点一定不是说，哎，这个辅助线咋做的， 怎么正的？重点一定是，哎，处理中位线的这个证明过程中，哎，我发现比例线段，这一段线段和另外一条不存在的线段是不好正的，我要把问题再具体一点， ok， 你 处理其他问题也可以这么想。那么最后呢，哎， 从头到尾，我们一直在强调这个证明过程到底咋写好，这是我们这两节课的一个学习目标。

我错了，我错了，四边形在中考中的分量比我想象的还要重要啊！昨天晚上，我特意这个统计了一下去年二模的数据，结果呢，让我大吃一惊啊，重新认识了四边形的地位。 去年哈全上海十六个区的二模卷，几何证明压轴这个位置，卷卷的第二十三题，有十五个区考了这个特殊四边形，仅仅就一个黄埔局例外，就这一只漏网之鱼。 其中菱形考了出现了八次，正方形出现了三次，等腰梯形出现了两次，平行四边形出现了两次，那数据不会说谎，可以说，这个四边形几乎占据，几乎占据哈整个几何证明压轴的舞台。 那也正因为它如此重要，所以我们年前的其实就已经进行了系统的复习。但这个四边的知识点，一个最大的特征就是内容多， 各种性质判定啊啊，动辄就是每一部分都是四五条。传统的复习方式，大概是扔给你两张类似这种的密密麻麻的图标，要求一个个去背诵，去记，但是纯背必然是枯燥的痛苦的，光枯燥痛苦不说，还很容易遗忘，所以说实话，连我自己都不不大想去看。 所以呢，我设计了一张思维导图，把散落的各种性质判定都串联到了一起，成为一个体系。那也希望让孩子们能够记，记忆的这个更轻松一点，更牢固一些。 你比方说这个平行四边形，它有一个定义，四个判定，我如何这个用符号学来表达，把它梳理，希望大家能够见到符号就能识别定型啊。包括这个平行四边形如何进化为矩形、菱形，它需要添加哪两件装备？ 那再比如说这个普通四边形，你如何一步到位过渡到这个矩形或者菱形？那再比如说这个矩形菱形，你俩如何相互融合成为这个终极形态？我说这叫天选之子的正方形， 还有这个包括梯形啊，梯形五种常见的辅助线，你看在下面都罗列了，也总结在上面。遇到题目时，你如何去联想 好，包括这个特殊的题型，怎样题型你的这个判定性质啊，如何正向反向的灵活运用？希望通过借助这张图呢，帮助孩子们能够更清晰的理清四边形的这个知识脉络。 再往远一点说，其实希望大家在答题的时候能够有路可循，脑海中能够回想起这些这个图，然后一个个去尝试，遇到题目的时候就不至于无从下手了。 四边形这一块内容其实是一个缩影，其实我是一直在琢磨的，包括各种其他的东西内容，圆呐，或者说啊，而函数如何通过更清晰的方式把这个知识体系转化为， 我把它定位为叫思维通道，就转化为你们拿起来就能用的这个工具。所以说你也需要这份思维导读的这个原版，可以留言或者私信我，我觉得是很有价值的，我愿意分享给更多的认真对待学习的孩子们。

两个平行四边形轻轻一划，相邻的角刚好拼成一百八十度平角。 这不是巧合，而是平行四边形的秘密。对边平行菱角互补，加起来正好一百八十度，换个角度看几何会更有意思。

二零二五新版宝典来袭，思维导图，梳理知识口诀，助力记忆覆盖七八九年级重难点，助你秒减难题，成绩飞升。

初中几何考来考去就这六十个模型，让孩子把它吃透。数学不用愁，每个模型都清晰呈现，图形、条件、结论证明四要素。还有经典例题、实战演练，供孩子练习，学练结合，几何知识掌握更加牢固。 看不懂的还有名师视频，视频讲解，手把手拆解模型和抓分技巧，每天掌握一个模型，告别题海，家里有初中生的赶紧安排上！