七下数学书垂线课后习题都是哪些

第九题，如图，要把水渠当中的水引到点 c 处，在渠岸 ab 的 什么地方开勾才能使勾最短？画出图说明理由。既然要使它最短，那我们学过是 点到直线的距离垂线段最短，所以过点 c 去做 a、 b 的 垂线，那跟它的交点 d 点这个垂足就是我要开勾的这个地方 c、 d 是 距离最短的，那这个时候按边 a、 b 的 点 d 处开勾，才能使勾最短。 实体如图， o、 c 垂直于 o、 d 于点 o 直线 ab 过点 o 角 a、 o、 d。 这个角是 off， 用含 off 的 式子表示角 b、 o、 c 的 度数， 你看这个角是 off， o、 c 垂直于 o、 d， 那 得到角 c、 o、 d 应该是等于九十度的角 c、 o、 d 等于九十度，那角 a、 o、 c 等于角 a、 o、 d 减去角 c、 o、 d 也就等于 off， 减去 九十度。那我们看 a、 o、 b 在 一条直线上，所以角 a、 o、 c 加上角 b、 o、 c 互为零。补角应该等于一百八十度，那角 b、 o、 c 等于一百八十度，减去角 a、 o、 c。 现在我把角 a、 o、 c 带进来，那就等于一百八十度，减去 alpha， 加上九十度，所以应该是二百七十度减去 alpha。 这是一题，如图，直线 a、 b、 c、 d 交于点 o、 e 平分角 b、 o、 d 的 度数， 角三比上，角二是八比一，让你求角 a、 o、 c 的 度数，那根据它们之间的比值，所以我设角三应该等于八倍的阿尔法。角一应该等于阿尔法，所以我得到角二，它也是等于阿尔法。那现在我们看 c、 o、 d 在 一条直线上，所以角 c、 o、 e 加上角 b、 o、 d 应该等于一百八十度，也就是说角三加上两倍的角二等于一百八十度， 十倍的阿尔法等于一百八十度，阿尔法等于十八度。所以我得到角一等于角二等于十八度，那么角 b o d 应该等于两倍的角一 三十六度。现在求的角 a o c， 它和角 b o d 正好是对顶角，所以等于角 b o d 等于三十六度。

同学们好，这里是人教版同步初中数学精讲班七年级下册的课程内容，我是今天的主讲人乔老师。今天我们来学习垂线。 首先来看课程目标，第一，理解垂线的概念、性质以及画法。第二，要知道垂线段和点到直线的距离这两个概念， 并能够利用它解决啊综合性的问题。首先来看这样一个问题， 大家看到这是一个两线四角的模型，那么假设其中的一个角 aoc 等于九十度的时候，这个时候其他的角，比如说角 boc 等于多少度呢？答案，九十度， 以此类推，其中的角 a、 o、 d 和角 b、 o、 d 也都是九十度啊，利用上节课零补角互补或者对零角相等，就可以轻松得到。那么在这种状况下，我们称 a、 b 和 c、 d 互相垂直。 好，首先拿出垂线的概念，第一，当两条直线 a、 b 和 c、 d 相交所成的四个角中，有一个角是直角，有一个就够了， 然后呢，其他三个角也都是直角了，那么这时候称这两条直线互相垂直，而其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 好，那么这里有一个符号在图上，为了体现它是垂直的，请大家养成习惯，加上这个垂直符号， 那么通常我们在书写的时候会用这样一个符号来表示这是垂直符号，那比如说 ab 和 cd 互相垂直，我们通常记为 ab 垂直于 cd， 这样念啊，垂直于 cd， 如果他给了垂足，我们会另外加 ab 垂直于 cd 于 o， 垂足就是他们的焦点，这个时候名字叫垂足。 好，那么也可以说直线 a 和直线 b 互相垂直，垂足为 o， 那 我们可以描述为 a 垂直于 b 于点 o。 好，这是关于垂直的一种符号表达，那么根据这个我们就发现垂直是相交的一种特殊情况。 好，那么关于垂线它的符号语言，我们看一下，当直线 ab 和 cd 互相垂直的时候，那么会带来什么信息呢？比如说我们可以得到这样的一个判定信息，因为角 a、 o、 d 等于九十度， 所以 ab 垂直于 cd 啊，就是，那么在这个关系中，请大家要区分的是角 ld 等于九十度，这是给了一个数量。 然后呢，推出 ab 垂直于 cd， 这是给了一个位置关系。好，我们上节课讲的零补角和对顶角是位置关系，那么这个互相垂直也是一种位置关系，那么这就由数量关系过渡到位置关系。 当然，对于垂直这个位置关系来说，这是一种判定方式。反过来，如果已经给了 a、 b 垂直于 c、 d， 那 我们就可以顺理成章得到角 a、 o、 d， 角 a o c， 角 b o、 d 都是九十度， 那么这又由位置关系过渡到了数量关系。好，这就是关于垂线的定义，或者说垂直定义的用法。 那我们来看具体的问题。例如图一，若直线 m 和直线 n 交于点 o， 而且角一等于九十度，那这又按照垂直的这个定义，我们就可以判定得到 m 是 垂直于 n 的。 好，这个符号表达啊，垂直于 第二个，若直线 a、 b、 c、 d 相交于点 o， 而且啊，这里没有图，而且 a、 b 垂直于 c、 d， 那 么这种状况下，大家可以自个画一个图，在旁边形成参考啊。直线 a、 b 和直线 c、 d 相交于点 o， 而且呢， a、 b 垂直于 c、 d， 那 就说明垂足这个地方是直角，所以角 b、 o、 d 这是其中这两线四角任何一角都是九十度，那角 b、 o、 d 当然是九十度。 好，接着第三小题，如果 b、 o 垂直于 a、 o， 也就是角 b、 o、 a 等于九十度，那么问你角 b、 o、 c 和角 b o a， 角 b o、 a， 如果满足一比五的关系， 问你角 c、 o、 a 和角 b、 o、 c 的 补角分别是多少？那第一个一比五，那就是说把角 b、 o、 a 分 成五份，轻松求得每一份为十八度，所以那角 a、 o、 c 占其中的四份，从而它等于七十二度啊。仔细一点儿， 然后接下来问的不是角 b、 o、 c， 而是他的补角，审题官要过，所以先把角 b、 o、 c 求出来，也就是九十度的五分之一。好，那么就等于十八度，从而他的补角为一百六十二度。在我们了解了垂线的定义之后呢，接下来我们就要学着画垂线。 那么画垂线是首先要给一个前提，就是已经给你一条直线，你能否画出它垂线呢？所以我们有些基本画法，比如说给你一条直线之后，你怎么样利用手边的直尺和三角板解决问题？第一步，先要把你的直尺靠在直线上。 第二步，将你的三角板移动，使得一条直角边靠在直尺上，也就是靠在直线上。第二步呢，沿着另一条直角边来画直线，那么这样画出来的就是他的垂线，所以基本步骤是一 落一放，二靠三画这样三大步。那么这样的画法大家会发现，没有任何限定，平面内你过哪画都可以，所以可以画出无数条垂线，意思是任何一条直线，他有无数条垂线在同一平面内啊。 好，接着，如果我加以限定，比如说我在直线上选了一个点点 a， 要求过点 a 来画 l 的 垂线，那我们再来重复这个步骤，第一啊，直尺落在 l 上。第二步呢，把这个三角板一边靠在直尺上。 第三步，让他的另一边经过点 a 啊，我们在上册学习过，直线经过 a， 也就点在直线上。好，然后再画出这条直线，然后大家发现你只能画出一条来。 好，基本步骤，一放二靠三一四换。倘若把这个点呢， 不是放在直线上，而是放在直线外呢？好，我们同样的操作，一直尺落在直线上，就是放在直线上，三角板的一边也放在与直尺啊靠拢，放在直线上。第二步， 好，使得它的另一条直角边经过点 a， 然后再画这条垂线。基本步骤一样的， 那么这样大家画出来结果也只有一条。那么通过这样的画图的步骤说明什么呢？好，在统一平面内。 好，这个呢，本章就要注意用语言的一个逻辑性和严谨性，在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 啊，这就是刚刚画那个图啊，这个语言表述跟大家生活语言嗯，不像，所以大家需要精准的去理解他 在同一平面内过一点。根据我们刚刚画图，大家发现，如果没有那个点的话，你可以画出无数条垂线，就是由无数条直线与已知直线垂直。 但是如果给定一个点，不管这个点是在直线上还是在直线外，结果都只能画一条直线与已知直线垂直，所以才说有且仅有一条直线与已知直线垂直， 那么这个有表示存在，而只有呢？表示唯一存在且唯一。我们不是第一次遇到这个词了啊。好，这就是关于垂线的一个性质了。那么再接着我们来看一下， 在这种情况下，我们知道直线 l 上有无数个点，我任意取点与点 a 连接起来，比如说 ab， 比如说 a c， 再比如说 ad， 以此类推，直线外移点和直线上的点如果连接形成线段，可以形成多少条？无数条，原因是直线上有无数个点，那么在这无数条形成了无数条线段中，有哪一条最短呢？ 大家看着我们画这条红色的 ad， 它是垂直于直线 a r 的 a， d 是 垂直于直线 l 的， 那么像 a、 d 这一条呢？它是一条垂线的一部分，它是过直线外一点，一直到哪呢？到垂足 d 为止。像这样的一条线段，我们称为垂线段。 好，垂线段是垂线的一部分，是直线外一点到垂足之间的部分，它叫垂线段。 那么在所有这些线段中，我们发现，根据我们刚刚描述过，点 a 有 且仅有一条直线与已知直线 l 垂直，也就是直线 ad， 从而垂线段也就是 ad 这一条。所以那么根据这个图的对比，大家可以直观的发现 ad 是 最短的那一条。 好，由此我们可以得到这样的一个结论，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段几条，一条垂线段是最短的，我们就用五个字概括，垂线段最短。所以大家今后再回想这样一个性质的时候，注意一下，垂线段就最短。五个字来源于这样一句啊，长长的语言表述， 连接直线外一点与直线上所有点的线段中，垂线段最短。好，这是经过一番比较得到的。而这条垂线段 a、 d 的 长，我们也给他起个名字，叫做点 a 到直线 l 的 距离， 也就是点到直线的距离是垂线段的长，垂线段是一条线段，垂线段的长是一个数量啊，垂线段的长是点到直线的距离。 好，那么由此我们就可以解决实际问题，比如说我想把这条河中的水呢，引到农田 p 处， 那么怎么样挖这个渠道会使得渠道最短呢？因为这条河水它是一条直线，所以那么相当于我要找点 p 到这条直线的距离。点到直线的距离是垂线段的长度，所以过点 p 向这条直线做垂线段。 做法，我们刚刚讲了，一放二靠三移四划好理由，五个字，垂线断最短，这就是它的应用方式。 好，那么接下来我们看看大家这节课掌握情况。一、两条直线相交所成的四个角中，下列条件中，能判定两条直线垂直的是两线四角，咱们可以画在旁边。 嗯，有两个角相等，我们知道两线四角中有对顶角，对顶角一定相等，所以第一个不能够带来 垂直，第二个有两对角相等，那么两线四角中有两对对顶角，所以它也不能带来垂直。任意两线四角都满足啊。好，第三个呢，有三个角相等， 有三个角相等，大家会发现啊，比如说我们举例子啊，任意举第一个角一，然后角二角三， 然后角一、角二、角三都相等，那么大家知道角一等于角三，这个是对零角相等，就不多说了。那角一如果等于角二呢？ 我们很清楚，角一和角二是零补角，然后他们俩又相等，说明什么？说明每一个角为九十度，那么只要有一个角为九十度，就说明这一定是垂直的，所以 c 是 对的 好。那么 d 选项啊，本身两线四角模型中就有四对零补角，注意回顾上节课内容， 好！第二小题，在如图所示的这个情况下，问你线段 a、 c 线段 bc， 线段 c、 d 中最短的是哪条？ 那么大家需要准确理解这三条线段的属性， c 相当于是直线 ab 一 点，那么 a、 d 和 b 是 c 于直线 ab 上 三个点相连接，那这连接中垂线段最短，所以非常明显， c、 d 才是那条垂线段，所以答案是 c、 d 好。 那么同时我想问大家一共有多少条垂线段呢？ 哎，这个问题大家如果想清楚了，我相信垂线段的学习大家就已经完全拿下。那么在垂线段的理解中就要注意啊，随时转换你的思维方式。比如说像咱们刚刚说的， c 与直线 ab 的 距离是 c、 d， 所以 c、 d 是 垂线段。那我也可以这样理解， a 到直线 bc 的 距离， a 到直线 bc 的 距离是过点 a 向 bc 做垂线，是不是线段 ac 啊，所以 ac 也是垂线段， 以此类推， bc 也是垂线段。那有同学就会说三条啊，不对。还有比如说我也可以理解 a 到直线 c、 d， a 到直线 c、 d 的 距离是不是 ad 啊，所以 ad 也是那条垂线段。同样的， b、 d 也是垂线段，所以事实上这个图上一共有五条垂线段，如果这个你能够想通了，那么垂线段的问题就解决了。 好，接着第三题，划垂线，过点 p， 向线段 ab 划引垂线。划垂线也叫引垂线，那么正确的是哪个？那么既然是引垂线要经过它，我们说一落二靠，三移四划，你移动的过程是要经过这个点啊。所以呢，答案选的是 看一下，一个是向 ab 好， 答案选的是 c 过点 p， 向直线 ab 引垂线， 那么 d 为什么不选呢？大家注意啊， d 中这个 p o 它只画了垂线段这一部分，我们的垂线是直线，所以如果不严格区分，你经常我们画垂线段就够了。但是在要求是垂线的时候，你就要注意它是直线。 好，第四题，下列说法正确的。是啊，第一个线段 a、 b 线段 a、 b 叫做 b 到直线 a、 c 的 距离吗？啊，很明显不是好。 b 线段 ab 的 长叫做 a 到直线 a、 c 的 距离吗？ a 在 a、 c 上 更不用说 a 到直线 a、 c、 b 是 错的。 c 线段 b、 d 的 长叫做 d 到直线 b、 c 的 距离吗？那我们看垂足落在 a、 c 上，那垂足在哪条直线上，是到哪条直线距离？ c 错了。 d 线段 b、 d 长叫做 b 到直线 a、 c 距离。 好，根据刚刚这个描述，大家就明白了， d 是 正确的。我们再来看第五题，好似图已知直线 ab 和 cd 交于点 o， 还给了另外条射线 o e。 如果角一等于三十五度，角二等于五十五度，问我们 o、 e 和 ab 的 位置关系， 那么两条线的位置关系到今天我们学习的主要是香蕉以及香蕉中的特殊情况垂直，所以相信大家一眼可以判断出来应该是垂直，那么我们就要看这个角是不是直角了。 我们给了角一和角二，所以大家可以直接拿一百八十度减去角一，角二，轻松算得角三等于九十度，所以它们是垂直的。好，今天呢，我们学习了概念有点多，比如说第一个垂线的定义， 同时要注意里边的表述方法，比如说多出了谁是谁的垂 a， b 是 c、 d 的 垂线，比如说垂足 好，另外还有符号表达垂直于好。第二个呢，涉及到垂线的画法经过某个点画和不经过某点画法的区别。 好，第三个是垂线的性质，有两条，第一条呢，是啊，过一点，在同一平面内啊，过一点，尤其仅有一条直线与已知直线垂直来表达存在性和唯一性。第二个呢，是垂线段最短这五个字。 好，同时又给出一个点到直线的距离这样一个概念。好，今天内容到此为止。

今天我们来预习七年级下册数学第一章第二节垂线。其实垂线在我们身边藏得特别近，横平竖直的结构随处可见。咱们坐的书桌腿稳稳地撑着桌面，桌腿和桌面之间就是垂直的。教室里的门框横竖边框拼在一起形成的直角 也是垂线的样子。这种多一度嫌多，少一度嫌少的九十度关系，在数学上是怎么定义的呢？当我们按住一条直线，把另一条直线转到夹角是直角的时候，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，而表示两条直线垂直。有个专属符号 特别形象。如果直线 a 与 b 互相垂直，就在中间画这个垂直符号读作 a 垂直于 b。 如果他们的焦点是 o， 就 表示成 a 垂直于 b 于 o。 同理，如果焦点是其他点， 比如点 a， 就 写 a 垂直于 b 于 a。 这个两条垂线的焦点还有个专属名字叫垂足。这里老张要敲黑板提醒大家说明，两条线垂直只有两种方法，要么题目条件直接给，要么通过推理证明，千万别看到立体练练手。直线 a、 b、 c、 d 相交于点 o、 o、 e 垂直于 a， b 于 o， 角 e、 o、 c 等于三十五度。求角 a、 o、 d 的 度数。题目给了垂直条件，那就能直接得出，角 a、 o、 e 和角 e、 o、 b 都是九十度。角 e、 o、 c 加角 b o、 e 等于角 b、 o、 c， 也就是三十五度加九十度，等于一百二十五度。而角 b、 o、 c 和角 a、 o、 d 是 之前学的对顶角、对顶角相等， 所以角 a、 o、 d 等于一百二十五度。掌握了怎么用垂直来解析，接下来的重点就是怎么精准地画出一条垂线。记住四步口诀，贴靠过划， 所有垂线都能搞定。先练最简单的过点 a， 做 c、 d 的 垂线，垂足是 b。 第一步，贴，把三角板的一条直角边贴在直线 c、 d 上。第二步，靠，沿着直线 c、 d 移动三角板，使三角板另一条直角边靠到点 a 上。第三步，过 过点 a， 画出直线 a、 b 允许有一些角度误差，但不能和九十度差太多。第四步，画，画出直角符号，这样才能表示出两条线垂直贴 靠、过划，四步画出垂线，你记住了吗？再练个稍难的过点 a 画线段 b、 c 的 垂线还是按贴靠不画的口诀来进行作图。贴住 b、 c 靠到点 a， 画的时候发现 b、 c 不 够长，没关系， 把线段 b、 c 延长就行，再标上直角符号就完成了。在大家反复练习做垂线的过程中，我们会发现一个很有意思的规律，任意画一条直线 l， 在 直线外找个点 a 的 一条垂线，在直线 l 上找个点 b 过 b， 也只能画出 l 的 一条垂线。注意啦，这个规律的前提是在同一平面内， 这就是垂线的第一个专属性质。在同一平面内过一点油，且只有一条直线垂直，这个点可以在直线上，也可以在直线外。明确的垂线的唯一性， 再来探究它的第二个核心性质，这和一个特殊的线段有关。垂线段，咱们先分清垂线和垂线段，过直线外一点 p 做直线 l、 e 的 垂线交 l、 e 于垂足 o， 以 p 和 o 为端点的线段 p o 就是 l、 e 的 垂线段。所以 过直线外一点的垂线上，以内一点和垂足为端点的线段就是垂线段。简单说，垂线是无限延长的直线，垂线段是有固定长度的线段， 千万别搞混，用尺子量出 p、 o 的 长度，这个长度有个专属定义，点到直线的距离。从点 p 到直线 l、 e 能连出无数条线段，长度各不相同，没法作为固定属性。而垂线段只有一条长度，唯一不变，所以数学家就把它定义成点到直线的距离。举个生活里的例子，珠穆朗玛峰 高八千八百四十八米，这个海拔高度就是封顶。这个点到海平面的垂线段长度，是不是一下子就懂了？最后咱们来探求垂线段的特殊之处。 从直线外一点到这条直线的无数条线段里，垂线段为啥能被定义成距离？老张给大家做实验，以点 p 为圆心， p o 为半径，画一个圆，这个圆和直线 l、 e 只有一个焦点，就是垂足 o， 圆的半径都相等，也就是说，和 p、 o 等长的线段都 只能到圆上，到不了直线上。想要连到直线上，必须把线段加长，而且方向越偏，需要加的长度越多，不用量就能看出来， p、 o 是 所有线段里最短的，这就是垂线的第二个核心性质。垂线段最短，也意味着点到直线的距离，其实就是点到直线的最短距离。这 知识点掌握了，还得通过实践多练练手才行。洋葱学员每节课后都有配套的习题，做完后再对照详细解析过一遍知识点，直接吃透。别忘了搜张无羡有免费会员哦！好了，今天就讲到这里，我们下期再见了！

同学们大家好啊，接下来我们学习一下啊，香蕉线里面的垂线啊，这是第一课时先导入新春， 看一下下面这两个图片，你能找出其中香蕉的直线吗？他们有什么特殊的位置关系呢？很简单啊，第一个是一个窗户，我们的窗框啊， 窗框横着的长和宽他是相交的，而且呢位置是垂直的啊，我们直接就可以知道，因为之前我没接触垂直的概念了啊。然后我们这是一个栅栏啊，这栅栏的竖着的木条和横着的木条也是一个垂直的关系， 我们要看一下啊，日常生活中，比如说这是一个交叉路口，那这也是一个交叉路口，他们一般呢也是一个特殊关系存在啊，比较是垂直的存在的。 所以说今天的这个课程呢，我们啊垂直要了解三个学习目标，第一个呢，是理解垂线的概念，会用三角尺或者两角器过一点画已知直线的垂线。第二个呢，要掌握垂直的概念，能根据垂直求出角的度数。第三个是掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。 接下来我们看一下知识点一，垂线的定义问题一如右图，第一个角， a o c 的 对顶角是哪个角？角 a o c， 我 们来看一下，应该是这个角，它的对顶角呢，很显然应该是 b o d， 这里面直接写出来就行了。角 b o d， 呃，关系是怎么样的呢？很显然是相等的关系，因为我们上节课就学过了对顶角相等。 第二个角 a o c 的 零步角有几个？是哪个角？ a o c 的 零步角，很显然，零步角的话，我们就是让它有另一条边，不，不是公共边的这条边反向延长线就可以了。那么就是角 a、 o、 d， 还有一个是角 b、 o c 啊， 是这两个角。然后我们再看一下问题二，如下图，角 a、 o、 c 等于九十度时，角 a、 o、 c 等于九十度啊，这是九十度了。角 b o d， b o d， 角 a o d， 还有角 b、 o、 c 等于多少度？为什么？那很简单， 角 a、 o、 c 是 九十度，它的邻布角也是九十度，就是 b、 o、 c， 那 么它们对顶角 b、 o、 d， 它同样也是九十度，这也是垂直的。那么啊，这个 b、 o、 d 的 邻布角同样也是九十度，因为一百八减九十就是九十度，所以这都是九十度了。 在橡胶线的模型中，固定木条 a， 转动木条， b， a 和 b 是 两个木条，也就是两个直线，可以这样来理解，让它来转动的过程中呢，我们来看它其实是 a 的 角度是在变化的， 直到什么时候， a 的 角度直到变到变到九十度的时候，我们就可以看作来大概看一下，那么这两个木条是不是已经发生垂直的状态了。 所以说当 r 发等于九十度时， a 和 b 是 垂直的啊，那它不等于九十度时，那就知道它俩是不垂直，也就是相交，也可以叫做是斜交啊。所以说两条直线相交第一种呢啊，看它们所成夹角的度数，如果不是九十度就是斜交啊，所以说两条直线相交第一种呢啊，看它们所成夹角的度数，如果是九十度就是垂直啊。 下面垂直的定义，当两条直线相相交，所成的四个角中有一条角是直角，那么这两条直线是互相垂直，另一条直线叫做另一条垂线的垂线，它们的焦点叫做垂足，这是我们垂直的定义。 我们看一下右边这个图， a、 b 相交了，相交之后呢，我们发现这有一个垂直的标志，说明它有一个角是九十度，我们就可以叫做 a， 叫做 b 的 垂线，那他们的垂足是谁呢？垂足就是点 o， 所以从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键，只要找到两条直线相交时，四个交角中有一个角是直角即可。 第二个垂直的表示，垂直的表示呢？我们文字性的表示啊，可能以前我们有的同学已经接触过了啊，就是这个符号啊，就是一个这个符号，就是直线字母表示啊。然后呢，例如 a 和 b， 我 们图中 a 和 b 是 互相垂直的，那么垂足是 o， 则可以记成是 a 垂直于 b， 或者是 b 垂直于 a。 然后若要强调垂足的话，一定要记为 a 垂直于 b， 垂直为 o， 或者是 b 垂直于 a， 垂直为 o。 接下来我们看来来看一下这两个图形啊， 这个呢，就可以因为这有垂直标志了，所以说他们夹角有一个是九十度了，就可以是 m n 垂直于 e， f 垂直为 o， 或者是 m n 垂直 e f， 或或者是 m n 垂直 e f 于 o， 都可以这么表示。那么第二个呢，很简单， ab 垂直于 o， e 垂直为 o， 或者 ab 垂直垂直 o， e 于 o 都可以。 第三个垂直的书写方式，书写形式啊，如果直线 a、 b、 c、 d 相交于点 o， 角 a、 o、 c 等于九十度，或其中或其他三个角中的一个角等于九十度，那么就是 a、 b 垂直 c、 d 书写就是我们这个垂直符号啊， 推理过程可以写成啊，推理的话也很简单啊，我们也在上一堂课呢，我们推理过对零角相等，其实如果它是九十度，所以呢， ab 是 垂直于 c、 d 的， 直接可以用垂直的定义就可得到了。 如果 a、 b 垂直 c、 d， 那 么所得的四个角中必有一个是直角，这个推理过程就可以写成是因为 a、 b 垂直于 c、 d 的， 这是已知的，所以呢，角 a、 o、 c 就 等于九十度，这也是垂直的一个定义。 日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出图中的一些互相垂直的线条啊，这很简单啊，窗户的窗框啊，包括我们栅栏这个横着的竖条和竖着的竖条都是互相垂直的啊， 还有我们方格本，包括就是我们五字棋的这个棋棋盘，还有就是铅垂线，水平线啊，就是我们砌墙的时候，以前呢，砌墙的时候呢，是没有水平仪的，我们需要是铅垂线啊，啊，就是鲁班上面， 鲁班书上面所记载的啊，我们这个瓦匠所用的是铅垂线，来保证我们砌的这个墙呢，是一个垂直的状态，那么当然也有一条水平线也是拿线钩制的，所以说铅垂线水平线它一定是垂直的，要不然这墙就砌歪了。 我们看一下考点，考点一，利用垂直求角的度数啊，如果 a、 b、 c、 d 垂足于 o， a、 b、 c、 d 垂足于点 o， 这是我们的垂足角 c、 o、 f 等于五十六度角 c、 o、 f 这个角的度数呢，是五十六度 啊，可以大概记一下啊，那么角 a、 o、 e 是 多少度？角 a、 o、 e， 那 如果它是五十六，它又是垂直的，说明我们这一个大角，也就是说 c、 o、 b 是 九十度，所以我们 b、 o、 f 就是 九十，减去五十六，直接可以计算应该是三十四度 啊，如果它是三十四度了，那么它的对顶角 a、 o、 e 同样也肯定是三十四度，所以接下来我们看一下它的过程啊，和我们是推理是一样的啊。 啊，这里边也是等量代换，接下来我们巩固一下练习。如图， a、 b、 c、 d 相交于点， o， a、 b， c、 d 相交于点， o、 o、 e 垂直于 a， b， o、 e 垂直于 a、 b。 啊，又出现垂直了，而且有垂直符号。角一等于五十五度，它问你角 e、 o、 d 的 度数， e、 o、 d 的 度数。 如果角一是五十五度了，那么 e、 o、 d 的 度数就很简单，因为 e、 o、 d 的 度数等于九十度，加上我们 b、 o、 d 即可。那我们角一是五十五，那么角一是五十五五度了，直接就可以得到角 b、 o、 d 也是五十五，那么 e、 o、 d 就是 九十，加上五十五。接下来我们看一下它的这个求证过程， 因为 ab 垂直， o、 e 没有问题啊，所以说最后角 e、 o、 d 就 等于九十加五十五，等于一百四十五度。 再来看一下知识。点二，垂线的画法及其性质。这里面垂线的画法及其性质是很重要的，为我们呃初二的时候的几何然后打基础啊！第一个画已知直线， l 的 垂线能画几条？ 已知直线啊，如果说我们现现在这底下这条直线是 l， 画，它的垂线能画几条呢？应该是无数条啊，无数条的第二个或直线 l 上过一点 a 画垂线，这样垂线能画几条呢？如果是在平面里啊，如果在一个平面里过直线 a 的 话，我们也就能画一条， 如果不是平面里的话呢，我们可以也是画无数条的，这个叫特殊记。第三个，过直线 l 外一点 b， 画 l 的 垂线啊，能画几条？这样的话，过点 b 往下画的话，其实推理一下，有且只有一条就可以了啊。 接着我们看一下到底如何来画它的垂线。首先呢，我们要先准备一个直角啊，带刻度的直角啊，然后呢，我们要准备一个三角尺，就是直角三角尺来画，具体我们看一下它的过程， 先把支尺放在这个，然后我们三角尺对呃，你想在哪个部位就把三角尺放在哪个部位，对应刻度即可。然后画一条垂线，画一条啊，沿着它画一条线，那么这个线就是垂直的。 但是我如果有一个小知识点，一定要记住啊，经常容易出错的，就是挂过这个支线 l 画垂线的过程中，一定要露头，露出它的垂线，要不然容易画成是垂线断，很容易出错的， 所以这三点一放二靠三画啊。讨论这样画 l 的 垂线能画几条呢？那么我们知道啊，我们因为这个线是有粗度的，但是如果我们说线的话，直线是没有粗细的，所以说对于 l 来说，而且 l 也是一条直线，它的长度是无限的，那么我们可以画无数条， 贪求心之。如图，过直线 l 和 l 上的一点 a 做 l 的 垂线，那么过它。我们来看一下操作过程，一靠一放，二靠三移四划， 嗯，这样就是把我们啊三角尺直接移到这个点处，然后再画一条即可， 但记住也也一定要露头，因为它让你画的是垂线。 那么这样画 l 的 垂线可以画几条呢？过一点 a 了，如果是在一平面内是有一条的啊，这个里边呢，我们，呃，要小心就行了啊，但是如果不是一 l 平面内，它是也是无数条，因为它是一个空间啊。 接下来我们再来看啊，过直线外一点 b， 做 l 的 垂线，我们看一下操作过程，也是一放二靠，三移四换，先放 再靠，然后呢，靠到这儿来之后呢，我们要移动一下啊，移动一下，找准了我们必点的这个位置，最后拿铅笔画下来，记住，画出的时候尽量使用铅笔或者是自动笔，这样画错了还可以拿橡皮擦掉。 那么画 l 的 垂线可以画几条呢？直接我们出来了，其实就是一条，我们记住就可以了啊。根据以上操作，你能得出什么样的结论呢？我们看一下垂线的性质，在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直啊，记住，在同一平面内过一 点内，过一点中的点啊，提示，可以在已知直线上，也可以在直线外啊，这个要记住，也就是说过一点，这个点可以在直线上，也可以在直线外。 第二个有且只有啊，中有指存在，只有指，唯一性只有啊，但是前提条件不要忘，一定是在同一平面内。 链接中考啊，我们这个题可以看一下，如图，直线 a， b， c、 d 相交于点 o， 直线 a， b， c， d 交于点 o， 这是焦点， e、 o 垂直于 c d， e o 垂直于 c d。 下列说法错误的是，我们看一下第一个， a， 角 a o d 等于角 b o c。 角 a o d 是 我们这个角等于角 b o c 是 这个角， 这是没问题的，因为它们是对顶角，正好是相等的。 b 选项，角 a o e 加上角 b o d 等于九十角 a o e 加上角 b o d 加上这个角，它说等于九十，有没有问题呢？我们先看 e o 是 和 c、 d 是 垂直的，所以说我们角 a o e 加上角 a o c 加上这个角，应该也是垂直的，等于九十度啊。然后呢， d o、 b 正好和 a o、 c 是 相等，对内角相等，所以说是 a o e 加上 b o、 d 也是九十度，所以说它也是没有问题的。 第 c 选项，角 a o c 等于角 a o e 角 a o c 是 我们这个角等于角 a o e。 那 这个是啊，我们怎么能得到的呢？ 这个角 a o c 和角 a o e， 它俩只是互余的关系，也就是说相加应该是九十度，但是不能知道它是呃相等的，所以应该是选 c 了。但是呢，我们看一下 d 选项，角 a o d 加上角 b o d。 角 a o d， 也就是我们这个角 加上角 b o d 加上角 b o d。 啊，是等一百吗？没有问题，它正好是互补，所以说这个题直接就出来了，应该是选 c。 课堂检测，这是基础的巩固题。第一题，下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有几个？ 两条直线垂直正确有几个？第一个，两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么则这两条直线互相垂直，没有问题。第二个，两条直线相交，只要有一组邻布角相等，有一组邻布角是相等的，那这两条直线是互相垂直的，那这个呢，我给大家解释一下啊， 两直线如果垂直了啊，比如说我们这个角啊，和这个角，它肯定是个邻补角，如如果它们是相等的，因为它们是补角，相加一百八，要是相等的话呢，就是每个角都是九十度，所以也能得出来是互相垂直的，这个也没有问题。 第三个，两条直线相交，所成的四个角相等，则两条直线互相垂直，我们一共是四个角啊，一共是四个角，然后我们这四个角呢，是相等，但是这四个角呢，正好构成是三百六、三百六十度，除以四，正好也是九十度，那么也是没有问题的。 第四个，两条直线相交，有一组对顶角互补，有一组对顶角互补，两条直线互相垂直，一组对顶角互补的话呢，对顶角是相等的，互补是相加一百八，所以说能挣出就能得到啊。有两个角是九十度了，那也能推出是两条直线是垂直的， 所以说这个题呢，直接就是四个选项都是对的，选 a。 接着课堂检测我们的第二题，过点 p 向线段 a b， 过点 p 向线段 a b 啊，所在直线做垂线，正确的是，这个就很简单了，首先呢，做垂线的话，加角肯定是九十， a 是 错的。然后 b 呢，没有过点 p， c 呢，是过点 p 往 a、 b 做的垂线没有问题 d， 我 们看一下有没有问题。过点 p 向 a b 做垂线 d 是 有问题的，因为它没有露头，没有露头其实做的是相当于是一个垂线断，而我们垂线是一条直线，要两边都要露头的，所以说这是一个易错点，大家一定要小心。所以说这个题选 c。 第三题，如图，直线 a、 b、 c、 d 相交于点 e、 a、 b、 c、 d 相交于点 e、 ef 垂直于 a， b、 ef 垂直于 a、 b， 这是垂直的。若角 c、 e、 f 等于 c， e、 f 等于五十八度，则角 b、 e、 d 则角 b、 e、 d 的 度数是多少？它是五十八， 那么 b、 e、 d 其实就等于 a、 e、 c。 因为对顶角，所以说九十减去五十八，就是我们 b、 e、 d 了。这个题很简单，直接口算就可以了，等于三十二度。 第四题，如图，三角形 a、 b、 c。 根据要求画图。第一、第一题，过点 a 做 b、 c 的 垂线，垂足为 d。 过点 a 做 b、 c 的 垂线，那我们直接做，做不了的，相当于是一个啊，对角三角形，我们过这个点 a 呢，往 b、 c 这个底儿上做高垂足为 d， 那 我们一定要有延长才可以， 所以啊，第一个其实就是延长 c、 b。 然后过点 a 往上做垂线，但是一定要记住，要有垂直符号，要有垂足 哎。第二个，过点 c 做 ab 的 垂线 c、 e 垂足为 e， 也是延长 ab， 然后过点 c 做它的条垂线，要有垂直符号，要有垂足啊。 下面是能力提升体，我们看如图，直线 bc 和 m、 n 相交于点 o， a、 o 垂直于 b， c。 角 b， o， e 等于角 n， o， e， 也就是说 o， e 是 角 b、 o、 n 的 角平分线。若角 e、 o， n 等于二十度，角 e、 o， n， e、 o， n， 如果它是等于二十度的话，求角 a、 o、 m 的 度数。那么这个题我给大家演示一下。 首先呢，首先我们知道 e、 o、 n 这个角，它是等于二十度了，所以我们就知道 b、 o e 其实也是二十度，因为 o、 e 相当于角平分线嘛，它俩是相等的二十度了，它现在让你求角 a o m a o 是 垂直于 b、 c 的， 这是九十度了啊。 然后呢，刚才我们求出 e、 o n 是 二十，那么我们也就能知道这个 m、 o c 其实也是。嗯，刚才我们知道 e、 o n 是 二十，所以我们就知道 m、 o、 c 其实就等于 b o n 的 等于两个二十，所以它是四十度。 m o c 是 四十度了，它让你求 a o m， 那 么就是九十减四十，很简单，这应该是五十度。 然后 n、 o c 的 度数呢？ n、 o c 的 度数就是这个度数了，也就是因为 n、 o c 呢，是和 b、 o n 是 互补的，所以一百八减四十，这是一百四十度。很简单这个题啊，我们看一下解析， 那么最后啊，它让求 a o m n m 五十度啊，都已经求出来了，好 透过啊！探索题我们看一下，如图， a、 o 垂直于 f d， a o 垂直于 f， d o d 为 b o c 的 平行线， o d 为 b o c 的 平行线。也就是说，我们这个 b、 o、 d 和我们 d、 o c 是 相等的啊， o e 为射线 o b 的 反向延长线， o e 为射线 o b 的 反向延长线啊。这也就能证明， e、 o、 b 其实相当于是一条直线，是个平角，若角 a o b 等于四十度。角 a o b 这个角的度数，它如果等于四十度， 它如果是等于四十度的。求角 e、 o f， 那 么 e、 o f 和角 c o e c o e 的 度数啊，很简单了，因为这是垂直的，这是四十度。那么很显然，这是九十减四十五十度， 它如果是五十度，我们直接就得出来了， e、 o f 这个角也是五十度，它是五十度了啊，下面 c、 o e 的 度数， c， o e 的 度数呢？然后我们再来看一下，这是五十度了，刚才我们说 o d 是 b， o c 的 角平分线，所以我们 d、 o c 这也应该是五十度， 两个都是五十度了，那么我们 e、 o c 等于什么呢？其实就等于一百八减去角， b o c 也就是一百八减一百，所以它是八十度。 好，我们看一下啊。解析过程，接下来就是我们的课堂小结了啊，这堂课马上就要结束了，两条直线相交，一般情况下呢，就是啊，有有出现两个点，我们是上节课学过的，一个是对顶点相等，另一个呢就是临补角互补 啊，特殊情况呢，相交呈直角，也就是我们这节课学的垂直也垂线，垂线的存在和唯一性，这个我们需要记住啊，关注我，带你开启学霸模式！

同学们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学迁移下册第七张，相交线与平行线，七点一点二，两条直线垂直。我们来看一下我们这节课的一个学习目标，首先呢，我们要知道我们垂线的概念以及它的性质和画法。 第二个呢，知道我们的垂线段和点到直线的距离的概念，并利用它们解决实际问题，我们来看一下，首先我们来观察一下下面的图片，你能找到我们其中两条相交的直线吗？他们有什么样特殊的位置关系， 那大家在找的时候肯定能找到很多，对吧？我们观察一下这样的两条直线，你会发现它们除了相交之外，并且呢还是垂直的。再观察一下下面的两幅图，你是否还能找到呢？我相信大家能找出很多，对吧？ 好，那我们来想象一下，把两条相交的模型中呢？我们知道啊，当我们固定我们的木条 a， 然后转动木条 b 的 时候，当 b 的 位置发生变化的时候呢，我们 ab 所成的角 a 也会发生变化。我们来看一下 是不是当我转动我们木条的时候，那这个 a 呢，会随着我转动木条一直变大，对吧？那你想一下，当我的 a 等于九十度的时候，他是不是就呈现一个垂直关系啊？所以说我们就说这两根木条垂直。 好，那我们来看，当我们把两个木条画成这样的时候，或者是画成这样的时候，我们来看一下，我们一般的把两条直线所 乘的四个角中，如果说有一个角等于直角的话，那我们就能记作 a 垂直于 b， 这个呢就是我们的垂直符号，什么时候能写成它呢？就是说当它有一个角为九十度的时候，那就能记为这样， 那我们来看两条直线相互垂直呢？其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，然后它两个点，两个直线所交的这个点呢？我们叫它垂足，如图 ab 垂直，以 cd 垂足为 o， 这样 好这样的记法，然后大家应该理解什么叫做垂线，以及我们垂线如何表示，然后还有我们的垂足 来再继续我来看一下，我们知道呢，我们两条直线相交所成的任意一个角呢是九十度，那么就能那么就说他们两个垂直，那为什么呢？我们可以把这样的书写过程书写成这样， 如果因为 a o d 等于九十度，所以 ab 垂直于 cd， 所以 说我们在以后证明题的过程中呢，就可以这么写，这是我们的垂直定义。 在我们日常生活中，我们两条直线垂直呢会很常见，我们比如说我们窗户上相互垂直的木条，网球拍上相互垂直的这个网线，我们还有很多很多，对吧？大家可以举出相应的例子， 我们比如说我们马路横平竖直，对吧？我们的楼房以及我们的建筑和我们的一个湖面都是形成垂直关系。 来我们来看一下，如果让你用我们的三角尺或者两角器画一个，我们画一个已知直线 l 的 垂线，你如何来画呢？我相信大家能这样来画，对吧？那我们再来想一下， 我如果说经过我们直线 l y 一 点 b， 那 你让画一条这样的垂线，你能如何来画呢？是不是你可以这样来画呀？是不是你只能画一条呀？ 当我们画的时候，你发现了一个什么样的规律呢？他俩都能画一条，是不是？我们知道，如果说我们经过一点，不管是这个点在直线外还是在直线上，我们是不是只能画一条垂线呀？所以说我们能得到一个， 能得到一个基本事实，就是说在我们同一个平面内过一点，并且呢有且只有一条直线垂直的，这是我们的基本事实，对吧？ 好似图，当我们过点屁画我们射线或我们线段 ab 的 垂线的时候，如何来画呢？比如说第一个是不是我们第一个这样来画就可以，第二个呢？我们是这样来画，那第三个呢？第三个你可以延长 ab， 然后呢去做它的垂线就可以了。 那再来想一下，如图，当灌盖的时候呢，我们要把我们这条河的水呢引入到它，如何能使我们渠道最短呢？我们来想一下， 当我们把它画成这样的时候，也就这是河，这是我们的啊，农田，那是不是我们可以这样来做呀？过点屁做，我们 po， 也就是垂直于我们 l， 那 我们也可以这么画，这么画，但是我们会发现，是不是此时只有什么呀 po 最短呀？ 所以说我们就可以知道，当我们连接直线外一点与直线各点所有的线段最短的，简单的来说垂线段最短， 我们知道了直线外一点到这条直线的垂线段的长度呢？也就叫做我们点到直线的距离。 再重复一遍啊，就是我们直线外一点到我们这条直线的距离，我们是算哪个距离呢？是要算我们垂线段的这个距离啊，这个大家一定要记住， 那我们来看一下如何来看我们使我们渠道最短呀？是不是我们可以把我们这条河记为 m， 是 不是过点 p 来做它的垂线，此时呢，垂线的最短，也就是使我们渠道最短了。 好，那我们来看一下我们随堂检测。第一题，在我们三角形 abc 中呢，过点 b 画我们边 ac 的 垂线，下列说画法正确的是，我们来看第一个，过点 b 画 ac 的 垂线，第一个很明显不对，对吧？ 第二个呢，也不对，第三个呢，是不是也不对啊？我们正确的答案应该选 d， 是 在我们 a c 延长线上做垂线。 再来看一下，下列条件中呢，我们可以判断两条直线相互垂直的是第一个，两条直线相交所成的四个角都是直角，是不是可以判断 第二个呢？两直线相交呢？对顶角互补，那我们知道对顶角互补的话，是对顶角相等，并且互补是不是和为一百八， 是不是啊？那对顶角就是九十度，那只要有一个九十度就能判断出来两条直线相交所成的四个角呢，都相等，四个角都相等呢，也就是三百六十除以四是不是也等于九十度呀？所以说我们这三个条件是不是都能判断出来他们是相互垂直的？ 好，再来看一下，如图呢，我们点 p、 q 分 别代表两个村庄直线， l 代表两个村庄之间的一条公路，根据村民出行需要呢，计划在公路上某处设置一个公交站。第一个若考虑到呢，我们 p 村庄呢，住的老年人比较多，计划修站一个离我们屁最近的车站，那是不是我们过点屁做垂线，也就是垂线所和？我们的这个焦点为 m， 是 不是 m 点就是我们最近的呀？ 这个解释就是说我们直线外一点与直线各点的连线，所有的线段中呢，我们知道垂线段是最短的。那第二个若考虑到呢，我们的修路的费用呢？希望车站到我们的位置 p q 的 距离之和最小， 那是不是我们连接 p q， 那 与它的交点与 l 的 交点，也就是 n 点，也就是我们这两个两点之间线段最短，此时是不是我们成本就最小了呀？这道题大家一定要认真体会完。 好，那我们来看一下我们这节课的所学内容，我们主要学了一个垂线，垂线的定义。什么是垂线呢？就说当两条直线相交的时候呢，就说当两条直线相交，就叫做他们互相垂直， 并且呢我们垂直符号要会写以及垂足，我们的性质呢就是两个。第一个过一点外呢，有且只有一条直线与我们已知直线垂直性质外呢，就是我们垂线段是最短的。好，那我们这节课就上到这里，我们下节课再见。

在相交线的模型中，如果两根木条 a、 b 所形成的角中角阿尔法等于三十五度的话，那么其他三个角是多少度呢？我们一起来看一下。 这个角是阿尔法，这个角跟阿尔法是零角角的关系，所以它们的和是一百八十度，所以这个角的话就是一百四十五度， 而这一个角和阿尔法是对角关系，阿尔法是三十五度，所以它也是三十五度。 这一个角和这个一百四十五度是对角关系，对角相等，所以它也是一百四十五度。接下来我们看一下，如果阿尔法是九十度的话，我们来看一下这个角是多少啊？ 这个角和阿尔法是零角关系，所以它们的和是一百八，所以这里也是九十。 而这一个角的话，它跟阿尔法是对顶角关系，所以它也是九十。还有这一个角的话也是九十度哦！ 引出垂直的定义，当两条直线 a、 b 形成的四个角里面，有一个角是九十度的话，我们就称直线 a 和 b 是 垂直的，记作 a 垂直于 b， 记一下这个符号哦。 接下来我们讲一下垂线和垂足这个定义。两条直线互相垂直，其中一条直线就叫做另一条直线的垂线，他们的焦点就叫做垂足。像这幅图里面 o 就是 垂足。 垂直的概念具有双重的作用，如果知道两条直线是垂直的，那我们就可以推出他们的夹角是九十度。反过来，如果知道他们的夹角是九十度的话，那么你就可以下结论说他们是垂直的。 好，接下来我们来讲一下垂线的性质和判定。如果知道 a、 b 垂直于 c、 d 的 话，那么它们的夹角角 a、 o、 d 就是 九十度， 如果我们知道它们的夹角是九十度的话，我们就可以说这两条直线是垂直的。 两条直线垂直和相交是什么关系呢？垂直是相交的其中一种情况， 还有射线和线段，垂直指的是它们所在的直线垂直 在日常的生活里面，垂直是随处可见的，你看这些都是哦。 经过直线 l 上一点去做它的垂线，怎么做呢？经过 l、 y 一 点也去做它的垂线，又怎么做呢？到底有多少条这样的垂线？我们一起来探讨一下。 有两种做法，一种是用两角器来画，一种是用三角板来画，一共需要这几个步骤，请你看一下， 我们一起来操作一下吧。 经过直线 l 上一点 a 画 l 的 垂线能画几条？ 来，我们一起来画一下。首先呢，要把三角板的其中一条直角边移过去，跟 l 重合， 然后这个直角三角板的这个直角顶点跟点 a 重合，接下来我们就可以画了， 因为垂线是直线来的，我们画到这样还不行，还要把它延长 好，那这样子我们就完成了。过直线上一点做它的垂线，接下来看一下过直线外一点 b 做它的垂线，能做出几条这样的垂线呢？好，我们把这条三角板移过去， 让这个三角板的一条直角边跟 l 涂在同一条直线上，然后另一条直角边要经过点 b， 接下来的话，我们就画出它的垂线，记得也要给它延长啊，因为它是直线来的 好，那么已经完成 也是只能做出一条，也就是说，无论这个点是在 l 上还是在 l y， 经过这一点做 l 的 垂线都只能做一条好，不经过任何一点的情况下，这样的垂线能做几条呀？有无数条， 所以我们就得到了一个结论，经过一点，无论这一点是在直线上还是在直线外，都只能做出已知直线的一条垂线，并且只能做一条垂线， 这个就是垂线的基本事实，大家要把它记下来哦。这里有两个地方需要注意一下的， 接下来的话，我们来看一道作图题，作点 p， 画出射线 a b 或者线段 a b 的 垂线，我们一起来画一下吧。 好，刚刚那个步骤我们已经讲过了，我们现在就来对一下答案就好了。 好，第一个完成，来看一下第二个， 接下来看一下。第三个，这里面的话，我们在做的时候，你看啊，这样子移过来 这里面的话，需要把 a b 给延长， 然后垂线就可以画出来了。 第三个完成，来，我们看一下这一道题，如何挖渠能够让渠到最短。在讲这道题之前，我们现在了解一个概念，叫做垂线段， 如图， p 是 l y 点，并且 p o 是 垂直于 l 的 垂足的话即为 o， 那 么我们就称 po 是 p 到 l 的 垂线段， 我们要画直线 l y 的 一点。 p 到 l 的 垂线段的话，首先我们要过 p 点把它的垂线给做出来，然后连接 p 和它的垂足 o， 这条线段叫做垂线段。 接下来我们看一下，在 l 上，除了 o 之外，我们再任意的去取一个点 a 连接 pa。 请大家思考一下，你觉得 pa 和 po 谁更大一点？我们可以测量一下， pa 的 长度是十， 而 pa 的 长度是十三，所以 pa 是 大于 po 的。 那如果改变 a 点的位置，只要 a 个不跟 o 重合的话，那么你觉得 pa 它还会大于 po 吗？ 其实无论我们怎么测量，都会发现 pa 是 大于 po 的， 也就是 po 是 最短的，也就是我们能得到一个结论就是垂线段最短， 好，它的完整内容是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短。简单地说成垂线段最短， 好，接下来我要讲另外一个定义，也就是点到直线的距离。如果题目要你计算点 p 到 l 的 距离的话，那么首先第一步你要把垂线段给做出来， 你要找垂线段的话，你先做垂线，对吧？所以你要过 p 点做 l 的 垂线，那么它们的交点是垂足，即为 o 连接 p o， p o 就是 垂线段，那么这条垂线段 p o 的 长度就是点 p 到 l 的 距离了。 好，那么现在这道题就可以解决了，所以我们就过 p 点做这条和的垂线段， 我们已经学过了垂线，垂线段点到直线的距离，它们之间有什么区别呢？垂线它是一条直线来的，而垂线段它是一条线段。垂线段的长度可以测量，而垂线长度不可以测量。 垂线段指的是一条线段来的，它是一个几何图形，而点到直线的距离它是一个数量来的，它代表的是垂线段的长度。 好，再提一个问题，当两条直线相交形成的四个角都相等的时候，这两条直线有什么位置关系呢？ 我们知道这四个夹角加起来刚好等于三百六，对不对？那如果他们都相等的话，那每个角的那每个角就等于三百六十度，除以四，也就等于九十度。这个时候这两条直线就垂直。 在一张半透明的纸上画一条直线， l 在 l 上任意取一个点 p， 在 l 外任取一个点 q， 折出过点 p 且与 l 垂直的直线。这样的直线能折出几条啊？一条过点 q 也是一条， 理由是过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 第三题，做图题，过点 p 画直线 a、 b、 c、 d 的 垂线顶梁出点 p 到直线 ab 的 距离。这个不难，我们一起来对一下答案吧！ 点 p 到直线 ab 的 距离，就是 p 到 ab 的 垂线段的长度，也就是 p、 q 的 长度。 第四题，在三角形 abc 中，点 c、 角 c 等于九十度。分别指出点 a 到直线 c、 b、 点 b 到直线 a、 c 的 距离是哪些线段的长度。首先来看一下 点 a 到 c、 b 的 距离，那么就连接 a 到垂直 c， 也就是 a、 c， 它的长度就是代表 a 到 c、 b 的 距离。接下来， b 到 a、 c 的 距离，也是连接 b 到垂直 c， 也就是 bc 的 长度，就代表点 b 到 a、 c 的 距离了。三条边， a、 b、 a、 c、 c、 b 中哪条边最长啊？ ab 是 最长的，好理由在这里大家自己看哦！ 如图， ab 垂直于 l， c、 b 垂直于 l， b 为垂足。那么 abc 三点在同一条直线上吗？ 他们是在同一条直线上的。理由是在同一平面内过一点，有且只有一条直线与与之直线垂直。 我们来总结一下吧。垂直的定义，当两条直线相交形成的四个角里面有一个角是直角的话，那么这两条直线就是垂直的。 当两条直线垂直的时候，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的焦点叫做垂足。垂线的画法已经画过很多次了，我就不再啰嗦了。 垂线的基本事实，在同一平面内过一点，有且只有一条直线与与之直线垂直好看，这里 过这点 p 就 可以做一条线与 l 垂直，也就是 p、 o 所在的那条直线就是 l 的 垂线。 垂线段最短是什么意思呢？就是连接 p 到 l 上各点的所有线段中， p、 o 是 最短的。 点到直线的距离，点 p 到 l 的 距离就是垂线段 p、 o 的 长度。 我们来做一点题吧。如图， ab 和 cd 相交点 o、 o、 e 是 垂直于 o、 c 的， 也就是这里是九十度。如果角 a、 o、 c 等于五十八度，问这个角 e、 o、 b 的 大小是多少？ 我们知道这个五十八度加上这个九十度，再加上这个 b、 o、 e 刚好等于平角一百八，所以角 e、 o、 b 的 话，就可以用一百八十度减去五十八度，再减去九十度，等于三十二度。 在平面内做已知直线 m 的 垂线，它的条数有多少条？因为它这里没有明确要求要过哪个点做垂线，所以可以做无数条。 这里面如图， a、 b 垂直于 a、 c， a、 d 垂直于 b、 c。 垂足为 a、 d， 则图中能表示点到直线距离的线段共有多少条。我们来看一下。首先的话， a、 b 它代表的是点 b 到 a、 c 的 距离。然后 a、 c 代表的是 c 到 a、 b 的 距离， a、 d 代表的是点 a 到 b、 c 的 距离。还有 b、 d 代表的是点 b 到 a、 d 的 距离， c、 d 代表的是点 c 到 a、 d 的 距离，所以选这个答案你做对了吗？ 好，这道题比较简单，我们就对一下答案就好了。 好，我们来总结一下这一节课。首先呢，我们学了两条直线相交形成的一种特殊的位置关系，也就是垂直，还学了垂线垂足和垂线段的定义， 并且我们得到了一个结论，就是垂线段最短，以及知道了点到直线的距离怎么算。

相交线平行线是我们期下非常重要的一个章节，在我们期中期末很多考试当中，他都要出最后的解答题和压轴题，那今天呢，我就带着大家啊，去说一说这种题目当中的解析技巧，把平行线这里常见的拐点模型的结论 记住了，我们像这种选填题是可以直接秒出答案的。那有关于平线，这里啊，老师也给大家总结了易错的真题三十道，大家啊，可以在这个假期重点把这类模型的结论掌握下来，把基础掌握好，下面我们再拔高就容易多了啊，我们打印出来每天两道题就够了， 下面咱们来看看这道题说如图， a b 平行于 c d， 角 e b f 哦， e b f， 这个角等于二倍的角 a b e， 哦，那这是小叉，这个角不就是二叉吗？ 同样这也有二倍的关系。角 e d f e d f 这个角等于二倍 c d f， 那 这是小圈，那这不就是二圈吗？那这几个角咱们都表示出来了，他问你，角 e 与角 f 之间满足的关系来看，角 e 在 什么模型当中啊？识别一下， 这有一个猪蹄模型，看见了吗？所以在猪蹄模型当中，我们有角一，提尖尖之合等于提丫丫，哎，猪蹄模型这三个角之间是不是有角一加角二等于角三，所以角一直接等于小叉加小圈， 那同样角 f 呢？角 f 在 什么模型当中啊？咱们再瞪着眼识别一下来哦，角 f 在 这样一个铅笔图形当中，铅笔模型以及变形的模型结论，老师之前在视频当中是不给大家推导过了，他们三个角什么关系呢？ 是不是有三叉加上三圈，再加上角 f 等于三百六十度啊，对不对？ 好了，现在想要找角 e、 f 的 关系，那就很容易了，来小叉加小圈就是角 e， 所以 这个地方不就是三倍的角 e 吗？再加角 f 等于三百六十度， e 和 f 的 关系直接秒减。 所以像这种题目咱们有技巧啊，不需要上来任何题都过拐点做平行再去推导。在选填题当中，咱们有这种模型的二次结论，直接代入，是可以让你做题速度快人十倍的。那像这种题目你现在学会了吗？

十八天带你搞定七下全册的预习，今天我们来说下册必考的一个难点章节，相交线、平行线，平行线。这里啊，在我们的月考期中期末当中，经常会出这种拐点模型的压轴题，很多同学没有解题的方法，做不出辅助线，进而导致这道题一分都拿不到。 今天依依老师就教大家一个方法，搞定所有平行线、拐点模型、辅助线的思考方式，让大家轻轻松松拿到满分。 那有关于平行线这里的题目啊，老师也给大家总结了历年的易错真题三十道，这个假期如果想提前冲刺的，想冲高分满分的家长们一定要带孩子打印出来，逐个模型的进行落实。 下面啊，咱们就来一起看一看。这道题说已知 a、 b 平行于 e f 角 a 啊，等于二十度角， c 等于五十度角， e 呢，等于一百四十度，让你去求对应角 d 的 值是多少， 那你看这道题啊，看样子他是四不像的，因为我们之前讲了拐点模型十三个三大家族里面没有这个异形图，那见到这种图形，我们必然需要通过辅助线帮助我们倒角。那怎样做辅助线呢？ 一句话叫做过拐点做平行。什么是拐点，很容易理解哎，转折点他就是拐点，所以在这里我们就过对应的地点做一条平行线， 它平行于 ab、 ab， 平行于 e、 f， 所以 由平行公理的推论，咱们知道这三条线都平行。哎，我做出平行线之后，你会发现上面不就形成了一个小的猪蹄模型吗？ 猪蹄模型的结论是什么呀？哦，这个猪蹄两个蹄尖尖之合，等于蹄丫丫，角一加上角二十度，这个角就求出来了，它就是三十度。 同样再来看这两线平行，这是不是就形成了一对什么？对了，同旁内角，所以下面那个角是一百四十度，我们就可以很容易求出上面这个角的度数。一百八减一百四，也就是四十度。 那对应我们要求的这个角，也就是角 d， 也就是 c、 d、 e 的 这个角，它是什么呀？哎，不就是这两个小角的和吗？不就是三十度再加上四十度，哎，等于多少？七十度，所以我们就可以直接求出最终的答案了。

有好多同学在寒假预习了相交线与平行线这一章，发现这一章会考很多大题是吧？ 解答题要么让你补全证明过程的，要么让你独立写出来所有的证明过程。好多同学对这个步骤书写还不是特别熟悉，在这我准备了四十道解答题分类训练， 有让你补全过程的，有让你独立写出来的，还有含三角板的，一共是四十道。有基础题，也有一些难题，需要的小伙伴你可以给我留言哎，我发给你评论区留一个六六六就行。 希望同学们能够在开学之前把解答题给通关好，祝各位新年快乐！

同学们，你们知道为什么十字路口上的斑马线都是垂直于马路的吗？其实这背后隐藏着我们今天要学的相交线与垂线的秘密， 这可是我们整个轻盈下侧几何的敲门砖，学会它后面的平行线、坐标系都不在话下。这一角我们会搞定零补角对顶角的识别与计算，学会垂线的画法，还会挑战点到直线的距离，这类常靠梯形 帮你把几何题型打了打下扎实的基础。那在这之前，我们先回顾一下期上我们学习的两个概念，第一个叫角度互补，第二个叫角度互余。 什么叫角度互母呢？互补在我们，在我们这个，在我们数学上是指两个角和为一百八十度，互余是指两个角和为九十度啊。但我们在说这两个概念的时候，是不是只说了它的数量关系，对吧？我只要说两个角， 他们满足何为一百八十度，我就可以说两个角是互补角。如果两个角满足何为九十度，就可以说它是互余的角。 那在这之后，我们再学习两个新的，引入新的概念，第一个叫零补角，第二个叫对零角。好在这之前，我们先说什么叫相交线， 顾名思义，就是指我两条线有一个交点，是不是？这就叫我们的相交线的情况下，我们会形成两种角度，第一种角度叫零补角。 什么叫零补角呢？就是指两个角度，第一个有公共边，第二个另一边互为反向延长线，那这种就叫我们的零补角了。比如说看到我们右图中啊角一和角二之间那角一是指 从这个公共焦点出发，往 a 的 往 a 这条线的左边的沿线，红色线部分，一个从圆点出发，往 b 这个方向向上划的部分，两条线之间夹角就是角一。那角二是谁呢啊？我们说角二是指 从公，也是从公共点出发，一个向右，一个向上，是不是形成这个大角叫角二？那角一和角二之间，你看啊，我们是不是有一个重合的边呀？就是这条线对不对？那反过来另外两条边呢？角互为反向延长线， 我们把它成为我们的零补角。所以零补角有两个，两个基本的性质啊，第一个，我们既有数量关系，什么叫数量关系？和为一百八就是我们的数量关系。第二个，我们叫位置关系。位置关系是指什么呢？必须是相邻的， 说白了就是指我有一条线上突然有一条线这样插过来了，哎，把我这条本来是一百八十度的一个角平角，把它切成了左右两部分，是不是？所以这个就叫我们的零补角啊。 好，零补角，注意一定是成对出现了。什么意思呢？如果题目中出现概念判断，我说角一是零补角， 肯定是错的，为什么我一定是角一和角二互为零补角，他们两个加一起和为一百一百八十度，叫互为的意思啊。成对，第二个互为零补角的两个角一定互补啊，那当然是呀，对啊，是吧，因为我们零补角包含的数量和位置嘛，我把它的数量关系捞出来了， 但是互补的角不一定是零补角了，因为我们两个角虽然互补，我们可以就是错的很远啊，我一个在这一个角度在这里，是不是啊？错一个位置，我们两条线并不一定为反向延长线啊。所以说，呃，互补的角不一定是零补角。 所以零补角满足两个条件啊，第一个有公共点，第二个有公共边边，而且最重要的是另一边互为反向延长线。 好，那由这个可以看出，我们这是我们补角和零补角之间还是有一定区别的。第二个我们引着概念叫对顶角。 对顶角是什么意思呢啊？有两个角，有一个公共顶点啊，比如说这样画这个 o、 a、 b、 c、 d 啊，这五个字母，其中角 a、 o b 和角 d、 o、 c， 我 们是不是共用点？ o 呀？是吧？有一个共共顶点，而且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线啊。我 o a 反着来画就是 o c o b 反着来画就是 o、 d。 所以 说我的 a o b 这个角和我的这个 c、 o、 d 这个角， 我们把它称为对顶角啊。好，对顶角一。呃，相等的角，我们就不一定是对顶角啊。比如说我们之前学的角平分线，是不是角一和角二相等，但它不叫对顶角。为什么？因为它只有位置关系，只有数量关系，没有位置关系。 第二个对顶角一定是成对出现的啊，角一和角二，角一和角，角就是角一和角二，互为对顶角，和我们那个零补角是一样的。好，比如说长这样的情况，他就不是对顶角了，他没有互为反向延长线，是不是即使你的，即使你的大小一样也不行了？ 好，我们用两个题来看一下，我们把我们这个概念给稍微巩固熟悉一下，放到题里面识别我们的概念。第一个题例题，下列说法正确的是互补的两个角是零补角对吗？ 啊？互补一定是零补角吗？不一定呀，是吧？因为我们零补角有两个要求，第一个互补第二个位置，所以你只有数量不能推啊。 第二个相等的角， b 是 零，对顶角当然也是错的呀，我是不是也是有两个要求的，第一个角度确实要相等，但是你的角的两边要互为反向延长线，对不对 啊？ c 选项对顶角一定相等啊，当然是对的，这是我们的性质。对顶角是相等的啊，因为我们说满足两个条件吗？相等是其中一个是不是？所以 c 是 对的 好 d 选项如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等啊，他不是对顶角一定不相等吗？不是呀，因为我虽然我不是对顶角的话，但是我可以是其他相等角，比如说角平分线上的两个角对不对？所以说 d 选项是错的， 太绝对了啊，所以我们一般画零角和对顶角，他应该是什么呢？记住，对顶角就是一个叉叉，叉叉的左和右是相等的。第二个零角就是一条线有，有另一条线给他截取，截成左右两部分了啊，这叫我们的零角。 所以我们在识别图形的时候，你直接找这个图和这个图去看就行了，比如说第一个让你找零角，就找后面这个图，当然选 b 对 不对？ 好，便是一杠二直线 ab 和 cd 相交于点 o， 下列描述的正，下列描述其中正确的是第一个角一和角二互为对顶角，我们把角一这两条边描一下， 角二这两条描一下，那你看这个是一个叉字型的形状，是不是这两个角叫互补啊？互补零补角，所以选二不选一。好，第二个角，第三个角一等于角二。那当然不是啊，角一加角二应该等于一百八十度呀。 角一等于角三，对不对呢？角一是这，角三是这，它们是不是互为反向延长线的一个叉叉，所以它是对的啊？选二，四 b。 好，我们的题型二，题型二就是识别我们的形状了。其实前面说过，只是巩固巩固，比如说例题，下列图形中，一和二是互为零补角的，零补角的当然是 d， 对 不对？第二个角一和角二对零角，一个叉叉的形状。选 b， 下列说法正确的。是啊，它就是一个文字性表述而已，不是图形的形式。在有公共顶点的两个角是对角？当然不是啊，我有公共顶点的两个角，比如角平分线，它就有公共顶点吗？它一定是对角吗？当然不是。 呃，因为我还要满足互为反向延长线对不对？好，对，顶角一定不相等？不一定啊，一不一定相等，当然错的啊。我们对顶角的性质，第一条就是相等，对不对？好， d c 选项，有公共顶点且相等的角是对顶角。 嗯，有公共顶点且相等的角一定是对顶角吗？嗯，我们角平分线就是这种形状，它不是对顶角吧？对顶角相等啊。用我们的基本概念， 第二个到我们的题型三啊，这个就是对我们，还是对我们这个零角对顶角的一个概念的理解。就是让我们去找一找啊，找一找，比如说谁是对顶角，或者是谁的对顶角是哪个角？ 比如说这个题中 l 一、 l 二、 l 三所截的图五个角，其中对顶角的肯定是。你看对顶角，你可以在图上去试着找一下，角三和角五是不是一个差的形状，角二和角四是不是一个差的形状？ 所以说找一下，他说角三和角五当然是对的，那就选一了，对不对？嗯，就我这个题干中，比如说角三和角四，我们看一看，角三和角四其实是一条线，被截取了，被分成上下一个三一个四了，所以它其实叫零补角啊。 下列图中角一和角二是对顶角的，那你把它瞄一下嘛，它都没有公共点，肯定是错的。瞄一下没有反向延长线，是不是第三个瞄一下 啊？对的，我们那有好多图形，就是如果识别不出来，动手瞄一瞄，特别是后面几何题做题的时候，啊 啊，来一个关键题型了啊，这个题型就是想给你多一个总结总结。我们再看这个直线，先来看一个综合题，这个叫 n 条直线交于一点，有几个对顶角几，有几对对顶角几对零补角呢？ 好，但凡我们后面看到 n 这个词汇的话，我们就想它是一种规律总结性的东西。 我如果说并不知道 n 条以后到底是几对几对的话，那我们就用一种新的方法叫叫我们的列句法啊，就是这个 n 你 打上，比如说假设等于一二三四五的时候，你去列句一下，找一下数量之间的规律， 比如这个 n， 你 不可能说一条直线相交于点，是吧？最基本，最基本要两条，比如说我这个图中两条直线交于一个点，它有几个对零角？呃，我们就先看，就先看这个对零角，比如说你看这是一对对零角，上下是一对对零角，是不是所以叫两对 对顶角、零补角呢？啊？一和二是零补，二和三是零补，三和四是零补，四和一转过来又是零补，你要再往后又一和二重复了，所以叫四对零补角。 好，那你就知道每两条线之间它是产生两对对顶角、四对零补角的。那看我们三条线的时候，你也不能说真的一个个数吧，容易数错，是不是？所以教你们一个方法， 在三条子里面每条线，比如说我写 l 一、 l 二、 l 三，它表示三条线啊。如果 l 一 和 l 二相交，你会产生呃，我们的两对对顶角，是吧？我们就只看对顶角啊， l 二和 l 三 又会产生两对， l 三和 l 四 又会产生对应的两对。好，那一共产生了几对呢？啊？两对两对数的话，你可以这样，你可以列举，因为我们后面多了啊，你可能现在直接数出来了。比如说 l 一、 l 二、 l 三三条线的话， l 一、 l 二 是一个， l 一 l 三是一个， l 二、 l 三是一个。一共有三种情况，每种情况产生两对，那就是六种，是不是？所以是六对对顶角啊？好，第四个 l 一、 l 二、 l 三、 l 四四条线的情况下啊，那就不画两个叉叉的线了，我们就直接把这四条线给他列一下， l 一、 l 二、 l 三、 l 四，这是一对两对三对啊，四对五、六。 一共有出现六种情况，六种情况，每种出现两对二、六一、十二，是不是有十二种啊？对吧？好，那五条呢？五条是不是一样的 啊？五条那。呃，当然你可以，五条的话你可以不用数了。你看 l 一， l 二， l 三， l 四， l 五， l 一 和后面二三四。 l 一。 后面有四种情况，是不是四种，四种类型。 l 二呢？ 你往前 l 一 和 l 二已经有了，所以你就只用往后数就行了。 l 二 l 三， l 二到 l 三， l 二到 l 四， l 二到 l 五会有三种。 同理， l 三往后的话两种。 l 四 l 五的话有一种四加三加二加一，每一种的话会有两对应的。呃，每每一种形，每一两条线相交就会出现两两对嘛，所以就要乘个二，对不对？算出来是二十种。 好，那由此总结一下规律，如果说出现 n 条呢？你看我从五条，我从两呃，三条出现，相加的话， 三条出现相加就从二开始往后加。乘二的四条的话就是从三开始相加，往后的那五条四五。呃，五条相加，就从四开始相加，最后乘个二。如果是 n 条， 我就可以从 n 减一开始啊。嗯，最开始是有 n 减一个，相互匹配，是不是？然后 n 减二， 点点点点点，一直找三加二加一啊？一共有这么多条，这么多条把它加在一起啊，它的和是几呢？因为你一会乘二吗？所以我把它再写一遍。是不是写的时候倒着写？一加二加点，点点点点加到。呃，我们的 n 减三， n 减二， n 减一，一共有两个，加在一起就是我总共的对数。那你看， n 减一和一相加就是 n， n 减二和二相加也是 n 点点点，一直到这些相加都是 n， 是 不是 一直都是 n 的 情况下？那我们来看一下我们一共出现几个 n， 是 不是 n 减一个 n 啊？所以 n 减一乘以 n 啊？这么多对。 好，那你需需需不需要乘二呢？我们刚刚说这是线段的一个线段之合，然后你下面再加的时候，是不是又加了一遍，是吧？又加了一遍的情况下，其实已经乘二了，所以不用了。 我们就说啊，就回答这个问题， n 条线交于点，有几对对顶角呢？那就是 n 乘 n 减二对，是不是 好？有几对零补角呢？你想一下啊，刚我们在说，这时候两对对零角换来四对零补角，就是每两条线之间是两对对底，四条对互补的。零补的话，那我往后无非就是比你这个算式多了个乘二，是不是就是二乘 n 乘 n 减二啊？就是这个。 好，那我们用个实实际实际题去演练一下，比如说这个便是三杠二，四条直线交于一点对顶角有多少条 啊？刚刚这个应该是 n 减一，对不对，抄错了啊， n 减一好，四条直线交于一个点的话，那就是啊，四乘四减一啊，四乘四减一，那就是四乘三，三四一十二， 那就是等于十二对选 d 对 不对？好，那这个题就出来了，以后记得啊， n 乘 n 减一对对角线， n 乘 n 减一乘二倍的对零补角，这是多条直线交于一个点的时候一种规律啊。 好，第二个，我们的数量关系的使用，在这当然是带入我们的角度问题了，是吧？再说我们角度问题的时候，先回顾一下我们数量关系都有哪些啊？ 第一个角，我们的补角，比如说两角互补啊，这个零补角一和二只要互为零补角的话，你就能马上能写出角一加角二等于一百八十度，这把它译成我们的数学语言。比如说我说角一和角二互为对顶角，那就能马上得出角一等于角二。 嗯，第三个就是比如说我说在角 abc 这个角中有一个 bo 平分，角 abc 形成了上面一个角一，下面一个角二。再说平分的时候 我们能得到角一等于角二，是不是啊？经常在在题中会用到一些就是隐藏性的概念啊，比如说平角一百八十度，然后我们再转一圈，周角 是我们的三百六十度啊。我们来看题来，如图，直线 a、 b 与 c d。 当出现直线的时候交于 o， 那 当两条线交于 o 的 时候，马上出来对顶角呀，零步角都有，是不是啊？但是现在题干 知识，题干能出现的东西信息太多了，所以我暂时它不是我们的入手条件。往后分析 o e 平分，角 a o c。 平分这个东西啊，我们之前在就是说我说平分要把它改成什么？改成两个角相等吗？是不是啊？改成两个角相等，所以说能得它能改成的条件啊，就是角 e o a 等于角 c o e 啊，这两个角相等，且 b o c 等于一百度， b o c， 这里是一百度。嗯，这个一百度有什么用呢？我们今天说这是个平角，平角右边的话，这边是一百，所以左边是不是应该是一百八十减一百呀？因为平角一百八十度嘛， 一百八十减一百等于八十，然后八十的话，这有一条线把它切成上下两部分了，那八十被切上下是不是分成四十和四十两个部分是不是就出来了啊？则 d o e 的 度数，它问 d o e 在求 d o e 的 时候，你还差啥呢？差这啊，是吧？因为 d o e 是 由呃 o d 和 o d 这个边和 o e 这个边组成的， 这边我已经知道了，我还差它，它是谁呢？这有个对顶角，看到没有，一百挪下来，所以 d o e 是 一百加四十，一百四十选 d 啊，看这个变式，如图，角 c 等于八十八，等于角 d。 好，你看，读一个题啊，往上标注啊，手要勤快动起来，特别是你自己在做各种预习的时候。 好，往后若角 d b、 c 等于二十三度 d， b、 c 这个角在这儿啊，有的人啊，他眼睛啊，你看着看着，从 d 出发，走到 b， 再走到 c， 它这是这样转的，所以这是二十三度。则角 c a 一 c a 一， 这个角是几度？ 好，这个怎么转呢？我们先来看啊，在三角形 d 一 b 中， 三角形内角和定力是一百八十度，是不是又因为角 d 是 八十八度，角 d b 一 是二十三度，所以我们的角 d 一 b 就等于一百八十度，减去这个八十八度，减去这个二十三度，好得到一个度数，嗯，这个相减等于多少呢？ 好，算出来，它是等于六十九，对不对？六十九，好，那这个它这个第一 b， 这是六十九。马上想到啊，要么是零角转九，要么对顶角，对顶角转的话，六十九。在这里你想一下，哎，又形成了一个新的 a、 e、 c 这个三角形， 这边八十八，这边六十九，所以这边呢，是不是又是一百八十，减去这个八十八，减去这个六十九啊？那出来的话，那其实就出跟我们刚减的一样，最后又回到我们的二十三了啊，所以就是二十三度选 a 啊。 那当然，这是我们呃会学的一个非常重要的一个八字模型的一个应用啊，等到后面的时候，我们把模型讲的时候，他就会再出现一次，好看，嗯， 便是四个二。如果角 a 是 一百三十五度，那角 a 的 零补角的度数是多少？零补角是互互和为一百八十度，是不是？那就一百八十减一百三十五， 等于我们的四十五度。所以角 a 的 零补角度数是四十五啊，不用写度啊，他这边有度数，这个圈圈。好。 角一与角二互为零，不角，那就能翻译过来是角一加角二等于一百八十多倍，角一比角二比角一的三倍还多二十，那我们翻译过来什么？他这个比后面多啊，那就是角二 等于角一的三倍，三倍的角一加二十，是不是多了我就给他加上去，就回到我们角二了啊。好，这样得到一个角一和角二之间的关系，问角一的度？是啊，角二既然是角一的三倍， 好，他既然是角一的三倍还多二十的话，那我们换进去吗？角一本来加角二一百八的，是不是？角二给他换成他就是角一加上三倍的角一加上一百二十度，等于这个一百八十度。好，角一加三倍，角一就是四倍的，角一 加上一百二十度等于一百八十度，那得到四倍的角一就是一百八减一百二等于六十度，那角一是不是就是六十度除以四啊？ 那就是得到十五度，是不是？所以角一度数就是十五度就出来了啊？这是我们的角度计算，角度计算谁比谁多，谁比谁少多少，不就是加减吗？谁是谁的几倍，就对应的我们倍数乘就行了。 当然你可以用 x 去试啊，比如说是角一是 x， 角二就是我们的，呃，一百八减 x 是 不是？然后角二比角一的三倍还多二十，那就是一百八减 x 等于三 x 加二十，你去解一元一次方程也是一样的啊。 好，那我们总结一下我们的零角与对顶角。第一个对顶角两条直线相交的角，有一个公共顶点，没有公共边，就是这样交叉着来的左右两个部分啊。 第二个零补角，零补角就是两条直线相交，只是说它是这样交，你不要交出去形成左右两部分，是不是它交出去的话你只看上面就好了啊，就我们的零补角。 好，那我们学了这个两个概念之后呢？我们往后学第二个就是下面的角垂线。

短时高效，分数提高，欢迎来到卢老师课堂，先复习一下我们上节课所学的内容， 学习了两条直线的一种位置关系相交，如果是有无数个焦点，那么两条直线重合，如果只有一个焦点，那么两条直线相交所组成的四个角当中出现了角的位置关系。临补角互补， 角一加角四等于一百八，角一加角二也等于一百八十度。对顶角相等，角一等于角三，角二等于角四。 那么两条直线相交只有一个焦点，他又有一种特殊的情况，叫做垂直。现在就来学习我们今天的内容，垂线和垂线段。 先来看垂直的定义啊！当两条直线相交所组成的四个角当中有一个角是直角时，那么这两条直线互相垂直啊。 a 叫做 b 的 垂线， b 也叫做 a 的 垂线， 那么既然他有一个角为九十度，对顶角相等，邻补角还互补，所以我们也能断定垂直组成的四个角都是九十度啊。那么垂直的表示方法， 文字语言 ab 互相垂直，垂足为 o。 并且我们在以后的做题当中啊，垂足符号要标记出来一个小的正方形， 表示这个角为九十度啊。几何语言， a 垂直于 b， 或者是 b 垂直于 a， 接触了一个垂直的符号，一横一竖，这个是垂直的符号，记作 a 垂直于 b， 垂足为 o。 垂直的书写形式 a、 b、 c、 d 相交于点 o。 如果告诉你其中一个角角 a、 o、 d 等于九十度时，那么 ab 垂直于 cd， 垂足为 o。 几何语言怎么写啊？ 因为 a 角 a、 o、 d 等于九十度，这是已知条件，所以 a、 b 垂直于 c、 d， 这是我们刚才学的垂直的定义，这是一种判定方法。第二种，它的性质， 因为 a 垂直于 b， 也是已知条件，所以能得到相交组成的一个角为九十度，这是垂直的性质。判定和性质互相都可以反推倒 来看一下这道题啊。两条直线相交所组成的四个角当中，能判定两条直线垂直的是第一个，有一个角是九十度，这是垂直的定义，所以 a 是 正确的。 二、 b 有 两个角相等，对顶角，它就是相等的，所以这个判定不出来。 b 错误。 c 有 三个角相等，比如角一等于角二等于角三了，角二还等于角四对顶角相等，说明这四个角都相等， 也就是都是九十度。 c 可以 四。 d 有 四个角相等，也是垂直的定义，都是九十度。 e 有 四对邻补角，两条直线相交所组成的四个角当中，有四对邻补角，这是邻补角的定义。 f 有 一对对顶角互补，角二等于角四，角二加角四还等于一百八十度，说明角二等于角四等于九十度，所以 f 可以。 g 有 一对邻补角相等，角一加角二等于一百八十度，它俩还相等，说明出现了九十度。 g 也可以。 h 有 两组角相等，对顶角，它本来就是相等的，所以 g 断顶不了， 所以应该选择 a、 c、 d， f， g 啊。再看一道例题，如图， a、 b， c、 d 相交于点， o、 o， e 垂直于 a、 b 角一等于五十五度。 让你求 e、 o、 d 的 度数。 e、 o、 d， 它是一个符合的角，这个角是九十度，是我们已知的，只要算出 d、 o、 b 是 不是就可以了。然后 d、 o、 b 的 对顶角为角一角一等于五十五度， 所以 e、 o、 d 等于九十加五十五度一百四十五度。来看一下过程，因为 a、 b 垂直于 o、 e， 所以 e、 o、 b， 它就等于了九十度。垂直的定义， 因为对顶角相等， b、 o、 d 等于五十五度，所以 e、 o、 d 等于这俩角相加等于一百四十五度啊。 再来看下一个知识点，垂线的画法啊，利用到我们的工具，直尺和我们的三角板，任意一个三角板就可以。 那么怎么画？已知一条直线 l 做 l 的 垂线？首先第一步要放直尺啊，把直尺的上沿紧贴 直线 l， 然后把三角板与他的上沿对齐啊，直接找九十度的角画这条边就可以了。 第一步，放直尺，第二步，把三角板靠上去。第三步，画线。 那么这样画 l 的 垂线可以有几条？也就是说做直线 l 的 垂线有几条？我可以在这画，也可以在这画，是不是有无数条？哎，有无数条。 如果说过直线 l 上一点 a 做 l 的 垂线，怎么画？有几条来看，同样，第一步，刻度尺放上 三角板，放在直尺上的任意一个位置都可以，然后平移靠在这个点上，标记画直线， 所画的直线 ab 过点 a 是 直线 l 的 垂线，那么这是直线上的一点，如果过直线外一点画垂线怎么画 啊？直线 l y 一 点 a， 第一步放驰，第二步平移，第三步，划线。 那么通过这两个作图，我们会发现过直线上一点，或者是过直线外一点做这条直线的垂线有且只有一条啊，能做一条，有且只有一条，这是我们得到的结论。 第二个知识点，垂线段，什么叫做垂线段？直线 l 的 垂线 p o 啊，这是点到直线的距离叫做垂线段啊，点到直线的距离叫做垂线段。 然后再看，这里边一共有五条线，五条线段， pm 一、 pm 二， p o、 pm 三和 pm 四。那么这五条线段当中哪条线段最短？是不是 p o 垂线段？所以得到了结论，垂线段最短啊。画图题，过点 p 向线段 a、 b 所在的直线引垂线，正确的是来看 a， 那么既然它是垂线，互相垂直，说明两条线相交所组成的角需要是九十度，这个角 b 不是 九十度，所以 a 排除二， b 没有过点 p 排除，那么你看 c、 d 有 什么区别？ 同样是都有九十度角了， c 选项当中 p o 表示的是垂线啊， d 选项当中 p o 表示的是线段，他说的是垂线，所以选择 c 啊。我们数学当中，不管是现在的几何题还是我们代数题，一定要咬文嚼字 画一条线段或者是射线的垂线，就是画他们所在直线的垂线。来一二三，让我们来画图了， 请你过 p 点画线段 ab 或者是射线 ab 的 垂线，那么我们会发现这个 p 点正好在 ab 的 上端，那么直接用直尺和三角板就可以画出来，标记上垂足符号啊。 那么来看这个第二个 ab， 它是表示了一条线段了，那么 p 点在它的斜上斜下方，那么这个应该怎么画？我们就需要把 ab 给延长 啊，延长画虚线，过 p 点做 ab 延长线的垂线。 第三个 p 在 ab 上，也是刚开始画这个图，直接画出来就可以了。 画线段或者是射线的垂线时，有时要延长或者是向射线的反向延长后再好了。同学们，这就是我们的第二节垂线与垂线段。总结一下我们这节课所学的内容， 一个是垂线定义，两条直线相交组成四个角，当中有一个角为直角，就叫两条直线互相垂直 啊。垂线的画法利用直尺和三角板，第一步放直尺，第二步把三角板靠上去， 第三步平移画线啊。垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，然后垂线段最短。

大家好，今天来讲这一道题，如图，直线 a、 b、 c、 d 相交于点 o、 o、 b 平分角 c、 o、 e， 也就是角 c、 o、 b 是 等于角 b o、 e 的 o、 f 垂直于 ab， 那 么这一个就是九十度， 而且角 f、 o、 b 也是九十度哦，角 e、 o、 f 是 等于一百二十度的，那我们去算角 a、 o、 d 是 多少度， 来看一下。因为角 f、 o、 e 是 一百二十度嘛，这个角 f、 o、 b 是 九十，所以用这个一百二十减去这个九十，就可以得到角 b、 o、 e 是 三十度。 而我们刚说了呀，这个角 c、 o、 b 和这个角 e、 o、 b 是 相等的，所以这里也是三十度。 这个角 a、 o、 d 和角 c、 o、 b 是 对顶角，对顶角相等，所以这里也是三十度，你会做到吗？

星期下数学最难的五十道计算题，寒假吃透开学一百一十加稳了！刷到这个视频，说明老天都在帮你！七、下寒假数学相交线与平行线的角度计算五十题训练一、与对顶角邻补角有关的计算训练二，与垂直有关的角度计算 训练三，平行线的判定与性质训练四，平行线与角平分线训练五，平行线中的构造辅助线。以上均有电子版。

期末开学考究竟考什么？代数主要是逆运算和整式乘除。其中逆运算的四大法则的利用，构造同底数、同指数是必考难点。乘法公式中的平方差公式、小算完全平方公式的配方法以及知二推二容易出现在压轴题的位置。 几何主要是相交线和平形线，第一个难点就是过程的书写，其次是相交线中的角度计算，平行线的拐点模型和结论以及辅助线的做法。韩老师也为同学们准备了开学考必刷的练习分题，赶紧帮孩子下载，每天做几道开学考，文文拿分！

朋友们大家好，今天我们来学习下香蕉线里面的垂线。第二课是 导入新知，在灌时要把河里的水引到农田的屁处，如何挖渠能使渠道最短呢？啊，很显然啊，这是屁点，这是我们这个河流怎样才能灌才能使它最短？就是说最近的线啊，我们图中画出来的是这条线，那么它有什么样的关系呢？ 其实我们已经学过垂线了啊，我们知道其实垂直的时候啊，其实才是最短的，我们先抱着这个猜想，接着我们往下进行学习。 第二个学习目标，我们这节课的学习目标也是三个，第一条，理解垂线段的概念，会用三角尺或者两角器过一点，画一只直线的垂线段。第二个是掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。 第三个，掌握垂线段最短的性质，并会利用所学知识解决简单的实际问题啊。第三条是比较重点的， 下面我们探求新知，先看知识点点到直线的距离，有人不慎掉入有鳄鱼的湖中，如图，它在 p 点应选择什什么样的路线，尽快游到暗面。 m 呢？ 我们看这是屁点啊，这是岸边，这条线呢是岸边。那么呢，我们怎么才能最好呢？就是说最短的路线，其实做一条垂直线就就可以了，为什么呢？为什么斜着不可以呢？我们接着来看啊，过屁点怎样才能到我们这条直线？ m， 这个线段是最短的呢？啊，其实我们这边有很多点，这是为了方便我们来看的。首先我们先来看连接这一条线啊，再来连接这条线， 再来连接这条线，包括这一条啊，这一条是垂直的，我们先标注下来，包括后面的这几条线都可以先连接起来。 然后呢我们来发现啊，垂线段是我们这条是垂线段，它是不是最短的呢？很显然，因为我们把它自身其他的线呢，都可以给它构成一个直角三角形。我们知道在直角三角形中，斜边都会要比直角边要大的，而我们这条垂线段就相当于是直角三角形中的一条 那个直角边，而别的那条线呢，就相当于是直角三角形的斜边。所以说中规来看呢，其实就是啊，垂线段是最短，也就是说过一条直线外一点啊，最短，就是过此点往这条直线上做垂线段，这条线段是最短的， 斜线段肯定不是最短了，所以说能得出结论就是垂线段最短。 垂线的性质二啊，因为 p b 垂直于 m 于 b， 所以 p b 要小于 p c， 就是 刚才我们用三角形的理论来解答就可以。 接着我们特别强调一点啊，我们看一下这条线是什么，这条线其实是过点 p 往我们 ab 做的一条垂线，垂足为 d， 那 么垂线段是谁呢？其实就是 p d 之间的距离，叫垂线段啊， 所以说我们一定要把垂线和垂线段分割开，要不然特别容易出错。 再来看点到直线的距离的概念啊，点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。例如如图啊，我们右边这个图， p a 垂直于 m 与点 a， 垂线段 p a 的 长度就叫做点 p 到直线 m 的 距离，也叫点 p 到直线 m 的 最短距离啊， 下面我们看如图是一个同学跳远的位置，跳远成绩该怎么表示呢？跳远成绩啊啊，如果他点我们从这个点开始计算的话，是 p 点，那么一定是过点 p 啊，做一条正好到他起跳线的这个线的一条垂线段，那么这条垂线段其实就是他跳远的这个成绩了。 接下来如图，怎样测量点 a 到点 m 的 到直线 m 的 距离呢？怎么来测量呢？很简单，我们只需要做出它的垂线段，拿直尺或者是三角尺量出这条垂线段的这个呃刻度来，我们就能得到距离了。 首先先做它的垂线段啊，画出直线 m 的 一条垂线段， a、 b 垂足为点 b。 第二个呢，用刻度尺量出垂线段的 a、 b 的 一个长度即可。 考点一画出点到直线的距离考点一画出点到直线的距离，如图，一画出线段 b、 c 的 中点 m， 画出它的 m 来连接 am 啊，我们看一下， 首先画 b、 c 的 中点呢，其实我们上学期已经学会去怎么去画了啊啊，在这里呢，我们因为没有太大的要求，所以我们直接用直尺来画，用刻度尺来画就可以了啊。找出 m 点连接 am。 第二个，比较比较点 m 啊，与点 c 到直线 am 的 距离，那怎样比较呢？第二， b 到 am 的 距离就是过点 b 往 am 上做垂线。 首先我们得延长 am， 然后过点 b 往下做垂线，垂足为点 p。 然后过点 c 呢？ c 到 am 的 距离就是过点 c 往 am 这条线上直线上做垂线，垂足为点 p。 那 么我们用刻度尺分别量出啊 b、 b、 p 和 c q 的 长度就可以比较出来了， 所以量出来之后呢？ b p、 p 是 等于 secure 的。 巩固练习，如图，点 m、 n 分 别在直线 a、 b、 c、 d 上， m n 在 直线，它上面用三角板画图，过点 m 画 cd 垂直碎，过点 m 画 cd 的 垂线交 cd 于点 m， 也就是过它往 cd 做垂线。垂足呢，是 f， 我 们画一下 要有垂直符号啊，垂直符号要把点 f 这个垂足标上。第二个过点 m 和点 n 啊，和点 n 的 距离是线段什么的长？点 m 和点 n 的 距离是线段，其实就是 m、 n 的 长，因为两点的距离就直接连接两点就可以了 啊， m、 n 的 长。第三个，点 m 到 cd 的 距离是线段谁的长啊？点 m 到 cd 的 距离就是点 m 往 cd 上做的垂线段的距离，其实就是 m、 f 的 长。很简单， 接下来考点二测量点线间距离，如图，量出啊，村庄 a 与货场 b 的 距离啊，这是村庄 a， 这是货场 b， 它俩之间的距离。我我们刚才说了两点之间的距离，你只需要连接两点，然后量出距离来就可就可以啊， 间接直接量出来是二十五厘米啊。第二个，货场 b 到铁道的距离，那么铁道是在这儿，那么就是过点 b 往铁道做垂线，做垂线段，量出垂线段的距离。接下来我们演示一下， 直接得出是八厘米啊。巩固练习，马路两旁两名同学 a， b， a 同学到马路对面怎样走最近？那肯定是走垂线段最近了，也就是说我们过点 a 往我们这条线上做垂线 啊，垂足为 c， 所以 a， c 就是 它最短距离。 a 同学和 b 同学处怎样走最近？若 a 同学到 b 同学处，比如说 a 同学到 b 同学处，怎样走最近呢？那么这个时候呢，就是我们上学期学的啊，两点之间啊，线段最短，就可以这样了啊， 直接连接 a、 b 啊，我们量出 a、 b 的 距离来，就是我们最短的距离，两点之间，线段最短， 接下来链接中考啊，这个题很简单，在线段 p a、 p b、 p c、 p d 中长度最小的是，很显然是 p、 b 垂线段最短。选第二个， 课堂检测基础巩固体。第一个如图，下列说法正确的是，线段 a、 b 叫做点 b 到直线 a、 c 的 距离 a、 b 是 点 b 到 a， c。 不 对，应该是 b、 d 第一个不对。第二个线段 a、 b 的 长度。线段 a、 b 的 长度叫做点 a 到直线 a、 c 的 距离。点 a 到直线 ac 的 距离啊，点 a 到 ac， 其实点 a 就 在 ac 上，这也是不对的。 c 选项线段 b、 d 的 长度 b、 d 的 长度叫做点 d 点到直线 bc 的 距离不对。点 d 点到直线 bc 应该是过 d 点往 bc 做垂线段，这个距离才是最短的，才是叫它的这个长那个 d 点到 bc 的 距离。 第四个线段 b、 d 的 长度。线段 b、 d 的 长度是叫做点 b 到直线 a、 c 的 距离。没有问题啊，这正好是过点 b 往 a、 c 这条线上做的垂线段，所以是 b、 d 是 是它的一个长度。选第四个， 再看课堂检测二，如图， a、 c 垂直于啊 bc 啊，这是垂直的，这有一个小小的垂直符号角 c 等于九十度啊，有垂直肯定是九十度了。线段 a、 c、 b、 c、 c、 d 中最短的。是啊，很显然应该就是 c、 d 了啊，对，为什么呢？因为啊， c、 d 这条线分别就是啊， c 到 a、 b 这条线的垂线段，那么 c a 和 c b 都不是啊，都是大于它的，所以选 c。 第三题，若点 p 是 直线 m y 一 点 abc， 分 别是直线上， m 上不同的三点， 且 p a 等于五啊。记住， p a 是 等于五的， p b 是 等于六， p c 是 等于七，则点 p 到直线 m 的 距离不可能是谁啊？这个题是一个重点题，而且特别容易出错啊，所以说我们一定要好认真的去做一下。首先呢， p 是 m， 外一点，我们要换一条线， p 是 m， y 的 一点线是，这是，这是我们 m 的 这条线。然后我们点出一点 p 来，假如这是 p 点， abc 是 它上面不同的三点， p a 是 等于五了，我们有一条想法，就是 p a 等于五啊。如果是，假如 p a 就是 垂线的话， 这是垂直的啊， p a 这是五，那么 p b 等于六。很显然，那么 b、 b 点和 c 点都可以在这表示了啊。那 p 到 m 的 直线距离可不可以等于五呢？可以等于五的，那我们再来看，可不可以等于六呢？ 如果可以等于六啊，我们来看啊，如果 p 到直线 m 距离是六的话，那说明这就是 p b， 那 说明这是六啊，说明这是六了。如果这是六的话，那么 a 点在哪呢？ a 点 a 点就不可能在 m 这条线上了，因为 a 点你无论在哪，除非和 b 重合，无论在哪的话，都要大于 p b 的， 都要大于六的。那么你和 p b 点重合的话呢？你的 p a 的 线段应该是五才对，那么就不对了，所以说，这个 p 到 m 的 距离不可能是，就只能选第四个了，不可能是啊，那么我们来看一下，分析一下其他选项， a 选项三可不可以？三可以的，那么三要是可以的话，我们接着来展示一下啊， 如果三是可以的话呢，那么说明这一点，这一点就是三啊，这一点就是三。那么 p a 啊， p b 啊，都是在它外一点可以的，没有问题。 再来看一下四可不可以四，四可，我们就可以把这当成四，那么 pa 啊， pb 还有 pc 也可以使它外一点了，也没有问题了，唯独不可能的就是这个六，所以这个题呢，应该是选第四个。 第四题如图，三角形 abc 根据要求画图，要求过点 b， 画出点 b 到 a、 c 的 垂线段 b、 f 很 简单，过点 b 往线段，往这个线段 a、 c 上做垂线段就可， 一定要有垂直符号，而且呢，要标出垂足来啊。接下来是课堂检测能力提升体，如图，在铁路旁边有一张庄啊，这是张庄，现在要建一火车站，这是又是火车站啊，这是铁路，相当于为了使张庄人乘火车最方便， 就是说距离这个铁路最近，请你在铁路上选一点建火车站，并说明理由。哪一点呢？其实就是过张庄往我们铁路上做垂线垂足那一点就是我们的火车站的位置， 所以说地点就是火车站的位置，很简单，因为是垂线的最短 拓网探索题，如图， a， c 垂直于 b， c， a， c 垂直于 b， c， 这是垂直的，等于九十度。 c， d 垂直于 ab， 这也是垂直的于点 d， d， e 垂直于 bc 与点 e 是 比较啊，四条线段， a、 c， c， d， d， e 和 ab 的 大小。那我们这个直接来就可以了，很简单啊，因为 ac 啊，和 ac 和 cd 的 比较的话，那么 cd 在 直角三角形中，很显然 ac 是 斜边，那么 ac 一定要大于 cd 的。 然后呢，我们再来看 d e， d e 呢，相当于 c， d 又是斜边了， c d 又大于 d e。 然后再来看 a b， a b 来说啊，刚才 a c 已经是最大了，但是在直角三角形 a b c 中， a b 相当于斜边， a c 相当于直角边了，那么 a b 肯定大于 a c 了，所以就直接可以得到了啊， 总结出来就是 a b 最大，然后大于 a， c 大 于 cd 大 于 d。 一 住了，我们来总结一下两条直线相交啊，一般情况下呢，会出来是对零角是相等的，邻补角是互补的，这是。 然后呢，特殊情况就是垂线，垂线的话呢，我们来看一下垂线的存在性和唯一性，就是说刚上节课我们讲的内容，垂线段最短，来做应用题，然后点到直线的距离就是过点直线的一点到直线呢，做垂线段啊。好了，关注我，带你开启学霸模式！

七下数学最难的相交线以平行线必刷三十道母题，学霸的思路很清晰。 七下数学相交线以平行线必刷三十题母题！相交线以平行线是每次考试必考的大题，老师特别整理好了三十道必刷母题，只要考前好好吃透，把这些解析思路全都摸透，考试的时候思路清晰。一百一十加不是梦，有完整版！