500道圆锥曲线题过程加答案

如何分析圆锥曲线大题呢？我们的目标是做一题通百题，很多粉丝学习了学长的方法，考试多拿了十分。我们继续挑战一道经典的超难度的高考题。考场上能在二十分钟内做出这道题的同学，一般都能考上九八五。 第一问是送分题，我们直接给出答案，第二问的难度直线上升。我们重点来讲解已知一个抛物线，抛物线的焦点是 f， 点称是抛物线的准线与 x 轴的焦点。过点 f 的 直线与抛物线交于 a b 两点 连接 m， a 连接 mb。 这里有一条斜率为二的直线， l 与 m a 相交于点 p 与 mb 相交于点 q 与直线 ab 相交于点二，与 x 轴相交于点 n。 同时，题目给出了一个线段的关系， 题目要求直线要在 x 轴上截距的取值范围。第一遍读完题目，如果不知道题目在说些什么，那是十分正常的，千万不要慌。 题目给出了一组线段关系，这是一种强条件，可以先从这个条件入手。我们一般会转化为比例关系观察。等式的左边 r n 比 p n， 在 途中找到这两条线段，此时初衷的知识点浮现在脑海中。如果过点二做 x 轴的垂线，过点 p 做 x 轴的垂线，那么根据相似三角形边长的比例关系， rn 比 p n 可以 转化为点二的纵坐标，比点 p 的 纵坐标。我们再来看等式的右边 p n 比 r n。 同理可以用点 p u 的 纵坐标和点二的纵坐标来表示。因为点 p u 的 纵坐标是负数，所以前面要加个负号，这样我们就将线段的关系转化为坐标的关系，所以我们需要得到 p、 p、 o、 r 这三点的纵坐标。考虑到有的同学可能没有耐心看后面的分析方法， 所以学长先写出球 p、 p、 o、 r 三点纵坐标的过程你可以看一下。考试的时候要想最快时间写出解析过程，平时刷题的时候一定要做刻意练习，练习分析方法，让大脑形成条件反射。那平时练习的时候我们该如何分析呢？ 这道题涉及到的点和线非常多，不过学长的铁粉已经知道如何处理这种题目了。先找到不动的对象，再分析变动的对象。从以下三个方面入手，找到根本动因，梳理变动过程，识别变动的约束。我们先来看不动的对象， 比如点上坐标是负一逗号零，点 f 一 逗号零，还有直线后的斜率 k 等于二。接着我们重点分析变动的对象。首先是过点 f 的 直线变动引起了点 a 的 变动， 还有点 b 的 变动。点 a 的 变动会引起直线 m、 a 的 变动，点 b 的 变动会引起直线 m、 b 的 变动。同时题目还描述了一条直线，那就是斜率为二的直线， 它和四条直线相交于四个点，所以这些直线共同影响着 p、 q、 二、 n 这四点的变动。其中直线 m、 a 的 变动会影响 p 点的变动， 直线 m、 b 的 变动会影响 p、 u 点的变动。国 f 点的直线 a、 b 变动会影响 r 点的变动， n 点的变动只会受到直线后的影响， 所以直线 a、 b 是 第一根本动，因，而直线超是第二动因。下面重点来了，所有对象的变动并不是毫无限制的，它们都会受到某些约束，比如直线 a、 b 不 管怎么变动，始终会经过定点 f 一， 逗号零。所以你可以设出直线 a、 b 的 方程， x 等于 y 加一。 顺便说一下，这样设直线需要讨论直线与 x 轴重合或平行的情况，显然这种情况不符合提议。 接着，点 a 和点 b 不 管怎么变动，始终在直线 a、 b 上，并且在抛物线上。这样我们可以设 a， 点的坐标为 x 一， 逗号 y 一。 设 b 点的坐标为 x 二，逗号 y 二。同时我们还要注意到，点 a 也在直线 y 上， 点 b 也在直线 m b 上。这些分析都非常重要，看完视频你就知道了，只要你深刻理解了点在直线上，点在抛物线上的底层逻辑，你就不会再纠结连力不连力的方法了，那只是数的层面。这里 a、 b 两点的坐标将作为中间变量，将条件和问题串联起来。 目前我们知道这两个坐标会与它们关连，接着直线 m a 和直线 m b， 不 管怎么变动，始终会过定点 m 负一，逗号零。 所以对于直线 m， 容易想到。设直线方程， x 等于 m 一， y 减一， m 一 代表的是直线 m 斜率的倒数，所以可以用坐标表示。顺手写下来，请看右上角。 同理，直线 mb 的 方程可以设 x 等于二， y 减一 m 二代表的是直线 mb 斜率的倒数，也可以用坐标表示。 接着直线头不管怎么变动，它的斜率始终等于二，所以我们也可以写出直线的方程。接着 p、 q、 r、 n 这四个点不管怎么变动，始终满足以下这个约束条件。这个我们刚才分析过了，可以转化为纵坐标的比例关系， 所以 pto 二这三个点都要逐个分析。点 p 不 管怎么动，始终在直线圆内和直线透上，所以我们容易想到连立直线圆内和直线透的方程。当然，这里你如果使用三点共线的斜率关系也是可以的。同理，点 pto 不 管怎么动，始终在直线 m、 b 和直线透上， 所以可以连立这两个直线方程。接着点二不管怎么动，始终在直线 ab 和直线透上， 所以可以通过连立直线 a、 b 和直线绕得到。点 n 不 管怎么动，始终在直线 l 和 x 轴上，所以可以设点 n 的 坐标为 n， 逗号零，这里的 n 就是 直线绕在 x 轴上的截距。关于直线绕方程的算法，我们这里就采用正设的方式。 y 等于二，括号 x 减 n， 而 n 的 范围就是题目要我们求的。因为点 p 在 直线 ma 合同上，所以点 p 的 坐标就会与 m 一 还有 n 关联起来。同理，点 p u 在 直线 mb 合同上，所以点 p u 的 坐标就会与 m 二还有 n 关联起来。 接着点 r 在 直线 ab 和直线 o 上面，所以点 r 的 坐标就会与 m 和 n 关联起来。这些关联你可以在草稿纸上标注，也可以在脑海中闪现。 目的只有一个，确保所有的未知数都可以被表示出来。当你理清了未知数的表示关系，你要坚信，通过耐心的计算，你一定能做出这道题目。首先我们来表示出 x 一， y 一， x 二、 y 二， 这是我们最熟悉的环节，只要连立直线方程和抛物线方程就可以了。消掉 x， 得到一个关于 y 的 一元二次方程， 通过维达定律得出 y 一 加 y 二，还有 y 一 乘 y 二。考试的时候，如果你先把连立的步骤分拿到手心里，肯定会更加踏实。接着来看点二，连立两个方程，目的是要表示出二点的坐标，我们再来看点 p， 只要连立直线 m a 和直线 o， 这样这三点的纵坐标就有办法表示出来了。将分式转化为整式，先求出二点的纵坐标，再对它进行平方，接着求出 p 点的纵坐标， 还有 q 点的纵坐标。到这里， p q 二三点的纵坐标都求出来了。代入下面的等式 观察。这个等式包含四个未知数，不过通过刚才的分析，我们知道 m 一 m 二可以用 a、 b 两点的坐标来表示，而 a b 两点的坐标通过维达定律又和 m 建立了联系，所以我们相信 m 一 和 m 二可以转化为未知数 m。 下面就用这个思路来解答。等式的右边两个分式的分子分母对应相乘，我们需要处理的是分母对它进行展开， 出现了 m 一 乘 m 二，还有 m 一 加 m 二，我们逐个求解， 用坐标表达式代入分子分母对应相乘， 我们看到了对称维达的影子。到这里，对于分子的处理有两种做法，可以继续保留 x 一 x 二，然后用维达定律表示 x 一 x 二的关系，也可以将分子中的 x 一 x 二用 y 一 y 二表示。本视频演示第二种做法， 对分子进行展开，用维达定律代入， 经过口算，等于负 m 平方减一。接着我们用同样的方法计算 m 一 加 m 二，分子分母对应相乘，用 y 一 y 表示 x 一 x 二，对分子进行展开， 使用维达定底代入，这时我们惊喜地发现结果等于零。因为 m 一 加上二等于零，所以这里的第二项就等于零，只要计算第一项和常数项就可以了， 经过口算等于负四， m 平方减三，因此这里的分母我们就转化为 m 的 表达式，代入等式。再次观察，等式只包含 n 和 m 两个未知数，因为题目要求的是 n 的 取值范围，所以我们将 n 放在一起化简。 接着我们可以用函数思想先求出这个函数的取值范围，然后再求出 n 的 范围，所以先转化为求这个分式的取值范围。这是高一学生最熟悉的求值域的问题，可以通过配方分离常数，先配凑出二次项， 再配凑出一次项，最后进行分离。 这个形式对我们来说就比较熟悉了，可以进行换元。当然，这里要注意 m 的 取值范围。从图像来看，如果 m 等于二分之一，那么直线 a b 就 会和直线透平行，这样就不会有交点，这个不符合提议，所以 t 不 等于零。 换元之后，就可以构造出关于 t 的 二次函数进行配方，写成顶点式。 当 t 等于负二分之一时，函数取得最小值四分之三，于是我们得到了这个分式大于等于四分之三，转化为整式。 这里要注意，当分式转化为整式时， n 的 取值范围发生了变化，所以要及时标注出来 n 不 等于一对不等式进行展开。发现没有办法用十字相乘法进行因式分解，所以借助求根公式 别忘了，但不等于一。最后写成集合的形式， 你会发现这个答案还是相当复杂的，很多考生会产生自我怀疑的心理，这是十分正常的。 所以做圆锥曲线大题要有超强的分析能力和计算能力，只要你的思路没有问题，只要你的计算足够耐心和细心，你要坚信你能得出正确的结果。这个在平时要反复训练 这道题有没有更简单的方法呢？如果你懂得二级结论的话，你可以提前知道直线 ma 和直线 mb。 关于 x 轴对称， 也就是说 m 一 等于负的 m 二。怎么写出这个过程呢？下面我们来讲解。因为点 a 在 抛物线上，所以点 a 的 坐标满足抛物线方程。同时点 a 在 直线 ab 和直线 m 上，所以也要满足这两个直线方程。 同理，点 b 在 抛物线上，也在直线 a b 和直线 m b 上，所以要同时满足这三个方程。这个分析有什么用呢？我们以第一个方程组为例，通过一项对两个直线方程进行整理， 我们发现这两个直线方程可以变成抛物线的形式。怎么做呢？一式的平方减，二式的平方， 这时如果连立第三个式子和第四个式子，你可以得出 dm 一 平方减乘平方就等于一。同理我们也可以得出 dm 二平方减乘平方等于一。为了让你看得更清楚，下面把过程也写一下， 考试的时候对于地位等价的情况一定要善于使用，同理可得。这个技巧可以简化答题的过程。接着我们连立这两个等式， 可以得出 m 一 平方等于 m 二平方，所以 m 一 等于 m 二或者 m 一 等于负 m 二， 第一种情况要舍去，为什么呢？因为当 m 一 等于 m 二时，直线 ma 和直线 mb 就 会重合，这不符合提议。现在我们得到了 m 一 等于负的 m 二。如果回到刚才的解题步骤中，我们发现在求 q 点纵坐标的时候， m 二就可以用负的 m 一 表示， 这样马上可以消掉一个未知数，接着带入下面这个等式就变简单了，我们来看一下后面的解析过程。分子分母对应相乘 分母可以使用平方差公式，因为 m e 平方和 m 平方的关系式刚才已经求出来了，直接带入， 这样就只剩下 m 和的两个未知数了。后面求取值范围的计算过程和前面的方法一样。当然，并不是每道题你都可以提前看出二级结论， 这不是一种通用的方法，但是前面的分析方法是你一定要掌握的，因为你可以很快破解这种类型的题目，让你在后面的计算过程中更有信心。希望这个视频能让你的分析能力得到提升，记得点赞与推荐。

每天一道好题，为高考加油！今天我们来看这个题目，这是二零二六年山东烟台高三期末考试的一个题目，是烟台的。好，我们看一下这个十七题。 这个题呢，难度不大，挺有创新的，所以这是我想讲的这个呃，感觉很不错的题目。已知点， p 一 p 二，一直到 p n 均在抛物线 x 方等于四 y 上 x 一 呢，等于一，然后 x n 加一是大于零，小于 x n 的， 以 p n 为圆心的圆， p n 与 x 相切，并且圆， p n 与 p n 加一是 y 切。我们可以把这个图大致的画一下来，看一下它描述的是一个什么样的事。 有一个抛物线 x 方等于四 y， 它上面呢有个点， p 一 p 二，一直到 p n 都在圆上，然后以这一些点为圆心的圆啊。比方说这个就是 p n 与 x 相切，然后 p n 和 p n 加 e 呢，它又互相的外切，这就是 p n 加 e， 然后这个 p n 是 大于 p n 加 e 的， 嗯，这是 p， 这是 x n， 这个就是 x n 加 e。 让我们求什么呢？竖列 x n 的 通项公式，就是这个圆心的横坐标。 那这个题目从哪下手呢？我们看这些条件，这些条件我们需要翻译一下，你要不翻译的话，我们这个题没法下手。是不是 第一个以 p n 为圆心的圆与 x 轴相切，它与 x 轴相切，又有什么？又又有什么结论呢？那就意味着圆心到切线的距离等于半径，而这个距离就是 p n 的 纵坐标啊，也就是 y n。 所以我们这里边第一个我们翻译的就是这圆的方程，这个圆的方程就是 x 减 x n 的 平方， y 减 y n 的 平方，而这个 r n 圆，这个圆的半径， r n 就 等于 y n 就 等于 y n 的 平方。这是第一个，我们翻译一下，圆与 x 轴相切，也就是圆心的纵坐标等于半径。 第二一个圆与圆外切，那这个怎么翻译呢？圆与圆外切就是圆心距等于半径之和。好，圆心距等于半径之和，那么圆心距就我就利用两点间距离公式，也就是 x n 减去 x n 加一 以平放，加上 y n 减去 y n 加一的平放，这个距离等于半径之隔，也就等于 y n 加上 y n 加一。啊，这是开口朝上的抛物线，所以这个 x n， y n 肯定是大于零的。 我们把这两个条件翻译完以后，我们下边要干什么呢？我们要找 x n 的 同向公式，那么找 x n 的 同向公式，我们肯定是要找它的递推关系， 所以这里边儿我们再需要把这个下边儿的等式化简一下，再结合 x n y n 是 满足这个圆，嗯，这里满足这个抛物线方程的。我们来整理一下下边儿这个就是 x n 减去 x n 加一的平方， 加上 y n 减去 y n 加一的平方。右面呢，这个也平方的话，就是 y n 加上 y n 加一的平方。这样一看，左边这有个平方，右边有个平方。把这两个要打开的话，我们就可以把 y n 放小掉， y n 加一的平方小掉。 由于我们要找 x 的 同向公式，所以尽量把这个 y n 都化成 x n， 对 不对？好，我们继续往下整理，这个就直接打开了 x n 方减去二倍的 x n 乘以 x n 加一，加上 x n 加一的平方。 后边这个打开，我刚才说了，这个有个 y n 方， y n 方消掉 y n 加一的平方，这也消掉。这个里边还有个交叉项，就是负二倍的 y n 乘 y n 加一，右边呢，有一个 y， 二倍的 y n 乘 y n 加一，我都给他移到右边去，所以这个就是四倍的 y n 乘 y n 加一。 我要找 x 的 通项公式，所以 y n 是 多余的，我们要把 y n 消掉。根据题中给的这个抛物线方程，呃，这是 x n 方， 它应该等于四倍的 y n 方，呃，等于四倍的 y n， 所以 这个 y n 就 得啥呢？就等于四分之 x n 的 平方，加乘以四分之 x n 加 e 的 平方。 这样一看的话，左右两边我们可以看看右边他出现了个平方，左边呢，实际上我们刚才把它打开了，我要不打开的话， 实际上我们实际上可以开放，你看左边这个我们看啊， x n 减去 x n 加一平方，我们是我就算麻烦了，先别打开，右边呢，把四加掉一个，右边剩下一个四分之 x n 方乘以 x n 加一的平方。 由于 x n 大 于 x n 加一，所以左右两边一开放，左边就变成了 x n 减去 x n 加一，右边呢就是二分之 x n 乘以 x n 加一，就会得到这样一个式子。 这样的话，我们就导出了 x n 和 x n 加一的关系，离我们要求的竖列的通项公式还有多远呢？那大家想一想，这个不就叫做竖列的递推关系吗？这个竖列的递推关系，我们怎么找这个通项公式呢？ 显然这个是除以，两边都除以这个就行了，这就是一个倒数型的吗？除以它的话，左边变成了 x n 加一分之一，减去 x n 分 之一，右边变成个二分之一，所以我们就可以看到这个竖列。 x n 分 之一是一个等差数列。 嗯，等差熟练，而且首项是 x e 分 之一，公差呢是二分之一 x e 呢？题中给了我看一下啊， x e， 它是得 e 的， 对吧？在这里 x e， 它是得 e 的， 所以这个 x n 分 之 e， 我 就可以继续求同向公式，就等于 x e 分 之 e 加上 n 减一乘二分之一， x e 又得 e， 所以 这个就是 e 加上二分之一， n 减二分之一，所以就是二分之一 n 加二分之一， 那么 x n 分 之 e 的 同向公式有了，那么倒过来不就是 x n 了吗？所以我们就知道这个 x n， 这个就是 n 加一分之二。第一问我们就算出来了，所以这个题呢，表面上看着挺唬人，又有与抛物线又有缘的，实际上我们静下心来分析一下条件，把它转化成我们数学语言，其实也就出来了。 好了，我们看第二小问，设圆 p n 的 面积为 s， t n 等于这么一堆求证， t n 小 于根号下派，这个就是一个竖列求和呀。好，我们还是逐个翻译。先表达 s， 这个 s 是 表达的是圆的面积，圆的面积是派二缝二是啥呢？二就是 y， 就是 那个点的纵作表。 我们这个题中给了 x 放等于四 y， 也就是 x n 放等于四 y n， 所以 这个 y n， 它就等于四分之 x n 放， 所以这个圆的面积 s n， 我 们先找一般的通项，就等于派，二放就是派 y n 放，也就等于一平方的块是十六分之 x n 的 四次方乘以派， 这样的话，我们这个根号下 s n， 我 们是求根号 s n 的 几何呢？它就等于四分之 x n 放乘以根号牌， 所以我们要表达的这个 t n， 它是根号下 s e 加根号 s 二，一直加到根号下 s n， 所以 它就是这个根号 s n 这样的求和。 我们先看一下求和，这是竖列求和，我们得用什么方法求和呢？我们下边啊，把这个 s， n 先表达一下，你看，我在这里边表达一下， s， n 是 在这里 n 加一分之二，那 s n 放呢？就是 n 加 e 的 平方分之四， 这是 x n 放，再除以一个四消掉。所以这个 x i 根号加 s n， 就是 n 加 e 的 平方分之一。上面还有个根号拍， 看到了吧？那么你想想，对这样的根号 s， n 这样的数列求和，你能求吗？显然我们没有求和公式，而这个题中是让你证明这个对小于根号 pi。 那想一想，每一个根号 s 是 不都有根号拍？实际上就是让我们挣什么呢？就是让我们挣啊，一加一的平方分之一，我把根号拍拿出去，一加二的平方分之一，一直加到 一加 n 的 平方分之一，背的根号派，哎，证明它小于根号派， 证明他小于根号派，你想想，是不是就正里边括号里边那一对小于一就可以了？所以我们这个题是需要对它进行放缩的，先放缩，后求和。那么这个根，这，这个 n 加一的平方分之一怎么放缩呢？ 我们把分母放小，整个分子不就放大了吗？ n 加一的平方是不是就是 n 加一乘 n 加一， 那么你把分母缩小，你把那个 n 加 e 写成 n， 不 就缩小了？所以这个式子是小于 n 乘 n 加 e 分 之一的，所以我们可以试一下，这个就小于哎。 n 乘 n 加 e 分 之根号派， 也就等于 n 分 之一减 n 加一分之一乘以根号牌，对不对？所以这个前 n 项和它就小于。什么呢？每一项都能这样拆，就是一减二分之一加上二分之一，减三分之一，一直加到 根 n 分 之一减去 n 加一分之一。外边有个根号派，那里边一求和，不就剩下个一减 n 加一分之一，对吧？外边还有根号派，那显然一减 n 加一分之一一定是小于一的， 这个不就正出来了？所以这个最后一步就是一个竖列的放缩啊，然后列向相求和就可以。好了，今天这个题就讲到这里。

圆锥曲线其次化可以快速解决定值定点类问题，避免连力的庞大计算量。跟着数学害课学习数学，了解题目底层逻辑，让你轻松学会。 这个视频将用两道例题和两道高考真题，一共四道题，给大家来讲解一下。其次化怎么去解决圆锥曲线中的定值定点类问题啊？ 嗯，首先，其次话，其实它是属于特殊的年龄，因为正常年龄的话，就是把直线和曲线去连累之后，然后用伟大定律 x 一 加 x， y 一 加 y 二，对吧？然后我们再去把条件的要求的东西转化到我们坐标上面去。 但是啊，这样子做正常年龄会有一个计算量很大的一个这样这样的问题，特别是二年的那一年的高考题，比如说我们就是这一道题啊。第一问 对吧？你用正常年龄可能要算半天，但是你用奇字画，他就天然的会快很多好吧，少说可以快一半以上啊。 所以今天我们会讲两种题型，第一种就是什么，就是我们什么时候用这个手电筒模型。然后第二种就是用第三定义去转化到我的手电筒模型上面去啊。首先什么叫手电筒模型呢？就是我以这道题为例， 他说已知椭圆给那个方程，然后设直线 l 不 经过点 p 的 直线交椭圆于 ab 两点。 ok， 记住这条直线 l 就是 l， 它不经过 ab， 然后 它给那里 pa 与 pb 的 斜率之和为负一，让我们求 l 横过定点。首先手电筒模型，手电筒就相当于我从一个点上发出来光，对吧？它就散开了，所以我手电筒就相当于我可以放在这里看到没， 然后光就这样去照，然后刚好看到没，就像这个都是我手电筒照出来的光， 对吧？所以我就把这样子的模型叫做手电筒模型，然后你要用这个方法，它有个前提啊，就是我的 ab 两点，就是手电筒模型上方出来的这个这个光啊，它一定要在曲线上，好吧，所以就相对这个题目就是 ab 要在曲线上， 然后屁点我在不在曲线上其实都没太大的关系啊，反正方法都是一样子去做就可以了啊。 那么讲之前我们会发现题目里面有一个不经过零，逗一，对吧，那这条直线我们还可以像往常的一样去设成 y 等于 k， x 加 b 吗？也不可以，所以我们这里会有个结论，就是不过某点 怎么去设呢？设直线的话，比如说啊，不过的是 s 斗 t， 好 吧，所以它就变成 s 减 s 加上 n 倍的 y 减 t 等于一，好吧，所以它就不过 s 斗 t， 它就代表了不过 s 斗 t 的 所有直线。那它怎么来的呢？就是因为我们会有一个截距式推导，也给大家稍微推导一下啊， 你们可以这么去理解，因为截距是这样子的，那截距是代表不了过零零，对吧？他不会过这个零零，那么如果我把上面改成 这样子，那是不是就相当于不过 s 到 t 了，对吧？只是说还不过谁呢？还不过这个与坐标所平行的直线，所以我们有有什么办法呢？有，我把前面的这个 a 分 之一啊，你看前面这里有个 a 分 之一，后面这里有个 b 分 之一，我分别把它设成 m， 看到没，然后把它设成 n， 对 吧？所以这个结论大家一定要知道，你可以直接用啊。 所以你们记笔记的时候就说我设直线有三种设法了，一个就是过 x 轴上的定点，就是 x 等于 m， y 加 t， 然后过 y 轴上面的就是 y 等于 k， x 加 b， 对 吧？然后第三个就是现在这个，不过某一点就是这样子去设的， 好吧？ ok， 所以 我正式去写的时候啊，我就说姐，我说两个点，因为 a 点没有 x 一 y 一 b 点也没有 x 二 y， 对吧？ ok， 然后我们把它说题目有个斜率之合，对不对？所以你看到这种斜率的关系，我就可以去用形式化，所以手电筒模型里面我还可以加一点，就是什么呢？就是给了 斜率关系，可以是加减乘除的任何一个啊， 好吧，所以我现在就可以归纳了。这纳手电筒模型指的是什么呢？就是第一个就是有一点，然后上面出来两条射线，然后那条射线有两个短点吗？就相当于我与椭圆的，对吧？就 ab， 像这个题目里面，对吧， 所以这是第一个，第二个就是给了你 pa 和 pb 的 斜的关系，那么只要碰到这种题型，你就用这个方法，好吧？ ok， 继续。 那么我把 ab 设了之后，那这个斜率我等一下再去表示，那么我先设一条直线，设这个 l 设成什么呢？因为它不过零逗一，所以就是 m 倍的 x 减零吧，所以这里就是 m x 加上一个 n 倍的 y 减一等于一，看到没，一定要记住后面这里是一啊，所以 l 我 就这么去设，然后我就把这个椭圆方程给拿过来，但是啊，尽量不要有这个分数，所以我两边同时成一个四， 就变成这样子。那么重点来了啊，我们今天要讲的方法叫做不平移的起色化，也是更推荐大家用的，就是更加推荐大家用的。不平移也叫什么？也叫配凑， 好吧，也叫配凑。其次话，那什么意思呢？它为什么叫配错呢？就是出现在这里，你会发现我们直线里面这有个 m， x， 这有个 x， 这有个 y 减一，这里只有 y， 那 么 x 和 x 有， 但是 y 减一，我的方程里面有吗？没有，所以我要把这个数字去凑， 我凑出来谁呢？我凑出来，我上面有的 y 减一。那怎么去凑呢？你看我凑这个 y 减一，是不是后面加一？我这样子我的结果就不会变了。好吧，所以它为什么叫配凑？其次话就是在这一点啊。 ok， 然后我就把它展开。 嗯，这里少了个平方啊，就平方啊，然后展开之后就是 x 方，加上四倍的 y 减一的平方，加上八倍的 y 减一，然后再加上一个四，再减一个四，等于 各位，所以大部分情况下常数项是约掉了的啊，你没约掉，你要自己看一下你上面有没有算错，好吧， ok， 下一步错， 错完了，对吧？然后划剪开了吗？小括号千万不能划开了。那下一步干嘛呢？下一步就要其次吗？为什么呢？因为这是个二次式这是个二次式，这是个一次式，所以我下一步就是我这个方法里面最重要的一步叫其次。那么前面两项都是二次式，那一次式怎么去其次呢？你看啊， 我就把它去乘以一个一，结果不会变吧？然后一刚好在哪里了呢？我们的直线看到没有，懂了吗？所以我就把这个一用谁代替掉？用直线代替掉， 对吧？所以结果不会变呗，对吧？所以第二步啊，就是其次了，所以它为什么叫配凑其次，对吧？你们就按照这个 呃名字来记，其实也可以的。然后我就可以把它展开了，就会变成 x 方加上一个四， y 减一方，加上八 m x 的 y 减一，加上八 n 的 y 减一方，等于零，然后合并一下呗， 看一下有没有合并的，有吧，这两个可以合并吧，对吧？所以我这个是指啊，其实就相当于可以写成 x 方加上八 m x 的 y 减一，然后再加上一个八 n 加四倍的 y 减一方，好吧，然后你到了这步其实已经快出来了，因为我们这里是斜率等于什么呢？比如说我把 pa 的 斜率设成 k 一， 那 k 一 的斜率在哪里？是不是就是用 p 点的坐标？我们有吗？就是零到一吗？这里就是，然后这个点就是 x 一 y 一， 这个点是 x 二 y， ok， 不 就是 y 一 减一除以一个 x 一 吗？这是 k 一 吗？那 k 二呢？不就 y 二减一除以 x 二， 对吧？所以你会发现刚好我们这里有个看没 y 减一吧，有吧，下面不就是 x 吗？是不是刚好有了？所以我要把它换成斜率。我下一步是不是要同 除一个分母？分母是 x 吗？就相当于 x 方吗？所以它就会变成一加上八 m， y 减一，除以 x 加上八 n 加四，然后 y 减一，除以 x 的 平方等于零， 对吧？ ok， 同理，是不是我把 x、 y、 y 分 别带进去这里，这个事都会成立，对吧？所以如果我把它改写成什么样子呢？ 该写真一加上八 m， k 加上八 n 加四倍的 k 方等于零，那是不是就相当于我不用带 x 一 x 二了，对吧？我只用带谁带 k 一 k 二了，所以我 k 一 k 二带进去是不是都会同时满足？ 因为这一坨就是 k 嘛，对吧？只是我把 x y 一 带进去，它就是这个 k 一 嘛，所以我把它整体换了个圆，就相当于是，所以就变成了 k 一 k 二带进去，它会成立嘛？所以 k 一 k 二是不是就是这个方程的两根， 对吧？那两根就简单了，因为我们这刚好有个斜率值和，所以现在你们知道为什么要给的斜率关系才可以用这个方法。所以它的本质啊，其实就是相当于我 不用再去连累了，我只用用 k 去表示我的这个未知数了，因为你连累之后是 x 与 y 一 的关系，这里我们是得到是 k 的 关系了，就是一个整体，所以计算量会小很多，你看我们刚刚算下来，几乎就没什么计算量，就是简单的乘啊，对吧？ ok， 那 么题目就相当于 k 一 加 k 二，是不是要等于负一了，对吧？所以 k 一 加上 k 二就会等于什么？负 a 分 之 b 吗？负的八加四分之八 m， 所以 它要等于几负一。因为题目里面说了吗？负一吗？ 对不对？所以我这个式子就能解出来一个什么东西呢？就是二 m 等于二， n 加一， ok， 这个式子有什么用啊？ 它有什么用？刚好我们直线在哪里？直线？直线，我们设的 l 是 m x 加上 n 倍的 y 减一等于一，所以你自己看一下，我这个是指很成立，那它要横过哪个点呢？是不是？我看 x 等于几， y 等于几，对吧？所以 x 应该是不是等于二， 那 y 就 要等于几，它才会有这个，这个相对就是二 m 减二， n 等于一了，对吧？所以 y 是 不是就等于负一？ 所以定点出来没有就出来了，所以我二斗负一带进去，这条直线它永远成立，那永远成立代表的就是什么呢？就是我这个点一直都会在这条直线上面，所以这个就是横过定点二斗负一，所以答案啊，就是二斗负一， 对吧？所以你看，即使你现在再回，回过头来看看步骤，第一步设两个点，设条直线。第二步，去凑，我重要的部分都用红颜色笔给你们写出来了， 对吧？好的，所以你看，几乎啊，没什么计算的，就是简单的成，好吧。然后它里面的思想大家有时间的你们也可以去理解一下，就是哪一步呢？就是我刚刚写的这一步啊， 对吧？就是怎么把它换成 k 啊，对吧？怎么去理解？ k 一 k 二，它是它的两个，对吧？所以这个题我们就解决出来了啊。好吧，所以以后大家看到这种手电筒模型，你就用这个方法，绝对会比你年历要快很多啊。 然后这一道题啊，是二零二二年的一卷，好吧，但是他把它放在第一问里面了，一般情况下啊，普通难度的话他是放在第二问里面的，像你们现在啊，就高二的难度的话，就是放在 第二问，所以放在第一问，对吧？还是第一次欠，所以那一年真的计算量会很大啊，所以你用常规的方法很麻烦。 ok， 我 们看下题， 他说点 a， 二逗负一，这个点是二逗一啊，二逗一，他说在双曲线上，然后 l 加 p 交 c 于 p q 两点，然后 a p a q 的 斜率之合，看到没看到斜率之合，然后你画一个图，它符合手电筒模型，然后又有斜率之合，让你去求这个，这里就是让你求斜率了。刚刚我们是求的 l 过定点，所以这类题型都是叫做定点定值类题型。 好吧，那这个题目双曲线的方程我直接给你了啊，就是 x 方除以二，减去 y 方等于一啊， 我们只看怎么去做，那么按照刚刚的方法，我们先去设两个点， p 点 x 一 y 一 q 点 x 五二，然后我把这条直线设一下，那么手电筒模型他一定会符合，你自己看一下，想一下，我一一个点上方出两条光线，对吧？那这条 l 他 会过这个我的散发出来这个点的这个点吗？ 过不了吧，就相对我 p q 会过点 a 嘛。所以这里面是不是隐藏了一个条件， p q 不 过点 a 就是 p q 这条直线，对吧？所以我怎么去测呢？不就是 m 倍的 x 减二，加上 n 倍的 y 减一，等于一， 对吧？然后再把曲线方程拿过来呗，就是它减去二， y 减去二，等于零，下部重点部分就凑嘛，这有个 x 减二，这里没有，最后有个 y 减一，这里没有，所以你看，我就凑个 x 减二，再加个二， 然后减去两倍的 y 减一加一，是不是结果没有变嘛，对吧？然后我们展开吧，就是 x 减二的平方 加上一个四倍的 x 减二，加上一个四，减掉两倍的 y 减一减二减二，对不对？对吧？所以常数项一样的没了，所以重点又来了，下一步又是其次了， 这是二次，这是一次，这是二次，这是一次。所以是不是就相当于我要把这个他去乘以一，他也去乘一个一，一在哪里？一在直线，这这里 对不对？所以乘了之后应该我这里就直接乘了啊。应该就是四 m x 减二的平方，加上四 n x 减二， y 减一， 对吧？然后减去两倍的 y 减一方，减去四倍的 m x 减二， y 减一，然后再加上一个四 n 的 y 减一方。所以这种题你又会发现它只有一个缺点，就什么呢？写的长， 对吧？他写的很长，但是你要说他有计算吧，我真没觉得，就是简单的乘法，它这个就是，对吧？还没要你去因子分解啊什么的，对吧？然后下一步最后面就同理了呗，对吧？你把看这个抽象思路，你们可以自己去算一下，我把嗯 对应项的能够约能够写的系数，对吧？我就这样去把它和合并同类项，对吧？ 这里我就直接填了啊。这前面应该就是四 m 加一，后面应该就是四 n 减四 m， 然后这里应该就是负二减四 n， 对 吧？ ok， 然后下一步不就把它换成就同除， 同除一个什么？熟练之后就是同除一个大 x 项的平方呗，对吧？所以它是不是就是四 m 加一，加上一个四 n 减四 m 倍的 y 减一，然后 x 减二，加上一个负二减四 n 倍的 y 减一， x 减二的平方， 对吧？然后刚好这有两个斜率一样的 k 一， 就是 k a p 嘛，那 k a p 会等于什么呢？这是 x 一 y 一， 这是 x 二。哇，一样的，那不是 y 减一除以 x 一 减二吗？ k 二不就是 y 二减一除以 x 二减二吗？ 是不是我把这个 x x 带进去，带到这个市值里面去，它肯定会成立，所以我把谁 我把它换成 k 呗。所以我带的就是 k 一 和 k 二了，是不是也会成立，懂了吗？所以你看，我这里就不要了。所以一样的会有 k 一 加 k 二等于负 a 分， 分之 b 就是 它分之它，然后它要等于零吧，对吧？所以算出一个 n 等于 m 吗？那 n 等于 m 呢？那我这条直线在哪里？ 这是直线的 k， 不 就是负的 n 分 之 m 吗？不就负一不就出来了， 对不对？你看，这就是我现场这样在写啊，像你们自己熟练之后你自己写，肯定比你年龄要快很多啊。好吧，这还这才几分钟，中间也没什么很难计算的过程啊。 好的，然后我们看一下题型二。题型二是什么呢？就是他。呃，像我们这个题啊，你看图好像跟手电筒模型很没关系，但是如果我用第三定义去转化一下就很有关系了。什么叫是第三定义的？就是那个钟点型定律，就是圆锥曲线的垂径定律啊，这个我们就不去过多的说了。 嗯，我们看一下题，他说 ab 分 别是椭圆上的上下两丁点，所以你只要看到一个什么东西呢？关于圆点对称的两个点， 就你只要看到有这样两个点，那我就要往谁上面去靠。就是第三定，就是中点弦定里，然后上下两顶点，是不是一定会关于圆点对称？当然有的题目他会说左右两顶点，或者他干脆就说我 ab 就是 关于圆点对称的两个点， 好吧，所以你以后你们看到这种题，你们就要想到，呃，我们的手电筒模型啊，把它转化到， 然后他说过一零这个点就是一斗零的直线交椭圆与 c、 d 两点，然后 a、 c 的 斜率是 k 一， b、 d 的 斜率是 k 二，他说 k 一 等于 k 二，你看这也是一个斜率关系，但是唯独他不是手电筒里面的斜率关系，对吧？那么我们这里怎么去转换呢？因为我说了，你要用第三定律去转换的话，我可以连接一个 bc， 那么 k、 b、 c 乘以 k a、 c 是 不是就会等于负 a 方分之 b 方呢？对吧？这是在椭圆里面的啊， 在双曲线里面，是不是就是 a 方分之 b 方，这是双曲线啊，就第三第一啊，这里就不去说了。所以你在试卷，试卷上面只用写两步，就把那个点差法的两步去写在上面，那我这里就直接去用了啊，因为我这里就是椭圆嘛， 对吧？所以是不是等于负四分之一？所以 k、 a、 c 是 不是等于负的四倍的 k、 b、 c 分 之一了， 对吧？所以因为 a、 c 是 k 一， 所以就相当于 k 一 等于它，对不对？所以它说 k 一 等于两倍的 k 二嘛，所以 k 一 它又等于两倍的 k 二，就是 k 二，又是 b， 就是 两倍的 k、 b、 d， 对 吧？所以我这里就可以把它化简一下。只看这两项啊，就可以化简一下，会得到一个什么式子呢？嗯，就是 k、 b、 c 乘以 k、 b、 d 应该就是负的八分之一，看到没有？那现在 b、 c 和 b、 d 它们共不共起点 控吧，是不是就符合手电筒模型了，对吧？所以我是不是就可以按照我刚刚的方法去做了？怎么做呢？因为 b 点我们有嘛， b 点是零到一嘛？然后我就把 c 点和 d 点去设一下呗。 我就说 c 是 x 一 y 一， d 是 x 二 y 二，对不对？所以同理，我把 c d 也设一下， c d 一定会不过 b 点，所以就是 m 倍的 x 加上 n 倍的 y 减一等于一，然后你把椭圆方程拿来， 就是他加上四， y 方减四等于零，然后去凑，凑出来，他就是 x 方加上四倍的 y 减一加一的平方，然后减掉一，嗯，四， 对吧？这个我们刚刚算过吧，就我记得，对吧？只是你看，这里是用的 k 一 乘 k 二了，所以它一定会得到一个什么 k 方加上一个什么 k 加上什么的形式等于零，我就暂且把它设成 abc。 那么这里就是用的 k 一 乘以 k 二等于谁？等于负的不，不等于 a 分 之 c 啊，这是乘的啊，不是加的啊，对吧？所以它要等于负八分之一。你们一样的，可以把这个 m 和 n 的 关系式 给算出来，对不对？这里我算出来啊，是 y 等于，反正化简之后就是三分之一， x 减掉三分之一，你们可以自己算一下。好吧，这题就相当于是练习题啊，只有前面的 跟那个刚刚讲的不一样，后面的就完全是一模一样的啊，这里就不去算了。然后我们二零二零年的高考题其实就考过这个啊， 好吧，然后这个第一问我看一下啊，应该是九分之 x 方加上 y 方等于一的，好吧，然后他意思就是什么呢？他说，嗯， ab 是 什么？ ab 左右点点，看到没有？左右点点关于圆点对称吧，所以你看的这种东西，你就下意识的就想到第三 d， 好 吧，所以我先放在这里啊。然后他说，嗯， p 点是 x 等于六 上面的一个动点，然后 p a 与椭圆交于 c 点， p b 与椭圆交于 d 点，要么求 cd 过的一个定点， 你看这里，其实他还是没有那个给你。手电筒模型，连斜率关系好像都没给你，你看，你看，这个斜率关系都没给你，对吧？因为这个是用来算第一问的啊。 所以啊，你要用，其实话，你是不是要找到斜率关系？这个题目其实有斜率关系，只是他隐藏在题目里面了。那怎么去做呢？我们先把点设一下呗，屁点这样的动，把它设成六对 t， 然后 a 点， 嗯，左右顶点，其实 a 点我们就就都有 ab 两点，对吧？应该是负三斗零的 三对零，所以我们看一下啊，先把斜率写一下呗，那 k p a 的 斜率是不是就剔除于九？ k p b 的 斜率就是剔除于三，哎，刚好我们能得到什么斜率关系了，就是 k p a 就 会等于三倍的 k p a 啊，就会等于 k p b 吧， 对吧？所以斜率关系不就找到了？那斜率关系找到了，然后刚好有个左右对称的两个点，那是不是可以用第三定义了，对吧？因为 p a 的 斜率其实就相当于是 k a c 的 斜率，那 p b 其实就是 b d， 对 吧？所以你现在就不用管这个 p 点了，我 a c 和 b d 现在斜率有关系，当然这是一个很很典型的蝴蝶模型，还有很多方法，对吧？在这里我们用奇字画，那就要先用第三定去转化一样的同理呗，我就可以把一个点连接起来先， 对不对？连接谁呢？比如说我连接的是 a， d， 好 吧，所以我是不是根据第三定义就有 k a、 d 的 斜率乘以 k、 b、 d 的 斜率就会等于负的 a 方分之， b 方就负的九分之一， 对吧？所以 k p， k、 b， d 啊，是不是就会等于呃，所以 k、 b、 d 就 会等于负的九倍的 a、 d 分 之一啊？所以我再把这个数字给拿来 三倍的 k， a， c 就 会等于负的九的 a、 d 分 之一吧， 对不对？融化减一下呗，对吧？就把嗯 k， a、 c 乘以 k， a、 d 就 会等于负的二十七分之一吧， 对吧？所以你看 a， c， a d， a， c 在 哪里？以 a 为那个光线散发点做一条 a、 c 的 射线，做条 a、 d 的 射线，看到没有？所以这里还是考的斜率之积了。所以同理，被按照光光方法把 c 点射成 x 一 y 一 d 点射成 x 二 y， 那 么我的 c、 d 一定会不过点 a 了吧。所以直线就是 m 倍的 x 加三，加上 n 倍的 y 等于一，然后你把椭圆方程拿来，就是 x 方加上九， y 方减九等于零，对吧？然后去凑配，凑其次化， 好吧，后面步骤反正都是一样的啊，这里就嗯，就不去写了，好吧，反正你们就按照刚刚最开始的啊，因为我的题目就就转换到了这个上面去了啊。好吧，只是你最后得到的这里 会得到一个多少 k 方加上一个多少 k 加上一个多少等于零之后这里用的还是 k 一 乘以 k 二， 好吧，所以你看这种题比你正常年龄啊，你们可以自己试一下年龄。老师这里不是夸张的说啊，你年龄如果年龄不是计算很快的同学啊，可能要一二十分钟 好吧，而且你还没思路。但是你记这些模型，你看到什么样的条件你就想利用什么模型就很快了啊。

短视频时长两百六十分钟，带你专项复习高二圆锥曲线离心率选填题，从题目出发，带你通透底层逻辑，掌握解析思路，考试从此不丢分！ 第一个任何一个三角形内切圆的那个啥呀？内切圆的半径公式是啥？ 我们说对任意的一个三角形，你始终要记住，但凡涉及到面积的时候，他是二倍的面积，但凡涉及到半径的时候，他是二倍的面积，除以什么周长， 那这个推导的方式之前说过就不说了，等面积法，然后对于等边三角形这种特殊的呢，还有他特殊的更简单的，你只要知道边长，对吧？那么他的半径呢？就等于六分之三 a， 这个也更简单，你只要把它做出来， 在这会有一个多少？三十、六十、九十的这样一个小的 rt 三角形，他一个直角边知道，其他的也就全部知道了，而这个刚好扮演的就是什么内切圆半径。然后对于直角三角形，他也还有一个非常重要的公式， 就是如果我们知道了直角边 ab 斜边是 c 的 话，那么说他也有一个直接用三边来表示的半径公式，就是直角边之和， 减去什么，减去斜边除以二，就是这个半径公式，这个也是通过几何法就可以推出来，你找到这个圆心，然后这里这个 这个什么，这有个正方形都是 r， 这两段相等，这两段相等，所以建立等量关系，很快就可以推出他啊。如果说这个你不太清楚，你也可以下去推一下。这首先是我们处理任何一个三角形内切圆的时候， 通用公式对所有三角形都成立等面积法得到的对等边和直角，还有它特殊的。好了，第二个，为什么这里爱考，是因为这里的面积经常也比较好求，比如说出现椭圆的焦点三角形， 只要这个屁处对应的角是知道的。我们说有个二级结论就是它的面积公式等于啥来着？ b 方乘以这个角的正切值的一半啊，这个在上上一次回放中也推导过，我在这就不说了， 同样的双曲线这块交点三角形，它出现的时候变成什么， b 方除以它乘以它二分之 c， 它就行了。 因为我们求内切圆半径经常要用到什么，经常要用到面积，那你要对面积的求法要熟悉。而在这里艾考内切圆，主要也是因为很多情况下它的面积比较特殊。好了，这是第二个。 第三个，对于双曲线的这样一个焦点三角形，我们说它的内切圆圆心还有一个很重要的 引含条件，就是只要这个三角形是交点三角形，我们知道这个圆心到下边的这个切点是谁啊？其实就是这个顶点啊，这个点在左之上，那这个切点就是左顶点 a， 我 们经常也说 内切圆圆心轨迹在哪里？ x 等于 a 上，然后这些也是老规矩啊，今天只是回顾，之前都推导过，在这不说了，掌握清楚。在左之上就是 x 等于负 a， 在 上之上就是 y 等于 a， 在 下之上就是谁啊？ y 等于负 a， 所以 这是今天在开始做这些 啊例题之前，我们一起要达成的背景知识，那么有了这样的认识，接下来我们在处理问题的时候， 大家才不至于啊，嗯？为什么？为什？为什么？有太多的为什么，对吧？所以我们先把这个达成共识，接下来我们就一起看今天我们要一起看的这种多个内切圆的问题。来看第一道题，带大家先把这个图画一下， 告诉我们有个双曲线，那我们画出来说点 p 是 第一象限，双曲上的一个点 q， 点是 f 一 f 二上的一个点 p q， 然后接下来连接 p f 一 f 二，连接 p q， 这里就有两个三角形啊，两个小三角形，然后告诉我们它俩都有一个内切圆。 第一个的，那先告诉我们的是这两个面积，说这个面积是 s 一， 这个面积是 s 二的话，它俩面积之比是二比一， 我们发现这两个面积什么关系呢？它俩有公共的高，所以它俩的面积比代表了他们的什么地之比，所以这两个之比就是二比一， 结合整个是多少二 c， 所以 这一个是三分之二 c， 这一个是三分之四 c， 对 吧？两个长度就可以用 c 表示出来了。 第二个又告诉我们两个三角形的什么周长之合啊，它两个就是这个和这个的周长之合是十 a， 用 a 表示出来了。最后一个告诉我们它两个内切圆是一样大的，半径相等。 最后让我们求一下他的离心率，到这里齐就帮大家梳理完了。首先他给的周长这两个我们暂时没法用，刚才给的面积之比呢，我们也先得到了，通过面积之比先得到了这两段之比。 现在最重要的还有一个叫做内切圆半径相等，那内切圆半径相等是谁相等呢？那假设这个面积是 s 一， 这个是 s 二，那不就是 s 一， 二倍的 s 一 除以 c 一， 等于二倍的 s 二除以 c 二吗？你看到这道题告诉的 瞧见周长面积，那你再给到半径半径的公式就是面积与周长的比值，所以它是在告诉我们啊，两个 s 一 比上一个 c 等于两个 s 二比上一个谁啊？ c 二， s 一 又等于两个什么 s 二，所以这里就是多少四个 s 二，两边都有 s 二约掉， 哎，两边都有二也约掉这剩个二了，那你这样一写就是 c 一 等于多少二 c 二，所以他在告诉你半径的这个条件啊，原来还是在说谁啊？周长因为面积之间 本身就有比值关系。好了，告诉周长之和是十 a， 又告诉你 c 一 等于二 c 二， 那又在说啥呢？那不就把 c 一 和 c 二都表示出来了吗？来，这是二 c 二，那三个 c 二等于十 a， c 二等于三分之十 a， 那 c 一 等于两个，它就等于三分之二十 a， 所以 简单的根据面积周长内切圆半径之间的基本 关系，或者说叫做公式，巧见就梳理清楚了，相当于题目告诉你这个三角形的周长三分之十 a， 这个三角形的周长三分之哎，一个三分之二十，一个三分之十，然后这两个三角形里边还有各有一条边 是知道的，然后他们有个公共边，因为然后对应的就是各自还有一个什么交半径。那么接下来我们说要求离心率， 在这个专项的第一讲就讲了，就是你要想尽办法列出一个关于 abc 的 什么 abc 的 其次式， 那你知道 c 一 是它， c 二是它，都是关于 a 的， 这两个怎样才能建立联系？列出 abc 的 式子 做差没有问题啊，相减没有问题，为啥相减呢？因为你知道，你看这两个有一条边，两个都是知道的，没关系，它有一个公共边一减就没了， 那剩下的就相当于它俩的差，本质上关键看这两个的差知不知道。那你根据双曲线的定义，它减它等于多少二 a， 然后这一段减，这一段呢？等于三分之二 c， 这个是公共边两个周长一减就抵消了，所以 c 一 减 c 二，从图上来看等于啥？等于二 a 加上三分之二 c， 那么从给的条件上来看，它俩相减又等于多少？三分之十 a， 对 吧？所以首先从图上关注它俩的特点，有公共边两个周长一减， 就剩下部分边再相减，而它们之间差又是定值，所以它们的差从图上得到一个关系，从已知条件得到一个关系，你就列出了谁啊？ a c 之间的关系啊。 好了，接下来计算很简单，这里一约剩三分之四 a 三和三一约四 a 等于多少二 c a 分 之 c 就 等于二， e 就 等于二，就结束了。所以这道题梳理一下就是。首先第一个呢，他考察到了面积 周长、内切圆的半径，他们三个只要出现了核心依然是谁啊？内切圆的半径公式，你就能够简洁的看到他们之间的关系。 整个极梳理完之后，就是明确的两个周长之间的关系，那周长之间要建立关系，要观察这个图两个三角形本身的特点也要结合什么，我们在处理离心率的时候，往往要结合，只要有曲线上的点， 你要结合咱们双曲线的定义，它就是这两个线段之差是定值。 所以只要有双曲线上的点，往往要建立这种长度关系的时候，要想到用双曲线的定义，这也是作差的。另外一种暗示，一个是观察两个三角形的图形特点，第二个要结合曲线的定义， 比如说有些时候椭圆的话，那他可能就是和的关系。好吧，好了，这个我们就说到这里啊，这是这道题，其实本质上是考了，嗯， 就是内切圆半径公式和这个。然后接下来咱们再看第二个，这个第二题呢，告诉我们还是个双曲线，然后呢说过 f 二啊，做一个斜率不为零的直线，与左右两支交于 m 点和 m 点和 n 点，然后呢连接一下 m f 一， 那这里就有一个大的焦点三角形，以它为顶点的焦点三角形，说它的内切圆啊，假如设为一啊，这是谁啊？ 它的面积啊，设为 s 一， 然后接下来再连接一下 n f 二，这又一个以它为顶点的焦点三角形，也有个内切圆，哎，说它的面积是 s 二，一个圆的面积是 s 一， 一个圆的面积是 s 二，你看又出现两个焦点三角形，又出现了两个内切圆。 最后呢说了他们面积是有个比值关系的，让我们求离心率是多少，那我们首先注意离心率，我们经常说离心率的方向是什么呢？就是终极方向，就是你去列 abc 的 一个什么啊，其次式，或者说一个。其次方程问题就解决了，那么 列他的朝哪个方向或者是朝什么关系去列呢？我们说有大一大部分是朝几何，还有一大部分有一小部分呢是朝解析的方式。那我们现在涉及到的这些，你看圆呀，内切圆呀，长度的比值呀，面积的比值，我们肯定是偏几何方向， 偏几何方向我们就朝几何方向去感受。这个告诉我们两个圆的面积之比，本质上在说什么圆。只要告诉你周长比也好，面积比也好，最终都落到什么半径比？ pi r 一 的平方等于四倍的 pi r 二的平方嘛？ pi 一 于 r 一 方等于四， pi r 二方，所以说明 pi r 一 等于二。 pi r 二，所以说明这两个的半径之比是什么？这两个的半径之比是一比二，半径起线一下， 这个长度就是 r 一， 这个长度就是谁啊？ r 二啊，这是 r 二，这是 r 一。 当你看到图中这两个长度的比值的时候，你一定会想到什么？对，相似嘛，我一定会想到相似，那么这两个要建立相似，是不是相似得放在三角形当中呀？ 所以接下来我们就会想啊，那我要不连一下这个线，那么连一下是不是就放到相似里边了？但是你如果自己画图了，你连的时候，你会发现 a 一、 a 二还有这个 f 二，他一定共线吗？ 在我画这个图一连，哎，这三个点好像在一条线上，看着好像相似，但是我画的不共线呀。 所以这里有一个很重要的问题，看到笔直，你能想到相似，想到相似你能想到三角形，想到三角形这么一连，你要内心是绝对的确定他是不是贡献的来共不贡献。 所以这个题今天你在这一看，我一连贡献的，你可能觉得啊，好简单，但是你内心即使画自己画的草图，他不贡献，你得坚定他贡献，他一定贡献。为什么？ 因为他是两个圆心的内切圆，圆心的连线，内切圆的圆心是谁的焦点？内切圆，圆心是谁的焦点？叫平分线的焦点。永远记住啊，这是他的定义啊，叫平分线。那你看， 不管是大的这个焦点三角形也好，还是这个小的小的啊，小的这个焦点三角形，他们有一个公共角，就是这个角， 这个角是他们的公共角，那么他俩的原型肯定都是在这个角的角分线上，所以 f 点 和两个圆心一定三点共线，他们都在这个角分线上来。所以说为什么要强调这个？因为我画的这个图相对画的还是比较标准或者清楚的。然后你咱们每一个人自己在做题的时候，你对这个概念， 或者你对这个定义不清楚，你也看到比例了，但是你画出的图是圆，一个圆形在这，一个圆形在这，然后 f 一 在这， 你一连他是这个样子，你说，嗯，这两个比例也没办法放在什么，也没办法放在一个相似中，就会导致这个棋你可能做不下去。所以说跟图不标不标准，要减少他对你的影响，那你就得对一些特别的概念要有一个特别清楚的认识。 所以这样当你知道啊，这里就会有一个什么很明确的初中学的相似，那相似的话，这里是二比一。接下来你的方向是去列 abc 相关的式子，那你就看这个题目里边哪些长度能用 abc 表示出来 来？这俩一点是不是就表示出来两个顶点之间的距离是二 a， 这俩一点也能表示出来整个是 c， 这一段是 a， 是 c 减 a， 因为这两个是一比二的话，就相当于这根中位线一样的，然后这两是一比一，所以 c 减 a 比 二， a 是 多少一，然后两边同乘以二，这是二， c 比 a 是 e， e 减一等于二， e 等于多少？ e 比 e 等于三。直接结束了， 就这么简单。好了，这道题咱们就说完了，所以这个题就是你看似没见过的话，好像很复杂，但是你把这里边的东西能想明白之后，他很简单。 所以我为什么在这一定要强调你非要非常坚定的知道他们三点是贡献的。如果这一点想不明白的话，考试的时候你基本画出来的是不贡献的，因为随便画个草图他们都不贡献啊。那这道题主要在说啥？第一个就是 还是内切圆的话，处理半径有比例的话，要想到相似，然后这道题对内切圆的理解就是他最基本的定义，内切圆圆心是角平分线的焦点啊， 所以这里有比例要想到相似。第二个就是咱们处理离心率，如果里边告诉你的这种比值呀，线段的比呀，还有一些长度的关系，面积的关系，咱们处理的方向就是从几何的角度去列 abc 的 方程， 那有比例想到相似，相似本身就是我们列等式的一个关键，所以你就要去建立这样的相似。好吧，好，这道题也就讲到这里。这道题有价值的部分呢，我觉得也就是 这两个内圈原形共线，这个要达成共识，那只有这个达成共识了以后，你才能尽少的减，尽量的减少图对你的影响。来看下一道这道题，告诉我们什么还是有一个双曲线，然后告诉我们过 f 一 啊，做一条线哎，与左之交于 p q 两点， 然后说连接一下 p f 一 啊，上边有一个以 p 点为顶点的交点三角形，它有一个内切圆，是圆 m， 然后再连接一下 q f 二，它也有一个内切圆，圆心是 n， 然后接下来说这两个的半径，一个是 m， 一个是 n， 这两个相乘等于二 a 方求离心率，这个又提供另外一个方向上的思考。也是接下来几道题最关键的， 就是经常会出现上下背靠背的两个交点三角形，然后会产生两个内切圆，然后只要齐到了它两个半径，那这个两个半径在哪里体现呢？就是我们都知道啊，因为 两个切线都在，两个切点的轨迹都在 x 等于负 a 上，对这道题来讲，如果在这边的话，就都在 x 等于 a 上，所以呢，你们都把它跟这个端点一连，这个就是 m， 把这里跟这个顶点一连，这个就是 n m， n 就 在这里， 那么 m n 就 在这里的话，接下来我们要研究这两个长度的乘积，我们说你要研究长度还是要放在一个三角形中， 那这就是这道题最后的一个价值，你只要能想明白放在哪个三角形中，问题就解决了。连 f 一 放在这个三角形中去处理，那这个三角形有什么特殊之处呢？我们说它是个 rt 三角形，而且它永远是一个 rt 三角形，为啥 还是回归到了上一道题？那个啥叫做内切圆圆心啊？角分线，角分线，这是阿尔法，这是阿尔法，对吧？对，下边这个圆的话，哎，这个也是这个角的平分线，这是贝塔， 这是贝塔，所以整个这四个角加起来是二阿尔法加，二贝塔是一个平角，等于一百八， 那阿尔法加贝塔就等于九十度，所以出现这种背靠背的这个三角。呃，这个这个模型，这里一定会有一个斜边，是由两个半径之合成的 r t 三角形，就是因为这两个啊， 线是角分线，把一个平角分分开了，说明白了吗？然后以后呢？只要涉及到题目，给了这两个长度的关系， 加也好，减也好，乘也好，甚至除也好，我们都要在这个 rt 中去研究，他清楚他俩的关系，那他俩有什么关系呢？你要在这个 rt 三角形去研究，还要关注这个三角形中的定量。 这个三角形中的定量是谁？你会发现这里有个点，假如我设为 p， 那 么这个 p 点呢？是顶点，对吧？这个 f 点是焦点，所以这里就其实产生了这样一个， 这里是个 rt， 这是 m， 这是 n， 那 最关键的是谁啊？最关键的还有这个斜边上的高呀，它永远是一个定值，它的长度就是 c 减 a， 就是 焦距减去半轴，所以这样的话，一个直角三角形高，知道 斜边被高分的两段是 m 和 n， 根据相似也好，根据摄影定律也好，我们永远知道 m 乘 n 等于 c 减 a 的 一个完全平方，所以你看，像这种棋形就是属于你见过没有，你见过之后知道他们所涉及的这个关系在哪个 啊，就是在哪一个图形中去处理它们之间有哪些关系。把这个想明白之后呢？以后只要看到它，你就会觉得这是一个水到渠成的事情。就通过这个题，你就是把这个小三角形想明白，把两个内切圆的半径和整个 我们双曲线 abc 的 关系想明白就行了。这个是基本前面负，因为这两个圆心所在的线在 x 等于负 a 上， 而这里是谁啊？ x 轴，所以它们这里也是垂直的啊。好了，那么因为这个长度是个定量，在这道题里边，我们就知道 m n 等于谁啊？ c 减 a 的 平方。题目又告诉我们 m n 等于二 a 方好了，直接有了，所以这叫做你知道直接有 两边开个方， c 减 a 等于根二 a， 对 吧？ c 等于谁啊？根二加一倍的 a， 然后你说离心率等于多少，离心率就等于根二加一，直接就结束了。接下来我们再看一个同类型的，看一下大家学会了没啊？ 那么这道题跟那个差不多，这回是过右焦点，有个 p q 一 连接，这有一个什么内切圆，这又有个简直跟上边是同一道题， 只是给的条件不一样。上一次是说两个内切圆半径的乘积 i 是 已知的，这次说的是 o m 和 o n 的 斜率，一个是 k 一 k 二，这回说的是斜率之积等于一个二倍，根二减三。 来让我们求一下离心率。好了，那这道题咱们就继续看啊。然后在这道题里边，他这回告诉我们的是 k， 那 只要看到这两个圆心，我们就知道啥要知道 k， 说白了就是要知道这两个点的坐标，来 假设第一个的半径，上边的半径是 r 一，下边的半径是 r 二，谁给我说一下下边这个 n 点的坐标是多少？ 你只要能标出它坐标，这道题就结束了。我们知道，首先你看它又用到了，这都在 x 等于 a 上，所以它横坐标一定是 a， 那 它的纵坐标对应的长度是 r 二就是 a 负 r 二，那 m 点坐标呢？ a r 一， 所以那 k 一 等于啥呢？ k 一 就等于重坐标比上，哎啊，重坐标比上，横坐标 r 一 比 a， 然后 k 二等于啥呢？重坐标比上，横坐标负的 r 二比 a， 两个就写出来了。然后题目说 k 一 乘 k 二，那你乘呗， 这俩相乘等于 a 方分之负 r 一 r 二，这里本来写的是二倍根号三减二，我两边同乘了个符号啊，哎，不是二倍根号二减三啊，就写成 r 一， r 二比上 a 方等于三减二倍根号二，这就是它给的是斜率， 我要求离心率，我要朝 a b c 去出发，对吧？然后呢，就用相关的把两个点坐标表示出来，先转化成了这样一个式子，只要 r 一 乘以 r 二出现，是不是这道题已经结束了？但凡上一道题想明白，写到这一步还结束了， 确实结束了。因为在上一道题，我们说只要出现 r 一 r 二，在哪个三角形？在这个 r t 三角形中，根据摄影定律， 这个的平方等于二一乘二二，而这个永远是一个定值，谁啊？ c 减 a， 所以 二一乘以二，二就等于 c 减 a 的 平方，整个式子就是 c 减 a 的 平方，比上个 a 方 等于三减二倍根号。然后接下来你只要给两边开个方就行了，开个方这边是 a 分 之， c 减 a， 那 三减二倍根号二开个方等于啥呀？根二减一对吧？根二减一是吧？好，所以这里的话就是我们初中所说有无理数配方的话，这个看作交叉下，二乘一乘根号二， 二是二倍的交叉。所以看一下他能不能写成一和根二相关的完全平方，他的平方加他的平方是三，所以把三拆成二减他加一， 这里就是根二嘛，对吧？根二的平方减二乘一，乘根二，再加上一的平方，所以这个整体呢，其实是根二减一的完全平方。好了， c 减 a 是 正的， a 是 正的，所以 a 分 之， c 减 a 开完方是正的，就是根二减一。然后右边呢，写一下，是 e 减一等于根二减一， e 等于啥呀？ e 就 等于根号二，这道题也就结束了啊，这道题也就结束了。所以这道题看似是比上一道题综合了一丢丢。 首先他在告诉条件的时候，并不是直接跟跟这个谁啊啊，内切圆的半径来说的，他给的是斜率，给的是斜率，给他斜率，你需要他坐标， 你把坐标表示一下，你只要知道这个第一个考点就是你只要知道圆心都是在 x 等于 a 上，一个坐标是 a r 一， 另外一个坐标就是 a 负 r 二啊，知道这个，那斜率表示出来，你就完成了这个式子。我们的方向是什么？列，只有 abc 的 式子， 那么这也是所有背靠背内切三角形最重要的，这个 r 一 乘 r 二永远等于它， 所以就看你对这个知识点掌握的熟练不熟练。最后就剩一个简单的计算了啊。所以今天呢，我们进入第四类，这一类棋的 标志呢，就是线段有比，你比如说一个是 x， 你 就是另外一个是二 x， 这第一步对吧？第二步的话，你可能就得用勾股定律或者谁啊？鱼弦定律其实本质是一样的吗？勾股定律就是鱼弦定律的特殊情况啊 啊，然后呢会先解出 x 等于啊，某某 a 或者某某 b 或者某某 c， 大 多数情况都是用 a 给表示出来，那么表示完了之后，第三步，当你肉眼可见的这些线段终于用谁啊？ abc 表示出来了，你要去求离心率，他就回到了我们最基本的这些思路，那你再去找这些面积啊，勾股呀，余弦定力等等，包括定义啊这些等量关系，再建立一个他俩他们之间的等式就行了啊啊，这就是我们今天要解决的问题，我在这先做一个概述， 然后接下来具体的话，咱们通过题目来感受。那这今天会讲的话，应该会讲到六道例题，前三道的话，我们没有太多的考点，就是把我刚才所说的这些题目的标志和流程 带大家去熟练一些。然后后三道呢，在这个流程的基础上，可能你看到的时候，甚至 你都看不你，你都没办法设了之后都没办法把题目中的线段怎么样表示出来，所以它还需要我们做一些辅助线啊，或者说对图形做一些什么变形转化，所以它会加一些额外的常见的一些考点，所以会更加综合一些。 所以说我们就先通过前三道来感受一下今天所说的有线断关系要多次使用鱼弦定力球离心率的这类问题的流程来。先看第一道啊，第一道的话其实只使用一次，但是这道题的话呢，他也告诉了我们什么，我们一起来看看一下题， 告诉我们一个双曲线，然后告诉我们 ab 是 左右两支上的一个点，然后说 a f 一 和 b f 二是平行的两个线段平行，还告诉我们他俩之间的比值是多少？ 五比三。所以说在这种情况下，只要有两个线段之间的比例关系，你就可以设了，比如设这个是三 x， 这就是什么五 x， 这就是今天我们要讲的这类题最明显或者最显著的一个特特征，就是图形中的一些线段之间有大小的比值关系，对吧？好了，射出来之后还告诉我们个 b f 一 和这个之间是谁啊？ 啊？哎， b f 一 是和这个之间是二倍关系，这是三 x， 我 们就可以表示出这是六 x， 然后接下来条件就树立完了，让我们去求它的离心率。那在这道题里边，你看一开始呢，我们说这道题告诉我们的都是这些几何量， 给了这些线段的关系去求离心率的话，我的主方向呢，就是去用 abc 表示其目中的这些线段啊，就是 abc 是 咱们圆锥曲线中的几呃，就是最 有代表性的量，对吧？表示线段。但是现在的话，我的这些线段咋都还是我自己设的 x， 所以 我第一步就要想办法把这些 x 先用谁啊 abc 表示出来。那这里我们很明显的看到了什么定义 b f 一 b f 二成对的什么？一组交半径，所以他俩的之差一定是等于二 a， 他 俩之差就是六 x 减五 x 是 x， x 就 等于多少二 a。 所以 这道题你发现你先设了线段之后，要把你设的这个变量用 abc 表示出来，非常简单，直接定义就可以搞定好了。那第一步完成之后，首先让这个里边不要有你设的这些字母， 重标一下，那如果 x 等于二 a 的 话，这十 a， 这十二 a， 这是多少？六 a， 我 们就标上了。那么接下来我们看到这些线段就要想办法去列 abc 之间的关系，但是很明显现在列不上， 那么看到这个图形中，你接下来会做的一件事是什么？对，一定会连 a f 二啊，就是这种操作，是你拿起图来可以说一上来就会干掉的事情。为啥呢？注意我们走几何方向去处理离心率的时候，我们把这叫什么？ 交半径吗？对吧？交半径不管对椭圆和双曲线，他得是成对出现的，他很多时候出现一个意义不大，因为他两个之间有关系，他对椭圆来讲是两个和为定值，对双曲线来说两个什么差？为定值，你看这两个是一对， 当这个单独出现的时候有没用？你先把另外一个连起来，那么往往就是连起来才会有用，所以接下来那这是六 a， 这个就是什么八 a。 根据定义，我们说用 abc 表示完整个题目中肉眼所见的所有长度，接下来你就要建立他们之间的关系， 那么我把这里的长度十二 a， 八 a， 六 a， 十 a、 二 c 全部表示出来了，接下来我想把他们列一个等式， 那我的方向去找什么东西？嗯，我们关注点是去找角啊，有了长度，很多时候你要去把长度联系起来，就得去找角。那在这个三，你看这个黄色的三角形，你发现他没有角，三个边虽然都有，他没有一个角的话，你就很难列出他们之间的关系，对吧？ 然后呢，在这个三角形中也是一样，他三个边你都表示出来，但是他也没有任何一个角，所以说你也很难把他们直接建立关系。 所以在这个题当中啊，当每一个三角形中都没办法建立他们联系的时候，你就要通过两个三角形中有没有有关系的角， 那在这两个三角形中有关系的角是什么？对，补角，对吧？所以有平行的话，这个就会产生这样两个角 叫做同旁内角，一个在这个小三角形中，另外一个在这个大三角形中，他俩一定是互补的，这也是咱们解三角形中的基本意识。我们说当你一个三角形中条件不够去列方程、列等式的时候，要在两个三角形去找关系， 常见的有背靠背的，还有这种同行内角就是补角互补的，所以我设这个是阿尔法，这个是贝塔，那我们就知道 cosine 阿尔法加 cosine 贝塔一定等于零，因为这个三角形三边用 abc 表示出来了，这个三角形三边用 abc 表示出来，所以这整个式子就是关于谁啊？ a、 b、 c 的 一个等式，所以你一进定就可以求出离心率，那这道题的思路就全部说完了，那就是到这里呢，我们剩下的就是我们说但凡用到两个鱼弦定律或者多次表达鱼弦定律的时候，会有一定的计算量， 这是细节，但到目前为止，我们第一个因为有线段选择几何方向，因为有比例设线段，设了线段就得想办法把你设的用 abc 表示出来，把所有线段都表示完之后，想办法列等式，这就是整个方向。我们梳理完了，接下来 第一道题细节，也带大家算一下。这道题看着会有点复杂，算的时候其实很多就约掉了。先看第一个三角形，在 在我们这个三角形中，你关注邻边是谁呢？邻边是这两个对吧？所以就是三十六 a 方加上四 c 方，减去对边 八 a， 就是 六十四 a 方，除以二倍的邻边之积，这两一乘二倍的话是二十四 a c， 第一个就写完了，然后第二个呢？第二个是在这蓝色的三角形中，邻边是这两个， 所以它就是一百 a 方加四 c 方，减去对边十二，就是幺四四 a 方，然后比上一个二倍零边之积四十 a c 啊，这就是我们表示的式子，所以说用到两次余弦定理的时候，经常你会看到，哎，这式子会很复杂，那么其实这些式子就是个样子货，快速的去约一下化解。比如说 两边的分母都有 a c， 而且都有八倍的 a c， 因为这边是零，我可以给两边都都乘个什么八 a c， 两边都乘个八 a c， 这里一约就是多少三，这里一约就是多少五，那么就已经比较简单了，零乘个八 a c 就 没有，所以说 三分之，然后这两个一减是个负的二十八 a 方，所以四 c 方减二十八 a 方，然后加上这里五分之 a 方的一减四十四， a 方 等于零。然后这个式子的话，你会发现这个都是四的倍数，所以两边又可以同时除以个多少，同时除以个四，这里除个四没了，这里变成多少？七， 这里除个四没了，这里变成多少？十一。然后因为三和五区分五嘛，给这个乘个五就是五， c 方减去三十五 a 方， 给这个乘个十五的话，就相当于分子乘三三， c 方减去三十三 a 方等于零。整个乘完之后找 c 方总共是多少？我写这吧，八个 c 方， 然后 a 方呢，减去六十八，就是等于六十八 a 方，所以把 a 方除过去八，除过去一方等于八分之六十八，也就是四分之三十四， 一开个根号，也就是二分之根号，三十四就结束了。所以说先是你整个思路要非常的清晰啊，知道你每 到一个环节你的关注点在哪里，要干的事情，然后当真正的后边剩下要去计算的时候，把式子先写出来，然后你把这些关键的能约的约一下， 当你这一类的棋啊，你多做几道，你会发现他们的计算流程基本上都是一样的，因为他最终解出来的这个式子会比较简单一些，过程中很多都就约掉了啊，好啊，有朋友说的能不能对称过去非常好？可以， 那么这里的话，经常我们看到这两个平行的时候，还有另外一个操作，就是因为这里平行的话，你延长这一段， 然后这里会是一个什么？刚好是一个平行四边形，它会平行且相等啊，所以呢，我们经常会把这里再做一个什么延伸啊，把这里一连，然后因为整个平行的话，这两个会平行且相等，所以这里是六 a， 这里是八 a， 所以你会把整个图画成这个样子，画成这个样子，你有了这个长度，有了这个长度，这个长度，这个长度，这个长度， 那这就是我们解三角形中特别熟练的，当一个这样的三角形肉眼可见的长度，你都表示了如何建立他们之间的关系，背靠背的这两个，对吧？他俩也是互补的，所以角就变成他俩了，本质是一样的，列出来的方程也是完全一样的，结果还是他啊， 我们说通过第一个呢，接下来把这一类问题的思路流程再给大家梳理一遍，就是我们得看一下今天通过一道具体的题，我们解决的这类问题的标志是啥，对吧？ 就是标志的话呢，就是他题目中会给你一些线段的关系，你看这两个三倍，这两二倍就是线段关系。 那么给这种线段关系去求离心率的话，那我们就确定了方向，因为我说给你的都是这种什么线呀？角呀，对吧？我们肯定走几何方向， 那几何方向的话，那第一步我们总方向是把这些线段用 abc 表示出来，因为有比例，你就得先射出它们之间的关系，像我一样先射出 x， 然后把这些线段用含 x 的 先表示出来，对吧？第一个是用 x 表示，把肉眼可见的先表示出来。第二个呢，就是想办法先把 x 用谁啊？ abc 表示出来。第三个，当线段全是 abc 的 时候，你再去列它们之间的什么等量关系就结束了。 这是今天这一类题咱们看到的题目特征啊，有了这样的特征，以及在这个特征下，我们每一步要去思考的什么要思考的事情，这就是今天这类题的思路啊。那我们带着这个方向来接下来继续探索我们今天遇到的其他问题。 来看下一道还是告诉我们一个双曲线，然后他告诉我们过 f 二有一条直线与它交于谁啊？ ab 两点， 然后连接一下 b f 一 和 a f 一， 它告诉了线段关系，看好了 a b a b 在 哪里， a b 和这个 b f 一 是相等的，所以一组线段关系，然后它还告诉我们这个角，这个角是什么？这个角是，呃， 已知的啊，它的余弦值是不是得走几何的方向，就得按刚才的流程去表示。 好了，这道题我们再次来先感受一下。那么首先我们如果说对这类题比较熟，一开始当我们看到有线段关系有角度，我们说我们要从几何方向去求离心率，几何方向的话，就是终极目标是用 abc 表，先把线段都要表示出来啊，表示这些线段，然后再去建立等量关系。 但是在这道题里边，你看一下你有没有这个这个这个对吧？都是你肉眼可见的线段，有没有哪一个说他刚好是这种特殊的线段，是几 a 几 b， 对 吧？没有。 所以在这种情况下，我们就只能根据题目给的等量关系先去怎么样设，所以走了几何方向，当不能直接表示的时候，先设一个参数，然后顺势把剩下都表示出来。那么这道题要再去设的时候，哎，我的笔呢？ 再去设的时候，因为这两个相等，这有个细节，这两个相等的话，我们有些时候会设这个是 x， 这个是 x， 那 么这样设行不行呢？也可以，但算起来可能有些时候就是这个数值会看着怪怪的。所以设线段的时候，好像从初中中我们很多小伙伴应该有意识，就是当题目中线段比较多的时候，我们设的时候，选择比较小的这的些线段去设，然后最终你表示出来的话，里边就会， 嗯，偏整数一些，分数就会少一些啊，所以在这个题，但不知道我就设这个是 x， 对 吧？我设这个最小的是 x， 这个是 x 加二 a， 然后结合这个和这个相等，那这个就是 x 加二 a， 那 这一段是 x 了，这一段就是多少二 a， 这一段是二 a， 根据成对的交半径，这里就是多少四 a。 所以 设一个先把它们表示出来，完成了咱们的第一步。 但是呢，这里还有个 x， 就 需要先求出来，要求他就去建立他们等量关系。看一下图，一个边，两个边，三个边，题目告诉这个角的余弦值是九分之一，所以我们可以先用一次余弦定力，把谁啊？把这个 x 给算出来， 那这个计算呢，我也帮大家算一下这个角，知道了，那就是他对边的平方等于零边的两个零边是相等的，平方之和就是 x 加二 a 的 平方，相等就是相加就是二倍的他们，然后再减去啊， 二倍的他俩相乘，再乘以余弦值，那就是二倍，就是九分之二乘以余弦值，再乘个他俩相乘是 x 加二 a 的 什么平方？ 这个式子其实解起来也很简单，你看这两个是同类项，两个减去九分之十二个，通个分就是九分之十六个，因为这是九分之十八嘛， x 加二 a 的 平方，然后你一看，这里是十六 a 方，来十六十六约掉九乘过去九 a 方 等于 x 加二 a 的 平方，两边都是完全平方，开个方三 a 等于 x 加二 a， 所以 很简单就能算出谁啊？ x 等于 a。 所以 这就是咱们因为自己设了线段，自己设了 x， 要先用一次余弦定力，把你所设的用 a、 b、 c 表示出来，那这一件事情我们就实现了。实现了之后呢，我们看到这里是 a， 这里就变成了三 a， 整个三角形，全部所有的线段全部用 a、 b、 c 表示出来了，对吧？然后接下来我们就求离心率，求离心率，你发现咱们这些线段全是 a， 全是 a， 能求离心率不 可定不行嘛啊？我们求离心率的时候要列 abc， 最好是列 ac 之间的关系。你先把 c 找到， c 在 哪里， c 在 这里往往就是焦距，这个线段就是二 c 嘛。写到这，你再看哪个三角形，那显然选这个三角形非常好。当然了，不是说其他三角形不行啊，这边能行的三角形还有很多，所以这个三角形，你看三边是 a 和 c， 然后这有个九分之一，你很快就可以表示了。 所以对边四 c 方等于零，边九 a 方加 a 方减去二倍，他俩相乘是多少啊？六 a 方，再乘以个九分之一九分之六 a 方， 好了，算一下，这是四 c 方，这里是十个 a 方，就是十个 a 方是多少？十个，这里是多少？三分之二个，三分之三十减。哎呀，这好，好难算啊， 那我就把它写上，就是这个样子，这有四，这有二十八啊。一写三分之七，把 a 方除过去一方，等于三分之七，开个根号，三分之根号二十一，所以最后敌心率三分之根号二十一。 所以说这一类棋的方向还是很清晰的。刚才说了，有线段比你就得去设，你只要设了，你就得先算一次，把 x 算出来，那一般就要用一次鱼线定的，对吧？然后你把 x 表示出来，这回全部变成 abc， 就 变成咱们第一类棋形了。那你得再用一次 等量关系，这个等量关系一般有角的话，还是预先定力，再次算出谁啊？离心率。那么这些是思路，思路清晰之后，那关于这个过程中计算的这些细节 看着都还挺复杂，但是算着你算几道之后，你会发现雷同性非常的高。整个过程中哪些可以约掉列？这个式子的时候怎么去列？这是需要你去做一些题，把这些细节练清楚，练明白的啊。好了，那 这个就过了啊，来看这道题，这道题的话，我给大家多多一点时间，尽可能让大家算出个结果。好吧，试试看， 这还是个双曲线，然后接下来还是过这个交于两点啊。这会告诉我们什么？告诉我们这里先有个线段之比，说 b f 二这个向量等于 b f 一， 这个向量的什么？四分之三，那就是把整个看作四份，他占多少？三份，那也其实相当于 告诉我们这两个之比是多少。一比三嘛，我设这个是 x， 这就三 x， 然后第二个 a f 一 乘以 a f 二等于零啊，向量数量积等于零，再说这是垂直嘛，所以他就是告诉这垂直，这俩是一比三，这是题目告诉我们的 条件。然后接下来让我们求一下离心率来这道题，因为这个角呢，是直角，算起来可能会简单一些。好了，来看一下啊，那对于咱们清了今天的思路的我们看到啥呢？ 看到了线段之比，看到了角度要求离心率方向就是几何方向。什么叫几何方向呢？就是用 abc 表示你肉眼可见的这个棋里边的所有线段。最后呢，用什么勾股定力，鱼弦定力、相似等面积，包括双曲线的定义这种几何关系，建立 abc 之间的等式，从而求出离心率，这是我们的核心方向。 但是第一步，因为有比例，你得先射出 x， 射完 x， 这两个是成对的交半径，它三 x， 它三 x 加二 a， 你发现啊，我的终极目标是用 abc 表示线段啊，但是事与愿违，这里边还有这么多 x， 所以 就得啊，不着急，咱先把 x 用 abc 给表示出来，所以得建立它们之间的关系。 那么你看三边都表示出来有直角勾股定律，就可以列出他们之间的关系啊。但是呢，因为这些小奇呢，我经常会耍个小聪明，投个机，取个巧，对吧？有直角的时候啊，我经常会啊，根据这三边设出来的关系去猜一下， 看能不能猜出这个 x 啊。你发现 x 等于 a 的 时候，这里是多少？三 a， 对 吧？然后这里是多少？四 a， 这里是多少？这是五 a， 对 吧？所以 x 等于 a 是 可以猜出来的，当然我们也可以老老实实算，对吧？你 x 加二 a 的 完全平方，加上 三 x 平方，就是加九 x 方，等于三 x 加二 a 的 完全平方。你看这种式子经常就是你做了几道，你列出来看是很复杂，但是稍微展开易写，其实特别简单啊，两个一合并，这有个 x 方，十 x 方，这里有个四 a x 加四 a 方， 这边呢是九 x 方加二倍，他两相乘十二 a x， 再加上四 a 方，写完也全部约掉了，这里是多少四 a 方？四 a 方，然后这里是 啊，移过去十个减九个，一个 x 方，然后这里的话呢，这是十六，所以说这里是十七 x 方啊，十七 x 方，这个移过去是八 x 方，这个移过来是八 a x， 然后八和八一约 x 和 x 一 约 x 就 等于多少 x 就 等于 a 啊。所以说这个题你正常去算的时候，还是很多时候就约掉了，但还是那句话，咱们得练不练的时候，这也是很易错的，因为他有这么多项啊，我就是和 我就是典型的反例，对吧？好了，那第一个我们就得到了，它是 a， 和我们猜的是一样的，那这四 a， 那 里三 a， 这里 a， 然后接下来全部 abc 表示出来，在哪里算离心率呢？别忘了要带上 c， 对 吧？这里就是我们常见的二 c， 那 这里就很简单了， 四 c 方等于两个，它就是十 a 方，然后除过去一方等于多少？四分之十 e 就 等于二分之根号十，也就结束了啊，对，来， ok 不 ok 一 啊？ 那到这里咱们就把思路和流程的讲完了啊，就是很多时候看到线段比对吧，这是特征啊，然后求离心率， 然后因为有线段笔，你就得去设啊，一个是 x， 一个是某 x， 对 吧？然后第二个第一次使用余弦定律，就是为了把 x 表示出来。再梳理一下思路啊，用谁表示呢？一般情况下是用 abc 中的 a， 对 吧？然后第四步呢，当你表示出来之后，就变成我们最简单的离心率问题了，这些长度都是 abc， 再用一次什么余弦定律 建立， abc 之间的什么等式自然就出现了，所以它就相当于是在我们最基本的骑行上叠了一个什么 bug。 就是， 哎，这个线段你没办法用 abc 表示，你只能自己设，那我自己设就自己算 多了这一步而已啊。那么前三道题的话，主要在考这个基本的流程，就没有加任何的考点。然后接下来我们从第四道题来看啊，这些题的话，会再额外的加一些变形，或者说做辅助线的意识，我们一个一个来感受一下啊。先看这道题， 它告诉我们一个双曲线，然后告诉我们啥呢？啊？这里有 ab 两点，在它的右支上 说 af 一 和 af 二，这里是垂直的， af 一 和 af 二是垂直的，然后 bf 二和 af 一 呢？还是平行的，这两个是平行的。注意，这又有一个比例关系， a f 一 等于三倍的他，那他两个平行之后，这有三倍关系，我设这 x 就 这就是多少。三 x 只要有这种比例关系就设就完了。然后接下来要求离心率，那这道题我们一起来走一遍，他给了我们这些几何量，给了线段关系，方向是明确的，先想办法表示出来， 不择手段的表示出来，这是 x 成对的交半径，始终要关注定义，那这个就是 x 加多少 啊？ x 加二 a， 这个是三 x 成对的交外径，这是三 x 多少减二 a， 所以 这两个长度呢，也就表示出来了， 然后这两个长度表示出来之后呢？跟平时是一样的，我们表示完接下来就要用一次余弦定力来算，那这次的话，你看一下，我要用余弦定在哪个三角形中用呢？ 好，那在这里咱们可以探究。有些小伙伴说你放这个直角三角形，因为这个是二 c， 你 看这三个边都是一只的，这个角是一只的，在这个三角形中行不行？好， 那么这个是我们非常不介意用的。有没有朋友还记得为啥不介意在这个三角形中去用？原因是什么？免得以后你们遇到这道题算了半天，然后最后还得回头 来说一下，不建议用啊，这个有些情况下你根本就表示不出来，就是含餐太多了，就是我们要把 x 表示出来。我们回想一下，我们先回到上边的题，都感受一下。比如说 我这道题里边要用的时候，你看这个里边边是有 x， 这是边和 x a， 这是 x， 就是 它始终是 x 和 a 的 一个关系， 所以我把 x 用 a 表示出来，那就只有它两个。所以你要去表示，很简单，是列出来，也是双变量的一个式子。但是如果你回到咱们这道题，你说我要在这个图形中去做，对吧？那你看又有 x， 又有 a， 又有 c， 当你列出来是有 x 有 a 有 c 的 时候，这个式子是很难把 x 直接表示出来的，所以它看起来是理论上可行，但操作起来可能会要命，对吧？所以遇到这种情况 不要用啊，还有其他的方式好了，那么不在这个里边处理的话，那接下来你就很难有个三角形可以处理了。那咋办呢？你就去想一下你现在看到的图和我们前边看到图有啥不一样？我们前面看到的图基本上都是三角形凑三角形，但是这个题你看到了一个直角七行， 当一个直角七行中，这 x 这三 x， 这 x 加二 a， 对 吧？这 x 加二 a， 你 想一下，你在初中看到这个图要去用 啊，要去建立长度的关系，你会怎么做啊？我们很多朋友说到了过臂做垂线，对吧？这是第一个，就是遇到这种直角梯形，你真正要去建立长度关系，你就可以这样去做垂线，做完垂线，这 x 这一段， x 这一段就是多少。二 x 这一段和这一样三 x 减二 a， 所以 这里就会有一个直角三角形可以建立它们的关系，所以它就是咱们初中遇到直角七型。遇到七型你要去建立长度关系的时候，一般最小的单位都是在三角形中去建立， 所以要构造出一个三角形，这是第一个方式，第二个方式的话就是延长，遇到这种图也可以把它补全成一个什么大的三角形，两个都可以啊。比如说我在这做的 ppt， 就是 把它补全成一个大的，因为这相似比是一比三，所以这两个之比就是一比二嘛， 那这两个之比也是一比二，那这里是 x 加二 a， 这就是二分之 x 加 a， 这里是三 x 减二 a， 这里就是二分之三 x 减 a， 所以 这个小三角形的三边也可以表示出来，这也是直角三角形。 然后接下来你勾股定律算一下， x 得到三 x 是 等于四 a 的 啊，这个计算跟刚才一样，其实也很简单啊，很多都就约掉了，但是前边我已经给大家这个细节展示那么多了，这道题我就不不 展开写了，大家下去把过程补一补。好吧，当我们得到三 x 等于四 a 的 话，你看一下这里就变成了多少二 a， 然后这里就变成了多少四 a。 那 接下来我们在哪里去求余弦定零呢？你就回到带二 c 的 这个三角形，对吧？因为这里还有个二 c， 所以 在这个三角形中，那就很简单了， 直接就可以求出它四 c 方等于五 a 方 一方等于五 e 就 等于根号五。结束了。好了，这道题也就结束了。所以说他在这个细节中考的核心方向思路有没有一点点变化呢？没有，考的依然是有线段，笔有角度，我们要走几何方向求离心率。因为你设了线段，就得先用 于弦定里算一次，算出来之后算第二次。但是你算的时候，你发现你找这个三角形可能会遇到困难，那刚才给大家说了，哪些能找，哪些不能找，找的时候要注意如何去找。 这是这道题在流程之外真正的价值，所以以后遇到的时候要有一个合理的选择啊。来继续看这道题。这道题还是告诉我们一个双曲线，然后呢说啊，过远点的一条直线，这条直线过远点的与左右两支呢，分别交于 ab 两点， 然后有个 c 点啊，说 a 和 c 在 f 二的两侧，然后 f 二 c 等于二倍的 a， f 二，那就说明了这里有个比例关系， 然后告诉我们角 b f 二 c 啊，这里还有个多少三分之派，所以既告诉了我们这两个是一比二，又告诉了这个角度啊，你看 告诉的方式和前面的这些棋一样，最终也要是去求离心率的。但是这道题你会发现，即使你设了它是二 x， 即使你设了设了它是，它是二 x， 这些棋里边的其他线段你好像也表示不出来，那你都表示不出来，不要说去建立等量关系，去把 x 先求出来，所以在这里肯定要做一些什么变形转化。 好了。来，我们还是用咱们今天的两次鱼弦定律快速的搞定这道题啊，感受一下， 就是这道题，对于我们来说，你看到了线断笔，看到了这个走几何方向，要去求它的离心率，对吧？走几何方向就是关注长度，那么这里的话，他告诉我们过远点的直线交叉于 ab， 记住，这道题最重点的就是讲 以后经常看到双曲线的这种棋，哎，有过圆点的直线交他于 ab 两点，这本质上在说什么东西？关于过圆点的直线与他交于两点， 本质在说啥？对，对称对吧？本质上在说明 ab 两点是关于圆点中心对称的， 那么 ab 两点关于原点中心对称，因为我们的双曲线本身就是一个中心对称图形，再加上我们 f 一 f 二也是一个关于原点中心对称的图形，所以当这两个对称出现的时候，我们一定会把这啊以 f 一 f 二 对称的这两点和这两个对称点连一下，这是个什么图形？这是一个平四，这一定是个平四，为啥呢？因为这 ab 关于原点对称 f 一 f 二也关于原点对称，相当于原点平分了这组对角线，所以它一定是个平四。 所以在这种情况下呢，像这个线段，我们就会平行转化到这个线段，那因为有平行，这个线是共用的，这个角也就转化到了这个，这个角是多少三分之派。然后接下来呢，你看这里有 c f 二，你一定会去连 c f 一。 因为什么我们说交半径只有成对出现的时候才有意义，所以你知道这是 x， 你 很快就能表示出这个是 x 加多少 x 加二 a， 你 知道这是二 x， 你 很快的也就能表示出这是二 x 加二 a。 所以 接下来你就看一眼 x 能不能求，就根据咱们今天所做的这些题的看一眼 x 能不能求。 x 的 x 和 a 的 x 和 a 的 这有个三分之一 c 中我不列了啊，就是 它的平方等于它的平方加它的平方减二倍的，它俩相乘，乘以这个算一下 x 就 等于三分之十 a， 当你 x 算出来这俩都知道在在这个三角形中，这是多少二 c， 所以 说你转化完成之后，它和今天的 所有逻辑就一模一样了。那么最后算一下，在这个三角形中算一下离心率就是三分之七。因为前边每一道题关于这个余弦定人计算细节，我手把手的也带大家在这算了一下 啊，这道题呢，大家下去算就行了。然后这道题我们真正通过这道题要收获的是什么？ 以后有些时候说过，圆点的直线交叉于 ab 两点以以以后，有些时候会说，哎，左右两支上有两点是关于圆点中心对称的， 只要这种情形出现了，你就记住它的本质就是要通过这个平行四边形，通过这几个平行四边形把里边的线啊进行转化，把里边的角可能进行转化，转化到什么程度呢？转化到成对的啊，成对的叫外镜出现， 转化到成对的焦半径出现，因为你要结合他的定义，这些问题才能合理的应用起来。所以这就是通过这道题，我们真正要额外去专注消化，或者说要加深印象，把它理解明白的一个考点。然后最后一道呢，咱们不处理离心率了， 最后一道的话，咱们换一下啊，换一下反着考来看，这道题说告诉我们离心率是二分之根号十，这就属于逆应用。算了，我们说知道线段比我们可以两次余弦定力，求出什么？求出离心率， 这道题叫做知道离心率，反其道而行之，让你求线断 b， 想想思路都是一样的，对吧？只是知道的东西不一样而已，所以看一下大家有没有彻底学明白啊？其给大家画一下，说过右右焦点有一条直线过 f， 有 一条直线交叉于 ac 过 f， 再做一条和它垂直的线啊，交叉于这，左之于点 b 是 吧？啊？左之于点 b， 然后接下来说 a、 o、 b 三点共线啊，你看 a、 o、 b 三点共线。那首先这道题第一个要干的事情是什么呢？我们说他告诉我们 a、 o、 b 是 中心对称，那这个矩形就得做出一点这个点，找到这个矩形应该先是做这个矩形啊， 做出来之后呢，你会发现 b f 其实就转化到 a， f 撇了直角就来到这了，所以整个图形就转化到这了，直角放在这里，然后那两条线就没啥意义了。 回到这里，他要谁啊？要这两个的比值，那这两个可能知道吗？不可能，那就射呗，我射他 x， 他 就是 x 加二 a， 我 射他是 y， 那 这就是 y 加二 a。 然后接下来的话，我就要选三角形，先去算 x， 或者先去算 y， 来看一下哪一个三角形可以算 x 或者算 y。 哪一个三角形 这里有直角，这有 x， 这有二 a， 然后接下来，那这里是二 c， 来，这个三角形能算不？又回到那个细节不可，所以，那怎么办呢啊？转化成 a 这道题告诉咱，离心率是多少？是个二分之，根号十，所以二 c 就 等于多少呀？根号十 a 啊，那就是把 把这个二 a 乘过去，对吧？它等于根号十 a， 所以 这里写成根号十 a 之后，你看 a a x a x， 这肯定能算，所以在下边这个三角形中勾股定律算一下很简单啊，四 a 方加四 a， x 加 x 方， x 方，二 x 方等于十 a 方， 然后这里是四个，这十个就剩六个，都有个二，就写成 x 方加二 a， x 减三 a 方等于零， 算一下 x 一 就等于 a x 二等于负三 a， 这个负的肯定舍去了，因为是线段，所以我们就算出 x 等于 a 了，对吧？ x 等于 a。 其实这个刚才你也可以猜啊，一三根号 十吗？看到根号十，一三根号十也可以猜出来。我们说直角三角形，在很多情况下 你不用算，可以先去猜一下就可以猜出来。好了，那同样道理，接下来我们要算 y， 那 这里是 a， 这里是三 a 的 话，整个大三角形还是一个直角三角形？只整个大三角形是一个直角三角形，而且里边只有 a y a y a， 对 吧？一定勾股定律可以算，能不能猜 对？因为这是三 a， 你 就猜，哎，三四五，就这就必须是三 a， 这是三 a 的 话，这五 a 刚刚好，对吧？所以一猜也能猜出 y 等于谁啊？三 a， 当然了，算一定能算出来的，而且很简单啊， 一个直角边是九 a 方，一个是 a 加 y 的 平方，等于二 a 加 y 的 平方，你会发现两边的外方直接就消掉了。这里是十 a 方加二 a y， 这里是四 a 方，加上四 a y， 然后移过来二 a y 移过去六 a 方，所以 y 等于三 a， 也非常好算， 只是有些时候，小聪明也得有，大智慧也得有，对吧？好了，到这里呢，今天老赵要给大家讲的这一类题型就说完了，我们说 它的题目特征是什么啊？一起回顾一下。我们学一个东西，最后要经过反思，要真正实现有价值的东西，就是它的核心呢，是会告诉我们线段笔对吧？线段的关系，那么因为有了线段笔的话，就只能是某 x 设完之后呢？接下来第一个余弦定力啊，当然也包括勾股定力，我就不解释了啊，他就是余弦定力，先求出 x， 用 a 和 b 或者 c 的 式子，但一般表示出来都是跟 a 有 关的， 然后第二次再用什么余弦定力建立 abc 之间的关系，得到什么离心率。 这是今天咱们所学这一类棋的主线啊，特征啊及主线逻辑，这是特征特征之后主线逻辑。那么在这个主线逻辑上，我们说真正考试的时候会有哪些考点呢？ 比如说大家想想我们第一个啊，有些时候给你的这个图呀，比如说他给的都不是三角形，他给的是四边形， 比如说七行啊，比如说是七行，那么在这种七行当中，你也可以啊，要自己去做辅助线，构造一个 r t 三角形，或者去补补全，对吧？第二类的话就是中心对称， 经常会说中心对称，你会发现给你的这些比例你都根本用不上，图中的线段都表示不出来，那么这种情况下就要做对称啊，这是这里主要会考察到的一些处理方式。然后第三个的话就是 逆用算，他不是说每个都求离心率，也也可以反过来知道离心率反着去求线段，比 方法是一样的，要求哪两个也是先设，然后分别用 a 去把它们表示出来就行了，这是整个今天咱们所学的所有这些知识的全貌。今天我们讲公交点的， 公交点的这个东西呢，还比较简单啊啊，其实只要你把原理弄清楚了，截起来比前边的我觉得 那个叫做什么更固定一些，或者没有那么发散感受一下啊。首先什么叫做共焦点的双曲线和椭圆呢？就是你看一组焦点，既是这个椭圆的，又是这个双曲线的，对吧？然后往往他们有一个公共的点，然后在这里会做一个焦点三角形。 这类问题会从两个维度上去考察，我们第一个就是题目提到了这个角，或者给了这个公共的角，给了或者要求都可以，只要提到了这个角，就是以这个角为公共的什么量去建立 两个离心率之间的关系，所以通过公共角去建立他们的关系，从而解决一些问题，这是第一类题型。第二个，因为这个交半径和这个交半径他们都既是椭圆的，又是双曲线的，有些时候他没有给角的关系，直接就给了谁啊交半径的关系，所以 有些时候是以交半径为他俩的公共变量去建立关系，所以这分为两大类， 两类出发的角度是不一样的，最终呢都是建立了两个离心率之间的某种关系。 那么我们今天的话主要围绕着第一类来讲啊，啊，就是今天的话，我们主要围绕这个公共角去建立关系。建立完关系我们要讲的第一类，就是咱们把这个原理要掌握的特别的清楚，然后拿起它来能够快速的得到 两个离心率之间的关系，对吧？第二个，当你把一个知识最基本的这种赤裸裸的逻辑还有原理掌握明白之后，考的时候，他肯定会和其他的知识去综合一下。那么今天的综合呢，一个是跟咱们前边呃讲过的，比如说 啊，叫什么啊，多次使用预先定力结合，对吧？一个呢，比如说他可以跟咱们经常去求最大值呀，最小值呀，取值范围这些东西去结合，而这个更加是热点。而这个的话就是看一下大家学过的东西，能不能快速的认出你学过的模型，能够把它们结合起来。 所以今天我们所讲的六道例题呢，前边几道讲原理，后边的讲综合，这是咱们今天的目标，我就说到这里啊，好了，接下来直接开整，那我们明白了，他公共今天所讲的这个知识点的特征， 就是有公共焦点的椭圆和双曲线。然后接下来我们就看第一道题，大家先感受一下，我们来说一下它的原理。首先说以 f 一 f 二为椭圆 和双曲线的公共左焦点右焦点，这个图一定画出来就行了，说点 p 是 它第一象限的公共点就是它们的焦点。然后说这个角就是公共角， f 一 p f 二这个角为 c 塔，告诉我们 c 塔的余弦值呀，是个负三分之一。 然后说一一一二分别为椭圆和双曲线的什么椭圆和双曲线的离心率，让我们去求一下一一方分之二加上一二方分之一等于多少？在这先确定一下啊，就是这个但凡跟一有关的都是椭圆， 但凡跟二有关的都是双曲线的量啊，但里边比较很小啊，一有关的是椭圆的，二有关的是双曲线的。那这道题呢，它其实属于一个非常固定的题型。首先我们看一下， 在这个图形中要处理的是一一一二，分别是他们的离心率。我们说当一道题里边给了我们什么角度呀，长度这些关系，我们要去建立什么离心率的关系？首先第一个方向就是朝几何方向走去，尽可能的标长度。 那么在这道题里边，我们要去标长度的话，长度有谁呢？你肉眼可见的长度就 f 一 f 二等于多少？等于二 c， 然后其他的都不知道，那我们说当长度不知道的时候咋整呢 啊？长度不知道的时候，在前几个里边都讲了，你就先设那这两个，如果你不知道长度，你就选一个设一下，比如我设这个是 x， 那 这个是多少呢？那关键是看你怎么看 这两个交半径呢？它既是双曲线的，又是椭圆的，如果我现在把它看作跟 椭圆有关的一组什么啊？交半径，那它俩的和是二 a 一， 注意啊，跟椭圆相关的都是一二 a 一， 那这个就是二 a 一 减 x， 对 吧？所以按照椭圆的表示出来，这个长度是二 a 一 减 x。 那我们说了这两个呢，又可以是双曲线的什么？一组？呃，一组交半径，那么是双曲线的一组交半径，这个大，这个小，大的减小的是多少？二 a， 小 的 加二， a 就是 大的，那么双曲线的 a 是 a 二啊，他可以写成二 a 二加 x， 所以 在这里很快就可以建立出一组等量关系，因为这两个长度是相等的，所以他俩如果是相等，就是二 a 一 减 x 等于二 a 二加 x， 那么我要算的是谁啊？ x， 因为这道题不要 x， 我 们要用 abc 去表示长度，所以移过去二 x 等于这移过来二 a 一 减二， a 二， 那 x 就 等于多少 a 一 减 a 二，所以这里的话，你就很容易就能算出来 x 等于多少 a 一 减 a 二。所以这个式子写完之后就是 a 一 减 a 二，那这个式子的话，按照刚才的带进去就是 a 一 加 a 二啊， a 一 加 a 二。所以到这里呢，我们说就通过 这个交点三角形，通过这两组交半径，既属于双曲线的，又属于椭圆的，所以用 abc 把肉眼可见的长度先标明白，这里标明白之后，这道题基本上就结束了。那么说明白之后我们要干的事情也很简单，你有了角，你有有了什么 边，那怎么样建立他们等量关系呢？于先定理吗？对吧？这个角对应的边是多少？四 c 方 等于个啥？这个边是 a 一 加 a 二的平方，加上另外一个零边， a 一 减 a 二的平方，然后减去二倍的，它俩相乘，再乘以谁啊？ cosine c 塔，那二倍的 cosine c 塔是多少？负三分之二 减，就变成加三分之二倍的。两边相乘其实也很简单， a 一 加 a 二，乘以 a 一 减 a 二，就是 a 一 方，减 a 二方。所以这个式子列出来非常简单，对边的平方等于零边之和，减二倍的余弦值乘以两边之积， 这两边一乘刚好是个平方差。然后你把这个式子化解一下。这个式子要化解也很简单，这里有个 a 一 方，这有个 a 一 方，两个 a 一 方， 这有 a 二方，这有 a 二方，两个 a 二方。然后在这个式子当中，这里有个二， a 一 a 二，这有负的二 a 一 a 二，然后两个一加解消了，没了，然后后边的话加三分之二， a 一 方，减去三分之二，谁啊？ a 二方。 然后接下来我们合并一下啊，这里方忘了写了啊，加上之后两个加三分之二，这就是三分之二，这就是三分之四， 所以这里的话就没了。然后我们两边的四异约，这里没了，这里是二，这里是多少？一三乘过来就三 c 方等于二， a 一 加上啊， a 一 方加上 a 二方，所以我们就会得到这样的一个什么一个等式， 然后呢，我记这道题要的是谁啊？要的是 e 一 e 二，而且要的是 e 一 方分之二加上 e 一 方分之一，其实这两个呢，我们说 e a 一 和 a 二有没有关系？没有关系，在这种情况下，只有他们有公共的什么？公共的焦点， 所以 c 跟他可以建立关系， c 跟他可以建立关系。遇到这种式子，肯定同除谁啊？同除 c， 所以 我们把 c 方除过去， c 方除过去，这里变成三，那 c 方分之 a 一 方就是谁啊？ e 一 方分之一嘛，前边有个系数二，写上 c 方分之 a 二方是谁啊？ e 二方分之一，两个相加等于多少？三就结束了。所以说这就是整个这类题你以后看到的流程。那么现在的话，我们从第一步怎么想， 线段怎么设，线段怎么表示，关系怎么建立，以及细节的计算怎么计算，先按照我们啥也不知道把这个流程走一遍，然后完了之后，这回我们从啥也不知道，变得好像咱们知道那么一点点了， 因为毕竟咱们把这道题给弄出来了，是吧？那么我们把一道题真正弄明白之后，我们就来一起回头再去看一下，到这一类问题，在它的原理下，哪些量是固定的，对吧？在算的时候有哪些细节？所以我们一起来回顾一下啊。 好，那么在这道题里边来，我们先问第一个问题，就是根据共焦点，那么这个线段啊，当椭圆的啊，椭圆的 a 是 a 一 的时候， 双曲线的 a 是 a 二的时候，看一下这个线段是不是横为 a 一 加 a 二，对，是没问题，对吧？因为什么？因为你 只要随便去设设，小的是 x， 这个大的呢？从椭圆的角度永远是二 a 一 减 x， 从谁啊？从双曲线角度永远是二 a， 二加 x， 它俩相等，算出来，这个小的就是 a 一 减 a 二，而且 a 一 是椭圆的，谁啊？ a a 二是双曲线的。所以说，那以后 我们看到这个题还用设线段吗？想一想，以后你看到这道题要我上去标的时候，还会像我一样来啥也不知道，标个 x 二一，一减 x 二一，二加 x 还会吗？是不是就不用了？所以说，当我们理解了它的原理，并且发现在这个题当中， 这个就是一个固定的关系，对吧？你稍一思考就能想明白，这里是 a 一 减 a 二，这里是 a 一 加 a 二，然后当这个长度知道了，然后接下来注意，我们要去列它们关系的时候，用余弦定律，你发现这个永远的 a 一 加 a 二，这个永远的 a 一 减 a 二，这个永远的二 c， 所以这个四 c 方等于 a 一 加 a 二的平方，然后加上 a 一 减 a 二的平方，这也是固定不变的，减去二倍的两边之积，就是 a 一 方，减 a 二方，然后在这乘二倍的两边之积，乘以谁啊？ cosine c 塔。 所以你会发现你甚至连列这个等式的时候，都只有一个量是变化的，就是这里乘 cosine c 塔，其他的都是固定的， 然后包括你待会消的时候，哎，这里两个 a 一 a 二，这两个 a 一 a 二直接就约掉了，对吧？前边化解完一定是二 a 一 方，加二 a 二方，然后关键就看后边有几个 a 一 方，有几个 a 二方， 这是最终我们在算的时候，我们说把整个原理弄明白之后，细节上可以对它有一些更深层次的理解，这样的话能提升 我们接下来计算的效率，就是里边哪些量它其实是固定的，对吧？你以后只要用的时候，你就可以快速的标了，而且坚定不移。因为第一我推导过，而且在推导的基础上我坚定了这个是 这个样子。然后接下来写完之后，一定是关于 a 一、 a 二还有 c 的 一个什么。其次是接下来的操作就是建立 c 跟他俩有关系，一定要建立 c 跟他俩这关系，通出 c 方就行了，通出 c 方就是 e 一 方和 e 二方这两个倒数的一个定值关系。 所以你说你要记住最终的结论的话，因为每一个角度不一样，完了记得公式里边会有讲，还挺难记的，对吧？所以你理解这个流程之后呢，他其实也没有多少计算量，算起来也就会比较快了啊。好了，那第一道题重点就是在讲这一类题啊，如何思考，从哪个角度思考， 思考完之后他的过程会是怎么样子，他的结果会是什么样子？我们要回头去梳理一下，坚定一下，然后接下来看一下啊，再换一道题， 他还是告诉我们一个椭圆啊，一个双曲线，那么椭圆的呢，是对应的是一啊，角标都是一双曲线的，对应的角标都是二，他们有公共焦点，说 p 是 他们的第一项线的公共焦点，然后还告诉我们 p f 一 的垂直平分线过圆点， 然后说 c 一 的啊，也就是椭圆的离心率 e 一 等于三分之根号六，让我们求一下 e 二等于多少？ 这道题跟刚才一样，当我们确定问题之后，我们会发现，哎，这道题人家也没说这个公共角啊，那么他告诉这个垂直平分在说什么呢？ 你会发现这里垂直平分，这是终点，这是终点，那你把这一连，这就是中位线，对吧？所以他的本质就是在偷偷的告诉你，这个角是什么？九十度，所以他依然是共焦点的一组，什么圆锥、椭圆和双曲线，然后公共角九十度告诉我们了。 然后接下来你只要你其实熟的话，咱们都知道这一定是 a 一 加 a 二，这一定是 a 一 减 a 二，但是不熟的话，按从头原理来啊，免得刚才有朋友没亲。那你这是 x 一， 根据椭圆，这就是二倍的 a 一 减 x， 因为它是椭圆的两个交半径，那么它也是双曲线两个交半径，这是 x， 那 这个就是二 a 一 加 x， 大的减小的是二 a 二啊，大的减小的是二 a， 双曲线的 a 是 a 二，然后这两个相等，你一解就会发现， x 等于 a 一 减 a 二，然后带进去之后，这个大的长度 a 一 加 a 二，小的就是 a 一 减 a 二，固定的永远是这样，然后写好之后，勾股定律直接就结束了来。 四、 c 方，等于它俩相加，这俩一加，你永远知道是二 a 一 方加二 a 二方，对吧？这里是谁啊？四、 c 方，那这样吧，直接把二约掉， 然后同时除。除个谁啊？ c， 这 c 方，这是二，这就是 e 一 方分之一，加上谁啊？ e 二方分之一，因为 c 方分之 a 一 方是 e 一 的离心率分之一，呃，平方分之一，对吧？ c， 哎呀，这咋说起来这么绕呢？ c 方分之 a， 二方就是一二的平方分之一，所以这样我们就很快得到了。谁啊？ e 一 方分之一加 e， 二方分之二等于二。然后接下来这道题要啥？这道题是已知了 e 一 的离心率，那 e 一 等于三分之根号六， 它的平方等于九分之六，就是三分之二，它的倒数就是多少二分之三，那这个是二分之三，这个是多少？二分之一，所以我们就知道一，一方分之一等于二分之一。一二，哎， 老口误，一二方分之一等于二分之一，一二方就等于二。那么接下来这道题算的不是一二的。什么离心率，我们说渐近线跟离心率是一样的，对于双曲线来讲， 他的离心率的平方永远等于一，加 a 方分之 b 方等于二，所以 a 方分之 b 方等于一。然后看一下，双曲线是横着的双曲线 电竞线就是 y 等于正负 a 分 之 b x， 我 们说 a 分 之 b 等于什么？一，正负 a 分 之 b 就是 y 等于正负 x， 所以 这两道题看似好像有点区别，本质上毫无差别， 对吧？整个细节是完全一样的啊。好了，那这个我也就说完了。好了，那这个就过了啊。接下来的话，我们再反用一下，就是学任何一个知识，当你明白啊，他的基本原理，遇到这种标志性的问题，他的流程是怎样做的，我们说当你理解清楚，就是 按照这个原理去处理就行了。但是当你学会一个第一个变形和考法，就是倒着考，这种都是我们知道这个角了，对吧？能够去求出离心率的一组关系。那么接下来这道题它不一样，它给了韩式共焦点的双曲线和椭圆， 然后呢，告诉我们什么他们在第一项线交点还是 p， 但是他告诉了我们椭圆的离心率是 e 一， 双曲线的离心率是 e 二，还都告诉我们了，反过来要求这个角的啥余弦值， 那你试一下啊，就是你理解了原理正则反之，是否用的都丝滑啊。好了，这道题我们继续对，我们现在来说，看到这道题就非常的简单了，对吧？共焦点呢，我们说只要提到这个角，如何去建立等量关系，就是把这三个长度标出来，利用这个角的余弦定力去建立， 那么这个一定是二 c， 这个如果你知道就是 a 一 加 a 二啊，这是 a 一 减 a 二，你不知道也很简单，设，这个是 x， 根据椭圆就是二 a 一 减 x， 然后同样它们是双曲线的一组，根据双曲线的话，小的是 x， 大 的就是二 a 二加 x， 等量是根据它俩相等，就可以把 x 算出来， a 一 减 a 二， x 等于 a 一 减 a 二，带进去，这里 a 二一消，这个就是 a 一 加 a 二，所以这个模型你看它始终是一样的，不管这个题怎么给，已知也好，未知也罢，表示出来就是这样一组关系。 然后接下来余弦定里对边的平方等于它两的平方之和，减去二倍的 cosine theta 乘以它两之积，它两之积一写的话就是 a 一 方减 a 二方，这就是我们写完的式子， 然后接下来稍微合并一下啊，四 c 方，这两一合并，我们知道是二 a 一 方，然后这两一合并是二 a 二方交叉向一正一负挤消掉了，然后这里的话就是减二倍的 a 一 方，减 a 二方倍的 cosine c 塔。 在这种情况下你会发现啊，这有 cosine c 塔， a 合并不了。那不要紧，我们说要建立他们关系，要产生 e 一 和 e 二一样的同时除谁啊？同时除以 c 就 行了，对吧？把这个二约一下，这里剩个二，除个 c， 这里都没有了啊，这里剩个二， c 方除过去就是。呃， c 方分之 a 一 方就是 e 一 方分之谁啊？一，这里的话是 c 方分之 a 二方就是 e 二方分之一，一样的减去括号里边 e 一 方分之一减 e 二方分之一被的 cosine sine theta， 然后接下来你带个值，整个就结束了来。 e 一 等于五分之二，那倒数就是二分之五，平方就是四分之二十五， 这个的话倒它平方是多少？四，倒数就是四分之一减去四分之二十五，减四分之一背的谁啊？ cosine theta。 好 了，这两个一合并是多少？四分之二十六，这个相当于是四分之八移过去四分之十八，我写这里， 这俩一减四分之多少，二十四是负六倍， cosine theta 移过来就是六倍， cosine theta 等于它六和十八一约， cosine theta 就 等于多少，就等于四分之三就结束了。所以正 算反算，只要你对整个原理清楚，你把这个等式写出来，他给谁，你带谁，剩下的自然就是什么要求的，就结束了。所以说这三道题的话呢，没有任何额外的考点，它就是在原原有共焦点的这个基础上， 只要以这个公共角来建立什么等量关系，你要知道用的是他余弦定力，这个边是椭圆的 a 加上大长的边啊，万一他在这一个象限的话，那就是这个边是 a 一 加谁啊？ a 二，这个是 a 一 减 a 二，然后对边是多少二 c， 这三个长度是固定的， 然后这个余弦定律写出来也是固定的，你消完之后，最后永远是同除 c 方，就会变成两个离心率平方之间的一组关系。好了，到这里呢，老赵就把原理讲完了。接下来的话，那真正你说要考这些题，如果只考这个原理，那大家只要见过之后就没有任何什么 挑战了，或者说没有任何区分度了，所以他在考的时候还是会习惯性的把他跟我们学过的其他知识做一些什么啊，综合。那具体的有哪些综合，我们一起来看一下啊。先看第一个，这道题，我帮大家先梳理一遍，把图画一下， 还是告诉我们共焦点的是什么啊？共焦点的一组双曲线和椭圆，这会 a 代表的是椭圆，就是这里的 a 扮演的就是咱们概念中的 a 一， 这里的 m 呢，扮演的就是咱们该概念中的谁啊？ a 二，双曲线的，然后在第一三项线的交的公共点是 a 和 b， 然后说直线 a f， 直线 a f 与双曲线在这里有个交点是 c， 然后三角形，它为一个等腰直角三角形，而且这个斜边呢是 bc， 就 告诉我们这么个图形，然后让我们求一下椭圆的离心率， 你看，首先整个大的背景依然是共焦点，但是这次给你的你会发现好像也没有给那个公公的角，对吧？其次的话呢，也没有 a 一 a 二， 而他要求的还是固定的一个离心率，本质上是考的是这两个点中心对称，一定要找到左焦点，这里是一个什么啊？矩形， 然后通过这个矩形要去转化，你比如说这个长度就转化到这个长度了，这个长度 为什么这里是矩形？准确的讲，对称往往产生的是平四，因为这里是九十，所以这是九十，所以它是矩形，就把它转化掉了，所以你看，那这样的话就相当于啊，那还不是告诉我一个公共的焦点三角形角度也告诉我们了，那我就知道这是二 c， 这是谁啊？ a 一 减 a， a 一 减 a 二，在这道题里边就是 a 减 m， 这个是谁啊？ a 一 加 a 二，在这道题里边就是 a 加 m， 所以 这个 r t 三角形就可以建立起它们的关系。所以这个所见过的条件转化的模型，你通过之前的 学习理解，有没有对他真正的内化掉，消化掉，再次遇到的时候能不能马上想到，这就是你学习有没有学到点上，有没有真正的把东西消化的一种体现啊？来看一下这个，说明白了吗？说明白了，一 啊，非常好啊，非常好，咱们的朋友基本上都达到点上了，哎呀，厉害厉害啊，哈哈哈， 可以可以可以。好了，那接下来建立他们关系勾股定律我直接列了，你看 a 减 m 的 平方加上 a 加 m 的 平方，等于它这两一加二 a 方，这个一加二 m 方等于四 c 方，二一于。 激动了，说慢点，要不然大家又得说我语速快了，对吧？这是二 c 方，那我们说这里扮演的就是 a 一， 这扮演的就是 a 二，把 c 方除过去，那 c 方分之 a 方， c 方分之 m 方，就等于它，那这就是谁啊？ e 一 方分之一， 这个就是谁啊？ e 二方分之一，所以这个式子快速的就让我们得到了 e 一 方分之一加 e， 二方分之一等于二。哎，我们得到这个关系，不对啊，这道题人家要的不是他俩的关系是多少，人家直接要椭圆的离心率， 那这个关系很明显还不足以求出椭圆的离心率，那说明我们现在还需要一个条件，还是得知道两个离心率之间的关系。那么他两个离心率之间的关系呢？因为 c 是 相同的，本质上要去找他两个的 a 之间的关系， 那他两个 a 之间的关系接下来咋找？对等腰，对吧？这里直角转化到这，这还有个等腰，等腰的意思是这两是相等的，那我们知道这是 a 加 m， 那 这里也是多少？这也是 a 加 m， 那 这里是 a 加 m， 接下来我把它标完之后，我想去建立 a 和 m 之间的关系。下一步会干什么？当这个交半，这是个交半，这是 双曲线上一点到谁啊？交点的距离，当他出现，一定会，对，一定会去连这个啊，因为交半径得成，对的出现才有意义。当一个出现了，另外一个一定要出现，所以你得去连一下他， 因为这是双曲线上的点，这是 a 加 m， 那 这个就是 a 加 m， 再加上二 m 二 m， 其实就相当于加双曲线的两个 a， 所以 这里的话， a 加 m， a 减 m， a 加 m， a 加三 m， 在 这个大的三角形中， 你很快就会建立出他们 a 和 m 之间的关系，因为这个边是多少？二 a， 这个边是多少？ a 加三 m， 这个边是多少？ a 加 m。 我 标完这个图， 有人发现，这是我们上一讲多次使用鱼鱼弦定律问题中特别典型的一个 图形，所以这道题其实就是个啥共焦点的离心率问题和什么，就是咱们所讲的多次使用余弦定律问题的一个结合啊。好了，就说到这里，然后接下来我们列勾股定律，它的平方加上二 a 的 平方等于个 a 加三 m 的 平方。这个式子要解也非常的简单 啊，我看用啥呢？咱们用个平方差吧，比如说这里是二 a 的 平方，这个用个平方差，就是它加它就是二， a 加四 m 乘以它减它，那就是二 m， 对 吧？然后这个式子乘完之后呢？ 嗯，我看一下，四 a 方等于四 a m 加上八 m 方，对吧？把四一约 不要不要了，这是二，所以就是 a 方减 a， m 减二 m 方等于零一个。其次是应试分解一下，就是 a 减二 m 乘以个谁啊？ a 加 m 等于零，所以写完之后就是关于 a 和 m 的 一个等量关系。 那么当 a 加 m 等于零，这不可能，因为两个代表的是连双曲线和椭圆的。什么啊，那个叫什么来着？短轴的长嘛，代表都是短轴，他肯定是正的，所以第一个就舍去了，第二个就是 a 等于什么？二 m， 那 这样的话，两个离心率的关系就知道了。来，除个谁啊？同除个 c， 那这样的话啊，啊，这样这样，同除个 c， 这就是谁啊？ e 一 这个等于什么？二分之一二，所以 e 二等于二， e 一 e 等于二， e 一， 我们这个棋要算的是椭圆的，所以不要 e 二 e 二方就等于四 e 的 平方， 所以你在这一代给他同乘个四，那就是四， e 一 方分之五等于个多少，二四八， e 一 方 等于五，然后开个方一一算出来就等于多少呢？四分之根号十就结束了。所以这道题的话呢， 它就是简单的两个知识之间的结合。第一个就是你通过这里有个直角转化到共焦点的，什么共焦点的椭圆和双曲线之后，你会发现有了角 一定能列出他俩之间的一个等量关系，这是咱们今天讲的核心，对吧？或者是我们今天讲的原理性的知识。当有了它之后，但是要求椭圆，那就说明一个方程有两个未知数，还得需要一个方程。而在 c 相同的时候就要建立他俩关系，就是找他俩的 a， 对 这道题来讲就是 a 和 m 之间的关系，所以你依然要从图形中的长度。那么刚才我们说落角到你发现等腰三角形，这个条件你没用，当这个条件出来，你记住 在做这种问题的时候，根据定义交半径一定要成对的出现，他出现，管他有没有连，一定要连上，你一标完整个问题就结束了啊。好了，这道题就梳理到这里，接下来我们再看一个更直， 当然了还有角分线，还有平行，这都是你看咱们角分线是咱们第二节讲讲的，对吧？遇到这些问题应该如何去思考？那我们接下来看一下这类问题啊，他告诉我们一个椭圆和双曲线是共焦点的，说点屁呢，是他在第一象限的公共点 啊，还说了啥呢？说叫 p f 二 q 的 角分线交 p f 一 与 m 啊，这两个，这个是角平分线，它与 p f 一 交于谁啊？交于点 m， 那 是角平分线的话，这里我们就会知道啥呢？知道这两个角肯定是相等的， 然后齐木，齐木还告诉我们长度，说 m f 二和 p f 二这两个线段呢，也是相等的。然后又回到了这两个离心率， 说一个离心率是一一，一个离心率是一二，让我们最后要求一下，一一方加三一二方的最小值。首先我们说告诉这种角分线啊，还有长度关系，你就要从角，这叫做什么？从几何的方向去思考， 从几何的方向首先看到这两个角是相等的，然后接下来这两个角是相等的，你设他是贝塔也行，两个贝塔也行，但是呢内错角这两个角，因为什么？ 我看一下啊，没错，因为我们说这里还有一个，就是我们 p 和 q 是 一个什么中心对称的，所以你把焦点和 p q 一 连，这是一个什么？平四， 这也是我们根据对称你看经常会发现的这个平四三角，哎，平四，平行四边形，平行四边形的话，这个边和这个边一定是什么？一定是平行的，所以阿尔法和贝塔是相等的，那这就是阿尔法， 所以最后你会发现他说了这么多，就是为了告诉你这个货是一个什么？等边三角形， 那么这是等边三角形，就相当于这个顶角知道这个顶角知道之后，我不用去做，我就知道这两个离心率之间，他们倒数的平方之间会产生一个定值关系，对吧？产生一个定值关系要求一个平方之间关系，那很 那很明显很容易就可以求，消圆可以求，有可能基本不等式也可以求，对吧？所以到这里我们说思路清楚之后呢，我们就快速的走一下流程，当我们知道他说了这么多，原来就是为告诉这个角是三分之派，当这个角是三分之派，我们知道 来 a 一 加 a 二， a 一 减 a 二一对应的都是谁啊？椭圆的啊，说过一对应的都是椭圆的，二对应的就是双曲线的，那么接下来这个边就是二 c， 他 们之间三于弦定力， 这个的平方等于这两个平方和减二倍的 cosine c， 它二倍 cosine 六十度刚好是二分之一乘以二，所以它二倍的一乘是一，所以整个式子就等于你看对边的平方，邻边的平方和加邻边的平方和减去 零边之积就是平方差，所以这个式子很好算。四、 c 方等于这两个一加是两个 a 一 方，这两一加两个 a 二方交叉下消掉了减 a 一 方加 a 二方， 所以 a 一 方，这里一约的话，就剩下一个 a 一 方，三个 a 二方，所以四 c 方等于 a 一 方，加上三个 a 二方，然后同时除以 c 方一一方分之一，加上 一二方分之三等于四。到这里我们说通过梳理条件，发现等边发现六十度，然后得到这个式子是我们今天学过最基本的共焦点三角形的一个什么知识点，所以这就是一个流程性的问题了。 好，来看一下这个我说明白了吗？那么已知这个或然后接下来你关注一下，我知道了他俩之间关系，要求他来，这两个咋求呢？ 说出你的想法，这个应该很熟悉吧，这是咱们上高中学到最基本的啊， 对，乘进去，对吧？这就是我们基本不等式的乘一法，就是你把这个看做的整体相当于 x 分 之一加 y 分 之三等于四， 然后把这看做 x， 就是 求三分之 x 加三分之外的最小值嘛，对吧？这我们说一的代换也行，乘一法也行，两个反正相乘 就 ok 了。但是乘的时候要注意，你给把这个式子乘给后边，相当于乘个四，所以乘的时候你注意你乘以了，你乘以这个货是四，前面乘个四分之一，保证式子要是恒等的 好了。然后乘完之后呢？这是你要求的他整个等价，后边这个式子后边式子算一下，四分之一倍的这俩一乘一，这俩一乘三分之，他乘以，他分之三也是一，加上这俩一乘三一一方分之一二方，再加上。啊，还有哪两个没乘呢？ 啊？还有这两个没成，对吧？加上一二方分之三一一方，这就是我们得到的式子，所以四分之一倍的一加一是二，然后你就会发现这两个的什么乘积会是定值， 他俩相加大于等于二倍，根号下他俩相乘，哎，相乘没了就是二，所以这里是二加二，整个大于等于四分之一乘以四就大于等于一，但是你用了基本不等式，一定要验一下能不能取得到，这里要能取到就是他俩相等， 它俩相等。刚才取得的最值是它俩和等于二，也就是它俩都等于多少一的时候，它俩等于一，也就是一二方等于三一一方。也就是啊，你直接带到第一个式子中去就行了，一二方等于三，一一方 带进去之后，这里一约，那就是一一方分之二等于多少？四一一方等于二分之一，所以在一一等于二分之，根号二， 一二呢？又等于多少？呃。根三一一，所以一二等于二分之，根号六的时候取得最值检验一下，一一是椭圆的零到一之间，一二是双曲线的大于一，所以能同时取到，所以它的最值就 ok 了。所以说真正考的时候呢，这道题我们在 回过来复盘一下啊，他考了几个点？首先第一个就是我们要处理这个共焦点的问题中，我们得看他给的公共量是什么。那这道题看似给了长度相等，给了什么角平分线啊？我回到最开始， 这是第一个考点，角平分线加长度相等，你还得知道因为这两点怎么样中心对称，这是一个什么？平行四边形，从而这两个角相等，所以通过角分线加平行，这是我们第二 在讲离心率的第二部分中，讲到平行线的使用方式，对吧？加上平行得到了等腰，从而推出了这个角是等于三分之派，所以你首先对于角平分线的处理意识要特别的清楚。然后第二点，当你知道了这个六十度，那么给了公共角， 你一定就能得到一一方分之多少，加上一二方分之多少，等于一个定值的形式，这里的话就是鱼弦定律，走流程就行了。然后第三个，当你知道他之后，你说要求一个一一方加上三一二方分之 呃，三分之一二方，那么很明显这两个之间又一个固定搭配的基本不等式关系。所以你只要对每一个点学的足够熟练，综合题怎么考？ 就是把几个常见的知识点棋形加在一个，你每一个看到相对应的条件，按照对应的逻辑去把它处理掉就 ok 了啊。好了，这是这道题，那么这道题拆解完之后，我还想问大家，就比如说像这道题，我们在这里算出了这个式子， 那今天要求的是 e 一 方加三 e 二方，比如说以后要求 e 一 乘 e 二的最值，能不能求对，还是基本不等式。所以你要知道 他共焦点的一定会产生这样平方之间的一个关系。知道这个平方了之后，他经常会去求很多，比如说一一乘一二呀，比如说一一方加上三分之一二方呀，再比如说再举个例子，比如说一一方分之一啊，比如说 一一分之一加上一二分之根号三呢？比如说要求这个行不行呢？那么如果求这些最值的话，我们可以用科西不等式，也可以用均值不等式。那我接下来再问一个， 比如说这道题要求一个什么啊？一一分之一加上，比如说就加上一二分之一的取值范围，大家知道接下来该用什么方法不？ 如果说他求的不是最值了，求的是取值范围，因为我们说用科西不等式也好，用均值不等式也好，很多情况下他求的是他单方向上的一个最值，求完之后，你只要 你求完之后，只要去检验他能不能取得到就行了啊，居然说的非常好啊，所以在这种情况下的话呢，我们用到的方式呢，就不是谁了，不是基本不等式了，我们可以用三角代换啊，所以这里的话，因为两个平方， 这里看这个式子啊，它本质上其实可以看作是一一分之一的平方加上一二分之根号三的平方等于多少？等于四。 所以说共焦点的这个式子经常会得到两个离心率之间的一个等量关系，而这个等量关系可以看作是两个离心率相关的平方和等于定值。但凡两个平方等于定值的话，我们就可以用三角代换啊， 如果他很多时候求的是取值范围的话，你就可以从而用三角代换。咋代换呢？你想把这个整体看做 x 嘛， x 方加外方等于四的话，哎，相当于它是一个什么圆嘛？圆的三角代换，半径是二的话， x 就 等于二靠三引 c 塔， y 就 等于什么二倍的三引 c 塔，所以这样的话，你就把它可以代换成谁啊？二靠三引 c 塔，所以这样的话，你就把一二分之根号三代换成二三引 c 塔。 所以说就是结合这个条件，接下来会衍生出很多类求最值或者求范围的问题。对于求最值，只要能用均值不等式或者科西不等式，你就用不等式去求，最后一定要验 取等条件，对吧？然后第三个的话，就是出现这种等式，如果求范围的话，你千万可不敢用个基本不等式，求完之后就觉得都能取得到基本不等式，在求范围的时候基本是失灵的啊，基本上是失灵的， 那在这里因为是平方关系，你说你要求个，比如说一一分之一加上一二分之一，你消元消不掉的， 因为你不能带着根号，你不能说我一一开一，一分之一等于四减一二，方分之三开根号，你这样消元你没办法转化成对勾函数的，所以在这里最好的方式是三角代换啊。

高中数学最难的圆锥曲线，寒假吃透逆袭班级前三圆锥曲线必刷一百题一单选择题，一到七题， 八到十五题，十六到二十三题，二十四到三十二题，三十三到四十一题。完整版分享！

本系列视频耗时八千七百六十个小时精心制作，今天用其次画秒杀一切圆锥曲线压轴难题， 从公式模板介绍，到精选专题讲解，再到考点总结分析，我们学习。其次画 不用复杂的连律计算过程，直接一步就能写出写率的公 是步骤。这四步我们看平移，其次画的话，第一步是干嘛平移，然后再其次画对不对？那平移的话平移是什么？我们看右边的这两个图片，我们首先看第一个椭圆，比如说直线 a a 撇与直线 o， 嗯，这两条直线他们的公共点是不是在圆点 o 处啊？在圆点 o 处的话，我们这类情况就不需要平移。那么再看第二种，如果说是直线 a q 与 a p， 它们的公共点是不是在点 a 处？在点 a 处的时候，我们就需要先平移图形，把这个公共点点 a 平移到原点 o 处，那我们不论怎么平移，直线的斜率是不是不变的？ 所以说平移他不会影响直线的斜率。那我们看啊，平移的口诀是什么？这个就需要大家着重来记一下啊。平移的口诀是左加右减，上减下加，你没有看错，就是上减下加。我来举一个例子， 大家来看，比如说一条直线 y 等于 k s 加 b， 我 们给他向上平移一个格子， 那我们变成什么了？他的话是不是就变成 y 等于 k x 加 b 加一啊？那我们把一平移到左边，他是不是就是 y 减一等 等于 k x 加 b？ 我 们以往记的口诀是不是上加下减？这个是在等式与 y 异侧的时候啊，它这个是异侧的时候才这样子记的口诀，那同侧的时候呢，我们就是上减， 大家这个大家理解了吧？好，我们平移了直线之后，也知道他的口诀了，接下来我们肯定是要设直线方程的，对不对？那我们如何设直线方程呢？这里也有一个小技巧，大家要记住，我们设 直线， m x 加 n y 等于一，我来解释一下，为什么这样设啊？这样设的话，肯定是可以让其次化变得更加简洁的。相当于什么？就是一的妙用。比如说 我们与平移后的圆锥曲线连立的话，我们是不是有二次项，一次项和常数项，那我们一次项我们就可以用 一次项乘一，那一的话，是不就是 m x 加 n y 啊？那一次项乘了 m x 加 n y 是 不都变成二次项了？那常数项的话是什么？相当于乘一的平方，那 m x 加 n y 的 平 平方，是不是每一项他都是二次项？所以我们是为了把连立后的圆锥曲线啊，给他变成每一项都是二次项的式子，这个就是一的妙用。所以我们就到了第二步，连立直线带入，这个就是其次。画的一个灵魂 学姐依旧是写一个例子，比如说一个椭圆方程，我给他向上平移了一个单位，他就变成了什么？就变成了这边 y 数变成了 y 减一，因为是上减嘛， 变成这个式子，然后我们下一步是要干嘛呢？是不是展开展开之后就有一次向啊？二次向啊？常数向对不对？那我们看一下展开啊，它就变成 b 方 x 方加 a 方， y 方减二， a 方 y 加 a 方，再减 a 方 b 方等于零的一个形式，那我们看这个展开式里面是不是有二次向？这个是二次向吗？ x 方，对吧？ y 方也是二次向， a 方， y 呢是一次项，这个就是常数项，对不对？那我们就可以把这个一次项变成什么？比如说这个二 a 方 y， 它就可以变成它乘一的形式，是不是？那一的话又等于什么呢？ m x 加 n y， 对 不对？就是我们第一步设的这条直线，乘上了这个之后，是不是就变成了二次项？那常数项 a 方减 a 方 b 方，他是不是就相当于他乘一的平方啊？乘一的平方数 就相当于每一项都乘一个二次，那他就一定是二次项，所以每一项都变成二次项了，对不对？那我们记住啊，连立直线带入，我们就是给他展开展开后的二次项是不变的一次项呢？乘一常数项呢？乘 一的平方。接着我们看一下第三步，两边同除 x 方。我们看啊，比如说我们构造了一个二次的一个方程，我们来看一下， 比如说我们是不是构造了这个方程，那我们同除了一个 x 方之后，是不每一项都要除 x 方，那这一步就变成了什么？ 它的话就是 y 方比上 x 方，它是不是就是 y 比 x 的 平方？那 x y 除以 x 方呢？就是 b 倍的 y 比 x， 那 最后一个 c 倍的 x 方比上 x 方，数就是 c 等于零。那我们看 y 比 x 是 什么呀？ 是不是 k 啊？这是写律的公式啊，对不对？所以我们两边除以 x 方的话，就给他变成了一个什么形式？ a 倍的 k 方加 b 倍的 k 加 c 等于零的一个一元二次方程的形式，那我们都得到了这个一元二次方程的形式我们是不是就可以知道？比如说他的 k 一 加 k 二等于什么？就等于负的 a 分 之 b， k 一 乘 k 二呢？等于 a 分 之 c， 我 们写率的证明是不就可以证明完毕了？ 但是如果题目中问定点的话，我们是需要还原的，比如说我向上平移了一个单位，我们求出来的定点，我们再向下平一个给它还原回来，因为平移的话，我们写率不变，定点是变的，我们用这个方法就可以节省其他同学 计算非常多的时间。一句话来讲呢，其次话就是专门为斜率和和斜率积而生的分角。 那我们来看一下这道例题，如图，椭圆方程给了他说经过点 a 零的负一， 且离心率为二分之根号二。我们第一问求椭圆的方程，这个是比较简单的，大家应该都没有什么问题啊，那我们看啊，离心率的话就是 a 分 之 c 等 于二分之根号二，并且什么呢？因为我们 a 的 话，它是不是零的负一啊？说明什么？说明 b 是 等于一的，那我们结合 a 方等于 方加 c 方，我们是不就知道 a 是 等于根号二的，所以椭圆方程就出来了。那我把椭圆方程写在第一问的后面。 好，那我们接下来看一下第二问，经过点一到一，且斜率为 k 的 直线与椭圆交于不同的两点， p 和 q， 也就是说这条直线呗，让我们证明出直线 a p 与 a a q 的 斜率之和等于二，那也就是说让我们证明什么？让我们证明 k a p 加 k， a q 是 不是等于二的，那我们证的是这个，我们看 a p 和 a q 这两条直线的公点在哪里呀？是不是在点 a a 的 话，它的坐标是不是零都负一？那所以我们第一步应该干嘛？第一步平移对不对？ 我们把 a 点啊，整个图像往上平移一个，也就是说它的坐标轴变成了这里，这就是我们一个新的坐标轴。哈，那我们看直线和椭圆都变成什么了？我们的椭圆是不是向上也平移了一个？ 所以呢，只有 y 减一，上减下加嘛，就是椭圆平移后的方程。那直线方程呢？ 我们把直线方程设成什么，大家应该还记得吧？设成 m x 加 n， y 等于一 的这条直线对不对？但是我们一定要记住，它是不是过定点一一的？那我们平移了之后的直线过定点坐标是哪个点啊？一到二的， 因为我们向上平移了一个单位嘛，对不对？所以说我们看我们把一逗二带进去了之后，我们能得出来一个什么式子， m 加二， n 等于一， 对不对？那 m 就 等于一减二， n 就是 直线我们得到的方程，那我们的椭圆呢？椭圆的话，我们就是给它去掉分母，然 然后展开就可以了。那我们同乘一个二吧，变成 x 方加二， y 方减四， y 加一等于一，那就是等于零的这个形式，这个就是直线，这个就是椭圆，对不对？那我们的椭圆是不是有二次项？有一次项，所以我们在下一步要干嘛？ 第二步是我把直线带入到椭圆方程当中，给它变成依次向乘一的形式。那我们继续来化解一下变成了什么二 y 方 啊？我们正常来讲的话，可以把 y 方写在最前面，把 x y 写在中间，把 x 方写在最后面，这样子我们同除 x 方的话，正好是从高次到低次的。好，我们展开了之后，第三步是 同除 x 方对不对？同除 x 方的话就变成什么啦，我写在左边啊， 就变成负四 n 加二，这边就是 k 方减四 m， k 加一等于零。接下来我们看最后一步为答， k 一 加 k 二的话，是不是等于负的 a 分 之 b， 我们看这里，我们导出来 m 是 等于一减二 n 的， 那二减四 n 呢？是不是就等于二？ m 比一下就等于二？这道题就解出来了，我们需要大量的计算过程吗？不需要啊， 那最后我们来总结一下一错点。第一点，平移坐标的时候，符号千万不要写错，左加右减，上减下加，并且换元的时候要回。 第二点，我们的其次化过程时，依次向和长竖向必须要成直线式进行升次，把它们都升为二次。第三点， 当直线斜率不存在时，我们记得要单独检验一下。第四点，最后的结果我们要还原成圆坐标，如果题目中问斜率，我们就不需要还原，但如果是问定点的话，我们以 一定要记得要平移回去。最后我们用一句话的口诀来总结，平移其次化定点平移到圆点，曲线展开不乱边， 直线拿来把次升二次，其次就成型除以平，方便 k 方程尾答一出全搞定。本期我们就讲到这里啦，我们下期见。

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高中数学最难的圆锥曲线一百题，寒假吃透，稳进班级前三！圆锥曲线必刷一百题一单选择题一到七 八到十五，二十四到三十二，三十三到四十二多选择题完整版评论领取！

好，接下来我们看到例题，二十二零二二年的天津卷，椭圆 a 方分之 s 方加上 b 方分之外方，右焦点是 f， 右顶点 a 跟上顶点 b 满足 b， f 比上 ab 等于个二分之根三。第一位要求椭圆的离心率 啊，第一位绝对是超级简单，对吧？来，我们一起看一下啊，还是要给你画个图，对不对？所以一起看一看， 椭圆焦点是在 x 轴上，对吧？所以的话来 这样画可以不？ ok， 来往右一点， ok， 这是椭圆，对吧？他说什么右点点为 a， 右点点为 a， 那 也就是说这个应该是 a 喽，对吧？上点点是 b， 然后呢？呃，右焦点是 f， 这是 f， 对 吧？你看它告诉你的关系是什么？ b， f 是 什么， 对吧？很明显， b， f 是 这一段吧，对吧？这一段怎么表示？哼，应该非常简单吧，你看，这是 c 啊，这是 b 啊，对吧？你的幼儿园老师教过你，这个是不是 a 没问题吧？因为我们 a 方它是等于个 b 方加 c 方嘛， 是不是？哎，所以的话，这个 b f 的 话，他就是什么，他就是 a 啊，是吧？他是 a， 那 么看到什么？看到分子，分子是 ab， ab 是 什么， 对吧？ ab 是 不是来个勾股定律就可以了？所以 ab 他 应该是等于个根号下 a 方加 b 方，有没有问题，对吧？勾股定律，所以是等于根号下 a 方加上个 b 方，可以不？这个是等于个二分之根三的， 对吧？二分之根三，所以你发现通过这个式子，我就可以得到一个 a b 的 关系式嘛，对吧？所以第一问应该就很快就出来了，是不是？所以的话怎么办呢？ 嗯，给他两边来个平方可以不？所以应该得到分式化整式，那就应该是被 a 的 平方，呃，等于个三 a 方加三 b 方， 可以吧？三 a 方加三 b 方没问题对不对？所以就可以得到 a b 的 关系式了，也就说 a 方等于三 b 方， ok， 第一问，哎，是不是简简单单啊，对吧？所以离心力 e 它应该是等于根号下，这个公式我觉得大体是可以直接用的，因为这个也是很常规的一个公式，一减去 a 方分之 b 方开根号，所以一算应该得到是三分之根六，有没有问题？ 三分之根六， ok， 没问题吧？这个就是第一问来看第二问，第二问怎么做？思考一下，三分之根六对吧？ ok， 第二问看一下啊， 那第二问，他说什么？他说我的直线要与椭圆有唯一公共点 m 与 y 轴相交于点 n， 哎，然后的话 o 为坐标原点告诉你 o m 等于 o n， 并且三角形的面积为根三，让你求椭圆的方程。 你通过第一问来，我们说没有无缘无故的爱，也没有无缘无故的恨，更没有无缘无故的第一问，对不对？所以你发现这个题的第一问是为第二问服务的， 哎，第一问得到这个式子了，那第二问是不是再找到一个关系式，我这个题就搞定了，没问题吧。所以怎么办呢？来，重新给你画个图，可以不？对吧？重新给你画个图， ok， 我 想直接用这一个，可以不？ 没问题吧？哎，我直接用这一个， ok 吧。来 看好了，来，直接用这个没问题吧？ ok， 其他那些没用的我就不画了，可以不？这个去掉，哎，这个不要 对吧？他说什么？他说我这个直线要与这个椭圆有唯一共同点，对不对？ m 与外轴相交于点什么？与外轴相交于点 n， 你随便画就可以了，这样画没没意见吧？是不是？那假设这个是，这个就是我的 m， 对 吧？这个就是 n 呗，可以不？我假设我的 m 的 坐标是 s 零外零， ok， 假设我的 m 坐标是 s 零外零，然后的话来继续 x 零外零。后边看一下，他说什么 o m 等于一个 o n， 三角形，面积为根三，求椭圆方程，怎么办？ 怎么办？我问你，你能不能先把 m 的 坐标算出来？我为什么要算 m 坐标呢？ 哎，人家已经给你暗示了，可能都是明示了，他都告诉你 o m 等于 o n 了，对不对？你是不是要把这个算出来？把这个长度算出来，把这个长度表示出来，这题就搞定了，你要学会翻译，是不是这个是 o， ok， 可以 不？然后人家还告诉你面积了，面积等下再表示，是不是就可以了，对吧？那你想一个问题，我想算 m 的 坐标怎么算， 对吧？我想算 m 的 坐标怎么算？哎，这个题考了一个非常重要的点，哎，非常重要点，用到了极限思想。 哎，用到极限思想。你想个问题，我这个 m 点，假设我这个直线他是相交的，那他与椭圆是不是有两个焦点， 对吧？那么你想极限，我拿这个直直线怎么样？平移到相切，平移到相切，原来的两个焦点，一个是 x y 一， 一个是 x y 二， 如果这两两个点，两个点重合之后，是不是就是 m 点？有没有问题？ 理解我的意思吗？来，再讲一遍，我把这条直线给我平移下去，平移，平移之后就要平行了。平移之后它有两个点假设，一个是 a， 一个是 b。 假设 a 点坐标是 s 一 y 一。 假设 b 点坐标是 s 二 y 二。那么把这个直线平移到和椭圆相切，是不是意味着点 a 的 坐标跟点 b 的 坐标重合了？所以 x 零怎么算？ x 零是不是相当于是二分之一？ x 一 加上 s 二，有没有问题？ 你可以把它理解为终点坐标公式。所以你又看到 x 一 加 x 二，需要怎么办？是不得设直线连力啊，所以这题都搞定了。所以这题思路我觉得是非常简单了，非常的简单。所以现在怎么办？是不得设设我的 m n 可以 吧？所以得设为 m n 对 吧？随便设为对不对？设为 y 等于个 k 倍的 x 加 m 对吧？所以怎么样？让它跟我的椭圆连立对不对？所以椭圆是什么？ a 方等于三 b 方，钱越多越好，未知数越少越好。所以就三 b 方分之 s 平方，对吧？加上个 b 方分之外方， 对吧？它是等一个 e 的， 没问题吧？ ok， 直线写成一般式，那就是 k 位的 x， 然后呢？减去个 y， 然后呢？加上个 m 等于个零， 没问题吧？所以怎么样？拿着他们两个连力，他们两个一连力来，方程会不会写？这个留给你做作业有没有问题？ 英姐，对，你一倍方程就可以写出来了，可以不？这个我就不写了，可以不？ ok， 然后我们要写什么？我是不是得算个德塔？ 肯定得算吧，人家都告诉你相切了，是不是？所以是不得写个德塔，对吧？所以德塔等于多少？四倍的 a 方， b 方大 b 方对吧？四倍的 a 方， a 方是什么？ a 方是三 b 方，对吧？ a 方是三 b 方，所以是四倍 a 方 b 方 大 b 方负一方，分母减去大 c 方，对不对？分母是什么？分母就应该是 a 方 a 方加上 b 方 b 方没问题吧？所以就应该是三 b 方 乘上个 k 方，然后呢？加上个 b 方，减去个 m 方，这个是等一个零的，可以不？那么通过这个关系式可以得到什么？是不是可以就可以得到关系式？得一个得到一个式子，对不对？即 多少啊？那就应该是 m 的 平方等于多少？等于一个三 k 方加一 乘上个什么？乘上个 b 方，有没有问题？ ok， 没问题吧？ 所以写到这后面怎么办？后面是不可以写出这个点 m 的 坐标了，对吧？点 m 的 坐标是不相当于是 x 零， x 零等于多少？我上面讲了， x 零是不是应该是等于个二分之一？ x 一 加 x 二，没问题吧？那 x 一 加 x 二，那就应该是三倍 b 方 k 方加上什么加上个 b 方， ok， 这是加法，应该怎么办呢？把 y 划掉，剩下三个数相乘的负两倍，那就应该得到负六 b 方 km， 负六 b 方 km 可以不？ ok， 这个是 x 人，那外人呢？同样的道理，对吧？外人是不同样道理。我先给你约个化简一下可以不？ 这个一化简应该约掉个二码水上面就应该是还能约不？还能约掉个 b 方，对不对？水上面应该是负三倍 b 方，有没有写错？嗯，哦，不用约。为什么呢？看这个等于多少？ 这个是不是等于 m 方啊？对吧？所以直接给它替换就可以了。所以上面是负三 b 方 k， 然后呢？下面就是个 m， 没问题吧？这个是 x 零，对不对？那 y 零呢？同样的道理， y 零是不是应该等于个二分之一？ y 一 加 y 二，这个就很像我们的极限思想啊，对吧？极限思想啊，所以它等于个二分之一 y 一 加 y 二， 对吧？所以分母是一样的，三 b 方， k 方加三个 b 方，可以不？把 x 划掉，剩下三个数相乘的负两倍，那就应该得到的是两倍的 b 方， m 可以不？ ok， 还是一样把分母给我干掉，所以得到是 m 分 之 b 方， ok？ 哎，我问你 m 坐标是不是搞定了，人家告诉你 o m 等于 o n 啊，你是不是要给个面子啊，对不对？所以的话怎么写呢？因为什么呀？ o m 等于 o n， 对 吧？因为 o m 等于个 o n， 对 吧？所以 得到什么了？这个怎么算呢？是不是这个的平方之和，对不对？这个的平方之和分母，什么分母？就是 m 方嘛，对吧？所以分母就应该是 m 方，分子呢？那就应该是九倍，九倍，绝了， 绝了。这，这怎么算？合并一下对不对？平方开根，平方不用开根哈，那平方这个是九倍的 b 方，不对， b 的 四次方， k 的 平方加上 b 的 四次方，没问题吧？ ok， 加上个 b 的 四次方， 有没有问题？这边呢？等于等于一个 o n， 对 吧？等于一个 o n， 那 应该就是 m 的 平方， ok， 可以 不？所以通过这个式子我就可以算出 b 的 四次方乘上个九 k 方加一，九 k 方加一， 可以吧？右边等于什么？四边等于 m 的 四次方，可以不？然后怎么办？来，答案出来喽， 对吧？怎么办？这两个是不是合并？一合并你的 k 方是不是出来了？ k 方应该等于个三分之一，有没有问题？可以吧，所以通过这个式子可以得到。我的 k 方应该是等于个三分之一了，有没有问题？哎， k 方等于个三分之一， ok， 配方等于一个三分之一之后，你发现还没算出来啊，但是你发现有个条件还没用呢，人家告诉你面积，你要给个面子吧，你总不能不用嘛，是不是所以面积等于个根号三？再来一遍呗，是不是？所以怎么办？面积等于什么？所以 s 三角形 s 三角形 o， m， n 的 面积，它就应该等于个二分之一 底，底是哪一个底？是不是可以看作这一个 m 高呢？高是不是应该是我的 x 零？有没有问题？没问题吧？ ok， 所以 等于二分之一 m， 这个是底高呢？高就应该是 x m， 哎，这是 m 的 横坐标嘛，对不对？所以他应该等于什么？他应该是等一个二分之一，他不难了，就是你得慢慢算，慢慢算就可以了，对吧？所以这个地方变成什么？三倍 b 的 平方 k， 可以 吧？下面这个是 m 的 绝对值， 你上面也可以加个绝对值啊。这个不加也没关系啊。加不加这里还是最好加一下这里最好加个绝对值啊， 可以吧，最好加个绝对值。谁？这个地方应该是加上个绝对值，谁是 k 的 绝对值，可以吧，他应该等于什么？等于个二分之三？ 哦， b 方 k 的 绝对值， b 方 k 的 绝对值。哎，这应该得到 b 方 k 的 绝对值， ok， 这个是等于一个根号三的，因为人家告诉你面积了吗？这题就出来了，是不是这题就出来了，所以的话应该算的什么？算的 b 方应该等于多少？ b 方是不是应该等于一个二的，对吧？因为这个东西开出来是三分之根三吗？三分之根三，所以推出 b 方等于个二，这题都结束了，简单不？我觉得应该比较简单，所以椭圆方程就应该是六分之 s 平方加上个二分之 y 方等于个一， ok， 简单吗？应该比较简单，对不对？那比前面几个题都简单。二二年的北京卷跟天津卷都是比较简单的，然后新高考一卷、新高考二卷 以及这个假卷、理卷，假卷跟理卷这几个题目，他的这几张卷子，那个圆周曲线计算量是贼大的，哎，前面我们是不是都讲了，对不对？对吧？所以这个题目我觉得应该是比较简单，比较简单，可以吧？那么这个题我们就讲到这。

两分钟搞定圆锥曲线，我们来看看圆锥曲线的题，一题两解是什么概念啊？已知直线 y 点 s 减二与抛物线 c 相切相切，然后抛物线的交点到准线的距离，那我们说交点到准线距离是谁？哎，它是 p 几何 e 是 不是？好，我们先来看第一种方法啊， 我们先用方法一去解决直线和曲线怎么办？切切是什么特殊的相交，所以我们说直线与曲线咋办？连立啊，维达定律，永恒的维达定律， 所以的话连立的话，在这里边 y 等于 s 减二，然后的话 y 二 p y 等于一个 x 平方，把它俩一连立，把这个 s 减二往这里边带，它俩是什么位置关系？是相切的关系， 所以，但是它取零，我是不是可以求出来 p 的 具体数值自己算啊。来我们说说方法二，在方法二里边的话，我们说在圆锥曲线里边哈，抛物线比较特殊，因为抛物线是上下左右四个开口， 那我们来看它的开口方向，它的开口方向看谁？看一次性的取之范围，那么在这里边 y 是 大于零的，所以它开口向上，开口向上的抛物线其实就是什么二次函数， 所以在这里边 y 等于二 p 分 之一倍的 x 平方，那直线是它的什么线？切线切线，切线怎么办？求导。 我们用切线方程的套路去解决，是不是啊？切点坐标知不知道？不知道，我把切点坐标给它设出来， x 零 y 零。第二步的话，我们说导函数对应的是切点处的函数值，我们对这个函数进行求导， y 撇等于二， p 分 之一乘下一个二 s， 所以 s 零带进去，它的斜率是谁？ p 分 之 x 零， p 分 之 x 零，斜率是谁？斜率在这里边是一， 所以这个时候的话，我是不是求出来 x 零相当于就是这里边 p， 然后第三步的话，带谁带切线方程啊？ y 减去 y 零等于 k 倍的，等于 k 倍的 x 减去 x 零，那么在这边 x 零谁是 p？ 那这样的话，我是不是得到 y 零的表达式？所以 y 零的话，我可以带曲线，我也可以带直线， y 零相当于是 x 零去掉一个二，那也就是 p 减二，那 y 零的话在里边还等于谁？还等于二？ p 一 分之 x 零的平方，那就是 p 的 平方。所以在这个式子里边切线方程我是不是依然可以求出来这里边的 p？ 所以 啊，在圆锥曲线里边，我们说圆椭圆双曲线，抛物线，抛物线是比较特殊的，为什么它可以类比函数？ 好，这个题一题两解，我们就讲到这里，所以对于所有的学生哈，看题，咱不能说圆锥曲线很难，圆锥曲线有些题是可以小卡拉米的。

圆锥曲线我觉得得一百五到两百道题的量，你去高考是没有问题的。你老说，哎，显哥，圆锥曲线我算不对啊，因为圆锥曲线尽量非常大，但是你算了十道八道都是十个题型，一个题型就算了一遍，你怎么可能算的对， 所以一定是算的遍数多。一定是这样的啊。圆锥曲线必刷的一百道题，我们都给大家总结出来了，临走打印下来学习，吃透这些题，考试再也不怕圆锥曲线。

二零二六高考数学圆锥曲线一百题，寒假吃透，稳进班级前三！圆锥曲线必刷一百题一单选择题一到七 八到十五，十六到二十三，二十四到三十二，三十三二多选择题完整版分享！

圆锥曲线最常用的二级结论基本上就是这一些，特别像交点，三角形的面积，还有交半径这些选择和填空题就特别爱考。现在看了这些二级结论啊，我给大家说了，咱们考场上的时候，你直接上去，第一问是不是让你算了这个方程，第二问他问你嫌长，是什么让你证明一个什么？呃，什么乘什么是一个定值？ 你先连立，然后实在算不出来，稀里糊涂把二次结论带出来，哎，先唱得到他，最起码阅卷老师一看你这张答题卡，他是打满了的，答案是对的，根本没有时间去细究你这些呃，过程是否完全正确，所以你直接就写出你这个连立一定非常重要，他非常简单，有的人只是很懒，我在这里展示一下 啊。我们的直线方程一般就是这三种表达，然后你就和这个你的椭圆双曲线一般就是这三种表达，然后你就和这个你的椭圆双曲线一般就是这三种表达，然后你就和这个你的椭圆双曲线连立在一起。 就是解个方程组吗？你接下来是不是上面这个式子就变成了，四 x 方加九 y 方等于三十六，对不对？然后下面这个你不变吗？ y 等于开倍的 x 减一，你现在就把 y 代入进去， 是不是等于四 x 方加九倍的括号 k 方 k x 减一，然后这个是个中括号吧。啊，它的平方等于三十六，四 x 方加九倍的 k 方 x 减一的完全平方等于三十六，四 x 方加九 k 方。 括号 x 方减二 x 加一等于三十六，是不是？四 x 方加九 k 方， x 方减去十八 k 方 x 再加九 k 方， 是不是等于一个三十六？然后你把它合并同类项吗？是不是这里就是九 k 方加四倍的括号 x 方，这里就是一个减十八 k 方 x 再加上把它的常数都写在一起吗？减三十六等于零。好了，我跟你说啊，你考场上 从这到这全在眼朝纸上写出来，你只需要写出这一步啊，从这包括这些，你只需要从这里直接写到这一步，接下来直接就写个什么 x 一 加 x 二，是不是等于负的 a 分 之 b。 什么是 i， 这里就是 i， 这里就是 b， 是 不是就等于九 开方加四十八开方， x 一 乘以 x 二，是不是也就等于 a 分 之 c？ 直接你就写九开方加四 分之九开方减三十六。我跟你说，你就写在这里，任何考试写在这里都有三分两分啊，有的人可能还会给你四分呢。你只要能写出 x 一 加 x 二， x 一 乘 x， 就是 伟大定律。所以我给大家说什么，你二级结论上来 一定必须要学会连理，写出未知定律，写出未知就是 x 加 x 二， x 乘以 x 二，然后你再带入你的那个能用到的二级结论，再把你最后的值算出来，基本上都是满分了。所以这些步骤非常简单，你只是太懒惰，根本不想尝试，实则它非常简单，你随便算两步都可以把它轻松拿捏。

高中数学想冲上一百二，一定让孩子吃透圆锥曲线。高考数学呢，是得圆锥曲线者得高分。这本圆锥曲线解析框架构建呢，就是攻克圆锥曲线压轴题的系统方案。他把所有的考点和方法呢都梳理的明明白白， 没有复杂的术语，全都是实战的三步框架手法篇呢，教孩子审题时快速选射点还是选射线，训练解析的第一反应，见条件就匹配方法。 翻译篇，把直线过定点这类文字呢，转化成为怠速方程，就像查字典一样直观。计算篇是将复杂的运算总结成可以操作的巧算技巧，让孩子算的又快又准，避免无谓的丢分。 那书里面配了丰富的真题案例，让孩子一学就懂，不用死记硬背，能真正的理解解析的逻辑。他把抽象的圆锥曲线题型化、步骤化、框架化，基础一般的孩子呢，也能轻松跟上。那担心孩子圆锥曲线学不好，考试总丢分的，赶紧给孩子背上。