立体几何大题20道2026自创

这个题目呢是属于比较难的，然后呢跟几位老师讨论了一下，结尾呢，有我对做这种比较难的题的一个方法，还有一个行路历程。 废话不多说，我们看这道题，我们来看一道五周二零二五二零二六啊，高三上学期期末的一个十四题填空题的一个压轴，那正四面体啊，我们画一个正四面体出来， 然后呢？那 ab 啊， cd 啊，然后呢？做两个平行于 ab 的 cd 的 结面，我们画这个还有平行于 cd， 然后呢，我们可以往这边做平行，把这个面画出来，同样的方式，可以把另外一个面画出来， 然后呢面积是六和四啊，然后呢，比如说我们就拿它的面积是六吧，我们设它的边长是 m， 那 另外的一个边啊，我们可以设为 m 加六啊，好，然后呢，同样的另外一个矩形呢，它是这个 n 和 n 分 之四，然后这边是 m， 因为这是个等边三角形，这等边三角形六十度平行， 然后呢这是等边三角形。捷德的，这也是个等边三角形，这是 m。 好， 然后呢，按下边呢，这个就是 m 分 之六啊，因为跟这边它是一个等边三角形，同样的方式，这边是 n 啊，这边是 n 分 之四，那我们就我们可以设这边为小 a 嘛啊， 然后呢，我们可以建立一个等量关系， m 加 m 分 之六，等于这个能长啊，因为这个 是正四面体啊，正三能追他的。对门啊，对门是互相垂直的，也就这两条门是互相垂直的，那我们取这些中点，取这个中点呢，之后呢，这个会形成一个等腰三角形啊，那他也是垂直这个门的，同样垂直上面这个门，所以这个 m n 呢，垂直于这两条门，垂直这两条门，然后呢， 这个和这个面也是垂直的。好，然后那我们可以捏出这样一个式子，那三个位置数需要三个等式啊，那我们就需要把这个根号二给它用上，那这个根号二 是距离啊，这段的距离比上咱们的这个 m n， 比上咱们的这个全部等于啊，因为平线之间，他这个 m n 啊，就是根号二呢，是这两个之间的距离啊，就是这个红面和这个黑面之间的距离，那他应该是等于这一段啊，也就是他和 这个黑面之间距离，应该是两平行之间距离啊，平行间距啊，成比例，也就它也等于这一段啊，比上全部好，那这段呢，又有平行线，那他又等于 e f 中间这段比上全部，所以等于这个。然后呢，那我们可以把这个 关系式给它列出来，剩下的就效圆就可以了。得这个式子呢，得出来 n 等于 m 分 之六减二， 那没有了 a， 我 们用这两个式子呢，再把 a 削掉啊，得到这样的一个式子，然后呢，那 n 把 n 换掉了，左边再把 n 换掉，再削圆，剩下的只剩下一个未知数，把这个 m 解出来就可以了。那 m 解出来之后呢？那我们的冷场也就解决了， 通过这个视频讲述一下功课这种比较难的题目的方法途径。那这道题我做了不下五遍，我们可以看一下，这个是一开始做的第一遍，过了一开始做的第一遍，又过了一段时间，这个是第二遍， 第三遍，第四遍，第五遍。因为没有人不可能他所有的题目他都可以一遍，是吧？全部都可以做。对，他肯定是有一个过程的，特别是比较难的题目，但是反复的去思考，反复的去重复的去做，但这种重复的去做不是沿用着一成不变的思路， 在这个过程中看看其他人的一个想法啊，温故而知新，那就可以做得越来越熟练，在这个过程中也会积累自己的一个分析能力。

我岳云鹏讲二零二六届威海期末的例题几何大题。第一问，这里 a、 b、 c， d 是 正方形，进而 a、 c 垂直 b、 d， 再结合面面平行的性质定理，即可验证结论。 第二问，如图，间隙写出相应点的坐标，据此求出面 d、 o、 n、 e 的 法向量。根据前一问，结论，向量 a、 c 恰好为面阿尔法的法向量，进而求出面阿尔法或面 d、 o、 n、 e 夹角的正于弦。 第三问，此时曲线凹，关于 y 轴对称，不妨取凹在 y 轴右侧的点 p， 我 这样做， p q 和 p t， 据此求出 p q 和 a q 长度。 这时候展开图中的 p 九就是立体图中的 p 九。展开图中的 e 九就是立体图中的圆弧 a 一 q 的 弧度， 进而写出 q 和 p 坐标。而 b 和 p 在 面阿尔法上， a、 c 垂直阿尔法，进而向量被 p 与 a c 内积为零，进而外零，可用 x 形表示，由此可以写出曲线而方程。

今天给大家做一下二零二六年高考数学五道大题的预测。以下仅代表个人观点，也是我给高三学生从一轮复习到现在的一个主要的复习逻辑。首先第一道大题，概率第二问，我认为会出一种正态分布的问题。第三问，求卡方。第二道大题，三角的板块可能是解三角形或者三角函数，或者跟数量级结合的一些问题。 第三道大题，圆锥曲线难度应该不会特别大，计算量会稍微大一些。第四道大题，立体几何。立体几何我觉得在今年应该会出一种不能间隙的，或者说间隙比较困难的题型，这是最近的模考当中出现比较多的一种题型。最后一道大题，我认为还是会回归数列于倒数，数列和倒数相结合，侧重点在倒数上。 以上的预测仅限于个人观点，为大家准备了十套各地区的高质量模拟题，需要电子版资料的可以点个关注进入粉丝群，我会在粉丝群内发送给大家。

高中立体几何，你们最怕什么？不好，间隙外接球翻折动点。今天给大家来一道题，这些问题全都有，要不要挑战一下十七的特别狂野？你们先把题目读一下，这道题我今天讲了十几分钟才把它讲完，真的复杂， 疑问超简单，题目说 a b 等于 a， c 等于 p， c 等于一，这个垂直这个角度一百二十度，要你证明 p a c 垂直于 abc 啊。若两个面垂直，要你证明 p c 垂直 ab， 我 直接就写下了啊。这个题的疑问很简单，但 第二问，特别是第三问，往死里来，我就直接大字写过程了， a b 是 不是垂直 a c 的？ 这题目给的。然后呢，两个平面垂直是不是垂直于交线的？直线垂直 a c， 所以 ab 是 垂直于交线的，它就垂直平面 p a c 垂直平面 p a c， 那 么呢，它就垂直平面里面任何一条直线， p c 又包含于我。今天我的有个学生就问我老师，这个包含到底有没有下面这个横线呢？你们说有没有？ 我跟他回复了一下，我说如果在集合里面包含余，是有横线的，在立体几何里面，这个包含余下面是没有横线的啊，你们就看课本上就可以了。好吧， 一问很简单，第二问，第二问难度就稍微大一点了啊，所有同学啊，这个题我给我们的正式卷是用了两种方法讲的，第一种是几何法，第二种是空间向量的方法，我在这里面就直接用空间向量去做了。好吧，那么怎么样做个题呢？间隙以 a 点为圆点， ab 为 x 轴，这个 y 轴 z 则 x y z， 那 么呢， a 点的坐标好，表示零零零，引着标零零零， b 点的坐标就是一零零， c 点的坐标 零一零，这是 x 轴，这是 y 轴，这是 z 轴。 a、 b、 c 都搞定了， p 点的坐标怎么表示呢？各位，两个平面是垂直的 p 点坐标怎么表示？回答一下，是不是应该过这个点 p 直接做这个 y 轴的垂线 就可以了，其中呢，这个长度是一，你看这长是一，这个角度是六十度，这角三十度，这垂直三十度所的咱们的斜面半。所以呢，我们假设这个垂足是个 m 点，这个就是二分之一，这个就是二分之根三。所以 p 点的 x 轴上是零，在外轴上呢，就是二分之三，在这轴上呢，就是二分之根号三，球心 o 点坐标 x y z 啊，那么那我们是不是就有 o a 等于 o b？ 二零二五年新高考的那个立体几何也是求它的球心啊， 等于 o d， 那 么 o a 等于 o b 是 不是平方就行了？所以就是 x 方加外方， 然后再加上这方等于 x 减一的平方，加上 y 的 平方，加上 z 的 平方，然后这个呢，就是 x 方加上 y 方加上 z 方，然后 o c 呢，就是 加上 y 减一的平方，加上 z 的 平方，这个呢，就是 x 方 加上 y 方，再加 x 的 平方，就等于 o d 呢，就是 x 方加上 y 减去二分之三的平方，加上 z 减去二分之根三的平方。那我们就解它呀，这外方、外方，这方，这方都相等，那么 x 方对 x 减一的平方，这个 x 等于几呢？ x 等于 二分之一，同样， x 方 x 方， z 方， z 方消掉， y 等于几呢？ y 也等于二分之一，是 o p， 不是 o d， 哎， o p 啊， sorry o p。 那 么呢，我们现在再把二分之一这个 x 方这个一消掉，那么呢，我们就可以得到外方就等于四分之一 加上 z 的 平方，这边呢，一加上 z 减去二分之根三 括号的平方。好吧，然后呢，我们把这个括号一打开，所以呢，就是四分之一加上 z 的 平方等于一加上 z 的 平方 减去根三， z 加上四分之三，所以呢，就等于我们把根三 z 提过来，一加四，三减去四分之一，一加二分之一就等于二分之三，那么 z 就 等于二分之根号三，所以我们 o 点的坐标就是二分之一， 二分之一，二分之根号三。来，各位能不能听懂这题最难的是第三问啊，都给你们分享一下 o 点坐标，知道了要你求 o a 与 abc 加角的正弦值，这是 a 点， 这是 o 点。下面就是 abc 平面，要求这个角度的正弦值， abc 的 法向量 n 等于几 零零一。其中这个题目我们要求的是上引 c 塔，上引 c 塔就等于扩散 a o 向量和这个法向量的加角的余弦值，加个九的值搞定了。 为什么要加绝对值？因为线面加角的取值方一定是零度到九数之间，它不可能是负数，所以加绝对值啊。于是呢，我们这个地方， a o 向量就等于 a o 乘以 n， 再除以 a o 的 模， n 的 模， a o 乘以等于什么东西呢？ a o 乘以就等于二分之根号三，二分之根号三。然后再来 a o 的 魔就等于根号下四分之一，加上四分之一，加上四分之三，加四分之三， 再乘一，也就是四分之五，二分之根号五，答案就是根号五分之根号三，就等于五分之根号十五。几何法咋做 几何法呢？就是需要找到它的球心，球心就在任何一个面外接圆的圆心的垂线上，垂在这个地方，然后这里面是 圆形的垂线， ok， 大家看能不能懂？这个是 o 一， o 一 就是 abc 的 外接的圆心，这个是 o 二，这个是 a、 c p 的 外径圆心，它们的做垂线 才刚好是一个点。 o 啊，这个点是个 n 点吧， n 点刚好是 a c 的 中点。然后呢，我们就可以算出这个 sin theta 等于什么东西呢？ o o e 比上 a o 就 行了，比上 a o， 其中我只要把 o、 o e 算出来就可以了，为什么呢？因为 a、 o、 e， 这才是好算的，这就等于多少？这是根号二， 它乘以二分之二，我只要算出这个来就行了。那么这个怎么算呢？这个就等于 o 二 n， 于是呢，一百二十度的等腰三角形，它的外心在什么地方？就是 o 二，实际上要形成个菱形， o 二就在这个地方，然后做垂线就行了啊，做垂线就行了。好了，这个 就是 o 二，这个就是 a， 这个是 c， 这是 p。 所以呢，我们做垂线，这个点就是 n 点， 这个是二分之一，那么这个长度是二分之根三，也就是什么东西呢？ o 一 就等于 o 二， n 等于二分之根号三， 这个上面就等于二分之根号三。其实如果几何法会更简单一下啊，我觉得，然后这个 a、 o 的 长度等于什么呢？ a o 的 长度，这个就等于根号下二分之根号三括号的平方，再加上 二分之根号二括号的平方，因为这个二分之根号三，这个二分之根二勾股定律啊，所以呢，就等于二分之根号五，二分之根号五，所以就是二分之根号三。 比上二分之根号五，就是五分之根号十五，蓝色比的就是我们的几何法。但这个题还没做完啊，这个题最难的是这一问，哎呀，这问难的要死。二面角， 首先这个题目这就用不了了啊，这就用不了了，好吧，因为这个弱是在第一问的这个地方，二面角的正切值为根号二 a 杠 p c 杠 b， 求 b p 的 长。这题真的非常复杂，为什么？因为 p 点坐标你没办法表示，我来跟大家讲一下啊，这题看能不能给你们讲懂啊，这题估价大费周章。 x y 我 想问一下大家，只通过这几句话，你们觉得 p 点的轨迹是什么？ ab 等于 ac， p， c 也等于一，这个角度一百二十度，你们说 p 点的轨迹是什么？只通过这句话， p 点轨迹什么？有没有能说出来？你们想到没有？这就像是一个棍子，然后这有个三角尺，这个三角尺呢，是固定的，现在绕着这个 a、 c 去旋转，那么 p 点的轨迹就应该是 一个圆，一个圆是以什么为圆心呢？过点 p 做它的垂线啊，做这个外折的垂线，这个垂足是 m， 就是 以 m 为圆心，这个是二分之一，这个是二分之根三，二分之根三为 半径的圆。现在 abc 的 坐标我们还是依旧表示出来，零零零 b 点的坐标一零零 c 点坐标 零一零， p 点坐标呢？在 x 上不知道，在外轴上肯定是二分之三，在 z 轴上不知道，你可以设这个为 x z， 但是我是怎么样去做的呢？为了减少未知量啊，为了减少未知量在个圆上的点，我们是不是可以设成二分之根三扩散 c 塔，然后二分之根三散 c 塔。 为什么这样设呢？因为它是这个圆上运动，这个圆面，它是平行于 x、 o、 z 的， 所以它的 x 和 z 半径是二分之根三，二分之根三扩展 c 塔，二分之根三散散 c 塔。说白了，你就看它的左视图，它的左视图是一个这样子的图，我跟大家分享一下啊。有同学有点懵哈，它的左视图，这是 x 轴，这是 z 轴， p 点呢？它的左视图 是这个样子的，其实这个半径是多少呢？半径，这个半径就是二分之根号三。所以呢，我们设这个角，如果 c 塔的话，那么这个 p 点在 x 轴上就是二分之根三乘扩展 c 塔，二分之根三乘三 c 塔。 只不过就是你们以前的话，大家都学参数方程，这个就好理解一点，现在没学参数，大家会觉得很陌生，在你们学三角函数，也学单位圆上一点扩展 c 到 c 点 c 塔，这只不过半径是二分之根三的嘛，这不是半径是二分之根三的对不对？是不是就仅此而已？当然你们实在不会啊，你就设 x z 得了 x， 然后呢， p 点满足什么东西呢？它的 y 的 距离是二分之二三，就是 x 平方，加上 z 的 平方等于二分之三的平方，但这样子会更简单，我觉得它至少是一个未知数，会好一些啊。这个计算量大到吓人，我们来看一下啊。现在题目说 a、 p、 c、 b 的 正确值，我们空间直角坐标系都建好了，现在是不是把这个 a c a c a c 向量零一零，然后呢？ a p 向量 就是二分之根三扩散 c 塔二分之三，还有一个二分之根三散散塔。然后呢，我们去看一下这个法向量啊，就是 a p c 的 法向量，我们设为 x 一 y 一 z 一， 然后一相乘，就是 y 一 要等于零，然后就是一个二分之三 y 一 加上二分之根三扩散 c 塔乘以 x 一， 加上二分之根三散散塔 乘以 z 一 等于零。两个一连立起来，其中 y 一 等于零都已知了，就不用管了，现在我就是要把这两个给算出来。所有同学啊，就是你们说你 x 一 等于几会比较好，往往很多老啊，你看它等于等于等于，你不要总觉得等于一等于就比较好， 一定不要出现分式好不好，不要出现分式。所以念 x 一 等于几呢？念 x 一 等于 sin theta， 那 么我们的 z 一 就等于负的扩展 theta， 于是呢，我们这个法向量 m 就 等于 散析塔零，负的扩散塔，好，这是我们 a p c 的 发向量。我们再来啊， b p c b p c， 我 就搞一个 b c 了啊， b c 向量 c 减 b 就是 负一一零 c p 向量 就等于二分之根三扩散 c 塔，然后二分之一，二分之根三散析塔，好，我们设 这个平面 m 向量 n 向量的这个法向量是 n 向量，就是 x 二 y 二 z 二，于是呢，就是负的 x 二加上 y 二等于零，这是第一个，是指第二个呢，就是二分之根三倍的 扩散塞塔乘以 x 二，再加上二分之一的 y 二，再加上二分之根三的散散塞塔 z 二就等于好，这个实验难度比较高的啊，第十七题就这么狂压更加，比如说十八十九了， 这个式子我们就可以知道，什么呢？ x 二是等于 y 二的，那我们另可以把这个式两边同乘以二啊，同乘二就是根三倍的扩散系数，乘一个 x 二，再加上 y 二，再加上根三倍的散系数，乘 z 二等于零，我们可以另 x 二 等于几呢？令 x 二直接等于 sin theta， 则 y 二也等于 sin theta。 然后呢，我们把这两个都带到下面这个式里面，就可以得到根三倍的 cos theta， sin theta 加上 sin theta， 再加上根三倍的 sin theta， 乘以 z 二等于零。于是呢，我们算出来 z 二等于多少呢？ sin sin 全部消掉，负的一项过去都是负号，负的根三分之根三 扩散 theta 加上一，所以 n 向量就等于我们的 sin theta， sin theta 负的我们直接分裂参数负的扩散 theta 减去三分之根号三。做了这步以后， 告诉你，正切值等于二，所以这个角你们看一下，明显是个锐角，对不对？你们观察这个图像，明显是个锐角，也就是探子 c 塔等于根号二，你们可以这个时候干嘛呢？在旁边画一个这样的三角形，一根号二，根号三，这个就是 c 塔， 探子 c 塔就这么多。所以呢，我们看一下图，扩散下是零比斜一比根号三，一比上根号三， 所以扩散 m n 的 绝对值，你们说等于几？这个就等于我们的根三分之一，或者是三分之根三啊，都可以，那么就是 m 乘以 n， 所以 m 的 模， n 的 模。你们说这个题做一个第十七列是不是有点吓人？这么写，上面加绝对值等于 根三分之一， m 乘 n 等于什么东西呢？ m 我 们已经知道，在这 n 的， 在这我们看两个相乘就等于三 c 塔的平方，再加上负扩展，乘以负负得正扩展 c 塔的平方再加上三分之根，三扩展 c 塔绝对值，然后再 除以 m 的 模，就是 m 模等于几？ m 的 模等于几？ m 模是不是等于一，对吧？ n 的 模根号下三 c 塔的平方加上三 c 塔的平方，减去 去就是变加号，因为这个符号取了个符号出来啊，一平方无所谓了啊，三分之二的根，三扩散 c 塔，再加上三分之一，这个等于几呢？等于三分之一。写到这份上了以后呢，继续啊，只需要把这个方程解出来就可以了啊。上面呢，就是一 加上三分之根，三扩散 c 塔的绝对值，然后我两边直接一平方，两边平方得了啊，这边一平方，其中散的平方加扩散平方就等于一，所以呢，就是下面一平方就散 c 的 平方加上三分之二倍的根号，三倍的扩散 c 塔 加上一加上三分之一倍的扩散， c 的 平方加上 三分之二倍的根，三倍的扩散 theta 就 等于这个，这个是怎么办呢？既有散，有扩散，全部变化成扩散得了有散的平方，就可以把它改变一下，再加上三分之二倍的根，三扩散 theta 加上三分之四。于是呢，我们这个地方 就是扩散的平方，这里面又有个扩散的平方，把它拿过来，这三乘三是不是一说是两倍的扩散 c 它的平方，然后这个乘这个呢？二倍的根三扩散 c， 它再将这个再减去，这个二减去，它加上二倍的根三， 就三分之六，三分之六减三分之二，三分之四，三分之四倍的根三扩散 c， 然后常数下呢，这个是一个三三把一减就是二二，再减三分之四，就是加上三分之二等于零。两边同乘三六倍的扩散 c 的 平方加上 四倍根三扩散 c 塔，加上二等于零，同时再除以高二三倍的扩散平方。这没有一个强大的计算能力和自信算这个题绝对会放弃的啊。这个平方就等于零， 所以扩散 c 塔等于负的三分之高三。那么呢，散 c 塔，散 c 塔呢，就等于正负三分之 根号六，所以呢，屁点的坐标啊。负的三分之根号三，乘以二分之根号三，就等于负的二分之一，这个呢是二分之三，这个呢是正负二分之根号二，我看对不对二，留着三和他约掉 搞定。现在要求 b p 的 长 b 点知道这个知道，所以就是一减，就是二分之三的平方加上二分之三的平方，加上正负二分之根二的平方开根号，所以就等于根号下四分之九， 加上四分之九，加上四分之二，于是四分之二十，四分之二十五。 觉得这道题可以鼓掌了啊，可以鼓掌了，这个版书和计算能力和思维。这主要是计算能力啊，这个计算是不对一般的学生来说，这是真的要吓人的要死啊。这在高考题里面绝对是一个比较狂野的，比那个二零二五年的新高考的第十期就难多了。跟着勇哥跑数学一定好。

大家好，今天呢，咱们继续来讲高一寒假同步公益课的第五讲，内容就跟立体几何有关的平行定律。当然在讲平行定律还有垂直定律之前，我们必须先了解立体几何集合的语言。 首先立体几何里头有点线面吧，比如说点 a 在 直线 l 上，咱们大概画一个图，这就是点 a 在 直线 l 上的意思。那如果说点 b 不 在直线 l 上，又怎么说呢？有专门的符号语言， 点 a 在 直线 l 上，咱们就借助这样的属于符号，那如果不在，哎，如果点 b 不 在直线 l 上的话，咱们就借助不属于的符号就可以了，所以它是集合的语言啊。 好点的话是作为立体几何里头点线面最基础的元素的，所以用属于符号。那么继续来看第二个，还有什么 点在平面内一样的吗？点动成线，线动成面，那么点也是最基础的元素。那此时咱们画一个图吧， 比如还是看最下边这个图，点 a， 它呢是在平面 alpha 里头的，但是点 b 不 在 alpha 里头，这个时候借助什么？还是这样的属于符号？点 a 在 平面 alpha 里头，点 b 不 在平面 alpha 里头，这个还是很轻松的。那么继续来看第三点，点完了之后，继续来看线， 直线 l， 如果在平面内，我先画一个图，平面的话，直观图通常都是用四十五度的角的这样一个平行四边形做的啊，当然别的角度也行，这个不是特别严格来，比如说直线 l， 直线 l 在平面 r f 内吧，但是你要注意，这个 l 是 点的集合， r f 也可以认为是点无数个点组成的集合，那所以说点，所以说这个直线 l 在 平面 r f 内，咱们就不要用属于符号了，因为都是点的集合嘛。集合之间咱们应该用什么？用类似的子集符号 好写上它。那么大家现在可能就有一个问题了，老师啊，我们集合跟集合之间，呃，高一学习的时候，高一上学期学习的时候，明明是用的是什么？比如说 m 集合， 是 n 集合的什么这样一个子集，那比如说还有什么集合呢啊？ q 集合，它是 n 集合的什么？哦， 榛子极，这两个符号还是有区别的。榛子极就 m， n 可以 相等，但就紫极符号吧。 m， n 可以 相等，但是榛子极符号的话，这个 q 比 n 的 范围始终是要小一些的。 那这个时候为什么直线 l 和谁啊？为什么直线 l 作为点的集合，平面 r 也作为点的集合，它不区分这样一个榛子极或者说紫极符号呢？原因很简单，原因很简单，知道为什么吗？好说，好说 什么呀？因为线面之间的关系永远只有真子极啊，对吧？线的范围始终比面的范围要小，他不可能。既然不用做区分的话，咱们就不需要再写什么真子极或者子极符号作为区分了，直接写躺着的 u 就 行，懂了吧？好，这个就读作什么 l 在 这样 r 分 内， 那当然了，如果直线 l 不 在 f 内的话，分两种情况吧。哪两种情况？看第四种啊。好，这个还是平面 f 有 可能是平行的，也有可能是怎么样的呢？我再画一个不同的颜色吧。 比如说 m 这条直线，它跟点 a 呢？跟这样一个 m， 这条直线跟 f 呢？交于点 a 吧，那这种情况呢？咱们 m 也是不在 f 里头的， l 也是不在 f 里头的， 所以一定要注意，只要直线上存在不在平面 f 里头的点，也就是平行或者说相交的关系，那我们都记作这样一个这样一个符号，懂了吧？这个怎么读呀？画圈部分读作直线 l 不 在 f 平面内。 那继续来看第五种情况，第五种情况的话，就是你看直线 l 和 m 是 有可能相交的，如果相交的话，必然会有交点啊， 那比如说这是 m， 这是直线 l， 怎么记？咱们用交集符号不就可以了吗？ m 是 点的集合， l 这条直线也是点的集合，那 m 和 l 取交集符号，它交集不就是点 a 的 意思吗？懂我的意思了吧？通常情况下，咱们是不写这样一个括号的啊， 通常情况下就直接写点 a， 写后边这样一种情况就行了，不写这样一个集合的符号，懂了吧？好，这个注意一下就行。那最后呢，如果两个平面，两个平面相交的话，咱也可以把这个示意图给画出来，比如这个平面是 r f， 然后呢，这个竖着的平面呢？是 beta， 此时 alpha 和 beta 它是有一条交线的，什么交线？就 a 这条交线，那怎么记 alpha 和 beta， 它有一条交线，就是直线 a 就 行了，清楚了吧？好，这就是咱们借助集合的语言 来表示点线面之间的这样一个重复的关系，所以要清楚。那么接下来我们就要先介绍一下三大公里了，关于这样的立体几何，三大公里的话，在高考里头直接考察的非常少，但是它作为定力的基础。公里啊，公里，什么叫公里？ 哦？咱们欧式几何你得先了解这三大功底，功底就是必然成立，才有了这样一个理论，对吧？才有了这样立体几何的内容，那么功底有了之后，才有了各种各样的，比如说平行定力啊，垂直定力等等，所以功底是最基础的，你必须要掌握的啊。那好，第一个， 如果什么？如果一条直线上的两个点对两个点就能确定一条直线吗？所以，哎，这此时这条直线上所有的点都在。其实你可以用另外一种方法看了啊，如果用符号表示的话，咱们看图，点 a 在 直线 l 上，点 b 也在直线 l 上， 那么点 a 在 平面 f 内，点 b 也在平面 f 内，那此时指整个直线 l 都在平面 f 内了，懂我的意思吧？所以一定要注意啊，点和线，点和面，咱们用属于或者不属于的符号， 但如果是直线和平面，一定要用这样的类似的子极。符号清楚了，图的话也画的非常清楚，就不再多说了。那么接下来我想说的是， 如果一条直线跟一个平面有公共点的话，那只有两种情况，一种情况就是公共点只有一个，要么就是公共点有无数个呗。那我们图中画的这种情况就是直线跟 f 有 无数个公共点，因为直线就在 f 内。那另外一种情况，对啊，你画你画一个情况嘛？ 对，这部分用虚线来表示啊，比如说直线 m， 直线 m 跟 f 这个平面相交，比如说交于什么点？哎，交于点 c， 清楚了吧？那这个就可以了呀。那这种情况就直线 m 跟 f 这个平面只有一个交点，好来看公里二， 公里二的话很重要，就是如何确定平面。怎么确定平面呢？来不贡献的三个点，确定一个平面，在空间中不贡献的三个点，确定一个平面，那么两个点行吗？ 两个点肯定不行，原因很简单，就跟你翻书的时候一样，书籍，书籍上知道吧？就书 这个叫书籍，这个知道什么叫书籍吗？这个叫书籍啊，你书籍上，你翻开书之后，比如说右边是这一面， 你翻开书是这一面，懂了吧？如果只有 ab 两个点的话，咱们可以确定无数个平面，这样才导致你翻书翻开以后能翻开一定的角度，懂了吧？所以两个点是不能确定一个平面的，那得几个 a 三个点才能不贡献的三个点才能确定一个平面，那么图像说的很清楚了。 然后符号呢？符号好说呀， abc 三点不共线，所以 abc 可以 确定一个平面，咱们把这个平面记为 f 就 可以了，那么咱们可以根据这样一个公里二呢？其实还有很多推论，也可以当成定力来用。我们来说一下，首先要说的就是 你说直线是几个点，确定一条直线，那肯定啊，不管是平面里头还是空间里头都是两个点，两个点可以确定一条直线，但是平面呢？平面得三个点，所以平面比直线不就多了一个维度吗？对的，那么接下来就是推论了， 这些推论啊，都可以，不管是推论一，推论二、推论三，都可以当成定力直接来用，或者当成这个公理直接来用，你不用说理由的。 那为什么叫推论？首先第一条经过一条直线，都是空间里头经过一条直线和直线 y 的 一点，可以确定一个平面，比如说这个平面是 f， 哎，为什么直线 l 和点 a 可以 确定呢？ 其实跟公里公里二完全一样的吗？ abc， 这不还是不共线的三个点吗？懂了吗？不共线的三个点 abc 确定了平面，所以它本质上还是不共线，三个点确定平面就是公里二。所以第二个推论，你当成公里来用的也可以。怎么回事啊？两条相交直线确定一个平面， 比如说这两条相交直线，一个 m， 一个 n， 哎，那他跟公里二究竟有什么关系？好说， 一个点 a， 一个点 b， 一个点 c a， 不 共线的 abc， 这三个点对不对？不共线的三个点就确定了平面 f 了，所以它其实本质上还是公里二。所以第三个的话，你自己我觉得都会推了什么？平行，两条平行线，空间中两条平行线，比如说 l 一 和 l 二 怎么样？此时是平行的，所以我们说 l 一 和 l 二就可以确定平面 f 可以 唯一的把这个平面确定下来，本质上还是跟谁公里二一样的，你找一个点，再到 l 二上找两个点，这不还是 abc 就是 不贡献的三个点确定一个平面吗？咱们把这个平面记为 r 就 行了，所以记住了公里二跟这几个推论都得知道。那么好，公里三，公里三用的最多的地方是什么呢？用来证明 贡献的时候，这个公里三是用的非常多的。什么贡献啊？就是好几个点证明贡献的时候， 那为什么？一会咱们做一道题，你自然就清楚了哈。咱们先来看如果不共线的两个平面，呃，如果不重合的两个平面啊，有一个公共点，那么这个公共点啊， 怎么样？那么他们就这两个平面，尤其只有一条过这个点的公共直线，那不就是交线吗？这个公共直线叫什么？嗨呀，叫 alpha beta 的 交线，也就是说 alpha beta 有一个公共点了，那公共点必须在交线上，懂我的意思了吗？哦，原来是这么回事啊，所以下边其实也说的很清楚，如果两个平面，你看 r f 和 beta 有 写只有一条公共的直线，那不就是相交的意思吗？相交于直线 a， 然后呢？哎，那怎么说呀？则这两个平面相交，这就是相交的关系， a 就 叫做 r f 和 beta 的 这条交线，懂了吗？ 那么符号语言就图中说的很清楚了，那符号语言怎么来说这个公里三呢？这样来说， alpha 就是 a， 记在 alpha 内，你可以分开来写， 点 a 呢，也在 beta 这个平面内，然后你改，可以改一种方式吗？ 好，则什么？则点 a 一定在这个交线上吗？你完全可以这么来记，用来证明共线的是不是？咱一会来做题你就知道了。 来吧，来说一说共面啊。共面的话好说，你比如说几个点？三个点啊，四个点啊，五个点啊，六个点啊，他只要在同一平面内，我们就说共面。这个太好了，我们来做第一个题，利啊，立方体，正方体，一个图， 它让你证明什么呢？证明图中的 c 一 点， o 点和 m 点， m 点不用多说了，就是面对角线， c 一 点是顶点，然后 o 点的话，它是这样连接体，对角线 a e c 连啊，之后和谁啊？和这个平面交于谁的？交于这个点 o， 它是这么回事，所以我觉得这个题应当是非常简单的，但是我要给你画一个东西， 好了，没问题了吧？这个是一个平面吗？为什么是一个平面？你，你 a a 一 和 c c 一 是平行的，当然是一个平面了。那我们把这个红色的平面，呃，就记。为什么我为了方便讲解啊， 我把这个红色的平面 a a 一 c 一 c， 呃，我就记为平面平面 r 吧，可以吧？然后为了方便的话，我把另外一个要讨论的平面呢？我画一下。这个就应该用虚线了啊，挡住的线，你用虚线来画 好，那这样一个蓝色的面呢？也就是说平面 c 一 d 一 b 啊， d b c 一 吧，他写的 d b c， 那 咱就写 d b c d b c 一， 这个用什么呢？用 b t 来表示吧。 那现在我觉得这个题就非常简单了，那你看嘛，根据题目中的意思看好了。 c e o m 它是不是在平面 f 内啊？是啊，那根据题目中的意思， c e o m， 它是不是也在谁，也在贝特这个平面内呀？既然它既在贝特这个平面内，又在 f 这个平面内，那不就是在 f 和贝特的交线上吗？懂了吧，人家的交线是谁你，你写不写都行啊，你直接写就行了啊。 所以 c e o m 在 什么？在平面 r 和平面杯的交线上， 那两个平面相交的话，它只有一条交线的呀，是唯一的。所以咱们这个时候直接说 c e o m 三点共线就可以了，很简单，一道题，那么第二道题也是立方体的，这个就有一定难度了， 怎么回事呢？就立方点，就 m 点啊，是棱的中点， k、 l、 e 啊， f 啊，反正他呢？其实我想说的是啊，你画出来以后，这东西很特殊，他是个什么？这玩意是个正六边形， 就为什么这个红色部分他是一个正六边形呢？这个，这个跟他这节课内容没有关系啊，你可以自己考虑一下，咱们正一下这六个点，就是 h、 g、 f、 e、 l、 k 这六个点为什么是共面的？就在同一个平面内。 嗯，怎么正呢？来吧来吧，我来说一下啊，我们先先连接图中的 k、 f 于谁啊？于这个 he 吧。嗯，对，都连完了。嗯，那么连完之后的话，我想再连接一个什么呢？我再连接一下这个 b、 d 吧，因为我想根据平行的传递性来做一下呢。那么接下来写过程了啊，首先 e 点和 l 点都是对应的终点，那，那既然说是终点的话，咱们根据中位线的性质，所以 el 是 谁的中位线啊？它实际上是 b、 d 的 中位线。 那好，那继续来啊，又因为在什么里面？又因为在这样一个 矩形 b d， d 一 b e 中啊，在这样一个矩形中，然后这个 k f 和谁？ k f 和 b d 也是平行的关系。哎，也就是说这个图形我我写写的清楚一些吧。 b d， 它 对，它实际上是一个矩形的啊，根据正方体的性质很容易正的。那么接下来根据传递性不就可以得出来 el 和谁？ el 和 kf 是 平行的两条平行直线，是不是可以确定一个平面啊？所以咱们就记这个平面 e、 f、 k、 l。 对 啊，它是继承什么呢？继承一个平面 f 吧，为了方便的话，我给你画一下这个图红色部分啊，就是咱们的平面 f， 这个都很好说啊， 但是图中还有，我再画一个蓝色部分吧，请大家看好了， 能看出来吧？哦，这个地方也就是 k、 l、 e、 h， 它是一个蓝色的平面，它这个它也是同一平面，这个怎么去写呢？你只需要写同理就行了，因为道理确实是一样的，你找中位线，然后根据传递性嘛，同理咱们可以说明这个 k、 l、 e、 h， 然后这四个点呢， 它是确定了一个平面的，然后这个平面也就是图中这个蓝色的平面，咱们记为平面 beta， 这个清楚吧。然后接下来请大家看一下啊，这个平面 alpha 于 beta 里头都有什么？ 都有三个不共，就是三个不共线的点呀。三个点？哪三个点呀？你应该写清楚啊，三个不共线的点 都有 k 点、 l 点和 c 点，哎，三个不共性的点人家唯一确定的。所以我想说的是， alpha 与 beta 这两个面是什么面？是同一个平面，它俩是重合的状态， 理解了吧，既然重合的话，我们可以得出来的结论就是，哎，它的 h 点啊。哦，就红图中这个红色的顶点和蓝色平面的顶点都是都是在同一平面内的 h、 k、 l、 e、 f、 o， 原来它是共面点，咱们把这个面写成平面 f 不 就行了吗？ 那接下来还是同理，有人就要问了，老师，点 g 怎么说？点 g 好 说你大不了再连接一下啊，这个 g l 呗。所以同理咱们可以说明什么呢？点 g 它实际上也是在平面 f 里头的，所以咱们最终就可以说六个点 共面了，都在哪个面里头？都在平面 r 里头呗，就结束了，那么过程你自己来说。那最后咱们总结一下啊，其实你证明共面的话，有以下这两种方法，主要是哪两种呢？首先第一种就是先确定一个平面， 然后证明其他的所有的元素，比如说点啊，线啊都在平面上。然后这道题用的是间接法，先证明这些元素分别在 f 上，又在贝特上，然后再证明 f 和贝特怎么样的，这两个平面是重合的，然后就可以说明这六个点共面了，用的是第二种间接法。 那么接下来咱们就要正式讲平行的定义了，但是讲平行的你之前，你得先知道什么是平行，比如说什么平行线怎么定义的？在空间里头 也是平面内，同一平面内不相交的两条直线，他就是平行线，这是平行线的定义。 那平行公里的话，这个是什么？过直线外一点，有且只有一条直线，跟这个直线平行，这是一定的，这是一定的啊，有且只有一条直线啊，跟他平行没问题。那么还有什么？还有空间中平行线的传递性，也就说 a 平行于 b， b 平行于 c， 不 管在平面几何还是空间几何里头，我们都可以推出来 a 是 平行于直线， c 的 好，这是传递性。那么最后还有一个等角定律，这个在大体里头是可以直接用的啊，我告诉你是可以直接用的。那什么叫等角定律呢？空间中啊， 如果有两个角，它的两组边分别是平行的，那么这两个角互补或相等。但如果你再加一个性质条件， 他一个角的两边和另一另外一个角的两边除了分别平行之外，他这个方向就是射线的方向，他还是相同，那这个时候两个角就不可能互补，就只能相等了。那画个图，大概就是图中这个样子，咱们编成一道题来说一说，就已知啊， 图中 a 撇 c 撇跟 a c 平行了啊。然后还有已知图中这个 a b 撇跟 a b 也平行了。现在问你，哎，图中这个角一和角二，这这俩角平什么？它就是相等的啊。 我觉得有一点，如果在平面里头，应该不用杨老师正了吧，因为在平面里头很好正嘛，你只需要用 r 和这个角。对啊，同位角啊，然后再减去贝特这个角， 所以角一就等于角二了。所以平面几何里头肯定成立，咱们主要是研究空间几何里头。注意啊，这是一个空间几何体，你至少应该把我做完辅助线以后，这这玩意看成什么东西？看成一个三棱柱吧，斜三棱柱对不对？嗯，具体 怎么去正呢？在空间几何里头，我来说一下啊，咱们分别 什么分别？在射线上取 a 撇 e 撇等于 a e， 然后顺便呢，在射线上咱们也取这个 a 撇 d 撇等于 a d。 好 了，也就说图中，哎，这两条线段一样长， 图中这两条线段一样长。我觉得你应该知道了，你只要证明上下这两个红色的三角形，一个是 a e d， 一个是 a 撇 e 撇 d 撇全等，就可以证明角一为啥是等于角二了吧。对，咱们证明三角形全等，那问题就在于， 这玩意他他他凭什么这个 e 撇 d 撇就等于 e d 啊？来吧，好说， 首先根据题目中的要求，我 a 撇一撇不仅是平行的，现在我还我还想等了，是不是出现了一个什么平行四边形？对，这个平行四边形，咱们就写成 a 撇 a， e， e 撇。 那平四边形最大的特征是什么？哎，他的对边是平行的，所以 a a 撇平行于 e、 e 撇。那同理同理我就不说了啊，也是同理，咱们还可以说明什么 a、 a 撇是怎么样的平行于 d、 d 撇的。那么根据平行线的传递性，所以图中的 e 一撇怎么样？其实你除了平行之外，是不是并且相等啊？平行不仅具有传递性，等号更具有传递性了，所以我们直接写图中的一一撇，平行且等于 d、 d 撇。天呐，出现了一个平行四边形， e， e 撇 d 撇 d。 所以 请你告诉我，图中的 e 撇、 d 撇是不是等于一底？是呀，因为平行四边形对边就相等，所以根据 三角形边边边的判定，定离三角形 a 片、 e 片、 d 片是不是全等于三角形 a、 e、 d？ 是 啊，根据的是边边边三组边分别相等，所以是不是剩下的角 b、 a、 c 就 等于角 b 片， a 片、 e 片了？对，用的全等，所以这个题其实也不难。 那么接下来，哎，什么空间中两条直线的位置关系？两条直线位置关系的话，除了刚刚说的平行还有什么？ 还有平行其实是一种共面的关系。为什么呢？因为咱已经说过了呀，公里二的其中一个推论，如果 l 一 平行于什么？平行于 l 二，那此时 l 一 l 二肯定可以把这个平面完全给确定下来，两平行直线确定一个平面，所以就是共面的意思。那其实还有 有可能人家是相交啊，比如说 l 一 l 二怎么地相交于点 b？ 那 好，此时 l 一 l 二两条相交直线也是公理二的推论，也是可以确定唯一的平面 r 的， 这个都叫做公面，是因为它们可以确定唯一的平面。 那意面直线怎么说呢？意面直线，其实我更加推崇的是老教材上定义。以前老教材上是这么来定义的啊，比如说直线 a 和直线 b 啊，为什么是这样一个？ 比如说这个就是直线 a 吧，这个是直线 f， 那 直线 b 的 话，这样来，画好 这个的话，写成点点 m 吧，我就这样来吧。那这样来，那以前的老教材上怎么去定义这样的意面直线呢？意面直线就是既不平行又不相交的直线，就叫意面直线，这是用排除法来定义的。我觉得这定义方法不太好。真正的定义是这样的啊，你不可能找到一个平面， 让 a 和 b 都在同一平面内，哎，这个就叫异面直线。异面就是 a 和 b 永远不可能放到同一个平面内。那老款教材它的定义是这样的， 直线 b 和 r f 交与点 m 是 相交的关系，然后 a 呢，它是在这个平面 r f 里头的， 此时你还得加上一句什么？如果说此时的点 m 他 不在，什么不在直线 a 上，则我们就可以下结论了， a 与 b 这两条直线是意面直线。意面其实也是一种位置关系，你写意面也行，写意面直线也行， 清楚了吧。那好，原来是这么回事，那如何去定义一面直线角？好说，两条一面直线的夹角，不就一面直线角吗？可是一面直线没有相交的位置，怎么定义平移嘛？你比如说非常能经常借助的， 你把它平移到 a 一 b 一 的位置，其中 b 一 和 d 重合了，经常利用的是平行四边形， 对不对？平移过来，此时平移之后的相交了之后，他这个交线，他这个夹角呢？比如说角一，他就是一面直线角或者一面直线角的补角了。 嗯，因为相交之后呢，两条直线相交，它会出现四个角吗？角一角二是锐角，角三角四是钝角，那肯定角一角二才是一面直线角。我们规定它的度数，它的范围是在零到九十度之间，九十度是包含的，那九十度实际上就是垂直的状态啊，没问题。那为什么不是零度？那大家就要想了， 如果是零，如果两条直线他的夹角是零，那两条直线不就是平行，那不又变成共面直线了吗？所以一面直线你肯定是比零大，但是比九十度是小的，可以取得到九十度。注意这个细节就可以。 那么咱们看看，比如说举个例子，在立方体里头， b、 c、 e 这条棱 和 cd 这条棱，它就是永远不可能放到同一平面里头的。那这两条这个 b、 c 一 和 cd 就是 两条异面直线了，它们俩的位置关系就是异面。行了，现在来说一说直线和平面的位置关系。 首先第一种位置关系好说啦，直线就在平面 r 里头。第二种位置关系，直线 和平面 f 交于点 a。 第三种呢，咱们通常画的时候画线和面平行的时候，咱们画平，这个平面当然好画啦，就是平行四边形嘛， 那直线的话，画的跟它其中一条边平行就可以啊。那此时就是 l 平行于平面 f 了，就结束了。这个是直线于平面的这三种位置关系吧，要牢记记住这个图就可以记住这个写法。那么来看第四点， 判定定律。定律当然很重要了，如何判定直线跟平面它是互相平行的呀？文字内容是这样说的，不在同一平面内的一条直线 和平面内的一条直线平行。比如说 l 和 m， 怎么说呢？ l 它不在 r 分 内， m 它是在 f 内的。如果平面外的 l 和平面内的 m 这条直线是平行的，那么我们就可以推出来谁此时平面外的 l 就 平行于 f 了。这个就是 线面平行的这样一个判定，那里它是从低维度线线平行推到高维度线面平行的图像圆，这个画的也很好，你可以把图画上。 那么现在我们就来做题了啊，这个题挺有意思哈，但是他有些线画的太细了啊，这个我给你描粗一点，这个红色部分都是虚线哈。 首先给了你这样一个四面体吧， a、 b、 c、 d。 在 这样一个四面体里头， f 点是中点点这种点呢？中点的话，你肯定先能想到的是谁，先能想到的是中规线，这个肯定能想到啊。 嗯，那么他问什么？两个吧。第一个，如何证明 bc 平行于这个平面？那太简单了， bc 在 平面外吧， 你这样写吗？因为点 g 和点 f 分 别是中点，那根据中位线定律，这 g、 f 不 就平行于 bc 吗？但是你要写全 g、 f， 它是在平面里头的，但是呢，这个 bc 显然是不在平面 e f g 里头的，根据先面平行的判定定律，平面外的 bc 不 就平行于整个平面 e f g 了吗？这就结束了呀，这就第一问，所以第一问的话还是非常非常容易的，咱们现在来看第二问， am 啊，看好了， 他连了一下 amm 点也是终点啊， m 点也是终点。然后他现在怎么说呢？他说，请你说明一下， am 跟刚才 e f g 这个平面为什么是线面平行的？怎么去正？那其实好说，很好说的嘛，你只需要来一条辅助线 连接 m d 可以 吧？比如说跟 g f 交于点 n。 对 啊，所以第二个咱们连接 m d， 然后呢， m d 跟 g f 交于点 n， 你 可以这么写的。那么交完之后的话，根据第一问， 这个 g f 不 仅平行于谁，平行于 bc， 而且这个 g f， 哎，剩下应该不用多说了吧。其实 g f 还是终点吗？那其实就是根据什么呢？根据平行线分析呢？成比例，所以说咱们也可以说明什么，也可以说明点 n 为谁的终点，为 dm 的 终点。 不过现在你就需要看另外一个三角形了，这你要看清楚啊，在空间里头 amd 这样一个三角形。行了啊，在 amd 这个三角形中，咱们顺便连接一下谁，连接一下 这个 e n 吧。好，因为点 e 是 不是也是中点，点 n 是 不是也是中点？ 所以此时 e n 就是 中位线啊，它是谁的中位线？是 am 的 中位线。后边不用说了吧，因为 am 它不在这个平面里头，你自己写清楚。但是呢，这个 e n 它是在这个平面里头的，所以平面外的 am 就 平行于整个平面，这不就是线面平行的判定定律吗？好，写完了，那继续来看性质定律，线面平行的性质定律就是已知线面平行，咱们咱们能够推出什么来？好说？ 已知 l 和 r 和这个平面是互相平行的，那么文字型内容这样说，如果一条直线和一个平面平行，这是前提，那么经过这个直线的平面和这个平面相交好，也就是说贝特是经过 l 的， l 是 在贝特里头的， 此时 r 和贝特有一条交线 m， 所以 啊，线面平行，最后推出来的是线线平行，平均，谁平均交线？ 那怎么去写呢？哎，很好写啊，因为谁？因为 l 在 贝特里，这就是经过贝特这个平面，经过 l 的 意思， l 还平行于 r， 并且 r 跟贝特还交于直线 m， 所以 就可以说了，平行于线面平行 l 就 平行于这个交线 m 就 结束了。那么现在来看，这个立五啊，立五的话挺有意思的， 他说，首先这个 a 和 b 呢？人家是谁？是意面直线，然后我们 连接 a， c 跟平面 f 呢？去什么跟平面 f， 咱们是交于 m 点的，然后连接 b， d 交于点 n。 那么另外你要注意， a 和 b 虽然都是一面直线，但是 a 和 b 跟平面 r 和都是什么状态？都是平行的状态，也就说 a 是 平行于平面的， b 这条直线呢，也是平行于平面的。哦，原来是这么回事，那么接下来怎么办呢？好办， 你只需要连接一下就行了。连接一下谁啊？这个辅助线，说实话啊，有很多还是很难想到的。咱们连接， 我直接写了啊，连接 ad， 然后 ad 跟平面 r 交于点 q， 分 别连接一下 q、 m 和 q n 就 够了。 那么连完之后的话，我觉得咱们先看第一个三角形好不好，也就是 a、 c、 d 这样一个三角形，这个可以吧，根据谁？哎，来吧，写过程了啊。首先 因为 b 和 r 是 平行的，那么啊，还有谁？还有这个，嗯？ b 在 哪个里头啊？ b 在 这个平面 a、 c、 d 里头， 然后这个平面平面 a、 c、 d 和平面 r、 f 是 交于 m、 q 的， 这不就是通过线面平行对不对？线直线 b 和平面 和平面是什么状态啊？直线 b 和这个平面 r 是 线面平行的状态，通过线面平行就推出来线线平行了，也就是直线 b 是 平行于 m、 q 的， 没问题吧？那事实上就相当于图中的 c、 d 平行于 m、 q 了。 那接下来咱们直接写同理就行了啊，同理啊，在另外一个三角形里头，咱们看此时 a、 b 是 不是也平行于这个 r、 f 呀？那肯定也平行于交线了，剩下不用多说了吧，同理咱们也可以说明 a、 b， 它是平行于这个 q、 n 的， 没什么问题。那既然平行的话，我们先看这个红色的三角形呢？根据平行平行线分线的乘比例，根据第一组平行的话，咱们是不是可以得出来 am 比上谁？ am 比上 m c 等于 a q 比上 q、 d 啊？那同样的，根据第二个， 他可以推出谁来？可以推出来这个 b、 n 比上 n、 d， 他 是等于 a、 q 比上 q、 d 的， 那根据圈一圈二等号的传递性，最终就可以说明 am 和 mc 的 比值等于 b n 和 n、 d 的 比值。然后就结束了呀。 那么来看第三个啊，也是最后一条，最难的一条面面平行，那么面面平行，首先咱们得了解两个平面的位置关系吧， 两个平面平行就指的是图中 r 和贝特这两个平面没有公共点，咱们就借助这样的平行的符号。 那么你画两个平行平面的话，一般来说啊，咱们这个平行四边形，咱们对应边分别平行就可以了。好，就这样来表示。那么继续来，也有可能两个平面是相交的，就像图中的贝特这个平面和 f 这个平面，它是相交的，那此时交线是谁？交线是 m 吧。啊，你这改成 m 就 行了。 那么来看，怎么判定两个平面他是怎么样的？是互相平行。如果想判定 r 和 beta， 你 要注意 r 和 beta 平面怎么判定好说，平面怎么确定两条相交直线嘛？所以你的结论是， 你这个定理是，如果一个平面内两条相交直线，那么此时面面平行，比如说图中怎么写？ 你得先说明 a 和 b 相交，比如交于点 a 是 吧？然后你还得说明 a 平行于 beta， b 也平行于 beta， a 是 平面 alpha 里头的点，然后呢？哦， a 是 平面 alpha 里头的直线， b 也是平面 alpha 里头的直线。 那现在你才能说结论什么，哎，两条相交直线五推一啊，然后才两条相交直线分别平行，另外一个平面则两个平面平行，阿尔法平行，贝特就是这样来的。 那么现在我们直接来做题，也是立方体，非常简单的题，怎么来正啊？好说吧，首先看了啊，这两个平面， 你先看这个红色部分是不是一个平行四边形，你直接由正方体的性质不就行了吗？ 根据正方体的性质，图中的 a 一、 d 一 和谁和这个 bc 它是平行且相等的关系啊，所以你会得到一个平行四边形 a 一 d， 那 平行四边形得到什么结论呢？他可以首先说出来， a 一 b， 它是平行于 c 第一的。那么接下来咱们看好了啊，首先 a 一 b， 它不在哪个平面， 它不在 c 一、 b 一、 d 中吧，但是 c 一 它是在平面 c、 b 一、 d 中的。然后呢，咱们就可以说明平面外的 a 一 b 平行于平面 c、 b 一 第一了。那接下来就是同理了啊，大家看这个蓝笔部分吧，同理你 a， 嗯， a 一 d 吧， 它也是平行于平面 c、 b 一 第一的。你得说明你光有平行不行，你还得说明什么？还得说明 a 一 b 和 a 一 交于点 a 一 这是相交哦，三个几推几推一来着， 它是有五推一的呀，你还得继续来。说好了，继续来啊，两条相交直线，嗯，包括这个 a、 e、 b， 然后包括这个 a、 e、 d， 它在哪个平面里头？它在平面 a、 e、 b、 d 里头呗。 一开始的话，你一定要写的详细一些，所以误推一吧。根据一二三、四五，咱们就可以说明这两个平面分别是 a、 e、 b、 d 就 平行于另外一个 平面 c、 b、 e、 d， 然后就结束了。对，一个平面里头，两条相交直线分别平行于另外一个平面，则面面平行。那最后一个就是两个平面它平行的性质定律了。 那怎么说呢？首先是这样的文字内容，如果两个平行平面同时于第三个平面相交，那么他们的交线是平行的，你看阿尔卑特平行吧，但是跟第三个平面分别交于 a 和 b？ 对 啊，因为阿尔卑特没有交线，就是没有交点吧？阿尔卑特 既然是平行的，那么阿尔卑特就不可能有交点，那同时 a 和 b 这两条直线分别在 alpha 和 beta 里头，所以此时 a 和 b 也不会相交，而且是同一个平面内互不相交，同一个平面内永远没有交点。你说这样的两条直线是不是平行线？这就是平行线的定义啊，所以这个还是好说的，通过面面平行推出来最终的两个交线平行，这就是面面平行的性质定律。 那么还是做一道题，这个题应该不用多说吧，跟刚才有一道例题是不是非常像啊，我们只需要过这个点，然后连接 af 吧，比如说交于哪个点呢？嗯，注意啊，咱这个地方得画成这个虚线啊。 对，然后就交于这个 a、 b、 c 的 e、 f， g 吧，连接 b， g， 连接 e， g， 对，这样来不就可以了吗？对，那么现在看了他说的什么， 咱刚才已经证过了， ab 比上 bc， 他 肯定是等于 d， e 比上 ef 的， 因为他们都等于谁都等于 ag 比上 g、 f 啊，是不是都是通过这样的 a， f， beta， gamma 分 别平行吧，所以这些交线啊，比如说好 b， g 这条线和 c、 f 这条线啊，它就是平行线。然后呢，因为 alpha， beta 平行，所以此时的 a、 d 和 g、 e 也平行，你就分别来不就行了吗？根据平行，然后等比例分线段，就得到这样一个结论了。那好， 咱们看数字是多少？六比二等于 e， d 比上三吧，所以咱们很快就算出来了， e、 d 等于几， e、 d 等于九。过程的话请你自己写吧，最后也不难的啊。那么今天我们就讲到这，分享课堂知识，感受数学之美。我是范老师，下节课再见。