@二次函数

来吧，各位小伙伴，今天来给大家分享二五年武汉市调的二次函数与参数计算的压轴题。如图，抛物线为 y， 等于四分之一 x 平方减 x 减三，交 x 轴于 ab， 两点交 y 轴于 c 点 平移抛物线，使它的顶点为零。一。如图二， r 为 y 轴上的一个定点， 以点 r 为直角的顶点作直角三角形 r， s、 t， 使得顶点为 s， t 分 别在 x 轴和抛物线上。若直角三角形 r、 s、 t 在 变化的过程中，直线 st 与抛物线始终有唯一的公共点，要求 r 点的坐标平一之后的抛物线为 y 等于四分之一 x 平方加上一。 接下来我们就要根据这个角 trs 等于九十度和直线 st 与抛线始终有唯一的一个公共点来解析。那我们就设 r 点的坐标为零 r， t 的 坐标为 t， 四分之一 t 的 平方加上一。设直线 ts 为 y 等于 k， x 加上 b。 接下来我们就要根据题目中的几何条件， 将它转化为线段的关系，再转化为点坐标之间的关系来解析。已知直线 st 与抛物线有唯一的一个公共点 t 点，我们就可以连立直线 ts 与抛物线，得到了下面的一个一元 二次方程，这个一元二次方程有唯一的一个公共点 t 点，那么 x 一 等于 s， 二等于 t， 所以 x 一 加上 x， 二等于 t， 加上 t 等于四 k， x 乘以 x 二等于 t， 乘以 t 等于四，减去四 b。 根据维达定律，根与系数的关系， k 等于 二分之 t， b 等于一，减去四分之 t 的 平方，所以直线 s， t 为 y 等于二分之 t， x 加上一，减去四分之 t， 所以 s 点的坐标为二分之 t 减去 t， 分 之二零，求出了 s 点的坐标。这道题目中还有一个几何条件我们还没有用到，叫 trs 等于九十度。我们这个直角靠在 y 轴上，我们要根据这个几何条件来找点坐标值来解题。 过 t 点作 y 轴的垂线，垂足为 m 点交 t， m， r 角 r o， s 角 tr s 等于九十度。所以三角形 m， r， t 相似于三角形 o， s， t 有 相似就有线段之间的比例关系， m， t 比上 mr 等于 r， o 比上 os， 进而可以用 r 点、 t 点和 s 点来表示出现段 m， t， m， r， r， o 和 os 的 线段的长度， 我们就可以得到一个关于 t 和 r 的 方程。整理这个含 tr 的 关系式，我们将含 t 的 式子 合并到一起，我们就可以得到下面的一个关系式，括号二分之一减去四分之一 r， 反括号乘以 t 的 平方等于二，加上 r 减去 r 的 平方。 题目说直角三角形 r， s， t。 在 变化的过程中，直线 s， t 与抛线始终有唯一的一个公共点，也即是说 t 在 变化的过程中，这个等式横成立， 那么只能是 t 的 平方的系数为零，以及二加上 r 减二等于零。 对于 t， 一 等于任何值，上述的式子横乘以只能是二分之一减四分之一， r 等于零，并且二加上 r 减二的平方等于零，可以解得 r 等于二， 所以 r 点的坐标为零。二，这道二次函数与参数计算的压轴题我们就搞定。了 解这道题目，我们要根据题目中的几何条件来找线段之间的关系，再根据点的坐标来表示线段来找点坐标之间的关系来解析。

要想数学好，就跟子月跑。同学你好，我是数学王子叶老师，今天我们一起来看一看二次函数法调节等差数列求和的问题。其实啊，关于呢二次函数法啊，调节等差数列，他呢还有另外一个名字啊，叫做呢，我们的头砍半和不变。 其实啊，应用的呢，就是在我们等差数列当中的通项公式。 通项公式啊，其实很简单，我们说啊，对于呢，这个 a， n 呢，应该等于首项 a 一 再加上一个，哎， n 减一倍得 d， 那 如果把它表示成为呢我们的函数形式，因为这个是 n 嘛啊，它呢是关于 n 的 依次函数 啊，那应该呢，也就等于谁啊，等于 d 倍的 n 再加上一个 a， e 减 d， 所以 啊，其实呢，我们得到了 a n 啊，它其实是这样的一个依次函数的类型 啊，当然它是一次函数吗？不是，是我们呀，这个函数上面的一些散点，哎，围绕着它的一个相应的理解啊，断点型的函数， 那我们呀，对于呢前一项和呢我们来做表达，其实也是一样的，那其中呢 s n 应该等于谁呢？等于 n 倍的 a 一， 哎，再加上一个二分之 n， 乘 n 减一倍得 d， 那 如果啊，把它呢做一个打开，这呢就是 n 倍的 a 一， 再加上一个，这呢是 n 方 d， 也就是说呀，二分之 d 呢，乘一个 n 方，这呢是一个负 n d 啊，那这呢再减去一个二分之 d 呢乘以 n， 所以 啊，也就应该有呢 s， n 前项和它呢是谁呀？二分之 d n 方啊，这呢是二分之 d， 乘一个 n 方，再加上一个，里边 a 一 减二分之 d 啊，这 a 一 减一个二分之 d 乘以 n， 所以啊，请你会发现呢，这个呢是 an， 这个呀是 sn， 它俩之间啊，关于函数上面有一些感觉，第一个我们知道呢，前面这是一个一次函数，这是通向公式哎，长成这样子的形态。 而后边这个 sn 呢，是断点型的二次函数，当然这个二次函数啊，后边呢，它没有我们的尾巴，所以啊，它其实呢，就是一个 n 方 n 啊，这样子的基本结构。 所以啊，大家呢，写出来也可以把它写为 a n 方呢，再加上一个 b n， 让 a n 方加 b n， 那 同时啊，在这个位置当中啊，我们能够发现，第一个系数，原本呢是 d， 后边啊就是二分之 d， 第二个系数啊，这呢是 a 一 减 d， 它俩之间的和呢，就是 a 一， 那同样道理，它俩之间的和也是 a 一， 所以啊，如果呢，给了大家我们的 a n 来求 s n， 或者给了 s n 呢来求 a n， 哎，其实啊，可以直接利用大招秒杀啊，就完成了，我们呀，叫做呢头砍半 和不变啊和不变，也就是说，我们把呢第一个系数啊砍半，那总体的和不变就能够得到了。比如说，举一个简单的例子给了大家呢， a n 呢是二 n 减一，那 s n 是 谁呢？对不对？这原本呢是二，那它呢？首先头砍半，那原本是二砍为一， 那我们就得到了 n 方啊，因为这边是几 n 方加几 n 的 形式吗？和不变呢，原来啊，二呢，减一是一，那这呢一加零是一，所以他呢得加上一个零 n， 因为一加零是一嘛， 所以啊，他俩的系数和是一致的，都是一啊，那其实啊，这就是 s n 等于 n 方，你往里代一代算，其实也是一样， 朋友们，再来一个，比如说给你 a n 呢，等于三 n 再加四，我们就随便写了，那 s n 等于谁呢？头砍慢，原本呢是三 n， 现在变成二分之三 n 方，你看，头砍慢核不变，原来啊，三加四呢是七，现在呢，二分之三加几是七呢？得加多少是二分之十四。 所以啊，那加一个二分之十一，这是二分之十四，这不也就是七了吗？所以其实啊，也就得到了啊，我们呢，头看半核不变，所以啊，这就是围绕着我们的 a n 与 s n 之间的关系啊，来做求解，大家求解的时候啊，就会非常的明快。 那比如我们来简单啊，瞅一瞅啊，题干当中啊，给了我们一个 a n 向核 a 一 加 a 二，一直呢加到我们的 a n， 得到了这样一个啊，跟二次相关的形式 啊。那其实我们既然已经知道了呢，对于 a n 呢，它是四 n 呢，再减二分之五，所以啊，我们对于那前一项和 s n 那 四呢，除以二就应该是二 n 方，对不对？因为这是头砍半嘛， 核不变呢，那我们来看一看，四减去一个二分之五，应该呢也就等于二分之三，那二呢，再怎么样能够得到二分之三呢？二减二分之一呢，是二分之三，所以它呢，就应该减去一个二分之一 n。 那于是啊，我们把呢这个它俩之间的关系啊，就找到了，那一个呢，小 a 呢，是等于二的一个啊，小 b 呢是等于负的二分之一的，它俩之间乘到一起，是不是应该就是负一啊？ 所以其实啊，给了我们呢，在等差竖列的 a n 来求 s n， 求起来应该是非常之快的。当然，反过来求啊，也依然应该很快。比如说给了你 s n 的 来求 a n， 那 其实呢，就是头翻倍和不变， 对吧？比如说，随便给你一个式子， s n 呢，等于谁呢？等于俺们的 n 方呢，再加二 n， 可以 吧，你就随便写嘛。 那于是俺们来求 a n， 那 a n 怎么求？原本啊，是一翻一倍，应该就变成了二 n， 那原本呢，一加二是三，那现在二加一呢，就是三，所以啊，也就能够得到 a n 呢，到底是谁了？嗯，同样道理，比如说他呢，也给了你一个 s n， 那 他呢，是二 n 方减二分之一 n， 那 a n 是 谁啊？把二呢翻倍变成四 n， 那 他俩之间的和不变，二减二分之一呢，是二分之三， 四减二分之五，它也是二分之三，那这个求起来就会非常之快。所以啊，围绕着呢，我们在函数特性当中，能够快速秒杀等差数列的啊，我们 a n 与 s n 的 关系就非常厉害了。关于啊，二次函数法调节等差数列求和类问题，我们就讲到这里。

我们已经学习过哪些函数？正比例函数、正比例函数。正比例函数和一次函数有什么关系？有的人说正比例函数是特殊的一次函数，对吗？我们以前学过一次函数的图像是什么？ 一条直线，如果是特殊的一次函数，正比例函数的图像是什么？会不会非常好？那么再回一下我们最近学习过的函数 党比例函数，它的图像又是什么？两条曲线可以简称为双曲线，对吧？好，我们是如何把一个一三数分为几步呢？三步，第一步干嘛？我请同学回答。 李子耀，你先回答一下，第一步，列表，第二步，点，最后连线。好，请坐。李子航，我想问一下你这个列表 有没有什么讲究？ x 的 曲子今天要取啊，先整数或者是好算的数，核心思想是好算，还有他，所以家里有整的，也要有负的，要有整的，要有负的，太单一是吧？ 好点，这个大我不担心大家，我们建立好平面直角坐标记吧，编好表，这样点描好。最后连线一次函数，我们是怎样把它的点进行连线？那条直线 精确一点应该是说一条光滑的，一条平滑的曲线，只不过这条平滑曲线刚好是直的，对吧？ 那大家看啊，一次函数的图像上有多少个点？一般情况下数个点。那又请问大家， 我们知道了一次函数分这几步画，请问如果我要画二次函数 y 等于四分之一倍 x 平方的图像，可不可以按照这个步骤来画？可以， 也是第一步列表，第二步了解再进行连线。但是我们不清楚他的图像到底是怎样，没有什么参照物，所以 老师用几何画板给大家展示一下如何画 y 等于四分之一倍 x 平方的图像。好，我们看到几何画板就是 y 等于四分之一倍 x 平方，它的表达是第一步叫啥列表，大家注意看老师的 s 值取的都是些什么数， 整数，负六，负五，负四，负三，负二，负一零一二，是不是都是一些整数，并且我们看有正数对不对？有负数还有零，为了避免一些偶然，大家看 也也跟着表一起描好了，对不对？下一步是干嘛？列表描点再连线，但是注意我们连线的时候是怎么连，是这样连吗？一左一右，一左一右吗？ 还是按顺序连？按顺序应该说最好是从左到右，是不是依次连接，并且要用一条 光滑的曲线。大家注意看画的时候稍微要画的有一点好看一点，不要太耿直，要画的很直，老师已经给大家展示一下，那现在请大家拿出我们刚才坐标纸和分配任务，一共大家看黑板上三个函数表达是 一二三小组画第一个注五六，第二个，最后两个小组画第三个，大家可以动手，画完的同学可以举手示意，我再给大家一分钟 都差不多。大家看一下他画的怎么样，我找同学评价一下。先来评价一下扣手，杨木同学的画的怎么样？有人自愿吗？约好 这个表格是没有问题的，但是他发错，这张试卷的问题就是他没有标 x y 圆点也没有标，还有他连线的时候上面那两个地方没有出头， 哪两个地方就是你上来好不好？上来给大家演示一下，如果是你的怎么改，这上面的要求也是可以直接画，还有哪些地方需要修改，你可以一定改，你觉得还有哪里需要改？当时你你想到是吗？好，写错，因为他说的 好。第一，坐标 x， y 以及圆点没标。其次，这两个地方没有出头，我们知道函数 y 等于二倍 s 平方上的点有多少个，有多少个？无数个， 所以你要出头，你不是到这里就截止了。其次，大家看它的这个表格，这里有没有什么问题？表格处有没有什么问题？ 哪里没有打省略号？前面这里吗？还有别的地方吗？有。最后，为什么要打省略号？因为有无数个点在这个函数上非常好。你介绍一个，你看一下黄艳涛的，你们当老师，你们来点评，是黄艳涛同学，谁来点评？ 有没有同学直接来点，让我看看之后举手，之后你来直接上一下，好吧，可以直接到上面 p。 首先，第一个没有标远点，第二个没有标单位长度，比如说一二三有负一，这个 二次函数的图像画的太直了，应该要稍微光滑一点，一点要稍微光滑一点。 x y 没有标省略号，应该后面有省略号，前面也要有省略号。 你说好大学他张总，他张总，他说他是一个很严谨的人，他第一个说了要标单位长度，对吧？其次，他这个同学说 要圆润一点对不对？不能够太耿直了。其次，我们上一个同学的问题就是没有标省略号列表的时候报的是 y 等于 x 平方。好，我们已经讲了两种函数的，还有哪一组的没有被老师抽中这一组是吧？ 大家一起看看陈子枫同学的，这是表，同学很善于学习。我们一讲到省略号这个问题，马上补充好了， 大家看表没有问题了，对吗？再看这个图像图画的怎么样？错头没有错了，也相对来说还比较圆润，对不对？没有说很直，你看还 分数，是一开始就写了单位长度，还是刚刚补上的？一开始就写了，很严谨，反应也很迅速。刚刚让大家分组画了三个函数， 老师也给大家展示了一个函数，现在我们把这四个函数放在同一平面中看一看。来我们一个展示，先展示我刚开始画的 y 等于四分之一 v s 平方， 他的图像，另外三个依次展示，为了区分，老师用各种不同的颜色进行标出来。然后我们一起看一下这几个函数图像，他们有什么共同点，包括我们的几何变换，他们有哪些共同点？ 有谁愿意来说一说？先看，思考一下，然后再和大家分享一下你的想法。吴雨欣，迫不及待了。吴雨欣，请你说一说他们有什么共同点？我发现他们都开口向上。 我请问大家，这几条函数的图像在观察都是什么？这几条函数的图像都是什么？他的图像是什么？ 有同学说很精准，是抛物线，但抛物线其实就是一种曲线，对吗？其次，他的图像是不是封闭 的？是封闭，是开个口的像，并且开口的方向是向右对侧。 关于摆轴，对侧摆轴是他们的对称轴的车还有吗？ 是不是都经过原点？你看，从图像上看，都是经过原点，实在不行，我们从数的角度将 x 等于零，带入 y 都等于谁？是不都等于零？两个角度看，都是经过原点，还有吗？ 向上的点除了圆点外都在第一二线，除圆点外都在第一二象限。哎，为什么圆点要单独说出来？圆点不在一二象限吗？他不在任何一个象限是吧？我们以前说过，竖轴上的点是不是不在任何一个象限？ 非常好，还有吗？有最低点，最低点。那最低点的坐标是什么？有没有最高？为什么没有最高点？开口向上，他没有最高点，开口向上就没有最高点。 哎，我怎么感觉好像这个点是 y 等于二百二十平方，他的函数的最高点不是吗？他是已经超过了他的这个箭头，所以说他是无限向上延伸的，他还可以无限延伸，是吧？向上，所以没有最高点，非常好。有没有谁想要补充的？ 有没有什么想要补充的？那就是大家都还是比较认可的一些同学，非常好啊。来，我们刚刚我们是展示了 四个函数图像的一个共同点，他们都是满足 y 等于 a 对 x 平方 a 大 于零这种形式对吗？并且满足这种形式的二次函数有多少个？无数个，如果我要知道它性质，难道我要花无数个函数来研究吗？ 不现实对不对？第一精力不允许，第二黑板也不允许，所以我们看能不能根据这四个函数图像来推一推这一类函数，它有哪些性质？大家请看到我们的表格， 以小组为单位，两分钟时间讨论一下，并且到时候派代表进行发言，稍微一下，稍微补充一下这个所谓的顶点坐标，我稍微解释一下。顶点，我们说顶点应该指的是函数图像与 对称轴它的交点，稍微解释一下，所谓的顶点是函数图像与对称轴的交点，明白吗？嗯， 好，有没有哪一组可以分享一下？有，能分享同学吗？你说你上来说，不用让别的，只要说就可以了，你这个时候你就是老师。 首先开个风扇都是向上的对称轴都是以 y 轴为对称轴，零点坐标都是终点线，就是当 x 小 于零时， y 是 随 x 的 增大而尖叫， 然后当 x 二零零十 y x x 二十二，非常好，大家觉得他说的对吗？对，非常好，只是有一点我不明白，这个增减性这么复杂吗？我记得以前我们学过第一次，函数增减性是分几类， 是不两类，一类要么是 x 越大， y 是 越大，要么是 x 越大， y 是 越小。但我们一起观察这几个二次函数它的图像， 它的增减性， y 是 不是一味的随着 s 增大而增大？ y 是 不是一味的随着 s 增大而减小？也不是。它是以谁为分界线，以对称轴 y 轴，我们先蒙住这一边，看 y 轴的左侧 x 越大， y 的 值是越什么？向下 再抗对称轴右边 x 越大， y 是 越大，所以他应该是以 y 轴为对称轴，以 y 轴为界限，对吗？这两句话来讲 好，如果你想快速的记住它，大家觉得我们该怎么办？ 快速记住函数的分解性，我拿的每次都要记。在 y 轴左侧 y 随 s 增大减小。在 y 轴右侧 y 随 s 增大增大吗？我们最好的方法是什么？首先说左降右升，这是一个很好的方法。还有 我既然知道二次函数的一个开口方向对不对，又知道它的对称轴，它是关于 y 轴对称，还知道它的顶点坐标是零零， 我可不可以先在桃纸上将它的简图画出，我根据图像我去分析它的分解性，可以吗？可以结合图像，因为我们知道素心结合是数学中一个很重要的东西。 好，一起往出一个表格，开口方向是向向上，对上轴为掰轴，零点坐标零点零零都好，零分解性，我们说可以简称为左加右神， 如果要精准的写，就是要把我们两句话写出来。好，我们再看。讲完这四个函数图像的相同点，我们看一下他们有何不同点，但是他们有什么不同？开口大小不同，还有别的吗？什么不同？ 名字不同，颜色不同，那我也可以把它调成相同的哟。 a 的 值不同，我只说函数图像，不说表达式，从图像上看，有同学说这个 a 值不同，我把表达式都蒙住，把颜色全部换成一样的黑色，请问他们最主要是什么不同？这几个函数图像开口大小不同，也就开口程度不同， 那么到底谁决定开口大小，谁导致他们的开口大小不一样？ a 值，为什么？我说你看这些表达是都有 s 平方，左边都是 y， 中间都是等号，不就只剩个 a 不 一样了吗？对不对？已经没有什么能够影响他的了， 是吧？我们一起来验证一下你情况吧，到底是不是这个 a 在 作怪？来，我们看这是图像， y 等于 a b s 平方，此时 a 是 零点八，这个时候我将 a 进行放大，大家注意看 a 是 不是越来越大， a 越大，他的开口是越来越小。小，再往下拉， a 越小，开口是越来越大。 所以 a 到底怎样影响这一函数的开口大小？ a 越大， a 越大，开口越小，反过来就是 a 越小，开口越大，那么我们的心智就可以加一格了。我说的 a 越大，开口越小， 并且我问大家，继续回到这里，我的 a 不 管他怎么变，函数的开口都是向上的， 是吗？把我拉下来也是吗？你看这个时候 a 是 负数开回去变成什么了？是向下了，所以 a 的 符号决定这一类抛物线的什么开口方向，而 a 的 数值，它的 a 的 大小 就是，只要当 a 大 于零是对吗？ a 越大，开口是越小。好，那么我们这么想，这一类函数只要 a 大 于零，他的开口方就是向上。反过来说，如果他的开口方向是向上，那么 a 的 范围是什么？是不是 a 大 于零？ 非常好，我们看一道例题，一起解决这个问题。经过我们刚刚的总结一些性质，你能否用这些性质把这个题干掉，我找同学回答一下。你上，这和 m 大 于零， y 在 左侧， y 在 什么？左侧在对称轴左侧， y x x 等于小， 你是我，我请问一下刚才的常乐，这个外孙的增大了，减小，你说这个是背下来的心字吗？不是，那是怎么得到的？根据图像，是不是？根据图像比背下来好像简单一些？继续。

这道题就没刚才那道题那么简单了，我带大家读一下啊。坐标系里面有一个点 a 是 这样子，有个点 b 是 这样子， 然后有一个抛物线， a s 平方加 b， s 加 c， 它只知道 a 大 于零，它其他都不知道，那么且位于就是 a 和 b， 它位于对称轴的两侧，就是 ab。 关于，呃，抛物线的对称轴，它不是在同一边的，它是在两侧的。 ok， 我们可以理解为这样子，用图形理解一下啊，开口向上啊， a 大 于零，这个是对称轴，我们让对称轴 x 等于 t， 就是 一个 a 是 在这里，一个 b 是 在这里，随便在哪个位置都可以，只要在两边。好，现在说 c 点， 它也是在这个抛物线上的。那么对于 c 点的横坐标，在三大于三小于四的时候 都有。 m 大 于 p 大 于 n， 则问对称轴 t 的 曲值范围啊，这个 t 是 指对称轴啊， 来，对称轴，我这里补一个啊， 问的是对象所的取次范围， ok， 来，啥意思？首先，我的 a， 它指横坐标是知道的，只是重坐标不知道，因为我的解析式是不确定的。 b 呢？横坐标也是知道的，只是重坐标不知道。 现在还有一个 c 点，它的横坐标在三到四之间。来，同学们，告诉我，它是在 b 的 下面还是上面？ 显然是在上面的，因为你的坐标轴是这样往往右边增大的嘛，它既然在三到四的时候，它肯定要在 boy 的 上面， c 大 概在这里，我们称之为 x 零 o p 没毛病吧，就我大概的位置标出来了，但现在它要求的是什么东西？ m 大 于 p 大 于 n， m 是 a 的 重坐标， p 是 c 的 重坐标， boys， 呃， n 是 boy 的 重坐标。 首先， p 大 于 n 这个东西，因为 c 是 在 boy 的 右边的开口向上情况下，那 c 的 重坐标肯定是大于 boy 的 重坐标，这毫无疑问的，这个肯定成立。问题是，我得让 m 也大于 p， 就是 a 的 重坐标要大于 c 的 重坐标。问，此时我的 t 的 取之范围无非就是这样子啊，那应该怎么样？ 首先， a 要比 c 高才行吧。我在这里，你看这个图里面位置就不太对，是吧？来，我做个水平， 我这个水平，这个是关于 c 的， 关于对称轴的，这个点叫 c 撇吧，它是不是关于二 t 减 x 零到 p， 它的坐标啊？高度一样嘛？ 这个点啊，这个点跟这个点好，我要比它高，是意味着 a 点在这里， 我如何才能满足这个形状？同学们，告诉我，我只有满足这个形状，我才能保证 a 在 c 的 上面嘛，也就 a， 我 要在 c 的 对称点的左边，它的横坐标我才能够在上面。就只是我要满足这个 a c b 这种状态，我的 t 取值范围 应该怎么做？糊涂中二分之三到三是吧？怎么做？由于二次函数它是具备对称性的， 它关于它两个，关于对称轴对称，它们俩高度一样，所以如果要让 a 比 c 更高的话，意味着什么？意味着 c 点离对称轴的距离，它比 a 点离对称轴的距离要近还是远？同学们， 如果啊，在这个开口向上，因为 a 大 于零嘛，开口向上的情况下，我要 a 的 中坐标比 c 高，这个叫，这个叫 l 一 吧，这个叫 l 二。线段长度啊， l 二和 l 一 谁更长？同学们， 显然要 l 二比它更长，它才会在它上面吧，是吧？也就是说对称轴要离 c 点的横坐标更近。 ok， 那 是不是答案就差不多出来了，如何才叫离离它更近啊？首先要找到 a 和 c 的 中间位置，你比它的中间位置往右一点，不就是离 c 更近？那么 a 和 c 的 中间位置是在哪里？嗯， 是在哪里啊？怎么找 a 和 c 的 中间位置？想一想， 不要忘了啊， c 点的横坐标是这个范围，我要一直都有存在大于它，是不是我要拿四来作为参考标准来呀？也就是说，哎，我们加长一点啊， 三到四相当于我在这一段上两个端点取不了，就我的 c 在 这一段移动， 这个是三吗？三到四在这地方我要永远比他大，是不是我要在四的上面，所以算对称轴的？算他们 c 和 a 的 对称的时候，我要用四来算，用这个点来算，所以就负一加上四除以二等于二分之三， 这个 x 等于二分之三，就是 a 和 c 水平距离的中间部分。那么我刚刚说了，对称轴要离它更近，所以我的 t 要怎么样？肯定要大于它才行，是吗？肯定大于它才行来。问题来了，我能不能等于 我要在这个他们的水平距离中间的右边，他们的水平距离中间就是二分之三，我能不能刚好在中间？这个对称轴，同学们，能吗？我是否能刚好在中间？ 能，为什么？因为我的 c 点是取不到两头的， 他刚好在中间的时候对称轴啊，只不过说我的 a 在 负一的时候，我的 a 啊跟里等于四的时候持平而已，但我的 c 是 到不了四这里的，所以他可以取等号啊，这里可以取等号。然后呢？ 是不是这样就完事了？不对啊，他还有一个小于三，为什么？因为他还有这句话， a 和 b 位于对称轴的两侧， 也是对称轴不能越过 b， b 在 对称轴右侧才能越，所以它要小于三。最后答案就是这个清楚吧，整道题考的区间最直，但是它考的基础知识点是什么？二次函数的对称性，这是它考的基础知识点， 这个掌握透了。其实做这一类题还是蛮简单的，如果对称性这个东西掌握透，掌握不透，你根本就判断不出来，我 a 的 中轴标比 c 大 的时候，我该怎么样？你这个判断不出来，你这道题就很难做了。

今天这期视频亮带你系统盘点二次函数压住最全的高频考题啊，这个就是我们初中阶段二次函数能考到的所有压住题的类型了。你像线段最值，面积最值，我们之前讲过了， 像等腰存在性问题，直角存在性，包括我们平行四边形存在性问题，我们之前也讲过了，所以今天我们主要把这个漏洞补上，也就是我们来讲区间最值问题，全国新增的百分之二十多的地区中考考的压轴题都是它，剩下有哪些是大家比较想听的，也可以在我们弹幕里面敲出来，亮亮火速更新。 好，我们拿出一道比较常规的区间最值问题啊。首先告诉你，抛物线的 y 与 x 方加 b， x 加 c， 那 么与 x 轴交于 a 点和 c 点， a 点坐标我告诉你是负一零的啊，与 y 轴交于 b 点，零负三，这个点是零 负三的第一问呢，比较简单，对吧？让我们求抛物线的解析式和 c 点坐标，你只要把这两个点带入，把这两个点带入，我们一定给求出来，也就 y 等于 x 方减二， x 减三。好，所以我们知道 c 点坐标呢，三离。 咱们今天是来学压轴题的，那第二问根本就没资格啊，我们直接来看这个题的最后一问。第三问 好，现在告诉你 x 在 某一个范围里面啊，说了相对每一个数，对吧？因为这里 n， 咱们也不知道告诉你，在这个范围里面呢，我们整个二次函数，它的最大值是 s， 能取到的最小值呢是 t， 当我的最大值减去最小值，也就 s 减 t 等于四的时候，让我们直接写出 n 的 值。 首先你得知道什么叫做区间最值，比方说现在我们给出一个二次函数，在某个范围里面，让求我的最大值，最小值，对吧？像这种问题，我们就把它叫做区间最值问题。那么对于所有的区间最值问题，我们永远是开过山车，就是开火车去对待它就可以了。 比方说你把二次函数的轨迹呢，这一段区间呢？把它当做我们的过山车，所以它总共有四种情况。第一种情况，也就是我们这个过山车呢，刚进入整个轨道里面，也就是 m 在 这里，对吧？ 我们的 n 在 这里。那么此时你会发现我们在哪取的最大角值呢？很明显在这里取的最大值，在这里取的最小值。第二种情况呢，就是刚经过我们的对正轴了，就是 m 在 这里， n 在 这里，对吧？最大值呢？依然在这里取到最小值呢？它不再是 n 的， 它在顶点位置取的最小值，对吧？好。第三种情况呢就是，哎，我们即将离开我们的对准轴， m 在 这里， n 在 这里，此时你可发现在这里取的最大值，在顶点处取的最小值，对吧？ 还有我们最后一种情况，也是我们这个车呢，即将跑出去了啊，就是我们 m 在 这里， n 在 这里，对吧？所以我们知道很明显在这里取的最大值，在这里取的最小值。我不管你是多么复杂的区间最值问题，我们只要分这四种情况讨论，我们百分百都可以轻松搞定。 当我们知道开过山车，此时这个题就会变得特别简单了。首先你观察这个取值范围，你会发现呐，大家都有 r n， 对 吧？ 我是二 n 加一，你是二 n 减一，我比你大几个单位，大两个单位，就是这个曲值范围的长度为二。首先我们知道整个抛物线的对正轴呢，是 x 等于一，那么接下来我们开始开过山车，那么第一种情况呢，就是刚进入轨道，整个车子呢，完全在对正轴的左边。 好，我们知道这个呢，就是二 n 减一。好，那这个呢，就是我们的二 n 加一，在这里取的最大值，在这里取的最小值。那我的最大值怎么求呢？我们只需要把二 n 减一带进去就可以了，也就是二 n 减一的平方减去二倍的，我们的二 n 减一，我们再减三， 那最终我们可以化简。等于四 n 的 平方减四 n， 再加上一，减去四 n， 再加上二，再减去三，最终你会发现，等于四 n 的 平方减八 n， 所以 也就是当 x 等于二 n 减一，我们的 y 一定等于四 n 的 平方减八 n， 那我的最小值呢？我只要把二 n 加一带进去就可以了，也就是二 n 加一的平方减去二倍的二 n 加一，再减三，所以最终我们求出来等于四 n 的 平方加上四 n 加一，再减四， n 减二减三， 所以最终平方等于四 n 的 平方减四。所以我们知道第一种情况，最大值减最小值。题目中告诉你等于四吗？这个是最大，这是最小，所以用上面的减下面的，那我们知道四 n 方减四方没了， 用负八 n 减去它呢，也就是负八 n 加上四高等于你的四，对吧？哦，所以平方我们求出 n 等于几， n 等于零， 那我们求完之后注意啊，我们还需要检验，因为你是把整个火车这个取值范围完全放在对称轴的左边来进行处理的。那你需要验证一下，当 n 等于零的时候，你这个火车是不是真的在对称轴的左边呢？把零带进去，这个是负一， 把零带进去，这个是一对，正轴刚好是一对吧，哦，也就是此时我们这个火车大概长这个样子，对不对？好，请问他满不满足我们的条件呢？一个是负一在这里，一个一呢在这里，很明显，负一在左边的确最大，你这个点移移移移到对正轴上，符不符合？ 符合，对吧？虽然它在对正轴上并不是完全在对正轴的左边，但是你会发现，依然在这里取得最大值，依然在我们这里，怎么样呢？取得最小值，对吧？所以它符合题。那么第二种呢，就是我们这个火车刚经过对正轴。好，此时呢，我们左边这个呢，是二 n 减一， 以及这个点的横坐标呢，是我们的二 n 加一，那么此时你会发现在哪取得最大值？很明显，在二 n 减一这取得最大值顶点处取得最小值 x 等于一的时候，取得最小值，对吧？最大值减最小值等于四，最大值二 n 减一 带进去，我们已经表示出来了，所以接下来我们只要表示 x 等于一所对应的 y 值就可以了。好，那么当 x 等于一的时候呢，把这个一带进去，一减二减三，所以我们可以求出来， y 等于负四， 所以我们知道第二种情况，我的最大值呢，是二 n 减一这里取的，所以最大值等于这么多。好，我的最小值呢，在一，这里取的就是最小值，等于这么多，二者相减，等于四， 四 n 的 平方减八 n， 我 减去你加上四，等于你最终的四，对吧？四 n 的 平方减八 n 呢，等于零，我们提个四 n 出来，那也就是怎么样？ n 减二等于零，第一个 n 等于零，第二个 n 呢？等于二，其实这个零我们刚才已经检验过了，对吧？可以，所以接下来我们只需要验证二行不行呢？ 行不行怎么去描述？就是你要知道，我是刚经过对准轴的，对吧？在左端点取的最大值，在我们顶点取的最小值，你看一下二的时候，是不是像这样的一个取值情况就可以了，你把二带进去，他是不是三呀？ 你把二带去，它等于几？是不是五呀？哦，三到五之间的三，会不会在对正轴的左边呢？不会，对吧？不符合 t， 哎，这个舍掉，而这个呢，跟我们刚才一样的重复了，所以我们就不再管它了，也就目前我们求出来的依然是 n 等于零。 好，接下来我们考虑第三种情况，即将离开对等轴，也就是这个端点呢，横坐标是二 n 减一，这个端点的横坐标呢？二 n 加一，很明显，在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这里取得最小值，对吧？就是 x 等于一，取得最小值。 好，那么接下来第三种情况，我们去计算，你最大值对应的呢？二 n 加一，把二 n 加一带进去，我们已经求出来，哎，等于这么多，这个就是我们最大值， 最小值呢？一所对应的值等于多少？等于负四，对吧？哦，最大值减去最小值，四 n 的 平方等于四，好，我们验证一下，也就是 n 的 平方呢？等于一，我们求出来， n 等于正负一，对吧？ 好，正一负一，我们都去验证。我们先来验证，如果 n 等于一，你把一带进去吗？你这个是三对吧？你这个是一对吧？一到三之间，一不就在这吗？对吧？三差不多就在这里，对吧？这段的取值范围里面，呃，你会发现它就是二 n 减一，对吧？二 n 减一就在这里， 而这个呢，就是我们所谓的二 n 加一，对吧？这一段是不是在二 n 加一取得最大值？是的呀，是不是在顶点处取得最小值？是的，你会发现你只是左端点跟顶点是重合的吗？ 那既在顶点，又在左端点取得我们的最小值，所以它是完全符合的。 n 等于可以，那 n 等于负一，可不可以呢？我们验证一下，如果 n 等于负一，你求出来，也就是负三，对吧？ n 等于负一，你带进去，你求出来，你会发现它是负一的。负三到负一之间，我的右边都是负一了吧？这里一定在对称轴的左边，所以整个图像大概怎么样呢？长这个样子，我在不在右端点取的最大值呢？不在，我在不在顶点取的最小值呢？也不在，所以这个负一呢，不符合题。 好，接下来我们考虑第四种情况，即将飞出我们的轨道啊，就是在对准轴的右侧了。好，你这个端点呢，就是我们的二 n 减一，以及，你可发现这个端点呢，是我们的二 n 加一，那很明显，在这里取的最大值，在这里取的最小值，对吧？好，我们来计算第四种情况， 最大值等于几呢？把二 n 加一带进去， o 最大值是三方减四，最小值把二 n 减一带进去，那是三方减八 n， 也就是这是最大值，这是最小值。八 n 减四等于四，八 n 等于几呢？等于八牛顿求出来一一跟它是不是完全一样的，这里面求出来零，跟它重合了， 这里面求出来的 a 呢？也跟它重合了。所以我们最终的答案呢？等于零或者一 搞定，通过我们开过山车的方法，可以解决所有的区间最值问题。如果你说亮亮，哎，我也想开车，自己尝试一下，司机自己来解决。像这种题目，亮 亮已经把各种区间最值问题，像我们的动轴定区间呀，定轴动区间呀，动轴动区间等等等等各种练习题都放在我们评论区了，大家可以自行领取，跟着亮亮无脑学习。