七年级上册几何图形抽风版

初中数学动画第一集生活中的立体图形生活中有很多立体图形，比如橡皮长方体、魔方正方体、篮球球体、漏斗、圆锥、笔筒圆柱等等等等。这个视频咱就来研究研究生活中的立体图形。 重点看一下棱柱。那什么是棱柱呢？像这种上下一般粗，有棱有角的就是棱柱。比如你最熟悉的正方体、长方体就是棱柱， 因为它的底面是四边形，所以也可以叫四棱柱。当然，如果底面是三角形，就叫做三棱柱。 还有这种底面是五边形，那就叫五棱柱。除此以外，还有六棱柱、七棱柱、八棱柱等等等等。总之，底面是几边形就叫几棱柱。刚才的这些棱柱都是直挺挺的往上， 那如果我把他们推一下斜着，现在还是棱柱吗？你看，不管我把他们写到什么程度，仍然满足上下一般粗，所以还是棱柱。并且他们有一个新的名字，叫做斜棱柱。刚才那种直挺挺的，其实是直棱柱。 观察一下这两种棱柱侧面有啥不同？这个直着上去的直棱柱，侧面都是长方形，这些斜着的斜棱柱侧面都是平行四边形。 好了，再回顾一下棱柱的分类，按照边数可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。按照侧面的形状，可以分为直棱柱和斜棱柱。弄清楚了棱柱的分类，我以四棱柱为例来说说棱的概念。首先，相邻两个面的交线叫做棱， 所以这些都是棱。其中如果是侧面的交线，那就叫侧棱，像这些就都是侧棱。 了解了棱和侧棱，咱来研究一下顶点棱和面的个数。先说顶点，上下各四个，一共有八个顶点。再说棱，上面四条，下面四条，中间四条，一共有十二条棱。 最后说面，上下两个面，中间四个面，一共六个面。同样的，你也可以数出五棱柱、六棱柱的顶点棱数和面数。 不过要是 n 棱柱呢？它的顶点棱数和面数各是多少？先看顶点上下都是 n 边形，都有 n 个顶点，所以顶点数就是二 n。 再说棱数上下都是 n 边形，棱数都是 n， 侧面呢，有几条棱？ 你看每个顶点往下都有一条棱，所以侧棱也是 n 条。那对于 n 棱柱，棱数就是三 n 啦。最后说面数，上下两个面，这是 n 边形，每条边往下是一个面，所以侧面是 n 个面，一共是 n 加二个面， 这就是 n 棱柱的顶点棱数和面数的计算公式。好了，总结一下这个视频我就给你讲了什么是棱柱，也就是这样，上下一般粗，有棱有角的就是棱柱。 按照边数，它可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。按照侧面的形状，可以分为直棱柱和斜棱柱。对于 n 棱柱，有二 n 个顶点，三 n 条棱和 n 加二个面，怎么样，明白了吗？明白的话就速速去刷题吧！

那，那咱们第一张讲分几个图形，几个图形呢？包括上去两大例，对吧？一大例是什么呢？平面的是吧？还有一个还有一部分就是立体的，是不是讲立体的图形？平面图你们在小学都是学的比较多， 咱这个高中的第一张讲的就是这个立体的，那么图形的分类，首先呢是它的分类对吧？分类，分类它会怎么分呢？ 按照什么？刚才你说的按照有没有曲面？因为咱们说了是不是 这个数学里边构成图形的元素点线面呗？点动成线，线动成面，面动成体，面动成体，所以这里边就是看组成这个它的 组成，那个图形是有面组成的呗。那么看有没有曲面和有曲面的和有曲面的，那么有曲面的是哪些呢？圆柱球，圆柱，含曲面的啊，一个是含曲面的 含曲面，还有一个是无曲面的，含曲面的是 这个是有无曲面的。都有什么？ 圆柱，圆锥球，圆柱，圆锥，然后圆锥， 然后这个是球球，无曲面的就是棱锥，棱柱， 然后呢？棱锥还有什么？还有吗？主要就是意大利，对吧？当然这边还有个什么呢？ 你们可能没接触，还有个是圆台，这个还有个谁啊？棱台，那这个你去了解一下哈，这还有个棱台。 好，这里面还有一个圆台哈，这圆台咱们也不怎么接触，不怎么接触，没提他哈 追求，还有这个是圆台， 这是一种分解方法，还有一种分解方法，怎么分？怎么分的？嗯，能助人追。还有求，那是根据他的啊，根据形状，对吧？根据形状，这两个叫什么呢？这两个叫 他俩是什么？叫什么？像柱子一样的几个体，是不是所以他叫柱体，这是根据形状分的啊？ 我搁这写了啊，它是什么样的形状？类似于什么样的形状？柱体，然后这个就叫什么呢？叫什么体啊？ 锥体，锥体，还有一个像这个圆台，这个就叫台体。台体，那咱就不怎么研究了啊。 还有最后一个，千万别忘了谁球体。对，还有一个是球体，球体比较特殊啊，他就自己 啊，这个是分类。那接着咱们就可以根据分类来去研究它。那分类研究它 在做几方面研究？

各位同学大家好，今天我们一起来学习几何图形的第一节课。在小学，我们已经学习过许多有关几何图形的知识，知道三角形、长方形、平行、四边形、圆这些图形的形状特征， 以及会进行有关周长面积的计算。那么进入初中后，我们将继续用数学的眼光观察身边的世界，学习新的数学知识、数学方法，感受数学之美， 感受用数学知识解决实际问题的乐趣。大家知道数和型是数学的研究对象，本章我们将继续学习更多的 几何图形，进一步探究直线、射线、线段、角等最基本的几何图形的性质，进一步了解他们的应用。 今天就让我们在丰富多彩的图形世界中开始我们这节课吧！ 大家来看，这是大自然中漂亮的植物，造型奇特的动物。这是晶莹的雪花，放大后的样子简直就是一件艺术品。 这是小蜜蜂的杰作。一排排整齐排列的蜂房，数学家已经证明过，在相同体积条件下，这 这种建造方式是最节省材料的。可见小蜜蜂不但勤劳，还是非常聪明的建筑师呢。那么人类呢，也从大自然中获取灵感和启发，建造了很多雄伟漂亮的建筑。 可以说，用心观察我们身边的世界，是改变世界的开始。 这是二零零八年北京奥运会的主会场国家体育场，又称鸟巢。它位于北京奥林匹克公园中心区南部，建筑总面积达到了二十一公顷， 可以容纳观众九万一千人。在这里举办了奥运会、残奥会的开幕式和闭幕式， 以及一些田径比赛和足球比赛的决赛。在奥运会结束后，这里成了广大北京市民参与体育活动、享受体育娱乐的大型专业场所， 那么这里也成了地标性的体育建筑和奥运遗产。同学们来仔细观察，在这张国家体育场的照片中，你能看到哪些熟悉的图形呢？ 好同学们找到了，这里有我们熟悉的线段， 三角形、四边形，这里还有一 一个半圆形。同学们表现的都非常不错。刚刚我们就是在用数学的眼光来观察我们身边的事物，从而发现这些丰富多彩的图形其实都是由一些基本的几何形状构成的。 让我们把目光从国家体育场转回到我们的教室内，大家再找一找，在教室里有哪些我们熟悉的基本的几何形状呢？ 好同学们找到了很多，这是我们国家的国旗，五星红旗， 他是我们中华人民共和国的象征和标志。那么我们来看五星红旗的外形， 它的基本几何形状是可以看成平面上的一个长方形。这是教室里的钟表，它的外形可以看成是平面上的一个圆。 这是我们同学带来的地球仪，它外形的基本几何形状可以看成是一个球。 这是我们同学用来喝水的水杯，它外形的基本几何形状可以看成是一个圆柱。 那么老师也准备了一些大家熟悉的图片，大家再来找一找，这里又有哪些基本的几何形状呢？同学们来看这幅图片，这个人戴的 这个叫斗笠，那么过去在山村水乡是随处可见的。唐代有一个诗人柳宗元，他有一首诗，江雪 千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪。其中第三句孤舟蓑笠翁描绘的就是一个穿着蓑衣，带着斗笠的老渔翁， 一个人孤零零的坐在船上的画面。那么现在这个斗笠基本上都是作为集实用与美观于一身的工艺品了。 那么斗笠的外形的基本几何形状，我们可以看成是一个圆锥， 下面这是一个非常精美的茶叶块，它外形的基本几何形状是一个柱体，我们观察这个柱体有六条侧棱，所以我们称它为六棱柱。 这是一个帐篷，这是它外形的基本几何形状。那么它的名称是什么呢？ 通过观察我们发现左边这幅图是个三棱柱， 而我们把它换个方位放置，得到的就是右边的这幅图形，所以右图也是一个三棱柱，所以这个帐篷外形的基本几何 形状是一个三棱柱。 这是二零零八年北京奥运会的主游泳馆。国家游泳中心，又称水立方，它也位于北京奥林匹克公园内， 在奥运会期间承担了游泳、跳水、水球等比赛项目，可以容纳观众一万七千人。 在奥运会结束后，他也是成了具有国际先进水平的集游泳、健身、运动、休闲于一身的中心。 在二零二二年北京冬奥会期间，他将转型成为宾利方 作为冰湖项目的比赛场馆，这也是世界上首座在泳池上架设冰湖轨道的场馆。那么水立方外形的基本几何形状，我们可以把它看成是一个长方体， 也可以叫它四棱柱， 这是古埃及的金字塔，它外形的基本几何形状是一个锥体，我们观察它有四条侧棱，所以我们称它为四棱锥。 那么这些丰富多彩的图形都是我们从现实世界的物体的外形中得到的，那么各种各样的物 除了具有颜色、质量、材质等性质外，还具有形状，如圆的、方的等，大小如长度、面积、体积等 和位置关系如香蕉垂直、平行等。那么物体的形状大小和位置关系是几何中研究的内容， 我们先从物体的形状开始我们的研究，一个物体的美和它的功能离不开它的形状， 大家看这是一张跑车的照片，它流线型的外形既体现了一种动感的美， 同时也有效的降低了风的阻力，提升了它的行驶速度。 这是北京大兴国际机场，它外形的寓意是浴火凤凰，那么它的外形就是把我们的中国文化和功能和谐的统一到了一起。 三角形的稳定性在这辆自行车的结构中得到了应用， 而我们常见的伸缩门则又很好的利用了平行四边形的不稳定性。 大家再来看这里有圆形的井盖，也有六棱柱形状的铅笔，那么 那么他们的外形又都考虑到了哪些因素呢？有兴趣的同学可以课下去研究一下。 那么这些物体的形状在数学家的眼中都可以看成是一些基本的几何图形构成的，那么下面我们就来看与几何图形有关的几个概念。 一、几何图形，长方体、圆柱球、圆锥、棱锥圆、长方形、正方形、线段点等都是从形形色色的物体外形中得出的， 他们都是几何图形，是数学研究的主要对象之一，大家看到的这些都是 几何图形，也都是我们刚刚从各种物体的外形中得出的。那么这种从物体的外形的形状得到几何图形的过程，应用的就是一种从具体到抽象的思维方法。 那么这些图形中有些图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥球等的各部分不都在同一平面内，他们是立体图形。 各部分不都在同一平面内，指的是这个立体图形的有些部分在一个平面内，而有些部分则不在一个平面内。我们以长方体为例，大家来看这两条红色的棱，他们都在 上底面所在的平面内。我们再来看此时这条红色的棱和这条绿色的棱则不在同一个平面内。 而有些图形，如线段、角、三角形、长方形、圆的各部分都在同一平面内，他们是平面图形。 我们以后对几何图形的学习也是分为立体图形和平面图形两部分进行的。 四、立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但是他们是互相联系的。立体图形中某 有些部分是平面图形，我们还是以水立方为例，观察它的外形，从整体上看，它的形状是一个长方体，也就是立体图形。而我们只看它的侧面，得到的是长方形， 只看他的棱，我们得到的是线段，只看他的顶点，我们得到的就是点。那么大家知道长方形、线段点，他们都是平面图形，而此时他们也都是这个长方体的某些部分。 好，那么这里为什么说立体图形中的某些部分是平面图形，而不说所有部分是平面图形呢，我们来看下面这个立体图形， 这是一个圆锥，它的底面是个圆，是平面图形，而它的侧面是个曲面，并不是平面图形，所以我们用立体图形中某些部分是平面图形来描述则更加的严谨。 好，那么刚刚呢，我们明确了立体图形和平面图形的相关概念以及二者的关系后，下面我们老师来考考大家，我们来完成几个练习。 我们先来看练习一，如图说出下图中的一些物体的形状所对应的立体图形。 好，这位同学找的 又快又全，而且也准确说出了这些立体图形的名称，在这里有长方体、圆柱和球。那么练习一告诉我们，这些丰富多彩的图形其实都是来源于我们的现实生活的。 好，我们再来看练习二，说出图中各立体图形的名称，找出其表面中包含的哪些平面图形，是指出这些平面图形在立体图形中的位置。 好，以上五位同学回答的非常好。第一个立体图形的名称是圆柱， 其表面包含的平面图形有两个圆，分别位于它的上下底面。 第二个立体图形的名称是圆锥，其表面包含的平面图形有一个圆，位于他的底面。 第三个立体图形的名称是五棱柱，其表面包含的平面图形有两个五边形和五个长方形，分别位于它的上下底面和侧面。 第四个立体图形是一个六棱锥，其表面包含的平面图形有一个六边形和 六个三角形，分别位于它的底面和侧面。最后一个有点难度，这是一个组合体， 是由一个长方体和一个四棱锥构成，其表面包含的平面图形有四个三角形和五个长方形，分别位于四棱锥的侧面以及长方体的下底面和侧面。 那么刚刚练习二则让我们又感受了一下立体图形和平面图形二者之间的关系， 即立体图形的某些部分是平面图形。我们再一起来看练习三如图，你能看到哪些立体图形 好？这个同学找的非常的全，他在这里发现了有圆柱、长方体和球。我们再来看练习四如图，你能看到哪些平面图形呢？ 好，这位同学找的也非常的好，他在这个图形中发现了有三角形、长方形、五边形、六边形、椭圆和曲线。 那么刚刚的练习三和练习四其实又在说明我们把一些几何图形的形状进行拼接，其实我们会发现它可以构成很多 内容丰富的图形，而这一过程则体现了你的几何思维和精彩的创意。我们曾经玩过的七巧板和积木也在体现这一点。 七巧板是由七块板构成，其中有五块是等腰直角三角形形状的， 有一块是正方形形状的，还有一块是平行四边形形状的。据统计，利用这七块板可以拼成的图形有一千六百种以上。 老师在这呢展示了其中的三个，第一个是一个小房子，第二幅图形拼成的是一个奔跑的人， 第三幅图形拼成的是一条小鱼。 那么积木大家小时候都玩过，这也是我们儿时特别爱玩的一个玩具，那么相信同学们在搭积木的过程中 既得到了快乐，同时也一定培养了自己的创造力和想象力，当然还有动手能力。当然了，在这过程中大家也认识了很多的几何图形。 好，下面我们对这节课的学习内容进行一下小结。我们这节课主要是学习立体图形和平面图形，知道了什么是立体图形和平面图形。 那么在学习立体图形和平面图形的过程中，我们尝试着用数学的眼光观察各式各样的物体，比如这个水杯，我们就可以把它看成是几何图形中的圆柱， 那么从中经历了从物体的外形抽象出几何图形的过程，体现了现实生活与我们数学的密切联系。 今天这节课同学们都做到了积极思考，踊跃发言，表现非常好，也期待着下节课大家能有更精彩的表现。我们今天这节课就上到这里，好，同学们，再见！

七年级最后一张几何图形初步，那么这种几何题求角度问题，很多人不知道如何去做，其实非常简单，题中给出你什么信息，我们就根据这个信息去衍生其他的信息。看这道题， 如图， oc 是 角 a、 o、 d 的 平分线，看到平分线注意找等角，所以看 oc 是 角，平分线是角 a、 o d 的， 所以角一是不是等于角二，我利用这个数字去代替啊。 同样的 o e 是 角 b、 o d 的 角，平分线 o e 平分角 b、 o d， 所以 得到角三，是不是角三和角四相等？ 好，衍生出这两个问题来了，角 c、 o e 等于，让你求角 c、 o e 的 度数，角 a、 o b， 那 么看一下， 等于一百三，这一百三怎么来的呀？是不是一二三四，也就是角一加角二加角三加角四，是不是等于一百三十度？ 那么角 c、 o、 e 呢？角 c、 o e 是 不是等于角一加角四等于多少？观察 角一和角二相等吧。好，把它换成角一，角三和角四相等吧，把它换成角四，说明两个角一加两个角四等于一百三，那么一个角一加一个角四呢？等于一百三，除以二多少吗？六十五度太简单了是不是？其实并不能按 看第二题，如果角 d、 o、 c 等于二十度，那我看如果这是二十度，这必然也是二十度，那么让你求角 b、 o e， 让你求这个角，这是二十，这是二十，总共是一百三，对不对？一百三减去多少度啊？四十，说明角 b、 o、 d 等于多少度呢？等于九十度， 这儿这个大角等于九十度，那么角 b、 o e 又因为 o e 等于角平分线，是角平分线呀，角三和角四相等，那么九十除以二出来了四十五度， 其实并不难，只要根据他给出的咱们条件衍生出对应的条件就可以。关注大哥，老师教给你更多的学习思维和方法。

嗯，正方题展开图，咱们知道了圆柱的展开图，咱们圆柱是怎么展开的啊？ 你可以沿着这个这个线，这个高高呢，也叫什么？也叫母线啊？就是沿这线剪下，然后扯这线，拽，拽，哎，拽出来，拽出来之后呢，它就变成一个什么呢？ 矩形加上两个圆。好，那么求它的表面积， 它的表面积怎么求？等于 矩形的面积，对吧？加上两个圆的面积， 然后这个矩形的面积就怎么算呢？矩形面积怎么算？它其中一个边是什么？ 底面圆的周长，周长，所以 l 底面圆的周长。另一个呢？边是谁？圆柱的什么高？高？ l 乘以 h， 然后这个圆的面积好办了，怎么算？二、乘以 圆的面积怎么算？ pi 乘以 r 的 平方，是吧？就是这两个圆的 上底面圆或下底面圆的半径。啊，两个啊，这就是表面积，体积怎么求啊？ 底面积乘高，对底面积乘以什么呢？高，好，这是圆柱哈。嗯，圆锥的侧面展开图，刚让你通过剪纸是吧？ 剪纸，一个是这种情况，一个是 这种情况，一个是三角形加个圆，这样是这个扇形加个圆，那么它到底是哪一个呢？是第一种情况还是第二种情况？第二个是哪一个？第二个是不是这种情况是对的？嗯，它是一个扇形加上个圆，哈，记住了哈，不是这个， 那它的表面积怎么算呢？它的表面积，它的表面积应该是有什么呢？圆的面积，对吧？加上那个什么扇形的面积， 加上一个圆底面圆的面积。好，它的体积， 它的体积怎么算？三分之一元素的体积。对，是三分之一，它对应的这个元素的体积，说白了就是什么呢？三分之一乘以什么呢？ 底面圆的面积是不是再乘以什么呢？再乘以这个圆锥的高。 你看这个圆锥，这个底面圆对应的圆柱，是用它的底面圆的面积乘以这个高吧。嗯，是不是这个圆锥所 对应的？这个圆柱也是和它底面圆半径相等的这个圆锥对应的圆柱呗。所以圆锥的体积怎么算呢？用底面积乘以这个圆锥的高。圆锥的高怎么做呢？就是从这个顶点向底面做一个垂线， 哎，这个就是什么呢？高，所以就是用底面积乘以高，乘以三分之一就是这个圆锥的体积。 这里面的。知道啊，它的侧面展开图搞清楚啊，是这个扇形加那个圆。好，还剩下一个比较长一些。球，球能不能展开？ 球能不能展开？嗯，球能不能展开啊？能，能啊，不能。球能展开，球是什么样的？你告诉我。球样，球样啊。嗯， 它能展成平面就行吗？嗯，对，它是怎么了？不能展开的啊？那这个是展开，那么还是一个什么？拿一个面去挤它的话， 拿平面去截这个几个题，咱们知道截一个 n 棱柱截面最多是多少？ 最多是多少？边形？ n 加 n 加二边形，对吧？嗯，因为这个 n 棱柱啊，每一个面都是什么面？都是什么面？ n 面都是平面吧，所以得到的是一个多边形， n 加二边形，让这个结面 让去结，这个棱柱的面和这个棱柱的每一个面都相交，这样就会得到一个 n 加二边形的结面。这没搞清楚概念啊，结面是什么？叫结面？ 结的面，哎，像这个几个体被结去了之后留下的那个面，被结去一部分之后留下的面叫结面。你去结这个几个体，那个面叫不叫结面？那是用于结这个几个体的面。他不是结面啊，结面是被结掉了之后留下的面。 嗯，那圆柱它的结面会是什么形呢？很多种形，是吧？会出现这种，会不会出现矩形？会，会不会出现这种圆形？会，会不会出现椭圆？会。会不会出现马蹄形？嗯， 马蹄形是这样式，这样式会出现这种形，这样式会不会？会吧？嗯。怎么怎么切就会出现这种想法。 竖的竖的线吗？沿着他这个，这不是这个直径吗？嗯，从这往下切，从上面，哎。从上面这一切，然后这边是不是和这边这个平面，这边因为这面是个曲面，对不对？圆柱这边是个曲面。所以说因为平面和曲面相交得到的肯定是一条什么线。 曲线吗？哎，就是这样的面，然后因为上面这个这么沿着这个面截的话，这就是直径的面， 因为上面这个面圆是什么面？平面？圆不是平面吗？上面是个平面图形吗？所以平面和平面相交得到的是直线，那么这个侧面这是个曲面，平面和曲面相交得到的是曲线，所以是这样的形。明白了， 好啊，那么对圆锥呢？它会有什么形？三角三角形？圆形。嗯，会不会有？会会，会不会有椭圆？会会， 会不会有这种形？不会。怎么不会啊？我沿着底面来截呗。底面不是圆吗？我沿着底面这个直径。 看图。是你都该动笔了给画出来。因为底面这个直径我切也和这样一样。切一边，切一边的话是不是也是这样形，想象一下是不是也会有， 对吧？啊？这就是啊，几何几何体哈。

然后我们看一下今天的一个个别题哈，个别题今天错的，有错题的，我们先整把题整理一下。首先我们先看这个第八题，今天也是有同学去这道题错，其实这道题很简单哈， 它是不是给出 a o d 等于，那 a o d 是 不是这个角是等一百四十度，对不对？那我们首先我们先看它这个题是不相当于这个是，它是一个直角， a o b 是 不一个直角， c o d 是 不是也是一个直角？那我现在把这个 o d 反向延长，那也就是说这个角看见没有，这个角是不跟这个角是一样的？也就是把它翻过来以后， 是不这两个角是一样的，那这个角是不就等于 a o b 的 一个 a o d 的 一个补角？那是不六十度，那一百八十度减四十，一百四十度是不等于四十度，那这道题是这他这个角是不也相对应的是四十度？所以这道题我是不直接就求出来了。 ok， 好， 然后我们继续看第十题，角阿尔法和角贝塔互补，那角阿尔法等于一百五十度，那角贝塔等于多少？那角贝塔是不就等于三十度？然后三十度的余角，那是九十减三十，那是不就等于六十？这道题是二 b 就 搞定了 哦。然后这道题啊，这道题的有一个点是什么呢？记住啊，塔是下面多，上面少，明白吗？所以加这道题的话，他说，呃，一座七层塔从最底层开始，对吧？ 那我们那我们这道题是不可以从最顶层开始，那是不 x， 因为他说了每一层是不都是上面一层的二倍，那是不 x 加上 二 x 加上二四，二二得四 x 加上二四得八 x 加上二八十六 x 加上三十二 x 加上六十四 x， 最后是等于三百八十一， 对吧？三百八十一，首先数下一二三四五六七乘吗？对吧？求出 x 以后，这个 x 是 不就是他的最最最顶的这个这盏灯。 ok， 好， 这道题就过了，好吧？好，然后再看一下第十八题。 好，第十八题的话，首先我们，呃这道题的话，就一样，就一样，就就一个点，就是这道题的话，在第二小题第二小题的话，我们直接可以解释， 直接可以解释，明白吗？直接可以解释什么了？直接可以解释它，它印刷， 印，印刷，他印刷，不清楚的是设为 a 就 完事了，对吧？然后把 a 带入原式，直接计算就好了，明白吗？就这道题的话，一定要仔仔细细的看解析，看解析，看解。再说一遍，看解析有步骤分呢？尤其他最后那个， 尤其最后这个结果是常数，因为结果是常数。 ok， 一定要仔细看，解析明白。好，然后第十九题，第十九题这道题的话其实也是第二小题，第二小题的话，他这道题也是一个解析的一道题， 也是要仔要仔细看解析的一道题。 好，第十二题的话，首先我们第十二题的话，一定要去把那句话加上，明白吗？一定要把那那句话加上解啊， 所以我过一下吧。好吧，我们先看 a b 连接，连接 a b。 好， 那我们用尺，用尺子，用铅笔啊，我就，我就先不用，不换笔了，好吧， 好，连接 ab， 千万记住不要给我超出去。明白，然后做射线 ad， 以 a 为点， d 为辅。好，我把它延出去， 延出去以后是不是就出去了？然后做直线 bc， 直线 bc， ok， 那 bc bc 我是 不直接就出去了？然后交于点 e， 那 我 e 点是不就搞定了， 对不对？好，搞定了以后，那紧接着我们第一小题一定要加加入一句话，什么解？如图， 什么所示，即为所求。这句话必须得写，不写一分扣了，各位明白了吗？ 好，第二小题，他说见一供电所向四个村庄供电，要使所用的 电线最短，则 m 在 什么位置？好， m 在 什么位置？最简单的方法，四条四个点连接的 焦点 m 是 不是就是靠它们四个村距离是最小的？所以这道题我解是不就可以了解的话，首先第一个解，如图所示， ok， 如图所示，什么点 m 即为 所求？明白，写上条件，先写条件，先把这一分拿到手了，明白了吗？然后紧接着人家问的是什么？问的是则 m 应建在何处？ 那人家问的是建在何处？那你是不是就得解释一下呀，对不对？不然你怎么解释？这个好，接下来是不是就来了，根据， 根据两点，因为我们这道题玩的是什么？图形题？玩的是什么线段吧？首先是不根据两点之间好，继续线段最短， 先把定义我是不是先出来了，好，集是不？搞定了？集点 m， 为什么？ a， c， a， c， b， d 的 b， d 的 什么交点？这道题我是就把分拿到手了，明白了吧各位？ ok， 好， 然后我们紧接着看下这个二十题。 二十题，其实说实话，这道题不应该有人错了，但是照样今天还是有人错啊，虽然生气归生气，但是的话，我们该讲还得讲。 ok， 首先我们先看这道题，他说整理一批图书，如果由一个人单独做三十个小时， 一个人做是不要三十个小时一，一个人的工作效率是多少？是三十分之一？好，我们继续先安排一部分人，用一个小时整理，最后一次加入六个人，和他们一起做两个小时假设，然后假设每个人工作效率相同，先好了安排。 看见没有？他问的是什么？是先安排，所以说我是不是设这个先安排是为 x， ok， 那 一个人是三十分之一，那解释我就不说了啊，解释是不是先安排整理人员是 x 人， ok， 好， 然后是不是由提一得，那我开始列式，一个人工作效率是多少？是三十分之一，那 这一先安排一部分人是不 x 就 用了一小时，那是不三十分之一 x 一 小时出来了。 ok， 随后是不是又增加六人？好，加上谁？是不加上三十分之一？括号 x 加上六，这是不是求出来？又增加了六人 之前的人数，他们一共工作量完成几小？做了两小时后乘以二。 ok， 最后的话他是不搞定了，那这道题是不等于单位一，那我这道题是不就完事了？好吧， 好，接下来就是今天的重心二十三题，也就是期末必考的题型之一。 ok， 那 我们先看第一小题，第一小题他说了，首先做这种题给老师，一定要记住，先看大题条件，一定要记住，先看大题条件， 然后两只自动笔，一只二 b 啊，一只二 b 芯的，一只 h b 的。 先用二 b 芯的笔，先把每个图的大题条件先给它 弄上去，然后再用零，再用 h b 的 笔去做每道题的小题条件。那我们首先，现在我这个是二 b 的 笔去做每道题的小题条件。那我们先看角， a o b 等于九十度，好， a o b 等于九十度， 它是不是给出三个图， a o b a o b o b 是 不都给出九十度？好，没问题，继续看题。 看。先找角平分线， o m 平分谁？ a o c， 好， 我们先找 o m 两点，对吧？平分谁？ a o c a o c， 好， 那我现在是不都出来了，我把这个也出来， o m 平分谁？ a o c a o c 嘛，对吧？ o m 平分谁啊？ o m 是 不平分， a o c， 好， 我是先把条件先标出来，然后我们紧接着再看 o n 平分谁？ b o c o n 平分 o n 是 不先找见，我这会画圈了， b o c。 好， b o c， 我 是不是圈又出来了？好，继续 o n 撇分角， b o c。 为什么我真要画呢？因为这道题他大题条件是谁也改变不了的，明白了吗？大题条件一二三，小题他都要有大题条件的啊。好，然后我们继续 o n o n 画圈， b oc， ok， boc， 好， 我现在是不是都画完了？好，紧接着我们先看第一小题，角 boc 等于三十度，这个时候我们是不是就得用二 b 铅笔喽？哎，用 a 是 b 铅笔了。 好，我们先看 boc 等于三十度， boc， 好， 这个角等于三十度，就叫 m o n m o n， 好， 是不是求这个角呢？对吧？那现在，那我们现在是不是条件先出来了，对吧？第一小题是 b o c 等于三十度，求 m o n， 好， 那我们先观察 m o n 等于什么？ m o n 等于啥？是不是就等于这两个点组成的角，加上这两个圈组成的角，有问题，没问题吧？ 好，那我们再看。那现在是不都角平分线吗？这道题其实比较送分哈。他，他是不是，你看这个圆圈， 是不是这两个圆圈组成角的角平分线，他的这个大角，这两个圆圈，这两个圆圈是不是三十度？这个角是不就等于十五度？这个角是不也等于十五度？好，紧接着我们继续。那这个角是不九十度？九十度减三十是不等于六十？ 这个角是不等于三十度？这个角是不也等于三十度？那 b o n 是 不就等于三十加十五是不等于四十五度？所以这道题四十五是不直接就可以出答案的。 ok， 好， 那紧接着我们继续， 我们继续，我把条件再给他。差了，为啥？因为小题条件他都是自己玩的，明白了吗？大体条件是不变的。好，我们再看第二个，他给出是什么？ boc 等于 n 度，好，我们先找 boc。 boc， 好， 这个角是不是等于 n 度？ 好，那紧接着我们再来，他问的是什么？ m o n m o n 是 不？还问这个角呢，对吧？那这个角等于什么？这个角是等于这个角加上这个角，这个角是不就等于 这个角？是不是这两条，这两个点组成的角是不就等于这两个点组成角的二分之一？那我们现在它等于 n， 那 这个大角等于什么？那这个角，这个角等于什么？这个角是不等于九十度？减去 n 度 没问题吧？好，那也就是说，首先那也说是角 b o c 是 不等于 n 度？没问题吧？ b o c 等于 n 度，那角 a o c 角 a o c 是 不就等于九十度？减去 n 度，这个没问题吧？好，然后我们继续。 他是不给住角平分线了，对吧？因为什么？ om 是 平分角 a o c om 是 平分角 a o c， 所以 角 a o m 是 不等于角 c a o m 是 不等于角 m o c 是 不等于二分之一的角 a o c， ok， 是 不？角 a o m 等于角 m o c 等于二分之一的角 a o c。 好， 我是不是就写出来了？ 好，那紧接着我们继续。这是还有个角平分线呢，对不对？又，因为 o n 平分角 b o c o n 是 平分角 b o c， 所以 角 b o n 是 不就等于 n o c 是 不？这俩角相等，对吧？是不？角 b o n 是 不等于角 n o c 是 不等于二分之一的角， 这个角是不等于二分之一的角 b o c。 角 b o c ok， 好， 那紧接着我们再看 boc 等于什么？ boc 是 不等于 n 度，那二分之一 boc 是 不等于二分之一的 n 度。我们再看这 aoc 是 不等于九十减 n 度，那二分之一的 aoc 是 不等于四十五度减去二分之一的 n 度， ok， 好， 那紧接着我们就来，他问的是哪个角是 m o n？ ok？ m o m o n 等于什么？是不等于这个角？这个角是不 m o c 是 不？加上角 n o c， 我是 不刚求出来的，刚求出来的， 所以是不角 m o n 是 不就等于角？我们先找我们刚才写的是不 m o c？ 确定是不 m o c？ 一定要记住。好，我上面写的 m o c， 你 就不要再给我写成 c o m。 虽然说两个角是同一个角，但是不要改变，明白了吗？写的 m o c 就是 m o c， 不要一会 m o c， 一 会 c o m 的 不行，听明白没有？那 c， 那 m o n 是 不等于 m o c 角 m o c 加上我们看这个角我们刚写的是多少？ n n c 好， n c 我 们找见看是不是写了 n o c 是 不加上角 n o c 等于什么？ 那是不是等于他是不等于四十五度减去二分之一 n 度加上二分之一 n 度是不就等于四十五度？ ok， 那 我第一小题这个是就搞定了，还是四十五度，是不？这道题就完事了？好， 讲到这了，老师讲一个重点，老师讲一个重点，给我记住了啊，瞪大耳朵听着啊， 一定一定要记住了，期末考试只要只要出现啊！记住，只要出现 两条角平分线的两条角平分线的图，这种角度题 百分之九十九，他肯定玩的是什么啊？玩的是什么？记住啊，两个小角相加。 举个例子，他肯定玩的是什么？比如说角一加上角二等于二分之一的角，什么加上二分之一的角，什么等于二分之一？括号角什么加上角什么等于二分之一乘以多少度？ 切记啊！第二种或者是什么角一减角二就是什么角减什么角，就等于二分之一的什么角减去二分之一的什么角等于二分之一？括号角什么减角什么等于二分之一乘以多少度？ 百分之九十啊，一定要给我记住，只要出现双角平分线的题，百分之九十他玩的都是什么？两个小角相加等于两个大角相加等于二分之一两个大角相加，或者是两个小角相减等于二分之一两个两个大角相减，不信我们看第二小题。 看第二小题看题啊，首先大体条件是不都有了，对吧？我们先看他现在求谁呢？是不也求的是 m o n， 是 不求 m o n 的 度数，对吧？好，那我们先观察 m o n 等于什么？ m o n 是 不就等于看他看我这了啊？是不？这两个点，这两个点的边 所组成的角减去这两个圈所组成的角，有没有问题，对吧？你看这个角， 这个角是不就等于看这两个点所组成的角减去这两个圈所组成的角是不就等于这个角了？好，继续来看，这这两个点所组成的角是不就等于二分之一？ 这两个点所组成的角，对吧？角平分线吗？对吧？你看这两个点所组成的角是不就等于这两个点所组成角的二分之一？继续， 这两个点所组成的角是不是就等于这两个圆圈所组成角的二分之一？有没有问题啊？没问题吧？好，来，我们继续再观察好，完事来看，这这两个点所组成的角，减去这两个圈所组成的角， 是不是正好等于九十度？有思路了吗？ 好，那我们写一下，看写对不对啊？啊？步骤的话看解析哈，我只是我们先把思路整明白，先教你这种题怎么玩。首先，它是不求 m o n 好 角， m o n 等于啥？先观察看 m o n 是 不等于看这两个点所组成的角减去这两个圈所组成的角好，是不等于角？ m o c 减去角 n o c， 对 不对？ 这两个点所组成的角是不？ moc， 这两圈所组成的角是不？ noc 是 不？先出来了？继续， moc 等于啥？ moc 这两个点所组成角是不就等于二分之一倍的这两个点所组成的角，它是等于二分之一倍的角。 aoc a o c， 没毛病吧？继续，这两个圈所组成的角是不等于二分之一，这俩圈所组成的角，那是二分之一的角 b o c 没问题吧？那是不乘法分配率了，是不等于二分之一倍的括号角 a o c 减去角 b o c。 好 观察， a o c a o c 减 b o c 是 不正好等于九十度， 它是等于二分之一乘以九十度，是不等于四十五度。搞定了，前面需要补啥条件了？前面需要是不需要补，因为谁平分谁，所以 小角，小角等于小角等于二分之一的大角。又因为 o n 平分角 b o c， 所以 角 n o c 等于二分之一的角 b o c。 把两个角平分线 二分之一的角全勾出来，条件补齐了，这道题就拿分了，明白了吗？各位？嗯， 就是第一步，先去看什么，我再说个第一步，先学会这样标条件，第一个角平分线是不是两点 一眼就看出来了对不对？第二，第二个角平分线是画圈，如果还有第三个角平分线，咱画个三角行不行？是不是三个三角？完事，一看中间这个三角平分的这两个三角组成的角吗？就搞定了。明白，好，我们再看第三小题。 其实看到这了，基本上呀，能猜出来啊，这道题玩什么玩家了？这道题玩减这道题玩家了。为啥这么大个角呢？一看就玩一圈了。来，我们先看，先观察 m o n 是 吧？先找 m o n 是 不这个大角。好，来，我们看题，这个大角， m o n 等于啥？ m o n 是 不就等于？你看这两个点组成的角加上这两个圈组成的角，看见了没有？ 那这两个点所组成角等于啥？是不等于二分之一？这俩个点组成的角是不是？哎？这俩圈组成角等于什么？是不等于这两个圈所组成的角的二分之一？ 是。不？搞定了，继续。首先解，呃，不是角， m o n 等于啥？是不等 m o n 是 不等于这两个点所组成的角？ m o c 好， 角 m o c 加上还有这两个圈所组成的角，对不对？角 n o c 角 n o c， ok， 第一个，第二个来看，这 m o c 这两个点所组成角组成的角是不等于这两个点所组成角的二分之一，那是不等于二分之一倍的角？ a o c a o c 搞定了吧，继续。 这两个圈所组成角刚才是不在这呢，是不就等于这两个圈所组成角的二分之一倍的角？什么？ b o c ok， 搞定了吧，好，我们继续。他是不是就等于二分之一倍的角？括号 aoc 加上角 boc 括号。好，我们观察 肯定有，肯定有。方法来看， aoc， aoc 是 不是这个角？ boc 是 不是这个角？他俩加在一起是不正好一个周角减去了这个九十度， 是与不是？你看这个角加这个角是不是正好这一周角这是出来了，是不是等于二分之一？括号三百六十减去九十度。后边不用我写了吧？前面把条件补齐了前面把条件补齐了，这道题是不就搞定了， 明白了吧？这道题其实重心在于哪里？我告诉你，重心就两点，第一个，如何去标条件，能让你一看这两个点， 肯定是这两个点所组成角的平分线，一眼就看出来东西，明白了吗？自己先去说服了自己。这第一个第二个就是先搞清楚 m o 记住角 m o n。 他 问的这个角肯定跟什么？跟两组角平分线有关， 记住这个这种题这种题，闭眼玩，明白了吧？好嘞，拜拜各位。

好，然后我们看一下星期四今天提的，呃，第一个，我们先搞清楚什么是对顶角，呃，对顶角的话，两条直线相交， 对顶的两个角，这两个它俩就会为对顶角，它俩也互为对顶角，这道题就搞定了。 也就是说角 a o c a o c 这个角的对顶角，首先我们先看它是由哪两条线组成的，那是这条直线和 这条直线，所以它的对顶角对应的就是这两条直线相交的角，这个角就是它的对顶角 b o d， ok， 好， 我们再看 b o f， 我 们再找见 b o f b o f， 好， b o f 是 不这个角，那 b o f 是 不由这条线和这条线组成的，那它的对顶角是不就是这个角？那是不 a o e 对 顶角是不就搞定了， ok， 好， 然后的话， 嗯，这个题，嗯，老师今天主要是讲一下思路跟步骤哈。思路跟步骤 哦，做几何题的话，我只提一个醒，做几何题的话，我们第一时间先去分析图，能听明白，一定要记住，先去分析图，先不要动笔写过程，先分析图，先把图给我分析清楚了，我们再去动笔啊。 首先我们先看，我们就拿这道第一题最简单的这道题，这道题最简单的第一个，我现在是不是铅笔啊？铅笔先上手， ok， 好，然后我们先看他给出来角 aoc， 我 们先看大题条件，大题他是没有给出条件，只给出了两条，两条直线相交，好，他现在给出角， aoc 等于七十度，好，我们先找见 aoc， ok， 这里是不等于七十度， 好，我第一个是不已经出来了，七十度， ok， 出来第二个， b o f 等于二十度， b o f， 好， 这个角等于二十度，它求的是什么？ b o c。 好， 我们先观察 b o c 在 哪里？ b o c 是 不是在这里？那这个角的话，我们会，会不会发现看这是一个平角， a o b， 它是一个平角，也就说这个角是不就等于平角？减去这两个角是不就求出这个角了？ 好，所以说我们写过程的时候，首先第一个首先解，因为角 a o c 等于七十度，角 b o f 等于二十度，还有呢？还有什么角？因为角 b o f 加角 f o c。 哎， b o c， 哈，我看出这个角哈，这道题的话， b o c 是 不是？首先 b 角 b o c 加角 a o c 是 不等于一百八十度？它们现在是不是一个补角关系？ 所以角 b o c 是 不等于一百八十度，减去七十度是不就出来了？好，第二个我们先看它求的是什么？ d o e d o e 是 求这个角，这个角我们会发现个小问题，看这里，这个角，我们把这条线延一下，看见没有？这个角是不？跟我刚才画的这个角是不是什么关系？是不对顶角的关系。 所以说又，因为角 f o c 等于角，这不是 d o e 对 吧？括号是不对顶角，把条件写上对顶角，所以角 f o c 是 不等于。刚才我们刚是不刚求出来 boc， 刚求出 boc 是 不减去二十度，是不就求出这个角，那也是不也就求出来这个角？ ok， 所以 他整体的思路我们先明白。第一个，第二个就是几何的题，他都有步骤分，我再强调一遍， 几何的题他都有步骤分，所以说他的步骤分在用来这道题的步骤分就在于两个，第一个他刚才关于一个什么对顶角的关系，明白了吗？这两个角相等，必须把对顶角勾出来，因为这道题他，其实他是，其实就是考了一半的定义， 然后就是什么呢？这个角等于什么？他是补角的关系，明白，把补角情况给他说出，说明就完事了。 ok， 然后这个的话我们看解析就好，好吧，今天只讲思路。 好，然后我们再看，然后我们再看，我们再看第六题，好，第六题的话，首先我们先看题， o d， 我们先先跟题走明白，先去在图上面先去做 o d 角平分线，看见没？好，我们先把 o d 找见 o d， 我 们是不画两画两个点就完事了。 o d 是 谁？ b o c， 好， 我们找见 b b o c， 好， 那也就说 o d 这条边是不是这条是这两条边组成的角的角平分线？我这要是一眼就看出来了， 好，我们继续。 o e。 又是角平分线，好， o e， 我 们是不是这回是不是给它画一个圈，对吧？ o e 是 谁？ a o c a o c ok， a o c， 那 我现在是一眼也能看出来 o e 是 不是有这两条边组成的角的什么角平分线？好，紧接着我们继续看，还有条线角， a o b a o b ok， 这个大角比上角 b o c b o c。 好， 我们先再看 a o b b o c a o b b o c 是 不是三和二，那我们现在这个 a o b， 我 可不可以作为三 x， 对吧？设它为三 x， b o c 呢？ b o c， 我 可不可以做它为二 x， ok， 好， 现在我们条件是不都出来了？然后紧接着它还有个条件， b o e 等于十三度， b o e 是 不等于十三度，好吧，然后他问的是什么？ d o e？ d o e？ ok， 不 管他问什么，我们先根据我们的条件先给他划分，然后我们先看看见角平分线了没有？这个角是不是二 x？ 那 这个角是不是 x？ 这个角是不是也是 x？ ok， 好， 然后紧接着看这里，这是不是又是角平分线？这个角平分线是 a o c 的， 那现在我们 a o c 等于什么？ a o c 是 不等于二 x 加三 x 是 不等于五 x？ 那 a o e 这个角它是不就等于二分之五 x？ 刚才我们给错，这个角是不等于三 x， 那 这个角等于什么？这个十三度对应的是多少？是不三 x 减去二分之五 x 是 不对应了二分之一 x？ 好， 那我这道题是只要求出 x， 那 这道题想求哪个角，我们是不都能求出来了？好，那写到这，那接下来我们就去完善步骤， 我再强调一遍哈，一定一定要给老师记住，只要出现角平分线必然要出二分之一。只要出现角平分线必然要出二分之一。首先我口述一下步骤，跟着我思路走，就不用看题了。好吧，首先第一个，因为啊姐啊，因为 o d 是 o d 是 角 b o c 的 平分线，所以角 b o d 等于角 c o d 等于二分之一的角 b o c。 我 是不是这个条件？我是转换出来我自己的条件了。 好，然后我们继续看第二个条件， o e o e 是 角 a o 又因为什么？又，因为 o e 是 a o c 的 平分线， 所以角 a o e 等于角 c o e 等于二分之一的角 c o 啊 a o c。 好， 这个时候我是不是它的二分之一角也出来了，紧接着因又因为角 a o b 比上，角 b o c 等于三比二，这个时候我是不是射角 a o b 等于 三 x？ 嗯，我不想写条件，我不想写步走，但是我还是我觉得我还是写上吧这道题哈，就写这一道题，步走哈，因为我实在是写不动了。好吧， 好，首先我们先写我们条件解，因为 o d 是 角 b o c 的 平分线，所以 o d ok， 所以 角 b o d b o d 等于角 c o d c o d 等于二分之一的角 b o c。 好， 我第一个条件转化出来，我的条件了没有？转化出来了吧？好。然后的话，又因为 o e 是 角 a o c 的 平分线，所以角 a o c a o c o e ok， 所以 角 a o e 等于角 c o e c o e 等于二分之一的角 a o c ok。 是 不是第二条线出来了？好，继续。又因为角 aob 比上，角 boc 等于三比二，为什么不想写步骤呢？因为其实这里我是不是已经知道这道题怎么写了？但是我可以告诉大家， 新课改以后，他的题其实很多时候不走，他就是被迫营业，就这么简单，就是被迫营业。你明知道这道题答案是什么，但是不行，明白了吗？他必须要文字解析， ok 了吗？所以说就是被迫营业，但是没办法，所以说我们现在拿着我们的思路去完善他的步骤，这样是不最好更好一点？所以说这个时候呢， 那我们先三比二，我是不是就可以射了？射角 aob 等于三 x， 角 boc 等于二 x， 那 我是不刚才这已经都画完了，对不对？好，然后继续， 这个先不要动，为什么？这个是最后求出二分之一 x 的 时候再去动它？ ok， 好， 现在我们问题就来了，来吧， 所以角，你看这两个角，知道了，刚才我是不是先通过的这个大角求出二分之五 x， 那 我现在所以所以角什么？ aoc 吗？角 aoc 是 不就等于五 x？ 是 不搞定了？因为你看 aoc 是 不正好等于 aob 加 boc， 是 不是 aob 在 这？ bobboc 是 不在这？正好是五 x， 所以现在就现在就自由发挥了。明白，因为什么？因为我已经把条件都已经给你，我把他提的条件都已经转换成自己条件了，用自己的的条件去解他的题，我步骤就随便的打了，明白了吗？好，所以角 a a o e a o e 是 不等于二分之五 x， 为啥呢？看这在这呢？是不是看见没有？ a o e 是 不等于二分之一的 a o c？ 这是我直接引过来就完事了，明白了吧？然后紧接着所以角来看这 b o e b o e 是 不是就等于啥？是不是就等于三 x 减二分之五 x 等于二分之一 x， b o e 咋来的？看这 b o e 是 不等于 aob 减 aob， aob 在 哪呢？看见没有？ aob 在 这呢？三 x aob 在 哪呢？是不是在这呢？看见没有？我是不都准备好了？就相当于就是我把所有条件都准备好了，然后我去解你的题，明白了吧？就初中老师给大家一个小建议，就是我们把 他的所有的题的条件全给他转。第一个第一步就先我先明白我这道题我的整体的思路是什么，最好就是我知道这道题他答案怎么去处理了，然后把他所有的条件全给他，先转化成我自己的 条件，用我自己的条件去解他的题，就这么简单，我怎么揍你你都得忍着啊。这是出来 b o e 来看这，这里是不出来了，又因为看，又因为 b o e 在 这里是 b o e 是 等于十三度， 所以是不二分之一， x 是 不等于十三度？然后给他来个解得 x 是 不等于二十六度？ ok， x 等于二十六度。好了，我们再看来，再看 d o e， 又因为 d o e 角 d o e 等于啥？我们先看 d o e 在 哪里？ d o e 看见没有？ d o e 是 不等于角？ b o d 是 不角 b o d b o d 加上角 b o e b o e ok 来看 b o d 是 不是在这呢？ 我记得我看，看见没有？ b o d 是 不是在这呢？是不？二分之一的它，它是不等于二 x b o d 是 不等于 x， 它是不就等于 x？ 其实我这已经写出来，看见没有， x 加二分之一， x 是不是 x 加上二分之一 x 是 不等于二分之三？ x 是 不等于二分之三乘以二十六是不等于三十九度？这道题我是不是就搞定了，明白了吗？这道题的步骤分全在于这呢， ok 了吧这些，这是你的思路，明白了吗？还有一个步骤，你看还有个这个，这个是不是也是他条件的条件的？他这个是作为我最后的打手了，用你去覆盖一下就完事了， 明白了吗？整体的思路全在于这了， ok 了吗？一定一定要切记，就是几何题没有那么复杂，明白吗？就是，尤其到了 到了越高年级的话，很多同学都会觉得啊，老师，几何题难，我可以告诉你，初中最难的是计算，不是几何，因为几何题就像，就像现在的这个。呃，图形包括你们下学期学的三线八角图，包括八年级啊，八年级开始学的， 学的立体图形等等一系列，他整个的几何图形其实就是一个后期，就包括八年级比较难一点的，比如说全等三角形， 他更多的其实就是一个辅助线，知道吧？你只要掌握了，首先先掌握了做图用途的如何去运用用途的技巧，基本上你能完成百分之五十了。 ok， 好， 然后我们继续看第八题，第八题我就不写步骤了。好吧，各位哈，然后我们看第八题。 第八题的话，首先我们先看图，先看图，其实考试的时候我个人建议，个人建议就是考试的时候用草稿纸先把图给他复刻下来， 用我自己的图去弄他题上图尽量不用。为啥？因为题上的图实话实说，题上图十个图有九个是假图， 因为提上的图就像再往越往后走，他提上的图，他一道题可能两个答案，但是提上图只会只会给你覆盖一个答案，另一个答案需要你自己去玩，但如果你用提上的图的话，很可能你你的第二个答案就被你丢掉了，明白了吧？好，然后我们先，我就不带话了啊，这个图今天做题呢， 来第一个，废话，不用管第二个直角，哎，直角出来了，好，记住他说的直角有没有说九十度？没有，所以说一会这道题必须得体现角 c o e 等于九十度，这是这就是他的转化条件的一个步骤。分，听明白了没有？ 好，然后再看平，看角，平分线是不一会要出什么角等于什么角等于二分之一的什么角，是不又又又含条件了？ 这两个是不？两个步骤分，我拿到手后边剩下的拿上你条件去解题，这道题肯定没问题了， ok 了吧？好，我们继续先看题，叫 c o e c o e， ok， 直角给它出来， o f， 找见 o f， ok， o f 平分角， a， o e a o e， ok， 是 平分了，又出来了第三个角， c， o f 等于三十度， c， o f 等于三十度。 咦，哦， ok， 出来了，然后角， e o b e o b 哎， e o b e o b 求这个角， 那你说这道题简单吧，看这九十度，三十度，这里是六十度。角平分线六十度，六十度，这里是三十度，然后平角关系一百八，减它减它减它，是不是就求出这个角了？搞定，明白了吗？但是步骤分，先把这个步骤分，这个步骤分先拿到手了， ok 了吗？嗯，过了，嗯，好，那我们再看一下这个第九题。 好，第九题，第九题，首先我们先看他给出来第一条件， a， o b 等于九十度。好，我们先先在图上先找规律， a， o d 等于九十度， b， o c 等于三十度。 吓我一跳，我以为没录视频呢， 吓死我了。好了，我们再看第九题。角， aob 等于九十度， boc 等于三十度，我们找 boc 等于三十度。先别动。为什么？因为这条线特别像角平分线，看看有没有条件先别动啊。 o m o m 这条线，这个条线先别动啊。 o m， ok， 两点平分角， a o c a o c， ok， 好， 我现在出来这里，然后继续 o n 平分角， b， o c， o n， 看，有了吧。 o n 平分角， b o c 有 了吧？那现在他三十呢？这个是就是十五和十五， ok， 好，然后呢？它求啥呢？ b m o n m o n 好， 求这个角，对吧？这个角是不很简单，其实能看出来，你看 m o n 是 不等于 m o c 减去 n o c， 那他是不是要求这个角呢？这个角是不就等于这个角减去这个角，对不对？那这个角是不等于大角的？什么？二分之一大角是不等于九十加三十，是不是一百二十？那这个这个角，这个这个角是不就等于六十？ 然后的话，这个角是不等于三十的一半十五，所以说六十减十五是不等于四十五度，直接就可以出条件了，对不对 啊？因为这是直角，一百二十，这个角是不一半，那是这个角是不就是六十？这个大角是不也是六十就完事了，对吧？但是有啥呢？不走分，各位 看见没有？把它出了二分之一，把它出了二分之一，俩人一剪就搞定了。 a o c 看见没有？ a o c a o c。 首先是不先通过它们两个角合并出来一个条件，什么角？ a o c 是 不等于一百二十度，这是不？第一个合并条件。第二个，它要的是谁？它是不是要的角？ a o m 是 不等于角？ 嗯？ c o m 是 不等于二分之一的角？ a o c 是 不等于六十度？那现在是不就知道这个角是等于六十度了？他求的是什么呀？ b o c。 看 b o c， 他 要的是什么角？ b o n 等于角？ c o n 等于二分之一的角。 b o b o c b o c 是 不等于？呃，十五度是出来了。然后的话，我们再看 m o n 等于啥？ m o n 角 m o n 是 不等于角？ m o c m o c 减角 c o n c o n， 你 看 m o c 减去角 c o n 是 不就等于这个角了？那我们再看 m o c 在 哪呢？看见没有？我们找 m o c m o c 哪去了哟？哎。哦，这呢？看见没有？这，这是六十，是不？条件出来了，这是不就是它上面条件我都转换自己条件，用自己条件再去解决它的问题。然后 c o n 是 不在这呢？ 是不等于四十五度？这道题是不就搞定了？这就是他整个一道题的先去转化条件，听明白了没有？各位啊？然后的话，这道题咱 然后过一下思路，好，过过一下思路。首先我们先看 ab 直线 abcd 交于 o o e 平分 o e， 只要看见平分两个字，先找 o e， 好，先找 o e， ok， 然后 a o d a o d， ok， 这里给它出来。这是不是角平分线出来？角 f o c 等于九十度， f o c 等于九十度，好，九十度给它标注出来，然后它先给角 e 等于四十度， 他求角二角三了，是吧？来简单角三，看角三跟九十度，角一是不是一个平角？角三是不等于一百八十度？减角一减九十度， ok， 角三是不求出来了？好，角三求出来以后，紧接着他是不是？他是不是现在要求角二了？ 好，那角二怎么办啊？那我们先看角三跟这个角是不对顶角，我们先看一百八十，一百八十，减它，减它，减它，它是不等于五十度？那这两个看见没有？对顶角，它是不也等于五十度？好，那五十度出来以后的话，那这个角，这个角等于多少度？这个角是等于一百三十度， 对吧？这个角是一百，因为这也是个平角嘛。角二和这个角加起来加它是一百八十度， 一百八十度减去五十，一百三十度，一百三十度，这是角平分线，看见没有？所以这两个角是不是六十五和六十五，这道题是不就完事了？但是他的步走明白了吧？步走看见没有角平分线，你是不得出谁？ a o d a o d 是 不就出 a o e 等于角？ d o e 是 不等于二分之一的 a o d。 先准备自己的条件，明白了吧，把这两个条件出来以后，这道题基本上就完事了，然后看解析， ok， 嗯 嗯，这道题不用讲了，这道题比较简单哈。嗯，看一下还有今天哪道还有这道题好讲。讲一下这个题，这个题它其实就是呃 度分秒。首先我们先看举个例子，比如说三度减去一度十五分十六秒， ok， 那 这个题怎么开？怎么去写？首先老师给个建议哈，首先他是不先画出来二度， 二度的话，有一度是不是要跟他去打，变成了五十九分，明白了吗？为什么五十九？因为还有一分去跟他打六十秒，是不是减去一度十五分？十六秒，这道题是不是就出来了？ 他们进率是六十，明白了吗？他们进率是六十， ok， 这道题就搞定了，好吧，嗯，还有我看一下啊，食物业今天有个同学问我的哪个题哦？嗯， 好，我们再挑一道吧，挑个第十六题好吧。嗯，挑一个第十六题 来挑一个第十六题。首先我们先看点 o 在 直线 a a c 上，这是一句废话，不用管它。好，紧接我们再看，又看起，看见没有？又平分了， o d， 先找 o d o d， ok， 平分角 a o b 平分了吧？好，然后继续。 b o e 等于二分之一的 e o c b o e。 先找见 b o e 是 不是在这里？好，轻轻的点个点， e o c e o c 是 不是在这呢？好，教大家一个小诀窍啊！教大家一个小诀窍啊！呃，七年级上的几何题，只要出现什么比例，出现分数基本上百分之八十。玩 x 啊，一定要记住玩 x， 首先我们先看他俩谁大，他是他的二倍 b o 他 是为 x， 它是不是二 x， 搞定了吧， b o c x， 它是不是二 x？ ok， 然后又给出它，又给出什么？ d o e 等于七十度 d o e 是 不等于七十度？这个角是不等于七十减 x， d o e 等于七十度吗？它是七十减 x， 看见没有？这两个角是不相等啊，它是不是也是七十减 x？ 来看吧，它们加起来是不等于一百八十度？求出 x， 这道题是不就搞定了？ 但是你不能这么写，明白了吧，各位，首先第一个，因为它为角平分线，所以啊，角还得出，明白了吗？角 a o d 等于角 b o d 等于二分之一的角 a o b 先把条件给它列出来，明白了吗？先把老师应付了，听懂了吧？啊，这个只限于咱们自己听啊。好，然后我们继续看这个，这个是不是又因为这个，然后是不是射射射，他射，他为 x， 他 为二 x， 搞定了吧， 哎，出来以后，紧接着我把条件弄完以后去拿，自己拿这个条件去写题去。首先第一个来， 七十减 x， 接下来是不是你看又，因为这个角是等于七十，所以看见没有，所以是这个角是等于七十减 x， 这是不是自己整出来条件了？ 又因为什么？所以这个角是也等于 x， 为啥？因为这有看见没有，这俩角是相等的，这是已经我已经准备好了，因为你记住，考试解考试答案。最怕的就是老师问你个问题， 他为啥等于七十减 x， 能听明白了吗？这个时候你可以很骄傲告他，我第一步时候我就告诉你他两个角相等了，你还问我 能听明白意思了吧。所以说就是我把老师可能会问我的问题，我先先给他整体，先给他放一块，放那去，对吧？老师你问我来看那去，对不对？然后下面我用我的条件去解我的题就完事了，明白了吗？啊，这道题咱就过了， ok， 呃，然后这面有一道啊，这面有一道，嗯，有一道，我看还有哪道题哈，嗯，好看这个题啊，看这个题啊，首先他俩呼吁他俩相加就等于九十度，明白了吧？啊，他俩呼吁就相加等于九十度， 就这么简单啊，这道题就这么简单，你像这道题，咦，短个条件是吗？ 等条件。哦，看二十题。二十题的话，这道题我只讲讲一下这两个题啊。这两个题，首先我们先看 a、 o d 的 对顶角 a o d， 我 们先找一下 a o d， a o d 是 不是这个角。 ok， 我 们先看 a、 o、 d 是 由哪两条线组成，看见没有？ a o d， 是 不是这两条和这条，所以它对顶角是不是就这个？所以角 b o c 我 是不是就搞定了？好，接下来来削平。 咦， 算了，不找了。哎呦，好，然后接下来我们看第二小题，第二孔 b o c 的 零补角，我们先找见 b o c b o c。 看，这里是在这呢。 零补角看，也就是说谁跟它相加等于一百八十度，这个角是不是一个 继续继续啊？首先你看，从这这样是不出来的角，还有一个从这过来看见没有，这个角跟他是不是也是一百八十度？所以他是不是两个？第一个是不是 aoc？ 角 aoc 和角谁 挡住这你第一个是不是以这条边为直线的角 a o c 第二条边是不是以这条边为直线的角？是不？ b o d 角 b o d 是 不？两个零度角，它有两个， ok， 好， 然后的话， 来吧，又开始了， o e 平分角 b o f。 我 们先找这 o e o e 在 哪里？ o e o e 在 这里， ok， o e 平分角 b o f b o f， ok。 看见没有？这个橡皮就很劣质，明白了吗？你看看擦完黑的为啥说的买块好橡皮，明白了吧？把橡皮装抬过好了， 你看擦完以后卷上恶心的，正常的话，这我这个笔就是二二 b 的 芯，知道吧？二 b 的 芯画出来以后他有印，为啥做这种题最好用？ h b 的 芯，知道吧？轻点画，画完以后橡皮一擦是不留痕迹。做完第一题，因为这个图第一题用完，第二题，第二题用完，第三题要用 好。然后我们继续角 a o d 等于二十度，我们先找 a o d 等于二十度，好，我们二十度给它标出。像这个条件可以硬标，为啥呢？因为这个它是题大题条件，记住，大题条件给出来条件我们可以硬标。 然后我们继续看题，看见没有？ x 又出来了吧？角 d o f d o f 在 哪里？ d o f x 对 不对？ f o b， 呦，七 x， 这里是不是？这里是二分之七 x， 二分之七 x， 看见没有？正好是敲平方键嘛，对不对啊？然后的话，搞定了， 二十度加 x 加七 x 等于一百八十度，搞定了，我们再看 e o c， 他 们求谁的 e o c， 哦，搞定了，这道题首先是不先出，先出这个角，对吧？来，我们跟着我这道题写一下思路，好吧。首先解， 因为，嗯 o e 平分角 b o f 为什么要写步骤？因为你看 e e o c 看 e o c， 它是不要一半的，这个角看见没有？是不要一半，这个角加这个角，这个角的话，它是玩的是对顶角， 所以这道题它有两个考点，第一个就是二分之一的角，第二个就是对顶角，这是这道题它有两个考点，第一个就是我要写步骤了，知道吧？ 首先我们先看 o e 是 平分角 o e 平分角 b o f， 好， 所以我是不知道了。这个大角是等于它，所以我主要出它呢？所以角 b o e 角 b o f e o f 等于二分之一的角 b o f ok， 这第一出来了，我没换整数人，好，然后紧接着，紧接着，嗯， 好。然后又因为角 a o b 等于二十度，我是不是这已经体现了？好，然后的话，角 d o f 比上角 f o b 是 不等于一比七， ok， 这是不就所以了，所以射角 d o f d o f 等于 x， 角 f o b 是 不等于七 x， ok， 这是出来了，七 x 是 不？搞定了，好，然后我们记住，所以看见没有，所以 二十度加上 x 加上七 x 是 不等于一百八十度，我是不先做平角，对吧？然后解得 x 等于，我们看一下扔过去， x 等于二十度， ok， x 是 不是得二十度出来了？ ok， i 等于二十度。出来以后，紧接着问题就来了，他问的是谁？ e o c 好， 又因为角 e o c 等于啥？看 e o c 是 不等于角 e o b 加 b o c e o b， 我 说马上知道， 但是他是不知道，看见没有，他是不对顶角还得出一下好，等于啥？我们先挠头，先知道有他存在的对不对？再加，等于角 b o e 加上角 b o c， ok， 好， 然后的话， 然后角 b o c b o c 是 不出来， b o c 是 不等于角？你看他是不是跟他跟这个角是不是对？顶角是不等于角 a o d a o d 是 不等于二十度？第一个 b o c， 我是 不先出来条件，不然一会老师会问你，他为啥等于二十度，你没有回答呀，对不对？好，然后的话这个是不也知道了？角 b o e 是 不等于 角 b o e 是 不在这里？看见没有哪去了？我的 b o e 呢？在这里是不是？ b o b o e 是 不是在这里？是不等于？它是不等于？那是不就等于二分之七 x ok 是 不等于多少？看把它带进去是不等于七十度， ok， 这不出来了。所以角 eoc 是 不等于二十度，加上七十度是不等于九十度， 这道题是不就搞定了？明白了吧？就是初中老师就只想到一个小点哈，就做这种题的话，几何题的话就是不要让人家判决老师问你，比如说判决老师就问，如果说我举个例子，没有这一步哈，没有这一步，老师就问一个问题，这个二十怎么来的， 你怎么回答，对吧？这二十怎么？我就问你这个二十是怎么来的？为什么？为什么他会问你为什么 boc 等于二十度？ 你要我跟他解释啊？啊？老师，因为他俩是对顶角，请问题上面有没有体现？没有，是 这个道理，你没有，那为怎么去给你分？可能判的很细的，老师判的就是可能，呃，给，可能就是老师可能比较好一点的，可能得过且过，这种题的话就是看一下答案，对了，基本上就把分给你了。但是如果说， 如果说遇到一些，比如说比较轴的，老师就是跟你要步骤，明白了吗？所以一定要给老师。记住，我们不是说去了写步，我们不是说为了写步骤而而去写步骤，我们的目的是什么？这道题我去，既然会， 我肯定就不能丢分，那如何能保证不丢分呢？就是任何老师问我的任何问题，我都能给你体现出来。 ok， 那 我百分之百，谁来了，谁来了也不好使对不对？谁也来了，谁来也扣不了我的分就完事了，明白了吧？ 不要怕写字，知道吧？写字不怕，最怕的是你，你脑子里头你，你明会，明明会，但就因为缺点东西，然后丢个一两分就很麻烦，明白了吧？

啊，咱们第一张的丰富的贫，丰富的几个图形里边，像这种题目应该就是稍微有点难度的哈。 嗯，第一张那个考的比较多的就是三图，主图、左图和俯图像，这个题告诉你了三图中的两个，然后另外一个没告诉你，然后让我们来判断一共 有几个这个小正方形。咱看这个题目啊，说若一个几何体有若干个完全相同的小正方形构成，并且该几何体从正面和上面看到的形状就从正面看，正面看就叫主色图，对吧？上面看的就叫俯俯视图。 然后问你构成这个几何体的小正方形的个数最少的时候的体积和能看到的表面积。 好看，这个题咱们怎么来解决它？一看主次图，看告诉你这个了，这主次图反映的是什么？ 能看到的是这个几何体的长长和高高，然后俯视图看到的是宽宽和长长，然后左竖图这个没给，那左竖图能看到什么？ 宽宽和高，那么这个也就说这个小正方形的长是二，高是二，然后它的棱长是几 一一八，接着咱们看它最少的时候是几个六，怎么判断出六个呢？ 咱们这道题啊，有一个传统的办法，怎么办呢？往俯视图上标，每个位置的小中文题有几个。那你看这个俯视图， 这些位置都得有吧？肯定有，最少得有五个。不，我说这个位置每个位置最少得有几个？一个一个吧。那再看辅助图，辅助图，哎，第一排是几个？两个，第二排是一个一个。好，那辅助图 对应一个的位置是在哪？这边是一个是不是？嗯，对应到辅助图是在哪呢？ 右边，右边这俩是不是你就说这两个地方这就只能有几个？一个，一个地方能不能有？不能，是不是如果有俩的话，这就划几个了？两个了。因为你看到这边这排面就一个，所以对应到这地方， 用完这排这个每个位置最多就是六一个，而且固定的就一个。好，再看前面这三个，这三个他都看的是几个两两个。是两个的话，那是不是就这三个位置肯定有一个位置的，是几个 两个，两个呀？不管哪个位置是两个，那你看到左手头是不是的斜线的地方都这一排都是几个两个吧。那可以是，这是两个，可以，这是两个，可以这个地方是两两个。那这有几种情况？三种三种情况。 那可能是这个地方肯定就是一个一个呗。好，这样最少是几个？ 六个，最少就是六。那么最多呢？ 最多是几个？八个，最少是六个。 哦，最少六票，然后最多是八个。 最多就是这地方是两个，这地方也是两，这地方也是两两。所以它一共构成的个数可能是六到八个，可能是六个，也可能是八个。八个。 好，那么现在咱问你题目是问你最少的时候他的体积是多少和看到的表面积。体积好办了，最少六个，每一个，这么体的体积是 一吧，所以体积就出来了，就是六六，所以微最少时的体积就等于六，那么最多就是最多时候的体积就是几八倍啊。现在这个体积好算，关键是表面积，你说怎么算？ 怎么求？它的表面积最少是它表面积。从上面看，从上面看加左面看，加到左面看的，再加上什么？正面看？正面看的，也就说我要算它能看到的表面积，实际上 我就是怎么算？你是把这个还原了之后，脑袋想这个几何体是什么样的，再去一个个面找吗？ 那样找是不是容易错错？那怎么办？可以从哪去解决？三式图对不对？从三式图能看到的，你想想，对于这个几何体，我们能看到的面分别是哪几个面？ 主视图、主视图、俯视图、俯视图和左视图。左视图吧，这是看到三个面。那你一共能看到几个面？ 能看到那面？看到几个面？是不是五个吧？还有从哪看的？正面看的是不是图？那么还有从后面，后面看，那你说从正面看的和从后面看的 一不一样，一样，对于这几个是不是一样的？好，那再咱们再想，从左边看的和从右边看的一不一样，一样，是不是也是一样的？ 然后再就是从上面看的和从下面看的一不一样也是一样，但是从下面看的，咱们不求的说能看到的吗？ 那这道题目先解析的关键就是我们左手图出来了，左手图还得把什么竖图画出来？左手图好，把左手图画出来。左手图是从哪边看呢？左左边看呢？左边看。从哪边看呢？是不是？嗯，这边吧，是不是从这边看呢？ 从这边看呢？那你看怎么画他的左手图？第一排是几个？ 从左右头看能看到几排？三排，三排。第一排是几个？俩俩，然后第二排是一个一个，然后三排第三排呢？一个也是一个， 是不是这样的？嗯，这是当然。这个左食图最少的时候一共几种情况？ 我若这么画，是不是这种？还有可能这个放在哪？中间，中间，还有可能这个挪在哪？右边，右边，所以它有三种情况，那咱这个就画一种就行。这三种情况因为它的个数一样，所以它的表面积也不会发生太大的变化 啊，那这是从左边看的？好，那咱看看，我从右边看和他一不一样。嗯，右边看看是不是从这边看。嗯，第一排也是几个？两个，两个， 然后第二排是一个一个，然后第三排是一个。要是换位置的时候就在这了，是不是他也挪到这了，然后这个两个人挪到这地方是不是也挪到这？和这左右都是怎么了？一样的，一样的。 所以我们在求表面积的时候能看到的表面积是不是就好办了？嗯，主是图，这个乘以几 二吧。嗯，数数，这是能看到这镜面是几三，一二三，是不是三个，所以三乘二，对吧？加上数数，这是几个？五个，五个吧，一二三四，你可别加六个了啊，这只能看到这是五个，加上五， 他是六个正方，但是我们六个小正方体，但是我们能看到的是五个，五个，这五个啊，这是这个左的图是几四？四个，但是还得加四，再乘以几二二，所以我们能看到几个面？你看一看到这五个面，然后就表明你算出来就可以了。 图结尾得多少？一对六加五十一，十一加八十九，最多的和这个最少的算法是什么了？一样一样的。 嗯，这种题目得解题关键啊，解题关键和解题思路从哪入手？ 俯，俯视图，然后呢？从俯视图把每个位置可能会有的正方体的个数通过左视图或者是主视图给它标上。 是这六题这种题目的解析思路和切入点哈。从俯视图入手，然后看每个位置可能是几个，那每一个可能几个从哪能得到呢？从俯视图或者是左视图得到。

各位同学大家好，今天我们一起继续学习几何图形的第二节课。在上一节课的学习中，我们发现我们日常生活中存在各种形状的物体，这些物体的外形都可以抽象成几何图形。 有些物体的外形可以抽象成立体图形，有些物体的外形则可以抽象成平面图形。比如这个地球仪，它的外形可以抽象成立体图形中的球。 这个水杯，它的外形可以抽象成立体图形中的圆柱。 教室里的钟表，它的外形可以抽象成平面图形中的圆。 五星红旗的外形可以抽象成平面图形中的长方形。那么对几何图形形状、大小、位置关系的研究，可以帮助我们更好的认识我们身边的世界。 那么这节课就让我们从如何正确观察几何图形开始吧！ 如图，这是一个立体图形还是一个平面图形呢？ 它看起来很像立体图形，实际上它是一个画在一张纸上的平面图形。 他很容易让我们认为他是立体图形的原因是我们的日常经验和大脑有时候容易影响我们对客观事实的 判断，他实际上是一幅立体画。再看这支笔是放在台阶上吗？显然这也同样是一幅立体画。 立体画可以将任意一幅平面的图画转换制作成具有三 d 效果的立体图画。在一个位置看到立体效果， 画中的事物既能深藏画中，又能飘逸画外活灵活现，栩栩如生，给人以强大的视觉冲击， 让人看后流连忘返，过目不忘，被誉为有生命的图像。下面再让我们看几幅神奇的立体画， 这是越燃纸上的功夫熊猫，这是晶莹剔透的一只酒杯，这是正在休息的米老鼠， 这是栩栩如生的一匹骏马， 这是朝你飞来的蜘蛛侠， 这是让我们如临其境的地面装饰。那么这些绘画大师们高超的绘画水平让我们感叹的同时，也让我们的视觉产生了错觉， 看来眼见不一定为实。当然，这些立体画的神奇效果是需要有一个特定的位置 去观察的，如果我们换一个位置再去看这幅立体画，可能得到的立体效果就不那么明显，甚至看不出立体效果。 下面让我们再来看生活中的几个物体的图片。我们来看一支笔能穿过并列放置的两个正方形木框吗？ 我们亲眼看到一支笔穿过了并列放置的两个正方形木框，这看似不可能的事，问题出在哪里呢？我们换个方向再去看他， 这时我们发现这两个目框并非并列放置的，那么实际上是从特定的方向看，像是 并列放置的两个正方形木框。存在这样的三角形吗？这是一个全然不可能的三角形，他不可思议的创造了一种视觉扭曲感。 英国数学家罗杰彭罗斯和他的父亲推广了这个图案，在一九五八年二月的英国心理学乐刊上发表，称他为最纯粹形式的不可能， 因此我们也称它为铜螺丝三角形。虽然它被称为最纯粹形式的不可能，但是有的同学可能不相信它的模型是可以制造出来的。这个模型最早是有一位瑞典的艺术家在 在一九三四年制作完成，同学们可能会很好奇这个模型是怎么制造出来的？下面我们一起来寻找答案。 大家一起来看。这是一个彭罗斯三角形形状的装饰品，既美观又神奇。这是他的第一张照片。我们再来看第二张照片， 这时我们会发现这个彭罗斯三角形的装饰品好像并不是一个完整封闭的整体。 再看第三张照片就更加明显了。有的同学可能发现这个不可思议的彭罗斯三角形好像并不是那么神秘了。在澳大利亚东坡斯也有一座 彭洛斯三角形的雕塑，这是他的第一张照片。我们再来看他的另外两张照片。 看完这三张照片后，我们终于发现了这个彭罗斯三角形的真实的图形结构，也知道了为什么这个被称为最纯粹形式的不可能的雕塑是可以被制造出来的。 当然了，这主要是因为我们从不同的方向去观察，才发现了它的完整的形状，所以这同样和我们观察一个物体的方向有关系。 下面我们再来看几幅有意思的图片，这是一个羊驼人吗？显然不是，是相机的拍摄方向造成了一种羊驼人的效果。 这是一个悬浮空中的演讲者吗？这个演讲者真的能悬浮在空中吗？答案应该也是否定的，我们仔细观察，发现地面上的阴影其实是其中一面旗子的影子， 当然这也和拍摄这张照片的方向有关系。那么楼梯呢？在我们生活中呢，很常见。我们来看这幅图中的楼梯，到底是下楼的角度还是上楼的角度呢？ 这很难看清楚，因为这张照片中的特征并不明显， 如果想要弄清楚，可能还是要去问问拍摄者，也就是我们要知道拍摄这张照片的方向。 这是一个袖珍女孩吗？当然，这其实也是一个有趣的视觉误差，其中这个站立的女子的手误导了我们的眼睛。 我们仔细观察，会发现地面上有一个标志，也就是只有站在这个标志上才能形成这种视觉效果。当然，更重要的还需要一个从特定的方向去拍摄它。 这是一栋薄薄的建筑吗？同学们看这个建筑看起来只有薄薄的一层，显得很不真实， 而事实上，他是存在于我们的现实世界的，就位于德国的汉堡。那么我们一个建筑的形状也不一定都是四棱柱形状的，也可以是 三能柱形状的，对吗？那么在看了上述的这些照片后，我们发现，当我们观察一个物体时，形成的画面与我们观察的方向是有关系的。那么避免上述错觉的最好方法就是从不同方向去观察。 那我们从哪些方向去观察一个物体，才能够获取它完整的信息呢？ 我们以长方体为例，长方体有六个面，如果我们从上下左右前后都去观察它，是可以确定它的形状和大小的。 而实际上，对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理。 一般情况下，我们观察一个立体图形都是从正面看，从左边看，从上面看，从不同方向看，立体图形往往会得到不同形状的平面图形。 那我们从正面看这个长方体可以得到一个长方形，这个长方形的一组林边对应的是原长方体的长和高。 我们从左面看这个长方体还是可以得到一个长方形，而这个长方形的一组林边对应的是这个长方体的宽和高。 我们从上面看这个长方体得到的同样还是一个长方形，而这个长方形的一组林边对应的是 是原长方体的长和宽。那么我们从正面、从上面、从左面去观察这个长方体，得到了三个平面图形。 根据这三个平面图形所对应的原长方体的数据，我们把它按照如图所示的位置进行放置。关于他放置位置的描述，我们有一句口诀 叫长对正、高平齐宽相等。那么如何去理解呢？我们来看， 我们先把从正面看得到的平面图形放好，然后在这个平面图形的正下方 放置从上面看得到的平面图形，从而体现了长对正，然后在他的水平右侧放置从左面看得到的平面图形，这样既体现了高平齐，同时更加直观的体现了宽相等。 下面我们就尝试着从三个方向去观察一些立体图形。 我们先来看例一，如图是一个由九个正方体组成的立体图形， 分别从正面、左面、上面观察这个图形各能得到什么平面图形，动手画一画 好，同学们画的都非常不错，而且也注意到了这三个平面图形的摆放位置， 这是从正面看得到的平面图形，那么我们在他的正下方放置从上面看得到的平面图形，然后在他的水平右侧放置从左面看得到的平面图形， 那么对于这个结果，老师呢再提醒两点，一、我们能够看到的小正方体的冷场对应的是我们平面图形中小正方形的边长， 那么在绘制这些平面图形时，我们要画出来，这样才能真实的体现出这个立体图形是由一些小正方体组合而成。二、 我们在画的这三个平面图形中所涉及到的小正方形的边长要一致，这样才能真正落实长对正高平齐、宽相等。 好，下面我们来看。例二，如图是同一个圆台，按照不同的方式放置了示意图，从上面分别观察这两个图形各能得到什么平面图形，动手画一画 好，同学们已经画完了，那么从上面去分别观察这两个图形，得到的平面图形都是两个同心圆，那么对比后，我们发现 左图中的这个圆台，我们从上面去观察他，可以看到他的上底面和下底面的两个圆，我们用实线进行绘制，而右图中的这个圆台，当我们从上面去观察他时，有一个底面是被挡住的， 那么为了正确的表示这个图形的结构，我们用虚线进行绘制 好，下面老师呢出几道题考一考，大家我们来完成三道练习题， 先看练习一，分别从正面、左面、上面看圆柱、圆锥球各能得到什么平面图形 好？这三位同学答的都非常好，我 我们先来看第一个圆柱，这是从正面、从上面和从左面观察他得到的平面图形。那么老师提醒一下，从正面看和从左面看得到的两个长方形是完全一样的， 这个长方形的长对应的是圆柱体的高，这个长方形的宽对应的是圆柱体底面圆的直径。 我们再来看从三个方向去观察圆锥得到的三个平面图形。 老师提醒一下，从正面看和从左面看得到的是两个完全一样的等腰三角形，那么这个等腰三角形的底对应的是圆锥底面圆的直径，而我们从上面 看这个圆锥时得到的是一个圆及其圆心，那么圆对应的是圆锥的底面的圆弧，而圆心这个点则表示的是圆锥的顶点。 好，第三个立体图形是球，那我们从三个方向去观察得到的是三个完全相同的圆，而这个圆的直径对应的也是球的直径。 好，我们来看练习二，分别从正面、左面、上面观察这些立体图形各能得到什么平面图形， 这些立体图形都是组合体。 好，同学们画的也非常好。 我们先来看第一个立体图形，它是由两个长方体组合而成，所以在这特别注意的是，当我们从正面去看它时得到的平面图形要绘制成两个完整的长方形，这样才能真实的反映它的图形结构。 第二个是由底面相同的一个圆锥和一个圆柱组合而成，那么在这里同样提醒，当我们从上面去看他时得到的平面图形还是要画出圆及其圆心的 好。第三个，这个立体图形是由四个小正方体组合而成，那么对于他的注意事项，我们和刚刚讲过的立一是一致的。好，下面我们来看练习三， 下列左图表示从上面观察一个由相同小正方体搭成的几何体得到的图形，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数， 则从正面看该几何体得到的图形为 a、 b、 c、 d 中的哪一个呢？ 根据提议，我们发现从上面看这个几何体得到的图形是有六个小正方形的， 那么这就说明这个几何体是由六组数值放置的小正方体组合而成，而每组小正方体的个数就是对应的这个小正方形里面的数字。所以我们要想知道从正面看该几何体得到的图形是什么？我们可以采用的 一种方法是逐步还原立体图形的结构，也就是我们可以先还原第一横排的这两组， 然后根据题意，我们再继续还原第二横排的这三组，最后我们还原第三横排的这一组，这样的话我们就可以找到从正面看该几何体得到的平面图形，那么答案是 c 选项。 当然了，更实用的是老师想说的第二种方法，也就是直接构造从正面看得到的平面图形。 那么根据我们正确的理解题以后，我们还可以把这个几何体看成是由三纵列小正方体 组合而成。那我们从正面去观察这个几何体的最左侧这一纵列，我们可以看到四个小正方体，那么对应的平面图形是最左侧应该是由四个小正方形竖直放置。 然后我们观察这个几何体的中间这一纵列，我们是可以看到三个小正方体的，那么就可以对应得到平面图形中中间应该是由三个小正方形竖直放置。 最后我们再观察这个几何体最右侧这一纵列我们可以看到两个小正方体， 那么对应的就可以得到平面图形中最右侧应该是两个小正方形竖直放置，这样我们就找 到了从正面看该及格题得到的完整的图形，那么答案是 c 选项。 下面我们来小结一下本节课的学习内容。这节课我们学会了确定物体的形状特征，要从三个方向记，正面、上面、左面进行观察，分别可以得到三个平面图形， 如图是这三个平面图形的摆放位置的要求。那么在学习过程中我们也体会出了对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理，这也体现了数学中的转化思想。 那么本节课也展现了同学们出色的空间想象能力，老师期待同学们在几何图形的学习中收获更多。那么本节课就上到这里，同学们再见！

我们来讲解一下苏州工业园区的期末卷。我们先来看一下选择题，都没有什么难度。第七题和第八题来看一下第七题。呃，读题加一两。对打足球 比赛规则，每胜一场得三分，平一场得一分，负一场得零分。一共赛了七场，假队不败得分超过十五分，假队胜了几场呢？我就舍假队胜了 x 场。那这个时候啊，因为苏州已经学了不等式了，那就列个不等式就行了啊，你胜了 x 场， 那么你就知道我平了多少场。说平了七减 x 场得分呢？胜 x 场三 x 分， 平七减 x 场得七减 x 的 分大于十五得 x 大 于四，也就是说 剩的大于四场。大于四场，那不就至少五场了？那就选个 c 就 ok。 还有一个，你没有学过不等式，那就特殊值试一试呗。你看 a、 b， c， d 啊，五场最多五场，至少五场，至少六场。 所以我五场试一试行不行？行，六场试一试行不行？行， 五场，然后接着继续啊。呃，还有一个呢。 sorry， 还有一个，我四场试一试行不行？ 这个发现不行，四不行，五行六行，那么是不是就至少得是五呀？第八题啊，这个是把一个图形给它 变成了一个我们所学的平线的知识，也非常的简单，他问 b、 a、 e 和 a、 e、 f， 你 这里是垂直的呀，题目中说了是不是垂直嘛，所以这里是个九十度 啊。根据这个铅笔头模型你应该知道吧， 铅笔头模型那所求的角啊，就这个加这个加这个三百六。哎，所以呢，你这个加这个就是两百七。我选 b 就 行了啊，正儿八经多呢， 就是与拐点做平行，你可以与拐点做平行吧。与拐点做平行， 我们做平行啊，把这个 a 啊，这拐点做平行， ok， a 分 成两部分，一部分是阿尔法，一部分是贝塔。啊，那么 看一下啊，贝塔加一个阿尔法加，我们这个叫嗯， x 吧，是不是 x 看下等于多少啊？三个字母都不写了，咱们写小一点。贝塔就是一个九十度， 阿尔法加 x， 因为我做了一个平行，所以就是一百八十度，结果就是两百七十度，还是依然是 b。

这是七年级上学期必考的几何图形动点问题，我们一起来看一下。甲乙两动点分别从正方形 a、 b、 c、 d 的 顶点 a、 c 沿着正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙呢，按照逆时针方向环形，乙的速度是甲的速度的三倍， 并且呢，他们第一次相遇是在 a d 边上，请问他们第二零二五次相遇是在哪条边上？那很多同学啊，看到这样的题目呀，就一筹莫展了 啊，我们来看一下这个题的切入点到底在哪？那这个题的切入点呢，就在这乙的速度是甲的速度的三倍，那我们来想一想，甲和乙他们的运动时间是一样的吧，他们的速度如果说是三倍的一个关系，那是不是也说明他们走的路程 也是三倍的关系啊？那我们首先我们可以得出来一个式子，就是 s e 啊，比上 s 甲，它等于三比一的关系。那我们再来想， 如果说我们将这个正方形的边长呀，我们设为 a， 那 他们在第一次相遇的时候，我们想他是不是从 a 到 c， 他 们走的路程之合，是不就应该是他这两个正方形的边长之合呀？ 那也就是他总共走的路程是不是二 a， 我 们先算一下甲的路程，他等于二 a， 那 然后甲的话他是占了整个路程的四分之一，所以说他占了四分之一 啊，那所以说我们是不是可以去计算出来甲的一个路程呀，那就是等于二分之一，那也就是说他们在哪相遇了，相当于甲才走了这个正方形的边长的一半的一个路程，他们就相遇了，我说那这就是第一次相遇 那个点。好，那我们再接着往后看，他们在第二次相遇的话，应该是一个什么情况呢？你想乙从这那是不是就往左走了呀？ 好，甲的话是不是从这继续往右走？那他们在下一次相遇的话，他们要经过的一个路程，那就应该是这个正方形四个边长的一个核了。哎，于是这个正方形一周的核了他的总的一个路程，那你想那甲在其中是不是还是占了四分之一啊？那所以说，哎，他再乘以四分之一 也是假呀。在第一次相遇之后，他走的走路程一共是 a， 那 我们现在来看，他原来相遇点是在这，那他走了 a 这个路程，那是不是应该到这了呀？啊，那也就是说咱们走到了 c、 d 的 终点去了，那这就是第二个情况，那很多思维敏捷的同学已经找到这个规律了，那第三次是不是应该在 b c 的 终点？ 第四次是不是应该在 b a 的 终点？再一次，这不又回到了 a、 d 的 终点啊？那所以说这就是一个循环。那现在这样去求第二零二五次它们相遇在哪条边上，我们是不是就用二零二五 去除以四，我们看着它余几就行了呀？我很明显发现它应该是等于五零六余着一， 那所以说于这一，那就应该是在哪条边上，那应该就是在这个 a d 边上，那也就是他第一次然后相遇的那个点。好，那所以说我们应该是选 a d 啊，也就是 a 选项，那你学会了吗？点关注田老师，带你学习更多的数学解题方法。

来，各位家长啊，黑板上的这道角的计算看似非常简单，但是呢，好多同学呢，都不得分儿，这是为什么呢？你看， 已知角 a o b 等于七十度，以 o 为端点作射线 o c， 那 么使角 a o c 等于四十二度，则角 b o c 的 度数为多少？ 嗯，这道题呢，其实他是不难的，但是呢，他是牵涉到什么呢？有题无图，所以就非常容易出错啊。大家说，有题无图的情况下，我们一定要注意什么样的一个原则，那么就是分类讨论， 对吧？啊，如果它的图形给你了，那你确定呢？你照着它的图形去分析就可以了，但是呢，它没有图，那你画的时候，你就要特别小心，比如说角 aob， 那 么 等于多少呢？等于七十度，是吧？以 o 为端点做射线 oc， 使角 aoc 等于四十二度，大家你想一想啊，比如说我们这里面呢，有一个啊，这样的两个角吧，嗯，这一个角 也是 a o b 啊， a o b。 呃，那么我们在画这个 o c 的 时候，你要特别注意，因为我们这个角分角的内部和角的外部，你这个射线 o c 呢，到底在角的内部还是角的外部呢？是不是？所以我们要分两种情况讨论，那么第一个呢，如果它在角的内部， 嗯，比如说做射线 o c， 对 吧？嗯，这是这个呢，是四十二度，而这个呢，总的是七十度，七十减四十二，那所以这个 b o c 就是 多少呢？就是二十八度就可以了。 那如果说我们这个啊， o c 这个在这个三角形 a o b 的 外部的话呢，那我们也可以画一个，这是 o c， a o c 是 四十二度，那本身这个角呢，是七十度， 那很明显，这时候这个角 b、 o、 c 的 度数，那就是四十二度加七十度，等于一百一十二度。那所以我们这道题呢，应该有两个答案，那么一个答案呢？ b、 o、 c 是 二十八度，或 第二个答案呢？是一百一十二度。大家记住这个原则啊，有题无图，分类讨论，那你就不会出错了，有关这个角的计算呢，他有八大题型专题资料呢，已经给咱准备好了回复角的计算，拿去练习。