浙教版八下第一章二次根式基础练习题

这类二次根式求最值问题啊，年年考，孩子年年不会竖形结合，这样的提分神器呢，课本上讲的是蜻蜓点水，老师呢，更是讲的不痛不痒，但是有些学霸却用的太六了，就像这道题， 很多孩子呀，看到根式求最值，脑子里面除了配方就是代数法，那么今天呢，老师就用竖形结合的方法，带你彻底学会这类题，考场遇到直接拿分！好，我们来看题， 其实这种题啊，考场上往往是以什么样的形式出现，阅读材料的形式出现的，那今天呢，我们就抛开材料，直击本质，给大家说一说啊，这种题怎么做？首先呢，我们的回归书本啊，书本上关于我们根式求最值的最浅显的知识点在哪啊？在勾股定律里面。 好，咱们复习回忆一下啊，如果你拿到一个直角三角形，我知道了什么呀？直角边是 a 和 b， 那 么斜边是多少呢？来表达一下，就是根号下 a 的 平方加 b 的 平方，为什么呀？因为咱们都知道直角三角形勾股定律， a 方加 b 方是不等于它的平方， 它平方一开方，是不是根号就没了，就是 a 方加 b 方了呀，对不对？ ok， 所以 说你看根号下面平方加平方就是勾股定律。所以说，咱们可以把这样的知识点迁移到 我们对应的这个题当中，你会发现啊，根号 x 方加九，我写成平方加平方，是不是应该写成根号加 x 方加三的平方？ 能理解。好，那这个我也想写成平方加平方，但这里苦于多了一个什么负十四倍的 x， 所以 怎么办？需要用到配方的知识，好，再次迁移到另外一个知识点啊，就是配方。那配方怎么用呢？咱们也来同样的迁移一下啊，配方的知识点是什么呀？叫做一半方的原则 啊，什么意思呢？就是看好了啊，就是 x 方减十四， x， 好， 注意，一半的平方是他的一半，对吧？好，那就是七的平方就可以了，因为他呢，就能写成 x 减七，完全平方公式就出来了， 但你会发现原来是六十五，对不对？六十五减去四十九，答案是几？是不是十六？ ok， 所以 说呢，这里面我们就继续给他再加一个十六，也就是四的平方， 可以吗？好，那这边呢，就是加上四的平方，所以说原题目的这个式子就变成了什么？这个式子就变成了根号下 x 减七括住的平方，再加上四的平方。好，那我们来写下这个题的过程啊，首先呢，第一步写个解字 原式整理一下啊，根号下 x 方加三的平方，好，再加上根号下，这边整理是 x 减七的平方，再加上四的平方，现在求的是它的最小值。好，这是我们的第一步，结合书本知识点反馈到对应的题型当中。好，第二步呢，我们要讲一下什么叫竖形结合 好，咱们来看一下啊，我先打个草稿好不好？来把它表示一下，是 x， 那 这个地方是不就是根号下 x 方加三 草稿纸，好吧，然后另外一个地方呢，咱们去想啊，一个你就要把四和 x 减七怎么放置的问题，好，比如说他能不能放成 x 减七，他能不能放成是四， 对吧？这里是一个直角，那这条边是不是根号下我就不写了，对吧？ x 减七的平方加四的平方是不是？好，那现在求什么呢？各位，大家琢磨一下啊。求的是，这是 a 点啊，这是我们的 p 点，这是我们的 b 点，求的是啥？大家想想回忆一下，这样的知识点在哪出现过？好，这是一条直线， 是吧？然后呢，我求的是这个点是三吗？到河边的距离是三，这个点到河边的距离是四，我求的是他加他的最什么值？最小值，你求的不就是最小值吗？ 是不是？但这里面有个小小的问题，什么问题呢？大家去琢磨啊，你这个长度现在来说是不是 x 加上 x 减七，因为 x 是 一个动点，我不知道它在哪，那怎么办呢？各位， 哎，有个好的方法，是什么方法？大家琢磨啊。 x 减七的平方是不是和七减 x 的 平方是一样的，对吧？偶次方里面是相反数，其实道理是一样的逻辑，所以说这个题我就把这个 x 减七啊，变成什么 七减 x， 那 这样的话，你想想这段长度是不是 x 加上七减 x， 等于七是一个固定的状态了， 能理解吧？好，所以说呢，我们来整理一下啊。好，我们再次把这个十字整理，整理成啥呢？等于根号下 x 方加三的平方，再加上根号下，哎，七减 x 的 平方再加上四的平方。 好，到这里呢，我们利用刚才所学的竖形结合的思路来再次给大家重新换个草稿啊，来整理一下啊，这里是三， 这里是我不知道的是 x， 对 吧？那这个地方就是它，好吧，然后呢，另外一个地方来看一下啊，现在这一段呢是多少？是不是七减 x 这段呢？是四直角，那这里是，这段，就是我们它的根号，是不是？我现在求什么？是不就是它加它的最小值？来回忆一下，将军一马怎么做？ 将军一马模型怎么做呀？是第一步先对称，因为什么呀？各位，求的是折线相加最小，对吧？怎么办呢？是不是贡献原则，把它翻折下去，翻到这里来，依然这里是三，这里是直角，那这个线段是不是和它是相等的，对吧？而且你刚才的这个地方是 a 点的话，翻下来这里是不是 a 一 撇点， 是不是？好，然后紧接着这里是 b 点，好，现在求的什么？各位，求的是 a p， 因为 p 点是在上面动的，是个动点，对吧？求 a p 加 b p 的 最小值，就变成了求 a e 撇 p 加 pb 最小值，什么时候最小？各位思考一下，是不是三点共线的时候，哎，当前请当它 它两点一连，那这个是不是我们真正的 p 点，对吧？然后这个时候你会发现 a p 在 这里啊，它加它最小值，因为把它翻折下来，是不是 a 撇 p 加 b p 最小？那现在怎么求这个最小值？各位，哎，把它构造一个直角三角形，求斜边构造直角三角形，是吧？然后这里呢？是四， 对吧？然后呢，我们现在是把它对称下来了，是吧？ ok， 这里是七，对吧？然后呢，这里是个翻折，你看啊，我是把三啊这样子平移过来，这里是三啊，其实这里是三， ok， 那 因此就是七七斜边是多少啊？等腰直角三角形，答案是七倍根号二，所以说 他的最小值为七倍根号二就可以了，好吗？哎，这个题你看啊，他的核心思路就是利用我们的什么数形结合，把它转化成我们刚才所描述的那个模型。 ok， 我 再来画一下啊，就是这里是三啊，这里是 x， 然后这里是七减 x， 然后这里是四， 然后呢，我们的方法就是第一步先对称，三对称到这个位置，这里是三，然后呢，连接他来，对吧？然后呢，这里构造一个直角三角形， 是吧？这里是三，这里是四，这里是七，那么这个边就是我们的七倍根号二，各位，这个题你看啊，从书本上的一个知识点，两个知识点，三个知识点综合成一个对质问题，所以说这个题难度有点大，需要大家好好体会，各位，你听懂了吗？

哈喽，来，咱们今天呢，我们进行我们整个系列呢叫做十题学一章，我们这个系列呢围绕的是某一个章节，用十道题把这章节呢讲清楚，讲明白。那么咱们今天呢来看的是二次根，二次更式， 我们所谓的二次更式呢，是整个在八下呢各个版本都会提到的一个章节。那咱们来看这一道题目，首先呢，我们说这道题目呢，叫做已知 y 等于根号下一减 二， x 加上，根号下二， x 减一，再加上根号下 x 平方减二， x 加一这样一个形态的题目，那这个题目怎么做呢？回归到这个题目本身，你要切入的一个点就在于我们关于二次根式它的定义的形成。 二次根式呢，强调的是一个关键点，他说我的根号下是必须要保证恢复的，那么这个时候呢，我们提到说一减二 x， 二 x 减一呢，我们就能得到，其实你不用多想，你比如说我要得到的是东西是什么呢？我说，哎，一减二， x 呢，就得大于等于零，是吧？那同样的，我这个地方二 x 减一呢？二 x 减一呢，也得 大于等于零，那么这个时候呢，你就会发现，你又要保持一减二， x 大 于等于零，又要保持二 x 减一，也得大于等于零，那这个时候这两者共存的情况下呢，那就只能是一减二 x 等于零了， 那如果说我要让它等于零的话，那么 x 就 能够得到， x 就 等于二分之一了，对吧？ x 等于二分之一，这两者呢就全部它的根号下，因为都是只能为零了，那都为零，不管它了，是吧？那咱们就要盯着这里，盯着这里，因为我 x 现在已经得到了，那我就剩了整个的这个 根号下 x 平方减二， x 加一，它的形态呢？我们说它可以变成什么呢？变成根号下什么 x？ 因为我们知道学过完全平方式，它可以变成这样的一个形态，根号下 x 减一的平方，根号下 x 减一的平方呢？对于它的一个处理形式，我们要明选， 根号下一个完全平方的形式，里边呢是平方，外边是开放，那么这个时候对它的一个操作方式，首先记住这个地方呢，你不能说我直接变成 x 减一，你要变你也只能变成什么？ 变成 x 减一的绝对值，因为这个地方呢，它是先平方再开放的，所以呢，尽管你上下呢进行了一定的递销，但同时呢，你里边不管它里边是一个 x 减一，我是一个负的，我是一个负数，我出负数的平方呢，也就变成了一个正数了，对吧？所以呢，这个地方变成了 x 减一， x 减一呢，我的二分之一带进去之后，我的 x 减一呢，就可以得到它是二分之一，减一的绝对值就是二分之一了，至此我们就可以得到我的 x， 在 这里我已经确定出来了，对吧？我的 y 呢？ y 是 谁啊？ y 是 这个地方零是吧？零这个地方呢也是零，对吧？这个地方呢？哎，整体呢，我得到了它是二分之一，所以呢， y 就是 二分之一了。那么咱们再回归到我们的主关系式当中来看一下，这里呢给我们强调的是 x 减加 y 的 二零一，零减 x 乘以 y， x 是 多少？是二分之一， y 呢也是二分之一，两二分之一相加呢，我们就说原式对不对？原式，我们说这个地方等于什么呢？ 等于二分之一加二分之一的二零一零次方还是一，对吧，然后呢，再减去一个什么二分之一乘以二分之一，那么让这两者相乘，就是一减去四分之一，就变成了我们的 四分之三了，对不对？所以这个题目呢，就搞定了，这个题目搞定的同时呢，咱们要记住啊，对于这种形式出现在同一多项式的形态当中呢，我们要默认他，首先呢，里边大于等于零这个题目的切入点，他就只能等于零这个题目的切入点就可以走下去了啊， 这是我们的第一道题，那么咱们来看一下这个地方的第二道题啊，第二道题呢，若直角三角形的注意，他给我们强调的是两直角边，对于两直角边 a b 呢，他满足这样的一个形式，这个呢，其实 我们可能或多或少的见过这种形式，哪里见过呢？我们在初一的时候学过，学过什么？我们初一的时候呢，学过的是啊，这个形式呢，我们当初说的是什么？他是零加零形的 零加零形，为什么是零加零形呢？就因为他带了个绝对值，所以呢，他所造就的属性呢，就得大于等于零，而他呢也得大于等于零，那你要大于等于零，我也要大于等于零，我们两之合呢，还得等于零，那就只能让他们俩各自为零了。同样呢，我们今天呢所看到的这个形式呢，他也得是这样子， 什么意思呢？首先根号一下，这一串加上它等于零，那么我们学了二次根式是具备双重非负性的，也就是说它里边呢，本身得大于等于零，而它整体的这一个二次根式呢，也得大于等于零。所以呢， 这次我们就可以说明啊，那你这两者呢，都得为零，对吧？都得为零。那咱们来消化一下这个本身的内容，你说哎，这个东西呢等于零， 那当然我们也可以发现它有一个特殊点，在于它的根号下呢，也是可以开出来的，为什么呢？因为它里面呢是一个完全平方式， a 方减六， a 加九，那我们就可以写成 a 减三的平方，对吧？然后呢，再加上 我们说这里 b 减四，对吧？然后呢等于零等于零的话，那就让两者均为零，两者均为零的话，那得了，那我们说这个东西呢，等于零，等于零的话呢，只能让 a 减三呢等于零了，这个东西呢，只能让 b 减四呢等于零了。所以至此呢，我们说 a 等于三， b 等于四，这个问题呢，我们先一步把 ab 给它算出来了， 那么到此为止呢，咱们再看一下这个问题最后的结果，它需要我们求什么呢？需要我们求面积。那么这个时候呢，我们要擦亮眼睛， 这里边有一个非常有趣的点是什么？就说当我知道，哎，这个地方给出来了我的两个边的时候呢，我要去求面积的时候，我们就要去考虑这两个边到底在这个三角形里面扮演的是什么样的角色。而这个题目呢，他看似前面给我们搞定了这么个描述，他说两只脚边， 但如果说你在这个地方，你窃以为啊，这个直角三角形，我没有把两只脚边这四个字注意到的话，我可能会去考虑，哎，有没有可能 他是中间边，他是最长边，我可能会去把另外一个直角边给他算出来，通过勾股定律，但前提是这个题目已经强调了，这里边他就是两只角边了，那既然就是两只角边的话，就意味着我这个地方只能去操作的就是 面积。面积是什么？直角三角形，二分之一底乘高二分之一，两只角边相乘，二分之一乘以三，乘以四，那就是二分之一乘以十二就是六了，所以这个题目呢，最终的结果呢，就是选 b 了，对吧？那这样的两条题目呢，都给我们参数到了一个关键节点，就是 作为一个二次更式，它所具备的固定属性双重非负性。而双重非负性呢，在不同的题目当中呢，它都是以定义的形式在切入这个题目，所以我们在这个地方呢，一定要注意到，往往这一类题目呢，不管是上一道题目还是这一道题目，它都是作为一个隐含条件切入到其中的，而不是说直系的。我们说做题，我 直接去把我的性质往里边套用，不是的，它是一个隐含条件，所以呢，当你看到题目里边一大堆的字母的时候呢，不用慌，直接算就行，用什么？用我的二次更式的基础性质去进入就行。

好多八年级的小伙伴在寒假预习了二次根式，这一章里面呢会出现很多的计算题，二次根式的加法呀，减法、乘法、除法，还有混合运算在这呢，我给大家整理了一百道题目， 全部都是二次根式的计算，大家有需要的话可以留言八八八，我发电子版，争取在开学之前把这一张计算题搞定，做熟做透，祝大家新年快乐！

八下数学最难的二次根式六大题型全部背熟，稳拿班级前三！八年级数学下册同步训练！二次根式六大重难点题型题型一，判断二次根式的个数 题型二，根据二次根式的定义求字母的值题型。三，根据二次根式有意义条件求范围 题型四，根据二次根式有意义条件求值题型六，化简复合二次根式完整版分享！

八、下数学最难的二次根式十大考点，寒假吃透开学稳进前三考点一，二次根式的定义与性质考点二，最简二次根式。考点三，同类二次根式考点四，有理化 考点五，二次根式的混合运算考点六，二次根式的化简求值考点十，拨重二次根式的化简完整电磁板分享！

大家好，今天我们来学一下二次根式的性质，首先我们这个视频呢，学习目标，第一个，理解二次根式的两个性质，这是重点。第二个，运用二次根式的两个性质进行换代计算，这是我们的一个难点啊， 导入新知，数学数字旅行。问题一，你能将下列数字顺利通过下面两扇门吗？啊，我们来看啊，负四，零一，负一，还有四分之一，他通过的第一扇门呢，是算数平方根之门，那么这个里边呢，谁能开出算数平方根呢？ 首先负四和负一是不行，因为他是小于零的，我们上个视频学过，要能开平方根的话呢啊，算数平方根的话呢，我们得需要他是大于等于零的，所以是零一四分之一，然后再平方啊，这就可以了，所以啊， 得出来是 a 啊，就是说这个啊，这这两道门的话，我们可以是一个数， a 是 要大于等于零才能给他啊，开二次根式啊，开方也就是，然后呢，才能进行后面的操作，所以只能是零一和四分之一。 问题二，两扇门交换位置，你还会走吗？我们来看先平方之门，再算数平方根，那么呢啊，这些数应该都符合了，因为你平方之后呢，所有的数都是大于等于零了，所以大于等于零的数呢，再进行啊，开根号，那就直接能得出来了啊， 所以它这两扇门就可以写成是 a 到 a 的 二次方，然后到 a 的 二次方再开放，那么这些数呢，都能符合了，就是 a 可以 取任意的实数就可以了。 第一个啊，我们来看一下根号下 a 括号的二角方， a 要大于等于零，它的性质，首先先来填一填 a 大 于等于零算数，平方根，也就是根号 a， 零的根号 a 是 零一的根号 一是一四分之一，看根号应该是二分之一，然后再平方，零的平方呢？其实是零一的平方还是一二分之一的平方还是四分之一啊？这个我们能看出什么来呢？也就是说，如果是 h 大 于等于零的，它的算术平方根之后再平方就是相当于它本身。 然后我们再来看一下接下来新知识思考，根据前面的结论填一填，说明理由。首先我们根号四的二次方啊，根号四的二次方等于什么呢？因为四开方在平方的话，其实就等于还是等于四 二呢？开方在平方还是等于二等于本身就是刚才我们那个结论直接来套用，三分之一开方在二次方就是三分之一 啊，零呢？开方在二次方还是零，那我们看一下右边这边，根号二是二的算数平方根，根据算数平方根的意义，根号二是一个平方等于二的非负数，所以说根号二是一个平方等于二的非负数给他在二次方的话，他就等于二了， 你能把所用所得的公式用字母表示出来吗？啊，当然是没有问题，我们来看一下规划总结，根号 a 的 二次方， a 如果是大于等于零，它的性质是什么呢？就是一般的根号 a 的 二次方啊，其实就等于 a， 这个里边 a 一定是大于等于零的，因为我们是根号 a， 那么二次根式呢？下边所被开方的数呢？一定是要大于等于零的啊。接下来做一下这个例题啊，例一，计算啊，根号下一点五的二次方，那我们来计算一下这个呢，因为一点五是大于零的，所以它的二次方直接可得就是一点五， 第一个 t， 因为就是一点五，那么第二个 t 呢？我们这边出来一个是 g 的 乘方啊，这是我们上次学的内容， g 的 乘方，比如说 a， b 括号的二次方就等于 a 的 二次方，乘以 b 的 二次方，所以说我们二倍根号五的二次方就等于二的二次方乘以根号五的二次方。接下来我们来看，哎， 那么二的二次方是四，根号五的二次方呢？其实就等于五本身啊，因为五是大于等于零的啊，所以就是四乘五等于二十，很简单。 然后我们再来看一下根号下 a 的 二次方的性质， a 大 于等于零的啊，我们来看 a 的 二次方，负四的二次方应该是十六， 零的二次方是零，一的二次方是一负一的二次方是一四分之一的二次方是十六分之一，我们看再给它开方，十六开方是四零开方是零，一开方是一 一分啊，这一开方还是一十六分之一，开方是四分之一，那么我们就差不多能知道了。你看 a 如果是大于等于零的啊，如果是 a 大 于等于零的，我们发现啊，平方之后再开方就是等于本身，那么 a 要是小于零呢？平方之后再开方，相当于是它的一个相反数啊，我们来看一下， 所以我们抱着这个想法的话，我们再接一下，接下来看一下剩下的这个内容，根据前面得出的结论，填一填，说明理由，那么二的二次方开方二是大于零呢？所以是它本身是二零点一啊，这是零点一， 这是三分之二的二次方开方，还是三分之二零的二次方开方是零，用字母表达公式呢？我们也能表达出来啊。回答总结，如果根号 a 的 二次方 a 大 于等于零，其实就等于 a 啊，前提一定要注意， a 大 于等于零等于 a 啊。 那么如果 a 小 于零呢？其实我们刚才已经看过这个啊数字了，大概应该是它的相反数，所以我们接下来验证一下。 换讲一下，该号十六等于什么？该号十六其实就能等于啊四的二字方其实等于四啊，该号十六， 那么该号括号下负五的二字方呢？我们来接，其实负五的二字方就等于二十五开根二十五还可以用另一种解法，负五的二字方其实就等于五的二字方，那么五是大于等于零呢？等于它本身就等于五了啊，所以我们是这样的一个解法， 如何化解根号下 a 方呢？啊，那么接下来呢，其实就是我们的一个啊需要记住的一个关键点，根号下 a 的 二次方， 其实化解出来是 a 的 绝对值，为什么呢？因为啊， a 可以 分为，正 a 大 于等于零的时候是 a， a 小 于等于零的时候是负 a。 比如说我们看这个啊负五的二次方，那么 a 相当于是负五，它是小于零的，那我们得的结果应该是五，所以它的相反数是负 a， 所以 这个我们需要记住啊， 变一变，请同学们快速分辨下列格题的对错啊！第一个是负二的二字方，那负二的二字方相当于就是根号下二的二字方 啊，它应该是等于二的，它是等于负二，是错的。负的根号二的二字方啊，负的根号二的二字方啊，我们其实呃能出来负数是错的，因为任何数的平方应该都是正的，应该是等于 二，前面加括号负二，这是没问题的，所以它是对的。 第四个，负的根号下括号负二的二次方的啊，等于多少？那么先看这个根号啊，它里边相当于 a 是 负的，负的就是它的相反数，它应该是能得出二来，前面还有负号，应该是负二，没问题，所以这是对的，正确的应该是有两个。 好，我们以如何区别根号 a 的 二次方和根号下 a 的 二次方啊？我们来看一下。首先我们从计算顺序看，根号 a 的 二次方应该是先开方后平方，而根号下 a 的 二次方，它是先平方后开方。 接下来看取值范围，看根号 a 的 二次方，他的取值范围一定要大于等于零， a 要大于等于零的，要不然的话，他是没有意义的。而这个呢， a 可以 取任何实数，因为任何实数的二次方都是大于等于零的，那么我们就有意义了啊。 从计算结果来看，根号 a 的 二次方 a 一定是大于等于零的啊，也就是等于 a， 那 么根号 a 的 二次方呢？是等于 a 的 绝对值，取决于我们 a 的 正负， 不管是正与负，取它的绝对值。比如说，如果我们这个 a 是 正的，就是它本身，如果 a 是 负的，应该是它的相反数，这一点一定要记住，而而且呢，掌握这一点的话，我们做题会非常的方便。 第三个代数式的定义概念学习啊，用基本运算符号，包括加、减、乘、除乘方和开方。把数或者是啊表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 那么想一想，到现在为止，初中阶段所学的代数有几类？首先我们初一学的呀，应该是有整式啊，然后呢，初二学分式，紧接着我们现在马上就学的呢，就是二次根式啊，当它练习。哎，我们来做一下。 第一个是化简啊，根号下十六，根号下十六来化简的话，首先它这个数得出来的一定是等于零的，那根号十六其实就等于根号下四的二次方，其实就等于它本身等于四。这个题选 c。 第二题， x 大 于一小于三时，求它的值，那么我们来看， x 是 大于一小于三，那么 x 减三就要小于零，所以这个里面是小于零的。 小于零的二次方在开方应该是它的相反数，而 x 减三的这个相反数是谁呢？其实就加符号就等于负啊，加上一个符号，我们这样来写一下，就是负的 x 减三，其实等于什么呢？其实就等于把负带进去，就是三减 x， 或者说我们直接带着它也可以啊。然后下面是 x 减三，我们是变不了的，因为它肯定是不能等于零的，那么我们直接就让它除以 x 减三，这样来一化减应该是等于负一，所以说啊，把这个去掉啊，把这个去掉应该是等于负一，所以这个题应该选第四个。 第三例，化简啊，根号九等于什么？根号就等于根，根号九就等于根号下三的二字方其实等于三。负四的二字方的根号啊，应该是等于四的，就是它的相反数，直接得就可以了。根号七的二字方再开根号应该是等于七， 三点一四减派。首先我们知道三点一四减派，他是大于零还是小于零，他肯定是小于零的，因为派等于三点一四，一五九二六，再往上之后啊，很多，那么而他只是三点一四，所以他是小于零的。小于零的数平方在开方是其相反数，那就是派减去三点一四。 好，我们接下来看一下第四题，实数 a 在 数轴上的位置，如图所示，则化减 a， a 减二的绝对值加上根号下 a 减一的二次方啊。那我们还是要需要判断正负 a 呢，是在这个位置啊，我们大概标记一下 a 是 在这个位置的吧，那么 a 减二，这肯定是小于零， 而 a 减一是大于零的，它的二次方在开放，应该是它本身就是 a 减一， 而解理值里边小于零出来的数呢，应该是其向量数，它的 a 减二的向量数就是二减 a， 那 么我们就可以写成在这里写就是二减 a 加上 a 减一，其实 a 负 a 和 a 消掉了，就是二点一，应该得一，所以它的结果应该是一。 再来看第五题，利用 a 等于根号 a 的 二次方， a 大 于等于零，把下面非负数写成一个非负数啊的平方的形式啊，它其实就等于直接除就可以了啊。 九其实就等于根号九的二次方啊，一个非负数五呢，其实就等于根号五的二次方，二点五呢，其实就等于根号下啊二点五扩起来的二次方，那么呢，二点五其实也可以说根号下二分之五，这个没有问题，零点五我们知道是四分之一 啊，它可以写成是根号下四分之一的二次方，二分之一呢，同样也是这样的写法，所以说这个题是很简单的 啊，学到这里呢，我们这个视频也是告一段落了啊。然后我们来做一个总结。首先先来看二次根式性质，性质是什么呢？就是根号 a 扩起来的二次方其实是等于 a 的， 因为它本身 a 就是 大于等于零啊。然后我们根号 a 的 二次方其实是等于 a 的， 首先 a 大 于等于零 扩展的性质啊， a 的 二次方的看根号啊，等于 a 的 绝对值。也就是说，如果 a 是 正的，出来是其本身，如果 a 是 负的，应该出来是它的相反数。关注我，带你开启学霸模式。

好，各位，新年好，新的一年解析的视频继续。我们今天来看这道题，已知 x， y 大 于零， 化解二次根式负 y 根号负 y 的 平方分之 x 的 正确的结果式。好，我们来看一下，二次根式要化解，也就是我要把这个平方放到我们的根号之外，对吧？按正常情况下，我们这边直接开出来，是不是负 y 底下是 y 的 平方，是不是变成应该 y 的 绝对值？分之根号负 x， 对 吗？好，那么接下来这个和这个我要怎么处理呢？我们就要去判断，判断什么？判断 y 的 整个的 范围，那它是大于零还是小于零来取决于谁？来这里告诉我们 x 乘以 y， 告诉我们一个信息，我们知道两个相乘大于零，说明他们是同号，有可能是同正，有可能是同负，对吧？好，至于同正还同负，看谁看。这里 二次根是有意义，说明什么呢？说明根号里面的一定是大于等于零的，对吧？好，那么这个一定是大于的零，刚才这里是大于零，所以他不可能等于零，所以我们一定知道是负的 x 分 之。哎， y 分 之 y 分 之 x， 这个东西啊，他一定是大于零的，那么这个东西大于零，刚才这里是平方，对吧？肯定大于零，而一个负号 必须要乘以一个负数，负负的正，对吧？它才有可能不是它，还有可能是它才是正的，那么说明什么？说明 x 就 一定是负数，对吗？ x 是 负数，那么它们是不是就同负，那么推出来就是 y 也是负数？ 好， y 是 负数哦，所以这边去绝对值的时候，我们就要加一个负号，那么这边就变成了这个样子的好负 y， 那么负 y 和负 y 可以 约掉，最后的答案就是根号负 x 好， 所以这个答案就根号负 x 好， 理解好二次根式，它有意义的条件，我们就能把这样的类型的题目做的比较好。好针对这个视频，我们就到这里下个视频，我们再见。

这道题目呢，百分之九十的初二同学，第一步就错了，你敢不敢挑战一下呢？我们一起来看，如果 x 平方减三加一等于零，那么求这个式子的值是多少？好了，各位，那我们现在来观察一下这个式子，你看这个 x 是 不是在分母上呢？ x 在 分母上说明什么？说明 x 不 等于零，对吧？那么它不等于零的话，我是不是可以给它的左右两边同时除以 x， 你看这一项除以 x 就是 x， 这一项除以 x 是 负三，那么一除以 x 是 x 分 之一，那右边除以 x 还是零。那我们现在要求什么？ 要求 x 平方加 x 平方分之一。那么你把这个式子给它整理一下，就是 x 加 x 分 之一等于三。好，那我怎么才能出现平方呢？ 我给它的左右两边同时平方就行，那么左边是一个完全平方公式，给它展开，就是 x 平方加 x 平方分之一， 再加二乘 x 乘 x 分 之一。好了，那你看这两项是不是约掉了，所以 就是加二，那右边是九，那么 x 平方加 x 平方分之一，不就是七吗？那你把它带进去，就是根号七，减二就是根号五。 那今天的这道题目大家听懂了吗？那二次根式这里呢？一共有八大题型，你把我整理的二次根式八大题型拿去练习，轻松搞定这里的所有问题。

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八、下数学最难的二次根是九大题型专练，寒假吃透稳进班级前三八年级下册数学二次根是九大题型专练题型一、根据二次根式概念判断二次根式题型。二、根据二次根式的定义求字母的值 体型。三、根据二次根式有意义条件求范围体型。四、根据二次根式有意义条件求值体型。五，根据二次根式的性质化简完整版分享！

八、下数学最难的二次根式九大题型寒假吃透逆袭班级前三八年级下册数学二次根式九大题型专练题型一、根据二次根式概念判断二次根式 题型二、根据二次根式定义求字母的值题型三、根据二次根式有意义条件求范围 体型四、根据二次根式有意义条件求值体型。五、利用二次根式性质化简完整版分享！

大家好，今天我们一起来学习一下八年级下册的数学二次根式的乘除。第一课时 先导入新知某手机操作系统的图标为圆角矩形，长为根号五厘米，宽为根号三厘米，则它的面积是多少呢？ 那我们知道啊，这个矩形的面积呢，是长乘宽啊，长乘宽的话就是根号五乘以根号三。所以说那如何来计算根号五乘以根号三呢？接下来我们看一下。 首先今天呢我们的学习目标，第一个掌握二次根式的乘法法则，第二个会运用二次根式的乘法法则和积的算数平方根的性质进行简单计算。 好，接下来我们来看一下知识点。一、二次根式的乘法计算下列各式，第一个，根号四乘以根号九等于什么呢？那么我们这里边的根号四其实能开出根号呢，就相当于是开方给四，开出来的话是二， 然后九呢，根号九开出来是三，其实就是二乘以三等于六，那么根号下四乘九呢，其实就等于根号下三十六，最后开方开出来也是等于六。 好，第二个，根号十六乘以根号下二十五，根号十六呢，我们知道是四的二次方等于十六，所以等于根号下四的二次方，它就等于四。啊，根号二十五呢，其实就等于啊，根号下五的二次方其实就等于五，最后得是四五，二十，根号下十六乘以二十五。 我们来看一下，十六乘以二十五，可以拆解成该号下四乘以四乘以二十五啊，可以拆拆解成这个，然后我们来计算， 那么四乘二十五呢，是一百一百乘啊，四就等于四百，所以等于该号下四百，那就等于二十，其实四百呢，就是二十的二次方，把啊开平方就是把方给去掉，所以等于二十。那我们看一下第三题， 根号下二十五乘以根号下三十六等于什么？根号二十五呢？是根号下五的二次方，其实就等于五，根号下三十六呢，其实就等于根号下六的二次方，其实就等于六，所以最后等于三十。那么根号下二十五乘以三十六呢？这个呢，我们也可以给他啊，简单的计算一下，其实他就等于根号下 二十五乘以，因为六呢，是可以写成四乘以九的啊，三十六，三十六可以写成四乘九，所以二十五乘四是一百，最后是该号下九百等于最后九九百呢，其实等于是三十的二次方，所以说啊，就等于该号下三十的二次方等于三十。那我们来看啊， 这两个数啊，这两排数吧。啊，他们得到的结果是相同的，那么观察两者有什么关系呢？是不是就可以这样去运算呢？ 好，观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式，第一个，根号四乘以根号九，等于根号下四乘九。 第二个，根号十六乘以根号二十五，等于根号下十六乘以二十五。第三个，根号下二十五乘以根号下三十六，等于根号下二十五乘以三十六。 所以你发现了什么规律呢？能用字母表示你所发现的规律吗？啊，当然是可以的，我们做一个猜测，就是根号 a 乘以根号下 b， 其实就等于根号下 a 乘 b， 但是一定要注意， a 一定要大于等于零， b 也要大于等于零，因为我们根号下的这个数是不能是负数的，也就是非负数。 思考一下，根号下括号里负四乘以括号里负九等于根号负四乘以根号负九，成立吗？啊？他成不成立呢？那么肯定是不成立的，为什么呢？因为我们根号下是不能有负数的，所以是不成立的啊。啊，负数的话，是对于我们这个根号来说是没有意义，这个一定要记住啊，特别容易出错。 所以因此被开方数 a、 b 满足什么条件呢？那么我们就知道了， a、 b 是 非负数即可，也就是说 a 得大于等于零， b 大 于等于零。 好，接下来我们看一下二次根式的乘法法则是，根号下 a 乘以根号下 b 就 等于根号下 a 乘 b。 括号里 a 大 于等于零， b 大 于等于零，那么这个括号里这个条件一定要不要落下，特别容易出错 啊。总结来说，二次根式相乘就是根的指数不变，也就说根号不变，然后被开方数相乘啊。这句话什么意思呢？就相当于是啊，根号下两个数相乘，就等于啊根号根号不变，然后两个数直接相乘啊。 用语言表述的话呢，就是算数平方根的积等于各个被开方数积的算数平方根啊。 但是一定要注意， ab 都必须是非负数，所以在本当中如果没有特别说明啊，所有的字母都是表示的是正数啊。我们接下来往下看， 先看考点。一，简单的二次根式的乘法计算，第一个根号三乘以根号五，就等于根号下啊，我们三乘五 其实等于根号下十五，这个很简单，第二个根号三十一，乘以根号二十七，其实就等于根号下啊，我们让两个数直接相乘，就是三分之一乘以二十七，等于多少呢？其实就等于根号啊，我们知道等于根号九，那么九呢，其实是三的二次方，直接就得出来了，其实等于三。 接下来想一想下面的式子如何计算根号三乘以根号二乘以根号三乘以根号五， 可以用乘法的结合率啊，再运用二次根式的乘法法则，那么乘法的结合率呢？其实我们看一下他的解析就可以了啊，先让前面两个数相乘，也就是根号乘以根号三，那么我们就是根号下二乘三等于我们根号六，然后根根号六，再乘以根号五，就等于根号下六乘五等于根号三十。 所以说总结来说呢，只需其中两个结合，就可实现转化进行计算。说明，二次根式乘法同样是和三个以上的二次根式相乘， 也就是说根号 a 乘以根号 b 乘以一直乘到根号 k， 等于根号下啊， a 乘 b 一 直乘到 k， 也就是说啊，有几个根号相乘，那么我们根号下就有几个数相乘。最后括号里一定不要忘了，条件里边的数一定都是大于等于零的。 好，接下来我们做一下巩固练习。第一个计算十二根号十二乘以根号下二分之一的结果是什么？ 我们先看根号十二乘以根号二十一，就直接让他来乘，就等于根号下十二乘以二分之一，其实就等于根号六。所以第一题应该是选 c。 好， 我们再看第二题，下面计算结果正确的是，先看 a 选项，根号八乘以根号三，应该等于根号下八乘三，应该等于根号下二十四，所以第一个是错的。 b 选项，根号五乘以根号二等于根号下五乘二，等于根号十，这个没有问题。 c 选项，根号六乘以负的根号二，那么根号六是正的，负的，根号二是负的啊，两个数异号啊，得出来的数一定是个负的，但是它是正的，那就排除了 第四个，根号七乘以根号下负二，那么这个数的话，它是没有意义的，所以直接得不出来答案，所以这个题呢，应该选第二个。第三个计算，根号五乘以根号下啊，五乘十乘八， 那么就等于什么呢？等于五乘八得四十，四，十乘十等于根号下四百，我们知道四百呢，其实就等于二十的二次方，所以就等于根号下二十的二次方，那么我们根号就相当于是开方，所以说直接把二次方开掉，最后是等于二十。 好，接下来思考一下，你还记得单项式乘单项式的法则吗？啊，回顾如何计算四， a 的 二次方乘以五， a 的 四次方等于什么？那么单项式乘单项式的法则呢？其实啊，我们总结出来就是一句话啊，系数乘以系数，也就是说数乘数，然后字母乘以字母， 相同的字母如果相乘呢？底数不变，指数相加，所以说对于这个数呢，其实就可以得到了，是四乘以五啊，数和数相乘得二十， a 的 二次方乘以 a 的 四次方，底数不变是 a， 然后指数相加，二加四得六，所以就等于二十倍的 a 的 六次方。 好，接下来我们看一下考点二因数不是一二次根式的乘法运算，因数不是一了，我们看一下第一个，第一个呢是二倍根号五乘以三倍根号七啊，然后他说呢，是可类比前面的计算，也就是说和我们的单项式乘单项式法则一样。那我们可以简简单的看一下啊， 他，他写的解呢，就是啊，我们先用数和数相乘，也就是二乘三，应该是等于啊六，那么我们根号和根号相乘，所以说就等于六倍的根号下五乘七是三十五，这是第一个。 那么第二个呢，是四倍的根号下二十七乘以括号里负二分之一倍的根号三，那也是系数和系数相相乘，就四乘以负的二分之一相乘，再乘以根号下二十七，再乘以根号三。 所以说我们系数前面相乘完了之后呢，应该是得负二，那后边这个是怎么得出九来呢？我给大家说一下啊，根号二十七乘以根号三呢，其实就等于根号下二十七乘以三， 其实二十七乘以三口算也能得到，应该是等于根号下八十一，而八十一呢，是等于九的二次方的，所以就等于根号下九的二次方，所以最后我们是等于九，也就是对于他而言是等于九，再加上前面负二负二乘以九，最后最后等于负十八。 所以我们来总结一下，就是呢，当二次根式根号外的因数不为一时，可类比单项式乘单项式的法则来计算，即 m 倍的根号 a 乘以 n 倍的根号 b， 就 等于我们前面系数相乘，是 m 乘以 n， 然后再乘以根号下底下数相乘 a 乘以 b， 但是一定要不要忘了，这个条件是 a 大 于等于零， b 大 于等于零。 归纳总结一下二次根式的乘法法则的推广，第一个，多个二次根式相乘时，此法则也适用，即根号 a 乘以根号 b， 一 直乘到根号 a， 就 等于根号下 a 乘 b， 一 直乘到 n 啊。 然后呢，一定要注明， a 大 于等于零， b 大 于等于零啊，一直就是所有的数里边，只要是相乘的数都要大于等于零，这样的话我们的根号才有意义。 第二个，当二次根号外有因数或者因式时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因式的基作为根号外的因数，或者是因式被开方数的基作为被开方数，即 m 倍的根号 a 乘以 n 倍的根号 b， 就 等于前面系数相乘， m 乘以 n， 然后根号我们运用根号的乘法法则，就等于根号下 a 乘 b。 但是还得记住条件不能忘， a 大 于等于零， b 大 于等于零。 接下来我们看一下啊，巩固练习。第一题，计算第一个，五倍的根号十二乘以四倍的根号下二十七，其实我们就可以写前面去数相乘就是五乘四，可以写成是五乘以四，再乘以根号下十二乘以根号下二十七。 那么五乘以四呢？口算就是二十乘以啊，我们根号下十二乘以二十七 等于二十，对的啊，括号下十二乘以二十七呢，其实我们也可以写成是这样的，括号下，我们给他拆一下就好计算一点了，而且还不容易出错。十二呢，可以写成四乘以三， 那么二十七呢，可以写成三乘以九，九呢，其实相当于是也是三的二次方啊，那我们最后再来看一下，其实就等于二十乘以括号下啊。我们这里边其实这是四，相当于是二的二次方， 三乘三的九，这边也是九，九乘九就是乘以九的二次方，所以最后等于二十乘以根号下 二乘以九，括号的二次方啊，这是我们八年级学过的啊。然后呢，这相当于是 b 的 乘法， 所以我们这是二乘九的二次方了，然后再开放，其实就等于二乘九了，那么最后就等于二乘九得十八，就是二十乘以十八，最后我们减出来应该是三百六十。 再来看第二个，第二个是根号六乘以根号十，五乘以根号下十，那么我们同样要把它们啊，全部都给乘进去。那根号六呢，我们可以写成是二乘以三，这样拆开来的话好计算，再乘以根号下十五，十五呢，可以写成是三乘以五， 然后呢，我们这又有五了，看能不能凑二次方，十呢，可以写成五乘以二。最后我们来看啊， 有两个二相乘，两个三相乘，两个五相乘，那我们就知道了，其实就可以得到的是根号下二乘以三乘以五，然后他们的二次方，这也是我们运用的是密的乘法，所以说啊，再给他开方的话，就是二乘以三乘以五了， 二乘以三得六，五乘以六，应该等于三十。看一下考点，三二次根式的大小比较比较大小， 第一个二倍根号五与三倍的根号三，二倍根号五与三倍的根号三，它们来比较，怎么比较呢？其实这两个数首先它都是正数，那我们可以直接给他开那个给他二次方，来比较谁的二次方大，那么就是谁的数大了，或者是说呢，我们也可以把我们二给乘进去，或者是把三乘进去，我们看一下它的解析。 第一种方法啊，就是给他们啊，是给二给乘进去了，怎么乘进去呢？这个里边我给大家解释一下，二倍的根号五，其实二呢可以写成是根号四，我们知道因为根号四就等于二，乘以根号五，其实就等于根号下二十， 然后三倍的根号和三呢，可以写成根号九啊，也就是我们这个里的三的二次方乘以根号三啊，最后等于根号下二十七，所以啊，我们看到了之后呢，二十是小于二十七的，那么它是一个正数，谁的数大，就是开出方来，谁的数也大，所以根号二十是小于根号下二十七的。第二种方法 就是把它们都二次方，因为它们都是正数，所以说谁的二次方大，谁的数就大，那么二倍根号五的二次方就等于二的二次方乘以根号五的二次方。我们知道二的二次方是四，根号五的二次方呢，其实相当于两个根号五相乘，那么就等于根号下二十五就等于五， 所以说就等于四乘以五等于二十。那么三倍根号三的二次方呢，其实就等于三的二次方乘以根号下三的二次方，三的二次方是九，根号三的二次方是三三九二十七，那么还还是二十小于二十七呢，所以啊，就是我们二倍根号五要小于三倍的根号三， 第二个啊比较大，第二个是一看它是一个负数，所以说负数呢，就尽量的不要用平方，因为用平方也可以去来解，但是特别容易会出错，那我们直接可以把它的数乘进去就可以了啊，那我们来做一下，第一个负的二倍的根号是三， 我们来写一下，其实负的二倍的根号下十三，我们可以把二给啊给乘到根号里边去，那么就等于负的其实根号四乘以根号下十三，就等于负的根号下四乘十三，我们直接口算就行了，应该是等于五十二， 下面负的三倍的根号六，我们把三给乘进去，就等于负的根号下三呢，其实就等于根号九乘以根号下六， 就等于根号下负的根号下九乘六六九五十四就等于五十四。那么现在来比较大小，我们知道负数来比较大小了，谁的数值大啊，谁反而更小，那我们来看，根号下五十二肯定比根号下五十四要小，所以说我们应该是负的根号下五十二 应该要大于负的根号下五十四，所以就能得到了负的二倍，根号下十三应该是大于负的三倍的根号下六啊，这也很简单啊，我们只需要啊，简单的去尝试几个题啊，就能非常的流利了，我们看一下解析 啊，没有问题啊，但是一定要记住啊，两个负数比较大小的时候，绝对值大，他反而更小。 看一下方法，点拨比较两个二次根式大小的方法。第一个被开方数比较法啊，即先将根号外的非负因素移到根号内，当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大。 第二个平方法记，把两个二次根式分为平方，当两个二次根式都是正数时，平方大的二次根数大。第三个就是计算器，求计数指法啊。这个呢，我们在考试的时候基本上是用不到了，因为考试的时候不允许让我们用计算器，我们大概了解一下就可以了， 接下来做一下巩固练习啊。第一个，比较下列各组数的大小。第一题，第一题呢，这两个数都是正数，我们可以直接用直接平方法，所以说是七倍的根号二，它的二次方应该就等于七的二次方乘以根号二的二次方 啊，那我们七的二次方等于四十九，根号二的二次方呢？等于二其实就能得到九十八， 那么三倍的根号下十一啊，同样也是给他直接平方，就等于三的二次方乘以 括号里，根号下十一的二次方其实就等于九，乘以十一，最后等于九十九，那么九十八和九十九肯定是九十九还大了，所以说我们应该是七倍的根号二，要小于三倍的根号下十一。 再来看第二个，第二个呢，这两个数是两个负数，负数的话，我们尽量是把外边的这个系数或者是因子啊，直接给他移到根号内。那我们来做一下，第一个，负的二倍的根号下十一，其实就等于负的根号四，乘以根号十一， 等于负的根号下四十四。第二个，负的三倍的根号五，其实就等于负的根号九，乘以根号五， 等于负的根号下五九四十五。那么都是负数了，都是负数，谁的数值数值大呢啊，根号下四十五，肯定是数值大，数值大它反而小，所以说我们上面的数要比下面数大，也就能得到负的二倍，根号下是一，应该要大于负的三倍的根号下五。 看一下知识点二，二次根式乘法法则的逆用，一般的根号 a 乘以根号 b 等于根号下 a 乘 b 啊，这是我们直接的一个法则，但是条件是 a 大 于等于零， b 大 于等于零，不要忘记 反过来就得到根号下 a， b 也等于根号 a 乘以根号 b， a 大 于等于零， b 大 于等于零，也就说它的逆用也是同样是适用的。这个这一点我们要记住， 语言表述，基的算数平方根等于基中各音式的算数平方根的基啊，我们可以运用它来进行二次根式的一些化简。 好，接下来我们看一下考点一，利用二次根式的乘法法则的逆用计算化简。那我们来做一下第一题，根号下十六乘以八十一，它就等于啊，我们可以给它拆一下，它就等于根号下八十一， 根号十六，我们知道应该是等于根号下四的二次方。乘以根号下八十一呢，是九的二次方，所以最后就是把方给去掉，四乘九，最后等于三十六。 第二个根号下四倍的 a 的 二次方， b 的 三次方， a 大 于零， b 大 于等于零啊，那我们来看一下，那可以写成是根号四乘以根号下 a 的 二次方，再乘以根号下 b 的 三次方。 那么等于啊，根号四呢？不用说了，等于二乘以根号下 a 的 二次方。因为 a 是 大于等于零的，所以解开出来应该是 a 的 绝对值嘛， a 的是大于等于零的，所以开出来就是 a 就 可以了啊，是 a， 然后这里边呢，根号下 b 的 三次方，我们要给它拆一下，其实它等于 b 的 二次方乘以 b， 那 么接着往下写就是二， a 乘以根号下 b 的 二次方，再接着给它往外拆一下，乘以根号 b 等于，因为 b 也是大于等于零的，所以 b 的 二次方看根号就等于 b， 所以 拆出来把这个拆出来就等于 b 了，所以就是二倍的 a， b 乘以根号下 b。 再来看一下化简。第一问，根号下十二等于什么？根号十二，其实我们可以给它拆一下，其实就等于根号下啊，十二呢，其实可以拆成是四乘三，那么我们就能给它拆出来了，就是等于根号四乘以，根号三，就等于二倍的根号三。 第二个根号下二十七乘以根号十五，这个里边呢，我们其实给它要多拆一点， 二十七可以写成是三乘以九，五呢，可以写成是三乘以五啊，十五是可以写成三乘以五，那我们这边来看，有两个三相乘，其实就相当于是根号下九乘以九，再乘以五，其实呢，就等于 根号下九的二次方再乘，所以能写成是根号下九的二次方，乘以根号五，这样我们拆出来了，那九的二次方就等于九，这边直接写下来就可以了。九倍根号五。 第三个根号下四的 a 的 三次方，我们拆一下，其实就等于根号四乘以根号下啊， a 的 三次方呢，可以直接在这拆就行，等于 a 的 二次方乘以 a， 那 么根号四呢，是等于二的，我们这个里边呢，可以写成是根号下 a 的 二次方，乘以根号 a， 最后等于 a 的 二次方啊，拆出来 a 打二次方，开出来应该是 a 啊，这个刚才我们已经啊强调过了，这里面虽然没有说 a 打二等于零，我们可以先把它默认就是二， a 乘以根号下 a。 好， 接下来看一下考点二，利用二次根式的乘法法则及逆用于计算。第一个根号下十四，其实可以写成是根号下二乘以七，再乘以根号下七。 那我们直接给大家计算一下，就是根号下二乘以七，再乘以七，相当于二乘以七的二次方，那就等于根号二乘以根号下七的二次方。所以最后等于七的二次方开出来，应该是七七倍的根号二。 第二本三倍，根号五乘以二倍，根号十。那我们来计算一下，首先先把前面两个的数先相乘，二三得六。最后里边呢是根号下五乘以十， 十呢，可以写成五乘二的形式，这样我们就能凑出五的二次方来了，所以就等于六倍的根号下五的二次方乘以二，根号二， 所以五的二次方看根号是五，五六是三十，根号二呢？猜不出来了，就是根号二，直接写下来，三十变为根号二。 第三题，根号下三， x 乘以根号下三分之一 x y， 那 我们直接先把它乘进去，就等于大根号下啊，大根号下是三 x 乘以啊，三分之一 x， y， 那么数和数先相乘啊，三乘三之一得一，不用去写了， x 乘 x 呢，其实 x 的 二次方，所以等于根号下 x 的 二次方。乘以 y， 最后等于根号下 x 的 二次方啊，乘以根号 y， 我 们 x 的 二次方啊，猜出来应该是 x， 这里面我们默认 x 是 大于等于零的就行了啊，主要是我们来研究一下它的解题方法，所以就等于 x 啊，乘以根号 y。 好，接下来看一下方法。点拨化解二、二次根式的步骤。第一个，把被开方数分解因式或是因数啊，分解出因式或因数来，尽量去凑平方。第二个呢，把个因数或者是因数积的算数平方根化为每个因式或因数的算数平方根的积。 第三个，如果因式中有平方式或平方数，应用关系式根号下 a 的 二次方等于 a 的 绝对值啊，这里边如果 a 是 正的，我们出来就是其本身了，如果 a 是 负的出来，一定要记住是它的相反数， 把这个因式或因式开出来，将二次根式化解。也就简单来说的话，我们先是先分解因式，分解成什么样的因式呢？分解出尽量是带着二次方的音式，这样我们就能直接能化解出来了。 好，接下来做一下巩固练习啊。计算第一题，根号六乘以根号十，五乘以根号十，它就等于啊，我们可以写一下是等于大的根号下 六呢，可以写成二乘以三，十五呢，可以写成三乘以五，这样我们就能把三的二次方凑出来了啊。同样的道理，十，其实我们要写成是五乘以二， 那我们来看有两个二相乘就是二的二次方，两个三相乘是三的二次方，两个五相乘是五的二次方。所以我们总结来看，就是根号下 二乘以三，乘以五，它们一共的二次方。这是我们八年级上册学的逆的乘法的运用啊，也是一个逆运用，所以等于 二乘三乘五的二次方在开方呢，其实就等于二乘以三乘以五。最后我们算下来是二乘三得六，五六是三十。好，接下来我们看一下它的解析， 等于三十，第二个根号三十乘以二分之三啊，二分之三，被的根号下二又三分之二，再乘以二分之一，被的根号下五分之二。 这个题呢，看着是比较麻烦，但是我们按照步骤一样，一步一步的去做，就很简单了。首先呢，它是有系数的啊，有，比如说它外边有因子，因子呢，一个是二分之三，一个是二分之一，我们先把因子相乘，也就等于二分之三乘以二分之一，然后再乘以大的根号下， 把它们的数都乘上。三十乘以二又三分之二，其实可以写成是三分之八， 再乘以五分之二，所以外边我们计算得到呢，其实啊，这是分数的乘法啊，分子乘分子，分母乘分母，就等于四分之三 乘以。那么里边进行我们进行一下化简，三十乘乘以三分之八啊。首先先约分三和三十，约分的话，能约出是十来， 然后十呢和五，这边再约分的话，能约出啊，除以五得二，所以最后我们分母都消掉了，上面只剩下二了，所以说就是二乘八乘二，二乘八乘二的话呢，其实就等于啊， 十六乘以二，所以可以直接写十六乘以二，因为为什么要写十六呢？其实这个十六呢，是四的二次方，我们直接能把十六开出来，就是四分之三乘以根号下十六，再乘以根号二， 最后我们等于四分之三乘以根号下十六，其实就是四，再乘以根号二，那么啊，这里边分子给消掉了，就是三倍的根号二。 链接中考啊，这个题就很简单了，根号二乘以根号八，直接乘进去就是根号下十六，十六开出来是四。选第二个 基础巩固题啊，这是我们的一个课堂检测，第一题下面计算结果正确的是哪一个计算结果正确，我们从第一个选项开始看， a 选项，四倍的根号五乘二倍的根号五，二四得八，那么根号五乘根号五应该是等于五才对，他是根号五，所以是错的。 第二个，五倍的根号三乘以四倍的根号二，先让因素因素相乘啊，四五二十，然后根号下三乘二应该得六，他是错的。 c 选项，四倍的根号三乘以三倍的根号二，三四是十二，这是错的。第四个，五倍的根号三乘以四倍的根号二，四五是二十没有问题，三乘二得六没有问题，所以这个题应该选第四个。 再看第二题，若根号下 x 乘以括号里 x 减六等于根号 x 乘以根号下 x 减六，则 那我们看这四个选项，其实就来判断 x 的 取值范围了。这个题 x 的 取值范围，首先这里面我们看不出来了，但是他给他能拆出这样的一个形式，我们知道根号要有意义的话呢，我们根号里边的数一定是非负数，也就是大于等于零，所以看第一个根号的话，其实就能得到是 x 大 于等于零，那么第二个呢，是 x 减六 大于等于零， x 减六大于等于零呢？其实可以写成是 x 大 于等于六，那么 x 大 于等于六和 x 大 于等于零，我们取最小比较小的这个啊解集，所以最后得到的就是 x 大 于等于六才对。这个题呢应该选 a。 第三题计算，第一根号三乘以根号十五。啊，根号三乘以根号十五，我们十根号十五呢，其实可以写成是根号下三乘以五，那么我们最后根号三给它相乘，就等于根号下两个三相乘，三乘以三，再乘以五， 其实就等于把三乘以三，其实等就能等于是三代二次方能直接开出来了，我们可以省略步骤了。三代二次方开出来，其实就是三，而五开不出来，就等于根号五写下来，所以它是三倍的根号五。 第二个根号六乘以根号十二。那我们在这里写一下，根号六呢，其实等于根号下二乘三， 根号十二呢，其实可以写成根号下啊四乘以三，也就是三乘以四而四呢，其实又等于啊二的二次方，那我们这里边有三的二次方，有二的二次方，所以能猜出来，就能猜出三 乘以二，能把它移到根号外边来。最后根号里边还剩下谁呢？就剩下根号，就剩下这个二了，所以最后得到的是六倍的根号二， 第三个根号三乘以二倍的根号二。那这个就很简单了，因为根号三前面的因素呢，相当于是一，所以说应该是二倍的根号下，它直接相乘二，三得六，因为六你猜不出来，所以直接写下来就可以了。 第四题比较下面两组数的大小，在横线上填大于小于或等于号。第一个五倍根号四和四倍根号五。首先先看这两个数是正数，正数我们可以直接用平方来解决就行了，谁的平方大，谁的数就大，那么给给这个数平方呢？我们直接来算，五的二次方是二十五， 四的二次方啊，根号四的二次方是四，所以二十五乘以四应该等于一百，而四倍根号五平方四的二次方应该是十六，根号五的二次方是五十六乘以五应该是八十， 所以一百是大于八十的，所以我们前面五倍根号是四，就大于四倍根号五大于号。第二个负的四倍根号二和负的二倍根号七。首先先看这两个数的话呢，都是负数， 负数的话，我们尽量把前前面的音数给他移到根号里边去，那么四呢，其实就等于根号下十六，所以我们第一个数可以写成负的根号下十六啊，然后再给它乘以二，就等于负的根号下三十二， 这是第一个数。第二个数呢，二其实等于负的根号四，所以给他移进去就是四，再乘以七，其实就等于负的根号下二十八。 那么负数比较大小，还是一句话，谁的数值大，谁反而更小。很显然，三根二三十二要比根二二十八要大的啊，比他要大的，他的数反而更小，所以说应该是小于号，那么这里面呢，也是小于号。第五题计算， 第一个根号下，括号里负的一百四十四，乘以括号里负的一百六十九，他就等于啊。那我们来看一下这个数啊，等于根号下来写负的一百四十四乘以负的一百六十九，这是两个同号，负负得正其实就等于一百四十四乘以一百六十九，他的记是不变的啊。 那么一百四十四和一百六十九呢？其实啊，我们如果能记住一到二十的二次方，其实就能知道了，一百四十四其实是十二的二次方，一百六十九是十三的二次方，所以我们直接给他拆出来，就等于根号下啊，十二的二次方乘以根号下十三的二次方啊， 这个呢，一到二十的这个二次方，我们如果能背过他，我们做这种二次根式的画点的题，会非常方便的。最后就等于十二乘以十三 等于一百五十六，这样我们自己计算一下就可以了。第二个，四分之一根号下二， a 乘以根号下八 a 的 三次方。首先我们先把四分之一写下来，因为因为这边这个数呢，它是它的音序是一，所以不用乘了。那么根号下等于 二 a 乘以八 a 的 二次方，三次方，所以继续往下写，等于四分之一根号下 二乘以八是十六，再乘以 a 的 四次方啊，我们直接可以算了，其实那么十六开方能猜出来是四，就是四分之一乘以四， a 的 四次方开方能猜出来是 a 的 二次方，最后其实就等于 a 的 二次方。 第六题计算第一个二倍的根号，三乘以五倍的根号下二十一，其实可以等于，首先先让他们因数相乘，二五得十， 然后根号下三乘以二十一啊，我们尽量去凑平方有三了，我们二十一其实也能拆出三来，就是三乘以七，三七二十一，所以我们这里边就有三的二次方了，所以就能把三的二次方开方得三，就是十乘以三，再乘以根号下，最后里边只剩下七了，就是根号七，所以就等于三十倍的根号七。 第二问，三倍的根号三乘以负的四分之根号下是八，那么负的四分之根号下是八，它的系数其实就是负的四分之一，所以我们三倍根号三，他们的因数呢是三，所以我们先让三乘以括号里负的四分之一相乘啊， 然后再乘以，再用根号下啊，三乘以是八，这样写出来。那么前面我们来算一下，是负的四分之三 乘以根号下啊，三乘以十八呢，也是凑一个数的二次方，这有三个十八，肯定能凑出三来，就是三乘以六。 最后我们能把三开出来，因为是两个三相乘，所以就是负的四分之三乘以三，再乘以，这里面只剩下六了，就是根号六，所以等于负的四分之九 倍的根号六。破广探索题啊，第一题，化简。 第一问，是根号下五十三的二次方，减二十八的二次方。那么这个大家一看的话呢，其实，呃，我们就能回想到我们 八年级上册学的两个公式，其中一个公式就是平方差公式，平方差公式就等于两数之和，乘以两数之差，然后呢，它等于啊，第一个数是平方减，第二个数是平方，所以它很符合平方差公式，我们就直接可以给他写就行了。就等于括号下五十三加上二十八， 乘以五十三，减去二十八，等于根号下啊，我们来算吧，五十三加上二十八，其实等于八十一， 乘以根号下五十三，减去二十八，就等于二十五，所以根号下八十一是九，根号下二十五是五，所以最后等于五九四十五。 再看第二问，第二问是稍微复杂点啊，第二问这道题呢，其实，呃，很多人能做，做不出来，百分之九十的人应该都是做不出来的啊，它是比较有难度的 啊，因为它是一个三次方的问题，那么我们之前也有视频叙说三次方的这个化简的问题，它化简是怎么化简呢？其实我们这个里边只需要提取公音式或者是公音数就可以，那么对于他来说，我们先先来先来写一下 x 的 三次方加上六倍的 x 的 二次方，再加上九倍的 x y 方，他们的共音式是谁？其实就是 x 啊，看看找共音数的方法，在我们八年级上册已经学过了啊， 先看啊，这三个式子有没有有没有共同的字母啊，有没有相同的字母，有的是 x， 然后找字母次数最低的，所以就能把 x 提出来了，提出来之后呢啊，就变成了 x 的 二次方加上六 x y 加上九倍的 y 方啊，都是把 x 提出来了。 那么写到这个情况下，我们再来看看看这个括号里边这一项是属于什么？我们看第一项呢啊，我们把它移到这边来写 x 的 二次方加上六 x， 我 们看第一个是 x 的 二方啊，再看最后是九外方，其实 x 的 方是 x 的 二次方啊，那么九外方其实可以写成是三外括号的二次方啊，是九外方，那么这是两个数啊，首尾各平方了，看看他俩的乘积， x 乘以三 y 是 三 x y， 二倍是六 x y 啊，这少写了一个，这少写了一个 y， 所以 就符合我们的这个完全平方公式的一个口诀，就是首尾各平方乘积二倍摆中央，所以它是一个完全平方公式，最后就等于 x 加上三 y 括号的二次方。 所以我们既然回到这道题上来，就等于根号下 x 乘以括号里 x 加上三 y 的二次方等于，那我们再来看它的条件， x 是 大于等于零， y 是 大于等于零，所以 x 加上三 y 是 大于等于零的。也就是说啊，它是一个非负数，所以直接能给他开出来，开出来的话呢，就是它本身呢，就是 x 加上三 y， 但是一定要带上括号啊啊，先开出来之后呢，里面只剩下 x 了，所以等于根号下 x 啊，这就是最后的答案了， 这个里面呢，千万不要忘记，最后你看出来之后，它是一个多项式，多项式的话，一定要带上根，带上括号，因为我们此时把这个多项式当成一个整体来算了，如果你不带括号，那就错了，就变成了 x 加上三外倍的根号加 x 了，那是错误的了，所以这一点一定要记住。 再来看第二题，已知根号七等于 a， 根号七十等于 b， 试着用 ab 表示根号下四点九， 那这个题呢，也是有点难度啊啊。然后我们来看一下怎么去表示他，这是一个数学思维的问题，根号七等于 a， 根号七十等于 b， 那 我们先试试让他俩相乘，根 a 乘以 b 的 话，是不是等于根号下啊？七乘以解七十， 最后等于呢？根号下啊，七乘七十的话是四百九十。那我们再来看根号四百九十和根号下四点九有什么关系呢？我们可以试着把根号下里边呢四百九十换成是四点九 啊，乘以十的几次方呢？我们来看，其实相当于乘以十的二次方，这是我们的一个科学计数法啊，在我们的物理啊，还有数学我们都已经学过了，所以它可以写成它了。写成它之后呢，我们知道十的二次方直接能开出来，其实就等于十倍的根号下四点九， 那么这样的话呢，这个等量关系我们就已经找到了，所以 a 乘 b 是 等于十倍的根号下四点九，我们在这里写一下， a 乘 b 是 它，那么所以说根号下四点九其实就等于 a 乘以 b 除以十，也就是十分之 a b。 好，这一节我们马上就要学习完了啊。最后呢，我们做一个小节二次根式的乘法法则。首先先看根号 a 乘以根号 b 等于根号下 a 乘 b， a 大 于等于零， b 大 于等于零， 拓展的法则啊，它是根号 a 一 直乘到根号 k 就 等于啊，根号下 a 乘 b 一 直乘到 k， 前提啊，一定要把这条件写好，里边的数都要大于等于零，否则根号没有意义。 m 倍的根号 a 乘以 n 倍的根号 b 等于 m 乘 n 倍的根号加 a b， 也就是让我们外面的这两个因数相相乘，里边再用我们的啊根号乘法的法则来来计算。 最后性质呢，就是它的一个逆应用，就是根号下 ab 就 等于根号 a 乘以根号 b。 还是条件不要拉好了，二次该式的乘法的第一课时啊，我们已经一起学习完了啊，接下来呢，我们做一下各种的练习来巩固一下就可以了。关注我，带你开启学霸模式。

八、下数学最难的二次根式六大题型，寒假吃透开学领跑全班！八年级数学下册二次根式六大重难点题型题型一，判断二次根式的个数 题型二，根据二次根式的定义求字母的值题型四，根据二次根式有意义条件求值 提醒五，利用二次根式的性质化简提醒六，化简复合二次根式完整版分享！

进来的大家晚上好。二次根式啊，这种题目啊，不是每次考试那些都是秒考的啊，孩子们的这种题目，这后面没有秒对话思路，像对于这种输赢结合啊，这种方法，书上的一秒也太少了啊，这个我们来这个话来讲的话，一秒很快，就像这个题目，二次根式这种题目，大部分孩子啊，普通学生 谈到了题目之后肯定在用什么，兄弟们就选择这种配方，或者进行一个硬算，或成为我们称为代数法。那我们今天啊，通过这个题目啊，来借数学结合这种方法，我们来把这个例子啊，这是一类题目，一把把讲透，我们先学到我们的书本当中啊，书本中对于我们这根结合啊， 最浅显的是什么呢？支点就是勾股定律，就给你大家就是二七三角形，三角形直角边，一个边是 a， 一个边是 b， 很 明显另外一个边就是平行交叉下 a 方加木心啊，那 我们来给你们的勾股定律啊，进行迁移，把这个勾股定律啊，有勾股定律的话，就可以把这个定好，下 x 平方加九， 就把写成平方下 x 的 平方加三那么些平方，那这样呢，我们可以把这个平方下 i 幺加九，能写成一个 加的角形起边的形式就是一个平方是 x， 一个 b， a 是 x， 一个平方什么些这个三那么些平方。好了，那这样呢，我们对于另外一个边式啊，这个平方下这个 x 平方点，这个十四， x 加六十五，我们也写好刚才这个题目样，但是好发现啊，读了什么写，读了一个减十四 x， 那 这样的回音应该讲啊，我们配方表别别好东西啊，很自然的选择出来，写的是 x 减七的平方， 正好加了四十九了，再加九十六十六，我们写成四的东西平方，那这样呢？不是两个根号啊，是都能把它写成两个数，怎么写平方这个和的形式，那这样的话看一下啊，来写解的原式，等于这个写成根号下 x 平方加三的平方， 第二双，等我一下， x 减七的平方加四的微斜，对吧？好，下面我们来利用数形结合啊，来尝试一下，我们来在这边啊倒读， 我们先用这个笔画，这个笔画，这一个改成三角形，这个边它是三，这边当什么写 x 好 了，那这样的话，这个边就要求怎么写？笔画下 x 平方加，我们写三个平方，那同样的，我把这边另外一边，同样这个右边是四， 这个直角圆是什么线？二 s 减减减七把这一点我们可以使两直角往心往一个边，他们在一个一条边线上，这样的要求的，这样的根式秒加，要么这边成为 a 点，这点成为 p 点，这点成为我们斜 b 点，那这样很自然一点，什么斜的是 这个是 a p 加 p， b 的 这个和怎么写这个最小值。但这样我们观察发现啊，这个边又是 x， 这个边是 x 减七，而 p 点呢，发生改变，那此时会发现这两点之间距离呢？ 它们之间是二， x 减七也是个变动的，那这样我们也可以把这个变动公式啊一个处理一下，所以我们就二 x 减七的平方等于七减 s 的 平方，那这样呢，我们可以把原来的公式写成凹陷 x 平方加 三个平方，折个洞，加上括号下，而写成是七减 x 的 平方，加减加四平方， 看一下，这有个好处啊，这个边七减 x 的 位置， x 这个边正正好是七，那这样的话呢？从一画到二，这边是 x， 边是三，这个边点一点一点，这边是四， 这个边是 p， 那 么这个点成为 a 点，这点成为 x， b 点，这边是七减成 x， 那这样的话这个情况就，而且这个时候这两边的和这写正好是七。好求求两边的分就是 ap 加 pb 怎么写 这个值？地点在发什么写会改变，那么求这个 ap 加 pb 怎么写？最小值的不就是我们这个图里面啊？假如这个将军以马问题，以马问题，而以马问题这方面应该比较熟悉啊，我们注意到我们应该什么写作为什么写一个对的问题，那我们可是啊， 必须要做什么写这个 a 点？关于这个线的写，他怎么写对称点啊？要做什么写？换一个笔 可以做 a 点，关于他什么写？对称点要称为 a 撇，这是 a 撇，你看见没有？不太清楚啊。来换这么一个 b 的， 把它怎么写？这个时候很明显把这个要学什么写这个 a p 就 变成什么写，变成 a p p 了， a 撇撇，那这样我要求怎么写这个 a b a p 加 pb 怎么写？这个最小值就变成是 a 撇 p 加 pb 怎么写？ 这怎么写最小值，那我们怎么办啊？现在只需要把这些这个 a 撇 p， 我 把它进行连，是不是这个 a 撇 pb 三点共线时 p 什么面啊？这是 p 点，那这样呢？我就说 a p b 这个面啊和长就是 a p 加 p b 和什么线，这个最小值，那这个最小怎么求呢？这时候我可以把 a 点做这个边怎么写？平线过 b 点，我们怎么样进行延长？这个时候这个边是 三或者三点，这就是什么线，三这个边就什么线，这个边就是七，那这个边的话正好是什么线？七 啊，一个 r 七的斜三角形，那现在这个 a 撇 b 的 斜，这个最值就跟这 a 撇 p 的 值就等于七倍的水对号，也就我们写出来，这里有根式，就是根号加根号，他怎么写？最小值就是七倍的母线对号， 那这样的话我们要不行啊，成功的理解和理解这个和的母线最小值，秒记住了， 来回顾一下啊，不行的话就这个书本当中的勾股定律，我们进行了一个迁移，迁移在什么呀？这个根号里面是平方减平方变成和把处理成二极的角形，斜边的那些长度问题，那就是成功的把这个根号加根号变成的是这两个， 这什么呀？和斜边这边成为 a p 的 长度，这边是 p b 的 那么些长度 有什么变通的是就是 a p 八 p d， 这个和的什么值？ a 小 值， 那后面呢？就结合这些图形，就是数学结合，把这个 a p p b， 我 们进行了一遍，我们进行处理一下，做了一个利用，我们讲那种老师教官的那种将军一马这样这种 方法来解决迷信式加电视，迷信的东西必须要知。好了，你们今天啊把通过这道题，利用那个收音机的方法，把你的这种根号在编号里面，最好是和这种题目呢最值问题啊，大家讲好了，好，我们今天就到这啊。

这道题目呢，全班五十个人，四十三个人都做错，你敢不敢挑战一下呢？我们一起来看。若一个绝对值加一个根号等于 m， 那 么求 m 减二零一七的平方是多少？那这道题目呢，他考察的是二次根式的非复性， 就是对于一个二次根式根号 a， 那 么他要有意义的话，那被开方数非负， 所以当在做题的时候，你只要看到二次根式，你的第一反应就是这个备胎方数要非负，所以 m 减二零一八大于等于零，那么 m 是 不是大于等于二零一八？ 那 m 大 于等于二零一八的话，你看二零一七减 m 怎么办？是不是一个负数， 对吧？那负数的绝对值是它的相反数，所以去掉绝对值符号就是 m 减二零一七，那再加上根号下 m 减二零一八等于 m， 对吧？那么你看左右两边的 m 是 不是消掉了，把负的二零一七给它移过来，就是根号 m 减二零一八等于二零一七，那我们现在要求谁？它是不是要求这个 m？ 所以你是不是要想办法把这根号给它去掉？那怎么去根号？我给他的左右两边同时平方就行，那左边就是 m 减二零一八， 右边是二零一七的平方，所以 m 减二零一七的平方就等于二零一八， 那么结果就是二零一八。那今天的这道二次根式的题目大家听懂了吗？那么二次根式这里呢？除了非复性，还有八大题型，大家把我整理的二次根式八大题型拿去练习，轻松解决这类问题。

同学们，我今天发现一道特别有意思的题目，这道题目我在班上发现很多同学都不会做，尤其是针对这个小数部分，那我们今天拿来问问大家，看看晚上的小朋友们会不会做。 嗯，那我们先看一下这道题目，他说五减根号三的的小数部分为 a， 五五加根号三的小数部分为 b， 求 a 减一乘以 b 加二。那很明显， 这道题目我们首先就是要把 a 和小 b 表示出来，对不对？才能代入求值。那现在问题来了，五减根号三的小数部分到底是多少呢？ 那为什么会有小数部分？换句话说，有小数部分也许就是有整数部分，是不是？那我们看看，因为五是有理数， 而根号三是无理数，有理数减无理数，结果肯定是无理数，对不对？ 肯定是等于五位数，那五位数说明就是除不尽呗。那除不尽我们怎么找出他的小数部分呢？ 那这时候在讲这道题目之前，我们先来，嗯，做做这几道题目。 五点三，他的小数部分是几？他的小数部分是零点三，对不对？那因为大家很显然已经可以看出来，那我想问问他的整数部分是几？ 整数部分大家也可以回答出来是五，因为五点三是等于整数部分加上小数部分，所以换句话说是加数，加数和对不对？所以当我问你说 pi 他的整数部分是几十，那整数部分咱们都清楚，因为拍很明显他是五厘数啊， 所以我问小数部分时候，大家都不清楚，可是我问他整数部分时候，你们就知道说拍整数部分是三，对不对？大家小小学，小学的时候背是三点一四一五，九点点点。 那所以整数部分有了。根据上一题的引导，我们知道说是整数部分加小数部分等于这一个数， 也就是说三加什么会等拍加数？加数和已知一个加数和求另外一个加数，说明这个问号就等于多少呀？这个问号是等于和减去另外一个加数呗， 明白了吧？好，所以这一题他当题目问五减根号三它的小数的部分时候，我们要先知道它的整数部分 是不是整数部分加小数部分，所以五减根号三，它整数部分是几呢？那我得先看看根号三等几是不是因为解一题的。 因为根号三它是用夹笔法，咱们用夹笔法， 根号三是夹在谁跟谁之间，哪两个能够完全开方的连续整数之间呢？是一和二， 因为一是根号一二，一是根号四嘛，对不对？根号三三是夹在一和四之间， 所以根号三是加在一和二之间，所以五减根号三，说明根号三是几啊？你脑子里面可以怎么想 啊？比如说我，呃，根号三我就取一点七。那随便你啊，因为你你你脑子里面想的他是一点多，那五减去一点多的数，说明他是约等于三点多， 是吧？这个应该没问题吧，老师没想错吧？因为我刚刚下班有点累。五减根号三是夹在 三和四之间，因为五减一点多是等于三点多啊。五减一点七是不等于三点三，所以三点三是夹三和四之间，你这么想会比较容易清楚。 所以五减根号三它的整数部分 为 三，三点多嘛，整数部分就为三，那小数部分咱们就可以算喽。小数部分 为五减根号三减去它的整数部分，所以是二减根号三。 啊。那同理，五加根号三，咱们也可以用加 b 一下，因为三五取一点七，那五加一点七是不是六点七？六点七就是加在六和七之间，咱们是通过这个来约算， 估算会比较好算一点啊。所以五加根号三是加在六和七之间，说明五加根号三的整数部分 为六，那么它的小数部分就是为这一个数减去它的整数部分，也就是根号三减一。好极 a 是 等于二减根号三， b 是 等于根号三减一。好，所以 a 减一乘以 b 加二，就会等于二减根号三减一，乘以 根号三减二。那我们括号先算，所以是一减根号三 乘以根号三加一。那这一题咱们可以用什么平方差公式算啊？所以这里面的平方差公式是一减根号三乘以一加根号三，所以是 a 是 一， b 是 根号三一的平方减根号三的平方， 所以是一减三等于负二。那不知道呃，看视频的你们有多少人会做这一题，或者说你们有没有收获呀？