二元一次方程对比思维导图

我们这个来学习二元一次方程组的概念啊，参数型， 若方程 m 减二倍的 x 的 n 次方加上 y 的 m 方减三次方等于零，是关于 x， do 和 y 的二元一次方程。那这句话呢，就确定了里边的未知数是 x 和 y， 而剩下的 m 和 n 在这里面都是作为参数存在的，而这个我们就是根据二元一次方程它的概念去确定其中参数的值。 今天是二元一次方程，我们强调了必须满足四个数字叫二幺零，是二呢，代表的是二元啊，两个未知数。 这里面已经说了是关于 x， y 的这个二元一次方程，所以说两个未知数 x， y 已经满足了一，代表的是 x 和 y， 它对应的次数均为一， 那这里面你发现次数都是含餐的是吧？ x 它的次数是 n， y 的次数是 m 方减三，所以说这个次数都应该等于啊一才对。第一个 n 等于一，第二个次数 m 方减三等于一，这样保证都是依次的， 然后再往下零零，我们一直强调他指的是这个系数不等于零 啊，虽然它是零，但是其实系数不等于零，而这里面 x 前面的系数是含餐的，是 m 减二，所以说 m 减二不能等于零。 最后的这个 y 前面啊， shift 其实是一啊，不为零。最后这个四代表是整式啊，整式。而这个地方你只要让呃个子的次数取了一之后啊，前后的一定都是整式， 那得到这么三个式子，这三个式子就可以求对应的 m 和 n 等值了。减了 n 等于一， 然后第二个式子 m 方等于四，平方等于四， m 是等于正负二，但是 m 减二不等于零，所以说 m 不等于正二，那就只能等于二。负二， m 应该是负二，这样的话 m 加一就是负二，加一，答案应该是负一，就是根据概念求参的问题。 所以强调一下，根据二元一次方程的概念求餐啊。一般啊，主要的考察的就是中间那个二幺零式中的那个幺和零 啊，幺和零幺代表的是这个次数，零代表的是系数不为零。 所以大家要把重点啊放在这个含未知数的箱的系数和次数上，尤其是系数和次数，含餐的时候必须得满足 所有的项次数均为一，而且前面这个系数是不等于才可以。好，我们接着讲到这里。

我们来看这样一道题，是关于 x y 的 二元一次方程组有无数组解，是确定 ab 的 值，我们把上面这个标成一，下面这个标成二，上面这个是二 x， 下面这个是四 x， 所以 这个一左右两边同时乘以二， 是不是就可以消圆了呀？乘以二之后，它变成这样一个式子，我们把它标为三，然后用三减二或者二减三都可以，我们用三减二吧， 三减二之后呢？变成这样一个式子，我们化简一下，就是因为有无数族解，所以这个未知量的系数，也就是这个负四， a 减一等于零，这个常数项也等于零的时候，这个 y 是 不是可以是任何数啊？ 所以我们得到负四， a 减一等于零，二 b 减十等于零，然后得出来的就是 a 呢？等于负的四分之一， b 等于五。

二十分钟带你学完记下数学二元一次方程，本视频将带你从基本概念到核心题型，一站式搞定，全程干货无废话，不管你是课前预习，课后复习还是考前冲刺，都能用得上，我是饶老师，一个能带你上分的数学老师。好了，话不多说，我们直接开始 教材不读，稀里糊涂。哈喽，七年级的萌娃们，跟着我的节奏，把第十章小结与思考部分来完成。那本章讲的是二元一次方程，指的是包含两个未知 数，并且呢，未知数的次数为一，二元一次方程组，无非就是组队呗，把两个二元一次方程呢给他整到一块。 像这样的一个二元一次方程组该怎么去解呢？好，核心是什么呀？转换，把它转换成我们熟悉的一元一次方程。那怎么转呀？有两种方法，一个叫代入法， 一个叫消元法，其中比较万精油一点的就是这个带入法啊，随便带，不需要动太多的脑子。比如说你把第一个式子的 y 等于三分之二 x 加一，直接给他带到第二个式子，就变成了六 x 加上一个二，乘以三分之二 x 加一，然后会等于九，变成了一元一次方程，那解出来就完事了。或者是你把 x 带到第二个式子都可以， 那消元法呢？就稍微要动点脑子了。那需要看这个未知数的次数，给他凑成一个相反数啊，或者是相同的，比如说观察一下，我可以把上面这个数字呢乘以 三，对吧，变成了六 x 加三，然后这边是九 y 上下呢，做一个减法，可以把六 x 给消掉。那不管怎么样，本质都是一样的，就是转换成一元一次方程。 好，那对于应用题该怎么操作呀？无非就是多了一步嘛，你要先把这个二元一次方程组给它列出来。好，那怎么去列呢？根据实际问题，先找到等量关系，设未知数，你求哪个你就设哪个，对吧？求啥设啥？ 等量关系怎么找呢？这个是一个难点，很多同学呢不太会找。那我们可以用什么列表或者是 示意图的方式，其实这个还是一个转换，对吧？因为你直接找等量关系啊，没有那么明显。那我们列表之后，或者是把示意图画出来之后呢，就看的更明显了，目的呢？还是为了转换成我们熟悉的，对吧？我们能够理解的 好。那二元一次方程组，你给它列出来之后，那接下来就好办了，直接按我们前面的方法去解呗。那么解出来之后呀，最好观察一下这个答案呢？能否解释我们实际的问题，对吧？比如说你算出来都是个负数了，负五，但是他求的是这个有几个人，那人数的话，怎么可能是负五呢，对吧？ 如果遇到三元一次方程组该怎么办呀？一样的呀，先把它转换成二元一次方程组，最后呢，转换成一元一次方程，对吧？解出来就好了。第四，一个二元一次方程组，有可能无解或有无穷多个解嘛？哎，还真的有可能哦，比如说 x 加 y 等于二，然后 x 加 y 等于一，哎，这个有没有解呀？ x 等于几， y 等于几？很明显，这是两个互相矛盾的式子，对吧？ x 加 y 既等于二，又等于一，那怎么可能？ 好，再举个例子， x 加 y 等于二，然后呢，二， x 加二， y 等于四，这个能不能解出来啊？也不能，为什么你看第二个式子就可以变成什么 x 加 y 等于二，这两个式子呢？相当于是一样的，也就是一个为二元一次方程组 啊，就是这个假冒的二元一次方程组。 ok， 那 让我们看到后面的题型部分。第一个，把二元一次方程写成，用含 x 的 代数式表示 y。 注意了，它是表示 y， 那 y 会等于什么呀？ 负三分之二， x 加上一个三分之四，用含 y 的 代数式表示 x， x 是 主角，那就等于什么？二减二分之三万。 第二方程，这个有没有正整数解？有的话写出其中的两个。这个太有了，有很多了，写都写不完啊。当 x 等于二的时候， y 会等于一，对吧？还有呢， 当 x 等于五的时候， y 会等于三。好，下面解方程组。那我就直接写下答案啊，因为今天的题量还蛮多的。那没办法，每个都写过上，这是 后面的有难一点的，我把过程写一下。 x 等于二， y 等于一，这个是 x 等于负三十八， y 等于负三十一，这个是 x 等于负四分之五， y 等于负三分之十。好，这边逗号句号。然后第五个是 x 等于三分之四， y 等于零。 第六个是 x 等于一百七十五， y 等于一百二十五。第四题，已知关于 x， y 的 方程组，它的解释， x 等于七， y 等于一，求 ab 的 值，无非就是先把它带到这里面来，就是七乘以三，对吧？ 减去一个 a 乘以一，那就是 a 等于十六，下面的话是二乘以七，加上一个 b 乘以一等于十五。好，这样的话，解出来 a， 它就会等于五， b 会等于一。 第五题，已知 x 与 y 互为相反数，且满足这个求，他们的值无非就是什么先把 x 加 y 等于零写出来互为相反数吗？那他们的和肯定是零。再来一个 二元一次方程组解出来就好了， x 会等于一， y 会等于负一 一六。已知梯形的面积是四十二，高是六，下底比上底的两倍多。二，求梯形的上底下底的长分别设呗，上底是 x， 下底是 y， 列方程组，那第一个式子就是面积等于二分之一的 上底加下底乘以高等于四十二。第二个式子呢，是 y 等于两倍的下底，再加上一个二，好解，这个方阵组就好了，解出来 x 应该是等于四， y 会等于十。 好，第七题，那应用题的话我就写一个过程啊，后面的话你们仿照这个步骤来写就好了。某饮品店果汁的价格如下表，小杯是八元每杯，一杯三百五十毫升，大杯是五百毫升，十元每杯。 某天该店果汁的总销量是五十七升，收入为一千两百元。求，这天该店小杯、果汁、大杯、果汁各卖了多少杯？那就设备写到这边啊，解， 求啥射啥啊射，该电，小杯果汁卖了 x 杯， 大杯卖了 y 杯。然后就是根据 提意得第一个式子就是 三百五十 x， 一 杯是三百五十毫升，加上五百 y 啊，等于总共五十七升。但是要注意单位啊，我这边三百五乘以 x， 它是毫升作为单位，所以这个五十七啊，应该换算成毫升，就是加三个零啊。那第二个式子就是 总共赚了这么多钱吗？八、 x 小 杯转的加上一个大杯转的等于一千二， 然后解这个方程组的 x 就 会等于六十， y 等于七十二。最后答一下啊，因为后面解完这个之后没有加单位，那你最终的这个答一定有单位的答， 该电小倍卖了六十倍， 大杯卖了七十二杯，好。第八题， 港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，其中技术最难的是桥梁、隧道人工岛组合的主体工程。已知在这个主体工程中，隧道长度 约比桥碎总长的四分之一少零点七公里。桥碎指的是桥梁和隧道的总长啊， 桥梁长度约比桥碎总长的一半多八点一公里。求主体工程的桥梁长度和隧道长度好，过程我就不写了啊。设桥梁长度是 x， 那 么隧道长度是 y， 那 我们来列方程组， 四分之一 x 加 y 指的是什么？桥碎总长的四分之一嘛，然后减去一个隧道的长度， y 等于零点七一个十字啊。第二个十字是 x， 减去二分之一的 x 加 y， 那 桥梁的长度比桥碎的总长的一半，是吧？多八点一。 ok， 列完之后解这个方程组得出来啊， x 会等于 二十二点九，你答的时候带上单位公里， y 呢？是等于六点七公里。 第九题，把一堆笔记本分给学生，如果每名学生分四本，那么多四本。如果每名学生分五本，最后一名学生只有三本，有多少名学生？ x 本多少本？ y 好， 那么列方程组。第一个式子是 四， x 加四等于 y， 第二个式子是，好，你可以这样子吗？如果每名学生分五本的话，是不是就是要 五 x 本呢？但是呢，最后一名学生少了两本，也就意味着什么？在原来的基础上加上二，刚好就是什么。每个人分五本，解这个方程组，得到 x 就 会等于六。那答的时候带上单位是零，然后 y 呢？等于二十八，单位是本。 好，那第十题，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 平行于 c、 d 角 c、 a、 d 是 九十度角 b 这个角等于角， a、 c、 b 等于这个角都等于 x 度 角 a、 c、 d 这个角是等于 y， 角 d 是 x。 减二十，求 x， y 的 值好，列方程组。第一个式子，我们可以利用这个三角形 a、 c、 d 内角和一百八十度得到 y， 加上 x 减二十加九十，对吧？等于一百八十。这里你可以不用写单位啊，单位是度嘛？你最后得出这个 x， y 的 值之后答一下，带上单位就好了。第二个式子呢，我们可以利用这个 平行那角 b、 a、 c 也是等于 y， 是 不是三角形 a、 b、 c 的 内角和也是一百八，那就是 x 加 x 加上一个 y 会等于一百八，然后解这个方程组，这边是逗号，这边是句号， x 解出来应该是七十， y 应该是等于四十。好，那你答的时候就是 x 就是 等于什么七十度打上单位啊， y 是 等于四十度。 第十一题，如图，宽为五十厘米的大长方形，是由十个相同的小长方形拼成的，求其中一个小长方形的面积。好，那你不要直接设小长方形的面积啊，你这样的话，式子不好练对吧？而且只有一个位置数，我们可以设什么这个小长方形的，比如说宽是 x， 那么长是 y， 那 就列方程组。第一个是这个五十啊，它就等于什么 x 加 y 吧，因为这段也是 y 嘛。第二个式子你可以利用，比如说面积啊，也可以找这个长度关系。找长度关系呢，简单一点啊，就是这段长 是不是等于两倍的 y 呀？然后这两倍的 y 又会等于什么？一个 y 加上四个 x， 是 不是？ 所以是二 y 等于 y 加四 x， ok 解，这个方程组得到 x 等于 十， y 等于四十，那这个长方形的面积就是四百平方厘米。 十二题， a、 b 两地之间的路程是三十六公里，小丽从 a、 d 骑自行车去 b、 d， 小 明从 b、 d 骑自行车去 a、 d， 两人同时出发，想想而行，一小时后，他们美丽的相遇了。再过零点五小时，小丽还需骑行的路程是小明的两倍。 问他们的平均速度，那最好要画一个示意图啊， a、 d、 b、 d， 那 咱小丽用红色的标一下吧， 咱小明呢，用黑色的标记一下吧。好，一小时后，他俩相遇了，比如说小丽在这里吧，小明呢，在这里吧。 好，接着再过零点五小时，比如说小丽跑到这里来了，那小明呢？跑到这里来了。 好，那第一个式子，第一次相遇的时候，他们的距离之和是不是等于三十六呀？那小丽第一次走了多少距离？就是这段吗？是不是他是走了？假设他的速度是 x， 小 明的速度是 y， 那 就是 x 乘以一，那就是 x 乘以一加 y 乘以一，等于三十六。好，第二个式子稍微难一点，他说的是小丽还需骑行的，那就是这段了， 这段是小明的两倍，小明的到目的地，还有这段是不是是他两倍？那就要把这段表示出来，应该是用总的三十六 减去小丽前面走了多少呀？小丽前面这里走了一点五乘以 x 是 不是好？等于小明是三十六减去他前面走的这一段是多少？ 一点五 y， 然后呢，是它的两倍乘以二，那这两个式子就列出来了。好，接着 x 应该是等于十六，单位是公里每小时， y 的 话是等于二十公里每小时。 十三、学校为书法社团的十名同学购买毛笔和墨汁，如果每人各买两支毛笔，就是二十支毛笔一瓶墨汁的话，总共十瓶墨汁，按零售价购买，支付三百八十元。 如果每人购买三支毛笔和两瓶墨汁，可按批发价购买，共四百八十元。一支毛笔的批发价比零售价低三元，墨汁的比零售价低两元。 求毛笔和墨汁的批发价分别设为 x 和 y。 那 列方程组。第一个就是二十支毛笔，一支单价是批发价再加上三元，因为零售价比它贵三元，再加上十乘以 y 加二， 等于总共三百八十元。第二个式子，三十乘以批发价， x 加上二十， y 等于四百八十。解得 x 应该会等于十二元， y 会等于六元。 十四、题，探索下列二元一次方程组解的情况。第一个，那就是 x 解出来等于二， y 等于一。 第二， x 减 y 等于一，二 x 减二， y 等于二。哎，把二消掉变成 x 减 y 等于一，两个 x 减 y 等于一，那怎么解呀？相当于就是什么尾二元依次分成组，那就是无数组减。 第三个， x 减 y 等于。下面也是变成 x 减 y 等于二， x 减 y 既等于一又等于二，抱歉，无解。 十五、先有一块质量为十千克的甲乙两种金属的合金，用甲种金属若干与这块合金重新熔炼所得的锌合金中，甲种金属占三份，一种金属占两份，那就是甲占了五分之三。 如果再用相同数量的甲种金属与锌合金重新熔炼，那么所得合金中，甲种金属占七份，一种占三份，那就占了十分之七。每次所用的甲种金属设为 x 呗。 原来你设的时候要带上单位啊，就是 x 铅克，是不是？原来这块合金中甲种金属的百分比直接设为 y 来列方程组 第一个式子，原来这块合金中钾的含量是 y， 那 总质量是十，就是十 y 再加上 x， 此时的总质量是十加 x， 对 吧？第一次融合的时候，它的占比是五分之三， 第二次的时候，他的总质量也就是分母变成了十加二 x 了，此时假的总质量是十 y， 原来的加上一个第一次加的 x， 第二次呢？又加了一个 x 等于十分之七， x 是 等于五，带上单位千克， y 是 等于百分之四十啊，百分比是没有单位的六、某水果批发市场香蕉的价格如图所示，某人两次共购买香蕉五十千克，第二次多于第一次， 也就代表第一次肯定是小于二十五，第二次呢，大于二十五共付款二百六十四元。第一次第二次分别购买，我设为 x 和 y， 然后看到这个他有分档位的三个档位， 那第一次我只能确定它是小于二十五千克，具体是第一档还是第二档不确定，那怎么办呀？那这个题的难点就来了，就是必须得分类讨论。 当 x 除以第一档的时候，小于或等于二十大于零的时候，那 y 是 除以第几档呀？好像也不确定哦，所以还得在这个情况下 分成两类。当 y 是 除以第二档小于四十，大于或等于三十的时候，当 x 取最大值嘛，二十，那 y 就是 最小值三十。 还有一种可能就是它在第三档，它又会等于四十，所以这里又分成了两种情况。这个先当一个草稿啊。就是第一种， x 在 第一档的时候，有两种情况，我们再分第二种，当 x 除以第二档，就是大于二十，小于二十五的时候， 那 y 呢？他的取值范围就是小于三十，你看他二十的时候， y 就是 三十嘛，他二十五的时候， y 就是 二十五嘛。所以 y 的 取值范围是二十五到三十啊。这个好，确定了。那 x 就是 处于第二档， y 呢，也是处于第二档。那总共我们可以列出三个方阵组，所以这个三个方阵组分别是 第一种情况啊，当 x 处于第一档的时候， y 处于第二档， x 加 y 是 等于五十总的，然后花费六 x 加上五， y 等于二百六十四，这是第一个方阵组。 第二个方阵组就是 x。 第一档 y 是 取第三档， x 加 y 等于五十六， x 加四， y 等于二百六十四。那第三个方阵组， x 加 y 等于五十五， x 加五， y 等于二百六十四，第三个方阵组直接给他 pass。 我 们刚才还讲到尾方程组，你看 x 加 y 同时除以五是不等于五分之二百六十四， 它又同时等于五十，又等于五分之二百六十四，说明这个情况是不存在的。那第一个方阵组解出来的是多少呀？ x 会等于十四， y 会等于三十六。那这个没问题，符合情况，因为刚好是属于我们这个， x 属于第一档， y 呢？属于第二档情况。然后第二个方阵组解出来是， x 会等于三十二， y 等于十八。那肯定错了，不符合实际情况， 因为 x 肯定是小于二十五的，所以最终的答案就一个。第十七题这边写不下了，我给它擦掉。 箱子里有若干个红球和白球，小明、小丽分别按下列方式取球。小明的取法是，每次取四个红球，三个白球，连续取了几次后，也没说取几次， 不放回箱子里，只剩下六个红球。小丽的取法是，每次取六个红球，三个白球，连续取了几次，也没说取几次， 箱子里只剩下去有个白球。计算箱子里红球白球设为 x 和 y。 那 这个题的难点又是在于什么？没有办法直接得出一个二元一次方阵组。那我们先看第一种 劫舍，红球 x 个，白球 y 个，然后小明取了 n 次。 n 肯定是个整数， 小丽取了 m， 四 m 也是个整数，那我们要列两个方程组出来。第一个就是小明取的时候应该是四 n 等于 还剩六个红球吗？就是 x 减六，然后三 n 等于 y。 那 这个有什么用呢？ 好像不能直接求出 x 和 y 是 不是？那再把小丽的列出来，小丽去了 m 次的话，就是六， m 会等于 x， 然后三 m 等于 y 减九。那这样的话，我可以通过这两个式子 把 n 表示出来，通过一式可以得到 n 是 等于四分之 x 减六。二式呢，可以得到 n 是 等于 三分之 y， 那 这样的话就得出了一个二元一次方程，那第二个式子也是一样的，我把 m 表示出来等于六分之 x， 然后呢又会等于什么？三分之 y 减九。这样的话我们就凑出了一个二元一次方程组，四分之 x 减六等于三分之 y， 然后是六分之 x 等于三分之 y 减九。这个题的难度就在于他没有直接让我们凑出二元一次放生组，绕了个弯啊。 ok， 后面还有一个综合与实践也值得大家去阅读一下，跟大家的营养啊，健康息息相关的还有一个学习任务，为某健美运动员配置早餐，他的早餐蛋白质需求是四十五克，碳水化合物需求是一百克， 然后给到你两种食物，一个是蛋清，一个是燕麦。来求我们分别设为 x 和 y， 那 蛋清中它的蛋白质含量是一百克，里边有十一点六，就是百分之 十一点六，再乘以 x 就是 它蛋清里面的蛋白质，加上燕麦里面是百分之十四点四，再乘以 y 就是 燕麦里面含蛋白质的量，等于它总共需要的是这个四十五。 同样的，再列出碳水化合物，蛋清里面的含量是百分之三点一乘以 x， 再加上燕麦里面是百分之六十五点三，乘以 y 等于总的一百克减这个方阵组就好了，剩下的大家自己再看一看。 ok， 那 我们这一张就到这里结束，感谢。

一个视频讲清楚解二元一次方程组，那我们解二元一次方程组有两个方法，第一个方法是代入消元法，第二个方法是加减消元法。那首先的话，我们来看一看什么时候用代入消元法。如果未知数的系数比较小， 这是第一种情况。第二种情况是有一个未知数的系数为一，首选代入法，那么来看这个方程组，那我们会看到 x 加 y 等于六，他的未知数系数为一，是吧？我们就首选代入法，那我们就把 二啊由二我们整理得啊， y 等于六，减 x， 是 吧？设为三个第三个方程，将三代入一得三， x 加二，乘以括号里六减 x， 括号里等于十六， 解这个方程得 x 等于四，然后再将四代入三啊，代入这个方程当中，就解得 y 等于二，所以这个方程组的解是 x 等于四， y 等于二。 什么时候我们用加减消元法呢？首先第一种情况，如果我们发现未知数的系数相同，或者是未知数的系数互为相反数，或者是有明显的成倍关系，那么就首选加减消元法。那么来看这个方程组，五 x 加四， y 等于四，三 x 减四， y 等于十， 写得一加二，我们就得八， x 等于十六，因为四 y 和负四 y 互为相反数，两个异相加，那么我们就消去 y 了，那八 x 就 等于十六， x 等于二。然后我们再将 x 等于二代入我们的这个 一式当中啊，就得五乘二加四， y 等于六，最终得 y 等于负四。所以这个方程组的解是 x 等于二， y 等于负一，那这是我们比较明显的情况。还有一种普通的二元一次方程组， 我们像这种情况呢，我们要变换系数为最小公倍数或者是加减消元法去解题。那像有些题目当中我们会发现五 x 加四 y 等于六，或者是三 x 减二 y 啊， 等于十，那这样的情况下呢，我们就要变换系数为两个方程的最小公倍数，然后再加减消元去进行解析。

我们这节课来学习二元一次方程组的应用几何图形，看这道题目， 利用两块长方体木块去测量一张桌子的高度，首先呢是按图一的这种方式放置，然后呢再按图二的方式放置测量的数据，如图。 好，我们看一下啊，这里边第一个数据是七十九，那你发现这个七十九厘米啊，其实里边设计了很多长度，一个是这个小的长方体木瓜的长，对吧？再一个呢就是这个桌子的高度，这段是桌子高度， 然后以及下边这一段，这边应该是这个小长方体木块的宽，对吧？啊， 同样的，右边这个七十三，你发现也是一道三个数据，一个是这个木块的宽，还有就是桌子的高， 然后还有下边这段是，呃，木块的长，知道吧？那你发现这个前后两个图中都需要用到三个数据，那这三个数据现在都未知，那我可以大胆的设为指数， 比如我就设这个小长方体木块，它的两条边长和宽可以分别设为 x 和 y， 对吧？ x 和 y。 另外你发现这里面还涉及到了一个桌子的高度啊，你仅有 x， y 你是表示不出来。七十九和七十三的还需要用到这个桌子的高度，那我们再设一个位置数是 z。 现在同学可能会有疑问说，老师啊，这里边只有 两个具体的数，七十九，七十三，我设三个未知数，能解出来这三个具体的值吗？哎，先把它设出来，列列式子看一看，说不准你会有意外发现。那你看七十九可以怎么表示呢？ 七十九其实是这个，这段是 x 嘛，加上这段 z， 然后减去下边这段 y， 所以的第一个式子应该是 x 加上 z 减去 y， 应该是等于七十九， 同样的第二个，我们来表示下七十三。呃，上面这段是模块的宽是 y， 下边这段还是 z， 然后这段应该是 x， 所以你发现现在应该变成了 y 加 z 减 x， 等于七十三，然后呢，得到这样一个发生组， 你发现这个放松组啊，里边是三个位置数，应该是三元的，我们虽然不能把 x、 y， z 三个值都求出来，但是因为这里边的系数的特殊的地方，你发现上面是 x 减 y， 下面是 y 减 x， 是吧？因为技术是特殊的，所以说，虽然三个都不能求出来，但是我可以求 z 的值。两个式子相加，你发现一和二一相加，上面 x 减 y， 下面 y 减 x， 直接消没了，所以得到一加二，应该就变成了两倍的 z， 只剩两个 z 了，就等于右边的七十九加七十三，也就是一百五十二，这样的话， z 应该是一百五十二，除以二就是七十六，就是桌子的高度，恰恰就是求的这个 z c 的值七十六厘米啊，这就是啊，这个题虽然不能求 x 和 y 具体的值，但是呢，呃，根据题目的条件求 z 的值就可以了， 但是呢，根据题目的条件求 z 的值是没问题的啊，这就是这种几何图形的题，就是里边涉及到了一些具体的长宽呐和高度啊，大家一定要记得设位置数 啊，大胆射就行了，不要怕射的未知数多，很多时候呢啊，一些未知数是射最后呢，是不求的，叫视而不求， 那他们的这个量会抵消掉，最后呢，呃，能求出来我们想要的那个量就可以了。好，最后简单总结一下， 对于图形问题的求解呢，要学会通过对图形进行观察，然后比较分析，发现隐藏在这个图形中的一些数量关系。 像这个题啊，就是利用到这个七十九和七十三，它对应的数量关系啊，很多呢，题目呢，可能难度更大一点的话，它会有隐藏的一些数量关系啊，需要大家呢数量未知数之后呢，仔细的去发展这些关系。好，我们这节课讲到这里。

还记得在鸡兔同笼的问题里，我们是怎么列出一个二元一次方程组的吗？如果鸡和兔的头一共有六个腿，一共有十八条，舍有 g， x 之土外之 豆包，你来说一下呢？六个头就是 x 加 y 等于六，十八条腿就是二 x 加四 y 等于十八，这还是难不倒我的，不要高兴的太早，如果我要让你求出来 x 和 y 的 值呢？老张，你为什么不能对我们好点啊？ 别怕，我们先简单回忆一下这道题，如果用一元一次方程，可以这样解，射击有 x 之一，共有六只小动物，兔就是六减 x 之 一，共有十八条腿，就有二 x， 加上四倍的六减 x 等于十八。看这样空击空击的就可以开始解一元一次方程了。那为啥我们还要列二元一次方程组呢？ 说起来，一元一次方程虽然解起来容易，但列起来难啊，但是二元一次方程组就不同了， 有几个设几个，一句话，一个方程，一个萝卜一个坑，列起来简直不要太方便。那问题来了，这二元一次方程组是列出来了，该怎么解啊？其实解二元一次方程的解法的，观察观察 方程组中的二 x 加四 y 等于十八，和列出来的一元一次方程，他们有什么区别呢？就一个区别， y 变成了六减 x， 这又是怎么来的呢？很简单，就是利用了 x 加 y 等于六， 用 x 把 y 表示出来了， y 就 等于六减 x， 再根据等量代换，把 y 等于六减 x 代入第二个方程。一个二元一次方程组就通过消去一个未知数，转化为一个一元一次方程， 是不是就变得超级 easy 了，一个未知数就这么神不知鬼不觉的人间蒸发了， 数学家们可真可怕呀！这你就不懂了，数学家们也是绞尽脑汁才给消去一个未知数的过程，起了一个简单大气的名字，消元都元就是消去一个未知数，这可是求二元一次方程组的通法。 看到一个方程组，脑海中要蹦出来的第一个想法必须得是消元。话不多说，接下来我们就来看看代入消元法是如何解决二元一次方程组的吧。先说一句，方程组里方程很多，为了防止喊错，都给他们起个名字，叫做一是二是。 第一步，和上面一样，先把一个未知数用含另一个未知数的式子来表示，做好消元前的一切准备，标上三式， 其实这里写 x 等于六，减 y 也行，那带入的就是 x 了，你可以自己试试。第二步，消元，将三式带入另一个方程。别忘了填空这里通常会有一个小 bug， 三式是从一式得来的，羊毛出在羊身上，总不得再黏回去。所以再带回一式显然不解决任何问题， 只能得到一个六等于六的横等式，只有带入二式，才能真正消元，得到关于 x 的 一元一次方程。第三步，有了一元一次方程，还不赶紧解 在草稿纸上，自己偷偷算算，求解，得到 x 的 值。第四步，确定了 x 的 值之后，别忘了还有 y， 类似求二元一次方程的解。同样是带入的想法，得到 y 的 值， 其实这里带入一二三式都可以，但显然带入三式最方便。第五步，谁不写大括号谁作死，最后要写出这个方程组的解，这在唠叨一句， 解方程组和解方程一样，为了保证自己得分，解完了顺手往圆方程组里一带，哎，这数对了，咱就放心了。所以用带入消元法求解二元一次方程组，写在纸面上的就这五步， 变形带入求解回带。结论，跟着笔记再回顾一下吧，相信你们也看出来，了解二元一次方程组最关键的是第一步就是变形， 我们只要把一个方程变形成 x 等于什么或者 y 等于什么的形式，就能快准狠的带入到另一个方程中。那接下来我们就对变形进行强化训练，是单个方程，比如三 x 减 y 等于负四，我们先用含 x 的 式子表示 y 表示水就是水等于什么？自然是 y 等于一个含 x 的 式子。一项 y 等于三， x 加四，符号别错了， 那如果答案应该是 a 表示 x 就是 x 等于什么？用含 y 的 式子表示，自然就是 x 等于一个含 y 的 式子了。 一项三 x 等于 y 减四，系数化一得到 x 等于三分之一，再乘以 y 减四。对比一下，我们发现用 x 表示 y 看起来更容易一些， 所以我们在解方程的时候，要考虑选哪个字母表示另外一个字母，除此之外，也要考虑选哪个式子进行变形更简单。在这个看脸的世界，关键在于看系数， 很明显，一式的系数简单，变形的时候也比较方便，变形之后的式子也会比较简单。 选定了一式进行变形之后，同样的问题来了，我们是用 y 表示 x， 还是用 x 表示 y 呢？答案是用 x 表示 y， 也就是写成 y 等于三 x 加四，因为 y 前面的系数是负一，所以变形后不会有分数带入，超方便。 好啦，该好好记笔记了。其实该讲的内容都讲完了，但方程组讲到一半，不把它解完总有点别扭不是？那我们就通过解完这个方程组总结一下，带入消元法吧。 首先，挑选系数为一或负一，或者系数较小的未知数进行变形。其次，将变形后的式子记住，羊毛出在羊身上，再也粘不回去了，只能带入另一个方程。然后求解这个一元一次方程得到未知数的值， 别忘了另一个未知数的值。草稿纸上检验一下结果是否正确，最后得到方程组的解。就这么简单，多操练几遍，相信你这辈子都忘不掉了。那我们下节课再见了！哼，这节很重要哦！

这类题堪称含餐二元一次方程组的压轴王，正确率啊，不超过百分之十，但是特别高频， 很多孩子呢，面对这种多参数的方程组，只会消元硬算，甚至啊还会算到崩溃。其实呢，同行构造才是解决这类问题的隐藏王牌，别着急，老师用最简单方法教你彻底学会含餐二元一次方程组，学会以后，考场直接拿分好来看题目。 要想解决这个问题啊，我今天给大家举个非常简单的例子来，各位请看好了啊，比如说，二 x 加 y 等于十对吧，然后呢，是三 x 减 y 等于五，好，来问你，他的解是多少？来口算一下， 他俩相加是五 x 等于十五，那么 x 是 不等于三对吧，然后 y 呢，就等于四是吧？好，三和四是他对应的答案是不是？好，那我再问你个问题啊，看好了， 比如说两个方块加一个三角等于十，三个方块减一个三角等于五，请问在不计算的情况下，你告诉我方块是多少，三角又是多少？ 能考答案吗？当然可以，为什么不可以呢？就是咱们的脑中是能够有抽象思维的，其实你会发现，这个方块方块 x x 是 不是一回事 啊？这个歪歪，三角三角是不是一回事？我只是换了一个叫法，为什么大家有的人能看出来，有的人不能看出来呢？就是因为你被训练过，总结过。哎，你看啊，我这个时候，如果系数二三二三一样 啊，加一减一，加一减一一样，然后十五十五是一模一样的，那么你这个 x 就 跟我这个方块一样，它都是三 啊，你这个 y 就 跟我的三角一样，它都是四，这个叫什么法？这个就是我们今天所分享的，叫做同构形二元一次方程组 同构，你看什么叫同构？系数是相同的，长数是相同的，答案也是相同的。同构一元二次方程，它的核心逻辑是三，同 系数是相同的，长数是相同的，那么解它也是相同的，三个是一模一样的。 ok， 知道这两个推解是一样的，就这么简单。当你理解完了这个原理以后来，你再去观察这个题， 豁然开朗，为啥呀？你这根本解不出来的吧？ a m b y n， 对 不对？这么多字母，你怎么解好？你换一个思路来，再看它，你就恍然大悟了，因为 c t c t， 大家的常数是不是一模一样的，是不是？ ok， 那 系数呢？你 a m， 只不过这里是二 a， 怎么办？我要处理一下它，我想变成 a， 你 能不能利用乘法的一个交换率，把二乘 a 乘 x， 我 变成 a， 乘以括号二 x， 行不行， 对吧？然后呢，二 m， 二乘 m 乘以 x， 变成 m 倍的二 x， 行不行，对不对？它就是你刚才那个方格， 因为这是一个新的方程，这个 x 跟这个 x 不 一样，大家明白了吧？啊，它就是那个方盒，然后呢，继续模仿，你是 b y， 我 也要把 b 提出来，就变成了什么啊？必备的括号三 y， 嗯，这边是我把 n， 你 是 n， 我 也是 n， 对 吧？系数一样呀。啊，加上 n 倍的三 y， 常数呢？你是 c， 我是 t， 你 是 c， 我是 t， 你 是 c， 我是 t， 一 模一样，来检查一下。哦。来，请看好了，系数是 a m b n a m b n， 然后常数是 c t c t 是 不是一模一样？所以你刚刚的这个位置的 x， x 是 四，就是我这个位置的四，那你说我这个 x 是 几？ x 等于二， 你这个位置的负三，负三，负三就是我这个位置的负三，负三他就是负三，那 y 是 几？ y 就是 负一， 我根本不介意你 m 是 多少， a 是 多少， b 是 多少， n 是 多少。 no， 我 只看系数同长数同，那解就是相同的，这就是同构成二元一次含三方程组的核心思路和解法，各位你学会了吗？

大家好，今天我们一起来学习二元一次方程，如果你会解这道题，那说明你一定是个小学霸。我们来看这个方程组， x 加 y 等于二十七， x 加四， y 等于五十一，我们先来把解给它写上， 大家先来观察一下这个式子， x 加四， y 等于五十一，它是不是可以写成 x 加 y 加 y 加 y 再加一个 y 等于五十一呢？哎，大家再观察一下 x 加 y 这个部分，这不就是第一个等式吗？ x 加 y 等于二十七，既然他们的结果都是二十七了，我们第二步是不是就可以直接写成二十七加 y 加 y 加 y 等于五十一。第三步呢？我们来把它给简化一下，三个外相加是不是就是三外呢？二十七加三外等于五十一。接下来我们再来解这个方程，就可以得出来外它等于多少了， 五十一减二十七是二十四，三， y 等于二十四， y 它是不是就等于二十四除以三， 最后读出来是不是八三八，二十四。好， y 我 们已经解决了，那接下来呢？我们来解决 x， 我 们是不是就可以代入到第一个算式中？ x 加 y 等于二十七， x 它是不是加了一个八才等于二十七啊？ 答案，答案呢是就是十九， 别忘写这一步， x 等于十九， y 等于八，你学会了吗？关注我，带你学习更多数学知识！