几何图形棱柱棱锥点线面思维导图

二十分钟学完数量关系左边关键词图暂停看一眼视频笔记评论区瞅瞅，求点赞、求关注、求转发。首先技巧，代入排除法，多位数问题、余数问题、年龄问题、不定方程等 无从正面下手的题目，可以考虑代入排除数字特性法记，偶性和差同性，如果任意两个数的和是基数偶数，那么差也是基数。偶数 a 加 b 等于基数， ab 等于基数。任意自然数与偶数的乘积必然是偶数。应用一只和求差只差求和二、二倍类平均分三、 a、 x 加 b， y 等于 c 类的不定方程。整除特性 二、四、八整除及其余数判定法则，一个数能被二或五整除，当且仅当末一位数字能被二或者五整除。一个数能被四或者二十五整除，当且仅当末两位数字能被四或者二十五整除。 一个数能被八或者一百二十五整除，当且仅当末三位数字能被八或者一百二十五整除。 三、九整除判定基本法则，一个数字能被三整除，当且仅当其个位数字之合能被三整除。 一个数字能被九整除，当且仅当其个位数字之合能被九整除。使用场景，题目出现二、四、八、三、九等的倍数题目，出现倍数、分数、百分数、比例、分组等字眼， 题目中出现各个数位之合，比如路程类题目总共行走十八小时，说明 f 是 十八的倍数。倍数特性， 若 a 比 b 等于 n 比 n 或等于或者等于 m、 n 互斥， m、 n 不 能继续约分，则 a 是 m 的 倍数， b 是 m 加 n 的 倍数， a、 b 是 m、 n 的 倍数。比如男女等于七比四，则全班人数是十一的倍数方程发， 在同等情况下，优先设所求的量，设中间变量分数有分数百分数比例倍数特征优先设小，不设大。赋值法和差倍比识别题目存在加和差值倍数比例 题型，给比例求比例，复制法，加列表法给基期利润，新进价求限期利润都是比例 给，定价打折，售价变化对应不同销售量。求利率，除了数量都是比例，求具体先倍数特性再方程法。方法定三量，根据公式找到关系，比如等于 b 乘以 c 又圆括号， 看给啥看，给了几个具体量，是否有比例关系，可以赋值再赋值。一给一个负一个公倍数比例数，二都没给负两个。 三、有比例负比例，无比例负不变。常应用公式，总量等于效率星号时间路程等于速度星号时间。溶质等于溶液星号浓度。利润等于成本星号利率总数等于人数星号平均数给具体，求具体方程法。 有比例混合，考虑线段法，线段法。方法，混合之前写两边，混合之后写中间距离和量成反比概念，距离是指两段距离中间混合比例的距离。量是指总量及分母， 如果是增长率，则量为基期量，估算时可用限期量代替应用浓度百分号等于溶质溶液量，溶液利率百分号等于利润成本量成本裤子利润，衣服利润，求一整套衣服利润率 折扣百分号等于售价原价量，原价裤子八折，上衣六折，求一整套折扣占比百分号等于部分量总量量总人数两个班，一班男占比百分之四十二，班男占比百分之六十求全年级男生总占比 增长率百分额增长率百分之十出口额增长率百分之二十求进出口总额增长率。 此处容易有坑，根据线段法求出来的是基期量，题目可能问的是限期量。平均数等于总数人数量人数距离平均数。

正方形容器的什么呀？容器，可是第二个不是这个长方形容器的容器对不对？哎，那同学们看这的五十厘米有没有用呢？好像没办法是吧？那多余的，那取到这干嘛？ 都平六六。那如果我们算出来，你就会发现，我们来看一下我们算出来的答案得多少？四十，那四十厘米水的高度有没有超过这个容器的高度啊？没有。那说明什么？ 说明他的水没有什么呀，那如果这个高度比这个高度还高的话，那就说明怎么样溢出来了，所以这个条件表面上看没多大用，但是在比较的时候还是有一定的用，对不对？所以这些数学信息大家都要仔细的关注。 好了，今天呢，同学们用这种以一当当学习方法实现了以逸待命。那么今天呢，老师就想让大家来当一回小老师，以前都是老师教给大家做， 今天你们会不会用这个方法看到一个情境，自己来出一些题，考考？同学们，现在请你看到你的题单。老师，这有一个情境， 你可以出一些简单的题，就是一些题，也可以出一些稍微难一点的，那就是二星级，当然如果你能想到比较难的三星级，那就更好了。现在开动脑筋，你觉得从这一个情境能够出哪些数学问题 好？现在开始在平台上自己出题， 我们还在比比谁出的有创意。 好啦，姚思聪你上来。好，时间到来，我们一起来看看姚思聪出的， 先看他出的一心题啊，一心题意思就说你是，你是怎么想的？ 第一个图形就是看他的，看他是从哪一面看到的，而第二个呢，就是数他的几何。那我们看第一个问题，你们会不会做？会，那他是从哪个方面 的知识联系上对不对？观察物体的角度，那应该是什么面？正面和侧面一起说是什么面？正面或者 左面，对不对？嗯，很好。然后第二题呢，就是它的体积，呃，体积就相当于就是数它的个数，你可以请一个同学一起来回答。那能不能做你这个题？ 他说是八立方的，你们在不在吗？那要求这个这个问题的体积的话，需要我干嘛呀？你还能立马再强调清楚是十一立方的， 那你回答他二条什么问题？那我求他的体积该怎么办？先要知道他摆的小数部分的个数 盾牌，你们数了没有？八个十一个来继续数啊，不过是十一个，你还缺什么东西啊？我还把它的还还缺了一个二星体啊。对，把它做成一个大正方形，至少需要这样的几个小正方形， 你们看懂没有？什么叫把它做成一个大正方形的？出来解释一下。你说就是在添加一些正方形，把它做成一个前面、左面和右面它的都是个位数相同的正方形， 是不是这个意思？嗯，对这个问题的确有点儿难搞，我们一起来看一看。把它做成一个大正方形，至少还要贴几个这样的小正方形，大家看一看这个图 学会做啥？我们发现如果做成一个大正方形的话，那么 那个一条边就需要是三，然后体积就是三的立方等于二十七，现在已经有十一立方厘米了，就二十七减十一就等于十六。哇，他这个想法多简单，掌声呢， 那我们看一下，他已经有摆了三个，那么因此这一排就应该要摆三个，然后已经有了几层？三层，三层。然后后边，那你后面虽然只摆了两排，但是，哦，应该是三排。那所以说他的门长至少应该是几啊？ 他说一个是三的三次方一共是多少个？二十七个，现在已经有多少个了？十一十一，所以八十七减十一等于多少？十六。嗯，这个问题其他的有时间考驾照。你还记了一个三千的题，就是求它的表面积是多少。 哇，这个问题真的很难搞，表面几十道手，想想这道题该怎么做呢？好，由于这个地方看的不是很清楚，我们用课间来展示一下。啊。好，谢谢你，请回。 那其实啊，观察老师把他的题梳理到后边，我们先来梳理前面的题。前面的题，其实啊，同学们都想到了，比如说这个一心题是观察问题的。来，我们现在来回答一下，第一个是从哪面下面？第二个呢？ 左面和正面，现在呢？右面很好，好，这一心题。好，你说我们还可以这样的一心题啊，对，不会做呀， 从中正面和哪个面看到是相同的？左面很好，好，我们再看。其实这个问题 跟那个楼梯有点相似，但在图上最多添上几个小熊猫，从正面和左边看到的图形还是相同的。 仔细看一下， 这样空间想象有没有几个三个，有的人认为三个，有的人认为两个，到底几个？应该是三个。我们来看一下，这三个是在哪里？ 这里是不是可以贴一个？还有哪里，这里是可以贴一个，是这还可以贴一个，那这上面贴上去他的正面和左边有没有是理想没有？好，下面的问题大家刚才全部都提到了，比如说这个一星期有多少个小灯泡贴， 那么这个知道了之后求几题是不就简单了？好了，这个问题大家已经提到过了，我们来看一下，如果要把图形拼成一个大正方形，最简单的想法就是刚才黄色的想法啊，那用二十七来怎么样？ 减一减十一。好的，那现在我们就来研究这个最难的三心问题啊， 图形的表面积是多少平方厘米啊？你们也可以截好你自己的图看看，自己在本子上先算数， 你说出来了，哇，真快。 好了，这道题啊，有一定的难度啊，我们班上有几个哎，已经周传了，我们先听听他的想法啊。看这样的人， 先看三十度，看他的这边是有六个小正方形。对，正方形，正方形， 我们也有六个正方形，上面也有，上面有七个正方形。六加六加七等于十九，十九乘二等于三十八。有三十八的小正方形，三十八乘一的立方等于三十八平方厘米，但是还有，但是还有两个正方形，中间还有两个 小正方形，有四个小正方形。对四乘四乘一的立方等于四平方厘米， 三十八加四等于四十二。对的，这道题的答案的确就等于四十二。这道题呢，怎么想呢？其实他们说的很好，就从长方体的表面积公式当中我们会找到诀窍， 我们要把他的经验运用到我们这道题当中，也就是从三个不同的方向去观察他有多少个运，然后算完了之后刚好就是他的表面积的一半，然后再乘积。 那么这道题呢，留着大家下去思考。其实啊，老师还出了一道超三星的题，我们再减叫他四星题。这道题呢，留着大家自己下去思考。 如果把这个物体的表面都涂上绿色，请问两面涂色，三面、四面、五面的，六面的，各位老板，这个要考虑空间想象好，这道题留作下去思考。好了。同学们，今天我们整理和复习了什么？ 长方体和正方体这一个主体的知识，我们这个领域还有两个板块的知识，这两个板块的知识呢，我们留着下一节课继续来整理和复习。 那通过这节课的整理和复习，你最大的收获是什么？冯方宇是说在在一，要，要在一个问题，要在一个问题里面， 那个洗出黑白的锅里面，那个有关联的，那也就是做一道题小了，也就是我们说的以一当当，然后以点代面的这种学习方法来学习，是不是就更轻松一些？ 那么希望大家把这个学习方法作为你以后数学学习的一个重要的法宝。

hello， everybody 这个视频我们要讲的是立体几何的第一大重点，表面积和体积。首先来看第一组表面积，有关棱柱啊，棱锥棱台的咬面积咋求？你把一个一个面积都求出来，然后加起来呗，有啥好讲的，没有啥讲的，不讲了，你 平一次面积你就，呃，底层高啊，你三角形就二分之一，底层高你提醒就上底加下底乘以高除以二，每一个面是啥形，你就套个小学公式不就得了吗？ 我们来看第二组有关圆柱圆锥和圆台的圆柱小学就学过，你给它侧面展开喽，侧面是一个矩形，上下底面呢？是两个圆是吧？它的宽就是圆柱的高，它的长是圆柱哎，这个边缘的圆的周长，如果半径是二的话，它周长就是二排 二。重点咱来说一说，这个圆锥和圆台的圆锥底面展开完，那肯定是个圆。侧面展开是一个扇形啊，是以多少为半径的呢？母线长是多少，半径就多少， 母线有可能直接给你，那或者另外一种情况，人家母线让你求人，先给你个小半径，再给你一个高，那我母线是不是就可以用勾股定力先求出来了？好，那母线有了，比如说，我记为啊大 r 好 了， 咱是不是还知道你扇形哎，你这个弧长应该正好呃，是这个二拍 r 的 周长，这不能不知道啊，所以我们在学三角函数的时候，哎，是不是学过呀，它的面积怎么求？你就把这个扇形想象成三角形二分之一，这个当底，这个当高就好了，特别简单， 侧面展开图面积 s 等于，我来写一下二分之一二 pi r 再乘以这个大 r， 这公式你不用记啊，理解。那提醒大家一下，如果人家问圆锥的表面积是多少，你要把这算完，这 s 再加上这个小圆啊，它的面积 pi r 方加起来才是表面积。 好，那最后圆台上下各展开出来一个大圆，一个小圆，这不用我说，侧面展开来应该是一个，呃，一个。怎么说呢？是圆环的一部分， 上下底面半径我记为二一和二二，那这段长度二排二一，这段长度二排二二，两线间这个距离正好是我这个圆台这个小母线，比如我记为一个，呃，一个 s。 好 了，要注意，如果我想求它整体面积的时候，第一个方法啊，你这个圆环，你可以用大扇形整体面积减去小扇形面积，那就是剩的这块面积。但是这个方法比较困难，它比较墨迹。 另外一个方法，咱是不可以把它看成三角形啊，这个当底，这个方法比较墨迹。另外一个方法，咱是不是可以把它近似看成一个梯形，它的面积跟梯形公式一模一样， 这是上底，这是下底，这是高面积。公式是上底加下底乘以高。注意，在这这个图形里面，我是把 s 看成高，和圆台的这个高可不一样啊，乘以高，再除以二，就是这么简单。我不给大家举具体题目了，公式我都给大家了。

我错了，我错了，四边形在中考中的分量比我想象的还要重要啊！昨天晚上，我特意这个统计了一下去年二模的数据，结果呢，让我大吃一惊啊，重新认识了四边形的地位。 去年哈全上海十六个区的二模卷，几何证明压轴这个位置，卷卷的第二十三题，有十五个区考了这个特殊四边形，仅仅就一个黄埔局例外，就这一只漏网之鱼。 其中菱形考了出现了八次，正方形出现了三次，等腰梯形出现了两次，平行四边形出现了两次，那数据不会说谎，可以说，这个四边形几乎占据，几乎占据哈整个几何证明压轴的舞台。 那也正因为它如此重要，所以我们年前的其实就已经进行了系统的复习。但这个四边的知识点，一个最大的特征就是内容多， 各种性质判定啊啊，动辄就是每一部分都是四五条。传统的复习方式，大概是扔给你两张类似这种的密密麻麻的图标，要求一个个去背诵，去记，但是纯背必然是枯燥的痛苦的，光枯燥痛苦不说，还很容易遗忘，所以说实话，连我自己都不不大想去看。 所以呢，我设计了一张思维导图，把散落的各种性质判定都串联到了一起，成为一个体系。那也希望让孩子们能够记，记忆的这个更轻松一点，更牢固一些。 你比方说这个平行四边形，它有一个定义，四个判定，我如何这个用符号学来表达，把它梳理，希望大家能够见到符号就能识别定型啊。包括这个平行四边形如何进化为矩形、菱形，它需要添加哪两件装备？ 那再比如说这个普通四边形，你如何一步到位过渡到这个矩形或者菱形？那再比如说这个矩形菱形，你俩如何相互融合成为这个终极形态？我说这叫天选之子的正方形， 还有这个包括梯形啊，梯形五种常见的辅助线，你看在下面都罗列了，也总结在上面。遇到题目时，你如何去联想 好，包括这个特殊的题型，怎样题型你的这个判定性质啊，如何正向反向的灵活运用？希望通过借助这张图呢，帮助孩子们能够更清晰的理清四边形的这个知识脉络。 再往远一点说，其实希望大家在答题的时候能够有路可循，脑海中能够回想起这些这个图，然后一个个去尝试，遇到题目的时候就不至于无从下手了。 四边形这一块内容其实是一个缩影，其实我是一直在琢磨的，包括各种其他的东西内容，圆呐，或者说啊，而函数如何通过更清晰的方式把这个知识体系转化为， 我把它定位为叫思维通道，就转化为你们拿起来就能用的这个工具。所以说你也需要这份思维导读的这个原版，可以留言或者私信我，我觉得是很有价值的，我愿意分享给更多的认真对待学习的孩子们。