高二立体几何图20道

教你一招让立体几何压轴题直接将被打击！这道题百分之九十的人第一眼直接头皮发麻。这道题确确实实不好想，但只要你掌握等体积换顶点这个核心，操作三十秒，就能把乱麻一样的图 变成清晰可解的诡计问题。今天显哥用这一招，带你暴力拆解武汉二调中最难的十四题！第十四题，他说四棱锥当中， a、 b 等于 a， d 等于根十， c、 b 等于五，然后 c、 d 呢，也是五。那这就说明这是一个正形喽， 它是完全对称的一个图形，这没问题吧？然后呢， b、 a、 d 是 九十度，这个角是九十度，那么 p、 b 大家可以看 p、 b 等于四，然后 p、 c 的 话等于三。现在呢，他说在三角形 p、 b、 c 内找一点 q， 使得这个锥的体积相等。 一开始我也没想到很很好的方法，这道题啊，就说白了，这个 q 在 这，就在这个三角形的体积相等。 我觉得这道题做这道题的关键是什么呢？那你想一想，这个锥的体积好，表示 q、 a、 b、 c、 d， 因为 a、 b、 c、 d 这个底面积是非常好求的。然后呢，关键是 q， p、 a、 d 你 觉得好求吗？这道题很难，因为 p、 a、 d 这个三角形都不知道这些长度， 所以我先给你连一连，你觉得是以谁为底面比较好？你看 q， 假设在这，然后呢，这是这么一个面， 听懂吗？是 q、 p、 a、 d， 你 先思考一下。所以这道题我觉得 q、 p、 a、 d 是 非常关键的。那你想一想，我们应该是以谁为底面比较好呢？ q、 p、 a、 d 这个三角形面你肯定没法求，因为我不知道 p、 a 是 几， p d 是 几？ 是因为底面的数据我都知道，是不是我应该是以 q、 a、 d 为为号，也就是说这个锥的体积。这个题太难了，因为等体积法你转化不太好，想 q p、 a、 d， 它就应该等于一个什么呢？ p、 a、 d， q 啊，就是换个顶点呗，它肯定是同一个锥，这个是没问题的。那现在呢？他说这个体积它等于等于什么呢？等于 q、 a、 b、 c、 d， 那 q、 a、 b、 c、 d 的 话，我又怎么转换呢？我也想成以 ad q 为底面，那如果以 ad q 为底面的话，是不是相当于我得转化成什么呢？ q、 a、 b、 d， 所以这道题难点就在这一开始，我也没想到，确实挺难想的啊，听明白了，因为这个地方我想转化成以 a、 d、 q 为底面，所以到这一步的时候，我也想把它转化成以 q 为顶点，以 abd 为底面，那所以它就应该等于几倍的呢？来，我们就需要算出这个数据来， 我们连接一下这个长度，我们再连接一下它，因为它是个正方形，所以我们看一看整个的，先算一下 abd 的 面积， a、 b、 d 的 面积显然是二分之一十，那就是五，这是 a、 b、 d 的 面积是五。然后呢，我们再算一下 b、 c、 d 的 面积，这个长度是二十，根号一下，二十是二根五，那所以这个长度是根五，这个长度是根五，这个长度呢？还是根五？ 所以这个长度的话，那根五的话就是二十五减五，二根五，那二根五的话，那他俩的面积就应该是一比二的关系，所以这个三角形面积就应该等于十，这个面积是一比二的关系，那这个面积就应该占整个面积的三分之一， 所以这个体积就按那个三倍的为 q， a、 b、 d。 一定要思考为什么转换成 q， a、 b、 d， 那 我转换成 q， a、 b、 d 的 话，我就可以换个顶点，我们以 a、 d、 q 为底面， a、 d、 q 的 话就 b， a、 d、 q， 所以 这道题很难啊，不太好想以 a、 d、 q， 为什么呢？为底面，那所以它俩的体积是相等的，因为它说体积相等嘛，那也就是说为 p， a、 d、 q， 那就应该等个 v 三倍的，然后 b， a、 d， q， 所以 你看压入题很难，除了压入题，确实其他的都很简单啊。那这时候呢，都是以 a、 d、 q 为底，那大家思考一下这句话是什么意思呢？是不是 p 到这个 a、 d、 q 的 距离， 他就应该等于个 b 到 ad q 的 距离的三倍？又因为我们可以有相似，那是不是说明这个长度？假设我们做一个结面，是不是说明这个长度比上这个长度，他就应该等于个一比三的关系？ 谁是三 q p 到这个距离，是啊，长一点的，所以这个地方就应该有一个什么呢？我们假设做一个 m， 他 这呢就应该有个三比一的关系，这个 m 呢，显然和 ad q 是 同一个面， 知道为什么了吧？再说一遍，是因为底面积是相同的，都是 a、 d、 q， 他 们的体积是三倍关系，所以热量是三比一的关系。又因为整个长度是四，所以呢，他一定要一个三，一个一定要一，那这时候还没完，还需要再转化。为什么呢？因为我们不确定 q 的 轨迹是什么，因为人家让求 p q 的 长度，你得求出 q 的 轨迹来， 所以这道题同理来一遍，也就说 q， a、 b， c、 d， 我 们还可以转换成谁呢？我们还可以转换成以 a、 c、 d 为底面。为什么转换成 a、 c、 d 呢？大家可以看它就应该等于两倍的 q， a、 c、 d， 然后呢，它就应该等于两倍的。换个顶点还是以 d， q， c， a， d， q 为底面，这是在同一个面上啊。 a、 d、 q 和 m 在 同一个面上，由于它们的体积是二倍关系，所以它们到 a、 d、 q 这个面距离是二比一，到这个面距离是二比一的话，那又因为这辆是三，所以这个地方长度就应该是二比一的地方，我不知道你能理解不？我们假设这个点是 n， 实际上他们是共面的啊，这是一个相当于一个结面吧，这就是 ad q 的 那么一个面，那这就说明 q 的 他就应该是在这么一个线上运动，这辆是二比一的地方。明白了，在这么一条线上运动的话，他们的体积正好是 满足啊，他们的体积相等。那么又因为人家让你求 p q 长度最小值，这辆是直角三角形，因为有个三是五嘛， 这个角是直角，因为这辆是四，这辆是三，这辆是五，所以 q 的 轨迹是它，这辆是一，这辆是一，这辆是三比一，这辆是二比一。你能听懂不？就是等体积法不太好想，所以人家要求 p、 q 的 最小值，那就是等面积法呗。啊， p、 q 就 应该等于个多少呢？ 这量是三，这量是二，根号下九加四，根号下十三，然后呢，这个量是三乘以二， 所以答案是十三分之六倍的根号下十三。所以这道题是极难的啊，一开始我还没想到，确确实实不太好，想听懂了吗？就是等体积法换顶点，换成以谁为顶点。一开始我觉得这一步很关键， q 在 这个 p b c 面内，所以呢，我们得转换成以 ad q 为底面， 以 p 点为顶点，然后这个地方换个顶点就可以了。听懂了，那为什么他在这么一条直线上呢？就是因为这个地方是三比一的地方，因为距离嘛，这辆是三比一， 然后这辆是二比一，当 q 在 这条线上的时候，他正好同时满足三比一和二比一嘛，对不对？你再体会一下。这道题是极难的。

立体几何考鸭轴题你见过吗？绵阳二诊，出题人直接放飞自我了，十九题直接出了一道立体几何，还和抛物线结合在一起，史无前例。不过这几年高考十九题倒还没出现过立体几何，三角、数列、圆锥、倒数都出现过，这会不会是高考前的一次预演呢？ 这道题还是非常有必要讲一下，主播不想讲，就让 miss 替主播讲一下，就十九题，非常耗时间哦。 pc 垂直于 a、 b、 c、 d， 那 么它就是一个高 e 为 pa 的 中点，这里有个垂直，它说的是 f， e， f 垂直于 pb， eg 垂直于 pd， 这是 f 点，这是 g 点。然后 pc 等于二， p a 等于两倍根号二，那这里是根号二，这里是根号二， e， f 等于一， g 等于一。有一个问题哈，你看啊，你注意看，这个角是直角啊，然后这个边又是一，这个边又是根号五，它是不是引引告诉我们一种解三角形里面的几何关系，那这个角必然是四十五度，对吧？ 好，你看啊， cosine 角，或者说散引，对不对？ 你看一下嘛，它所对的边，你就说在三角形 i p 这个题目，刚读到这我就想到了有这么一个东西，我们就先写啊， p f 中 上一角，嗯，一 p f 是 不是等于一， f 比上 p e 等于一，比根号二等于二分之根号二，是吧？因为你这个地方是直角嘛。好， 因为你这个地方是直角，这是根号二，这是一，所以它的 side 是 等于二分之根二，所以角 e、 p、 f 等于四分之派。同理，角 e、 p、 g 也是等于四分之二，对吧？因为他的对边是一啊，斜边是根号二，对边是一，斜边是根号二，这个又是直角，对吧？对，边一斜边，根号二，所以他这个也是四十五度， 所以这个 b 点和 d 点，嗯， p b 和 p d。 假如说 pa 的 位置是固定的， pa 是 一个斜着的，是固定的，嗯，这是 pa， 这个白色的笔是 pa， 然后 p b、 p d 与这个 pa 所成的角都是四十五度，说明它是一个圆锥面，明白吗？ 它成的角是四十五度，是固定的，那么它就是个圆锥面，就你给它转一圈，就这样转一圈，它是一个圆锥面，那么也就是说，嗯，你看啊， p a 是 固定在这的，这是草稿啊， p a 是 固定在这的， p b、 p d 跟它的夹角是四十五度，嗯，它是这样一个圆锥面，对吧？那圆锥面被底面所截， b， 底面 abcd 所截啊，底面是不是有个 abcd？ 这样啊，这底面所截得到了轨迹啊， 可能是抛物线，对不对？圆锥面，我们是不是在什么时候刚讲过？嗯，是在南通一模的第五题。我还有印象啊，南通一模的第五题是讲的是圆柱啊，圆柱被平面所截，得到一个椭圆，还记得吧， 当时是讲的圆柱被一个平面所截，得到一个椭圆，现在就是一个圆锥啊，圆锥被一个平面所截，哎，得到的可能是双曲线或者抛物线，对不对？ 好，所以说我们就知道了大概的 b 点和 d 点轨迹就应该是圆锥曲线。也就是说这个立体几何的题目，他是把立体几何和圆锥曲线和减三角形都融合在一起了， 哪来的减三角形呢？就是你要通过这个是斜边，根号二对边为一，这个角又是直角，可以用上引，对吧？用上引得到四十五度，这个四十五度他都不直接给你，他是隐藏在里面的， 他是通过一根号二九十度隐藏在里面给你的。你是不是要稍微用一点减三角形的知识？要是你看到这个条件很麻布的话，你是想不到这是四十五度的，如果你想不到这是四十五度，那你第一问都有问题，也就这个十七分的题目，第一问都有问题了。 就是你必须得想到减三角形，哎，这是四十五度，后面才有可能有希望，是吧？然后 b 点 g 点，然后就是一个圆锥面，因为这个夹角是四十五度，他这样转转转转，明白吗？ 他是围着这个斜面这样转一圈。是一个圆锥啊，圆锥被一个面所截得到了一个轨迹，差不多也就是个抛物线嘛，所以 b 点和 d 点可能就是在一个抛物线上。就大概这个题目算是读懂了，读懂了再开始做啊。题目没读懂，做的就很负很费劲的哈。 好，接下来它说什么了呢？说让你证明 pa 和 f g 是 呃，垂直的。那很明显，我这里 pa 和 f g 是 一个异面直线，它们都没有挨到边，那我怎么证明它垂直呢？是不是我要故意的去挨上啊？ 是吧？你现在一点点线索都没有，它们两个对吧？ pa 和 e f 又不垂直，因为 e f 和 p b 垂直，它就不会和 pa 垂直，所以你这里一条垂线都没有，所以我要自己人为的去制造，明白吗？ 你的 pa 和它不垂直啊。因为这边是垂直，这里肯定是锐角，所以我一个垂直都没有，我要自己找垂直。怎么找呢？ 我就自己做，我做一个线给它垂直，然后我们把这个点设为 h 点， 然后在这一年，对不对啊？三角形 p e f 和 p e g 都是一个呃，直角变为一，斜变为根号二的等腰直角三角形，它们两个是全等的，由全等可知，这个是 h 点，是 p e f 的 那个垂足，也是 p e g 的 垂足，对吧？ 嗯，三角形 p e f 全等于。你看，又来平面结合的知识了， p e f 全等于三角形 p e g 对 吧？ p e f 和 p e g 垂直。 p e f 和 p e g 垂直。然后我们做 f h 垂直于 p e 于 h， f h 垂直于 p e 于 h， 那 么由全等值 全等就是完全一比一对照的，是吧？所以 g h 是 不是也垂直于 p e， 对 吧？ f h 垂直于 p e， 那 么 g h 也垂直于 b e， 那 么 p e 是 不是就垂直于？嗯，它又垂直于 h f 又垂直于 h g， 它就垂直于 h f g， 对 吧？ 就是 p a 呀，这个斜着的，这个能支棱起来的，这个能，他是跟这个和这个有点像。山，山的那个山的那个脊梁，山脊梁，对吧？垂直于这个，又垂直于这个，是吧？所以呢，他就垂直于这个平面，他垂直于这个平面，是不是就垂直于 f 机了？第一问 好，放在这吧，可以看第二个了，好不容易把四分拿到了啊，就是这个四十五度，不好想吧，然后想不到这个题，第一问都有问题。 好，现在想到了，我们看第二问。第二问是说 p c 和 b e 呃， e b d 是 平行关系， p c 和 e b d 是 平行关系。首先你这个 p c 是 一个垂直于底面的一条线，说明啊，这个 e b d 也应该是垂直于这个底面的，嗯，是吧？ 线面，我们有个结论嘛，线面平行，过该线的平面与该平面的交线肯定与该线平行。 那么也就是说 p c、 a 这个平面与 p 与 b、 e、 d 这个平面产生的交线交线是不是就这条线一定会平行于 p c？ 就 这个意思。那我们把它连一下啊，就是这个线一定要与 p c 是 平行的，理由就是线面平行 过该线的平面啊，就是过 p c 的 平面 p a、 c 与该平面 b、 e、 d 的 交线啊，这个点记为啊，我找我看一下，我找个字母吧，记为 o 点吧， 这个什么点都可以，好不好？然后就是他们两个要平行， ok， 然后因为一点又是个中点，那么这个线和它要平行，那这个点是不是应该是，呃，也是中点，是吧？ 好，那我看一下写在哪？写在这吧，他又，他求的是呃。 b p a d b p a d 就是 b p a b p a 是 前面这个面啊， p a、 d 是 后面这个面，是这样一个面，对吧？你前面有一个面，后面还有个面，对吧？就这样子啊，你们应该看不清楚，摄像头不是很清楚，就是两个平面。 嗯，的，夹角。好，我们开始建个系吧， x 轴， y 轴， z 轴。话不多说，先建个系。好吧， 然后你看啊，我就要给你们写前面的过程。因为 p c 啊，平行于 e b d， p c 是 在 p a c 中， p a c 交 e b d 于，嗯， e o 则由平行的性质啊，是把 e o 平行于 p c， 这是平行的性质，对不对？ 线面平行的一个性质。嗯，你可以把字写完整一点，或者不写都可以。呃，然后又因为一为中点，对吧？所以，哦，有相似可知，平行就相似，所以 o 也为 a， c 中点， o 为 a， c 中点，所以 b， d 是 过啊，我们见好细啊，见 c 杠 x， y， z 啊，这句话你都要说完整一点，我都是简写的啊，你就说以 c a 为 x 轴，垂直于 c a 的 这个 c 什么为 y 轴，然后 c p 为 z 轴，见空间直角坐标线啊，过 o 点，嗯，这个 o 点应该是 他给了长度的吧，我记得是二，那就是一，一逗零，逗零，是不是？好啊，注意一下，这个角也是四十五度啊，因为它是等腰直角三角形， p， e， f 是 等腰直角三角形， p e， g 也是等腰直角三角形， p a， c 也是等腰直角三角形。 b， d 要过这个一逗零，逗零。嗯， 我们不妨把那个 p b 的 直线给它设出来，然后由 p b 和 p a 的 所生成角四十五度，得到那个 a、 b 点和 d 点轨迹， 得到 b、 d 的 轨迹之后，再由这个轨迹过，就是 b、 d 这两个点过一到零到零啊，去求出它们的那个坐标要满足的方程是不是？是这样吧， 开始写了啊，那我们设 b 点是 x， b 逗， y b 逗零，因为它是在那个底面上啊，所以呢， p b 等于， 嗯，因为它这个，它 p 点只有一个纵坐标，竖坐标是二，那减完之后是这样子，对吧？然后 p a 是 x 方向走了两个吧， y 方向零个吧， z 方向是负二吧。我我我对照一下，二零负二对 cosine p a， p b 这两个的夹角，是不是把它们相乘二， x， b 再加四，对吧？根号下 x， b 的 平方加 y， b 的 平方再加负二的平方是四，再乘以根号下二的平方加二的平方等于二分之二， 因为 p、 b 和 pa 的 夹角是四十五度，四十五度扩散也就是二分之二啊，对吧？带进去就一坨。好，这个东西可以化简出来，化简出来是 y、 b 的 平方等于四 x b。 同理， 因为 p、 d 和 pa 也是四十五度，所以说 y、 d 的 平方是等于四倍的 x、 d， 所以 就用它们所乘的夹角为四倍的 x、 d， 所以 就用它们所乘的夹角四十五度的一个圆锥面，对吧。 啊，因为 p、 b 无论是 b 还是 d 都在这个圆锥面上，然后呢，它们又被底面 a、 b、 c、 d 所截，所以的轨迹的话就是一个椭圆，对不对？轨迹是一个椭圆啊。不不，口误口误，是个抛物线啊， 圆锥啊，被截截得的结果是一个，嗯，圆锥啊，就比如说我给你把它摆正，这是个圆锥，对吧？ 他围绕这个中间的这个旋轴，中间的这个高旋转夹角是四十五度，对吧？四十五度旋转之后，他被一个平面所截啊，截到的一个轨迹就是一个抛物线，对吧？是不就是你知识就联系起来了？ 圆锥曲线，圆锥曲线，圆锥曲线本来就是圆锥，被平面所截得到的曲线就叫圆锥曲线。嗯，你这样截啊， 你，你这样结是个椭圆，看到没有？这样结是个椭圆，然后这样结是一个双曲线啊，上面不是还有一个，还有一半吗？对吧？这样结，哎，是一个像个漏斗一样是个双曲线，然后这样结的话就是个抛物线啊，好， 这是圆锥被平面所截啊，然后我就知道，嗯嗯，这个 b 点和 d 点所在的平方等于四 x 上，是吧？ y 的 平方等于四 x， 是 不是一条抛物线？噔，接着我要干什么来着？我知道 b、 d 的 轨迹之后，嗯，它设 p b 杠 a p 杠 d 的 夹角为西塔，求扩散以西塔的最大值， 我们是不是可以看一下啊？呃，我们刚刚说了 b 点和 d 点是要过那个一斗零斗零的，是不是过一斗零斗零？ 那也就是说过一到零到零有个直线与这个抛物线所相交，得到了 b 点和 d 点的坐标，是不是可以这样理解？然后，嗯，我们我看一下，我是要去求 a、 p、 b 的 法向量和 a、 p、 d 的 法向量。好，好，我们把那个 b 点坐标。其实这里有很多个写法啊， 我想想用哪个写法比较合适？你们想用哪个写法是把 b、 d 的 这个直线写出来就是过一斗零斗零啊。我们可以用 y 等于 k 倍的括号，一斗零斗零，然后与这个抛线连立，得到 b 点和 d 点坐标， 然后再带到里面求法向量。好，那我设这个为 x 等于 m 方， 那 y 的 话就是二 m， 对 吧？四 m 方，四 m 方在开方吗？那低点的话，呃，因为这边的 y 是 正数，那边的 y 是 负数，那就是 n 方啊。四 n 方再开方是二 n， 二 n 的 话应该是负二 n 吧，或是你直接写二 n 也可以。那注意一下 n 是 负数是吧？ 我说了，这个地方你可以不这样写啊，你不这样写，你就是 b、 d 这个直线过这个一斗零斗零。嗯，有点像圆锥曲线了，就是把这个直线射出来，与抛物线连立，得到一个微达定律，得到一个关于 x 的 一元二次方程。得到微达定律，就知道两根之合，两根之积，再带到这个里面，求那个呃法向量，再求二二面角 啊，或者像我这样写也可以。二 m 斗零， n 的 平方斗二， n 斗零啊，这个 n 应该是小于零的。 嗯，因为他们过哦，一 b d 过一斗零斗零，所以那是不是就是那个 b d 过一斗零斗零，就这两个点？那我们就表示斜率吧，就是 m 的 平方， 嗯，减一除以二， m 是 不是等于 n 的 平方减一除以二 n 呐，是不得到这个东西，就是我们用 b 点的坐标减去 o 点的坐标和 d 点的坐标减去 o 的 坐标，应该是成比例的，对吧？三点共线啊，那 o d 对 吧的坐标和 o 就是 o。 嗯，怎么说呢， o b 可以 写成拿码的背的 o d 嘛， 就是能贡献贡献，就是能这样去表示，能这样去表示，就是要乘比例，对吧？ o b 的 话就是 m 方减一二， m 减零， o d 的 话就是 n 方减一二， n 减零，然后这个零尾巴上的零就不管了，然后乘比例乘比例，就是 x 比 x 等于 y 比 y， 没问题吧？ 我这里稍微跳了一点点，我就跳了一点点啊，我就是用这个东西写的，然后这个式子展开之后，可以得到 m 乘以 n 是 等于负一的。就它中间很多东西都约掉了啊，你自己去弄嘛， m 被约掉了，就你自己试一下， m n， m 减 m 分 之一等于 n 减一，它可以得到 m 乘以 n 等于负一。你可以化简一下啊，就放在这了，然后我们来写 abp 的 法向量 a b 向量 a 我 看看啊， a p 向量刚写过没有？没有是吧。哦，好嘞，那写上去啊。 嗯，因为嗯， p a 向量是等于那个二到零到负二。哦，我记得我是写过，是吧？有点印象，是不是在这写了的？ 写的就写。呃，再写一遍也可以，不写也可以。 p a b a b 向量是等于。呃，那个它是 m 方逗二 m， 是 吧？那是 m 方减二 逗二 m 逗零。看一下， m 方逗二 m 对， 设 p a b 法向量， 呃， m 一 向量等于 x y z， 对 吧？ x 一 y 一 都 z 一， 呃，令 x 一 等于一，则 z 一 等于一，这样的话它是含有分母的啊，对吧？你再跟这个相乘的话，它就会有一个分母，是那个 m 方减二除以二 m， 所以 为了不让不让它等于二 m， 所以 为了不让它等于二 m 啊， 啊，则 z 等于也等于二 m， 然后 y 应该是等于。这好，这里也是我我我也跳了，你慢慢写吧。你就这样写嘛。你就写啊，二 x 一 减二 z 一 等于零， 然后 m 方减二乘以 x 一 加二 m 乘以 y 等于零，是吧？我们令 x 等于二 m z 也应该等于二 m 四 m 减四 m 等于零，那么这个有个二 m， 这边乘以二 m， 这边就应该乘以二减 m 方，对吧？ 这样的话我就没有分母了，是吧？好， m 一 啊，是吧？嗯，是等于二 m 都二减 m 方都二 m， 同理。 呃， p a d 对 吧？他们只需要把 b 换成 d 就 行了，也就是把 m 换成 n 的 法向量， 是吧？把所有的 b， 呃，把所有的 b 换成 d， 也就是把的 m 二，这个就写 m 二，是不是应该等于二 n 逗二减 n 方逗二 n， 这我只需要换一下字母，所以这个地方同理。可得还是蛮爽的啊。把所有的 m 换成 n 就 行了啊。然后 cosine m 一 逗 m 二等于，嗯，把它们相乘， 把这个乘起来。呃， cosine 表示出来之后啊，有就是一大坨，呵呵。 哎，等于四 m n， 加上二减 m 方，乘以二减 n 方，再加四 m n， 然后这个的话，它的根号有个特点啊。嗯，我在这里写一下啊，根号 m 一， 哦，不对， 嗯，就是 m 一 的模长嘛。它的模长我在这里写一下。等会直接带啊，它是等于四 m 方加上啊，二减 m 的 平方，括号的平方，再加上四 m 方， 它等于什么呢？你看啊，嗯，这个是要减去四 m 方，然后又要加上八 m 方啊，本来是要中这个中间项，是要减去四倍的 m 方，现在又加了八 m 方，哎，所以合在一起是不是加四 m 方？既然是加四 m 方的话，那么就是 是吧，是不是就是改成那个加号就行了？所以这个地方是加号啊，是二加 m 方括号的平方，所以它出来应该是二加 m 方，它这个就是把完全平方公式的减号变加号了。本来是减四 m 方， 加了八就变成加四 m 方，加四 m 方，把减号变加号就行了，然后开出来，所以这个分母应该是二加 m 方，乘以同理可得二加 n 方。哎，就这个魔长啊，我稍微走走了个捷径，就没有完全平方公式，就是刚好把减号变加号就行了。 然后这个地方的话呢，是一大坨是吧？一大坨，嗯，是等于三加二倍的 m 方加 n 方，除以五加二倍的 m 方加 n 方。 嗯，这个地方你可以在另 m 方加 n 方等于 t 也可以，或者是怎怎么样都行。好，那个你可以把这个给它分离一下啊，我看一下，还有个符号，嗯， 这里有个负号啊，等于啊，就把这个分子上的 m 方加 n 方给它分解出去，等于负一，再加上二除以五，加上 m 方加 n 方括号的两倍， 那么这个，呃， m 方加 n 方大于等于两倍的 m n 的 绝对值前面是不是已经得到了？ 嗯，你看得到了，他们是等于负一的，是吧？就因为他过一到零，所以得到这个 m n 等于负一。嗯，那这个的定值就是一嘛， 大于等于二，他分母越大，他就越小，是吧？小于等于负一，加上那个二，二得四加五等于九，等于负九分之七，是吧？把二带进去，二得四，四加五，四加五等于九，九分之二，那就负九分之七搞定了啊。 当前仅当嗯， m 等于一， n 等于负一十取等，对吧？就是负九分之七，它小于等于负九分之七，那负九分之七是它的最大值啊。 好，这第二问第三问了啊，答案写在这。第三问是指啊，只有十几分钟了，我看一下啊。 嗯，是指一个外接圆。又来了，就刚第二问是把立体几何和圆锥曲线中的圆锥面被平面所截得到了抛物线相结合，也有立体几何求二面角的知识，还有基本不等式求锥直的知识，还有三点共线 哎，求坐标满足的方程的知识。你看，三点共线用了吧，圆锥面被用了吧，抛物线用了吧。呃，二面角用了吧，他什么都用了啊。然后第三位又来了个外接球。 我们现在知道 b 和 b 点和 d 点啊，他说的是什么呢？他说 b d 平行于 f g， 也就是说我们刚第一问得到的是 pa 和 f g 是 垂直关系，现在是 pa 和 b d 是 垂直关系，对吧？好，还是要用这个图？ 嗯，就在这边在下面写。好吧，要用这个图的啊，你看啊， 这一问可以叉掉了吧。那么首先 pa 和 b d 是 垂直的，这是由平行的传递性，对吧？因为 f g 和 b d 平行，所以 pa 平行于垂直于 f g， 就 垂直于 b d。 然后 pc 是 不是也垂直于 bd， 因为 pc 是 高，所以 bd 它又垂直于 pa 又垂直于 pc， 它是不是就垂直于 pac 这个平面啊？ bd， 首先它是垂直于 pac 这个平面的，那我们是不是可以把它的坐标，它的横坐标就应该是 x， 应该是相同的，中坐标应该是会相反数的，是吧？ 第三问了，如果有些人啊，对记十九题的第三问要求没那么高，你们可以先行退下，如果说还是有点追求的，就有很大追求的，你们可以听听我讲完啊。首先， b d 是 在外的平方，等于四 x 上好， b d 平行于 f g， 是 吧？ b d 平行于 f g， 那 么，呃， pa 是 不是就是垂直于 f g 由一只， 那么 pa 是 不是就垂直于 b d？ 且 pc 它是高嘛？它也垂直于 b d， 因为 pc 这个高，垂直于任意一条直线，那么 b d 是 不是垂直于 p a、 c， 它同时垂直于这个和这个，嗯，所以 b d 垂直于 p a、 c， 它就会垂直于 ac， 对 吧？这里就是直角 设 b 点坐标是 t， 横坐标为 t， 中坐标的话，因为是 y 的 平方，等于四 x， 那 是不是等于根号啊？等于两倍的根号 t 啊？ 嗯，我看看。嗯，对。 然后 b d 又和 x 轴垂直，那 d 点坐标是不是就跟它对称？负两倍的根号 t 都零，对吧？ b d 都知道了，然后我们求的是 p a、 d 的 那个 y 接球， 嗯，至少 a、 b、 d 是 个等腰三角形嘛。那么所以由对称形可知那个球心 s， 我 们把这个球心记为 s， a、 b、 d 的 外接圆 不是球心，是圆心。我要口误，外接圆。圆心 s 应该是在 x 轴上 设 s 的 坐标为，嗯， x 零动零动零，然后用 s a 等于 s b， 对 不对？或说平方，对吧？我这个点是那个 abd 的 一个外外接圆在这。嗯，你看啊，这是一个外接圆， 这是个圆啊，画的有点像椭圆，擦掉大概就这样一个圆，是吧。嗯，那么它的圆心肯定是在 x 轴上 哦，因为啊，这个三角形是关于这个 x 轴对称的嘛。 a、 b、 d 这个三角形关于 x 轴对称，所以圆心一定在 x 轴上。我们设为 x 零逗零，然后我们是不是可以把 x 零表示出来， 那就是说，呃， x 零减去二是吧？的平方加上零，加上零等于 s b， s、 b 的 话就是，嗯， x 零减去 t 的 平方加上两倍根号 t 括号的平方，是吧，我看一下好不好？我检查一下， x 零减二，对对对，减 t 方这样高。对对对，好得到。 x 零是关于 t 的 一个式子， t 方加四， t 减四，除以二乘以 t 减二。我们需要当 r 一定时，对吧？它的 v 有 三种可能值，看一下， 待待会再去翻译他吧。我们先把那个 r 搞出来， r 搞出来，你看一下啊，在这个题目中，我们还需要过这个 s 点做一个垂线，然后垂线上有一个，那个位置就是那个球心的位置。这个球心我们可以把它记做 一个字母吧，我看一下它接的是什么字母。交于 t 点，你看啊，我们过这个 s 点做一个高啊，垂直于底面，那么在这个高上肯定有一点就是我的球心啊，球心 好，这个图已经很花了，我擦掉一些东西，天呐，我刚才不小心我被挤下线了，我写了那么多，不会不见了吧，这里没有了。好，是这样的啊，嗯，就是我们说了，这个 b、 d 是 在这样一个抛物线上，哎呦， b d 是 在这样一个抛物线上啊，然后 x y 轴，这轴 x y z。 刚才我们已经得到了，在这个点处有个 s， 然后我们过 s 点做了一个高，对不对？那么这个高上的某个位置就是那个外接球的球心的位置啊， 哎呀，这个直线太弯了，就是在这，嗯，这个位置啊，我们就把它写成 t 点好，为什么在这呢？你看啊， 嗯， e c 是 不是 p a 的 垂直平分线呢？这是九十度吧， 这是中点吧，是吧？呃，因为它这是两倍根号二，这是二，这是二，嗯，这是第三问啊，就接着我们刚才说的写啊，这个 s 点坐标是 x 零，动零，动零，然后用 s a 等于 s b 啊，也可以写平方相等，是吧？ s 为三角形， a b、 d 的 外心积为 s， 然后 s 的 横坐标是写成关于 t 的 一坨啊， t 的 平方加四， t 减四，嗯，两倍的 t 减二，然后接着要干啥来着？就是因为 三角形 p a、 c 为等腰直角三角形，对不对？等腰直角三角形，所以三线合一，对吧？它应该是垂直于 p a 的， 对吧？垂直于 p a， 嗯， e c 为 p a 的 垂直平分线。 垂直平分线对吧？我们做 s， 我们做那个 s t 垂直于那个底面，嗯， a b c d， 你 会交交 e c 于 t， 则因为它是在垂直平分线上，那么 t a 肯定等于 t p， 对 吧？然后这个垂直平，呃，就是这个呃外心的高，上面的点肯定也等于 t b 等于 tc， 也就是 t 为外心，对吧？ 好，说一下， s 是 这个平面三角形 a b d 的 外心，然后你又过这个 s 做了一个高，是垂直于这个底面的，然后这个高和 ac 又交于点 t 了，好， t ac 又是个垂直平分线，所以说呀， t a 呀， 对吧？垂直平分线上点到两边的距离相等嘛，所以 t a 肯定等于 tp， 对 不对？ t a 等于 tp 等于 t b 等于 tc， 那 么 t 点是不是就是外接球的球心 啊？所以 t 就是 球心，那么 r 的 话，嗯， r 的 话是不是就等于什么呢？ a s 的 平方加 a， t 的 平方， 呃， a s 的 平方加 t s 平方，这，这个就是你的半径 r 呢？是不是？然后这里是垂直的，好，那我们往上 你看一下 t 点坐标， t 点坐标，因为它横坐标就是 x 零，然后 y 就是 零，然后这个是四十五度的，等于二角三角形，所以它的 z 也是 x 零，对吧？它的横坐标是 x 零， y 是 零， x z， 它是 x 零动零动 x 零， r 的 平方，是不是？是吧，那就是 x 零减二的平方， 加上啊， x 零的平方，所以它可以用含有 x 的 式子来表示， 嗯，等于两倍 x 零的平方，减去四倍的 x 零，再加四，也就是说 r x 零，嗯，还有就是 x 零又可以写成 t， 是 一个这样的叠代的关系，对不对？然后它说的是 r 一定， 嗯，他说他有体积有三个值。首先我们看一下这个体积是什么，嗯， p 杠 bcd 是 不是等于三分之一乘以 s 杠 bcd 乘以这个高，高就是二吧， 所以你只需要这个面积一定。那这个面积等于什么呢？啊？我们写一下啊，等于三分之二乘以二分之一， bcd 的 面积是不是等于，呃， 三分之二乘以二分之一乘以 b d， b d 的 长度刚设为呃 b 点坐标是不是设？为什么？梯度根两倍刚好梯度零， d 点是梯度负，两倍刚好梯度零，所以它就等于 b， d 为底， b d 为底就是二梯为底。高的话就应该是呃万。 呃，想想，等一下，这个是两倍的根号 t 啊，这个是两倍根号 t， 这个是 t， 所以 它应该是四倍的根号 t 再乘以 t， 是 吧？你的体积， 嗯，四倍的根号 t 再乘以 t， 嗯，就这样，这样等于三分之四 t 根号 t， 它是不是单调递增的，所以 v 它三三个， 三个可能值，对吧？ v 有 三个值，则 t 有 三个字，对吧？因为 v 就是 t 的 一个单调函数， v 及其 v 就是 t， t 就是 那个 b 点的那个很坐标的 t 的 一个单调函数，所以 v 有 三个字，就代表 t 有 三个字， 就是 r 一定的时候 t 有 三减，是不是这个意思？ r 一定的时候 t 有 三个减，就这个意思啊。好，所以这个题目就写到这就已经差不多了啊。然后剩下来就是，嗯，那个复合函数的根的个数问题。 r 是 可以用 x 来表示的， x 又可以用 t 来表示啊，就当 r 一定的时候，嗯， x 零可能有几个根啊，几个根带回去，然后 t 有 几个根合在一起，要有三个根就可以了，好，懂了吗？ 首先，嗯，我们再整理一下啊，就是 x 零啊，等于 t 的 这个式子呢，太长了啊，我们就令 t 减二等于 v 啊，他就会，呃，换算啊，就是这个分母太长了，搞不下来。就是把分母换成一个字母，你们知道吧，听过吧，就是在求分式形函数的值域或者范围的时候，一般就把这个分母换成一个字母 v， 然后这个 x 零，我们快一点。好吧，二分之 v， 我， 我自己写的时候我写了很长啊，但是为了速度，我们也得快一点了。嗯， t 是 大于零的啊，所以它的这个是往左边的嘛，横左边大于零， v 是 大于负二的好， x 零是不是就有范围？ 呃，然后 r 的 平方 r 在 哪？这在这， r 的 平方是不是等于两倍的 x 零，那就是二分之 v 加 v 分 之四加四，括号的平方再减去 四倍的二分之 v 加上四，除以 v 加四，然后再加四，对吧？就把 x 零换成与 v 有 关的这个式子，再整理一下之后，它是等于，嗯，二分之一乘以 v 方加六十四啊，我这里跳了啊， 加上六乘以 v 加上八除以 v 加二十四啊，加二十八啊。 然后这里看到这个，这个又不爽了，再把它换一遍啊，宁 w 等于 v 加这个东西，对吧？ 就是 v 加 v 分 之八，再换成 w， 那 么这个式子就可以换成一个 w 有 关的一个式子是二分之一 w 方加， 呃，六 w 加二十好像是。好好，我们再结合。 v 大 于负二啊，可以推出沃米伽的。呃，这个 w 的 范围啊，也可以叫沃米伽吧，推出沃米伽的范围，再推出二的范围啊， 好 t， 我 是不是换成了 v， v 又换成了沃米伽哈，就是中间有点乱啊，就字母有点多。 好总结，就是一个 r 要对应三个 t 就 行了，是吧？然后我们俩的范围，呃，因为，呃，我们把这个画出来，这是一个对勾函数吧，给它画出来是这样子的一个对勾函数，然后这是负的两倍根号二，这是正的。哎呦， 这负两倍根号二，正的两倍根号二，然后我们因为 v 是 大于负二的。歪了啊，稍微有点歪， 你看一下啊， v 应该是在这 v 啊，这是 v， 横坐标是 v 中坐标是涡敏感，或者说 w 都可以 好，好了，因为，呃，因为 v 大 于负二，所以涡敏感呢？就这里是负二，那是不是负无穷到这个值？这个值我算出来是等于。我看看啊， 啊，负二带进去是负六，好像负六，然后这个值带进去是等于四倍的根号二， 这中坐标啊，所以它是不是等于负无穷到负六都可以取到，然后再并上， 嗯，并上那个四倍的根号二到正无穷，对吧？ 那因为我敏感大于负二，那就这一段可以有，这一段也可以有，对不对？那就是从负无穷一直涨涨涨到那个，嗯，负无穷涨涨涨到负六是可以的，然后四倍杠二涨到正无穷是可以的。 ok， 好， 嗯，这是我敏感的范围，然后带到这里面去，这是个二次函数啊，我们继续画图， 这个二次函数是关于沃米伽的一个二次函数，是一个抛物线，它是这样长的，嗯，哎， 它的对称轴是等于负二， a 分 之 b 等于负六，嗯，这是沃米伽，这是那个 r， 对 吧？二分之沃米伽的平方加六，沃米伽加二十，这是它这个抛物线的图像，嗯， 那么它可以取得的值是负。 omega 可以 取得的值是负五重到负六，再并上四倍的根号二到正五重，这是四倍的根号二。好，负六的时候带进去是等于二，就这个值， 就是我们要把这个端点值都给它算一下嘛？这个值带进去是等于，嗯， 等于二，然后这里四倍的根号二，四倍的根号二。带进去也有一个值是等于三十六加二十四倍根号二， 嗯， 三十六加二十四倍根号二。好的，好，这里你想想是不是也可以延伸过来，对吧？ 好，现在可可可以开始做了啊，因为我密感的范围是要这一段，是吧？这一段小于负六的这一段和大于四倍根号二的这一段是这两段。好，好，我们现在开始由 r 的 范围倒推 t 的 范围。呃，倒推 t 的 取值。 第一种情况，嗯，首先，嗯，由我密感的范围可以推出 r 放的范围应该是从二， 它是不是从二取到无穷都可以，对吧？从二到正无穷。好，第一种情况， r， 嗯的平方属于二到这二的平方。啊，第一种情况， r 的 平方属于二到那个， 嗯，三十六加二十四倍的根号二。好，这什么意思呢？就是当 r 在 这的时候，在这一段 看到没，我蓝色笔拼命划的这一段，就从这个，呃，抛物线的对称轴，抛物线对称轴到上面这个临界值到这一段的时候，那我米杆只有一个解，对吧？我米杆只有一解， 且这个解它是小于它，这个解出来应该是小于负六的，对吧？那么小于负六，我米杆在这，它小于负六，那么对应 v 是 不是只有一解？那么 v 只有一减，对吧？ v 只有一减的话，带进去 t 是 不是就只有一减？ t 一 减，因为 v 是 等于 t 减二，所以手这个手只有一个减，不行。第二种情况，当 r 的 平方等于三十六加二十四倍根号二的时候，当它就等于这个值的时候， 啊，那我们俩是不是有两解？我们俩一是等于四倍杠二，我们俩二啊，是一个小于负六的数，对吧？反正它就是一个小于负六的数，你看啊， 怎么意思呢？当它等于这个值的时候，我们俩是不是可以等于这个？还可以等于这个，然后再带回到这里去，我们俩就是我们俩在这个下面这个图中是横坐标啊，注意一下横中坐标，因为它是复合函数根的问题，你要把两个图组合在一起看， 我们打一等于四倍根号二，四倍根号二的时候，对应的 v 只有一个值，看到没有，因为它这个时候是端点值，它只有一个 v 对 应一个 v， 小 于负六的时候对应一个 v， 所以 对应 v 一 v 二两个减，对吧？ 啊？小于负四倍根号二是不是对应 v 啊？其实我还我不仅可以知道它对应一个 v， 我 还可以知道具体的值。哦， 我就知道这个 v 就是 两倍根二，对吧？就两倍根二， v 二的话，这个 v 二是肯定是一个负二到零的一个数，对吧？ v 二，嗯， v 二是，其实它是属于负二到零，我没有解出来，但我知道它是两两解， v 有 两解，因为 v 是 等于 t 减二吗？所以 t 他 们是一比一的关系， v 有 几个解， t 就 有几个解，好吧， v 有 几个， t 就 有几个 t 这个时候是两解啊，是不是要舍掉 啊？一节两节都要小掉。第三种情况， r 的 平方大于三十六加二十四倍根号二，这个时候，嗯，这个时候怎么样呢？你看啊， 我用紫色的笔吧，在这的时候， r 的 平方大于这个值，哎，是不是有，我们改，这是我们改一吧，这是我们改二吧，是吧？所以我们改这个时候是不是有两个根， 是吧？嗯，当它大于这个值的时候，左边右边都有完，其中文本改一， 是啊，大于四倍的根号二对应 v 一 和 v 二，对吧？文本改二是小于负六，对应一个 v 三，所以 t 有 三解 好就可以了啊。你看啊，它大于四倍根号二，那 r 在 这，这是 r 方，那这个对应下来的这个我们俩是不是比四倍根号二要大？比四倍的根号要大，是不是在这里， 大于四倍根号二是不是对应 v 一 v 二两个根呢？对吧？大于四倍根号二对应 v v 二两个根吗？然后这边还有一个小于负六的减吗？小于负六还有一个减，是不是 v 三 小于负六的时候有一个根，大于四倍根号二的时候，两个根合在一起是三个根啊？ v 有 三个根， t 就 有三个根，所以呢？ t 有 三解啊，所以说这就是 r r 的 群范围， r 方是这样子，然后解出 r， 然后就给它开方嘛，开方之后是两倍根号六加两倍根号三 啊。这个题目有有有有，有一种哗众取宠的感觉啊，就是他在立体几何里面居然蕴涵了这么多知识啊。嗯，首先是减三角形，一定要观察出这个是四十五度，要不然我感觉第一位都为难了。这个假角是四十五度，就是个圆锥面，圆锥面与底面的结面就是一个抛物线。 黄色的线是抛物线啊，就是 b、 d 的 轨迹是个抛物线。嗯，在还有第一位还要做自己做两个垂线，他没有明解明显的垂线，你要还要用三角形全等就很啰嗦啊。这个题真的是这个，表面上是十七分，但是我觉得他隐含的知识点起码有个三十分吧， 对吧？性价比嘛，它应该对得上三十分这个分数了。嗯，你单独出一个圆锥曲线，你用这个题目出个圆锥曲线，再出个立体几何，是吧？还还可以出个函数锥值，你都可以出三个题目了。这个题 立体几何就是要做自己做垂线，要发现它是四十五度。呃，然后二面角为钝角，求扩散的最大值。嗯， 你要把 b 点 d 点坐标设出来，求法向量，然后再求。但是这个法向量这里唯一一个省省工夫的地方就是你可以用同理可得，因为 b 点和 d 点是完全就是地位等价，你 b 点设为 m， d 点就是 n， 它们地位完全等价，就同理可得，可以得到 p、 a、 d 的 法向量，然后求扩散引法向量夹角， 然后再用基本不等式求出这值。第三，问的话就是一个 r 要对应三个，呃，三个 t， r 的 话，我们怎么找呢？先找 a、 b、 d 的 外接，圆的外心，再过这个外心做一条高。嗯，与 e、 c 的 交点就是你的 t 啊， 这样还可以稍微简化一下计算量，就是找你的球心稍微简化一点，因为 e c 是 垂直平分线， e c 是 垂直平分线， e c 上的任意一点到 p 点和 a 点距离相等，那交点交在 e c 上的那个交点 t 就是 外接球的球心， 找到球心之后， r 的 平方就可以用 s， 嗯 s t 的 平方加 s a 的 平方来表示。 r 表示出来之后， r 是 与 x 零有关的哈， x 零又与 t 有 关。 x 零为什么会与 t 有 关呢？因为 s 到 a 的 距离和 s 到 b 的 距离要相等，所以 x 零就是这个外星 s 的 横坐标和 t 有 关，而外接球的半径 r 也与 x 零有关，就是它中间会传传一下啊， 就是嗯， r， r 一定可以推出。嗯， x 零可能有一一一个解或者两个解，对吧？呃，两个解，然后对应 t 要有三个解，因为它中间会有一个什么抛物线呢，还有一个对勾函数啊什么的，然后就有一个根对应两个根的情况，然后合在一起有三个根， 其中 x 零在换成 t 的 时候特别恶心，然后我就借助了两个桥梁，一个是 v， 一个是维密感，换了两次才换到最后的结果啊。然后这个题就算你知道怎么做，但算出来也很花时间，什么根号什么的一堆。好，可以下课了。嗯，拜拜。

今天带孩子回老家过年了，昨天孩子做高中必修二解析觉醒，在外接球至二面交专题，第五题卡住了知识点，理解的不够透彻， 于是就跟着赵丽颖老师把这个专题系统学了一遍，今天继续挑战第五题，还是不会就扫码听了解题大招策的讲解，听完后还得认真审题，对着大招策一步一步推导言算，最后真的把这道难题解出来了，当时特别惊喜， 真的想把他硬生生的啃下来。虽然今天只做了一道题，但这份踏实坚持与韧劲比刷十套卷子都珍贵，真的非常欣慰， 也特别感动，特别感谢有位朋友在孩子之前的视频里留下三条课文，有暖心的评价，肯定了孩子真实认真的学习态度，努力的孩子真的会被看见，新的一年继续加油！

有粉丝表示，最近的例题几何真是越来越难了，那么能用空写思维讲一下这道最直类的压轴小难题，当然可以不仅讲，而且讲两种方法，解析的方法，几何的方法都给你讲清楚。 ok， 那 咱们先来看一下题目条件啊，它呢，是给了这么一个半圆 a， d 点， o 呢是圆心， a， d 是 半圆的直径和一个矩形， a， b， c， d。 并且呢，知道半圆面和曲斜面是互相垂直的，还给了一些长度， ab 等于一， ad 等于二， 因此呢，半圆的半径等于一， m 在 半圆弧上是一个动点，点 n 在 线段 ac 上是另一个动点，并且知道 m n 的 长度等于一。 好。最后的问题说，当直线 m n 和平面 ab 所成角最大的时候，就是这条直线和底面线面角最大的时候，证明 a， c 垂直， m n 这两条线互相垂直。 ok， 那 么这样一道题目，我相信啊，在考场上，大部分同学还是会选择间隙的方法，相对比较稳定。那我就先讲间隙的方法。这道题呢，有面面垂直，有一个曲线，所以呢，坐标系相当好，见以 a 为圆点， a， b 呢是 x 轴， a d 是 外轴，这轴呢，随便画一个好。那么这样以来， a、 b， c， d， o 所有定点的坐标全都非常容易写出来，不着急用到哪个咱们再写就可以。接下来呢，咱们先看一下两个动点 m 和 n。 那么既然是研究，最迟咱们还是先分析一下这道题有几个自由变量，哎，非常明显，只有一个，虽然呢， m， n 都是动点，但是呢，有一个限制， m n 等于一， 因此只要 m 的 位置确定了，点 n 的 位置也就确定了，这道题呢，只能有一个自由变量， 所以呢，这道题最终一定是一个单变量函数的问题。 那接下来呢，咱们先把 m n 两个动点的坐标给它设出来 来。咱们呢，先说点 m， 它呢在一个半圆上运动，那么此时呢，可以引入一个角，比如说把角 a o m 设成 c 塔，用这个角表示出 m 的 坐标完全可以。但是我个人呢，还是更喜欢第二种设法，就是呢，直接设两个字母 啊，这道 m 在 y o z 平面上横坐标一定为零，可以把坐标设成是零 m n。 那 么因为这道题呢，只有一个自由变量，所以设出两个字母，两个字母之间一定有等量关系，也就是点 m 到远近 o 的 距离等于半径等于一，点 o 的 坐标呢，应该是零一零， 那么 m o 等于一，就是 m 减一的平方加 n 方等于一。就是呢，根据我的经验哈，在例题几何问题当中，圆上的动点这么设坐标计算往往会比较简单。 那么接下来点 n， 它在线段 a c 上点 a 呢是圆点啊，点 c 的 坐标应该是一二零，这个呢就是标准设法。 咱们呢，设 a n 向量等于 t 倍的 a c 向量， t 呢，应该属于零到一，这个呢，我就不写了。 那么因为呢，点 a 是 圆点，所以点 n 的 坐标就是点 c 的 坐标，乘上 t t 二 t 零 啊。然后呢，引入了一个新的字母，那就得加上这个字母满足的方程，也就是 m n 等于一，对不对？ 来吧，这两点间的距离等于一，那就是 t 的 平方加 m 减二， t 的 平方加 n 方等于一 啊。这个地方呢，字母比较多，咱们先消去一个字母，这一道呢，这里既有 m 方，又有负四 t， m m 是 不太好消去的，所以把这里的 n 方换成是一减去 m 减一的平方， 也就是呢， t 方加上 m 方减四 m， t 加四 t 方，再加上一减去 m 减一的平方，一减去 m 方减二 m 加一，它等于一两边的一呢，就约掉了。这个式子呢，应该是 t 方 m 方和负 m 方约掉啊，加四 t 方，这里应该是五 t 方，然后呢，减去四 m t 加二 m 减一等于零，有没有问题？ ok， 那 条件都表示好了，再来看最终的问题，要证明呢， a c 垂直 m n， 咱们呢，先把目标给它写出来， ac 向量呢，应该是一二零 m n 向量 n 点坐标减 m 点坐标 t， 二 t 减 m 负 n 啊，所以呢， a c 项链点乘 m n 项链就应该是一乘 t 加上二倍的二 t 减 m 零乘负 n， 这个就不写了，所以就是五 t 减二 m。 咱们的目标就是证明这个式子等于零，有没有问题？ 好，然后呢，来看这个条件，线面角最大。那 m n 向量刚刚呢，已经写过了，平面 a b c d 就是 x o y 平面，所以呢，这个平面的以个法向量 零零一啊。然后呢，咱们把这个线面角呢，设成十 c 塔，那么这样以来， sin c， 它就应该是 m n 向量和法向量所乘角余弦值的绝对值。 来，这两个向量点乘零乘 t， 零乘二， t 减 m， 没有了。一乘负 n 应该是负 n 加上绝对值等于 n， 然后呢，这个向量的模长等于一 m n 向量的模长。题目说了啊， m n 也等于一， 所以呢，三 c， 它就等于 n， 因此想让线面角最大，就是让正弦最大，也就是让 n 最大，对不对？ 那么接下来 n 怎样才能最大呢？哎，各位同学，咱们呢，回到这两个限制条件上，分析一下这道第二个限制条件没有 n， 所以呢，咱们先看第一个条件， 你看，从第一个条件来看，想让 n 最大，其实呢，就是得让 m 减一的平方是最小的，对不对 啊？然后呢，回到这个式子上，这这个式子呢，可以看成是一个关于 t 的 二次方程，你想让这个方程有解的话， d r t 必须得是大于等于零的，那根据 d r t 大 于等于零，就能把 m 的 范围给它求出来了 来。具体来讲，这个 delta 呢，应该是负四 m 的 平方，十六 m 方减去四乘五二十倍的二 m 减一大于等于零 啊，解一下这个不等式，先同除四四 m 方减五倍的二 m 减一减十 m 加五大于等于零。先解一下对应的二次方程，二 a 分 之负 b 加减根号下 delta 一百减四 a， c 一 百减八十八分之十加减根号二十二倍根五，四分之五加减根五。所以呢，这个 m 算出来，小于等于四分之五减根五。 或者呢，大于等于四分之五加根五。好了，跟同学，那 m 的 范围就有了，那 m 的 范围有了，咱们呢，再来看 m 减一的平方，为此呢，可以先把 m 减一的范围求出来， 来这里减一小于等于四分之一减根五。 或者呢，大于等于四分之一加根五。然后呢，可以把 m 减一看成 x， 这个地方就是 x 的 平方，画一个 y 等于 x 方的图像， x 的 范围小于等于四分之一减根五，大于等于四分之一加根五 啊，四分之一减根五的左侧和四分之一加根五的右侧，那么很明显，想让 m 减一的平方最小 m 减一，就应该取四分之一减根五，对不对？ 那么此时呢，这个 n 应该是最大的。好了，算到这里呢，其实对应的什么 m， n， t 想算的话全都能算出来，但是也没必要，为啥呢 啊，这道题呢，最终是要证明五 t 减二 m 这个东西等于零就可以了，对不对？那现在来看一下，所谓的 m 减一等于四分之一减根五，其实就是这个地方的 derta 等于零。 来，各位同学啊，以个二次方程的 derta 等于零，说明啥？ 你想二次方程的解呢，应该是二 a 分 之负 b 加减根号单调单调等于零，那么二次方程的解就是负的二 a 分 之 b， 对 吗？所以这样一来，咱们就可以把 t 给它解出来了，因为单调等于零，所以 t 呢就是负的二 a 分 之 b 二乘五分之负四 m， 也就是一个五分之二倍 m， 那 把这个东西代入五 t 减二 m， 二 m 减二 m， 当然等于零，因此 a c 垂直 m n， 这个就正出来了，看懂了吗？ 好的，这个呢，就是间隙的方法，其实呢，还是自由变量加限制条件那套分析方法，先从几何上分析出来，只有一个自由变量，那么接下来设坐标的过程当中， 每多出一个新的字母，就得多引入一个方程，然后呢，均匀这些方程，找到取最大值的条件就可以了。 ok， 那 接下来呢，咱们再来说一下几何的方法，几何法能更容易的让大家看清楚这道题的本质，为啥角最大的时候一定是垂直的？ 那使用几何法呢？处理线面角，咱们呢，得先把线面角给它做出来，对吧？啊，考虑到呢，有面面垂直，咱们呢过点 m 做 a d 的 垂线， 垂足呢，是 h 把 n h 连起来，那因为面面垂直，所以 m h 也垂直底面， 那么这样以来，角 m n h 就是 直线 m n 和底面所成的这个角，来把这个直角三角形单独画出来 啊，这个角呢，记作 theta 就是 线面角。那么在直角三角形当中，角 theta 的 正弦，其实呢，就是 m h 比上 m n， m n 呢是等于一的，所以呢，想让线面角最大，只要让 m h 最大就可以了 啊，咱们呢，把这个 m h 设成 x， 那 么接下来的问题是， x 怎样会最大呢？ 来这个问题呢，如果一下子想不清楚，依然可以使用反推的想法，就是我先假设，比如说啊，我先假设 m h 取在这个半径处， 哎，看上去呢，是最大的，此时呢， m h 等于半径等于一，那么 m h 真的 能等于一吗？哎，不行，因为呢，这道题有一个限制，叫做 m n 得等于一， 你看这个 m n 肯定是大于 m h 的， 如果 m h 都等于一， m n 的 长度超过一，这个就不对了，发现了吗？啊，所以呢，从这里我就发现了，关于 m h 的 限制到底是什么 啊？是这样的啊，咱们呢，设 m h 等于 x 啊，然后呢，把这个 x 给它固定下来， 也就相当于呢， m h 是 两个定点，那么此时当点 n 在 线段 a c 上运动的时候， m n 的 长度会有一个范围，而这个范围当中必须包含一，这样 m n 才能取到一，对不对。那么换句话说， 就是此时呢， m n 的 最小值得小于等于一，同时小于等于 m n 的 最大值啊， m n 的 最大值大于等于一，这件事情一定可以成立，因为你永远可以让点 n 趋于点 c， 就是你看，当你的点 n 趋于点 c 的 时候，那么 h n 的 长度会大于 cd 的 长度，也就是大于一，对吧。所以呢， m n 的 长度大于 h n 的 长度当然会大于一，右边是没问题的， 所以这道题呢，真正的限制应该是 m n 的 最小值小于等于一。那么各位同学， m n 何时最小呀？ 你看 m n 呢？在这么一个直角三角形 m h n 当中， m h 的 长度是固定的 x， 所以 想让 m n 最小，其实呢，就是让 h n 最小，对不对？ 那 h n 最小就很简单了，点 n 是 线段， a c 上的动点 h 是 一个定点，所以只要让 h n 垂直 a c 就 可以了。 来看同学，那么 h n 垂直 a c， m h 垂直底面 m h 也垂直 a c， 所以 这样以来， a c 呢，就垂直平面 m h n， 因此 a c 当然会垂直 m n 这条尺线。发现了吗？ ok， 那 这个结论呢，其实就出来了啊，所以呢，这道题的本质其实呢，特别简单，来再给大家梳理一下， 就是你想让这个角最大，就是让 m h 是 最大的，而因为 m n 的 长度固定，所以 m h 最大，就是 h n 最小。 而不管 m h 运动到什么地方， h n 最小，都是 h n 垂直 ac 的 时候，而只要 h n 垂直 ac 一定能推出 m n 垂直 ac， 听懂了吗？ 那么接下来呢，出于严谨起见，大家呢可以把这个 m h 具体的程度再给它算出来，就是还是让 m h 等于 x， 然后在 h n 垂直 a c 的 情况下，把 h n 用 x 表示出来， 然后呢，勾股定律 m n 等于一，就能得到一个关于 x 的 不等式，把它解出来就会发现确实是垂直的时候，这个部分的计算和间系呢差不多，就不给大家仔细算了。 ok， 好 的，那这道题就分享到这里。

正方题展开有哪些图形呢？孩子为什么就是想不出来呢？这些是考试的重点，也是难点。给孩子准备一套透视几何模型，它能从立体转化为平面展开图，让孩子直观的感受空间关系，无需死记硬背就能理解几何各项公式原理。 面对各种考试，变形题目也能得心应手。这一套几何模型可以小学用到高中，非常实用，赶紧给孩子安排起来吧！ 啊啊 啊！

立体几何拉拉书学具的准备材料。先准备一个闲置的空纸盒，打印好立体几何拉拉书的封面，水彩笔、绳子、剪刀、固体胶、一支笔、三角尺、 双面胶和一些白色的硬纸板和彩色的硬纸板。在闲置的纸箱剪出像这样大小的四个硬纸板， 用两张白纸将两面封上，使其更加美观，形成像这样的一个硬纸板。 我们在硬纸板的一面用黑笔和直尺画上正方体的展开图，如图所示， 在彩纸上面也画出相同图形的展开图，并进行编号裁剪， 最后会形成这样的一个展开图，在正方展开图相对应的角打孔穿线。接下来我演示一下平展开图像立体图形转变的过程， 这样一个正方体就形成了。 用相同的方法制作长方体的展开图， 这样一个长方形就形成了。 同样的方法，圆锥的形成过程， 圆柱的形成过程， 三棱柱的形成过程。 接下来我将介绍正方体学具在教学中的应用。第一个是正方体的认识，通过展开图，我们可以更直观的 认识正方体，它有六个面，十二条棱和八个顶点，并且可以直观的认识到正方体相对的面。第二个是正方体的表面积， 通过形成一个立体的正方体，我们可以知道正方体的一个面是一个正方形，它的 面积是边长乘边长，正方体有六个面，所以要乘以六，这样学生可以更清楚直观的理解正方体的表面积是边长乘边长乘六。 长方体在教学中的应用第一个是长方体的认识，借助展开图，我们可以直观的认识到长方体，它有六个面，十二条棱和八个顶点，并且直观的认识到长方体相对的面是相等的。 第二个是长方体的表面积， 通过形成一个立体的长方形，我们可以知道长方形的 上下两个面的面积是长乘宽乘二，前后两个面的面积是长 乘高乘二，左右两个面的面积是宽乘高乘二，所以可以得出长方体的表面积等于长乘宽，加上长乘高，加上宽乘高，括号乘二。 圆锥在教学中的应用，通过展开图我们可以直观的了解到圆锥的展开图是一个扇形和一个圆形组成，并且 扇形的弧长就是等于底面的周长。圆柱在教学中的应用，通过展开图我们可以直观的了解到圆柱，它是由两个底面和一个侧面组成。沿着高剪开， 侧面是一个长方形，底面是两个相等的圆，长方形的长是圆形的周长，长方形的宽就是圆柱的高。这样我们可以更直观的理解， 圆柱的侧面积等于底面的周长乘高，圆柱的表面积加上两个底面积。 三棱柱在教学中的应用，通过展开图我们可以直观的了解到三棱柱，它是由三个长方形和两个三角形组成的 三棱柱，它相对的面是两个三角形。 为了使其美观，我们用彩笔做一个封面并装订成册， 这样我们的立体几何拉拉梳就做好啦。

五年级下册第三单元要用到的几何体演示器，家长提前准备，不然上课老师要求买可就来不及了。翻开新版课本，第三单元需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体。你看，把正方体展开成平面图形，可以看到正方体是由六个面积完全相同的面组成， 所以表面积的计算公式是边长乘边长，再乘以六体积是边长乘边长乘边长。表面积和体积的计算是五年级下册学习的重难点。孩子借助教具更直观。采用透视原理设计，还是可拆卸的，让孩子清晰看到几何体的内部结构，提升空间想象力。 全套常见的立体几何图形，每个都标有图形名称，孩子容易分辨。自带收纳盒，携带也方便。 抖音。

好，各位朋友们来看绵阳高二期末这个十八题。如果说你用常规方法解析，很难把它算出来，这道题考的是引元模型， 我们不妨设这个 a、 b 档为 c 档，那你想，我们以这边为 x， 这边为 y， 肯定间隙是要减的，对吧？然后这个 b 点坐标，你想它是不是应该是三倍？扩散下斗零斗零， 然后单点坐标是零斗三倍三一下斗零， c 点坐标做个垂线嘛， 这个角，这个角是二分之拍减 c 他 呀，那是不是应该三倍 cos， 在 那加上一乘以 cos 这个角，是吧？ 而这个角是不就是你算出来就应该什么三 a c， 他 斗什么一乘以什么三 c 它吧。道理好了，每个坐标你都能写出来，那你就可以把这个 b、 b、 d 的 法向量好，你就用叉乘法叉乘，同学们自己算一下，算完了结果比较简单，这样一个结果 很好算的。各位好了，算出来之后还差个什么 c m 线了， c m 线了，你也可以写出来，这都不什么难事，只要你设出来之后好了， c m， 同学们也可以自己写，写出来就是这个东西， 然后逗塞在那紧或塞上逗零。好了，你去算这个塞阿尔法。你算完之后，它的表达是非常简洁，就是一除以括号角一加上 四分之一三二 c 的 平方乘以根号，要求它的最小值，它是不是求这个分母的最大值？分母的最大值是不是求这个三二 c， 它 当且它等于一十，也就二十等于九十度， c 它是不是等于四十五度？我想到这已经没有任何难度了。所以 ab 等于什么？三乘以二分之二，好没得说了，第三问 这个第三个，只要你会第二问第三个，很快搞定好了。你刚刚已经算出三 r 等于什么？一除以根号下这么多乘以根号二，他 是不是推出来是不等于二分之二？减倍大是不是等于 cos 倍大？那 cos 倍大你想是不是还有另外一个表达？是，就是这个法向量相乘， 然后 p a b 的 法项 p a b， 各位法项是现成的，就是 a 大 项，对吧？ a 大 项呢？你给它写出来也很简单，括号被它最终 化简，它就等于这个。嗯，朋友们自己写三倍三，最终算完啊。就这样一个九，然后这一坨乘以什么？这个三倍三是它好了，然后它就应该等于这个十字， 你想这两个是不是消掉了？这个是不是消掉了？那是不是就得到求扩散？是不是等于二分之一？二分之二。 哎，说明什么？说明此刻这个加角是四十五度，等于幺，对吧？那也就说 v 就 等于三分之一，乘以二分之一。什么？乘以 二分之三倍？根号这个一个平方乘以三等于四分之九。好，这道题如果你用这个方法事半功倍。好。

呃，我们通常画洁面呢，跟画胶线它的原理是一样的，因为洁面是由胶线构成的，对吧？然后我想在适当的请大家回忆一下，我们昨天说了，画胶线有什么方法，基本是十三是吧？还有就是 线面平行的性质定律，亦或是面面平行的性质定律是吧？好的，没有问题。那么我们在画洁面的时候呢，由此可以衍生出应该是有三种方法，分别是第一种我们叫直接法， 然后第二种我们叫平行线法，第三种方法我们称之为延长线法。然后这个直接法呢，我给大家举个例子啊， 好，然后我们这个直接法呢，它的原理非常简单，比如说我现在知道这个平面跟正方体，或者是跟某个跟某个多面体，它的焦点是有哪些的，我直接连接这几个焦点，应该也就能够得到一个完整的洁面。 好，比方说我现在呢，给大家画一个，我这呢有个点 b， 这边呢有个点 a， 这边呢有个点 c， 这边呢有个点 d。 那 么我连接这几个点，我得到的应该就是这个蓝色平面和这个正方体相交，然后得到的一个完整界面，假定它是一个平面啊， 这叫直接法 ok 吗？非常简单。其实啊，当然他的局限性是比较强的，通常情况下呢，只有他告诉我我是有哪些公共点的，并且他都在几何体的外表面上，我才能用这个方法，然后找到他的对应结面， 这叫直接法 ok 吗？好，最简单的。然后在这个里边呢，我们通过题目来渗透一下这个方法，看一下咱们的二杠一。好，那么接下来呢，我们再看一下这个里边的第二种方法，我们称之为平行线法，那么它的原理是什么来着？还能回忆起来吗？ 平行线法，它指的是有一条直线和一个平面是平行的，另外的一个面呢，经过这条直线，然后交线跟他应该就是平行关系， 或者说呢，有两个平面是互相平行的，第三个平面同时和这两个平面是有交线的，是吧？两条交线应该也是平行关系。 那么在这个方法里边呢，一定是你已经发现了它存在着一个线面平行，亦或是面面平行，我才能够用到这个方法， ok 吗？好的，那么接下来呢，我们也是通过题目来渗透一下，看一下咱们的二杠二， 然后在这个正方题当中呢，他说点 p 是 bb 一 的中点 p 点在这个地方，然后要画出经过 a 一、 b 一 和 p 这三个点的界面，但是我们要找的是完整的这个界面，然后连完之后呢，大概就是这个样子的，是吧？但是我觉得大家应该能想象到，我这个平面他还可以再延展， 他延展完之后呢，他跟正方体的后边，包括右边有没有交线都是有的，是吧？我都得找到这两条交线。那么在这个里边呢，我们就可以用到平行线法， 因为我发现在这个结面当中存在着一条直线跟正方体的某个表面是互相平行的，比方说这条线和这个面是平行的， 是吧？然后这个面呢，又经过这条线，这个面呢，和这个面应该有交线，所以说这个交线应该跟它是什么关系啊？平行的，那么也就意味着你只要过点 p 做出它的，也就是它的平行线应该就行了。那怎么做呢？ 我就直接找 c c e 的 中点，然后假定这个中点是 q， 连接 p q， 再连接第一 q， 应该就能够找到这个完整界面，因为我应该也能发现这条线跟后边这个面是互相平行的，这条交线正好跟它也会是一个平行关系，它正好是满足的， ok 吗？好，这道题方法就是平行线法，可以在旁边补充一下，就是存在着线面平行， 然后这个结面呢，正好和这个面有交线，我们也就能知道这个交线肯定和这条直线是互相平行的，根据这个原理也就可以找到这个交线的位置， ok 吗？然后整理好之后呢，我们再来看一下这个记法二的一个拓展二杠三， 也是希望大家能够用这个方法找到这个完整洁面。你自己再画一个正方题，反正我这画是很方便的。然后这个延长线法呢，我们通过一道题目来渗透吧，直接讲有点抽象，先看一下咱们的二杠四， 然后在这个题目里边呢，他说 e 点、 f 点、 q 点分别是这三条的中点，然后想画出过这三个点的洁面，标注一下，这个题能用平行线吗？ 咋画呀？先过点 q， 做 e f 的 平行线， c c e 上的什么点？中点连接 q 点和这个点是吧？ 然后应该能发现这条线和这条线是平行的，是吧？好的，没有问题。而且我这个平面呢，和正方体的这个对角面应该有交线，是不是？好的，没有问题。那再然后呢， 就可以像刚才一样连接这两点，然后过这个点做他的平行线，依次类推就可以了，是不是？好的，没有问题，取消吧。那么在这道题目里边呢，咱们能不能尝试用延长线法找一下这个交线， 延长某条线，是吧？并且在这个过程当中，大家也可以尝试延长几何体外表面的某条棱，让它们相交找焦点， 循环往复，也就能够找到它的所有的公共点，连接起来也就能够形成这个界面，这叫延长线法。 好的，我们来试一下。我们在延长的时候呢，需要注意啊，最好是先延长在几何体外表面的这条交线。听懂我的意思啊，最好先延长位于几何体外表面的这条交线，就是要么先延长它，要么先延长它， 都可以，但不要延长他，他在里边， ok 吗？好的，没有问题。比方说啊，我在这个里边想研究啊，想延长 e、 f， 那 么你考虑一下我延长他之后，他会和正方题的哪条棱的延长线有交点， 你琢磨一下，你延长它 a d 或者是 b、 c 都行， ok 吗？好的，我们来操作一下。所以我现在呢，先把这个 e、 f， 比方说向上延长啊， 比方说先向上延长，然后再延长谁 d c， 好 的，没有问题，再延长 d、 c 两条延长线的焦点，我给它标注一个字母，比方说我设成 这，然后在正方体的外表面上，哪个点和这同时在一个平面当中，通过连接这两点能够形成一条交线，当然那个点也得在这个平面内，有吗？有吗？现在 还没有。那先不管它，我还可以怎么做？向下延长，我再延长谁 b a， 好 的，它们会有交点， 然后我假定这个点是 h， 然后我想问一下这个 h 点它和哪个点同时在两个平面当中哎？ q 点，所以我们只要把这个 h q 连接一下， 应该就对应着这个结面和正方体的左面的交线， ok 吗？好的，没有问题。 那再然后怎么办呢？我其实还得找到他和上边这个面，包括后边这个面相信是什么，是吧？我现在还不够是吧，那我可能还得再延长。还要延长谁呢？你考虑一下 q 谁？ q e 往哪延长？ 往这边还是往这边？嗯，可以啊，你都试一下啊，比方说往这边， 那再延长谁？你先别画啊，你先看我画啊，它会和正方提到哪条棱的延长线有交点？ b e a e 是 吧？好的，那我往这边走一下，然后这个交点我先不管了啊，它和哪个点同时在两个平面当中呢？你能找到这个点了吗？ 那没什么意义啊，你得往上找了是吧？有吗？这不就是这条线吗？没有意义啊，我连它是吧，找其他点没有是吧？那反方向这个我我不管了，我不要了。 反方向延长再延长谁？ bc， 这是两个面 a 啊， b b 一。 好的，没有问题。然后这两条延长线呢？存在，你先别画啊，你们先别画，先看我画啊。好，这两条延长线存在什么交点？它和哪个点也同时在两个平面当中，有吗？ 这个点是在前边这个面里边，还有哪个点在前面就它了没了呀，是吧？然后这个点是不是也在这个面当中？还有哪个点也在这个面当中？ f 点，所以我可以连接它和 f。 好的，先别画，先别画，看我好看，我画完你们再写啊，然后怎么办呀？我这个线都出去了，是吧？我这个线都出去了，我不能找这个线呀， 我应该是把它再进行延长，是吧？延长到什么地方？它会和谁相交？它会和 c c 一 存在交点， ok 吗？好，然后我找到这个点，那你能不能发现这个点同时在正方体的哪个面当中呢？ 后面和右面是吧？那还有哪个点也在正方体的后面这点？所以呢，我在连接 j h， ok 吗？然后也再进行延长，它会和哪条线存在交点？ d e c e。 好 的，然后这个点呢？ 右在正方体的后表面上，也在正方体的上表面上，是吧？好的，没有问题。再然后呢？ 哎，可以的，延长 q h， 或者说刚才我还延长了这条线和它嘛，是吧？这两个点是不是也同时在正方体的上表面上？ 那我只要连接这两点，其实也行的，一样的，是不是？好的，然后这样子的话呢，我就能够找到所有的这些焦点，应该就是这个点，这个点，这个点，这个点，这个点和这个点 ok 吗？ 但其实我们刚开始这样做的话有点麻烦，其实我觉得我们直接这样做就好了，刚开始换个颜色啊，直接把它延长到这个地方，然后呢，我能直接找到这个点， 对吧？然后刚才呢？我这个点是通过延长他和他得到的，是吧？我们有没有什么其他方法？其实是不是也可以再延长他呀？ 延长他，然后延长这条棱是不也行？然后我再把这个点跟他进行相连，就能一步到位，直接找到这两个点， 这样会更快一些。能不能理解？好的，没有问题，那么综合以上我们也就能够形成这个完整洁面，咱们画一下 应该是一个这样子的正六边形， ok 吗？好的，可以把过长自己完善一下。我们在延长的时候呢，优先是延长位于几何体外表面的这条交线， 然后再延长几何体的某条棱，让他们有焦点，对吧？找到这些焦点然后连接起来，也就能够形成完整洁面。