安徽普通高中单招解析几何常考题

安徽单招数学纯狗分技巧，这个系列至少能让你数学成绩提升二十分，哪怕你现在啥也不会，公式也不会背，甚至连题目都看不懂！学会这个技巧，直接秒出答案，绝对是你花大几千也买不到的！ ok， 兄弟们，咱们继续看第一题。第一题遇到这种题型，把这个三给他画掉， 画掉变成什么？贪的值变什么二二考三，给他画掉，变成一一。这道题什么二加一比上什么 二减一等于多少就等于三吗？直接给我坐下，直接秒了来！第二题也是一样的，把这个三给他画掉，变成吗？变成贪的值变成二二扣三，变成什么一 一什么三乘以二减二乘以一比上什么？比上三乘以二加上什么？二乘以一等于八分之四，等于二分之一，直接秒了，直接给我坐下来！第三题也是一样的，遇到这种三， 把这个三给他画掉，变成什么？变成叉 n 的 值就是一一靠三也是一样的，给他画掉扣三就是一，一 来二乘以一加一比上什么一加一嘛？等于什么？等于二分之五直接秒了直接给我坐下！铁子跟上竹包的节奏，最后七天直接带你逆袭单挑秀贤！竹包还为大家准备了免费的复习资料，助力每一位小漫步向爱！

众所周知，空间向量与立体几何一直是单招数学考试中的拉分点，很多同学一碰到这种题目直接就 oh my god 了，不用担心，今天于学长用一期视频教会你面对这种题型的两种方法。 首先我们来看到江淮学校第八次联考的第四十九题，如图所示，在正四棱柱中， a、 b 等于二，底下这个边等于二，然后 a、 a 一 等于三。 让我们求平面第一 b 与平啊，直线第一 b 与平面 a、 b、 c、 d 所成角的余弦值，那不就这个角的余弦值吗？ 让我们求这个角的余弦值。我们先连接它的底边，也就是 d、 b， 构成一个直角三角形 啊，也就是三角形 d、 e、 d、 b， 我 们求出它的三边，然后将零边比上斜边，是不是就可以求出这道题的答案了？ 我们先表示底边，底边的话就是 d、 b， 然后他告诉我们了这里是二，所以 d、 b 的 值就是二的平方加二的平方等于二倍根号二开根号， 然后直角边已经告诉我们了就是三，所以我们现在就去求这个第一 b， 也就是他的斜边，他的斜边就等于二倍根号二的平方加三的平方口算一下，等于根号一十七， 此时我们知道这个三角形的三边，然后让我们求这个直线与底下平面所成的余弦值，就这个角扩三引是用邻边比上斜边， 邻边的话是 d、 b 就是 二倍根号二，然后斜边是根号一十七， 然后底下开个平方，然后上面一约油理化一下，就可以求出这道题的最后答案了。我们来看到二五年的二十七题，这题的话就要用到第二种方法，也就是空间坐标系。 在长方体中， e 为 b， e、 c 的 中点，然后底面是个正方形， ab 等于四， a， a 一 等于二，则 a、 e 与 cd 所成角的正切值为正切值。不就是 tan 进二方吗？啊， tan 进 c 塔，然后 tan 进 c 塔，就等于它的正弦值比上它的余弦值， 所以我们要求出这两者的任意一个，然后再根据 sine 二法的平方啊， sine theta 的 平方加上 cosine theta 平方 等于一，去求出这两个的任意一个值，另外一个值，然后再将这两者一比，就可以求出 tangent theta 了。 现在我们再来看一下题目 a， e 和 c、 d 他 俩在图形中是不是异面直线，所以我们要求出他的空间向量。此时我们先建一下系，以这个 a、 d 为 x 轴，然后 c、 d 为外轴， d， e、 d 为 z 轴 这三个轴，再根据题目给的条件， ab 等于四和 a， a 一 等于二，去具体表达出 a、 e、 c、 d 这四个点的具体空间坐标，然后再根据扩散， e、 c、 t 等于 a 的 向量乘以 b 的 向量，这里的 a、 b 就 等于 a、 e 和 c、 d 啊，然后比上 a 向量的模，乘以 b 向量的模， 求出 cosine c 塔，然后再带进我们刚刚的公式，一步一步来就可以求出最后的值了。行了，思路已经告诉你们，光说不练假把式，大家可以尝试看看，看看自己能不能做对，拜拜！

到第十二个专题，增函数，减函数与奇函数、偶函数的判断的一个专题啊，这个题目也是必考的一个点啊。二零一六年真题， a 选项 y 等于根号 x， 根号 x 就是 x 的 二分之一次方啊，这个的话啊，就是 x 分 之一吗？这个话不就是 x 方，这是 x 三方。好用一个方法啊，同偶反积啊，去判断 奇偶性，对吧？去判断奇偶性啊，判断它 g 还是偶函数，那我们就把 x 设 x 等于一， x 等于负，一往里面带啊，一往里面带，知道吧，得多少一的啊，一往里面带，二往里面带啊，一和负一往里面带，肯定多少。 看好了，你其实不用化成 x 的 二分之一吧，就根号 x 吧，你 e 往里面带是一对不对啊，根号负一开不出来，这样呢，就是非基非偶，知道吧？好， x 方 x 分 之一，就把 e 往里面带， e 负一往里面带，负一 同偶反 g， 对 吧，那它是 g 函数，好 g 函数保留啊， b 选项先保留下来， 好， c 一 样一一同是偶函数，那就不要啊，这是非标。好 s 分 一负一奇函数，对吧？他说增函数的啊，又是奇函数，既是增函数，又是奇函数， 它 y 等于 x 分 之一，大家都知道吧，是个反比例函数，初中大家都学过啊，单调递减，一三幺减，单调递减，那这个呢？ x 三方呢？是不是这样的一个图像，对不对啊？单调递增的，好吧，所以说选 d。 二零一七年，他没有考到减函数，增函数，然后基友性的问题，然后我们就看二零一八年的试卷了，好吧，二零一八年真题，若函数 f x 再 r 上减函数，那这个对吧？大于这个，则下列结论中正确的是，好， 他说他在 r 上是减函数啊，那不就是一个？总体来说，他这个减函数不就是单调 d， 什么 d 减，我们就画一个这样呗，好不好啊？那他不就是减函数吗？对不对啊？好， 那 f x 一， 那我们就是说他这个啊，可以看成 y 一 啊，大于 y 二，知道吧？ y 大 于二，所以说我把一放这，我二放这，行吧。好，那这个地方，这个地方不就是 这里啊？ x 一， 这里什么 x 二？好，那你看 x 一 x 二， x 二是大于 x 一 的，那 x 二减 x 一 是不是大于零的，对不对？ x 二减 x 一 大于零的啊，那你反过来啊， 因为 x 一 是小于 x 二的，所以说 x 一 减 x 二是小于零的，对不对？所以说这题要选 a。 六年真题啊，设 f x 在 r 上是增函数，对吧？他在 r 上是增函数，满足这个，那把它不用看了，把它看成 y 一 y 二，好吧，里面这个 x 一， 我们就认为什么二 a 减一，这个 x 二就认为 a 加四，好，这样的话就好分辨一点。我们画图啊，真函数，他说是真函数啊，对不对？那我们就就简单的一个这个一次函数好， y 一 说大于 y 二，我们先画啊，画图 啊， y 一 y 二， y 大 于 y 二，对不对？没毛病。好，那我们把 y 一 对应的啊，这个就是 x 一， 这个对应的就是 x 二，好，那这个图很明显吧， x 一 大于 x 二好， x 一 有了， x 二有了，对不对？那二 a 减一大于 a 加四， 对吧？画这种图出来就很清晰明了了，直接跟他对比一下，对不对？自己在操作上把草图给它画出来。好，这样的话，二 a a 移过去移到左边不就二 a 减 a， 负一移过去加一啊，就大于四大于五， 对不对？四加一大于五，比如说 a 大 于五吗？对不对？好，那这不就是 a 大 于五吗？ a 大 于五不话不就选 d 吗？啊，好，下面这个 第四十九题是不是也是这一类的，对吧？奇，函数问题，既然问题我们一样的啊，把这个放一边啊，同偶 反奇，知道吧。好，我们把 x 等于一， x 等于负，一往里面带。知道了，一往里面带，二， 负一往里面带零，那非基非偶啊，不一样。好，一往里面带，对吧？二负一往里面带啊，负二反对不对，相反，对吧。 好，那这个里面啊，一往里面带，反的话就是 g 啊。好，一往里面带二， 这个负一往里面带也是二，那他不是偶吗？偶的话这个不就没有吗？这个也没有。好， b 选项先留下来。好， d 选项啊，一往里面带，一加一，二负一往里面带，负一加 负一，对吧？负一往里面带一，一减一零，那飞机飞偶，这不就不选，不就选 b 吗？第四十九题不就选 b 吗？好吧， 一年整体啊，向量函数中为偶函数的，大家要记住，看到散引的什么 cosine 的 啊，什么 tanine 的 啊，我再给大家记一下。好吧，散引的 和 tanine 的 函数啊，是 g 函数，然后呢？ cosine 的 函数是偶函数，这个大家直接记就完事了啊，不用去理解了，直接记好。这个是一看 g 啊，偶那 b 就 对了呗。 c 啊，鸡加藕是等于飞机飞藕的啊，飞机飞藕的，我自己总结的那个公式里面也有，大家需要的话可以进我主页公关群找我要啊， 就是那个，去看那个安徽单招大少帅啊，公开群找我要就行了，知道吧？这是我小号啊。好，我们看第一样， y 等于上引的 x 扩大 x， g 乘以偶等于 g， 知道吧？大家去理解一下。好，这条不就选 b 吗？ 二一年真题，属于非机非偶的，是一样的，把它摆上来，同偶反击。对，摆上来，然后 x 等于一， x 等于负，一往上一摆，对吧？一往里面一带零， 然后负一往里面一带也是零，那不是偶吗？对不对？好，排除。好，一往里面带，对吧？二负一往里面带零，这不就非机非偶了吗？选 b 好 不好？ 好，我们看扣三引的和三引的前面是不是讲过了？二零二零年卷子是不是讲过了，对不对啊？它是藕，它是什么？它是鸡。好，这样不就是选 b 吗？ 二点真题， g 函数在区间一二上的最小值为三，最大值为四，在这个上面是多少？那我们就画呗，一二多少啊？我们画个图啊，它是 g 函数， g 函数大概是这样的一个图像，对吧？它在一二上面，好，一 就是说它在区间一到二，知道吧？也就是说一在哪？一在这， 二大概是在这个位置啊，二在这，他在一二上面，最小值是三，最大值是一，对不对？好， 那我们画最小值，大概是三，最大值是四，对吧？好，他在负二到负一，那负二到负一，那负一在这啊， 负二在这，好，他说负二到负一，那他的最小值是多少？那最小值不就是负四吗？最大值呢？是不是负三，对不对啊？选 b。 二零二三年真题，对吧？它这个是偶函数，偶函数的话，那 f x 是 等于 f 负 x 的， 那么把 f x 列出来好不好？那 f 负 x 就是 等于二，负 x 方加 a， 负 x 加一，这样我们就是二 x 方减 a x 加一嘛， 二 x 跟二 x 先约，一，跟一先约，那一等 a x 就 等于负 a x 好，这样的话不就是什么二 a x 等于零吗？推出来什么 a 等于零，对不对？好， a 等于零的话，它原式的话就是 f x 等于二 x 方加一了。那在三啊，负三到二上去求最小值 啊，最小值。最小值不就是 x 顶点 x 等于零的时候吗？在零的处吗？就是 f 零最小取最小，知道吧？ 因为他是开口向上吗？你大大概是这样的样子啊，大概我随便搞一个就大概是这样的样子啊，去零处是最小，知道吧？啊，大家了解啊，他开口最小吗？那负三的话基本上在这边二号在这边，最小的话，不就是在零这个位置吗？ 啊，那 f 零的话是多少？ f 零往里面一带不就是一吗，对吧？啊，所以说他是最小值，最小值的话他就是一啊，这一条就选 b。 幺四年真题已知 f x 是 奇函数啊，在 x 小 于零的时候啊，这个等于这个若 a 的 取值是多少，对吧？它这个前面啊，它是原题的，少的条件是若 a f a 啊大于零啊，这题目小小条件啊，这是原题目是这个，我这个出的这个打印的这个少了一个，好吧，比如说他们要么可能都是正的啊，他是正的，他也是正的，才能大于零，他是负的，他是负的，才能大于零，对不对啊？前者跟后者一样，那也就是说什么 要么都是负的，要么都是正的，你看这里要么是不是都是正的，这里要么都是负的，那它奇函数是不是单调递增，是不是这样的啊？那 x 小 于零的时候啊，是这个，对吧？那我把这个解出来呗，这等于多少啊？ f 小 于零的时候，对吧？ x 小 于零的时候，你看 x 方加四 x， 对 不对啊？ x 方加四 x， 那 就是说提一个什么 x x 去加四， 对吧？这样的？好，那这一七分一中，一个值多少？一个值是 x， 一 是等于零， x， 二是等于 负四，对不对？那肯定负四，这个点是不是也要有零？这个点也要有，对不对？好，零本来就过圆点啊，对吧？他是有 g 函数，本来就过圆点，对吧？所以说零的话是本来就有好负四， 他负四在这，对吧？我们画个线下来啊，负四在这，那他对称过来，因为 g 函数是关于圆点对称的话，那不是这不是四吗？对不对？好，那 a 的 取值范围的话是多少呢？ 这个 a 的 取值范围的话，不就是在负四到这个零，看到没有？零啊？零是个值，对吧？它零是个值啊，负四到零和零到四之间，对不对？但是这个零呢？它取不到啊，零是取不到的，为啥？ 因为他这上面啊，只有小于零的，他说小于零的时候，知道吧？啊？这原条件给的也是大于零的时候，所以说领取不到，所以说是负四到零零开区间，然后零到四开区间啊，这个四和负四他是也是取不到的，因为你看到没有，这是小于号啊， 知道吧？我为什么要这么求啊？大家方便能看到。我们来看二零二五年真题啊，第三十五题，同样的，这题同偶反击，往上一摆不就完事了吗啊， x 等于一， x 等于负一往里一摆啊。 a b c d 先写 a 往里面带一 负一，那它就是什么 g 函数好到 b， b 看好了 b 啊，一往里面带二，负一往里面带零，飞机飞欧，好， c， e 往里面带一一，对吧，不就 o 吗？选 c 啊，好，定义一下，一往里面带二，负一往里面带零，飞机飞欧，对吧？ 带到我们的章节小节啊。那这样的话，第一个啊，通用通杀啊。同偶 反击，你不管它三七二十一判断这个奇函数偶函数怎么判断啊？先把 x 等于一和 x 等于负一往里面一带， 同偶反击。什么？就是相同的数字，比如说你 a 往里面， a 里面带是一个二负二，那就是反击。好比如说它是个三，它也是三，那就是偶， 他如果不一样，数字都不一样了，比如说一个二，一个零，一个一，一个三，数字都不一样了，那咱就是非基非偶，知道吧，这样是不是很好判断？基偶性好，怎么判断他是增啊？增减性 几个常见的跟大家讲一下。 y 等于 x 方啊，他是关于 y 轴对称啊，他是在这上面，这是单调递减。单调递减是这样的好， y 等于 x 三方， x 三方。啥呀？是这样的啊，这是个奇函数，是这样的好，那这样的话啊， y 等于负， x 三方啊，是减，知道吧？双数单数知道吧？好， 还有个 y 等于 x 分 之一，它是一个反比例函数，在一三项链单调递减，知道吧？那 y 等于负的 x 分 之一呢？它是在二四项链单调递增啊，还有一个 y 等于根号 x 这个函数啊，它这个函数是这样的，是啥样的呢？ 我记得啊，是这样的，往这边往这边走，这样啊，这边的话是这样啊，是这样的一个图像。好，我们来看啊，指数函数是什么图像啊？指数函数也要跟大家讲讲。 y 等于 a， x 方好，那它指数函数它要 零小于 a 小 于一的时候他是单调递减的啊，如果 a 大 于一的时候他是单调递增的。好吧，好，一样的对数函数 log 以 a 为底的 啊。 x 吧，就这样写好退出来说的话他说在一这一块啊，单调递增是什么？ a 大 于一的时候好，单调递减，递减是零小于 a 小 于一的时候知道吧。好，那还有什么图像我来看看啊。 呃，那这样的话基本上是没什么图像了啊，好， 大概就是这么多啊，常见的几个跟大家讲清楚，然后用这个小公式啊，同偶反击，这是我研究出来的啊，去用就好了啊，这这些题目都去通杀啊。基本上你看那些图像啊，你先用这个去判断忌口性，如果增加了，呃， 那玩意你就画图啊，如果要先判断忌口性啊，第一先判断忌口性再判断什么增碱性啊，增碱性的话一般常见的图像就是这么多啊，大家去了解，还有一些不常见的一些怎么办？那你就用那个 啥去判断，用那个 g 啊，就 f x 等于什么负 f x 什么那种的啊，就是奇偶性的那个定义啊，去判断知道吧，真判断不出来，用这个判断其实很多都可以用图像去画啊。

看这个题目，这是一个余弦定律的公式，为什么边角不对应用于弦给的是角 c， 所以 用 c 平方等于 a 方加 b 方减去二倍的 ab 乘以口算 c 来直接代入哈。十九等于九加上 b 不知道？减去二乘三 乘 b， 再乘以二分之一化解一下。 b 平方减去的是三 b， 对 吧？减去十等于零。四个字代入验证，把三代入三平方，减三乘三，减十不等于零。咔，错了，三不对。 把四代入四平方，减三乘四，咔，怎么样？也错了， c 代入五平方，减三乘五，再减十，它等于零。正确选 c， 结束搞定。

好，今天我们来看三角函数的同角运算。好，我们看第一条，已知三 a c t 加口三 a c t 等于十三分之七 c t 呢，是第一第二项线的角，让我们求三 a c t 乘以口三 a c t。 好， 今后我们在做题的过程中遇到，哎，前面是同角的两个三角函数，用加法或者减法连的时候啊，相连的时候再让我们去求哎同角的什么两个三角函数的乘积，那我们只需要把前面这个式子给它怎么样？平方一下就可以了。好，我们平方一下可以得到 sin 平方 c， 它加上两倍的 sin c， 它 cos sin c， 它再加上 cos sin 平方 c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。啊，后面这个值平方，不要忘了啊， 平方出来之后呢？哎，我们可以得到这个，这个是什么呀？是不是同角的三角函数？平方和角呀，那我们知道它等于几？等于一，那一加上两倍的 sin c， 它 靠三 in c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。好，我们把这个移移过来，就可以得到两倍的三 in c， 它靠三 in c， 它等于负的一百六十九分之一百二十。好，我们要求的这个乘积是不是出现在这里？量，好，我们在指数除以二就可以得到答案了，所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之 六十，对不对啊？所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之六十，对不对啊？所以记住，看到这个乘以二， 那我们知道 tangent 的 二法是等于什么，是不是三引二法比上我们的什么？靠三引二法对不对？好，那我们看这个式子啊， 我们把它看成一个数，那这个式子可以写成什么？一分之三引二法，靠三引二法等于二。为什么要写这个一啊？因为一等于什么呀？哎，一它就等于我们三引平方二法加上靠三引平方二分之什么？三引二法， h 三一二法。哎，这样一改，知不知道接下来干嘛？哎，分子分同时除以 cosine 平方二法好，同时除以之后呢，上面呢就变成了 tangent 的 二法，下面变成了什么？ tangent 的 二法？ tangent 的 平方二法再加一等于多少？ 二分之一？哎，我们叫求的这个式子啊，应该通分影响。是不是变成了贪婪的平方阿尔法加一再比上贪婪的阿尔法，哎，是不是就是我这里怎么倒数呀？那答案也很明显，就等于几，是不是等于二？哎。

这道题也是一个易错题，我们只要画个图，答案就立刻显现出来了。半径是等于一，我们来画一个圆，这是 x， 这是 y， 零，那这个点，一零点，这个点就是题目中给它 p 怎么运动？顺时针三分之派是不是向下运动？是六十度，它在第几象限？第四象限。那 a、 b、 c、 d 哪一个是第四象限呢？是 c。

好，今天我们来看中点坐标类题型的啊，那我们看一下这类题型呢，你只需要记住中点的坐标公式，那就是二分之 x 一 加上 x 二啊，二分之 y 一 加上 y 二啊，我们这个 x 一 x 二呢，就是我们题目给我们这两点的什么？哎，横坐标是 让我们求中点的横坐标呢，那就两点的横坐标之和除以二。同理，我中点的纵坐标呢，那就是这两点的纵坐标之和除以二啊，那我们看下怎么用？第一题，哎，告诉我们了 ab 两点的坐标，让我们求 ab 中点 m 的 坐标，那我们就是一加上负一，怎么样？除以二那是不是等于零呀？ 好，纵坐标呢，那是不是五加三除以二，那是几四？哎，所以我 m 点的坐标呢，也求出来了，那就是零四， 所以呢，答案选 a。 那 我们看第二节说 a 点的坐标给我们， m 点坐标也给我们，他说 m 是 a b 的 中点，让我们求 b 点的坐标啊，那就要用我们的中点坐标公式去反推端点的坐标了，对不对？ 其实也不是很难啊，但我们可以设 b 点的坐标为 x y， 当然你不设也可以直接套也可以啊。那我们看一下，那是不是就是我两个端点的横坐标之后，除以二等于什么？负一，也就是三加 x 除以二等于负一，那我三加 x 是 不是等于负二，所以 x 等于多少 负？那么看满足这个条件是不是只有 c 选项，那是不可以把 c 选出来了呢？好，那么再验证一下重坐标，那重坐标呢？ 二加 y 除以二等于什么？哎，是不是等于零呀？那所以我二加 y 怎么样？等于零 y 呢？是不是又等于负二呀？哎，那我 b 型坐标是不是也求出来了？不符合哎，答案是不就是选 c 啊？好。

好，今天我们来看一次函数的图像的题型啊。好，我们看第一题，它说一次函数啊，哎，给了你这个解体式，说了 m 不 等于负一啊，因为如果 m 等于负一的话，我这个一次项是不是不存在了呀？哎，它也不是一次函数，它如图所示啊，图像如图所示，则 m 的 趋值范围。好，我们看下这个图像，它是从上往下哦，很明显，它是有什么 减函数，对不对？所以我 m 减一，一定要怎么办？小于零，因为我们说一次函数的增减性就是我们的斜率的正负，对吧？我 x 前面的系数为正，那它就是增。 x 前面的系数为负，那它就是减， 所以我们可以得到 m 还是怎么样小于一的。再看某个，这个图像还是要直线呀，它与我们的 y 的 正半轴有交点，换句话说，它在外轴上的截距怎么样？是大于零的，所以就是 m 怎么样大于负一。 好，那我 m 大 于负一， m 小 于一，那答案也很明显啊，就选 a， 负一到一的一个开区间。好，我们看第二节，一次函数 y 等于负四， x 加三个图像经过哪几个象限？好，我们可以简单的把这个图像画出来， 首先看它 x 前面的系数是负四啊，那它一定是以什么减函数啊？从上往下画，再看，我们这里长出来是三，换句话说，我这个直线啊，它一定和我的 y 的 正半轴相交啊，这里是三啊，可以画下来， 大致呢是这个样子，对不对？所以他一定经过哪几个象限呀？哎，是不是第一象限，第二象限和第四象限呀？所以答案选什么呀？选三 c。

安徽单招倒计时还有最后八天，孙老师给大家总结了最后七个数学知识点，数学必拿口诀，直接背 单招，数学只加基础，最后八天这样学保底提分一集合交就是找公共，并就是全写上，补齐就是反过来送分题千万不要丢。 第二，函数定义域，比如说分母不等于零，根号里就是大于，等于零即有幸看 f 减 x。 一 次函数二次函数必考公式必须要背熟。三、就咱们的三角函数，三角函数包括特殊角，三十度四十，四十五度六十度值背死正弦移弦正切图像 记形状。大题不会写公式也有分。第四个竖列等差通向求和公式会背等比，别忘了 q 等一情况，单招基本都是套公式直接算。 第五，就咱们的立体几何，立体几何大概题目就是球体积，表面积。套公式，平行垂直，垂直看关键词，能写步骤就写，不要空着。六、概率统计， 平均数，中数，中位数送分题，概率总数分之符合条件，认真数 不要算错了。七、最后八天策略，第一个只做基础题，真题啊！第二个难题咱们直接跳过，不要浪费时间。第三个公式写在纸上，每天一定要读一遍。 第四，计算千万不要粗心，步骤写清楚，单招数学你只要把技术的全拿，你就赢了。

下面结论正确的是 d 等于二， pi 除以 omega， omega 等于几？二 pi 除以二等于 pi， 所以 咔错了。最小值是几？应该是负三，因为 a 等于三，是不是应该是负三？下面这个平移左加右减减是什么样子？三乘以二倍的 x， x 括号减去多少的面的三分之 pi 应该是六分之 pi。 因为你要前面乘以二呀，所以它也错了。最后是答案选 d。

好，今天我们来看同角的三角函数的基本关系啊，我们看第一节，若 alpha 为第二象限角，且 alpha 等于三分之一，让我们求 tan 的 alpha 好， 因为 alpha 第二象限角啊，我们考 tan 的 alpha， 它一定是个负的，对不对？所以 tan 的 alpha 呢，它一定是从 b 和 d 里面去选。 好，我们可以用同角的平方和等于一啊，也就是三引二八的平方加上口三引二八的平方等于一，所以我们口三引二八的平方就等于多少呀，哎，九分之八，那我们开根号可以得到口三二八，它是等于什么呀？哎，正负三分之二倍，根号二，那很明显我口三二八怎么样？ 哎，是一个负的三分之二，所以可以得到口三二八，就等于负的三分之二二。好，我们又知道贪心的二八等于什么呀？ 是不是等于三一二法比上什么扣三一二法好，把值带进去。所以我们的 tangent 的 二法呢，就等于三分之一，比上负的三分之二倍根号二。答案是不是就等于负的二倍根号二分之一，答案呢？就选我们的四 d 啊，就可以了。 我们看下一题，就是二法是 d 相减，第二相减，减的二法等于负二法，我们用 tan 二法知道 tan 二法就等于什么负二倍的扣三一二， 对不对？好，由这个关系式，再又加上我们什么三一二八的平方，加上口三二八的平方等于一，我们就可以求出来对应的值了。好，我们带进去可以得到 四倍口三一二八的平方，加上口三一二八的平方等于一，所以五倍口三一二八的平方等于一，所以口三一二八 平方等于五分之一，对不对？好，我们开个根号考三幺二八，应该等于正负五分之根号，因为 alpha 第二项线，所以我考三幺二八，他一定是个负的，对不对？所以答案选我们的 a， 负的五分之根号就可以了。 好，最后一题啊，他说，若，哎，这个分式等于二分之一，让我们求弹性的二，那你看这个分式啊，分子分母都有三根，口三根啊，我们有个方法，就是分子分母同时除以口三根，哎，我们就可以把弹性求出来了。来看一下，分子分母同时除以口三根二八呢？那这里是不是变成了弹性的二八 减二，对不对？比上三倍的弹性的二八加一等于二分之一。好，我们交叉相乘，再相等，就可以。等于三倍的弹性的二八 加一等于两倍的 tan angle， 再减四，然后移过来。 tan angle 呢？这个再移过去啊，是不是等于负五呀？所以答案呢，就选我们的 a。

好，今天我们来看密函数的单调性啊。好，我们密函数呢，是 y 等于 x 的 alpha 次方，那我们的增减性呢？哎，可以用我们的 alpha 来判断。 当我们的阿尔法大于零的时候呢，我这个函数它就是个增函数，当我的阿尔法它小于零呢，它就是个什么减函数。好了，看第一节，它说密函数 f， x 在 零到中位数，但你要递减呢？阿尔法一定小于零。好，我们找阿尔法小于零的数。答案四， d 水就出来了，前面都是大于零的，你看这是一至三至二分之一，对不对？只有它是负二， 所以答案 c 直接选出来。然后下一题，下列逆函数中，他说既是 g 函数，又在零到整数上，怎么样？单调递增？好， g 函数，我们先不管单调递增，那我 r 大 于零的，所以 r 怎么样？小于零的排除，所以 d 选项，所以排除了。好，剩下三个选项中，哪个是 g 函数呢？那我们看它的次方啊， 你看这里是不是二是偶数，所以排除。那我问 x 平方，它是不是偶函数，它的图像是不是关于 y 轴对称的一个开口向上呢？对不对？ 好， x 二分之一是方，你知二分之一它是偶数吗？哎，不是，它是奇数吗？哎，它也不是，既不是奇数，也不是偶数，对不对？那它肯定也不是奇数，一是偶数二。那答案呢？只能选 a。 好。

好，今天我们来看等差数类的性质啊，那这里的性质呢，主要指的就是我们等差中项以及它的推广叫标法。 那我们看第一题啊，它说已知在等差数类 a n 中啊， a 三和 a 十是这个方程的两个根，让我们求 a 五加 a 六加 a 七加 a 八。 好，我们先用角标法给它化简一下，你看这里，我上面这两项是不是三和十是它的下标呀？所以三加十呢？是不是就是十三？现在看这里，我五加八是不是十三，六加七是不是也是十三？好，既然你们的下标和都相等，那我可以把这个十子给它换成什么呀？哎，两倍的 a 三加上我们的 a 十， 来给他换一下，用我们的什么中等差中项的推广，也就是角标法。好，现在呢，我们要求的这个式子是不是变成了 a 三加 a 十的两倍啊？那我们就知道 a 三和 a 十是这个方程的两个根，那是不就是 x 一 和 x 呀？好，我 x 一 加 x 二，是不是伟大定律啊？是不是等于负的 a 分 之 b 啊？ 好，那么带进去呢？答案呢，是不是就是三？好，二乘三六就写出来了？好，下一题，它在等差数里 a n 中啊， a 三等于六， sn 呢？为前 n 项和，则 s 五等于多少？好，我们 s 五是不等于 a 一 加 a 二加 a 三，一直加到什么 a 五？ 那很明显，我 s， 我 a 二是不是 a 二和 a 四的中间项？我 a 三呢，是不是也是 a 一 和 a 五的中间项呀？那你会发现，一加五等于六，二加四是不是也是等于六呀？所以就两倍的 a 三等于 a 一 加上 a 五， 两倍的 a 三是不是等于 a 二加上 a 四，哎，对不对？好。那我们这个 s 五呢？就可以写出来什么五倍的 a 三，那 a 三等于六带进去答案呢？是不就是三十呀？好。

好，今天我们来看三角函数的同角运算。好，我们看第一条，已知三 a c t 加口三 a c t 等于十三分之七 c t 呢，是第一第二项线的角，让我们求三 a c t 乘以口三 a c t。 好， 今后我们在做题的过程中遇到，哎，前面是同角的两个三角函数，用加法或者减法连的时候啊，相连的时候再让我们去求哎同角的什么两个三角函数的乘积，那我们只需要把前面这个式子给它怎么样？平方一下就可以了。好，我们平方一下可以得到 sin 平方 c， 它加上两倍的 sin c， 它 cos sin c， 它再加上 cos sin 平方 c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。啊，后面这个值平方，不要忘了啊， 平方出来之后呢？哎，我们可以得到这个，这个是什么呀？是不是同角的三角函数？平方和角呀，那我们知道它等于几？等于一，那一加上两倍的 sin c， 它 靠三 in c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。好，我们把这个移移过来，就可以得到两倍的三 in c， 它靠三 in c， 它等于负的一百六十九分之一百二十。好，我们要求的这个乘积是不是出现在这里？量，好，我们在指数除以二就可以得到答案了，所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之 六十，对不对啊？所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之六十，对不对啊？所以记住，看到这个乘以二， 那我们知道 tangent 的 二法是等于什么，是不是三引二法比上我们的什么？靠三引二法对不对？好，那我们看这个式子啊， 我们把它看成一个数，那这个式子可以写是什么？一分之三引二法，靠三引二等于二。为什么要写这个一啊？因为一等于什么呀？哎，一它就等于我们三引平方二法加上靠三引平方二分之。什么？三引二法， h 三一二法。哎，这样一改，知不知道接下来干嘛？哎，分子分同时除以 cosine 平方二法。好，同时除以之后呢，上面呢就变成了 tangent 的 二法，下面变成了什么？ tangent 的 二法？ tangent 的 平方二法再加一等于多少？ 二分之一？哎，我们叫求的这个式子啊，应该通分影响。是不是变成了贪婪的平方阿尔法加一，再比上贪婪的阿尔法，哎，是不是就是我这里怎么倒数呀？那答案也很明显，就等于几，是不是等于二？哎。

三年的最后一题啊， g 函数对不对啊？ g 函数大于零的时候是这个，那我们去算呗。那你 f 负 x 是 等于负的 f x 的， 对不对？那也就是说， 嗯，看 x 大 于零的时候，对吧？ f x 是 等于二 x 减一的啊， x 小 于零的时候，再 r 上 是单调递增的啊。然后呢？那你看 f 二 a 加 f a 减二大于零，那也就是说 f 二 a 就 大于负的 f a 减二，这样的话就是 f 二 a 大 于 f， 对 吧？负的 a 减二，不就是 f 二减 a 吗？ 那这样的话，这个看成什么？看成外一，看成外二，对不对？好，因为他是单调递增吗？对吧？他在小一点的时候单调递增，大一点是也是单调递增的啊，因为他关于原点对称吗？大概是这样一个，是不是啊？好， 嗯， y 一 是大于 y 二的，那也说 y 一 在这， y 二在这，对不对？那也说。你看，往下来，这不就是，呃， x 一 吗？这不就是 x 二吗？好，那 x 一 是不是大于 x 二？那也就是说 这个里面，这个里面这个二 a 是 不是 x 一， 这个里面是不是 x 二啊？也说二 a 是 大于二 减 a 的 啊，那二减 a， 你 这个负 a 移过去不就是三？ a 大 于二， a 大 于三分之二，对不对？ a 大 于三分之二吧，选 b。

好，今天我们来看密函数的单调性啊。好，我们密函数呢，是 y 等于 x 的 alpha 次方，那我们的增减性呢？哎，可以用我们的 alpha 来判断。 当我们的阿尔法大于零的时候呢，我这个函数它就是增函数，当我的阿尔法它小于零呢？它就是个什么减函数。好了，看第一节，他说密函数 f， x 在 零到中位数，但你要递减呢？阿尔法一定小于零。好，我们找阿尔法小于零的数。答案四， d 水就出来了，前面都是大于零的，你看这是一至三至二分之一，对不对？只有它是负二， 所以答案 c 直接选出来。然后下一题，下列逆函数中，他说既是 g 函数，又在零到整数上，怎么样？单调递增？好， g 函数，我们先不管单调递增，那我 r 大 于零的，所以 r 怎么样？小于零的排除，所以 d 选项，所以排除了。好，剩下三个选项中，哪个是 g 函数呢？那我们看它的次方啊， 你看这里是不是二是偶数，所以排除。那我问你， x 平方，它是不是偶函数？它的图像是不是关于 y 轴对称的一个开口向上呢？对不对？ 好， x 二分之一是方，你知二分之一它是偶数吗？哎，不是，它是奇数吗？哎，它也不知道既不是奇数，也不是偶数，对不对？那它肯定也不是奇数，偶数两。那答案呢？只能选 a。 好。

零二年的亚洲题啊，这个焦距二根号二，那也就是说他一个呢？一半二 c 是 等于二根号二，对不对？那 c 的 话是不就等于多少等于根号二？好，嗯， a 方对吧， a 方又是等于 b 方加 c 方， c 方的话不就是 根号平方幺二，那这样的话，嗯， a x 零 y 零，不过分吧啊，我们把这个图先给他画出来，好不好啊？这个椭圆的图先给大家画出来， 就这样。这个图像啊，然后一个椭圆，好， 然后，呃，这个线啊，这个 y， 这是 y， 这是 x， 然后这里 点屁，对吧？ ab 是 过这个线对不对啊？一个直线好，那点 a 在 这点 b 在 这，跟着图来的，我是跟着这个题目来的，好吧，过圆点 o 交于 c， 对 吧？ 与 ab 两点啊，圆点 o 好， 交椭圆 c 是 不是？好，那这样的话，点 p p 是 椭圆 c 上另外一点 啊，另外一点，那另外一点随便来个点呗。那这样的话，他想去勾到这个斜率，对吧？另外一点的话，那只能够到一个三角形出来，对不对？点 p 放这啊，一条线， 当然你放这里算也可以啊，放这里算也可以，那我习惯性的，我就放下面了。好，那点 p 的 话在这， 好，那大概的这个图像是不就出来了？那 a， 我 们就设 x 零外零，好，我们写在边上好不好啊？ a x 零外零， b 呢？ b 的 话就是负 x 零负外零，好吧？ 啊？ p 的 话，我们就是 m n 吧，好射一点啊， m n， 那 这样的话， k 啊，它斜率之积，对吧？那就是 k pa， 呃，乘 k p b 啊，就是等于负的四分之三啊，那这样的话， a p 啊，在 椭圆上知道吧？点 a 和点 p 都是在这个椭圆上啊，点 b 也在，知道吧？点 b 也在，那这样的话啊，是不是推出来去 a 乘以 b 啊，就把这个 ab 就 给它推出来啊，就能把 ab 和推出来， ab 推出来的话，这个方程是不是就出来了，对不对啊？好，那我们接着往下来 先，我们看什么？嗯，我们去给他进行这个，刚才开始我是给大家去完全的去分析啊，大家去明白了解啊。好，我们来整体再给大家写一个步骤吧。你说，呃，椭圆的焦距不是二根号二吗？ 啊？它是等于二 c， 那 c 的 话就等于根号二， a 方等于 b 方加 c 方，所以 a 方等于 b 方加二，那的话，一是。好，刚才设过了啊，设的是 a 多少？我们再写一遍吧。 a 是 x 零 y 零 b 负 x 零负 y 零 p m n。 因为点 a 啊，点 p 是 在椭圆上，知道吧？在椭圆上 好，嗯，所以说什么 a 方，我们就把这个值带进去，不就完事了吗？对不对啊？把 x 零外零还有 m n 带进去，是不是啊？ a 方 b 方分之外零方等于一 啊？下面的话就是 m 方 a 方加 b 方 n 方等于一，嗯，然后我们继续往后我们得，对吧？去减它，用什么？ 这个，这是一。呃，这就是二式吧，三式吧，用三式去减二式啊， 那就得到什么？得到 a 方 m a 方 m 方减 x 零方加 b 方分之 n 方减 y 零方等于零。好，那这样推出来是吗？可以推出来啥？ b 方分之 n 方减 y 零方等于负的 a 方分之 m 方减 x 零方。所以， 然后我们换一下不就行了吗？用 y 零方减 n 方，对吧？就除以 x 零方减 n 方，不就等于负的 b 方， 对吧？负的 b 方分之除以 a 方，是不是？好，大家清楚去明白啊， 因为它直线的斜率啊，因为这个 k pa 啊，是等于 y 零减 n， x 零减 m 啊。好，这样的话，它 k 这个 p b 是 等于负， y 零减 n， x 零啊，减 m。 好， 又，因为这个直线的斜率之积啊， k p a 乘以 k p b 啊，是等于负的四分之三的 啊，所以这个 k p a 乘以 k p b 是 等于啊，等于多少？等于 x 零减 m， y 减 n 乘上一个。 嗯，负 x 零减 m 啊，负 y 零减 n 就 等于 y 零方减 n 方除以 x 零方减 m 方等于等于多少？等于负的四分之三啊， 是负的四分之三。好，那这样的话不就是说，嗯， k p 就是 说这个 负的 a 方分之 b 方是等于负的四分之三的，知道吧？能不能清楚啊？好， 那这样的话，他这个 b 方除以 a 方不就等于四分之三了吗？那你连立一下，连立一下，这个，这个几式啊？呃，这个我们就认为四式吧。四式啊，好， 这个四式吧。这个，嗯，这个四式大家搞清楚。好，我们把这个二式移下来，好不好啊？ 这个，这个一式给他，一式给他移下来啊，有用的，有用的，你先给他移过来吧，对不对啊？先把一式给他移下来 看好了啊，这个一式跟这个四式去给他连力一下，他两个去一连力，对吧？他，这个 啊，他这个 c 的 话是不是二？好， c， 我 们知道 c 方是等于二，那我们 a 方和 b 方我们就去求出来了啊，他关系也有。那这样的话， a 方的话不就等于八吗？ b 方的话就等于六，那他的标准方程是不是就出来了？就是 啊，八分之 x 方，对吧？加六分之外方等于一，好吧？那这条是不是选 b 一 样啊？这条是不是选 b 一 样？大家去清楚去明白啊，选 b。

一个视频教会大家分段函数如何来求，记住一句话叫做一把钥匙开一把锁，钥匙对应的是 x 的 取值范围，锁对应的是函数式。另外 关于单招数学中的必备公式常考题型李姐已经给大家整理好了，如果你还不知道背哪些公式的话，那你一定要拿去记一记，拿去看一看。好，我们来找一下这里的钥匙。 x 是 钥匙，这里对应的是五，所以找着钥匙之后去找锁， x 是 五的话，它应该是大于等于二的。 x 范围大于等于二，所以对应的锁就在这里，那我们给它带进去 f 五，此时就等于 f 五减去二，把它带进这个式子里边。五减去二等于 f 三。同理，一把钥匙开一把锁，此时 x 是 等于三的，它还是大于等于二的，所以这里我们再继续 它带进去，那此时它又等于 f 三减去二又等于 f 一， 此时要找 f 一。 f 一 x 是 等于一，是小于二的，所以带进去的是这一把锁， 那此时 f 一， 它又等于三， x 加上一把，这个一给它带入就是三，加上一等 等于四，所以 f 五。通过这么一连串的式子得出来，它是等于四的，这就是分段函数找着它对应的钥匙，然后去开它对应的锁。朋友们，你们听懂了吗？听懂的同学记得点个关注和收藏，免得下次找不到了。

好，今天我们来看对数的题目啊，对数的概念，我们看第一页，它说使这个对数中这个 a 啊，它有 e 的 取值范围是多少？好，我们看下这个 a 在 这个对数中的哪个地方啊？首先第一个则在我们的底数，所以我们这个 a 呢，它是大于零且怎么样？ a 不 等于一，是不是？ 再看 a 在 哪？ a 又在我们的真数位，那我们知道对数函数或者对数中的真数，它一定怎么样？哎，它一定是大于零的，所以呢，我们从这个式子可以求出来， a 它是小于三分之二的，对不对？好，那你是大于零，你是小于三分之二。哎，你可以画个竖轴， 大于零，我零，我取不到，要空心点，这里呢，三分之二我也取不到，空心点，对不对的话，那我们去交叉五，是不是就这一部分呀？哎，所以它的范围呢，就是零到三分之二的一个开区间，所以答案选 c， 我 们看下一题，哎，又是跟上一题差不多的题啊，又是让我们求 a 的 求范围。 好，我们来看 a 在 我们的底数，所以我们 a 减三啊， a 减三就是我们的底数吧，看这个整体啊，我们这个整体它怎么样？大于零且怎么样？ a 减三不等于一，是不是好，通过这个呢，可以得到 a， 它是大于三的且怎么样？ a 数不等于四，好写到这一步啊，大胆的同学，你看下面四个选项，你看发现这里是不是四取不到，那这里能不能取到四，能取到四， b 数被排除了，这里能不能取到四，也能取到四，排除 c 呢？也排除答案，是不是就选 d 啊？ 眼睛尖呢？胆子大也可以直接把答案锁定在 d， 我 们验证一下到底是不是 d， 我 们是不是还有真数没有看啊？把真数看一下，那是不是十减二？ a 怎么样？我得大于零啊？因为它是真数位，所以 a 怎么样？小于五？好，你大于三且不等于四，然后这边呢？ a 小 于五，那很明显答案就是四， d 是 不是？哎，答案就出来了。