数学高一第二册第八章几何知识导图

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！

hello， 宝宝们，我们今天开始要讲平面喽，咱们来说一下哈，之前学过呢一些棱柱啊，棱台啊棱锥，那他们都是由顶点棱和侧面构成的，其实就是点线面之间的一个关系， 那我们想点线面组合成的这些东西对不对？那点线面的话，表达出来这个平面就有哪些一个特点呢？咱们来说平面其实它是一个什么？像四周无限进行一个特点呢？咱们来说平面其实它是一个什么？像四周无限延伸，就是没有质量。 还有一个是什么不计大小，那不计大小是什么意思呢？就是说我们没有面积。好，那我们来想一想，知道了这些东西之后怎么来画呢？用图像的一个圆，那就是水平放置一个平面，画一个平行四边形，从长呢是四十五度，然后横撇呢，稍微长一点，变成的是我们斜边的二倍， 垂直的这样的一个平面呢，就是竖直给他画下来就行。好，我们来知道平面的一些表示呢，可以用 alpha， beta， gamma， mu 啊这些东西，那如果要是说用顶点的话呢，就是平面 abc 的， 如果要是用到什么呢？用到的是我们的对角线的话，可以说成 a， c 或者是 b 的 啊。好， 我们继续来看一下这部分，咱们能知道几个点，几个直线可以确定一个平面呢？咱们看哈，这是一个点，两个点，三个点， 这是一个点，两点三个点，哎，这三个点是不就能确定出来的一个平面，所以我们能知道三个支点在同一个平面上，且且不共线，能够保证我们三角形具有稳定性，那也就是说我们是不是就可以证明不在同一条直线的三个点能够 去表达出来，有且仅有一个就是存在并且具有唯一性的这样的一个平面，对吧？ abc 三个点不共线呢？我们存在的是唯一一个平面，确定一个平面的依据就是不在同一条直线的三个点。 好，我们再继续啊看一下，有无数个点也可以构成的是这样的一个点集，也就是说点 a 在 直线上，点 a 属于 l， 点 b 不 在直线上，点 b 不 属于 l， 那 这样的话呢，我们还有个什么点 a 在 平面内，是不是点 a 就 属于的是 r 吧？点 p 在平面外，是不就是不属于我们的一个 r 法？那这些东西的一个表示呢？我们知道了之后哈，咱们来看一下，如果直线 l 与平面呢？这是直线 l， 直线 l 好， 与平面的话有一个公共的点，那么这条直线就一定在这上吗？ 如果 l 有 两个呢？是不是咱们说一个点是确定不了的？但是呢，我现在如果两个点是不就可以去确定了在这个平面上， 所以呢，我们说有一条直线两个点，一条直线上的两个点在平面上，那么这条直线就一定是在平面上， a 属于 l， b 属于 l， a 属于 l 发， b 属于 l 发，那我们现在就能知道这条直线属于这个平面内， 那也就是说我们如何去判定一条直线是不是在平面内，如何判断点是不是在平面内呢？都可以用这样的一些方法啊？ 好，平面是进行无限延伸的，给定不共线的三个点，他们可以确定一个平面，那么我们现在说基于他前面那个事实，二，这三条直线是不都在我们的平面内，对吧？所有这些东西呢就进行了一个交织。好，我们来看一下啊， 看一下这个相关视频，看看看来回他是不是就会产生一个变化，当咱们这个直线进行一个改变的时候，是不是会产生无数条这样的一个直线，对吧？好，我们能了解这个之后呢，我们再继续往下看一下。嗯， 问题六，把三角尺的一个角呢？立在咱们桌面上，三角尺呢？与在平面与我们的课桌所在平面相交于一个点吗？只能相交一个点吗？咱们现在去说一说，想象三角尺所在的这个 平面是无限延展的，用它去穿过，那我们是不是知道两个平面肯定不可能相交一个点，应该是相交于一条直线，对不对？哎，这样呢， 好，我们说两个不重合的平面有一个公点，那么他们有些只有一条直线过这个点， 对吧？有一条直线，也就是说 r 和 beta 的 话，如果相交于 l， 那 么 l 就是 它的一个交线，交线是两个平面的交线，所以 r 和 beta 相交就等于我们的 l。 p 点呢，是我们的 l 上， p 点也是 p 点上，那 p 点就铁定是在两个平面的交线上，对吧？ 判断两个平面是否相交的一个依据。判断点是否在我们的相交的直线上的一个依据。如果画两个相交平面呢？我们先画两条基本的线，哎，然后呢把我们的这个平面的交线给他表示出来， 对吧？这是平面交线，再分别做三条平行线，这样的话呢，被遮挡的地方呢？我们画的就是虚的，你能看到的是实的，你看不到的都是虚的，看看看，现在马上就看不到了，所以呢我们就能知道 看得到是实的，看不到是虚的，然后两个平面还可以直接这么相交，或者这样相交都行啊。以上呢，我们可以进行一下这部分的一个基础的一个整理，三个推论。第一个呢，我们就是说经过一条直线和直线外一点有且仅有一个平面。 经过两条橡胶直线，有些且有两条平行直线，有些且有，他们是干嘛？有些且有一个平面，那也就是说我们是要通过他们来证明我们是不是具有这个平面，对吧？这是一些方法啊， 经过我们的一条直线和直线外一点，有些且有一个平面，如图所示，咱们就可以去证明，基于二的话，直线也在这上面，这些就可以两条橡胶直线呢，我们刚才的第二个要去证明一下， 那也就是说我们现在呢，比方说 a 点和 b 点，他不是我们的 p 点，也就是说是异于我们 p 点的话呢，咱们现在就可以基于四十一 三个点确定一个平面，基于四十二直线 a 和直线 b 也在这个平面，所以呢我们就可以说两条相交直线是这样的，那两条平行直线的话，是不是也是可以去这么去证明的，对吧？ 我们有的时候啊，是取的是什么反证法，如果他矛盾就是不成立，就可以直接返回证明啊。好，那么我们呢，这个明白了之后呢，咱们来看一下，其实呢他们有一个什么样的一个总结性的东西呢？我们来想一下哈，怎么去确定在一个平面呢？ 我们去想是不可以是三个不共线的点，也可以是一点一直线，也可以是两条平行直线，也可以是两条相交直线，也就是说我有三个点， 一个点，零个点，零个点都行啊，这样我们就能明白了。好，然后接下来我们来看一下这部分的一个正误。咱们先来看一下第一个书桌是平面吗？书桌它是平面吗？ 他是不是？不是啊？因为我们要无限的延展， r 发与 beta 进行相交的话，他有些值有有限格公点不一定的，我们说 r 发和 beta 他 俩而相交呢？ 这是不是老了？因为我是无限的进行延展的，所以第一个不对，第二个不对，两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面是平和是对的，平要重合是对的。因为你想如果两平面相交，咱们是有什么？这些是不是贡献的， 对吧？他说有三个不贡献的，那三个不贡献的话，那铁定是什么？是平行吗？平行就没有了，所以一定是什么重合的啊？

本期视频来看高一数学立体几何中证明面面垂直的方法。以这道题为例，已知 边长为二的正方形 abcd 所在的平面与半圆弧 cd 所在的平面垂直，然后 m 呢，是这个半圆 cd 上溢于 cd 的 点，然后要证明平面 a、 m、 d 垂直于平面 b、 c、 m。 好，拿到这道题，咱们首先分析要证明面面垂直，有什么样的方法呀？最常用的方法证明其中一条面的垂线过另外一个面 啊，什么意思呢？就是如果一条直线垂直一个面，而且第二个面恰好过这条直线，那么这两个面就是互相垂直的吧。好，那必然要正线面垂直离不开直角。我将看一下题目中有多少个直角呢？ 首先，根据初中圆的知识，直径所对的圆周角一定是九十度。咱们看这个平面 c、 m、 d， 这个 m 呢，是圆弧上的一点，那个角 c、 m、 d 就是 直径 c、 d 所对的圆周角就是九十度。我可以得到 c、 m 是 垂直于 d m 的， 得到第一个垂直。然后再看还有没有别的垂直啊？底下的面 ab cd 它是一个正方形，所以它存在四个直角。那我现在用哪个直角呢？ 我用这个 b、 c 垂直于 c、 d 啊，用这个垂直，又因为平面 a、 b、 c、 d 是 垂直于平面 c、 m、 d 的， 这是已知。 然后呢，根据面面垂直能得到什么结论啊？能得到线面垂直，对吧？那因为 bc 又在平面 abcd 中，然后 cd 又是这个半圆面和底面的交线，所以可以得到这个 bc 也是垂直于半圆平面的。 cmd 的 线面垂直可以推出线线垂直，所以因为 dm 在 平面 cmd 中，所以可以到 bc 也垂直于 dm 好， 现在 dm 有 几条垂直线呢？第一个是 cm 垂直于 dm， 又得到了 bc 也垂直于 dm， 然后再运用这个，如果一条直线和两条相交直线都垂直，那么这条直线一定垂直于相交直线所在的平面吧，对吧？这里相交直线是谁？ m c 和 bc， 他 不是都和 dm 垂直吗？所以得到 dm 是 垂直于平面 bcm 的 好。现在 dm 是 不是正好是在平面 amd 中啊？所以根据线面垂直可以推出面面垂直。那最后得到这个平面 a dm 就是 垂直于平面 bcm 的， 大家理解了吗？

这图也是直接给我们吧，对吧？把一个三角形，正三角形把一半给它翻过来了，就这意思啊， 就看这图。好，我们直接看这个图吧。啊，大家要没画的话，呃，三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，现在呢， e 和 f 都是中点，将 a、 e、 f 翻上来，翻到 a、 a、 e、 f 这了啊，啊，他说什么时候 b 一 b a、 e、 c、 f 最大啊？ 那么因为 c、 e、 f 是 定的对吧？ c、 e、 f 定的，所以说 a 一 到底面的，呃，距离最大时最大。什么时候最大？垂直啊，把这面翻成垂直的时候最大啊？垂直的时候， 然后垂直的时候呢？让求谁呢？求 a、 e 到 b、 c、 e、 f 的 这个表面积。哎，这个挺好啊。这个因为我们以前求的都是三角形，对吧？或者是正方形，现在求的是这个形，这个形我单独给拎出来，你看吧， 就原来是这样的一个等边儿嘛，现在你要求的是谁啊？求 e、 f， 求 e、 f、 c、 b 的 外接圆儿的圆心在哪儿？这个在哪儿啊？ 这个你拖啥球最快啊？就是求它的先求它的外接圆儿吗？这外圈儿在哪里啊？ 外圈儿圆心在哪里啊？ 这个咱们之前遇到过吗？ 啊，反正这个这在哪里啊？垂直平分线还是找垂直线呗， 对不对？还是找垂直线啊。找垂直线的话，比如说你再连上一个吗？啊，连上一个好了是吧？连上一个之后呢？ 不连了，连不连了？这个正好在哪？正好在这啊，你说就不知道你们找没找到啊？是很容易找到还是没找到呀？因为这的话正好是一半，这是一半嘛？这又是六十度嘛。 所以说这个点到到 b、 e、 f、 c 的 距离是央长的啊，这个之前咱们找过吗？感觉还没找过呢，对不对？所以说这个啊， e f b c 的 外基圆。 外基圆的圆心是谁啊？是 b c 的 终点啊，是 b c 终点 下面就一贼了啊，过 m 向上作垂啊， a 一 往下作垂对吧？哎，这不就是可以勾股定底了吗，对吧，二方等于小二方加上 o m 的 平方啊。 呃，这面拉的话呢，是 o a 是 大二方等于这个应该是 h m h m 的 平方加上高也能求对不对？高是多高啊？ 是二分之三为边长的高吧，二分之三为边长的等边的 高是二分之三乘二分之根号三减去 o m 的 平方啊，这 h m 也好求啊， h m 指的是 m 到谁的距离呢？到 e、 f 终点的距离对吧，那这段距离不也是 也是高的一半对不对啊，也是高的一半啊，这都能求，求完之后呢，一连立就可以了啊。啊，这个简单 欸，下一个问的我觉得也挺也挺有意思啊，他说此时啊，就现在在这个时候啊。呃，分别过 c 和 e 做球的两相切的面，问两面的二面角的大小是多少 啊？这个有意思啊，这有意思吗？大家画画看看什么时候是啥。 被这这给吓蒙了吧，这不是球吗？你 c c 和 e 不 都在这个球面上吗？你自己看看我要这么咔咔一坐的话会得到什么，我就随便咔咔一坐，比如这是 c 吗？这是 e 吗？ 对不对？你会得到什么呀？这两面的角儿应该是这个角儿去求吗？因为这都是垂直的吗 对不对？其实因为你要求的 sine 值还是相等的呢，这 sine 值就是 sine 谁呢？哎， sine 角 e o c 嘛。 啊？ e o c 啊，对不对啊？ e o c 啊，对吧？两面嘛。这不两面嘛。 那不是，这就是这个角嘛，对吧？那 e o c 的 话呢？你需要求这个啊？需要求长度就可以了。求 e o 啊。 e o 就是 r， 对 吧？哎， e o 就是 r。 同学们啊， e c 也是 r， e c 也是 r。 大 二刚才那求过了啊，然后再把 e c 求出来就可以了。 e c 在 这呢， e c 也很好求，对不对？在这呢嘛。 哎，所以说，那么 r r 知道， r 知道，然后 e c 知道，那这个角的三你知不就可以知道了吗？对吧？哎，所以整个这题完事了啊。这出的可真不错啊。

假期在预习高一下就是 b 修二这本书的时候，你只需要预习两张就可以了，就是第六张和第八张，因为第七张、第九张、第十张这三张内容和高一其他章节比来说，就是一加一等于二，根本就不值得你花太多时间。首先说第六张向量这一张，它在高考当中一般是出一道小题，这个大题是在正余弦定理，这在 在以前六道大题的时候，他是必考的，一般就是第一题或者第二题，现在六千五有可能去掉了，也就说按照我们原来高考的习惯，这个第六张自己就占了一道大题，一道小题就是十八分打底。那第八张立体几何的一道大题，一道小题，而且这道大题大概是不会去掉的，因为六道大题当中他算比较特别的一个，所以说这一张自己也至少占了十八分， 这两张加起来在高考当中占了三十六分，你说重不重要？第七张复数这个东西，上学你就跟着听一遍就行了，这道题就一道小题五分，不是第一题就第二题一体生成得到，所以根本不需要专门花时间预习。第 九章和第十章往往不单独命题，他是跟高二的统计联合这么命题的，所以他占的篇幅是很小，所以这两张到后面学的时候，你就跟着学校学一遍就差不多了。 重点一定是放在第六章第八章上。那第六章难点就有两个地方，一个是向量的数量机，这向量数量机这图形多方法多运算又比较困难，所以很多人到这块就卡住了，但是这是一个重难点，你一定要花大量时间去突破，再 就是正弦定律的大题要是出的话，他算是几道大题当中最简单的一个，所以比较好拿下。你一定要把大题写的非常熟练，但是因为他结合的知识点比较多，比方说高一上学期的很多三角的公式基本不等式，你要尽可能在假期的时候把这个正弦定律的大题 归类，包括方法给他提取明白了，还有立体几何，考大题的时候，这个几何法非常非常重要，每一次都一定要强调，你不能光等着高二上学。空间向量只会间隙 立体几何这道大题，他一般第一问是证明，第二问是求值，就是求角度或者距离，第二问的这个求值是用空间向量比较简单，但是往往第一问的话就是几何法正比较简单，你几何法几步就出来了，有的人间隙证明的话，他就非常麻烦。 所以在假期时间不太充分的时候，你预习高一下学期只是三个地方比较重要，一个是向量的数量积，一个是正弦定律大题，还有就是立体几何大题， 你把这三个如果假期拿的差不多，下学期学就比较轻松，而且高一下学期这个必修二这本书算是五本书上最简单的一本书，因为真正有难度的只有这么两张内容，所以它属于占的分多，但是难点和重点又比较少，是比较好把握的。

咱们看这题关键在哪啊？这个首先呢，这个底下这个是最好判断的，对吧？ a b 垂直于 a c， b c 等于二，所以底面底下是一个等腰直角三角形，对吧？等腰直角三角形的这个小二呢？应该是小二，应该是一吧， 下二是一啊，下二是一的话呢？嗯，那 o 一 的长度就是也是一嘛，因为 o 到每个距离都是都是根号二嘛，对吧？所以 o 一 长度也是一啊，这，这都知道，那这题关键是 a、 d 的 条件咋用啊？ a d 这个 a d 等于根号六，这是怎么用的？你先想想说说。嗯，因为 a、 a、 d 都在球面上， a d 等于根号六的话， a、 d 和球心这三点型的那个面可以看出来它是一个一百二十度的等腰， 它，所以说这个，因为这个，呃，我给大家翻译一下，因为这个 o 的是根号二，对吗？ o a 也是根号二，对不对？根号二，根号二，根号六，说明的 a o 是 一个，这是一百二十度，这是三十度的一个等腰啊，三角形啊，然后呢？嗯，然后 九十岁嘚的那个轨迹就是这个图里面那个圆， e 那 个名就是那个，那个圆周上，哎，等会，这个，这个就是本题中最难的地方了啊，对吧？嗯，这个是找嘚的轨迹，比较难一些。 嗯，然后，然后，但是这个就可以找着嘚的关系，以后就定在这，然后转动 bc 就，就能，就后面那个几何就容易找，因为后面那个面是 就是得杠 a、 b、 c 嘛，然后那个高就在这个这个图里是得 o o 撇 a 这面里可以求高，然后 a、 b、 c 的 面积可以单求。 嗯，好好稍等一下啊。呃，到这之后呢？这个这题是下来是找得的运动轨迹啊，因为这个得 a 是 根号六，这个什么 a o 啥的是根号二，得 o 是 根号二啊，所以得在哪里呢？得在以 o a 为 这个对称轴，是吧？ o a v 对 称轴，然后半径是，嗯，就是这这这，呃，就以 o a v 轴做的这个啥呀？做这个圆锥上是吧？ 啊？以 o a v 轴做这个圆锥上啊，这个圆呢？和球的这个焦点也最后形成这个圆面，呃，是它的运动轨迹啊，这是不是有点难度了， 专门嘚在这个以 e 为这个圆形的这个，呃，球面上运动啊，它怎么来的？就是像刚才我说的以 o a 为谁啊？以 o a 为轴啊，这样转转一圈转来的啊。 呃，那么这题呢，因为这个底面积是定的了嘛？底面积 abc 是 定的了，对吧？就求得到底面的距离什么时候最大就可以了啊，得到底面的距离什么时候最大就可以了啊。呃，显然什么时候最大呢？ 因为它是在这运动的，对吧？它越往上应该是，嗯，越高吧，对吧， 是吧？它应该是越往上越高吧，这个因为的是在这个面上走嘛，对吧？ 那最后是怎么求出来它这个这个这个这个长度的呀？ 啊，你可以往下做，你可以做这个的在底面的投影即为 h 啊，你可以做的的在底面的投影即为 h 啊，那这样的话，其实的 h 是 和我的 o o e 是 平行的，因为 o o e 也是高嘛， 对不对？得 h 和 o e 平行啊，那其实就能说明这个 a h， 呃， o e 三点在一条线上啊，三点在一条线上，这是能说明的 啊。然后进而呢，我就可以求出底下这个就 d a o 这个角是多少度啊？这个角是多少度？然后这个角是三十度。三十度啊。嗯， 这个角是是多少度？这个角，哎，这个角应该是，呃，四十五度吧，因为 a o 是 根号二嘛， a o 是 根号二，对不对啊？这这个 a o 一 和 o o 一 都是一嘛？所以这是四十五度。那整个的这个因为它在一个面上嘛？ 是在一个面上吧，所以说这个大角应该是七十五度吧，是不是？哎，大角应该是七十五度的， 所以说最后的这个高应该等于这个根号六乘以它的七十五度啊。三，七十五度。好，大家回去再体会体会啊。这个数算完之后呢，应该是六分之三加根号三啊，咱把这个数分割点轴啊。

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考这种老掉牙的三十头的还原了， 以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三式图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？你要抓的是教材背后的拓展模型， 这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置，有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 柱体啊，常见的柱体，锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分，就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四点线面的位置关系，这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六，一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂。因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积表面积里面的一些分析，全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合，不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么巨型模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三、垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题，辅助线一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角，二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做？甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面， 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略。 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型。胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好，好好下课！

大家好，今天呢，咱们来讲高一寒假公益课的最后一项内容，垂直关系。那么我想说的是，为什么距离上一次公益课咱们隔了这么久的时间？因为过年期间，杨老师在老家山西啊，经常放这个烟花爆竹在村里边， 然后呢声音非常大，所以没办法给大家录课啊，所以杨老师在回去的路上呢，开工的路上，专门找了一家非常啊静谧的酒店，给大家录一下最后一讲的内容。好了，来看最简单的垂直关系，那最简单垂直关系肯定是这个线线垂直，线 线垂直又称为相交垂直和一面垂直。什么叫相交垂直呢？如果两条直线交于一点，这个就叫相交垂直。 而且根据公里二，大家还记得公里二的推论吧，两条相交直线是可以完完全全确定一个平面的，比如说我现在画这个图， m 直线和 n 直线交于点 a， 此时两条相交直线，根据公里二的推论，就可以唯一的确定这个平面 r 的， 这个就叫相交垂直。 什么叫一面垂直？那首先是得一面直线呗，两条一面直线一面直线，既不平行又不相交，你只有通过通过什么，通过平移之后才能够相交？比如咱们还是画一个示意图，看了啊，谁啊？ 嗯，这条直线的话，咱们记成 m 吧，然后呢，再画一个 n， 好 了， 画出来了，画完这个 n 之后的话，这样画吧。那么现在如何确定 m 和 n 这两条一面直线是互相垂直的？这样我们通过平移的方式，比如说通过平行四边形平移平移到相交位置，大概平移到什么呢？ 来，我先画一下吧。对，把 m 平移到 m 撇的位置，平移到 m 撇位置以后，如果 m 撇 和 m 啊，记住是平行的，然后呢，平移之后，此时的 m 和 n 是 垂直的关系，所以这种情况下，咱们就说 m 和 n， 所以 说 m 和 n 这两条一面直线就是互相垂直的，这个叫一面垂直，所以线线垂直非常简单，一个相交垂直就共面的，另外一个就是一面垂直呗，就这两种关系。那么接下来咱们主要讲解的是呃，线面垂直，还有面面垂直呗，就这两种关系。那么接下来咱们主要讲解的是呃，线面垂直，还有面面垂直。首先说定义， 什么叫做线面垂直？如果看图，如果一个平面内所有的直线，所有的直线啊， 你不管画任何一条直线，画一万条，一亿条也一样。如果一个平面内的所有直线和 l 是 互相垂直的，那么此时我们就说线面垂直。什么意思啊？如果用符号语言的话，咱们可以这样来记啊， 对于 r 平面内所有的直线来说，都满足什么？ 都满足 l 垂直于 m， 对 l 垂直于平面 f 内所有的直线，则此时我们就定义 l 垂直于什么？ l 垂直于平面 f， 这个就是定义啊，也可以当成定律直接来用。 好，那么接下来这条直线叫做什么？叫做平面的垂线，它就叫做垂线。那么其实还有另外一个呢，比如说 l 和 f 交于点 h 吧，那此时这个焦点，如果 l 垂直于 f 的 话，线面垂直，这个 h 也叫做什么？也叫做 垂足。好， l 叫做平面的垂线，那平面叫做 l 的 什么垂面？哦，有垂线，有垂面，这个焦点还叫垂足、垂线、垂面、垂足，这三个名词要掌握，那么继续了。 如果一条直线垂直于一个平面，那反过来说，根据定义，那这条直线 l 不 就平行，不就垂直于平面里头所有的直线了，懂了吧？这也可以当成定律直接来用的。就是咱们把最后一行 你直接当成定律来用，当然可以了，满足定义当然符合要求，他是一个定律了。那么继续了。接下来你要注意的是咱们定义里头看第一行啊，第一行是定义 于平面内的任意一条，任意俩字，请告诉我可以改成无数条吗？我清楚的告诉你，不行的啊，不能改成无数条不能改成无数条。为什么？你可能只有一个方向上， 懂了吧？如果这无数条都平行呢？但是反过来就就有可能是不行了，比如说跟着这个 m 一 对吧，跟 m 二，跟 m 三等等等等，都是垂直的关系，但是接下来跟这个 n 却不垂直，这个是不行的，这个清楚吧？也就是说任何直线不能改成无数条直线，这个大家清楚就行了。你可能这个 l 只跟 r 分 某一个方向上的直线是互相垂直的， 必须改成任意啊，任意就是所有的意思，无数，他可能只有一个方向上，这个要注意理解一下。 或者你可以拿什么，或者你可以拿你的手掌，这个平面就是你的手掌，然后这个 l 是 什么？咱们就地取材嘛，你手里肯定拿了一支笔，笔就是那条直线， 你这个手任意四根手指并拢的时候呢？你看你的手指，哎，这是第一根手指，这是第二根手指，这是第三根手指，这是第四根手指，哎，四根手指都跟 l 垂直，但是你的指掌面一定跟 这样一个 l 是 垂直的吗？平面，也就是你的掌面跟你比所在的这条直线一定是垂直吗？这个不一定，这个不一定，不信你试试啊。那么好了，咱们需要补充的是，补充的这两行都可以当成定力直接来用。我还是说一下，有很多隐藏的定力 考试时候是可以直接当成定力来用的，你也要写上。比如说咱们第一个定力怎么说的？过一点，有且只有一条垂线，一条直线跟已知平面垂直，另外过一点， 你这个点啊，可以在 l 上，对吧？也可以不在 l 上，比如说点 a 在 外头，那有且只有过。点 a 有 且只有一个平面跟已知的直线 l 是 互相垂直的，这两个都可以当成定力来用，这个都是表达了垂直关系的唯一性。 那么来看线面垂直的判定定律，判定定律，很好理解了，文字内容是这样说的，如果一条直线跟平面内的两条相交直线 是分别都垂直的，那么此时这条直线和平面互相垂直，那么看图的话很清楚了。比如说，比如说 什么意思？那怎么写这个符号圆吗？如何证明 l 和 f 是 互相垂直的？好说， m 在 f 内， n 在 f 内，你得说明 f 内的两条相交直线吧， m 和 n 还是相交的，交于什么？交于点 a 行了吧？哦， l 不 仅垂直于 m， 还垂直于 n， 必须是相交的啊。然后误推一的关系，最终可以得出结论来，此时 l 这条直线是垂直于平面 f 的， 这个就是如果直线 l 垂直于平面 r 内的两条相交直线 m 和 n， 此时就下面垂直。为什么呢？因为这个其实也包含了我们之前上节课讲的公里二。推论什么？可以确定一个平面啊？ 两条相交直线可以确定一个平面，这是一个推论，是一个公里啊，公里比 定力这样一个层级更高，你只有认可这个公里一，公里二，公里三，你才能接下来研究我们高中的立体几何，才有了接下来的这些定律，懂了吧？好，相交线啊，所以必须是两条相交直线。那么继续了，还有什么推论？看好了啊。 推论是什么？如果在两条平行线中有一条，比如说 l 一 和 l 二 已经告诉你是平行的，呃，其中如果 l 一 是垂直于 f 这个平面的话，我们直接写另外一条 l 二也是垂直于平面 f 的， 这个就是推论，他已仍然可以当成定力来直接 使用。接下来是什么？接下来就是线面垂直的性质定力了。如果两条直线平行，刚才有点类似，但是已知条件和结论稍微改了一下。什么呢？ 如果 l 一 垂直于平面 f， l 二也垂直于平面 f， 那 么我们反过来可以推出来 l 一 和 l 二是互相平行的。那么怎么来理解呢？你也不用去严格证明它， 你只需要干嘛，我一会说一说。证明啊，比较绕，你听懂就行。那我们可以拿两支笔啊，笔你多的是吧？两支笔， 然后这个 r f 是 什么呢？哎，你可以是认为你的桌面桌平面呗，其中的一支笔垂直于你的桌面，另外一支笔也垂直于你的桌面，那你肉眼可见的这两支笔是不是平行的状态？肯定是啊，这个就是线面垂直的性质定律。 那么线面垂直，它的性质定律怎样去证明呢？这个听懂就行了，你可以这样来理解，首先你要清楚你的目标，咱们是证明什么东西？咱们是证明如果 l 垂直于 f， 且 m 垂直于 f， 则这样一个命题啊，则此时 l 就 一定平行于 m， 这是我们的目标。那同一法怎么去证明呢？这样来证明啊？你想，既然 l 垂直于 f， m 垂直于 f， 咱们怎么样？咱们先否定结论，用反证法吗？你先否定结论，最后会推出矛盾来的，要么跟已经学过的知识矛盾，要么跟已知条件矛盾。这个是反证法啊， 那你看好了，如果什么，我这就擦掉了啊。如果 l 和 m 不 平行，你本来正的是什么？本来正的是 l 和 m 是 平行的，对不对？是平行的，那么你否定结论，看能不能推出来矛盾。如果 l 图中的 l 和 m 不 平行， 那么过这样一个 m 和 f 平面的交点。过这个点 b。 注意啊，点 b 是 m 和 f， 肯定会有一个交点嘛，你垂直的话，肯定会有一个交点，那么过这个交点肯定是可以做出来什么的 过这个交点，咱们可以做一个 m 撇儿跟原来的 l 是 互相平行的状态。对，既然你假设 l 和 m 不 平行了，那我们可以做另外一条直线， m 撇儿跟它平行，那么 根据刚刚讲过的这样一个推论，两条平行直线中，这不就 m 撇和 l 吗？ l 既然已经垂直于 f 了，对不对？根据刚刚的我们推论，那样一个定律不就可以直接得出来，所以 m 撇不也是垂直于 f 的 吗？好， 刚学完可以直接用啊。那继续了又，因为两条相交线，对吧？过点 b， 一 条直线跟 l 平行，另外一条跟 l 不 平行，那么它就表明了这是两条相交直线交于点 b， 两条相交直线。根据公里二，咱们是可以唯一的确定这个平面，咱们把这个平面记成什么？咱把这个平面竖着的平面记成平面 b， 此时平面 b 和平面 r 分 交线是 a 这条交线，看清楚是 a 这条交线，那么再接着往后看啊， 因为 m 和 m 撇它都垂直于平面 f， 既然垂直于平面 f 的 话，那 m 和 m 撇肯定垂直于平面 f 内的所有的直线吧。这个不就是线面垂直的定义啊。 那所以说此时 m 和 m 片都垂直于交线，为啥？因为交线它就在 f 内， m 和 m 片都垂直于平面 f 内所有的直线，包括 a 在 内。既然 m 和 m 片都垂直于交线的话，这个跟我们初中学过的这样一个结论，这样一个常识，或者是这样一个定律就矛盾了。 你看平面几何，这是初中学的吧，现在不是立体几何啊，从现在开始画横线这个部分开始，这是初中学的平面几何。在一个平面内，在贝特这个平面内过直线 a 上的一个点点 b， 有 且只有一条直线与已知的直线就是过点 b， 按理来说，在被它平面内啊，被它平面内。好，这是平面几何。过点 b 油，且仅有一 条直线。与谁与直线 a 是 互相垂直的，但是什么？ 但是你却之前推出来的是 m 和 m 撇儿怎么样？不是同一条直线，所以说矛盾了呀？这跟我们这样一个结论，跟这样一个定律是矛盾的。平面结合里头这样一个定律，所以。 所以什么？所以说 m 和 m 撇儿重合了呗，那重合其实就相当于一条线，清楚我的意思了吗？ 是不是？那最后不就你反证法若什么，若他不平行，最后推出来跟这样一个公理是矛盾的，那反证法最后的结论不就代表反证法的假设是错误的吗？因为矛盾了，所以只能是 m 平行于 l 了，最后性质定律就得到了证明。这个听懂就行，你要想掌握你就掌握， 实在掌握不了，至少保证你能听懂。那么接下来啊，由这个同意法，如果你真的想深入研究一下的话，你可以用同意法证明一下，过一点 与已知平面垂直的直线只有一条，这个呢，跟 l 就 没什么关系。这个我稍微提示一下，你自己来写过程啊。 过点 b 怎么样？要过一点与已知平面只有一条，那你怎么样？那你反过来说呗，反正法假设过点 b 有 两条，一个 m， 一个 m 片。用同样的这样一个统一法，最后你会得出来结论，其实只有一条的，也就是说 m 和 m 片其实是重合的， 懂了吧？过程自己写啊。接下来我们做一道题啊，立一。这个立一的话挺有意思的啊，涉及到了垂足，看一下 已知 p， 为什么 p 为三角形， a b 往外的一点就是个平面外的一点，那此时 p a b c， 那 就是个四面体或者三棱锥了， p o 是 垂锥底面 a b c 这个平面的 垂足为点 o， 并且此时 pa 垂直于 bc 一 面直线垂直啊，并且 pb 也是垂直于 a c 的。 好，原来是这么回事，那么现在问什么呢？现在问的就是，首先求成第一点吧，为什么 bc 是 垂直于平面 a o p 的？ 有什么作用？首先啊，有一个已知条件， p o 垂直于谁？垂直于整个底面 abc 吧，并且 bc 是 在这个平面 abc 里头的。 好，线面垂直。那线面垂直的定义是什么？不就垂直于平面里头所有线，包括 bc 在 内吗？所以现在你很轻松的已经证明完其中的 bc 和 p o 已经是互相垂直的了，已经一条了吧。那么接下来你很轻松的已经证明完其中的 bc 垂直于 pa 吗？ 所以 bc 垂直于平面里头两条相交直线，这不就是线面垂直的判定定律？但是你应该写全谁啊？ p o p a 是 相交的，而且 p o 和 p a 是 平面 a o p 里头两条相交直线，这不就行了呀？好， bc 垂直于平面里头两条相交直线，所以 bc 就 垂直于平面 a o p。 好 了，结束了，这个就是第一问，非常简单，咱们来看第二问。 第二问的话，现在让你证明什么东西啊？哦，让你证明一下这个 pc 垂直于谁？ pc 还垂直于 ab， 为什么这两条一面直线是互相垂直的？来吧来吧，咱们这样来啊， 看第二问。首先， a o 是 在哪个平面内的？ a o 是在平面 a o p 内的，那么根据括号一，此时 b c 不 就垂直于平面里头所有的直线，包括什么？包括 ao 在 内吗？所以现在你看了 b c 已经垂直于 ao 了，同理啊，你根据这个 p b 垂直于 a c， 可以 推出谁和谁垂直来，肯定可以垂出来这个 a c 和 b o 是 互相垂直的。 b o 原来是 a c 上的高， a o 也是三角形啊，另外一个高，两条高的交点叫什么？哎，那不就很简单了，所以说点 o 是 什么心？点 o 为三角形 abc 的 垂心。 那垂心有什么特点呢？垂心，他是三条高的焦点，所以不仅 a o b o 都是高，其实谁还是高？ c o 也是高， c o 是 ab 变成的高， 所以这个是根据垂心得出来的。这个题只要得出来垂心后边就非常简单了，行了吧。好，那么接下来跟一，嗯，与括号一同理。这个我就写了啊， 完全可以同理啊，因为咱们现在又得出来另外一条嘛，就这个 co 垂直于 ab。 嗯，那么既然如此的话，咱们继续写吧。你看 po 垂直于 ab 吧。对啊， po 垂直于底面，那么 po 就 垂直于底面所有的直线，还有谁？还有这个 co 也垂直于 ab 吧，这是刚刚证明完的吧，所以 ab 垂直于平面里头两条相交直线。 那剩下的，那写清楚吧，此时 po 和 co 是 相交的吧，并且 po 和 co 都怎么样？ po 和 c o 都是在目标平面 poc 里头的， 所以接下来我们就可以说 ab 垂直于平面里头两条相交直线，所以就垂直于这个平面 poc。 那么又因为 p c 在 平面 p o c 中，所以 ab 不 就垂直于 pc 了吗？因为线面垂直，所以啊，这条直线 ab 垂直于平面里头所有的直线，包括 pc， 所以 就证明完了。行了，这是括号二啊， 听起来有点绕，实际上每一步都是有理有据的。这道题的括号二比较麻烦，就是很多人没有想到垂心，如果想到垂心的话，就是一个简单题，那么来看第二个比较难的，更难的，面面垂直。这个我说一下啊，这个面面垂直有两种定义，其中一种定义 就是我写的这种定义。另外一种呢，比如说就拿现在人叫 a 板上的定义，他是通过什么先引出二面角， 然后呢再根据二面角 为直角来定义什么来定义面面垂直，这是垂直啊，就是第一个平面垂直于另外一个平面，我就简写了，懂吧？这两种定义它本质上都是一样的， 但是呢，咱们人家 a 版就是这个，先引出二面角这样一个定义的话，那必须先有二面角才有面面垂直。但是现在我们先不讲二面角，二面角放到春季角，所以我们用另外一种定义怎么定义呢？其实也还好，首先如何定义这个是 r 和这个平面啊？ 躺着的这个呢，是贝特这个平面，然后 alpha、 beta 这两个平面是相交的，然后于第三个平面都是垂直的，也就是说已知 alpha 垂直于伽马，已知贝特也垂直于伽马。 那么并且现在看好了啊，又这个平面与第三个平面相交所得的两条交线， 那两条交线，比如说 alpha 跟伽玛交线是谁？交线是 ab， 比如说 beta 跟伽 玛交线是谁？ beta 跟伽玛交线是 b、 e， 这两条交线如果互相垂直，也就是说这种情况下，你再加上一个 ab 垂直于 b、 e 的 话，这个时候我们就可以五推一，可以定义 alpha 垂直于 beta 了，这个就是面面垂直的，就是这样一个定义 啊，它就是这样一个定义，清楚了吧。那么现在我们来看看面面垂直的判定定律啊，也很好说。好， 这个是 beta， 你 看，首先由线面垂直 ab 这条直线垂直于 beta， 那么过 ab 这条垂线的所有的平面都垂直于贝特了，这个就是面面垂直的判定定律。简单来说，就是由线面垂直推出来面面垂直，只要有 ab 这条垂线了，那么过这条垂线所有的平面都是垂直于贝特的。好，这就是判定定律。这个也好理解吧， 那么咱们接下来做一道题，巩固一下，很简单一道题，立方体啊。立方体大家都知道呀，现在证明图中的 a c c 一 a 一 这个平面和 d d 一 b 一 b 这两个平面是互相垂直的，怎么来？首先啊， 我就这样写吧，写上证明俩字。首先在立方体中， 根据立方体的性质，那肯定咱们是有 a 一 c 一 垂直于 b 一 d 的。 哎，肯定的嘛， a 一 c 一 b 一 d d， 这个是正方形对角线互相垂直的意思。还有谁？还有这个 b b 一 垂直于平面， a 一 b 一 c 一 d。 对 啊，测棱肯定垂直于底面嘛，这也是立方体的性质， 所以说现在我们就可以说 b b 一 垂直于 a 一 c 一 了。对啊，因为线面垂直，所以这条直线就垂直于平面内所有的直线，包括 a 一 c 一 在内。其实我觉得接下来你应该会了吧，谁呀？我画一下吧。 首先，红色的这两条线是两条相交直线，准确来说是一个平面里头两条相交直线，那么 a c 一 这是什么呢？ a c 一 垂直于一条，两条垂直于平面里头两条相交直线啊，那么清楚了吗？则 此时我们就可以说， a 一 c 一 垂直于两条相交直线，那么就是垂直于平面 b b 一 d 一 d 了吗？好，有了线面垂直，离面面垂直就不远了，你只需要再多写一行，写什么？ 因为 a 一 c 一 过这条垂线的所有的平面。哪个平面？哦，这个垂线是在平面 a a 一 c 一 c 中的，那么接下来，根据这两条，是不是可以推面面垂直啊？所以说，平面 a a 一 c 一 c 就 垂直于 平面 b b 一 d 了。好了，结束了，继续来看面面垂直的性质定律。已知图中的 alpha 和 beta 是 互相垂直的，那么能推出什么来？文字性的表述， 如果两个平面互相垂直，其实你理解的时候完全可以这样吗？好说吧，拿两个笔记本嘛，其中一个笔记本是 alpha， 另外一个笔记本是 beta， 你 这样来表示一下，你可能就有这样的空间感了啊， 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线则垂直于另外一个平面。什么意思啊？其实你看图，已知 alpha 垂直于被它性质定律肯定是已知面面垂直嘛，然后呢？ alpha 被它有条交线，是 a 在 f 平面内的直线，如果垂直于交线，垂直于交线，则垂直于平面。哦，简单来说，则垂直于交线，则垂直平面。你可以写这么一句话，垂直于交线，则垂直于平面。这个就是 面面垂直的性质定律。那么这个性质定律怎么去用呢？我们来做一道题啊，上面这个图是折叠以前的，下面这个图呢，是折叠之后的，折叠之前是一个平面图形，折叠以后呢，是一个立体图形。所以要分开来看 折叠之前的 abcd 啊，人家是一个直角梯形，而且这个直角梯形咱们可以先研究一下，一会直接用结论吗？什么看？呃，首先这个 bc、 d 它是一个四十五度。好，另外它直角梯形，直角梯形的话，嗯，那继续吧，这是九十度吧，那么还有吗？还有这个 a、 d 是 平行于它的啊，平行于它的。呃，那么继续啊。还有一个就是 a、 d 的 长度是正好等于 ab 的 长度的。那我觉得就更简单了，这两个角相等不用多说吧，这个是根据 a、 d 等于 ab， 那 就是等边对等角得出来的。 另外这两个角差为什么相等啊？对不对？所以这两个内错角相等，所以说两个角差 加起来是九十度，那脚叉不就是四十五度吗？所以咱很容易推，根据平面几何的知识，咱们很容易得。哦，这是四十五度，这也是四十五度。哦，这还是四十五度，这又有个四十五度。所以咱们可以认为这个直角梯形是由一大一小 a、 b、 d 和 b、 c、 d 两个等腰直角三角形拼接成的。 呃，直角题型理解了吧，可以这么认为。那么继续了，现在沿着 b、 d 折叠折叠起来之后， a 点所在的位置啊，空间感了， a 点 a 撇就是点 p， 现在形成了一个三棱锥， p 啊， b、 c、 d 这样一个三棱锥。然后折叠之后呢，咱们保证折叠之后的平面 p、 b、 d 所在的平面 和 b、 c、 d 所在的平面是互相垂直的，那么现在主要是看第二个图，毕竟是立体几何嘛。请你正题问，为什么 p、 b 是 垂直于 c、 d 的？ 看第二个图啊，很好说嘛，首先 由平面几何的知识，或者你大概正一正啊，不用不用写，几行都能正出来的。首先 b、 d、 c 好 说吧， 等于九十度吧，没问题，也就是说这个 c、 d 是 垂直于 b、 d 的。 看这个图啊， c、 d 垂直于 b、 d 还有吗？继续，你说面面垂直要要出什么？你先写，因为平面 p、 b、 d 垂直于平面 p c、 d， 并且交线是谁？交线是 b、 d。 那 行了呀， 两个平面互相垂直，一个平面的直线垂直于，所以后边不用说了吧。好了呀，垂直于交线，这就是交线啊。垂直于交线，则 c、 d 垂直于另外一个平面。哪个平面呢？显然是 p、 b、 d 这个平面，又因为 p b 在 不在里头，你肯定在这个平面 p、 b、 d 里头啊，所以 c、 d 就 垂直于平面内所有的直线，包括这个 p、 b 在 内。好，第一问不就正完了吗？行了吧，正完了，那继续来看第二问，第二问怎么正？证明这两个平面是互相垂直的？一个是 p、 b、 c 好像有点难，另外一个是 p、 d、 c， 其实一点都不难看。好了，你说最终你怎么去证明这个面面垂直？肯定是先通过线面垂直来证明面面垂直的，对不对？关键是 我们这条线面垂直是找平面 pbc 里头的线，还是找平面 pdc 里头的线？这个很重要。来吧，我说一下吧，刚才我们已经在平面里头正过 ab 垂直于 ad 了， 现在 a 点就是 p 点，那不就是 p、 b 垂直于 p d 的 意思？哎，原来是这么回事啊，你要想到这一点你就清楚了，主要看的是 p b。 首先因为 p b 垂直于 p d 吧。 对啊，等于直角三角形啊，这个很容易正嘛。呃，然后咱们继续啊，反正这个都很好说。然后 p b 垂直于 c d， c d 和 p d 交于 d。 所以 说 p b 既然垂直于平面里头，两条相交直线，所以它就垂直于 平面 p c d 既然垂直的话，又因为 p b 在 什么里头？ p b 在 平面垂直好在这个里头啊，根据线面垂直，不就推出来面面垂直吗？所以平面 p b， c 垂直于 平面 p d， c。 好 了，这就整完了，很简单一道题啊。行，现在大家应该学会了线线垂直，线面垂直，还有面面垂直这三种位置关系了吧，这些定律一定要好好看一下，尤其是一些推论，咱们也可以当成定律来直接用的。那么今天我们就讲到这，分享课堂知识，感受数学之美。我是安方老师，下节课再见。

本期视频来看高一数学立体几何章中涉及平面图形斜二侧画法、面积结论的深度讲解。看这道例题，如果一个水平放置的平面图形的斜二侧直观图是底角为四十五度，上底为一，腰为根号二的等腰梯形，则求圆图形面积。 那么首先我们先画图吧，先画他的斜二侧直观图，告诉了上底是一，底角四十五度，幺是刚好二。那可以根据等腰、直角、三角形的性质，我分别求出底边、下底应该是三个一对吧，高呢？应该也是一，这是它的直观图。 咱们有了斜二侧的直观图，如何去画圆图形呢？正着画怎么画？已知圆图形如果是直角，那么变成斜二侧的话，就变为四十五度斜向上啊，这么画， 那现在反过来呢？直观图中出现了左侧的四十五度角，那我画成圆图的话，应该给他掰直了，给他掰成直角，所以我建立一个坐标系，坐标系中，水平方向长度不变，下底依然是三，只是这个高 高原来是斜向四十五度，现在是垂直的，原来是腰长是根号二，那扩大二倍以后，原图形的高就是二倍，根号二，下底依然是三，那上底呢？水平方向依然是一，最后我再把另外一条腰连出来，就是这样子。 所以在原图形中啊，这是一个直角梯形，那直观图变成了一个等腰梯形吧。好，咱们下面分别算一下原图和直观图的面积。先看原图面积，都是利用梯形的面积公式， 二分之一高乘上底加下底等于四倍，刚好二。好，那这道题答案就出来了。然后咱们再看一下，看这道题背后的一个深层次的结论， 我再算一下左边这个直观图的面积，也是上底加下底乘以高除以二，这个发现算完了，直观图面积是二。咱们得到一个重要结论，任何一个平面图形， 它的直观图的面积，也就是斜二侧的图形面积和它原图的面积比永远都是一比二倍，根号二。 大家如果在做小题的时候遇到这种题，可以直接套用这个面积比例公式，就可以直接得出来答案，而不用再去反化它的原图或者是直观图了，大家理解了吗？

大家好，今天呢，咱们继续来讲高一寒假同步公益课的第五讲，内容就跟立体几何有关的平行定律。当然在讲平行定律还有垂直定律之前，我们必须先了解立体几何集合的语言。 首先立体几何里头有点线面吧，比如说点 a 在 直线 l 上，咱们大概画一个图，这就是点 a 在 直线 l 上的意思。那如果说点 b 不 在直线 l 上，又怎么说呢？有专门的符号语言， 点 a 在 直线 l 上，咱们就借助这样的属于符号，那如果不在，哎，如果点 b 不 在直线 l 上的话，咱们就借助不属于的符号就可以了，所以它是集合的语言啊。 好点的话是作为立体几何里头点线面最基础的元素的，所以用属于符号。那么继续来看第二个，还有什么 点在平面内一样的吗？点动成线，线动成面，那么点也是最基础的元素。那此时咱们画一个图吧， 比如还是看最下边这个图，点 a， 它呢是在平面 alpha 里头的，但是点 b 不 在 alpha 里头，这个时候借助什么？还是这样的属于符号？点 a 在 平面 alpha 里头，点 b 不 在平面 alpha 里头，这个还是很轻松的。那么继续来看第三点，点完了之后，继续来看线， 直线 l， 如果在平面内，我先画一个图，平面的话，直观图通常都是用四十五度的角的这样一个平行四边形做的啊，当然别的角度也行，这个不是特别严格来，比如说直线 l， 直线 l 在平面 r f 内吧，但是你要注意，这个 l 是 点的集合， r f 也可以认为是点无数个点组成的集合，那所以说点，所以说这个直线 l 在 平面 r f 内，咱们就不要用属于符号了，因为都是点的集合嘛。集合之间咱们应该用什么？用类似的子集符号 好写上它。那么大家现在可能就有一个问题了，老师啊，我们集合跟集合之间，呃，高一学习的时候，高一上学期学习的时候，明明是用的是什么？比如说 m 集合， 是 n 集合的什么这样一个子集，那比如说还有什么集合呢啊？ q 集合，它是 n 集合的什么？哦， 榛子极，这两个符号还是有区别的。榛子极就 m， n 可以 相等，但就紫极符号吧。 m， n 可以 相等，但是榛子极符号的话，这个 q 比 n 的 范围始终是要小一些的。 那这个时候为什么直线 l 和谁啊？为什么直线 l 作为点的集合，平面 r 也作为点的集合，它不区分这样一个榛子极或者说紫极符号呢？原因很简单，原因很简单，知道为什么吗？好说，好说 什么呀？因为线面之间的关系永远只有真子极啊，对吧？线的范围始终比面的范围要小，他不可能。既然不用做区分的话，咱们就不需要再写什么真子极或者子极符号作为区分了，直接写躺着的 u 就 行，懂了吧？好，这个就读作什么 l 在 这样 r 分 内， 那当然了，如果直线 l 不 在 f 内的话，分两种情况吧。哪两种情况？看第四种啊。好，这个还是平面 f 有 可能是平行的，也有可能是怎么样的呢？我再画一个不同的颜色吧。 比如说 m 这条直线，它跟点 a 呢？跟这样一个 m， 这条直线跟 f 呢？交于点 a 吧，那这种情况呢？咱们 m 也是不在 f 里头的， l 也是不在 f 里头的， 所以一定要注意，只要直线上存在不在平面 f 里头的点，也就是平行或者说相交的关系，那我们都记作这样一个这样一个符号，懂了吧？这个怎么读呀？画圈部分读作直线 l 不 在 f 平面内。 那继续来看第五种情况，第五种情况的话，就是你看直线 l 和 m 是 有可能相交的，如果相交的话，必然会有交点啊， 那比如说这是 m， 这是直线 l， 怎么记？咱们用交集符号不就可以了吗？ m 是 点的集合， l 这条直线也是点的集合，那 m 和 l 取交集符号，它交集不就是点 a 的 意思吗？懂我的意思了吧？通常情况下，咱们是不写这样一个括号的啊， 通常情况下就直接写点 a， 写后边这样一种情况就行了，不写这样一个集合的符号，懂了吧？好，这个注意一下就行。那最后呢，如果两个平面，两个平面相交的话，咱也可以把这个示意图给画出来，比如这个平面是 r f， 然后呢，这个竖着的平面呢？是 beta， 此时 alpha 和 beta 它是有一条交线的，什么交线？就 a 这条交线，那怎么记 alpha 和 beta， 它有一条交线，就是直线 a 就 行了，清楚了吧？好，这就是咱们借助集合的语言 来表示点线面之间的这样一个重复的关系，所以要清楚。那么接下来我们就要先介绍一下三大公里了，关于这样的立体几何，三大公里的话，在高考里头直接考察的非常少，但是它作为定力的基础。公里啊，公里，什么叫公里？ 哦？咱们欧式几何你得先了解这三大功底，功底就是必然成立，才有了这样一个理论，对吧？才有了这样立体几何的内容，那么功底有了之后，才有了各种各样的，比如说平行定力啊，垂直定力等等，所以功底是最基础的，你必须要掌握的啊。那好，第一个， 如果什么？如果一条直线上的两个点对两个点就能确定一条直线吗？所以，哎，这此时这条直线上所有的点都在。其实你可以用另外一种方法看了啊，如果用符号表示的话，咱们看图，点 a 在 直线 l 上，点 b 也在直线 l 上， 那么点 a 在 平面 f 内，点 b 也在平面 f 内，那此时指整个直线 l 都在平面 f 内了，懂我的意思吧？所以一定要注意啊，点和线，点和面，咱们用属于或者不属于的符号， 但如果是直线和平面，一定要用这样的类似的子极。符号清楚了，图的话也画的非常清楚，就不再多说了。那么接下来我想说的是， 如果一条直线跟一个平面有公共点的话，那只有两种情况，一种情况就是公共点只有一个，要么就是公共点有无数个呗。那我们图中画的这种情况就是直线跟 f 有 无数个公共点，因为直线就在 f 内。那另外一种情况，对啊，你画你画一个情况嘛？ 对，这部分用虚线来表示啊，比如说直线 m， 直线 m 跟 f 这个平面相交，比如说交于什么点？哎，交于点 c， 清楚了吧？那这个就可以了呀。那这种情况就直线 m 跟 f 这个平面只有一个交点，好来看公里二， 公里二的话很重要，就是如何确定平面。怎么确定平面呢？来不贡献的三个点，确定一个平面，在空间中不贡献的三个点，确定一个平面，那么两个点行吗？ 两个点肯定不行，原因很简单，就跟你翻书的时候一样，书籍，书籍上知道吧？就书 这个叫书籍，这个知道什么叫书籍吗？这个叫书籍啊，你书籍上，你翻开书之后，比如说右边是这一面， 你翻开书是这一面，懂了吧？如果只有 ab 两个点的话，咱们可以确定无数个平面，这样才导致你翻书翻开以后能翻开一定的角度，懂了吧？所以两个点是不能确定一个平面的，那得几个 a 三个点才能不贡献的三个点才能确定一个平面，那么图像说的很清楚了。 然后符号呢？符号好说呀， abc 三点不共线，所以 abc 可以 确定一个平面，咱们把这个平面记为 f 就 可以了，那么咱们可以根据这样一个公里二呢？其实还有很多推论，也可以当成定力来用。我们来说一下，首先要说的就是 你说直线是几个点，确定一条直线，那肯定啊，不管是平面里头还是空间里头都是两个点，两个点可以确定一条直线，但是平面呢？平面得三个点，所以平面比直线不就多了一个维度吗？对的，那么接下来就是推论了， 这些推论啊，都可以，不管是推论一，推论二、推论三，都可以当成定力直接来用，或者当成这个公理直接来用，你不用说理由的。 那为什么叫推论？首先第一条经过一条直线，都是空间里头经过一条直线和直线 y 的 一点，可以确定一个平面，比如说这个平面是 f， 哎，为什么直线 l 和点 a 可以 确定呢？ 其实跟公里公里二完全一样的吗？ abc， 这不还是不共线的三个点吗？懂了吗？不共线的三个点 abc 确定了平面，所以它本质上还是不共线，三个点确定平面就是公里二。所以第二个推论，你当成公里来用的也可以。怎么回事啊？两条相交直线确定一个平面， 比如说这两条相交直线，一个 m， 一个 n， 哎，那他跟公里二究竟有什么关系？好说， 一个点 a， 一个点 b， 一个点 c a， 不 共线的 abc， 这三个点对不对？不共线的三个点就确定了平面 f 了，所以它其实本质上还是公里二。所以第三个的话，你自己我觉得都会推了什么？平行，两条平行线，空间中两条平行线，比如说 l 一 和 l 二 怎么样？此时是平行的，所以我们说 l 一 和 l 二就可以确定平面 f 可以 唯一的把这个平面确定下来，本质上还是跟谁公里二一样的，你找一个点，再到 l 二上找两个点，这不还是 abc 就是 不贡献的三个点确定一个平面吗？咱们把这个平面记为 r 就 行了，所以记住了公里二跟这几个推论都得知道。那么好，公里三，公里三用的最多的地方是什么呢？用来证明 贡献的时候，这个公里三是用的非常多的。什么贡献啊？就是好几个点证明贡献的时候， 那为什么？一会咱们做一道题，你自然就清楚了哈。咱们先来看如果不共线的两个平面，呃，如果不重合的两个平面啊，有一个公共点，那么这个公共点啊， 怎么样？那么他们就这两个平面，尤其只有一条过这个点的公共直线，那不就是交线吗？这个公共直线叫什么？嗨呀，叫 alpha beta 的 交线，也就是说 alpha beta 有一个公共点了，那公共点必须在交线上，懂我的意思了吗？哦，原来是这么回事啊，所以下边其实也说的很清楚，如果两个平面，你看 r f 和 beta 有 写只有一条公共的直线，那不就是相交的意思吗？相交于直线 a， 然后呢？哎，那怎么说呀？则这两个平面相交，这就是相交的关系， a 就 叫做 r f 和 beta 的 这条交线，懂了吗？ 那么符号语言就图中说的很清楚了，那符号语言怎么来说这个公里三呢？这样来说， alpha 就是 a， 记在 alpha 内，你可以分开来写， 点 a 呢，也在 beta 这个平面内，然后你改，可以改一种方式吗？ 好，则什么？则点 a 一定在这个交线上吗？你完全可以这么来记，用来证明共线的是不是？咱一会来做题你就知道了。 来吧，来说一说共面啊。共面的话好说，你比如说几个点？三个点啊，四个点啊，五个点啊，六个点啊，他只要在同一平面内，我们就说共面。这个太好了，我们来做第一个题，利啊，立方体，正方体，一个图， 它让你证明什么呢？证明图中的 c 一 点， o 点和 m 点， m 点不用多说了，就是面对角线， c 一 点是顶点，然后 o 点的话，它是这样连接体，对角线 a e c 连啊，之后和谁啊？和这个平面交于谁的？交于这个点 o， 它是这么回事，所以我觉得这个题应当是非常简单的，但是我要给你画一个东西， 好了，没问题了吧？这个是一个平面吗？为什么是一个平面？你，你 a a 一 和 c c 一 是平行的，当然是一个平面了。那我们把这个红色的平面，呃，就记。为什么我为了方便讲解啊， 我把这个红色的平面 a a 一 c 一 c， 呃，我就记为平面平面 r 吧，可以吧？然后为了方便的话，我把另外一个要讨论的平面呢？我画一下。这个就应该用虚线了啊，挡住的线，你用虚线来画 好，那这样一个蓝色的面呢？也就是说平面 c 一 d 一 b 啊， d b c 一 吧，他写的 d b c， 那 咱就写 d b c d b c 一， 这个用什么呢？用 b t 来表示吧。 那现在我觉得这个题就非常简单了，那你看嘛，根据题目中的意思看好了。 c e o m 它是不是在平面 f 内啊？是啊，那根据题目中的意思， c e o m， 它是不是也在谁，也在贝特这个平面内呀？既然它既在贝特这个平面内，又在 f 这个平面内，那不就是在 f 和贝特的交线上吗？懂了吧，人家的交线是谁你，你写不写都行啊，你直接写就行了啊。 所以 c e o m 在 什么？在平面 r 和平面杯的交线上， 那两个平面相交的话，它只有一条交线的呀，是唯一的。所以咱们这个时候直接说 c e o m 三点共线就可以了，很简单，一道题，那么第二道题也是立方体的，这个就有一定难度了， 怎么回事呢？就立方点，就 m 点啊，是棱的中点， k、 l、 e 啊， f 啊，反正他呢？其实我想说的是啊，你画出来以后，这东西很特殊，他是个什么？这玩意是个正六边形， 就为什么这个红色部分他是一个正六边形呢？这个，这个跟他这节课内容没有关系啊，你可以自己考虑一下，咱们正一下这六个点，就是 h、 g、 f、 e、 l、 k 这六个点为什么是共面的？就在同一个平面内。 嗯，怎么正呢？来吧来吧，我来说一下啊，我们先先连接图中的 k、 f 于谁啊？于这个 he 吧。嗯，对，都连完了。嗯，那么连完之后的话，我想再连接一个什么呢？我再连接一下这个 b、 d 吧，因为我想根据平行的传递性来做一下呢。那么接下来写过程了啊，首先 e 点和 l 点都是对应的终点，那，那既然说是终点的话，咱们根据中位线的性质，所以 el 是 谁的中位线啊？它实际上是 b、 d 的 中位线。 那好，那继续来啊，又因为在什么里面？又因为在这样一个 矩形 b d， d 一 b e 中啊，在这样一个矩形中，然后这个 k f 和谁？ k f 和 b d 也是平行的关系。哎，也就是说这个图形我我写写的清楚一些吧。 b d， 它 对，它实际上是一个矩形的啊，根据正方体的性质很容易正的。那么接下来根据传递性不就可以得出来 el 和谁？ el 和 kf 是 平行的两条平行直线，是不是可以确定一个平面啊？所以咱们就记这个平面 e、 f、 k、 l。 对 啊，它是继承什么呢？继承一个平面 f 吧，为了方便的话，我给你画一下这个图红色部分啊，就是咱们的平面 f， 这个都很好说啊， 但是图中还有，我再画一个蓝色部分吧，请大家看好了， 能看出来吧？哦，这个地方也就是 k、 l、 e、 h， 它是一个蓝色的平面，它这个它也是同一平面，这个怎么去写呢？你只需要写同理就行了，因为道理确实是一样的，你找中位线，然后根据传递性嘛，同理咱们可以说明这个 k、 l、 e、 h， 然后这四个点呢， 它是确定了一个平面的，然后这个平面也就是图中这个蓝色的平面，咱们记为平面 beta， 这个清楚吧。然后接下来请大家看一下啊，这个平面 alpha 于 beta 里头都有什么？ 都有三个不共，就是三个不共线的点呀。三个点？哪三个点呀？你应该写清楚啊，三个不共线的点 都有 k 点、 l 点和 c 点，哎，三个不共性的点人家唯一确定的。所以我想说的是， alpha 与 beta 这两个面是什么面？是同一个平面，它俩是重合的状态， 理解了吧，既然重合的话，我们可以得出来的结论就是，哎，它的 h 点啊。哦，就红图中这个红色的顶点和蓝色平面的顶点都是都是在同一平面内的 h、 k、 l、 e、 f、 o， 原来它是共面点，咱们把这个面写成平面 f 不 就行了吗？ 那接下来还是同理，有人就要问了，老师，点 g 怎么说？点 g 好 说你大不了再连接一下啊，这个 g l 呗。所以同理咱们可以说明什么呢？点 g 它实际上也是在平面 f 里头的，所以咱们最终就可以说六个点 共面了，都在哪个面里头？都在平面 r 里头呗，就结束了，那么过程你自己来说。那最后咱们总结一下啊，其实你证明共面的话，有以下这两种方法，主要是哪两种呢？首先第一种就是先确定一个平面， 然后证明其他的所有的元素，比如说点啊，线啊都在平面上。然后这道题用的是间接法，先证明这些元素分别在 f 上，又在贝特上，然后再证明 f 和贝特怎么样的，这两个平面是重合的，然后就可以说明这六个点共面了，用的是第二种间接法。 那么接下来咱们就要正式讲平行的定义了，但是讲平行的你之前，你得先知道什么是平行，比如说什么平行线怎么定义的？在空间里头 也是平面内，同一平面内不相交的两条直线，他就是平行线，这是平行线的定义。 那平行公里的话，这个是什么？过直线外一点，有且只有一条直线，跟这个直线平行，这是一定的，这是一定的啊，有且只有一条直线啊，跟他平行没问题。那么还有什么？还有空间中平行线的传递性，也就说 a 平行于 b， b 平行于 c， 不 管在平面几何还是空间几何里头，我们都可以推出来 a 是 平行于直线， c 的 好，这是传递性。那么最后还有一个等角定律，这个在大体里头是可以直接用的啊，我告诉你是可以直接用的。那什么叫等角定律呢？空间中啊， 如果有两个角，它的两组边分别是平行的，那么这两个角互补或相等。但如果你再加一个性质条件， 他一个角的两边和另一另外一个角的两边除了分别平行之外，他这个方向就是射线的方向，他还是相同，那这个时候两个角就不可能互补，就只能相等了。那画个图，大概就是图中这个样子，咱们编成一道题来说一说，就已知啊， 图中 a 撇 c 撇跟 a c 平行了啊。然后还有已知图中这个 a b 撇跟 a b 也平行了。现在问你，哎，图中这个角一和角二，这这俩角平什么？它就是相等的啊。 我觉得有一点，如果在平面里头，应该不用杨老师正了吧，因为在平面里头很好正嘛，你只需要用 r 和这个角。对啊，同位角啊，然后再减去贝特这个角， 所以角一就等于角二了。所以平面几何里头肯定成立，咱们主要是研究空间几何里头。注意啊，这是一个空间几何体，你至少应该把我做完辅助线以后，这这玩意看成什么东西？看成一个三棱柱吧，斜三棱柱对不对？嗯，具体 怎么去正呢？在空间几何里头，我来说一下啊，咱们分别 什么分别？在射线上取 a 撇 e 撇等于 a e， 然后顺便呢，在射线上咱们也取这个 a 撇 d 撇等于 a d。 好 了，也就说图中，哎，这两条线段一样长， 图中这两条线段一样长。我觉得你应该知道了，你只要证明上下这两个红色的三角形，一个是 a e d， 一个是 a 撇 e 撇 d 撇全等，就可以证明角一为啥是等于角二了吧。对，咱们证明三角形全等，那问题就在于， 这玩意他他他凭什么这个 e 撇 d 撇就等于 e d 啊？来吧，好说， 首先根据题目中的要求，我 a 撇一撇不仅是平行的，现在我还我还想等了，是不是出现了一个什么平行四边形？对，这个平行四边形，咱们就写成 a 撇 a， e， e 撇。 那平四边形最大的特征是什么？哎，他的对边是平行的，所以 a a 撇平行于 e、 e 撇。那同理同理我就不说了啊，也是同理，咱们还可以说明什么 a、 a 撇是怎么样的平行于 d、 d 撇的。那么根据平行线的传递性，所以图中的 e 一撇怎么样？其实你除了平行之外，是不是并且相等啊？平行不仅具有传递性，等号更具有传递性了，所以我们直接写图中的一一撇，平行且等于 d、 d 撇。天呐，出现了一个平行四边形， e， e 撇 d 撇 d。 所以 请你告诉我，图中的 e 撇、 d 撇是不是等于一底？是呀，因为平行四边形对边就相等，所以根据 三角形边边边的判定，定离三角形 a 片、 e 片、 d 片是不是全等于三角形 a、 e、 d？ 是 啊，根据的是边边边三组边分别相等，所以是不是剩下的角 b、 a、 c 就 等于角 b 片， a 片、 e 片了？对，用的全等，所以这个题其实也不难。 那么接下来，哎，什么空间中两条直线的位置关系？两条直线位置关系的话，除了刚刚说的平行还有什么？ 还有平行其实是一种共面的关系。为什么呢？因为咱已经说过了呀，公里二的其中一个推论，如果 l 一 平行于什么？平行于 l 二，那此时 l 一 l 二肯定可以把这个平面完全给确定下来，两平行直线确定一个平面，所以就是共面的意思。那其实还有 有可能人家是相交啊，比如说 l 一 l 二怎么地相交于点 b？ 那 好，此时 l 一 l 二两条相交直线也是公理二的推论，也是可以确定唯一的平面 r 的， 这个都叫做公面，是因为它们可以确定唯一的平面。 那意面直线怎么说呢？意面直线，其实我更加推崇的是老教材上定义。以前老教材上是这么来定义的啊，比如说直线 a 和直线 b 啊，为什么是这样一个？ 比如说这个就是直线 a 吧，这个是直线 f， 那 直线 b 的 话，这样来，画好 这个的话，写成点点 m 吧，我就这样来吧。那这样来，那以前的老教材上怎么去定义这样的意面直线呢？意面直线就是既不平行又不相交的直线，就叫意面直线，这是用排除法来定义的。我觉得这定义方法不太好。真正的定义是这样的啊，你不可能找到一个平面， 让 a 和 b 都在同一平面内，哎，这个就叫异面直线。异面就是 a 和 b 永远不可能放到同一个平面内。那老款教材它的定义是这样的， 直线 b 和 r f 交与点 m 是 相交的关系，然后 a 呢，它是在这个平面 r f 里头的， 此时你还得加上一句什么？如果说此时的点 m 他 不在，什么不在直线 a 上，则我们就可以下结论了， a 与 b 这两条直线是意面直线。意面其实也是一种位置关系，你写意面也行，写意面直线也行， 清楚了吧。那好，原来是这么回事，那如何去定义一面直线角？好说，两条一面直线的夹角，不就一面直线角吗？可是一面直线没有相交的位置，怎么定义平移嘛？你比如说非常能经常借助的， 你把它平移到 a 一 b 一 的位置，其中 b 一 和 d 重合了，经常利用的是平行四边形， 对不对？平移过来，此时平移之后的相交了之后，他这个交线，他这个夹角呢？比如说角一，他就是一面直线角或者一面直线角的补角了。 嗯，因为相交之后呢，两条直线相交，它会出现四个角吗？角一角二是锐角，角三角四是钝角，那肯定角一角二才是一面直线角。我们规定它的度数，它的范围是在零到九十度之间，九十度是包含的，那九十度实际上就是垂直的状态啊，没问题。那为什么不是零度？那大家就要想了， 如果是零，如果两条直线他的夹角是零，那两条直线不就是平行，那不又变成共面直线了吗？所以一面直线你肯定是比零大，但是比九十度是小的，可以取得到九十度。注意这个细节就可以。 那么咱们看看，比如说举个例子，在立方体里头， b、 c、 e 这条棱 和 cd 这条棱，它就是永远不可能放到同一平面里头的。那这两条这个 b、 c 一 和 cd 就是 两条异面直线了，它们俩的位置关系就是异面。行了，现在来说一说直线和平面的位置关系。 首先第一种位置关系好说啦，直线就在平面 r 里头。第二种位置关系，直线 和平面 f 交于点 a。 第三种呢，咱们通常画的时候画线和面平行的时候，咱们画平，这个平面当然好画啦，就是平行四边形嘛， 那直线的话，画的跟它其中一条边平行就可以啊。那此时就是 l 平行于平面 f 了，就结束了。这个是直线于平面的这三种位置关系吧，要牢记记住这个图就可以记住这个写法。那么来看第四点， 判定定律。定律当然很重要了，如何判定直线跟平面它是互相平行的呀？文字内容是这样说的，不在同一平面内的一条直线 和平面内的一条直线平行。比如说 l 和 m， 怎么说呢？ l 它不在 r 分 内， m 它是在 f 内的。如果平面外的 l 和平面内的 m 这条直线是平行的，那么我们就可以推出来谁此时平面外的 l 就 平行于 f 了。这个就是 线面平行的这样一个判定，那里它是从低维度线线平行推到高维度线面平行的图像圆，这个画的也很好，你可以把图画上。 那么现在我们就来做题了啊，这个题挺有意思哈，但是他有些线画的太细了啊，这个我给你描粗一点，这个红色部分都是虚线哈。 首先给了你这样一个四面体吧， a、 b、 c、 d。 在 这样一个四面体里头， f 点是中点点这种点呢？中点的话，你肯定先能想到的是谁，先能想到的是中规线，这个肯定能想到啊。 嗯，那么他问什么？两个吧。第一个，如何证明 bc 平行于这个平面？那太简单了， bc 在 平面外吧， 你这样写吗？因为点 g 和点 f 分 别是中点，那根据中位线定律，这 g、 f 不 就平行于 bc 吗？但是你要写全 g、 f， 它是在平面里头的，但是呢，这个 bc 显然是不在平面 e f g 里头的，根据先面平行的判定定律，平面外的 bc 不 就平行于整个平面 e f g 了吗？这就结束了呀，这就第一问，所以第一问的话还是非常非常容易的，咱们现在来看第二问， am 啊，看好了， 他连了一下 amm 点也是终点啊， m 点也是终点。然后他现在怎么说呢？他说，请你说明一下， am 跟刚才 e f g 这个平面为什么是线面平行的？怎么去正？那其实好说，很好说的嘛，你只需要来一条辅助线 连接 m d 可以 吧？比如说跟 g f 交于点 n。 对 啊，所以第二个咱们连接 m d， 然后呢， m d 跟 g f 交于点 n， 你 可以这么写的。那么交完之后的话，根据第一问， 这个 g f 不 仅平行于谁，平行于 bc， 而且这个 g f， 哎，剩下应该不用多说了吧。其实 g f 还是终点吗？那其实就是根据什么呢？根据平行线分析呢？成比例，所以说咱们也可以说明什么，也可以说明点 n 为谁的终点，为 dm 的 终点。 不过现在你就需要看另外一个三角形了，这你要看清楚啊，在空间里头 amd 这样一个三角形。行了啊，在 amd 这个三角形中，咱们顺便连接一下谁，连接一下 这个 e n 吧。好，因为点 e 是 不是也是中点，点 n 是 不是也是中点？ 所以此时 e n 就是 中位线啊，它是谁的中位线？是 am 的 中位线。后边不用说了吧，因为 am 它不在这个平面里头，你自己写清楚。但是呢，这个 e n 它是在这个平面里头的，所以平面外的 am 就 平行于整个平面，这不就是线面平行的判定定律吗？好，写完了，那继续来看性质定律，线面平行的性质定律就是已知线面平行，咱们咱们能够推出什么来？好说？ 已知 l 和 r 和这个平面是互相平行的，那么文字型内容这样说，如果一条直线和一个平面平行，这是前提，那么经过这个直线的平面和这个平面相交好，也就是说贝特是经过 l 的， l 是 在贝特里头的， 此时 r 和贝特有一条交线 m， 所以 啊，线面平行，最后推出来的是线线平行，平均，谁平均交线？ 那怎么去写呢？哎，很好写啊，因为谁？因为 l 在 贝特里，这就是经过贝特这个平面，经过 l 的 意思， l 还平行于 r， 并且 r 跟贝特还交于直线 m， 所以 就可以说了，平行于线面平行 l 就 平行于这个交线 m 就 结束了。那么现在来看，这个立五啊，立五的话挺有意思的， 他说，首先这个 a 和 b 呢？人家是谁？是意面直线，然后我们 连接 a， c 跟平面 f 呢？去什么跟平面 f， 咱们是交于 m 点的，然后连接 b， d 交于点 n。 那么另外你要注意， a 和 b 虽然都是一面直线，但是 a 和 b 跟平面 r 和都是什么状态？都是平行的状态，也就说 a 是 平行于平面的， b 这条直线呢，也是平行于平面的。哦，原来是这么回事，那么接下来怎么办呢？好办， 你只需要连接一下就行了。连接一下谁啊？这个辅助线，说实话啊，有很多还是很难想到的。咱们连接， 我直接写了啊，连接 ad， 然后 ad 跟平面 r 交于点 q， 分 别连接一下 q、 m 和 q n 就 够了。 那么连完之后的话，我觉得咱们先看第一个三角形好不好，也就是 a、 c、 d 这样一个三角形，这个可以吧，根据谁？哎，来吧，写过程了啊。首先 因为 b 和 r 是 平行的，那么啊，还有谁？还有这个，嗯？ b 在 哪个里头啊？ b 在 这个平面 a、 c、 d 里头， 然后这个平面平面 a、 c、 d 和平面 r、 f 是 交于 m、 q 的， 这不就是通过线面平行对不对？线直线 b 和平面 和平面是什么状态啊？直线 b 和这个平面 r 是 线面平行的状态，通过线面平行就推出来线线平行了，也就是直线 b 是 平行于 m、 q 的， 没问题吧？那事实上就相当于图中的 c、 d 平行于 m、 q 了。 那接下来咱们直接写同理就行了啊，同理啊，在另外一个三角形里头，咱们看此时 a、 b 是 不是也平行于这个 r、 f 呀？那肯定也平行于交线了，剩下不用多说了吧，同理咱们也可以说明 a、 b， 它是平行于这个 q、 n 的， 没什么问题。那既然平行的话，我们先看这个红色的三角形呢？根据平行平行线分线的乘比例，根据第一组平行的话，咱们是不是可以得出来 am 比上谁？ am 比上 m c 等于 a q 比上 q、 d 啊？那同样的，根据第二个， 他可以推出谁来？可以推出来这个 b、 n 比上 n、 d， 他 是等于 a、 q 比上 q、 d 的， 那根据圈一圈二等号的传递性，最终就可以说明 am 和 mc 的 比值等于 b n 和 n、 d 的 比值。然后就结束了呀。 那么来看第三个啊，也是最后一条，最难的一条面面平行，那么面面平行，首先咱们得了解两个平面的位置关系吧， 两个平面平行就指的是图中 r 和贝特这两个平面没有公共点，咱们就借助这样的平行的符号。 那么你画两个平行平面的话，一般来说啊，咱们这个平行四边形，咱们对应边分别平行就可以了。好，就这样来表示。那么继续来，也有可能两个平面是相交的，就像图中的贝特这个平面和 f 这个平面，它是相交的，那此时交线是谁？交线是 m 吧。啊，你这改成 m 就 行了。 那么来看，怎么判定两个平面他是怎么样的？是互相平行。如果想判定 r 和 beta， 你 要注意 r 和 beta 平面怎么判定好说，平面怎么确定两条相交直线嘛？所以你的结论是， 你这个定理是，如果一个平面内两条相交直线，那么此时面面平行，比如说图中怎么写？ 你得先说明 a 和 b 相交，比如交于点 a 是 吧？然后你还得说明 a 平行于 beta， b 也平行于 beta， a 是 平面 alpha 里头的点，然后呢？哦， a 是 平面 alpha 里头的直线， b 也是平面 alpha 里头的直线。 那现在你才能说结论什么，哎，两条相交直线五推一啊，然后才两条相交直线分别平行，另外一个平面则两个平面平行，阿尔法平行，贝特就是这样来的。 那么现在我们直接来做题，也是立方体，非常简单的题，怎么来正啊？好说吧，首先看了啊，这两个平面， 你先看这个红色部分是不是一个平行四边形，你直接由正方体的性质不就行了吗？ 根据正方体的性质，图中的 a 一、 d 一 和谁和这个 bc 它是平行且相等的关系啊，所以你会得到一个平行四边形 a 一 d， 那 平行四边形得到什么结论呢？他可以首先说出来， a 一 b， 它是平行于 c 第一的。那么接下来咱们看好了啊，首先 a 一 b， 它不在哪个平面， 它不在 c 一、 b 一、 d 中吧，但是 c 一 它是在平面 c、 b 一、 d 中的。然后呢，咱们就可以说明平面外的 a 一 b 平行于平面 c、 b 一 第一了。那接下来就是同理了啊，大家看这个蓝笔部分吧，同理你 a， 嗯， a 一 d 吧， 它也是平行于平面 c、 b 一 第一的。你得说明你光有平行不行，你还得说明什么？还得说明 a 一 b 和 a 一 交于点 a 一 这是相交哦，三个几推几推一来着， 它是有五推一的呀，你还得继续来。说好了，继续来啊，两条相交直线，嗯，包括这个 a、 e、 b， 然后包括这个 a、 e、 d， 它在哪个平面里头？它在平面 a、 e、 b、 d 里头呗。 一开始的话，你一定要写的详细一些，所以误推一吧。根据一二三、四五，咱们就可以说明这两个平面分别是 a、 e、 b、 d 就 平行于另外一个 平面 c、 b、 e、 d， 然后就结束了。对，一个平面里头，两条相交直线分别平行于另外一个平面，则面面平行。那最后一个就是两个平面它平行的性质定律了。 那怎么说呢？首先是这样的文字内容，如果两个平行平面同时于第三个平面相交，那么他们的交线是平行的，你看阿尔卑特平行吧，但是跟第三个平面分别交于 a 和 b？ 对 啊，因为阿尔卑特没有交线，就是没有交点吧？阿尔卑特 既然是平行的，那么阿尔卑特就不可能有交点，那同时 a 和 b 这两条直线分别在 alpha 和 beta 里头，所以此时 a 和 b 也不会相交，而且是同一个平面内互不相交，同一个平面内永远没有交点。你说这样的两条直线是不是平行线？这就是平行线的定义啊，所以这个还是好说的，通过面面平行推出来最终的两个交线平行，这就是面面平行的性质定律。 那么还是做一道题，这个题应该不用多说吧，跟刚才有一道例题是不是非常像啊，我们只需要过这个点，然后连接 af 吧，比如说交于哪个点呢？嗯，注意啊，咱这个地方得画成这个虚线啊。 对，然后就交于这个 a、 b、 c 的 e、 f， g 吧，连接 b， g， 连接 e， g， 对，这样来不就可以了吗？对，那么现在看了他说的什么， 咱刚才已经证过了， ab 比上 bc， 他 肯定是等于 d， e 比上 ef 的， 因为他们都等于谁都等于 ag 比上 g、 f 啊，是不是都是通过这样的 a， f， beta， gamma 分 别平行吧，所以这些交线啊，比如说好 b， g 这条线和 c、 f 这条线啊，它就是平行线。然后呢，因为 alpha， beta 平行，所以此时的 a、 d 和 g、 e 也平行，你就分别来不就行了吗？根据平行，然后等比例分线段，就得到这样一个结论了。那好， 咱们看数字是多少？六比二等于 e， d 比上三吧，所以咱们很快就算出来了， e、 d 等于几， e、 d 等于九。过程的话请你自己写吧，最后也不难的啊。那么今天我们就讲到这，分享课堂知识，感受数学之美。我是范老师，下节课再见。

这五分钟带你疏通高一数学下第九、二第八章一体几何的所有考点，主要包括一体几何的表面积以及空间点直线平面之间的位置关系。空间直线平面的平行垂直划重 点，从高一到高三、高中每设考点二百到十五都会齐齐跟完，后续也会对重点公式的推导过程及典型考法。 做这个系列的原因在于，数学其实本质就是公式的灵活应用，但最重要的是这些公式你能熟练的背下来才能灵活应 用。关注阿斌高中数学，带你躺着学高考数学也能多拿三十分！第八单元多面体旋转体的定义多面体定义若干个平面多边形所围成的几何体图形如下。相关概念，面围成多面体的各个多边形 人像您两个面的公共边顶点人与人的公共点。旋转体，一条平面曲线绕他所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面 围成的几何体叫做旋转体，如图所示。注意，轴形成旋转体所绕的定直线称为轴。棱柱的结构特征，棱柱的概念定义有两个面 互相平行，其余一个个面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都是互相平行的。由这些面所围成的多面体叫做棱柱。图形机表示 如图可记作棱柱， a、 b、 c、 d、 e、 f 杠 a 撇 b 撇 c 撇、 d 撇。相关概念，底面两个相互平行的面叫底面侧面，其余各面侧棱相邻侧面的公共边 点侧面与底边的公共顶点人柱的分类，按底面多边形数来分，三棱柱、四棱柱、五棱柱。按侧棱是否与底面垂直，侧棱垂直于底面的人柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的人柱叫做斜棱柱。底面 是正多边形的直楞柱叫做正楞柱。底面是平行四边形的四楞柱叫做平行六、面体。知识点三、楞椎的结构特征，楞椎的概念定义，有一个面是多边形，其余一个边都有一个公共顶点的三角形，由这些面 围成的多面体叫做楞椎，图形即表示。如图可记作楞椎 s 杠 a、 b、 c、 d， 其中 s 是 顶点。相关概念， 底面是多面型，侧面有公共顶点的各个三角形，面侧能相邻侧面的公共边。顶点各侧面的公共顶点。人赘的分类，按面多边形的边数三、人赘四人赘。底面是正多边形，并且顶点 与底面中心的连线。垂直于底面的人赘叫做正能赘。知识点是轮胎的结构特征。 棱台定义，用一个平行于人嘴底面的平面截人嘴底面与截面之结合部分多面体叫棱台，图形即表示。如图可记作棱台 a、 b、 c、 d 杠 a 一 撇 b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇。相关概念，上底面 平行于人嘴底面的截面，下底面圆。人嘴的底面缺一个面侧能相邻侧面的不共边。顶点， 侧面于上下底面的公共顶点分类，由三轮锥、四轮锥、五轮锥。捷德的轮胎分别叫做三轮台、四轮台、五轮台。知识点五、 圆柱的结构特征，圆柱定义，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆柱形状即表示图中圆柱表示为圆柱 o 一 撇 o。 相关概念，圆柱的轴旋转轴圆柱的底面垂直于轴的边，旋转而形成的圆面。圆柱的侧面平行于轴的边旋转而形成的曲面 圆珠侧面的母线无论旋转到什么位置，平行于轴的边。四点六、圆锥的结构特征圆锥定义， 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其与两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图形，即表示图中原锥表示为圆锥。 s o 相关概念，圆锥的轴旋转轴圆锥的底面 垂直于轴的边旋转而形成的圆面。侧面直角三角形的斜边旋转而形成的曲面母线， 无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。知识点七、圆台的结构特征圆台定义，用平行于圆锥的底面的平面去截圆锥底面与截面之间的部分，叫做圆台图形，即表示 图中原台表示为圆台。 o 撇 o 相关概念，圆台的轴旋转轴圆台的底面垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面。圆台的侧面不垂直于轴的边，旋转一周所形成的曲面母线， 无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。知识点八、球的结构特征，球定义，半圆， 以它的直径所在的直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 图形，即表示图中的球表示为球。 o 相关概念，球心，半圆的圆心半径连接球心和球面上 任意一点的线段，直径连接球面上两点并经过球心的线段。知识点九， 简单组合体的结构特征概念，由简单几何体组合而成的这些几何体叫做简单几何体。基本形式，一种是由简单几何体 拼接而成，另一种是由简单几何体截去或者挖去一部分而成的。四点时水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤，第一， 画轴，在已知图形中取相互垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于 o 点。 画直观图时，他们画成对应的 x 撇轴与 y 撇轴两轴相交于 o 撇，且使得角 x、 o、 y 等于四十五度或者一百三十五度， 他们确定的平面表示水平面。第二，画线，已知图形中平行于 x 轴或者 y 轴的线段， 在直观图中分别画成平行于 a 撇轴或者 y 撇轴的线段。第三，取长度，椅子图形中平行于 x 轴的线段，在直观图形中保持原长度不变。平行于 y 轴的线段在直观图形中长度为原来的一半。 知识点，十一、空间几何体直观图的画法步骤第一，画轴 与平面图形的直观图画法相比，多了一个 z 轴，直观图中与之对应的是 z 撇轴。第二，画底面平面， x 撇、 o 撇。 y 撇表示水平平面。平面 y 撇、 o 撇、 z 撇和 x 撇。 o 撇撇 表示数值平面。按照平面图形的画法画底面的直观图。第三，画侧门， 已知图形中平行于 x 轴或者在 x 轴的线段，在其直观图中平行性和长度都不变。 第四，乘除去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线。知识点，十二、 人柱能追人台的表面积多面体对应的图形以及表面积。多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积点。十三、 能柱能追人台的体积人柱体积为微人柱等于 s 乘以 h， 其中 s 为人柱的底面积， h 为人柱的高人追 v， 人椎等于三分之一， s 乘以 h， s 为人椎的底面积 h 为人椎的高人台，微人台等于三分之一。 括号内 s 一 撇加上根号下 s 一 撇， s 加上 s， 括号回来再乘以 h， 其中 s 一 撇 s 分 别为人台的高知识点。十四、 圆柱圆锥圆台的表面积对于旋转体，圆柱底面 s 底等于 pi， r 平方，其中 r 为底面圆的半径，侧面积 s 侧等于二 pi r l 表面积 s 等于二 pi r 括号类是 r 加 l， 其中 l 为圆柱的母线，圆锥底面积 s 底等于 pi， r 平方侧面积 s 侧等于 pi r。 注意， l 是 母线，不是高。圆台上底面面积 s 上底等于 pi， r 撇的平方，下底面面积 s 下底等于 pi， r 平方，侧面面积 s 侧等于 pi。 括号内 r 撇乘以 l 加上 r 乘以 l 为母线表面积，表面积 s 等于 pi 的 平方加 r 的 平方加上 r， 一 撇乘以 l， 加上 r 乘以 l。 十点十五、圆柱圆锥圆 台的体积几何体积圆柱 v， 圆柱等于 s 乘以 h 等于 pi， r 平方的乘以 h。 说明圆柱底面圆的半径为 r， 面积为 s， 高为 h。 圆锥圆锥的体积等于三分之一 s 乘以 h 等于三分之一的 pi， r 平方乘以 h。 圆锥底面圆的半径为 r， 面积为 s， 高为 h。 圆台体积圆台的体积等于三分之一。括号类的 s 加上根号下的 s 乘以 s， 一 品加上 s 乘以 h 等于三分之一派 r 的 平方加上 r 乘以 r， 一 品加上 r 的 平方，再乘以 h。 其中圆台上底面圆的半径为 r， 一 品面积为 s， 一 品下底面圆的半径为 r， 面积为 s， 高为 h。 知识点十六、球的表面积和体积公式一、球的表面积公式 s 等于四 pi r 平方，其中 r 为球的半径。二球的体积公式 v 等于 pi r 的 三次方。知识点十七、平面 一、平面的概念几何中所说的平面是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的，立视于直线，向两端无限延伸。几何中的平面是向四周无限扩展的。二、平面的画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成四十五度，且横边长等于其零边的二倍。如图一，如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感， 被遮挡部分用细线画出来。如图二、单平面的表示法图一的平面可以表示为平面 r 法，平面 a、 b、 c、 d。 平面 a、 c 或者平面 b d。 注意， a、 c 和 b、 d 都是对应的对角。知识点十八、 点、线面之间的位置关系一、直线在平面中的概念如果直线 l 上的所有点都在平面 r 法内， 就说明直线 i o 在 平面阿尔法内，或者说平面阿尔法经过直线 i o。 二、一些文字语言与符号语言的对应关系点 a 在 直线 i、 o 上， 对应的符号表示 a 属于 l。 点 a 在 直线 i、 o 外，对应的符号表示是 a 不 属于 i o。 点 a 在 平面阿尔法内， a 属于平面阿尔法 a 在 平面阿尔法外， a 不 属于平面阿尔法。直线 l。 在 平面阿尔法内，直线 a 包含于平面阿尔法 直线 l 在 平面阿尔法外，直线 a 不 包含于平面阿尔法。直线 l m 相交于点 a l、 m 的 并集等于点 a。 平面 r 法与平面 b 塔的并集等于直线 l。 知识点十九、平面的基本性质及作用基本是十一或不在一条直线上的三个点有且只有一个平面。 相关图形表示符号 abc。 三点不共线存在为的平面 r 法使得 abc 属于二法。作用，一是确定平面，二是证明点线面问题，三是判断两个平面从合的依据。基本四十二、如果一条直线上的两个点在一个平面内， 那么这条直线在这个平面内。点 a 属于直线的哦，点 b 属于直线的哦，且 点 a 属于平面而法，点 b 属于平面而法能推导出直线 a o 包含于平面而法既可判定直线和点是否在平面内，又可以说明平面是无限延展的， 基本式是。三、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 p 属于 r 型，能推导出 r 法与 比特的并齐等于 o， 斜 p 属于 l。 用途，一、判定两平面相交的依据。二、判定点在直线上。 二、利用基本四十一和四十二，再结合两点确定一条直线，可以得到下面三个结论。推论，一、经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面。二、经过两条相交直线，有且只有一个平面。三、经过两条平行直线，有且只有一个平面。知识点二是空间两直线的位置关系。意面直线定义不同在任何一个平面内的两条直线。 意面直线的发法衬托平面法如图一、二、三所示。为了表示意面直线不共面的特点，作图时通常用一个或者两个平面来衬托。三、判断两直线为意面直线的方法一定义法二、两直线既不平行也不相交。 空间两直线的三种位置关系，共面直线和异面直线在共面直线中分为了相交直线，即在同一平面内有且只有一个公共点。 平行直线是在同一平面内没有公共点。相交直线与平行直线都属于共面直线。异面直线不同在任何一个平面内没有公共点。 知识点二十一、直线与平面的位置关系线 a 在 平面阿尔法内，则有无数个公共点符号表示是直线 a 包含于平面阿尔法对应的图形表示。若直线 a 在 平面阿尔法外，则有两种情况，一是直线 a 与平面阿尔法相交， 则公共点只有一个公共点，也就是直线 a 与平面阿尔法的并集等于点 a。 直线 a 与平面阿尔法平行没有公共点的时候，则直线 a 平行，与平面阿尔法对应的图形表示。 知识点二十二、平面与平面的位置关系若两平面平行，则没有公共点对应的符号表示平面阿尔法平行。平面比特图形表示 两平面相交有无数个公共点，并且这些公共点在一条直线上，也就是平面阿尔法 与平面贝塔的并集等于直线的欧对应图形表示。知识点二十三、基本式式平行于同一直线的两条直线平行对应的图形语言符号语言，直线 a、 b、 c a 平行于 b， b 平行于 c， 则能推导出 a 平行于 c。 作用证明两条直线平行，说明基本事实式表述的性质，通常叫平行直线的传递性。知识点二十式空间等角定定义 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。对应的符号语言， o a 平行于 o 撇 a 撇 o b 平行推导出角 a o b 等 于角 a 撇 o 撇 b 撇或者角 a、 o b 加上角 o p a 撇 b 等于。一百八十、注意关键点，两角相等或互补 对应的图形语言作用判断，或正两个角相等或互补。如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所形成的锐角或者直角相等。 知识点二十五、直线与平面平行的判定定律文字语言，如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行， 那么该直线与此平面平行。对应的符号语言，直线 a 不 包含平面阿法。直线 b 平行，则能推导出直线 a 平行于平面阿法 对应的图形语言。知识点二十六、直线与平面平行的性质定律一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面相交，那么该直线与交线平行。 符号语言， a 平行于平面阿尔法 a 属于平面贝塔，平面阿尔法与平面贝塔的交界等于 交线 b 则能推导出直线 a 平行于交线 b 对 应的图形语言这四点。二十七、平面与平面平行的判定定律如果一个平面内的两条相交直线， 另一个平面平行，那么这两个平面平行对应的符号语言，直线 a 在 平面阿尔法内。直线 b 在 平面阿尔法内。直线 a 与 b 的 交集等于点 a， 且直线 a 平行于平面北塔。直线 b 平行于平面北塔。 推导出平面阿尔法与平面北塔平行对应的图形语言知识点二十八、两个平面平行的性质定律 文字语言如果两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行对应符号语言，平面阿尔法平行于平面 betta、 平面阿尔法与平面伽马的交线等于直线 a， 平面 betta 与平面伽马的交线等于直线 b 则能推导出直线 a 平行于直线 b 对 应的图形语言 知识点二十九、两直线的位置关系意面直线定义不在任何一个平面内的两条直线。画法有以下三种，两条直线的位置关系可以是共面直线和意面直线。如果是共面直线，则相交直线只有一个公共点， 平行直线没有公共点，意面直线也没有公共点。两个定义基本事实是， 文字语言平行于同一直线的两条直线平行符号语言，直线 a 平行于直线 b 直线 c 平行于直线 b， 则能推导出直线 a c。 平行。 作用证明空间两条直线平行等角定角内容，如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 作用证明两个角相等或互补是平面内两条直线的夹角定义平面内两条直线相交成四个角，其中不大于九十度的角称为这两条直线所成的角或者夹角。 规定两条直线平行时夹角为零，垂直时夹角为九十度范围，两条直线夹角阿尔法的范围是零到九十度。 知识点三、时异面直线所成的角定义，已知两条异面直线 a、 b 经过空间任意一点 o 分 别作直线 a 一 撇 平行于 a， b 一 撇平行于 b， 则异面直线 a 与 b 所成的角就是直线 a 撇与 b 撇所成的锐角或直角范围 c 塔大于零，小于等于九十度。特别的， 当 c 塔等于九十度时， a 与 b 相互垂直，记作 a 垂直于 b。 知识点三十一、直线与平面垂直的定义 定义，如果直线 l 与平面阿尔法类的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面阿尔法相互垂直。记法，直线 l 叫做平面阿尔法的垂线。平面阿尔法叫做直线的垂面， 他们的唯一公共点叫做垂足。图式画法，画直线与平面垂直时，通常把直线画成与平面平行四边形的一边垂直。注意过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条， 该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。 知识点三十二、直线与平面垂直的判定定律文字语言，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 符号语言，直线 l 垂直于直线 a， 直线 l 垂直于直线 b。 直线 a 在 平面阿法类，直线 b 在 平面阿法类， 且直线以 a 与 b 的 交点等于 p， 则直线 l 垂直于 r 法对应的图形语言知识点三十三、直线与平面所成的角有关概念， 斜线一条直线与平面 r 法相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。 如图中直线 p a。 斜足斜线与平面的交点图中点 a 摄影或斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线或垂足和斜足的直线叫做斜线。在这个平面上的摄影图中，斜线 pa 在 平面阿法的摄影为直线 a o。 直线与平面所成的角。定义直线的一条斜线和趴在的平面的摄影所成的角。 图中角 pa 规定一条直线垂直于平面，它所成的角是九十度。一条直线和一个平面平行， 或在平面内，它所成的角是零度。取值范围设直线与平面所成的角为 c 塔，则 c 塔大于等于零，小于等于九十度。知识点三十式直线与平面垂直的性质定律 文字语言垂直于平面，而法直线 b 垂直于平面，而法则直线 ab 平行。对应的图形语言 注意，一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离。如果两个平面平行，那么其中一个平面的任意一点到另一个平面的距离都是相等的， 我们把它叫做这两个平行平面间的距离。知识点三十五、二面角的概念定义从一条直线发出的两个半平面所组成的图形相关概念， 这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面。画法 记住，二面角阿尔法 l 贝塔或者二面角阿尔法 a b 杠贝塔或者二面角 p 杠 l 杠 q， 或者二面角 p 杠 a b 杠 q， 其中中间是表示的是直线二面角的平面角。 若有点 o 属于直线来 o o a。 在 平面阿尔法类 o b 在 平面贝塔类 o a 垂直于 l o b 垂直于 l， 则二面角 阿尔法 l b， 它的平面角是角 a o b 二面角的平面角阿尔法的取之范围是大于等于零，小于等于一百八十度。平面角是直角的二面角，叫做直二面角。知识点三十六、平面与平面垂直 e 平面与平面垂直的定义定义一般的两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直。对你的画法记住，平面 r 法垂直于平面 f 塔平面与平面垂直的判定定律文字语言， 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂对应的符号语言，直线 i o 垂直于平面阿尔法直线 i o。 在 平面贝塔内，则能推导出平面阿尔法与平面贝塔垂直对应的图形语言。知识点三十七、平面与平面垂直的性质定律 文字语言，两个平面垂直如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直对应的符号语言， 平面阿尔法垂直于平面贝塔，阿尔法与贝塔的交线为 l 直线 a 在 平面阿尔法内， a 与直线 l 垂直，则能推导出直线 a 垂直于平面贝塔对应的图形语言。好了，以上就是本期视频所有必跑知识点。

各位同学老师好，今天我们一起梳理二零二六年新高考高一数学核心考点与复习方法。 这份指南覆盖高一最关键的知识模块，帮大家明确重点，高效备考。一共分为六大模块， 函数、三角函数、数列、立体几何解析几何初步。最后还有推荐复习资料， 我们将按这个结构系统复习。首先进入第一模块，函数，函数是高中数学的基础，核心是理解定义域、值域、对应关系这三要素，掌握解析式、列表、图像三种表示方法，为后续学习打牢根基。函数的单调性是高频考点， 简单说就是看图像上升还是下降，我们可以用定义法、图像法判断，解析时经常用来比较大小。求最值解不等式函数的其有性，重点看对称性，其函数关于原点对称，否函数关于外轴对称。 使用前提是定义域关于原点对称，常用来简化计算。画图像求解析式。基本初等函数包括指数函数、对数函数、米函数。 大家要重点记住图像形状、定义域、值域和单调性，这是选择填空必考内容。接下来进入第二模块，三角函数图像性质与横等变换。首先是同角三角函数基本关系， 平方关系和商数关系是化简求值证明的基础，必须熟练默写，灵活互化诱导公式。口诀是其变偶不变。符号看象限，用来把任意角转化为锐角计算 不用死记硬背。理解规律后，化简和计算会快很多。正弦、移弦、正切函数的图像与性质是大题常客，要记住周期，其有性单调区间最指点 会画图像，会看图，做题就不容易出错。三角函数的图像变换包括平移、伸缩、对称是考试难点，建议大家一步一步写清楚变换过程，避免顺序搞反导致整题失分。第三模块，竖列主要是等差竖列和等比竖列， 这两类是高考必考模型。通向公式和前 n 项和公式一定要记准，并且会推导会套用。等差数列的核心是差相等，要掌握通向公式和两个前一项和公式， 会用等差中项性质巧算，减少计算量。等比数列的关键是比相等，注意公比 q 等于一和 q 不 等于一两种情况，前任项和公式要分情况使用，防止漏解错解数列常见题型包括求通项求和、判断单调性与最值， 掌握错位相减、列项相消、分组求和等方法，大体就能稳稳拿分。第四模块，立体几何 空间想象与位置关系，重点是空间几何体的表面积和体积公式。注，追求的公式要记牢， 单位和计算过程要仔细。立体几何的核心是空间终点线面的位置关系，重点抓平行与垂直的判定和性质， 会用定律说理规范书写步骤。第五模块，解析几何初步核心是用代数解决几何问题。先掌握直线方程点斜式一般是最常用会求斜率。会斜方程人的方程分为标准方程和一般方程，要会互化，会找圆心和半径， 同时掌握直线与圆的位置关系，相离、相切、相交，用距离和半径比较判断。解析几何常见题型，求方程、求距离、判断位置、求弦长， 只要把条件转化成方程或不等式，大部分题目都能顺利解决。最后是复习资料推荐，大家可以根据自己的基础选择同步练习、基础巩固或能力提升类资料， 立足课本，狠抓基础，勤加练习，高一数学一定能稳不提高。感谢观看，预祝同学们在新高考中取得优异成绩！

嗯，好，那我们说一下吧。啊，就正常你应该设这个 s m， 它是拉丁的被的 s b 啊，然后这个 sn， sn 是 mil 被的 s， d 啊，然后把这个体积呢都用拉丁和 mil 表示，应该是需要表示几遍呢？表示两遍吧，表示两遍的话，这样的话就会找到一个这个拉丁和 mil 的 关系啊，那第一个怎么表示的呢？ 呃，首先呢，它用的是一个，呃，它先表示大体级啊，这个大的体积呢？不是可以这个 s， a， c 当底面积吗？对吧？ b， d 和它垂直吗？这都是可以的啊，对吧？啊，所以有一个它说的是 d， 它设这个 d 到， 呃， d 到 p， a， c 的 这个距离呢？设成这个 h 啊，就 d 到中间这个面的距离呢？是 或者是 s， a， c 都是一样。设成 h 啊，那么 d 到它的距离是 h， 那 n 到它的距离呢？ n 到这个面的距离呢？根据这回这不就相似了吗？ n 到平面 p a， c 的 距离，因为你这个 s n， sn 是 缪倍的 s， d 嘛，对吧？然后 d 到它的距离是 h， 所以 说你这个 n 到它的距离呢？应该是缪 h 吧。啊？缪 h， 对 不对？差了这个缪倍嘛， 就是斜边是差这么多关系，然后往这做垂的话，不也是差这些关系，是这意思吧？哎，应该是意思，然后呢，把这体积表示一下，它表示的是 v， 呃， s 杠， 呃，要一半就可以，对吗？表示的是 v s 杠，呃， p n q 啊， p n q 啊，然后等于 v n 杠，哎，这个 s p q 啊， 然后刚才那是一半是 v s 杠 ab 的， 哎， ac 的， ac 的， 然后变成 v 的 杠， s， a， c 啊，这样它俩的比例不就有了吗？对吧？这俩比例有，因为面积是有的呀， 对不对？这个是三分之一，面积是二分之一， s p 是 s p， sq 是 sq， 三角二法是三角二法， 然后这个是 mu h， 对 不对？这是 mu h， 然后我下面这个是三分之一，二分之一 s a 是 s a， s c 是 s c， 塞阿尔法是塞阿尔法，我这是 h 啊，所以它俩一比的话呢，就会找到这个这个体积的比例， 对不对？比完之后呢，能得到这个是它俩比完之后啊，这俩 v 之比啊， v 之比之间是九分之二啊，九分之二没有吧？啊？九分之二没有。 嗯， 好，那么大家同理，刚才我不是从这么使劲儿的吗？你这样蓝的在这儿再来一遍，这样就会找到这个蓝的和没有的关系了 啊。其实这原理跟刚才跟谁说的是完全一样的呀？那个怎么感觉差一差一个环节呢？刚才我求的应该是哪个是九分之二冇，是这个吗？啊？是这个 s a 的 c， 这个是九分之二冇呗，对吧？ 啊？另外一个，所以这个等于这个。呃，这是啥玩意？它又整出啥来了啊？反正那边再算。另外一个是不是等于这个了啊？等于这个 最后的体积是比例是九分之零的加六啊，这是第一个，第一个形式，那另外一个是从哪入手的呀？刚才我用的是一个的到它的距离，是不是 啊？他说再加这四棱锥拆成这个 s d a b s d， a b 啊，就是就是，以 a c 当啥了呗，对吧？ 呃， s d， a b d， a b 和 d， 这个又以这面了是吧？以 a c 这面再当这个比例了啊。再来一遍， 刚才是拆的是这个 a d c 和 a b c 嘛？这又拆的是 a、 b、 d 和这个 c、 b、 d 啊，又拆的是这个，然后又会得到一个关系啊，这关系是跑哪去了？最后是得出这个了 啊，得出这个了，然后接着就可以得到这个蓝莓和蜜的这个这个关系了，它俩相等啊，它俩相等， 然后最后就可以求这个最值了，最后是九分之四的时候啊，咱们谁也没说。对啊，原理大家听懂了吧？

a b 是 四， b c 是 二， b b e 也是二，直四楞住，但底面是平行四边形角， a b c 是 一百二， m n q m n q 都是中点， p 是 底面的一动点，那的一 p 的 一 p 平行于 m n q， 那 这个还还行啊， 哎，做的一 p 平行于 m n q 的 本质是找面面平行啊，找面面平行，所以说你过的一做出一个面，使得这个面和 m n q 平行就可以了。那其实非常好做啊，因为 n q 是 n q 都是终点嘛，对吧？所以说你先连上的一 a 啊，先连上的一 a 啊， 那这有了之后呢？嗯，那 m n 也是终点嘛，对吧？ m n 也终点，所以说再连上 a c 啊，再连上 a c， 哦，然后再连上 d e c， 那 这个面就是和 m n q 是 平行的面面平行，即有线面平行，所以说得一 p p 的 运动轨迹就是 a c， 对 吧？哎， p 在 a c 上跑就可以了啊， 啊，这个难度挺好啊，现在 p 在 a c 上跑了啊，连题对不对？ 好吧，继续了啊。呃，那 p 的 a c 上跑的话， a p b b 一 的外接球，这个我，我以谁为这啥呢？我看看啊，咱们选好这个底面积啊，谁到底面积呢？哎，谁当高呢？ 哎，应该是 b b 一 是谁吧？哎， b b 一 应该是垂直于底面的，所以说 b b 当成高啊，哎， b b 当成高， b b 当成高的话，这是我们学的最著名的。这个叫什么模型？垂面模型，对吧？垂面模型的特点是不是有这个什么大二方等于小二方加上二分之这个 b b 一 的平方呀，有这个特点吗？ 有，是不是啊？有，所以说你要想找外接垂的表面最小，只要找谁啊？只要找这个 a b p 的 a b p 的 这个外接圆的半径最小就可以了，对不对？哎，那什么时候最小呢？这个 a b p 我 怎么看呢？ a b p 啊， 因为哪个角是定的呀？因为角角 c a p a b 是 定的啊，角 p a b 的 值是定的， 对不对？角 p a b 是 定的啊。所以说直接用 b p 除以三阿尔法 啊，等于二二，也就是 b p 最小就 ok 了啊。 b p 什么时候最小就 ok 了。那 b p 什么时候最小？哎， b 垂直于 a c 的 时候最小就完事了啊，听懂了吗？ 嗯，这个题不错啊，好了，我不算数了，你自己去算去了啊。答案是二十拍啊，二十拍啊。 老师，这题我有个问题，这题，那个它取这个二十拍的时候，是不是 p 和那个 a 点重合了 三周和 a 锄禾了呗，你意思是？嗯，是呢，老师，那他三，他这不应该是开篇取不到二十吗？ 取不到吗？他，这我看一下，我单独给你画一下啊。这个，这 ab 是 四， ab 是 四，这个 bc 是 二，然后这是一百二。 我的意思，那个直接看这三角形不是 p 杠 a b b 一， 然后 a b b 一， 这个的这个三角形的外界圆，外界圆的那个半径就是这个， 这个刚好五，所以它这个外界圆按四拍 r 方算，就是二十派，这个 p a 重合的时候是这个二十派。那他问三菱锥 啊，你的，你刚才的意思是以谁呗？以 a b b e 当啥呗？嗯，对，就就很明显能确定它肯定是 p 与成合的时候 啊。你要是以这个的话，这是那个外接圆圆形是吧？这是四，这是二啊。所以说这应该是根号五，根号五表面是二十拍，那此时二十拍的话，你的意思是这个时候不是三棱锥，这个时候是一个平面三角形？ no 啊，这是一种情况啊，那难道我这个，我这个，我这个大圆，呃，这个 a b b 的 这个外接圆难道不能是我的球了吗？也可以啊，对不对？你说那个 p 在 跟它重合只是一种情况吧？ p 不 在那的话也可以吧， 对不对？ o， 我 知道，我再算一下。对，你看我 p 在 这嘛， p 在 这的时候，你这个，你这个 o 到它的距离肯定也是，这也是这个根号啊。对啊，那这题很容易掉到误区啊。就如果你要是你这个 前面这个面儿为这个底面儿的话，那有些认为高儿最小，对吧？ p 到这个面儿距离就高儿最小，反而最小，那就是 p 和 a 重合的时候就没有了。哎呀，那果不其然，正好调查了， 正好陷到这个误区了。确实是，是吧，还真有这种可能啊，太神奇了。