肖晗高考数学技巧

这知识生怎么不擦黑板呢？咱们上课了啊，老师，黑板先别擦，这题我们都不会，这不是高考压轴题吗？这种题没有人会做是吧？不会，不会，不会。像这种在高考里面，这种函数比大小的问题，咱们之前讲过的常规方法是怎么做的？来，小题你回答一下 构造函数求导，再分析单调性就行了。对，你说的没错，但是这种题你如果按照这种方法来做的话，那你后边的题目这不就没时间做了吗？ 今天呢，咱们就来给大家来教你们一种方法，那么这种方法呢，以后碰到这种高考压轴题，就直接可以变成小学的这个口算题，我们瞪眼法就能做出来，那就是泰勒展开。 好，那么我们高中阶段呢，其实你记住这五个就可以了，分别就是 e 的 x 方论一加 x、 散 x 扩散 x 以及餐厅的 x 的 泰勒展开。好，现在呢，我们就再回到我们这道题目里边， 那你看，根据现在题干中给出来的这个已知条件， a 是 e 的 零点一次方， c 呢是这个向量零点一。那这两项咱是不是就可以直接代入到我们这个向量公式中，你直接把它这个零点一带到 e 的 x 方里面来，零点一带到我们这个向量 x 里面来，就可以得到这个 e 的 x 方，那么或者说 e 的 零点一次方，那它是一点一零五幺六左右，约等于，然后呢，我们这个向量零点一呢，是约等于这个零点零九九八， 所以这样的话，你就可以来比较一下我们对应的 a、 b， c 谁大？ a 大 于 b 大 于 c， 哎，对，所以呢，我们对应的结果就是 a 大 于 b 大 于 c， 那 这些答案呢，就直接选择这个 a 选项就可以了， 所以就说这五个公式呢，各位呢，在考试里面一定要记住，能在我们高中的，甭管说是我们的期中、月考、期末，还甚至在高考里面都能帮到你们。

检查型的列项向销呢？ 它的口算的方法 啊？口算方法，第一，如果说我先给你们说一下，说第一方法吧，好吧，然后它的注意条件我待会再说，就是叫做根大上， 嗯，对，俗称为根大上呢，叫做根较大的， 根较大的那个括号中的 n 把它直接提到分子上， 对，这就叫做说根大上，什么意思呢？给大家说明一下，好吧，给大家说明一下，比如说 数列 a， n 等于两倍 n 加一， 乘两倍 n 减一分之二。假设的，那么这个时候呢，我们的操作呢？就是干嘛呢？我们的操作就是你直接把括号里边，对吧？这两个分母上的这两个括号，你分别让它等于零，或者说直接让这个整体你让它等于零。 我们算出来两个根，第一个根呢，负的二分之一，第二个根呢？二分之一，我们把根较大的那个括号中的 n 直接给它提到分子上，然后就可以得到它的前向和的表达式。 两倍 n 比上下边两倍 n 加一乘二乘一减一，然后剩下了一个两倍 n 比上两倍的 n 加一，这是它的前向和的表达式。这里它有个前提， 你这个过这个方法你能够使用呢？它有个前提，有个前提什么呢？是两根的差值等于一 啊，是两个根的差值，它是等于一的好。

这下课间呢，还有五分钟啊，咱们再来做这么一道题，这道题呢是我们在期末考试里边必考的一道简单题，包会的啊，这位同学，你先来试一试，老师先求向量 o b， 再求点 t 的 坐标就算出来了，这个思路是对的啊，但是我们在考试里面，如果你用这样的方法，那你想你这考试时间是肯定是不够的，那么今天在这里呢，就来教你们一个大招， 我们以后碰到的就是顿研法，一秒就能出答案，这里要用到的就是所谓的奔驰定律。咱们先来看这里呢，有这么样的一个三角形 a、 b、 c， 然后呢三角形内有一个点，这个三角形我们点 p 呢，刚好就把这个三角形呢给它分成了三个，然后对应的我们就点 p 和三个顶点呢，也会得到三个向量，就向量 p a， 向量 p b， 还有向量 pc， 所以 它前面对应的就是三角形 p b、 c 的 面积，而这个三角形 p b、 c 的 面积呢，我们用 s 一 来表示的话，这里写出来就是 s 一， 后面这里是 p b， 我 们用 s、 r 来进行表示，所以就 s r 乘以它最后一个同理，那么这个 p a、 b 的 呢，我们用 s 三来表示，所以这样就变成了 s， 一 倍的向量 p a 加上 s， 二倍的向量 p b 加上 s 三倍的向量 p c， 它等于零向量。所以按照刚才给大家讲的这个奔驰定律呢，我们对应就可以看一看， p b， c 的 面积乘以我们向量 p b 乘以我们这个向量 p c。 好， 它等于零向量。我们对应的三角形 p b、 c， 这对应的系数是几呢？这是二 三角形 p、 a、 c 对 应的系数是几呢？这是一，这个对呢？三角形 p、 a、 b 的， 它的系数对应的几呢？这是二嘛？三角形整体面积是一，所以这些答案这不就是五分之二嘛，很简单，所以这个奔驰定律务必一定要掌握，咱们期末考试是一定会考到的。

之所以说强调模型这个事，我们先看第一个模型，然后呢，待会各位家长也能来看一看。好吧，就是我们这道题目给大家讲完了以后，你看一看各位家长，你能不能去识别后面那些题目里边能否用这种方法？第一个模型叫做什么？ 第一个模型呢，叫做 i 等于根号下四分之一倍的 h 方，加上这个角 i 的 平方，这个 h 呢是我们底面的外接圆的半径。好，首先第一件事情 一定要注意它的识别范围啊，一定一定要注意它的识别范围，它的适这个适用的条件，它主要呢是适用于我们的直轮柱，圆柱，还有侧轮垂直地面的轮锥。啊，我再说，好吧，强调三遍， 它适用于直轮柱，圆柱，还有侧轮垂直底面的轮锥。第三遍，它适用于直轮柱，圆柱以及侧轮垂直底面的轮锥，这是第一件事情，一定要注意它的适用范围。好吧，我们每一种模型它都是有一个固定的一个使用范围的，那你不能随便来， 对吧？因为你得先会识别好，这是第一第二，这里边的一个重点，其实并不是去找他的球星，并不是，这里面的重点是什么呢？这个小爱是底面的外界缘的半径。好了，来，各位正在听讲的同学，我问一下各位， 咱们在整个高中这个数学里边，那么我们会学到一个公式，是和这个外界缘的半径相关的。请问各位同学是哪个公式，哪个定律？ 就甚至你在整个高中三年里边，你能够学到唯一的一个公式和外接元半径相关，就只有一个，叫什么 叫什么？说 a 正弦定力非常好，对吧？正弦定力，那这个 a 比萨 a 啊，等于我们这个 b 比上三 b， 等于这个 c 比上这个三 c 等于两倍的外接圆半径，对吧？正弦定个例嘛，那么它有一个比较特殊的一个情况，就是在直角三角形中啊，直角三角形 a、 b、 c 中， 那么因为我们知道直径所对的圆周角呢？它就是九十度，对吧？这初中就学过，所以直角三角形中呢，它比较特殊，它的斜边就是外接圆的直径。好了， 在这里我要跟大家去强调一下啊，其实在立体几何的外界球的问题里边，我们最重要最核心的一件事情就是利用正弦定力去求解底面的外界圆的半径。 所以我再强调一下，第一，这个模型的适用范围，它适用于直轮柱、圆柱以及有一条侧轮垂直地面的轮锥。第二，它的核心重点是利用正弦定力或者余弦定力去求解底面的外界圆半径。

对吧？下个题这一个，这个呢也都是基本上呢是一个送分的啊，在看过他画画是吧？啊？来这个啊，他说这里呢有一组数据啊，三点二，三点四，三点八，四点二，四点三，四点五， x 六，对吧？总共呢是有八个数， 他说这个第六十五百分位呢是四点五，求 x 的 取值范围。好，一共是八个数，你要有百分之六十五的数据比它小，那么算一算呢，就是五点二个，对吧？我得有五点二个数比它小，所以呢我们就取第六位， 然后呢，这时候你把这组数据呢按照从小到大来排列，但是你注意看一看，好吧，这组数据里边从小到大来进行排列呢，它题干中并没有给你排好， 对不对？题干中给的这个数据他并没有强调，他是按照从小到大来排的，现在前边这几个是从小到大排的，第六位是四点五没问题， 所以我说我要，他要我算说 x 的 取值范围是多少呢？第一，我就只需要让 x 比四点五大就行了，因为四点五只有一个，对吧？我就只需要让 x 比四点五大，第六位就一定是四点五，所以呢， x 呢大于等于四点五，这就行了 好吗？啊？ x 呢比六点六大是可以的，对不对？因为你如果比六点六大， x 就 放后边嘛，所以这些答案呢，选 a。

你再别说这个题，这是二四年，二零一四年的好，为什么要讲这个题，待会你就知道了。好吧，待会你就知道了，二零一四年的高考题，这里有又有个正四能追，它的顶点在一个球面上，然后说这个能追的高是四，里面边长是二，求这个外界球的表面就来，不要看，不要画图， 不要画图。先问你们正四能追的问题，能不能放老虎？能不能放老虎？能， 所以 l 方比上两倍的高，对吧？现在这个题目中高是不是已经给了你了？高是等于四，这对吧？高等于四， 所以我们需要再去算一下测棱长。好，测棱长里面别忘了我图待会再给你们画。一定记住，在测棱长里边我们一定会满足的一个基本的一件事情就是测棱长的平方等于高的平方，加上底面外径圆半径的平方， 现在底面上是个正方形，这个正方形的外接圆的半径是什么？是它斜边的一半， 对吧？是它斜边的一半。 a、 b、 c、 d 边长是 r， 边长是 r， 这是 o， 斜边是两倍，根号 r 对 不对？也就它的面对角线 a、 c 两倍的根号 r 等于两倍小 i， 所以 小 i 根号 r， 你 看好直接就可以解了。 所以测棱差 l 的 平方等于四的平方，加根号二的平方等于十八，所以球体半径 l 方比上两倍的高， 十八比上二乘四等于四分之九，所以你的表面积四 pi 大 i 方搞定。四分之八十一倍的 pi， 图都不画，谁说要画图了？

当然，这个苹果公式现在应该说很多同同学呢，可能你们老师啊，也都知道，对吧，因为毕竟你想我的学生，我的很多学生都做了，都毕业之后都做都都去那个什么当老师了。所以首先这个苹果公式呢，我先告诉你是怎么用的，待会呢，我再跟你说一下它的原理是怎么来的。好吧，简单跟你们说一下啊，一四年的时候呢，我们是怎么想的？ 首先这个苹果公式是怎么来写呢？听好了，它适用什么样的数量呢？记住，不要去记什么等差乘等比，没必要，对吧？去记这一个 就是一个竖列它的通项公式，如果说能够写成是小 a 乘 n 加小 b 乘括号外边 p 的 n 次方的形式，那么好，它的牵向和 s n， 我 们一定可以把它写成 啊，一定可以把它写成是这样的表达形式啊，就是 s n 等于大 a 乘 n 加大 b 乘括号外边 p 的 n 次方，再减掉一个大 b 的 形式 啊。那接下来我们的重点其实就只需要把大 a 和大 b 算出来就可以了，对吧？其实这个大 a 怎么算呢？大 a 的 公式我给你写在这，等于 a p 比上下边 p 减一，大 b 呢，等于这个数列里边的第一项减掉您刚刚算完的大 a 乘这个 p， 再比上这个 p 减一，怎么记呢？我跟你说，特别好记啊，所以为什么这个公比呢要写成 p 呢？你马上就知道了，各位，我们应该都知道这个东西吧，这个单词是什么意思来着 啊？这个单词是什么意思来着？哦，苹果是吧，哈哈。啊，我们有个公司啊，也叫做苹果，对吧，也也也也叫做这个苹果 啊，然后呢，我们手机上呢，经常会装什么呢？装个 app， 那 app 是 什么？装个 app， 对 吧？你得装个 app a， 那 您就看了，对吧？我们这个公式其实是特别好记的，知道吧？大 a a p p 杠一，小苹果一个，然后呢，大 b， 你 看分子上有个 a e a e 阿波特的个，呵呵，对吧，阿姨，对吧，阿姨，哎，所以阿姨 啊，大苹果一个， ok 啊，就结束了，明白吗？乖，所以今天记好了，小苹果一个啊，咦，大苹果一个，当然这个公式里边呢，要跟大家去说明几件事。首先这个小 a 是 哪呢？小 a 就是 我们括号里边的 n 的 系数， 明白吧？ p 呢，就是这个底数，在这里呢，要跟大家去说明两个点，你们在考试的时候，使用的时候，第一个点是一定要是 p 的 n 次方，明白吗？如果你考试里面碰到那个表达式里面是 p 的 n 加一次方的形式，那你要把它变成是 p 倍的 p 的 n 次方，把 p 乘到括号里边，明白吗？这个给你们写清楚了，就一定要是 p 的 n 次方， 那么你按照这个方式算出来的答案才是对的，因为你那个小 a 小 a， 你 不能带错，明白吗？这是第一，第二呢，就是我们这个 a 一 呢，它是主要是指这个数列的第一项， 但有同学可能说，对吧？你这不是废话吗？韩哥，哎，啊， a 带的是指的是属相，因为有的题目里面它不一定是 a 一， 知道吧？有的题目里面，它可能给你的是给你的是什么呢？是竖列 c n， 明白吧？那这时候你应该带 c 一， 清楚了吗？各位，用 c 一 把这个 a 一 给它替换掉，我说清楚了吗？各位？

曲线方程中，你去把这个 x 方换成 x 零乘 x， y 方换成 y 零乘 y， x 换成二分之 x 零加 x， 这个 y 呢？把它换成二分之 y 零加 y， 然后呢这个 x 乘 y 这项呢？把它换成是交叉的，好吧？就 x 零乘 y 加上这个 y 零乘 x 啊，就是把它换成是交叉的，就可以得到我们的极限方程。这个极限方程再次强调一下各位，他就是一个点，就是一条直线，任何一个平面中的任何一个点都可以成为极点，任何一条直线都可以成为极限， 他只不过说是随着这个点的位置在变化，那么我们极限代表的几何意义也在变化。比如说我们昨天跟大家讲的就这一个， 对吧？昨天跟大家讲到啊，就说如果说这个时候极点是落在我们这个圆上的时候，那么极限方程代表的就是过这个点的切线，留一个带一个。记住啊，椭圆里边也一样，双曲线里边也一样，抛物线中都一样。所以我已经是提前把后边几节课的内容在今天在这里都给你们讲完了， 好吧，都给你们讲完了啊，椭圆双曲线、抛物线都一样，好，如果说这个时候这个点他跑到了圆的外部，那么我们经过这个点点 p 可以 做出来两条切线，对吧？两个切点分别是点 a 和这个点 b， 那 么这时候你这个切点 a b 所在的直线方程就是极限方程，或者说 极限这时候代表的是过 ab 的 直线，这个过点 a 点 b 的 直线方程证明过程在旁边，就是跟刚刚给大家推导那个圆的公共弦所在的直线方程是一样的。 好吧，那如果说它是跑到了圆内啊，这个点呢？跑到了圆内啊，我后面找了个图，对吧？你看现在点 p 跑到圆内了，这个极点，这时候你说过，这个点 p 我 任意做两条直线，分别和我们这个圆交于说 c、 d 和这个 e、 f， 那咱们不就能得到一个四边形吗？对吧？那这组四边形他的任意的两组对边，比如说你看 c、 e、 d、 f 延长线延长出去之后，他的焦点 a 一定落在这条直线上做极限，那就刚好这条直线方程它就是极限方程。 所以我们跟大家讲，就说他只是随着说他的位置的变化，那么我们极限代表的几何意义，他也在变化，但实际上呢？我跟大家讲，他是一回事，那么他是一回事啊，为什么会是一回事？来看，好乖， 大力出奇迹，好吧，大力出奇迹，我以这个题为例，点屁在员外好吗？什么叫大力出奇迹？来 啊，我拿个虚线啊，画个虚线，抱歉，好，拿出你的锤子，把点屁往圆心这个方向，就跟敲一下，好，敲，敲一下之后点屁跑到这来了。 你做两条切线，我问你，这时候点 a 和点 b 两个切点是在靠近呢，还是在远离 啊？两个切点在靠近呢，还是在远离？说，靠近，对吧？好，再接再敲，再来一次，点 p 被你再敲一下，哎，又靠近了，对吧？ 你看离得越来越近了，极限情况下看，好啊，他本来是这样的啊，看摄像头，对，看摄像头放大招了，哈哈哈哈啊，摆着这是个什么手势？你看，好啊， 他本来是这样的，对吧？你敲一下变成这样，敲一下就变成这样，到了最后面平了他就成了什么了？他就成了切线了，知道了吗？到了最后面你你两个点一重合，他就成切线了，所以他实际上是一回事，知道了吗？他实际上是一回事，明白了吗？ 看看对不对？千年杀你这，哈哈哈，你是不是天天中这一招啊？你好，给你们看两个立体。 好吧？所以留一的你一定要会用啊，一定要会用。椭圆双旋抛物线都还会有这样的问题，而且他们做法都一样。嗯，证明过程都在这好吗？都在这来走，你比如说这个我。

这道数列题，九成同学都栽了跟头，不是算不对，是压根没 get 到核心思想。他考的是无穷的思维，无穷数列所有项加起来就是无穷极数。这是二零二四年高考的填空题， 和普通数列题完全不一样。常规题都是用前几项推数列的基本条件，但这道题你用有限项硬推试试，绝对走不通。 只看第一项式子，完全没意义。只看前两项，就是复杂的二元二次方程，看到前三项直接冒出高次方，越算越乱，根本算不出结果。这时候就得反其道而行。 从无穷大的角度来想，题目里 q 的 绝对值在零到一之间，当 n 趋近于无穷大时， q 的 n 次方就趋近于零， 高次项直接就没了，是不是瞬间清爽了？用同样的思路，把各项平方的和也算出来，接着站在极限的角度，让两个式子相等，一下子就能解出 a， 等于一加 q， 再根据 q 的 范围推出 a 的 范围，最后就能得到 a 的 范围。 其实这道题的关键就是两个无穷级数的极限，通过极限值相等，推出首项的条件。他考的从来不是复杂计算，而是你有没有无穷思想，能不能跳出有现象的固定思维。