函数相加的几何意义

众所周知，一阶导数的几何意义是某函数过该切点切线的斜率。那么你有没有思考过二阶导数的几何意义呢？这个教材上没有明说，但是如果你知道会对你有很大帮助的结论，在此为您献上。 二阶导数最核心的几何意义是反映函数图像的弯曲方向和弯曲程度，也就是函数的凹凸性。 以 f x 等于一的 x 次方的图像为例，它的二阶导数恒大于零，固它为下图函数。确定了函数的凹凸性，那么我们就可以用它的定义以及其生不等式。以二五年新高考一卷数学十九题第一小问为例，求函数 f x 等于五倍的 cos 三 x 减去 cos 五 x， 在零到四分之派 b 区间上的最大值减令 g x 等于 q 三 x， 则 g x 的 二阶导数等于负的 q 三 x 小 于零。在零到四分之派上横成立， 则 f x 等于五倍的 g x 减去 g 五 x 等于五倍的 g x， 加上 g 派减五 x， 由其兄父等式可得，计算结果等于三倍根号三。 此外，二阶导函数的编号零点称为拐点，对应的就会有拐点偏移，问题在此就不过多介绍了。最后，主包给大家分享一个比较重要的结论，即值第二判定定律。利用该定律，你可以不用讨论单调性，快速的求出极大值或极小值，是一个比较实用的技巧。

我们来看看这道题，他说呢，需要给一个幺幺和幺二三从幺往左加，幺和三相加，二和一相加，然后接就是一一三相加得四呢？二幺相加得三，然后幺零相加得幺。那我们需要从要往左边走，那我们来做一下 维护。一个 i 的 话，它是等于是另的这个另一再减一个一，然后 g 的 话呢，是另的这个另二再减一个。 看一下， i 是 一个大于等于零的，然后 g 呢？是一个，或者吧？对， g 是 一个大于等于零的，然后我们就问一个 m n inch， 嗯，进去，然后再看一下这个问题啊，然后我们看一下，那如果说你的 m 是 大于等于一的，当前的 i 是 大于等于零的，对吧？那 我们外表维护一个 by 的 数值，那这个 rise 等于 make， 那是这样的一个 bet 零，那么 rise 对 不对？嗯，你这里的话应该是 m 等于什么？等于是呃 into， 然后 sum 的 一个一的 i 再减去一个零，然后 m 要干什么？ m 要去 i 要左右减减。对，然后如果说 j 是 大于等于零的，那 n 的 话，要等于是 into sum 的 这个二的一个 j 再减去一个零。 嗯，这要做一个简简单的，对吧？好，然后继续看一下这个问题，那你要算一下当前的 carry。 carry 怎么算？ 对，那 carry 就是 你的净位置等于。是啊，你要先算，先算丧吧，丧的话等于是 carry 再加上一个当前的 m， 再加上一个 n 嘛，对吧？然后你的 carry 的 话，等于是上去除以一个十嘛，对不对？然后你的 rice 等于是 rice 等于是 a pound rice white。 然后你的 carry 你的这个 sum 要除一个十，再加上一个零。对，然后如果说外面的话 carry 它不为零的话，那你的 rice 等于是 a pound rice， 然后 bite 这个 carry 再加一个零，最后的话 written 一下，然后你还需要做反转，对吧？ 我们从零开始， i 要小于这个 lend 的 这个 rise， 去除一个二，然后 i 去做一个加加。哎，反转。其实这个办法也挺好的，就是你看 rise i， 对 吧？它和谁呢？它和这个 rise 的 这个 lend rise 减一减一再减 i 什么意思？就是我们第零个缩影和最后一个缩影，对吧？交换位置，然后第一个缩影和倒数第二个缩影交换位置。那这个 这里的话就是 rise 的 这个 learn 的 这个 rise 减一再减 i， 还有像 rise 的 一个 i， 最后的话，你就 return 一下 string 这个 rise， 看一下有什么问题。 嗯，解答错误，来开始第八个吧。嗯，看一下啊， 首先呢，我们有一个 i 和 j， 对 吧？就一个 i 和 j 没问题，然后有一个 rise 没问题，有一个 carry 没问题， i 大 于等于零没问题。 some 等于什么呢？ carry 再加 m 加 n 没问题啊，这理论有问题， 你的放进去的元素应该是一个取余的结果。嗯， ok， 没问题了，就是这个这个问题小修了一下。

哈喽，大家好呀，今天我们来看一个三角函数给值求值的问题。我们先看一下题目，告诉我们 cos 六分之派减 c， 它等于 a， 问我们后面这两个三角函数值是多少？那像这种题的话，那我们就是把前面这一个六分之派减 c， 它当成是一个已知角， 然后我们现在需要由这一个已知角来表示后面的这两个角。什么意思呢？我们先看六分之五派加 c 塔，跟六分之派减 c 塔什么关系啊？哦，那我们就要把 c 塔要消掉，那应该是拿来相加六分之派减 c 塔，加上六分之五派加 c 塔 等于 pi， 那 么我们要求的 cosine 六分之五 pi 加 theta， 它就应该是等于 cosine。 好， 两个小括号相加等于 pi， 那 第二个小括号应该就是 pi 减去第一个小括号， 然后我们把这一个小括号当成是一个整体，那由诱导公式 cosine pi 减二法，它就等于负的 cosine 六分之 pi 减 theta， 也就等于负 a， 所以我们第一个三角函数就求出来了，它就等于负 a， 那 同理，我要求后面第二个三角函数值，那我们就看这一个三分之二派减 c 塔跟我们的已知角是什么关系啊？我们需要把 c 塔给消掉，那应该是拿来相减， 所以三分之二派减 c 塔减去六分之派减 c 塔就等于二分之派。 那我们要求的这一个 sine 三分之二 pi 减 c， 它就应该是等于啊相减等于二分之 pi， 所以 第一个小括号我们就可以看成是二分之 pi 加上第二个小括号。 嗯，好，根据诱导公式 sine 二分之 pi 加 r 法，它应该是等于正的 cosine， 也就正的 cosine。 六分之 pi 减 c， 它好，也就等于 a， 所以第一个三角函数值是负 a， 第二个三角函数值是 a， 所以 最后我们的答案就是零。那这一个就是给值求值的问题，那什么时候我们会用到这个给值求值的问题呢？就是 当我们的已知角打开，这个六分之派不能用诱导公式给消掉，后面的六分之五派、三分之二派都是不能用诱导公式给消掉的。那我们就需要看 这个已知角跟我们要求的角之间的一个关系，那这就是我们这一个给值求值的问题，由已知角来求我们要求的角，你学会了吗？点个关注，老师带你逆袭高中数学！

同学你好，今天我们一起来认识一下函数。首先知道一个名词，我们首先得知道它的概念， 函数的概念是什么？一般的，这是我们课本上对它的定义。我们先来读一遍。一般的设 a 和 b 是 非空的实数集，如果对于集合 a 中的任意一个 数 x， 按照某种确定对应关系 f， 在 集合 b 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就乘 f a 到 b 为从 a 集合 a 到集合 b 的 一个函数，记作这个数字， 其中 x 叫做自变量， x 的 曲值范围叫做 a 的 定义域，与 x 的 值与之对应的 y 值叫做函数值。函数值的集合，我们就用这个符号来表示，我们把它叫做函数的值域。 相信很多同学发现自己每一个字都认识，但是连在一起却不认识了，没关系，我们慢慢来。首先他要设什么？ a 和 b 是 飞空的时速级， a 和 b， 我 们这是非空的十数，那我们随便写好不好？一二三四五六七，我们随便写，然后这里也随便写，十八十二六七八九百，我们这里写个一百零一。好， 他说按照某种确定的对应关系 f， 如果对于集合 a 中任意的一个实数，一个数，一个数， sorry， 按照某种确定的对应关系 f 在 集合 b 中都有唯一确定的数 y 和它对应， 那我们就称这个东西是从集合 a 到集合 b 的 一个函数，这就是它的概念。那我们来按照我的对应关系，任意的一个 x， 我 们对应一，我们对应十二，对应十二三对应六七八 七。啊，又写了一个，那我们加上一个吧。假设是这么对应的，它有唯一确定，那我们是不是都是唯一确定的？所以我们把它叫做函数。我们需要注意的几点 我们需要注意的几点？ a 中的每一个数， a 中的每一个数，每个数 都要有唯一确定的数与之对应。唯一确定的数 与之对应。 老师讲的这个关键词中，大家可以找到。呃，一个非常重要点，那就是 a， a 它是需要每个数它都要有唯一确定的数与之对应。与谁对应呢？是在 b 中的，与 b 中的数 对，一定要所有数都要一个个对，那像老师刚刚这样子，如果少了个一百零一，他没有对应的数，这个还叫函数吗？那很肯定他不符合定义，那他肯定不是函数， 接着他要什么？他要尾一。那如果像老师这样，我这个一百零一，没有东西与之对应啊？我把它对上一百， 把它给一百一七也对一百，一百零一也对一百，那这样它还是一个函数吗？不是，对不对？它还是不是一个函数？因为它不符合定义。那老师有一个疑惑，如果 我们说如果 六，如果说九七，他也对九呢？七如果也对九，他是不是一个函数呢？ 那我们看一下定义他是不是任意的一个数，他有一个确定关系，然后在 b 中他都有唯一确定。七是不是只能对九呀？六是不是也只能对九呀？ 所以他是一个函数，是不是？所以我们这里可以写一个注意事项，那就是二 a 中可以有 多个数，多个数对应 b 中的一个数， 这样是不是就像人话了？他讲的这个一点也不像人话，是吧？接着我们要介绍函数的三要素， 函数的三要素其实在上面的定义中已经有所涉猎，那大家跟老师走进去看看函数三要素是什么？我们来猜一下，你看他在这里介绍了， x 是 自变量，是不是 a 中的这个数，它就是 自变量，我们来标一下 那 b 中的这个数，我们把它叫做啥？它是自变量，它的取值范围，它就叫做定义域， 那我们说了，这个定义域就是函数的三大要素之一，同学们真厉害。与 x 值与之对应的这个 y 值，这个 y 值也就是 b 中的这些值，我们把它叫做什么？函数值， 我们把函数值叫做什么？叫做值域。哦，那还有一个，那老师来告诉大家，它就是对应关系， 相信在很多，呃，相信很多同学都学过这个，在初中我们学过的一个正比例函数 x， 它的定义域是什么呀？是不是任意数？所以是 r 是 吧？ x 是 属于 r 的， 那 y 呢？这样看 y 也是属于 r 的， 那如果它是这样呢？ 这是我们学过的一个反比例函数，我们都知道这个 x 它是不能为零的，所以它的一个定义域就是 x 不 等于零，那 y 是 什么？ y 也是不等于零，大家真聪明。 接着我们说它的对应关系，我们把定域和值域相信大家都有所了解了，我们现在来讲下对应关系，我们以此函数作为例子，假设 x 等于一， 那 y 应该等于什么？大家算一算， y 是 不是等于二，这就是一个对应关系。 x 等于二， y 应该等于什么？等于四，这就是一个对应关系。 y 都是 x 的 两倍，是不是？嗯，大家非常聪明啊，我们接着说这个吧，反比一还说， 呃，老师给大家列出一道假设，它是 x 的 分之二，当 x 等于一的时候， y 是 等于多少？大家算一算，二除以一等于二， x 等于二的时候呢？ y 等于一，这就是一个对应关系。好啦，这就是函数 的基本讲解，希望大家通过这一十分钟的一个介绍能有所收获，谢谢大家。

拉格朗日乘法里的 let 究竟是什么？我们用几何直观演示 let 其实就是梯度平行，这是智能行第六十五个知识点。 先画个坐标系，先看函数， f 等于 x 的 平方加 y 的 平方，它的等高线是同心圆，越靠里， f 值越小，越靠 y， f 值越大。现在加一个约束， x 加 y 等于二，在这条线上， f 最小能到多少呢？把约束条件画出来，这条金色的线就是 x 加 y 等于二。 放一个小红点在上面试试，让它从一端滑到另一端。注意看 f 值的变化， f 值最小的位置就在这儿， x 等于一， y 等于一， f 等于二。 为什么是这个点呢？咱们看看梯度，蓝色是 f 的 梯度，绿色是约束函数的梯度。看它们之间的夹角，红点在线上移动，夹角一直在变化，注意看角度越来越小了，到这里夹角变成零度了，两个梯度方向完全平行，这就是核心极值点处，梯度必须平行， 等高线刚好和约束线相切，梯度平行推出，等高线与约束相切。换个角度再看看镜头拉近，如果圆太小，碰不到约束线，这个 f 值不可达。 慢慢把圆扩大，直到刚好碰到约束线，碰到了，这就是最小的可达圆， f 等于二最优，再大的圆虽然能碰到，但不是最小的。三种情况一对比就清楚了。最小等高线刚好切到约束，就是极值点。 几何上理解了，看看公式怎么写。左边画出两个梯度箭头，第一个方程 f 对 x 的 偏导加 round， 乘以约束的偏导等于零。第二个方程对外也一样。第三个，约束条件本身三个方程连立就能解了，你看几何和公式一一对应，这就是拉格朗日陈述法。 刷知能行的时候，我就在想，要是这些知识点有视频快速讲解就好了，讲清楚概念就能直接开练。所以我决定自己来录，把这些核心知识点做成视频，帮大家快速复习，直接上手。今天讲的是第六十五个知识点，拉格朗日陈述法。下期视频我们继续聊二重积分定义。

我们前面讲了反比例函数 k 的 几个意义， 那我们在第二部分，我们来讲解一下反比例函数与一次函数相结合，这部分的内容呢，非常非常的重要，你学会了这部分内容，对于你解决函数跟几何综合题型有很大的帮助，那我们一起来看一下。首先呢，它会有几个结论， 第一个结论说有一个反比例函数，同时呢有一个一字函数，它们俩相交于 ab 两点， a 点是 x 一 y 一， b 点是 x 二 y， 那 么我们通过这个图形推导出什么结论呢？我们先看它们有一个公共的 面积，我记成 s 一， 这我记成 s 二，这我记成 s 三，这是 s 四。我前面是不是推导过这个 s 二是不是等于 s 三呀？因为它们都加上 s 一， 就等于 k 的 几何意义， 所以 s 二等于 s 三。这个时候呢，我两边都加一个 x 四，那就 s 二加上 s 四，就等于 s 三， 也加上 s 四，那 s 二加 s 四等于什么？是不是等于三角形 aob 的 面积啊？ s 三加 s 四呢？是不是等于梯形 a、 b， n、 m 呀？反比例函数与一的函数相交的两个点， a 点， b 点，它们与原点组成的三角形的面积就等于两个点向 x 轴所垂线所围成的梯形的面积。 这个结论非常非常的重要，那它的面积又等于什么呀？ a 点的坐标我们知道的是 x 一 y 一， b 点是 x 二 y 二，那这段是不是就是 y 二，这段是 y 一， 那 m n 等于多少？是不是等于 x 二减去 x 一 啊？那我利用梯形公式是不是能求出面积来结论一就是三角形 o a、 b， 它的面积等于梯形 a、 b、 n、 m 的 面积，它就等于二分之一，上底加下底，再乘以高， 最终化简得到这个式。大家看这个是非常非常的重要，二分之一 x 二， y 减去 x 一 y 二。这个公式如果大家记不住，那你也需要知道，三角形的面积一定等于这个 t 的 面，其实这公式呢，非常好记，大家注意， a 点在左侧， b 点在右侧， a 点在左侧，那是面积是不是等于二分之一？两个相邻的内部的它俩相乘， x 二 y 一 减去 x 一 y 二，最后再求外面这两个。比如说随便题目告诉我们， a 点是个二三， d 点是个三二，那我直接就求了三角形 a、 o、 b 的 面积是不是等于二分之一内，先乘三三得九，然后再乘以二二得四，就得到二分之五，所以你接着这个公式就非常非常的容易，这就是结论一， 那我们看一道例题，大家去感受一下。说如图，点 e、 f 在 函数 y 等于二，比上 x 的 图像上， 直线 e、 f 分 别与 x 轴、 y 轴相交于 ab 两点，且 a 点的横坐标是四点， b 的 纵坐标是三分之八，则三角形 e、 o、 f 的 面积是多少？让我们求 e、 o、 f 的 面积，我是不得知道点 e、 点 f 的 坐标呀，点 a 的 坐标是四 零，点 b 的 坐标是零，三分之八，那直线 ab 我 是不是能写出来啊？前面讲一次函数是不是讲过了？快速求解法， y 等于负的多少倍的 x， 这个是 b 是 不是三分之八呀？你这也是三分之八，这是四，咱们在一次函数是不是讲过了啊？快速求解法，那我划点一下， 都有一个四，那就是负的三分之二 x 再加上三分之八，这就是直线 ab 的 极式与反比的函数 是不是得结合一下？那我们就来算一下，负的三分之二 x 加上三分之八等于 x 分 之二，先把这个三去掉， 负的二 x 加上八等于 x 分 之六，再把这个二约掉。负 x 加四等于 x 分 之三，同乘一个 x， 负 x 平方加上四 x 等于三，那就是 x 平方 减四， x 加三，是不是等于零啊？好，十字相乘嘛，三一，那就 x 减一， x 减三等于零，那 x 一 是不是等于一 x 二是不等于三啊？好，那我们看看谁是一，谁是三，那一点是不在左侧啊？一点肯定是一， 二， f 点是多少，是不是三呀？二除以三就是三分之二一点的坐标， f 点的坐标求出来了，让我求三角形 e、 o、 f 的 面积，是不是直接求啊？直接带三角形 e、 o、 f 等于二分之一，它俩相乘是不是六啊？ 然后他俩相乘三分之二，三减去三分之一，最终是不是就是三分之八呀？那你会了这个公式是不是就直接就求解啊？三分之八，那我们一起来看下这个答案，这个答案是不是最终是三分之八呀？所以这道题不难，你会了这公式就非常的简单。 那我们再看一下这道题是二零二三年湖北黄石的忠告真题说如图，点 a 是 a， 五比上 a， 点 b 是 b， 五比上 b。 在 反比例函数的图像上，其中 a 大 于 b 大 于零， 过点 a 做 a， c 垂直于 x 轴于点 c， 则三角形 a、 o、 c 的 面积为多少？第二问是，若三角形 a、 o、 b 的 面积为四分之十五，则 a 比上 b 等于多少？既然经过 a 点、 b 点，那 k 等于多少？ k 是 不等于五啊？ 那我知道了，反比的函数 y 等于五，比上 x。 第一问，让我们求什么？三角形 a、 o、 c 的 面积，它的面积是不是等于 k 的 一半啊？那是不是也就二分之五啊？第一问，是不是比较简单， k 的 几个 e？ 那我们来看一下这个。第二问说，若三角形 a、 o、 b 的 面积等于四分之十五，则 a 比 b 等于多少？你要会了前面的公式，是不是就非常好求解啊？但是大家注意看 a、 b 谁在左侧，是不是 b 在 左侧？那我得把 b 写的 b 是 b， 一分之五， a 呢？ a 是 a， a 分 之五，那三角形 a、 o、 b 是 不是直接就求了二分之一？它俩相乘，那也就是 b 分 之五乘以 a 减去 外面两个相乘，也就是 a 分 之五乘以 b 等于四分之十五。五分之 b 分 之 a 减去 a 分 之 b 等于四分之十五乘以二，也就等于二分之十五。 b 分 之 a 减去 a 分 之 b， 是 不是就等于二分之三呀？题目让我们求什么呀？ a 比上 b， 我 设这个 a 比 b 等于 t， 那就变成了 t 减去 t 分 之一等于二分之三。那我们求下 t 等于多少？两边同时乘以一个二 t， 那 就是二 t 的 平方减去二 等于三 t， 那 也就是二。 t 的 平方减去三 t 再减去二等于零， 二一二一，然后十字相乘，那这就是负的，那也就是二 t 加一， t 减二等于零， t 是 不是只能是正数呀？所以 t 就 等于二，那 a 比上 b 是 不是就等于二啊？ 这题是不是就求解了？一个是二分之五，一个是二，那我们一起来看下这个答案，这种答案是二分之五，是不是二啊？所以你要知道这个面积公式，你直接求解就行了，就不用像这个再去列了。如果是几何大题呢？你就要多写一步，把它们转化的这个写出来。好，那这就是这道题。

这道题三个根号加在一起求最大值，看起来无从下手，但只要你掌握了今天这三种方法，这类题型将彻底沦为你的送分题。 题目求函数 f x 等于根号下 x 加二十七，加根号下十三，减 x 再加根号下 x 的 最大值。定义域很好确定， x 的 取值范围是零到十三。 今天我们一共准备了三种解法，第一种，加权科西不等式，通过精妙的细数构造，一步放松，直接秒杀，堪称考场大杀器。 第二种，凹函数切线不等式，利用根号函数的凹性，在切点处作限性，逼近，三式相加，瞬间消圆。第三种经典导数法，稳扎稳打球导焰根是最标准的通法。准备好了吗？我们直接开始 解法。一、加权柯西不等式先回顾柯西不等式，两组实数内积的平方小于等于各自平方和的乘积等号在两组数乘比例时成立。 观察 f x 的 结构，它是三个根号式的和。为了使用科西不等式，我们需要把每一项拆成两个因子的乘积，引入三个待定的正权重，阿尔法贝塔伽马。把 f x 改写为，阿尔法乘以根号下 x 加二十七除以阿尔法 加贝塔乘以根号下十三减 x 除以贝塔，再加伽马乘以根号下 x 除以伽马。这样每一项就是一个 a 乘以 b 的 形式了。 应用科西不等式之后，右边第二个括号会出现， x 加二十七除以阿尔法十三减 x 除以贝塔， x 除以伽马。三项之合展开， x 的 系数得到一，除以阿尔法减一除以贝塔加一除以伽马。 为了让 x 消掉，使上界为常数，这个系数必须等于零，也就是一除以阿尔法加一除以伽马等于一除以。贝塔 在正整数中寻找满足这个条件的最简减取。阿尔法等于六，伽玛等于三则六分之一加三分之一等于二分之一，所以贝塔等于二。 现在把这组系数带回 f x， 就 写成了根号六乘以根号下 x 加二十七除以六，加根号二乘以根号下十，三减 x 除以二，再加根号三乘以根号下 x 除以三。 对这个式子直接使用科西不等式。 f x 的 平方小于等于六，加二加三乘以 x 加二十七除以六，加十，三减 x 除以二，加 x 除以三。第一个括号等于十一， 第二个括号通分，分母为六，分子展开得到 x 加二十七加三十九减三， x 加二 x， x 全部消掉，分子等于六十六，所以也等于十一。因此， f x 的 平方小于等于一百二十一， f x 小 于等于十一。 最后验证等号条件由比例关系解出， x 等于九，代入原函数 f 九等于六，加二加三等于十一，等号成立，所以最大值为十一。 解法二、凹函数切线不等式根号 t 是 一个凹函数，这意味着它的图像总是在切线的下方，也就是说，对任意正数 t 和切点 t 零，根号 t 小 于等于根号 t 零，加上 t 减 t 零除以两根号 t 零。这就是我们的核心工具。 现在问题来了，切点选在哪里？我们同样从 x 等于九出发，当 x 等于九时，三个根号内部分别是三十六、四和九，所以我们就以这三个值作为各自的切点。 对第一项，根号下 x 加二十七，取切点 t 零等于三十六，得到根号下 x， 加二十七小于等于六，加 x 减九除以十二。对第二项根号下十三减 x， 取切点 t 零等于四。 注意十三减 x。 关于 x 是 递减的，所以根号下十三减 x 小 于等于二，减 x 减九除以四。对第三项根号 x， 取切点替零等于九。根号 x 小 于等于三，加 x 减九除以六。 把三个不等式加起来，常数部分是六加二，加三等于十一。 x 减九的系数是十二分之一，减四分之一加六分之一通分之后等于一减三，加二除以十二，恰好等于零，所以 f x 小 于等于十一。 当 x 等于九时，三个不等式同时取等号，所以 f x 的 最大值为十一，与解法 e 完全一致。解法三，经典导数法，这是最标准的通法，稳扎稳打求导验根， 对 f x 求导， f 撇左圆括号 x 右圆括号等于一，除以二根号下 x， 加二十七，减去一除以二根号下 x， 令 f 撇 x 等于零。直接解这个方程有一定难度，但我们注意到，当 x 等于九时，三个根号分别化为六、二、三代入验证。十二分之一减四分之一加六分之一通分得到一减三加二除以十二，恰好等于零， 所以 x 等于九式注点。接下来用二阶导数确认，这是最大值。 f 双撇 x 的 每一项都是负数，因此 f 双撇 x 在 整个开区间上严格小于零。 f x 是 严格凹函数，唯一的注点就是局最大值点， 所以最大值在 x 等于九处取得。 f 九等于六，加二加三等于十一。三种解法殊途同归，最大值为十一。

تولۇق ئۈچىنچى يىللىق ساۋاقداشلار ياخشىمۇسىلەر ئالدىنقى قېتىمقى ۋىلوگىيەمىزدە بەزەن بىر قىسىم ساۋاقداشلار 三角汉书 نىڭ 有道公式 غا مۇناسىۋەتلىك سوئاللارنى سورىغان بولدى ھە بۇ قېتىملىق مەزمۇندا ساۋاقداشلارغا 喝茶公式 بىلەن 游道公式 ئىككىسىنى بىرلەشتۈرۈپ ئازراق بىر نەرسە سۆزلەپ بەرمەكچى ساۋاقداشلار پايدىلىنىپ قالساڭلار بولىدۇمەسىلەنگە قارايدىغان بولساڭلار بەرگىنىدە كۇسارھە ئاۋۋال 合查公式 ئارقىلىق 三二发家乡贝塔 يەنى 展开 قىلىدىغان بولساق。 他会变成三二发成商，三贝塔在进取三二发成三贝塔 and harden to the person。 那么 cosine 阿尔法 cosine 比他。嗯，没有直接的跟这个弹震的阿尔法和弹震的比比它有关系。但是我们学过一个公式，也连任何一个交来说，弹震的阿尔法就等于 sine 阿尔法。比上 cosine 阿尔法，这里面的阿尔法不等于九十度，也连不等于二分之拍。 嗯，这里我们知道 san 阿尔法就是 tangent 的阿尔法成商 cosine 阿尔法ئاندىن sm 备塔 بولسا 弹针特备他充三二发 ئىككىسىنى 张开 قىلىۋېتىدىغان بولساق ھە。 他会变成弹针，二发成商 cosine 二三比，他会变成快餐成双弹针对他ئەمدى ئالدى يەنە ئوخشاشلا كۇسارژژژژژژژژ ئەمدى قارايدىغان بولساق ياڭ كۇسار كۇسار كۇسارئەمىسە。那就等于间接 cosine 二法加上比特的 m 的 百叶呢？在这写上一个 m 好， 这个弹振二法乘弹振比特就等于 r 了。那就说明 cosine 二法负的 cosine 二法乘 cosine 比特就等于 m。 把符号乘过来的话，它会变成负 m， 然后或者是 𫪈 比特二法减比特，我们展开的话，它会变成。 就等于 cosine r 发成 cosine 比特，再减去加上 sine 而发成 sine 比特。然后我现在把这个 sine 而发 sine 比特。我们拆开来写的话， cosine r 发成 cosine 比特，比特 e 加上弹性的 r 发成弹性比特。 因为探针的二法加上探针被它就等等于二，则把这个二带进去，它会变成三倍的 cosine 的 二发乘 cosine 被它。因为把它的 cosine 的 二发乘 cosine 被它，我们求出来的是负 m， 则它会变成负三 m。 所以 我们这一道题选择的答案是 d 答案。

为什么函数的连续性是要用极限的 epsilon 语言去定义的呢？今天我们来了解一下。那么什么样的函数是连续的呢？在几何上有一个很直观的做法，那它就是可以一 笔画出来的嘛。比如说 y 等于 x， 那么它的函数图像是不是可以一笔这样画出来，那么像 y 等于 x 的 平方诶，画出来是一个曲线，甚至像 c m， x 画出来跟个波浪形似的，也是可以一笔画出来的，就是不会断开，那么这就是连续。那么像碰到这样的函数，比如说像这样的分段函数， 当 x 小 于等于一的时候，那就是一加 x， 那么它的函数图像就变成这样了，在一的时候就为一，它是这样， 在小于一的时候，它就这样增加到这了，等到它大于一的时候，就变成一加 x， 那 就是在二开始，那么这是大于，所以这一点是空着的，再继续往上走， 那么这种就不连续嘛，因为为什么呀？我要先画这样，然后再跳到这里，再画这样， 那么这个就是不连续嘛。哈，好，虽然语言上和几何上你能感觉出来，但怎么去用数学的方法，用数学的语言去描述它呢？ 最早这个进行尝试的是欧拉， 欧拉就说呀，哎，是不是这样能用一个 解析式表达出来的，它就是连续函数呀？你看这里一个解析式，它能表达出来，它是连续的，你看这个用了两个解析式， 一个 x， 一个一加 s， 所以 它就不能连续了。但很快啊，数学家就发现这样不行，是吧？那你你把 你看，有一种分段函数，如果是 x 小 于等于一的时候，就是 x， x 大 于一的时候就是 x 的 平方， 那么这是个很典型的，你看，小于一的时候，它就小于等于一的时候，它是这样增加，等到大于一之后，变成 s 的 平方，它就这样增加，那么它也是能一笔画 这样画出来的呀。但是它也用了两个解析式啊，这也不行是吧？而且啊，就拿同一个解析式来说， x 分 之一， 它的函数图像是怎么样的？当 x 趋向零的时候，那么它就奔着无穷去，等到 x 趋向无穷的时候，它就奔着零去，它是这样的， 在零处它是奔的无穷的，那么就是发散的。如果 x 是 负的话，那么很明显它就会从零一直增加到负的无穷，因为一除以负一的话，那就等于负一嘛，就它就往下走了，是吧？ 它是一个解释解析式啊，但你看，我要我得画两笔啊， 后来还碰到一种，是什么呀？ sine x 分 之一，当 x 趋向于零的时候，那么这个是不是就趋向 sine 无穷啊？ sine 无穷等于多少呢？所以也就是在零处， sine x 分 之一，它应该等于多少？这是个发散的值， 所以它的函数图像呢，画出来就这样，一开始波浪比较宽啊，然后呢，越来越密，越来越密，越来越密，就在这里震荡，然后呢，再慢慢的又扩散，它在零处，这里 可以证明啊哈，它是求不出它的值的， 那么他也是一个解析式啊。所以呢，数学家在尝试怎么去描述连续这件事情，发现现在很难去描述出来，用数学的语言很难描述出来。 时间来到了一八一六年，有一个杰克的数学家，他叫做波尔查诺。 薄茶诺呢，就说呀，唉，与其去纠结什么是连续，不如我们逆向思维一下，什么是不连续呢？ 我们反过来思考一下，什么是不连续呢？如果不连续，也就意味着这个点它是断开的，或者叫渐断点。 那么这个间断点它有什么性质呢？我们回来看这个，那么这个点它就是一个间断点，它和下一个点不挨着。间断点，两个点 不挨着， 两个点不挨着，在数学上能不能描述呢？ 波尔查诺说，哎，这可以描述两个点不挨着，也就意味着什么呀？两个点之间的距离 不能无限小 啊，或者说不能无穷小，是吧？你看这里它小，它再小，它也小不了一， 因为 e 加 s 在 这里，它想不下去了，那么这个它就僵断了，那么你看这个是不是这里僵断了？这里奔着无穷富无穷去了，这里奔着正无穷去了，它俩之间的距离也没办法小到 任意小。但波尔查诺呀，他不太出名。第一呢，他是捷克的，他用捷克写的论文，捷克语写的论文呢，就是别的地方人看不懂啊， 然后呢，他的名字相对小一些，所以呢，他的这个成果呀，很长时间没被到，没被人注意到，但是另一个大神登场了。 柯西表示，我也是这样想的，也就是两个点，如果是间断点的话，也就是任，就是两个点 的距离不能小于任意的，大于零的啊，这样写，任意的 epsilon， 大 于零的 epsilon， 最后就是威尔斯特拉斯，这我熟啊，对吧？这不就是极限吗？ 所以要定义两个点，这两个点是不是间断点，直接用极限就可以定义出来了，也就是两点之间，对，对于任意的 epsilon 大 于零， 如果 f x 减去 f x 零，这两个点 能小于 epsilon， 那 么我们就说这两个点是连续的， 否则它就是断开的，就是将断点， 于是用极限的语言就能描述什么是间断点了。有了间断点，有了连续的点和间断点的定义，那么对于一个函数来说，它在一定范围里面 是不是连续的，也就意味着什么呀？对于这里面的任意一个点 啊，任意任意点 x 零都能 f x 减去 f x 零 是小于 epsilon 的， 那么我们就说它在这一段范围里面，这个函数 在这个定义域里连续了 啊，就像这一排多米诺骨牌，这一排它是不是连续的？你就问第一个点，你和附近的点之间的距离能小于 epsilon 吗？如果第一个点可以，第二个点也可以，你问任意一个点， 它和它旁边的点都能小于 epsilon 的 距离，那么我们就能说这一排多米诺骨牌 它就是连续的。所以这就是为什么函数的连续性是用极象的 eiffel 德塔语言定义出来的，因为对于任意一个点， x 零就是在这个范围里面的，任意一点的 x 零，那么都有 f x 减去 f x 零都能小于一次龙，那么每一个点和它旁边的点都能挨着，它的距离都能无穷小，那么函数就在这个区间里面都是连续的， 它还有个等价的形式是什么呀？就是对于任意的 epsilon 大 于零的，那么存在 的它使得 x 减去 x， 零是小于的，它的也就是两点之间， 哎，建立一个坐标系啊， x 零 x 两点之间是小于这个德塔的，那么它两之间的误差就是这个一次隆啊，使得 f x 减去 f x， 零能小于 epsilon， 那 么我们就能说这两个点是挨着的，如果对于任意的前面再加一个任意的 x， 零都行的话，那么函数在这个定积率里面连续，由此啊，就得到了另一个概念，叫做间断点。 这个间断点呢，由于它的性质不同，它有，它就有不同性质的间断点，你看这种的间断点就从这里突然跳跃上去了，那么它就是叫做跳跃 间断点。哎，写到这了啊，所以呢，它是跳跃的。 还有一种呢，就在这个地方没有定义，比如说你看我遇到这样的，呃， x 的 平方减一， x 减一， 当 x 等于一的时候，是没有定义的，因为出现了什么零比零的情况，是吧？ 一的平方是一，一减一为零，一减一也是为零，零比零，那么它它有极限啊，还记得洛必达法则 上下一求导， x 的 平方求导就是二，这个常数求导都没有了，这个是 x， 求导是一，那么 它在 x 等于一处的时候，它的极限是二。画出函数图像来说呢，它就会这样啊，那个如果它是零的话，零减一，零减一，那么在零处就是一， 那么在一处的话呢，就是二， 但是是空着的，就这一点取不到，所以他是空着的。 如果是一的话，一的平方是呃，二，二的平方是四，四减一等于三， 这个二二减一是一，那么是三，一，二在二处，它是三啊，那么这个函数是往上走的 好，它往上走了，就在这里有一个间断点，这也是一种。然后呢，这两种间断点呢，它都有一个性质是什么呀？它的左右这个极限是存在的， 这这一边的极限是存在的，这一边的极限存在的，也就是它的极限就是在二这个。所以呢， limit x 的 平方减一， x 减一， x 曲线一的时候，它的极限是存在的，左右极限都存在啊，这边的极限存在，这边极限也存在，然后这边跳跃间断点也是。你看这边的极限， 右极限是存在的，左极限也是存在的，甚至都不用极限，你看这里都还还有意义呢，对吧？啊？像这种左右极限， 哎呦呵，左极等于右，哎，不是等于右极，左左左右极线都存在的，我们就称为第一类 尖端点。 那么像这种 x 分 之一，这个左极限发散了，不存在啊，把这个右极限发散了，不存在，这个左极限也发散了，不存在。所以呢，这个间断点的话呢，左右极限都不存在。 像这种左极限从右极限右边过去，不行，塞人无穷从左极限过去，也是塞人无穷，也，也不行，也发散。 像这种啊，就是左右极限都不存在，或者有至少有一边不存在啊，比如说， 万一你碰到这样的，这边的极象是存在的，但是这边极象不存在啊，也不行，反正只要有一边极象不存在，甚至两个极象都不存在的话呢，这种就称为第二类 间断点。那么像这种的啊，它也是无穷有发散的。那么还有一种呢，就是这种震荡的 好，所以呢，就有两种间断点，这两类间断点呢， 对于这种间断点呢，它还有一个特殊性，就什么呀？中间它就缺了一个点而已，这个点有时候我能补上去， 比如说我建立一个这这个分段函数，那么当 x 不等于这里是一一的时候，那么还是按 s 的 平方减一， x 减一去计算，当 x 等于一的时候，直接带进去没有意义，是吧？那么 s 等于一的时候，我就让它直接等于二， 那么就直接把这一点点上去了，那么这一点点上去之后，我们发现 这一点和它附近的这个点之间的距离是不是能小于 eps 龙啊？这就是本来极限它的定义，它就是能小于 eps 龙的嘛，对吧？它和旁边的点就能小于 eps 龙，它和左边的点也能小于 eps 龙， 也就说明你只要填上这个点之后，它和左右两个点都挨上了，这一整段都能变成连续的了。 所以呢，这种呢，又称为可去间断点，刚好没给他起名字，刚才是吧？啊，现在直接就起名字了，可去间断点 好，所以呢，这些间断点的名字就都有了，有跳跃的，有可去的，有发散的，有震荡的，就有各种各样的间断点了。 同时对于连续也还有一个很有意思的东西，是什么呀？你看像这样的话呢，比如说 y 等于 x， 那 么我们看到对于任意的 epsilon， 那么它对应的下面这个 delta， 因为这个等价定义嘛， x 减 s 零是小于 delta 的， 那么这个区域是小于 delta 的， f x 减去 f x 零，也就是 那我这样标出吧，这是 s 零，这是 x， 那 么这是 f x， 这是 f x 零， 那么它之间的距离是小于 epsilon 的， 这里是小于德塔的，我们发现对于任意一个 epsilon 的 范围，你，你把这个距离平移到这里， 差不多啊哈，这一它一样的对应的这个德塔都是可以的啊，放出整个线段都可以的。但是比如说对于 x 分 之一 x 分 之一， 它的函数图像是这样的，那么它在连续的这段，除了零之外，别的点它能连续，是吧？那么但是它的连续性呢？就很有意思，比如说我的 epsilon 画这么大， 这是 epsilon 的 范围，那么它对应的这个得差 是那么大，但是你把这个 epi 螺挪到这边的话，挪到这吧，大家差不多是吧啊？ epi， 哎，我们发现怎么样 它的给它这个嘚叉的范围啊，就很少很小了， 所以呢，它就数学家就发现了，对于不同的函数，像这种行函数的话呢，你用一套 epsilon 和 delta， 对 于每一个点都有效。但是对于这个的话呢，你不同的点，它这个 epsilon 和 delta 的 取值范围是不一样的， 如果你用一套的话，比如说我就用这一套，你放到这一点就不行了，你看 eiffel， 大家都相同的话，如果你德塔再取这个范围的话，你就超出这个误差范围了，或者这样来说，这样来看， 我把德塔平平均平均画一个德塔， 对吧？那么你在这一部分的时候，你的误差 ipsil 就是 那么小的一段，但是如果你的塔你放到这里的话，你得到的误差就非常大了。 所以呢，对于这种的话呢，像这种你把这个所有的点都能用一套 excel 去定义的话呢，这种啊就叫做一致连续。 其实还有个翻译叫做均匀哎， 均匀连续啊，但是一般都会翻译成一致连续。 用极限去定义函数的连续性，它还有个好处，就是可以很轻松地证明连续函数通过加减乘除四的运算得到的还是连续的函数。 因为为什么呀？上一期视频我们证明过了，如果就是 limit x 趋向于 x 零 f x 加上 limit x 趋向于 x 零的 g x， 它其实是等于 limit x 趋向于 x 零 f x 加上 g x 的， 那就意味着什么呀？它俩加就是相加得到的，这这个函数，它在 x 零处和旁边的这个 x 的 距离是小于 epsilon 的， 那既然小于 epsilon， 那 么它和旁边的点肯定就是挨着的呀。所以呢，也就意味着两个连续函数 相加得到的它还是一个连续的函数，因为证明了它俩的极限 去存在一样的话，那么它和旁边的点的距离都一都是小于一次龙的，那么加法是这样除法也是，对吧？ f x， 当然 limit 我 就不写了啊啊，我就简单写 g x， 它就等于 limit， 整体的 f x 除以 g x 都一样，因为就是极限嘛，这个极限，极限存在，也就意味着 这个函数的值的这一点，它和旁边的这个点的误差 是小于 epsilon 的， 它就满足连续的定义乘法也一样啊。所以呢，是不是这个证明轻轻松松啊？ 所以这就是为什么函数的连续性是用 eiffel derta 语言来进行定义的原因啦。

今天我们来分享一个一次函数与几何图形的一个例题，如图，一次函数 y 等于负四分之三， x 加三的图像分别与 x、 y 轴交于 ab 两点， 以线段 ab 啊，在 ab 为边，你说这条边， 在第一项线内做一个等腰直角三角形， a、 b c 也就这个啊，它是一个等腰直角，那么角 b 也就是这个角，是一个直角， 让我们求点 c 的 坐标，在这里啊，我们以前学过啊，这是一个等腰直角，在这里我们可以直接套用一个模型，也就是一线三垂直的模型 啊。假设我们做一条垂线，过点心做 x 轴的一条垂线，这个时候我们看这就是一个一线三垂直的模型，那么告诉我们， ab 是 x 轴 y 轴的一个交点， 那我们可以把焦点坐标求出来，当 x 等于零啊， y 是 等于三的，也就是 b 点的坐标零到三，当 y 等于零， x 等于四的， a 点的坐标啊，就是四到零， 哎，这样我们就得到了 b， o b 是 三， o a 呢，就是四， 我们去做一线三垂直，这个角一加上，角二是九十度，那么角一加角三也是九十度，所以角二等于角三啊，有边有边有角，那么同样的 角二加角四是等于九十度，角一等于角四，所以这两个三角形呢，全等，全等，全等以后，我们 a e 应该等于 o， b 是 三啊，这个 c 就等于 o a， 这是四，这是三，这是四，那么我们这一段 o e 就是 七啊， o e 是 七，这是四，所以我们点 c 的 坐标啊，七斗四 啊，这是利用了我们这个一次函数，结合了我们一线三等角，一线三垂直的一个几何模型， 得到了点 c 的 坐标啊， c 都是啊。希望这个例题对你有帮助。

我是代数模块，我是几何模块，我是函数模块，我们是数学核心三巨头。我是代数模块，数学的运算中位数非我莫属。从小阶中的整数、小数升级到有理数的正负博弈，整数的加减乘除，分式的化简求值， 再到一元一式方程组的联手破题，一元二式方程的判别式玄机， 每一步都是在给高阶代数进一步学习搭台阶。我是小阶计算的进化版，根函数不等式是前缀篇，现在把符号、规则、等式性质啃透，将来学二次函数不等式，主才能不卡壳。 不过要提醒你去括号千万别漏成负号，分式分母永远不能为零解方程一定要验根，这些小细节可是藏着大陷阱呢！ 我是几何模块图形魔术师，从数学中的简单图形进阶到三角形的全等相似双兄弟，四边形的平行四边形、矩形、菱形、正方形、家族圆的圆心半径、直径和弦弧军团。 不仅要背熟周长面积公式，更要玩转角度计算线段相等的证明。我的独门绝技是辅助线， 遇中点连中线、正线段和差截长补短原理，遇直径连直角这些隐形线条能帮你打通思路。 我是简单几何的升级版，是立体几何的平面版，现在练熟平移旋转对称，将来面对三维图形也能轻松降维打击。 我是函数模块初接数学的变化代言人，从成正比的正比例函数，到可平移的一次函数，再到开口向上向下的二次函数，我的核心是两个变量的一纯关系。 画图像要找关键点，正比例函数过圆点，一次函数找与坐标轴的交点，二次函数找顶点和对称轴。我可是高级函数的启蒙老师， 现在搞懂，一是函数的斜率，二是函数的最值，将来学指数对数，函数就能快速上手，千万别把变量关系学成死记公式，结合图形理解变化规律才是真本事。