八下旋转作图方法连线

武汉初二数学想拿满分三角形做图的技巧你一定要掌握！三角形呢，主要是图形的对称分为点对称、线段对称和线段相等。 那么点对称我们常用的方法就是，一做等腰或者直角三角形，利用三线合一的性质。二做全等三角形，利用对应边和角度。三利用角平边，线上的点到角两边的距离相等。 四做垂直平分线。线段对称呢？我们常用的方法就是，一做等腰或者直角三角形，利用三线合一的性质。 二、三角形的角平分线，中位线和高的性质。三、平行线，分线段成比例定理，线段相等呢？我们常用的方法就是，一做全等三角形。二平行线，分线段成比例定理。 三做等腰三角形。那么以上关于三角形作图的方法和技巧和专利训练我都放在群里了，有需要的家长打八八八我发给你。

图形的旋转二前面你已经学了图形的旋转， 将图形绕一个顶点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转， 这个定点称为旋转中心，所转动的角称为旋转角。图形的旋转是由旋转中心、旋转方向和旋转角度确定，这三个称为旋转的三要素。 比如，将第一张图中蓝色三角形绕点 c 旋转，在第二张图中绕点 a 旋转，在第三张图中绕点 b 旋转。 请你思考，将三角形 a、 b、 c 绕点 o， 按逆时针方向旋转到三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇的过程中，图中有哪些相等的线段相等的角？ 来和你一起探索。 线段 o a 旋转后与线段 o a 撇重合， 线段 o b 旋转后与线段 o b 撇重合。这说明什么呢？ o a 等于 o a 撇， o b 等于 o b 撇。 请你自己验证， o c 等于 o c 撇，由此可以得到对应点到旋转中心的距离相等。现在来观察角 小明你发现了什么？角 a、 o a 撇等于角 b， o b 撇等于角 c、 o c 撇。你说得对，即两组对应点分别与旋转中心连线所呈的角相等。 请你注意观察三角形在旋转的过程中，图形中有哪些相等的线段相等的角？ 如图，已知线段 a、 b 绕点 o 旋转后的对应线段是 a 撇 b 撇。你能确定旋转中心点 o 的 位置吗？请按暂停键试一试 对应点到旋转中心的距离相等，这意味着什么呢？ o a 等于 o a 撇， o b 等于 o b 撇。 李老师，我知道了，这说明点 o 一定在线断 a、 a 撇的中垂线上，也在线断 b、 b 撇的中垂线上。对，你们真棒！ 这两条中垂线的焦点即为旋转中心。小杰，这一节课你学了旋转的性质， 一个图形和它经过旋转所得到的图形中对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所呈的角相等。 你还学会了确定旋转中心，如果能找到两组对应点，那么它们的连线段的中垂线的焦点即为旋转中心。

图形的旋转一生活中你经常见到这些现象，时针的旋转、荡秋千、 齿轮转动，这些运动有什么共同的特征？他们都是图形的旋转 可以看成点 a 绕着定点 o 旋转。 再来看刮语气是怎样工作的。 可以看成线段 ab， 绕着定点 o 旋转。 三角形 abc 也可以绕着一点 o 旋转。 仔细观察在旋转的过程中，三角形的形状和大小有没有改变， 旋转不改变图形的形状和大小点 a， 旋转道点 a 撇，称为对应点。继续观察旋转过程， 线段 a、 b， 旋转道线段 a 撇 b 撇，称为对应线段。再观察角 角 abc， 旋转道角 a 撇 b 撇 c 撇，称为对应角。现在我们来做一个实验， 这两个图形为何不同呢？因为旋转中心不同。 如果旋转中心相同， 你发现旋转方向不同，得到的图形也不同。 显然旋转方向不同，那旋转方向相同呢？ 你发现得到的位置还和旋转角度有关。小丽小胖听了以老师的讲解和展示，说说看你学会了什么？ 将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动叫做图形的旋转， 这个定点叫旋转中心，旋转的方向和角度分别称为旋转方向和旋转角。小胖不要淘气， 这个定点叫旋转中心，旋转的方向和角度分别称为旋转方向和旋转角。

如何尺规作图？将这个梯形的斜腰顺时针旋转九十度， 说说这个原理吧！

各位同学大家好，今天我们一起来学习九点一图形的旋转。 生活当中，我们经常会看到这样一些情景，转动的风车，转动的方向盘，摩天轮，电风扇的叶子。 在这些大家非常熟悉的情景当中，都包含着一种什么运动呢？ 对，都包含着一种旋转的运动。 那么同学们，你们还能再举出生活 中类似的例子吗？ 相信细心的你一定能够发现生活当中有很多这样子的旋转现象， 那么今天我们就要从大家熟悉的旋转现象入手，来研究平面内图形的选段。 首先我们来看这个例子，如图，将一块三角尺 a、 b、 c 绕点 c and 逆时针方向旋转到三角形 e、 d、 c 的位置， 观察这个旋转过程，我们会 会发现旋转前后三角尺的什么改变了，什么没变， 对三角尺的位置发生了改变，但是形状和大小都没有变化。 接下来请同学们用量角器来度量角 b、 c、 d 于角 a、 c、 e 的度数， 然后用刻度尺来度量线段 a、 c 与 c， e。 线段 b、 c 与 d， c 的长度。你有 会发现什么？ 很好，我们会发现角 b、 c、 d 与角 a、 c、 e 相等， 线段 a、 c 与 c、 e 相等，线段 b、 c 与 d、 c 相等。 我们再来看一个例子，如图，将三角形 a、 b、 c 绕着三角形外一点点 o， 按顺时针方向旋转到三角形 a 撇， b 撇、 c 撇的位置。 同样，请大家用量角器来度量叫 c o， c 撇叫 b o， b 撇 角 a、 o， a 撇的度数，然后再用刻度纸来度量线段 a、 o 和 a 撇 o， b， o 和 b p， o， c， o 和 c p、 o 的长度。你会发现什么？ 是的，我们同样会发现，角 c、 o、 c 撇等于角 b o b 撇等于角 a o a 撇。 同样线段， a o 等于 a 撇 o b o 等于 b 撇 o c o 等于 c 撇 o。 好，根据刚才这两个例子，同学们你们能不能用一句话来概括这样子的图形运动呢？ 在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转， 其中这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。 那上面这个例子当中，点 c 就是旋转中心， 角 b c、 d 和角 a c、 e 就是旋转角。而下面这张图当中，点 o 是旋转 中心，叫 a o， a 撇叫 b o， b 撇叫 c o、 c 撇都是旋转角。 那么同学们不难发现，要准确的描述图形的旋转，必须要讲清楚旋转中心、旋转角和旋转方向，这三个条件他们缺一不可， 这三个条件就是我们所说的旋转的三要素。 一个图形绕着一个定点旋转一定的 角度，其实意味着图形上的每一个点都同时按相同的方式旋转了相同的度数。 需要请同学们注意的是，图形旋转时，虽然每个点都按相同的方式旋转了相同的角度，但是每个点所经过的路线是不同的。 继续观察这两幅图， 图中的三角形在旋转过程中哪些发生了变化，哪些没有改变？ 是的，我们会发现旋转前后三角形的位置改变了，但是形状和大小都没有改变，也就是说旋转前后的三角形是全等的。 这个就是我们由旋转的概念所得到的第一条基本性质，旋转前后的图形全等。 除了这条性质之外，同学们观察一下，你们还可以得出什么性质呢？ 我们刚才用刻度尺度量得到发现，线段 a o 等于 a 撇 o b o 等于 b 撇 o c o 等于 c 撇 o。 那么用语言来描述，也就是每一对对应点到旋转中心的距离相等， 这个就是旋转的第二条基本性质，对应点到旋转中心的 距离相等。 还有我们用刻度，我们用量角器度量得到了角 c o、 c p 和角 b o b 撇以及角 a o a 撇是相等的， 那么用语言来描述，也就是每一对对应点与旋转中心连线所成的角都相等，这个角其实都是旋转角。 那么这三条基本性质就是我们从刚才两个例子 当中可以推导得到的。 那么下面我们通过几道例题来加深对旋转的概念和旋转的性质的理解。 第一题，下列现象中属于旋转的有几个？ a。 地下水位逐年下降 b。 传送带上物体的移动 c。 方向盘的转动 d。 水龙头开关的转动 e。 钟摆的运动 f。 荡秋千。请同学们思考一下，这六个现象当中，哪些是属于旋转？ 不错，有四个现象是属于旋转， 是哪四个现象呢？它们是 c 方向盘的转动， d。 水龙头开关的转动， e 中摆的运动和 f 放秋天运动。 因为这四个现象当中都有一个共同点，他们在绕着一个定点不停的转， 而 a 和 b 地下水位逐年下降，传送带上物体的移动是我们以前学过的平移现象，同学们，你们选对了吗？ 第二题，图中的花图案到中心至少旋转多少度后，能和原来的图案互相重合？ 通过动画演示，同学们不难发现，图案重合 要旋转的最小角度其实正好是两瓣花瓣之间的夹角。那么我们可以数一下，这朵花一共有十二瓣花瓣， 每相邻两个花瓣之间的夹角就是三百六十度，除以十二。所以这个图案至少要旋转三十度后，能够和原来的图案互相重合。 第三题，如图，在正方形 a、 b、 c、 d 中，一是 b、 c 上一点 三角形 a、 b、 e 经过旋转后得到三角形 a、 d、 f。 第一小题，在这个旋转过程中，旋转中心是哪一点？旋转角为多少度？ 不错，旋转中心就是点 a。 因为三角形 a、 b、 c 旋转到三角形 a、 d、 f 的过程当中，这个点 a 是一个定点， 所以它就是旋转中心。旋转角度为九十度，因为点鼻、 d 和点 d 是一对对应点，那么他们和旋转中心 a 连线所成的夹角角 b、 a、 d 就是旋转角。 那么在正方形 a、 b、 c、 d 当中，角 b、 e 是九十度，所以这个旋转过程当中的旋转角就为九十度。 第二小题，若连接 if， 那么三角形 a、 e、 f 是什么？三角形？ 不错，三角形 a、 e、 f 是等腰直角三角形。我们同样可以紧紧抓住旋转的性质来判断， 点一和点 f 是旋转的又一对对应点，那么他们到旋转中心 a 的距离相等，也就是 e、 a 等于 f、 a， 并且它们和旋转中心连线所乘的角也是旋转角，所以角 e、 a、 f 也等于九十度， 所以三角形 a、 e、 f 就是等腰直角三角形。 第三小题，如果点击是 a、 b 的终点，那么经过上述旋转后，点击旋转到了什么位置？ 不错，点击旋转到了 a 级的终点处， 因为三角形 a、 b、 c 是绕着点 a 逆时针旋转九十度得到三角形 a、 b、 f 的， 那么 a、 b 的中点击也做了相同的运动，绕着点 a 逆时针旋转九十度，那么它正好旋转到的位置是 a、 d 的终点处。 通过这三道题目的练习，相信大家应该能够进一步理解旋转的概念和旋转的性质。接下来我们要一起动手来画一画 已知线段 a b 和点 o， 画出 a b 照点 o 逆时针旋转一百度后的图形。 请同学们思考一下， 旋转后的图形应该怎么画呢？ 我们可以这样来分析， 点 a 和点 b 是线段 a、 b 的两个端点，如果我们能够画出这两个端点旋转之后的对称点 a 撇和 b 撇，那不就可以画出旋转之后的图形 a 撇 b 撇了吗？ 所以这个问题可以转化为画点 a 和点 b 的对称点 a 撇一撇。那我们着重来思考如何画出点 a 旋转之后的 对称点 a 平 旋转的性质告诉我们，对应点和旋转中心连线的角就是旋转角，但也就是说角 a o a 撇就应该等于题目当中提供的一百度， 那我们可以先连接 a o， 然后我们可以用两脚气 来画出角 a o a 撇等于一百度，那么这个两角七应该怎么放？考虑到题目当中的要求是逆时针 旋转，所以我们可以在 o a 的上方画出角 a o c 等于九一百度， 然后在射线 o c 上截取线段 o a 撇等于 o a， 那么这个点 a 撇就是点 a 绕着点 o 逆时针旋转一百度之后的对称点。 用同样的方法，我们可以画出点的对称点。笔撇 先连接 o、 b， 然后在 o b 的上方画出角 b， o、 d 等于一百度， 在射线 o、 d 上同样截取 o、 b 撇等于 o、 b， 那么点 b 撇就是点 b 旋转之后的对称点。最后我们连接 a 撇 e 撇。 线段 a 撇 b 撇就是线段 a、 b 到点 o 按逆时针方向旋转一百度后的对应线段。 好，我们在分析这道题目的时候，紧紧地抓住了旋转的第二条和第三条，基本近日。那么通过这道作图，同学 们也可以进一步理解并掌握旋转的性质。 下面请大家一起动手来画一画，画出三角形 a、 b、 c 绕点 o 按顺时针旋转九十度后的对应三角形。 通过刚才题目的练习，相信这道题目应该难不住大家。 三角形的关键点是三 个顶点，那我们只要依次做出这三个顶点绕着点 o 旋转之后的对称点， 并把三个对称点依次连接，就可以画出旋转之后的对应三角形。 好，同学们，画好了吗？ 那么这两道例题我们都是给出了一个图形和一个旋转中心，请大家画出图形绕着旋转中心 旋转之后的对应图形。 那如果我把旋转前后的图形给大家，你能不能确定旋转中心位置呢？ 如图，已知线段 a、 b 到点 o 旋转后的对应图形是 a 撇 b 撇，你能确定旋转中心 o 的位置吗？ 同样，我们先要来分析 这个旋转中心是满足什么样条件的点呢？ 旋转的性质告诉我们，旋转中心到对应点的距离应该是相等的， 那么在这道题目当中，点 a 和点 a 撇是对应点，点 b 和点 b 撇是对应点， 那么这个旋转中心就应该满足到点 a 和点 a 撇的距离相等，同时还要满足到点 b 和点 b 撇的距离相等。 那你能找出要点 a 和点 a 撇两点距离相等的点吗？ 能找出到点臂和点一撇两点距离相等的点吗？ 而同时满足上面这两个条件的点你能找出来吗？ 同学们有思路了吗？ 不错，到点 a 和点 a 撇两点距离相等的点。根据我们上学期的支持，我们知道 这些点一定在线段 a a 撇的垂直平分线上，所以我们首先可以通过齿规作图画出线 段 a a 撇的垂直平分线， 这条垂直平分线上的点都能够满足到点 a 和点 a 撇的距离相等。 同样的，我们也可以画出线段比比撇的垂直平分线， 而这条垂直平分线上的点都能够满足到点臂和点笔撇两点距离相等， 那么同时满足这两个条件的点当然就是这两条垂直平分线的焦点，从而我们就确定了旋转中心 点 o 的位置。同学们，你做对了吗？ 这道题目的分析过程当中，我们用到了旋转的性质和垂直平分线的判定命令， 对垂直平分线判定病理不熟的同学可以利用课后的支持加以复习， 相信学会了分析的同学，把题目当中的线段换成其他图形，依然能够确定旋转中心的位置。 二、同学们， 通过这节课的学习，你学到了哪些知识呢？我们一起来做一下课堂总结。 这节课我们一开始从生活中的旋转现象入手，通过具体的实力认识了旋转，并探索得到了旋转的三条基本性质， 那么旋转的三条基本性质是本堂课的重点，同学们一定要理解。 二、通过对具体旋转特征的图形的观察、操作、画图等过程，掌握作图的技能。 同学们会发现做图题的关键是要学会分析，而今天两道做图题在分析的时候一定要紧紧抓住旋转的特征 和旋转的性质，那么这也是我们这堂课的重点， 相信通过同学们的努力，一定能很好的掌握今天的知识。 那么今天的作业一，完成同步课后练习。二、利用图形的旋转设计一个图案， 并给他配上解说词。开学后你可以把你的作品和同伴进行交流分享。 今天的课就上到这，谢谢收看，同学们再见！

好，同学们好，我们在七年级下册学习了图形的平移，在八年级上册学习了图形的轴对称，那么今天我们来学习图形的旋转， 请大家从图形变换的角度来说说下面旗帜上的图案有何特征。 第一张是奥运会五环起，代表亚洲的黄色圆环，他通过平移 可以与另外四个圆环互相重合。第二张图澳门特别行政区区起，整个的图形 是一个轴对称图形，因此在点画线的左边部分沿着点画线折叠，能够与右边部分完全重合，所以这两个部分是成轴对称。 第三张图，香港特别行政区区起是一朵美丽的紫金花，它有五个花瓣组成，其中的一个花瓣通过旋转以后都可以与另外的四个花瓣互相重合。 具体来讲，我们在学习平移的时候，是通过学习他的定义、他的性质以及平移的应用 三个方面。同样我们也从定义、性质、应用三个方面学习了两个图形呈轴对称， 那么今天我们图形的旋转同样是从定义、性质、应用三个方面来研究。 本科的学习目标，第一，通过具体实力认识平面图形关于旋转中心的旋转。第二， 经历对生活中旋转现象的观察分析的过程，探索旋转的性质。三、能画出简单图形。关于给定旋转中心经过旋转后的图形， 我们首先来研究目标。一，认识图形的旋转， 那么屏幕上给出的摩天轮和钟摆就是我们生活中常见的旋转的现象。 那么除此之外，实际上生活中还有很多的类似的例子，比如说转动的风车 雷达、扫描的屏幕以及转动的电风扇等等， 那么你能说说他们的共同点与不同点吗？ 我们发现 他们转动的时候都是绕着某一个定点在转动，但是有的是按照顺时针的方向转，比如说电风扇的叶子， 有的是按照逆时针在转，比如说风车转动的方向不一样，那么实际上这样的旋转现象在我们数学当中也有， 请大家观察一下，你能描述图中三角尺的变化吗？ 我们说 三角尺 a、 b、 c 绕着点 c 安逆时针方向转动到 d、 e、 c 的位置，这个就是它的变化。 那么在这个变化过程当中，你能类比平移的定义来描述旋转的定义吗？ 平移的定义是这么说的，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。 那么类似的根据刚才的变化，我们可以这样来描述，将一个图形绕一个定点 i 某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，其中这一个定点称为是旋转中心， 旋转的角度称为是旋转角。比如说我们左边这一张图当中，点 c 就是旋转中心角， a、 c、 d 就是旋转角。 那么我们比较一下旋转的这一个定义跟平移的定义。 平移的定义当中最关键的是两个要素，一个是沿着某个方向，第二个 是移动一定的距离。而我们旋转除了按某个方向转定，转动一定的角度以外，还多了一个条件，就是要绕着一个点点。 也就是说我们图形的旋转他有三个要素，一是旋转中心，二是旋转的方向，三是旋转的角度。所以从这个定义上面来看， 图形的旋转要比图形的平移来的更复杂一些。 接下来我们来研究旋转的性质， 如图，三角形 a、 b、 c。 绕点 o、 i。 逆时针方向旋转到三角形 d、 e、 c 的过程当中，我们可以得出哪些性质呢？ 那么同样，我们可以类比图形的平移与图形的轴对称。首先从旋转前后的形状和大小来观察，我们发现 图形的旋转不改变图形的形状和大小，这一点与平移和轴对称是完全一致的。 也就是说，这张图当中的三角形 a、 b、 c。 全等于三角形 d、 e、 c。 从而我们可以得到它们的对应边相 等，对应叫相等，这是旋转的第一个性质。那么除此之外，旋转它还有没有其他特殊的性质呢？ 我们先来找找看这个图当中旋转的角，除了角 a、 c、 d 以外，图中还有旋转角吗？它与旋转角 a、 c、 d。 相等吗？ 通过观察，我们发现边 b、 c。 通过旋转到边 e、 c。 所以这一个角 b、 e、 c。 也是旋转角，它应该是与角 a、 c、 d。 相等。为什么呢？我们知道由第一个性质知道两个三角形全等，从而我们可以得出角 a、 c、 b。 等于角 d、 c、 e。 利用等式的性质，角 a、 c、 b。 减去角 b、 c、 d。 等于角 d、 c、 e。 减去角 b、 c、 d。 减角 b、 c、 e。 等于角 a、 c、 d。 因此得出了旋转的第二个性质，旋转角相等。 我们再来看这一张图，这个时候旋转中心在三角形 a、 b、 c。 的形外， 三角形 a、 b、 c。 绕点 o， 按顺时针方向旋转到三角形 a 撇 b 撇 c 撇的过程中， 同样我们可以得到它的形状大小没有改变，它是全等的图形。因此，三组对应边，三组对应角都相等。 第二，旋转角相等。在这一个图里面，旋转角可以这么理解， 就是两组对应点分别与旋转中心连线所成的角称为是旋转角，他们是相等的。在这一个图里面，角 a、 o、 a 撇等于角 b、 o、 b 撇等于角 c、 o、 c。 这是旋转的一个特殊的性质。那么除此之外，图中还有相等的线段吗？ 那我们从对应点与旋转中心这两个点之间来观察，我们发现 a、 o 和 a p o 是相等的， b o 跟 b p o 是相等的， c o 跟 c p、 o 是相等的，也就是说，对应点到旋转中心的距离相等。 到此为止，我们得出了旋转的三条重要的性质，一是形状大 大小没有改变。第二，旋转角相等。第三，对应点到旋转中心的距离是相等的。 由此，我们来探索目标。三、利用旋转的性质来画图。 常识一、在正方形 a、 b、 c、 d 中点一，即分别在 b、 c、 a、 b 上，三角形 a、 b、 e 经过旋转后得到三角形 a、 d、 f。 问旋转中心是哪个点，旋转角为多少度？二、在图中找出点击的对应点击撇。 那么由提议三角形 a、 b、 e 经过旋转后得到三角形 a、 d、 f， 显然旋转中心应该是点 a， 旋转角应该是角 b、 a、 d， 它正好是正方形的一个内角，所以是六十度。 那么怎么样子来画出点击的对应点极品呢？我们可以联想旋转的两个特殊的性质，第一，旋转角相等。 因此点击也应该是绕着点 a 转过九十度，所以它必定是在边 a d 上。第二，对应点到旋转中心的距离相等。 这个我们可以通过在 add 上截取 a g 一撇等于 a g， 从而画出点击一撇啊。这里面我们主动地运用了旋转的性质来解决第二小问。 那么如果 h 是三角形， a b c 内一点，你能在图中画出 h 的对应点 h 一撇吗？ 刚才是在边上，现在变到三角形的内部的任意一点。 那我们知道，根据旋转的定义，实际上图形上面每一个点同时都按照相同的方式转动相同的角度， 于是我们同样可以连接 a h， 以 a 为顶点，以 a h 为一边，按逆时针方向画角 h， a n 等于九十度。 第二，在 a m 上截取 a h 一撇等于 a h， 所以点 h 就是所要画的点。 尝试二，你能画出线段 a b 绕点 o， 按逆时针方向旋转一百三十度所得到的线段吗？ 我们知道，线段上的任意一点，他绕点凹都是旋转一百三十度，因此我们可以有代表性的选择线段的两个特殊的点，两个端点。 我们先把端点 a 绕点 o， 按逆时针方向旋转一百三十度，得到点 a 一撇，同样 我们可以画出点臂他的对应点，点臂一撇，两个端点确定了，那么这一条线段也就确定了。因此，画线段的旋转就是画线段两个端点的对应点。 那么用这样一种方式，你能画出三角形 a b c 绕点 c 而逆时针方向旋转一百二十度后得到的三角形吗？ 根据刚才的策略， 我们同样只要来研究他的三个顶点。第一，用刚才的方法，我们来画出点 a， 他的对应点 a 撇。第二，画出点 b， 他的对应点 b 撇。 由于是旋转中心是点 c， 所以 c 点的对应点仍然是 c 点。因此，用这样的方法，我们就把三角形 a、 b、 c 它旋转以后的三角形 a 撇、 b 撇 c 就画出来了。 也就是说，画三角形的旋转，实际上就是画三角形三个顶点的对应点。 常识四，如图，将四边形 a、 b、 c、 d 绕点 o， 按顺时针方向旋转后，得到四边形 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇，你能画出旋转中心 o 吗？ 这个题目跟前面三个常识的区别是，他的旋转中心是未知的，因此我们并不能够直接利用旋转的性质来画图， 如何解决呢？ 我们可以假设旋转中心 o 在如图的位置， 那么根据旋转的性质可以知道，这个对应点 a 和 a 撇到旋转中心 o 的距离应该是相等的，也就是 o a 等于 o， a 一撇。 然后根据线段垂直平分线的性质，可以知道这一个旋转中心 o， 它应该是在对应点连线 a a 一撇的垂直平分线上。于是我们找到了画图的思路。 第一，连接 a， a 撇做线段 a， a 撇的垂直平分线 l， 同样 连接 b， b 撇做线段 b， b 撇的垂直平分线 m， 那么这两条垂直平分线相交于点 o、 点 o， 就是索要化的旋转中心。 在这一个问题解决的过程当中，实际上采用的是逆向思维， 采用的是逆向思维。就是说我们可以先假设这个图形已经做出来了，然后根据图形的性质来设计出做图的方案。 这一个在我们接下去的学习当中是经常要使用的方法，也就是假设分析法。 好同学们，本课通过对图形的旋转的研究，接下来请你结合本课的学习目标，来谈谈对图形的旋转的新的认识。 我们本课设定的三个学习目标分别是从旋转的定义，旋转的性质以及旋转的应用。 那么通过本科的学习呢？ 在定义方面，同学们要关注他的三个要素， 一个是旋转中心，也就是定点，一个是旋转方向啊，一般我们会有按顺时针的方向或者按逆时针的方向。第三个是旋转的角度。 第二性质，它具有跟图形的平移， 图形的轴对称相类似的一般性质，也就是不改变它的形状和大小，因此仍然是全等的图形。 当然性质我们还要研究它的特殊的性质。第一条就是旋转角相等， 另外一个呢，是对应点连线到旋转中心的距离相等。那么这两条性质在刚才的作图过程当中啊， 我们同学自觉不自觉的都用用到了这两条性质来解决这一个问题。所以我们的第三块应用方面，老师提醒三句话，第一不忘性质， 第二牢记顶点。比如说我们要画一个四边形，绕着点勾旋转， 那我们就是分别画出四边形的四个顶点，关于点 o 的对称点，然后依次把它连起来，就完成了旋转。第三个假设分析， 当遇到一些比较难的画图题的时候，我们可以假设已经画出来了，那么他根据图形的性质，从而去找到他的设计的方案。 对于整个图形的旋转这一节课而言，同学们还要注意能够用数学的眼光来观察世界， 从我们生活当中抽象出旋转的定义。第二，用数学的语言来表达世界， 也就是我们探索一个图形以后，我们要用自己的语言，数学的语言啊， 来表述他的一些主要的性质。第三，一个要学会用数学的思维来思考世界，也就是用旋转的思维来解决问题。 我们教材八上六十七页第十题，这一个题目大家应该是比较熟悉的， 那么现在如果我们从图形旋转的角度来思考，你又有新的证明思路吗？ 当时我们是通过证明三角形 a、 c、 d 全等于三角形 b、 c、 e， 从而得到 a、 d 等于 b、 e。 那么现在我们 可以说三角形 a、 c、 d 绕着点 c， 按顺时针方向旋转六十度，得到三角形 b、 c、 e， 从而得到 a、 d 等于 b、 e。 第二个，由此你还可以提出一个问题并快速解决吗？ 从旋转的角度讲，我们可以很轻松的知道三角形 a、 c、 d 的第三条边 a、 d， 它旋转以后的对应边是 b 一，这两条边所加的锐角 a、 o、 b， 它也应该是六十度， 因为图形上面所有的点，他按照相同的方式转动相同的角度，所以图形的 旋转给我们提供了认识、探索、研究图形的又一种重要的方法。最后老师布置一个思考题， 那么同学们如果对于第二个小题探究 a、 d、 b、 d、 c、 d 三者之间的数量关系有困难的话， 可以借助今天所学的旋转的内容加以解决。好，今天的课就上到这里，同学们再见！

中心对称与中心对称图形二前面你已经学了中心对称， 一个图形绕着某一点旋转一百八十度，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形观以这点对称， 也称这两个图形呈中心对称，这个点叫做对称中心。 图中两个四边形关以点 o 呈中心对称，连接各组对应点， 发现连线都经过对称中心 o， 再把连线段绕点 o 旋转一百八十度， 发现对应点互相重合。因此，呈中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 现在请你尝试求出点 a 与点 a 撇的对称中心 o 对应点的连线被对称中心平分。对，所以只需连接 a a 撇线段 a a 撇的中点 o 即为点 a 与点 a 撇的对称中心。 那如果两个三角形呈中心对称，如何求出它们的对称中心呢？ 呈中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，这样可以任意连接两组对应点，连线段的交点 o 即为对称中心。 易老师，我有另一个方法。呈中心对称的两个图形中，对应点的连线被对称中心平分， 这样只要连接一组对应点，连线段的中点 o 级为对称中心对。这两个方法都可以，你俩真棒！ 最后，我们把中心对称与前面学过的轴对称加以对比。轴对称有一条对称轴，中心对称有一个对称中心， 轴对称是图形沿轴对折，即翻转一百八十度。中心对称是图形绕中心旋转一百八十度。 轴对称是翻转后和另一个图形重合。中心对称是旋转后和另一个图形重合。

好，看一下啊，计时开始了，抓紧时间。做什么东西啊，你连起来看看连什么？物理老师生病了，下节课上数学啊，懂了，哈哈，做好的同学飘一啊。嗯，有人做出来了，我发现每次前几个都是我们三，你们是常年霸榜前三。是吗？别人点机会吗？周子龙做完了吗？ 牵牛花呢？做，做出来没时光，有没有做出来一时间哦，加油于欢笑啊。确实，现在有好几位了，那特别多了。嗯，二十一位同学做出来了，最后二十秒。哦哦，摄像头对吧，赶紧的，我都没意识到今天摄像头，为什么，摄像头，我来拍个照取证啊，看谁的摄像头没开。找手机，先 看看谁的摄像头没开，我看看谁的摄像头没开，我来拍个照取个证。哎，总有那么几个人，他的摄像头就是不开。咱们的盛世容颜，不要藏着掖着啊，甚至盛世容颜就得展开了，让大家一起看一看 是吧？好，来，我们看一下这道题。三角形 a、 b、 c 在 平面直角坐标系中，如图所示，其中每个小正方形的边长为一的正边单位长度，在图中做出三角形 a、 b、 c。 关于圆点的对中心对称图形 a、 b、 c。 首先， c 的 对称中心在哪里？找找看 c 的 对称中心是不是这个点？ a 的 对称中心是不是这个点？是不是 b 的 对称对称的点是不是这个点？所以 a、 b、 c 三个点是不是出来了？哦，这是 a， 这是 b， 这是 c 划出来，所以这个题目一年就结束了。第一小问，我相信大家都会啊， 好，这是一个 a， e， 这是 b， e， 这是 c， e 标一标。第二个，在图中画出三角形 a、 b、 c 绕着 o 点旋转九十度的，那么只要把特征点旋转到这个点，这就是我们的 a 二点， a 点在这，绕它旋转九十度， b 二点在这。哦，原来这就是我们的 b 二点， 那么 c 二点在哪里哦？ c 二点，这就是我们的 c 二点，哎，这个老简单了，这就是我们的 c 二点， b 一， b 二、 c 二全部画出来了。好，下面我们重点看第三小问，这个题目是我们重点看第三小问，第三小问，我们要重点总结一个知识点，所以我们来看一下，假如对于我们一个三角形，比如说我随便画啊，不一定是哪一个，我随便画一个 这个三角形 a、 b、 c， 让你再找一个点 d， 使得和这三个点构成的四边形平行四边形。请问 d 有 几种情况？注意它有三种情况，这三种情况分别是什么？我们只要分别做三边上的中线，并且背长中线，比如说第一个点 d 在 哪里 做 b、 c 边上的中线，并且背长中线，此时此刻第一就有了。根据题目我们知道我是做中线，所以这个杠杠杠杠杠的背长中线，所以圈圈圈圈的把这一年对角线相互平分的四边形是平行四边形，所以瞬间就有这个点 d 吧， 会画吧，利用的就是对角线相互平分的四边形，是平行四边形。那同理，我取我做 a、 c 边上的中线，并且背长，是不是得到一个点 d 啊？这个是杠杠等于杠杠，这个圈圈等于圈圈，我把这个一年是不是也是平行四边形了 啊？对角线相互平分的四边形是平行四边形。第三个我是不是做 a、 b 边上的中线，并且备长中线，把它一粘，咔咔一粘完了之后，圈圈等于圈圈，杠杠等于杠杠，所以瞬间就有了，这是一个平行四边形，是不是也有了？所以如果说要找一个点和已知的三个固定点构成的四边形是平行四边形的话，那么此时此刻一共有三种情况，看懂吗？这个三种情况，第一个 把它写下来，第一句话叫去找一个点与已知的三个点，已知的三个点，三个点构成平行四边形，构成平行四边形， 能找满足这样的点有几个呢？有三个，有三个，那么这是第一个，那第二个如何求出这三个？第三个这个点的坐标？这个点的坐标怎么求？比如说我们根据题目我们知道， 如果这是个平行四边形的话，来感受一下，我把它粘起来，假如说这是一个平行四边形，那么此时他们对角线相交于一点 m， 那 我问一下 m 是 不是 a d 的 中点？ 同样 bc 是 不是也是 m， 是 不是也是 bc 的 中点？所以很快就知道了。根据中点坐标公式，同学们还记得中点坐标公式吗？来复习一下中点坐标公式。中点坐标公式中点坐标公式复习一下，如果一个 a 点坐标是 x 一 y 二，那么此时此刻他们的中点 m 点的坐标就是二分之一 x 一 加上 x 二， 二分之一 y 一 加上 y 二，所以换句话说，就是它们的中点 m 点是 a 点坐标，加上 b 点坐标除以二，就能得到中点的坐标。这句话能不能听得懂？ 可以听懂吗？好，那么同样的道理，那么在这个图当中，我们发现 a 和 d 的 中点是不是可以写成二分之一 a 加 d 啊？ a 和 d 加起来除以二就是 m 点坐标，同样 m 点也是 b 和 c 的 中点，所以利用中点坐标公式，是不是我把 b 和 c m 点坐标是不是又可以写成 b 加 c 除以二啊？哦，根据中点坐标公式， b 点加 c 点除以二就能够得到 m 点的坐标，能不能看懂？所以对于我们 m 点坐标在 表示的时候，是不是可以用两种方法来表示，但是同一个点坐标应该是相同的，所以从而我们就得到了二分之一 a 加 d 是 不是就等于二分之一 b 加 c 啊？所以换句话说就是 a 加 d 就 等于 b 加 c， 看到没有？所以我们得到第二个结论是什么？我把它写下来叫平行四边形对角顶点的坐标之和是相等的。把这句话写下来，中点坐标公式放在下面 用之前就学过的一个公式啊。好。第二句话把它写下来叫平行四边形，平行四边形 对角顶点啊，坐标之和相等。把它记下来就是平行四边形对角顶点的坐标之和相等。什么意思？就是 a 和 d 的 顶点坐标加起来等于 b 和 c 的 顶点坐标加起来，注意是横坐标加横坐标加纵坐标。比如说来，我来出个题，比如说已知 a 点坐标是一二， b 点坐标是 二负六， c 点坐标是七八，请你求出第一点的坐标 d 点坐标来。有没有同学迅速的告诉我答案等于什么？在评论区飘一飘，我看看谁是第一个飘出答案的， d 点的坐标，谁是第一个飘出答案的？哎，这么慢吗？看来没懂吗？嗯，谢主席是第一个飘出来的，是不是没懂？看来没懂啊，来，所有同学，我们看一下什么意思？ 哎，这个不重要，我是瞎标的，在哪边不重要，你可以把这个图，这个图形给他，旋转多少度？旋转这个点的坐标是瞎标，不在这个图，你不要看图的位置啊。图片仅供参考，这个图不是很准确的，你只要记住这个三个点的坐标出来之后，你要求出点 d 的 坐标，明白了吗？所以根据我们，你不要去纠结图，因为图不准确啊，我就瞎画了一个图。 好，那么根据题目当中这都没有平面折，如果平面折这边我这么画，你看一下，这是一个 x 轴， x 轴，那么这是个 y 轴， 你，你把它旋转一下嘛，它没有坐标，轴在里面，对不对？所以不一定是谁在谁看得懂这意思吗？所以你不要跟我说左边右边，因为 x 轴 y 轴压根就没画好，那么所以我们看一下，如果要求点 d 坐标怎么求？我们说了，根据我们 学过的平行四边形的对角顶点坐标，相当于也就是 a 点加 d 点，就等于 b 点加 c 点，那如果要求点 d 点 d， 不 就是 b 加 c 再减 a 吗？来算算， b 加 c 是 七加二减一哦，等于八 七加二减一等于八横坐标，再看正坐标，八加负六再减二哦，二减二零，所以是八零截住，看得懂这意思吗？所以这就是我们地点的坐标 就是这么求的吗？所以这句话要牢牢记在心里，平行四边形对角顶点的坐标之和是相等的，从而就能求出点 d 的 坐标。但是题目有没有说点 d 一定在这边啊？点 d 一 共有三种情况，所以点 d 还有可能在哪里呢？哦，我来画一画这个三角形，如果同样做 a、 c 边上的坐标，有了这个第二点的坐标，我们瞬间就有把它连起来，把它连起来， 这是不是也有一个平行四边形？那么第二点的坐标同学们算出来了吗？算出来，在评论区飘一飘答案，评论区飘一飘答案，第二点的坐标看谁第一个算出来的哇，切，出谁又是第一个，速度很快啊。 同样也是，你看，如果第二在这，很明显发现 b 和 d 加起来应该等于 a 和 c 加起来，那我们算算看，那么 d 不 就是 a 加 c 再减去 b 吗？那 a 加 c， 我 们看下， a 加 c 就是 一加七是八，八减去二是六，所以它的横坐标是六。那么这个呢？纵坐标你看，八加二是十十减负六是十六，所以是六和十六。所以第一点坐标出来了， 会了没？那么再来一个验算一下，看看检验一下你们会不会同样再做一下 ab 边上的重心中线，并且背长中线，我把这个线同样，我再把这个联系连一下，连一下。 哦，这个第三。那么第三点的坐标是咋求嘞？哎，有人已经求出来了，是不是第三点的坐标同样也是这个加这个等于这个加这个，所以很快就知道了。根据平行四边形对角顶点的坐标值和相等要求，这个坐标不就是 a 加 b 减 c 吗？ a 加 b 减 c， a 是 一加二是三，三减七等于负四，所以横坐标是负四，再看重坐标，二加负六是负四，负四减去八等于负的十二，所以很快就有了它的坐标是负四，负十二 会做了没有？所以对于一个平行四边形而言，如果你要对于一个已知三个定点，要求第四个定，四个点是它和已知的三个点构成平行四边形，问第四个点的坐标，它的求法怎么求？对不对？来，同学们 给大家来出一个题，比如说直接看黑板，现在有三角形，一个不用三角形，我就随便瞎点一个 a 点，它的 a 点坐标是二三，然后一个 b 点 b 点，我就连图都不用画了。 b 点坐标是一二，然后 c 点坐标是三七。那么请你求出一个 d， 使得 a、 b、 c、 d 四个点构成的是平行四边形。请求 d 点的坐标怎么求？ 连图都不用画了，这，这把一点，这把怎么求呢？好，如果不会的同学，你看刚才我们这个点 d 是 怎么求的哦？第一个点 d 是 等于 b 加 c 减 a， 所以 我们第一个点 d 是 不是有可能是点 d 是 等于 b 加 c 减 a， 这是第一种情况， 二个点 d 是 什么？第二个点 d 是 不是 a 加 c 减 b 啊？第三个点 d， 第三是不是等于 a 加 b 减 c 啊？所以我们要求的点 d 的 坐标，要么就是其中两个点加起来减去另外一个点，分三种情况来讨论就可以了。所以这个地方我不需要画图，也是可以做出来，只要知道 a、 b、 c 三个点的坐标，点 d 的 坐标就是手到擒来，直接口算，看看谁优先把这三个点 d 的 坐标算出来， 快啊，快，快，周心雨，抓紧时间算。哇，好快啊！一、给你三个点的坐标，让你求出第四个点，使它们构成的图形是平行四边形，你一定要就是闭着眼睛都能算这种哇，好多人已经算出来了 哇，好多人已经算出来了。哎，我们说了，对于这个点 d、 点 d 是 不是有三种情况，第一个点 d 是 不是等于 a 加 b 减 c 啊？第二个点 d 是 等于什么哦？ b 加 c 减 a 啊？第三个点 d 是 不是就等于 a 加 c 减 b 啊？ 总共就这三种情况，没有别的了，那么挨个算就完事了呗，对不对？那么比如说，第一个，你看 a 加 b 减 c 哦，一加二减三，那不就零吗？是不是很坐标重坐标，你看三加二，五五减七是负，二零负二结束。那第二个呢？同样也是，你看 b 加 c 减 a， b 加 c， 一 加三减二是二，是不是 哦？再看后面这个，二加七是几？二加七，九九减三是六哦，结束。好，最后一个是 a 加 c， 二加三是五，五减一是四， 同样是三加七是十，十减二，十八结束。这就是我们要的点 d 的 坐标，你们看学会了吗？老简单，老简单了，是不是？如果下次再考这个题目，你能不能轻轻松松做出来，连图都不用看？好了，那么回到这个题目中来，你能告诉我这个点 d 的 坐标可能是哪些呢？能不能告诉我，根据题目我来标一标，这个 a 点的横坐标是负一，中坐标是四。 b 点呢，横坐标是负，二中坐标是负，三， 横坐标是负三，纵坐标是二。 c 点的横坐标是负，二纵坐标是一。请你求出这个点 d 的 坐标 d 一 d 二 d 三求，抓紧时间，快求，快求。嗯，快的人已经做出来了。哎呀，评论区飘的全是正确答案，好有满足感啊， 怎么有一个负四负一，还有什么负一四的？有两个，怎么有不一样的答案？看一下。我看到有不一样的答案出来了，哎，这个题目我连图都不用看。你看啊，我只要把这个 a 点坐标抄一下，横坐标是负一四，这是 a 点坐标， 然后我 b 点坐标是什么？是负三二， c 点坐标是什么？ c 点坐标是负二一。哎，我只要把这个抄一下，那 d 点坐标我就闭着眼睛写，哈哈，这两个加起来是负四，负四减二，那不就负二吗？是不是上面这两个加起来是六减一不就五吗？这不闭着眼睛写吗？第一个， 第二，你看这两个加起来是负五，减负一，那不就负四吗？看懂吗？啊？这个是什么？下面两个加起来是三三减四，是负一吗？对不对？第三，看清楚是不是这个加这个是什么？负三负三，再减负三，那不就零吗？ 好，你看这个加起来是这，这是加起来啊，五减二是三，结束，这不就总共三个答案吗？你看，闭着眼睛做，你就说简不简单，就是把其中两个加起来，减去另外一个就完事了。

好，咱们今天看一下八十年级下册北师大版中心对称旋转那一章的一个题目啊，然后这个题答案有点长，等会咱们就把它当做一个填空题做一下啊， 这个题他是一个旋转，咱们看题，他现在告诉你角 c abcb 这个角是一个七十度，然后说将三角形绕着点 a 转，将三角形绕这个三角形， 将这个三角形绕着点 a 转，转到了 a b 撇 c 这个位置， 那么讲下一步看一下，他说上下两个边平行，他说 c c 撇和这个边平行，好了，再把这个比较标准。七十度这种题怎么去做？ 记住啊，在做旋转求角度的题，首先你必须想一个可能会出现那个问题，就是对应边相等，可能会夹出一个等腰三角形，比如说咱们看这个题 哪组对，有没有哪组对应边相等会出现等腰，哎，有 ac 和 ac 一撇，所以说这个三角形 不就是等腰吗？这个时候根据我们平行的内挫角相等，他让你求旋转角，咱们说明白什么是旋转角。记住啊，旋转角就是任意一组对应边之间的夹角， 比如说 ac 和 ac 撇对应，那么 ac 和 ac 撇的夹角就这个角就是这样角，以及 ab 和 ab 撇对应，别，那么 a， ab 和 ab 撇的夹角就是旋转角。那么咱们看题，这个角是个七十度，根据内错角相等，那么这个角是不是也是七十度啊？哎，咱们刚刚得出这个 acc 不是等腰吗？那么他就也是个七十度， 根据三角形内角和一百八十度减去两个七十度，哎，这个角得出了四十度，哎，刚才说了，这个角不就是 ac 和 ac 品质组对应边的夹角吗？不就是旋转角吗？所以说题旋转角选 b 四十度这个题结束了。