七年级下册轴对称的基本性质尺规作图

初中数学精讲轴对称的性质，刚学过轴对称图形这个视频，咱来讲讲轴对称的性质。比如五角星就是轴对称图形，沿着对称轴对折之后，角 c 和角 d 重合，这就是一组对应角，这条线段和这条线段重合，这就是一组对应线段。 不难发现，在轴对称图形中，这些对应角相等，这些对应线段也相等。除此以外，还有一个很重要的性质，你观察一下这俩对应点的连线和对称轴之间有啥关系。 对了，垂直平分，你看这两段必然相等，而这里对折重合，所以这也必然垂直。请记住这个结论，轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。刚才是一个轴对称图形。若是两个成轴对称的图形，其实也有这样的规律， 比如把一张矩形对折，用笔尖扎出十四，这个数字铺平之后，这两个十四就关于中间的折痕对称， 所以这些对应角，角一和角二、角三和角四都相等。这些对应线段， a、 b 和 a 一 撇， b 一 撇， c， d 和 c 一 撇， d 一 撇也相等。如果连接对应点画一条线段，自然也是被对称轴垂直平分。 看来，只要是在轴对称或者两个成轴对称的图形中，就有对应线段相等、对应角相等，以及对应点的连线被对称轴垂直平分。怎么样，明白了吗？明白的话就速速去刷题吧！

挑战十六节课完成本师大班七项数学知识强化知七项最难章节轴对称图形这一期的视频我们将要讲解整个七年级下册最难的章节轴对称，打起十二分精神，仔细的去听。先来看第一部分基础知识的讲解。 第一个知识点，什么是轴对称？这一个基础知识我们在基础课程当中已经讲过了，我们当时是不是举了一个图形的例子， 我们是以这个图形为例，然后我告诉大家，如果说是一个图形，沿着一条直线折叠之后，它直线两旁的这个图像可以重合在一块，我们就把这个图形叫做轴对称。轴 在轴对称图形里面和我们的全等三角形类似，它也有对应的点，也有对应的边。 再来看第二个知识点，是等腰三角形和等边三角形的轴对称的性质，这一个知识点为什么重要？首先我们要知道，在等腰三角形里面，它底边上的这一条中线，底边上的这一条中线也好， 或者是说这个顶角的角平分线也好，或者是说底边的这个高线也好，他们都是同一条线， 为什么强调这一个地方？如果题目当中告诉了我们某某某某某， 如果题目当中告诉了我们某一个三角形，它底边上的中线是哪一条，你接着要反映出来，这一条线，它既是角平分线，也是高线，而且它还是垂直平分线， 这个这一个点一定要反映出来。当然在等腰三角形里面也是一样的了，等腰三角形，它的这个三条边上的中线、高线、角平分线、垂直平分线都是重合在一块的。 好，我们再看下一个知识点，垂直平分线，就是说什么是垂直平分线？ 这个也比较简单，垂直平分线就是我们这一条线段 和被一条直线平分，假设这一个直线是 co， 被这个直线 c o 平分，并且呢这条直线 c o 还和我们的 ab 它是垂直的，我们就把这条线段叫做垂直平分线。 在垂直平分线上它有一个特别重要的性质，就是这一个。这一条性质在我们去证明三角形全等也好， 或者是我们再去求某个线段的长度也好，经常会用到这一个性质就是在垂直平分线上的任何一个点到这个线段两边的距离它是相等的，假设这个点 c 到这个线段 a 的 这个端点和到 b 的 这个端点，这两个长度它是一样的，这是非常重要的一个性质。我们再来看第四个角平分线有什么性质？ 角平分的性质是角平分线上的点到这个角两边的距离相等， 还知不知道什么是距离？点到直线的距离是指什么？这个我们在基础知识课里面我们也强调过哈，这如果是一条直线，如果我们外面有一个点，我们假设这一个点是 c 的 话，这条直线是 l 的 话，那 c 点到 l 的 距离是什么？是不是 通过过这个 c 点做垂直于 l 这一条直线的一个线段？我们假设它的焦点是 o 的 话， c o 就是 点 c 到直线 l 的 距离，对不对？所以在角平分线上的一点到两边的距离是指什么？就是我从点 c 做一条垂直于 a o 的 线段，由这个 c d 这一条长度和过点 c 向 o b 做一条垂直于 o b 的 线段，比如它两个的这个距离是相等的， 这个东西为什么重要？它也是我们在后面去正三角形全等的时候经常会用的一个性质，或者是我们再去求线段的长度也好，去求角度也好，我们是不是通过都是通过一些三角形的全等，我们来这个等量的代换啊？或者是经过一系列的转化，我们才把这个边或是这个角给求出来的， 对吧？我强调这个地方的目的是什么呢？我是想让大家能够在就是说当你这个题目当中他出现了角平分线，而且他出现了一条这样的，就是说好比我们有一个题目给我们画的这个图哈，我只画一部分， 就说这里有一个角，然后这个角上呢有一条垂直平分线，有一条这个角平分线过，这在这个角平分线上有一个点，我们假设还是 c 这个 c 点到这一个，我们把这个线路记作，还是记作 o b 吧， o b 和 o a 吧， 这个 c 点到 o b 的 这个距离，题目中已经给我们划出来了，假设这个点是 d， 就是说这一条线路是题目中告诉我们的，你接着就要反映出来，我要做一条辅助线，我要做一条什么样的辅助线，就是从 c 点向 a o 引上一条这个垂直于 o a 的 线段，就是说这一个线段，我这个记作 e 的 话，要是通过我们做这个辅助线之后，我们就能得到 c e 和 c d 相等，这样你再去解决这个题目去，并且同时你还要知道什么，你还要知道 三角形 d o d 撇 三角形 d o c 全等于三角形 d 撇 o c。 通过知道这两个三角形全等之后，我们就知道了它的这个对应边和对应角是相等的。你们再去求题目所问我们的问题，基本上都是迎刃而解的，为什么这两个三角形全等？我在这里我就不重复了，我们在基础课程当中有讲过，自己去看。 再来看第五个知识点，这个地方就是他的难点，也不单单是这一个知识点是难的哈，是整个章节把我们把我刚才给你们讲的这五个知识点全都融合在了一块， 你要对这五个知识点非常的熟悉，当你看见某一个条件，你又要接着反应出来，我这看见这个条件的时候，我要怎么去做，你才能把这一招的这个题目做好？什么叫将军引马？ 我们先来看他数学的描述，数学的描述是说屁在直线 m n 上随意的移动，问点屁运动到哪个位置的时候， a p 和 b p 的 距离最短。这句话有点晦涩难懂，我在这里给大家举一个例子，就是古代行军打仗的时候， 有一个将军，他命令这些士兵在 a 点扎了一个营房，第二批士兵在 b 点扎了一批，扎了一个营房， 他们的这个养的马需要去喝水，这时候将军就问士兵，我们要把这个饮水点设在哪个地方，能让我们从 a 这个营房到饮水点的距离， 加上从 b 点到饮水点的距离最短，这个就是我们这一个问题的来源和出处。这个饮水点是不是就可以在这个 m n 这一条河上随意的移动啊， 那么我们怎么样可以找到这一条最，这个最，也就说我们这个最佳的这个饮水点在哪呢？ 就是用我们的轴对称的性质，你看现在 ap 加 bp， 我 们不知道它是，它加起来是什么样的，那我如果以这一个 m n 这一条和为对称轴， 我做 a 点的对称点，当然你做 b 点的对称点也是可以的哈。 我假设这个地方，我叫我把它记作 a 撇，那么我们根据垂直平分线的性质，这个屁点到 a 的 这个距离和我屁点到 a 撇的距离是不是相等的？ 那么我 ap 加上 bp 的 距离，它是不是又等于 a 撇 p 加上 bp 的 距离啊？ 那我 ap 加上 bp 在 什么时候最短？是不是就是当我两点之间，两点之间什么时候什么时候最短？不就是两点之间线段最短吗？当我是一条直线的时候是最短的吗？ 如果我的这一个点 p， 我 们假设你取在了这里的话，那你看这个 ap 加上 bp 是 不是比我们刚才所说的这个线段的距离是要长的？ 这就是将军引马的来源。为什么这个知识点五比较重要？是因为在题目当中他经常会问我们， 给我们给我们画一个什么什么巴拉巴拉的一系列的图形，然后画完这个图形之后，问这个图形里面的两个线段， a p 加上 b p 的 最短长度是多少？让我们去解决这一类的题目。 我们看见这个相关的题型的时候，我们再去讲哈，你先知道这个东西，你先知道这个基础知识，然后再去学如何去运用，我们继续往下看。好，这样呢，我们就开始第二部分 重点题型的讲解，我们来看看这一块他都有哪些题型哈。第一个轴对称的现象，这一个非常的简单，必须要会， 他就是问我们什么样的图形是轴对称图形，你看一看吧。第一幅、第二幅、第三幅、第四幅，他们都分别是什么运动？第一个是不是冰壶啊？第二个是滑冰， 第三个这是什么运动？我看不出来，这一个也是滑冰，那在这里面谁是轴对称图形？那我们就看看有没有一条直线能把这两个这四个图形分成可以对折在一块的。这个这个，这个这种情况吗？ 你是不是发现只有这个图形三可以啊？图形三的对称轴是什么样的？不就是这样吗？就是从中间把它劈开吗？这样他两边就可以折叠，之后可以重合在一块，对不对？这是这种题型啊，比较简单，这一个你们自己做一做， 哪一个不是？是不是一眼就能看出来这个不是轴对称图形，剩下的这三个都是。再来看第二个轴对称的性质和运用， 看见没？一看这个题目，一看这个图形是不是就感觉有点难度了已经，我们看看它到底怎么难，然后我们看看这一类的题目我们要怎么去想啊？ 如图，点 p 是 角 a、 o、 b 内的一点，看看点 p 在 哪里，是不是在这里 分别做出 p 点关于 oboa 的 对称点 p 一 和 p 二。当你读到这句话的时候，这一句话它隐藏的这个信息量多了， 你要能得出来哪些哪些这个信息你才算是学的合格呢？我在这里给大家讲一讲哈，我们就以这一个 p 和 p 一 为例， 既然这个 p 一 它是关于 o b 的 对称点， p 一 是 p， 关于 o b 对 称， 我连接 p 和 p e 之后我出现的这些结论，也就说我能得到的这个结论必须要有下面的这些东西。 第一个我知道了，我们假设这一个焦点是 h 的 话哈，我就知道，首先它是这个 p h 等于 p 一 h， 这个是没问题的，对吧？第二个 o b 是 p p 一 的垂直平分线，对吧？ 也就是这一个角是直角。第二个，第三个我能知道三角形 p e h m 全等于三角形 p h m， 这个也没问题吧？这个是怎么来的？你看 p e h， 我 们来证明一下哈。这个地方我再再写个小括号， p e h 是 不等于 p h， 这个毋庸置疑的，对不对？ m h 和 m h 它是一个公共面， 而且我刚才说了，这个 o b o b 是 p p e 的 垂直平分线， 那么我们通过垂直平分的性质，我们是不是就知道垂直平分线的点到这个线段，两段的距离是相等的，就是 m p 一 就等于 m p， 这个不就是 s s s 吗？对吧？通过这个三角形全等之后，你是不是又得到了它的这个对应的角对应的边是相等的， 这是我们要得到的信息。当然你在考试的时候，你不用把这些东西都写出来哈，你就知道就行，就是你心里要有同样的同理， p 和 p 二关于 o a 这一条边对称，我们也是能得出来这些条件。 好，我们现在，现在我把我把这些东西都擦了哈，因为我如果不擦的话，我没地方写了，你们自己好好的琢磨琢磨这我说的这个地方。然后我们继续往下看，条件 连接， p 一 p 二交 o b 于点 m 交 o a 于点 a， 若角 a o b 等于四十度，看看这个角 a o b 在 哪里？ a o b 在 这里，四十度， 则角 m p n 的 度数是多少？角 m p n 是 不是在这里？你看这一个题型是我 之前讲过的哪种题型？是不是我们在讲这个全等三角形里面求角的度数问题的这种题型啊？我怎么着教到你们来？是不是我们要先直观的去判断一下这个角 m p n 它等于什么？ 这个角 m p a 我 们是不是很显然我们能看到它在这个三角形 m p a 里面？那我是不是可以用三角形的内角和去求解， 也就是角 m p a 等于一百八十度减去我们假设哈，假设这一个角是角一，假设这个角是角二， 就是我写这个一和二的目的是为了我们就不用字母去表示了，这样我们更清晰一些，他是不是就是一百八十度减去角一，再减去角二， 那么我下面我要是想去求他这个度数的话，我的问题是不是就去变成了去求角一和角二的度数？我们来看看角一，哎，角一这个地方你是不是也有条件反射了？什么条件反射他是不是三角形 m p p e 的 外角， 它是它的外角的，那它等于什么？这个角一是不是就等于角 m p e p 再加上角 m p p 一 啊？刚才我们说了这个三角形 m p 这个地方是 h m p h， 它是全等于三角形 m p e h 的， 那么这两个角是不是就是相等的？那它就等于二倍的角 m p e p 吗？ 对不对？同理，我们这个角二是不是这一个三角形的外角，也就是这个三角形 p n p 二的外角，那我角二等于多少啊？角二我就等于二倍的角 p p 二 n 吗？对吧？ 好，那我用一百八十度减去他俩我下面的这个目标，我是不是要么有两种方法吧？这个这个时候你们也要想到了哈，我是不是有两种方法，要么我把这一个角单独求出来 和这一个角单独求出来，或者是我把他两个的核求出来，对吧？我们的问题就变成了， 我们的这个思路就变成了单独求出角 m p 一 p 二或求角 m p 一 p， 再加上角 p p 二 n 的 这个度数吗？ 那么我们再回到题目的已知条件里面去，我们看看怎么样去求它，好，它好做这一个，这个角 a o b， 这里是四十度，我们怎么样能让它产生关联？ 这个地方是四十度，哎，我这时候我是不是发现了这一个，我们这两个角，就是这一个角 m p 换一种颜色，也就是我们这个角 m p e p 和这个角 m p 二 p， 它是不是在三角形 p p 一 p 二里面，是吧？它是不是在这个三角形里面？ 我如果要求它两个的和的话，我是不是就等于一百八十度减去这一个角 p 一 p p 二， 那我下一步的思路，我是不是，我如果能把这个角求出来就好了，我怎么样能求出来这个角？我怎么样能用这个四十度和这个角关联上呢？ 我把这些，我把我画的这些东西先擦掉哈，我擦掉，我们下面的目标就是求 p p 一， p p 二了啊？ 我把它擦掉，擦掉之后是不是就很明显了？你看这个地方是四十，这个地方是垂直的，这里是垂直的，那你说他这个地方是多少度？四边形的内角和是多少度？是不是三百六十度？ 那他这里是不是就是三百六十度？减去四十度，减去这一个角，再减去九十度，九十度就是这一个角，再减去九十度，是不是就是这一个角？你说他在这个四边形这个里面吗？瞄一下啊， 它在这个四边形里面，这样我们是不是就得到了这一个角 p 一 p p 二等于多少？那它不就等于，然后那它不就等于一百四十度吗？ 我们得到了这个一百四十度之后，我们不就知道了这一个， 我们不就得到了这一个，这个角 m p e p 加上角 p p 二 n 的 度数吗？等于多少？是不等于四十啊？然后你再把它带到这里边去，再把它带到这里边去， 不就得出来了吗？对吧？你看角 e 是 它，它这个地方不就是一百八十度，减去二倍的 这个角 m p 一 p 二，再加上这一个角 p p 二 n 嘛，它就等于一百度啊， 最后我们得出来这个结果就是一百度啊。自己好好的琢磨琢磨哈，看看我们的这个思路是怎么样一步一步一步这个演化过来的。 这个二杠一自己做一下，二杠二也自己做一下。题目越难你越要去练，你如果说害怕这个题目，你觉得他难，你不想去做，那你永远都学不会 这些，这些都自己做一做哈。我们再来看题型三，刚才我说的比较难的那个地方，将军引马来了，我们看看怎么样，他是怎么着引这个马的。 哎呀，看起来又有点难啊这个题，但是不要慌，你又，你要知道，就是说你看见一类题型，你要知道它的这个解题的思路是什么，它就不难了，看哈。如图，在锐角三角形 a、 b、 c 中， ab 是 四， ab 是 四，三角形 abc 的 面积是十，它告诉了我们一个边长，告诉了一个我们一个面积。其实当你读到这两句话的时候，你又要想到什么？有可能是 有可能用高去求，有可能是用高求解，为啥？ 因为告诉我们一个边，告诉我们三角形的面积，那不就是这个三角形的面积。不就是二分之一底乘高吗？不就是二分之一 s、 h 吗？是吧？ 这是我们学的公式啊，有可能会用到这个这个公式啊。这，这是你看见这个题目的一个内心的反应，你做题做多了，你自然而然就会有这种反应。然后再看角 b、 d 平分，角 a、 b、 c 好， 垂直这个平分线来了。 看到平分线，我们就要想到平分线上的一点到这个角两边的距离是相等的，看看有没有这个东西。 b、 d 平分， b、 d 这一条线是垂直平，是这个这，这个平分线。哦，他没有告诉我们什么垂直的东西，那我们先不管，我们先继续往下， 若 m 和 n 分 别是 b、 d 和 bc 上的动点，问 c， m， 你 看是不是问这两个。但是这个时候和我们刚才讲的那个知将军密码的知者唯一的区别在哪？它这里变成两个动点了，是吧？我们刚才好像只有一个动点啊。不要怕， 它的这个底层逻辑都是一样的，看看 c m 是 这一个边， m n 是 这一个边，问它们两个加起来的最小值是多少？ 哦，这是要考我啥？那我，那我得想办法干啥？我是不是得想办法把这个 n 点挪到这个 这个 m 所在的这一条直线的另一侧，我是不是得想办法把它挪到这边来？就，就我得这边找个 n 撇，或者是我把这个 c 点我挪到这边来。 这个题我们挪谁比较好挪？是不是挪 n 比较好挪？因为这个 c 点它是这个三角形 a、 b、 c 的 端点啊，它不大好去好去操作，看起来不是很很好操作的样子，那我们就先挪 n 呗，挪 n 怎么挪？我是不是过这一个？那不，我是不是做这个 关于 b、 d 的 对称点就可以啊？好，我开始做对称点，对称点，对称点，我就是这样，是吧？这个 b、 a， 我， 我是这样的，哎，我这样做，做一个这样的，先先做一个它的这个垂线， 做一个垂线之后呢，我再在这个垂线上量和这一个，我们假设这个交点是 h 吧，我要量出来和 h n 相等的这个线段，那我这样我这个 n 点它会落在哪里呢？ 这个是不是我们现在遇到的这个问题？就是说我如果是去做 n 点的 n 点关于 b、 d 的 对称点的话，我这个 n 点的对称点我会落在哪里？还记不记得我刚才说的这个地方它是不是一个平分线？ 那他是平分线之后我们学过在平分线上的一点到直线两边的，到这个角两边的这个距离相等，为什么？因为这两个三角形是全等的， 哎，但是我这一个我看起来好像和我们这一个性质不是很一样吧，对吧？我们的这个直角在哪呢？是不是到这来了？他是不是成这里了？ 我告诉你们，即便是如果是这是一个角平分线的话，就是说我们这个角平分线还有一个隐藏的性质是什么？如果是我这一个，我有一条线哈，这一条线我和这个角平分线是垂直的， 假设我这个焦点是 a， 这个焦点是 b， 这个焦点是 c， 仍然有 ab 等于 bc， 为什么？因为这两个三角形仍然是全等的，为什么？ 因为我在这里给大家解一下啊，我把这个地方记作角一，这个地方记作角二，我把这个点记作 o， 我 是不是可以有角一等于角二，因为 ob 是 角平分线， 我是不是含有 o b 等于 o b？ 为什么？因为我这个地方是公共边，我是不是含有角 a， b o 等于角 o b、 c 等于九十度，这样我是不是就变成了 as？ 呃，这是 asa 还是 asas a 吗？对吧？我是不是用 asa 我 就可以证明。我说刚才说的这两个三角形全等，那这两个三角形全等了之后，那你说这个 ab 和 bc 他 不就相等了吗？对吧？好了，我们知道了这个性质之后， 我先擦掉啊，如果说你没听懂，你又再重复的听两遍，那我们有了这个结论之后怎么办？我们有了这个结论之后，我不就知道 n 在 哪了吗？不就在这里了吗？对吧？他不就在这个 ab 上了吗？ 我们不管这个 n 它是怎么动呢？你看 n 在 bc 上动，对吧？ n 在 bc 上动， 那我它的对称点我就始终是和这个，那我始终就落在这个 b a 上， 因为 b、 d 是 它的角平分线呀，对吧？明白了吧？所以我们这个 n 撇的移动轨迹，所以我们做了这个垂直这个，这我们做关于 b、 d 的 这个对称点 n 撇之后这个 n 撇的运动轨迹， 这个 n 撇的运动轨迹，它就是在 ab 这一条直线上的。 好了，我们现在我们这个 n 撇我们知道在哪了，那我们如果想要去求 c m 加 m n 的 话，它是不是又变成了 n 撇加上 m n 撇 m 就是 说这个 c m 加上 m n 撇， 对不对？就这里就这一条线段和这一条线段是相等的了。好了，我再把这些东西擦掉哈，我们知道了这个结论之后，也就是说我这一个，你这个 c， 这我们这个线段之后 这个 n 撇啊？对，刚才还有一个，还有一步没有讲哈。假设我的 n 在 n 撇在这里， 假设我的 n 撇在这里，我这时候我的 n 撇 m 加上 m 加上 m c 之后，它是不是肯定不是最短的？在什么时候是最短的？肯定是这个 c 和 n 撇连起来是一条线段的时候是最短的， 对吧？也就说我这个 n 撇和 m 和 m， 你 如果是想找到这个 c m 加 m a 的 最小值的时候，它们这个三点肯定是共线的。 但是我这个 n 撇我又在 ab 上移动，那我移动到什么的时候，什么位置的时候，我整个这个 c n 撇它是最短的，那它不就是当我这个 点，这个 c 点，这是 c， 这是一个点，这个问题是不是就变成了这个直线 ab 外一点， 当它它的这个最短的，这个当这个点，这这个叫什么呢？直线外一点到这个直线的距离了吗？什么时候最短？不就是当它这个垂直于 ab 的 时候，它是最短的了吗？ 比如说我这个 n 撇在这里的时候，我 n 撇运动到这的时候，我这个 c n 撇它是最短的呀。你看这个时候不就是我们刚才这一个， 这个这个看见这个条件之后，自己自己的一个心理反应嘛，就是有可能会用高求解，那它你看它这个不可不就是它的高嘛，对吧？之后这个就是说这个 m 点在这 n 撇在这的时候，这个 c n 撇是最短的嘛？ 它就等于 c n 撇，对吧？那你再把这个，你根据这一个公式，你把这个 c n 撇求出来，不就完了嘛？ 怎么求啊？就是二分之一乘以 ab 乘以 c n 撇就等于十，然后 ab 是 四，你带进来，你把这个 c n 撇求出来，这个题就解决了。 你看，其实我们这样一步一步的去往下想，这个题目没有我们想的这么难，对吧？这个你们自己做， 这个自己做，训练三杠二也自己做，就是自己要自己动脑子，好好的去思考，不要害怕。 在这情况下看题型，四等腰三角形的分类讨论，这个分类讨论，分类讨论的是什么？我们通过题目来讲啊， 看等腰三角形，一个腰的垂直平分线与另一个腰所在直线的夹角是四十度， 则这一等腰三角形的底角是多少啊？一看这个题还不好做啊，我画个等腰三角形，我画个等腰三角形啊，我做一个垂直平分线， 那我们，我们做的这个有点特殊哈，我们我们重新画一个，画一个普通的 等于二三角形，哦，一个腰的垂直平分线，那大约在这个位置，你大胆的画哈，做图的时候自己大胆的画就行。只要是 你知道你画的这个线是什么，然后你知道他的这个性质就行，你肯定画不了。像这个，这个，这个，这个题目里面画的这么规范，你不用管，你就画 这样做下来嘛，是吧？我知道这个地方是垂直的，然后我知道这个三角形如果是 a、 b、 c 的 话，假设我们这个交点是 d 的 话，你知道 a、 d 等于 b、 d， 然后它两个垂直就行了，然后继续往下与另一个所在的直线的夹角是四十度，那也就是说我这个地方是四十度呗， 然后他问什么？他问这一个三角形的底角是多少？那我一看这个填不简单，那我求出来这个顶角 a， 那 我这个底角不是说是一百八十度减一除二吗？对吧？ 角 a， 他 不就等于一百八十度减去，减去这一个角九十度吗？减去九十度，再减去四十度，然后再除以，再然后这这样我们就得到了这个角 a 了，然后这个角 b 不 就等于角 c， 不 就等于二分之角 a 吗？对吗？就这么简单，我这个题目做完了， 你如果是做到这里就做完的话，你这个题目做对了吗？这个我们这一个等腰三角形，他这个题目里面有没有告诉你他是一个锐角，等的锐角的等腰三角形， 也没有告诉你他是一个直角的等腰三角形，他也没有告诉你他是一个钝角的等腰三角形啊。那你是不是要对这三种情况进行一个分类讨论啊？刚才我们讨论的只是锐角三角形的， 那如果是直角三角形的，对吧？这个题目当中没有告诉我们的情况，我们都要去把它考虑出来。如果是直角三角形的，那我们来看看呗。那直角三角形好像好像符合不了 t e 吧？ 你看这个地方是直角的话，整张三角形一个交的垂直平分线，哦，垂直平分线在这， 然后我这样，如果是垂直的话，我是不是，你看他这个时候，他这个同位角是不是就出现了我这两个，我这两个边不就平行了吗？我不会和我这一个这个腰产生做这个出现任何的夹角， 对吧？所以直角三角形这种情况是不存在的。那你再看钝角三角形呢？如果我这个角是钝角的，这个这个等腰三角形呢？ 那还是做一下嘛？这是 a， 这是 b， 这是 c， 那 我过这一个点，我过这一个点，做了一个垂直平分线，画的不是很好看，重新画一下，可能你看不出来， 嗯，这样吧，大体垂直哈，大体垂直做了一个垂直平分线与另一个腰所在直线的夹角是四十度，那我他他在哪里夹？这很明显吗？是吧？这个是不是比较明显？那我是不是就是在这个延长线上？延长线上，延长线上 这个地方我们出现了这个夹角四十啊？那这个题目是不是也比较简单？ 那这个题目是不是也比较简单？就是我这个地方是九十度，我是不是就可以得出来这个角是多少度？这个地方不就是一百八十度减去九十度减去四十度， 然后我就知道这个角是多少了？我知道这个角之后，我再用一百八十度减去我刚才求的这个角，不就能求出来这个顶点了吗？求来这个顶点之后再除以二不就可以了吗？对不对？ 这个地方他不就是九十度加上四十度吗？这是他的顶角，然后你再用一百八十度减去九十，再减去四十度，再除以二，你就可以得到他的这个底角是多少度了，对吧？ 这个题目他的容易犯错的点在哪？就是你容易一看这个题目这么简单，你又直接按锐角三角形去算了，或者是你直接去按钝角三角形去做了他。其实这三种情况我们都需要去考虑， 最后得出来的答案就是你锐角三角形算出来一个角，假设我们算出来那个角是五十吧，我只是举例子哈，具体他等于多少你们自己去算。 最后我们的这个答案是五十度或者是三十度，这个三十度就是我们通过这一种情况算出来，当然这个数这个三十、三十，这个数和这个不一样哈，就你们自己去做。我只是跟你们说最后这个答案的他的形式是什么， 这一个就是我们锐角三角形那种情况下的答案，这一个就是我们钝角等腰三角形的这个答案，能明白吧？好，继续往后这个也是自己做一做，这个也自己做一做 好。再来看题型，五角平分线性质的运用，还记得我给你们说的这个角平分线都有什么性质？来吧，就是说再重复一遍哈，再重复一次 角平分线，角平分线上的一点到这个两边的这个距离，它是相等的。除了这种情况之外，如果 和角平分线垂直的这个线段，他的这两边的这个这个长度也是相等的。好，我们看看问题，看题型。 第一个例五，如图， a r a b r a c r a 分 别平分，也有说这个三角形，这个三角形内角，三个内角的角平分线 id 垂直于 bc， id 垂直于 bc。 好， 看见这个东西了，要接着想起来啥？我接着好像要做辅助线了吧，是吧？先不用着急做辅助线，你先心里有这个想法就行，先继续往下看看他的问题是什么。三角形 a、 b、 c 的 周长是十八，也就说 a、 b 加上 bc， 再加上 a、 c 等于十八， i d 等于三， i、 d 是 三，则三角形 a、 b、 c 的 面积是多少？ 哎呀，我这个我要是想求面积，我得知道高啊，但是我这个高好像没有告诉我任何信息，但是他告诉了我平分线和垂直了。我这是我先不管他三七二十一，我先做个，做个辅助线再说。 我假设这个焦点是 e， r e 是 多少， r e 是 不是也是三？ 哎，这样的话，我看着这个时候，是不是我知道了这两个三角形就是这这个 b、 i、 c 这个三角形的勾，我还知道了这个 a、 b、 i 的 这个勾，哎，那我如果再往这，再，我再往这做一条，我再往这做了一条，我又做了一条勾，那我是不是又知道了 a、 i、 c 这个三角形的这个勾啊？ 哎，那我是不是还可以除了我知道这个三角形，这个三角形 abc 的 高之外，如果我用这一个三块，这个三角形的面积加起来也可以啊， 而且我还知道它的周长是多少。哎，那我算算，你看，我先算这个三角形 a、 b、 i 的 面积，它是不是等于二分之一 ab 乘以三， 同理，三角形 b、 i、 c， 哎，我这个题往上做出来了呀，对吧？二分之一 bc 乘以三，三角形 a、 i、 c 就 等于二分之一，这个 a、 c 乘以三。哎，我把它加起来，我不，我这个数，这不都整好了，我不就正好可以把它提出来吗？ 你说这个三角形加起来哈，我就不，我就不写这个数了哈，它就等于二分之三，二分之三 ab 加上 bc， 再加上 ac。 啊，那这个数不就是十八吗？那我这个题做出来了，它就等于二十七啊。 哎，你看是不是我们这个思路一步一步的，它并没有我们想的那么难，看见题目不要被它吓到， 用上一步一步的往下去做就行。要运用好我们这个线的性质，就是你只要是基础知识扎实，你看见这个东西你能反应出来，看见某些条件，你能接着反应出来，他要考我们什么，这个题目你就能做出来。 继续往下，这个你自己做吧，五杠一，五杠二你都自己做哈。好，我们来看题型六，垂直平分线性质的运用，看看这一类的题目它会考我们什么样的类型。 例六，三角形 abc 中 bc 等于十， ab 的 垂直平分线，呃，等等等等。哎，他怎么没给我图啊？ 上一个题目当中，他是不是也没给我图？就是我们在做那个等腰三角形的那个题的时候，他是不是也没给我们图？他竟然没给我图，让我自己画上一个题，我分类讨论了，这个题我是不是有可能也会分类讨论？ 你看这时候你又长记性了，知道看见这种没图的题要记得要去分类讨论，那这种它分几种情况呢？我们先不管它分几种情况，我们就先做一个最简单的，然后我们再去深入的思考，先做简单的，就是从简入深，先做出来其中的一种情况。 我们先随意画一个三角形三角形 abc， 是 吧？ 这样 a、 b， c， ab 的 垂直平分线我们随意画就行哈，你这个没事，你只要是记得它的性质就行， 我们这个我们离远一点吧。假设这样吧，这个地方他看看他说的是什么？ ab 的 垂直平分线与 ac 的 垂直平分线分别交 dc 于这里是 d， 这里是 e， 你 说这一个线段是 d， e， 对 吧？好问，我们 a d 加上 a e 的 值，那简单啊，我根据这个垂直平分的性质， a d 就 等于 b d， a e 就 等于 e c， 而且已知条件当中告诉的我们两个边长分别是 bc 和 d e， 那 我这样 a d 加上 a e， 它不就等于 b， d 加上 e， c 就 等于 这个 bc 再减去 d， e 吗？他不就等于十减四就等于六吗？是吧？这个题我们就这这这一个题我们不就做出来了吗？但是我们刚才画的时候，我看着我画的有点别扭，我除了这种情况之外，我还有什么情况？ 我有没有可能我这两个，我把这个过程擦掉哈，我在这边画， 我有没有可能我这两个垂直平分线这个相交啊，就是说我有没有可能是这样的， 还是随意的画就行哈。 a、 b、 c， 我 有没有可能？我这个 d 点在这里，我这边换过来，我这个 e 点在这里，就说我这里是 e， 我 这里是 d， 有 可能吧？ 那我再去求 a、 e 再加上 a、 d 的 时候，它又变成什么了？ 这个 a、 d 它就等于 b、 d 了呀？ b、 d 等于什么？ b、 d 它等于 b、 e 再加上 ed 啊。 a、 c 这个 a、 e 又等于什么？ a、 e 就是 这一个线段啊， a、 e 就是 这一个线段，它的这个垂直平面在这里，那它不就等于 e、 c 吗？是吧？ a、 e 就 等于 e、 c， 它就等于 e、 d 再加上 dc 啊，是吧？那我这样我就可以推出来， a、 d 加上 a、 e 就 等于 b、 e 再加上 ed， 再加上个 ed， 再加上 d、 c， 那 也就去这个线段里边找呗。 be 是 哪一段？ be 是 哪一段？ be 是 哪一段？ be 是 这一段， dc 是 哪一段？ dc 是 这一段？哦，它两个，它这 b、 d、 b、 e 加上 ed 再加上 dc， 这三段加起来就等于 bc， 它就等于 bc 加上 ed 吗？它不就等于十加四就等于十四吗？ 对吧？这不就是第二种情况了吗？有的同学说，那他有没有第三种情况？第三种情况有，第三种情况是哪种？我把第一种情况去掉了哈。第三种情况是哪种？第三种情况就是这种， 就是说他们两个相交在相在这个 bc 这个边上，他们两个重合了，就这两个点重合了 d 和 e。 但是你根据这个提议去看，他没有跟我们说重合，为什么说 他说的是交于这两个点？如果是他两个相交的话，他们两个不就碰到一个点上去了吗？ 将来这个题他出的有点奇异哈，他也有可能是失，但是就是说你有有可能你写失 可能是对的，也有可能是错的，这个完全取决于出题人。但是如果是在我们这种很大型的这种测试当中，他是不会出现这一类的题的。但是你要通过这个题目学会什么？你要学会这个分类讨论的这种思想， 就是这个思维的逻辑，逻辑你要学会，你先不要注重这个题目的答案是什么，能明白吗？还有这个画图就是你自主画图的能力，你不用管你画的这个东西是不是垂直的，就是你不用管他画的是垂直的还是不垂直的，你只要认为他是垂直的就行了，你只要是认清楚他们之间的线段关系就行了。你看我现在我画出来， 我们就以这个图为例，就以这个图为例，就以这边这个图哈，你看我画出来这个 a d 和 b d 它是相等的吗？它不是相等的呀，但是我认为它是相等的，就是我知道它两个是相等的，我把它看成它两个相等的就行了，懂吗？你做题的时候你就这样去做就行了。 例七，自己做一下。七杠一，自己做一下。好了，我们这一节课的内容讲完了，是不是有点难度？ 这个我还是只是讲了其中的一部分哈，就是说中档水平左右吧，拔高的那些东西我还没有讲 好好的去消化消化。我们马上就还有最后一节就讲完了，这个七年级下册的强化，还有最后一章，但是这一章的内容是比较重要的，一定要自己好好的看一下就可以了啊。

尊敬的各位专家、各位老师，大家好，我是来自甘肃省酒泉第六中学的马江一。我展示的课例选自北师大版七年级下册第五章第二节第三课时简单的轴对称图形角。下面我将从以下六个方面对本节课的内容做一个陈述。 一五教育数学课程标准二零二二版中指出，数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展过程中发挥着不可替代的作用。 数学素养是现代社会每个人应应该具备的基本素养，因此，突出素养本位，聚教、学科育人是我一直以来对教学的价值追求。 经过几年的观察、思考、实践中，我的课堂逐步形成了以关注过程、发展思维、综合育人为显著特征的数学教学风格，从而逐步促进学生形成正确的价值观念、必备品格与关键能力。 数学教学应关注知识发展的来龙去脉，只有在理解数学、理解教学、理解学生的基础上才能获得良好的发展。本节课属于初中图形与几何领域三大主题之一图形的变化中的内容。 从知识框架来说，它建立在学生以学习三角形、角的度量以及轴对称图形等知识的基础之上。 等腰三角形、线段角作为研究轴对称图形的重要要素，本节课主要从角这个元素来研究轴对称图形的一般路径，探求学习了角的对称性、角的角平分线的性质及角的角平分线尺规作图， 不仅加深了学生对简单的轴对称图形特征的认识，而且为后续学习简单的平面图形、三角形的内心等知识做了铺垫，进一步完善了初中学生的几何知识体系。 学科教学是基于学情的教学，因此，我们的教学需要围绕着学生已有的知识基础、行为习惯与关键能力展开。 从基础知识层面来看，学生已掌握全等三角形、判定角的度量、轴对称图形等知识及几何推理证明技巧， 能借助三角形全等正线段和角相等理解轴对称图形对应关系，这些为学习角平分线性质及尺规作图定定基础，可通过观察分析图形，探究相关性质，理解作图原理。 二、从行为习惯层面来说，日常学习学数学学习中，部分学生有积极思考及总结方法的好习惯，但仍有学生存在解析思维局限、 知识迁移能力差、团队写作意识团、团队写作意识弱，几何推理书写与几何作图步骤的规范性也需加强，这些均需在本节课中引导纠正。三、从关键能力层面来看，七年级学生好奇心强， 动手能力突出，可通过直观观察发现角平分线特征。本逻辑思维为带发展，难以将发现转为严谨正明，分析复杂几何问题以思路混乱。 因此，根据课标要求，基于对教材的理解和学情的分析，制定了本节课的学习目标。为了检测学生学习情况的达成情况，设置了学习目标的达成评价。 根据学习标，制定了本节课的教学重点为利用轴对称的性质探索并掌握角平分线的性质。 而考虑到学生的学习实际，制定了本节课的教学难点。为探索并理解角平分线的性质以及角平分线的做法。 根据教学内容，我设计了以下的教学策略，在教学中应遵循感知、探索、猜想、验证、应用的路径，突出学生的主体地位。一、强化动手操作，建立直观感知。通过折叠图形等做数学活动，将抽象概念转化为直观经验，激发兴趣。 二、注重探索引导，实现知识建构。以问题链引导学生自主发现核心知识，清理知识性形成，强化逻辑推理。 三、渗透数学思想，提升思维品质。重点渗透转化语化规模型，分类讨论思想，提升思维品质。四、重视知识整合，构建知识网络。 以轴对称为主线，总结经验，构建知识网络，兼顾横向比较与横向衔接。五、规范几何语言，夯实推理基础。教学示范几何证明书写要求推理应有必具，夯实推理基础。 下面我将重点介绍本节课的课程设计，接下来呈现的是情景引入、新知建构、迁移应用知识集成 设计将充分体现了上手策略。兴趣是最好的老师，学生的情感易受环境影响而产生共鸣。基于这点，我采用这两年深受学生喜爱的哪吒作为引入引，激发学生的学习兴趣。请看课堂实录。 好，那么哪吒最近在生活当中遇到了一个问题，需要大家帮忙解决。那么来看一下哪吒具体遇到了什么问题呢？ 我在演一个电影，我在演中国第一人的帅气， 在姚明，我不能身下独掌的人超能力，我用真人告诉他，我如何不见姚明啊！ 法宝会成就在两河相间的一亩八百亩地的这块，而且到两河边去拿香，只有智慧的一切开明着利。哪吒带着一股正能量来到了河边，不借他望着两头河里开始思考着问题。我说，行吧，那是帮助找到法宝吗？ 好，哪吒的是要帮助他找到法宝，法宝在什么地方呢？我们来看一下。法宝距离两河交汇八百米处，并且到两河的距离，要解决哪吒的问题就要用到。 接着是星之建构环节，星之建构是结构化的任务设计起到任务驱动的作用。 本环节设计了三个探教任务。探教一主要探教脚的对称性，通过学生举例生活中的脚， 抽象出数学中的脚，让学生体会用数学的眼光观察现实世界，再通过动手折叠，帮助学生直观的感受脚的对称性。往这迈，整节课的学习砥定基础，请看课堂实录。 那我们都知道脚是我们生活当中常见的图形，那么谁能辨别一下我们在生活的哪些场景中能见到脚吗？啊，那个男生有一种三角尺哦，三角尺还有没有？这个男生脚是有地板砖哦，地板砖有脚，还有没有 生活当中的那个女生？黑板的角哦，黑板的角还有没有这个男生门框上的角哦，门框上的角非常好。那么钟表，我们钟表的时针和分针是不是也是会形成夹角啊？是，看来大。

凝望你 这看海天。

关注我，不迷路。

同学们好，我是来自南京市高淳区固城中学的李春林老师。今天我们学习的课题是五点一图形的轴对称、旋转和平移。 平移轴对称或者旋转，它是我们这个变化当中这个范畴里面的啊。我们先从我们的例题开始，我们先看例题一， 我们在学完平移、轴对称、旋转三种图形的变化后，可以进一步研究， 请根据视力图形完成下表。大家在表里面啊，可以发现 他第一个是平移，第二个是轴对称，第三个是旋转。画了这么三个图，后面提出两个问题，与对应线段有关的结论和与对应点有关的结论。这里面呢，给出了一些势利， 我们比如看第一个平移这一块与对应线段有关的结论，大家看 ab 通过平移得到了 a 一 撇 b 一 撇， 那么这个对应线段肯定就是 ab 和 a 一 撇 b 一 撇了。首先大家可以发现，这个 ab 和 a 一 撇 b 一 撇肯定是相等的 啊，因为他移过来的，他是全等的，肯定相等。然后呢，这个 ab 和 a 一 撇 b 一 撇，其实从位置上看，他也是平行的，所以说与对应线段有关的结论，他就应该是 ab 等于 a 一 撇 b 一 撇以及 ab 啊，平行于 a 撇 b 一 撇，那么与对应点有关的结论大家在后面可以看一下，他给我们填上了，就这个 a 和 a 一 撇是对应点， b 和 b 一 撇也是对应点。发现啊， a a 一 撇等于 bb 撇， 而 a a 撇也平行于 b b 撇。好，下面我们来看轴对称，那么轴对称与对应线段有关的结论，它肯定是相等了，这是一块了，那还有一块呢？ a b 和 a 撇 b 撇，假如你看这个图啊，假如这个 a b 和 a 撇 b 撇，我们把它反向延长，大家可以发现它们肯定有个焦点，那么这个焦点 我们可以知道它一定是在对称轴上，对不对啊？我们平时就有这样的一个解题的经验，那么如果 ab 和 a 一 撇， b 一 撇，有的时候它并不一定会相交， 那如果它不相交的话，大家就可以知道它一定是和对称轴平行的。因此我们得出的结论应该是这样，就是 ab 等于 a 一 撇， b 一 撇， 以及对应线段 a b 和 a 撇 b 撇所在的直线如果相交，那么交点就在对称轴上，那如果不相交， 那么它就应该与对称轴平行，这个我们也可以补上啊。到了结合这个图来看，我们只能说它们的焦点在对称轴上啊，在对称轴上，那么与对应点有关的结论呢？ 与对应点有关的结论呢？就是那个 a 和 a 一 撇， b 和 b 一 撇呢？如果我们把它连起来，大家可以知道 a a 一 撇和 b b 一 撇，它肯定是平行的，这没有问题 啊。但是这个 a a 撇和 b b 撇就并不一定会相等了啊，你根据那个平移的那个人对不对？他就不相等，但是不相等会不相等。但是大家可以发现，连起来以后的这两条线段，他与对称轴是有一定的关系，大家可以知道他 背对称轴应该是垂直平分了。因此我们写出的结果应该是这样的，就是 a a 撇平行于 b b 撇， 而且对称轴垂直平分了 a a 一 撇，或者你也可以说 b b 一 撇平分了，这个也可以啊，这个也可以。好，这个是轴对称这一块。 最后我们来看旋转，旋转呢，它与对应线段有关的结论，它是这么写的，觉得肯定是对应线段是相等了。还有呢，对应线段 a b 和 a 一 撇， b 撇所在的直线 相交所成的角啊，如果相交啊，所成的角，它应该与旋转角应该是相等或者互补 啊，相等或者互补。那么与对应点有关的结论呢？就是那个 a a 撇和 b b 撇呢？如果我们把 a 和 a 撇分别和那个 o 点连接起来，大家就能发现这两条线段就是那个 a o 和 a 撇 o 应该相等 啊， a o 和 a 撇 o 就 应该相等。而且大家可以发现连了以后又构成了一个角，那这个角其实就是什么？就是旋转角，它应该和 那个 b 跟 o 连起来， b 一 撇和 o 连起来构成的角，他应该是相等的啊，这个 b 和 b 一 撇，他也是对应点嘛。 所以说我们总结一下，写出这个结论应该是这样的，首先是那个 o a 和 o a 撇相等，或者我们也可以写 o b 等于 o b 撇，这是同一个道理。还有那所构成的这两个角，他也应该是 相等的啊，他就等于这个旋转九啊，应该是等于旋转九。好的，这个是利益，我们把它解完，做完利益以后呢，我们再来看一下，我们来做一个简单的归纳总结， 也就是说这三种图形的变化啊，图形的变化，平移轴对称和旋转，我们把它分成三块，与对应线段相关的结论，与对应点相关的结论，以及对应的图形相关的结论。它到底有什么呢？比如说平移，我们来看看， 它应该是这样的啊，平移与对应线段相关的结论，它要么相等啊，对应线段，那么要么平行，当然也有可能它们是在同一条直线上 啊，他们也有可能在同一条直线上。平移的时候啊，如果你这个对应线段，他就是按照他的对应线段的那个方向再移的啊，再移的话，那么他们就应该是在同一条直线上，与对应线段相关的结论呢， 好，大家来看一下，它应该是相等，而且所在的直线它们相交啊，到了焦点是在对称轴上，或者对应的线段也有可能是平行啊，也有可能平行，那么旋转呢， 他应该是对应的线段应该相等。所在的直线相交，所成的角与旋转角相等，或者互补 啊，或者互补，这是三个与对应线段相关的结论。那么与对应点相关的结论我们再来看，如果说平移 啊，它们对应点的连线段应该相等啊，这是数量位置上呢，它们有可能平行啊，也有可能在同一直线上啊，也有可能在同一直线上。那么轴对称呢？ 对应点的连线段所在的直线呢？它们是平行，或者在同一直线上， 对应点的连线段呢？背对称轴垂直平分。刚才我们在利益当中啊，大家也看到了啊，也发现了，那么旋转呢，对应点到旋转中心的距离相等， 对应点与旋转中心构成的角即为旋转角啊，即为旋转角，也是他们是相等的，都等于旋转角。 好，那与对应图形相关的结论呢？对应的图形相关的结论，大家可以发现，变换前后的图形全等 啊，前后的图形他们都是全等的，也就是说三种图形的变换，他们都是属于一种叫全等变换啊，全等变换啊，这个是我们的利益我们归纳出来的啊，相关的一些结论，我们希望同学们啊，在平时 学习的时候要善于这样去总结。好，接着我们下面来看到例题二，例题二呢是一个作图体，他说如图啊，三角形 abc 和三角形 d、 f， 关于直线 l 对 称， 请啊仅用无刻度的直尺在图一和图二中分别做出直线 l， 比如我们看图一这两个三角形，它是关于直线而对称的，那么我们就找到它们的一些对应的线段，因为我们知道对应线段它们如果相交的话，那么焦点就应该是在 对称轴上，比如这个里面的 b、 c 和 e、 f 就是 对应的线段，所以这个焦点啊，他们一定是在 对称轴上，同样大家也可以发现 a 点也在，所以说用无刻度的直角，我们就可以把它把这个 a 点和 b、 c 和 e、 f 的 交点，我们把它连接起来， 那么这条线其实就是我们的对称轴啊，就是我们的对称轴啊，这个是怎么样？图一，那么再来看图二呢？图二又怎么办呢？大家可以知道图二那个 a、 b 和 d、 e 以及 bc 和 ef， 他 都应该是两条对应的线段，到了你这个 ac 和 df 也行，那么这些对应线段如果他们不相交的话，而不平行的话，他们连起来一定是相交的，那么焦点就应该是在 对称轴上，因此我们就可以用这个办法我们做出它的对称轴，比如我们可以什么把 a、 c 延长出来，我们把 d、 e 延长出来，我们把 b、 c 延长出去 啊，这个 c、 b 延长出去，我们把 f 一 再延长出去，然后就出现两个焦点，我们把这两个焦点，我们再用无刻度的直尺把它连起来，那么这个也是他的一条对称轴，这样我们就做出了这两个图形的 对称轴啊，这就是我们的立一和立二这两个做图。那么做完了以后，我们来思考我给你这样的一个问题，如何找到两个呈中心对称图形的 对称中心呢？啊？如何来找这两个呢？这两个图形是呈中心对称的，那么那个 a 和 a 一 撇， c 和 c 一 撇， 这两个对应的点啊，对应的点啊，如果把它连接起来的话，大家知道他一定是经过了对称中心啊，一定是经过了对称中心，所以说我们马上就找到了，其实很简单了，我们只要把它连起来，是吧？焦点 啊，就是我找到的他的什么对称中心，所以这个呢，也是利用了这个中心对称这样的一种性质啊，我们来解决这个问题啊，用无刻度的知识，我们也可以把它画出来，对不对？这一点大家要明白啊，大家要明白。好，下面我们来看到例三， 例题三也是一个作图体，而且是在网格当中完成，如图，网格中的三角形 abc 和三角形 a 二、 b 二、 c 二全等。如何通过平移、旋转与翻折，将三角形 a、 b、 c 运动到三角形 a 二、 b 二、 c 二上，使两者互相重合。 小明同学是这样思考的，第一步，将三角形 a、 b、 c 向上平移七格后，得到三角形 a、 e、 b、 e、 c、 e。 第二步， 再将三角形 a、 e、 b、 e、 c、 e 通过平移旋转的方式运动到三角形 a 二、 b 二、 c 二，它的位置。 我们看第一个小题，请你在图中画出三角形 a、 b、 c、 e， 那 怎么画呢？它不向上平移嘛？ 所以我们就通过局部带动整体的办法，我们移动三个点，比如说我们把 a 点我向上平移七个单位长度移到这里，我把 b 点再向平移啊，向上平移七个单位长度，再把 c 点 再向上平一个档，然后我们再把三个点依次把它连接起来啊，这样的话，我们就画出了三角形 a、 b、 c 啊，他的这样的一个结果啊，他就自然出来了，这个应该是比较简单的，对不对？好，下面我来看第二题， 运用平移、旋转等变换的方式说明三角形 a 一、 b、 c 如何运动到三角形 a 二、 b 二、 c 二。就是你怎么通过 平移或者旋转这样的方式把三角形 a 一、 b 一、 c， 把它再运动到三角形 a 二、 b 二、 c 二的位置呢？ 大家可以观察。首先我们可以通过什么通过平移的方式，我们先把三角形 a、 b、 c， 我 先向右边移动，使得 a 一 和 a 二 重合啊，这样的话，我们先把它向右平移了，应该是六格啊，六个格子啊，六个格子使得 a 一 和 a 二重合了，然后你再来看，我们可以通过旋转 啊，我们绕着那个 a 二点，把移过来的这个三角形，你看按照一个逆时针方向我们旋转，那转了多少度呢？ 在图里面大家可以发现，你去找一下啊，那个数一下格子，我们就可以知道他应该是转过去了九十度啊，再按照逆时针方向旋转九十度，根据这个 方格指的特点，我们就能找到，这个应该不难，所以我们写出来应该是这样的， 将三角形 a、 e、 b、 c 向右平移六格，再将三角形 a、 e、 b、 c 以 a、 e 为旋转中心，就是移过去的那个啊， a、 e 为旋转中心， 逆时针方向旋转九十度，就可以得到三角形 a 二、 b 二、 c 二的位置啊， a 二、 b 二、 c 二的位置。其实这个题目做完了以后，大家可以想你可以回去啊，就课下以后回去思考，我们能不能通过 依次旋转，将三角形 abc 直接移到三角形 a 二、 b 二、 c 二的位置呢？ 这个我们留着大家课后你去思考一下。好，接着我们再来看到 例四，再来看到例四，如图，已知三角形 a、 b、 c 的 三个顶点，它的坐标依次是， a 点是负二，逗号三， b 点负六，逗号零， c 点负一，逗号零 一。请直接写出点， a 关于 y 轴的对称的点的坐标， a 点关于 y 轴的对称的点的坐标。就是我们把 a 点关于 y 去对称，大家在图上可以发现 a 点对过去，它跑到哪呢？就跑到这边 啊，然后我们就可以写出它的坐标，它的坐标就马上写出来，二都和三 啊，二多少三。所以这第一个小题我们应该做完了啊，做出来，然后呢，我给大家几个啊，我们这个思考的地方。第一个，如果我让你去写点关于 x 轴对称的点的坐标呢？ 我们同样也能画的出来啊，他画出来应该是在这里，比如说这个是 a 二点啊，所以他的坐标我们也能写的出来，应该是负二，多少负三。那么第二个如果是关于原点对称呢？ 我们行吗？啊，也可以啊，是吧？同样我们把它对称到这里来，关于原点对称，所以 a 三点，所以得到是二十逗号负三，二十逗号负三啊。然后我们再看第三个问题，那么这三种对称变换， 大家看啊，我们这个原来这个点的坐标是负二，逗号三，我们经过 y 轴对称，得到是二逗号三，关于 x 的 对称，得到是负二逗号负三。关于圆点对称，得到是二逗号负三 啊，我们不知同学们有没有发现它里面的规律，如果它是关于 y 轴对称，这个坐标之间你可以发现重坐标不变。如果关于 x 轴对称，横坐标不变。如果关于圆点对称呢？ 横坐标和纵坐标全部要改成相反数啊，他要变化的都是改成相反数。我这的变化变化其实就是指的是改成了它的相反数，是吧？改成了它的相反数。好了，那如果我用一般的点的规律呢？我把它一般化 啊，如果说 a 度和 b 呢？所以关于 y 轴对称，应该是纵坐标不变，把横坐标改成相反数。 而关于原点对称，那是横坐标不变，把重坐标改成相反数。那么原点呢？两个都改成相反数。其实这就是在平面直角坐标系里面啊，这个对称变化和坐标变化的它的一种关系啊，一种关系。好了，这个是第一个小题，我们下面再来看第二个小题， 将三角形 abc 绕着坐标原点 o 逆时针方向旋转九十度写出，画出图形，并并直接写出点 b 的 对应点的坐标。 好，这个三角形 abc 关于原点就对，那么我们就对三个点啊，旋转 a 点，通过 o 点旋转，逆时针方向旋转啊，大家就马上能找得到啊，根据这个坐标特点，那我们就找到了 啊，这是 a p 点，那么 b 关于 o 点呢，应该是在这里，那么 c 关于 o 点呢，应该是在这里啊，然后我们画出这个图形啊，依次把它连接起来就出来了，然后点 b 的 坐标我们也能写得出来，那叫零逗号负六啊，图上看的比较清楚。 好了，这样我们就写出了这个题，然后我们来追问一下啊，思考一下，点 b 运动到 b 撇的路径长是多少呢？ 点 b 运动到 b 一 撇的好，大家可以发现，运动到这里以后啊，其实他画的是一段弧，对吧？是一段弧线，而这段弧线大家就会发现，他的半径应该等于六， 而且他这个四分之一圆嘛，所以我们就能算出来他的长度啊，就应该是三排，这个应该不难。好，接着我们来看第三题， 请直接写出以 abc 为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标。 那我们想思考一下，如何找出点 d 呢？如何找出点 d 呢？好，大家可以在图上发现啊，这个三角形 abc 它是存在的，那么三角形 abc 的 三条边应该是有一条边肯定作为了 平行四边形的对角线，所以我们自然会想到此题目要进行分类，比如说我们以 a b 为对角线，我们这样就能找出 d 点它的位置啊，然后我们可以把它连起来，它构成一个平行四边形啊，这没有问题啊，所以我们就找出了第一个点，对吧？第一个点啊，它对应的以 a、 c、 a、 b 为对角线， 所以这个第一点的坐标负七多少三。好，然后我们再讲，如果说以 bc 为对角线呢 啊，我们就找出了第二个点，这个 d 点应该是在这里啊， bc 为对角线，我们再把它连起来，这样它也构成了一个平行四边形，所以这样我们写出第二个点的坐标应该是负五都和负三。最后如果以 a、 c 为对角线呢， 我们也能找出来他的低点坐标， 那应该是在这里啊，应该是在这里，然后我们再把它连起来，再写出来啊，低点的坐标就是三都或三啊，三都或三，这样的话，我们把整个题目就解完了哇，全部做出来了， 然后我们再去想一想，假如这个题目第三小题不是这样出的，他是说的吗？请找出一个点， d， 使得四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形 啊，四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形。同学们，我们就能发现那个第一点和第二点 他就不行了啊，只能是找第三点才可以啊，只能找第三点他才能构成，因为这个时候平行四边形， 他说平行四边形 abcd 嘛，他是有顺序的，是吧？有顺序的，所以我们在平时做题的时候啊，一定啊，审题要清楚啊，审题要清楚。好，最后我们来小结本课，今天这个课呢，我们主要讲的是图形的变换啊，图形的变换我们分成了 一个是，主要讲的是一个全等变换啊，分成两块看啊，全等变换。那么全等变换里面呢？我们有什么？一个是平移，一个是选呃，轴对称，还有一个是旋转，就三块啊，平移，轴对称、旋转，那么这三块呢？特别是那个旋转这一块， 大家要记好了，我们这里面还有一个中心对称啊，这个也是算旋转里面的，而三种变换里面我们一定要掌握住他的什么性子，这个非常重要啊，性子非常重要， 所以有的时候我们就是用这样的一个性子去解决问题。好，那么除了我们这个地方的全等变换以外，我们后续啊大家也会学到叫相似变换，叫相似变换。 今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们，再见。

同学们好，我是小狐狸老师，我们今天继续来学习人教版七年级下册数学第九课，定义命题以及定义。 今天的学习目标是理解定义、命题和定义以及证明之间的概念，会区分命题的提设和结论，会判断真假命题，知道证明的意义以及必要性，了解反例的作用。我们先来了解定义的概念， 定义的概念就是说对于一个概念特征性质的描述，就叫做这个概念的定义。比如说连接两点线段的长度叫做这两点之间的距离，而这一句话就是对两点间距离的一个定义。 第二个点，我们来看一下命题的定义与结构。所谓命题，就是说可以判断为正确，也就是说真的或者是错误，也就是假的的陈述语气叫做命题。比如说， 比如说两直线平行内错角相等，那么这一句话我们可以去判断正确还是错误，那么这一句话就叫做命题。 那我们在判断命题的时候，还需要注意两个点，第一，只要对一件事情做出了判断，不管正确与否，他都是命题。 比如说相等的角是对顶角，这个叫命题。相等的角不是对顶角，这句话也叫命题。只是说这两个命题一个是正确命题，一个是错误的命题，也就是一个叫真命题，一个叫假命题。 第二个点，如果一个句子没有对某一件事情做出任何的判断，那么它就不是命题。比如说画一条线段 a b 等于 c d， 那 么这句话就没有让我们判断的一个概念在里面，它就不是命题。下面我们来看一下命题的结构， 我们来观察一下下面的命题，你能发现下面命题有什么共同的特征呢？如果一个 第一个，如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形的周长相等，这是一个命题。第二个命题，如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等，这是第二个命题。第三个，如果一个数的平方等于九，那么这个数 等于三。我们观察这三个命题，会发现它都是一种如果什么什么那么什么的这种形式，因此我们的命题基本上也都是以这种形式来呈现的。 如果后面接的就是提射，而那么后面接的就是结论。 比如说熊猫没有翅膀，我们就可以把它改写成，如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀，熊猫这个动物是熊猫，就是我们的提射，也就是前提是假设，那么它就没有翅膀，那这个后面没有翅膀，就是对这个前提的一个结论 添加。如果，那么以后命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语境要通顺，使命题的提设和结论更加明朗，善于分辨。在改写过程当中要适当的增加一些词语，切不可生搬硬套。 我们来看命题的组成，命题是由提设和结论组成的，提设是我们已知的事项，而结论就是由已知事项推出的事项。 比如说两直线平行，同位角相等。我们的两直线平行就是一个题设，同位角相等就是我们的结论，因为这句话可以改写成，如果两直线平行，那么就有同位角相等。 我们来判断一下下面的语句，哪个是命题，哪个不是命题？我们知道所谓命题就是能够判断正确与否的一句话， 对零点相等吗？这是一个反问句，不是陈述句。所以第一个是错误的。第二个，画一条线段， a b 等于二厘米。这句话没有办法去判断正确还是错误，只是一个一句话而已。第三个，两只两条直线平行，同位角相等，是不是符合我们的命题啊？ 这句话是一个正确的话，如果两直线平行，那么同位角相等。好，第四个，相等的两个角一定是对顶角，这句话是不是错误的呀？他也是一个命题，如果两个角相等，那么一定是对顶角，这句话是错误的，是我们的假命题。 好，下面我们来判断什么是真命题，什么是假命题。观察下列命题，你发现下列命题有什么不同的特点？命题一，如果一个数能被四整除，那么他也能被二整除。 命题二，如果两个角互补，那么它们是邻补角。我们发现这两个命题都是命题，但是第一个命题是正确的，第二个命题是错误的， 那么我们就把这种被判断为正确的命题叫做真命题，被判断为错误的命题叫做假命题。 我们来判断下列命题的真假。第一个，同旁内角互补，这句话是不是错误的？如果同旁内角，呃，如果是同旁内角，那么就互补肯定是错误的，因为只有两直线平行，同旁内角才互补。第二个，一个角的补角大于这个角，这也是错误的。 第三个，相等的两个角是对顶角，是不是也是错误的？不一定是对顶角。第四个，两点可以确定一条直线，这句话是不是正确的？如果是两个点，那么他们就能确定一条直线是正确的。 第五个，两点之间线段最短，这句话是不是也是正确的？如果在两个点之间，那么他的线段就是最短的，这句话正确的。第六个，同角的与角相等，这句话是不是也是正确的？ 第七个，互为邻补角的，两个角的平分线互相垂直，这句话是不是正确的？因为两个角相加等于一百八十度，那么他们分别的一半相加肯定是九十度，所以是垂直的。好，下面我们学习第四个知识点，证明与举反例。 一天早上，李老汉来到衙门里告状，他说张三刚刚在他地里面偷了一袋玉米。吕宪令立即派衙役将张三拘捕到县衙审讯。吕宪令问李老汉，你怎么知道是张三偷了你的玉米？ 张三说，李老汉说，因为早上我发现张三从玉米地那边过来，把一袋东西背回家，还发现我地里的玉米，所以我家的玉米肯定是张三偷的。 这是不是他通过前面的这一段序数，然后得到了后面的这个结论呢？那像这种从已知条件出发，也就是说列出理由，推断出结论的证明方法叫做综合法。综合法是最常用的一种证明方法。 那县官一时拿不定主意，就问旁边的县城师爷，你怎么看？县城说，这事要证明是张三干的，还得弄清那袋子里装的是不是刚掰的玉米，还要看看地里的脚印是不是张三的才行。如果袋子里装的是刚掰的玉米，且地里的脚印是张三的，那就一定是他偷的。 那像这种从结论出发，逆着去寻找所需要的条件思考的过程叫做分析。就是说假如说这件袋子里面的玉米是张三偷的，那么袋子里的玉米一定是刚刚掰的，而且地里的脚印一定是张三的。 那在分析的过程中，如果发现所需要的条件已经具备，也可以从已知条件中往后去推，那么证明就很容易了。这就是咱们在以后做几何问题的时候证明题。很多同学觉得难，他只会一味的从前往后推，或者一味的从后往前推，但是有时候我们的证明他是一种非常 灵活的一种方式，你在往下推的过程当中遇到了阻碍，就倒着往前推，他们总有一个接头的地方，促使你把这道题完整的写出来。 好，我们看一下这道题，如图，角一等于角二，角一等于角二是说明 ab 与 cd 是 互相平行的，我们看如果 ac 如果要想证明 ab 与 cd 平行，那么我们肯定要根据我们平行线的内错角相等，嗯，同位角相等，或者是同旁内角互补，对不对？ 然后我们发现角一等于角二的时候，我们又有角二和角三是对顶角，那么角二和角三就相等，同样我们就能得到角一等于角三。角一既然等于角三了，在我们的三线八角里面，角一和角三属于同位角， 那么现在就有了同位角相等。同位角相等，我们是不是就能证明两直线平行啊？那我们看一下这道题怎么去证明来呢？我们看一下这道题的步骤，怎么去书写证明？像这种证明题，我们要写的字就不再是解了，而是证明两个字证明什么？因为角一等于角二， 角二等于角三，这里你可以写上是对零角相等， 所以角一等于角三等量代换， 所以 a b 平行， c、 d， 这是同位角相等，两直线平行。好，我们看第五个知识点，公里的概念与定律的概念。 数学中有一些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据。这样的真命题就叫做公里。 比如说我们的直线，公里两点之间确定一条直线，这就是没有任何的理由，这就是根据我们的一个长期实践总结出来的这种东西就是公里还有线段，公里两点之间线段最短，没有为什么他就是最短？就根据我们两个点之间画的所有的线，就观察到就是线段是最短的。 还有就是我们的平行线，公里经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。那 除了公理之外，我们还有一个叫定力，有些命题是基本事实，还有一些命题他们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题就叫做定力。 定力也可以作为继续推理的依据。我们学过的定力有补角的性质，同角或等角的补角相等，与角的性质同角或等角的与角相等。第三是对零角的性质，对零角相等。第四是垂线的性质， 在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，第二个就是垂线的最短，这都是我们学过的定力。如果说你不记得了，大家翻一翻课本，回去再看一下。 下面我们来看证明的概念。什么是证明？在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理的过程就叫做证明。 注意一下，就是咱们证明的每一步推理都要有根据，不能想当然。这也是为什么我之前给大家说过，大家在写步骤的时候，你们的第一个英文必须是题目上已经出现的，或者说是我们的公理， 或者说是我们的定例，只有这样你才能把它作为第一个英文。很多同学写步骤不会写，就是因为他，呃，他所写的这一句话没有依据。 来我们看一道证明题，如图，已知 b 平行于 c， a 垂直于 b。 求证， a 垂直于 c， 我 们知道 b 平行于 c， 那 么角一和角二就是一个同位角，同位角是相等的关系， a 又垂直于 b， 那 么我们就能得到，角一是等于九十度的，那角二等于角一，角二是不是也等于九十度？那这里既然是九十度，那么 a 肯定就是垂直于 c 的。 我们看到了求证，那么第一步我们就要写证明，证明什么，因为 b 平行于 c， 所以 角一等于角二，这是我们的两直线平行，同一角相等，又因为 a 垂直， a 垂直于 b， 所以 角一等于九十度，所以角二等于角一等于九十度， 所以 a 垂直于 c。 大家明白吗？这就是我们证明的一个步骤，跟咱们去书写那种去求值的那种步骤其实没有太大的区别，只是说这里他告诉了你一个结论，你的目标就要往这个结论上去走就行了。 好，下面一个知识点就是举反例。我们如何判断一个命题是假命题呢？就用到了我们举反例这个方法。 例如要判定相等的角是对顶角，这是一个假命题，我们就举出什么例子。那如又如图所示， oc 是 角， aob 的 角平分线，角一等于角二，但他们不是对顶角。是不是对上面这个命题的一个反驳，也就是反例？ 那确定一个命题是假命题的方法就是只要能够举出一个反例，它符合命题的提设，但它不满足结论就可以了。 好，我们看几道随堂练习题。下列语句中不是命题的是两点之间线段最短，这是我们的命题。如果是两点之间，那么它就是线段最短。 b 对 顶角相等。如果两个角是对顶角，那么它就一定相等。 c 不是 对顶角不相等，如果这两个角不是对顶角，那么它们就不相等。 d 过直线， y 一 点， p 做直线， ab 的 垂线，这是一个画图，所以说 d 不是 命题。 好，我们看第二个下列命题中是真命题的事啊，下面要来判断真假了。若 a 乘 b 大 于零，则 a 大 于零， b 大 于零。不对吧？若 a 乘 b 大 于零，只能说明 a、 b 同号。 若 a 乘 b 小 于零，说明 ab 一 号，但不能确定它们各自的符号。 c 若 a 乘 b 等于零，则 a 等于零，且 b 等于零，我们可以是 a 等于零或者 b 等于零，任何一个等于零都可以。 d， 若 a 乘 b 等于零，则 a 等于零或者 b 等于零。答案选 d。 好， 下列句子哪些是命题？是命题的指出是真命题还是假命题？我们先来看猪有四只角， 这句话是不是命题。如果是一头猪，那么他就有一，那么他就有四只角，这句话是不是命题啊？是命题，而且是真命题。第二个，内错角相等。如果两个角是内错角，那么他们就相等。是不是错误的？只有两直线平行，内错角才会相等。 第三个，画一条直线，他根本就不是命题。好，第四个，四边形是正方形，如果一个图形是四边形，那么他一定是正方形。这句话是不是是个命题，但他是个假命题。好，第五个，你的作业做完了吗？这是一个反问句，命题是一个陈述句，所以说第五个也不是命题。 内错角相等，两直线平行。第六个说是，如果内错角相等，那么两直线平行。这句话是不是我们平行线的判定方法呀？所以说它是命题，而且是一个正确的命题。第七个，垂直于同一条直线的两直线平行。如果两条直， 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线就是互相平行的，这是不是我们的真命题啊？好看！第四题，举反例说明下列命题是假命题。第一个，若两个角不是对顶角，则这两个角不相等。 我们举一个反例，就按我们刚才的例子，角 a、 o、 b 中间有一条角平分线，角一等于角二，那角一和角二不是对顶角，但是它们两个角又相等，是不是这个是错的呀？ 好！ b 项，若 a 乘 b 等于零，则 a 加 b 等于零。不一定吧，你看 a 乘 b 等于零，我可以让 a 等于零， b 等于三，那 a 加 b 是 不是等于三呢？第二个也是错误的。好，第五题在下面的括号内填上推理的依据， 如图， a、 b 平行于 c d， a， b 平行 c， d 平行 d e。 求证，角 b 加上角 d 等于一百八十度。好，我们看证明过程， 因为 ab 平行 cd， 所以 角 b 等于角 c。 哎，角 b 等于角 c， 这是不是它们两个的内错角啊？我们就填两直线平行，内错角相等， 因为 c、 b 平行 d， e， 则角 c 加上角 d 等于一百八十度，角 c 加角 d 等于一百八十度。两直线平行，同旁内角互补，所以角 b 加上角 d 等于一百八十度。这是不是我们的等量代换呀？ 好，第六题如图，已知 ab 平行 cd， 直线 abcd 被直线 m、 n 所截交点分别为 p 和 q pg 平分角 b p q， 也就是说这个角一等于角二。我们通过这句话，角一等于角二。大家一定要学会去标小角，不然的话角特别多，而且三个字母的话，你很难去标小角，不然的话角特别多，而且三个字母的话，你很难去标小角，不然的话角特别多，而且三个等于角四。 好，角三等于角四。求证， p g 平行 h q p g 平行 h q。 我 用紫色的笔画一下，要证明这两条线平行，那这里我们出现了个角二和角四，如果说我能证明角二等于角四就好了，对不对？如果角二等于角四，那么这两个大角肯定是相等的， 这两个大角相等，是不是就也能找到？因为 a、 b 平行 cd， 那 是不是过程就能出来了？那我们就证明， 因为 a、 b 平行 c、 d， 所以 角 b p q 等于角 c q p， 也就是这两个大角是相等的，这什么两直线平行，内错角相等，那又因为 p g 平分 角 b p q q h 平分角 c q p， 所以 就有角一等于角二等于二分之一角 b p q， 角三等于角四等于二分之一倍的角 c q p， 那 所以角二是不是就等于角四呀？所以 p g 就 平行于 h q 内错角相等，两直线平行。大家一定要仔细去看这种证明题的步骤怎样去书写的，因为咱们现在已经涉及到了几何图形的一个学习，在咱们以后的学习当中会有越来越多的证明题，而且这是我们常做的一种题型，大家一定要熟悉这种答题方法。 好，我们看一下这节课学习的内容。这节课主要学习的就是定义命题和定义，定义的概念就是对于一个概念特征性质的描述，就叫做这个概念的定义。而命题的定义与结构，判断一个一件事情的句子，它必定是一个陈述句。 命题的组成就是有提示和结论。命题的分类分为真命题和假命题。真命题一般就是公理的话，我们是不需要证明的，定力是由推理去证实的，还有一些其他的一些结论是由我们的公理或者是定力去推论出来的。那我们的假命题想要去证明它呢？只需要给出一个反例就可以了。 这节课的内容比较绕，我希望大家在课下能够反复的去观看一下这个视频。好了，今天的课程就到这结束了，同学们再见。