反正割函数图象

这个视频我来讲讲正切函数的图像变换，总的来说和正弦余弦函数的变换都是一样的。咱来看一看。先看伸缩变换，比如要把 y 等于 tangent x 变成 y 等于 tangent 二， x 咋变呢？它其实就是在 x 前面乘了二嘛。 先画 tangent x 图像，在 x 前面乘个二，就是让图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的二分之一，图像就变为这样。刚才是在 x 前面乘了二。如果我改成在 tangent 前面乘二，你知道咋变吗？ 在 tange 前面乘二，图像就得纵向拉伸，那就是横坐标不变，纵坐标变为原来的两倍。你看，正切的伸缩变换和正弦余弦都是一样的，在 x 前面乘了几，那纵坐标不变，横坐标变为原来的几分之一，在 tange 前面乘了， 那就让横坐标不变，坐坐标变为原来的几倍。讲完了伸缩，再来说说平移还是左加右减，上加下减。比如要把 y 等于 tangent x 变成 y 等于 tangent x， 加三分之派，只要把它的图像往左平移三分之派就行。 再比如，要把 y 等于 tangent x 变成 y 等于 tangent x 加一，你就只要把它的图像往上平移一个单位就行。 伸缩和平移都讲完了，接着咱来看看它的综合变换，比如把 y 等于 tangent x 变换成 y 等于三倍的 tangent 二， x 减三分之派，再加一。该咋变呢？ 和以前一样，咱还是从最后这个式子出发，找找变化的路径。先把一丢掉，让他从这个式子变过来。再把三分之派丢掉，让他从这个式子变过来。然后把二丢掉，让他从这 这个式子变过来。最后把三丢掉，就是 tangent x 了。看来整个变化路径需要四步，搞定了变化路径，就可以写具体过程了。从第一步开始， tangent x 变为三倍的 tangent x， tangent 前面成了三，就是把图像上所有的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的三倍。 再看第二步，从三 tangent x 变为三， tangent 二 x 在 x 前面成了二，就是把图像上所有的点纵坐标不变，横坐标压缩为原来的二分之一。 接着看第三步，从三弹卷成二 x 到三弹卷成二 x， 减三分之派。这里要注意得把这个二先提出来，显然在 x 上减了六分之派，就是把图像往右平移了六分之派。再看最后一步，就是在式子后头加了个一，所以把图像往 上平移一个单位。像这样，遇到正切行函数的变化，还是从最后的式子入手，先找到变化路径，再写出具体过程。 好了，以上就是正确函数的图像变换，他其实和正弦、余弦的变换规则是一样的。遇到复杂点的式子时，还是从最后的式子入手，先找变化路径，再写成具体过程。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！

各位同学，我们看一下这个题啊，那么这个题的话呢，其实在我昨天上课的过程当中，对吧？呃，给大家说了，但实际上的话呢，我们只是说了 a 大 于零， b 大 于零， a 乘 b 小 于一的时候的情况， 那么今天的话呢，我把它所有的情况都跟大家说一下，就是 arctangina a 加一个 arctangina b， 它到底应该等于什么东西 好？那么这个地方的话，它之前涉及到两个反函数相加啊，我们可以令谁呢？ 可以令 x， 它等于一个 r 贪近它 a， 另外的话呢，它等于谁呢？它等于一个 r 贪近它 b 啊，大家注意哈， r 贪近它，它的值域对吧？是在负二分之派到这个二分之派之间的，所以这个地方的话呢， x， 它一定是属于谁呢？负二分之派到一个二分之派 y 的 话呢，也一定是属于负二分之派啊，到一个二分之派，那么 x 加 y 的 话呢，它其实属于谁呢？属于负派到派啊这个范围， 那么这个地方的话呢，我们的有 x 等于 arc tangent a 啊，那么其实 tangent 谁呢？ tangent 这个 x 哈，它应该是等于 a 的。 这个地方还涉及到我之前给大家说的反函数啊，非常重要的两个就是 ark 探进塔，这个反函数，它非常重要的两个公式，对啊，我们说 ark 探进塔，然后呢，这个探进塔 c 塔，它的话呢，会不会等于 c 塔呢？ 啊？它的话呢，就会不会等于 c 塔呀？不一定的，它如果要等于 c 塔的话呢，这个 c 塔它是要开区间，对吧？负二分之派到一个二分之派，那么在这个范围内，对吧？它才是成立的啊，它才是成立的。 好，那么我们的这个贪进塔阿克怎么样？贪进塔 c 塔，它是一定会等于 c 塔， 那就下面这个的话呢，他是对任意的 c 塔，对吧？他都成立啊，都成立。所以说啊，你回到这个地方，你两边同时加一个贪镜塔，那么贪镜塔阿克贪镜塔 a 啊，他就是 a， 那 么这边的话呢，一样的，两边都取一个贪镜塔，那么贪镜塔 y 的 话呢？他就等于 b 啊，他就等于 b， 那 么贪镜塔这个 x 加 y， 按照我们的这个公式啊，按照我们的这个公式， 对吧？贪心他求和，这个公式，他应该是什么呢？应该是一减去一个贪心他 x， 对 吧？啊？贪心他 y 分 之一个贪心他 x 加一个贪心他 y， 也就等于谁呢？ 以减去 a 乘以 b， 对 吧？分子一个 a 再加上一个 b， 那 就这个公式，所以说我们要得到 x 加 y， 对 吧？实际上你要研究这个碳金塔 a 加这个阿克泰 x， 碳金塔 a 加一个阿克泰金塔 b， 实际上就是在研究这个地方 x 加 y 等于多少？ 那么这个 x 加 y 的 话呢？它会不会直接等于阿克贪进塔以减 a 乘以 b， 分 子 a 加 b 呢？我们说不一定，对吧？啊？因为这个地方两边同时取个阿克贪进塔，那么阿克贪进塔这个贪进塔 x 加 y， 它会不会等于 x 加 y 呢？其实是不一定的， 这个地方你阿克贪进塔，对吧？然后呢，这个贪进塔 x 加 y， 它实际上的话呢，它是不一定等于 x 加 y 的， 你要注意 x 加 y 的 一个范围啊，这个地方我们说 x 加 y， 它实际上是在负派到型的派之间啊，并不是负二分子派到二分子派。所以说我们这个地方哈，接下来要对这个， 那要对什么呢？要做一个讨论，就说我们对 ab 它的一个值做一个讨论，为什么对 ab 的 值做一个讨论呢？因为这个 ab 的 值，它到时候能够决定 tangent x y 啊。 tangent x 加 y 这个值的一个正负 x 加 y 哈，它是在负这个负派到派这个区间，你把 ark tangent 它这个图像画出来啊。 o 说在这个负二分之派到二分之派这个区间，它是有反函数的，其他的区间的话呢？实际上你要么用诱导公式，对吧？要么你做一个平移， 所以说它在这个负派到派上面哈，它实际上图像是这一块啊，这样的 啊，这样的，所以说我们接下来啊，要做一个讨论啊，要做一个讨论，我们首先先讨论什么呢？先讨论这个 a 乘 b 小 于一的时候，就是我们分三种情况来进行讨论啊。第一种情况 就是 a 乘以 b 小 于一的时候，那么 a 乘以 b 小 于一的时候，它其实它也分了什么呢？呃，它也可以 a、 b 都大于零，对吧？也可以 a、 b 都小于零，所以你接下来其实还要再具体的细分啊，你比如说我们在课堂上面，对吧？给大家讲的这个情况，就是你 a 大 于零， 叫 b 大 于零啊，这个时候哈说 a 乘 b 小 于一，而且同时 a 大 于零， b 大 于零，那么这个时候大家想想这个 tangent x 加 y 的 话呢？它是一个正的还是负的呢？ ab 对 吧？分子都是正的， a 乘以 b 的 话呢，它是个什么呢？它是个小于一的，所以说一减 ab 大 于零，对吧？所以这样分子分母都是正的，那么它就大于零 啊，对，而且的话呢，大家注意哈，如果你 a 大 于零的话呢，这个时候 x 应该是哪个范围啊？你 a 大 于零的话呢，就是 ark tangent， 从零到正无穷，我们说 ark tangent， 它的一个图像是这样的， 那么上面这个上限是二分正的二分之派，对吧？下面这个地方是负的二分之派。所以说啊，你如果 a 的 话呢，代零就是从零到正无穷，那么它的 x 的 值域哈，它就应该是属于零到一个二分之派， 那么 b 的 话呢，它也一样。 b 如果大于零的话呢？ b 啊，它也属于谁呢？零到一个二分子派，所以说这个时候啊，应该是 y， 哈，这个地方应该是 y 啊，对， y 等于 x， 它 b， 哈，应该 y 是 属于零到二分子派，那么 x 加 y 的 话呢，它就应该是哪个范围啊？ 这个时候我们 x 加 y 啊，这个时候 x 加 y， 它是不是应该是属于这个零到派？ 那 x 加 y 就是 零到 pi 这个范围，对吧？那么你想哈，从零到 pi 这个范围上， 贪镜塔是正的这一段，是不是应该是谁呢？应该是零到二分之 pi， 这这个时候你再结合贪镜塔 x 加 y 大 于零，所以说 x 加 y， 它应该是属于零到二分之 pi 这一段，那么这个它是包含在谁呢？ 负二分之派到这个二分之派这个区间范围内的，那么在这个区间范围内，对吧？你 r 贪进它，贪进它， x 加 y， 它就等于 x 加 y， 所以 说我在两边同时取一个 r 贪进它，那么这边左边的话呢，就是 x 加 y， 那 么右边的话呢，就是 r 贪进它，谁呢？对吧？ e 减 ab， 对 吧？分之一个 a 加 b， 这个时候 x 是 什么呢？是 r 贪进它 a， y 的 话呢，是 r 贪进它 b 啊，所以说你看，就这样的公式啊，就这样的公式，那么这个是什么呢？是我们第一种情况啊，就是我 a 大 于零， b 大 于零的时候，那么大家有的同学会说了，那如果说我这个地方啊，是 a 小 于零， b 小 于零呢？ a 小 零， b 小 零，对啊，在这个，而且 a 乘 b， 怎么样小于一啊？我们先把这个最重要的这个公式在这里写一下哈，就 tan 它 x 加 y 啊，它是等于 一减 a b， 对 吧？分子一个 a 加上 b， 那 么这个时候哈，哎， a 小 于零的话呢？ x 应该属于哪个范围？它是不是应该属于负二分之派到零呀？ a 是 等于阿克泰尼塔，这个 x 等于阿克泰尼塔 a 啊， y 的 话的阿克泰尼塔 b， 对 吧？ 这个地方啊， x 等于阿克泰尼塔 a， y 等于阿克泰尼塔 b， 那 么你从谁呢？当你 a 小 于零的时候，对吧？那它就是负二分子派到零，是它的直域，当你 b 小 于零的时候， y 的 话，也是从负二分子派到零， 所以这个时候 y 的 话呢，它也属于谁呢？负二分子派到零，所以说我们这个时候 x 加 y， 它应该属于哪个范围？属于负派到零这个范围，那么你看哈，我们上面这个贪婪塔 摊进它，它这个地方从负派到零哈，就这一段啊，就这一段 就是 x 小 零的这半轴啊。那么这个时候你想一想，如果说 a 小 零， b 小 零， a 加 b 是 不是小零啊？那么一减 a， b， a 乘 b 小 一，所以一减 a， b 就 大于零，所以这个时候你摊进它 x 加 y， 它是个什么呢？它是一个负的哈，它小零的，但你分子是负的，分母是正的， 那么你在这个负派到零的这个范围内啊，这个区间范围内，那么小于零的话呢？是不是就是从负二分子派到零这一段啊？就这一段啊，就这一段。所以说， 所以说啊，这个时候我们的谁呢？啊？我们的这个 x 加 y， 它应该是属于谁？属于负二分子派到零这一段，它也包含在这个负二分子派到二分子派这个区间范围内， 所以说我在两边同时这个地方，你再给他取一个谁呢？取一个阿克探进塔，那么阿克探进塔 x 加 y， 它就是 x 加 y， 那 就等于阿克探进塔，然后一减 ab， 对 吧？分子一个 a 加 b， 那么这个时候 x 就是 ar 贪心他 a y 的 话呢？就是一个 ar 贪心他 b。 好， 那当然有的同学说了，我有没有可能 a b 他 e 号呢？哥，你 a 乘以 b 小 于一啊，它也完全可以 a 乘以 b 小 于零， 你小于零的话，肯定小于一，比如说这个时候第三种情况哈，在 a 乘以 b 小 于一的这个情况下，就第三种情况，就是 a、 b、 e 号， 对吧？就是它俩是不同号的啊，不同号的好，那么它俩不同号的话呢？你比如说啊，如果说 a 大 于零，咱无非就是 a 大 于零，对吧？ b 小 于零， 或者谁呢？或者这个 a 小 于零，对吧？ b 大 于零，就他俩一号，对吧？乘起来小于零，那么也属于 a 乘 b 小 于一这种情况，如果是 a a 大 于零的话，那么 x 应该是属于谁呢？零到一个二分之派，如果是 b 小 于零的话，那么 y 就 应该是属于从负二分之派到零， 对吧？他也一样啊， a 小 于零的话呢，就是 x 属于负二分之派到零， b 大 于零的话呢，就是 y， 对 吧？他属于一个零到二分之派。 你不管是前面这种情况，还是后面这种情况，大家发现 x 加 y， 他 都已经属于谁呢？如果你是前面这种情况，零到二分之派跟负二分之派到零，那么他俩加起来，对吧？他一定属于负二分之派到二分之派。 如果你是后面这种情况，对吧？ x 加 y， 他 也一样的属于负二分之派到二分之派。比如说这个时候，当你 a 乘以零的时候，我这个范围哈，我这个阿克碳氢碳，这个碳 x 加 y， 这个范围就在这个负二分之派到二分之派的范围内， 所以这个时候我可以两边直接加一个 r 可探进它，那么左边就会变成谁呢？直接就是 x 加 y， 那 么右边的话呢，就是谁呢？就是 r 可探进它，对吧？一减 a b， 对 吧？分子一个 a 加 b 啊，你看就是它啊，就是它。所以说其实我们在课上讲的时候啊，我们那个课上讲的这个例题一啊，它应该属于一点三这种情况，这样它两根之积是小于零的，对吧？两根之和大于零， 那么就这个情况啊，这个情况，也就说这个时候你会发现，综合起来来说，只要你 a 乘 b 小 于一啊，那么阿克碳金塔 a 加一个阿克碳金塔 b， 它就等于阿克碳金塔。一减 a， b 分 子 a 加 b， 那 它都是一个尺子啊，一个尺子就是我们 a 乘 b 小 于一的时候啊。我们 a 乘 b 小 于一的时候，你把这个情况合起来，你会发现都是这个尺子， 那有的同学可能会说了，那 a 乘 b 如果大于一呢，对吧？那你有小于一的情况，那自然会有大于一的情况，那就第二种，对吧？ a 乘 b 啊，大于一， 那么如果 a 乘 b 大 于一的时候，这个时候 ab 一定是同号的，它要么都大于零，对吧？要么都小于零，那么这个时候对吧？就分了谁呢？如果说对吧？ a 如果大于零，对吧？那你 a 乘 b 大 于一，那么 b 一定是大于零的啊，它一定是同号的，对吧？ b 也大于零， 那么按照我们刚刚同样的一个分析方法，那么这个时候对吧？ x， 它应该是属于零到一个二分之派， y 的 话呢？也属于一个零到一个二分之派，好，那么 x 加 y， 对 吧？它应该属于谁呢？属于零到派啊，零到派这个区间范围内 好，那么贪婪它 x 加 y， 它是等于以减 a b， 对 吧？分子一个 a 加 b， 我 们把这个图画一下，在零到派的这个范围内的话， 这个地方它是一个二分之派，对吧？它是派。那么你想，如果 a a 乘以 b 大 于一的话，这个分母是负的吧？分子是两个正数相加，那么这个时候摊进它 x 加 y， 它是小于零的，结合零到派这个范围，对吧？ 你贪镜塔，它在这个零到派这个范围内是负的话呢？那么 x 加 y， 它应该属于哪个区间呢？它应该属于这个区间，属于二分之派到派的这个区间， 那么在这个区间上面阿克贪镜塔，对吧？我们说了，如果说你这个 c 塔它属于二分之派到派的话，那么阿克贪镜塔 贪镜塔 c 塔，它就不再是直接等于 c 塔，那么它应该等于多少呢？啊？我们说有两种方法，一种是用诱导公式，然后呢？一种是用你图像的平移，一种用诱导公式哈，一种用图像的平移， 那么这个地方向，这是从负派哈到这个地方是负二分之派，对吧？然后零。 我先说如果用诱导公式的话，那么这个 tanthan 啊， tanthan， 那 么这个 theta 它减派，对吧？就是等于一个 tanthan theta。 好， 那么这个时候 theta 减派，它会属于哪个区间呢？它会属于负二分之派 到谁呢？到零这个区间，对吧？他就他就是负二分之派到二分之派的一个子集，所以说啊，我两边这个时候取一个谁呢？取一个阿克贪进塔，那么这个时候也说阿克贪进塔， c 塔，对吧？他就等于阿克贪进塔， 然后贪进塔，对吧？ c 塔减派，那么 c 塔减派在这个区间范围内啊，所以说啊，当你 c 塔属于二分之派到派的话呢？他应该是 c 塔减派这个区间 啊，这个时间，但如果说你要平移的话，对吧？其实的话呢，我们说了，他其实在谁呢？在这个区间上啊，跟他在这个区间上， 这两个点经过一个周期哈，正好相差了一个派，而我们的阿克坦尼塔哈，他的直域啊，哥，你阿克坦尼塔他的直域只会在负二分之派到二分之派这个区间范围内， 所以如果说你原来这个角度是 c 塔的话，那么他就应该是谁呢？对吧？相差了一个派哈，所以说这边他应该是 c 塔减派啊， c 塔减派，所以说我们这个地方啊，你对他取一个阿克探进塔 左边这个尺子，他应该是 x 加 y， 怎么样减派，然后等于啊 e 减 ab， 对 吧？分子一个 a 加 b， 所以说啊， x 加 y， 也就是我们的 r 摊进它 a 加一个 r 摊进它 b， 这个时候它就应该是等于以减 a b 啊，分之一个 a 加 b， 然后再加上一个 pi 啊，就这个范围。 好，那么二点二的话呢，就是说，如果说 a 这个时候小于零，那你 a 乘 b 大 于一，自然也大于零，所以说，则这个时候 b 的 话呢，也是会小于零的，那也变小于零，那么 a 小 于零的话呢，就是说我们的 x， 对 吧？它属于负二分之派，怎么样到零 b 小 于零的话呢？ y 的 话呢，也属于负二分之派，怎么样到零，那么你 x 加 y， 对 吧？它就属于什么呢？负派到零这个区间啊，负派到零这个区间啊，从负派到零这个区间。 好，那么这个数啊，如果 ab 都小于零的话呢，分子就是负的，对吧？然后呢，你 a 乘 b 大 于一，所以说分母也是负的，那么这个时候摊进它 x 加 y， 对 吧？它就必然会大一点， 那你负派到零，对吧？大于零的这一段，应该是从负派到一个负二分子派这一段，所以说我们就推出来这个时候 x 加 y， 它一定属于谁呢？负派到一个负二分子派， 那么它也是超出了我们说的负二分子派到二分子派这个范围的，那么这个角度哈，那么它就应该跟谁是差了一个周期啊？跟这个地方是差了一个周期吧？如果说他，对，那这个角度，如果是一个 c 塔的话， 那么我们要把它 ark， 对 吧？ ark tangent， 它的值域一定在负二分之派到二分之派之间，那么这个角度它就应该是谁呢？是 theta 加派，比它大了一个派哈，比它大了一个派，所以说啊，这个时候， 但你也可以用诱导公式哈，你也可以诱导公式推，对吧？啊？这个地方无非就是贪进塔，对吧？ c 塔加派啊，等于贪这个贪进塔 c 塔加派，对吧？啊？等于这个贪进塔 c 塔，你 c， 你 c 塔的话呢？它是在这个负派到这个负二分子派之间的， 那么你 theta 加 pi， 对 吧？啊？它就属于零到二分之 pi 这个区间啊，对吧？就属于这一段啊，这一段好，那么所以说我这个地方两边加一个 arc 探进它 啊，你在这边加一个 arc 探进它，那么它的直径应该是 x 加 y， 怎么样？再加一个 pi 啊，就这个角度，然后呢，它要等于 arc 探进它， 对吧？一减 a b， 分 值一个 a 加 b 啊，但这个地方哈，我们说了，这个地方，其实你 r 可贪进它啊，贪进它 c， 它到时候就会等于 c 它加派 啊， c 它加派，所以这边啊，应该是 x y 加派，所以在这个范围内的话呢， x 加 y， 它就等于 r 可贪进它，对吧？一减 a b， 对 吧？分值一个 a 加 b， 再减一个派， 对吧？也等于谁呢？也等于 r 贪心他 a 加一个谁呢？ r 贪心他 b 啊，就这个范围啊，就这个范围，你看啊，就是它， 那么这是我们的第二种情况，对吧？它不存在什么 a b 一 号的情况，对吧？你 a b 如果一号的话，它小于零了，不会大于一了，好，那么还有第三种情况， 第三种情况就是什么呢？我刚刚已经讨论了什么呢？ a 乘以 b 大 于一， a 乘以 b 小 于一，对吧？那还有个 a 乘 b 怎么样？等于一的这个情况好，等于一的情况，那么它的话呢，也要讨论一下，对吧？这个 a 是 大于零还是小于零的？ 所以如果说哈，如果说你 a 大 于零的话，那么这个时候 b 的 话呢？它会等于谁呢？ a 分 之一哈，它也是大于零的。这个地方就涉及到我一开始给大家说的还有一个常用的公式哈，就是 arc tangent x 加一个 arc tangent 怎么样？ x 分 之一，它等于二分之 pi 的 时候，你 x 大 于零的时候，它是二分之 pi 哈， 那么你 r 贪进它 x， 对 吧？加上一个 r 贪进它 x 分 之一，它等于负二分之派。 当你 x 小 零的时候，它是负二分之派，那么这个公式怎么来？我跟大家说了，对吧？你到时候你可以先对它求导，你求导之后，发现这个导数是个零，说明它是个整数， 这个时候你可以带一个 x 等于一带进去，发现这结果是二分子派，对吧？下面求导的时候，你可以把 x 等于负一带进去啊，最后发现是负二分子派， 就可以确定这个值。好，那回到这个地方，那么这个时候，对吧？你 ark 贪镜塔 a， 对 吧？加上一个 ark 贪镜塔 b， 它就是 ark， 怎么样？贪镜塔 a， 再加上一个 ark 贪镜塔 a 分 之一啊，就是我们的第一个尺子，对吧？ a 大 于零，所以这个时候它是二分之二， 好，那么第二种情况，对吧？如果 a 小 于零的时候，这个时候 b 的 话呢？它是等于 a 分 之一，对吧？它也小于零，那么你的 ark tangent a， 对 吧？加一个 ark tangent b， 它就是下面这个尺子，它就是负二分子派， 负二分子派，所以这个题的话呢，写到这里，我们就把所有的情况其实都讨论完了啊，都讨论完了， 你要如果做一个总结的话呢？汇总一下的话，其实哈，你会发现 r 贪心他 a 加一个 r， 怎么样？ 贪心他 b 啊，他，其实他会等于谁呢？他会等于啊？ e 减去一个 ab， 对 吧？分子一个 a 加 b， 然后呢？再加一个 k 派，那么其中的话呢？ k 等于零，然后呢？这个负一，一啊，这三个值，那么什么时候取零，什么时候取一呢？ 就是怎么呢？当你这个 k 啊，当你 a 乘以 b， 它小于一的时候，对吧？它就是零，好，那么当你这个我们说了这个 a 乘以 b 怎么样？它大于一的时候， 然后呢？这个 a 大 于零，对吧？ a 大 于零，那么这个时候它就应该是这个，对吧？这个加派，对吧？这 k 就 取一， 好，那么当你 a 乘以 b 怎么样？大于一，对吧？ a 小 于零的时候，这个时候 k 的 话，它就取一个负一吧啊，它就取一个负一，那么其他的情况，对吧？这个地方如果说，对吧？ a 乘以 b， 它等于一的时候， 而且 a 怎么样？ a 如果说它大于零啊，这个地方我们只是 k 的 曲值哈啊， k 的 一个曲值， k 的 曲值写到这就可以了，实际上你也可以把它整个的这个整理在一块啊，整理在一块，汇总在一块， 其实当你 a b 等于一的时候，你就不能直接用这个尺子了，为什么？因为到时它这个分母是直接等于零的啊？啊？分母直接等于零，它其实这个地方是没有这个反函数，就是没有，不能像我们这个贪心它这个 x 加 y 那 样来进行处理 啊，这个地方先总结出这个东西，对吧？或者你也可以直接写一个阿克泰纳 a， 对 吧？加一个阿克泰纳 b 啊，我们换一种写法，这种写法可能写起来看起来不是很通用，我们直接写它的一个结果，然后你直接写它的一个结果啊， 就是我 a 乘以 b 小 一的时候，对吧？它就是一减 a， b， 对 吧？分子一个 a 加 b， 也就是 k 等于零，如果是这个情况的话呢？ k 是 一，就是一减 a b， 分 子一个 a 加 b， 再加一个 pi， 对 吧？下面的话取负一， 一减 ab 分 之一个 a 加 b， 怎么样？再减一个派，好，那如果说 ab 怎么样？它等于一的时候， a 大 于零，那么它就是一个二分子派，如果 ab 等于一，对吧？ a 小 于零，那么它就是一个负二分子派。 汇总下来，你看就是这几种情况啊，就这几种情况，那么我们就把这个 ark 探险塔 a 加一个 ark 探险塔 b， 对 吧？它所有的这个都写出来了啊，都写出来了， 那么大家下去的话呢？其实也可以思考一下这个 ark 散 a 加一个 ark 散 b， 对 吧？它这个表达是应该是个什么情况啊？大家下去举一反三啊？你就拿着这个题的思路，对吧？类似的去做一下这个这个东西， 或者说你研究一下这个 ark 投胎进塔 a， 对 吧？加上一个 ark 投胎进塔 b， 它的一个情况。

正切函数 y 等于 tanx 的 图像和性质。正切函数的自然定义域是所有不等于 k pi 加二分之 pi 的 时数值域为时数级，其周期性是 k pi 最小正周期是 pi。 当正切函数的定义域是关于原点对称时，是奇函数， 当定义域不是关于原点对称时，是飞机非偶函数。正切函数在从 k 派减二分之派到 k 派加二分之派的开区间上单调递增。正切函数没有最大值也没有最小值，且没有对称轴，而对称中心为点二分之 k 派和零。综合整理表格如下。

下面我们来看看正切函数图像的真面目。还是利用正切线来作图。先建立直角坐标系，在 x 轴的副半轴上任取一点欧一， 以欧一为圆心做单位圆和相应的正切线。我们只需要画出一个周期内，即 x 属于负二分之派到二分之派的开区间的图像。把这个范围内的单位圆大致八等分， 这八等分构成的中边分别代表七个不同的自便量。我们在 x 轴上也画出这些自便量， 然后做出这些中边和正切线的焦点，这些焦点的动作标就是相应的函数值，于是我们根据自便量和函数值做出 对应的点，用光滑的曲线把这些中点连接起来，就得到正切函数在过二分之派到二分之派的开区键上的图像。 根据周期为派，就能把这个图像向左要扩展，这就是正切函数全部的图像了，我们称他为正切曲线。 显然，正切曲线跟正弦鱼线曲线很不一样，因为他并不连续 二十倍。相互平行的直线 x 等于二分之派加 k 派， 割开成无穷多汁。这些纸线被称为正切曲线的间金线。 正切曲线会无限接近他，但永远不会相交。 正是因为他的图像是断开的，所以你不能说正切函数在其定域内是单调函数，只能说在每个开区间内递增。 另外，由图像我们还能得到正确曲线的对称中心，二分之 k 派零。 也就是说，正贴曲线和 x 轴的焦点及他的渐进线和 x 轴的焦点都是图像的对称中心。 我们还发现正确曲线是没有对称轴的，类似于正弦余弦曲线的五点法做简图， 我们也可以采用三点两线法做正确曲线的简图。三点指的是 负四分之派，负一四分之派，一零零。三点 两线指的是 x， 等于正负二分之派。这两条渐进线通过他们就能大体勾画出正切曲线的简图。 下面利用正切函数的图像与性质来解决几道题。

这个视频我来讲讲正切函数的图像变换，总的来说和正弦与写函数的变换都是一样的。咱来看一看。先看伸缩变换， 比如要把 y 等于贪俊巧 x 变成 y 等于贪俊巧二， x 咋变呢？它其实就是在 x 前面成了二码。先画贪俊巧 x 的图像，在 x 前面成个二，就是让图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的二分之一，图像就变为这样， 刚才是在 x 前面成了二。如果我改成在 tangjin 的前面乘二，你知道咋变吗？在 tangjin 的前面乘二，图像就得纵向拉伸，那就是横坐标不变，纵坐标变为原来的两倍。 你看，正切的伸缩变换和正弦与弦都是一样的，在 x 前面成了几，那纵坐标不变，横坐标变为原来的几分之一。在摊进切前面成 成了几，那就让横坐标不变，坐坐标变为原来的几倍。讲完了伸缩，再来说说平移还是左加右减，上加下减。比如要把 y 等于 tangine xx 变成 y 等于 tangine xx 加三分之派，只要把它的图像往左平移三分之派就行。 再比如，要把 y 等于 thanjinxx 变成 y 等于 thanjinxx 加一，你就只要把他的图像往上平移一个单位就行。 伸缩和平移都讲完了，接着咱来看看它的综合变换。比如把 y 等于 tang xi， x 变换成 y 等于三倍的 tan g x r x 减三分之派，再加一。该咋变呢？ 和以前一样，咱还是从最后这个式子出发，找找变化的路径。先把一丢掉，让他从这个式子变过来。再把三分之派丢掉，让他从这个式子变过来。然后把二丢掉，让他从 这个式子变过来，最后把三丢掉，就是 tangine xx 了。看来整个变化路径需要四步，搞定了变化路径，就可以写具体过程了。从第一步开始， tangine xx 变为三倍的 tangine xx， tangine 的前面成了三，就是把图像上所有的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的三倍。 再看第二步，从三胎俊巧 x 变为三胎俊巧二 x 在 x 前面成了二，就是把图像上所有的点纵坐标不变，横坐标压缩为原来的二分之一。 接着看第三步，从三弹进去二 x 到三弹进去二 x 减三分之派。这里要注意，得把这个二先提出来，显然在 x 上减了六分之派，就是把图像往右平移了六分之派。再看最后一步，就是在式子后头加了个一，所以把图像往 往上平移一个单位。像这样，遇到正切形函数的变换，还是从最后的式子入手，先找到变化路径，再写出具体过程。 好了，以上就是正切函数的图像变换，他其实和正咸鱼咸的变换规则是一样的。遇到复杂点的式子时，还是从最后的式子入手，先找变化路径，再写成具体过程。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！

这个视频我来讲讲正切函数的图像变换。总的来说，和正弦与弦函数的变换都是一样的。咱来看一看。先看伸缩变换。比如要把 y 等于 tangentie， x 变成 y 等于 tangentie r， x 咋变呢？它其实就是在 x 前面成了二码。 先画摊进去 x 的图像，在 x 前面乘个二，就是让图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的二分之一，图像就变为这样。 刚才是在 x 前面乘二，如果我改成在 tangines 前面乘二，你知道咋变吗？在 tangines 前面乘二，图像就得纵向拉伸，那就是横坐标不变，纵坐标变为原来的两倍。 你看，正切的伸缩变换和正弦与弦都是一样的，在 x 前面成了几，那纵坐标不变，横坐标变为原来的几分之一。在摊进却前面成， 那就让横坐标不变，坐坐标变为原来的几倍。讲完了，收缩。再来说说平移还是左加右减，上加下减。比如要把 y 等于摊进去， x 变成 y 等于摊进去， x 加三分之派，只要把它的图像往左平移三分之派就行。 再比如，要把 y 等于贪这些， x 变成 y 等于贪这些， x 加一，你就只要把他的图像往上平移一个单位就行。 伸缩和平移都讲完了，接着咱来看看它的综合变换。比如把 y 等于 tending x， x 变换成 y 等于三倍的 tangent rx 减三分之派再加一，该咋变呢？和以前一样，咱还是从最后这个式子出发，找找变换的路径。 先把一丢掉，让他从这个式子变过来。再把三分之派丢掉，让他从这个式子变过来。然后把二丢掉，让他从 这个式子变过来。最后把三丢掉，就是摊进去 x 了。看来整个变化路径需要四步。搞定了变化路径，就可以写具体过程了。从第一步开始，摊进去 x， 变为三倍的摊进去 x， 摊进去前面成了三。就是把图像上所有的点横坐标不变，纵坐标深长为原来的三倍。 再看第二步，从三滩俊俏 x 变为三滩俊俏二 x 在 x 前面成了二。就是把图像上所有的点纵坐标不变，横坐标以压缩为原来的二分之一。 接着看第三步，从三弹警察二 x 到三弹警察二 x 减三分之派。这里要注意，得把这个二先提出来。显然在 x 上减了六分之派，就是把图像往右平移了六分之派。再看最后一步，就是在式子后头加了个一，所以把图像往 上平移一个单位。像这样，遇到正切型函数的变换，还是从最后的式子入手，先找到变化路径，再写出具体过程。 好了，以上就是正切函数的图像变换，他其实和正咸鱼咸的变换规则是一样的。遇到复杂点的式子时，还是从最后的式子入手，先找变化路径，再写成具体过程。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！

同学们大家好，现在呢，我们接着上一堂课给同学们讲。上一堂课呢，主要是给同学们讲了咱们的正确函数，它的这个图像是怎么样去画出来的，建议同学们呢先去看一看。上一堂课， 那么我们在画了他的函数图像之后呢，接下来我们来看到正切函数的性质， 首先它的解析式，这个就不用多说了， y 等于 tangent x， 那么它的定义域，咱们的这个质变量 x， 它是不能够等于二分之派加 k 派的，咱们用几何来表示 这个地方，强调一下，我们的这个地方，字母 k 一定要说明清楚，它属于整数及 c， 它是整数。那么关于正确函数的定义域这个地方呢，也不再做过多的解释了，为什么 x 不能够等于他？我们在讲 三角函数定义的时候呢，是仔细的给同学们分析过的，现在我们来看到正确函数的值域，值域，它是函数值 y 的取值结合。通过我们正确函数的图像，其实我们就可以看到 他的图像往下边走，那肯定就走向了富无穷大，往上边走呀，肯定就走向了正无穷大，所以他的这个 值欲就是富无穷。逗号，正无穷大开区间。如果咱们用几何来表示呢？就是实数及 r， 因此正确函数的值欲，我们用几何来表示，就是实数及 r。 接着我们来看到最小正周期，那么他的最小正周期呢，就是派了。来看这一部分图像，他就是一个完整周期类的函数图像，从 负二分之派到二分之派距离就是派。我们的正确函数，他的最小正周期呢就是派， 那么这个地方呢，强调一下，我们找到了他的最小正周期，派派的整数被 k 派，其中 k 属于整数级 c， 而且 k 不等于零，这个 k 派也是正确函数的周期，只是最小正周期为派， 当 k 等于一的时候，他就取到了最小正周期。来看到基友性，其实我们上一堂课呢，也给同学们分析过了，对吧？通过咱们的这个函数图像，我们也可以看得出来，他的图像关于坐标原点对称，他是 c 函数。 接下来我们来看到单调性，那么单调性呢，我们来看他的单调递增区间和单调递减区间。首先呢， 我们通过这幅图，我们先来找一找单调递减区间，通过他的图像我们可以看到他的图像并没有呈现下降的趋势，对不对？所以他是没有单调递减区间的，因此这个地方单调递减 区间我们填的是五。接下来我们来找一找单调递增区间。好了，这个时候呢，一定要注意咱们的这个正确函数图像，它是有多个部分的，它是被这些 虚线给分隔开来的。那这个时候我们找他的单调递增区间的时候，我们可以先去找一个最简单的单调递增区间，很显然就是从 负二分之派到二分之派，我们可以看到图像呈现的是上升的趋势，这个时候呢他就是单调递增的。我们找 一个最简单的就是负二分之派，逗号正的二分之派一定要切记，负二分之派是没有渠道的，二分之派也没有渠道，因此我们用的是 开区间，左右两端都是小括号。我们在找到一个最简单的单调递增区间之后，那同学们我们来看 这一个单调递增区间，到这一个单调递增区间，他们之间的距离是派， 所以这个时候在结合我们之前对正弦函数、余弦函数的一个学习，我们就找到这样的一个规律，我们只需要在 这个单调递增区间的基础上，加上派的整数倍，就可以得到正确函数的所有的单调递增区间，因此他的单调递增区间我们就可以把它 记为逗号，正的二分之派加 k 派，其中 k 属于整数减 z， 我们的这个正确函数，他的图像左右两边都是无限的，他有无穷多个单调递增区间，我们呢统一的就用这样的一个表达式来代表他的单调递增区间。 接着我们再来看下一个性质，那么下一个性质呢？是这个对称中心，这个非常非常的重要，他和我们的正弦函数、余弦函数是有很大区别的。 同学们可以先去翻一翻我们正弦函数、余弦函数的图像及其性质，在那两个函数里边呀，他们俩的对称中心都是正弦曲线，余弦曲线与 x 轴的交点，但是对于咱们的正确函数而言 不是这样的，这个呢一定要区分开来。我们来看，对于咱们的正确函数而言，我们先来找最简单的一个对称中心，最简单的一个对称中心呢，我们可以找在圆点， 接着我们再找一个与这个对称中心相邻的另外一个对称中心。那么 认真的去观察这幅图，咱们二分之派这个位置是正切函数的一个对称中心，很多同学容易把这个地方给他忽略掉，然后呢，直接找到派的这个地方来，实际上并不是这样的，咱们的这个地方，他依然是正切函数图像的一个对称中心， 当然派这个地方也是二分之三，派这个地方也是负二分之派这个地方，负派这个地方，负二分之三，派这个 地方都是正确函数图像的对称中心。由于咱们左右两边的函数图像是无穷无尽的，所以咱们的这个正确函数，他的对称中心也有无穷多个。现在呢，我们先来观察我们已经找到的这一部分，通过观察我们会发现， 正确函数的对称中心不一定是他的图像与 x 轴的交点，你看比如这个对称中心，这个就不是图像与 x 轴的交点，对不对？所以一定要把这个地方和咱们的正弦函数、余弦函数的对称中心给他区分开来， 那么他有无数个对称中心，我们现在呢，要怎么样去统一的去表示这些对称中心呢？对称中心一定要注意他是一个点，那么所以在这个地方呀，我们先给他 找一个最简单的对称中心，就是咱们的原点零斗零。我们来观察这个对称中心和这个对称中心之间，他是相差了一个二分之派，和这个对称中心他是相差了两个二分之派，和这个对称中心他是相差了三个二分之派。 所以我们只需要在这个最简单的对称中心的基础上，给他加上二分之派的整数杯就行了。 那么一定要注意了，他的重坐标始终是零，对称中心都在 x 轴上，我们只需要在横坐标零的基础上，给他加上二分之派的整数倍，也就是二分之 k 派， 其中 k 属于整数结。这如此一来我们就找到了正确函数的对称中心，就是二分之 k 派，逗号零，其中 k 属于整数 gc。 接下来我们来看对称轴方程，那首先呢，我们来看咱们的正确函数，他并不是轴对称图形，所以他没有对称轴方程， 所以咱们这个地方填的就是无好这个表格呢，咱们就讲完了，接下来我们来看到关于咱们的正切函数，我们需要注意的以下几点。第一点我们来看正切函数 y 等于摊间 to x， 在定义域上不具备单调性， 这句话很多同学理解不了，那么他是什么意思呢？我们结合咱们的函数图像来看，对于我们的正确函数而言，他的定义率是这样的一个结合，如果你 从图像上来看的话，我们就看这一小部分吧，他的定义我们就可以看成是从负二分之三派逗号负二分之派这个区间，再并上负二分之派逗号二分之派这个区间，再并上 二分之派逗号二分之三派这个区间。当然左边还有更多的区间，右边也有更多的区间。 这个时候呢，你不能说咱们的正确函数在整个定义域上具有单调性，为什么呢？同学们来看到，如果这个地方我找到自变量的曲子 xe， 这个时候他对应的函数则是这个点的纵坐标，我把它记为 fx 一，我再在这个地方去找一个 xr， 这个时候他 对应的函数只是这个点的重坐标 fx 二，这个时候我们可以看到你的这个 x 一他是小于 x 二的，而这个 fx 一呢，反而是大于 fx 二的。 那这个时候呢，有的同学就会觉得，哎，老师字变量越大，函数值反而越小，那这个函数是单调递减的呀！如果你这么认为的话，你再来看咱们的第二种情况，如果我的这个曲子，我这么来取 这个地方，我取 x 一，它对应的函数指是这个点的纵坐标 f x 一，然后呢，我把 x 二取到这个地方来，它对应的函数指是这个点的纵坐标 f x 二，这个时候我们就可以看到 x 一小于 x 二，并且 f x 一也小于 f x 二。所以有同学就会认为，字变量取值越大，函数值也越大，那这个函数是单调递增的呀。 那么通过老师曲子的这两种情况，我们就可以看到，在这个正确函数的整个定义域上，我们的这个正确函数 不能说他是一个单调递增的函数，也不能讲他是一个单调递减的函数，实际上他是不具备单调性的。 虽然整个定义位上他不具备单调性，但是如果我们只是看某个部分，或者说看某个区间，他是具有单调性的。比如说你只看从咱们的这个负二分之派到正二 分之派这个开区间内，他就有单调性呀，他的图像一直呈现的是上升的趋势，他在这个区间确实是增函数， 又或者说你看的是从负二分之三派到负二分之派这个区间，他也是单调递增的，他的图像一直呈现的是上升趋势，他在这个区间呢，也确确实实是增函数。 现在我们回到注意的第一点，正确函数 y 等于摊间，就 x 在定义域上不具备单调性，我们刚刚已经解释了， 但是呢，他在每一个开区间，这每一个开区间其实就是我们刚刚所写的，他的单调递增区间就是这个区间，他在每一个这样的区间，负二分之派加 k 派， 逗号正的二分之派加 k 派，他确实是真函数，你可以说他是这个负二分之派，逗号正二分之派，这个区间内的真函数，你也可以说他是正的二分之派， 逗号正的二分之三派这个区间内的真函数。但是你千万不可以说他在他的定义域内是单调递增函数，这种说法是错的。 这个地方同学们一定要注意，我们在写正确函数的单调递增区间的时候，他一定是太区间，千万不能够把它写成中括号。 接下来我们来看到第二点，在讲这个第二点之前呢，我们先回过头去看一看咱们的正确函数的图像，我们来看在 x 轴上方的图像， 这些部分，这些红色部分，他有一点点往下弯曲的形式，也就是下凸的现象，而不是长这个样子，这种样子呢是上凸，所以在 x 轴上方的图像呢，他会呈现下凸的一种趋势。 在 x 轴下方的图像，我们来看这部分图像，它有点往上弯曲的形式，对吧？它不是这个样子的，反而它是这个样子的，那这种时候呢，我们把它叫做上凸， 那么我们在画图的时候，不是说你要画的多么的标准，但是呢，至少他是上凸还是下凸呢？还是要给他大致的体现出来。好，这个呢，我们把它扳下来，正切曲线在 x 轴上， 上方的部分呢，它是下凸的，在 x 轴下方的部分呢，它是上凸的， 结合图像来理解就行了。我们在画图的时候呢，注意要用光滑的曲线来连接，而且要注意这个图像的凸凹性。 接着我们来看到第三点，讲这个第三点之前呢，我们还是回过头来看一看我们的这个函数图像，通过这个图像我们会发现咱们的正弦曲线，他是被这些虚线给他分隔开来的， 这些竖折的虚线呢，我们把它称为正弦曲线的渐进线，那我们如何去表示这些渐进线呢？它有无数条对吧？ 我们老规矩，先给他找一条最简单的这一条， x 等于二分之派，接着我们再找一条与他相邻的渐进线，我们可以找这个 x 等于二分之三派这一条。我们会发现 对于这条渐进线而言，这条和他是相差了一个派，那再往后就是两个派， 然后三个派，那么也就是和最简单的这一条相差了派的整数倍。因此他的所有的间接线，我们就可以表示为， x 等于二分之派加 k 派，其中 k 属于整数。介所以我们这个地方呢，我们就可以填 直线， x 等于二分之派加 k 派，其中 k 属于整数及 z。 这些直线呢，我 我们就把它称为正切曲线的渐进线。现在我们还是回到这幅图里边，我们可以看到咱们的正切曲线，他和咱们的这些渐进线呀，只是无限的靠近，但是呢永远不相交， 所以我们这个地方怎么样去填呢？正切曲线无限接近渐行线，但永不相交。 接下来我们来看到第四点，这个函数它的周期，那么周期的公式是什么？我们回想一下，我们之前在学这个 y 等于 a 倍 c e， omega， x 加 five， 以及 a 倍扩散音 omega， x 加 f 这两类函数的时候，它的周期是有公式的， t 等于 o 密打分之二派的绝对值，这个二派就是我们的正弦函数余弦函数的最小正周期。那在这个地方呢，我们知道咱们的正确函数他的最小正周期是派， 所以这个公式我们把它对应过来，这个 t 它是等于欧米伽分之派的绝对值，欧米伽它就是 x 的系数。 这个公式我们之前在讲余弦函数正弦函数的时候是给同学们正过的，那在这呢，我也以同样的方法，简单的给同学们证明一下，为什么这个函数的周期公式是他， 我就简单的说一说就行了。首先对于这个函数而言，我们令这坨等于 z， 这坨欧米伽 x 加 f， 我宁他等于 z 之后，咱们的这个函数它就变成了 y 等于 a 倍的摊间车 z 再加 b， 我们又知道正确函数它的最小正周期为派，所以咱们就会得到摊间车 z 加派，他肯定是等于 探监测 z 的，或者由诱导公司呢，我们也知道他们俩是相等的关系，从而我们就会得到 a 倍探监测 z 加派就等于 a 倍探监测 z， 再同时加 b， 这两个式子肯定是相等的关系。接着我们把这两个地方的 z 给它还原回去，把它变成 omega x 加 five， 从而我们就会得到 a 倍摊兼程 omega x 加 five 再加派，然后再加 b， 等于 a 倍摊建成欧米伽 x 加 f 再加 b， 进一步来看，这个地方加 f 再加派，我利用加法交换率，我呢把它写成加派再加 f， 这个时候，对于这个等式的左边而言，请同学们看好了， 这个地方，我可以给他换一个写法。对于欧米伽 x 加 five 而言，我把这个欧米伽给他提出来，提出来之后，小括号里头就变成了 x 加欧米伽分之 five， 然后呢，最后再加上 five， 然后呢，再加上 b， 他要等于 a 倍的右边，咱们不动摊间 to omega x 加 five 再加上 b， 这个时候，如果咱们的这个函数，我这个地方不用 y 来表示，咱们用 f x 来表示，也就是 f x 等于 a 倍的摊间筹。欧米伽 x 加 f 再加 b， 那此时这个等式的右端这一串，它刚好就是 f x， 而它的左端是什么呢？ 对于这个式子和这个式子而言，最大的区别在于欧米伽后边是什么？这个地方它是 x 加欧米伽分子派， 这个地方呢，它就是一个单独的 x， 对不对？它对应的是 f x， 那么左边对应的必定就是 f x 加欧米伽分支派，他们俩呢，就是相等的关系。根据周期函数的定义，咱们的这个函数 f x， 它的周期 t 就等于 omega 分支派。由于咱们高中阶段主要研究的是 正周期，因此我们给他加一个绝对值符号，这个公式里边的分子部分派，他就是我们正确函数的最小正周期。那么我们在利用这个公式求出来的这个函数的周期，求出来的也是最小正周期。

同学们大家好，咱们今天讲一下正弦函数的图像和性质。之前呢，前几节讲的是正弦函数和余弦函数的图像和性质，咱们这节课看一下正弦正切函数，看一下正切函数呢，咱们是 y 等于 tan t x， 咱们讲他的图像和性质的时候呢，也是第一个定域，正切函数的定域是谁？第二个直域，第三个也就是基本上和考三的是一样的。第三个什么呢？基五性还有周期，然后呢？第五个单调性，这块也是和考三是一样的，单调性。讲完了以后呢，他后面也会讲域， 值域呢，这个就是在 x 给定一些范围的时候求值域啊，这个就是单调性的话，它也会出现 x 系数是负的，也就是它的好多性质类似于正弦函数和余弦函数。咱们先看一下正切，先看第一个图像，咱们先把图像看一下 证券函数到底长什么样的图，他这个图像是怎么来的？他其实和和三 e 的 那个图，看一下和三 e 那 个图的方法是一样的啊，他得出来是这样的，画出图也就是利用单位元，咱们前面看一下那个三 e 的 那块三 e 的 图像是怎么来的，他是通过单位元 把他的值投到相应的 y 轴上得出来的。那么证券函数是一样的，看一下他的两个键记线呢，是负的二分之派到二分之派，这是一个周期， 看下一个周期是二分之三派，左边呢，再画上一个周期，这是谁负的二分之三派。咱们知道讲正切函数的时候，他的定义域是谁都不能等于谁，不能等于二分之派，二分之三派，负二分之派，也就是不能等于 y 轴，那 y 这个结合怎么写呢？ x 不 等于谁？二分之派加 k 派， x 不 等于二分之派加 k 派，这他的定义域来看一下值域，咱们这单体正切函数的值域是谁？ 全体是数吗？是不是啊？ r 定义域和值域，这是一定要知道它的定义域是不等于二分之派加 k 派，也就是不等于咱们的 y 轴 啊。看一下奇偶性，咱们利用判断奇偶性的前提，先判断定义域。定义域是什么呢？不等于二分之派加 k 派，它这个也是关于原点对称的啊。那么用定义来判断 f 负 x 呢？也是等于三 t 的 负 x， 咱们通过一导公式 tan t 负 x 呢，是等于负的 tan t x， 也就是它就等于谁负的 f x。 最后咱们换解出来是 f 负 x 等于负的 f x， 所以呢， f x 什么函数是 g 函数，那么 g 函数关于谁对称？关于原点对称，也就是你这个图像是关于原点对称的， 是不是啊？这图像是关于原点对称，你看图像，关于原点对称，也就是 f x g 函数，它的图像是关于原点对称，这是它的奇偶性。再我们现在看一下周期周期的推 推理过程呢，和这个三因考三是一样的啊，所以咱们这块记一下， y 等于三 t x， 它的最小正周期 t 是 等于二派去除，那个是派啊，不是二派。三因考三 e 是 谁？二派 咱们之前推导出来是三因考三 e 是 用二派去除以 omega 的 绝对值，那么三 t 正确函数是派啊，派去除以 omega 的 绝对值， 因为你整个贪心的周期是谁？你是负二分之派到二分之派就是一个周期了，你的周期本身就是派，所以呢，你是用派去除于欧米尼的绝对值啊，这是最小正周期，最小正周期啊，这个可以可以推导啊，推导过程和正弦与弦是一样的道理啊，这个这是贪心的周期，咱们现在看单调性，单调性，咱们知道单音是是有 有增有减，但是呢，证券函数咱们这看是不是只有增的，那就是负二分之派到二分之派上是增的，那就是能不能取到，取不到那就是负负二分之派开区间的负二分之派到二分之派分别加谁？ 这个单调递增区间距离下一个单调递增区间相差多少？相差派，所以 k 的 系数就是派啊， k 派就是负二分之派加 k 派，派开区间 属于 z， 这是它的单调递增，它只有增的，没有减的，这就是所有证券函数的性质啊，定义域值、域基或性周期和单调性啊，这个咱们必须熟悉，咱们下节课呢，看一下它对应的立体和课后练习题。好，谢谢大家。

上回我已经讲过正切函数的图像，他的图像长这样。这回我来讲讲正切函数的对称性与单调性。先看对称性，发现没，这个图像是个中心对称图形，这些点就是对称中心了，所以得写成坐标形式， 显然纵坐标都是零。再看横坐标，这是副派，这是负二分之派，这是零，这是二分之派，这是派。显然横坐标都是二分之派的整数倍。看来正切函数的对称中心就是二分之 k 派零，其中 k 属于整数。 弄明白了他的对称性，咱再来看看 tanjinxx 的单调性。 tanjinxx 是个周期函数，所以咱先研究一个周期，比如负二分之派到二分之排，你看这一整段都是增的，所以整个周期就是增区间，那其他周期肯定也都是增区间。所以把这 这个区间加上派的整数倍，就能代表所有的增区间了。也就是说， tangine xx 在每个这样的开区间里都是增函数。不过要注意，如果你说 tangine xx 在定义内是增函数，那就错了，因为它的定义不是连续的。 好了，以上就是这些函数的对称性与单调性。对称性上，它是中心对称图形，对称中心是二分之 k 派零。单调性上，它在每个区间负二分之派加 k 派到二分之派加 k 派，都是增函数，其中 k 属于整数。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！

同学们大家好，现在给同学们更新的是高中数学人教 a 版 b 修第一册第五章三角函数。那我们今天这堂课呢，是一堂新课，我们即将学习到五点四三角函数的图像与性质。第四课时正切函数的性质与图像， 咱们的这个正切函数，它的一般表达是为 y 等于摊间求 x， 其中 x 它不能够等于二分之派加 k 派， k 属于整数减 z。 我们在讲下边的咱们的正切函数的性质与图像之前呢，我们先从两个方面来分析一下正切函数，第一个方面就是周期性，第二个方面肌肉性。首先我们先来看到 周期性，根据咱们的右道公式，我们知道 tangent x 加 pi， 它是等于 tangent x 的。如果咱们的这个正确函数这个地方，我用 f x 来表示， f x 等于 tangent x， 这样一来的话， 这个地方它就是 f x， 而这个地方它就是 f x 加派。根据周期函数的定义， f x 加派等于 f x， 说明咱们的这个正切函数他是周期函数，而且派是他的一个周期。那么从周期性呢，我们就会得到 派是这个正确函数的一个周期。现在我们从基偶性来考虑一下正确函数的基偶性好，对于咱们的这个正确函 数而言呢，它的定义域 x 不能够等于二分之派加 k 派。如果咱们用集合来表示的话，就这样来表示， x 不等于二分之派加 k 派，其中 k 属于整数角 z。 既然 x 不等于二分之派加 k 派，那么从 x 轴上来看，我们就是抠掉了负二分之派、二分之派、 负二分之三派、二分之三派等等这些部分，那么剩下的部分咱们的 x 都是可以取的。由此可见， 咱们剩下的部分肯定是关于咱们的这个圆点对称的。因此咱们的这个正确函数，它的定义运是关于圆点对称的。接下来我们就来看 f x 和 f 负 x 的关系， f 负 x， 它就等于 tint 负 x， 根据咱们的右的公式， tintint 负 x 等于负的 tintint x， 从而就等于负的 f x。 注意这个地方它就是 f x 嘛，所以我们就会发现呀，对于正确函数而言， f 负 x 等于负的 f x， 也就是 f x 和 f 负 x， 他们两个之间相差了一个负号，所以我们的这个正确函数，他是奇函数，从稀有性出发呢，他就是奇函数。 既然他是七函数，那么他的图像肯定是关于原点零斗零中心对称的。接下来我们在考虑了这两个方面的性质之后呢，我们来看一看咱们的正切函数的这幅图，他是如何画 出来的。现在同学们来看到老师的这幅图在这幅图里边呢，可能有部分同学看到有两个平面直角坐标系，对吧？我解释一下。首先大的这个平面直角坐标系 xoy， 它真正的作用呢，是用来画咱们的正切函数的图像的。而小的这个平面直角坐标系，它是和单位元搭配使用的，因为这个地方呢，老师要借助单位元来画咱们的正切函数的图像， 我们之前在画正写函数的图像也是如此，我们也是通过单位圆画出正写函数图像的。这个地方呢，我们依然要再一次利用单位圆来画正切函数的图像，那么画这个正切函数的图像怎么样去画呢？我们首 先呢，可以先画出他在零斗二分之派这个左臂右开区间的图像。注意了，这个地方 是取到了零的，对于正确函数而言，这个地方 x， 它可以等于零，但是二分之派不能取，因为 x 不能够等于二分之派加 k 派，所以这个区间是一个左避右开区间。 那么接下来我们就来画一画，咱们的正切函数 y 等于摊间乘 x， 他在这个区间内的函数图像怎么样去画，我们不得不先去回顾一下，咱们再讲三角函数的定义的时候，咱们的正切是怎么样去讲的？ 我们先来回顾一下吧。在这个单位元里边，请同学们看好了，有一个角，这个角的中边呢，如果与单位元相交， 交于点 b， 这个点 b 的坐标，我把它设为 x 零，逗号 y 零，那么这个地方呢？老师提示一下，我们之前在讲三角函数定义的时候，可能咱们的这个角更多的是用角阿尔法来表示他，对吧？那未来和我们正确函数的这个地方对应， 这个地方的角它是用 x 来表示的，所以这个地方咱们的这个角呢，我也用咱们的这个字母 x 来表示， 也就是说咱们的这个角呢，它就是角 x。 这样一来，根据咱们的三角函数的定义， 这个角 x， 它的正确值，也就是摊尖乘 x， 它是等于这个点 b 的重坐标 y 零除以它的横坐标 x 零的好。进一步我们来看，结合 咱们的这个单位圆，如果我们过这个点臂做 x 轴的垂线，这个地方就会有一个垂足，我们把它记为 m， 这个 y 零比上 x 零，实际上我们来看这个 y 零呢，它其实就是 m b 的长度，而这个 x 零它就是 o e m 的长度，对吧？ 接着我们再回到咱们的这个单位元这个地方，我们来看我们的这个单位元，它与这个 x 轴呢有一个交点，这个交点在这个地方。 好，这个焦点呢，我们把它记为点 a， 这个点 a 的坐标呢是一斗零，这个时候我们过这个点 a 呢去做 x 轴的另外一条垂线，这个时候我们会发现咱们这个 角 x， 它的中边与咱们的这条垂线也会产生一个焦点，这个焦点在这个位置，这个焦点如果咱们把它记为 t， 那么这样一来的话，咱们的这个摊间球 x， 它除了等于 m b 比上 oem 之外，它也等于 at 比上 o e a， 而这个 o e a 长度刚好就是一，所以他就等于 at， 这样一来咱们的这个角 x， 他的正确值就等于咱们的这个线段 at 的长度。 我们在找到这个关系之后呢，我们再一次回到咱们的单位园里边，这个时候老师已经把这个图呢给他清理了一下。我们来看，如果 你的这个 x 他是等于六分之派的。好，假如这个地方这个角算六分之派，这个时候他与这条线交点在这个位置，这个点就是 at， 那么此时潘金特六分之派， 它就等于 a t 的长度，对不对？那么也就是说当这个 x 全六分之派的时候， y 它就等于摊尖求六分之派就等于 at 的长度。好，我们现在来看到它的这个平面直角坐标系，当 x 取六分之派的时候，六分之派在这个位置，此时 y 是等于 at 的长度，我们把这个 at 的长度对应过来。 好，那这一小节其实就是 a t 的长度，所以这个时候咱们的函数图像必定是会过 这个点的，我们就找到了一个点，以此类推，如果咱们的这个角 x 他转到了这个位置，四分之派，这个时候呢， 交点 t 就跑到这个地方来了，这个时候也就是说当 x 等于四分之派的时候， y 他就等于 tangent， 四分之派 就等于咱们这个时候的 at 的长度，这个时候呢，我们来看， x 等于四分之派的时候，把 at 的长度给它对应过来，我们的函数图像一定会过这个点，这一节它就是 at 的长度。 接着如果这个角他转到了三分之拍的时候，这个时候呢，交点 t 就跑到了这个地方。好，同样的方法，此时呢，我们就 可以看到 x 等于三分之派的时候， at 的长度，我们把它对过来，图像一定会过这个点，咱们的这节就是 at 的长度， 我们现在呢，已经找到了三个点，对不对？还有一个比较特别的点，就是 x 等于零的时候，当 x 等于零的时候，摊间乘零，它是等于零的，所以正确函数呢，一定会过圆点。 其实当我们找的点越多的时候呢，你画这个图呀，可能就越准确，但我们现在只需要去画出这个图像的大致的走势就可以了。所以呢，我们找 四个点其实已经够了，但是这个地方要请同学们注意，咱们的正确函数 x， 它是不可以取到二分之派的，所以现在我们要来考虑一下，当我的这个角 x， 他的这个中边，他越来越靠近咱们的歪轴，也就是这个角度就会越来越接近二分之拍，这个时候 at 的长度就会趋向于正无穷大。因此我们在画图的时候，注意， 我们再用光滑的曲线将咱们的这些点顺势连接起来的时候，咱们的这一部分图像，他一定是无限靠近蓝色的这条虚线的， 切记，他只是无限的靠近，但是永远不相交，因为 x 是永远取不到二分之派的这条虚线呢，我们也可以把它写出来，他就是 x 等于二分之派。 这个时候呢，请各位同学来看老师画的这一部分图像，他就是我们的 y 等于摊间求 x 正确含 在咱们的这个左臂右开区间内的函数图像，那咱们把它扳下来，其实就是咱们的这部分图， 我们已经把这部分图像画出来之后呢，由于咱们的正确函数他是奇函数，他的图像是关于坐标原点零度零中心对称的，那从而我们就可以画出这一部分图像，关于坐标原点中心对称的图像就是这一部分， 也就是从负二分之派到零之间的图像，我们就可以画出来了。 这个时候同学们来看到这一部分红色的图像，这个红色的图像呢，他是从负二分之派到二分之派之间的图像。我们刚刚又分析咱们的正确函数，他是一个周期函数，而且 是他的一个周期，对吧？从负二分之派到正二分之派，距离刚好是派，所以咱们红色的这幅图，他实际上是我们的正切函数的一个周期内的完整图像。我们只要画了一个周期内的完整图像， 那么这个正确函数，他的整个函数图像，我们就可以通过平移而得到。我们只需要将这个周期内的图像分别向左、向右平移，每一次平移派个单位就行了。你看他向左平移派个单位就跑到这个地方来了， 如果继续向左边再便宜派个单位，咱们又会得到这样的一幅图，以此类推。这边呢，他是无穷无尽的，那我们主要是体现了这种规律就可以了。右边也是一样的道理，他 向右平移一个派之后，跑到这个地方来了，继续再向右边平移一个派之后，他可能就跑到这个地方来了，以此类推。这边无穷无尽，我们呢也没有办法把它画完，这个呢就是正确函数图像的画法， 我们把它的函数图像如何画的讲明白之后呢，我们下一节课再给同学们讲正切函数的性质。

同学们大家好，现在给同学们更新的是高中数学人教 a 版必修第一册第五章三角函数。那么我们接着上一堂课给同学们讲， 现在我们来看到预习自测。首先我们来看到第一题，判断正物括号一，正确函数在 r 上是递增的，显然错误。咱们的正确函数，他的定义域都不是 r， 所以这个地方就是一个很明显的错误呀。 接着我们来看到括号二正确曲线是中心对称图形，有无数个对称中心，这个是正确的。好，我们来看到括号三，正切函数的最小正周期为派， 这个呢也是正确的。来看咱们的括号是括号，是显然错误。咱们的正确函数，他的图像不是轴对称图形不是轴对称图形，他根本就没有对称轴呀。来看 第五个，若 x 是第一项线角，则 y 等于摊尖乘 x 是增函数。首先我们要搞懂这句话是什么意思，他的意思也就是说只要你这个地方的曲子他是第一项线角，那么当你的这个 x 的曲子越大的时候，这个整体也会越大。 这个地方呢，我们可以举一个返利去推翻它，比如说咱们取这个 x， 它是等于六分之派的六分之派也就是三十度，它是一个第一项线角，对不对？我们再取这个 x 等于六分之派加二派， 六分之派加二派的话，也就是三百九十度，他也是一个第一象限角，很显然你这个六分之派，他是小于六分之派加二派。 但是这个时候呢，咱们的摊间成六分之派和摊间成六分之派加二派，他们两个词是相等的关系，所以咱们的这个说法他是错误的。好，接下来我们来看到咱们的第二题， 问，咱们这个函数的最小正周期为，那咱们是有公式的对不对？ t 等于欧米伽分之派的绝对值，欧米伽它是 x 的系数，那么它就等于三分之派。 再来看咱们的第三题，让我们去求这个函数的定义率，那么对于咱们的正确函数 y 等于摊间求 x 而言，一定要注意这个地方， x 它是不能够等于二分之派加 k 派的，那么也就是说这个框框 里头，他是不能够等于二分之派加 k 派的。因此对于咱们的这个函数而言，摊前者后边的这一坨，这个框框里头的这一坨，他不可以等于二分之派加 k 派，也就是二 x 加四分之派，他不能够等于二分之派加 k 派。 其中呢，咱们的这个 k 属于整数及 z， 对于这个函数而言，它的质变量是 x， 因此我们要由这个不等式把 x 的范围取出来，从而我们就得到二 x， 它不能够等于四分之派加 k 派， 从而 x 他就不能够等于八分之派加二分之 k 派。其中 k 属于整数级 c， 我们用集合来表示，也就是 x， 他不能够等于八分之派加二 分之 k 派， k 属于整数及 z。 这个地方呢，同学们一定要切记，一旦出现摊间者，你一定要保证摊间者后边的这一坨，他是不能够等于二分之派加 k 派的。 我们来看到第四题，让我们去求这个函数的图像的对称中心。首先呢，我们来回顾一下，对于咱们的正确函数 y 等于摊间求 x 而言，它的对称中心为二分之 k 派，逗号零，其中 k 属于整数级 c。 那么到这个地方之后，老师不得不提醒一下，我们之前在讲 y 等于 a 倍闪音欧米伽 x 加范以及 a 倍口闪音欧米伽 x 加范求这两种类型的对称中心，或者对称轴，或者单调递增区间，单调递减区间等等，我们都是用到了 整体的思想，在这个地方我们依然要用到我们之前所用的整体思想，对于我们的正确函数而言，它的对称中心是这样的对不对？而这个地方呢？相当于是 x 取了二分之 k 派， 那这个时候我们来看，对于咱们的这个函数而言，我们一定要把这个地方的整体二分之一 x 加三分之派，把它当成原来这个地方的 x。 既然这个地方 x 取了二分之 k 派，那对于我们的这个函数而言，我们只需要令这个整体二分之一 x 加三分之派等于二分之 k 派， 然后进一步把 x 的值求出来，二分之一 x， 它就等于负三分之派加二分之 k 派，从而 x 就等于 负三分之二派加 k 派，其中 k 属于整数 gz， 所以咱们这个函数，它的对称中心 就是负三分之二派加上 k 派，逗号零。注意，对称中心他是一个点，一定要用坐标来表示。 我们这个题还是利用到了整体思想，我们把二分之一 x 加三分之派看成个整体，定这个整体等于这个地方的二分之 k 派，然后进一步把 x 的值求出来，就找到了这个函数的对称中心。 接下来我们来看到第五题，这个函数它的最小正周期为二分之派，让我们去求出正数欧米伽的值。那么对于咱们这种类型的函数，它的最小正周期是有公式的， t 等于欧米伽分之派的绝对值， 其中欧米伽是 x 的系数，题目已经讲了他的最小正周期为二分之派，并且呢，欧米伽他是一个正数，所以我们就会得到欧米伽分之派，他就等于二分之派，因此欧米伽就等于二。 接着我们来看到第六题，下列各组函数中，即是七函数，又在这个区间上单调递增的为，那首先肯定排除 ac， 因为咱们的余弦函数，他的图像是关于歪轴对称的，他是偶函数，肯定不能选。现在呢，我们只能够在我们的 bd 里边去选呢， 在我们的这个开区间，负二分之派斗二分之派，这个开区间内，咱们的正弦函数和正切函数都是单调递增的，那么只能够选 b 选项，咱们的 d 选项注意看， 我们的这个函数 y 等于三 ex， 他在这个区间上单调递增。好，你在前边给他乘以一个负号，之后呢， 他在这个开区间上反而就单调递减了，所以呢，我们的 d 选项是不可以选的。接下来我们来看到咱们的第七题， 问，咱们这条直线与正确函数的图像相邻两个交点的距离是多少？首先呢，我们要清楚，这条直线 y 等于 aa， 是一个长数，那么他的图像画出来是一条横折的线，我们倒回去看一看我们正确函数的图像。 现在我们来看到正确函数的图像，你在这幅图里边去随便画一条横折的直线， y 等于 a， 那么他与正切曲线的 焦点有无数个，对吧？我们来看相邻的两个就行了，相邻的两个焦点之间的距离啊，实际上就是我们正确函数的最小正周期派，从这个地方到这个地方的距离就是派， 所以咱们的这个题目选的是 a 选项。好，我们来看咱们的第八题，我们这个题呢，是需要判断函数的基友性的，那咱们这个地方呀，我们就不用 y 来表示，我们呢把它改成 f x， 从四个选项我们就可以看出来，咱们的这个函数它要么是奇函数，要么是偶函数。现在我们就来看一看 f x 和 f 负 x 的关系，那么 f x 它是等于摊间车二 x 这个整体的绝对值。 f 负 x， 它就 等于 tan 键车负二 x 这个整体的绝对值来看，绝对值符号里边，咱们根据诱导公式， tan 键车负二 x， 它就等于负的 tan 键车二 x， 从而它就等于 tan 键车二 x 这个整体的绝对值。而这坨刚好就是咱们的 f x， 说明 f 负 x 等于 f x 这个函数肯定是偶函数，我们就可以排除 ac 选项。 现在我们来判断一下这个函数的周期，那么首先对于咱们的这个函数 y 等于摊间乘二 x 的绝对值而言，它外层有一个绝对值符号，如果咱们暂时不考虑这个绝对值符号，我们先来看这个函数 y 等于摊间乘二 x， 它的周期， 根据公式， t 等于欧米伽分之派的绝对值，欧米伽他是 x 的系数，那么他就等于二分之派。 这个时候我们在看见这二 x 这个整体的外边添了一个绝对值符号之后，从图像上来体现，我们只需要将他的函数图像，把 x 轴下方的图像给他，沿着 x 轴对称的翻上去， 我们就可以得到他的函数图像。现在我们就简单的来画一画咱们的这个函数，他在一个周期内的函数图像。首先我们来看摊间这后边他是二 x， 对吧？ 我们先求一求这个函数的定义率，咱们要保证二 x 这个整体，它不能够等于二分之派加 k 派， 其中 k 属于整数节 z， 从而 x 就不能够等于四分之派加上二分之 k 派， k 属于整数节 z。 那这个时候我们就可以去画 从负四分之派到正的四分之派这个周期类的函数图像。 我们借助画正弦函数的一个经验呢，我们就简单的大致描一描这幅图的一个走势就可以了， 他的走势呢，肯定是这个样子的。这个时候同学们我们只是画了他一个周期类的函数图像，那假如我们 在摊间这二 x 这个整体的外边添了一个绝对值符号之后，实际上我们只需要把 x 轴下方的这一部分图给他，沿着 x 轴对称的翻折上去，翻折上去之后得到这样的一幅图，我们会发现，其实呀，你并没有改变这个周期，对不对？这个函数其余的图像 就是通过他平移而来的，因此我们这个函数他的周期呢，也是二分之拍，所以我们最后的答案为 d 选项。九题来看到，让我们去求这个函数的单调递增区间。 如果同学们之前对咱们的正弦函数、余弦函数掌握的比较扎实的话，这个题目的做法完全和之前是一样的， 那么我们提笔就可以写了，还是要借助我们之前对正弦函数、余弦函数的学习所用到的整体事项。那我们首先来回顾一下，对于咱们的 正确函数 y 等于摊间乘 x 而言，它的单调递增区间是这样的，负二分之派加 k 派，逗号，正的二分之派加 k 派，其中 k 属于整数及 z， 而且这个区间它是开区间，左右端点是不能够 写成中括号的。现在我们要利用整体思想，把二分之派 x 加四分之派看成一个整体， 我们定这个整体呢？大于负二分之派加 k 派，小于正二分之派加 k 派。进一步把 x 的范围求出来之后，就得到 函数的单调递增区间。咱们利用不等式的性质，同时减四分之派，中间就变成了二分之派 x， 不等号不改变方向，负二分之派减四分之派，也就是负的四分之三派，然后加 k 派， 二分之派减四分之派，也就是四分之派加 k 派。接着我们再同时除以派，派是一个正数不等号不改变方向，这个地方就变成负四分之三加 k， 小于二分之一 x， 小于四分之一加 k。 在同时乘以正二不等号，不改变方向就变成负二分之三加二 k 小于 x， 小于二分之一 加二 k， 那么这个 x 的范围就是我们这个函数的单调递增区间，我们用区间来表示 的话，就是负的二分之三加二 k， 逗号正二分之一加二 k， 其中 k 属于整数 gz。 现在我们来看到第十题，让我们去求这个不等式的解题，那我们最终呢，要求这里边的 x 的范围。 我们最熟悉的函数图像是我们的正确函数 y 等于 tangent x 的函数图像。 但是在我们的这个题目里边，这个地方呢，他不是一个单独的 x， 他是 x 加三分之派。 所以此时呢，我们就要有一种整体思想，我们将 x 加三分之派看成一坨，用一个新的字母去代替他，比如我们用 t 来代替他，这个时候咱们的这个不等式， 他就变成了摊间车， t 小于等于根号三，我们只需要把这个地方 t 的范围求出来， 我们就可以把这个地方 x 的范围给他求出来。我们将这个不等式通过打包换圆之后呢，他就变成了这样的一个不等式。对于这个不等式而言，我们来看，他的左边对应的函数呢，我们可以看成是 y 等于 type， 而右边对应的函数呢，是一个长数函数， y 等于根号三。我们这种题型呢，之前学习正弦函数，余弦函数， 有时候是遇到过的，同学们也可以顺便的去翻一翻书，回顾一下。现在我们回到咱们这个题目中来，同学们来看， y 等于摊间求 x， y 等于摊间的 t， 实际上是同一个函数，只是说这两个函数它的字变量用的字母不一样，一个是 x， 一个是 t， 仅仅只是字变量字母使用上的一个区别，那他们俩呢，实际上是同一个函数。因此老师画的这个 y 等于 tangent x 的函数图像，我们也可以用它来表示 y 等于 tangent t， 只是这个时候呢，相当于这个地方变成了 t 轴，这个地方依然是歪轴。 好，我们来看同学们，我们的这个函数图像，我相当于已经画出来了局部的，对不对？我们再来画这个长数函数的图像，他是一条横折的直线，这条直线呢，他要过根号三这 个地方，这个就是 y 等于根号三。那么我们在画了图像之后，我们要使得这个不等式，他是成立的，从图像上来体现他的图像要在他的图像的 下方。当然由于这个地方取得了等号，所以他们俩图像交点的位置我们也是要的。那通过这个图像，咱们蓝色图像要在黑色图像的下方，本来找出来有两部分，但实际上我们考虑一部分就行了，因为其实他 整幅图他有无数个部分，这些地方，这些地方，这些地方都有，所以现在我们重点来看一看这一部分就可以了。焦点的位置咱们也是要的，这一部分的话，我们找到这个图不是最终的目的，我们找到图像之后，要把这个地方 t 的范围 给他求出来，所以现在我们要把这部分图像对应的横轴上去找这个 t 的范围。很显然呀，这个 t 的范围就是比负二分之派要大。哎，那这个时候呢，我们只要找到这个焦点的横坐标，我就可以找到右端点子了。 摊间车 t 等于根号三，那么这个地方他又是零到二分之派，所以这个焦点对应下来的横坐标必定是三分之派。 摊煎成三分之派，也就是摊煎成六十度，他是等于根号三的，因此这个地方右端点直就是三分之派，三分之派是可以取到的，因为这个焦点咋不是要的，这个地方他是取到等号的。现在 我们通过这个地方最简单的这部分图像找到了 t 的一个范围，那实际上咱们这部分图也要后边还有无数个这样的图，对不对？我们现在来看一看，其余的范围和这个范围又有什么样的关系呢？我们就来看 这一部分图像与这一部分图像，他们之间是相差了一个派的。由此我们也可以总结出规律，咱们只需要在 这个范围的基础上，给他加上派的整数倍，就可以得到 t 的所有的范围，因此 t 所有的范围就是 负二分之派加 k 派，逗号，正三分之派加 k 派，左开右臂区间，其中 k 属于整数减 c， 这样一来我们就找到了 t 所有的范围。那么我们来看，既然这个 t 他是大于负二分之派加 k 派，小于等于三分之派加 k 派的， 我们只要把 t 的范围求出来，那这个时候呢，我们就把 t 换成这一坨 x 加三分之派，我们就得到 x 加三分之派，这个整体大于负二分之派加 k 派， 小于等于正三分之派加 k 派。再同时减三分之派，不等号，不改变方向，负二分之派减三分之派，负六分之五派 加 k 牌，这个地方就变成了 x， 然后这个地方减三分之牌就变成 k 牌。 x 的范围就是这个不等式的解题，我们用区间来表示， 就是负的六分之五派加 k 派，逗号 k 派。注意这个地方他是中括号 这个区间，它是一个左开右臂区间，因为咱们的这个地方它是取到了等号的，而前边这个地方没有取到等号，所以它是一个左开右臂区间，其中 k 属于整数进 c。 好了，这个呢？就是我们的第四题。