广东深圳高三三模2024立体几何

所有的立体几何题解析都存在一个固定的规律，这个规律是什么呢？就是我们首先要把立体的问题转化到平面里，然后再把平面里的问题呢转化到图形里，还有极个别的会把图形里的问题呢，再转化到边或者是角。所以你看整个这一个逻辑里边的这每一个流程啊，你但凡有一个 流程有问题的话，这个题你可能就解不出来。所以这证明了一件事情，如果大家觉得立体几何难的话，可能不是难在立体几何本身，可能是在某一个环节上， 在这些整个逻辑之前呢，还有一个关于立体几何的空间感的一个建立，所以你觉得你的问题是出在哪了？你给我留言，我们真针对性的去解决问题，讲一道题是不可能把所有人面临的所有问题都说透的，这也是不现实的。 举个例子，昨天一个粉丝说他去解三角形很难，然后我看着他做了三道题，结果呢？这三道题里边错了两个，这两个我后来发现他错在哪呢？他在解三角形里边关于正弦定律都记得很牢了。结果呢，他在计算上出问题了， 分母但凡有根号，两个根号相加或相减的时候，他在去掉这个分母的根号的时候啊，他几乎都错了。所以有的 朋友啊，有的小朋友，或者有的同学啊，如果你觉得某一个环节有问题，你不要先把整个大的板块都归结他都有错，不是的，肯定是中间的某个细节出现问题。 好了，这道题还是一一样的。前面说的话有点多，还是那句话，我们希望通过这一道题把这道题解决，不是目的，而是希望通过这一道题呢，能给大家带来一些解题思路。你以后但凡见到这种类型的题的时候啊，你自己就知道你是第一步该做什么，第二步该做什么，第三步该做什么。 我们看这道题，一个四棱锥， p a b c， d 里面是个边长为四的 p c 等于 pd， 等于二分之根号二， 这两个也是相等的，所以第一步这就是所谓的空间感，我们要找到这个棱锥的高，现在要求的就是它的高，这个高一定是落在这个 ab 和 cd 的 中点连线上的， 这就是所谓的空间感，因为依据在哪呢？因为 pa 等于 pbpc 等于 pd， 它是肯定落在中微线上的，往下的来这个投影，然后我们现在把这个图给它补全，然后我们再证明我们画出来的这条线就是我们要求的高 e f， 我 们现在取 a b 的 中点 a b c d 的 中点为 e f， 然后连接 p e p f 和 e f， 然后再过 p 点做 p o 垂直于 e f。 现在既然你已经确定这个 po 就是 它的高了，我们要证明，因为在这个选择题或填空题的时候，可能不需要你写出这个证明过程，但假设这道题是一个大题的第一问，那你就一定要会这个解析过程了。所以我们现在把这个解析过程整个思路给大家捋一下。 这个点是 o， 现在 p o 已经垂直于 e f 了，来，我们从头开始， 现在我们看啊， p o 如果已经垂直于 e f 了，那它只要再垂直于底面的任何一条边 po 现在已经垂直 e f 是 我们做的，我们现在只要让 po 再垂直于这个 e f 相交的任意一条线，那么这个 po 就 垂直于整个底面了，这就是证明线面垂直的一个必要条件。 那么现在我们来看 po 垂直于谁？很明显它是垂直于 c d 的， 怎么来的呢？来看现在 p c 等于 pd f 为中点， 那么我们是不是就能得到 p f 垂直于 c d？ 又因为我们这个 e f 取的是中点，所以 c d 也是垂直于 e f 相交于 f 点，所以这是不就证明了 c d 是 垂直于 p f e 这个平面， 它垂直这个平面了之后我们就能得到它垂直于，又因为这个 po 是 属于这个 p e f 这个平面的，所以我们能得到 cd 垂直于 po， 再加上 p o 已经是垂直于 e f 的 了，然后 e f 交 c d 于点 f， 所以 这就证明了 p o 垂直于 a b c d， 所以 这个 po 就是 我们要求的它的这个高了。然后在接下来我们接下来的问题就转化成了，我们怎么求出来 po 的 值是等于多少？我们现在看给的这个数字，数字的已知条件我们我们还没用， 我们知道这个边长都是四，那这一半是二，这一半也是二，这是二分之根号二，而这个 p f 又是高，那 p f 等于多少呢？ p f 是 不是就等于根号下 p d 的 平方减去 d f 的 平方，那么 p d 这是 d 啊， p d 是 不是等于二倍的根号二，是不是就等于它的平方是八？减去底下这个是二，减去四，那么它是等于二的。 p f 等于二，那我们来看 p e 同样的 p e 也能求出来， p e 是 等于 p a 的 平方，减去 a， e 的 平方 pa 是 等于四的，那底下就是十六，减去 a， e 也是边长的一半，减去四，等于二倍，根号三。我们现在还知道了， e f 是 等于四的，那么我们看一下这三边的关系。 p e 的 平方加上 p f 的 平方。 p e 我 们刚才求出来了，在这里是二倍根号三，它的平方等于十二， 加上 p f 的 平方是四，等于十六，是不是就等于 e f 的 平方？所以角 f p e 等于九十度。那么现在三角形 p f e， 它的面积是不是就等于二分之一的 p f 乘以 p e 同时也等于二分之一的 e f 乘以 p o， 而 p o 就是 我们要求的值。通过一个三角形的面积，两个一个转化，这就是二分之一的 p f 等于二。 p e 等于二倍的根号二，根号三，那么它等于二分之一的 e， f 是 多少？是四，再乘以 p o， 这样话，左边再除以二， p o 等于根号三，这样话我们就算出来了，它的答案是选 d。 所以关于我前面给大家说的你在立体几何里面，如果哪些呃转化，或者是哪些涉及到平面的问题啊？还是涉及到空间感的问题，你觉得你在哪个地方有难度？你给我留言好了，今天这道题就这样，同学们拜拜。

好，我们看十一题，他给出的是一个正方体各点点都在表面积为三派的球面上， p 为该球面上任意点，下面的选项是否正确啊？ 我们看这一个简体，给出了各个点点求的表面积啊，在上面这个是得个什么东西啊？这个心理告诉我们，什么东西求的表面积？公式是拍阿尔方 等于三派，可以求出这个半径平方等于什么？四分三，所以这个是半径， are 是 of 呢？根号三。好，我们可以设置一个正方体的边长为 a， 我们根据这个它的 t 掉线，根号三 a 啊，等于求的什么？直径和 r 很划算，所以的话，你的边长正方体的边长是一的啊，是一的。好，我们看第一个选项， a 有无数个点使得 a p 平行平面， b， d， c， e a 点是，这是到了一个顶点在球面上的啊，这个点是在球面上的啊，要注意想象这个图形啊，这个图形跟这个呢， p 一点的话呢，是球面上的，记住了， p 点是该球面上认一点，球面上的认一点 要使得线面平行，怎么思考？它的方法是要保证线面平行，我们做的时候啊，我们做的时候呢，要想到面面平行， 转到面面平行就好了， 什么意思呢？只要使得 a p 在某个平面内，这个平面呢，如果跟 b， d， c， e 平行，那么你 a p 的话呢，肯定跟这个面平行，面面平 平转线面平行，这个原理在这里啊， 所以的话呢，我们就要什么过这个 a 点做这个平面， bdc 的平行平面， 那么这个平面是很好做的，对吧？于是我们把 a 看图啊，把 ad 连起来啊， ad 在跟什么 bc 平行， 再把什么 d、 b 连起来，就跟这个嘛， d、 b 平行，上面平行。好，这两线平行，它由相交，所以这个面 把这个 a、 b 连起来啊，这两面平行的。因此的话呢，我们只要 p 点在这个平面内，在 a、 b 一滴这个平面类，嗯，那么就可以平行了，那就要求什么？又要求 p 为球面上点。所以像这种情况，比如说我们在 在这个 b、 d 上任意取点 q， 把它连起来，延长跟球面相交，那么这线都是跟面 b、 d、 c 平行的。 很明显，这样的 q 点呢，可以做很多，那么得到 p 点也是很多，所以 a 是正确的啊，这是第一个注意原理，就是面面平行，转细面平行。 第二个 b 有无数个点 p， 使得 a、 p 跟这个面。刚刚说啊，这个 b、 d、 c 垂直， 这个思路啊，是一样的，跟刚才思路都是一样的，要转线面垂直。那么我们看一下哪些线可以跟 b、 d、 c 垂直？ 看图，跟 b、 d、 c 垂直。我们做了这个体对角线， a、 e、 c， a、 e、 c 很明显是跟这个面垂直哦，可有同学看不懂哈，这个体多少线的话呢， 怎么跟这个面垂直一个？比如说看这里啊，跟 bc 垂直，怎么理解的？可以做这个 ab 过来， ab 跟 这个连起来啊，跟这个连起来。那么这个线的话呢， b、 e、 c 啊， b， e、 c 是 a、 e、 c 在右边这面的什么投影啊？所以这个是个投影 啊，这是个投影， a、 e、 c 在右边面投影就是 b、 c， 那么 b、 c 跟投影垂直，肯定跟它垂直， 就这样子得来的。那同理的话呢， a、 e、 c。 比如说跟上面这个面，跟这线垂直，也可以说清楚。例， a、 e、 c 跟上底面呢？的投影是这条，那么这两条呢？垂直，你跟他投影垂直，跟他也垂， 所以 a、 e、 c 跟这个面垂直点。好，现在我们要求过点 a 过点 a 的直线跟这个面 垂直，那很明显这个 a、 p 必须平行于 a、 c 这个提交线，那很明显，过点 a 的直线跟 a、 c 平行，这 a 是固定的，那只能做什么？一条的 只能做一条。 a 本身是球面上了，所以做一条啊，可以做一条另外一个点，叫这个球面啊。所以说有无数个点 不准确的，因为你过顶 a 做线，平线不可能做五十条，所以 b 错误的。 c 点 p 在平面 b、 c、 c、 b 上，注意啦， p 在右边这个侧面上，注意这个面。我们知道面是无限的吗？延展的，面是无限，延展的，同时要求 ps 球面上，你听不说 ps 球面上的点， 所以这个 p 点要理解为应该是在这个右边这个截面 啊。 b、 b、 c、 c 这个正方形的结球有个结面，我们叫它小结面 啊，在小截面上这里解啊。要求在什么面上？这个面上啊，要求在这一个面， 又要求是在球面上的，所以说应该是右边这个洁面。记住啊，这个 b、 c 它是个洁面的，是吧？洁面的啊，这个小圆面嘛，小圆面的啊，这样子的好， 现在要求什么东西啊？要求这个体积最大。我又发现 a、 b、 c、 d 底面是固定的， 底面固定那里，所以这个体积公式我们知道是四三分之一 s， h， s 定了，是吧？ a、 b、 c、 d 关键是高度，因此 p 在哪里使得这个高，这个高就到上底面的距离，对吧？是最大 啊，这高，如果到这个底面到距最大，那么这体积就最大啊，体积最大，那么在哪里可以画这个图啊？可以看这个图。 好，再看这个棱锥， a、 b、 c、 d 底面固定那里，只要 p， 只要 p 到这上底面的距离最大，那么应该是在这右边这个斜斜面，这 这个圆面啊，上跟外面这个球攻点就是 p 点， 那么我们知道这个 b b， c， c b 这个外截面，找出圆心这个 m 半径是多少？半径就是 这个面对角线的一半一，一跟二二，所以这是半径半径，这个 r 就是 m， c 就是根号二的一半二分之根号二。 好，上面还有这也，这也是终点上面这里有个什么一半，有个二分之一，所以这个 p 点应该是这段二分 之一，再加下底这部分，甚至加在 m p 这部分，这个 p 点到了球面上啊，到了球面上，所以就得到这个 h， 就应该是二分之一加二分之根号二 啊，这个体积那应该是三分之一，上面面积是一，那乘上，哎，二分的杠二啊， 二分的根号二，那乘上二分之一，加的话，根号二， 所以乘就应该是六分之根号二加一，所以 c 正确啊。好，下面到 d， 当 p 一点在右边这个面时，还是右边的面啊，右边面，当然我们刚刚讲了，跟也是球面上一点，应该是在这个什么这个面的圆周上，是吧？也是小洁面的，这个洁面的圆周上运动， 看清楚吧， p 在平面，平面是为人展的，他跟这个球啊，这个球这个洁面吧，这洁面是个圆面来的， 因此得到的应该是一个圆周， p 在圆周上运动，要求 p a 加 p c， a 和 c 对点点啊。 p a 加 p c 最大值的是根号六 文化要图 啊，这个，这个呢，有点难度，是吧？有个难度啊，比较难想这个 d 啊， 好，我们把它换一下啊，放到底上，把这个平面，这个洁面啊，这个是个洁面 啊。这个 p 杆分析的应该在在圆周上运动啊。圆周上运动， p a 加 p c 怎么最大？ p a 加 p c 这一部分，加这一部分 p 在这个圆轴上运动，我们知道这是毅力。 刚刚说他也发现 a b 是跟这个面垂直的啊，怎么转化的？ p a p 加 p c 最大，他的方法是这样子的， a p 就写了啊， a p 自然是等于根号，我们可以把这个 b p， 它有个构成个值，把这个连起来啊，把 p 跟 b 连起来，构成个直角三角形，这是 m， 我们把这个设为 n， p c 设为 p， c 设为 n， 那么就得到根号， e 加 m 方， e 加 m 方，就是这个。呃， a p 是吧？ a p 这是一至 m 嘛，是吧？好，加上这个 p c， 我们设为 n 啊，要求这个的最大值四倍。根号六怎么算啊？怎么算 好。另外呢，这里面隐藏了什么东西？当 p b 和 p c e 这两段，注意是圆周上，这里构成一个什么直角，所以就有 m 方加 n 方等于多少呢？我们的右边这个侧面，这个是一，一跟二二的，对吧？所以是等于二的。 b c b c 是根号二的平方是吧？ b c 的平方啊，根号二的平方， m 方加 n 方。好，相当隐藏这个条件。 那么到这一步怎么做呢？实际上呢，解答的方法有些人老师给的很复杂，我又发现这里没必要这么复杂，只要把这一个东西跟这两个联系起来就可以了。那我们想到的是什么不能试 啊？不能试。我们有什么有什么不能试啊？我们有这个不能试。有个平方的是吧？ 有个 a 方加 b 方除以二啊。除以二是什么？大于等于二分之。 a 加 b 的什么平方里 是当且减档，当且减档， a b 相等的时候去等好， 相等死取着等号里有这个不等式，我们可以用到了。 好，所以我们可以把这个另为，我们把这个平方得了，对不对？把这个平方，比如说我们求 这个叫做什么？ d 吧，英字为 d， 那么 d 方我们算是 d 方等于平方，根号 e 加 m 方加 n 的平方。 好，这个狮子解不了，是怎么用啊？这个实际上是两边，两边展开这个城市。这个是多少啊？ 这层是多少？就是得到 a 加 b 的什么平方是小于等于 小于等于 a 加 b 平方小于等于两倍， a 方加 b 方，我们用这个是吧？ 好，看看怎么用。这个不能吃就行了。要求的是这个加这个的最大值啊。最大值小于等于五，小于等于五，所以他应该是小于， 按照我们这是平方，平方加什么呀？小于等于两倍， 两倍里面的平方啊，里面的平方就是 e 加 m， 这根号 得什么平方再加什么 and 平方小于。这个式子。好，这个也展开等于多少？两倍一加 加 m 方加 n 方。又不能试啊，很快的，这个得到二加一等于三，二三得什么？六二乘上一加二， 那么二三得六，所以的话呢？这个 d 很明显可以是小于等于二六。 好，下面判断条件，当前金刚自己判断呢。是完全可以的啊。完全可以选道理啊。这个题目的话呢，第一也正确，非常复杂是吧？非常复杂，希望好好体会啊。

好，我们看十六题，这给出的是轴解面， a， b， c， d 是边长二的正方形啊，这个圆柱，那么这个高度要清楚了啊。 啊，那半径的话呢，是一是吧？是一 p 是圆 o e 底面异于 c d， 咱任意点点 p 啊，给出点 p 啊，点 d 到 a， c p 看成了 a 啊，上面 a c p 的距离为三分之二，本二三要求证明 o e p， o e p 跟 c d 垂直， o e p 跟 c d 垂直。好，我们首先 清楚这个底面是个圆啊， cdp 是圆周上的，那么你 cd 直径对吧？那我们只要把 dp 连起来，这肯定是个什么直角的，不管 p 在哪里是吧，都是个直角的，所以这个 p pcd 肯定是个直角三角形， 要证明这个 oep 跟 c 垂直，很明显，只要说明上这个，这个狐狸终点是吧，狐狸终点也简单说是 dp 跟 pc 什么相等就可以了是吧？ 啊，所以这个题目的话呢，我们可以设这个 d p 啊，设这个 d p 为 m， 这里为 n， 虽然只要 m n 相等就可以，是吧？好，第一题要证明 点到面的距离，点到面的距离， 注意了，不能过点低做面的垂线，那么垂足在哪里知道呢？我那个方法是过点低做线的垂线，第一个过 一做一一不是垂直面啊，一一垂直线 a p 于一点。那你先来说明 这个第一个面垂直可以了啊，记住啊，一般的不做面的垂线是不是很特殊，很明确是吧？一般你不知道垂足在哪里，你做面的垂线的话 啊，下面的话怎么说明 d e 就是高就好了啊，下面根据因为，因为这个 d c 为什么元 o e 为元 o e 的直径， 注意点这里啊，我们连接 d p 一匹 电视，直径的话呢，所以你一定有这个直角，是吧？ c p 一定垂直于 d p 的 c p 跟 d b 垂直右右，这个什么是圆柱？我们这个 a d 肯定垂直于底面，垂直于这个圆 o e d， 所以这个 a d 垂直于 c p 垂直底面跟垂直底面线，是吧？这时可以发现 c p 跟这两个相交的直线 d p 交 a d a d 啊 a d d p a d d p 说了啊， d 是吧？是 d， 所以的话呢，就可以说明什么 c p 跟这个面，什么垂直， 垂直于左边这个 a e p， 哟，刚才我们这个 c 什么啊？这个 d 呢？在这个平面内， 在平面 a d 皮内 a d p 内，所， 所以就得到这个 c p， 它肯定垂直于这个第一的，这发现几个问题啦，第一，跟 c p 垂直，第一所做的 跟哪个垂直啊？跟 a p 垂直，这两个相交的 c p 加 a p 这个 p 点 就说明了这个 d e 垂直于平面 a c p， 所以就说明了 d e 的长度 就是等于三分之二百块三。 好，这里要说明的啊，没说明理由，扣分的，就是说明的低一就是点，低到面的距离。好，下面要算这个，我们知道这个就是高了，是吧？垂直。 那么怎么算这个第一批的长度啊？怎么算第一批的长度？ 那么大家可以发现这个三角形 a d p 里面我们有这个是直角的， 这里第一页跟这个直角里，所以完全可以用面积公式就可以了，我们设第一批 we am。 简单点吧，这个是 m， 这里 a d 是二，所以这个 a p 勾股定理 有四家 m 房， 你看这个可以最高这个底，这个 d p 作为底，这个 a d 最高，所以有面积关系就可以了。有面积关系 得 d 乘 a p 是等于 a d 长 d p 的， 所以过来啊，所以第一，我们刚刚讲的是三分之二倍 cony 三 乘 a p， a p 是根号四加 m 的方等于 a d a d 是二， d p 是 m。 好，把这个计算出来啊，自己计算一下，计算多少，这个得到算 m 等多少？ that i am 会算没有？自己算一下啊， 算的 m 就是什么根号二的啊， m 是根号二， m 是根号啊， d c 多少呢？ d c 是二平方的四点几，什么东西啊？ d p 等于根号二， c d 等于二的又只有三角形，所以知道吗？ c p 也是等于二二 啊。这个等腰直角是吧？等腰直角就是，所以是什么？ b p 等于什么？ c p 所以就是个等腰直角三角形马上得到 o e p 锤子 啊，这是地下地。要注意的话呢，先说理由，把这个搞弄出来是吧？搞弄出来 第二个的话呢，再用等面积关系可以证明这个 p 点就是弧的。什么终点那么容易证明垂直了啊。这个题目就讲到这里， and 第二个 o c 与平面 a c p 所乘角的正弦值为多少 啊？ a c 平面线个面。我们先说一下这基础的东西，像我们这个 p a p a 跟这个平面所成角，那一定做垂线是吧？ p o 跟这个皮面垂直 把这一个呢，就要垂足，这个斜足连起来要适应，所以线面角就这个系统。对，如果 q 为 p a 终点， p a 终点， 那么点到面的距离注意了，这是一半，如果这是 p o， 这是 h 的话，如果在终点是二分的 h 或者其他比例都要注意，是吧？这是第一个弄清楚例，第二个的话呢，如果在两边的话， 看一下，如果像我们这个线啊，如果我们这个斜线当面相交， a 和 b 在面两边的时候，比如说交点 o， 如果是 c d 中点，那我们做垂线 是 ao 和 ob 相等的话呢？做面的垂线，那 h 一 h 二是相等的，这种情况下相等的。知道啊，终点线跟面如果这个 终点的话，那么到面的距离是相等的啊。好，下面我们回到了这个第二题， 我们主要想讲的是传统办法不用这个做表来做了，是吧？求 o c 与皮面 a c p 啊，我们想讲传的办法啊，传统办法 o c 跟这个平面 a c p 所在角，那么我们可以发现它这个相交的就是斜阻，对吧？斜阻， 那么过欧点做这面垂线在哪里比较难做？这个题目比较难做，但是我又发现一个什么问题， 这个 o o e 跟这个面相交有个交点 f， 这个 f o 跟 f o e 这两段相等的 啊，两相等的要记住啊，那么 o e 到面距离跟 o 到面距离是相等的，所以我们通过转化思想，你要求 o 到面距离，我可以转到 o e 到面距离相等， 那么 o e 道面距离怎么求？我又发现 o e c 一样过来就是 d， 当然 d 小题我们说了这个 d 道面的距离是吧？ d 道面距离问题， 所以要求的线面角的话呢，我们可以先求 d e 到面距 啊，有范围这样去思考啊。所以第二题 由一由一之，我们做了什么？ d e 垂直什么？ d e 垂直于这个 a p 是吧？垂直 a p 这个呢？就是点到面距离是吧？ d 为点， d 为点一 到皮面的距离，这个不用正了， d 小眼睛正了，到皮面的距离，到皮面哪个到皮面？ a c p 是吧？到皮面 a c p 的距离 啊？第一小题的加这个条件等于三百二三才这个垂直，但是我们这里没有这个条件的话呢，这个 p 点是语言走向起驾点都是一样的啊。这个时候呢，我们可以设 眼里是第一批 v m 啊，那么照样有面的关系，刚刚讲的有面积关系， 可以把这个表示出来。呃， 一个什么 d 一，我们说 d 一就是什么要求的，这个距离乘上这个四加 m 方等于什么？二乘 m， 所以这个 d e 可以表出来等于二 m 比上什么根号四加 m 方， 但是 a m 肯定是帧数，对吧？ a m， 我们这个 a m 肯定是大于零，弦长肯定要小于直 斤，是呗，小小啊的好，我们看第一这个范围可以放量，把 a m 放到回母零区是正数来 a m， 所以是什么四加？不是啊， 把 m 放进去，我得到它，上面是二保留，下面是根号 方，正区边的平方有个一加四除以 m 的平方对 m 的平方， 这时候你可以发现 d 是不是有个范围啊，属于多少啊？当这个 m 曲最大是趋向二的时候，知道吧？二 对吧？二，平方四，一就根号二，对吧。所以 m 是属于零到什么根号二的 啊？ m 属于零到二啊啊，这时候的话呢，我们呢可以利用这个面积关系啊，利用面积关系， 所以 o e， 因为， 因为 o e 为，来说明一下为 c d 的什么终点， 所以这个 o e 到平面到平面 a， c， p 的什么距离 就为对吧？一半是吧？二分之一 d 是吧？又 f 为 o， o e 的什么终点， 所以 o 点 大平面 到皮面这个什么 a， c， p 的距离，这是一样的， 为二分之一， 所以就可以得到这个色 o c 与皮面 a， c， p 所乘角，把它角射出来，为什么 shit， 所以 selling 西塔 就是这个距离。 often c d 比上这个 o c o c 海绵也是一个二，一个一，是根号五的两倍，根号五上面是 d 啊， d 来吧。 d 有范围的，所以很明显是小于根号二除以二分之根号五， 所以四乘上跟二，五上面是跟二十，下面是十，因此得到。所以正弦值的范围 size 应该属于零到十分之跟二十。 好，这个题目的话呢，就是分拓分析，用传统办法去做比用相量方法可能运算量稍微少一点， 但这一定要吐体验。注意注意这里面的转化思想啊，转化思想不好求的时候，这个距离不好求，转到他的相对好求的距离啊，这个题目就到这里。

广东全省范围的一模数学考完了，据说就深圳的部分学校没参加，其余地势几乎所有学校都参加了。试卷的影响力还是超级大的。 选填小题与近期其他各地中等级以上模拟卷的题型和难度差不多。真正让人炸裂的是大题，立体几何大题就有点难度。最后两道压轴的大题，一道概率，一道以大学矩阵为背景知识的三角函数、数列与函数综合创新题，都会在考场上让人炸裂，尤其是最后一道压轴题，估计把题目放到考研数学中去，一大部分考生也会被吓退。 八道单选题，前五题都是基础题，但第四题要注意，不要设一般方程序列、方程组计算，而是根据题中点的坐标去推导圆心或半径。第五题是一道江门刚考过类似的纸对计算题。 第六题，其次是明显可以闲话切进行计算，推倒不是什么难题。第七题出的很好，三角形沿某条边进行旋转得到的几何题体积求解务必掌握，高考很可能考到的 计算量略大，利用体积之比求出三边的比例关系，进而可以得到要求的角度与弦值。第八题，此题综合性较强，综合了集合函数和排列组合问题，思维量较大。此题不是难，是复杂，是需要在考场上思维敏捷和严谨。此题也是一道很好的考察思维而非机械计算的题。 三道多选题中，第九题是一道向量与三角函数结合的基础题。第十题是一道抽象函数基偶性和周期性的辨识题，不能算是难题。 第十一题是一道立体几何的压轴题，再强调一边，在各地模拟卷中，立体几何作为多选压轴题应该是占比最大的。所以大家务必把咱们前几天发的立体几何十大压轴题型的总结资料吃透。 此题是正方体里的问题，仍然像咱们之前说过的一样，正方题里没有难的无法做的题。前两个选项是基础难度，后两个选项也是以往有做过类似的。第一选项又涉及引员轨迹，所以大家应该能意识到，虽然题不一样，但难点其实很多时候都是一样的。此题是 涉及的所有知识点都是基础知识，但放到一个题中，需要大家有很强的感知，而且能使用导出的方法进行准确计算。广东这次的一模出的还是很用心的。 三道填空题里，前两题是以往常考的基础题型压轴的。第十四题看起来很吓人，但其实是高考真题改编。首先要观察所给的等式其实是一个同构式， 所以此题要用同构思想来解题。其次，此题设计对勾函数的性质，对勾函数中两个自变量函数值相等时，这两个不同的自变量乘积是定值一，在此基础上还需要对线段进行拆分，化减后可以得到 pn 等于 qm， 剩余的就是点插法解题了。此题改编的非常好，难度也是大大的。 五道大题一定程度上延续了去年的出题风格，倒数题放到简单题的位置，第十五题是一道倒数基础题，第十六题出的很好。第二问有一定的卡人的点求范围，要是间隙肯定就设计构建函数求分式或根式分式函数的值域计算过程肯定有一点需要， 对这类计算很熟练，不间隙，用传统几何法反倒能把计算过程简化，一定程度上打破了大家的思维，定式也是反机械刷题。 第十七题不是什么圆锥曲线难题，两问都是考察直接计算。第十八题开始拉开差距了。第一问估计很多同学凭直觉就能判断每名同学参加面试的次序，在任意位置上概率都是相等的，直接写出答案，但这样要丢不皱分。第二问出的很好，先要求出必校参加面试学生的数量，再才是条件概率问题。 从解析看，这一步分值占比很大，很划得来。第三问则涉及二项式的计算和化解，是不少同学薄弱的地方。 第十九题创新压轴题，以大学矩阵知识为背景，融入了数列、三角函数和导数等多个知识点的应用，虽然并非超纲，但一来题目很吓人，读题就心慌，放到考研数学里去也能吓到一大片考生。其次是即使会解题，计算过程也是够复杂，这点很考验大家的心态。尖子生这一次估计也一样犯处。 第一问是等差数列求和，第二问建议直接放弃掉。第三问本质上是以往的倒数与数列不等式题，但首先要能从题干问题中转换出倒数数列不等式问题。

高三六科都弱，总分只有三四百分，怎么学习才能逆袭考上一本？如果你现在六科都弱，主科薄弱，副科拉分，想努力却不知道怎么开始？ 今天这期视频一定要看到最后，教你详细拆分各科复习方法，这些全是逆袭的真实干货，看完直接就能用。逆袭的核心是抓住提分的性价比， 优先强攻主科，在针对性的突破。针对数学可以分基础，精准发力。七十分以下，聚焦几何、概率与统计、数列等基础模块，用专项教辅集中刷题，每个模块至少十道题，错题重做至掌握。 七十到九十分，专攻中档题，稳固函数解析、几何压轴题以及创新题。 我们九十分以上，突破倒数解析几何压轴题以及创新题。十、总结标准答案思路，并且模仿英语主抓词汇加阅读题分最稳妥。九十分以下，先背熟三千五百个词汇，每天四十五到六十分钟， 每天精读一篇阅读，查清生词和长难句。九十分以上的同学，关注熟此生义高级词汇替换专项突破各种题型，用弗兰克林写做法 提升作文。语文需要补基础加勤练习。九十分以下的同学，早读加睡前默写必备的古诗词，每天攻克五个文言文时词，每天一篇阅读真题，每周仿写一篇作文。 九十分以上的同学，上课认真听，不用额外花太多时间纠结。六科都若没有时间补新，高考小三科复分两到三个月就能看到明显的进步，考上一本完全不是空想。

好，各位同学，大家好啊，现在咱们距离今年二零二四年的高考应该是还有二十多天啊，最后的二十天了啊，这个二模呢，基本上也考完了， 进入到最后的冲刺阶段了啊，有些同学呢，现在给我说的是就是冲刺阶段呢，就是没有什么感觉， 没有什么学习方向了啊，就感觉该做的题都已经做了很多了，但是二模的成绩出来之后呢，可能不是很理想，或者是说没有太多学习的动力，不知道该学啥了啊。咱们今天呢，把最后的这段时间需要注意的地方给大家稍微讲一下啊。 嗯，是同时呢，我也会给大家说一说，就是这个立体几何部分，在高考的时候大概的一个考试方向，这个压题呢，重要，重要，重要压的是解题思路，而不是说压具体的 题目，要具要具体的题目的话，因为高考题你很难，是基本上每年的高考题都不可能出现出现过的原题啊，肯定是没有出过的题，没有见过的题，这是肯定的啊，但是他的出题思路和解题方向呢，这个是不会变 啊。所以咱们的这个最后的冲刺压题这一部分呢，咱是从解答题部分开始，从解答题部分开始解答的，因为今年的解答题虽然有可能变 解答第一部分，但是像立体几何，第一个立体几何应该是差没有问题的，第二个是统计概率统计问题，然后呢第三个就是咱们的导数问题， 第四个呢就是圆锥的问题，就这四道大题，应该是考的几率在百分之七八十以上，或者是百分之九十以上， 然后后面的第五个的几率就是这个数列和三角的问题啊，这两个，这尤其是三角函数啊，现在我看大部分的模拟题基基本上都会，嗯，都认为这个题不出，其实数列呢，也不一定啊，基本上这个咱们放在最后再讲， 然后解答题部分讲完了之后呢，咱们再会看一看选填题的部分，咱们尽量能多总结一部分东西的出来，然后方便大家呢来进行 后面的学习。好啊，我们先在这个地方第一个啊，咱们最后的这二十天，大家需要注意的是什么？还是基础的知识啊？还是基础内容比较多，比如说立体几何的基础知识就是平行垂直的证明 啊，这个呢还是比较重要的。为什么这么讲啊？比如说我举个例子，大家现在进行的二模考试，你会发现每个地方的二模考试都开始难度上开始往下降了啊，而且呢，偏向于基础的东西考察， 所以这是一个很明显的一个特点，因为到了最后这段时间，如果大家一味的做难题，那，那么你有可能方向是走偏的，你方向走偏了，那某个知识点，如果，哎，有问题，那我高考的时候就想不起来。 来看这个基数是到底包含什么，到底包含什么？就是首先呢就是平行与垂直的证明与性质。 d 题几何呢？它的解答题当中，这两个是非常重要的东西，比如说平行和垂直，呃，平行呢？比如说我由线和线的平行， 然后我是如何来正线和面的平行， 然后我又是如何正面和面的平行啊？这一系列的基础的判定定理是什么？然后反过来他们的性质又是什么？ 这些基础知识一定要记清楚。比如说我给大家举一个例子，那么线面平行如何推的是线线平行， 这是一个，就甚至有一道题，是吧？高考题，我已经考过了，那么这个点我应该怎么背啊？这个一定要背过啊，有些同学说，哎呀，这个，这个好像没考，我用不上布啊。来看，比方说我 l 和阿尔法是平行的， 那么 l 已经和阿尔法平行了，那么我来问 l 平行于阿尔法面儿的哪些线啊？那个原话是怎么说的？是过 l 的另外一个面儿，背它背它 反面呢？和阿尔法面是相交的，他有一个交线是 lpr 啊，然后呢，这个 l 是平行于 lpr 的啊，这是线面平行的性质啊，这个是经常是大家容易忽略的啊。这个地方我给大家举一个例子啊，举一个例子， 所以说这是一类题啊，经常容易忽略第一个问题，第二个问题就是垂直的部分，那么垂直的部分需要来证哪？需要注意哪些？第一个，我是由线和线的垂直， 然后如何来正的？是线和面的垂直啊，这个应该是好正，是吧？我们这个在讲的时候呢，基本上就是正两个，两个线线垂直能推一个线面垂直，上面一个线线平行能推一个线面平行，对吧？我们简单这么记，然后线面垂直啊，来推的是面和面的垂直， 这个盘点都没有什么问题。那么来看面面垂直推的是线面垂直，线面垂直又推的是星星垂直。在这个地方经常考到的是什么？面面垂直的性质？面面垂直的性质是什么？如果说来看我两个面已经垂直了， alpha 面和 bat 面是垂直的， 那我来看我面面垂直转线面垂的时候怎么怎么转？这个地方重点是胶线问题，对吧？哎，在啊的面里边有一个线和胶线垂直了，那么他就会垂直于贝塔面这个地方的话，这个胶线问题 是非常一个关键的问题。这个在高考当中，嗯，也是今年的高考的一个热点啊，一个热门，我认为是一个比较热点的东西，因为在二零二二年这个高考难度比较难的全国一当中出现了这个交线的利用啊，包括后边的很多模拟型也出现了，这，这是平行 规则的一些技术内容。第二个就是什么呢？我要正间隙的时候啊，间隙的时候什么线面卷、二面卷啊，这些东西呢？比较简单啊，应该这个经常用的话应该是没有问题的，应该没有问题的，但是这个 空间紧急解说当中，我给大家提醒一下，需要注意什么呢？第一个就是我如何用坐标计算，或者用空间相量计算来正平行垂直啊，平行垂直的证明啊，这个坐标法是怎么做的？第二个，什么点到面的距离啊，什么点到面？ 什么线到面啊？什么面和面的距离？这个地方如何来用坐标运算？你背公式也好啊，你是背公式也好，还是 那个理解也好？我的建议是理解啊，就是说这个地方二面角，他们的所有的限量的坐标运算，空间限量坐标运算都是用到了什么呢？用到了反向量， 需要大家对于法学上的理解比较高，这些我说的这些公式大家是不是记得啊？如果不记得的话，你需要来翻一翻你的这个这个这个课本啊，或者是复复习资料，这是第一个大家需要来注意的把，这些地方呢一定要记清楚了，记熟练了。第二个就是常见的题型， 这个常见题型呢是在咱们的这个基础知识之上，你需要来总结的。我给大家举一个例子，最常见的就是咱们这次德州的二模考试当中，考到了一个平行的问题，就是先面平行或者面面平行的证明， 那么来看线面平行的证明当中，我们常见的思路是什么？哎，第一个用的是线线平行对不对？线线平行，而线线平行当中我们常见的是什么？又两个吧，第一个是中位线，三角形的中位线， 第二个用的是平行四边形对不对？但是除了这个方法之外，是不是还有第二个方法叫什么呢？要利用的是面和面的平行， 所以说这次考试就正的是面和面的平行。哎，大家都因为什么中卫线平行四边形考的太多了啊，这时候大家都会去考虑这个东西， 哎，但是这次考的明月平，那么来看我明月平我应该掌握对不对？你不能光背一个吗？那么还有一个是什么？哎，刚才就讲到先面平行的性质，对吧？先和面平行的性质，所以说你这些基础 题型，常见题型还是需要来记忆一下的，你说我光会基础知识，这些题型我不会，那么做起来仍然会很困难啊，比如第一个，这个就是题型的问题。第二个就是垂直的问题。咱们知道在正线面平行，线线平行的垂直当中，其实这个地方并没有真正的题型可以总结， 基本上都是在基础知识上，比如我线面线面垂直，我是需要来挣两个线线垂直，对吧？但是在这个地方 最常见的问题，最常见问题，第一个是什么？勾股定理，对吧？勾股定理是在这个地方最常见的啊。第二个是线面垂直，现在又加入进来了这个三角函数， 这个呢，我也认为是一个比较热门的东西，利用三角函数来正垂直，利用三角函数来求边长，然后进股股定理来正垂直啊，因为呢，因为今年的三角函数这道题答题可能是没有了， 它最容易结合的，或是可能结合的就是立体几何啊，它两个结合起来还是比较完美的。第一个，第二个就是刚才我讲的面面垂直， 面面垂直呢，这个也是在二零刚才讲了二零二二年的高考当中出现了这个问题，这近年来很多模拟题也出现这个，我面面垂直就是什么意思呢？来看我这里有两个面是垂直的啊，假如说这两个面是垂直的， 这两面垂直完了之后呢，给的这个条件我用不上，为什么呢？因为你会发现，哎，我没有线和这个交线是垂直的，那么这个时候怎么办？你需要来构造一个啊，我要做一个垂直啊。这种题在二十年之前呢，咱们的 那证明当中是比较少见的啊，不太多见。所以说第二个就是常见题型的啊，这个地方一个总结，这个题型的总结基本上 主要集中在平行和垂直的证明当中啊，好了，第三个啊，第三个，除了这些常见的题型，或者已经考过很多次的题型之外，还有一些特殊的方法，特殊的做法， 这个特殊做法是什么？也叫做特殊题型，也就是说这两年之内经常出现的。第一个就是间隙的问题，或者易错，都可以这么理解， 间隙的问题主要体现在什么地方呢？现在来看，我们间隙的过程当中，会发现在间隙的时候有些点并不在坐标轴上，比如说我们来看，我们举一个简单的例子，假如说我这里有一个三角形是这样的， 我们举一个最简单的， a、 b、 c 是一个等边三角形，那么我间隙的时候呢，偏偏需要在 a 点呢，我建个标志， 比如这里是 x， 这里是 y 啊，比如说边上都是一，那么来看我 a 点坐标零零零，嗯， b 点坐标呢？就是这个一零零，那么我四点坐标做不出来，对吧？四点坐标不在坐标桌上，我看不清楚，就是我直接看，看不出来，那怎么办？呦，你要知道做的是方法哎，往这做垂直，往这做垂直， 所以这个呢，对于这种题目还是要多练一练的，就是点布在坐标轮上啊，要多练有的是哎，老师，这个我没问题，那么你如果没问题的话，你可以看一看这次德州的二模啊，这是烟台和德州的二模。这个立体几何第二位有多少同学能做对？很多同学都卡在了间隙的一个问题上 啊，间隙就没间出来，为什么呢？因为不是常见的啊，所以这个地方要多练一下，要练习一下，练习啊，这个地方呢，咱们的 学案上呢，会给大家来写一写啊，就是常见的，我已经给大家挑好了，第一个是这个间隙，第二个就是动点的问题， 动点的问题以及最直的问题啊，这两个呢，其实我把它合成一个问题，来给大家来简单说一下动点的问题，最主要的就是什么呢？比如说啊，我们这里来看，我这里在空间当中有一个 a、 b 两个点， 我 a 点坐标呢，比如说是幺幺幺，随便写啊， b 点坐标呢？比如说是负二，零和零和二吧。 好了，我在 a b 上有一个点 c 啊，这个点 c 也是一个动点，让你来确定点 c 的位置，或者是问你 a c 比 c b 等于 lam 的， lam 的等于多少？那我来看这个时候我 c 点怎么设？我设点的问题，动点的话，最大的问题就是设点 射点问题，那我们知道我射的时候是限量 a c 等于栏目的倍的 a b， 对吧？ 那么好了，袁同学老师，我这个设的时候，我直接设 c 点，这个 x、 y、 z 或者是 a、 b、 c， 那么你想一想，你如果设成 a、 b、 c 的话，你出现了多少个未知数？出现了三个未知数对不对？那么你三个未知数，你解放程，你得需要 接出来三个方程啊，这个地方当然也可以啊，也不是不行，然后你再结合这个就是了呗，对不对？能得到 a、 b、 c 的关系，但是我们来看，在这个地方，你最好是把点 c 的坐标用栏目的来表示，你比如说我后边求最直了 啊，我动点和最值一结合，那你这个题如果说你设出来三个未知数，你要求最值，那这肯定是不好求的，对不对？那我来看我怎么设呢？就是说我把点 c 的坐标不是 a b c 来看，这个限量 a c 是什么？限量 a c 的话，就是一个 a 减一， b 减一， c 减一，它等于什么呢？它等于 lam 的倍的负三负一和一。好，你们看啊，这样我解出来这个 a 直接就是一减三， lam 的， 这个 b 就等于一减 lam 的，这个 c 应该等于一加 lam 的。哎，你们来看我们这样的话，哎，这个 c 点坐标我就可以用 呃，一个位置数来表示出来了啊。然后呢，你方便你后边求位置啊，方便后边求位置，这是第二个地方需要说的。第三个就是刚才我已经强调过的。强调过的什么呢？强调过的咱们的这个与限量结合的问题啊，三角函数，第一个 是与三角的结合，三角函数啊，这个地方它的结合呢，多半是正弦定理和余弦定理，比如求边长啊，求面积的时候都少啊，面积偶偶尔可能会求到，一般是求边长的问题啊，边长的问题利用的是正弦和余弦啊， 这个大家见过了之后呢，可能就会好一些啊。证件和预选，第二个就是与项量的结合， 与项链的结合，这个有的时候呢，让你来证明啊，比如说，比如我们前面经常见的，是吧？在正方形当中，哎，这里呢，来一个终点，比如这里呢，我来一个三等分点， 那我来看，假如说我举一个例子啊，假如他是垂直啊或什么东西，我如何来正？这个时候呢？还是用的是向量法或者是平行，这个是都可以的， 所以说对于这种题型啊，大家呢还是要练一练的啊，这些题型呢，咱们基本上都总结在咱们的这个学院里边啊，都会都会出现。好，这是咱们讲到的这个啊，前面几个问题，然后来看第四个问题，也是大家最为 关心的问题，就是什么呢？高考的方向在于这个，老师你讲了半天，那我押题的方向是什么？考试的方向是什么？押题到底是押什么 啊？方向问题。首先我们来看啊，这个圈我们的，我感觉今年的话，第一问不会让你再间隙了，因为二三年的时候，二零二三年的第一问的平行垂直就已经考了，间隙 通过来间隙来正平行或正垂直，我觉得今年应该不会再考了啊，因为这么考的话题目确实是比较简单的啊，也比较好做，对吧？直接一一阵计算就可以了。所以说今年应该是会归平行和垂直的证明。 那么来看，这个证明过程当中，有同学就会问老师，这个平行垂直到底会正选，正会考啥呢啊？到底会考哪一个？ 我感觉平行和垂直从往年的这个技术上来看，平行和垂直应该都会考啊，只不过有一个考的明显，有一个考的不明显，有的可能说就是让你正这个面面垂直是或者就让你正这个平行，但是里边肯定还会用到平行和垂直， 这两个应该是都考，应该是都考，所以说大家准备的时候，这两个千万不要偏啊，有些同学说，老师一般正考垂直的时候比较多啊，这个我也承认，确实考垂直的时候比较多，但是平行一定不考吗？ 不凭野考，他只不过隐含在其中而已。这是第一个第一问啊，第一问，我觉得今年间隙证明啊，这个应该是考的几率不大了，因为只要是考的话，那我就间隙直接做不就行了吗？对吧？来看第二个啊，第二个， 第二个就是说第二问到底是考什么的，就是第二问的这个求角的问题，求二面角，求线面角的问题啊，我到底是求最值啊，还是求位还是看位置啊？还是常见的就是求个角或是已知一个角，然后求另外一个角。那么来看，这个时候我感觉还是要看一看题号的，问题到底是在哪个题号。 那现在来看，大部分的估计的话，应该是立体解说，在十六题和十七题啊，这两个题的可能性居多，就是什么呢？在解答题第二个或者第三个来考啊， 第二个和第三个来考。哎，如果说啊，如果说是第十六题的话，一般不会太难啊。如果是第十六题的话，估计啊，就是考一个普通的二面角，但是呢，见细呢，可能不太好见啊，这种是有可能的， 就是普通题啊，但是间隙呢，需要就是刚才咱们讲那个有几个点不在坐标轴上，但是如果考到了十七题啊，这个时候很有可能考动点了，就求位置动点，求位置 动点的几率是比较高的，动点的几率是比较高的，所以这个要看他具体的题要考在哪里，但是有些同学老师有没有可能考第十五题，也是第一个解答题，这个也有可能，但是几率不高 啊，从现在来看的话，几率是不高的啊，因为今年的的毕竟是第一年改革他这个解答题的，甚至这个题型那些都都都确定不了啊，但是呢，这个时候可以参照一下 哪一年呢？可以参照一下二零二零年。二零二零年山东高考，第一年 就是山东高考，二零二零年的时候，山东高考是第一年牵扯到了全国一的改革，那一年是山东自己出的题啊，因为在二零一九年的时候呢，大家还都是停留在文理分开时代，二零二零年是第一年开始文理合并，那么那个时候 啊，在那一年的时候就是在考试之前，当时大概是在十二月份，我印象很深，十二月份 考了一次全省的统一模拟题，注意是全省统一的模拟题，而那一年的模拟题就是作为高考题的一个模拟，而且题型模拟的非常像啊，基本上变化不大。那么参照今年 二零二四年了，那么二零二四年在这个去年的时候啊，当时所谓的九省联考，或者是所谓的九省联考，对吧？那么九省联考是现在大家得到的唯一一次比较正式的，就教育部可能是 举行的，咱们当时全国一的山东的同学都没重视，因为他毕竟是给这个全国二的准备的，后来才说到要跟跟这个考试一样，然后 到了春节之后，咱们山东的考生才会才拿到了什么十九题的一个结构，对吧？才正式通知。所以说我们要结合这两年的这个情况，可以看一看九省联考。九省联考的这个他的推荐性非常强，就是他的这个，这个这个指导意义是非常强烈的 啊，就看一下二零年的时候啊，我现在这个大范围猜测是这个样子，所以说如果这么猜测的话啊， 一盒呢？刚才这几个方向大概就是这个样子。好了，我们来看第五个问题，咱们最后这段时间应该做什么？包括就是学院的问题，就是我要练哪些题，练哪些题啊？我推荐给大家，是第一个要做高考题， 高考题是最像高考题了，对吧？哈哈，那叫做真题啊，那叫做真题。好，我们来看，我给大家来看一看，这个，这个，这个， 我做的这个学啊，就说高考题我可以做一做，比如说二三年的，因为我们这边咱们现在是给全国一的同学准备的 二零二三年，一，全国一，然后呢？全国假，对吧？二零二二年的，全国一，二二年，我比较推荐二二年挺比较难啊，全国一，全国假，这个二零二一年啊，全国一和 全国奖，二零二零年啊，全国，这是山东卷，山东卷就是全国意啊，我们来看这看这四年就可以再往前看，我觉得这个意义可能就没有那么大， 因为这个时候是新课，就是新高考的这四年山东统统经历了，这是第一个我们高考题，最起码你要把这四年的题背的不能说滚瓜烂熟吧？他们考的知识点，他的考试方式，他的方方式，你一定要非常非常熟练， 这个是在这个地方给大家的建议，然后除此之外，那么我很我们还需要，还需要这个这个复习哪些还需要来做哪些？剩下这些来看，我挑的都就是一些啊，各个地方的模拟试卷了， 就是模拟题当中，我认为是比较啊，跟咱们这个高考题，或者是说各个方面的各种题型啊，我往前说， 比如说像这个啊，各个地方的模拟题啊，就是模拟题当中啊，你不光是山东的，也也有其他地方的，像湖北的，广东的，就是齐鲁名校，大连海，包括杭州的， 这个杭州店很有名，对吧？杭州店，因为去年的时候，这个咱知道统计概率的马尔克夫恋他们在这个杭州二模的时候好像出道了， 出道了做过类似的，当时这个考完了之后，很多这个浙江的同学去年这个数学成绩考的比较好，对吧？啊，这个，哈哈，所以说也是引起重视啊，引起重视 啊，然后咱们这个学院呢，肯定会随着这个时间的，还会要补充啊，不光不光是这么多，因为后面的话呢，各个地方的这个二模考试呢，还在还会有进行，那么这个进行过程当中呢，我还会再挑一挑啊，看一看哪些地方呢，还是值得大家借鉴一下。 这个就是模拟题，一模二模拟题，其实一模拟题呢，题目还是要难一些，二模拟题大家都回归基础了，模拟题基本上是咱们最重要的两种题型，那么除此之外，除此之外，老师你有有没有出押题， 押题的这个可能性，包括有些同学在网上买到的各种押题卷，或者书店里买到的押题卷，或各种渠道来的押题卷。押题的话我不是很推荐啊，押题的话不是很推荐，因为押题这个东西你不能押具体的东西还是押题型还是比较靠谱的。可能比如说， 嗯，像今年考完了，我们可能看看今年的高考题，很像哪一个地方的那个模拟题，或者哪个点考到，或者是哪几个地方的模拟题，这个是很有可能，你说哪个地方考到原题是不行的啊？这个是完全没有可能的啊，完全没有可能，这个大家应该是 知道的，应该知道，因为，呃，就是去年那个，那个那个就是高考这个作弊情况，对吧？他拿作业帮一搜，一搜的话，这个后台马上就发现这个题从来没出过，就是当时的高考题，所以马上就把那个人举报了啊，所以这个肯定是没有见过的，肯定是没有见过，但是方向的话是好压的， 刚才所以说我们这个课程呢，重点还是压的这个，这个方向，解题思路、题型 这些东西呢是一个重点。如果说我们，比如说我今天就是确定又考面面垂直，面面垂直就是考错辅助线 啊，那你如果有这个思路，那就很可以了，对不对？那就很可以了。比如第二个，那我就是考求最值啊，我就是那个设动点怎么来？在这个，我这个 z 轴怎么设？我这 x y 轴怎么设？如果考到类似的东西啊，这个做起来也会很轻松啊。这是然后呢？ 第一，最后一个问题给大家说一下啊，就是报课的问题，有些同学他说，哎，老师，咱这个课怎么上啊？这个大家跟我私聊就可以了啊。我的建议是如果有有有条件的话啊，这个东西不一定有，这个东西不一定就是学院的，你们可以找我要啊，有问题的也可以问我啊， 如果有条件的朋友呢，可以来加我一下，然后了解一下。 book 啊，就是因为最后的时间了，对不对？最后的时间，然后呢，再有一个就是后续的内容， 后续的有立体几何内容，我会，嗯，逐步推出啊，会逐步推出啊，就是尽量吧，尽量多发一点内容啊。大家也知道，因为高考时间确实是时间比较紧张，时间比较紧张，不管是同学们比较紧张， 我的时间也比较紧张。好吧，这个就是咱们讲到的有关立体几何的这些部分，然后后面呢，我们会逐步开始讲 统计概率、导数、延时曲线，包括后面的这个这个选填题，选填题呢，其实他今年变化也会很大，大家一定要注意，选填题的变化也会很大，你们在做模拟题的时候就已经感受到了，所以说今年对于每一位考生的挑战还是比较大的。但是呢，我感觉今年题型 的难度计算量应该是会往下降啊，计算量是会往下降，但是灵活程度应该是会提升，所以说这个时候要求大家基础比较好， 基础的题型，基础的解题方法，基基础的解题思路，或者常见的解题思路啊，这个一般他不太会变，变得不会太多 啊，甚至包括咱们的十九题啊，十九题我是不是要准备我准备哪些东西啊？这个呢，咱们再等等，再等等再讲，因为这个东西确实学好的经历比较多啊。到最后的时候呢，我会给大家讲到这个，比如第十九题，我 准备的时候有可能准备哪些，但是这个基本上就是我觉得准确率是比较低的，只能说大概介绍一下方向而已，好吧？这是咱们介绍的有关立体几何这一部分内容。