六下北师大数学一课一练基础题

情形是，一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽两厘米，直径一点二米。前轮转动一周，压路机的面积是多少平方米？这幅图当中的橙色部分就是压路的面积，剪回去发现它其实就是这个圆柱的 侧面积。侧面积该怎么计算呢？没错，就需要用底面周长乘上高。底面周长又该怎么计算呢？底面周长的计算公式为派地，所以先需要知道 直径，知道直径为一点二，可以先算出里面周长，再乘上高。轮廓的这两厘米其实就是这个圆柱的高，就再乘上二，算出压路机所滚过的面积就为七点五三六平方米。

今天提示，有一张长方形的塑料板，利用图中的图色部分，刚好能做成一个圆柱形的带盖水桶，接头处忽略不计，求这个水桶的表面积。我们已知信息只有一个，为十六点五六分米，是 这个长方形的长。这个长方形的长由哪些部分组成呢？没错，分别有一条长边和一个圆的直径，这条边 是等会。今天请示，有一张圆柱形塑料板，利用图中的图线部分，刚好能做成一个圆柱形的带盖水桶，接头处忽略不计，求这个水桶的表面积。已知信息只有一个， 为十六点五六分米，是这个长方形的长。这长方形的长由两个部分组成，一个是这一小条，它为圆柱的直径，还有是这一条，这应该是这个 圆柱形水桶的侧面积，它的侧面积一条应该是底面周长，一条应该是高。底面周长应该得是直径的三倍多一点，这一条只有直径的两倍，所以这条就只能是高。那么这条长边就应该是底面周长了。 底面周长加上直径等于十六点五六，底面周长为派 d， 再加上一个 d， 等于十六点五六，我们可以解出 d， 也就是直径。用十六点五六除以三点一四加一，这里是 四点一四，算出直径为四分米，要求出水桶的表面积，需要用这两个圆加上一个侧面积，所以需要算出半径，用四除以二，算出半径为 两分米，现在就可以算出表面积了，用三点一四乘上半径的平方，再乘上侧面积。侧面积要用底面周长乘上高 体面周长，需要用派 d， 所以 直接乘上直径，再乘上它的高，高为两条，直径是四乘二， 后面是三十二派，前面是八派，加在一起刚好是四十派，也就是一百二十五点六平方分米。

今天题目是一顶厨师帽，径似圆柱形，高三十厘米，帽顶直径二十厘米。这样一顶帽子大约需要多少面料得数，保留整十数，问的是需要多少面料。但实际上看到这顶厨师帽，其实想要考察我们的是圆柱的表面积，但是 因为这是一顶厨师帽，所以它的底面应该只有一个，如果上下两个底面积头就戴不进去了，那么这个厨师帽它的表面积就为一个底面积， 再加上一个侧面机。先算底面积，用三点一四乘上半径。 由于直径为二十，所以半径就为十十的平方，再加上侧面积，侧面积用底面周长再乘上高，先算底面周长，底面周长，用派乘直径，也就是派 d， 最后再乘上高为三十厘米， 先算出这个算式的得数为二一九八平方厘米。 由于题目需要让我们保留整时数，所以把它约等于为两千两百平方厘米。

北师大版六年级下册数学同步培优练习册一课一练精准对接新课标和考试要求，按课时划分，从基础训练 到能力提升循序渐进，让学生在解决问题的过程中夯实基础，实现学一课、练一课、会一课。同时提供重难点聚焦单元、重难点与高频易错题型，帮助学生 突破学习瓶颈，巩固核心能力。配套单元过关卷用于阶段性评估学习效果，查漏补缺。通过新情境体训练，帮助学生适应最新命题趋势，提升应试能力。

本市大版六年级下册数学同步练习册配中南一缩练配测评卷，内容配套本市大版教材目录第一单元宇宙圆锥第一课时面对旋转填空选择思维强化， 课时同步，也可以练体音，丰富，重难点知识点全面包含，帮助学生巩固基础，随堂训练。通过这款数学同步练习册，帮助学生预习复习，查漏补缺，拍一本发三本。

开学了，北师大版六年级的孩子看过来，这本数学同步练习册来了，书中包含一书一册，还有一份试卷，全才印刷，大开本设计 仅扣六年级数学课本教材，让孩子们学完一个课时，就来及时的去检测一下每个课时提醒吩咐有基础填空、有判断、有选择、有应用等，让孩子们逐步复习 每个单元还有达标作业来综合检测。重难易错练，里面包含了各个单元的重点题型和易错题型，更有举一反三等，不怕孩子们遇到难题，遇到不会的题。 更有一本试卷，让孩子们来检测单元期中、期末等学习成果，让孩子提前适应考场的各个题型内容，参考答案单独成册，便于学生自查自纠，家长辅导更放心。这本本是大版六年级下册同步练习册，是专为孩子们量身打造的，日常练习好帮手， 因为他不会的题、重难点的题，都有微课讲解，通过名师的指导，孩子们也会遇到问题迎刃而解。

本市大版六年级下册数学同步练习册，含盖一书一册，一卷一答案，同步最新教材，通过新请进题三步列，全面提升数学能力。 课后练习册全书六十八页，按课时训练，每课基础天天练，素养步步高，随题扎实，课时知识点同时拓展提升。单元达标作业综合检测，聚焦重难通关、 易错精练，还有举一反三，助力孩子轻松攻克数学薄弱环节。单元过关卷包含单元期中、期末卷，阶段性检验学习成果参考答案单独成册，方便孩子自主核对。

六年级下第一单元，圆柱与圆锥，我们来看一道相关问题，一个圆锥形的小麦堆，底面直径是六米，高是一点五米， 现在把这堆小麦全部装入一个底面半径为三米的圆柱形的量臀内，结果只装了量臀容积的五分之二，那么该量臀高是多少米？ 好，我们首先先来分析他这道题，那么他是把这堆小麦装到一个圆柱形的桶里边，那么这堆小麦的体积我们是不是首先可以算出来，对吧？因为他给了我们这个直径，也就半径给了高。好，那我们算出来这个 体积了以后，他说了这些体积是占圆柱的五分之二。好，那我们是不是可以用量律对应用除法，用我们算的量除上率，是不是就可以把整个这个圆柱它的体积算出来， 那圆柱的体积出来了，圆柱的半径有了，那么圆柱的高我们是不是可以算出来了，对吧？好，我们来写一下。好，首先是这个小麦堆的啊，就圆锥形的，那么它的体积呢？就是三分之一乘上三点一四，乘上一个 r 方， 而他的直径是六，那么他的半径是不是就是三，对不对？平方，好，然后再乘上他的高是一点五，一定注意一下啊，单位是统一的。好，然后这个算下来以后等于十四点一三， 别忘了单位立方米，好，然后呢，这个是占圆柱桶的五分之二，对不对？好，那么用量律对应用除法就可以把单位一，也就是圆柱它的体积算出来。 好，除以五分之二，那么我们算下来以后等于三十五点三二五立方米。好，最后他问的是这个圆柱的高，那么体积有了，半径有了那么高 体积除上它的底面积，底面积三点一四，乘上半径的平方。 好，最后我们算下来等于一点二五米。好了，那么这道题我们就做完了，那么同学们不要忘了作答一下。

北师版数学同步练习册来了，专门针对六年级下学期，这是一款课后练习，每天学完之后及时巩固，帮助孩子复习。培优一本练习册，一本重难点，一套测试卷加答案， 多角度复习课堂知识，还是与北师版教材内容配套使用的。按课时练习，基础天天练，素养步步高。逐级复习，每单元有达标作业。综合检测， 中南已错恋，中南通关已错经恋。还有举一反三，不怕遇到难题，过关卷翻原，其中期末卷阶段检验学习成果。

六年级下第一单元圆柱与圆锥，我们来看一道相关问题，如果一个装满小麦的粮屯就这个啊，已知呢？圆柱的底面直径是四米，高是四点五米，圆锥的高是圆柱的五分之二， 那么如果每一平方米小麦约重七百五十千克，那么这个粮屯他的小麦大概要重多少千克？ 那么其实这道题呢，就是让我们来算这个圆柱加上圆锥的总体积，对吧？体积算出来了以后，乘上每平方米七百五，那就是总共的千克数。好，我们来算等于圆柱加圆锥，圆柱的体积等于 pi r 方 h 三点一四乘上圆柱的直径是四，那半径就是二二的平方，还是四，高是四点五。 好，那么这个是圆柱的。然后我们来看圆锥的，圆锥的话也是一样，三点一四乘上四，再乘上高，他说了圆锥的高是圆柱的五分之二，那是不是就是四点五乘上五分之二，别忘了还有一个三分之一。 好了，那我们来算一下这个啊，这个计算的结果，五十六点五二，后面这个是七点 五三六，最后加在一起等于六十四点零五六单位平方米。好了，他最后问的是重量，小麦的重量就等于体积乘上千克数， 七百五十千克，好，最后我们算下来等于四万八千零四十二千克，好，最后不要忘了作答一下。

新学期开学了，咱们六年级下册的数学课课念呢，我还是一如既往的选择了小学必刷题。前六上这本呢，我们已经全部刷完了。老粉知道，五年级下学期的时候，我家孩子数学考的特别差，之前一直放养没有怎么抓，成绩一出来真的是给我急坏了。 后来六上的时候呢，我是专门去问了一个当老师的朋友，我把孩子情况跟他一说，他直接给我推荐的就是这本小学必刷题。经过六上一学期刷下来，孩子的数学进步呢特别明显，直接从 b 提升到 a。 所以 这学期啊，我毫不犹豫的继续用它。它是跟课本完全同步，按课时设计， 每课时分三个板块，刷基础、刷提升，刷素养，提量不大。少娃精，孩子做起来不抵触不费劲。要是孩子学有余力呢，还搭配了一本狂 k 难题，他专门是做思维培优的，里面的例题呢，讲解思路特别清晰，不止给答案，还有思路分析方法指导，孩子一看就懂。 最省心的是，他的答案超级详细，是批注式的参考答案，每一题都有完整解析和解析步骤，家长辅导也不用愁。还有配套的情境式评价卷单元，学完可以诊断验收，查漏补缺，特别实用。 所以这学期我一边抓孩子计算基础，一边继续同步做必刷题。想稳扎稳打把六年级数学成绩抓牢的家长，真的可以试一试这套。

好，我们现在上第二堂课，圆柱的表面积的第一课时， 那么在上这堂课之前，我们准备如下的学具，找一找圆柱形的物体，自备。 a 四纸、剪刀、胶条、笔、直尺，并把一张纸围成圆柱形的圆筒。同学们准备好了吗？ 好，那么我们还是上课之前先预学思考这样的问题，观察一下圆柱它的侧面是什么图形呢？ 我们带着这样的问题，我们去解决这样的问题，做一个圆柱形的纸盒，这个圆柱形纸盒呢是底面，是半径为十厘米的圆高是三十厘米。那么做这样的纸盒到底用多少张纸呢？到底用多多少纸呢？ 说说你是怎么想的？好，这位同学说，到底用了多少纸，实际上就是求圆柱的表面积，也就是求圆柱的两个底面面积和一个侧面面积的，和，大家同意吗？ 大家都同意，但是问题就来了，两个底面面积很容易求出来，因为是圆的面积，但是它的侧面是一个曲面图形，我应该怎么求呢？ 就回到了我们刚开始的预习的问题，圆柱的侧面到底是什么样的图形？我们应该怎么求它的面积？ 同学们想一想，我们应该怎么解决这个问题？好，有人就说，老师我刚好有一个用纸围成的圆柱形的纸筒，我们把它剪一剪，看看是什么样的图形。 好，我们接下来就探讨圆柱侧面展开图是怎样的一个图形，同学们请动手试一试。好，我们看一下这位同学的分享。圆柱的侧面沿着高线剪开， 展开后得到一个长方形， 我是把圆柱沿着直尺边缘滚动一周，圆柱的侧面印下的区域是一个这样的长方形，因此我也认为圆柱的侧面 展开之后应该是一个这样的长方形。好，所以刚刚这两位同学是怎么展开圆柱的侧面呢？ 他们都是沿着高线剪开进行，圆柱的侧面展开的时候，他们发现这个展开后的图形是一个长方形，那么这个长方形的面积我们应该怎么求呢？ 请你想一想，圆柱侧面展开图与圆柱之间有什么样的关系？我们应该怎么求这个侧面积？好，我们看这些同学的分享。 这是我刚才剪开的圆柱侧面展开图，这个长方形的长正好可以围绕茶叶桶底面一圈，所以长方形的长就等于圆柱的底面周长， 而这个长方形的宽正好与圆柱的高相等，因此长方形的宽就等于圆柱的高， 长方形的面积等于长乘宽，所以圆柱的侧面积就等于底面周长乘高。 在圆柱形的胶带卷的底部做这样的一个标记，然后在长方形的侧面展开图中将其沿着边缘滚动， 发现圆柱底面正好可以转一周，因此我们认为长方形的长 就是长方形的长。大家可以看到是这个部分就是圆柱的底面周长这个部分滚动周过程中，我们也发现长方形的宽，也就是这个部分 是胶带的高，我指的高是指的是他这么放着的时候他的高。 因为长方形的面积等于长乘宽， 所以我们可以推导出圆柱的侧面就是他的底面周长 成高。好，感谢两位同学的分享，那么我们称圆柱的侧面面积为圆柱的侧面积。好，那么谁来总结一下这两位同学探讨的过程和方法呢？我们听一听这位同学的总结， 他们都是将圆柱的侧面展开变变成了一个长方形， 那么长方形的长就是圆柱体的底面周长，而长方形的宽就是圆柱体的高， 所以长方形的面积按照公式是一个长乘宽，那么把长转化成圆柱体的底面周长，把长方形的宽 转化成圆柱体的高，那么这个长方形的面积长乘宽就转化成了圆柱的侧面积，是底面周长成高。 那么我们用 s 测来表示圆柱的侧面积的时候，那么圆柱的侧面就是底面周长成高，高是 h， 底面周长就是底面圆的周长是 c， 那么这个周长 c 就 等于派 d 或者是二派 r， 所以 我们就能得出圆柱的侧面积就是派 d h 或者是二派 r h， 我 们可以做这样的一个总结。 那么在我们这样推导圆柱的侧面展开图与圆柱之间关系的时候，这里实际上有一个数学当中特别重要的一个思想在里面， 就是把一个曲面转化成平面来研究，所以就涉及到我们的数学中特别重要的转化思想。 那么通过侧面展开的方式，我们把不知道应该怎么求的曲面转化成了我们可以求的平面的图形，相当于把未知转化成了简单的问题。 那么在以后在学习类似的问题，在解决类似问题的时候，希望同学们也能灵活的运用这种转化的思想，把复杂问题转化成简单的问题，把未知的问题转化成已知的问题。 那么学到这里，同学们，你们还能提出新的问题吗？好，有同学就提出这样的问题，老师我现在明白了。沿着高线展开，圆柱的侧面展开图是长方形，反过来讲，长方形能围成圆柱， 但是老师我发现正方形能不能围成圆柱呀？同学们试一试，看正方形能不能围成圆柱，是可以围成圆柱的，所以这位同学就说了一个这样的问题，圆柱的侧面展开图是不是也可以是正方形？ 那么这时候这两者之间有什么关系？什么样的圆柱侧面展开图是正方形呢？ 这是一个非常好的问题，我们可以课后继续探讨。还有一个同学提出的是这样的问题， 我们刚刚研究侧面展开图的时候，我们都是沿着高线展开，那么我不沿着高线展开，我这样剪开的时候，它的侧面展开图又会是什么图形呢？ 我们课后继续探讨这个问题，那么最后我们来解决这个问题。现在你知道了圆柱的侧面怎么求？那么你能解决这个问题吗？ 我们一起算一算，看这位同学计算的过程。圆柱的表面面积可以分为两部分，一个是侧面的面积，一个是底面的面积。 它的侧面的面积等于底面的周长乘以高高，也就是三十厘米，它的底面的面积也就是一个圆，它的半径是十厘米， 所以它的直径是二十厘米。二十厘米乘以三二一四，再乘以它的高也就是一千八百八十四平方厘米。它的底面面积是两个 圆，那那两个圆的半径为十厘米，所以是三点一四乘以十的平方，再乘以二，就等于六点六六百二十八平方厘米，所以它的表面积是是一千八百八十四，再加上六百二十八，也就等于 两千五百一十二平方厘米，所以他至少需要两千五百一十二平方厘米的纸板。好，同学们，大家都同意吗？好，这堂课我们马上要结束了，那么通过这堂课的学习，你收获了什么？ 有人说我收获了，怎么求圆柱的侧面积？我学会了它的推导过程，有人说我学会了圆柱的表面积的公式， 你还有什么样的收获？欢迎大家在课下线上线下一起交流，我们这一堂课收获了什么？ 那么最后也不要忘记，我们还新发现了，新提出了这样的问题，那么圆柱的侧面展开图除了长方形和正方形之外，还可能是什么图形呢？ 如果不沿着高剪开，像这样斜着剪开的时候，他的侧面展开图又会是什么图形呢？ 这样提的问题非常的好，那么老师希望同学们在学习的过程当中，不只是学习知识，而是在善学习过程当中，善于思考，不断发现新的问题，提出新的问题， 这样才能保证我们对学习始终保持一种好奇心和旺盛的研究的这种欲望，最后能使得我们的学习能够走向深度和广度。 那么最后我们来做这样的一个练习，看第一题，当圆柱沿着这个高剪开的时候，它是一个 哎，它是一个正方形，那么上面最后的圆柱沿着高线剪开的时候是长方形，那么中间圆锥沿着高线剪开会是什么样的图形呢？ 是一个善行。我们再看这样的问题，现在你能解决这样的问题吗？ 好，今天的课我们到此结束，我们停课不停学。希望同学们在家里也能健康的学习。我们疫情结束后，我们学校再见。

六年级下册同步练习册语文全国适用数学分为人教版和北师大版，英语配套人教 p e p 版。一课一练， 紧跟课堂教学进度，包含生字词、句子、课文理解、阅读理解等丰富题型，精准对接新课标和考试要求， 从基础训练到能力提升，循序渐进，通过新情境题训练，帮助学生适应最新命题趋势， 提升应试能力。搭配单元过关卷，阶段性评估学习效果，查漏补缺，聚焦高频考点和易错点，题型丰富多样，全面巩固课堂所学。

本市大版六年级下册数学口算题优训练内容配套本市大版教材目录第一单元圆珠圆锥口算填空连一连，教材同步，课文衔接，及时打卡，每天一练，帮助学生巩固基础，制作课堂所需，提升核心素养。 这款口算题内容丰富，包含易错题、数式托式解方程，帮助学生重要突破。课后附有参考答案供参考。

北师大版六年级下册应用题卡天天练，内容配套，北师大版第一单元圆珠与圆锥。某题精讲，某题审题，关键思路分析，规范解答，举一反三，子题精练，边学边练，讲练结合，内容丰富，包含高频考题、易错题、拓展题、财神一刷，对应课本， 帮助学生巩固基础。每天一练，吃透课堂所学，提升核心素养，帮助学生强化练习。课后附有参考答案供参考。

我们来看圆柱的体积，说到圆柱的体积，其实在生活中我们是经常会遇到类似的问题的，比如 小到我们的水杯，因为水杯大多是设计成圆柱形的，那么这样的一个杯子能装多少毫升的水呢？大到土木工程中，这样大的柱子，像这么粗的柱子又需要多少毫米的木材呢？ 其实这些都是要解决和圆柱体体积有关的问题，那么究竟圆柱的体积可以怎样列式计算得到呢？这就是我们接下来要面对的新问题。 不过面对新问题的时候，同学们汤老师想提醒大家，我们不要着急，盲目的开始进行尝试，因为那样可能会走一些不必要的弯路。 我们不如和我们已经知道的一些旧知识进行联系，假如新问题和旧知识之间存在着一定的联系，那么旧知识就可以帮我们来解决新问题了。 那显然和体积有关的旧知识是我们五年级曾经学习过的长正方体的体积， 当时我们研究已经发现，长方体和正方体的体积都可以通过底面积乘高来得到，也就是 v 等于 s h， 那圆柱体它也有底面积和高，会不会它的体积也与底面积和高存在着密切联系呢？像这样的疑问啊，我们把它称为数学当中的猜想，那么既然是猜，说明现在我们还拿不准， 那么其中一个主要原因我想就是圆柱的它的形状和长正方体的形状是明显不一样的。 不过说到形状，我们再来回顾一下曾经在六年级学习圆的面积的时候，我们当时是怎么研究的呢？ 其中有一个方法就是将圆沿直径先二等分，把其中的一部分比如说做八等分，另一部分做相同的八等分， 这样我们会看到整个圆被平均分成了十六份，那么每一个小的扇形都是大小形状相同的，自然它们的弧长也是相等的。那假如把这个圆等分的分数增加到三十二份呢？ 那么它的弧每一个小扇形的弧就会成为刚才那个弧的二分之一，长度虽然短了，但是我们可以想象它的形态会更加的接近直边。 如果我们将这些小的扇形像这样拼接起来，就将圆转化成了一个近似的平行四边形。 当我们把圆等分的份数趋近于无穷多的时候，我们就可以将这个圆最终转化成一个长方形，实现了画趋为直的过程。你都想起来了吗？ 那么在这个转化过程中，显然圆的形状也改变成了一个长方形的形状， 但是圆的面积却没有发生变化。同学们，那请问圆柱体能不能也转化成一个只让它形状改变，体积却不改变的一个立体图形呢？ 接下来汤老师就和同学们一起分享一个将圆柱体转化的逐渐的一个过程。我们来看， 首先我们沿圆柱的底面直径垂直于底面，将它切开，这样就形成了体积相等的两部分， 然后我们把其中的一部分八等分，另一部分呢做同样的八等分，然后把把它们拼在一起，就是这个样子， 相当于一共进行了十六等分。我们看一下拼出来会得到一个什么样的立体图形呢？ 显然我们得到了一个近似的长方体，那如果一开始汤老师是将每一部分都做十六等分，也就是一共有三十二等分呢？ 那如果用同样的方式再来拼在一起，我们看到的拼出来的立体图形 怎么样？同学们是不是比刚才更接近长方体了？顺着这个思路，我们假如把每一部分都做三十二等分，也就是一共六十四等分， 再把它们拼接起来，显然我们得到的这个立体图形就又向长方体迈进了一步。 继续想象，如果每部分都是六十四等分，也就是一共一百二十八等分呢？ 注意看，这个时候从我们直观看上去，感觉好像已经非常非常接近长方体了，是不是？同学们，那干脆电视机前的同学们，咱们一起来大胆的想象一下， 我们不妨把刚才圆柱等分的那两部分都进行相同的无穷等分呢？ 拼接方法和刚才一样，我们最终会得到一个什么样的立体图形，你想象出来了吗？请看， 当我们把圆柱进行这样的无穷等分再拼接以后，和之前的有限等分相对比，真是应了那句话， 踏破铁鞋无觅处，得来全部费功夫，我们终于把圆柱体成功的转化成了长方体。请同学们观察转化后的长方体与转化前的圆柱，你有什么发现吗？ 主要说来，这里应该是有一变三不变，一变当然指的就是形状变了，由原来的圆柱体转化成了长方体。 哪三不变呢？就是体积里面积还有高，我们来确认一下。 那么在转化过程中，圆柱体它的体积既没有增加也没有减少，只是等分后重新的拼接了在一起，所以体积没有变化。 底面积呢？请看圆柱的底面积和转化后的长方形的底面积。其实这不正是我们原来学习圆的面积的转化过程吗？显然也没有变化，而高则是最直观的。圆柱的高与长方体的高是对应相等的， 那么我们都知道长方体的体积是等于底面积乘高的。既然长方体的体积、底面积还有高与圆柱的体积、底面积和高都是分别对应相等的。按照等量代换，我们也可以确认 圆柱的体积其实是等于它的底面积乘高的。看来一开始我们的猜想还真的是正确的。 不过可能有同学在这会提出问题，那就是长方体的体积还有一种计算过程就是长乘宽乘高啊。那如果按照长乘宽乘高还能推出圆柱体的体积，有同样的结论吗？ 不着急，我们一起来听一听下面同学整理的他的发现。 首先我们将圆柱沿直径垂直于它的底面切开，进行若干等分之后，再拼成一个长方体， 长方体的长等于圆柱底面周长的二分之一，长方体的宽等于圆柱底面半径，长方体的高等于圆柱的高。 因为长方体的体积公式是 v 等于 a 乘 b 乘 h， 于是我们就可以得到圆柱体积公式是 v 等于派儿乘 r 乘 h 等于派儿方 h， 或者是 v 等于 s h。 请同学们观察字母公式当中的派 r 乘 r 乘 h 这部分，这个式子 它恰好对应着长方体的长宽和高，所以按照乘法结合率，我们可以把两个 r 结合先乘起来，那就可以表示为 r 的 平方， 然后再观察 pi r 方 h 当中的 pi r 方，这不正是圆柱的底面积吗？ 所以按照长乘宽乘高这样的推导过程，其实我们同样可以得到 v 等于 s h 这个结论。太好了，有了这个结论，那一开始我们遇到的问题都可以迎刃而解了，一起来看一看。 比如这么粗的柱子，它的底面半径是零点四米，高五米，那按照底面积乘高可以怎样列式呢？ 列式为三点一四乘零点四的平方再乘五，也就是等于三点一四乘零点一六乘五。 到这汤老师要给同学们介绍一下连乘的时候，希望同学们要仔细观察算式，因为这个时候我们可以使用乘法的交换率或结合率，那么如果把零点一六乘五结合起来， 我们会发现计算量会降低一些，这样我们可以更快捷的得到这道题的结果是二点五一二立方米。 那刚才我们还看到水杯当中盛水的这个问题，假如告诉我们陶器他所用的这个水杯底面直径六厘米，高是十六厘米，那么他用的这个水杯体积是多少呢？ 请注意，这里给的是底面直径，需要先除以二得到底面半径，再去推出相应的底面积和体积。列式为三点一四乘六，除以二的商的平方再乘十六， 也就是等于三点一四乘九乘十六，等于四百五十二点一六立方厘米。 如果忽略掉杯子的边缘和底部的厚度，当然也就是可以看作它的容积是四百五十二点一六毫升。 同学们，你课后也可以去试着量一量你日常中所用的水杯的底面直径和高分别是多少，从而算一算你用的水杯的体积。 因为小学生日常一天饮水大约在一千五百毫升比较合适，这样你就能推算出你所用的杯子大约每天喝几杯比较合适呢？ 当然，除了适食，适量的饮水对身体有好处，我们还知道牛奶也是对身体非常好的一种健康饮品。请看这个容器到底能不能装下三千五百毫升的牛奶呢？ 也许有同学会想，我直接算出来它的容积进行比较就可以了，是的， 直接求出它的容积等于四千零一十九点二立方厘米，也就是四千零一十九点二毫升。那么这时候比较可以发现这个容器是能够装下这些牛奶的。 但是如果我们假设这个容器恰好装下，同学们请看 三千五百，如果除以它的高，其实可以推出底面的直径啊，底面的面积，那么底面积有了。我们可以观察圆柱形容器的底面积和这个 推导的底面积显然是大于了一百七十五平方厘米，这样我们也可以断定这个容器装不下，同学们。

同学们好，欢迎大家来到今天的数学课堂， 今天我们要一起学习的内容是北师大版六年级下册第一单元圆柱和圆锥中的圆锥的体积。 这一部分内容啊，我们将分两课时来进行学习，同学们，你们准备好了吗？让我们开始今天的学习吧！请同学们看这是什么形状的物体？ 对，是圆锥形状的物体，圆锥形状的物体啊！在我们的生活中，经常能够看到像工人叔叔用的签证、小丑头上戴的帽子，以及我们都爱吃的圆筒冰激凌。 假期里，啊，笑笑来到了乡下的爷爷家，他发现了一个有趣的现象，当爷爷把小麦堆在一起时，小麦自然而然的就形成了圆锥的形状。 看到山一样的麦子堆，爱提问的笑笑提出了这样一个问题， 好大一堆小麦啊，这堆小麦的体积是多少呢？小小遇到了困难，因为他只学习过长方体的体积计算方法是长成宽成高， 也研究过圆柱体的体积计算方法是用底面积乘高。那圆锥的体积应该怎样计算呢？同学们，当我们面对这样一个问题时，你有什么想法？能提出什么问题吗？ 让我们一起和同学交流一下吧！先来听听第一位同学他是怎么想的。 老师，每当我们研究新图形的面积或者体积时，总会把新图形转化成学过的旧图形，建立起新旧图形之间的联系，以旧推新。 所以我想能不能将圆锥也转化成我们学过的旧图形进行研究呢？ 遇到新问题，想到用以前学过的知识和方法来解决，你真是太棒了，大拇指啊，送给你！下面我们再来听听其他两位同学是怎么想的吧！ 在研究长方体积和正方体积时，我们都用了摆小正方体的方法，但是在圆锥这里并不适用。我发现圆锥和圆柱的底面都是圆，所以我觉得圆锥的体积可能会和圆柱的体积有关系。 老师，我想到长方体和圆柱体的体积都可以用底面积乘高来计算，那圆锥的体积是不是也和底面积乘高有关系呢？ 遇到这个问题，同学们有了这么多的想法，还提出了自己的困惑。刚才老师听了同学们的发言，发现大家想借助圆柱来研究圆锥的体积， 那么同学们，你来猜猜看，圆柱的圆锥的体积会和圆柱有什么关系呢？让我们来听听下面这位同学他是怎么想的吧！ 我是这么想的，这是长方形，经过旋转能形成圆柱。这是长方形的一半，是一个直角三角形，经过旋转能形成圆锥。 这组圆柱和圆锥是等底等高的三角形，面积恰好是长方形面积的一半。那么旋转出来的圆锥体积是不是也是圆柱体积的一半呢？ 同学们，你们的猜想和刚才那位同学的一样吗？那我们的猜想是否正确呢？下面呀，就让我们来做一个实验试一试。请看这是淘气准备的一组实验用具， 等底等高的圆柱和圆锥形容器。让我们仔细看实验，看看你有什么发现。我把圆锥里装满水，再倒进圆柱里，水面是这么高， 装满水倒进去已经有一多半了，再倒一次刚好满了。 同学们，你们看清淘气的实验过程了吗？让我们再拿几组不同的等底等高的圆柱和圆锥试验一下。先来看这组 一二三刚好满了，再来看这组一二 三也满了。同学们，通过刚才的实验，你一定有所发现吧！来听听你的发现和淘气的发现一样吗？ 通过实验，我发现圆柱体积是圆锥体积的三倍，也可以说圆锥体积等于圆柱体积的三分之一。同学们，你们的发现和淘气一样吗？ 对于淘气的说法，你们还有什么补充吗？对，我们要说清，是在等底等高的情况下，圆柱和圆锥的体积有这样的关系。 通过刚才的实验，我们发现圆柱、圆锥在等底等高的时候，它们体积之间的关系呀，是这样的，圆柱的体积是圆锥体积的三倍， 而圆锥的体积呢？是圆柱体积的三分之一。在之前的学习中，我们已经知道圆柱的体积是如何计算的。对，用底面积乘高，字母表示 s 柱， v 柱等于 s h， 那圆锥的体积又该怎样计算呢？没错，用三分之一乘底面积乘高。如果我们用 v 来表示圆柱的体积， s 表示底面积， h 表示高。圆锥体积的公式可以怎样写呢？ v 锥等于三分之一 s h。 在圆锥体积公式中， s h 表示什么意思？对，是和圆锥等底等高的圆柱的体积。那为什么还要乘三分之一呢？ 没错，因为圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的三分之一。所以同学们，我们在计算圆锥体积的时候，可千万别忘了乘三分之一呀！ 那我们找到了圆锥体积的计算方法，再回到刚才笑笑提出的问题， 如果小麦堆的底面半径为两米，高为一点五米，小麦堆的体积是多少平方米？这个问题一定难不倒你吧！ 那让我们一起来看看同学们都是怎么做的吧！先来看第一位同学的做法，他先求的是什么？ 对，是和这个小麦堆等底等高的圆柱的体积，再乘三分之一求出小麦堆的体积。再来看看第二位同学的做法，他先求的是什么？ 没错，是小麦堆的底面积，再根据公式，三分之一乘底面积乘高求出小麦堆的体积。 当然，也有的同学是列综合算式解决这个问题的，我们来看看算式中的这一部分求的是什么？ 对，求的是小麦堆的底面积，解决了小麦堆体积的问题，同学们，你们还有什么想说的吗？让我们来听听这位同学他又有了怎样的想法吧！ 老师，我还有一个发现，我特别同意笑笑的感受，这堆小麦真挺大的，我发现家里的冰箱大约有一点三平方米，这堆小麦的体积是六点二八平方米，也就是有大约五个冰箱那么大。 瞧这个同学多会思考呀！他借助身边熟悉物体的体积去想象小麦堆的大小。 同学们，你们能不能也看看你周围，找一个你熟悉的物体，用它的体积作为参照物，去想象一下小麦堆有多大呢？ 那我们解决了小麦堆体积的问题，在生活中啊，和圆锥有关系的实际问题还有很多呢，让我们一起来看看下面这个问题吧。 有一座圆锥形帐篷，底面直径约五米，高约三点六米，它的占地面积约是多少平方米？它的内部空间约是多少立方？ 这个问题你准备怎么解决呢？ 从这道题中我们知道，圆锥形帐篷的直径是五米，高约三点六米。 先看第一问，要求的占地面积就是圆锥的底面积， 所以我先求出底面半径是二点五米，再求出底面积是三点一四乘二点五，乘二点五，等于十九点六二五平方米。 再看第二问，求内部空间，也就是求圆锥的体积。因为圆锥的体积等于三分之一，底面积乘高， 所以我用三分之一乘十九点六二五乘三点六求出帐篷的体积是二十三点五五立方米。同学们，你们的想法和刚才那位同学一样吗？ 你们真是太棒了！下面我们再看看还有什么实际问题吧。张大伯家有一堆小麦堆成了圆锥形，张大伯量得它的底面半周长是九点四二米， 高是两米，这堆小麦的体积是多少平方米？如果每平方米小麦的质量为七百千克，这堆小麦约重多少千克？ 要想解决小麦体积的问题，同学们，我们先要找到什么信息呢？让我们一起来听一听。 从这道题上我们知道了它的底面周长是九点四二米，高是两米。圆锥的体积需要知道圆锥的底面半径和高，所以我们可以通过周长九点四二米求出半径为一点五米， 那圆锥的体积就等于三分之一乘底面积乘高，也就是三分之一乘一点五，乘一点五，乘三点一四，再乘上二，最后算出结果为四点七一毫米。 根据体积为四点七一毫米，小麦的质量约为七百千克。求出第二位， 同学们，刚才我们解决了几个和圆锥有关的实际问题，回顾一下，要想求圆锥的体积，我们需要知道哪些信息呢？ 要想知道圆锥的体积，我们需要知道圆锥的底面积和高，或者知道圆锥的底面半径和高。也可以， 通过刚才的研究，我们找到了圆锥体积的计算方法。那在之前的学习中，我们也学习了长方形沿不同的轴， 呃，不同的边为轴旋转形成的立体图形啊，是不一样的，直角三角形也是如此。同学们，让我们来看看这些立体图形他们之间又有怎样的关系呢？ 这个呀，可以作为今天的一项研学任务，课下有兴趣的同学你们可以继续去研究和思考。 当然，我们还可以思考，刚才我们只是研究了圆柱、圆锥在等底等高的情况下，体积之间的关系。那它们之间还有什么关系吗？ 你还能用什么方法来验证圆锥体积的公式呢？同学们，让我们放松一下，马上我们就要进入第二课时的学习了，请同学们看。

请监考老师拆封并分发试卷，指导学生填写个人信息。

同学们好，今天我们来探讨圆柱的表面积是怎么得到的。圆柱有两个圆形，底面和一个侧面。我们设底面半径为二，高为 h。 圆柱的表面积由三部分组成，上底面、下底面和侧面。我们把它展开来看。现在让我们把圆柱展开，两个底面是圆，侧面展开后变成一个长方形。 为什么侧面展开是长方形呢？想象沿着圆柱侧面剪一刀展开后，长方形的宽就是底面圆的周长，也就是二派二，高就是圆柱的高 h。 现在我们来计算每部分的面积，每个底面是半径为二的圆面积等于派二的平方， 侧面积就是长方形的面积等于宽乘以高，也就是二派 r 乘以 h。 把三部分加在一起，圆柱的表面积等于二派二的平方，加上二派 r、 h， 我 们还可以提取公因式写成二派 r 乘以二加 h 的 形式，这样更简洁。我们来做一道例题， 已知圆柱底面半径为三厘米，高为五厘米，求表面积代入公式， s 等于二派乘以三乘以八，等于四十八派平方厘米。 总结一下，圆柱表面积等于两个底面积加上侧面积，侧面展开是长方形，宽为底面周长，高为圆柱高。记住公式， s 等于二 pi， r 乘以 r 加 h。