八下数学数轴题怎么画

好，这节课我们学习秭归作图八年级下册，在数轴上表示一个五里数，那么我们以根号十三为例，那根号十三，它等于根号九加四，那么呃，九十三的平方， 四十二的平方，所以呢，我们根据直角三角形勾股定理，根号十三就是在直角三角形，一个直角三角形，两条 直角边为三和二的一个斜边的长度。那么我们接下来就开始用吃规则图的方法来做出根号十三。第一步，我们在这 数轴上寻找 oa 等于三。好，第二步，过点 a， 做 竖周的垂线。好，接下来测量二的长度， 截取 ab， 大家看这个弧线一定要保留下， ab 等于二，这个点是 b， 这个距离是二，连接 ob， 连接 ob， 那 ob 的长度就是根号十三。你看我刚才做的是直角三角形，这是三，这是二，这是根号十三， 根号十三，这个时候我们要把这根号十三要在竖轴上画出来，我们测量一下，根号十三就是 ob 的长度，单喊就是 ob 的长度，这个时候我们画 弧线，好落在竖轴上。那么大家现在看这个点，这个点就是 c 点，他的长度就是根号十三，所以点 c， 点 c 即为所求，那点 c 所表示的数就是根号十三。好，那这节课我们就讲到这里了。

马站长，这十万火急的密件必须在天黑前送达，可是这长安城足足有一百零八方，密密麻麻全是横竖接的，我该怎么走最快？长安城朱雀大街为轴，横竖交织， 宛如一张巨大的棋盘，跑得快没用，你要懂得这网格里的规矩，想在长安城里穿梭自如，就得摸透方位的变化。 我这里有三个锦囊，只要解开这三道关于位置移动的谜题，你就能掌握这长安城最快路线的密码。同学们，只要破解这网格街道上的移动法则，我们就能在长安城里畅通无阻。这里面究竟藏着什么规律？跟我一起闯关吧！ 知识点，以皇城为研点，零零建立直角坐标系，向东向北为正方向。 第一条路线只能沿着这条东西走向的长街直直的向右边狂奔，绝不能串巷子，半部都不能往北或者往南偏。 在平直的长街上，只有纯粹的向左或向右移动。要想用最精确的数字记录这种只在横向上发生的位置变化，你们找到其中的规律了吗？ 知识点，往西也就是向左跑，纵向还是没动，但距离沿点越来越近，肯定是横坐标做减法。 这次是南北纵向的长向，我要像飞鸟一样，顺着这条竖直的巷子一直往北走，紧紧贴着这条竖线，绝不能向左或向右拐弯。如果是直上直下的移动，不管向北跑多远，他在东西左右方向上的位置却岿然不动， 这种南北纵向的移动规律，又要怎么用简单的数据来表达呢？ 知识点，顺着竖线往北向上跑，横向没偏，所以横坐标不变，越往北数字越大，所以纵坐标做加法， 这也叫锦囊，连个东南西北的字眼都没有，全都是数字的加加减减。光看这几个干巴巴的数字，我怎么知道该往哪条街跑？ 最高明的信誓，不需要别人指路，而是看懂密码。如果我只告诉你数字的增减变化，你能反过来精准的猜出我要你往哪个方向，跑过几个街区吗？ 我懂了，站长，加减就是方向，数字就是距离。只要掌握了数字的规则，再复杂的路线也能一眼看破，一点都没错。天下之大，不外乎方圆与规矩。 千年前，我们祖先在这片土地上画出的纵横网格，正是最高效的方位密码。古老的城市里藏着最严密的数理法则，今天，这套密码我已经牢牢握在手中，大唐的广阔天地任我驰骋。 这堂课跟着我在长安城里跑了这么久，网格里的加减法密码你都掌握了吗？这节课你有什么收获？

我们来看第一题啊，呃，这是一个网格，我们利用网格去作图啊。第一个，平移线段 a、 b， 使得线段 c、 d、 b 和 c 重合啊，那相当于是向上平移一、二、三三个单位，所以 a 点向上平移三个单位，一、二、三到这个地方啊把，哎 啊，大家画的时候一定要先把这个点啊，这个点啊，给我加粗一下啊，这个点加粗一下，然后把这个点， 把这个点和这个点一连就可以了啊啊，这个点就是第一点啊。第二个，以 c 为旋转中心，把 a、 b 绕的 c 点旋转一百八十度，得到 a 撇 b 撇啊，旋转一百八，我们要注意旋转的一百八其实是什么中心对称，所以直接一连延长就行了。 a、 c 一 连是横一竖三 啊，不是竖一横三，所以我们再竖一横三，再三个到这个地方 a 撇，然后 b 点上去三个，到这个地方叫 b 撇，然后我们把这个 一连就行了啊， a b 啊， a b， 好 吧， a 撇 b 撇。第三个，用五刻度的直尺画出 a、 b 的 一个中点 m 啊，如何画它的个中点呢？这里我们要借助一个平行四边形，我们把 c、 b 一 连， 我们把 c、 b 一 连， 然后 a 呢也往下平移三个单位，然后这个这样子一连就行了啊，那么这个点就是一个中点 m 啊，因为你把这个一连的话，你看啊，你这样子一连起来的话，它正好是一个什么平行四边形，当然这两根线可以不画，这根线和这两根虚线可以不用画出来， 这两根虚线可以不用画出来。啊啊啊，你看，这边正好是个平行四边形，对角线互相平分，好吧，我们用的是平行四边形来做的啊？

朋友们大家好，今天呢我们来看一下二次根式的几类题型，第九题和第十题大家可以计算出结果之后打在评论区，因为第九题这个是有关于二次根式的大小比较，第十题这个我们之前已经讲过了，我们来看一下第十一题， 计算二倍根号六减五的二零一九次方，乘以五加二倍根号六的二零二零次方。 首先我们来看一下指数，指数一个是二零一九，一个是二零二零，那这个时候我们就要想办法把其中一个指数给它拆分了，然后利用积的乘方的逆运算去做。 那我们拆分哪一个呢？我们是不是拆大？所以这里我们把二零二零次方给它拆了，拆分成我们的二倍根号六加五，再乘以二倍根号六加五， 因为这里底数是五加二倍根号六，所以说我们交换一下位置是不会影响最终结果的。然后现在我们来看指数，一个是二零一九，另外一个也是二零一九，那这个时候我们是不是就可以利用积的乘方的逆运算来做了呀？ 它就等于什么呢？它就等于二倍根号六减五，乘以二倍根号六加五括起来的二零一九次方， 再乘以我们的二零二倍根号六加五，那我们来算一下它的结果。首先二倍根号六减五和二倍根号六加五是不是符合我们的平方差公式？ 它符合我们的平方差公式，那它就等于什么呢？二倍根号六括起来的平方减去五的平方， 那二倍根号六的平方是多少呢？是不是二十四五的平方？二十五，二十四减二十五是负一， 负一的二零一九次方负一的基数米还是负一啊？负一乘以二倍，根号六加五，最终结果也就是负二倍，根号六减五，这是这类题型的做法，那我们再来看一下第十二题， 若最减二次根式二分之根号下五， a 方加一与最减二次根式五倍的根号下 c a 方减一能合并， 那既然是能合并，那他们就是同类二次根式，并且他还是对减的二次根式啊。最减的同类二次根式是什么呢？那我们就可以得到得到什么被开方数是相同的，也就是五 a 方加一 就等于七 a 方减一，那我们来解一下这个方程。首先我们把七 a 方移到左边，就可以得到负二， a 的 平方等于负二， 所以我们就可以解得 a 的 值等于正负一，那所以我们把这里正负一填上就可以了。 第十三题，这种问题呢，大家再去做的时候，错误率很高啊，它设实数 a b 在 数轴上对应的位置，如图，然后让我们化简它的结果，我们再去化简这个式子的结果的时候，首先我们要去判断正负呀，我们在数轴上的话，怎么样去判断正负呢？ 数轴上的对于数轴上的来数来说啊，右边的数总比左边的数要大，对不对？那所以我们就要去看它是它是什么呀？大数减小数还是小数减小数？如果说是加法的话， 我们就看到原点的距离，谁到原点的距离比较远，那么这个时候我们就取谁的符号。那我们来看一下 a 方减二， a b 加 b 方， 那它是不是刚好是完全平方公式，也就是什么呢？根号下 a 减 b 的 平方对不对？加上 a 加 b 的 绝对值， 那这个时候根号下 a 减 b 的 平方，它等于什么呢？它就等于 a 减 b 的 绝对值， 所以他让我们化简这个式子的结果，我们就可以给它转化为 a 减 b 的 绝对值，加上 a 加 b 的 绝对值。首先我们来判断一下 a 减 b 的 结果， a 是 负数， b 是 正数， 所以是什么呢？你看负数是不是小于正数呀？小数减大数小于零，所以这里我们判断出 a 减 b 是 小于零的， 那小于零的话，那我们写去掉绝对值符号，是不是就要变成它的相反数了？ a 减 b 的 绝对值啊？ a 减 b 小 于零，去掉绝对值符号就变成了什么呢？就变成了 b 减 a 加上。然后我们再来看一下 a 加 b 的 绝对值， a 加 b 的 绝对值。你看啊，是 a 到圆点的距离远呢？还是 b 到圆点的距离远呢？很明显是 b 到圆点的距离远。 所以这个时候 a 加 b 指代的是什么呢？一号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，那这里我们取的是 b 的 符号， b 是 正，所以 a 加 b 的 结果是大于零的， 那我们一个正数的绝对值还是它本身，所以我们去掉绝对值符号之后，解出来依然是 a 加 b， 那我们来合并同类项， b 减 a 加 a 加 b， 那 结果就等于二 b。 所以 我们化简这个代数式的结果呢？就是二 b 啊，我们化简这个式子的结果就是二 b。 同学们在去课下做题的时候，一定要好好认认真真的去看一看啊，注意理清楚题目当中的一个条件。

一至六年级数学最怕的就是孩子听懂不会做，不是孩子不认真，是不会分析题目。画图不是技巧，是解析思维。我是布丁，专注小学思维，专为大家整理出小学必会四大类型画图法，今天全部分享给大家。 首先除了我们知道的几何必画图以外，那么这四大类呢？咱们今天一类一类的来看。首先第一类线段图， 那什么叫做线段图呢？顾名思义，它是固定的一段，那既然它是固定的一段，那它就可以用来表示一个固定的数量，所以线段图的特点就是可以用来表示固定数量的东西。比如第一个我们来做比较问题， 弟弟做了十二只袜子，哥哥比他多七只，那他俩一共做了多少只袜子？那通过这句比较的话，我们可以利用线段图给他画出来表达一下， 哥哥比他，他就是弟弟，那弟弟做的东西是固定的十二只，所以我们用固定的一段代表弟弟做的十二只， 而哥哥的呢，比他多七只，所以在弟弟这一段固定的这一段十二只的基础上多一点点，这一点点就是多的七只。 好通过这个图我们就可以解决我们的问题，那除了这个简单的两辆比较问题，像这种三辆比较也是可以解决的。 比如苹果比梨多，梨要少， 桃子比苹果多，那苹果要少一些。最后通过判断可以知道梨是最少的，所以梨的东西我们就可以用一段来表示， 这样的一段代表是梨的。接下来苹果跟它比较呢，那么苹果就比这一段再多一点点，就是多的三个， 然后再画出桃子，因为桃子在跟苹果比较，所以根据苹果的这个图一模一样的画好之后， 再去多五个，所以在后面再画一段代表多的五个，这样子我们就用线段图把三量表示出来了，然后根据题目的问题，桃子比例多多少个？一看 桃子比梨多的，那么通过对应来比较，后面这部分就是比它多的，那通过这个图非常直观的就直接看出来了，桃子比梨多的就是这部分， 对吧？好，这就是我们用线段图解决的第一大类比较问题。那第二类呢？是我们的和差问题，比如布丁老师和小布一共拔了二十五个萝卜，这是我们的和 布丁老师比，小布多拔五个，你看多拔几个，这是我们的叉，那在和叉问题当中呢，我们可以利用这一个叉，先把我们的线段图表示出来， 谁比谁多，跟谁比，谁就化成我们的一份。好，那布丁老师呢？比小布要多 多五个，所以在这一份的基础上，再多一点点表示多的五个，然后标出我们的和和到一起，一共二十五个，那就会发现了，这个图上很清晰的就看出来了，如果我把这个小尾巴去掉， 那两个人的东西就一样多，就能平均分，或者我把小布这里补上五个，两人的东西变一样，也能平均分。那关于这个和差问题啊，布丁老师之前也讲了很多次，而且总结了和差的几种观察解题方法，大家可以去看之前的视频。 好，除了和差还可以解决什么呢？解决我们的倍数问题，我们就可以用线段图来表示出来， a 是 b 的，是谁的谁就是我们的一份量，是跟 b 在 比较，而 a 是 它的三倍，那按照它的这个样子去画三份就可以了。好，这是一个整倍数的画法。 第二个呢， b 比 a 的 三倍多二，那跟谁比？在跟 a 比，所以此时先画 a， a 画成固定的一份儿，然后再画 b， b 是 它的三倍，那就先画对应一模一样的三份儿， 然后在这三份的基础上呢，再多一点点，这一点点就是二好。第三种画法呢， a 比 b 的 三倍少，二好跟谁比？这一次是跟 b 在 比，所以 b 作为我们基础，一份量再画 a， a 呢是它的三倍，那么可以按着它的样子画出三份，但是呢，最后要少二，所以最后这一份其实没有那么多，它要去掉一点点，这一点点就是它缺少的二，然后这是整体的一份， 这个就是我们通过线段图来表达倍字句。那在倍数问题当中，我们通常会遇到一些和倍问题，和差倍问题。 对于和倍、差倍问题呢，布林老师之前讲了非常非常多的视频，来分析各种和倍、差倍问题，那需要的家长也可以看看之前的视频。好，那这里我们来分析一下。比如说甲乙两根绳子一共长三十米，乙的绳子的长度是甲的三倍多两米，求甲乙各多少米？ 那你会发现这里知道一共就是他们俩的和。然后呢，又有一个贝字句，因为贝字句它表示的数量关系比较精确，所以我们把贝字句利用线段图画出来。那这里画的时候就可以先画假，因为是假的，是谁的就在跟谁比， 所以甲就化成乙份量，而乙呢，就是它的三倍多两米，那么对应画出三份，再多一个两米多一个二， 好整理一下，知道了这一个贝字句，又知道它们的和，所以在这个地方标出和是三十和倍就有了。那根据这个图呢，你可以发现，我只要把小尾巴去掉，它就可以平均分了，所以直接看图列算式 好。另外一个果园里的葡萄产量比香蕉多六十五吨，那很明显这是一个叉，他们俩的差距， 葡萄的产量是香蕉的三倍多五吨，那三倍，这是一个背字句，所以它是一个叉背问题，那想要求他们各有多少吨，那我们就会发现，我可以利用背字句画图，对吧？还是一样的背字句表达的更准确。 单词句上面呢，是香蕉的，是谁的，那么我们就在跟谁比，所以先画香蕉，香蕉是标准的一份， 然后再画葡萄。葡萄是怎么画呢？是他的三倍多五吨，那按照他的样子画出三份，然后再多一点点，这一点点就是 好。通过贝字句画好图了，然后把它们的差距标好，那根据对应关系比较，后面这部分就是比他多的六十五吨， 同样的，看着图，这六十五里包含了什么？把小尾巴去掉，就可以平均分了，对吧？所以看图列算式就能轻松解决 好。接下来第四个，我们的线段图还可以解决分数应用，比如 a 占 b 的 五分之一，占谁的就在跟谁比，谁就是我们的标准一份量， 而 a 呢，占了它的五分之一，那就把它平均分成五份，取了其中的一份，那么其中的这一份就是 a 好。 第二个 a 的 五分之三相当于 b 的 量，谁的 a 的 那谁的，就是在跟谁比，所以 a 的 那 a 就 化成完整的一整份儿， a 的 五分之三代表把 a 平均分成五份儿，取了其中三份儿，所以说取了其中的三份儿，一、二、三这一段就代表的是 b 的 量 好。继续 a 比 b 少五分之一，跟谁比，跟 b 再比，那跟谁比谁就是我的标准。一份量，那比 b 少五分之一少谁的五分之一少。 b 的 五分之一， 那 b 的 五分之一代表是把 b 平均分成五份，少了其中的一份，那么其中的一份就缺少了，那剩下的这四份就应该对应的是 a 的 量好，所以这个就是分数应用，仍然用我们的线段图表示出来。 比如用具体的一个题，学校有故事书三百六十本，科技书的本数是故事书的六分之五，科技书有多少本？那么我们会发现分数关系的这句话跟之前倍数关系的话非常的像， 它表示的两样关系比较精确，所以通过分数关系的这句话画出现段图，那是谁的跟谁比，谁就画成我们的一份量，所以故事书就是我们的一份量， 那它是故事书的六分之五。六分之五的意思是平均分成六份，取了其中的五份，所以先分六份，然后取五份，一二三四五，那么这一段就是科技书的本数，所以把科技书就可以画出来了。 那同时我们知道故事书一共有三百六十本，科技书，对应的是它的六分之五，就可以直接计算出来。当然这道题看似比较简单，但是学会了这种画图方法，遇到更复杂的题目的时候，画出图，一眼就能看出它的数量关系。 ok， 好， 我们来看看第二大类必会的画图法，就是竖轴，那我也叫它神箭图，因为它长得像一根箭，那这根箭的特点是什么呢？因为它有方向，所以它身上每一个点，它所代表的大小多少都不相同， 所以它可以表示变化过程。那和我们的线段图是固定一段，代表固定量，而神箭图呢，它就可以表示变化过程。 好，那他可以表示哪些过程呢？比如我们的比较推理，小朋友们一起去郊游，第一队的人数比第二队的人数多，第一队的又比第三队的人数少， 第四对比第二队人数少，哪一队最多，哪一队最少，那你看他们在进行比较多少，对吧？所以就可以利用我们的这一个数轴，把他们比较的这个关系画在这个图上 好。比如第一对的人数比第二对多，那很明显，如果箭头代表多的地方的话，第一对就应该在前面，第二对就应该在后面。 第一对比第三对人数少，那么第一对已经确定位置了，那第三对就应该比第一对多，所以第三对就应该在前面。 而第四对比第二对人数少，这个图上已经有第二对了，那第四对比他少，那第四对就在后面。 那这样一标就可以清晰的看出这四对的人数，谁是最多，谁是最少。一言解决问题， 那除了比较推理的类型呢？我们还可以用在我们移多补少的题目类型上。移多补少的特点就是有两个人的东西，他们在给来给去，那给来给去的时候呢，会出现几种情况呢？比如多的这个人给少的这个人给， 给完之后，两人的东西就相同了，我们就可以把这个过程表示在省略图上，然后多的这个人呢，一开始的东西在前面，少的这个人，他的东西就在后面，因为给完相同，所以我给一半，你得到一半，那么我们都跑到最中间的位置了， ok？ 还有第二种类型叫做给完还多，什么意思呢？我比你多，我给了一点点，你得到一点点，但是我的东西仍然比你多。那么在这个神箭图上表示的时候，就可以表示出一开始两个人的位置， 然后在给的过程呢，我给出去一点点，我变少了，你得到一点点，你变多了，但是我仍然在你的前面，比你还多。好。第三种类型叫做给完变少型， 也就是我本来比你多，但是因为我给的东西太多了，你得到太多了，我反而比你变少了。所以在这个图上我们可以表示出来，一开始多的，一开始少的， 在给的过程当中，他呢给了很多，他呢得到很多，你看反而比他变少了，那么我们就可以用神箭图表示出这三种类型。 同样这一个详细的视频讲解，咱们之前也有讲过，想要看看用神箭图解决疑多不少类型的家长，都可以在上面点搜索，疑多不少，就会出来对应的视频讲解好。比如我们看看这道题， 大毛和二毛有一些苹果，大毛给了二毛十个苹果后，大毛比二毛还多三个，你看给完还多，属于我们的第二种类型，对吧？那么我们画图的时候，可以给它画在这一个神箭图上， 神剑图的开头代表的东西多的地方。那一开始呢？我们先定位，一开始大毛在前，二毛在后， 给完之后，因为还多，所以大毛给了一点点，给的是十个，那同样二毛就会得到十个，我仍然在你前面，比你多三个。 所以通过这个图很明显的就看出来了，大毛比二毛原来多的是这一部分，这一部分就是两个十加三就解决问题了。好，通过数轴解决。第三种问题，连零问题。 比如姐姐五年前的年龄与妹妹三年后的年龄相等，问姐姐和妹妹相差多少岁？首先我们确定姐姐今年和妹妹今年的年龄，肯定是姐姐在前，妹妹在后，那么姐姐五年前，那姐姐要往后走， 妹妹三年后，妹妹要往前走，并且要走到同一个地方，所以姐姐来到这，妹妹来到这，姐姐往后退五年，妹妹往前走三年，那通过这个神仙图，立马就知道，姐姐和妹妹原本相差的就是三加五岁。 好，第二种类型，大毛今年十八岁，大毛对小毛说，当我像你这么大时，你才两岁。同样的，你看年龄在变化，那么我们就可以在直线图上把变化过程画出来， 那一开始呢，小毛要小一些，那怎么变的呢？大毛说，当我像你这么大时，那大毛跑到小毛这里来了。 那在年龄问题当中，我们要知道，哎，一个人减小了，另外一个人同样也会减小，对吧？所以大毛如果减小这么多岁，那小毛也会减小这么多岁，那这两段实际上是相同的， 而此时你才两岁，代表的是大毛，来到小毛这个地方的时候，小毛才两岁，所以这个地方是两岁。 同样的，我们又知道大毛这里呢，原本是十八岁，那两岁到十八岁之间就有这样的两段，这两段就是十八减二，那每一段再除以二，就知道这一段的距离了，那小毛的年龄就算出来了。

这道八年级网格做图题，百分之九十的学生不会做，他到底运用了哪些知识点？我们来看一下。 在下列由边长为一的小正方形组成的网格中，仅用无可度的 直尺完成。下列画图， bc 与网格线交于点 d， 点在 i c 上画点 e， 在 i c 上画点 e， 使 d， e 等于 c、 d。 我们这道题非常的有意思，那么首先我们来观察一下这幅图，同学们，通过观察这幅图，你能得到哪些信息？好？首先我们最 最容易发现的就是这道题当中 a、 b 是 等于 bc 的， 你发现了没有？ a、 b 是 等于 bc 的， 那么你有两种方法，一个是看它是四个小正方形对角线，这个 b、 c 也是四个小正方形的对角线，或者用计算的方法，这是一，这是四， 所以 ab 是 等于一的平方，加上四的平方等于根号十七， bc 也是是四则是一啊，是根号十七。所以我们说 ab 是 等于 bc 的， 这是第一步，那么这个 a、 c 你 看是三三。很显然 a、 c 是 和 a、 b、 b、 c 不 相等的。那么第二步，我们再看一看 它，让我们说 d、 e 等于 c、 d， 那 么 d 恰好是 bc 的 终点， d 恰好是 bc 的 中点，同学们发现了没有？为什么我们可以正这两个小圆圈等 我们知道 d 是 bc 的 中点，那就是 b， d 是 等于 c、 d 的， 那通过以下这两点，让我们找 d， e 等于 c， d， d 等于 c、 d， 那 就说 d， e 等于 c、 d， 它要等于二分之一的 bc， 也等于二分之一 ab。 同学们想啊，是不是 d， e 等于 c d， c、 d 是 bc 的 二分之一，而 bc 是 等于 c、 d 的 b、 c 是 等于 a、 b 的， 所以它们都等于二分之一 a b， 那 么 e 是 在 i c 上的， e 是 在 i c 上，所以他们想到了，没想到 e 应该是什么？是的，由此我们可以推断出 e 应该是 i c 的 中点，这样的话， d e 就是 中位线， 那么 d e 就 等于二分之一 ab， 也就等于二分之一 bc， 从而等于 cd。 所以这道题，这道题经过我们分析完之后，那么他找的这个 e 点是 i c 的 中点，也就是这道题网格作图，其实运用的是三角形的中位线。那么下面我们怎么找 i c 的 中点？对，他们看看。 往大的看，这是一个三乘三的正方形，往小的看，这是个小正方形，所以这中点非常容易找， 我们可以连接正方形的对角线， 这焦点就是 e 的 长度 就是二分之一 ab， 因为 d e 是 三角形 abc 的 中位线。那么这道题同学们，你听懂了没有？如果没有听懂的话，请你多听几遍。好，这道题就讲到这里，同学们再见。

每天一道数学题，变成学霸没问题，欢迎来到向上教育八年级亲子课堂，今天我们来学习利用竖轴化简二次根式。在此我们会用到的知识点是平方，再开放 那根号 a 的 平方等于 a 的 绝对值，那当 a 是 一个正数的时候， a 的 绝对值是它本身。也就是当 a 大 于零时，那 a 的 绝对值等于 a。 当 a 小 于零时，那 a 的 绝对值就等于它的相反数。当 a 等于零时，那就等于零。我们可以看出根号 a 的 平方也是同样的，当 a 是 一个正数的时候，就等于 a 本身，当 a 是 一个负数的时候，就等于它的相反数。那我们来看一下这道题， 我们来看一下 abc 它的取值。我们可以看出 a 和 b 在 原点的右侧，所以 a 和 b 为正数，并且 a 要小于 b。 其次， c 在 原点的左侧，所以我们可以得出 c 是 一个负数。那我们来接着往后看， a 减 c， 正数减负数等于正数加正数，所以我们可以得出 a 减 c 是 一个正数，那正数的绝对值是它本身，所以 a 减 c 的 绝对值就等于 a 减 c， 那 我们减去 a 减 b， a 减 b， 小 的那个数减去大数，所以我们可以得出 a 减 b 是 一个负数。那我们可以知道，当 a 小 于零时，这一块，当 a 小 于零时， 根号 a 的 平方，它就等于负 a， 所以 就等于 a 减 b 的 相反数。 a 减 b 的 相反数是 b 减 a 加上 c 减 b 的 绝对值， c 是 一个负数，负数减正数，所以它依然是一个负数，那负数的绝对值是它的相反数，所以 c 减 b 的 绝对值就等于 b 减 c 加上二 c， 然后我们去括号等于 a 减 c， 再去括号时，当括号外面是负号的时候，我们括号里面的每一项都要改变符号。减 b 加 a 加上 b 减 c 加二 c， 那 a 加 a 等于二 a 负 c 负 c 加二 c， 所以 相抵消，负 b 加 b 相抵消，所以我们最后的结果为二 a。 记得点赞关注哦！

进来的大家晚上好。二次根式啊，这种题目啊，不是每次考试那些都是秒考的啊，孩子们的这种题目，这后面没有秒对话思路，像对于这种输赢结合啊，这种方法，书上的一秒也太少了啊，这个我们来这个话来讲的话，一秒很快，就像这个题目，二次根式这种题目，大部分孩子啊，普通学生 谈到了题目之后肯定在用什么，兄弟们就选择这种配方，或者进行一个硬算，或成为我们称为代数法。那我们今天啊，通过这个题目啊，来借数学结合这种方法，我们来把这个例子啊，这是一类题目，一把把讲透，我们先学到我们的书本当中啊，书本中对于我们这根结合啊， 最浅显的是什么呢？支点就是勾股定律，就给你大家就是二七三角形，三角形直角边，一个边是 a， 一个边是 b， 很 明显另外一个边就是平行交叉下 a 方加木心啊，那 我们来给你们的勾股定律啊，进行迁移，把这个勾股定律啊，有勾股定律的话，就可以把这个定好，下 x 平方加九， 就把写成平方下 x 的 平方加三那么些平方，那这样呢，我们可以把这个平方下 i 幺加九，能写成一个 加的角形起边的形式就是一个平方是 x， 一个 b， a 是 x， 一个平方什么些这个三那么些平方。好了，那这样呢，我们对于另外一个边式啊，这个平方下这个 x 平方点，这个十四， x 加六十五，我们也写好刚才这个题目样，但是好发现啊，读了什么写，读了一个减十四 x， 那 这样的回音应该讲啊，我们配方表别别好东西啊，很自然的选择出来，写的是 x 减七的平方， 正好加了四十九了，再加九十六十六，我们写成四的东西平方，那这样呢？不是两个根号啊，是都能把它写成两个数，怎么写平方这个和的形式，那这样的话看一下啊，来写解的原式，等于这个写成根号下 x 平方加三的平方， 第二双，等我一下， x 减七的平方加四的微斜，对吧？好，下面我们来利用数形结合啊，来尝试一下，我们来在这边啊倒读， 我们先用这个笔画，这个笔画，这一个改成三角形，这个边它是三，这边当什么写 x 好 了，那这样的话，这个边就要求怎么写？笔画下 x 平方加，我们写三个平方，那同样的，我把这边另外一边，同样这个右边是四， 这个直角圆是什么线？二 s 减减减七把这一点我们可以使两直角往心往一个边，他们在一个一条边线上，这样的要求的，这样的根式秒加，要么这边成为 a 点，这点成为 p 点，这点成为我们斜 b 点，那这样很自然一点，什么斜的是 这个是 a p 加 p， b 的 这个和怎么写这个最小值。但这样我们观察发现啊，这个边又是 x， 这个边是 x 减七，而 p 点呢，发生改变，那此时会发现这两点之间距离呢？ 它们之间是二， x 减七也是个变动的，那这样我们也可以把这个变动公式啊一个处理一下，所以我们就二 x 减七的平方等于七减 s 的 平方，那这样呢，我们可以把原来的公式写成凹陷 x 平方加 三个平方，折个洞，加上括号下，而写成是七减 x 的 平方，加减加四平方， 看一下，这有个好处啊，这个边七减 x 的 位置， x 这个边正正好是七，那这样的话呢？从一画到二，这边是 x， 边是三，这个边点一点一点，这边是四， 这个边是 p， 那 么这个点成为 a 点，这点成为 x， b 点，这边是七减成 x， 那这样的话这个情况就，而且这个时候这两边的和这写正好是七。好求求两边的分就是 ap 加 pb 怎么写 这个值？地点在发什么写会改变，那么求这个 ap 加 pb 怎么写？最小值的不就是我们这个图里面啊？假如这个将军以马问题，以马问题，而以马问题这方面应该比较熟悉啊，我们注意到我们应该什么写作为什么写一个对的问题，那我们可是啊， 必须要做什么写这个 a 点？关于这个线的写，他怎么写对称点啊？要做什么写？换一个笔 可以做 a 点，关于他什么写？对称点要称为 a 撇，这是 a 撇，你看见没有？不太清楚啊。来换这么一个 b 的， 把它怎么写？这个时候很明显把这个要学什么写这个 a p 就 变成什么写，变成 a p p 了， a 撇撇，那这样我要求怎么写这个 a b a p 加 pb 怎么写？这个最小值就变成是 a 撇 p 加 pb 怎么写？ 这怎么写最小值，那我们怎么办啊？现在只需要把这些这个 a 撇 p， 我 把它进行连，是不是这个 a 撇 pb 三点共线时 p 什么面啊？这是 p 点，那这样呢？我就说 a p b 这个面啊和长就是 a p 加 p b 和什么线，这个最小值，那这个最小怎么求呢？这时候我可以把 a 点做这个边怎么写？平线过 b 点，我们怎么样进行延长？这个时候这个边是 三或者三点，这就是什么线，三这个边就什么线，这个边就是七，那这个边的话正好是什么线？七 啊，一个 r 七的斜三角形，那现在这个 a 撇 b 的 斜，这个最值就跟这 a 撇 p 的 值就等于七倍的水对号，也就我们写出来，这里有根式，就是根号加根号，他怎么写？最小值就是七倍的母线对号， 那这样的话我们要不行啊，成功的理解和理解这个和的母线最小值，秒记住了， 来回顾一下啊，不行的话就这个书本当中的勾股定律，我们进行了一个迁移，迁移在什么呀？这个根号里面是平方减平方变成和把处理成二极的角形，斜边的那些长度问题，那就是成功的把这个根号加根号变成的是这两个， 这什么呀？和斜边这边成为 a p 的 长度，这边是 p b 的 那么些长度 有什么变通的是就是 a p 八 p d， 这个和的什么值？ a 小 值， 那后面呢？就结合这些图形，就是数学结合，把这个 a p p b， 我 们进行了一遍，我们进行处理一下，做了一个利用，我们讲那种老师教官的那种将军一马这样这种 方法来解决迷信式加电视，迷信的东西必须要知。好了，你们今天啊把通过这道题，利用那个收音机的方法，把你的这种根号在编号里面，最好是和这种题目呢最值问题啊，大家讲好了，好，我们今天就到这啊。

哈喽，亲爱的同学们，欢迎来到关关老师的数学课堂，今天来继续学习八点三哈，实数，极其简单的运算的知识点三，实数跟数轴的一个关系哈， ok， 来，他的关系是什么样的？来看一下。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示， 反过来数轴上的一个点也都表示一个实数啊。那因此得到最后的终极结论就是什么？实数跟数轴上的点是一一对应的关系哈，什么意思呢？举个例子， 比如说我现在这边有根数轴，假设这是零，我随便标一个位置，哎，这边数都对应着一个实数，对吧？啊？可能是有理数，也可能是无理数，但是都是一个实数，那反过来随便给一个实数，比如说根号二，在数轴上数一定有他的一席之地，对不对？ 其实数轴你可以看成是由无数个实数点动成线得到的， ok 吗？因为一条线是有无数个点，对应的就有无数个实数，对吧？好，知识点非常简单哈，就到这来，我们看一下考试会怎么考哈， ok， 他 只有一个题型，就是实数跟数轴的关系。第一题如图，实数根号五在数轴上对应的点 是谁？那我们就要估算一下喽，根号五是介于根号四和根号九之间，为什么找这两个人呢？根号四出整数二，根号九出三，说明根号五数二点几的数字，二点几数应该介于二和三数。选择 c 好 点， c 数就选择 c 了，对吧？ ok， 好， 来第二题，给同学们十秒钟的时间来完成倒计时，十秒 好，时间到了哈，这个其实非常简单对不对？他说点 a 的 数字是表示小 a， 然后问你下列结论正确的是？那我们从数轴很明显看得出来，小 a 是 小于负一的，对吧？ ok， 好， a 选项对不对？ a 小 于负一，那反过来负 a 呢？ 负 a 是 a 的 什么？说相反数，我们可以找到对称的位置哈，负一就跟一对称，那 a 过来就应该也要在一的右边，这个位置是负 a， 那 很明显负 a 是 要比一大，而不是比一小，对吧？所以 a 就 错了啊， 可以根据相反数去对应哈来第二个 a 的 绝对值。绝对值，我们说看啥书可以把它变为相反数，或者本身说要看里面的正负对不对。 负 a 的 绝对值或者绝对值。还有可以怎么理解一个数的绝对值数指这个数到圆点的距离，对吧？到圆点的距离哈，那你可以看一下我们 a 到圆点的距离是哪一段呀？ a 到圆点距离处这一段。这边是一个单位长度，很对吧？所以很明显说大于一个单位长度，所以 b 也错哈， b 也错。 c， a 加一大于零， a 加一大于零的话，你看 a 是 比负一还小的，比如说是负一点几的数，加个一数还会等于负的零点几，对不对？很明显还是小于零的，对吧？所以 c 也错， d 一 减 a 大 于零啊，这个怎么变？来我们看一下哈， a 小 于负一，那我们不等号移向也是一样的，你可以把减 a 移到等号，右边数变成正 a， 那你就变成左边，剩一 a 移过去就变成正 a 了，对吧？负 a 移过去变成正 a， 一 大于 a， 反过来就可以得到 a 是 不是小于一？ 那 a 比负一小的时候肯定比一小吗？ ok 吧。他肯定在一的左边吗？没问题吧？所以第一是不是就对了？比负一都更小。那肯定比一小啊。 ok， 行，那题目就到这了哈。来，有两题变四哈。老规矩，我们来看一下。 同学们做完发到评论区哦。那我们今天的课就到这边结束哦。拜拜。

我们一起看一道关于弦图的题，给了我们一个弦图，然后给了一个已知条件，说是阴影部分的面积等于小正方形的面积，让我们求这个大小正方形的面积比。 好，我们拿到弦图第一步干什么？就要表示出它的直角边来。好，我们这个时候假设 a h 呢，我设是 a h， b 呢？我把它设成 b 啊，这个时候大的正方形我就可以表示成它是等于 ab 的 平方的，根据勾股定律，它是等于 a 方加 b 方的小正方形的呢， 小正方形的边长就等于长直角边，减去短直角边，它的平方。 好，我们这个时候再来看一下啊，阴影部分的面积与小正方形的面积相等，这四个小阴影部分的面积，他看上去就是全等的啊。我们来证明一下啊，这条边和这条边相等， 对角线是相互平分并且垂直的，这两条边也相等，然后呢，这个角都是一百三十五度角边边角边， 所以说这四个小阴影部分的面积他全等的。好，这个阴影部分的面积呢，他就等于四个小阴影部分的面积等于二分之一乘以底就是 a， 高呢， 高就是它啊。我假设 t， 这个 o， t 是 三角形 h， g， e 的 中位线，对吧？这是垂直，这是垂直，所以说它是等于二分之一边长的啊，等于二分之一的 b 减 a。 阴影部分的面积，它是等于 b 减 a 的 平方的，它是等于这个小正方形的面积的，对吧？这个是小正方形的面积啊。好，我们就可以把另一个等式出来啊， b 方加上 a 方减二 ab。 好，最终呢，我们看到了这样一个式子，它是可以因式分解的啊，它就可以把它写成二 a 减 b， a 减 b 等于零。所以呢，二 a 等于 b， a 等于 b， 很 显然它不符合题意，要舍去啊。 好，我们再把 b 和 a 的 关系找出来了，我们这个时候再看一下 s 小 比上 s 大， 那就等于什么？ b 等于二， a 带进来，它就是 a 的 平方，大正方形，它就是五 a 的 平方，所以说呢，它的比值是一比五。

这是数人二零二五年初二下三月份第一次约考的最后一道题。 第一问呢，是用无刻度的指示画图，就单词画图，仅用无刻度指示，在这个 c、 d 边找一个点 f， 使得 d、 f 和 b、 e 边会等。这个题目的考点呢，是平行四边形的中心对称性，因为是无刻度指示啊，所以呢，不能用圆规。 这边呢，我先把这个 a、 c 和 b、 d 去连接一下，连完之后呢，会有个点 o， 这个 o 啊，是 a、 b、 c、 d 的 对称中心，那么这个 e 点如果跟这个 o 点去连接并延长， 那 e 和 f 就 也会关于点 o 呈中心对称。所以呢，这个两条边相等。 同理的话呢，因为原本是平行四边形，所以 o、 b 等于 o、 d， 那 么就可以证明这两项形呢，它们呢，会全等，所以这个 b、 e 和这个 d、 f 呢，它就会相等的，这是第一位。好，这是最后一题，第二六题，那每一位是环环相扣有关联的。我们来看这个第二位， 用直角圆规做出一个菱形，这个菱形必须要四个顶点，分别在 a、 b、 c、 c、 d 和 a、 d 上面， 跟第一个很像，也是要先找到它的对称中心，所以先把 a、 c 和 b、 d 连接一下。连接完了之后呢，因为最后菱形啊，它对角线首先也会互相平分， 所以呢，也会被这个 o 点啊中心对称。所以呢，先找到这个 c、 d 边的呀， c、 d 边的是点记，是点记有了， 然后因为菱形它具有这个对角线垂直平分的性质，所以它的这个另外一条对角线呢，跟这个 e、 g 它是互相垂直的，所以做法呢，就是过点 o 做 e、 g 的 垂线就可以了。 ok， 这是 f 点，这是 h 点，这样的话，我们把这四个顶点顺次连接一下这个新图形， e、 f、 g、 h。 首先这个对角线它互相平分，是一个平行四边形，其次这两条对角线还垂直，所以它是一个菱形。好，这是这个第二个。好了，我们来看看这个最后一个。第三个，在二的条件下， 角 b 的 度数为六十度 ab， 整个是六， bc 八， b， e 是 二。来，我们先把这个重标，这个长度是二，这里为四，由第一问的这个两个边等的，所以呢，这里也是二，这里也是四，还有整个这里为八。 他现在要我求这个蓝色的菱形的面积为多少，我们知道几何计算，一共有三大法宝，等面积。勾股定律和相似三角形，这个地方的话呢，勾股定律会很简单，因为菱形啊，这个两条边它等的吧。 好，这个图呢，有点乱了哈，我在旁边重画一个图，把这个菱形给它画回来， 这个是 f， 这是 g， 这是 h， 呃，这个是 r， 这里为四，这里也是 r， 这里也为四，不大像了，大概就可以了。那么因为菱形，这两条边它相等的呀，所以的话呢，我想利用这两条边相等来构造一个双勾股。 这个 e 点呢，往这边也做一条高叫 g q， 那么因为角 b 度数的六十，所以这边三十，那这个长度呢？ b p 它就等于一， e p 呢，就等于根号三，备用的号。还有啊，这个六十，那这边的外角也六十，这边六十，这个上面三十，那这里有一个四，它就是二，这个是二，根号三。 那怎么来利用这个双勾股呢？ e f 的 平方和 f g， 它平方是相等的，它会等于这边是 e p 的 平方加 p f 方，而这边呢是 g q 方加 f q 方，那我把这个 p f 设成度为 x， 那 这个 c f 呢？所以整个八去掉 e， 还剩七，七减 x， 所以 这个地方七减去 x。 好，最后呢就会列方程了。 e f 的 平方是这个根号三平方，三加 x 平方会等于 f g 平方，这个呢是七减加二九减 x 的 整体平方， 再加这个地方呢是这个十二，那么这个方程一解，减的 x 就 会等于五，最后呢就可以勾股定米。

这面道题也是八年级的同学极其易错的题，很多学霸在这里都翻车了。 把二次根式负 x 倍的根号下负 x 分 之一中二次根号 y 的 x， 也就把它要移到根号里面去，它的化简结果是多少？ 我们一看它是一个二次根式，并且呢，被开方数是负 x 分 之一，我们知道二次根式的被开方数必须要大于等于零。 我们眼睛一看，我们就知道，要是负 x 分 之一大于等于零，那么 x 就是 小于零的。 x 是 一个负数，那么负 x 就是 一个正数， 此时我们要怎么办呢？解，在这里要逆用一个公式。我们知道 根号 a 平方等于 a 的 绝对值， a 的 绝对值又可以分为，当 a 大 于等于零时， a 的 绝对值就等于本身。当 a 小 于零时， a 的 绝对值就等于负 a， 那么我们对这个公式，我们要给他逆用。我们在学数学公式的时候，任何时候不仅要会正向使用，还要会逆向使用。那么在这里，当 a 小 于零时， 下面哎下对下面这一部分的逆用。 a 小 于零时，负 a 就 等于 a 的 绝对值，负 a 等于 a 的 绝对值。因为 a 小 于零时，负 a 就是 一个正数。负 a 等于 a 的 绝对值，那么 a 的 绝对值 等于根号 a 平方，也就是负 a 等于根号 a 平方。好，我们回到这个题中， 因为负 x 分 之一，它只能大于零，它不可能等于零，那么负 x 分 之一大于零， 所以 x 要小于零，两边同时乘个负一嘛，那么 x 小 于零， x 小 于零，那么它正好啦，就适合我们这些条件。当 a 小 于零时， x 小 于零，所以负 x 大 于零，那么负 x 大 于零，我们看负 a 等于根号 a 平方，那么负 x 写到这里来，负 x 就 等于根号 x 的 平方，这步非常关键啊， 我们在这里就是逆用根号 a 平方等于 a 的 绝对值， a 小 于零时， a 的 绝对值等于负 a。 这个公式下面我们把根号 x 平方代换掉这里的负 x， 我 们把负 x 等于根号 a 平方代入原式， 代入原式得负 x， 用根号 x 平方代换掉，再乘根号，根号里面是负 x 分 之一，也就是 x 分 之负一。 现在我们再用二次根式的乘法公式，等于根号 x 平方，乘 x 分 之负一 x 平方，根分不成 x 平方，越掉一个 x， 还剩 x， 最终等于根号负 x。 所以 我们这个题的化简，最终结果就是 根号负 x。 对 于这类问题的化解，用这个方法呢，可以让同学们更直观，更好的去理解对公式的利用，同时呢也更好理解一些。

大家好，我是你们的卓老师，今天带给大家一道八年级下册数学中考真题，话不多说来看题，当 m 等于根号五减二分之一时，求代数式 m 加 m 分 之一的值， 有需要的同学可以暂停两分钟，仔细思考一下。好，接下来就让老师给大家讲解一下这道题。 有没有同学一看到这个题目，就直接把 m 等于根号五减二分之一一整个带入 m 加 m 分 之一种， 虽然这样也能求出结果，但最后往往会导致预算会非常的繁琐，那么我们最好还是先化简再带入，这也是求值题的一般步骤好。 我们可以看到，因为 m 等于根号五减二分之一，它等于什么？我们进一步把它化简出来， 是不是等于根号五减二乘以根号五加二分之，根号五加二，我们是不是要尽量把分母的根式给它去掉， 进一步化简可以得到，那是不是就下面就等于根号五的平方 减二的平方分之根号五加二，是不是最后就等于根号五加二呀？因为下面分母根号五的平方就等于五，二的平方等于四，相减之后就等于一。 好，并且我们还能知道什么 m 分 之一等于多少？ 同学们啊，千万不要再用这个根号五加二给它求导数了，给它导过来那就很麻烦了，我们直接用原题目中给的 m 等于根号五减二分之一， 用这个求它的导数，是不是就很快等于根号五减二，是不是 因此呢？我们可以得，所以 m 加 f 分 之一是不是就等于根号五加二， 再加根号五减二呀？最终的答案是不是就等于二倍根号五就等于这个学会了吗？ 跟着左老师学数学没烦恼。

来看第三题啊，图一、图二、图三均为十乘六的小正方形网格，每个边长均为一啊，只用无刻度的指示作图。第一个做点 p， 关于做以点 p 为对称中心的平行四边形，平行四边形这个直接延长就行了， 把这个 b、 p 一 连到这个位置，然后这两个一连就行了啊， a、 b、 e、 f 啊， 好吧，然后，当然你得他我他说把这个平行四边做出来，你把这个剪给连起来就行了。 好，第二个在图二中做平行四边形， a、 b， c， d 的 一个边， b、 c 上的一个高 am 啊，这个高好画，这边 a、 c 的 话是横三竖四的，所以我这边高的时候应该是横着四个，一二三四竖着三个到这个点， 然后这边画的时候注意一下啊，一定要把这个点给我加出了，你要老师知道你是连的两个点得到的啊，这边一定垂直的啊。然后，呃，这边是要你把这个高画出来，所以这边要把它用实线，外面那个虚线就可以了啊。 m 在 这个地方啊。 好，然后下面一个图三，在四边形 a、 b、 c、 d 中，在 c、 d 上找一点 n 点，使得 a、 n、 d 等于四十五度。怎么做这个四十五度角呢？啊？做九十度会四十五度？好像没学过啊，所以我们这边可以考虑做个什么呢？我们先做九十度，再做角平分线啊。话而言，或者说我们可以先做一个什么，做一个九十度，等腰直角三角形，然后 再做一个四十度也行啊，或者直接做一个等腰直角三角形啊，直接做等腰直角三角形，这里的话，呃，往上面做做等腰直角不够画了，你看到了啊，其实这边这边横三竖四，所以这边地点是横竖的三个，横着四个，你可以做一个等腰直角的，但是不够长。看这边不够长，所以我们只能往这个方向做。 这边是横三竖四，我们是横着四，一二三四，竖着三个，到这个地方先把这个点给我夹住了啊，并且上面一问也提示你了啊，做个九十度， 懂了吧？上面一问其实是提示你的做一个九十度，然后这样子一连的话，其实下面只要做什么，这边你看这就是一个等腰直角三角形，我下面要做角平分线，角平分线不好做，但是我们要知道高线和垂线是可以做的， 那你看这边是做高线还是做垂线，因为都有三线合一啊，不管是做高线也好，垂线也好，它都是一个角平分线 啊，你发现垂线的话好像不够长啊，这边是一二三四五六七个，横七竖一，我这边要竖的七个，一二三四五，不够长也是不够长，如果够长的话，我们直接做做垂线就可以了， 所以这个时候我们可以转二求其四。做什么？做中线？中线怎么做呢？中线的话我们做了借助平行四边形啊，或者矩形都可以，这里平行四边形的话，你随便找一个点就行了。呃，这边是 可以向左一二三四，这边是向右一二三四，把这个点和这个点一连，它就是一个平行四边形，看到了吧？这边和这边，我这边这个不用画啊，考试的时候不用画这俩，全等的啊，你把这个，你把这个一连 啊，这个一连，你看它就是一个平行四边形，所以这个一定是什么？一定是中点，所以 a 点和这个点一连，它就是一个我们要找的 n 点，就在这个位置，这个角一定是四十五度的啊，懂吧？当然这个我刚才是移了四个，有人说了，我不移四个行不行啊？也行的，你连你，连你。你要是特殊点就是做矩形也行，这样子一连也能找到这个点， 也能找到这个点。这边是个矩形，看到了吧？啊？看到了吧？啊？都可以啊，都可以，好吧。

好，我们今天来讲数与式的第二考点是什么呀？数轴的相关内容，所谓基础不牢，闭路畅游。 数轴虽然说它比较简单而比较基础，但是尤其是咱们所讲的一个点啊。来，咱们看啊，数轴呢，有三要素，第一个圆点，第二个单位长度，第三个正方向。好吧，这是它的正方向，圆点就是这个零，它所表示的一个点单位长度。 好吧，好，咱们看数字上比较重要的一个点是什么呀？数字上两点间的距离等于右边的点表示的数，减去左边的点表示的数，我把它总结为大减小，这个比较重要，为什么呢？因为在后面的平面直角坐标系中， 把 x 轴和 y 轴，它的距离，它的线段的长度也可以用到这一个点。好吧，好，咱们看今天的题型 是什么呀？好啊，如图， a 在 数上所对应的数为负二，那么 a 在 这里，对吧？好，点 b 再括号一点 b 在 点 a 右边距离 a 点四个单位长度，则点 b 所对应的数是多少，对吧？这个题拿到这一个题应该怎么怎样做呀？好，思考一下， 第一个咱们可以干什么呀？一个一个数，对吧？用最笨的一个方法，那就是 a 点在这里，好，一二三四，那点 b 是 不是就在二上啊？对吧？好，咱们用刚刚所讲的一个点， 能不能做出来啊？好，数轴上两点间的距离等于右边的数减左边的，大的，减小的，也就是说右边的数可以等。等于什么呀？是不是把它变行为可以等于数轴上两点间的距离加上左边的数呀，对吧？也就是说一共 四个单位长度，也就是说他们的距离加上阻断的时候，是不是加上负二等于多少啊？是不是等于二呀？所以说点 b 所对应的数应该是多少啊？是不是二呀？好，好，咱们看括号， 在一的条件下，点 a 以每秒两个单位长度沿竖轴向左运动时，同时点 b 以每秒 两个单位长度先束手向右运动，然后 b 向右运，对吧？好，当点 a 运动到负六时，点 b 停止运动，此时 ab 两点间的距离是多少？好啊，那点 a 运动到负六，也就说点 a 运动到这里，对吧？ 好，他俩一块开始运动了，那么点 a 运动了几秒呢？咱们看啊，他一共运动了一个，两个、三个、四个，那咱们用刚刚的一个支点是什么呀？负二 减掉负六，大的减小了，等于多少？等于四，对吧？也就是他一共运动了四个单位长度，那么他运动了几秒呢？是不是能拿出来？是不是四除以二等于二秒呀？ 是吧？那等于二秒，那点 b 也是每秒两个单位长度，那点 b 运动了多长啊？是不是同理也是四个单位长度呀？对吧？那四个单位长度，那么点 b 在 一的条件下，它是表示的是二，对吧？那么它现在是多少呢？是不是用什么呀？ 二加四是不是等于六啊？是不是用刚刚所讲的这个知识点？应该说这个是指的一个变形，对吧？ 变成什么了？右边的数等于两数上两点间的距离，加上左边的数，可以吧？好，咱们继续往下看啊， 六，那么点 b 是 不是就在六这一个点上， b 在 这里，对吧？好，那 a、 b 两点的距离， a、 b 两点的距离， a 在 负六上， b 在 六上 a， b 两点距离就是大的减小了，就是什么呀？六减掉负六等于多少啊？等于十二，对吧？ 好，这空就填十二。好。看，最后一题，在跨二的条件下，现在 a 点静止不动，好， a， 在 负六这个点静止不动了。好， e， 在 以每秒二个单位长度沿数轴向左运动时。好， b， 现在在六 向左运动。好，这个，这个 b 两点相距四个单位长度，那 a、 b 两点相距四个单位长度， a 是 不动的，咱们可以确定一下 b 它运运动的终点在哪里？终点在哪里呢？第一个是不是负二？这个点四个单位长度，对吧？可以说是负六加四等于负二。另一个是什么？负六 减四等于负十，为什么啊？因为用大的减小，或者说用什么呀？ 距离加左边的数，对吧？所以说它其中一个点可能在负二上，对吧？ b 一 品，好，另一个点在负十上，对吧？ b 两品， 好，这个题整体的思路就确定完了，好，咱们看啊，第一个点 b 在 负二上，好，这个题怎么做啊？好解， 怎么写？由 t e 可得 当点 b 运动到 负二或负十所在的点， a、 b 相距四个单位长度， 对吧？好啊，继续啊，看圈一点 b 运动到负二的时候，那么它运动了多远呢？好，六和负二之间是不是六 减掉负二等于多少？等于八，对吧？也就是说他运动了多远？是不是八个单位长度？那八再除以他每秒运动两个单位长度，除以二等于四秒。 好，第一个四秒出来了，对吧？好， b， 圈 b 运用了负十的时候，那运用了多少个？一共运用了多少个单位长度啊？好，那又是什么呀？ 六减掉负十等于十六，对吧？那么十六除以每秒二个单位长等于八秒，对吧？所以中上比 运动四秒或八秒， a b 相距 四个单位长度。 好，这个题咱们就解完了，整体的思路呢，就什么样？在图中确定它的条件，还有和图形进行结合。这个题运用了一个数学解题的一个重要的一个思想是什么呀？塑形结合，好吧。嗯，好， 这个题咱们就解完了， 后续呢，我会陆续的更新呢， 初中数学的一些相关的一些考点，包括一些题型，典型的一些题型。嗯，希望大家呢。嗯，喜欢的呢，可以点赞加关注。好吧，好，今天就到这里。

好，在这里面你首先做这样的题的时候，你在分析上没有下功夫啊，看，我要告诉你怎么来观察分析，然后如图示， 这个时候示化减 根号 a 开方减根号下 a 加 b， 破回的平方加那个 b 加 c， 化减的时候就是让你画到最减。好，我们就看图零 啊， c b a， 好， 那我要观察它的时候，我怎么看？我怎么去观察，我首先去看这个题目， 肯定要去到这个号，肯定判断 a， 肯定判断 a 加 b， 肯定判判断 b 加 c， 那 前面这个好办啊，这个和这个都好办，关键是 b 加 c 怎么判断？看绝对值，明白了吗？ 嗯，好，那我写的时候怎么写？我们就说由图知，你不是看图看来的吗？对吧？你又不是飘来的。所以 a 小 于 b 小 于零小于 c， 看见没？按照数轴从左到右写上小于号，看懂了吧？ 嗯，哎，就这样写，那你就知道 a 小 于零了。那 b 加 c 呢？则 a 加 b 对， a 加 b， 是 不是两个都是负数相加，仍然是负数小于零？对，那这个时候再看绝对值 b， 因为绝对值 b 大 于绝对值 c， 然后是，呃， b 小 于零， a， c 大 于零，那么则 b 加 c 仍然小于零，能理解了吧？ 看着前面这个分析吗？如果你没有这些分析，你突兀的自己来，容易做错不说，还给你扣分，明白吗？好，这个时候我们开始化简， 化简的时候我喜欢抄题，我再抄一遍，我如果不喜欢抄题，我都可以不抄，我就写个原式等于就行，但是我比较喜欢抄题，我抄题的目的呢？就是说我避免出现老师说看不着题目的问题。 所以 a， 这个时候我们知道根号 a 的 平方开方这个东西，它是我们的二次根式的性质，它能转化成绝对值 a， 这一步转化非常重要。第二个也能转化绝对值 a， 意思就是什么呢？你有根号再开方的这种形式，你给它转化成绝对值形式才能计算。然后这个时候我们去绝对值号，由于 a 小 于零，前面加个符号，看到了吧？ 嗯，由于我这个地方也小于零，我这个地方就变个号，就变变号，哎，变号加上括号 a 加 b， 那第三个时候小于零，变号减去一个 b 加 c。 好， 下面我再拆开负 a 加 a 加 b， 减 b 减 c， 何必 就等于负 c， 明白了吗？嗯，哎，以后你按照我这个方法做好，做一次对一次，不，不会错的，因为你前面都给它分析好了，你就知道它是什么样的，然后你就做。