余弦函数二分之一求导

好，通过例题巩固知识，通过题型总结方法，下面我们继续学习正余弦函数的行招，主要是单调性，嗯，对值以及它的对称性。 下面我们先来看第一个题型，关于它的单调性，那么这节课里面单调性的应用应该是最重要，那第一个问题呢，就是关于求单调区间问题，第二个呢，还有利用单调性去比较大小。那我们先来看第一个题型， 那首先这个地方让我们求解这个二倍的 cos 二 x 减四分之 pi 这个函数的 单调递减区间。那么首先呢，对于这种函数，首先我们要明确啊，它们都是复合函数。 那前面呢，我们在函数这部分学习过啊，一些符合函数的单调性的处理问题，我们这个地方做一个简略的回读 啊，那比如说 y 等于 f， g x 这个函数是复合函数，那么我们可以把它拆成 t 等于 g， x 和 y 等于 f t 啊，那么他们两个函数它的单调性决定了复合起来以后的函数的单调性。那当时我们记得有个口诀叫同增异减， 那也就是说当他两个函数的单调性相同时，那么合起来就是相等，那如果是单调性相相反，或者说叫不同，那么 和复合起来就是 b 减了，那么所以这个函数呢，我们就可以看成是啊， 它是由 y 等于二倍的 cosine， 我 们把里边看成一个整体，就 cosine t 和 t 等于二 x 减四分之派。 那么对于这个后边这个呢，我们把它看成是一个关于 x 的 一次函数，那所以这个一次函数前面系数是二，我们知道它一定是单调递增的， 所以我们要想求它的减区间，那就是求 cos t 的 减区间就行了啊，它俩一减一增合起来呢，就是减， 那因此呢，我们这个题如果想解决它的话，那就是求 cosine 的 减去，那这时候我们想起来啊，余弦函数的图像， 那想到再减去减指领导派，那加上周期你就更清楚了。好，所以我们可以直接写出来啊，当 t 大 于等于，那这边是二开派， 小于等于 pi 加二 k pi 时，它是单对递减的，那所以这是 t 我 们要取的区间，应该是指 x 的 区域范围，那因此呢，我们把 t 换成二 x 减四分之 pi， 那 让它小于等于 pi 加二 k pi， 然后呢，大于等于二 k pi， 这样我们解出 x 的 范围就是它的单调区间，那所以我们可以直接口算解一下，那这个地方呢，移过来是四分之五派除以二，以后是八分之五派 加，那这里除以二是开派，那然后这边呢，是大于等于八分之派加开派， 注意最后开属于整数，几 好，这就是我们解决这个题目啊，简单总结一些方法。其实呢，我们刚才的分析很复杂，以后解决的时候注意只要把啊这个里边 这个复合函数的这个里边看成一个整体，然后呢，我们根据外层函数的单调性去直接解决 啊，写出单列区间，然后令这个整体符合这个范围去解除 x 值就可以了啊。所以那当然最后这个地方我们要写成区间的形式，那它可以写成 八分之派加开派，到八分之五派加开派，那在这个地方写上开水，对啊，这样写就可以。 第二题呢，和刚才这个题差不多，是类似的一个题目， 那么我把它又写在这个地方呢，其实叫你观察一下，它有一个细微的区别，那就是这个里边这个函数 啊，它是一个递减的函数，所以要想求增区间的话，应该求外层函数的增区间， 那如果我们看不到这一点呢，我们就很容易求错啊，可能用四分之 pi 减 x 啊，属于它的外层函数的一个增区间解出来，那就错了，或者说这个题还可以怎么办呢？还可以直接把它化成 y， 等于 构成 x 减四分之 pi， 那 么这样的话，我们把这个 x 系数化正以后，因为里边是个增区间，所以求增区间就是求外层的增区间， 那这样就不会出现刚才的问题了啊。因此以后我们遇到如果负函数里边 这个 x 系数为负的情况，我们尽量用的方法就是化正啊，这样比较容易解决。那这个过程呢，大家可以自己求解一下啊。 那这个地方呢，我主要是通过这个题还想说明一个简单的方法，那就是我们要判断它的一个 z 区间时，我们还可以用什么方法呢？就是把下面的区间的端点带入以后，求这个四减 x 的 区域范围 啊，那么四减 x 范围求出来了，那这个余弦在这个区间上是增还是减，那就很容易判断了啊。比如说这个题，我们看 a 选项 代入的话，应该是四分之派减 x 属于什么范围呢？那因为负 x 属于负派到负二分之派，所以加上四分之派以后，那就是负四分之三派 到，那这个地方应该是负二分之派加四分之派，那就是负四分之派在这个范围里，所以根据余弦函数的图像， 我们参照这个图像去看一下，那这个地方是负派，所以在负四分之派到负四分之派上，那么 这个函数应该是，那么又由于这个函数本身啊，内层四四分之派 减 x， 它是单调递减的，那所以一个增一个减，那合起来就是递减，所以 a 是 不行的，那 b 选项呢？那么 在零到四分派上，四分之派减去 x， 应该属于 零到四分之派，那我们看零到四分之派上，余弦函数是递减的，那么这个四分之派减 x 呢，也是递减，两个减合起来就是递增，所以这个选 b 就 可以了 啊。当然呢，我们刚才说的第一种方法，这个直接去求解他也不麻烦，所以呢，我们可以考虑用第一个方法啊，这个排除的方法呢，虽然也比较简单，但是每个选项都得挨着使啊。 好，这是前两个题目，下面再看这个题，这个题呢，也是和这个前面差不多啊，只不过呢，注意它的规定的一个条件是 x 属于负二派到二派的单调增区间。 那么这种题呢，呃，应该说经常考察还是比较重要的，它是求固定范围内的一个增区间， 所以他没有这么自由了。那么这个我们通常一是可以用刚才那个办法去求求出来，因为刚才我们看到他这个能区间应该是含有这么开的一个区间，所以呢，我们只需要看采取什么知识，他在这个区间内， 从而锁定他的低能区。那这个地方呢，我再讲一个另一个方法，那就是我们可以先把里边这个整体的范围求出来啊，那就是二分之 x 减六分之派，看他是属于什么范围， 那相信这个大家应该都会求啊。那么首先左边除以二以后是负派，负派减六分派，那就是负的六分之七派，那这边呢，是派派减六分派呢，是六分之五派， 好，这个整体的范围求出来。刚才我们说了，如果把它看成一个整体 t 的 话，我们还是观察一下余弦函数的图像， 所以它这个地方呢，是这里是负派，负六分之七派应该在这里， 那然后六分之五派呢，是超过了二分派不到派，那所以它大约在这儿。 好，这是我们把它看成 t 的 话，这个 cos t 的 范围啊，是从负六分之七派到六分之五派，我们比较容易看出这一段区间上的递增区间应该是从负派到零， 所以也就是说这个整体 t， 也就是当二分之 x 减六分之派，在负派到零时是单调递增的， 那这样的话，我们就可以求出这个 x 的 去式范围，所以 x 是 属于。好，我们口算一下，先看右边，把负六分派移过来，六分派乘二以后是三分的派， 然后呢，这个负派这边移过六分之派来啊，负派加六分之派是负的六分之五派，然后再乘二呢，就是负的三分之五派。 好，这样求出来的这个区间就是原函数的极增区间啊，所以我们把它的增区间写在这， 那就可以了啊，这两种方法都行，那么推荐大家使用这个方法啊，这个方法呢，因为我们先锁定了它的范围，所以，呃，比较容易求出画图，比较容易看出它的。 呃，我们要求的这个区间啊，好，大家可以总结一下这个地方的方法。 好，下面我们再来看第二个题型，就是关于利用单调性比较大小。那么这个地方呢，我们前面曾经遇到过，我们可以利用单位员的定义里边出现的正弦线，余弦线也可以比较， 那么这个地方有了这个正余弦函数以后就更方便了。那么比较时我们主要利用的方法就是，首先 一般比较的时候是转化为同一个单调区间啊，因为你要利用单调性。那再一个呢，就是结合图像直观地去看 啊， 好比如说我们看，先看第一题，这个略微简单一点，那么一看是比较两个 sine 的 值，那这时候呢，我们想到正弦图像 划出一部分，那我们看它的两个值是负八分之派和负十分之派，显然都比负二分之派要大，比零要小，所以在这段增区间上， 那么又很容易比较出负八分之派和负十分之派，那显然负十分之派能大一些，那它在等曲线上，所以这个地方应该是小于，所以 a 是 错的。 那这两个比较呢，都是余弦，首先呢，这两个角的差距比较大，它肯定不是在同一个单位区间上，所以呢，我们首先利用诱导公式对它们进行化解，像 cosine 四百，我们想到它是三百六 加四十，那这样的话，我们就很容易得出它就是 cosine 四十度， 那同样的这个呢，直接把符号划掉，勾三五十度，那么对于余弦函数， 我们也是画出它的图像，那么大家经常用这种图像应该就比较熟悉啊，快速画出图像， 那么四十度和五十度都是在零到二二分之派范围，所以它是递减的，那因此四十度的余弦要大于五十度的余弦， 那么这个呢，我们也要注意三和二，三和二一定要注意，它们都是弧度啊，弧度， 所以那我们来看的时候找正弦函数图像都大于零。首先二分之 pi 这个地方它是小于二的，那 pi 这个地方呢，又大于三， 所以我们知道它两个在啊二分之派到派之间递减的函数，所以呢，呃， c 三应该是小于 c 二。 好，然后再看下最后，最后呢，首先它两个一正弦一余弦，并且这个角首先它超过了派，我们可以用右的公式化简，它可以写成派加七分之派， 那这样的话这个我们就可以写成负的三七分之派，那同样的，我们看一下这个 cosine 八分之七派，我们看到它接近派，可以写成派减八分之派， 那这样的话它的余弦我们可以画成负的 cosine 八分之派。 好，然后呢，就是比较这两个 七分之派的正弦和八分之派的余弦谁更大？那当然呢，我们这个地方也是可以利用正弦函数图像的话， 因为它在两个图像里边它不好比较，所以我们想利用它，可以考虑把它转化为这个同名的三角函数，比如说它可以写成 sin 八分之七派，哦，不是八分之七派，是 sin 二分之派减八分之派，也就是八分之三派， 那显然八分之三派呢，要比着七分之派的正弦要大，那么添上符号以后呢，就小了，所以 d 是 对。 当然这个地方呢，我们也可以利用， 呃，我们现在前面已经学过的知识，因为七分之派和八分之派都是在零到四分之派范围内， 那么在零到四分之派上，那么这个正弦值它是小于二分之二，而余弦值呢，是大于二分之二，那么利用这个也可以把它比较出来。好，这是第一个题， 下面我们来看第二组。第二组这个呢，虽然形式上和刚才差不多，但是呢，这个稍微复杂一点，我们来看一下。首先第一个呢是扣算八分之十五派，那么这时候我们也是看到，呃，他这个地方 八分之五派，十五派接近八分之十六派，所以可以考虑呢，这个写成二派减八分之派，这时候，所以这个可以写成 cosine 八分之派，利用诱导公式，那这个九分之十四派呢， 我们可以考虑给它写成， 因为它也是接近二派，九分之十八派，所以如果把它写成二派减去九分之四派， 那么我们就可以把它写成扣三九分之四派， 那么这个九分之四派和八分之派呢，都是锐角，都是锐角，显然九分之四派要比八分之派大， 那在零到派上，余弦函数是单调必减的，所以呢，我们就很容易得出啊，这个是前面的大于后面。 好，这是第一个，第二个没有出，出现了这种情况啊，就是一个正弦和一个余弦去比较， 那么对于这个一这个弧度来说呢，它们都是在零到二分之 pi 之间的锐角， 那么所以和刚才那个方法一样的话，我们可以考虑它们和四分之 pi 之间的关系。那我们知道一是四分之 pi 呢，因为 pi 是 三点几，所以大于四分之 pi 的， 而它又小于二分之 pi， 所以在四分之派到二分之派之间，余弦值应该比正弦值要大啊，所以我们可以用这个方法来解决啊。呃，说反了啊，应该小于弦值上面，越越大，它的值越小。 那么当然呢，我们也可以像刚才一样把它画成这个，呃，同名的，那你像这个根据 正弦值可以画成二分之 pi 减一，根据 u 的 公式，那么所以我们只需要比较二分之 pi 减一和一的大小就行。那刚才我们已经说了啊，这个一，它是 二分之 pi 减一比一呢，应该要小一些啊，所以在零到二分之 pi 上， sin 是 单调递增，也可以比较出它小于 sin。 好，再看第三题。第三题呢，也是我们看同样的这个地方， sin 这个值比较接近一百八十度，所以为了便于比较，我们可以把它画成 sin 一 百八十度减去十六度，这样它可以直接写成 sin 十六度。 那么这时候呢，这边是余弦，余弦，那我们可以考虑直接给它画成 cos 九十度加二十度，这样既画小了角，又把它变成了同名的反向数，那我们知道九十度加二十钝角的余弦是负的，所以是负的。再二十度， 那对于这两个锐角的正弦来说都是正的，那这个带着符号，所以明显它是大于 好。所以这个地方，呃，我们大家在比较的时候，就是主要总结这样的规律啊。第一呢，我们要把这些角利用诱导公式画的更小啊，这写一下，利用诱导公式 尽量把角画成小角， 画成小角的目的呢，是为了便于把它们放到同一个单调区间啊， 单调区间尽量相同，这是第一。第二呢，就是尽量用一个公式把它画成同名的 啊，同名的更好，比较主要是采用这两个方法啊。 好，这是单列型的应用，下面我们再看第二个类型，那就是呃，它关于它的对值或者说值域，这个地方呢，主要选了一个题目，那这个题目呢，其实可以代表这个地方大部分题型。 那第一呢，我们来看一下这个函数的最小正周期是 pi， 这个地方设置了一个条件，那根据前面 pi 等于二 pi 除以毫米，我们可以知道毫米是二，所以呢，这里我们可以得到 f x 其实是三倍的 sine， 二 x 加上三分之一派，那然后呢，它让我们求的是在这个区间上的最小值， 那么这时候呢，我们可以想到这个函数像刚才求单列区间的时候一样啊，可以看成这个负函数，这样我们把里边看成 t 的 话， 那么求出 t 的 范围，再通过 sin 图像，正弦函数图像就可以求出来，那么这时候我们可以根据条件先把它的范围写出来，因为这个 x 属于负十二分之派到六分之派， 所以这个二 x 加上三分之派属于，我们算一下乘二以后，先算这边是负六分之派，那加上三分之派，那应该就是六分之派， 那最大这里二一乘以后，三分之派加它是三分之二， 所以呢，相当于求啊，这个三 t 三倍的三 t 在 这个范围内的最小值，那这时候我们也是啊，参考图像， 那么在这个地方有六分之派标出来三分之二派呢，已经到这个地方， 所以在这个范围内，那最大值我们能看出来，那这里求最小最小呢？我们看六分之 pi 对 应的正弦是二分之一，这个呢是二分之三弦，六分之 pi 是 更小，所以这样代入就可以求出 f x 最小值应该是二分之三， 也就是 d 选项。所以这种题的求解还是比较简单啊，就是我们还是利用这个整体法啊，把它看成一个整体，求出角度范围，然后再利用函数图像，其实就是结合它的单调性。 那么这个地方还有常考的一个题目会问到啊，取得 最小值时的 x 是 多少，那么这时候因为我们看图的时候，这很容易，刚才看出来是六分之八十，所以呢，那就是可以填上是六分之八十啊， 所以这种题用这个方法的好处就是我们还比较容易解决，这个，什么时候它能取到最小值啊？ 好，就是这个题目最后这个对称性呢，在这个地方还是比较简单的啊，因为对称性呢，我们是通过函数的图像直观的看出来，所以这个地方呢，我们在解决对称性问题的时候 啊，也是可以直接利用这个结论就行。那和刚才同样道理，求 sin 二 x 减六分之 pi 图像的对称中心和对称轴，那我们来看一下， 把它看成 t 的 话，那么这个 sin t 的 对称中心和对称轴，我们很容易就知道了，那怎么求出这个函数呢？我们就直接利用这个 t 为二 x 减六分之派减出 x 就 可以了。比如说我们先来看它的对称轴， 那它本来三 t 的 对称轴是 t 等于多少呢？我们前面也总结为结论，二分之派加开派开属于 z， 那么这时候我们只需要让这个二 x 减六分之派，整体等于它解出来就可以了。所以这样的话，我们解出来 x 等于先把它移过来，这是三分之二派，除以二是三分之派， 再加上二分之开派，那么这个就是它的对称轴。 那同样的对称中心我们来看一下， 那么对称中心呢？一样道理，因为对称中心是一个坐标啊，我们先看它的横坐标，横坐标那就是让二 x 减六分之派，应该是等于开派， 这样我们可以解出 x 是 十二分之派加上二分之开派， 那这时候呢，我们只需要把它写成它的坐标形式就行，那就是十二分派加二分之开派，零开属于整数， 这样就可以啊。所以呢，这个题和前面对值一样，方法呢，就是利用 呃，整体法啊，把内存函数整体看成 t 以后去求减就行。好，今天这节课我们先讲这。

同学们好，我是你们的专属数学老师西瓜老师。很多同学说导数公式又多又乱，死记硬背，一做题就忘。今天呢，老师把所有求导公式编成一套口诀，跟着我读一遍，就能牢牢记住。首先是基本函数求导，常数求导等于零 密值，函数降密往前冲。 e 的 x 次方求导很特殊，求导还是它本身 a 的 x 次方导。后面再乘 l、 n a 对 数函数别记错， l n 求导 x 分 之一 log 以 a 为底， x 分 母多个 l n a 三角函数呢？这样记，正弦求导是余弦，余弦求导负正弦。 接下来是四则运顺和差倒数各自倒，再相加，减前倒后不倒，后倒前不倒，中间加号不能少。这是乘法求倒除法要记分子减分母平方别忘掉。 最后是复合函数求倒，先外后内，层层拨，求倒之后再相乘。 就这么几句口诀，覆盖高考所有求导公式，每天读两遍，做题再也不卡壳！觉得有用的同学点赞、收藏，转发给你身边还在死记公式的朋友，跟着西瓜老师数学轻松上分！

我们来看鱼弦定律这一个模块，那鱼弦定律这一个模块呢，我们呀将其分为六个主要的基本层次，第一个呢是定律的推导， 二三四五呀，这几个模块，虽然我们做了一个细分化的处理，但是呢，他们说的内容啊，其实是同一个内容，就是鱼弦定律的简单应用。 到了第六个模块呢，涉及到余弦定律与三角函数或者是基本不等式的综合应用，那这个一个点呢，难度呢？相对而言啊，复杂那么一点点， 但是呢，也只有那么一点点。首先呢，我们来看余弦定律的简单的推导。呃，什么是余弦定律呢？在三角形 a、 b， c 之中， 我们假设呢，这个 ab 向量呀，是 c 向量，这里的这个 ac 向量呢，是 b 向量，而 bc 向量呢是 a 向量。那么由平面向量的向量的限性运算知识我们知道， b 向量减去 c 向量就等于 a 向量。对这个式子呀，我们两端同时进行平方，那左边呢，就会变成 b 的 平方， 加上 c 的 平方，再减去二倍的 b 的 长度， c 的 长度乘以一个他们所加的角呢是角， a 再等于 a 向量的平方，而由于向量的平方呢，它就表示一个线段的长度，所以呢，左边我们就可以写成 b 方加 c 方，然后呢，把 a 方给它挪过来，那么它就等于二倍的 b 向量的长度乘以 c 向量的长度，再乘以一个 cosa。 这样的话呢，我们就得到了一个余弦定的表达式的一个基本内容， b 方加 c 方减 a 方等于二 b， c 乘以一个 cosa。 当然了，对这个表达式呢，我们还可以进行一个变形处理，变形处理之后就是 cosa 等于 b 方加 c 方减 a 方，比上一个 二 b c， 那 这个形式呢，是很多同学呀，更容易接受的一个基本形式。同理呢，我们也可以对角 b 以及角 c 呢进行一个简单的推导，那这呢就是鱼弦定律的这个推导， 那我们推导出了鱼弦定律的这个基本形式，这个定律它是怎样进行应用的呢？ 想要搞清楚他是怎样进行应用的，我们就要抓住鱼弦定律的关键。其实呢，鱼弦定律啊，他一共包含着四个要素，这四个要素分别是三个边以及 一个角。我们面对的这个表达式呀，其实就是一个简单的方程，而这个方程之中呢，涉及到了四个要素，分别是三个边和一个角。那我们想要使用这个方程， 有一个非常非常简单而又容易理解的这么一个策略，那就是四个要素之中，只要你知道其中三个，一定可以把最后一个给他求出来，那这种用法呢，我们就称之为知三求一。 举一个非常简单的例子，我们来看这样一个题目，角 a 等于六十度， c 等于二， b 等于一，问 a 边等于多少？ 那由于我已经知道了角 a 等于六十度，然后呢，我就可以使用余弦定理 cos a， 它呢就是 二分之一，由余弦定律可知， cosine 呀，等于 b 方加 c 方减 a 方比成一个二 b c， 由于 c 边和 b 边我们都知道，只有 a 边不知道，那么我们把已知量给他带进去，就是四加一减 a 方比上一个二，乘以一个二，再乘以一个一，这里呢，我们不用直接去算， 写完了之后呢，对这个位置和这个位置呢进行一个约分，然后一向左边呢，就是二等于五，减去一个 a 方，所以呀， a 方自然就等于三，那么 a 呢，自然就等于 根号三，那这种求法呢，我们就称之为知三求一。我们知道了一个角，一个边，一个边，那么很容易使用于弦定理，就可以把另外一个边呢给他求出来。这里啊，我们做一个温馨的小提示啊，就是一个题目， 他只要涉及到三个边和一个角，就可以使用于弦定力。我们用到了一个词叫做涉及到， 被涉及到的东西不一定是已知的，比如说我们现在看到的这个题目， a 边他就属于一个被涉及到的边，那我这个题目当中一共涉及到四个要素，分别是三个边和一个角，那我就可以使用余弦定离， 他不一定是已知的，只要是被提及的啊，涉及到的就可以了。再来举一个例子， a 边 b 边三， c 等于五分之四，问 c 边等于几？那这个题目呀，它还是涉及到了三个边，涉及到了一个角 三， c 等于五分之四。那么我们先对正弦呢进行一个转化，给它转化成余弦。由于 正弦等于五分之四，我们不能确定 cosc 是 等于五分之三，还是等于 负的五分之三。上节课我们已经提到了一个正弦值呢，他对应着两个角，这两个角都是有可能的，所以啊，我们分别进行计算，如果他是等于五分之三的，我们使用余弦定例 cosc， 他 就等于 a 方，也就是二十五加 b 方十六减去 c 方，比上一个二乘以五乘以四，这个位置不用算啊，把它约分约掉，那么给它乘到左边就是二十四等于 二十五，加十六减 c 方，所以啊，这个 c 方呢，就等于十七，那这个时候 c 呀，是等于根号十七的， 这是一种可能性，另外一种可能性就是左边呢，如果是负的五分之三，而右边呢，还是二十五。 加十六减 c 方，比上二乘以五乘以四，这个位置给它约掉左边，就变成了一个 负的二十四等于二十五，加十六减去 c 方，那这个时候呀，我们算到的 c 方呢，它就等于六十五，那么 c 就 等于根号 六十五。所以啊，这个题目之中， c 呢，它拥有两种可能性，主要的侧重点就在于这个位置，一个正弦值呀，它对应两个角。 再来看一个题目，三角形的两个边长分别为五和三，他们加角的余弦值是这个方程的根，那么我们先来简单的解一下这个方程， 十字相乘五一三负二，所以啊，一个根呢，是等于二的，而另外一个根呢，是等于负的 五分之三的。由于余弦值，它的范围呢，是在负一到一之间，显然呢，它是不可能等于二的。这样的话呢，我们就知道了，这个余弦值呀，它是等于负的 五分之三的。这个题目呀，明确告诉我们是他们所加的角，那么我们做出一个简单的草图， 这个边是五，这个边是三，所加的这个角的余弦值呢，是等于负的五分之三的。那么我们不妨呀，设他们所对的这个边呢，是 x， 那 由于先定理可知，负的五分之三呀，它就等于五的平方，就是二十五加上三的平方九减去 x 的 平方，比上 二乘以五，再乘以三约分，把这个五跟这个五给他约掉。那左边呢，就是负的十八等于二十五，加上九，再减去 x 的 平方，所以啊，这个 x 的 平方呢，它是等于 五十二的，那 x 呢，自然就等于二倍的根号十三，所以呢，另外一个边呀，就是二倍的根号十三。再来看一个简单的问题， a 边 c 边， c 角问 b 边。哎，你看这个题目呀，他又是涉及到了三边和一个角，那么我们还是直接使用余弦定理考算， c 自然就等于二分之一 考点， c 等于 a 方加 b 方减 c 方， a 方呢，是九加上 b 方未知减 c 方就是七，乘以一个二倍的 a 三，再乘以一个 b， 还是先约分，不用直接算，那么再整理就会得到三。 b 呢，是等于 b 方加二的，所以啊， b 方减三， b 加二等于零。 那么解方程一一负一负二，所以这个 b 呢，可以等于一，也可以等于二。下一个问题 满足， a 等于四， b 等于三倍的根号二角， a 等于四十五度的三角形，有多少个？那么多少个呢，其实就是问有多少个合理的 c 边， 我们想要求这个 c 边的个数呢？很显然呀，这个题目又是涉及到三边和一个角的问题，所以呢，我们先使用余弦定理，把这个 c 边呢给他求一求 考算 a， 那 就是二分之根号二，由余弦定理， b 方加 c 方减 a 方比上二 b， c 把已知量代入，就是根号二，比上一个二等于 十八，加上 c 方减去十六，比上一个二乘以三倍的根号二，再乘以一个 c， 约分这个位置和这个位置给它约掉，乘到左边去，也就是 六， c 等于 c 方加二，所以呢， c 方减六， c 加二等于零。 那很显然呀，这个二次方程正根的个数就是 c 边的个数，因为三角形的边长呢，它不能是负数。所以啊，我们既要判断这个方程有几个根，还要看它是否有正根。 首先我们来算它的判别式得，它呢，就是 b 方减 c， c， 显然呢，这是大于零的。 我们再结合微大定律， x 一 加上 x 二呢，是等于六的， x 一 乘以 x 二呢，是等于二的两根之合与两根之积啊，都是正数， 那就说明呢，这个方程拥有两个正根，那么 c 边呢，自然有两个解，所以啊，满足这样条件的三角形呢，一共有两个。 再来看一个问题，三角形的三边之比呢，是三比五，比七，让我们去求这个三角形的最大角， 那由大边对大角这样一个结论性的知识。我们知道，这个三角形当中最大的这个角呢，就是七，这条边所对应的。我们画出一个剪图， 这个是三，这个五，这个是七。我们假设呀，这个角是 c， 它角。 同学们在记背这个余弦定理的时候呀，一定要注意余弦定理，你除了记住什么考算 a， 考算 b， 考算 c 的 表达式之外呢，我们最好呀，要记住它这几个边的顺序， 它呢是两邻边之积， 比如说在这里边呀，就是 cosine， 它，它等于两邻边的平方之和，就等于三的平方加上五的平方，再减去对着边的平方除以呢，二 b 的 两邻边之积。好，我们简单的计算就是九，加上 二十五，减去四十九，除以一个二，乘以三，乘以一个五，最后呢，这个数就等于负的二分之一，所以啊，这个最大角，它的度数呢，就是一百二十度。 事实上，三五七这几个数字呢，它也是一个非常常用的数字，经常出现在减三角形这之中，我们可以注意啊，积累相关的经验。 再来看一个问题， ab 等于二， ac 等于三， bc 等于四，问， ab 向量加上 ac 向量的模长等于多少？ 那么我们想要求它的这个模长，就要先对它进行一个简单的平方，也就是模长， 它就等于啊，我们先对它进行一个平方， 然后呢，再对它进行一个开根号，这是计算周长，那么我们把它给打开，它就等于根号下 a b 的 平方加上 a c 的 平方，再加上二倍的 ab 向量，乘以一个 ac 向量，那 ab 的 平方呀，它就等于四， 而 ac 的 平方呢，等于九。接下来呢，我们着重计算这个二 b 的 ab 向量，乘以一个 ac 向量，很显然，它就是二，乘以一个 ab 的 长度，也就是二， 再乘以 a c 的 长度也就是三。而 ab 向量与 a c 向量呢，所加的角呀，它正好就是 cosine a， 所以呢，想要求得这个模长，我们就需要求得 cosine a， 由余弦定律可知，这个 cosa 呀，它就等于 b 方加上一个 c 方，也就是三的平方加上一个二的平方，再减去四的平方，比上二乘以三，再乘以一个二，简单的化简， 我们只需要计算上边就可以了。那三的平方加二的平方，再减去四的平方呢，是等于 负三的，因为啊，下边的这个位置呢，与这个位置呀，正好可以抵消，所以最后的结果呢，就是四加九，再减去一个三，也就等于根号十。 再来看一个问题， a 等于根号三， cosa 等于三分之一， b 乘以 c 等于四分之九，问 b 加 c 的 值。虽然说这个题目与前面我们所看到的题目有所区别，就是求的不再是特定的边呀，或者是特定的角等等， 但是呀，他的规律性没有发生任何实质性的改变，就是这个题目，你细看，他还是给了一个角，然后呢，涉及到了三个边，所以呢，我们想要解决他呀，还是使用余弦定理， 只不过在余弦定理的基础之上呢，附加了一点点运算上的小技巧而已。那么我们先使用余弦定理考算， a 三分之一，他就等于 b 方加 c 方，减去 a 方，比上一个二乘以一个 bc， 也就是四分之九。好，我们对它进行一个简单的化简，也就是 二分之三等于 b 方加 c 方，再减三，所以呀， b 方加 c 方就等于 二分之九。那我们怎样能够快速的把这个 b 加 c 给他算出来呢？我们可以这样， 就是 b 方加 c 方，他不是等于二分之九吗？然后呀，我们在这个等式的两端呢，同时给他加上一个二 b c， 那左边呢，他就变成了 b 加 c 括号外的平方，而这个 bc 呢，他是等于四分之九的，那你二 bc 自然就等于二分之九。 所以呢，右边呢，我们给他写成二分之九，也就是九，这样的话呢，我们就得到了一个完全平方式，那 b 加 c 的 值呀，他就等于三。 事实上，这也是鱼线定律当中啊，我们常用的一个简单的运算技巧，就是核与基之间的快速转换。 接下来呢，我们看下一个类型的题目，边角互化与三角形形状的判断。 那由于我们今天的主题呢，是以鱼弦定理作为核心的，所以呢，我们不去过多的涉及到正弦定理之间的这个边角转化关系，我们还是把目光集中到鱼弦定理本身上来， 那这一个小模块呢，就不再像我们前面所提到的那样，直接支三求一， 而我们更多的是关注鱼弦定律本身的形式。然后呢，通过鱼弦定律啊，去沟通一些个简单的计算，进而实现对于三角形形状的判断。我们先举一个简单的例子， 有一个三角形呢，他满足这样一个条件， a 乘以一个口算 b 加上 b 乘以一个口算 a， 是 等于 a 边的。问三角形的形状是什么样的， 那我们想要解决这样一个问题，如果只从余弦定力的这个角度去考量的话，那么这个题目呀，他的题干信息，我们唯一能做的事情就是把这里的考算 b 用余弦定力给他写出来，那考算 b 呢，他等于 a 方加 c 方减 b 方比上二 a c。 同理啊，我们把那个考算 a 呢，也给他写出来， b 方加 c 方减 a 方比成一个二 b c， 他 是等于 a 的。 接下来啊，我们进行一个约分，这个位置与这个位置约掉，这个位置呢，与这个位置约掉。 然后呢，我们两边呀，同时给它乘以一个二 c， 左边呢，剩下的就是 a 方加 c 方减 b 方，加上 b 方加 c 方减 a 方，等于 二 a c。 现在呢，我们处理左边这个位置呀，与这个位置约掉，这个位置呢，与这个位置约掉， 也就是二 c 方呢，等于二 a c。 那 么 c 呢，自然是等于 a 的， 所以啊，两个边相等，它自然是一个等腰三角形。再来看一个题目， 满足的条件呀，是 cosa 比乘， cosb 等于 bba 等于根号二，让我们去判断三角形的形状。 这里呢，我们先把我们解决问题的目光呀，集中到左边这个位置上来，右边的这个长度信息呢，我们后处理即可。 那左边这个信息呢，我们可以对它进行一个简单的交叉相乘，就是 a 乘以 cosine 等于 b 乘以一个 cosine。 好，把左边的这个口算 a 呀，用余弦定的给它换掉，就是 b 方加 c 方减 a 方比上 二 b c， 而右边呢，也给它换掉，就是 b 乘以一个 a 方加 c 方减 b 方，比上一个二 a c。 简单的约个分，把二 c 呢都给它约掉。 那接下来呀，我们方把右边的这个 a 乘到左边，把左边这个 b 乘到右边，左边呢，就变成了 a 方乘以 b 方加 c 方减 a 方。括号等于啊， b 方乘以 a 方加 c 方减去一个 b 方。 由于啊，这个时候呢，我们再把左右两段给他打开呢，就会出现有的位置有四次方的情况，显然呢，再打开呢，就不是特别的理想。 那我们观察题干条件的后半程，其实后半程 b b a 等于根号二，就是 b 啊，它等于根号二 a。 那 这样的话呢，我们可以把右边这个 b 方呢换成 二 a 方，跟左边这个 a 方呢，就形成了一个约分，这个时候算起来就容易多了。左边呢就是 b 方加 c 方减 a 方，而右边呢是二 a 方加 二 c 方减去二 b 方，整理一下就是三 b 方等于 三 a 方加上 c 方。这个时候呀，我们再引入这个 b 是 等于根号二 a 的， 它左边呢，其实就是 六 a 方等于三 a 方加上 c 方。所以我们可以得到 c 方呢，是等于三 a 方的， 那自然就是 c 等于根号三 a， 而由于啊， b 是 等于根号二 a 的。 还有一个边是 a， 我 们观察这三个边，你很容易发现， a 方加 b 方恰好是等于 c 方的，也就是说它是一个直角三角形。 再来看一个问题，这个三角形呢，它符合这样一个条件，让我们去判断三角形的形状。那我们观察到左边有一个 cosine 二分之 b 的 平方， 这个位置呢，结合二倍角公式呀，我们知道左边呢是可以进行降密处理的，二分之一再加上二分之一， 那右边呢，是 a 加 c 比上一个二 c， 左右两段约的这个二分之一，左边自然就是 cosby 加上一等于 a 加 c 比上一个 c。 那 处理到这里啊，我们只能呢将这个 cosby 呀给它还原成 余弦定里，也就是 a 方加 c 方减 b 方比上二 a， c 加上一等于 c 分 之 a 加 c 这样一个形式。 呃，我们不妨呀，对这个式子的左右两边同时给它乘以一个二 a c， 那 左边呢，就是 a 方加 c 方减 b 方加上 二 a c， 而右边呢，就变成了二 a 方加上二 a c， 这个位置与这个位置约掉了。然后呢，我们对剩余的部分呀进行处理，就会得到 a 方加 b 方是等于 c 方的，这明显是勾股定律的形式，所以啊，这个三角形是一个直角三角形。 再来看一个简单的题目，考算 a 乘以考算 b 乘以考算 c 大 于零。问这个三角形呀，是哪种类型的三角形？那结合上节课我们讲的这个储备知识，我们知道 三角形之中呢，一定是有两个锐角的，也就是说这里的考算 a， 考算 b， 考算 c 呀，注定有两个是大于零的， 而另外一个与他们两个相同之后还大于零，就证明这三个呀，全都是大于零的。那么三个都大于零，就证明所有的角都是锐角，那他一定是一个锐角三角形。这个问题呢，是非常简单的， 接下来呢，我们还是来看啊，嗯，与弦对应的有关的一些个特殊的情形。 那前面我们在判定三角形的形状之中的时候呢，呃，经常会涉及到一种解法，就是你把这个余弦啊，他的这个表达式呢，对他进行一个展开，那就把 角给他画成了边，然后我们在边的范畴之内呢，去讨论某种问题。那接下来我们继续举几个有关的例子，我们来看这样一个条件 二， b 乘以个 cosc 等于 a 乘以一个二减 c， 并且呢告诉我们角 b 等于三分之派，让我们去求 a 边。 那这个题目呀，它一共拥有两个条件，嗯，这个条件呢，是一个不太明朗的条件，这个条件呀，就非常的明朗，就是这个角 b 是 一个定值， 我无论是使用正弦或者是余弦呢，都可以求出它对应的三角函数值。所以呢，我们应该把目光呀放在这样一个条件上来， 那么这里边有一个口算 c， 我 们不妨呢使用余弦定例啊，给它展开成二， b 乘以 a 方加 b 方减 c 方，比上一个 二 a b， 而右边呢，是 a 乘以一个二减 c， 好 简单的约分这个位置与这个位置呢，给它约掉，然后我们把这个 a 啊给它乘到右边去，左边就是 a 方加 b 方减 c 方，等于 a 方乘以一个二，再减去一个 a 方乘以 c。 在处理到这个位置之后呢，其实这个条件啊，就没有必要再继续向前处理了，我们认真的去观察，你会发现他其实就是一个三边关系的一个表达式。所以呢，我们考虑第二个条件，就是这个角币啊，他等于三分之派， 那如果我再使用余弦定力，我就可以得到二分之一，就等于 a 方加 c 方减 b 方，比上二 a c， 也就是 a c 呀，它等于 a 方加 c 方减掉一个 b 方。 那有了这个条件之后，我们再重新来看这个条件，如果我们对他进行一个简单的整理，就是把左边的东西给它挪到右边来，就是 a 方加 c 方减 b 方等于 a 方乘以一个 c， 那么这个条件与这个条件的右边呢，长的是一样的，所以啊， a 方 c 呢，它就等于 a 乘以 c， 那 我们自然就可以得到 a 呢，是等于一的 下一个问题。 a 等于负， c 乘以一个口算 a 加 c， 让我们去判断三角形的形状，我们知道这个口算 a 加 c， 其实就等于负的口算 b， 所以 啊，这个条件就是 a 等于 c 乘以一个 cosb， 那 么我们把这个 cosb 呀给它还原，就是 a 方加 c 方减 b 方，比上 二 a， c 这个位置与这个位置约掉，把这个东西乘到左边，就是二 a 方，等于 a 方加 c 方减掉一个 b 方， 所以呢，我们可以得到呀， a 方加 b 方是等于 c 方的，所以这个三角形呢，是一个直角三角形。

我们学到导数的计算以后，有没有会发现一个问题，这个导数的公式啊，我们是学了又忘，忘了又学，学了又忘，那么我们怎么来解决这个问题呢？今天何一老师给你们上大招啊，我们用一套比较简单的口诀和口号，我们来记住导数所有的公式。好，那我们来看， 那我们把导数的公式呢，分为这以下几个特殊的函数，第一个就逆函数，指数函数、对数函数，还有一般的函数去加减乘除啊，还有三角函数，正弦函数和余弦函数的导数，那我们把它的规律总结完以后，那我们开始记口号了哦。 逆含求导是 n 倍指数减一，后面随 x 的 n 四方的导数，它就等于 n 倍的 x 的 n 减一次幂，这叫逆函数。指数导数有本身，以 e 为底底对数 a 的 x 四方的导数指数导数有本身，那么再乘个以 e 为底底对数啊，以 e 为底 倒数的导数 log 以 a 为底， x 对 数的导数，那么它就等于真数前倒立，拿到前面做分之一，然后以 以底为底绕 e， 以底为底绕 e 的 意思是说绕以 a 为底， x 的 啊， e 的 对数啊，这个是 e， 但是呢，我们在写的时候，我们通常都把它写成以 e 为底的，所以它就等于 x 乘以绕 a 分 之一，那么正弦导数是余弦散点， x 的 导数是口散， x 与倒正弦加负号同上的，倒数是负的上引 x 好 了。复合函数求导数先外后里是规律。我们来举个例子，复合函数求导数 f x 等于 log 以二为底， x 方加 x 的 对数，那么 f x 的 导数先外后里是规律，它的外函数是对数函数，那真数前倒一 分母，再乘个绕二复合函数求导数，外函数导完，导内函数 x 方加 x 的 导数，那就是二 x 加一。好了。那我们拿这些导数的公式我们来举例子，比如说 x 的 导数，那么就是一 x 平方的导数，那就是二 x。 x 的 三次方的导数，那么就是三倍的 x 的 平方，那 x 分 之一的导数，它就等于负的 x 方分之一，那么根号 x 的 导数，它就等于二倍根号 x 分 之一，这些统称为叫幂函数。那么指数函数，我们举例子，二的 x 次方的导数，它就等于指数导数有本身再乘个幂二， 那么 e 的 x 次方的导数 e 的 x 次幂是导数里面最特殊的一个导数里面最倒数前倒立，那么它也成了幂二乘在分子的位置上。 那么在对数里面最特殊的一个以 e 为底 x 的 对数，那就是 x 分 之一。正弦导数是余弦，余导正弦，不要忘了加括号。那么这些就是我们导数公式里面常用的，你记住了吗？

这是二零零四年湖北高考题已知六倍的三引 alpha 平方加三引 alpha， cosine alpha 减两倍的 cosine alpha 平方等于零。 alpha 是 属于 b 区间二分之派到派，求三引阿尔法加三分之派的值。 首先我们分析一下题目，这里是三元法平方，这里 cosine 法平方，三元法乘以 cosine 法，说明是 cosine 法和 cosine 法的一个二次方程，就相当于 x y 的 二次方程一样。 这种情况，如果 cosine alpha 不 等于零的话，我们可以求出 tangent alpha 等于多少。我们首先分析一下 cosine alpha 是 不是为零， 如果 cosine alpha 为零，那么 alpha 就是 二分之派等于零，一三一二分之派是一六等于零，所以 cosine alpha 不 等于零。 同理，三样法也是不等于零的，如果三样法等于零， 那么 alpha 就 等于 pi， 那 么这是负二等于零也是不对的，所以 alpha 实际上就是属于 alpha 分 之 pi 到 pi 这个开区间里面的。 这样的话，我们可以把方程两边同时除以 cosine alpha 平方，我们可以得到六倍的 cosine alpha 平方，加上 cosine alpha 减去二等于零，这是一个 cosine alpha 的 一元次方程。 我们可以把 tangent alpha 解出来，那么 tangent alpha 就 等于一十二，不，一加减根号一加上个四四十八， 四十八就是四十九，四十九就是七七四十九，那么 tangent alpha 就 等于 一是二分之一负一加减切。因为 alpha 是 属于二分之派的派， 二分之 pi 的 pi 是 第二象限，第二象限 tangent 反的值是负值，所以这里要取负值就等于一十二分之一负一减切 等于负的一十二分之八，等于负的 二三，用四约掉负三分之二。 tangent alpha 是 个负值， tangent alpha 求出来了，那么三引二 alpha 加三分之 pi 的 值就比较好求，因为三引 alpha 和 cosine alpha 都可以用 tangent alpha 来表示的，我们下面看一下怎么表示。 sin 二 alpha 加上个三分之 pi 首先用两角和的三角函数公式展开， 就是 sin 二 alpha cosine 三分之 pi 加上个 cosine 二 alpha cosine 三分之 pi， 再用两倍角公式就等于两倍的三影 alpha。 cosine alpha 等于 cosine 三分之 pi 加上，这个可以写成 cosine alpha 平方减去 cosine alpha 平方。 cosine 三分之 pi。 我们只要求出三阳法扣三阳法的值，就可以算出这个式子的值是多少。那么我们怎么样用三阳法来表示三阳法的值呢？ 来看一下比如这个题目，这个题目三阳法扣三阳法， 三元法， cosine 阳二法等于多少？我们可以这样写，它是二次的，可以写成 cosine alpha， cosine alpha 除以一一可以写成 cosine alpha 平方加上个 cosine alpha 平方。 那么分子分母同时除以 cosine alpha 平方，我们就可以得到 tangent alpha 除以等于多少呢？等于 tangent alpha 平方加 e， 那 么这两个值就出来了 它们的乘积的值，这个是负三分之二除以九分之四加一，九分之四加一就是九分之九，九分之一是三 除以三分之二乘以三分之九，等于负的一十三分之六，负一十三分之六。那这个一样的，也可以用这种方法来求 cosine r 平方减去三以 r 平方除以一除以一的话就是 cosine r 平方加上三以 r 平方，就等于 分子分母同时除以 cosine r 平方，就是以减去 tangent r 平方以加 tangent r 平方， 这也是两倍角公式与正确函数啊公式以正确函数的值的关系的公式就是这么来的。就等于一减去九分之四， 这里是一加上个九分之四就等于一十三分之五，那么代进去算， 代进去算就是就等于两倍的单减法。 cos 减法是负的 一十三分之六乘以 cosine 三分之 pi 是 等于二分之一， 再加上这两个的差的值是一十三分之五， 三一三分之 pi 是 二分之根号三，那么就等于多少呢？二和二约掉就是负的一十三分之六加上个 二十六分之五根号三。这道题目我们首先根据方程 正弦余弦函数的二次奇次方程求出正弦函数的值，因为是属于第二项弦，我们可以得到是负值。然后 sin 二法的值和 cosine 二法的值可以用正确函数来表示，怎么表示，怎么推导的方法在这里，然后再来算值就可以了。

ok 啊，咱们今天介绍一个愚贤典礼，就是这种，这这个知识点呢，是高一的知识点，高一咱们上半学期第五章的这个知识点 啊，第五章这一个下半学期第六章的这个知识点啊，就是说那它的原理是这一个怎么回事呢？就是有一个固定的公式，比如说口算 b 等于什么呢？我可以使用 abc 的 这个三个边给它求出来。 cosine b 等于什么呢？等于 a 方加 c 方减 b 方除以两个 a， c 啊，拿这个东西来举例子，一会咱们再去证明它的原理啊，咱们先给他这个举个例子，你比如说啊，这个，这个有一个三角形，固定三角形 a b c， 一个边上是二，一个边上是三。 哎，这个这个边上是几呢？咱们可以用我们正常的几何法进行分割，这那的也可以直接使用公式。 cosine c 等于什么呢？ 口算 c 等于啊，它就是邻边的平方，就是二的平方，加上三个平方，减去这个问号的平方除以啊，两个二乘三，就是乘以两个邻边，那口算 c 是 多少？口算六十度是不是二分之一啊？ 口算六十度是二分之一，这样的话，我只需要简简单单把这个，把这个数字的这个一元一次方程解出来就可以了，哎，是非常的方便，那为什么是这样呢？哎，原理也非常简单，咱们现在就可以解释，咱们学了口算这个东西之后，现在就可以解释了，对吧？ 咱们看一下这个题目，任意的一个三角形，任意的一个三角形 a， b， c 啊，我拿口算 b 来举例子，那，呃，这个角呢？是 b 啊，那么 c 乘以口算 b 是 什么东西？ c 乘以口算 b 是 不是就是这个高了，对吧？是不是这高？这个，这个，这个高，旁边的这个底吧，林边吧， 对吧？好，那这个是 h， 这是勾 h， 那 么 bc 的 长度就是 a， 那 么这一段就是 a 减 c 乘以口算 b。 这个时候啊，我们使用勾股定律，哎，怎么勾呢？ h 的 平方等于什么？ h 的 平方等于 c 方，减去 c 啊。口算 b 的 平方， 对吧？它还等于什么？它还等于啊， b 方减去 a 减 c， 口算 b 的 平方。这样的话，我们把这个等式啊给它啊，把这个平方给它展开， 展开整理就可以得到口算 b。 那 只需要算两遍。呃，稍微整理一下，它等于 b 方，减去括号里边的 a 方，加上 c 方，口算 b 方啊，减去两个 a， c 口算 b， 对吧？是不是减掉这个 c， 口算 b 是 不是方，是不是就正好约了啊？给它整理一下，肯定就是口算 b 等于这个，同学们自己去整理。那举一反三，口算 a 等于什么？口算 a 的 话就等于啊， b 方加 c 方减 a 方除以两个 bc， 口算 c 等于什么？口算 c 就 等于 b 方加 a 方减 c 方除以两个 ab。 哎，举一反三就可以了。今天的这个知识点叫 愚贤定礼哈，用现在的知识也可以推出来，用咱们高中的知识更能推了哈，更能推了。好，咱们今天介绍到这里。好，我们下期再见。

大家好，我是情迷天下，这里我们将推导演示出正弦函数和余弦函数的高次逆向为一次的形式。 在这样一个负平面中绘制的单位圆可以很直观得到欧拉公式圆上的每个点坐标在负平面中随着 c 大 角的变化而旋转。 欧拉公式就是 e 的 i theta 等于 cos theta 加 i sin theta， 当旋转角度是顺时针时，从 theta 角变成负 theta 角，这样就得到一个新的表达式，两者连立可以得到 cos theta 和 sin theta。 我 们先来看余弦函数表达式的 n 次形式，接着对这个式子进行二项式展开。 因为余弦函数是十数，所以我们只需要取它的十步即可，于是就得到了 n 次的余弦函数的降密公式。 有了这个降密公式，我们可以对任意次的余弦函数进行降密处理了。这里我们给出常见的二次、三次、四次密的结果，感兴趣的可以推导验证一下是否正确。 同样的，我们来推导正弦函数的 n 次密的降密二项是展开整理之后，我们需要分别对 n 式基数还是偶数进行分别讨论。 其中当 n 式基数时，虚数的基数次方是虚数，虚数的偶数次方是实数，所以需要注意是取时步还是虚步。 正弦函数高次密确实看起来要复杂很多，而且需要区分基偶次密的情况。有了这两个公式，对于任意次密的正弦函数也是可以进行降密了。 对于降密公式是否对您有新的启发，感谢您的关注，我们下次再聊。

信息差就是分叉，你的余弦函数还在死记硬背，抱歉，这已经是一场不公平的竞赛了。考场里你对着周期单吊区间抠破头，别人早用技巧了解韩餐问题也能轻松拿捏， 这从来不是智商的差距，而是方法的差距。今天从基础靠塞音到娴行函数，层层拆解图像性质，教你换元法破解最难含残题， 一个视频带你搞定余弦函数！我是小舒老师，今天我将会用二十分钟时间带你系统梳理余弦函数与余弦型函数的图像性质与解析方法。最后一种方法，换元法非常重要，请你一定要看到最后。首先呢，我们先来看一下余弦函数图像性质啊，我在屏幕当中呢，已经把这个余弦函数图像给大家画出来了。大家可能在这个地方会有一个疑问说，老师，那这个余弦函数图像到底是怎么画出来的？ 它跟我们的正弦函数其实是一样的，本质上是由描点法的方法给绘制成的。那么什么叫做描点法呢？我给大家举个例子，例如我令这个 x 等于三分之派，那么我们就可以得到这个 f， x 呢，它就等于我们的 f， 三分之派就等于我们的 cosine， 三分之派就等于我们的二分之一。 由此呢，你就可以得到一个点，横坐标呢是三分之派，纵坐标呢是二分之一。原则上来说，只要你瞄的点足够的多，我们是不是就可以把这个函数的完整图像给它绘出来了？那么有了这样的一个图像之后呢，我们就可以借助这个图像来研究余弦函数的相关性质。首先呢应该是它的定义域， 就是我们总得知道我们是在一个什么样的范围当中研究它的吧，很明显，余弦对于次变的 x 是 没有特殊的限定的，那么它的定义域呢就是二。那么说完了定义域之后，下个是什么？那就是它的值域，定义域呢是 x 的 范围，那值域是什么范围值域呢？就是我们的这个 y 的 范围。 看这个图像大家可以看出来，我们当 x 等于派的时候，它取的最小值负一，而当这个 x 等于零的时候呢，它取的最大值一呗，所以呢，它的值域呢，就是负一到一。 然后大家仔细看这个余弦函数图像，你会发现一个特别有意思的事情啊，就是他跟我们的正弦函数是一样的，就是左右两边无限延伸，并且是一个周期函数。什么叫周期函数？就是他每隔一定的区间呢，他的图像就重复出现了，比如说这个余弦函数的最小重复单元呢，就是我给他画出这一段这样子的， 你会发现他就是这样的一段图像，一直 control c control v， control c control v 这样重复出现的吧。那么所以说我们就可以知道，这个余弦函数图像的最小正周期 t 呢，它就等于我们的二派，当然呢，这个二派是它的最小振周期啊，也就是它最小的重复单元。你像是四派呀，六派呀，八派呀，本质上也是它的周期啊，就是它每隔二派之后，它的函数值呢，是保持不变的。 那么研究完了这个函数的定义域、值域和最小振周期之后呢，我们要研究它另外两个非常重要的性质，就是它的对称轴和对称中心。我们先来看对称轴啊，大家仔细观察一下这个图像，你会发现后，当中这些所有的蓝色线条， 他其实本质上都是他的对称轴。那比如说我给他画一下啊，有这条线，你这样给他画一条线之后，你有没有发现他左右两边是完全一样的？大家可能说这看着也不一样，但是大家注意了，余弦函数图像他是会往左右两边无限延伸的，也就是你这样乍一看他好像不对称，但实际上因为他左右两边无限的重复， 所以它其实从这个位置开始，左边和右边是完全一样的，所以这是它对称轴吧。那么换一个，换成这条线，你会发现它同样符合这个特点。那么有没有什么样的方法可以把这些所有的对称轴给它统一起来呢？哎，可以的，我们观察一下它的数值关系就可以了。比如说这个余弦函数的最中间的这个对称轴呢，就是 x 等于零，其次呢是 x 等于 pi， x 等于二， pi x 等于三派， x 等于四派，发现了没有？它们都是派的整数倍吧，所以说我们可以把这个对称轴呢，统一写成 x 等于 k 派，然后呢， k 属于 z， 同样的道理呢，这个对称中心呢，也有无数个，比如说我们的二分之派零， 二分之三派，零，二分之五派，零，二分之七派，零，二分之九派零，发现了吧，都是二分之派的基数倍，所以说我们可以把它统一写成二分之派，加上 k 派都是零，因为它是点嘛？同样的 k 属于 z， 就是 k， 可以 取所有的整数，比如 k 等于零的时候，就是二分之派零， k 等于一的时候，就是二分之三派零， k 等于负一的时候呢，就是负二分之派零吧。那我们就可以把它所有的这个对称轴和对称轴性都给它呈现出来了。除了这五个性质之外呢，还有两个非常重要的性质，大家也需要记一下，就是它的 单调增区间和单调减区间，那么它的单调增区间是多少呢？大家看这个图啊，我在图像上面给大家画了一段，就是从负派到零的这一段，你会发现这段图像它是越来越高的。我在图像上呢给大家画了一段出来，就是从负派到零的这段，你会发现从负派到零的时候，它的函数值是不是越来越大， 这就是它的单调增序键。而且它的单调增序键呢，也不是唯一的，这是不是也是它的增序键？这，这是不是都是它的单调增序键啊？跟我们的对称轴和对称中心一样的，我们可以用统一的一个表达式呢，把它的所有的单调增序键呢都给表示出来，我们只需要写它其中的一段就好了，就是我们的负派到零。 但是我们刚给大家讲到过这个余弦函数，它是个什么函数？它是个周期函数，最小正周期是多少？是二派，所以说我们需要怎么样加上它周期的整数倍，加上二 k 派，别忘了后面 除以 z， 这就是它的单调增区间啊。那么有了单调增区间之后呢，我们来看它的减区间其实就是从零到派的这一段，你看这个图像是不是越来越矮，这就是它单调减区间，但这只是它众多单调减区间当中一个，你比如你看这些， 这些是不是都是它的单调减区间啊？跟我们刚刚的增区间是一样的，我们用一个统一的表达式把它都给呈现出来，我们只需要写最靠近于 y 九的这一段，就是从零到派， 同样的也需要加上一个周期二 k pad k 除以 c 就 完事了。在这个地方有一个小细节，大家需要注意什么？小细节就是大家可以看到我们在这个写增区间的时候，这写的方括号，在写减区间的时候，这也是方括号。大家注意，以后做题的时候，如果他既求了增区间和减区间的话， 你就不能同时写方括号，你要把其中的一个呢改成圆括号，如果只是单纯的求增减区间的话，那就都写成方括号，这个我解释清楚了吧， 这个呢就是我们余弦函数的最基础的图像性质，那么有了这样的一些图像性质之后呢，我们就可以借助这个函数的图像性质来解答相关的问题。首先呢，我们先来看一下第一道题啊，它是这样说的，让求这个 f x 等于 cosine x 在 三分之派到六分之五派上的值域。那么这道题应该怎么做呢？其实方法非常简单啊，我们只需要借助我们刚刚所讲到的余弦函数图像 来做就可以了，我们刚是不是已经把这个余弦函数图像给它画出来了，就是我们的 f x 等于 cosine 图呢，就长成这个样子的。 那么有了这样一个图像之后呢，大家还需要知道这个图像上的一些关键点的坐标啊，比如说这个地方呢，是我们的负二分之派，这呢是我们的二分之派，这个地方是派， 这个地方是我们的二派，这些点坐标大家需要知道，因为它有助于我们去定位吧，不然的话，你怎么知道三分之派和六分之五派在哪吧？有了这样的一个准备工作之后呢，找题就会非常简单了，你看他不是让你求这个三分之派到六分之五派上的值域吗？那么第一件事情我们先找着三分之派的呗，就是三分之派呢，在这个位置上， 六分之五派呢，他肯定是挨着派的，所以这个点呢，在这个位置上，那所以说这个函数图像，他从三分之派到六分之五派的这段图像呢，就是这个样子的，给大家用这个波浪线给大家描述一下，你看这个图像 是不是就可以找到这个函数图像的最高点在哪？是不是就在三分之派这取得最大值，在六分之五派这取得最小值吧。所以接下来的步骤就会非常简单了，你只需要把三分之派和六分之五派的函数值求出来就可以了。 第一步，你令这个 x 等于三分之派，那么这个 f x 呢？它就等于 f 三分之派就等于我们的扩散三分之派。我们都知道扩散三分之派等多少等于二分之一吧， 然后我们再令这个 x 呢，等于我们的六分之五派，那么则这个 f x 呢，它就等于 f 六分之五派，它就等于扩散六分之五派，就等于我们的负二分之根号三， 你看你最高点有了，最低点有了，最小值和最大值，是不是也就有了？所以它的值域是多少值域呢？就是我们的负二分之根号三 到二分之一就做完了，是不是特别简单？紧接着我们来看下第二种题型啊，就是利用余弦函数图像性质来解不等式。那么这种问题应该怎么去解呢？根据我们刚刚所讲的方法一样，我们肯定要借助这个余弦函数图像来解了，比如我们先把这个余弦函数图像给它画出来啊，就是 f x 等于 cos x 五就长成这个样子的。 我们之前是不是给大家讲到过，我们在研究周期函数图像的时候呢？其实不用研究它整个区间上的图像啊，我们只需要找到它最常用的那个周期内的图像性质，然后再加上周期不就得了吗？我们先把一些关键点的坐标给大家标一下，比如这个点的坐标呢，很明显是负二分之派，这呢是零，这呢是我们的二分之派，对称轴这个地方呢是我们的派， 然后这个地方呢，是我们的二分之三派，我们只需要研究这个曲线就好了。那么既然他要扩散 x 大 于二分之幺三的话，那就是整个的这个函数图像呢，是位于 y 等于二分之幺三这条水平横线以上的，我们给它画这样的一条水平横线 y 等于二分之根号三， 那你想啊，要这个扩散 x 大 于二分之幺三的话，那我们是不是只需要保留位于这条水平横线 y 等于二分之幺三以上的部分就好了，那就是这段儿 以及它周期出现的剩下的部分呗，当然，因为它是左右两边无限延伸呢，所说我们肯定不能都画出来了，我们只需要研究它在一个周期内的范围就可以了，比如说这段，比如说负二分之派到二分之三派这一段， 那么我们令扩散 x 等于二分之根号三，我们就可以得到这个 x 一， 它就等于多少，它就等于负的六分之派，或者是 x 二就这个位置， 它就等于我们的六分之派，所以这个扩散 x， 它要大于等于二分之根号三的话，那么则我们的这个 x 呢，它就是大于等于负六分之派，小于等于六分之派的，没问题吧？当然呢，这肯定不是它最终答案，因为我们讲的过它是个周期函数啊，所以它最终的答案呢，需要加上它的周期二。 kpi 说解集是多少方？括号负六分之派加上二 k 派，到六分之派加上二 k 派，然后 k 属于 z， 这才是这个解集的最终答案。所以你会发现，无论是求值域也好，还是解不等式也好，我们都可以借助它的图像 求解。讲完了余弦函数图像性质之后呢，紧接着我们来给大家讲一讲余弦型函数图像的基本性质。那么什么叫做余弦型函数啊？跟我们的真弦型函数是一样的，就是形如 a 倍 cosine omega 加 f 这样的函数。比如为了方便呢，咱们这道题呢，就以四倍 cosine 二 x 减三分之 pi 为例哈，我们都知道这个余弦函数定义是多少，是 r 吧， 那么我们的余弦型函数就是后面这个函数，它的这个定义呢，自然也是 r， 对 于这个 x 是 没有特殊限定的。 刚刚我们讲了过，余弦函数值域是负一到一，对吧？那么如果说我们这个余弦函数前面有个系数四的话，那它的值域呢，就是我们的负四到四，这个没有问题吧， 就相当于把它扩大了四倍呗。同样道理，余弦函数最小正周期呢是二派，那么我们余弦函数的最小正周期 t 呢，就等于二派 以上我们加的绝对值，那就等于二派比上一个二就等于派，没问题吧？二派比上 x 系数的绝对值就是我们的余弦型函数的最小正周期。大家还记得我们刚刚讲到这个余弦函数对正轴是多少吗？是 x 等于 k 半没有问题吧？ 那么余弦型函数的对称轴应该怎么去求呢？我们只需要令括号里面这坨二 x 减去三分之派等于 k 派就可以了，这能看得懂吗？就是令括号里面黄色荧光笔的这个整体等于我们的 k 派就可以了，然后你把它化简解出来就行， 那就是即我们的二 x 等于三分之派加上 k 派，即 x 等于我们的六分之派加上二分之 k 派。但是不要忘了 k 属于 z 哈，前面也把这个 k 属于 z 呢给补上，因为它能够表示它所有的对称轴。 到这个方法呢，我们是不是也可以把它对称中心给求出来了？我们刚讲到过这个余弦函数对称中心呢是二分之派加上 k 派都是零，后面呢，有一个 k 属于 z， 那 我们要求它的对称中心的话，其实只需要令这个 二 x 减去三分之派等于二分之派加上 k 派就可以了。那就是即二 x 等于六分之五派加上 k 派，即 x 呢，等于十二分之五派加上二分之 k 派， 这个 x 呢，就相当于是对称中心的横坐标吧，所以它对称中心是多少？就是我们的十二分之五派加上二分之 k 派，都是零 k 除以 c 也就做完了，是不是非常简单？有了上面方法的启发之后，你再来去求单调增区间和减区间，是不是简单多了？我们刚是不是讲到过余弦函数增区间呢？是 x 大 于等于负派加上二 k 派，小于等于二 k 派， k 属于 c 没问题吧？ 当然你得写成区间或者是集合的形式。那我们要去求这个四倍 cos 减三分之派的单调增区间的话，我们只需要怎么做？我们只需要用这个二 x 减三分之派，怎么样替换掉 原来的这个 x 就 可以了。所以说你就可以得到负派加上二 k 派，小于等于二 x 减去三分之派小于等于二 k 派，后面呢，有一个 k 属于 z， 你 把这个不等式化减一下不就得了吗？怎么化减？先左右两边都加个三分之派呗，那就是二 x 小 于等于三分之派加上二 k 派， 然后呢，大于等于负的三分之二派加上一个二 k 派。你在左右两边除一个二呗，那就是 x 呢，就大于等于负的三分之派加上 k 派，然后小于等于六分之派加上一个 k 派， k 除以 c。 当然呢，你得写成区间或者是集合的形式啊，比如你可以这么写，这样才是规范表达的结果。我们再来看下减区间是不是一样的道理？我刚是不是讲到过，余弦函数减区间是多少？就是我们的 x 大 于等于 二 k 小 于等于派加二 k 派， k 属于 c。 同样道理，我们只需要用我们的这个二 x 减三分之派替换掉这个 x 就 行了。那你就可以得到二 k 派小于等于二 x 减去三分之派小于等于派加上二 k 派， k 呢？ 属于 z 是 吧？一样的操作方法，左右两边先加个三分之派呗，那就是二 x 小 于等于三分之派，大于等于三分之派加上二 k 派。 然后你在左右两边除上一个二就可以了，那就是 x 小 于等于三分之二派加上 k 派 大于等于六分之派加上一个 k 派， k 属于。对，同样道理，你需要写成区间或者是集合的形式。 你现在还觉得余弦弦函数图像性质很难吗？非常简单哈，知识点讲完了，接下来我们来做几道题。我们先来看第一道题啊，它要求这个 f x 的 最小正周期啊，超级简单。 t 就 等于多少？就等于二？ pi 比上什么？比上 x 的 系数？二啊，就等于 pi， 这不有数就行吗？ 对称轴怎么求？我们刚是不是讲的过，我们是不是只需要令括号里面这坨怎么样？我们只需要令二 x 加上六分之派等于 k 派即可。当然 k 属于 z 哈，那就是即二 x 等于负，六分之派加上 k 派，那就是即 这个 x 就 等于负的十二分之派加上二分之 k 派， k 除以 z 完事。那对称中心是不是一样的道理？我们只需要令括号里面那坨二 x 加六分之派 等于多少？等于我们的二分之派加上 k 派就好了，那就可以得到二 x 就 等于三分之派加上我们的 k 派。 那么所以说这个 x 呢，就等于我们的六分之派加上二分之 k 派， k 属于 z， 但是别忘了这是对称中心啊，它是个点，它的动作表是多少是零啊？ 求它答案呢？应该是六分之派加上二分之 k 派都是零，后面有一个小尾巴， k 属于 z， 那 么求这个单调增区间呢？也是一样的方法。我们是不是只需要令这个二 x 加六分之派，怎么样？ 令这个二 x 加六分之派大于等于负派加上二 k 派，然后小于等于二 k 派， k 属于 c， 你 再化简就行了呗。那就是二 x 就 小于等于负六分之派加上 二 k 派，然后呢，大于等于负六分之七派加上二 k 派，没问题吧？然后左右两边除一个二，就是 x 呢？小于等于负十二分之派加上一个 k 派，然后呢，大于等于负十二分之七派加上 k 派 就算完了。当然这个 k 呢，怎么样是属于 z 的？ 同样的注意细节，你需要写成区间或者是集合的形式。然后大家观察一下这个第五问和第四问有什么区别，其实只有一个小小的区别，就是这个第五问呢，它多了一个限定条件，就是求 f x 在 零到派上的单调层区间就是限定呢，这个 x 怎么样限定呢？这个 x 呢，是大于等于零 角等于 pi 的 呀。你想我们刚刚求出来的这个单调增区间是怎么样？是它所有的增区间呢？ k 是 能够取所有的整数的吧，所以我们需要在第四位的基础上赋值。会有很多同学说我们为什么要令 k 等于零，为什么要令 k 等于一，就是这个目的，因为它限定了 x 只能在零到 pi 这个范围当中。那你比如说你令 这个 k 等于零啊，就是在刚刚第四问的基础上赋值啊，那这个时候你可以算出来这个 x 怎么样？它是大于等于负十二分之七派，小于等于负十二分之派的怎么样？很明显不在零到派这个范围当中啊。然后如果你再令 k 等于一，那这个时候你算出来这个 x 怎么样？它就是大于等于 我们的十二分之五派，小于等于我们的十二分之十一派，这个范围就是可以的。那如果你再令 k 等于二呢？那这个时候呢，你会发现这个 x 呢？就是 x 大 于等于十二分之十七派，小于等于 十二分之二，十三派很明显就不在零的派这个范围当中了。所以说最终符合题的范围只有哪个？只有十二分之五派到十二分之十一派就做完了。 其实会有很多同学在这个地方想半天说，为什么要赋值啊？就是因为题干当中限定的 x 是 大于等于零，小于等于 pi 的， 所以说你需要通过赋值的方式把 x 的 范围限制在零到 pi 的 范围当中啊。然后呢，我们来给大家讲一讲换元法的使用啊。其实这种方法我们是不是在给大家讲正弦型函数图像的时候也讲到过啊？ 那么具体是怎么操作呢？我们来看下这道题，他是这样说的，他让你求这个 f x 在 零到二分之 pi 上的值域，你直接去求值，不太好求啊 啊，因为我们并不知道这个扩散二 x 加六分之派的图长什么样，那么在这个时候应该怎么办呢？哎，换元，如何换元？我们只需要令括号里面那坨二 x 加上六分之派等于 t 即可。请问这个 x 有 没有范围？有范围吗？ x 呢？它是大于等于零小于等于二分之派的，对吧？ 那么 x 大 于等于零小于二分之派的话，那么二 x 呢？它就是大于等于零小于等于派的。那么这个二 x 加上六分之派呢？它就是大于等于六分之派，小于等于六分之七派的， 这就是谁的范围？这就是 t 的 范围啊！ t 是 大于等于六分之派，小于等于六分之七派的。那么由此呢，这个问题就可以转化为求这个 y 等于扩散 t 在 这个 t 大 于等于六分之派小于等于六分之七派上的值域。 这样的话，是不是就和咱们今天所讲的第一道题是完全一样的了？我们只需要先画出这个余弦函数图像长成这个样子的，然后呢，我们只需要在图当中找到这个六分之派和六分之七派的位置就可以了。六分之派在哪？六分之派肯定是挨着这个二分之派的，大概在这六分之七派呢，肯定比派要稍微大一点，大概在这。 所以说这个 y 等于 cos 呢？在六分之派到六分之七派上，图像呢，就长成这个样子的，看这个图像是不可以看出来，那最大值在哪取得？最小值在哪取得？在派这取得呀？所以我们就可以知道，这个 y 的 最大值就等于扩散六分之派就等于二分之一，而这个 y 的 最小值呢，就等于扩散派就等于负一。 你由此的话，不就可以知道值域了吗？因为我们讲到过，值域其实本质上就是最小值到最大值呗，那就是我们的负一到二分之一，就契合了 同样的道理，大家可以来解这个不等式，它不让你去解这个扩散二 x 加上一个六分之派。怎么样？大于等于二分之一吗？是不是看起来好像不太好解啊？我们说如果你不是很熟悉的话，你就换个圆，你就另这个二 x 加上一个六分之派等于 t， 那 它可以转化，为什么呢？ 这个扩散 t 大 于等于二分之一了。哎，你看这是不是又变成了咱们今天讲的第二道题了，它就会从一个相对来说比较复杂的函数呢，变成一个简单的函数。 跟我刚所讲的一样，你是不是只需要把这个扩散 t 的 图给他画出来就好了呗？就刚刚那个图呢，还可以用大概长成这个样子。然后呢，我们找到一条水平的横线， 比如说 y 等于二分之一，大概在这个位置上，我们是不是可以把这两个绿色点的横坐标给他算出来？大家要对三角函数值非常熟悉啊，你应该要知道，这个扩散人负三分之派等于二分之一，这个扩散人三分之派 也等于二分之一吧。所以说这两个点的坐标呢，就是一个是负三分之派，另一个呢是我们的三分之派，你想它要大于等于二分之一啊，那就说明这个 t 的 范围呢，是位于负三分之派到三分之派之间的，那我们是不是可以得到一个不等关系，比如 t 大 于等于负三分之派，小于等于三分之派，但是你不要忘了它是一个周期函数啊，所以你还需要怎么样？你还需要加上一个二 k 派， 当然呢，这是我们谁的范围？这是我们 t 的 范围啊，我们要求出谁的范围？求的是 x 范围，但是别，别忘了，这个二 x 加六分差，它不等于 t 吗？你最后再给它换回来就好了，那就是二 x 加上六分之派，然后呢，大于等于负三分之派加上二 k 派，然后小位等于三分之派加上一个二 k 派， k 除以 z， 你 再画点就做完了。当然大家可能说可不可以不这样换元啊，直接去写可不也行？我们给他换元呢，是希望大家能够看得更加直观一些， 你直接去解不等式，其实也是 ok 的 啊，换元法呢，不仅可以用来求值域和解不等式，它还可以用来求参。比如说这道题他是这样说的，他说已知函数 f x 呢，在这个零到 a 上单调递减，然后让求参数 a 的 取值范围 你就可以使用。我们刚刚所讲的换元法就是你先甭管那么多，你首先第一步先换元，只需要另括号里面那坨二 x 加三分之派怎么样？等于 t 就 可以了。 这个 x 有 没有范围？有啊， x 呢？是大于等于零小于等于 a 的， 对吗？那么 x 大 等于零，小于等于 a 的 话，那么这个二 x 呢，它就是大于等于零，小于等于二 a 的。 那这个二 x 加三分之派呢？它就是大于等于三分之派，小于等于二 a 加上一个三分之派的，那这个就是谁的范围？这个其实就是我们 t 的 范围呗，因为刚令 t 等于二 x 加三分之派吧，那我们就可以知道 t 呢是大于等于三分之派，小于等于二 a 加上三分之派的。 然后我们这个问题是不是就可以转化为 y 等于二倍扩散 t 在 这个三分之派，小于等于 t 小 于等于二 a 加上了三分之派上，怎么样 e 减，然后让你求这个参数 a 的 范围呗。那应该怎么去求呢？他其实还是要记住我们刚所讲的图像来做。我们首先呢，先把这个二倍扩散 t 的 图给他画出来，大概呢就长成这个样子的。 然后我们只需要在这个图像上找着三分之派和二 a 加三分之派的位置不就得了吗？那我们先标记一下三分之派，它是一个具体的值，就在这个位置上。你想一下，这个函数要从三分之派到二 a 加三分之派上是单调递减的，那左端点是固定的，它的右端点是一定不会超过谁的，一定不会超过派的。 为什么呀？因为它一旦超过派，它又递增了呀，因为别人说的是递减呀，所以说它从这个二分之派到它的右端点的时候，是不可能越过派的，因为它一旦越过派，就不会单独递减了。所以说这个二 a 加三分之派这个右端点一定在哪？它一定要在这个派的左边，这个位置呢，是我们的二 a 加上三分之派， 由此你就可以得到一个不等关系，那就是二 a 加上三分之派，他是小于等于派的，他不能越过派啊，那就是即二 a 小 于等于三分之二派，那么这个 a 呢，就小于等于三分之派，别忘了还得大于零哈，因为你这个区间是零到 a 吧，他肯定要比零大呗。 所以你有没有发现这种换元法，他无论是在我们今天所讲的余弦函数当中，还是在我们之前所讲的正弦函数当中，都是非常好使的一个方法，大家一定要掌握的。 以上呢就是我们今天关于鱼弦函数以及鱼弦型函数图像性质的讲解，希望对大家的三角函数学习呢会有帮助，我也会把对应的笔记和学员呢给大家同步到小学里头，如果大家有什么问题的话，欢迎大家随时来提问，我是小树老师，关注我带你掌握更多的高中数学知识。

今天我们说一下高一的，咱们现在高一的课程已经学到了啊，正余弦的三角函数，那么我发现很多学生学完这一章节之后，对正余弦的诱导公式记不住 啊，这是第一个情况。第二个，有的同学即便是记住了郑裕贤的诱导公式，但是又不会做题啊。首先我们来说啊，为什么这个郑裕贤公式他记不住，当然存在一个客观原因，是啊，郑裕贤的诱导公式确实比较多，这是客观存在的。 那第二个原因是有同学记的时候没有去理解记忆，就是没有去考虑啊，郑余贤的定义，还有以及郑余贤函数他们的图像的问题，没有去辅助记忆，所以记的时候比较困难，然后最后导致不想记，也没有记住。 再说下一个问题，就是有些同学记住公式了，但是不会做题，那不会做题的原因是什么呢？我们举个例子，呃，塞派减 f 等于塞 f， 有 的同学记住这个公式了，但是他不知道公式反映的什么意思，也就是说你问他塞一百二十等于多少，想半天他也想不明白， 那么 c 一 百二十度就应该等于 c 六十度，这里面就隐藏的这个公式， c 减减 f 等于 c f， 它的最终的目的要告诉我们就是如果两个角是互补的话，那么这两个角的正弦值是相等的， 所以我们不能光停留在这个公式上，你还要理解这个公式里边还要说明呢，什么意思 啊？最后我们稍微总结一下，要想把诱导公式这张学好，那么第一，我们记公式的时候要去重新定义，并且结合正弦余弦函数图像去记忆， 这先解决记的问题，然后再说进入公式之后，我们要理解这个公式里面翻译成咱们的汉语意思，这个公式它说明了什么问题？能解决什么样角色的一个转换？ 第三个，那我们做题的时候要找到这个两个角之间的关系，就是这两个角是互补还是互余，还是相差派，还是相差二派。那么这样的时候我们再做这个关于正义圈函数诱导公式的题的时候，就可以做出来了。

好，再画二 x 加上，等着看他让你来求 x 属于啊，多少范围？负十二分之差到二分之差上在这个范围内的最大值和最小值， 来吧。二十四，啥算啥？算吧，或者来对，首先你需要先把它看成啥，做整体。我们令七等于啊，二 x 加三为派，那因为就给你 s 范围的 s 啥范围？从负十二分之派开始，一直到二分之派，你要根据这个范围把这个范围算什么范围？ 对，二 x 加三分之派，它的范围就是来去代部分代下来负十二分派往里代二乘负十二分派等于多少？负六分派，对吧？负六分派加三分派就等于六分派，六分之派到哪能来代他？二乘二分派是个派， 派加三分之派，三分之四派，那也就相当于这里的 t 属于多少？六分之派到三分之四派，那么你整个 y 得上是不是得逃在 t 啊？ t 在 六分之派到三分之四派的范围内， 那么由这我们要算逃在 t 范围的时候一定要注意。要干啥？你要干啥？ 画图，一定要画图啊，一定要画图，你不画图容易错，一定要画图啊，他是从六分之三到三分之四派来画图，好在图像换一下，就这样的，就这样。 那这块是二分之派，这块啥派？这是二分之三派，这是多少二派？那么六分之派是三十度，那大家应该看是在这是从六分之派到三分之四派，这是啥？这是派， 三分之四派比派数多一点，所以大约三分之四派就在这。好了，那你来看一下这段图像上最低点是几派的？不是最低最小值多少是负一，所以它的最小值是负一，那最高点在哪？体格就在六个派体格，所以要知道桃派六派的多少， 桃派三是多少？二分之根号三，所以就出来了最小值是负一，最大值是几？二分之根号三，记住了吗？

各位同学你们好，今天我们来讲解两角合叉的正弦与弦和正切。首先哈，对于余弦 cosine， 两角和的余弦呢，就会变成什么呢？ 扣扣塞塞就是余弦，余弦，正弦，正弦，符号呢，和括号里面相反，正弦呢？塞引塞引，阿尔法加贝塔。打开以后就变成正余，余正就是塞扣扣塞，然后符号呢，和括号里面一样， 正切呢，打开它会变成一个分数形式，上面呢，拆成两个相加，下面是一减去两个相乘啊，如果你们是负号，打开以后就怎么样呢？上面一样，下面相反， 来我们来看一下哈，我们主要讲这几个方面哈，我们先讲正弦公式， 只要记住正弦了，其他的都可以去推导哈。首先我们来看第一个，其实我们只需要记住这个公式，其他公式都可以用类似的方法去推导就行了，因为前面我们讲过哈， 正弦余弦和正切，正弦它是个奇函数，负号可以什么啊？提出去，余弦它是个偶函数，负号可以抵消， 正切呢，它是个基函数，负号提出去，那记住这个 si， 阿尔法加 beta 等于什么呢？ si 阿尔法 cosine beta， 加上 cosine alpha， sine beta， 记住这个，那下面这个是不是也一样的去可以去推啊，那就我们在这个地方推导一下哈，那是不是可以写成 si 这个哈， 什么阿尔法加上负的 beta， 然后这是不是阿尔法这是 beta 呀？啊，来我们来看一下，那是不打开以后就变成什么？ cine cosine， cosine， cosine cosine， 所以 记住啊， cosine， 然后加这个地方就变成加，那我们来嘛，那就是 cine cosine， cosine si， 那 就是阿尔法这个地方的父贝塔，对不对？这第二个角又是阿尔法，然后又是什么啊？父贝塔，那 这个地方是加号，然后这个地方就仍然是用加号就可以了。好，我们来看一下哈塞亚尔法，它是奇函数啊，不管 cosine f beta， 鱼弦是个偶函数，负倍它就变什么 cosine f beta， cosine f beta 是 不是要写 sine 负倍？它符号是不可以提到最前面来啊，就变负的，什么塞倍它，你们看是不得到了这个公式啊， 那当然其他的也是一样啊。好，既然我们听明白了哈两角和与差的正弦公式，接着我们来看两角和与差的余弦公式。 好，他这个东西能被担当最好，不能被我们来推导一下嘛。那是不是前面我们知道哈诱导公，在诱导公司里面，我们能够得到阿尔法加贝塔的余选等于什么？ 二分之 pi 减去什么阿尔法，加上 beta， 它的正弦基变偶不变嘛，对不对？基数个它就变余弦，然后这个角照抄，然后它第一项弦角为正啊， 我们现在把里面稍微的处理一下，变成什么塞盈二分之 pi 减阿尔法，又再减 beta， 好，把这个看做一个整体，我们是不是可以用前面的方式把它处理出来啊？ siing siing， 而这是我们的前第一个角，这是第二个角，那就变什么 siing cosine cosine cosine sine。 那 二分之 pi 减阿尔法 bet， 二分之派减阿尔法 bet。 好， 这个地方是减正弦，打开仍然是减，那这个地方用诱导公式我们处理一下，是不是变成什么基数个，变成什么 cosine 阿尔法，前面什么为正？ cosine betta 减去这个地方也是用诱导公式处理一下变什么 si 阿尔法 si 贝塔，好，我们得到了两角和的余弦公式，那同同理哈，正切公式你们自己去推导一下就行了， 然后我们再来看哈正切呢，自己感兴趣啊，自己去推导一下，我们要借助哈 si 阿尔法比上 cosine 阿尔法等于我们的 tanthan 阿尔法，那在这个地方，那它是不就是我们的什么 tanthan 阿尔法加上 beta 等于 si 阿尔法加上 beta 除以上 cosine 阿尔法加上 beta。 好， 推导过程自己去推导就行了哈，我们在这个地方看就是，哎，拆分以后，上面变成两个角的正切相加，下面去什么加，下面就变成减一减去两个角的正切相乘。来，我们来看一下 总结啊，自己去记一下哈。当然，这个变形公式相当于做一个基本的代数计算，基本的代数计算去计算一下就可以了哈，二倍角公式，感兴趣去推导一下就可以了。我们来看一下立体 sin， 已知 sin 阿尔法减 beta 等于什么？三分之一 cosine 阿尔法， cosine beta 等于六分之一，我们去算 cosine 二阿尔法加上二 beta 的 值，这是某一年的一个高考题哈，我们来看一下，我们 知道 sin alpha 减 beta， 我 们就用什么两脚叉的证券公式把它打开嘛。 alpha 减 beta 等于什么？ sin alpha cosine beta 减去符号一样嘛。 cosine 阿尔法塞英贝塔，又因为 cosine 阿尔法塞英贝塔等于六分之一，对不对？哎，那我们是不是可以代减来就是塞英阿尔法？ cosine betta 减六分之一等于，这个结果是多少啊？三分之一对，三分之一。那我们是不可以把三乙二法 cosine 法算出来呀？塞，三乙二法 cosine betta， cosine betta 等于什么？三分之一加上六分之一等于几啊？嗯， 二分之一，六分之二加六分之一嘛。那这个地方我们先把它提出来。 cosine 二倍的 alpha 加上 beta， 在 这个地方把它看出个整体。前面有个二倍角公式啊，它等于一减去二倍的塞盈 alpha 加上 beta 的 平方的。我们自己去看一下就行了哈。把它看出个整体，它是 five 嘛，对不对？这是不就 five？ 好，那全部往里面带。我们是不是还知道塞因阿尔法加贝塔呀？它是个整体嘛，为什么好带呗？那就是塞因，我写字哈。阿尔法加上 betta， 它又等于什么？ 嗯，塞因阿尔法 cosine betta 加上 cosine 阿尔法 cosine betta 三元二法 cosine beta， 它等于几啊？刚才算了。对，二分之一加上 cosine 二法 cosine beta 等于几啊？六分之一加上六分之一，那等于什么？六分之四就是三分之二。那这个地方是不是一减去二乘上 三分之二的平方？好，算一下，这是九分之四，九分之八，一减九分之八等于几啊？九分之一，所以我们就得到了我们最后的结果，答案是九分之一。好，今天的课就讲到这个地方。