㇏写30道1元一次方程带过程

别人的视频平平无奇，博兴的视频带你学习，今天博兴来给大家分享一道小升初数学衔接一元一次方程。首先咱们读题， 学校安排学生宿舍，如果每间住五人，则有十四人没有床位，如果每间住七人，则多出四个床位。问，宿舍几间，住宿人几人？咱们来换关键词，第一个是五，第二个是十四， 第三个是七，第四个是四。这道题我们来用一元一次方程来做，我们把宿舍设为 x 间，结 设宿舍有 x 间， 然后我们来找等量关系列等式。我，同学们，你们知道这里的不变量是什么？不变量是不是人数，人数是不变的，我们就可以列出方程了。如果每间住五人，就是五 x， 每间五人有 x 个房间，呃，有十四人没有床位，我们就加上十四， 就等于。如果每间住七人，就是就是七 x 一 样的，则多出四个，四个我们就减去四， 这样我们的一元一次方程就列出来，然后咱们就解方程就可以了。这就等于五 x 就 等于七 x 减四，再减十四，五 x 就等于七 x 减去二，十八减去十八。然后七 x 减五 x 就 等于十八，二 x 就 等于十八，我们 x 等于多少等于九。我们设的是房间，宿舍有多少间，就有九间宿舍。然后我们再求住宿双的 有几人，现在咱们来求助生有多少人，咱们套第一个就可以了，他说每天住五人，则有十四人，呃，没有床位就是九，乘以五加上十四，就等于五十九人。 这道题我们来答一下。呃，答，宿舍有九间，住宿生有五十九人。同学们，你们听懂了吗？

观众大白长知识，学习解方程，实际上是学习了解决问题的第二种思路，这种思想是代数思想。我们来看 x 加三等九。我们在解决这道题的时候，首先根据格式 先写出来一个解冒号，这个时候我们开始写了，首先把方程的左边抄下来，右边抄下来，注意 要留一个空隙，留一个空隙干什么？咱们看我们要求来 x 加三是多余的，需要把三消掉。怎样把三消掉呢？根据等式的性质，一 等式左右两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等，左边减三，右边减三，左右两端仍然相等。加三减三抵消之后就变成了 x 等于六。 这个方程其实在一年级的时候都学过，我们把这个 x 看成方框，谁加三等九肯定是六加三等九。其实解方程的时候，检验也是这样检验的，首先写俩字检验， 检验的方法实际上就是把 x 等六带入到方程里面， x 换成六，六加三等于说明 x 等六是方程的解。 但是解方程的检验写的时候是比较麻烦的，有一定的格式，下面把过程分解一下，第一步，抄，把方程左边抄下来，方程左边等于什么？第二步，代入求值，六加三， x 等于六，代入 x 加三里面，六加三代入里面。 第三步，计算。第四步和方程右边对比，等方程右边比，第五步判断一下。所以 x 等六是方程的解， 方程检验的过程实际上还是带入求值再对比的过程。你学会了吗？感谢收看，为你点赞，记得点赞关注哦！

选 c 啊，选 c。 对 的啊，因为你比如说得分的是不是正确的啊？就设为 x， 然后这种被扣分的就是答错或不答的呗。就设为多少，是不是找到两个量了，它们相相差等于它们的和是三十，这就当数量关系。是不是一个三十减去 x， 这就是什么啊？被扣分的，这是得正确的得分的。然后呢？ 答对题的五分就是五 x， 然后呢？这里被扣分的用减法减去多少？三十减 x 表示错的倒数啊。被扣分的倒数要扣多少分呢？ 扣两分，所以减去二，然后最后得分八十分，正常减的话就是五 x， 用负二乘进去负六十，负二乘以负 x 乘的二 x 等于八十五个，那就是七个，然后等于一个星期是正的，就是一百四十，所以 x 等于二十啊。那好。

数学启蒙动画第一集一元一次方程。方程你早见过了，就是含有未知数的等式，啥意思呢？首先，方程还有未知数，比如 s、 y、 z。 其次，方程还得是等式，所以得有等号。考考你这几个是不是方程呢？ 一个一个看吧， x 加三有未知数，没等号不是方程。五减七等于负。二有等号，没有未知数也不是。第三个，有未知数，有等号，是方程。第四个有未知数，也有等号，还是方程。所以说是方程必须满足俩条件，一是要有未知数，二是要有等号。 在古代，人们把未知数叫做圆，于是有几未知数就有几个圆。比如第一个方程有两未知数， x 和 y 就是 二元方程了。第二个方程只有一个未知数，那就是一元方程呗。 除了圆以外，方程还有一个重要的概念，次数。比如这个方程，第一项 x 的 次数是二， y 的 次数是一，加在一起就是三了。第二项是一次，第三项是二次，其中最高次是三次，那么这个方程就是三次方程。发现没找方程次数和找多项式的次数是一样的，都是找最高次 那类似的。看第二个方程，由于两项都是一次，所以就是一次方程啦。刚才我讲过方程的元和次数，现在把元和次数合起来，给方程们起个全名吧。回想一下，第一个方程是二元方程，也是三次方程，所以是二元三次方程。 第二个是一元方程，也是一次方程，所以叫一元一次方程。注意了，一元一次方程是最基本的方程，先概括一下它的特点吧， 一元说明只有一个未知数，一次说明方程最高次项的次数是一，也就是说 s 最多只能是一次。既然说到次数，那就必须是整式。也就是说分母中不能含有未知数，但分子中可以有。比如 s 分 之三等于四，就不是一元一次方程，但三分之 s 等于四，就是个一元一次方程。 总的来说，一元一次方程来实战一下吧。下面这几个式子是不是一元一次方程的？ 第一个连等号都没有，压根不是方程，更甭说一元一次方程了。第二个有等号，但有两未知数，所以是二元的，不是一元一次。 第三个只有一个未知数，但 y 跑到了分母上，不是整式，所以也不对。第四个虽然有分母，但分母是五和三，不是未知数。未知数在哪呢？一个在分子中没问题，一个就是这个 y 也没问题，再加上他俩的次数都是一，所以是一元一次方程。 第五个只有一个未知数，次数也是一，也是一元一次方程。除了要能判断一元一次方程以外，你还得会用它的概念来计算。比如这个题，题目说这个方程是一个关于 s 的 一元一次方程，那 s 的 次数 m 方就必须等于一，也就是说 m 等于正负一，所以最后答案就是正负一了呗。 错了，如果 m 是 一的话，系数就是零，那 s 就 被干掉了，所以 m 不 能是一，只能是负一。以后你要再看到关于 s 的 一元一次方程，除了要让 s 的 次数等于一外，一定要注意它的系数绝对不能等于零。在方程中还有一个词会经常出现，就是方程的几，比如这个方程的几就是 x 等于十五， 我是咋知道的呢？很简单，把十五回带到方程中，先看左边，三分之一乘十五得五，五分之一乘十五得三，五减三等于二，右边也是二。呦西， 这个等号是成立的，所以判断方程解的最好的办法就是把它回带回去，如果等号成立，那就是它了。好了，就讲这么多，总结一下。一，先说方程有俩要求。第二，一元一次方程有四个要求，未知数必须是一， 且未知数不能在分母中。另外， s 的 系数绝对不能是零，否则 s 就 消失了。第三，要判断方程的解，最好的法子就是把它回带回去，看看等号成不成力。听懂了吧，赶紧刷！

是一元一次方程数学专项训练。全书四十六页，紧密同步教材规范方程知识，整合十三格、高频知识点十三格，并会提分点于六个。强化专项练 书中，先以思维导图梳理各章节知识框架，让预习复习一目了然。接着基础知识解读，知识点划分细致，足以解读定义概念提炼核心要点搭配，立体精讲，让学生轻松理解掌握 四肢。多重练习提分训练，针对知识点关注过程与总结，助力灵活运用。 专项练习，分类专练意拓常考点题型丰富且循序渐进，助力突破难点。综合练习，整合考点，全面检测对接中考查漏补缺书。课后有探口答案，且每道题配由视频讲解，全方位助力学生专项提升。

含餐一元一次方程的解同学们好，我是树之傲的易老师，今天我们继续讲解浙教版七年级上册含餐一元一次方程的解专题。第四类整数解问题 我们看例四，已知整数 a 是 关于 x 的 方程， x 减四分之二减 a， x 等于二分之 x 加二减一。有整数减，则符合条件的所有 a 的 值和为多少。 这道题的关键信息是， a 是 整数， x 也为整数。我们的做题思路是，先求出 x， 再根据整数解的条件反推出 a 的 值，最后再求和。首先化简方程 第一步，去分母左右两边同时乘以最小公倍数四， 再去括号， 再移项并合并同类项得到。 最后再化系数为一， x 等于 a 加二分之二。 因为题目说了 x 是 整数， a 也为整数，所以 a 加二分之二也是整数，这就意味着分母 a 加二是分子的二的因数，那接下来只需要找到二的因数就行。 二的因数有一 二，负一、负二， 注意，这里不要遗漏了负因数的情况。但如果这道题要求 x 为正整数， a 也为正整数的话，那么负一和负二这两种情况就不需要讨论了。好，接下来我们分类讨论一下 a 的 四种情况。 当 a 加二等于一时， a 等于负一。当 a 加二等于二时， a 等于零。当 a 加二等于负一时， a 等于负三。当 a 加二等于负二时， a 等于负四，所以所有 a 的 值和为， 所以这道题的答案就是负八。 好，如果这道题我把方程的解， x 等于 a 加二分之二，它的分子改为二， a， 即 x 等于 a 加二分之二 a x， 这里 x 为正整数， a 也为正整数，此时 a 的 值有哪些呢？同学们可以自己独立做一下解析，思路和答案会放在评论区里面 学习，更多理科思维记得点赞关注哦！

哈喽，大家好，关于一元一次方程的应用题，前边我们已经讲过几个类型题， 那么今天我们继续讲行程问题的知识点，并通过五个压轴的典型题来进一步扼实我们提到的一个核心，两个基本点的 这种方法和思路。那么对于这部分呢，如果还没有记笔记的啊，请一定要记住笔记。那么一个核心两个基本点，其中的核心呢就是方程的等量关系 啊，列方程解应用题，那么不仅仅是针对于一元一次方程，包括后续我们学习的二元一次方程组，一元二次方程等等，涉及到方程的，那么重要就是要去找到他们的等量关系，这个就是他的核心， 那么两个基本点呢，其中一个基本点就是未知量的数量关系，注意这里的数量关系和等量关系呢是有区别的，那么其中的条件哪些是体量的等量关系，哪些是体量的 数量关系？那么如果说经常跟着老唐的啊思维课的话呢，去听那么我们讲到的一些方法和思路，就会知道，一下子就能够找到他的核心 啊，等量关系和数量关系，另外一个基本点呢就是你的功底就是解方程要正确，另外呢最终还是要进行一个检验。这时我们又回顾了一下一个核心两个基本点，其中核心就是方程的等量关系。 好，关于行程行程问题的知识点呢，我们在这里讲五个，那么首先呢是行程问题中的三个基本量，路程，速度和时间，那么路程等于速度乘以时间，时间呢等于路程除以速度，速度等于路程除以时间，那么这个里的 三个基本量啊，一定要牢记的。第二是相遇问题，所谓的相遇问题，抓住他的核心的等量关系呢，就是快的路程加上慢的路程应该等于总路程，也就是等于路程和然后追击问题的话呢，他的等量关系呢， 肯定就是快的追慢的，因此呢，就是慢的路程减去啊，快的路程减去，慢的路程应该等于原路程，也就是路程差。 第四是航行问题，航行问题呢，在小学的时候呢，很少遇到过，到初中之后呢，应用题里边也是考的比较多的啊，尤其是啊这种往返的一些问题， 那么他提到的啊，前两个都是数量，注意是数量关系，数量的关系呢，指的是顺水或者顺风的速度，应该等于净水或者净风的速度加上水流的速度，然后数量。另外一个呢，就是逆流的时候， 逆水或者逆流逆风，那么他应该等于净水的速度减去啊水流的啊速度，因为这个水流啊或者是风速的方向就是和船的啊，速度呢，是相反的。 那么在这里我们提到的核心的等量关系，一定是要抓住两个码头间的距离是不变的，那么这个呢，通常是作为引寒的条件 是去把握的，如果说这里的等量关系没有把握好，那么在列方程找到等号的时候，左边和右边的代数式就不太好去列。 还有一个呢，就是水流速和船速啊，也就是进水中的速度呢，是不变的，这个特点，牢牢抓住他的核心就是等量关系，那么火车过桥或者过隧道的问题呢，他通常用到的等量关系呢，就是火车长是不变的， 桥长也是不变的，或者说隧道长不变，抓住这个不变，那么左右两边相等 就行了，这个是提到的形成问题的知识点。好，接下来我们通过五个典型题目来看一看他所涉及到的等量关系和数量关系。 我们看啊，第一题，亚洲题的第一题，那么重点呢是去看一看呢，这里的等量关系和数量关系到底是什么？某人从家里骑自行车到学校，这是一个 若每小时行十五千米，可比预定时间早到十五分钟，那么预定时间呢？我们是不知道的，那么这句话呢，体现的就是他们的数量关系，早到或者是晚到，那么就是加上十五，或者是减去十五。 若每小时行九千米，可比预定时间晚十五分钟。那么在这里呢，你要把第一个条件和第二个条件结合在一块去看，为什么呢？速度不一样，但是什么是不变的呢？ 不变的就是家到学校的距离，因此通过这个你可以去找到他的等量关系。那么这个题目求的就是间接法去求这个未知量， 因此呢，他所涉及到的等量关系就应该是加到学校的距离是不变的。那么速度是十五千米骑行的总的路程，应该等于速度是九千米骑行的总的路程，那么我们再根据路程等于速度乘以时间 就行了。那么因此呢，你在设这个未知数的时候，就应该设的是预定的时间是 x， 那 么早到了十五分钟，那么就应该是 x 减去十五， 然后再去乘以它的这个速度，然后注意这里要看单位，减去十五的话呢，在这里就错了， 每小时这个单位是十五千米，而这里是十五分钟，所以先把分钟化为 这个小时。这里呢，是我们提到了他的等量关系，总的路程是不变的。那么数量关系呢？就是啊，他所用的时间就是他的一个预定的时间，那么 速度是十五千米行的，加上十五分钟，应该等于速度是九千米行的，时间，减去十五分钟，都等于什么呢？都等于预定的时间。 这里我们就是刚才提到这个是数量关系，这个也是数量关系，那么在这里总的路程相等是他的等量关系。因此根据上面的这个分析，你只要抓住了他的数量关系和等量啊等量关系一个核心，两个基本点。首先把 十五分钟化成是零点二五小时，我们设他的预定时间是 x， 那 么 x 减去零点二五二五呢，就是这一个第一个的等量关系。然后第二个的数量关系 啊，这个是数量关系，那么第二个 x 加上零点二五呢，就是他的另外一个数量关系，而这个等就是加到学校的距离是不变的。因此呢，你根据这个等量关系呢，你很容易把左边的代数式，右边的代数式列出来，路程乘以这个速度，这样就行了，因此解出来 x 等于一， 所以呢，计算出来路程应该是等于十一点二五千米的，最终做最后做的。那么最后我们回顾一下啊，这里提到的等量关系，实际上是一个隐含的条件， 有些同学呢，一直做应用题，抓抓不住这个等量关系的最主要的原因是没有去思考，没有去分析到底他的等量关系怎么去找，如果题目中没有告诉你他的等量关系，尤其是有些隐含的，哎，就找不到了。 所以呢，对于这部分来说，一定要通过我们这种典型的压轴题啊，抓住核心， 抓住基本点，也就是等量关系和数量关系，多去想一想，自己去想一想。好，我们来看压轴题，典型 t 二，大家可以把这个视频暂停，自己去对照的，刚才我们讲到的一个核心，两个基本点，找一找他的 核心的主旨是什么，等量关系是什么？数量关系是什么，然后暂停，暂停完之后呢，或者你先去思考一下，到底这个题的等量关系是什么，数量关系是什么，可以看成一个什么样的行程问题， 暂停完之后呢，我们再去听讲解。好，我们来看这个题。一列客车车长是两百米，货车的车长是两百八十米，在平行的轨道上相向而行啊，相向而行， 那就是一个相遇的问题了，从两头车，两车头相遇到两车尾完全离开， 经过的是十六秒，那么这个时候怎么去想呢啊，就是核心的阻止，一定要抓住的是什么？一个是客车，一个是货车， 那么都是从车头相遇一直到车尾，大家呢，有的时候就抓不住点了，这个时候一定要抓什么呢？就是你看什么呢？看车尾，看车尾， 也就是你把车尾视为两个人，这是第一个人，这个是第二个人，那么从 a 处到 b 处，然后不同的速度，两个人就是相遇的，所以呢，对于这样一个客车和货车的相遇问题，就是把车尾 分别看成是两个人，然后距离是什么呢？总的路程应该就是客车的车长加上货车的车长，所以呢并且就是以车长和为总路程的一个相遇问题， 我们把这个示意图画出来之后呢，大家就非常清晰的啊，能够抓住这个核心的主轴，那么这里就是说两个车 车头相遇，一直到车尾完全分开，就是一个把两车车尾视为两个人，并且呢以两车车长为总路程的一个相遇问题，那么他的一个等量关系是什么呢？既然是相遇问题， 那么他的等量关系就应该是路程和应该等于两个啊，他这个 车长的值和也就是 ab 之间的距离嘛， a 行驶的距离也就客车行驶的路程加上货车行驶的路程就是等于总路程，总路程呢就是 ab 的 距离，也就是两列 车的车长，所以对于这个等量的关系，其中也没有告诉你，大家还是要把这种线段图或者是一图画出来，帮助你进行一个理解，一定要帮助理解， 所以呢，你只要说抓住了这个题目的核心的主旨，就可以去理解他的一个等量关系，那么数量关系呢，就是最后一个条件，他的速度啊之比是三比二，所以呢，我们可以去试啊，客车的速度是三 x 米每秒，货车的速度是二米每秒，根据他的等量关系，总的路程是两百加上二百八十，然后给他分开， 客车的行驶的路程加上货车行驶的路程，路程呢等于速度乘以时间，时间是十六，那么客车的速度是三 x， 货车的速度是二 x， 也可以写成什么呢？十六时间去乘以它的速度和三 x 加二 x 就 等于四百八十它的路程。所以说这种题目一定要理解它的这个提议。这种 货车和客车啊，或者是两列火车相遇的这种问题，都是把车位视为是两个人，然后呢，以这两个车的车长为总路程的一个相遇问题。 好，这个是典型 t 二啊，这个我不知道大家暂停了之后呢啊，是不是理解的跟我讲的是一样的，如果有偏差，那么还是要啊仔细去听一听，自己去消化掉，理解掉。 好，我们自己来看一看压轴 t 三，也可以把这个视频暂停，然后自己想一想它的核心的主旨，等量关系和数量关系是什么。好，我们来看铁路平行的 一条公路上有一行人，这是一个，还有骑自行车的人，这是一个两个，然后行人的速度是每小时三点六公里， 骑自行车的人的速度呢是每小时十点八公里。如果一列火车，这是第三个了啊，这个就比前两个啊更稍微复杂了一点，但是你要给他理清楚，拆开去看， 因为什么呢？他通过行人的时间是二十二秒，通过骑自行车的人是二十六秒，你把它分开，行人和火车这样一个问题，自行车，骑自行车的人和火车一个问题，所以说呢，你在这里理解的时候呢，你可以是什么呢？这是 火车，火车长，那么在这里是人，火车长的人呢？是同时的，应该都是相向的，相向的话就是一个追击问题，同样我们还是把车尾， 车尾看成一个人，然后呢车头有一个人，那么这个时候呢，从他们背后开来，开来之后呢，就是从点 a 处 ab 从 a 开始追击，然后呢到达点 c 啊，追上了，这就是一个典型的一个追击问题，那么 bc 就是 行人走的路程， ac 就是 这个火车走的路程，那么这个追击问题呢，我们都知道，应该就是快的路程减去慢的路程，应该等于 原来的路程长，也就是 a c 这条线段减去 b c 的 这条线段应该等于 ab 原来的这条线段，而 ab 是 什么呢？ 这个就涉及到了它的一个等量关系， ab 就是 它的一个原来的这个车身的长。 另外呢，对于这种等量关系的话呢，因为他这个题呢，是把行人和骑自行车的人放在一块去做的，所以这个时候的等量关系应该是什么？通过行人的时候和通过骑自行车的时候，车身长是相等的， 相等的，那么对于这个等量关系来追及问题的等量关系呢，我们根据这个视域图要给他画出来，那么因为 ab 这一段呢，火车长也就是列车长是不知道的， 因此来说，你通过行人的时候和通过骑自行车的时候，车长是不变的，根据这样一个等量关系，当然呢另外一个还可以根据速度相等，我们呢这里讲两种方法，那么这个时候我们会有一个方法选择的问题，哪一个更简单， 更倾向于选哪一个？我们会告诉大家一个技巧，好，第一问是求行人的速度，那么行人的速度呢，就是一个单位换算的问题，三点六 公里每小时应该等于三千六百米，那这是千米每小时啊，千米每小时，然后去除以 小时，一小时等于三千六百秒，先换算单位，然后再进行计算，应该等于一米每秒，同样的道理，十点八 km 除以每小时，也就是这个一万零八百米去除以三千六百秒，也就是三米每秒。 好，第一种方法呢，我们可以去试火车的速度是 x， 这时的等量关系是等量关系是 他的火车长是不变的，那么二十六去乘以 x， 减去二十六乘乘以三，就是这里的快的路程减去慢的路程，应该等于圆路程 也就二十六去乘以 x， 减去二十六去乘以三。那么在这里呢，指的就是这个 骑自行车的，通过骑自行车的这个这个路程，这个这样一个追击的问题，然后通过行人的时候呢，也是这样子的啊，时间去乘以路程差，或者说是快的路程减去慢的路程， 二十二乘以 x， 减去二十二乘以一。那么对于这个题目来说的话呢，这里是一个关键，这里是一个关键，那么它的基础呢，就是大家要理解它是一个追悼问题，而追悼问题这个车长是不变的，因此呢，计算出来 x 等于十四， 那么车车身的长度呢？是两百八十六米。好，当然还有一种方法呢，如果是他是求这个车身长的是 x 米，那我直接就去设 x 米，那么这个时候什么是相等的呢？是既然有了车身长，也就是原来的路程， 那么我们去除以他的时间，那么注意这里的不太好理解啊。方法二，我们不太推荐，推不太推荐的第一个原因呢，是因为 x 是 车身长，除以二十二，相当于是什么他的路程这个速度差， 因为对快路程减去慢的路程等于原路程，他如果用时间乘以速度去表示的话，应该就是时间去乘以他的速度差， 快减慢，也就是总的时间去乘以它的速度差，应该等于路程差。所以呢，在这里有一个逆运算的过程，所以 x 除以二十二，然后再加上一，这里指的是火车的速度，那么火车的速度呢，是不变的，也就是等量关系，我们在这里提到的等量关系， 那么同样右边呢，是火车通过骑自行车的总的时间是二十六，路程呢是二十 x， x 除以二十六是等于速度差，速度差，然后加上三 三呢是骑自行车的人的速度，这个右边也是火车的速度，所以左右两边是相等。那么第二个我们不选择的第二种方法呢，是第二个原因，是因为它是除法。 前面呢，我们也讲到过，能用乘法不用除法， 因为呢，除法在运算的时候呢，不太好去计算，容易出现错误。所以呢，方法一我们是推荐的，那么也就是它的车身长是相等的，和典型题二我们也是一样的，也就是间接的去求出来车长的这个距离 好，这个是压轴 t 三，压轴 t 三呢，它的核心的主旨呢，就是一个追击的问题，另外我们还提到了一个方法选择的问题，它的等量关系是用车长相等去做 好，不知道大家自己去思考的时候有没有做对好。 第四个压轴题，那么这个题呢，是这个行驶行船的问题啊，顺水啊，逆流，逆流的问题，大家也可以把视频暂停，自己想一想他到底 这里的容易漏的点，还有避免入坑的，以及我们刚才所说的数量关系和等量关系到底是什么？你带着思考，然后带着问题，我们来去听老唐的这个说一个， 我们来看某船从 a 码头顺流到 b 码头， a 到 b 是 顺流的， a 到 b， 然后逆流反向到 c， 共行驶二十小时，那么这个共行驶二十小时就是它的等量关系， 这个一定要在审题的时候加上你的思考，共行是二十四小时，二十小时就是他的能量关系， 然后已知船在进水中的速度是七点五千米每小时，水流的速度是二点五千米每小时，这样的话呢，你就能够算算算下来顺流的速度和逆流的速度就七点五，加上二点五以及七点五，减去二点五 好。若 a 与 c 的 距离比 a 与 b 的 距离短四十千米，这个就是一个 啊，数量关系啊，这个是很明显啊，谁比谁多，谁谁是谁的几倍，谁比谁等于几比几，这些冥想的都是一个数量的关系，共用了多少，那么一般呢，就是一个等量的关系， 所以这个是我们审题的时候，那么我们来看一看啊，哪一些是容易去漏掉的一个点？我们来看 a 码头到 b 码头， 然后呢再返回去到 c 码头，这个 c 码头到底在哪并不知道，因此来说 c 码头与 a 码头、 b 码头的位置关系不确定，因此呢，造成了你容易出现错误或者漏掉的 这个问题，那么避免入坑的方法呢，就是大家要把这个示意图给他画出来，要考虑位置在哪。因此呢，对于这个 c 码头的话呢，第一种情况就应该是在 ab 的 中间， c 码头在 ab 中间，因为从 a 到 b 是 顺流，从 b 到 a 呢是逆流，逆流到 c 码头，到底这个 c 码头和 a 码头什么位置？不知道，所以这是第一种情况，那么第二种情况呢，就是 c 码头在 b a 的 延长线上， 所以说我经常告诉大家呢，就是说你避免入坑，或者说是有一个分类讨论， 分类讨论的最关键就是看位置，包括我们前面提到的数轴的动点，线段动点以及动角的问题，也就是角的旋转啊， 那么就是要看位置，所以对于这个题目来说，避免入坑的方法就是来看它的位置。 接下来等量关系就比较简单，刚才我们提到了，就是共行驶了二十小时，数量关系呢，就是 a 与 c 的 距离， a 与 c 的 距离比 a 与 b 的 距离短了四十千米， 因此呢，这里求的是 ab 的 距离，求 ab 的 距离呢，我们就可以把 ab 的 距离设出来 x， 那 么根据这个 a 与 c 的 距离比 a 与 b 的 距离短四十千米， ac 呢就是 x 减去四十。 因此呢，对于第一种情况，第一种情况他共行驶了二十小时，首先来看他顺流的，顺流的话呢，就是他的总路程去除以速度，加上路程除以速度，也就是这个是逆流的时候，逆流的时候呢， 应该是等于二十。那么这个四十指的是什么呢？ a c 的 距离比这个 ab 的 距离短了四十，所以呢，列出来这样一个方程，注意，这种情况呢，是当点 c 呢，是在啊，点 c 是 在 ab 的 这个中间的 好。情况二，当 c 呢，在 b a 的 延长线的时候，同样也是同样也是顺流的， 这个时间等于它的路程去除以它的速度。然后注意的是，当 c 在 b a 的 延长线的时候，它应该是 c a 加上 ab， ab 是 x， ac 呢，又比 x 少了四十，所以是 x 减去四十。 那么第一问的这种情况来说呢，是因为 a c 比 ab 少了四十，少了是谁呢？少的就是 bc， 那 么因此 bc 就是 四十，而 bc 呢，就是这个船逆流行驶的路程， 要这两个的区别要分清楚，那么解出来 s 等于五十六，所以最终的答案呢，应该是两个情况，那么想一想自己是不是遗漏了一种情况，这个是压轴题的第四题， 好，压轴题五，同样呢，大家也可以啊，先去暂停，那么这个题目呢，还是有一定的难度的啊，可能有啊，有四颗星的话，这个题可以给三到四颗星。 好，我们来看两列火车，分别在行驶在平行的轨道上，快车的车长是一百，慢车的车长是五一百五十，两车相向而行，注意是相向而行。快车驶过慢车某个窗口所用的时间为五秒 使过，那么肯定也就是从车头到车尾使过的这个物秒。那么这个时候呢，我们来想一想他的等量关系，包括他的一个主旨，包括他的题该怎么去理解。第一问 啊，核心的题，快车驶过慢车某个窗口的时候，注意，在这里，慢车假设不变，这个是慢车的窗口，那么快车呢，驶过的时候，这个车头，这个是车尾，驶过的时候呢， 就是把车尾看成一个人，车尾就是 a， 那 么这里是 b 从车尾去和 b 相遇，因为它是相向而行的，这个是相向而行， 因此来说呢，这个时候核心的提议的本质就是说慢车窗口的人和快车车尾的人就是一个相遇问题，那么既然是相遇问题的话，它的等量关系就应该是 慢车车窗口的人行驶的路程，加上快车行驶的总的路程和注意看， 那么这段线段 ab 应该是多长呢？线段 ab 就是 快车的车长，快车的车长是一百米，所以说呢，它的等量关系也就比较好找一点。 这个是第一问，那么我们可以把这个两车的速度呢给它设出来，快车的速度是 x， 慢车的速度是 y， 那 么这个题目求的是两车的速度之和，因为它是一个相遇问题，相遇问题的话，因为是路程和，因此呢，就是等于时间去乘以 速度和，时间乘以速度和就等于快车的车程。所以对于这个题目来说呢，核心在于就是你的题的理解，理解了题之后再找的等量关系就比较好找了。 这个是第一问，那么两车的速度之合呢，是二十米每秒。然后第二问，两车相向而行，注意又改了一个条件，慢车经过快车所用的时间，慢车，假设这个是慢车 经过快车某一窗口，这个是某一窗口，那么这个是 a， 这个是 b， 注意这个是慢车的 慢车的车头，那么这个时候应该也是一个啊相遇的问题，因为第一问呢，就非常明确的是相向而行的，那么这个相遇的问题的时候，那么原来的路程就应该是等于它的一个慢车的车程， 因此对于他的核心的本质来说，要大家去理解，就是说快车车窗的人和慢车车尾的人一个相遇问题，相向而行，那么因此他的等量关系同样还是路程和 快车的路程和加上慢车的路程，应该等于这个时候是慢车的车程，那么这个等量关系也比较好找，因此呢，大家可以求什么呢？因为求的是时间，所以呢我们可以试驶过某快快车某窗口的时间是等于 t 秒， 那么时间乘以它的速度和应该等于总路程，总路程就是慢车的这个车程啊，计算出来 t 等于七十五啊，这个第一问作答就行了， 然后第二问的情况要改了，如果两车同向而行，注意这是同向而行，既然都是同向的话，那肯定就是一个追击问题了， 慢车的速度是八米每秒后，快车是从后面追赶慢车，那么注意看 他的是车头，赶上了慢车的车尾开始注意，这个是开始到快车车尾离开车头，那么我们来看这个是快车， 然后呢这个是慢车，这是车头相向的车头的这个位置，这是开始开始的时候呢，你要把什么呢？车尾 看成它一个两个人，也就核心的本质来说呢，就是说快车的车尾，这里的有一个和慢车车尾， 慢车的车尾这样一个啊追击的问题，慢车的车头，因为它是相向的，这个是尾， 这个是慢车的车尾，这个是慢车的车头，这个是快车的车头，这个是快车的车尾，也就是它的车尾要追上慢车的车头 啊，慢车的车头，然后最终走的是什么？这个是慢车一直到快车，这是快车的车尾和超过了慢车的车头 啊，这一点要理解清楚，这个就是它的核心的本质，因此对于这个追击问题来说的，那么它的等量关系就应该是快车所行驶的路程减去慢车所行驶的路程应该等于两车的车身的和， 或者说用速度差乘以时间等于两次的车长。那么注意这里的总的路程，也就是他原来的追击所用的路程的差，应该是两次的车长之合。 好，我们来看是所需的时间为 m 秒，那么慢车的速度呢，是八米每秒，体重已知条件给出来了，而且给出来了什么呢？速度之合呢？第一问给出来是二十米，所以呢快车的速度呢，就是十二米每秒， 那么在这里根据他的等量关系，时间去乘以路程啊，速度差啊，乘以速度差，应该等于他的两侧的车车长之和，计算出来 m 等于六十二点五， 所以最终作答啊，至少要多少秒？那么这个至少指的就是快车的车尾超过了慢车的车头。 那么对于这个部分的理解啊，要抓住他的一个核心的本质啊，去理解，就说他到底是一个什么样的问题，因为行程问题里面呢，就是追击啊，相遇 或者逆流顺流，那么这种问题呢，相对来说是难度不是说特别大，但是呢，对有些同学来说呢，把握不住他的核心的提议，你怎么理解就理解不了， 那么所以你就更难去找到他的等量关系，因此来说呢，你看我们在找这一部分的，做这一部分题目的时候呢，就是给到了大家的一个分析的内容， 怎么去分析，抓住他的核心的本质，然后再去抓住一个核心两个基本点去解题，这个是典型题五。 最后呢，我们通过这五个典型题来进一步强调了列方程解应用题的一个核心两个基本点，同时又把形成问题的这几大类型的核心的本意、提议的理解告诉了大家。 那么如果说您有收获或者说想要一份这样的 pdf 版的讲义，请在评论区留言或者私信给我啊，都可以进行一个分享，那么最后记得一键三连加分享。好，谢谢大家。

对了，家长们必考的初一期末压轴题解一元一次复杂方程来了，我们来看一下题目材料阅读解这个分式的一元一次方程。 既然是材料阅读，我们就要仔细看一下这道题有什么不同。我们可以看到它的分子都是 x 减五，那么我们就总结一条，它的分子是相同的。我们再看一下它的分母， 他的分母是三，左边是二，右边是四，那么就是一个减一，一个加一，非常的接近，所以说我们总结出他的分母是接近的数字， 他的第一步就是提取公因式，把分子 x 减五当成公因式提出来。第二步是参数方程的分类讨论，因为二分之一加三分之一加四分之一，这个他不可能等于零， 非零数乘以零才能够得零。所以说我们的 x 减五啊，它只能等于零，那么 x 解出来就是等于五， 这就是我们这个母题当中的解析步骤和分析。我们现在就带着这个母题例题的解析方法和步骤流程，来看一下我们要求的这个方程要怎么来解。那我们就试着来解一下这个方程。 首先写个解，我们现在仔细看一下这两个方程有和不同，有和相同。第一个不同点是他们的分子上面是相同的，下面是不同的，所以说分子不同。那么第二部分母呢？上面是接近的减一加 一，下面也是减二加二，所以说我们姑且认为它的分母是接近的，仔细一看你就会发现右边一个是零，一个是六，他是不相同的。 好，我们把它写出来，现在经过我们的详细分析，我们就看到了这个分母是接近的，那么我们可以暂时不管他，而我们的分子是不同的，没有达到我们母题的要求， 而我们的右边这里不等于零，也没有达到母题的要求。那我们要解这个方程，首先是要解决一下这两个不同点。 好，我们看一下哪个容易解决，肯定是这个，那么我们就先把这个右边不等于零先解决掉，很简单，把六往左边放过去，那么就等于零了。好，我们写一下，那现在这边是不是多了一个六，那么刚好我们在解决这个分子不同的时候，把六就把它放到分子上去， 怎么来放呢？我们常规的方法就是把它分成三个二，我们经常这么干，对吧？那我们来试一下 负二、负二，负二带进去，看一下这个方程能否成立。负二就是四十二，四十二就是一百零一， 负二就是四十六，四十六就是八十，这两个明显不相等，所以说分成三个二肯定是不行的。那我们再来看一下这个六要怎么分配才能够让这个分子是相等的。 那我们就来仔细研究一下目前的数字，五十九、三十四和五之间存在什么样的规律，怎么样分配这个六才能让这个分子 相等？五十九、三十四和五并不存在什么样的规律，但是他们相差都是非常大的。我们让这三个分式当中任何一个分子相等，能不能取相同的数， 仔细一看肯定是不能的，因为他们相差非常大，而他们的分母相差却是非常小的。我们现在就可以得出一个重要的结论，这个六 是不可能分成两个相同的数字的，无论是零一二三，那是不是这个六只能分成三个不同的数字呢？我们来试着分一下，六可以分成零一和五，六也可以分成 零二和四，六可以分成一二三。这个六还能不能分出三个不相同的数字呢？ 仔细看一下应该是不能的，对不对？好，这个时候我们再想一下，把这三种数字直接带进去也是可以的，很好算，因为这三个数字是从大到小的关系，那么想让它的分子相等来凑数的话，只能凑，从小到大我们就选择 一二三把它带入。当然如果说你把三组分别带入也是很快的，那我们现在就直接上一二三试一下，这里就是负一、负二，负三，负一的话就是二十一，二十一就是负八十， 负二的话就是四十六，四十六也是负八十，二十五就是七十五，七十五的话也是负八十。现在我们就找到了把六分成一二三，刚好可以使这个三个分子相等， 是不是现在一切都豁然开朗了，解决了百分之九十的问题。二十一分之 x 减八十，加上二十三分之 x 减三十四，加上二十五分之 x 减八十等于零。这个时候放到我们的母题，把 x 减八十当成共音式提取出来， x 减八十，这边就是二十一分之一加二十三分之一加二十五分之一等于零。第三步参数方程分类讨论，因为我们的二十一分之一加二十三分之一加二十五分之一不可能等于零， 那我们的 x 减八十就只能等于零，因为非零数乘以零才能使这个方程成立。等于零， 那现在解一下 x 就 只能等于八十， x 等于八十。当我们再要解这种一元一次复杂方程的时候，一定要把我们母题当中的数值 做好仔细的分析，把母题当中的解析思路、技巧和方法带入到我们要解的题目当中去，一定可以轻松的搞定。如果说你觉得陈老师讲的还不错，请为你的孩子收藏关注。

好，我们看一下第八个类型，解一元一次方程去括号， 那么这个地方只是在形式上稍微复杂了一些，但是本质还是比较简单的。好，我们看这道题，首先去括号，二 x 加六减九等于二分之三，这个时候先不要急着去分母，我们先把这个括号去好， 然后我们再来去分母。去分母的话，左右两边最小的公倍数，分母的最小公倍数是二，所以左右两边同乘以二，也是四倍。 x 加上十二减去十八，等于三倍的 x 加上九， 那也就是四倍的 x 减六等于三倍的 x 加九。移项啊，把 x 放在一起，把长数项放在一起，三 x 移到左边，那就是负三 x。 四 x 减三 x， 那 就变成 x， x 等于什么？负六移过去，记住，我现在说的是负六， 负六移过去变成正六，六加九十五，这是这道题， x 等于十五。 下一道题非常简单，我们直接写一加五， x 等于六， x 减八。移项。为了简洁，我们甚至可以把五 x 移到右边去，虽然偏离了我们一般是把 x 放在左边的这个次序，但是它更简洁， 把负八移到左边，把五 x 移到右边，负八移到左边，一加八，六 x 减五 x， 所以 就变成， 所以我们在最后写出来 x 等于九。下一道题我们直接做去括号 移项，六 x 移过来，八倍的 x 减去六， x 等于二减四，二 x 等于负二，所以 x 等于负一。这是这道题下一道题 去括号，二倍的 x 减去四减去。注意啊，这个地方要注意一点，刚才我们也已经强调过了， 当括号外边是减号的时候，这个小学就学过了，在去括号的同时，括号里边这个号要变，号，要变成加，如果原来是加，那这个时候要变成减，要注意， 六二乘三是六加三， x 等于二，合并同类项，二 x 和三 x 放在一起是五 x， 负四和负六是负十，负十移到右边是正十，所以 x 就 等于。 这是第三道题。我们看第九个类型。去分母啊，我们看一下它的分母，一个四，一个是六，我们找它一元一次方程里边所有分母的最小公倍数，这里边的分母只有四和六，它们的最小公倍数是十二。 我们会这么做，左右两边每一项，这是第一项，这是第二项。你看我找每一项的时候，我把他们的符号也包含在内了，这是第二项，这是第三项。 那我们把方程的左右两边每一项都乘以所有分母的最小公倍数，所以是十二乘以四分之三， x 减一减去十二乘以六分之五， x 减七等于十二。那我们这个时候看一下， 十二被这个四约掉，剩个三了，六约掉还有二，那也就是三倍的三， x 减一减去二倍的五， x 减七等于十二。 我们正常去括号，注意这个括号，这个括号的外边是减号，所以在去括号的同时，我们还用乘法分配律二和里边的每一项都要相乘， 二乘十 x， 注意括号里边的这个，这个符号就要变，变成正， 同时还要不能忘记要乘以外边的二二七，十四等于十二，合并同类项，负 x 所有的常数项移过去，负三移过去变成正，三 加十四变成减十四，负 x 等于一，所以 x 等于负一， 我们这是这道题。 好，我们看一下下一档三六，所以它的最小公倍数是六，所以两边同乘以六， 也就是二倍的 x 加一减去六，等于它俩约掉了四倍的 x 减一，取括号 和并肩移向，把四 x 移过来吧，都可以的。减六移过去。 负二， x 等于三，所以 x 等于负二分之三。最后这一点许多同学都会犯错， 负二 x 等于三，所以 x 等于负二分之三。有很多人会写成负三分之二，但是错的，我们具体看一下这个东西到底什么意思。负二乘以 x 等于三，也其实就可以写成负二乘以 x 等于三， 那么我们知道这是一个乘数，这是另外一个乘数，这是他们的积，所以我们在求其中一个乘数的时候，我们要注意是用积除以另外一个乘数的， 那我们也就可以写成分式的形式，分之三，分式的形式就是三除以二，这一点一定要注意。很多同学在这边都会犯错误， 我们后边讲的会稍微快一点了，我们前面把过程讲的非常具体，我们后边呢，其实跟前边呢是类似的，所以我们不会像前面一样逐字逐句的把它讲的很细很细，我们后边就会稍微快一点。 那我们看一下这个啊，分母里边都有四，一个五，所以它们的最小公倍数二十，我们左右两边同乘以二十就可以了。均分母 二十，二十乘以四分之三， x 减七，那也就是跟四约掉二十，变成五五倍的三， x 减七 等于啊，这个地方是五啊，它乘以二十，应该是负四倍的 x 加七，然后我们去括号，同时乘法分配， 注意这个地方要变成加号了，因为外边是减号，所以它要变成加号。五七三十五等于，这个地方同样是减号，负四 x 减二十八，一定要注意， 我们继续去做。负十五 x 加上七十五等于负四 x 减二十八，负四 x 移过来负十一 x 等于负七十五减二十八，所以 负十一 x 等于负一百零三，所以 x 就 等于负一百零三，除以负十一，符号除以，符号就抵消了，所以可以写成十一分之一百零三， 就是这道题。下一道题解方程，我们快速解一下四三，它的最小公倍数是十二，所以左右两边同乘以十二， 它乘以十二，跟四约掉就变成三了，也就是三倍的二。 y 加一等于十二，减去四倍的一减二 y， 注意这个四啊，是十二跟三，约跟这个三约掉十二变成四了，我们再去括号，六 y 加三等于十二，减去四，注意，这个地方要变号了。加啊，可不是减了，加八 y， 我 们稍微慢一点吧， 把八 y 移过来，六 y 减八 y 等于三，移过去八减三，所以是负二， y 等于五， y 等于负二分之五，一定要注意啊，一定要注意， 负二乘以 y 等于五，所以 y 是 作为其中的一个乘数，我们要求 y 的 时候，也就是求其中一个乘数要用 积除以，另外一个数可不能写成负五分之二。

搞定初中必考题，今天呢，我们来看这样一道题，那么这类题呢，是一元一次方程的一个行程类问题，近期啊，很多同学啊，问我这类题的偏多，那么今天我们就用一条视频，把这种类型的题如何去分析，理出思路啊，给大家讲明白。 那么再给大家强调一点，我们在学习数学的过程当中，有思路比做题更重要，所以说啊，我们一起来分析一下这道题。 甲乙两支队伍沿同路线徒步行程啊，路程二十四千米，甲步行速度四千米，以步行速度六千米每小时，甲出发一小时之后， 乙队才出发，同时乙派一名联络员跑步在两队之间进行啊，一次联络中间不停顿啊，速度为十千米每小时。第一问，乙追上甲要多久？ 好，我们来看啊，我们不妨啊！很多同学觉得这里没有思路，我们不妨画一个图啊，帮助大家去理解。假设这是一段路程，由 a d 到 b d， 那 么这里有两个人，一个甲一个乙，对不对？好，我们先标注出来，甲乙在同一位置，他们啊，往这里去跑 对不对？要跑完这一段路程为二十四千米的这样的一个路程对不对？这样一个路程，甲的速度是四千米每小时啊，我们标注出来，甲是四千米每小时，乙是六千米每小时 啊，我们先标出来对不对？那么甲出发一小时之后以对才出发啊，这个时候甲这个同学有点不讲武德了，对不对啊？说，你别动，我先走。那么这个时候甲是不是跑到这来了？但假设啊，甲 跑了一小时，他变到这里了，中间是一小时的路程，那么这个时候啊，乙看到甲说，哎，你怎么不讲武德啊？然后他于是决定去追他，好好的教育甲一番，这个时候那甲看乙追过来了对不对？甲还得跑对不对？那么形成了 啊，乙追啊，我追的这样一个局面，那么好，我们假设到这里的时候， 甲和乙啊遇，遇到了，就是乙追上了甲，行不行？ 好，乙追上甲要多久，对不对？就这么久，是不是？所以说啊，我们不妨设，乙追上甲要 t 小 时，行不行？我们先设一下 t 小 时，乙追上了甲，也就是说又过了 t 小 时，那么甲，我们来看哈，我们去分析这道题， t 小 时之后，我们先来看啊，乙的路程是不是好算， t 小 时之后，乙跑到这里是不是六 t 啊，对不对？ 对不对？它总共的路程是六 t 吧，速度乘以时间是不是？乙跑路程是六 t 吧，好，那么甲此时是多少？我们来看啊，甲从这里跑到这里，因为他一开始已经跑了 t 小 时，所以说他总共跑了 t 加一小时，对不对？ 这个是时间乘以它速度是四，那么这个就是甲跑的路程吧。所以说第一问啊，咱们这个恒等式这样去列， 那么四乘以 t 加一，就应该等于六 t 吧，对不对？我们最后算出来， t 是 等于二，对不对？那么这是第一问，已追上甲要两小时，对不对？ 好看第二问，那么此时这个联络员也没有闲着，对不对？从出发到与甲联系上啊，联系上了 这个这个甲之后，他要返回，要去找乙，对不对？给乙汇报汇报情况，汇报汇报汇报一下甲的一些具体的详细情况，对不对？他跑的总路程为多少？那么此时哈，不懂，我们去画图，我们此时啊，看一张草图，我们画下，这里 我们画大一些啊，有助于理解。那么还是从 a d 跑到 b d， 那 么此时这个是甲，那么这个是乙啊，顺带带着他的小跟班联络员，是不是他们三个人 啊，造成了怎么样？你跑我追的这样的一个局面，对不对？还是甲，一开始啊，你俩都别动，我先跑一小时，那么此时这段是一小时，甲跑到这来了，对不对？ 好，我们再来看啊，这个时候变成了联络员与啊，先追甲，对不对？我们不妨先看啊，联络员 追上甲，咱不妨。呃，追上甲时啊，追上甲，用了 x 小 时行不行？我们设 x， 那 么此时甲和联络员啊，我们在这里相遇了，行不行？这个是甲，这个是联络员， 甲和联络员在这里相遇了，那么这一问哈，和第一问是不是很像，对不对？联络员的速度是十千米每小时吧， 甲是四千米每小时，乙是六千米每小时，我们先都标出来，对不对？那么联络员从这里跑到这里，他是不是用了 x 小 时，所以说总路程是多少？是不是就是十 x， 对不对？那么此时甲啊，又跑了 x 小 时之后，对不对？他一开始有一个一小时对不对？所以说他总共跑了 x 加一小时吧，那么他跑到这里是不是用了 x 加一小时，你再乘以四，是不是 假，对不对？他跑这段路程吧，对不对？好，那么这个是啊，这里对不对？那么我们列一个横等式，那么十 x 是 不是就等于看这里啊？四 x 加一啊，我们最后啊，我们解出 x 是 三分之二， 也就是说联络员用了三分之二小时，怎么样？追上了甲吧，所以说这里就是三分之二，我们改一下，这里有三分之二，那么这就是三分之二，那么这里就变成了十乘以三分之二了吧， 好，此时我们再来看哈，这个时候怎么样？他联系上甲了，他要返回去找乙，对不对？他在返回找乙的过程当中啊，咱先来看啊，乙， 一开始甲联络员追上甲用了三分之二小时，对不对？我们求出来了，那么此时以三分之二，这三分之二小时是不是也没有闲着，对不对？我们假设以三分之二小时跑了这么多行不行？这个是以 乙三分之二个小时跑了这么多，那么这段路程是不是就是六乘以三分之二啊？速度乘以时间，是不是？乙跑了这段一个路程对不对啊？速度乘以时间啊，是不是？那么此时这时候联络员 要返回去找乙，对不对？那么在联络员返回找乙的过程当中，乙是不是还在往这里跑，对不对？我们设定一个终点在这里啊，换一个， 我们设定一个中点，这里联络员和已相遇了，行不行？这是已，这是联络员， 此时我们来看哈，我们不妨哈再设联络员， 这个返回对不对？返回以时，返回以用了 y 小 时 字母哈，不要设重复 d， 我 们设的 t， 这里是 x， 这里是 y， 对 不对？好，那么此时联络员返回到以这一段，它是不是用了 y 小 时对不对？ 那么联络员的速度是十千米每小时，所以它的路程就是十外吧，这里对不对？ 那么此时 e e 也得接着往上跑吧，它的速度是六，所以这个就是六乘外吧，它路程对不对？那么这里我们是不是可以列个恒等式啊？六乘三分之二加上六外， 加上这个十 y， 对 不对？是不是就等于这一段的总路程？十乘以三分之二，对不对？好，这一段的总路程我们来看哈，是不是十乘以三分之二，对不对？ 这又等于什么？是不等于这一段加这一段加这一段对不对？那么这一段是六乘以三加六啊，加六 y 是 不是就六乘以 三分之二加外，最后再加一个十外吧，路程都是一样的，对不对？所以说这个时候我们只需要把外给解出来就可以，对不对？好， 那么这是这个题啊，这个题，呃，我们给大家算一下吧，这个算出来之后啊，是六分之一啊，答案是六分之一，那么他问的是什么？甲返回以时，他跑的总路程是多少，对不对？嗯，写这里啊，写这里， 总路程我们不妨设为 s， 对 不对？总路程这一段联络员的总路程，他是不是跑了一个？这个哈，十乘以个三分之二，是不是？一开始去的时候十乘以三分之二，对不对？ 返回的时候是不是又跑了一个十万，对不对？就是十乘六分之一，对不对？那么这个就是总路程对不对？我们算出来之后应该是 三分之二十五，那么这是这个题第二问题的答案啊，这个题啊，做题是其次，思路怎么去分析？这个很重要，我们来看第三位，第三位哈，我们只分析思路， 然后稍后呢？我们分析完如何去做啊？这道题的答案呢，我用手稿的形式发在评论区，大家自行领取就可以。我们来看第三位，甲出发开始， 从甲出发开始到已完成，徒步路程啊，是指何时？两人间隔一千米？首先啊，我们大胆去猜测，跳出我们固有的思维，大胆大胆去猜测，这个题可能存在几种情况 啊？有同学说一种，有同学说两种，有同学三种，四种，五种啊，都有对不对？好，我们来看哈，首先在这里啊，甲出甲出发开始到已完成啊，这是一段路程对不对？ 那么这个哈，甲乙一开始都在这里对不对？ 那么首先他告诉我们的是什么？甲先出发一小时之后，乙才能动，这个时候啊，乙不能动，那么所以说，甲在出发，乙不动的情况下，是不是他们中间可能相距一千米对不对？所以说第一种情况就是怎么样？ 假动已不动时对不对？他们可能存在一千米对不对？那么第二种是什么？我们再来看啊，第二种， 甲跑了一小会到这里了对不对？那么甲此时开始动，乙也开始动，对不对？在动的过程当中，甲跑到这来了，乙在甲后边，他们是不是可能相距一千米，对不对？那么这个时候是甲动，乙动的时候， 甲动乙动怎么样？且甲在以前对不对？以前面甲在以前面一千米的时候， 是不是第二种情况对不对？那么第三种情况，我们推断这个时候随着时间的推移，乙毕竟跑得快对不对？乙是不是可以跑到甲前面去？这个也是一千米时候也行，对不对？所以说第三种情况是甲动 移动的时候，并且怎么样以在假前一千米对不对？ 好，这三种题啊，最后一道题要分三种情况去讨论，然后大家把啊可以自行的去做一下这三种题，每算一算结果是多少 啊，可以发在我的评论区也可以。然后第三问呢，一个手稿版啊，答题过程我会以手稿的形式发在评论区，大家自行去领取就可以了。好，那么这是这样一道题。

七上数学还有一个半月，马上快到期末考试的，我们来去讲一下七上的数学四大难点，关于一元一次方程。那么呢，杨老师这个周会给大家开一个免费的公开课，我们重点讲的呢，就是他的核心思路和方法的梳理哈， 关于公开课呢，大家可以直接找我预约。首先呢，关于计算板块，常规的计算我们不再总结，我们重点讲的你像一乘以二分的 x 加上一个二乘以三分的 x， 一 直往后加加上个九十九乘以一百分的 x 等于一百。像这种题， 表面上来看考的是解方程，实际上考的是我们在前面关于代数式里面的综合找规律，他的列项相关的问题，所以他确实会有一些难点的技巧和方法来，我们会在公开课里面呢，也给大家展开去系统讲啊。那接下来关于含餐的问题，大家应该见的比较多了，比如说无解的问题 啊，比如说这个无数解的问题，比如说唯一解的问题，那比如说我们给大家举个例子啊， a x 加上三等一个 b 减去 x， 假设它是关于 x 的 方程，那么这个 x 呢？它是有无数个结，那请问 a 和 b 各是多少？那这种题其实就是典型的含参相关的问题，那它的底层逻辑其实 是啊，比较简单的啊。那么接下来第三类关于应用题，应用题呢，其实在考试题里面，一般会在你的倒数第一个题或者倒数第二个题里面出一个压轴题，那应用题里面十六大类型大家比较常见的，你像工程问题，利润问题，储蓄问题 啊，打折销售利润的问题。那其实我们在小学阶段有讲过，小学阶段是列算式，那么到了初中阶段呢，开始去列方程，但是你会发现 几何相关的问题，像调配相关的问题，像分段计费，像最优方案相关的问题，那他那就比较难，在方程里面呢，他也会涉及到分类讨论。当然方程这一类题型核心啊，他其实是找等量关系。那很多孩子一读完题目之后啊， 你要的不是小学阶段的画线段图，而是找到题目中的等量关系，这就是解析的核心，找到等量关系才能列方程，而解方程其实就迎刃而解。那关于一元一次方程，它的核心技巧和方法的梳理呢？我们会分享大概一个半小时左右的时间，想去听的家长朋友们呢，大家可以关注一下杨老师。

好同学们，今天我们要讲的是一元一次方程系列题型的第二讲，关于列方程和方程解的一些基础例题。 好同学们，咱们看一下第二个类型，列方程这块的内容是比较简单的，咱们看一下，按照题目的顺序来快速的讲一讲。首先第一道解惑，根据下面所给条件，能列出方程的是 什么叫方程？我们知道方程有几个重要的要素，首先方程是等式，所以一定要有等号存在。另外，方程里边要含有未知数， 仅凭这两个条件，咱们看一下。 a 选项，一个数的三分之一是六， 那我可以把这个数看作未知数。一个未知数的三分之一是六，我们可以把它用 x 替代，也可以用 y、 z 这些字母替代都可以， 这个字母只是一个标志。一个数的三分之一是六，我们可以把它写成 x。 x 的 三分之一 等于六，那么显而易见，在这个式子里边，它有等号，而且等号左边是含有未知数 x， 那 么含有未知数的等式是方程， 所以 a 选项是对的。 b 选项 x 与一的差的四分之一，那么 x 与一的差，我们可以写作 x 减一，那我们要把 x 减一，看做一个整体了， 整体的差的四分之一，这是差，差的四分之一，再整体再乘四分之一，那就很明显， b 选项它只是一个代数式，它没有等号。 c 选项甲数的二倍与乙数的三分之一，甲数的二倍，我们可以写作二倍的甲。乙数的三分之一，我们可以写作三分之一倍的乙。 如果后边加一个相等，那么它也可以看作是一个方程，但现在它没有说，所以 c 也是不对的。 d 选项 a 和 b 的 和的百分之六十，这个也很好写， a 和 b 的 和， a 加上 b 和的百分之六十，那就括号乘百分之六十。同样这个代数式里也不含等号，排除掉，这是第一档，第二档， 根据 x 与五的和的四倍比 x 的 四分之一少二列出的方程是什么？ 首先看到这句话，我们想一想里边的等式关系， x 与五的和的四倍啊，咱们先把这一点表示出来， x 与五的和， x 加五和的四倍，括号括号再乘以四 比什么少二，那我们就可以把左边我们写过的作为一个量， 那么右边比谁谁谁少二，那用这个 x 的 四分之一，也就是四分之一 x 减二，就可以表示出来。左边我们写的这个代数式， 那现在正确的答案一眼可以看出来是 c。 第二道，根据它列出方程啊， x 的 三倍。我们以后做这种题，因为这个是一元一次方程里面的基础题型，所以它的深度不会很深，后续的话，我们会慢慢拔高 一元一次方程题型的深度。第二道题，根据 x 的 三倍于五 y 的 和式二，我们一步一步看， x 的 三倍，我们可以写成 x 乘三，一般来说，我们都写成三 x， x 乘三于五， y 的 和 五 y， 那 就写清楚它与五 y 的 和，那中间用加号来连接，那就是等于二，这就是我们要写的。那我们一般会把 x 乘三写成三 x， 所以 列出的方程可以写作三 x 加五， y 等于二， 这是第二道。好，我们接下来讲第三个类型，方程的解。首先我们要明确什么叫方程的解，方程的解是指让方程的左右两边相等的未知数的值。 那做这种选择题其实有快速的方法，我们可以把 x 等于一点六，直接带入到 abc 中。还有一个就是我们把 abc 这三个方程依次解出来，那我们快速用第一种方法， x 等一点六，直接带入到 a 选项里边， b 选项里边， c 选项里边，看哪个成立。 首先带入选项， x 等于一点六，那我们就把 x 看作一点六，一点六加上零点四是二。 b 选项里边一点六放到 x 的 位置，一减去一点六是负零点六，所以 b 是 不对的， a 也不对。 c 选项里六 x 加三等于九， x 等于一点六的时候，一点六乘以六 加三也不等于九。 d 选项里 d 选项中三 x 减 x， 三个 x 减去一个 x， 可以 看作两个 x 等于三点二，那当 x 等于一点六的时候，二乘一点六就是三点二，所以 d 选项是合理的。这是这道题， 下面我们看一下下一道题下列方程中哪个的解是 x 等于一点六， 那我们同样用这种方式快速的看一下， a 选项里 x 等于一点六的时候，一点六加零点四是二，他不等一点二 a， 所以 a 选项排除 b 选项中一减去一点六等于负的零点六， 而不是正的，所以 b 选项要排除 c 选项中 x 等于一点六，一点六乘以六，九点六，九点六加三是十二点六，所以 c 选项是错的，那只有 d 选项是对的。 第二道题，若 x 等于三是方程 a 减 b， x 等于四的解，则它值是多少？我们观察一下最终要求的东西， 我们最终要求的是负六 b 加二 a 再加二零二五的值。那我们这个题有两个思路，一个思路是我们分别求出来 a 和 b， 然后代入到这个式子中去， 得出这个式子它值与二零二五相加。当然我们看一看能不能分别求出来 a 和 b。 我 们知道这道题就短短的一句话， 那他提示了只说出了 x 等于三是方程的解。那我们可以先观察一下，把 x 等于三放入 a 减 b， x 等于四这个方程中去， 我们可以得到 a 减三， b 等于四，那我们仅仅通过这一个方程，无法确定 a 和 b 它们各自的值， 所以我们只能通过观察一下它求解的具体的形式来看有没有其他的办法推出来。我们知道我们求出来这个 a 减三 b 等于四，这是一个很关键的条件。我们看一看问题中 负六 b 加二 a， 我 们可以写作是二 a 减六 b， 二 a 减六 b 与 a 减三 b， 它们很明显存在着某种联系。我们用乘法分配律把二 a 减六 b 中的二提出来， 二 a 减六 b 可以 看作是二倍的 a 减三 b， 那 就和我们求出的条件相符合了，也就是二乘四再加二零二五。 这是这道题第三道题。已知关于 x 的 一元一次方程解是 x 等于一。哦，我们看到这一句， 我们首先脑袋里想到了，就是既然他说方程的解是 x 等于一，方程的解的定义就是说让方程左右两边相等，他的未知数的值是解， 他说了他是关于 x 的 元次方程，那也就是说把这个解 x 等于一带入到这个方程里边去，方程的左右两边是相等的，我们直接带 m 倍的一加一加上四倍的 n 等于六，二 m 加上四， n 等于六，这是我们通过第一个条件可以推到的 一个小结论。咱们再看一下最终的问题， m 加二， n 减三的值，我们可以看到二 m 加三减三又是多少？ 同样我们可以观察一下二 m 加四 n， 我 们可以把这个式子的左右两边同时除以除以几，除以二， 所以我们很容易的求出了 m 加二， n 等于三，代入到右边问题中去，这是这道题。