兰州一模解析几何

木易木易，数学容易！各位同学大家好，我是木易老师，今天给大家带来二零二五天水一模结合亚洲二十五节在数学活动课上，老师让同学们以举行的折叠为主题开展数学活动。有折叠就意味着会有全等， 也就有了边和角相等。第一问，操作推断如图一点， p 是 正方形边 a d 的 中点，所以 a p 等于 p d。 沿着 b p 折叠，我们把折痕划出来， b p 是 折痕，然后让 a 落在了 m 处，所以 a 点这里的直角，那么就会落到 p m p 这里的直角处。 接着呢，我们把折叠前后的边 ab 和 pm 对 应上。折叠前后， ap 和 pm 对 应上，又因为 ap 和 pd 相等，所以 pd 和 pm 也相等。 目前为止，我们知道这些信息，然后折叠不光与边相等，还有角相等呀，所以 apb 和 mbp 相等。 接着呢，看他把 b m 延长交 c d 于点 f 又连接了 p f， 我 们找到 p f， 问你 b p f 是 多少度角。那么很显然，第一问呢，除了这里的 a p b 和 m p p 全等之外， p d f 和 p m f。 如果我们把直角标上头，发现啊， a p d 等于 pm， p f 又是斜边公共边，所以这里 h l 它俩其实也是全等的。既然全等，那么这个角 d p f 小 点就等于角 m p f 是 吧？ 那这里呢？这就双角平分线。所以啊， p b f 呃， b p f 应该是九十度是吧？这里应该很容易看出来啊，九十度， ok， 我 们看第二问啊，迁移探求在一的条件下继续探求，如图二， 延长 pm。 呃，既然是在一的条件下，那我们不妨哎，就在一的条件下去看，我们直接呃，不看它这个第二图行不行啊？ ok 的， 其实我们在第一个图里面直接把它延长也是可以的啊，我们就延长 pm， pm 在 这我们延长过去， 交到点 e 上。其实我们就是把图二给它重新画一下啊，然后又连接了 be 是 吧？ 又连接了 b e， 哎，这里你其实发现啊，它连接 b e 之后，下面的两个三角形也是全等的，为什么？因为 b m 和 ab 相等，都是正方形的一条边，所以它和 bc 也相等。 又因为这里的 b m e 是 直角，这里角 c 也是直角，再加上什么，再加上中间一条公共边，也就是一条 b e， 所以 我们知道了，这两个三角形的角其实也是相等，是吧？我就没有用第二个图，把第一个图给画一下， 看他问你什么？他问的是 p b e 的 角度， p b e 是 不是刚好又是这个双角平分线模型啊？啊，那么四两个差两个三角是 abc， 这个九十度，所以这里 p b e 就是 九十度一半，那就是四十五度呗。来，写上。 然后小华用大小不同的正方形纸片多折了几次，发现 c f 和呃，这里的 d f 始终有个三倍的关系。现在咱们看右边这个图啊， d f 等于呃， c f 等于三分之一的 f d， 也就是说 d f 如果是 afc 是 三 a， 是 吧？ 有比例，我们一定要想到用相似解决问题，那么谁和谁相似呢？第一问，我们已经证明了这个 b p f 是 不是个直角呀？所以啊，这里就有哎三垂直的相似模型出来了是吧？ a p b 和三角形，呃， d f p 相似是吧？呃，我们既然相似了，就可以写一下它的过程啊。我们写一下第二问的二选项，他让你先判断是否正确，你先判断正确呗，对吧？因为 e 正 三角形 b a p 相似于三角形 pdf， 是 吧？所以它的对应边之比，也就是这里的 ab 比上个 pd 就 等于。呃，这里的 a p 比上个 df， 又因为 ap 和 pd 都是二分之一的 ab， 所以 我们替换一下， ab 比上二分之一的 ab 就 等于 ab 二分之一 ab 比上个 df， 这个比例呢？两边相乘，把 ab 约掉一个，我们就能知道这个 df 是 等于四分之一的 ab， 所以这里的 c f 就 等于四分之三的 a b， 那 是不是我们就刚好能证明 c f 就 等于三倍的 f d 呢？是吧？证明了。 我们看第三问拓展应用。第三问说将两个边长为一的正方形拼成了 a、 b、 c、 d， 也就是 ab 是 一， cd 是 一， ad 是 二， bc 是 二。然后 p 又是上面的一个动点，沿着 b p 折叠， 我们依然把这个折痕划一下，把它前后给它全等同步一下。 ok， 好了，那么 b m 就 一定也是一吧。然后他说射线 b m 交射线 c、 d 与 f。 图上因为 p 是 个动点，它只给你画了 一种情况，为什么？因为他这里明显把 bm 射线和 cd 射线的焦点 f 放到了 d 的 上方，那他有没有可能在 d 的 下方呢？其实是有的，是吧？我们也是先画一个图像给大家先表示一下啊， 这个图我们画的稍微的小一点，因为他会画的比较远啊。 ok， 然后，哎，这里是 a， 这里是 b， 这里是 c， 这里是 d， 那么这里的 bm 射线交过去有没有可能下面呢？其实是非常之有可能的啊，因为这个呢，就是有两种答案，所以我们把它延长出去啊，因为后面告诉你啊， f 是 呃几呢？ f 是 二分之一 dc 是 吧？所以啊，我们把 d f 就 放到这吧， f 其实就在这终点处啊， ok， 这就是他的 f， 然后我们把剩下的折叠的元素给他补齐了。呃，差不多，这里是有个垂直的感觉，是这样一个感觉吧，然后这样一连是吧？ 呃，这里的 m， 这里就是 p， 是 吧？所以其实他有两种情况，但是图纸给你一种情况，这里容易丢分，大家注意一下。 接下来我们看，既然有两种情况，我们怎么来分析啊？就是这来个图四吧，是吧？第三问的图四第一种情况，第一种情况就是他说 d f 等于二分之一 d c， 所以 d f 就是 二分之一，那知道了 d f， 又知道 d c 和 bc， 所以 在整个三角形 b f c 这个直角三角形里面，我先能把 b f 算出来，是吧？我们先算一下吧， b f 就 等于根号下面二方加上个二分之三的方，是吧？ 二方加二分之三方是，呃，是二分之五，对吧？算出来是二分之五， ok， 它是二分之五，然后 pm 又是一，所以啊，呃，其实我们把 m f 想算能算出来啊，那是这里没必要。为什么，因为我们最后求什么？求 ap 呗，求 ap 呢，我们就把 ap 设为 x， 那 么 pm 也是 x， 很 显然这里有直角，而且 注意看这个比例条件啊，矩形当中有非常多的什么相似模型啊，尤其是这里会有到矩形的。呃，一个平行相似，是吧，我们画一下啊，这里 ab 还有 f d， 是 不是它能构成一个八字相似呢？我们把交点当做 h， 是 吧？呃，一只 三角形 f d h 相似于 b， 三角形 b a h， 是 吧？这两个八字相似了。那既然相似了，我们就可以把这个 f h 和 b h 的 比例写成一比二的形式，是吧？又因为 b f 总共是二分之五 啊，其实呢，就相当于把整个 b f 分 了几分，分了三份吧，是不是这里是 a， 这里就是二 a， 所以 相当于分了三份啊？我们直接写吧。那么 b h 的 长度就等于三分之二啊，乘以且相似，比为一比一啊， 比为一比二，相似，比一比二我就不写了。 f h 比上 b h 等于一比二，所以 b h 乘以 就等于三分之二，乘以 b f 就 等于三分之五，是吧？因为 b f 是 二分之五，一乘的话，约掉三分之五， b h 是 三分之五， b m 又知道是一，所以这里的 m h 就 等于 b h 减 b m 就 等于三分之五，减一是三分之二。所以最终呢，我们现在知道了。哎，这个 m h 是 三分之二， 接下来 p m 又是 x， 我 只需要表示出 p h 就 行。 p h 咋表示啊？是不是这里的 d h 和 a h 它也是一比二的关系呢？是吧？一比二，总重长是二，所以 a h 就 等于 写下啊， a h 就 等于三分之二，乘以 a d 就 等于三分之二，乘以二等于三分之四。 好了，所以 p h 就 等于三分之四减 x。 ok， 最终我们落脚到了这个直角三角形里面。 在 r t 三角形 p m h 中，那么 p m 的 方加上 m h 的 方会等于 p h 的 方， p m 的 方就是 x 的 方，加上 m h 的 方，就是这里应该是三分之二的方，九分之四 会等于 p h 的 方是三分之四，减 x 的 方，是吧？两边把 x 方约掉，左边剩个九分之四，等于九分之十六，减去三分之八 x， 是 吧？两边都乘个九，呃，那最后算出来 x 等于几啊？这是十二，这是二十四，所以 x 等于二分之一，对吧？ 啊，这里就是 a p 就 等于二分之一。这几个答案。还有第二种情况，就是我画的蓝色这边的情况，刚才我们是最后用 p m h 这个三角形，直角三角形解决问题的。啊，那右边呢？很显然，这里 b m 还是一， 然后因为 d f 是 二分之一，所以这里 f c 也是二分之一，很容易把这个 b f 算出来。 b f 算出来，我们学一下， b f 就 等于根号，下面四方加上二分之一的方，就等于十六加上四分之一，那就是， 呃，十六加上四分之一也是根号，下面十六加四分之一。四分之。呃，我看这里算一下。 呃，这里有问题啊，这里应该是四加二分之一的平方，是吧？应该是，这里 bc 是 二呗，所以应该是四分之根号十七，是吧？这就是我们 bc 的 长度。 呃，不对，这里开完根号应该是多少？应该是二分之根号十七吧，是吧？二分之根号十七，这里是二， 它是二分之根号十七之后，那么所以 m f 就 等于二分之根号十七，再减一吧，是吧？ m f。 知道了，这里有直角，这里还是我们写设外吧。 设 a p 是 y， 那 么 m p 也是 y， 所以 我们只需要怎么样呢？只需要把这个 p f 也连上，如果把 p f 算出来就好办了，是吧？当然，这道题呢，我们最终其实可以啊，不用算。为什么？因为 d、 f 是 二分之一，整个 a、 d 是 二，所以这里的 p、 d 就是 二减 y， 是 吧？ ok， 在 直角三角形 pdf 和 pdf 当中啊，这个 pdf 都是它们的斜边，所以我们可以借助它列个方程。那么左边是 pm 的 方，加上 m、 f 的 方， 右边是 pd 的 方，加上 df 的 方，对吧？ pm 的 方就是外方，加上 m、 f 的 方是。呃，二分之根号十七减一的方。这个数字有点抽象， 十七减一的方会等于右边，右边 p d 是 谁呢？ p d 是 二减二减 y 的 方，这样 d、 f 的 方就是四分之一。我直接写了，这两边外方肯定也能约掉，所以看这个完全平方展开展开成面应该是四分之，根号十七的平方就是四分之十七， 再减去个二 a、 b 就是 根号十七，再加一会等于右边的四减四，外再加四分之一，是吧？我把外放约掉了，所以四外等于多少呢？这里四加四分之一啊，其实就是四分之十七，对吧？所以这两个约掉了。 负四 y 等于负，根号十七加一，那么四 y 就 等于根号十七减一， y 就 等于四分之，根号十七减一。所以说 a、 p 就 等于四分之，根号十七减一。 最终呢，这道题的两个答案就给我们算出来，一个是二分之一，一个是四分之，根号十七减一。关注我考试再提十分。

平面解析几何考什么？快去请诸葛丞相推一下。开秒看到垂直，先把 x y 写好，然后系数交换，二要给到它，再编号减变成加，跟它一对应 k 就 等于二， a 项秒 平行，直接进行复制，变成 x 减去二 y， 那 么 a 项把点再代入变成一，加上六减去七等于零，直接秒看这一题线段 ab 是 直径，那么终点就是圆心，求终点 二分之五加一除以二是三，三加一除以二，那排除掉 a 和 b， 再来算一下直径两点距离公式呗。等于根号下五减一的平方，那是十六 三点平方等于四，于是根号二，十等于根号四乘五二倍根号五，那半径 r 等于根号五，直接 c 向秒看这道题，相同的焦点都来求一下 c 方， c 分 等于 a 方，减去 b 方，六减四，所以等于二。再来看长轴，长是六，二， a 是 六， a 就 等于三，短轴是二 b， 先求一下 b 呗。 b 等于根号下 a 方减去 c 方九减去二就等于根号七，二， b 等于二倍，根号七，直接撕 d 秒看这个题，先来求焦点，焦点除以四，那么这是 x， 所以 x 这有数，除以四等于二，二零 右顶点跟焦点重合，那也就是 a 等于二。大家看求离心率，求下 c 呗。 c 方等于 a 方，减去 b 方， a 方是四， b 方是一，所以 c 方等于三， c 等于根号三， 那么离心率 e 等于 a 分 之 c 等于二，分之根号三四 d。 秒了，还想听，继续看这道题。虚轴是二 b， 那 么 b 就 是二，十轴是二 a， a 就 等于一。离心率 e 等于 a 分 之 c， c 等于根号下 a 方，加上 b 方，它也加数等于五，所以 c 等于根号五， a 是 一，直接 a 向秒 边线，让它的魔法相等 x 方等于九分之外方，两边同时乘以九九， x 的 平方就等于外方，再同时进行开方， y 等于正负三 x， c 项秒这道题，先把它换成标准式 x 方除以三分之四等于四分之三， y 准线要除以负四，那么四十三除以负四，变成负的十六分之三，意思要是 y， 所以 y 之间相等，直接 a 项秒。看这道题，焦点的 f 焦点是除以四，这有 x， 所以 这是一零。 图像来换一下，说有一点屁到焦点距离，这是八，那么他定义到焦点距离，得到准线距离，这是一，那这就是负一，这一共是八，这是一，所以这段就是七。 c 项秒这道题，先把半径求出来， 周之后，这是不是有五啊？然后再来看要求切方程给它进行去方，然后带入一带去，不用管，加上二二外移过来，减去五等于零，直接秒了。要想听更多，晚上看直播。

ok， 我 们今天来看一下解这几何的里面一个计算方法叫做平移其次化啊，它其实是两个东西啊，一个主要是其次化，我们的平移呢，是其中的一个处理方法，拿来它有什么用？ 它可以简化我们的零力伟大定律，简化这一步的计算量，那什么时候可以用它？ 我们什么时候用？当题目给出了斜率的关系，像什么 k 一 加 k 二，或者说是 k 一 乘 k 二的时候，我们就可以考虑用乘法的方法，那当乘法 啊，比如说题目给你一个 k 一 方加上 k 二方啊，这个行不行？它也是可以的啊，它可以写成我们的根号下 k 一 加上 k 二的平方，减去几倍啊？减去我们二倍的 k 一 乘 k 二，对吧？它也是可以的。那具体怎么处理？我们来看这道简单的例题， 那比如说我们这一道题，他说已知过定点零逗四的一条直线交我们的椭圆与 a b 两点， 并且给出了 o a、 o b 的 斜率乘和等于二。我们来看图二，首先有一个椭圆，对吧？然后椭圆 y 有 一点零四过零，都是这一条直线交椭圆于 ab 两点。那我们首先来看一下直线 ab 的 斜率是否一定存在， 那如果斜率不存在，这一条直线是不是要过我们的 y 轴？这个时候的 o a 和 o b 的 斜率存不存在？ 是不是就不存在了？是不是就不会再出现斜率之和等于二的情况了，对吧？所以对这道题而言，我的斜率，我的 ab 的 斜率是不是一定存在的？ 这个没问题吧？当然下面我们去分析一下，分析好我们的 k o a 和我们的 k、 o、 b 分 别可以写作什么？我令 a 点坐标 x 一 到 y 一， b 点坐标 x 二到 y 二。那我们的 k o a 是 不是可以写成 y 一 减零，比上 x 一 减零， 就等于我们的 x 一 分之 y 一？ 同样的道理，我的 k、 o、 b 可以 写成 y 二减零，比上 x 二减零，可以得到我们的 x 二分之 y 二，对吧？ 我们发现 k u v 和 k u b 的 斜率可以化成只有 x 和 y 的 比值关系，这个没问题吧？当然，下一步就是我们的奇次化，我们要开始正式解答题目了。首先第一步我们需要把 a、 d 这条直线的斜率给写出来 啊， a、 d 这条直线的斜率把它写作力 a d， y 等于 k x 加上四啊。刚才分析过了哈，斜率 a、 b 的 斜率一定是存在的，所以我这直接就是 y 等于 k x 加四这种写法。下一步我们需要反减常数相乘 化减，可以得到 y 减 k x 等于四，也就是我们的 y 减 k x 除以四等于一啊。这个方程非常重要。 下一步我们去处理我们的椭圆方程，它可以写作 四分之 x 的 平方，加上 y 方等于一。来，注意看第一项四分之 x 的 平方，它是指一个二次项 y 方二次项。但是我们这个常数一是相当于 x 和 y 的 零次项，对吧？那其次，其次， 其次，其次，我们是不是得把它们的次数都化作一样的？一般情况下都是化作二次哈，那前面两个都是二次，不管它后面这个一怎么变成二次啊？可以写作四分之 x 平方，加上我的 y 方，等于 我们的四分之 y 减去 k x 的 平方。你看，原来这是一个一次项平方，这是不是二次项，对吧？那我们对这个方程进行化简，你可以得到 四倍的 x 平方加上十六倍的 y 方，等于我们的 y 方减去二 k 倍的 x 乘 y 加上我的 k 方 x 方，那写到这个方程，你就会观察到它的每一项是不是都是我的二次项。 关于 x 和 y 的 二次相啊，对吧？那这个时候来看左边我们之前的化简结果， k o a 和 k o b 的 斜率是不是可以写作 x 分 之 y 的 形式？那对于这个方程，我们是不是就可以想办法去凑一个 x 分 之 y 出来？怎么凑啊？两边同时除以一个 x 的 平方向， 那当然，除以之前你可以先对它进行合并。同类项 x 平方加上十五倍的 y 方，加上二 k 一 倍的 x， y 等于零，那我对两边同时除以 x 的 平方，也就可以得到 四减去 k 方加上十五乘以 x 分 之外的平方，再加上二 k 乘以 x 分 之外等于零， 对吧？那整理一下，你就可以写作，十五加上 x 分 之 y 的 平方，加上二 k 乘以 x 分 之 y， 再加上四减 k 方等于零。这个时候你会观察到，啊，这个地方写错了，这是乘法， 这个时候你就可以观察到它就是一个关于 x 分 之 y 的 一个二次方程，对吧？二次项，一次项常数项。那题目求的我的这个 k o a 和 kb 有 什么特点？你会发现 k o a 和 kb， 我 这个 a 点和 b 点是不是既在椭圆上，又在我的直线上，对吧？那我这个方程怎么来的呢？我是不是相当于连累了我的直线方程和我的椭圆方程， 对不对？所以我的 k o a 和 k o b 实际上就相当于这个方程的两个根，对吧？那题目给的是 k o a 加上 k o b， 就 相当于我的两根之合，对吧？也就是我们的 x 一 分之 y 一 去加上我的 x 二分之 y 二，对吧？等于我们的负的 a 分 之 b， 也就是我们负的十五分之二 k 题目说它等于几啊？负的十五分之二， k 要等于二解的 k 等于负十五，那 k 有 了我们的直线方程之前怎么设的？ y 等于 k x 加四，所以则 a b 这一条直线就可以写成 y 等于负的十五， x 加四， 对吧？这就是我们的奇次化的做法。再说一遍它用在哪？当题目给出两条斜率的和或者乘积的时候，你就可以考虑奇次化，对吧？ 但是呢，你会发现，我们能用奇次化的前提是不是我们最后能够写出一个 x 分 之外的方程出来，对不对？那如果说这个斜率 就是我们的 k u a 和 q b， 它不是我们 x 分 之外的形式，那我就得对它进行处理一下，或者斟酌一下是不是可以用其次化，对吧？当然你能呢？得到 x 分 之外这种形式，还有一个前提是什么？是不是有一个点，它必须得是减零， 对吧？也就是你得从圆点出发，向我的曲线引两条直线，它们的斜率的关系才可以，对不对？那我们下面一道题来看一下，如果说我不是从圆点出发的直线，我该怎么去用其子画？ 那我们来看到第二题题目给出椭圆方程，你就可以发现 a 点就在我们的椭圆上了， 那我题目说 e f 是 椭圆上的两个动点， e 点和 f 点。第一小问，他说如果直线 a e 的 斜率以 a f 的 斜率去和为二，证明 e f 可能过顶点。 当然 a e 的 斜率和 a f 的 斜率，你会发现 a e a f 这个时候的我的 a 点是不是不在原点呢？对不对？你如果直接去写，你可以得到 k a e 等于什么？比如说我的 e 点是 x 一 到 y 一， 我的 f 点是 x 二到 y 二，那我的 k a e 是 不是可以写成 我的 y 一 减去二分之三比上 x 一 减一的形式，对吧？这个时候就不是我 x 分 之 y 的 形式了，对吧？我等会去凑习字画的时候就没那么简单了。那像这种题，我们的第一个处理方法就是平移。 平移，怎么平移？两种移法，第一种移法，我坐标轴不变，就是 x 轴和 y 轴不变，我只平移图像， 我把这个图像移到哪呢？我把 a 点移到我的坐标原点，这就是把所有的图像向我这个图案向左下角移动，移到我的原点，让 a 和原点重合，这是第一种移法。 第二种移法，你也可以去移坐标轴，你可以把我的坐标轴向右上方移动，把我的圆点移到 a 点，对吧？ 那这个平移的时候，不管你怎么移，只要你是左右上下移动我直线之间的斜率关系，它们这个夹角是不会变的， 对吧？所以你的平移并不会去改变他们的斜率关系，对吧？什么时候会改变伸缩变化？你把 x 轴变长了，你把 y 轴变短了，这个才会改变斜率关系。所以我们的左右上下平移是不会改变斜率关系的， 那这个题给出的 a 点坐标是一到二分之三，那我怎么平移才能把 a 点坐标移到我的坐标原点上去啊？怎么平移？我是不是得 左移一个单位，下移二分之三个单位才可以，对不对？ 那下一个陷阱就来了，我们之前学过左加右减，上加下减，什么时候左加右减，什么时候上加下减，还记得吗？ 我们的 y 等于 k， x 加 b。 举个最简单的例子啊，你把这根直线向我的左移动了三个单位嘛？ 那我左移动了三个单位，它可以写成 y 等于 k， 写成我们 y 等于左左加 k 倍的 x 加三加 b， 对 吧？是对 x 加。 那我如果我向上动了三个单位呢？上是什么？上加上减是加在哪的？ y 等于 k 倍的 x 加 b， 怎么样啊？再加三，对不对？你会发现哈，我这个三是加在 y 的 右侧的，那你一个项，你会得到 y 减三等于 k， x 加 b， 对不对？你会发现？哎，我向上平移，实际上是对 y 减了一个三行，那同样的道理，如果我是向下平移三个档位，那就应该是对 y 怎么样啊？加了一个三行， ok， 这个陷阱得注意到。那我们来看这一道题，我左移两个档位，我的方程就可以写成什么样子了？ 写成四分之左加， 然后我函数我的方程上下移了二分之三个单位，向下移就应该是对 y 怎么样了？该对 y 做加法， y 加上二分之三的平方等于一，这个就是我平移之后的图像，对吧？平移之后，我的 x 就 我的坐标轴就在哪呢？我的坐标原点是不是就跟我的 a 点重合了，对不对？这个时候我的 a 点就是我的坐标原点了， 对吧？那这个时候我们可以得到什么证明一下？三倍的 x 平方加上二 x 加一，加上四倍的 y 方，加上 三倍的 y， 再加上四分之九，等于一， 对吧？啊？等于十二，去了个分母。那我们整理一下就可以得到，我们的三 x 平方， 加上我的六 x， 加上我的四 y 方，再加上我的十二 y， 等于零，对吧？当然平移之后，我们 平移之后啊，平移之后我们的椭圆变成这个形式了。那根据我们上一道题的做法，我拿到曲线方程之后，下一步是不是要去设直线方程， 对不对？直线方程怎么去设？这里面的直线是不是我的 e f 这条直线？题目没有说 e f 会过哪个点，对吧？ e f 是 任意的啊。这个地方我把平移之后的图也给你们画一下啊， 拿来就是我的坐标轴，我们的坐标轴是不变的，对不对？然后我们的椭圆，现在我把椭圆移到哪去了？就相当于整体向我的左下方平移了，移到大概这个样子， 对吧？这个时候我的 e f 啊， e f 随便画它可能就长这个样子，当然移了之后，我的 e f 用 e 偏表示 f 一 片，这么去写，这个时候我的 a 一 片 e 一 片在这，我的 a 一 片， f 一 片在这，对吧？那这个时候要注意啊。题目说题目原来的条件是，我的 k a e 的 斜率加上 k a f 的 斜率等于二，那我平移之后，它们的斜率关系是不变的，也就是我们的 k a 一 撇， e 一 撇，加上我的 k a 一 撇， f 一 撇，是不是也等于二，对吧？ 好，来下一步设直线， e f 零， e 一 撇， f 一 撇。 那注意这个地方啊，因为题目没有给 e f 的 关系，对不对？它是任意的。那我这个时候还能不能去设成 y 等于 k x 加 b 的 形式啊？ 可不可以啊？就不太可以了，对不对？为什么不可以？因为这条直线就有可能出现竖直线斜率不存在的情况，对吧？那我们为了稳妥起见，设成什么形式是最好的？ 设成 mx 加上 n y 等于一的是值，对吧？这种设法的好处是什么？我这个一到时候七次化的时候，对吧？ 我是不是可以？我为了得到这个 k a k a e 撇儿 f k 和 k a f 一 撇儿，是吧？那我为了七次化，我是不是就可以往这里面带的时候就少算一步了？那我们来看这个方程，二次项依次项、 二次项、一次项、二次项是不是可以不动？那我们只需要去动一次项就行了。写作三， x 平方加上我们六 x， 乘以我们的 mx， 加上 ny， 加上四倍的 y 方，加上十二倍的 y， 乘以我们的 mx 加上 ny 等于零，对吧？那整理一下，就是我们的三 x 平方加上我六 mx 平方 加上六 n 倍的 x， y 加上四 y 方，加上十二倍的 m y 方啊。 m y x 再加上十二倍的 n y 方，等于零。合并同类项三加上六 mx 的 平方 加上我的六 n， 加上十二 m 倍的 x y， 再加上我的四，加上十二 n y 方， 等于零。那这个时候二次项，二次项，二次项，对不对？那同样的道理，我这个斜率相加等于二，是不是仍然是可以写多少写作什么的？是不是可以写作 x 分 之 y 的 形式？因为这个时候我的 a e 撇，它就是坐标原点的， 对吧？那对，这个方程左右两边同时除以 x 的 平方，你可以得到，三加上我的六 m 加上我的六 n 加上十二 m 乘以 x 分 之 y， 再加上我的四，加上十二 n 等于 x 分 之 y 的 平方等于零。那整理一下，可以写作四加上我的十二 n 乘以 x 分 之 y 的 平方加上我的六 n 加上十二 m 乘以我的 x 分 之 y， 再加上我的三，加六 m 等于零。那同样的道理，题目给的是 两个斜率之和等于二，对吧？那我们用微大定律，两根之和负 a 分 之 b， 那 就是负的 四加上十二 n， 比上我的六 n 加上十二 m 要等于我的二，对吗？啊？这个方程化简一下， 首先这个二可以和这边约调，可以变成三 n 加上六 m， 整理一下，就是我的负三 n 减去我的六 m 等于四，加上我的十二 n， 那 也就是我们的 意义向上，我们把 m 放在一侧吧，或者你把 n 放在一侧都是可以的。那我可以得到我的负六 m 等于四，加上十五 n， 那 也就是我的 m 会等于负的 六分之四加上十五 n 的 形式。那你 m 有 了是不是可以干嘛？你可以把我的 m 带回 e 一 撇， f 一 撇这个方程里面，这个时候它是不是就只有一个 n 了，对吧？那我带回去，你可以得到 负的四加上十五 n 乘以我的 x， 再加上六 n， y 等于六，对吧？把 m 带进去，把 x 前面的系数给消掉了。现在这个方程的 b 过点会求吧，对吧？把 n 单独提出来，你可以得到 n 乘以我的负的十五 x 加上我的六 y， 对 吧？在其他的上减去我的四 x， 再减个六 等于零，对不对？那它避过点是哪一个？两个方程，第一个方程是我的负十五 x 加上我的六 y 要等于零。第二个是负四 x 减六要等于零。那你可以解的什么？我写上面的啊。 那你可以解的，我的 x 会等于我的负的 二分之三， x 等于负的二分之三。代进去，你是不是就可以解得我的 y 了，对吧？ y 等于几呢？我们的负十五乘以我们负的二分之三，加上我的六 y 是 不是要等于零？整理一下，我的六 y 是 不是就要等于我负的 二分之三乘以十五啊？六约一下啊，这边三一约，然后这边就添一个二，所以我的 y 会等于负的四分之一十五， 对吧？那注意哈，我们这一个 x 和 y 是 什么？是哪条直线的必过点？是直线， e 一 撇 f 一 撇的必过点，对不对？则我的 e 一 撇 f 一 撇，它必过 负的二分之三的负的四分之一。输入，但题目问的是谁的避过点？是 e f 的 避过点，所以我们的 e f 避过 来。注意哈，我们是把图像向左移了一个，向下移了二分之三，才到了这儿。那我现在要把这个图像怎么样啊？还回去，对不对？所以我得向 右移一个单位，向上移二分之三个单位，对吧？再放它回去，所以它会过哪个点？我的负二分之三向右移一个单位，变成负的二分之一，我的负的 四分之一十五，向上移二分之三个单位，对吧？就是负的四分之几啊，四分之六，也就是我们的负的四分之九， 对吧？这个就是我们的避谷点， ok， 这个就是我们的平移。其次化一个完整的题啊， 平移就是因为我们这个点，它不在我的坐标原点上，所以我得想办法把它移到坐标原点上。这个时候的 a 一 撇、 e 一 撇和 a 一 撇 f 一 撇，它们的斜率就可以写成我们熟悉的 x 分 之 y 的 形式。 然后我后面去构造一个关于 x 分 之外的一个二次方程，利用维达定律找到两根关系， 然后就可以解决这道题了，对吧？那如果这道题不用拼一次化的话，你常规去做，你是要去设 f 零利，对吧？然后去把这两个斜距表示出来，计算量是相当的大的，对吧？拼一次化，它可以作为你一般解析的一个补充方法，可以减少你的计算。 ok， 那 我们顺便把第二个问也说了吧。大家看题目说 a、 e 和 a f 的 斜率之积为二，它证明 e、 f 横过定点，对不对？前面的做法是不是都一模一样呢？这在哪不一样，从这一步开始， 这一步我们写的是负的 a 分 之 b， 也是两根之合。这道题问的是两根之积，那么就是我们的 a 分 之 c， 对 吧？哎，我把这个给复制到上一， 那我们来看两根之积的形式，那这是我们刚才画点的结果，那两根之积是不是就是 a 分 之 c， 也就是我们的 四加上我的十二 n， 比上我的三加上六 m， 对 吧？两根之积，题目说等于二， 那整理一下，就是我们的三加上的六 m 等于八，加上二十四 n， 同样的理解， m 减 n 都是可以的啊。那我们的六 m 就 可以等于五，加上二十四 n， 所以 我的 m 就 等于六分之五，加上 四 n。 那 还记得我们原来设的直线方程在哪部？ mx 加上 ny 等于一，是吧？代入 m， x 加上我的 n， y 等于一，可以得到六分之五，加上我的四 n 加上我的 n， y 减一等于零。那同样的，求避过点，把所有的 n 提出来，这个 x 写漏了。把所有的 n 提出来，可以写成 n 倍的四 x 加 y 常数上放在一起，加上六分之五倍的 x 减一等于零。两个方程四 x 加 y 等于零和六分之五 x 减一等于零，那也就是 x 会等于我们的五分之六 代继续可以得到我们的 y， 这个方程四乘五分之六加 y 等于零，所以 y 会等于负的五分之二十四，对吧？ 同样的哈，因为我们这个是平移之后的嘛。我们向这儿左移向二分之三，对吧？我得还回去，还回去得向右移一个档位，向上移二分之三个档位，则 e 一 选 f 一 选 b， 过 五分之六的负的五分之二十四，对吧？跟之前的做法一样，我们的 e、 f 就 会过哪个点呢？ g e f 必过五分之一的负的十分之三十三，对吧？这就是我们的平行奇次化，对吧？这个题就很很有代表性， 首先它从曲线上一个点啊，引向了曲线的另外两个点，题目给的是这两个斜率之间的关系，对不对？做法， 把这个起点平移到坐标原点上，对不对？然后去截我的 a 一 撇 e 一 撇和 a 一 撇 f 一 撇它们的斜率，它们的斜率就可以写成 x 分 之外的形式，利用奇次化去凑出一个 x 分 之外的 方程，对不对？其次画的时候注意哈，像这个一次项，我是不是就只需要乘以我的直线方程就够了，对不对？那上一道题，我们遇见的这个常数项， 这个一，我是不是得对这个直线方程进行一次平方，得让它变成二次，对吧？这个其次画的思想在我们数学里面还在哪地方遇见过还记得吗？ 在我们的基本不等式里面也有极速化的思想啊，对吧？那后面哈，我们还留了一道课后训练，你们可以去自己试一试 y 方。哎，二次项不管到二 p x 它这一次项啊，我是不是得用我的方程去乘以它？然后题目说啊， good， 这一个点 屁都根号二屁，你把这个屁当做什么？当个已知量就行了。 ok 啊，这个就自己想去练习一下了。

高中数学最难的十三大几何模型全部练会！我拿班级前三！高中数学解析几何模型汇总提醒一，点叉法二、第三定义 三、椭圆与蒙日圆五、椭圆内接三角形 六、调和点列模型九、完整版领取！

欢迎同学们来到这节课，今天我们介绍二零二六异模解析几何的综合空间内容。这节课主要围绕抛物线与椭圆两大核心展开，题目均来自异模真题。 本次的考点和方式非常明确，重点集中在三个方面，一是向量垂直的证明，二是定点存在性的探索。三是三角形及四边形面积的最大值与最小值求解， 这是解析几何大题的经典攻坚方向，适合一轮复习后期的综合训练咱们直接开始，我们先看第五题，这是典型的抛物线压轴题。 第一问是基础核心考察的是向量垂直的分析。题目给出过点 p， 做直线与抛物线交于 ab 两点，要证明 o a 与 ob 垂直。 这里的关键思路是设直线连力，利用维大定律算出坐标关系，再通过向量数量积为零来证明垂直。同时，第二问的核心突破口 在于角平分线定律的运用，题目给的线段比例条件等价于 t， p 是 角 a t b 的 角平分线， 这是快速锁定定点位置的关键一步。我们要解决面积最小值的问题，这一步的核心点在于必须先把 t 点求出来，只有通过几何性质转化确定了定点 t 的 坐标，我们才能后续带入面积公式。接下来用斜长公式求 a、 b， 再求点 t 到直线的距离，最后代入面积公式。通过分析这个关于斜率的函数，我们发现当直线斜率为零时，面积取到最小值八。 这部预算量较大，大家暂停视频，自己再核度一遍。接下来看第六题，这是椭圆综合题。第一问求轨迹方程， 这一问属于难题类型。核心解法是利用椭圆的几何法，题目背景是动圆与定圆内切同时过对称点，我们需要把这些几何的内切和过点条件转化为距离关系， 会发现圆心 p 的 轨迹满足椭圆的定义，所以直接利用椭圆参数就能写出它的轨迹方程。这种几何法的思路是解决轨迹问题的核心引导方向。 现在看第六题第二问的第一小问。求定点这一面我们主要通过韦达定律来处理。介绍非对称根的解法，设直线方程连力椭圆，利用韦达定律处理出坐标关系，核心是把斜率倍数的条件转化为代数等式。 这里要特别注意，这种题目运算量非常大，是这类题目的典型特征，同学们在答题时要细心注意运算的每一个步骤。我们继续看定点问题的优化解法这一面介绍的是其次化的方式，这是求定点模型的一个高效技巧， 用其次化的方法去处理，能有效降低相应的运算量，大幅减少计算错误和时间。通过其次化转化，我们能更简洁的求出直线所过的定点，这是解析几何大题中 能大幅提升解析效率的核心技巧。最后，求面积最大值，这一步主要利用维他定律去分析面积的变化过程。这里有个关键问题要注意， 如果在第二题第一小问已经用过其次话，那么我们在处理面积时，还需要再用一次维达定律来生成新的坐标关系。把四边形拆成两个三角形， 利用维达定律结果把面积表达式转化为单变量函数，再通过换元转化为二次函数。求最值，最终求得面积的最大值是三分之八。从几何图形到函数最值，这就是解析几何面积问题的完整闭环。

嗨嗨嗨，大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下啊，二零二六啊，高考我们双题一摸，也就是危机摸，就帮你们排查一些危机的一道啊，解析大题。 哎，这道大题呢，我觉得出的挺好的啊，首先第一问就稍微有一点点心啊，我相信呢，同学们应该没问题，主要是第二问，他看第二问这题是不是太乱套了？嗯，给了几条直线，给了多少个点啊， 这时候咋办呢？哎，你知道我的导数吐实的第一句话也是时刻看透有何要？其实你在高考考场上，不管是多陌生的题，你看透有什么要什么， 你比如说咱们倒着看啊，咱们看要什么，是不是看直线 l 二过定点啊，这个直线 l 二是过 m 和点 t 的 一个点啊，那么你知道一条直线过定点，你可以把它写成，比如 y 等于 k， x 加 n 吧， 那你知道要么可以直接求出来 n 等于几，比如说 n 等于二，那它就过零。逗号二，这是初二的知识。要么最后得到 n 和 k 的 一个关联方程，比如说 n 就 等于 k， 那 么这个方程就变成了 y 等于 k， x 加 k， 你 是不是就知道它过 负一零了？所以就是说这道题还没做呢，我们不管条件多复杂，我们就知道， 哎，反正最后我们只要把 l 设出来以后，得到一个 k 和 n 的 一个方程，要么直接求出来 n， 要么求出来 n 和 k 的 一个关联式， 是吧，那就来呗。啊，其实没啥啊， ok， 第一问呢，各位，你们可以简单看一看啊，因为这个椭圆的啊，这样一个面积，就是当点 i 在 这的时候，是不是啊，也就是二分之一乘以二， c 再乘以 b 的 时候 啊，也就是 b 乘以 c 啊，它的面积是四，然后呢，包括它的 f 一 f 二的距离最大的差，哎，就是这个点，到这的时候，这个减这个也就是二， c 就 等于四， c 等于二，很简单就出来了啊，来，咱们看第二问，第二问呢，首先 各位啊，这个往上挪一挪，也就是说我们哎，可以先把 l 二的直线射出来，刚才说了 y 等于 k x 加 n， 我 们就虽然这个条件比较多，咱们一点点的用， 各位啊，咱们一点点用，把这条件都用上，化点化点，答案就出来了啊，但是中间啊，待会会有点困难，我慢慢给你剖析剖析啊。首先呢，各位， 咱们先看一看，然后呢啊，直线 l 二，也就是说和椭圆的焦点是 mt， 咱们可以设 mx 一 y 一 t 是 x 二 y 二，是吧，然后标准的回答形式，然后呢，得到回答，包括判别式也要说一下， 然后到这以后呢，各位啊，咱们把前三分算达到了，然后接下来我们就要想办法哎，得到 k 和 n 的 一个关联式， 然后呢，这个时候大家看一看，我们有哪些限制条件呢？是吧？比如说 这里边有个关键 b t n 三点共线，那么咱们就有义务去表示点 n， 对 不对？咱们就得表示点 n 啊，然后表示点 n 的 话呢，哎，各位请看啊，咱们这里边哎，我把这个这个 这个图给你们剪下来啊，带着你们一块看啊，好，咱们一直看着这个图啊，那么大看一看， 首先 m p， 它首先都在 l 一 上啊，大家还记得 l 一 的方程吗？是二分之根号二 x 加 m 啊，然后呢，所以 m 和 p 都在这个上边，所以带进去用上条件，我不管直这个条件，这里边直线有多少有多乱，反正既然点在直线上，就带入呗。 另外呢，因为 p 是 m n 的 中点，各位，所以二倍的 x p 减去 x m 是 不就等于 x， 呃， x n 啊，二倍的 y p 减去 y m 是 不等于 y n 呢？哎，所以咱们这样的话呢，把点 n x 横坐标，纵坐标就表示出来了，对不对？好到这有同学可能就迷茫了 啊，这里边我们会发现里边有 k 是 吧，然后呢，还有 m， 还有 n， 乱七八糟啊，对，那么这个时候啊，你看这里边 k 是 吧？ n， 然后 m， 那这个时候我们应该怎么办呢？各位，记住一点，只要你迷茫了，你马上确认，就是说你想干什么，你要什么，你到底要什么？时刻明确有何用 啊？时刻看透有何用啊？各位，然后呢，那么咱们就知道，咱们是要求 k 和 n 的， 所以咱们只需要把 m 给削了。 各位啊，咱们只需要把 m 给消了。哎，你比如说，因为这个点 m 在 l 一 上，同时呢，点 m 还在 l 二上，咱们都会发现，哎， y 等于 y， 所以 这个式子等于这个式子，这样的话， m 就 等于它了 啊，虽然看上去有点长，但是抄就行呗啊，每个字母都挺好抄的。这样的话，我们就把 m 等于这个代入到 y n 里边，把 m 啊，等于，哎，这个带到 y n 里边以后，就变成这个式子了。好，那么最后一步我们就是什么呢？我们就是因为 b， t， n 三点共线啊， b， t， n 三点共线， 然后呢，我们就是，哎，列出来一个最基本的这样一个斜率是吧？ k b t 等于 k b n 啊，那么这个时候 我们就可以接下来整理这个式子就行了，当然这里边呢，这道题锻炼大家的抄写啊，耐心专注的抄写，其实你只要自己不着急，你会发现每个字母都挺好抄的，每个数字都挺好抄的啊，然后呢，你就抄写， 然后整理到一定程度，大家看 x 乘以 x， x 加 x， 整理成尾答形式了，然后我们就代入尾答， 然后呢，就得到这样一个很长的式子，各位，因为我们这次模拟考试叫微几何，就是想摸摸你的性子，想提高一下你解析的计算的韧性，你看啊，那么这种情况下，我们这么长的式子，你要有耐心的抽。整理完以后，各位，我们呢这道题出的还特别的恶心， 就是你会发现这里边有 n， 有 k， 对 不对？一个二元二次方程，这个时候你可以把 n 当成主元，然后用 k 去表示 n， 然后这样的话呢，因为这个方程咋解啊， 有的时候不好看，这分解因式就可以应用求根公式，先求来判别式，然后用求根公式，然后得出来。哎，这个这个时候有一个很重要的点，你能不能想到前提确认 啊？你要能够写到这来这么麻烦，你还能想到前提确认是吧？因为人家说了 m 和 t 均异于 ab， 也就是说直线 l 二根本不过 a 也不过 b 啊。那么如果你这时候还能想着前提确认，各位，我们这次微机膜就是想帮你排除各种危机 啊，那么你会发现，这样的话，等它的时候我们还要想一想，看看是不是过点 b， 所以 这样不行，然后呢， n 等于负四， k 的 时候，它就是 y 等于 k 倍的 x 减四，直线过定点四零。各位啊， 那么这道题是不是危机重重啊？第一个看上去这个题直线好多好乱，这个危机老谢是怎么帮你排除的呀？ 不纠结于这个题目有多乱，而就看他不就过定点吗？直线过定点是吧，主要有两种情况，一种是常数项是吧，定值求出来，要么就是他俩之间有关联性 啊，然后呢，我们，哎，设餐啊，设出来现餐以后该往下坐，该往下坐，然后呢，中间又一个危机，这里边有仨字母，各位，我们这个危机啊，这次危机帮你排除，万一有好多个参数，你知道怎么办吗？永远知道， 始终看透啊，就是有何要你要什么，你要得到 k 和 n 的 m 是 个第三者，把它给删了，然后再用 这样一个简单的啊，就是这个三点攻陷，然后我们就化简化，简化简，然后这个式子虽然这么长，但是老谢说那句话了，抄起来并不难呀， 之所以觉得长长是一个纯粹的主观啊，你如果相对于更长的，你还觉得它短呢，所以一定要让自己 突破那种心魔啊。然后呢，到这以后再帮你排除一个危机，如果二元二次方程很麻烦怎么办啊？有的时候就别那死扣分拣一式了，你可能看五分钟都扣不出来，你不如直接判别是两分钟搞定了 啊。最后一个危机就是咱们顶级高手才能做到的，写了那么长的式子了， 下边还有两道题，可能倒数跟七以内还在后面呢，你这时候还能想着再回到题目中看一看有没有什么前提的限制，发现 mt 都异于 ab， 你 然后排除一种情况，你拿满分，你告诉我你厉害不厉害？好啦，各位要想在高考前排除各种危机，可以来双题找老谢。

已知圆 c 是 x 减四的平方加上 y 减三的平方等于一，然后呢？与 a 点负 m 零， b 点 m 零，然后呢？若圆 c 上存在一个点 p， 使得这个 a p b 等于九十度，则求这个 m 值是多少？ 哎，使得 a p b 是 等于九十度，说明这个 p 点是在哪？ 嗯，看到九十度的立马要想到，啊，这个 p 点在哪儿？嗯， p 点在圆上。在什么圆上？嗯， p 点在，是以以钩子。 p 点是在以 a、 b 为直径的直径的圆上嘛，是不是？嗯，嗯，好。然后这个圆 c 呢？这个圆 c 是 多少？嗯， 这个圆 c 的 四到三，四到三是吧？一二三三四到三是吧？在这儿，是吧？半径呢？ 半径是一，是不是？嗯，对。然后呢？它说在以 a、 b 为直径的圆上吗？那以 a、 b 为直径的圆圆心坐标是什么？嗯， 以 a、 b 为之间的圆心坐标是多少？是不是？就是，是。就这个 o 点嘛，是不是？嗯，嗯，然后他现在说 p 点是从 c 上嘛，那说明这两个圆要怎么样？ 这个圆，两个圆要，要得，有，怎么样？嗯，这个两个圆得有，有交点嘛，是不是？嗯，理解。不是吧？嗯，这个两个圆要有交点，两个圆什么时候有交点？ 相切，说明这两个圆心的距离怎么样？要， 呃，小于或者等于两个半径相加要小于等于两个半径相加。大于等于两个半径怎么样？相减是不是？是吧？嗯嗯，所以，嗯。然后这个 o c 的 距离是多少？嗯， 嗯，嗯，是啊。嗯， 呃。一加 m， 嗯嗯， o c 的 距离 o c， 嗯，你一加 m， 你 是两个半径嘛？ o c c 点坐标不是多少啊？ c 点坐标不是四三吗？ o c 的 长度是多少？嗯 嗯，五，对，是五，是不是？然后呢？那你现在有那个 o c 距离怎么样？还得要 小于两个半径之合，是不是？嗯，两个半径之合是多少？是一加 m 是 不是？嗯，大于呢？两个半径之差 大于等于多少？二，等于 m 减一吧，是不是？嗯，嗯，能理解不？嗯，可以，因为你不能他，他可能把它包含在里面去了，理解不？嗯，好。那啊，那这样的话就得到多少 m 要怎么样？ 大于等于四，但是呢， m 要小于等于六，是不是？嗯，所以 m 要在四到六之间。所以是哪个？ 所以这就是最大的就是 c， 能理解不？嗯，可以。嗯，这是两个圆的，两个圆的关系啊，好，把这个整理一下啊。

详细拆解分析长郡县初三年级第二学期三月份，为了准备备战长沙地区的中考所进行的 所谓的一模数学测试卷的第二十五题，几何压轴题的第二问。 题目已知啊，告诉我们，圆内接多平行角 a、 d、 c 等于角， a、 b、 c 等于直角，就是圆周角，两个圆周角都是直角， a、 c 是 直径， b、 d 是 角平分线。第二，想问同样是三分啊， 增加一个已知条件啊，看到图案过第一点，做 a、 c 的 垂线，加 a、 c 于点 n， 另外告诉你 a、 d 跟 c、 n 之间的一个线段比例关系。题目要问 角 a、 b、 d 的 正切值啊，我们来分析一下，求正切，一般来说，这个角所在的三角形啊，如果是现成的直角三角形，那就相当 ok 了，是吧？ 好了，我们看一下这个角 a、 b、 d 在 这个圆当中，这是个圆周角，它所在的三角形 a、 b、 d 当中啊，目前没有出现角，就你要做一些高构造一些直角三角形啊，这个比较麻烦 哎，比较简单的，比较容易想到的，在圆当中，很多圆周角是共用 一段弧或者一条弦的，也就是说我们这个角 a、 b、 d 它本身也是一个圆周角，找到可以替换它的 相等的其他的圆周角，看看其他的那个相等的圆周角所在的三角形，是不是已知的现成的比较好，求正确值的 这个三角形当中，我们就可以把问题转化，哎，看一下我们图案角 a、 b、 d 跟另外一个圆周角角 a、 c、 d 啊，是相等的啊， 这样，我们首先把这个第二问的要求的这个正确值啊，所对的这个角 a、 b、 d 转换成角 a、 c、 d， 然后在角 a、 c、 d 所在的三角形当中去找直角三角形啊，然后找到它呢，对边比 零边。哎，在直角三角形 d， c、 n 当中啊，现在已经是以现成的已知的，那从这个角呢？正极只需要找到 d， n， b， n， c 的 比值啊，这个线段比值即可。哎，题目已知 告诉我们呐， n、 c 跟 a、 d 是 有一个线段比例关系的，那也就是说，如果 d、 n 也跟 a、 d 发生一些线段比例关系，那两个线段的这个比例关系一比，是不是就可以得出一个啊，我们想要的结果和答案？好，那我们就又回到 d， n 所在的直角三角形当中啊，刚才已经讲了一个三角形 d， c， n 是 直角三角形，那左边这个三角形 a， d， n 也是直角三角形 a、 d， n 当中啊， a、 d 这条线段已经出现了啊，因为它已经跟 n、 c 发生关系了，现在的关键就集中在线段 a、 n 上面， 这条线段是多少呢？不知道。那这个线段 a， n 与 a， d 与 d， n 与这个 n、 c 之间都会有一些七十万的联系。因为在三角形 a、 d、 c 当中 存在多个直角三角形啊，因为角 a、 d、 c 也是直角啊，角 d， n、 c 等于角， dna 都是直角啊，这么多直角三角形，肯定涉及到很多主相似的三角形啊。所以我们不妨设 这个线段 a， n 等于 x， 假设令 c， n 等于一，为了计算方便啊，令 c， n 等于一，就直接得到 a， d 就 等于二倍根号。题目已知告诉我们，然后找到三角形中与 a、 n， d， n， a， c， a、 d 相关联的一组三角形相似啊，就是三角形 a， d， c 相似于三角形 a， n， d 啊，这个相似比较简单，比较容易啊，就得到线段比分比例是吧？ a， d 比上 a， n 等于 a， c 比上 a， d， a， n， 我 们是射的 x 是 吧？ a， c 呢，刚好是等于 a n 加上 n c， a n， c， 我 们是假设的话等于一的， a， d 呢，我们已经知道了，它等于二倍根号，也就是说 a， d 的 平方就等于 a n 乘以 a c 八 a， n 等于 x。 带入这个等式关系当中，就自然可以简单的求出 x 的 值，也就是 a， n 的 值等于四啊。 a， n 的 另外一个答案等于负负。题目的意思去掉，那 a， n 求出来了。那么在这个直角三角形当中， a、 d 是 一致的， a， n 呢？求出来了。那么我们 利用勾股定律可以比较简单的求出， d， n 就 等于根号下 a， d 的 平方减 a， n 的 平方等于二。好，你要再回到我们这个题目所要求的角 a， b， d 的 正切值就等于对比零嘛，就等于 d， n 比上 n， c， d， n 等于二， n， c 等于一。也就是说， 这个压轴题的第二问所要求的角 a、 b， d 的 正确值就等于二，三分到手，你拿到这三分没有？

我们来看一下这个题目，已知椭圆 c 是 a 方分之 x 方加 b 方分之外方等于一，并且 a 大 于 b 大 于零，所以说它的焦点是在 x 轴上，他说左焦点为 f， 那 现在已经标好了这个是 f 点。 然后人家说 m n 在 椭圆 c 上，如果说四边形 o f m n 为菱形，我们说来确定一下菱形它的一个特征。首先四条边长均相等，并且有两组对边平行且相等， 问咱们椭圆 c 的 离心率是多少？只要确定离心力的话，咱们就要找里面 a、 b、 c 之间的关系。好，现在我们已经非常明确，一条边 o f 是 这样，那么跟它相对的那条边绝对是和它平行的， 那如果说要和他平行的话，那咱们的这个纵坐标一定是一样的，如果纵坐标一样的话，那么他肯定是这样的关系，就是左边是多少，右边的数值在左边横坐标的基础上加一个符号就可以了，就是说这两个点的 横坐标互为相反数。好，所以说呢，咱们现在随便画一下哈，比如说我画成这个样子的，然后左边这里就是点 m， 右边这里就是点 n。 好， 把这个菱形稍微连一下， 因为 o f 的 长度是等于 c 的， 所以说 m、 n 的 长度也等于 c。 长度一旦确定了之后，那点 m 和 n 的 横坐标就可以确定了， 左边这个点应该是负的二分之 c， 右边呢应该是二分之 c。 确定出来这个之后呢，咱们再来看一下哈，如果说这个长度等于二分之 c， 并且我们知道这个长度应该是等于 c 的， 所以说我们把 过这个点 m 往下做垂线，我们知道这个长度也等于二分之 c， 那 现在我就可以确定出这个长度，它应该是等于二分之根号三 c， 那 现在点 m 和点 n 的 这个纵坐标全部都能确定出来。 好，确定出来了之后呢，咱们说 m 和 n 两个点都在这个椭圆上，所以说咱们可以把这个点代入到椭圆 c 的 方程中去，就可以知道是负的。二分之 c 的 平方比上 a 的 平方加上 b 方分之二分之根号三， c 的 平方是等于一的，然后咱们这里是有一个 c 方等于 a 方减 b 方。好，这个一定要知道，因为要得到离心率之间的关系，离心率是 a 和 c 之间的关系，所以说咱们可以把里面的 b 全部都替换掉，把 b 方写成是 a 方减 c 方 全部都可以，它换了之后呢，就可以得到的是四， a 方分之 c 方加上四倍的 a 方减 c 方分之三， c 方等于一，然后咱们给它稍微整理一下，就可以变成是一的 四次方，减去八亿的平方加四等于零。咱们这里用求根公式就可以求出一方，他这里是有两个值的，其中一个是四，加上二倍根号三，另外一个呢是四，减去二倍根号三。但是这里要注意一下， 椭圆 c 的 一个离心率应该在零到一范围内，所以说这个解他肯定要舍掉了，就是说一方是等于这个值的。好，接下来咱们要求一下这个 e， 如果说一方等于他，咱们不会开方的话，就把 a、 b、 c、 d 四个选项带进来，看看谁平方之后等于这个值。但如果说非要自己求的话，这咱们这里稍微学习一下哈，得根号下四减去二倍根号三， 接下来我们要把这个四给他拆成是一加三的形式，因为这里是有根号三这个元素的哈，所以说给他写成是一的平方， 然后减去二倍根号三，加上根号三的平方这种形式，然后就可以把它写成是根号三减一的平方，然后再带一个根号，那么就可以确定出离心率 e 应该是等于根号三减一，所以说这里咱们选择四 d 选项。

下面这道题是合肥一等考的几何压轴题，它将在三角形 a， b， c 中加 a， c， b 等于九十度啊！这里 a， c 等于 b， c， d， e 等于 d， b， b， c 和 e， g 都垂直于 a， d。 第一个要求证的是 e， g， e。 对 已知的也成这样变，那我们可以看出来，这两三角形可能是全等边，因为这两个角是相等。那么在三角形 d， c， b， d， c， d 和三角形呢？这个 e， g， d。 角 e， g， d。 角， 那么这里也有两个直角啊，角 d， c， d， c， b 啊 d， c， b。 等于角 e 及 d， e。 那 么这个角能不能等于这个角呢？我们看角 c， b， d， c， b， d， c， d。 它是等于 一百八十度。减角 a。 减四十五度，再减角 a， b， d。 角 a， b， d。 再看这个角 g， e， d， g， e， d。 它是等于一百八十度，这个角也是四十五度啊，因为这两条线平行的，要减四十度，它减的是这个角，减去角，角一一 平 d， e， d， e。 等于 d， b。 所以 d， e， d 啊，是等于角 e， b， d 啊，所以角积一 d， e， d， 它是得一到二十度，减四十五，减角 也是 a， b， d 的 a， b， d。 这两个角是相等，所以角 c， b， d， c， d， d。 它是等于角 g， e， d 的 g， e， d， c， d， d。 等于角 g， e， d。 这里就找到啊，两种角相等，那么右呢？ 这个三角形的斜边 b， b， b。 等于这个三角形斜边 b， b。 所以 三角式 b， c， b 啊 b， c， d。 它是全等于三角式 e， g， d 的 e， g， d， e， g， d。 所以 c， d。 它就等于 g， e， c， c， d 啊，等于 g 啊，就得到证明。第二， 如图啊，它加 c， f 等于 f， b 等于二十。求 b， d 的 场，那我们知道 c、 d 的 场是知道的，那我们能不能求出 c、 d 的 场呢？我们设 c， d 啊，等于 x 啊， c， d 等于 x， 那 我们看这两三个圆心，因为这两条线平行的啊，这三个圆心呢，就等于 x 啊，那我们看这两三个弦是平行的啊。 那么这个地方的 x， 根据刚才的任意选等，则记 b 记忆，记忆也得也得根据条件，已知条件 d， g， 它是等于 bc 的， bc 等于四四， 因为 d、 c 平行于记 e 啊，记 e， 所以 三角形 d， c， f， d， c、 f 它是相似的三角形 d， g， e 的 d， g， e， 那我们所以这里 c、 f 的 长 c， f 是 等于二 c， f 比上 g， e 等于 d， c 比上呢？ d， g， d， g， 这里 c、 f 等于 d， c 的 也是等于 d， c 的 也是点 x， d， c 的 长 d， c 的 长是不是 x， d， c 的 长，这里 d， g， d， g 是 等于 d， c 等于四，所以 x 的 平方是等于八八。那么 那么在这个实验当中，所以 d、 d 的 平方是等于 d、 c 的 平方， d， c 的 平方就是八，加上 d、 c 的 平方， d、 c 的 平方就是一次性二个四，二个四，所以 d、 d 就是 点 d 格号二十四，也就是二，点，格号内就是 b、 e 的 长度。第三步，就将 d、 c 比上 c， a 等于 b， e 比上 e， a 对 k 要求这个 k 值，那我们联结一下 c， e 看，我们联结一下 c， e， 那 我们看到 c， e 啊， c， e 啊， 这 c 一， 它是平行于第一的，嗯，现在这个角加一下角平行，平行，相切平行，所以我们得到，所以得到角 a， c， e 啊 a， c， d， 它是等于角 a， d， b， a， d， b 那 么 a， d、 b 这个角是等这样的啊，是因为是全，刚刚证明是全等关系，等于角呢？ g， e， d， g， e， d， 那么等于，因为是平行，因为这两个线平行，所以它就等于角，一样的，一样的， 所以我们知道这个角跟这个角是相等的，这个角跟这个角是相等，那我们在这个三角形中，在三角形这个 a， c， d， a， c， d 和三角形 b， e， f， d， e， f， d， 因为这个角的是角 c， a， e 呀，角 c， a， e， c， a， e， 它等于角 f， e， f， e。 找到前面的条件，角 a， c， a， c， e， 它是等于角 e、 m、 d 的， 所以这两个三角形呢，是相似的，所以三角形 a， c， d， a， c， d。 它是相似于三角形 b， e， r， b， e， r 这两个也相似，所以这里 b， e， r， b， e， b。 一 比三呢 a， a， 它就等于这个 b， f 比上 a， c 的 b， f 比上 b， c。 这里 b 一 比 a 一 b 一 比 a。 又你看这个 b 一 比 a 呀 b 一 比上 a 一， 它是等于呢？ b， c， b， c 比上 c， a 的 c， a。 所以 b， f 比上 a， c， 它就等于呢 d， c， d， c 比上 a， c， a， c 啊，所以我们得到 b， f， 它是等于 d， c 的， 这里 b， f。 就 等于 d， c。 然后呢，再进一步看，在三角形这个三角形，在这个三角形当中，这里有一个公共角啊，这一个，因为这个角呢，这个角它是等于啊，这个角对角在三角形 dcf， dcf 和三角形 dcf， 那 么就是 dc 啊， 就是 b， c， d 中 b， c， d 中 b， c， d 中 b， c， d 中，那么这里有个公共角啊，角呢？ c， d， d， c， d， d， c， d， d。 刚刚已经证了是等于 e， f， d 的 e， f， d， e， f， d， 那 么也就等于角 c， f， d， c， f， d。 这个角跟这个角相等，这里有个公共角，所以这两个角也是相似，所以三角形 d， c、 f 相似于三角形 b， c， b， d， c， d， 这是子母相似。子母相似，有一个公共边，这里有一个公共角，这里写成子母相似，所以得到 d， c 的 平方 d， c 平方，它是等于呢？ c， f， c， r 乘以 b、 c 的， 那么这个 c， f 啊，这个 c， f， 它是等于 dc 减去 b， f 的， 所以 dc 的 平方，它就是等于 c， f， c， f 是 等于 dc 减去 b、 f 的， 也就是等于 a、 c 减去呢？ d， c， d， c， d， c 是 等于 a、 c 方，等两边同时除以 a、 c 的 平方，同时除以 a、 c 的 平方，那么就得到 d， c 除以 a， c 的 括号平方。括号平方等于， 这里是 a， c， a， c， 这里是 a， c 减去 d， c， 也就说等于啊 e 减 d， c 除以 a， c， 那 我们得到这样的公式，那么 d， c 除以 a， c， d， c 除以 a， c 就是 k， 就是 k， 所以 k 平方等于一减 k， 那 我们讲的 k 啊，是等于二分子幺五减 e， 幺五减 e。 这个是做这题很多的相似，关键在你老讲啊，这里有一个字母相似啊，这是大家第一，这题也有点难。

好，我们再来看一下第三位，如图二，延长 d h 交 c、 f 以点 g 求证点 h 是 d g 的 终点，求证终点，也就是让你去求 d h 是 等于 h g， 一 般求线段相等，我们肯定是转全等。 那么来看一下这个图 h 在 这，现在让你这这两个边相等，这两边相等，它是在一个直角三角形里面抱正，那因为 h 界不在直角三角形里面去，所以我们就需要去 构造，把它放到一个直角三角形的。怎么去构造？连接 b、 d 连接 b、 d。 以后 我们去证三角形 d、 b、 h 全等于三角形， 借 b、 h 就 可以了。那这个证证明就比较好证了 啊。用 b、 d 是 正方形 a、 b、 c、 d 的 对角线， 所以角 d、 b 借是等于四十五度。 我们从第一问就可以得出来，因为角 c、 d、 j 是 等于二十二点五度， 角 c、 d、 j 加上角 d、 j、 c 是 等于九十度。角 h b、 j 加上角 d、 j、 c 也是九十度，所以角 h、 b、 g 是 等于角 c、 d、 g 等于二十二点五度， 那所以角 d、 b、 h 也是等于二十二点五度啊，所以 这个边是公共边，这两个都是九十度。 三角形 b、 d、 h 全等于三角形，借 d b、 h 啊，所以 d h 等于 g h， 所以 d a、 h 为 d g 的 中点。

具体做法呢，分三步，第一步，回归基本概念，用自问自讲加默写的方式过关，先把课本啃干净，每天十来分钟，第一件事就是对着定理自己讲出来，写出来。比如问自己，线面平行怎么正，线面垂直怎么正， 你能讲清楚才叫真会讲不出来，就是概念夹上每天默写一遍，平行四条，垂直四条，判定加性质，把文字语言、符号语言、图形语言都写对。这一步啊，是立体几何不丢分的根。 第二步，画思维导图，把必考题型锁死。例题几何大题呢，三年只考这几类，你把框架呀梳理出来。第一问，考两类，平行线面平行面，面平行垂直，线线垂直垂直。 第二问，考这几种二面角线面角点到面的距离。新高考二卷呢，最常考的是二面角，你把这个思维导图啊画在错题本的第一页，看到平行，要想中位线平行四边形，看到垂直呢？要想勾股等腰 面面垂直推线面垂直，看到球角直接间隙，用法向量框架一清啊，做题就不慌了。那第三步是回归错题，只做溯源复盘。把最近的月考模拟卷的例题，几何错题啊，全都拿出来，只做三件事，第一， 错在哪一步，是概念不会证明跳步坐标写错，还是法向量算错？第二，对应哪个知识点补回去，重新默写定律。第三，同类型的题呢，再做两道，直到不再错。 错题呀，不是用来抄的，是用来堵漏洞的。例题几何错一次就要堵死一个坑。 四步，每天针对性的精练，不搞题海战术。每天咱就练三道题，一道 证明题，练第一问一道间隙求角，主要是练第二，问一道选填主要是关于体积表面积或切接问题。 每道题都要限定时间，只练常考模型，能追十三棱柱啊，折叠问题啊，不求多，一定要做一道会一类。 最后建议每周再给数学加一个现实的综合卷，训练一模前还有三次机会，把握速度，规范，计算准确率。 你要记住啊！立体几何最容易丢分呐！不是不会，是坐标写错法，向量算错证明少写条件，知道常见问题，再针对性练习，上考场啊，就稳了。立体几何不是只靠空间，想象也要靠规范，靠步骤，靠套路。 一毛钱把概念讲清楚，题型锁死，错题复盘，每天精练，每周限时。那这二十分你一定能稳稳拿住！三周复习时间，给大家一些实用的复习建议。

我们再看一下第二位，求证角 d， h b d d， h b 这个角是九十度啊！根据第一位，我们已经知道这个角是四十五度，那我们现在只要求证这个角是四十五度就行了， 那它要求它是四十五度。那么在这个三角形，在三角形 a、 b、 h 中，想求它是四十五度，不好求，没头绪。但是四十五度一般是不是出现在等腰直角三角形里面？ 它没有怎么办？没有，我们就构造，哪怕把它放在等腰直角三角形里面，那就过点 b 做 b， a， b， k 垂直于 a， g， 这是 k， 那 做完以后我们会发现， a、 b 是 等于 a d 角 b， a、 k 加上角 k， a、 b 等于九十度。角 d， a， i 加上角 k， a、 b 也是九十度，所以角 d a、 r 是 等于角 a、 b、 k 所以 三角形 a、 b、 k 是 全等于三角形 d， a i 的， 那么这两扇形全等，我们就可以得出 a， k 是 等于 d i， 它是不是等于 h i 啊？这是第一问可以得出来的，它等于 h i 啊。三角形 a， d， g 是 等腰三角形 d， i 是 垂直 a g， 所以 i 是 a g 中点， 那它是中点，所以是不是 a， i 是 等于 g i 那 已经是 a， k 是 等于 i h， 那 i k 是 不是等于 h g i k 是 等于 h g 那 所以 kh 是 不等于 k i 加上 i h， 那 它是不是就等于了 a i 呀？那它也就等于了 b k 所以 三角形 bkh 是 等腰直角三角形，所以角 a、 h、 b 是 等于四十五度，所以角 d、 h、 b 等于九十度啊！我们可以转化一下。