余弦定理是哪一章

同学们好，在学习了平面向量的概念，基本定力和坐标表示后，我们掌握了平面向量的先行运算和坐标表示。特别的向量的数量积能够将向量的模与夹角联系起来。 那么现在让我们利用这一工具来探索三角形中边角关系，从而自然地引出了今天我们要学习的内容，鱼弦定力。首先我们先来看一下本节课的学习目标， 学习目标一，掌握鱼旋定力的两种表示形式及证明方法。二、会用鱼旋定力解决两类基本的解三角形问题。 带着学习目标，我们来看这样的一个情景问题，他说，如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测量这个隧道的长度。那我们知道啊，既然是山地，那我们没有办法直接去得到隧道的长度，那怎么办呢？ 工作技术人员先在地面上选了一点 a， 然后量出来 a 到三角 b 的 距离，然后再量出来 a 到 c 的 距离。哎，我们可以得到 ab 就 等于根号下三 ac 等于一，知道这个角度是一百五十度，也就相当于知道两边一角。那如何求出来第三条边呢？这就是我们这节课要学习与弦定理的作用。 接下来我们来看知识点，一、余弦定理的表示及推论文字描述啊，三角形中任何一个边的平方等于其他两条边平方和减去两边与他们夹角余弦积的两倍。 好，那这个文字我们转化成语言符号。比如说，我们先看第一个 a 的 平方，就等于 b 方加 c 方减二， b， c 乘以口舌 a， 同样的，我可以得到 b 方和 c 方。好，大家记的时候可以怎么样记呢？ 求哪个边对应的就是哪个角，你看，求的是 a 边对应的就是 a 角， b 边对应 b 角， c 边对应 c 角，然后后面这个混合的就是除了 c 以外的混合的二倍。 好，那通过这里我们还可以推导出来，角， cosine， cosine b， cosine c， 那 也就是通过一项的方式把两边的系数化为一，比如说我们以 a 方等于 b， c 乘以 cosine a 为例， 那我通过平移移向 a 方，移到等号的右边，两边再同时除以一个二， b、 c 是 不就可以得到勾三 a 了？记的时候啊，余弦定力也好，它的推论也好，你就记住，求哪个边剪哪个角，求哪个角剪哪个边。 知识点二，解三角形。一般的我们说三角形的三个角和他们对应的三条边叫三角形的元素，那么在知道三角形几个元素的情况下，我们求其他元素的这样一个过程，我们就把它称之为解三角形。 思考一，我们之前学过勾股定律，那勾股定律指出了直角、边中三边之间的关系，利用余弦定律 则指出了三角形中哎，三条边和其中一个角之间的关系，那这两个定力有什么关联吗？那你想一下，当我这个角是九十的时候， cos 九十就等于多少呀？就等于零，所以勾股定力是我们鱼旋定力的一种特殊形式。 第二个问题，余弦定理。哎，我们说有了余弦定理，它的推论作用是什么呢？推论的作用是用来求解角的问题，或者是用来判断它是锐角还是钝角。比如说我求出来了余弦之小于零，那说明它是不是就是一个钝角呀？ 那我求出来，余弦之大对应，说明这个角是锐角。到这里，我们今天这节课的知识点就讲完了，接下来我们来看一下这些知识点在题目中的应用。先看第一个， 他说在三角形 abc 中，角 abc 对 应的边分别是小 a、 小 b 和小 c。 第一问求 a， 我 们说求 a 边减 a 角，那是不可以直接用余弦定里啊？ 求 a 边减 a 角，但我要求的是 a， 所以 在开方，那我把相应的 bc 和 a 的 值代入，可以得到答案是根号下三。 好。第二个求角 b， 那 求角 b 是 不是就余弦的推论呀？那 cos b 就 等于二 a， c 分 之， a 方加 c 方减 b 方代入题目中的条件，我们可以得到余弦值等于负的二分之根三，说明它是一个钝角，谁的余弦值等于负二分之根三呢？ 是一百五十度，所以第二个答案是一百五。你看本节课的三种题型，第一个题型已知两边和一角去解三角形。第二个题型已知三边去解三角形 类型三，已知于弦定理去判断三角形的形状。好，这节课啊，三个题型都是经典题型，需要大家了解掌握。 类型一，已知两边和一角减三角形 d、 p。 先看第一个，在三角形 a、 b、 c 中，已知 b 等于六十厘米， c 等于六十倍的根号下三 a 角是六分之派，也就是三十度。那我要求 a， 那 我们说求 a， 是 不是直接用余弦定里就可以了？那我们利用余弦定里，我们可以得到 a 方，应该等于的是 b 方加 c 方减二 bc 乘以口舌 a， 那把相应的 bc 和 cosa 带入，带入之后，那你看，我要求的是 a， 那 再开根是不就可以了？得到答案是六十 二，在三角形 abc 中，若 ab 等于根号下五，那我们看 ab 是 谁。 ab 是 不对应的就是小 c 边啊，那 ac 对 应的就是 bbc， 对 应的就是 a。 知道 c 等于根号下五， b 等于五， cosc 等于十分之九，求 a， 那你看，这里是知道的是 cosine c 这个角，所以我用的时候我是不是应该用 c 啊？所以我用的余弦定理应该是 c 方等于 a 方加 b 方减二 ab 乘以 cosine c， 当我把题目中相应的数值代入之后，整理发现他就是 a 方减九， a 加二十等于零。好，这里一元二次方程用什么分法解十次相乘二十是不可以分解成四和五呀？哎，加符号，所以得到答案，四五， 反思领悟，已知两边和一角去解三角形的时候，我们一般情况下用的是余弦定理，那如果是知道是假角的话，那知道哪个假角，我们就用谁的余弦就可以了啊。 类型，二，已知三边去求解三角形。好，他说在三角形 abc 中，已知 abc 三条边，求 角 a、 角 b 和角 c， 那 我们以角 a 为例，那要求角 a 是 不是先算出来 cos a 呀？ cos a 等于 二 b c 分 之比方加 c 方减 a 方，算出来它是二分之根三，那我们知道如果为正值，说明它是一个锐角，在第一项线，第一项线谁的余弦值等于二分之根三是三十度， 同样的，我们可以算出来角 c 是 等于四十五度，那最后一个应该怎么算？我们知道三角形的内角和应该是一百八，所以用一百八十度减六十减四十五， 可以得到最后一个角的答案啊。反思，领悟已知三角形的三边，求解三角形的方法。那第一种情况，我们可以直接用余弦定里的推论去求出来一个角，第二个 也可以用推论去求第三个，你可以用推论，也可以用三角形的内角角等于一百八来求啊。例行三，利用余弦定律判断三角形的形状。 在三角形 a、 b、 c 中，已知 a 乘以 cos a 等于 b 乘以 cos b 是 判断三角形的形状。那这里既然出现了 cos a 和 cos b， 所以 我们是不可以用 y 选定律的推论把它展开啊。那由角化边可以得到 a、 b、 c 三者间的关系。 我们来看一下解体过程。由余弦定律我可以得到这样一个等式，那有分母怎么办？区分母，区分母之后，左右两边化简，我们可以得到 a 方减 b 方乘以个 a 方加 b 方减 c 方等于零。 那你想一下，如果想让这个等式等于零，要么第一个等于零，要么第二个等于零。如果第一个等于零，那就是 a 等于 b 方等于 c 方，所以它是一个直角三角形或等腰三角形。 总结一下，在利用鱼旋定律判断三角形的形状的时候，有两种途径，一种是划边的关系，另外一种是划角的关系。结合具体的题目，那去运用就可以了。 到这里我们今天这节课的知识点和题型就讲完了，那接下来我们来练习两道题，看一下大家这节课掌握的怎么样。 一、已知三角形中 a 等于一， b 等于二， c 等于六十度，求 c， 那 直接用余弦定理， c 方等于 a 方加 b 方减二 ab 乘以口径 c 开根代入数值，我们可以得到它应该是等于 a 选项根三、 二，在三角形中，已知 a b c， 那 最小的角是不是找最小的那个边就可以了？ 好在这里面是不是 c 是 最小的值？那我要求 c 这个值我先求出来它的余弦值 cosine c 等于什么呢？ 二 ab 分 之 a 方加 b 方减 c 方，那代入相应的数值以后，我们算出来这个答案应该是二分之根号下三，那谁的余弦值等于二分之根三、六是选二 b 三，在三角形中，已知 a 方等于 b 方加 c 方加 b c， 求 a 角等于多少度？那求 a 角。我用余弦定力的推论 cos a 是 不等于它呀？那你看它和目标中的条件有什么区别呢？ 哎，那我们是不是可以通过移项把 a 方移到等号的右边，然后再让左右两边同时除以二 b c 是 不就可以了？得到的答案应该是负二分之一，谁的余弦值等于负二分之一呢？哎，一百二十度 第四题，在三角形 abc 中已知 a 等于二 b 构成 c， 那 三角形的形状，我们说看到角画边，看到边画角，那这里有空间， c 角画边代入于弦定里的推论，我们可以得到 a 等于 a 分 之 a 方加 b 方减 c 方， 那通过去分母合并同一项，我们可以得到 b 方等于 c， 所以 三角形为等腰三角形。 回顾本节课的知识，完成以下问题。第一个，愚玄定力和推论的内容是什么呀？我们愚玄定力求哪个角剪哪个边，推论，求哪个边剪哪个角。 好到这里我们今天这节课的内容就讲完了。好，同学们到这里啊，然后再加上下一节课的郑伊轩定律的应用啊，本章的内容就学完了。嗯，到这里同学们都很棒，希望同学们在课下的时间能够做一些细题巩固一下。

边的关系想转化成角余弦定，里边花角统一好算。余弦定里本身是指什么东西好，三个好，这三个其实都是它好，这是它的三种不同的表述 好， a 方等于 b 方加 c 方减掉它， b 方等于它， c 方等于它好，这三个都叫余弦定，只是它是不同版本的表达方式，但是其实你也可以给它记成同一个东西，就是这里有一条边好，我就不管它是 a 四 b c 好， 连个字母，你想怎么标怎么标。 这一边的平方好，他应该等于另外两边的平方之和，另外两边的平方之和 减掉另外两边相乘，再乘以他们加角的余弦，再乘以他们加角余弦。老铁们，那么这个东西余弦定律如果要让我们证明好，我们怎么证好，我们怎么证？你看，哎呀，我们肯定是还是要去想相似结构， 相似结构，那这个时候我们绞尽脑汁的想法，当然我觉得如果说啊，你没有看过教材啊，你突然自己都想到了他是跟什么相似的哈，那么我只能惊呼哈，天才，但是当你见过你就叫回忆哈，回忆，原创，回忆往往比原创简单十万倍， 那么我们来看看回忆一下啊，就这玩意给你平方有没有点像一个完全平方，对吧？有点，有没有点像一个完全平方，还真有点像，对吧？然后这里面又出现了鱼弦，那么我就会去想了，哎呀，有鱼弦的地方 哎，项链啊，两个项链，项链啊，两个项链，他那个数量级里面是摩乘，摩是乘，余弦有余弦，对吧？好，那这个时候如果你想到了这一个点，那么我们就可以用项链相关的指示啊，来，那么这个地方你看，哎，我就看这个啊，哎， a 呢，就是和 b、 c 或者 c、 b 项链有关， b 那 就是 ac， ac 项链的膜也是 c， a 项链的膜， c 就是 ab 项链的膜也是 ac 也是 b， a 项链的膜，对不对？那么那这时候我就来想了，哎，这三个要建立联系，是不是还挺好建立的，对不对？那所以我们从项链的角度 非常容易就能想到 ab 项链减掉 ac 项链是等于， 对吧？ cb 项链的啊， cb 项链的平面项链的基本知识啊。那现在边看到这种项链，我们知道把它平方之后，项链的平方是等于项链膜的平方，为什么我们要想办法去平方？那是因为我们要想得到这里， b 方好， a 方 c 方平方之后，这些量通通会出来啊，通通会出来，那么所以他的平把左边平方是不是就是 ab 向量的平方，再加上 ac 向量的平方，再减掉二倍， ab 再乘 a， c 向量，因为这个时候是不是才才会有那个加角的余弦，对吧？然后再等于 c、 b 向量的平方好了， a、 b 向量的模的向量的平方等于它的模的平方， a c 方吗？那么 a， c 不 就是 b 方吗？这地方就是二乘以 b 乘以 c 边好，乘边魔长乘以加角的余弦，再乘以或乘 a， 那 么这个地方 c b 里的这个是得到了，而其他的是同理可得啊，同理可得 好，但是这个鱼弦定的还不太有美感，于是，哇，我们来了一个鱼弦定的推论啊，让他更有美感，为什么他会更美呢？看，这边是角啊，这个等式的坐标分类了啊，对，这个表达性分类了，左边是角啊，而右边是边， 多美啊，就是站队站好啊，你这边是角啊，你这边是边哈，物以类聚，那么同样的，那等等式的话，是不是也是一样的啊？以角 离四角站左边，离四边站右边。好，这个就更具有数学美感啊， cos a， cos b， cos c 啊，这个也非常好记，你看 cos 什么东西，他就减掉 c 的 平方，对不对？减掉 c 的 平方， cos c 就 减 c 平方，然后剩下的就是这两边平方相加，这个就是两边相乘啊。 所以余弦定律它的表示和它的推论啊，大家要记得滚瓜烂熟。接下来啊，就是关于余弦定律的应用啊，第一条它的运用里面也有一个边角互化，边角互化是不很简单，用的一定是推论啊，用的一定是推论。 cosa 等于 一方加 c 方减 a 方除以二 b c， 如果说你题目中给了哈，就是有一个角，它的余弦，你看我只需要带住哈，带住， 那么带进去是，是不是只剩下边了，对不对？当然，如果你要把边画成角，他的要求就要高一点， 只有这种结构，就是你必须能够把边整理成 b 方加 c 方减 a 方，就两边的平方减掉另外一边的平方，你必须要整理成这种结构，你才能够画啊，那所以你就会知道，哎，什么时候我会用余弦定力去把边画成角， 那肯定有三边的平方喽，对不对？如果这个东西都没有你，你怎么你都不给哈，怎么做饭好，所以你必须要给了这个我顶多变变形啊，才会有这个东西出现，对吧？好，这是第一种用法啊，考法叫边角互化，这种余弦定律他是不是也是作为一个方程？ 那么既然作为一个方程而存在，对吧？那么比如说这个什么 a 方等于 b 方加 c 方减二 b， c 构成 a， 那 么这本身你不能忽略他是个方程属性，既然是一个方程，是可以用于求值的，而且三角形嘛，他本身就是求边 对不对？或者求角，那所以你知道他这一种属性的话，你就知道余弦定力啊，另外一个作用作为方程求值而存在。好的，这就是咱们的余弦定力，你学会了吗？

听说你的朋友很厉害，那就让他看看这个吧！首先我们画出一个边长分别位列鼻息的三角形，他的锐角位息塔。然后画出一个圆形， 把三角形包含在内，也为半径，将半径延伸为直径。同时我们把边长细延伸为直径，连接一个长度为 a 的半径和长度为 a 减七的线段。接着我们把边长的延伸至圆，赏电源揭盖线段与水平直径的另一端构成一个三角形。注意 这里圆的直径对应的圆周角是直角。我们来简单证明一下，画一个圆，画出他的直径，画出直径对应的圆的那间三角形，用虚线连接顶点和圆心。 由于圆的直径相等，所以细心把那些三角形分割成了两个等腰三角形，是他们角度分别为雷克瑟、猴啊。由于等腰三角形地角相等，我们可以列出等式， 把这四个角加起来。简化之后的道理，可撕加外等于九十度。回到刚才的图形，我们已经证明了只进的一枚圆周角是直角，所以这个三角形是直角三角形。也就是说零边的长度为二， a 乘以细塔的余弦，因此 将边长臂延伸至圆上的线段的长度为二， a 的余弦减去 b。 根据上都是拼证明的湘江弦定理，我们得到二 a 乘以七塔的余弦减去 b 乘以 b 等于减去七乘以加上系的成绩。展开两边的成绩，我们得到二 ab 乘以西塔的余弦 减去 b 的拼放，等余的拼放减去写的拼放对等式。两边同时一项，我们就得到了余弦定理。怎么样，很简单吧，关注本派盟，每天学习一个数学小知识！

同学们大家好，今天我们来学习鱼弦定律。鱼弦定律啊，也是去解三角形的过程，总共有三个， 那这三个应该怎么样去记呢？你看第一个我们要去求角 a， 那 么它的一个边呢，就作为特殊边，写在等号的左边 啊，他等于其他两个边的平方呢，再减去其他两个边的二倍，再乘以这个特殊角的余弦。 其他的这两个公式啊，也是采用这种方法去记忆。我们要注意的是余弦定律啊，千万不要和正弦定律给搞混了。好，同学们，这节课我们就上到这里，再见。

好，上课起立，老师好，我们是三角形中边和角的对应关系， 我们这节课的学习目标是用向量方法证明余弦定力，掌握余弦定力及推力公式，会用余弦定理解决基本的解散你们问题。 我们首先复习一下我们向量的减法口诀，我们一块说同负极点连中点，方向指向被减向量向量向量向量的向量 b 乘以向量 b 的 模乘，向量 b 的 模乘 cos c 的， 这样是我们向量减法的。 今年中国飞速发展，基建呢成为了中国的名片，我们建造了许多举世闻名的建筑，有些在建筑的施工过程中需要进行各种各样的测量，我们呢来看其中的一个 高铁需要呢修修建一个，修建一个隧道，其中由于 a 和 b 在 三角两边被山所挡住，这样呢没法直接测量，那我们怎么来测量 a b 两点之间的距离，那么用我们初中所教的办法能不能解决， 示范一下对吧？然后学了我们今天所的内容之后，我们可以轻松的解决。那么我们来看今天我们所学习的知识点。首先在初中我们就探索过三角形中边和角的关系， 首先在我们直角三角形中，我们把三角形的直角边和斜边，我们通过他们的比例呢，我们通过正弦和余弦的方式来做了规定，那么其中我们还有一个他们角和边的对应关系，我们都知道的叫什么东西啊？ 勾股线，知道 c 方等于 a 方加 b 方，大家立马就联想到有一个角，哪个角啊？ 角 c 等于多少度啊？角 c 等于九十度，能不能想到它们边的对应关系啊， c 方就等于 a 方加 b 方，如果角 a 是 九十度呢？那就有 a 方等于我们初中所探讨过的三角形中角和边的对应关系。 那么在任意的三角形中有没有类似的数量关系来表示边和角的关系呢？那么这就是我们今天所要研究的。 我们首先三个角，大 a， b， c 三个对应的边，小 a， b， c， 我 们来看，在直角三角形中， c 方等于 a 方加 b 方，那么在我们的锐角三角形中， c 方有没有类似的式呢？我们来看 我们这时候看怎么去算这个 c 方，这儿 c 对 应的是角， c 要算它的值，我们还是采用初中的做一个垂线，这儿做个直角啊，这儿是一个 d， 这一个就是一个直角三角形，我们利用 这个方式也可以求得那边 c 的 长度， c 方等于什么呀？ c 方也就是 ab 的 平方喽， c 方等于 c 方加 a、 b 的 平方，再加上 b、 b 的 平方。 利用我们正弦与弦的定义，在三角形中，我们用所有的关系都用边和角来表示， 那么 ab 的 长度可以用在三角形 a、 c、 d 中来表示出来，那么 c、 d 呢？也在这个里边用余弦来表示出来，这样的话呢，所有的我们的边长都可以用哎，我们的角和边来表示，那么 ab 相应的已经求出来了 ab 的 长度， ab 的 长度也知道，所以下一步我们直接采用一个什么就可以求出 ab 的 平方，也就是边 c 的 平方用 什么东西啊？勾股定律好，大家算一算我们 a、 d 的 平方加 c， d 的 平方应该等于多少，那么算一算，然后把它给化简出来， 写完之后大家就可以放下我们手中的笔， 大家在代数的时候， b d b d 等于边 a 减 b 层除以 c， 对 吧？ 大家算了吧， 好，我们看这呢，直接画完之后，这是一个完全平方公式，展开之后，这边就有三个 c 的 平方加 cos 的 平方等于加，所以是不是就画出来个式子啊？我们看一看， 这样的话呢，我们就得到了我们三角形中 c 方等于 a 方加 b 方减二 ab 乘以口舌 c， 然后下边在对角三角形中，我们求边 c 的 平方， 我们怎么来解决呢？也是画一个三角形，看这也一样，做一个什么线，垂线，那么这时候我们通过固定里得到这两边的平方和，是不就求出了边 a b 一个边 c 的 边 c 的 平方， 对吧？那么下边我看看它的解法，表示出因为角 c 是 个什么角， 角 c 是 个钝角，所以在我们表示的角的时候呢，我们用了派减 cos 派 减 c， 然后呢下边一样的式我们也知道了， c 方等于 a 方加 b 方减二 b 乘以 cos。 大家来看这两个式，一看无论是锐角三角形还是钝角三角形，这两个式的形式怎么样？ 完全怎么样一样，那我们直角三角形能不能改写或写成类似的形式呢？ 大家看可不可以呢？因为这里边有加角是多少度啊？ cos 九十度等于零，可以解决问题吧，可以这样的话，我们无论是直角，钝角还是锐角，都可以写成我们 c 方等于 a 方加 b 方减 a b 这个形式， 所以我们有特殊，我们就可以看一下是不是把我们就可以说任意三角形中都有 c 方等于 a 方加 b 方减二 b， c 后乘 c 呢？可不可以这样说明， 可以吧，我们三角形总有几种啊，形状有锐角，直角，钝角都有了吧，那么可不可以统一写成， 写成这个形式。可以，这又反映了我们的数学思想，由特殊到什么，一般由直角三角形，钝角三角形，锐角三角形，可以，我们可以推广到什么三角形？可以啊， 任意三角形是不都可以啊？哎，这是我们用几何法来进行了这个式，证明这是几何法， 然后下面我们这一章呢，学习的是向量知识点，那么用向量能不能证明这个定义呢？我们下边来看三角形 a、 b， c 中，我们设三个边水域的向量为小 a， 小 b、 小 c， 然后 根据向量 c 减向量 c 等于向量 b， 向量 a 减向量 b， 是 不是可以写成一个啥？那么下边我们通过向量的运算，那么看一看能不能得到我们边和角的对应的关系。好了，大家抓紧时间把这个字开始往下写啊，写完之后呢，我们投影展示一下 抖 音， 好，写完，写完了吧，写完同学举手看一下，看一看多少，写完了没有，好，放下。 好，我们看这呢，在我们 好，我们看在这个在他的证明过程中，直接两边一平方，我们就把向量的方向，我们就把向量的方向给 给去掉了，那么这样的话呢，我们就经过这样的话，我们利用向量的预算是不是也得到了这样一个市场， 哎，好了，下边我们看一下，这样呢是向量的，但是我们用向量也得到了公式，那么这样的话我们可以看一下用向量的证明和我们几何法证明它们之间相比较，向量法具有哪一个方法会更好？ 向量法，向量法是一个式，就算出了所有的角，那么向量在处理我们图形，我们计算的时候，它有一个非常大的优势，我们通过平方的方式，那么把方向给怎么样摘掉，就只剩下了它们的长度和它的形状下和它们的夹角。 好，下边 来看 这呢我们看这样得到了我们的这一个四之后，下边有类似的 a 方和 b 方，那么会有类似的结论呢？ 那么下边看一下它的结构， c 方和 a， 一个是 c， 一个是边，这个是角，这个是边，这个是它的对，怎么样？角，这是它的两个什么边啊？邻边。那么大家那么类似的，把 a 方和 b 方看一下有类似的结论，能不能给写下来。 好，写完了没有类似的，我们可以得到 a 方和 b 方的值，那么我们呢把这一个我们找到了边和角的对应关系，我们称之为与弦定比， 我们呢还可以使用坐标法来进行这个式子证明，大家呢可以通过建筑学系的方法课下进行研究。我们下边来把我们域线定律，那么来看一看第一个他们的我们的符号语言，我们一块来朗读一下， a 方等于 a 方等于 b 方，加 c 方减二， b， c 乘 cos a， b 方等于 a 方加 c 方减二 a， c 乘 cos b， c 方等于 a 方加 b 方减二 a， b 乘 cos c， 大家看他们之间的数和形的对应，这呢有，以这个式子看，这是边 c， 边 c 对 应的是角， c 对 边对角 a 和 b 是 角 c 的 两个什么边啊？邻边，因为他们的关系，大家看一看他们这三个式子是不是同一个结构， 是不是？那么是的话我们这三个是客户用统一的文字语言来描述，我们用统一的语言来看一看，另一边的平方等于另外两边的平方和减去 减去其余两边和余弦值，加角余弦值记得多少？二倍，我们统一一块把我们的文字描述读一下。三角形任意一边的 方等于其他两边平方的和减去这两边与他们加角的余弦的积的两倍， 这就是余弦定律。大家注意看一看我们边和角它们之间对应的关系，它适用于所有的三角形。好，下班 看一下它的适用情景，公式的左公式的左边是边，公式的右边是 ab， 是 两个邻边和它的什么夹角，所以它的适用情景适用在什么地方呢？哪种类型呢？ 就是知道两边及及夹角，我们可以简写成 s a s。 好，下边我们回头再来看我们情景中所给的问题，这是个直线，直线中我们怎么来解决的问题呢？直线我们能不能使用预算定量 可不可以啊？直线当然不行了，直线有没有三脚丫？那么下班我们怎么来解决这个问题呢？那么用我们初中的方法可以用，高中的方法应该也可以，大家讨论一下，研究研究。我们起立我们一， 你想一想你初中的方法，现在的方法啊，还有我们讲到了没讲到的方法，你看一看，自己思考一下， 初中的方法可以怎么做，高中的方法又可以怎么做？ 打完之后也可以前后的交流一下 我们现在所学的知识点和原来知识储备，我们有什么办法可以解决的问题？那么哪位同学把你们的思想大家交流一下？ 好，那个风火轮你说在轴外找一点 c， 然后连接 c、 a、 c、 b， 使其 a、 c、 b 等于一百二十度，然后测出 a、 c 和 b， c 的 长度，然后利用偏点解除 a、 b 的 长度， 这里是一百二十度吗？ b 可以 到 a、 c、 b 等于九十度，九十度，利用公股定力解除 a、 b 的 长度，用其他的可不可以啊？特殊的词。 呃，想法，大家，这个先我们具体操作一下，如果说是勾股定力的话，我们能不能操作 勾股定力的话得怎么办？取一个左角直角，这个角是任意的还是这个必须得有一定的限制， 是不是做一个角和 c， a， c、 b 它们垂扎，那么这个点好找吧？好找不好找？那么取六十的角好，好不好找？ 利用，我们初中我们可不可以造一个等边太小形，可不可以啊？可以吧，用，如果说能找到这个直角点的话，我们利用勾股定律可不可以啊？ 可以，但是他有诸多的限制，是不是不是每一个角都是直角？哎，这个地方啊，你们想，那么我们呢？学了高中之后，我们现在是不是就比较任意了？ 我们就可以找取 ab 都能看见一点，我们可以用仪器可以测量 c、 a 和 cd 的 什么距离，直线距离，因为 ab 是 三挡住他看不见。 测量完之后还需要测量 c、 a 和 c、 b 的 什么和 c、 c 的 夹角，我们有专门的这样的这个仪器可以测出他们这个夹角非常的精细，或者说这个精确度非常的高。大家想一下，我们现在科技这么发展了，我用 gps 能不能直接测 ab 两点之间距离啊？ 可以吧，但是 gps 它的精确度，大家想一下这个有没有那么高，现在还没有那么高，所以呢，我们最精确的，那么我们要这个它的精确度要甚至精确到厘米，那么这样的话呢，我们只能要精细的测量 啊，这样的话呢，我就把它放在三角形中，我们通过算的方式就解决了两个三角之间 a b 的 距离。 好，下边我们呢去把它们之间的长度，我们取三个数，然后呢大家来算一算我们三角 a b 的 距离，我们让其中一个边长为三，一个边长为二，加角为一百二十度。大家抓紧时间算算我们两面之间的距离， 学以自用，看看谁接受的更快，算的更快。 好，学完动作举手试一下，好，放下，我们 说完之后呢，它的值等于 n 号下十九，这个答案对不对？对，好，非常好。下班我们来看 余弦定律，除了我们这一个形式之外，还有一个推论，这个推论的形式是这样来展现给大家的， cosine a， cosine a， 也就是通过计算是不是把它整理成 cosine 的 形式。好，拿上一本，抓紧时间自己整理 好，重新来读一下你的结果， 对吧？好，下边和我们余弦定律一样，大家看好坐下 有 cosine a， 那 么是不是有 cosine b 和 cosine c 啊？大家观察一下我们余弦定律，我们的推论的形式，左边是 cosine a， 右边对应的什么颜色呢？是这样， 他的对边也是 a 方，那么大家根据我们的例比，能不能不经过我们的预算直接写出 q c d 和 q c d， 可以 吧？可以抓紧时间去试试， 好，喜欢的同学继续试一下，好，放下。这样的话我们得到了余弦定律的，我们辅助我们推论的三个形式，我们一块把这三个形式我们一块朗读一遍。 cosine 等于二 b， c 乘以 o 乘 a 等于二 b， c 分 之 b 方加 c 方减 a 方。 o 乘 b 等于二 a， c 分 之 c 方加 a 方减 b 方。 o 乘 c 等于二 a， b 分 之 a 方加 b 方减 c 方。 好，我们第一步看这个比例的形式，大家看左边是角的余弦值，右边是什么？ 那么大家找个同学来说一下这个矩形，告诉我们它可以解决哪样的问题。 椅子边来求椅子边啊，和椅子两个边，还有哦，一个还有一个夹角来求另外一个角，说他理解的对不对？椅子两个边和夹角对不对？左边是角，右边是 几个边啊？那么根据什么求什么呀？根据三边求求角的什么线，是不是任何一个点的线呢？ 可以吧，可以，好，下边这样呢，就我们根据他的特征我们就发现了他可以解决什么什么样的问题。 好，下班我们可，我们呢，把我们的语言来，把我们的余弦定里的推论用我们刚才这个我们余弦定里那个语言呢，一块来去做一遍，任何一个角的什么弦啊？余弦等于 两二乘以两个零边，分支两个零边的， 把它翻译成我们的我们的文字语言。 好，下边我们利用余弦定零来求一个角的余弦值，你知道三个边求角 a 的 大小 好，差不多已经球完了，这球出来之后，这个脚是一百二十度， 用了一百二十度，负弦值呢等于负二十分之一，这样的话呢，我们就找到了它们边和角的它们之间的对应。好，下边大家来看， 这样的话，我们三角形已经求出来了它的一百二十度，所以对应的角，那么是也相应的就求了出来。好，下边我们看一看 余弦定律和勾股定律的关系，再先看特殊的直角三角形。 cosine c 等于 等于零，那么然后再往下对应的 cosine c 等于零，余弦定律中就是分子和分母 c 等于零， 分子的零是不是就得到了它的勾股定律的形式啊？那么反过来说，哎，等于勾股定律，分子就等于加零，这是特殊。那么一般的情况下是不是有不等于零的？不等于零就怎么样？ 不等于零，那就大于零或者是小于零，那么大家来看，大于零的时候，那么 cos 大 于 c 大 于零，所以谁就大于零， 然后再往下是不是有三边的关系啊？然后再往下对角，是不是 cos 就 小一点， a 方加 b 方就小于 c 方，从这里边大家也可以体会到我们一个内容，这是直角，这时候 c 变怎么样了？ c 方变大了，变成什么角？那这 c 方变小了，变成什么角？我们有一个初中学的一个性质，叫大边对大角， 看一下我们特殊到一般，一般到特殊的思想，还有我们根据边的关系可以找到它们之间角的关系，根据角是我们可以体会他们边的关系，这我们就是边和角的对应。 好，下边大家来看，这是三角形，三角，第一个题，三角形三边为三、四、五，所以这个三角形是一眼就看出来了，那么然后三边为四、五六，什么三角形， 看出来了吧，那就算一算， 有的同学已经算完，有的同学呢？还在计算。西米月，说一下你第二题的结果，这个题算完之后是一个什么概念？ 什么概念？对角，那么算出你算到哪个角啊？可得 c 等于四分之一，对不对？四等于八， 取根旁，你算的 cosine c 等于 几？ 好，我们两步下大家再算， 不难算，我们计算，我们计算能力，大家得算得得，算准了，我们得提高我们的动手能力。好， 大家看这个题算了个数等于几啊？八一，那个这个三角形，什么三角形，算了几个值啊？ 那个，下边那个小元芳说一下，你算的哪一个值啊？为什么不算 cosine a， cosine b 啊？ 因为三角形的形状是由谁来决定，对吧？哎，好，这样这样呢，我们算出这角的 u 弦值等于八分之一，对吧，所以是一个什么角？锐角，所以三角形呢？是锐角。好，下边 我们来看解三角形的概念，一般的在三角形中三个边 abc 和三角角大 abc， 我 们的叫做三角形的元素总共有六个，那我们知道其中几个元素，求其他元素的过程，我们叫做解三角形 要记住的概念，解三角形要求出三边和三个角六个元素。好，下面我们来看课本当中一、 在三角形 a、 b， c 中知道边 b 和边 c 子还有角 a， 我 们画出它的草图，那么竖形结合，竖形结合的思想，那么根据我们给的公式，余弦定律和它的推例， 大家来看，我们应该用哪一个公式来解决的问题呢？ 应该用用余弦定律还是用它的推论？用余弦定律，因为这个值呢，是特殊，不是特殊值，所以说我们通过这个题呢，来研究它的思路和方法 看一下，这样的话呢，我们通过余弦定律就求出了 a 方，然后呢再往下 a 呢，就等于它的进式子开方，然后 a 求出来之后，它的条件和已知就发生了补充，就变成了已经知道了一个角和几个边了， 几个边？三个边，那么这个三角形还需要，还需要求什么呀？还需要求 几个角？一个角，一个角，那么下边彭丽君说一下，求几个角，为什么求一个角？ 对，这样的话，我们只需要求出了几个啊一个，这样的话呢，你又就节省了我们鱼线定律，它的计算量过大的麻烦。好，非常好。说一下， 这是我们知道三边，知道已知的条件，那么求出已知条件的过程。这儿是剪三角形，好，下边我们做一个具体的问题，看下边练习剪一下我们这节课学习的成果， 三角形 a， b， c， 中间 b 边 c 和角 a。 剪这个三角形 还是先塑形，结合画出图像看，织什么求什么 i， 哈哈 啊啊， 看这个中国男同学写的，首先呢，求出 b i a 等于 d 三，这个有问题吧？ 然后呢，再求出其中一个角，用我们的符，用我们的推论求出了角 b 的 二分之一，有没有求角 c 的 同学， 求角 c 扣整数有没有求到，对吧？没有，都选择了角 b q c 等于两 等于加零啊，然后我们就知道结果，这样的话呢，用一百八十度减去两个角，另外得了第三个角，那么这个三角形呢？他连三角形的形状也一块判断出来了，是直角三角形，对不对？对对，好 好，大家思考一下，我们这节课学到了什么知识点？那么我们是有哪些应用？ 我们都学到了哪些知识？学到了鱼弦定律和推论， 然后有什么应用呢？ 解决了无法测量的生活中的问题，然后解决了三角形中解三角形中位置的什么呀？位置的边和角位置的量，哎，非常好，坐下。然后他体现了哪些数学思想， 我们这节课都用了哪些数学思想？哪位同学来回回答一下？好，大家好，特殊到一班，特殊到一班的时候啊，我们呢通过几个公式，直角三角形，正角三角形，锐角三角形，是不是推广了一班啊？ 测试到一般还有吧竖形粘合，我们每一个题之前是都先画一画图啊，竖形粘合，然后还有吧类比，我们有没有类比啊？有吧，知道 a 方类比出了 b 方，是吧，知道 cosine 类比出了 cosine， 测出 t。 好， 这样 我们这节课所所学的知识点，那么以及的题型，以及的数学思想，还有培养了我们数数学抽象，逻辑推理，直观想象，还有数学运算的，我们的数学的核心素养。 我们今天的作业必做的课后练习，课本第四十页的第一题和第二题，做到作业本上，然后选做题，我们这节课就到这，下课， 老师再见。

晚安玛卡巴卡。那今天给大家讲一下这个正弦定律跟余弦定律啊，很多同学不清楚什么时候用正弦，什么时候用余弦，我们来看一下。在这之前，首先你需要把这个正弦定律跟余弦定律这个公式去给它背会，然后看啊，三角形 a、 b、 c 中 这个 a 对 的，这个边叫小 a， b 对 的边叫小 b， c 对 的边叫小 c， 大 a、 大 b、 大 c 和小 a、 小 b、 小 c。 然后这个二 r 是 什么东西？二 r 就是 它有一个外接圆，外接圆半径，这个时候如果题中给了你啊圆，或者给了你半径，你会用到这个，然后其他的时候是不用的啊，加时候用不到的。然后已知两边一角或已知两角一边的时候用正弦来，什么意思啊？看， 我现在就是拿这个这个来看啊，你看现在这里是不是用四个位置数？是不？小 a、 小 b、 散 a 和散 b 是 四个位置数，一共四个位置数。那只要你其中知道了三个的话，最后那一个是不就可以求出来了？也就是说，我知道了小 a， 知道了小 b， 我 知道了大 a， 那 我散 b 是 不就能求出来了？这叫已知两个边一个角， 或者是或者是如果我知道了大 a、 大 b， 知道这两个角了，我任意知道一个小边，我最后那个边是不能求出来，这叫已知两角一边。也就是说什么呢？你最终能把它凑成一个整体，你就能用，对吧？我只要能凑凑，凑成一个整体就能用了。咱们看到题啊，来立一 看，那这里边说了，给了小 a 了，给了小 b 了，给了大 b 了，求大 a 是 不？小 a 小 b 大 a 大 b， 是 不是凑成一套了？凑成一套，用正弦定理来， a 比上三 a 等于 b 比上三 b， 那 我们就代入就行了。小 a 是 二三 a a 不知道对吧？写下， 等于小 b 是 一比上三 b， 三十度是二分之一，那这里十四一乘三 a 就 直接等于一九十度。 ok 了，来，再来看一种，来看这道题。来， 小 a 小 b 大 a 大 b。 哦，小，小 b 大 a 大 b， 是 不是又凑成一套了？来，继续啊。嗯，小 a 比上散 a 散四十五度是二分之根号二，等于小 b 根号三。比上散 b 十字，再乘根号二倍的根号二倍的散 b 就 等于二分之根号二，乘以根号三， 这根号二是不是就能约了？所以算 b 算出来是二分之根号三，这里需要注意一下。算出来这个以后，它是不可能是六十度，也可能是一百二十度，这里有两个指，有两个指，这里需要大家注意一下啊，这是正弦定律。来，咱们再往后看 来看看题型。二，小 a 小 b 大 a 大 b 是 不配套了，配套用正弦来， a 比上三 a 三 a 三六分之 pi 是 二分之一， 等于小 b， 不知道要求的比上散 b。 哎，你说这个散 b， 我 不知道呀，它不两个未知数了吗？你注意看，这里给了一个 cosine b， 求散 b 是 不是要同角的三角函数？同角三角函数，那咋求散 b 方加 cosine b 方等于一呗。那散 b 方就应该等于一，减去 cosine b 方 就是九分之四，所以这个散 b 开个根号是不等于三分之二了啊？这里是三分之二， 那我们十字继续交交叉，一乘二分之一倍的 b 就 等于三分之二乘以三就是二，那么 b 不 就是四吗？选 c 啊，只要是你能凑成一套的，你就直接能用正弦就出来就行了。来第三种题型， 第三种题型叫题中出现了小一小 b 的 这个比例关系，或者是出现了这个散 a 散 b 散 c 的 这个比例关系。出现这个的话，直接我们换算去代就行了。你看啊， 你看这个，哎，你看这个，他横着比是不是也行？这个小 a 比小 b 比小 c， 横着比是不是等于三 a 比三 b 比三 c， 所以 这种题出来的话，你直接去代入就行了。小 a 小 b 小 c 是 四三五，那我就三 a 比三 b 比三 c 也是四三五，那让这个三 a 就 等于四，让这个三 b 就 等于三，让三 c 就 等于五，他就等于二乘以四减三除以五，对吧？这八减三五，最后等于一直接代入就行了， 直接换算代入就行了。来，我们再看一道题，看他给了一个比例关系，对吧？那我直接化成小一小 b， 那 就是小 b 加上小 c， 对 吧？散 b 就 小 b， 散 c 就 小 c 吗？他等于散 a 就 小 a 吗？就二倍的小 a。 现在又说这个三角形周长是三，也就是 a 加 b 加 c， 他 一共是三， 你看这个 b 加 c， 这 b 加 c 能带进去吗？也就是三。哎呀，这屏幕咋咋的了，也就是三， a 就是 三，那 a 不 就是一吗？ a 是 一选 a， 好 吧。哎呀， 来，我们再来看看这个余弦啊，余弦定律，那啥时候用余弦？余弦就是已知三边就是我如果其中给了你小 a、 小 b 小 c 了，这不都给了吗？直接就能求出来。这个你就用余弦，或者是给了两个边一个角，求第三遍。比如说给了这个角了，对吧？给了任意的两条边了， a， c 给了，那不就剩这个一个位置数了吗？ 这种情况下就用余弦，它能配套出正弦，就用正弦。看题啊。来 来，第一种比较简单，直接套公式，小 a 给了，小 b 给了，小 c 给了，求角 b， 那 直接余弦定里套公式 cosine b 是 a 方加 c 方减 b 方除以二， a， c 往进带， a 是 一，加上 c 方， c 是 二倍根号， c 方不就八吗？ b 是 根号五， b 方就是五，底下是二一 二倍根号二，对吧？上面出来四，下边出来四倍根号二，所以约完根号分之一，二分之根号二。那啥时候这个 cosine 等于二分之根号二嘞？就四十五度嘛。 再往后啊，做一个这个两边一角。求第三边的还是小 a， 小 b， 小 c， cosine a， 对 吧？只用于弦吧。那 cosine a 就 应该是 b 方加上 c 方减 a 方除以二 b， c 是 吧？它等于多少？它等于四分之一，就是解方程呗。说白了，四减十六是负十二， c 方减十二除以四， c 等于四分之一，四约一下子，那 c 方减十二就等于 c 呗。 得到一个关于 c 的 二次方程， c 方减 c 减十二等于零，一个三，一个四， 那 c 就 等于负三或四， c 不 可能是负的呀，所以 c 等于四呗，对吧。这种题就直接套公式解方程就好了，比较简单啊。然后我们来再看一种题型来 第六种题型啊，说这个题给了一个 a、 b， c 的 一个关系啊，就是长成这样的，你一看，这不就余弦定理那个样吗，对吧？那这种题肯定用余弦定理啊，他问的是 c， 那 咱们就求 cosine c cosine c 正常来写的话，应该是 a 方加 b 方减 c 方除以二 ab， 对 吧？来看， 那这个 a 方加 b 方，我是不是能替一下子？ a 方加 b 方，是不是就应该等于 c 方减 ab 啊？那把这个 a 方加 b 方， t 乘 c 方减 ab， 就是 c 方减 ab 减 c 方，这 c 方就没了，就是负 ab， 下边是二 ab， ab 又约了，所以它等于负的二分之一。 cosine 啥时候能等于负二分之一啊？ cosine 等于二分之一，不就六十度嘛，那负二分之一不就一百二嘛？选二 b 来，咱们继续啊。 然后还有一种题型是判断三角形的面积的，那这种判断三角形的面积就是你去算这个最大的角或者是最大的边，它的余弦值算完以后跟零去比大小，如果小于零，就说明在二象限是个钝角，如果等于零就直角，如果是大于零就锐角，它最大的角都是锐角，它肯定还是锐角， 对不对？来，咱们搞一下这道题。现在我要求这个三角形形状，那你看这个 ab 就是 小 c 就是 五， 这 bc 就是 小 a， 是 六，这个 ac 就是 小， b 就是 八，对吧？那现在我要找最大的角或最大的边，那不就是 b 吗？所以我就算 cosine b， cosine b 是 a 方加 c 方，六的平方加五的平方减八的平方除以二乘五乘六二 ab 二 ac， 对 吧？来算一算 老晃六六三十六五五二十五八八六十四，对吧？下边先不管，你先看上边，上边出来是六十四减六十四，它等于零了。分母不用算了啊，直接因为分母 b 是 正的，所以你只算分子就行了，它等于零了，那么它就是一个直角三角形。 好，最后啊，我们搞两道综合题，来玩一下。综合题啊，综合题来看，看到这一堆堆，是不是想到鱼弦定里了？肯定用鱼弦，这个柿子不就长得那个鱼弦样吗？来，那我们看他这 b 方 c 方，他俩一起的，那就找这个落单的，那 a 肯定是算 a 靠近 a， 它等于 b 方加 c 方减 a 方除以二 b c， 你 看现在 b 方加 c 方， b 方加 c 方给了它等于这个，那把这个就换一下，对吧？就是 a 方加根号三 b， c 减一方，那 a 方是不是减没了，就剩下根号三 b， c 了，下面是不是就二 b c b c 一 约剩了一个二分之根号三 来，现在 cosine a 算出来了，你看三角形外接圆的面积，我说了，它只要不提到圆就不用 r， 它提到了肯定要用外接圆的面积，是不是应该是 pi r 方呀？圆的面积 pi r 方是十六 pi， 那 这个半径是不是算出来是四了？好了，半径算出来了，跟半径有关系的公式是啥？公式是不是正弦定律啊？正弦定律。哎呦， 正弦定律，你看现在我要求的是小 a， 我 知道了 a 角还有 r， 那 这个东西是不就是 a 比上三 a 等于二 r 是， 咱们提到了这个，这个半径你就得用呗，对吧？那它不可能无缘无故给你。那现在问题来了，我 cosine a 算出来是二分之二三，是不还得算 cosine a 二分之二三， a 就 二分之一吗？所以 a 就 除以二分之一等于二， r， r 是 多少？ r 四，所以这里就是八， a 就 等于二分之一乘以八等于四选 c， 这是比较综合的题目啊，来最后一道， 来，再来最后一道综合题来看一下啊。现在又给了，先看小 a 小 b 大 a 哦，大 b a a b b 这种是不能凑成一个正弦定理了。好了，我们来 a 比上三 a， 三 a 不知道，那 cosine a 知道，三 a 也好求，对吧？那三 a 的 平方就应该是一减去 cosine a 的 平方呗，也就是一减去九分之一等于九分之八，那三 a 不 就是三分之二倍根号二吗？所以三 a 出来了， a 比散 a 等于 b 比上散 b， 散 b 是 未知那个未知数，求这个呗。然后十字乘一下乘出来，这里是四倍根号二等于四倍根号三倍的散 b， 那 散 b 把这四约一下，就是根号三分之根号二， 对吧？散 b 是 根号三分之根号二。那么我们来看，哎，我今天这个电脑总闪散 b 是 根号三分之根号二啊，记住， 散 b 算出来是根号三分之根号二。现在我要求的是 cosine 二 b， 这是一个二倍角公式，涉及到二倍角公式，一共有三个，对吧？ cosine 方减 cosine 方二， cosine 减一，一减二散方。我现在知道了散 b， 那 我用哪个比较好？是不是直接用一减去二倍的散 b 方？是不用这个公式会比较快一些， 这不就 cosine 二 b 吗？就等于一减去二乘以散 b 是 根号三分之根号二，那散 b 方就是三分之二呗，对吧？ 一减三分之四，负的三分之一选此 b， ok， 学会了吗？中心思想啊。再给大家说一下，你怎么去找正弦，怎么去找余弦？什么时候用正弦，什么时候用余弦？ 他其实说白了就是在我这一个框框里，我如果都能对住，比如说 a、 a、 b、 b 我 都对住了，或者是在这一个框框里 b、 b、 c、 c 都对住了，那你就用正弦，如果没对住，比如说给了你个 b， 给了你个 c， 给了你个角 a， 像这种的，它 a、 b、 c 都有了，它不是 a、 b、 b、 b、 b、 c、 c 的， 它是 a、 b、 c 都有的。这种情况就用余弦，好吧？学会了吗？

让你永远忘不掉余弦定里由向量的三角形法则，向量 b、 c 等于向量 a、 c 减向量 ab， 再对两边平方，可得向量 b、 c。 平方等于 a、 c 与 ab 差向量的平方。 进一步计算并将向量 b c a、 c ab 模长代入，便可以得到我们所熟悉的余弦定里的公式。 现在大家知道为什么与弦定为被放在了平面向量章节的最后了吗？理解公式才能牢记公式！下课关注学习有啥用？学更多有用的数学！

这节课呢，继续来介绍余弦正弦定力的应用啊，进一步的巩固与提高啊， 重要的知识清单啊，实际测量中的有关名称以及术语。一个是基线啊，上节课我们介绍的在测量中根据测量需要适当确定的线段，就叫做基线 啊。呃，比如说测河对岸啊，两点之间的距离的时候啊，这河对岸呢，我们又啊，没办法过去亲自测量啊，那么就在河 啊，自己这一端呢，做一个基线仰角啊，这里有个铅垂线啊，竖直的啊，竖直竖直向下的啊，竖直的这么一个叫铅垂线。所谓的仰角呢， 就是和水平线之间向上的仰，表示抬头的意思啊，这个角度 在同一圈铅垂平面内，是现在水平水平线上方时与水平线的夹角啊， 什么叫辅角呢？哎，这就是和水平线下方之间的夹角啊，在同一铅垂平面内，是现在水平线下方时与水平线夹角呢，称为辅角啊。 嗯，方向角啊，方向角呢，它，我们看这个图示啊，它是以指正南方 为死边啊，转向目标方向线所形成的角啊。这个呢，不用特殊，特殊是记啊，大概知道一下，就可以 从指定方向线找到目标方向线啊，这是指定，从正南方指定，这就是，呃，南偏西啊，呃，六十度角 方位角，是指从正北方按这个顺时针啊，从正北的方向线按顺时针到达目标方向线的这个夹角。 我们来，呃，先做一道小小的判断题啊，第一个，已知三角形的三个角能够求其三个边啊，这个错误啊，我们运用这个，无论是运用正弦定力还是余弦定力啊，都必须至少要知道一个边 的长度，二，两个不可到达的点之间的距离，无法求得错误啊，我们上一节课的例题当中啊，核对按两个不可到达的两个点之间的距离啊，我们啊，可以在我们这一按啊。呃， 测量出一段长度作为基线啊，是可以测量的啊，方位角和方向角是一样的啊，不一样啊，错了， 若 p 在 q 的 北偏东某个角度方向上，则 q 在 p 的 什么方向啊？那么这里我们可以画个图啊，说 q 在 p 在 q 的 北偏东，所以它的主体是什么？主体是 q， 先画 q 啊，然后画一虚线。方向线啊，说 p 呢 啊，这是一个 q 点啊，在 q 的 北偏东啊，那这个是北偏东往东偏 四十四点几度啊，指的是这个角， 那么说 p 在 这 p， 那 就 p 是 在啊，在这里啊，随便找一点，这就表示啊， p 呢，是在 q 的 北偏东啊， 四十四点四十四度五十分啊，这个方向上。那么现在说 q 在 p 的 什么方向上，这个时候主体呢，就转化成了 p 了 啊，主体转化为问 q 在 它的什么方向，那这这这一看，这是南偏西啊，啊，因为这两个角是内错角啊，南偏西，同样的角度， 所以这题应该选 c， 从 a 处望 b 处的壤阳角为阿法啊，从 a 处开始，从 a 处它有个阳角，假设这是 a 处，那么它有个水平线啊，望 b 处的阳角， 这么望过去，这叫阳角啊，这是阿法角啊， 望 b 处啊，那 b 可能是就在这个阳角某一个位置上啊。那么从 b 处望 a 处的俯角，从 b 处俯视往西看 a 的 时候，它的俯角实际上也是，这里有个水平线是指这个角 啊，那么它俩的关系是什么关系呢？它俩这一看就是相等的关系啊，所以选择 b， 如图，已知 a、 b、 c 三 d 啊，其中 a、 c 两 d 被一个弧隔开了啊， a 和 c 两 d 被弧隔开，测得 a、 b 等于三 啊，这个比我们啊上节课啊所做的这个例题要简单多了啊，这是三啊， b 角呢？是四十五度 c 角。

我们现在学习第一个内容，正弦定律。如何理解正弦定律我认为就是边和正弦结合，所以叫正弦定律。比如说我们一架于一个三角形，我们这次开始要学边和角这一段关系。第一个边和正弦结合就是我们要学习的正弦定律。而正弦定律的内容就是小 a 比上， a 比上，它对应到下一面， 等于小 b 比上对角线， b 等于小 c 比上对角线， c 等于二 r， 然后十个角是 r 是 外径，圆半径。然后下一个呢？学习的就是余弦定律。边和正弦结合叫余弦定律。而我所选的方式叫口三 a 等于先选余弦，这边全换成点，体现的是边和余弦结合，口三 a 等于二 b， c 分 之 b 方加 c 方减 a 方， 那头 c， b 呢？这块教大家一个口诀，你看 a 分 母是 b， c， b 方加减一方，那你头在 b 分 母是二倍呢？ a， c 分 之 a 方加 c 方减 b 方啊，那头在 c， 大家都会了二 a， b 分 之 a 方加 b 方减 c 方，这就是余弦距离。 然后最后一个我们要学习的就是三角形面积。我们初中学的三角形面积都是底乘高除以二，底乘高除以二。而高中又有一个新的面积公式， s 方形面积，它可以用边和三角形结合，就是二分之一 ab 三角形。 有它之后，你就立马想到还等于二分之一 bc 三角形。 b 以上就是正弦对应，余弦对应和三角形面积。

对于我们高一的同学来讲，我们刚刚经历过了一个生死的考验，是什么？就是三角函数，经历了三角函数之后，我们又开始学习了向量，但是同学们有没有发现呢？在向量之后，有一个章节依然会很难，是什么叫正弦定律和余弦定律。于是呢，我整理了一部分题型，来帮助大家去很好的理解 这个视频，我将从正弦定律与余弦定律的五大题型来给大家去讲解。那么我们从正弦定律的运用与 弦定律的运用，以及三角形当中的面积公式运用以及正弦定律的解答题。最后一个是余弦定律的解答题。同学们，如果你到现在还没有开始关注王老师的，赶紧点赞收藏起来。接下来我们来讲解第一个视频。 好，我们首先来看第一道题，在三角形 a、 b、 c 当中，已知 a 加 b c， 下面是三 a 加三 a， b 减去三 a c， 然后等于四， 要求的是外接圆的直径。那么这道题首先它考的是什么？我们首先得知道这道题它考的就是正弦的定义，那么还记不记正弦的定义呢？显而易见， a 比上 sign a 等于 b 比上 sign b， 那 等于 c 比上 sign c， 那 以为这样就结束了吗？没有，它还等于什么呢？ 等于二 r。 很多人不知道这个二 r 是 什么东西，其实这个地方的 r 就是 外接圆的直径，而我们这道题要求的就是这个直径，注意是直径，所以它其实求的是什么？ 它求的就是二 r。 如何通过这个公式来求出上面的这个结果？我们看一下，我发现其实 a 就 等于 sign a 去乘以二 r， 同理 c 就 等于 sign c 去乘以二 r。 这个时候我们的分子上原本是 a 加 b 减 c 就 变成了这三个相加，那么这三个相加的时候，我们发现了都有二 r， 所以 可以把二 r 提取到外面去，里面就变成了 sign a 加上 sign b， 然后减去上一 c。 那 同学们会发现一个问题啊，我的分子上化简成为这样的形式之后，他跟分母上的这个整体是不是直接就被抵消掉了？所以原本的这么一个式子 被我化简成为什么就变成了二啊？就等于四。注意了，有同学会自作聪明，那老师我知道啊，等于二，所以这个题答案是二，这就是解题不够仔细了，注意，他要求的是直径，直径就是二啊，所以你求出来等于四，答案就可以，写四就可以了。

嘿，各位同学，余弦定律大家都知道吧，它是怎么来的你知道吗？咱今天呢，用向量法告诉你它的原理。来来来，标题，先靠边站，咱得给正主腾个地啊。说好了，先画一个三角形 abc， 就 这个三角形，别看它简简单单，一会啊，能给你整出一个大公式出来，边 a 边 b 边 c。 标好了啊，这个角 a 呢，黄色的，你记住了，接下来呢，是关键操作了，从 a 点出发，咱画两个向量 ab， 这个绿的呢，咱管它叫做向量 bc， 这个蓝呢，咱管它叫做向量 b。 为啥这么叫啊，因为 ab 的 长度就是 c 呗。哎，这不就对应上了吗？ 好，图画完了，咱们往左边挪挪来，咱们先设一个向量 a， b 等于向量 c 向量 a， c 等于向量 b。 哎，这就是给咱这个演员分配角色吗？ 开整 b， c 等于多少呢？肯定是 a， c 向量减去 a， b 向量，也就是 b 向量减去 c 向量啊，这就咱们向量的减法呀。现在啊，咱给这两个设置两边取模的平方夸嚓一展开，哎呀，就 a 方就等于 b 方，减去二 b 与 c 向量的双击加上一个 c 方啊， 就这么死活啊，中间那个二倍的 b 向量点乘 c 向量，就这个部分呢，这不是数量积吗？哎呀，两个向量的数量积等于它俩的模相乘，再乘以甲角的余弦值。所以说，这个 b 向量的点乘 c 向量等于 b， c 乘以口算 a， 也就是 a 的 平方 等于 b 的 平方，加上 c 的 平方，减去二倍的 b， c 乘以口算 a 呀，余弦定律就这么出来了，就是一个向量的减法，加一个点积的公式，熄火。

哈喽，同学们大家好，我是数理化白老师，今天继续和大家分享高一下学期期中必考题型呃，有关于解三角形，用正弦定力和余弦定力。那么接下来我们看给出的第十七题， 呃，题中说小 a、 小 b、 小 c， 分 别是角 a、 角 b、 角 c 的 对边，然后给出了小 a 等于根号七，小 b 等于二，然后给出了 sin c 等于 sin b 加上 sin 对的 a 减 b 啊，让我们求一下角 a 啊，还有就是求边 c， 还有就是让我们求下 cosine 二 b 减去三分之派的值是多少。嗯，我们这种题其实可以先画一个简单的一个图啊，就根据已知条件 呃，三角形 abc 啊，题中给的是小 a 等于根号七，然后小 b 等于二，然后又给了一个呃，有关于角的一个关系式啊。那么接下来我们应该如何的去 化简啊？主要是我们先看出给出的三 a c 等于三 a b 加上三倍的 a 减 b， 这个要需要化简啊。我们题中首先看第一问，他要求角 a， 所以 最后我们要呃保留角 a， 那 我们看下题中呃应该把 c 给换掉啊，因为这里面 c 出现的次数最少，或我们先统一一下角，所以我们看一下第一位写在这了。 那么 sin c 等于 sin b 加上 sin 括号 a 减 b， 那 么 sin c 其实多少呢？就是 sin 派减去 a 加 b 的 和， 对吧，然后后边是 sin b 加上 sin 倍的 a 减 b， 然后根据诱导公式 sin 倍的派减去 a 加 b， 那 么它其实就是多少呢？ sin a 加 b， 哎，后边还是 sin b， 然后加上 sin a 减 b， 然后我们用上个学期所学的呃 sign 的 合脚关系把它打开， sign 的 打开是 sign， 扣扣 sign 啊，所以就是 sign a， 扣 sign b， 对 吧？然后加上 cosine a， cosine b 啊， cosine cosine 加 cosine， 然后后边是 cosine b， 然后加上是 cosine a， cosine b， 然后减去，呃， 减去扣散影 a， 散影 b 啊，那么左右两边都有一个散影 a， 扣散影 b 可以 消掉啊，然后把扣散影 a， 散影 b 移到前边，就是二倍的扣散影 a， sin b 等于 sin b， 呃，在三角形里面就是 sin b， 它不等于零，对吧？因为 b 它是一个零到一百八的角啊，这样的话，我们就可以把 sin b 也消掉了， 那也就是说二倍的 cosine a 等于一，那就是 cosine a 等于二分之一。那我们要求的这个 a 角啊， 啊，他其实是大于零，小于派的啊，这样的话 a 他 就应该等于三分之派啊。所以第一问，他应该是三分之派，那我们其实可以添到这了，变成已知条件了，三分之派啊。那第二问，让我们求一下， 呃，小 c 是 多少啊？这小 c 需要我们来求，那接下来我们其实知道了两个边还有一个角啊。那第二问吧，我们直接用余弦定里就行啊，直接列一个谁啊？ 直接列一个 cosine a， 它应该等于什么呢？等于的是 b 方加 c 方减去 a 方，然后比上二 bc， 对 吧？那我们把这个稍微代一下，就是 cosine 三分之派啊，应该等于二的平方 加上 c 的 平方，减去根号七的平方，然后比上二乘以 二啊，然后去二二 b c 嘛啊，再乘以 c， 然后我们去解这个啊，自己去解一下就行了，这个解出来应该是 c， 应该等于三啊，所以这块我们写上三就可以了。 那这样的话，我们其实这个三角形里面三条标都有了啊，然后角也有了，主要我们看一下第三问啊，那么第三问让我们求一下。呃，抠塞 二 b 减去三分之派，我们可以把这公式打开，抠塞打开是抠，抠塞二 b， 抠塞三分之派，然后应该是加上 散也二 b 啊，然后是散也三分之派，那这个里面我们其实还缺少的就是散也二 b 和扣散也二 b。 那 么接下来我们看一下题中，呃，我需要知道 b 角的函数值，那么现在题中三条边都有了，我们其实可以用一下鱼线定里，先求出一个谁啊？先求出一个扣散隐 b， 因为扣三 b 他 不是等于 a 方加 c 方减 b 方比上二 a c 吗？然后我们把数代一下，这可以求出是七分之二倍，根号七，这样的话我们再把三 b 求出来，三 b 可以 根据 同角的平方和等于一，那么他就等于一减去根号下扣三方 b， 他 就应该是。 呃，七分之，刚好二十一。带进去之后，这样的话我们就可以求三也二 b 了。三二 b 应该等于二倍的三也 b， 扣三也 b 啊，这是我们的二倍角公式啊，这样我带起来应该是四倍，刚好三比七。而扣三也二 b 等于多少呢？根据二倍角公式，应该等于扣三也方 b。 这几个公式我们必须要非常熟悉啊。 七分之一，然后我们带入到刚才这个上面这个式子里面，然后我们把这两个值 刚才算的那个带到这个里面啊，那也就是多少呢？ cos 二 b 那就是七分之一啊，乘以二分之一了，对吧？然后加上七分之四倍根号三，乘以二分之根号三，这我们算出来啊，答案应该是 十四分之十三啊。那么这个题的难度其实和我们高考的那个是，呃，高考的第一道大题难度是一样的，考的就是正弦定律和余弦定律 来解三角形啊。好吧，哎，点赞加关注，解析有思路。

好，正弦定的解答题我们已经讲过了，那么余弦定的解答题我们怎么能错过呢？接下来看一下。在三角形 abc 当中， b 方加 c 方减 a 方，再加上 b， c 等于零 三以 c 是 二分之根号二，并且 a 等于根号三。首先第一个要求的是角 a 的 大小，那如何来求角 a 的 大小呢？首先我们看到这个式子是不是很熟悉，按照以往的经验，它一定是跟余弦定律相关的，于是我们就把它换一下，我们把它变成 b 方，加上 c 方减去 a 方， 直接等于负 bc， 那 这个跟什么有关系呢？我们画一个三角形就立马知道了。我们把 a、 b、 c 画出来 abc， 那 这边是小 a、 小 b 和小 c， b 方加 c 方，很显然是我们这里面的角 a， 所以 cosine 角 a 就 等于 b 方加 c 方减 a 方，再除以二 bc， 而我们的 b 方加 c 方减 a 方，正好等于负 bc， 所以 等于负 bc， 再比上二 bc， 那结果就是负的二分之一。好， cosine a 等于负的二分之一，很显然这个 a 一定是一个钝角，所以经过计算，角 a 就 等于三分之二。派 好，这是我们的第一小问，那么在第一小问求出来的前提下，再去求第二小问，其实就会很简单，因为我们已经知道 角 a 等于三角状牌了，那么 s 三角形 a， b， c 的 面积，它就可以等于二分之一的 b， c 去乘以一个 sign a 就 可以了，那么我们知道 sign 三角状牌可以直接往里面带，我们观察到只有一个 a， 我 们的 b 和 c 都不知道怎么办？这个时候不要慌， 那么这个时候我们可以尝试着用正弦定来解决，比如说我们这里面知道了 a， 那 我们知道 a 比上三 a 是 不是等于 c 比上三 a 啊？那我们知道 a 是 等于根号三三 a 呢？我们看到三 a 三分之二怕也等于多少呢？ 等于二分之根号三，而我们的 c 是 我们要求的三 a， c 是 等于二分之根号二，所以这样一来，我们就可以求出 c 等于 根号二。好，那这个时候我们就会发现，因为我们已经求出 c 来了，我们也知道了 a， 我 们从图上会观察一下 a 和 c， 正好它的角是 b， 所以 我们应该是二分之一的 a， c 去乘以三以内 b， 但是题目当中并没有告诉我们三以内怎么办呢？那这个时候我们的三以内，咱们可以直接通过三以内等于三以内 a 加 c 来表示，这个时候我们直接用公式写成三 a 乘以 cosine c， 加上 cosine c 去乘以 cosine a。 好， cosine a 等于二分之根号三。那么 cosine c 呢？咱们可以通过 cosine c 来求出，经过计算， cosine c 正好也等于二分之根号二，加上 cosine c， 那 cosine c 是 二分之根号，往里面带 三 a 正好等于负二分之几，所以乘以负二分之几。最后经过计算，结果等于四分之根号六，减去根号二好。所以最后三一 b 求出来之后，把三一 b 的 值带到面积里面，最终我们就可以求出答案。最后答案我写下，等于四分之三减去根号三。

今天我们来学习解三角形当中的余弦定也。首先我们来看一个思考题，他说给定两边及夹角三角形是唯一确定的，那在我们三角形 a、 b、 c 当中， 有角 a、 角 b、 角 c， 他 们所对的边分别为小 a、 小 b、 小 c。 那 我们怎样用小 a、 小 b 和角 c 来表示我们的小 c 呢？同学们，我们是否可以将我们的几何转为向量， 分别表示出我们的 a 向量、 b 向量以及我们 c 向量。最后我们 c 向量是不是可以用我们的 a 向量减去 c 向量啊？那求小 c， 也就求我们 c 向量的模长， 那怎样求它的模长呢？就是将我们 c 向量进行平方平方之后，就得到了 a 向量减， b 向量的差乘以 a 向量减， b 向量差。 最后我们整理就得出了我们的式子，也就用 c 向量的平方等于 a 向量的平方加 b 向量的平方再减去二、乘以 a 向量的模， b 向量再乘以扩散 c， 这就是我们的余弦定理。那我们用了哪三步呢？首先我们第一步是转化，将几何转化为向量，第二步是运算向量数量极限的运算。第三步就是将我们向量又转化为我们几何。 那除了用我们的向量法来证明我们的圆定力，我们还可以用坐标法来证明。那用坐标法，首先我们要建立直角坐标系，那建立直角坐标系之后，我们要找出 a 点、 b 点、 c 点的坐标， 找出它们三点的坐标之后呢，我们要求小 c 的 长度，也就是线段 a、 b 的 长度，线段 a、 b 的 长度，我们就用两点之间的距离公式来求，就等于什么呢？就等于 b 被扩散， c 减去 a 的 平方，加上 b 被扩散， c 减去零的平方。那同学们，你们知道 b 乘扩散 c 是 怎么来的吗？ b 乘扩散 c 就是 a 的 重坐标， a 的 重坐标就等于用我们的 a， 它的重坐标比上它小 b 再处再就等于就等于什么？就等于扩散 c。 同理，我们也可以求出它的很重坐标。好，我们同理也得出了 c 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方减去二倍 ab 乘扩散 c。 那除了用限量法，坐标法，我们还可以用几何法来证明。那怎样用几何法来证明呢？首先我们延长 bc， 然后过点 a 做 bc 的 垂线交于点 d。 那 小 c 的 长度是不是有勾股定律啊？对， a 大 的平方加上 b 大 的平方，那我们现在就要求 a 大 的长度和 b 大 的长度。 a 大 的长度就等于 a 大 比上小 b 是 不等于三十 c， 那 我们的 a 大 就等于 b 乘以三十 c。 同理，我们求出 c 大 的长度。最后我们也得出了同样的公式， c 的 平方等于 a 的 平方，加 b 的 平方减去二倍 a， b 再乘以扩散 c。 好，我们理解下什么是余弦定力呢？余弦定力，三角形中任意一边的平方等于其他两边平方和减去它们什么？夹角的余弦及的两倍及 a 的 平方等于 b 的 平方加 c 的 平方减去二倍 bc 乘 cos a。 同理， b 的 平方和 c 的 平方也可以这样表示。 那鱼线定理的应用在哪里呢？我们已知三角形的两边及夹角，我们就可以求第三遍，用我们的鱼线定理来求第三遍。好，那这里有两个故事，是 o 七李德和我们韦达这两个数学家对于我们鱼线定理的一个故事，同学们可以看一下。 那接下来我们要观察一下鱼形定律，你是否发现与学过的某个定律相似。同学们，刚才我们用几何法的时候，是不是运用了一个什么勾股定律？对，我们鱼形定律和我们勾股定律特别的相似， 然后勾股定律就是我们鱼形定律的一个特例，而我们鱼形定律呢，是我们勾股定律的一个推广。好，同理也是个故事。这个人是我们中国的一个数学家，他也证明过我们的鱼形定律。 那应用一些定律我们还可以解决哪些解三角形的问题呢？首先我们知道的我们是两边及夹角，我们就可以求另一边，那我们已知三个边呢？我们已知三条边，我们就可以求他任意的任意的角，这就是他的两个形式。 好，从余弦定律及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成我们可定量计算的公式。那同学们，我们先来看道题，他说 在三角形 a、 b、 c 当中，小 a 等于七，小 b 等于八，锐角，锐角 c 呢？满足三角 c 等于十四分之三倍，根号三求门扩散 b。 同学们， 我们是不是得到两边其他的夹角啊？我们是可以运用余弦定力来求啊。首先我们知道三角 c， 我 们是不要运用扩要求出我们的扩散 c， 因为 c 是 锐角，所以我们 c 扩散 c 肯定就是一个正正的。 最后我们得出了我们三 c 等于三，然后扩扩散 b 呢，就用我们的什么已知三边求它的夹角。 好，我们看列二，在 a、 b、 c 当中，已知 a、 b、 c 所在边为 a、 b、 c， 其中 a 等于多少 b 等于多少 c， 等，它给出来了一、三边，我们可以求什么呢？是不是可以求任意角？我们首先 把它的三个角表示出来，扩散 a 表示出来，扩散 b 表示出来，扩散 c 表示出来，我们时刻就解释出来了。其次就是余弦定在我们生活当中应用， 首先就是我们人脸识别功能运用了我们鱼形定理，还有图像修复以及移动 gdp 等等。还有什么我们的北斗导航定位系统也运用我们的鱼形定理，这就是我们今天所学习的鱼形定理。

我们来看鱼弦定律这一个模块，那鱼弦定律这一个模块呢，我们呀将其分为六个主要的基本层次，第一个呢是定律的推导， 二三四五呀，这几个模块，虽然我们做了一个细分化的处理，但是呢，他们说的内容啊，其实是同一个内容，就是鱼弦定律的简单应用。 到了第六个模块呢，涉及到余弦定律与三角函数或者是基本不等式的综合应用，那这个一个点呢，难度呢？相对而言啊，复杂那么一点点， 但是呢，也只有那么一点点。首先呢，我们来看余弦定律的简单的推导。呃，什么是余弦定律呢？在三角形 a、 b， c 之中， 我们假设呢，这个 ab 向量呀，是 c 向量，这里的这个 ac 向量呢，是 b 向量，而 bc 向量呢是 a 向量。那么由平面向量的向量的限性运算知识我们知道， b 向量减去 c 向量就等于 a 向量。对这个式子呀，我们两端同时进行平方，那左边呢，就会变成 b 的 平方， 加上 c 的 平方，再减去二倍的 b 的 长度， c 的 长度乘以一个他们所加的角呢是角， a 再等于 a 向量的平方，而由于向量的平方呢，它就表示一个线段的长度，所以呢，左边我们就可以写成 b 方加 c 方，然后呢，把 a 方给它挪过来，那么它就等于二倍的 b 向量的长度乘以 c 向量的长度，再乘以一个 cosa。 这样的话呢，我们就得到了一个余弦定的表达式的一个基本内容， b 方加 c 方减 a 方等于二 b， c 乘以一个 cosa。 当然了，对这个表达式呢，我们还可以进行一个变形处理，变形处理之后就是 cosa 等于 b 方加 c 方减 a 方，比上一个 二 b c， 那 这个形式呢，是很多同学呀，更容易接受的一个基本形式。同理呢，我们也可以对角 b 以及角 c 呢进行一个简单的推导，那这呢就是鱼弦定律的这个推导， 那我们推导出了鱼弦定律的这个基本形式，这个定律它是怎样进行应用的呢？ 想要搞清楚他是怎样进行应用的，我们就要抓住鱼弦定律的关键。其实呢，鱼弦定律啊，他一共包含着四个要素，这四个要素分别是三个边以及 一个角。我们面对的这个表达式呀，其实就是一个简单的方程，而这个方程之中呢，涉及到了四个要素，分别是三个边和一个角。那我们想要使用这个方程， 有一个非常非常简单而又容易理解的这么一个策略，那就是四个要素之中，只要你知道其中三个，一定可以把最后一个给他求出来，那这种用法呢，我们就称之为知三求一。 举一个非常简单的例子，我们来看这样一个题目，角 a 等于六十度， c 等于二， b 等于一，问 a 边等于多少？ 那由于我已经知道了角 a 等于六十度，然后呢，我就可以使用余弦定理 cos a， 它呢就是 二分之一，由余弦定律可知， cosine 呀，等于 b 方加 c 方减 a 方比成一个二 b c， 由于 c 边和 b 边我们都知道，只有 a 边不知道，那么我们把已知量给他带进去，就是四加一减 a 方比上一个二，乘以一个二，再乘以一个一，这里呢，我们不用直接去算， 写完了之后呢，对这个位置和这个位置呢进行一个约分，然后一向左边呢，就是二等于五，减去一个 a 方，所以呀， a 方自然就等于三，那么 a 呢，自然就等于 根号三，那这种求法呢，我们就称之为知三求一。我们知道了一个角，一个边，一个边，那么很容易使用于弦定理，就可以把另外一个边呢给他求出来。这里啊，我们做一个温馨的小提示啊，就是一个题目， 他只要涉及到三个边和一个角，就可以使用于弦定力。我们用到了一个词叫做涉及到， 被涉及到的东西不一定是已知的，比如说我们现在看到的这个题目， a 边他就属于一个被涉及到的边，那我这个题目当中一共涉及到四个要素，分别是三个边和一个角，那我就可以使用余弦定离， 他不一定是已知的，只要是被提及的啊，涉及到的就可以了。再来举一个例子， a 边 b 边三， c 等于五分之四，问 c 边等于几？那这个题目呀，它还是涉及到了三个边，涉及到了一个角 三， c 等于五分之四。那么我们先对正弦呢进行一个转化，给它转化成余弦。由于 正弦等于五分之四，我们不能确定 cosc 是 等于五分之三，还是等于 负的五分之三。上节课我们已经提到了一个正弦值呢，他对应着两个角，这两个角都是有可能的，所以啊，我们分别进行计算，如果他是等于五分之三的，我们使用余弦定例 cosc， 他 就等于 a 方，也就是二十五加 b 方十六减去 c 方，比上一个二乘以五乘以四，这个位置不用算啊，把它约分约掉，那么给它乘到左边就是二十四等于 二十五，加十六减 c 方，所以啊，这个 c 方呢，就等于十七，那这个时候 c 呀，是等于根号十七的， 这是一种可能性，另外一种可能性就是左边呢，如果是负的五分之三，而右边呢，还是二十五。 加十六减 c 方，比上二乘以五乘以四，这个位置给它约掉左边，就变成了一个 负的二十四等于二十五，加十六减去 c 方，那这个时候呀，我们算到的 c 方呢，它就等于六十五，那么 c 就 等于根号 六十五。所以啊，这个题目之中， c 呢，它拥有两种可能性，主要的侧重点就在于这个位置，一个正弦值呀，它对应两个角。 再来看一个题目，三角形的两个边长分别为五和三，他们加角的余弦值是这个方程的根，那么我们先来简单的解一下这个方程， 十字相乘五一三负二，所以啊，一个根呢，是等于二的，而另外一个根呢，是等于负的 五分之三的。由于余弦值，它的范围呢，是在负一到一之间，显然呢，它是不可能等于二的。这样的话呢，我们就知道了，这个余弦值呀，它是等于负的 五分之三的。这个题目呀，明确告诉我们是他们所加的角，那么我们做出一个简单的草图， 这个边是五，这个边是三，所加的这个角的余弦值呢，是等于负的五分之三的。那么我们不妨呀，设他们所对的这个边呢，是 x， 那 由于先定理可知，负的五分之三呀，它就等于五的平方，就是二十五加上三的平方九减去 x 的 平方，比上 二乘以五，再乘以三约分，把这个五跟这个五给他约掉。那左边呢，就是负的十八等于二十五，加上九，再减去 x 的 平方，所以啊，这个 x 的 平方呢，它是等于 五十二的，那 x 呢，自然就等于二倍的根号十三，所以呢，另外一个边呀，就是二倍的根号十三。再来看一个简单的问题， a 边 c 边， c 角问 b 边。哎，你看这个题目呀，他又是涉及到了三边和一个角，那么我们还是直接使用余弦定理考算， c 自然就等于二分之一 考点， c 等于 a 方加 b 方减 c 方， a 方呢，是九加上 b 方未知减 c 方就是七，乘以一个二倍的 a 三，再乘以一个 b， 还是先约分，不用直接算，那么再整理就会得到三。 b 呢，是等于 b 方加二的，所以啊， b 方减三， b 加二等于零。 那么解方程一一负一负二，所以这个 b 呢，可以等于一，也可以等于二。下一个问题 满足， a 等于四， b 等于三倍的根号二角， a 等于四十五度的三角形，有多少个？那么多少个呢，其实就是问有多少个合理的 c 边， 我们想要求这个 c 边的个数呢？很显然呀，这个题目又是涉及到三边和一个角的问题，所以呢，我们先使用余弦定理，把这个 c 边呢给他求一求 考算 a， 那 就是二分之根号二，由余弦定理， b 方加 c 方减 a 方比上二 b， c 把已知量代入，就是根号二，比上一个二等于 十八，加上 c 方减去十六，比上一个二乘以三倍的根号二，再乘以一个 c， 约分这个位置和这个位置给它约掉，乘到左边去，也就是 六， c 等于 c 方加二，所以呢， c 方减六， c 加二等于零。 那很显然呀，这个二次方程正根的个数就是 c 边的个数，因为三角形的边长呢，它不能是负数。所以啊，我们既要判断这个方程有几个根，还要看它是否有正根。 首先我们来算它的判别式得，它呢，就是 b 方减 c， c， 显然呢，这是大于零的。 我们再结合微大定律， x 一 加上 x 二呢，是等于六的， x 一 乘以 x 二呢，是等于二的两根之合与两根之积啊，都是正数， 那就说明呢，这个方程拥有两个正根，那么 c 边呢，自然有两个解，所以啊，满足这样条件的三角形呢，一共有两个。 再来看一个问题，三角形的三边之比呢，是三比五，比七，让我们去求这个三角形的最大角， 那由大边对大角这样一个结论性的知识。我们知道，这个三角形当中最大的这个角呢，就是七，这条边所对应的。我们画出一个剪图， 这个是三，这个五，这个是七。我们假设呀，这个角是 c， 它角。 同学们在记背这个余弦定理的时候呀，一定要注意余弦定理，你除了记住什么考算 a， 考算 b， 考算 c 的 表达式之外呢，我们最好呀，要记住它这几个边的顺序， 它呢是两邻边之积， 比如说在这里边呀，就是 cosine， 它，它等于两邻边的平方之和，就等于三的平方加上五的平方，再减去对着边的平方除以呢，二 b 的 两邻边之积。好，我们简单的计算就是九，加上 二十五，减去四十九，除以一个二，乘以三，乘以一个五，最后呢，这个数就等于负的二分之一，所以啊，这个最大角，它的度数呢，就是一百二十度。 事实上，三五七这几个数字呢，它也是一个非常常用的数字，经常出现在减三角形这之中，我们可以注意啊，积累相关的经验。 再来看一个问题， ab 等于二， ac 等于三， bc 等于四，问， ab 向量加上 ac 向量的模长等于多少？ 那么我们想要求它的这个模长，就要先对它进行一个简单的平方，也就是模长， 它就等于啊，我们先对它进行一个平方， 然后呢，再对它进行一个开根号，这是计算周长，那么我们把它给打开，它就等于根号下 a b 的 平方加上 a c 的 平方，再加上二倍的 ab 向量，乘以一个 ac 向量，那 ab 的 平方呀，它就等于四， 而 ac 的 平方呢，等于九。接下来呢，我们着重计算这个二 b 的 ab 向量，乘以一个 ac 向量，很显然，它就是二，乘以一个 ab 的 长度，也就是二， 再乘以 a c 的 长度也就是三。而 ab 向量与 a c 向量呢，所加的角呀，它正好就是 cosine a， 所以呢，想要求得这个模长，我们就需要求得 cosine a， 由余弦定律可知，这个 cosa 呀，它就等于 b 方加上一个 c 方，也就是三的平方加上一个二的平方，再减去四的平方，比上二乘以三，再乘以一个二，简单的化简， 我们只需要计算上边就可以了。那三的平方加二的平方，再减去四的平方呢，是等于 负三的，因为啊，下边的这个位置呢，与这个位置呀，正好可以抵消，所以最后的结果呢，就是四加九，再减去一个三，也就等于根号十。 再来看一个问题， a 等于根号三， cosa 等于三分之一， b 乘以 c 等于四分之九，问 b 加 c 的 值。虽然说这个题目与前面我们所看到的题目有所区别，就是求的不再是特定的边呀，或者是特定的角等等， 但是呀，他的规律性没有发生任何实质性的改变，就是这个题目，你细看，他还是给了一个角，然后呢，涉及到了三个边，所以呢，我们想要解决他呀，还是使用余弦定理， 只不过在余弦定理的基础之上呢，附加了一点点运算上的小技巧而已。那么我们先使用余弦定理考算， a 三分之一，他就等于 b 方加 c 方，减去 a 方，比上一个二乘以一个 bc， 也就是四分之九。好，我们对它进行一个简单的化简，也就是 二分之三等于 b 方加 c 方，再减三，所以呀， b 方加 c 方就等于 二分之九。那我们怎样能够快速的把这个 b 加 c 给他算出来呢？我们可以这样， 就是 b 方加 c 方，他不是等于二分之九吗？然后呀，我们在这个等式的两端呢，同时给他加上一个二 b c， 那左边呢，他就变成了 b 加 c 括号外的平方，而这个 bc 呢，他是等于四分之九的，那你二 bc 自然就等于二分之九。 所以呢，右边呢，我们给他写成二分之九，也就是九，这样的话呢，我们就得到了一个完全平方式，那 b 加 c 的 值呀，他就等于三。 事实上，这也是鱼线定律当中啊，我们常用的一个简单的运算技巧，就是核与基之间的快速转换。 接下来呢，我们看下一个类型的题目，边角互化与三角形形状的判断。 那由于我们今天的主题呢，是以鱼弦定理作为核心的，所以呢，我们不去过多的涉及到正弦定理之间的这个边角转化关系，我们还是把目光集中到鱼弦定理本身上来， 那这一个小模块呢，就不再像我们前面所提到的那样，直接支三求一， 而我们更多的是关注鱼弦定律本身的形式。然后呢，通过鱼弦定律啊，去沟通一些个简单的计算，进而实现对于三角形形状的判断。我们先举一个简单的例子， 有一个三角形呢，他满足这样一个条件， a 乘以一个口算 b 加上 b 乘以一个口算 a， 是 等于 a 边的。问三角形的形状是什么样的， 那我们想要解决这样一个问题，如果只从余弦定力的这个角度去考量的话，那么这个题目呀，他的题干信息，我们唯一能做的事情就是把这里的考算 b 用余弦定力给他写出来，那考算 b 呢，他等于 a 方加 c 方减 b 方比上二 a c。 同理啊，我们把那个考算 a 呢，也给他写出来， b 方加 c 方减 a 方比成一个二 b c， 他 是等于 a 的。 接下来啊，我们进行一个约分，这个位置与这个位置约掉，这个位置呢，与这个位置约掉。 然后呢，我们两边呀，同时给它乘以一个二 c， 左边呢，剩下的就是 a 方加 c 方减 b 方，加上 b 方加 c 方减 a 方，等于 二 a c。 现在呢，我们处理左边这个位置呀，与这个位置约掉，这个位置呢，与这个位置约掉， 也就是二 c 方呢，等于二 a c。 那 么 c 呢，自然是等于 a 的， 所以啊，两个边相等，它自然是一个等腰三角形。再来看一个题目， 满足的条件呀，是 cosa 比乘， cosb 等于 bba 等于根号二，让我们去判断三角形的形状。 这里呢，我们先把我们解决问题的目光呀，集中到左边这个位置上来，右边的这个长度信息呢，我们后处理即可。 那左边这个信息呢，我们可以对它进行一个简单的交叉相乘，就是 a 乘以 cosine 等于 b 乘以一个 cosine。 好，把左边的这个口算 a 呀，用余弦定的给它换掉，就是 b 方加 c 方减 a 方比上 二 b c， 而右边呢，也给它换掉，就是 b 乘以一个 a 方加 c 方减 b 方，比上一个二 a c。 简单的约个分，把二 c 呢都给它约掉。 那接下来呀，我们方把右边的这个 a 乘到左边，把左边这个 b 乘到右边，左边呢，就变成了 a 方乘以 b 方加 c 方减 a 方。括号等于啊， b 方乘以 a 方加 c 方减去一个 b 方。 由于啊，这个时候呢，我们再把左右两段给他打开呢，就会出现有的位置有四次方的情况，显然呢，再打开呢，就不是特别的理想。 那我们观察题干条件的后半程，其实后半程 b b a 等于根号二，就是 b 啊，它等于根号二 a。 那 这样的话呢，我们可以把右边这个 b 方呢换成 二 a 方，跟左边这个 a 方呢，就形成了一个约分，这个时候算起来就容易多了。左边呢就是 b 方加 c 方减 a 方，而右边呢是二 a 方加 二 c 方减去二 b 方，整理一下就是三 b 方等于 三 a 方加上 c 方。这个时候呀，我们再引入这个 b 是 等于根号二 a 的， 它左边呢，其实就是 六 a 方等于三 a 方加上 c 方。所以我们可以得到 c 方呢，是等于三 a 方的， 那自然就是 c 等于根号三 a， 而由于啊， b 是 等于根号二 a 的。 还有一个边是 a， 我 们观察这三个边，你很容易发现， a 方加 b 方恰好是等于 c 方的，也就是说它是一个直角三角形。 再来看一个问题，这个三角形呢，它符合这样一个条件，让我们去判断三角形的形状。那我们观察到左边有一个 cosine 二分之 b 的 平方， 这个位置呢，结合二倍角公式呀，我们知道左边呢是可以进行降密处理的，二分之一再加上二分之一， 那右边呢，是 a 加 c 比上一个二 c， 左右两段约的这个二分之一，左边自然就是 cosby 加上一等于 a 加 c 比上一个 c。 那 处理到这里啊，我们只能呢将这个 cosby 呀给它还原成 余弦定里，也就是 a 方加 c 方减 b 方比上二 a， c 加上一等于 c 分 之 a 加 c 这样一个形式。 呃，我们不妨呀，对这个式子的左右两边同时给它乘以一个二 a c， 那 左边呢，就是 a 方加 c 方减 b 方加上 二 a c， 而右边呢，就变成了二 a 方加上二 a c， 这个位置与这个位置约掉了。然后呢，我们对剩余的部分呀进行处理，就会得到 a 方加 b 方是等于 c 方的，这明显是勾股定律的形式，所以啊，这个三角形是一个直角三角形。 再来看一个简单的题目，考算 a 乘以考算 b 乘以考算 c 大 于零。问这个三角形呀，是哪种类型的三角形？那结合上节课我们讲的这个储备知识，我们知道 三角形之中呢，一定是有两个锐角的，也就是说这里的考算 a， 考算 b， 考算 c 呀，注定有两个是大于零的， 而另外一个与他们两个相同之后还大于零，就证明这三个呀，全都是大于零的。那么三个都大于零，就证明所有的角都是锐角，那他一定是一个锐角三角形。这个问题呢，是非常简单的， 接下来呢，我们还是来看啊，嗯，与弦对应的有关的一些个特殊的情形。 那前面我们在判定三角形的形状之中的时候呢，呃，经常会涉及到一种解法，就是你把这个余弦啊，他的这个表达式呢，对他进行一个展开，那就把 角给他画成了边，然后我们在边的范畴之内呢，去讨论某种问题。那接下来我们继续举几个有关的例子，我们来看这样一个条件 二， b 乘以个 cosc 等于 a 乘以一个二减 c， 并且呢告诉我们角 b 等于三分之派，让我们去求 a 边。 那这个题目呀，它一共拥有两个条件，嗯，这个条件呢，是一个不太明朗的条件，这个条件呀，就非常的明朗，就是这个角 b 是 一个定值， 我无论是使用正弦或者是余弦呢，都可以求出它对应的三角函数值。所以呢，我们应该把目光呀放在这样一个条件上来， 那么这里边有一个口算 c， 我 们不妨呢使用余弦定例啊，给它展开成二， b 乘以 a 方加 b 方减 c 方，比上一个 二 a b， 而右边呢，是 a 乘以一个二减 c， 好 简单的约分这个位置与这个位置呢，给它约掉，然后我们把这个 a 啊给它乘到右边去，左边就是 a 方加 b 方减 c 方，等于 a 方乘以一个二，再减去一个 a 方乘以 c。 在处理到这个位置之后呢，其实这个条件啊，就没有必要再继续向前处理了，我们认真的去观察，你会发现他其实就是一个三边关系的一个表达式。所以呢，我们考虑第二个条件，就是这个角币啊，他等于三分之派， 那如果我再使用余弦定力，我就可以得到二分之一，就等于 a 方加 c 方减 b 方，比上二 a c， 也就是 a c 呀，它等于 a 方加 c 方减掉一个 b 方。 那有了这个条件之后，我们再重新来看这个条件，如果我们对他进行一个简单的整理，就是把左边的东西给它挪到右边来，就是 a 方加 c 方减 b 方等于 a 方乘以一个 c， 那么这个条件与这个条件的右边呢，长的是一样的，所以啊， a 方 c 呢，它就等于 a 乘以 c， 那 我们自然就可以得到 a 呢，是等于一的 下一个问题。 a 等于负， c 乘以一个口算 a 加 c， 让我们去判断三角形的形状，我们知道这个口算 a 加 c， 其实就等于负的口算 b， 所以 啊，这个条件就是 a 等于 c 乘以一个 cosb， 那 么我们把这个 cosb 呀给它还原，就是 a 方加 c 方减 b 方，比上 二 a， c 这个位置与这个位置约掉，把这个东西乘到左边，就是二 a 方，等于 a 方加 c 方减掉一个 b 方， 所以呢，我们可以得到呀， a 方加 b 方是等于 c 方的，所以这个三角形呢，是一个直角三角形。