条件球概率

这节是概率论的核心，不会条件概率后面全废。行行。条件概率我知道是已知一个事再算另一个事。对，但你别光知道一句话，公式得背清楚。 pa 比扩回除以 pb， 前提是 pp 大 于零。 这个公式怎么理解最直观，把样本空间缩小到 b 里面，看 a 和 b 交集占 b 的 比例。一句话，条件概率就是缩小后的概率， 那条件概率一定会变大吗？不一定，掷骰子直接掷出。二是六分之一，已知偶数变成三分之一变大，已知奇数变成零，变小，已知整数还是六分之一没变化。所以条件概率大小取决于条件信息。 对，还有常用性质，对立事件 p a d 等于一减， p a b j。 注意只能对竖线，左边取对立，右边别乱动，这个是考试坑点。还有乘法公式， p a b 等于 p a 乘 p b a 一 键就用，别现场推。 那应用题呢？比如拨电话那种最经典，忘记最后一位三次内拨通，用对立事件三次都不通的概率再用一减。 而且每次拨号都有条件，因为拨错一次就排出一个号码，最后结果是十分之三。如果已知是基数，样本空间缩小变成五分之三。所以条件概率就是新信息下重新判断。 对，最后一句话，条件概率等于缩小后的概率，不被公式就等着崩行。这节我服了，下一节讲事件独立型。

同学们大家好，我是葛老师啊，我经常会把概率问题比作是用数学预测未来，如果说有一类事情，他未来会变成什么样，只和现在有关，和过去无关，那么我们就把这类问题称之为是马尔克夫列问题啊，这是一个藏在我们生活中很神奇的概率模型， 他这个性质我们就称之为是叫无后效性啊，他被广泛应用在这种人工智能、字眼语言处理啊，数据分析以及金融预测等众多的领域啊。马尔科夫列是我们理解随机现象，解决实际问题的一个很重要的工具啊， 今天我就从这个定义核心性质到典型例题啊，我们一步步去做一个拆解啊，帮你把这个问题去彻底的去听懂，学会啊，让我们去轻松应对我们未来会遇到的这种问题。 呃，这个问题的话，我们也称之为叫概率递推问题啊，实际上它是一个条件概率再加上树立递推这两个问题的一个结合。所以说要学马尔科夫列问题的话，同学们可以一定要先把这个树立递推关系的一种常用的方法先去学会。那么我们来看一下啊，这个 马尔克夫列问题的话，我们分置为二阶随机游走模型和三阶随机游走模型，一般我们在中考中常见的就是这两类。我们这个二阶随机游走模型的话，实际上就是说他的这个变化只有两种情况啊，就比方说我们在数轴上去找一个点，这个点的话，我们如果是记作 x 的 话， 那么它这个点的话，它在每一个时间状态下，它有两种变化方向，一种是往左移动，一种是往右移动，分别移动一个单位，那么它左右移动的概率的话，分别是阿拉伯或者是贝塔的话，那么这里很显然阿拉伯贝塔相加是等于 一的，那么比方说它当前的状态是 x， 那 么它这个 x 是 由前一个状态决定的，那它前一个状态可能是什么？可能是在 x 减一这个位置，它往右平移一个单位得到的，也可能是在 x 加一这个位置往左平移一个单位啊得到的，那么往右平移的概率是阿拉伯往左平移的概率是贝塔的话，所以说他当前状态下的这个概率 p x， 我 们是不是可以理解为是由这个前一个状态， 如果是在 x 减一的话，那么它是乘上了一个贝塔，是这样两个相加得到的 啊，那么这是叫二阶游走模型啊，那么还有三阶游走模型，那么我们先讲二阶的，先讲讲这叫不回头的随机过程。所谓不回头的话，就是这个状态是逐渐往后发展的，然后不再不会回过头来，不会发展成现在的状态，他是一个不回头的过程。那什么时候回头的？ 比方说几个人之间传球，四个人之间传球吧，从甲这传出去，是不是？那他经过一定的过程，可能再重新回到甲，这叫回头的这个随机过程。我们先来看不回头的， 不回头的这种过程的话，其实，呃，他不能往过去转移啊，这个是最简单的一类啊，也是我们在常年的这种模考或者高考中比较常出现的一类啊，随机过程这种过程的这种啊，命题的门槛比较低啊，但他考察的能力又比较多，所以说也比较青睐于去出这方面的题啊。 那我们来看一下例一，同学们可以读一下题。这个实验规则的话，盒子中光装有一百两红，每个人有放回的任取一次，摸到白球得一分，摸到红球得两分。那第一问 是有 n 个人参加这个摸球实验，这 n 个人的合计得分恰为 n 加一分，它概率是 p n， 求 p 加到 p n， 我 们会发现它这个很特殊啊， 这个人数是 n 个人，得分是 n 加一分，分数比人数多一分，那么说明什么？很显然的话，这里面应该是以只有一个人摸到了红球，其他人摸到的都是白球，是不是？那么这里的话，我们就可以直接写出来这个 p n， 它的这个公式的话，其上是一个二项分布对不对？ p n 就 等于 c n e 啊。呃，这个红球也就是三分之二的概率发生了一次啊，一次方，然后这个三分之一的是发生了 n 减一次，对不对？这样我们去给他啊，化简一下，那分母应该刚好是三乘三的 n 减一次方是三的 n 次方，分母是二去乘上 c n， 一 是 n 是 吧，也就是二 n 了。 哎，这实际上是一个叉笔竖列对不对？那么他这个这个求前项和从第一项加到第 n 项，我们的方法是不是讲过叫错位相减，是不是啊？我们 啊直接两边同城上这个等比竖列的公比三分之一，然后错位之后再做减法。那么不会的同学可以看看老师之前所发的这个啊，叉笔竖列求前项和的这个视频啊，我们来看一下第二位， 若干人，若干个人参加这个摸球实验，这些人的合计得分恰为 n 分 的概率是 a n， 证明 a n 减五分之三为等比数，列并求出来这个 a n 的 通项 啊。我说这个题，其实啊，他还是给我们一定提示了，这里把这个减五分之三给我们了。实际上如果没有前面的提示，直接让我们求 a n 的 通项，这个题我们应该也要学会去怎么做。我们来看一下，既然 得 n 分 的概率是 a n， 那 我们来看一下，那么发生 a n 他的概率应该是怎么去求啊？是不？我们可以分成两种情况，第一种情况，他的前一次得分是 n 减一分的时候，那么这个时候我们要再得一分就可以得到 n 分 了，那么再得一分也就摸到白球，那概率应该是三分之一，我们去乘三分之一。 另外一种情况是，他前一次得分是 n 减二分，那么再得两分是不就可以得 n 分 了？那么得到两分的概率就摸红球概率是三分之二。所以说 得到 n 分 的前面是不是有这两种情况，所以他俩相加就可以得到 a n， 那 么我们看到这是一个关于 a n 的 这样一个三项递推，是不是 啊？我们啊有个方法，前面也讲过叫特征根法求通向，对不对啊？当然是大题的话，同学们还是要知道怎么去变形啊，不会的同学也可以看看老师之前的视频，那么我们这里的话直接去 啊，把它特征根方程可以在这个本子上自己写出来啊，老师写在上方它该是什么呀？ a n 可以 看到是平方向 x 方， a n 减一是一次项，那么我们移到同侧是减三分之一， x 这个三分之二，这个 a n 减二是常数项，是吧？那么也就是减三分之二等于零解这个方程可以得出来， x 一 是等于一， x 二是等于负的 三分之二，所以说我们去凑的话，就可以凑成什么呀？直接在这可以得到这个 a n， 这个负三分之二应该减去负的，是吧？就加上三分之二倍的 a n 减一，然后等于一倍的， 一倍的话，这个另外一个根是一吗？一倍的一可以不用写了，那么这边就是 a n 减一， 也是加上三分之二倍的 a n 减二，哎，他就直接变形成这个式子了，那么我会发现他俩相等，也就可以看到是一个公比为一的等比竖列，是不是？那他首项是什么？我们要求出来前两项是吧？ 用 a 一 和 a 二求出来，那么 a 一 的话，我们直接去得一分的概率，是不就是啊，抽到白球 是三分之一，我们再算一下第二项 a 二 a 二得一分得两分的概率，是不是可以分成两种情况？直接抽到一个红球，也就是三分之二，或者是抽到两次白球，那么也就是三分之一，再乘上三分之一， 可以得到他是九分之七，是吧？那么这里的首项应该是啊，前面这个是 a 二 加上三分之二倍的 a 一， 是不是？我们代入的话可以得到这个首项，实际上，哎，刚好等于一，是不是？哎，那这个数列特殊了， 这个数列实际上是一个公比为一，然后首项为一的这样一个等比数列，就是说它的每一项其实都是等于 一的，那么我们可以得到这个 an 加上三分之二倍的 an 减一，它是等于一的，那么我们可以得到，其实就把三项递推化简成两项递推了，是吧？ 它就变成了负的三分之二倍的 a n 减一，然后再加上一。其实这一步怎么去做？是不是一个构造了 啊？那构造成一个呃，这个等比数列就行了，那么它需要加个常数，那么这个常数的话，我们可以用代定系数法，然后在本子上自己把它代定出来。怎么去代定呢？我们可以假设啊， a n 加上 lambdas， 等于负的三分之二倍的 a n 减一，也加上这个 number， 然后我们化简一下，与它做个类比，看看 number 到底是多少？ 负的三分之二倍的 a n 减一，然后减三分之二， number 再减， number 是 减三分之五 number， 那 么这个负的三分之五是不是就对应了这个一啊？那么很显然这个数 number 是 等于负的五分之三，是吧？哎，你看这负的五分之三跟题目里给我们这个实际上是一样的，所以它能构造成什么？ a n 减去五分之三，就等于负的三分之二倍的 a n 减一，也减去五分之三 啊。其实我们就勾到了一个以什么以负的三分之二为公比的这样一个等比竖列的，那么他的手相是谁啊？他的手相是不是就是 a 一 减五分之三，那么手相 a 一 我们前面求过是三分之一，三分之三等于是负的，是吧？十五分之五减九， 负的十五分之四，对不对？那么这样的话，那么很显然这个时候啊，同向公式 a n 就 等于多少？这个 a n 减去五分之三，等于首项负的十五分之四去乘上公比负的三分之二的 n 减一次方，这样我们去呃， 我们可以去整理一下这个这个五分之十五分之四里面是不是可以匀出一个负的三分之二来，那么匀出一个负的三分之二来，那么它是不是就剩一个五分之二了？五分之二去乘上这个负的 三分之二的这个 n 次方了，然后我们再把这个这个这个负的五分之三移一下，我们是不也就可以得到 a n 等于啊五分之二去乘上负的三分之二的 n 次方，再去加上一个 五分之三了。哎，这就是第二问的结果了。那么其实我们是用了啊两次啊，用了这种，这个一个是特征根法求通项，另外一个是通过这个 含常数项的构造，然后去求通项公式，这样一个结合就把第二问给做出来了啊，马尔克夫列嘛，其实就是一个条件概率再加啊竖列递推的这样一个结合的问题。好，这是第一问。 再讲一下这个二阶的可回头的马尔科夫模型，那么可回头意味着就是说，比方说我们在做一个传球的过程中，有甲先传出，他最后可以再回到甲手中，那么这个就叫可回头的马尔科夫问题。 那么我们来看一下，四个人之间进行一个传球，先由假传出，那每个人得到球后，都等概率的传给其余三个人，那么设 p n 是 经过 n 次传递后，球回到假手中的概率啊，我们直接看第二问，求 p n 啊， 那我们去想想，当前状态是 p n， 也就是说是在假手中，那么当前状态只受前一次影响，那么前一次的状态那么是不可能是在假或另外三个人手中。 当然了，甲是不可能的，因为甲不能传给甲，对不对？那另外三个人就是乙丙丁，那么上一个如果是在甲中的概率是不可能是 p n 减一，那么上一个是在乙丙丁的概率，是不是跟甲这个情况是对立的？它就是一减去 p n 减一，那么从甲传回甲，这个传递过程中发生的概率是零，那从乙丙丁传回甲的概率是不是是三分之一啊？因为等概率的传给三个人嘛，那么这样的话，我们通过这样的概率公式就可以得到，那么 p n 它是等于， 呃，上面一只 p n 减一乘零没有了，下面一只的话是一减去 p n 减一， 然后再去乘上三分之一啊，我们展开的话，实际上就是负的三分之一倍的 p n 减一，然后再加上 三分之一啊，这是一个两项递推的这样一个类等比数列，我们直接去啊，找到这个实数，这个一个常数 number， 然后就勾到一个是公比，是负三分之一的这样一个等比数列即可。好，我们再来看一下这个第二位， 这是一个投胡游戏啊，两个人为一组玩这个游戏，那么每次由其中一个人来投，规则如下，投中则此人继续投，未投中则换对方投。 那么无论前次投和投胡情况如何，甲投胡的命中率均为零点三，以命中的概率均为零点四， 由抽尖确定第一个投壶的人选，第一次投壶是甲乙的概率分别是零点五，那么我们直接来看第二问，求第二次投壶的人是乙的概率， 那么我们说如果把第二次投壶是乙的概率器作是 pi 的 话，那么我们也就说求 pi 的 这个公式对不对？那么 pi 是 第二次，他受他前一次的影响，那前一次的话是不有两种情况，一个情况是依然是在 啊乙手中，那么也就是说他是 pi 减一，另外一个是在甲手中，是不是？那么甲投的概率是不是与乙是对立的？就是一减去 pi 减一，那么乙投完了，继续回到乙手中啊，继续是乙投的话，那么就是乙相当于乙投中了，那么这个概率是零点 零点四。那么如果是在甲手中的话，上一次，那么这次回到乙是甲没有投中，甲投中的概率是零点三，那没有投中的概率就是一减去零点三，那么这个位置的话就是 零点七的概率了。这样我们就可以得到 pi， 它就等于啊，零点四倍的 pi 减一，然后再加上零点七倍的一减去 pi 减一， ok， 展开之后，实际上就可以得到是负的零点三倍的 pi 减一，再加上零点七了。 好，还是一样的解答过程，那么后面就是一个构造了，我们再来看一下，呃，这是一个几何类的几何类的一个概率问题，一个三棱柱， a b c d a e b e c e 啊，我们来画出来这个这个三棱柱，呃， 上底面是 a b c， 那 下底面对应的是 a 一 b 一 c 一。 一只蚂蚁从它的某个顶点是上底面的某个顶点，比方说我们就选 a 吧， 然后沿着棱爬行到另一个顶点，那么三棱柱它每一个顶点处都有三条棱，那么它选择三个方向爬行的概率是相等的 啊，每一次爬行都相互独立，那么蚂蚁爬行 n 次后，仍然在上底面的概率为 p n， 我 们来看一下啊，它从这个上底面开始爬三个方向， 其中两个方向都依然是在上底面上，然后另外一个方向是要跑到另一个面上，所以说那我们去想一下这个 p n， p n 是 当前状态，那么它受前一次的影响，那前一次就是它依然是在上底面，那么也就是 p n 减一， 然后另外一种情况，它就是在下底面，那么就是一减去 p n 减一。我们看一下，那么从上底面还是在上底面，那么就是选择的是三分之二啊， 那么从下底面转到上底面，是不是走的是三分之一的概率，那么这样的话，我们就啊根据前面一样也是可以得到 p n， 那 么就等于三分之二倍的 p n 减一，再加上三分之一乘上一减去 p n 减一，那么这个就是 p n 的 表达式了。 那么给同学们啊，留一个题目啊，这是一个便是，那么可以自己做一下，然后把结果的话，然后可以打在评论区，我们一起来教 我们。最后来看一下这个三阶的马尔科夫列问题，三阶的话，也就意味着他这个每一次就可能产生三种不同的结果，所以说就是三阶的。我们来看一下这个题目，这是二零二零年江苏高考的一道高考真题啊， 假口袋中装有两黑和一白，一口袋中装有三个白球，现在从假一两口袋中各取一个球交换放进另一个口袋，重复 n 次这样的操作，即假口袋中黑球的个数为 x n， 那么恰有两个黑球的概率为 p n， 恰有一个黑球的概率为 q n。 我 们直接来看第二问啊，第二问是求这两个式子的一个递推关系，其 x n 的 数学期望 e x n， 我 们去写出来它的这个概率分布列啊，这个 x n 的 概率分布列的话， 那么递 n 次之后夹口袋中它的这个啊，这是 x n x n 的 情况，是不是也是有三种？有零个黑球， 有一个黑球，或者是有两个黑球，那么这里有两个黑球的概率已经设为了 p n， 有 一个黑球的概率设为了 q n， 那 么我们知道分布列里的概率值和等于一，所以有零个黑球的概率就是一减去 p n， 再减去 q n， 是 不是？ 那么我们来看一下这个地推关系里面涉及到二倍的 p n 和 q n， 那 么我们是不是得先把这个 p n 和 q n 先表示出来？比方说我们表示一下有两个黑球，这个 p n 的 这个状态， p n 是 两， 两黑就是第二。第 n 次操作之后，甲甲带中有两个黑球，那么它的前一种状态，那么甲带中的这个状态在每一个不同的情况是不是都有三种？三种可能是有两个 黑球，可能是有一个黑球，可能是有零个黑球，我们是两个黑球，那它前一次是 n 减一次，对不对？ n 减一次有两个黑球的概率，那么自然的是不是就是 p n 减一，那么 n 减一次有一个黑球的概率是 q n， 那 么有 n 减一个，是不是就是 q n 减一了？好，那么最后一个的话，是不是就一减去 p n 减一， 再减去 q n 减一，那么我们来看一下，从两个变成两个，这概率是多少？ 两个变成两个，说明从甲中拿出的是一个白球，三分之一，对不对？那么乙中的话，本来都是白球，是不是啊？都可以乘一就行。我们再来看一下，从一个黑球变成两个黑球，从一个黑球变成两个黑球的话，我们在这演算一下，甲中是一黑 啊，两白，那么代表着这个乙中是不也是一黑两白？那么一个变成两个，说明从甲中拿出的是一个白球，是不是？那么甲中是发生了三分之二，那么乙中拿出的是一个黑球，对不对？乙中发生了三分之一， 那么再来看，由零个黑球变成两个黑球是不，显然不可能啊，所以这个概率是零，那么我们去计算一下，这个 p n 的 话， p n 是 等于，呃，应该是等于 p n 减一，去乘上相对应的三分之一，再加上 这个 q n 减一，去乘上对应的九分之二，然后最后一个是零，我们就不写了，这就是 p n 的 一个 啊，地推关系。那我们再来看一下这个 q n 的， 那么 q n 的 话，它前面是不是也是有三种状态？那么 q n 代表着第 n 次甲有一个黑球，那么它前一次可能是有两个，可能是有一个，也可能是有零个，那么对应的也是什么？ p n 减一， q n 减一，一减去 p n 减一，再减去 q n 减一，我们来算算概率啊，由两黑变成啊一黑，那我们写一下潜意识状态，甲有两黑一白，乙有 这个是零零零零黑三百，那么变成一黑了，说明从甲中拿出的是一个黑球，是吧？那么甲中三个拿出来，两个拿出来一个黑球是三分之二，那么乙的话 都可以。那么再来试看一下，是从一黑变成一黑，从一黑变成一黑，那么前面是一二，后面也是一二，那么交换之后黑球个数没有变，那么可能交换的都是黑球， 是不是？那么这个数甲三分之一，乙是三分之一，也可以能是什么，也可能是不两个拿出来都是白球，所以说甲拿出来的是三分之二的概率，一拿出来白球的概率也是三分之二， 哎，两两种情况我们求出来之后再相加就行了。那么最后是从零个黑球变成一个黑球，前面是零三，后面是二一，对不对？ 那么变成一个，因为甲拿出来的是白球，那么都可以，那么乙的话是拿出来一个黑球，那么也就是三分之二，那么这个时候我们写出来这个 q n 的 这个关系，那么 q n 他 是不是就等于三分之二去乘上 p n 减一， 再加上三分九分之一，加上九分之四是九分之五，九分之五去乘上 q n 减一， 然后再加上这个三分之二去乘上一，减去 p n 减一，再减去 q n 减一。啊，我们整理一下，三分，这有个 p n 减一，这有个减三分之二的 p n 减一，所以 p n 减一，消去了九分之五，减去三分之二，那么是九分之 九分之五，减三分之二，等于负九分之一，是吧？那么这里我们整理一下，它是 负的九分之一倍的 q n 减一，然后再加上三分之二，这是 q n 的 一个概率递推关系，是吧？那么我们把这个两个概率递推关系，一个设为一是，一个设为 设为二十，那么我们这里去看一下，这个里面要凑的是一个什么二倍的 p n 加 q n， 所以 我们可以用这个一式呢去乘上个二，直接加二式，我们是不是就可以凑出来左边就是什么 二倍的 p n 加上 q n 了，那么右边的话，我们直接来看一下，这是三分之一，乘上二之后是三分之二，三分之二，那下面没有加，那么它就是三分之二的 p n 减一， 然后再加上这是九分之二，乘二之后是九分之四，九分之四加上负九分之一是九分之三，也就是三分之一倍的这个是 q q n 减一，然后呢最后再加上一个三分之二，是吧？ 然后，哎，我们观察一下这个后面的话，我们如果是这里有 p 和 q， 那 么我们把这个系数里面都提出一个三分之一来的话，是不里面刚好凑成了一个二倍的 p n 减一，加上 q n 减一，他又与这个结构一致了， 只不过后面还有个小尾巴是三分之二。我们现在来看啊，那么我们用红色标记一下，来看左边和右边有没有发现什么规律，这其实是不是就是一个呃类等比数列啊？ 那么比方说我们把前面这个什么，我们把二倍的 p n 加上 q n， 我 如果我们把它设成是 a n 的 话，那么其实这个式子是什么？这个式子是不是就是啊， a n 等于 这个三分之一倍的 a n 减一，再加上三分之二，那么这个竖列求通项会求吧啊，我们只要去凑一个长数线段，把它凑成一个以三分之一为公比的等比竖列即可 啊，那么这是这个题目的一个思路啊，我们来看一下，当我们知道了这个关系之后啊，那最后其实就是我写到这一步，对不对？那么后面只需要去凑配一下就行了，凑配一下两边同时减一，那么就可以得到这样一个结构相同的，他们是一个三分之一倍的关系， 那么也就知道了，这个二倍的 p n 加 q n 减一，是一个以三分之一为公比，以谁啊？我们把手相计算出来，以三分之一为手相的这样一个等比竖列，所以说我们通过等比竖列的这个通项公式算出来等于三分之一的 n 次方， 那么我们把这个一移负一移走的话，是不就可以求出来这个通项了？三分之一的 n 次方加上一了 啊，那么最后的话就是一个分布列了，那么求期望的话，我们分布列刚才已经写了，是不是零乘，下面一乘 p， 二乘 q n， 那 么哎，刚好就是我们刚才求的通项，那么我们直接去啊代入就可以了，那么这个就是一个三阶的啊，马尔克夫列的一个问题，好，同学们有什么问题的话可以给老师留言，那么今天内容我们就讲到这。