圆柱体积推导动画 希沃白板设置

如果你知道长方体的体积是长成宽成高，那么你一定知道圆柱的。

容积和体积都表示物体所占空间的大小，但体积指物体本身占据的空间，而容积指容器内部能容纳其他物体的空间。 我和师傅行路口渴，这保温壶中之水可供我与师傅二人饮用。 俺老孙的火眼金睛看出这水池是个圆柱腰，快算算他能蓄多少吨水，我好把他烧了。 三位小客人，这是俺化缘得来的一生果汁，请看，用这样的杯子够你们每人一杯吗？ 这回考考你们这根钢管用的钢材体积怎么算？下面几个算式，哪个对哪个错？为什么？

大家好，今天介绍利用西握白板的几何工具，助力学生认识立体图形的特征。下面以正方体为例介绍使用方法一，插入立体图形， 进入西握白板的背课模式，点击几何工具图标。几何工具需要自定义才会显示在上方，自定义工具栏的方法请看上一个视频。如果这里没有几何工具图标，就点击学科工具图标，在下拉菜单里就可以找到几何工具。 选择正方体，按住鼠标，左键向下拉，会拉出一个面，松开鼠标左键，再次按住左键下拉，就可以得到一个长方体。要得到正方体，要点击右边的编辑比例，在对话框中填入相同的长宽高，就得到一个完美的正方体。二，填充颜色 未清楚的显示图形，就要给六个面填充颜色，先复制一个相同的正方体，这时可以为六个面直接填充颜色， 但把正方题展开可以更准确快速的填充。先选中图形，在右边的展开下拉菜单里选一种展开方式，在右边的几何填充里选择颜色。为方便学生更好的理解，展开图形，把相对的两个面填充为同一种颜色， 然后在展开的下拉菜单里选择收起，就得到了一个填充好颜色的正方体。三，课堂使用未有对比效果，要保留原图形。方法一，在贝克模式下选中图形，点击右键打开授课克隆模式。方法二，进入授课模式后，先选中原图，点击克隆， 然后按住鼠标，左键一拖，就会复制一个完全相同的图形，可以旋转展示， 可以平面展开。这里有正方体的十一种展开形式，图色的图形和没有图色的可以进行对比，加深学生理解。 长方体、圆柱体、圆锥的插入和使用方法完全相同，大家对照使用即可。 如果没有提前准备，在授课模式下，从更多工具里也可以调入几何工具，可以在授课时临时插入立体图形。

ready go！ 圆柱是由两个完全相同的圆形底面和一个侧面组成的立体图形。

那这节课我们就来探讨如何算出这个小圆柱的模型的体积好吗？你们每一组的桌子上都有一个这样的圆柱，请你拿出来，请思考。 好，请你来我们组的想法就是他一个我们之前学过的。嗯，长方体和正方的体的面积是底面积乘以高求出的第一体节。所以如果我们要求圆柱体的 圆柱体的体积，我们首先要知道它的底面积和它的高，然后用底面积乘高就能得出底。你听懂他的想法了吗？请他通过之前学的长方形和正方体的体积来推导圆柱的体积。 很好的想法，还有其他的呢？我们知道一个长方形能变成一个圆柱形，他长方体 这个长的里面的半径就等于长方体的宽和高，他的这个圆柱体的高就等于长方形的边长。长之后求出长方形的 长方体的体积，就能得出这个圆柱体的体积。好，我听懂他的意思了，也是把长方体来类比出圆柱体的体积，并且他还说出了各部分之间的关系， 还有不同的想法吗？我们大胆一点。好，请你来我，我们这组的想法是什么呢？ let's go， 把自己分成很多段，去把每个段再去求一下。好，请坐。他们这组的想法是把圆柱分成若干块，你怎么会想到分？我们之前有学过 其他的知识点分吗？你是怎么想的？因为我们之前我们对圆柱的体积我们不知道吗？我们就可以把它挂成我们知道的体积去求，那你知道的体积去求。好，请坐。我问你圆柱它的底面是一个什么图形？圆形，那我们之前还记得圆的面积怎么求的吗？ 三 d 推倒方才赢太二平方，那这个公式怎么来的？还记得推导过程吗？记得，首先把它分清楚， 将一个圆分成若干份，若干份一定要平均，把它们卡卡在一起，就可以拼成一个近似的长方体。 这次的长方形行行行行好，说的太好了，他强调了重点，分成若干份，并且要平均分。王老师也带来了一个视频，大家回忆一下，圆的面积也会变成圆形， 把圆平均分成若干份，能拼成一个平行四边形，当圆平均分成的倍数越多时，拼成的图形越接近一个长方形。好，从这个视频我们可以看到，圆 可以转化成一个近似的长方形，那圆柱可以转化成一个 长方形，那圆柱就可以转换成一个体的长方形。长方形好，请做具体怎么样操作，你觉得具体要怎么样操作？新元素，我觉得首先要把一个圆柱拿出来，再把它从中间切开， 啊，就成了两个半圆，把半圆平均分成若干份，然后再把它拼起来，就会拼成一个近似长方体的图形的体， 只要我们求出长方体的体积，就能得出圆柱的体积。说得非常好，请坐。所以你们都认为圆柱可以转化成一个近似的长方体，刚刚这位同学也说了他的想法，怎么样去操作，现在请组长拿出老师准备的教具， 以小组为单位来动手操作吧，给你们一分钟的时间就开始，时间到了，哪一个小组愿意来展示一下。好，请你们正视一下。好，请你说，这是我的展示。我们首先是有一个圆柱体，我们将其分成若干份，一定是平均的若干份， 把它拼拼在一起就成了一个长方形，正方形的长方形，说的非常好，还有哪一组愿意来呢？ 展示一下。好，请你来。你们这种可以分成若干份之后，就拼成了一个近似长方体的 图形，好近似的长方体的图形。刚刚因为这个道具的限制，我们这个圆柱都是平均分成了十六份，十几份。那现在请你想象一下， 我如果把它无限分下去，分的越小，分的越多，他会怎么样？请做那个女生， 他会，我认为如果他分数分的越小，他会更加的接近长方形。是吗？好，请坐。现在我们通过视频来了解一下。转化成长方形，计算体积，把圆柱体面平均分成若干份，切开后就能拼成一个近似的长方体。 把里面平均分成的倍数越多时，嗯，形成的图形就越接近长方。通过视频我们知道，把圆柱的底面无限的分下去，就能拼成一个 长方体，注意是无限的，分下去之后才能变成一个长方体，那转化之后 的图形有一个学习单，在你的抽屉里有一个学习单， 学习单上有这些题目，请小组之间合作讨论把。答题单请除了填写数字变的时候没变，下面的长方体和原来圆柱体各部分的对应关系，也请填写好长方体的 长方形的长，长方形的宽等于圆柱的圆。圆圆柱上下圆，圆柱上下圆的高与里面里面里面圆的都完成了吗？三、完成了。好，请两个小组来展示一下你们的 成果。好，请这边第二个小组，请大家听我说。第一题，我的想法是长方体转化成圆柱，或者圆柱转化成长方体之后，它的形状变了，但是它的体积没变。圆柱在转化成长方形的过程中， 他的体积没有增加，也没有减少，所以转换后的长方体，他的体积是跟圆柱是相等的。第二题，我的想法是，长方体的长在转换之后，他就等于圆柱的底面周长的一半。长方体的宽在转换成圆柱之后，是等于圆柱 里面的半径。长方体的高在转换成圆柱之后，他是等于圆柱的高。长方体的体积在转换成圆柱之后，他也就等于了圆柱的体积。因为长方体 他的面积体积计算公式是长乘宽乘高，所以圆柱的体积计算公式就是相应的。转换过来之后就是 pi r 乘 r 乘高。 说，好不好，我的表达完毕，说，好不好，看？好了，还有哪一组我又来分享了。好，请你来，请大家听我说。前面两题我跟他的想法是一样的，但是第一题我还要补充一点，他的面积也变了，然后 面积是指，面积是指他的表面面积，因为长方形的体积我们都知道等于底面积乘以高， 长方体的体积它等于圆柱的体积，所以我觉得圆柱的体积也等于底面积乘以高。我的表达完毕，谢谢两 位把你的学习单留给王先生好吗？他们两位同学说的太好了，我们再来看一下两个同两个小组的他们的学习单。第二个部分就是中间这个部分对应的各部分之间的对应关系。两个组写的是一样的， 就只有最后这个结论不一样，请你们观察一下，通过刚刚你们的发现，你们觉得都同意一个观点，就是长方体的体积是等于圆柱的体积，是吗？同意吗？同意。那你看他们的结果有什么联系？请你说，他们都乘以了高， 多乘以高，长乘宽就等于它的底面积。说得非常好，长方形的这个长乘宽实际上就等于底面积，所以我们说因为长方形的 底面，呃，体积等于底面积乘高，那圆柱的体积也等于底面积乘高，请做。 这两个同学其实表达的是同一个意思，因为这里长乘宽就是这个底面积，所以我们经过大家探讨，得出了一个共同的结论，因为长方体的我们一起来读一遍好不好？因为，因为，因为长方体的底筋等于底 面积乘高，所以圆柱的体积等于底面积乘高。哪位同学还记得用字母来表示圆柱的体积，会用字母表示吗？底面积用什么字母，体积用什么字母， 记得吗？面积用 h， 体积呢？体积用 h， 所以 圆柱的体积 v 等于 x h， 也就等于底面面积乘以什么？你们怎么求呢？圆柱的底面积太二的 x h h， 你 们刚刚的探讨表现的太棒了，再次把掌声送给你们自己好吗？ 在这个过程当中，底面积一样高，也是一样的不变，所以都等于底面积乘高。推出来了 这个体积的公式了，我们能够解决这个模型的体积的吗？能算出来吗？可以，现在请你们 动手测量并计算出他的数。好，都算出来了吗？算了，请一个同学请来一组来分享一下你们的答案，好，请你来分享一下你的结果，请大家听我说。因为我们刚才学习到了，圆柱的 它的体积就等于 pi 的 二次方，再乘以高，所以说我们现在就要先求出它， 他的 r 是 多长，我们测量出他的 r 有 多长，我们量出的是二，再五厘米，二厘米，我们再把高也量出来，也就是五厘米，我们就可以先算出。我们这里因为怕大家看不懂这些吧， 高的我们先分布算了，我们先把这个圆的面积先求出来，再把它乘以这个高。圆的面积三点一次乘以二的二次方就等于十二点五六，我们这里算出来的就是我们把圆的面积求出来了，再乘以它的高就是十二点五六，乘以五等于六十二点八， 所以他算出来的答案，所以他算出来的答案是六十二点八立方厘米，你们的答案和他一样吗？一样一样答案的请举手。把手放下，我们来看一看，最初半径是两厘米，高是五厘米，再根据公式， 圆柱的体积等于底面积乘高算出结果，六十二点八立方厘米。好了，解决了那个小模型的 体积了，我们回到最开始同学，我们班上同学在课间发现的问题能帮助他解决了吗？数的体积 你需要知道哪些信息？请你来。我们首先要知道它底面积是多少，底面积，还有知道它的高是多少还是它的高多少，那底面积我们能求出来吗？ 不能能量出来吗？甜甜姐，可以可以，我们可以先求半，我们可以先求出它的周长，先求出周长除以三点一四等于直径， 利用周长求出直径，然后再用直径除以二求出半径，求出半径，再用 pi r 的 二次方求出半径，做的非常好，速度也很清晰。我们再看看这两个同学，把你们需要的信息已经测量出来了，通过测量我们知道了 里面周长是十八点八四分。通过测量我们知道了圆珠的里面周长是十八点八四分米，高是五十分米。周长和高都知道了，现在你们动手，现在我们就自己做自己的好不好，我们不再以小组的形式来讨论了。 好，我看大部分同学都已经做完了，而且做得特别好，请这位同学你来展示一下你的计算过程好吗？请大家听我说。我们知道了圆的周长是十八点八四分米，就可以求出它的直径。 直径等于周长，除以三点一四就是一十八点八四除以三点一四等于六分米。我们知道了直径是六分米，就可以求出它的半径，半径就是用直径除以二 就是六，除以二等于三分米。我们再利用求圆柱的体积的公式，就是用 pi r 的 平方乘以高，就是用三点一四乘以三的平方，再乘以五十等于十四点 一十。一千四百一十三平方分立方分米。好， 回答正确。来，我们把掌声送给他，我们一起来看一下他的体积的计算过程。你们和刚刚那位女生的结果一模一样，一千四百一十三立方分米，答案和他一样的请举手，把手放下。我们班的孩子真的太聪明了，经过这节课的学习，所有同学都学会了 圆柱的体积，并且能够计算正确，那这节课的学习你有什么收获呢？我知道了。怎么求圆柱的体积？圆柱的体积等于多少？ 等于迈尔的二次方，等于 h， 等于什么底面积？还记得它是怎么推断出来的吗？ 好，请你说一下过程。把圆柱把它分成若干份，拼插在一。呃，分成两半，分成若干份，拼插在一起，就能变成一个 近似的长方形。近似的长方体，用长方，用长方体求体积的公式来推导出圆柱的体积公式，这个非常清楚，请坐。 我们这节课学习了这么多的知识，现在请你想象一下一个圆柱，它的 圆柱，我们说它底面是什么图形？嗯，一个圆。如果现在我把这个圆慢慢的请想象，慢慢的越来越小，越缩越小，变成一个点，它会变成一个什么图形？会变成一个圆锥，变成一个圆锥。好。

圆柱的体积， 古代的劳动人民真是太让人佩服了，他们仅用自己的智慧和双手就建造出了这么雄伟的建筑。这么粗的柱子得需要多少木材呀？ 这个柱子是一个圆柱体，是不是算出圆柱体的体积就知道了。是的哦。那圆柱体的体积应该怎么求呢？ 别着急，先想一想你们学习过哪些立体图形的体积？我们学过长方体和正方体的体积都等于底面积乘高，也就是 v 等于 s h。 那 你们再想想圆柱和它们有联系吗？ 圆柱体也有底面积和高，我猜圆柱的体积可能也等于底面积乘高。 我们不仅能猜想，还要去验证我们的猜想。在学习圆面积的时候，我们采用了画趋为直的方法，就将圆转化成了一个近四的平行四边形。 那我们也可以沿着圆柱的底面直径并垂直于另一个底面切开，再将每部分都八等分，然后将它们拼在一起，这样就能将圆柱转化成为一个近似的长方体。 哎，我们还可以将圆柱进行三十二等分、 六十四等分、 一百二十八等分 观察，发现越来越接近长方体了。观察拼成的长方体与原来的圆柱有什么发现？ 转化前后的底面积高和体积没有发生变化。长方体的体积等于底面积乘高。最初的猜想，圆柱的体积也等于底面积乘高是正确的。 按照长方体体积等于长乘宽乘高这个公式，我们也能推导出圆柱的体积公式吗？善于思考，给你点赞！ 通过观察，我们知道长方体的长就是圆柱底面周长的二分之一等于派 r， 长方体的宽就是圆柱的底面半径， r 长方体的高就是圆柱的高 h 长方体的体积 v 等于派 r 乘 r 乘 h 等于派 r 的 平方 h， 派 r 的 平方就是圆柱的底面积 s 得到 v 等于 s h， 所以 我们依然可以得到圆柱体的体积等于底，面积乘高。 嗯，那现在只要知道这些信息，就可以求出圆柱体的体积了，咱们赶紧找找有没有对这个建筑的详细介绍。 嗯，快看，这上面有一根柱子的底面半径为零点四米，高为五米，圆柱的体积 v 等于 s， h 等于胎儿的平方 h 代入得出结果。这个地方要注意，可以运用乘法结合律计算会简单一些。 没错，那我手中的这个水杯能装多少毫升的水呢？我来计算，水杯底面直径是六厘米，高十六厘米，列示为。 如果忽略杯子的边缘和底部的厚度，就可以看成它的容积是四百五十二点一六毫升。 啊，这个杯子装的水也太少了，这游玩一天下来都还不够喝呢，你看这是啥？哈哈哈，咱们接着去别的地方游玩吧。

面积，你知道这根柱子占了多大的空间吗？我们以前学过，物体所占空间的大小是物体的体积，那圆柱所占空间的大小就是圆柱的体积，那圆柱的体积怎么求呢？ 他们的问题是什么呀？圆柱好，圆柱的体积怎么求？嗯，请坐。我们说物体所占空间的大小就是它的体积，那么这节课我们就一起来探究圆柱的体积。 视频里面提到的是一个非常大的柱子，不方便来测量。那这节课呀，我们就来探讨如何算出这个小圆柱的模型的体积。 你们每一组的桌子上都有一个这样的圆柱，请你拿出来，举手拿出来，请思考。小组可以问你们有什么好的方法能求出它的体积吗？给你们一分钟的时间可以开始讨论。 这个是朝年宽朝的朝的高层，高层，这个层是高， 我们还有两对，他的发型是多少，发型是多少 啊？ 高，就是我们给他搞成一个 好时间，到哪一组能分享一下你们的想法。 好，请你来。我们组的想法呢？就是他一个我们之前学过的长方体和正方的体的面积是那个底面积乘以高求出的底体积。嗯，体积。所以如果我们要求那个圆柱体的 圆柱体的体积的话，我们首先要知道它的底面积和它的高，然后用底面积乘高就能得出体积。啊，听懂他的想法了吗？请做啊，他通过呃之前学的长方形和正方体的体积来推导圆柱的体积， 很好的想法，还有其他的吗？好，请你来。嗯，我们知道一个长方形能变成一个圆柱形，他长方体，长方体， 这个长方的里面的半径就等于长方体的宽和高，他的这个圆柱体的高就等于长方形的 宽。边长啊，长之后求出长方形的长方体的体积，就能得出这个圆柱体的体积。啊，好，我听懂他的意思了，也是把长方体来类比出圆柱体的体积，并且他说出各部分的关系 还有不同的想法吗？我们大胆一点。好，请你来。我们这种的想法就是把他们 就把这个圆柱体分成很多段，然后去把每个，呃，每个段再去求一下。哦，好，请坐。他们这组的想法是把圆柱分成若干块，你怎么会想到分呢？我们之前有学过其他的知识去分吗？ 你是怎么想到的？怎么想到的？就是，呃，因为我们之前我们对原圆柱的体积我们不知道吗？我们就可以把它画成我们知道的体积去求。哦，画成知道的体积去求。好，请坐。我问你圆柱它的底面是一个什么图形？ 圆形，那我们之前还记得圆的面积怎么求的吗？记得，三半径，三厘米，三角形， 还有一个平方。那这个公式怎么来的？还记得推导过程吗？嗯，记得。首先把它分在心里说， 将将一个，将一个圆分成分成若干份，一定要是若干份，一定要平均。嗯，然后把它们卡卡在一起，就可以拼成一个近似的长方体， 近似的长方形。行行好，说的太好了，他强调了重点分成若干份，并且要平均分。王老师也带来了一个视频，大家回忆一下，圆的面积也会变成圆形，把圆平均分成若干份，能拼成一个平行四边形， 当圆平均分成的倍数越多时，拼成的图形越接近一个长方形。 好，从这个视频我们可以看到，圆可以转化成一个近似的长方形，那圆柱可以转化成一个什么样的图形呢？ 圆柱可，应该可以，圆形的话，圆的话可以转成一个 长方形，那圆柱就可以呢？可以转化成一个立体的长方形。立体的长方体，长方体。好，请做。具体怎么样操作？ 你觉得具体要怎么样操作？新元素，我觉得首先要把一个圆柱拿出来，嗯，再把它从中间切开，把，就成了两个半圆， 把半圆平均分成若干份之后，再把它拼起来，就会拼成一个近似长方体的图的体。 只要我们求出长方体的体积，就能得出圆柱的体积。啊，说的非常好，请坐。所以你们都认为圆柱可以转化成一个近次的长方体，刚刚这位同学也说了他的想法，怎么样去操作，现在请组长拿出老师准备的教具， 以小组为单位来动手操作吧。给你们一分钟的时间， 啊啊， 然后 好，时间到了，哪一个小组愿意来展示一下？好，请你们正视这个小组。 好，请你说，这是我的展示。我们首先是有一个圆柱体，然后我们将其分成若干份，一定是平均的若干份，然后将其把它拼拼在一起， 就成了一个长方形长轴体。一个什么长方形？近四的长轴体，近四的长轴。说的非常好，还有哪一组愿意来吗？来试一下。嗯，好，请你来，你们就走。 嗯，分成若干份之后，就拼成了一个一个近似长方体的图形。嗯，很好，近似的长方体的图形。 刚刚因为这个较具的限制，我们这个圆柱呢，都是平均分成了十六份，十几份，那请你想象一下， 现在请你想象一下我如果把它无限分下去，分的越小，分的越多，他会怎么样？ 请坐那个女生，他会，我认为如果他分数分的越小的话，他会更加的接近一个长方体，更加的接近长方体，是吗？嗯，好，请坐。 现在我们通过视频来了解一下。转化成长方形，计算体积，把圆柱底面平均分成若干份，切开后就能拼成一个近似的长方体。 把底面平均分成的分数越多时，拼成的图形就越接近长方体。 通过视频我们知道，把圆柱的底面啊，无限的分下去就能拼成一个长方体，注意是无限的，分下去之后才能变成一个长方体。那转化之后的图形 什么变了？什么没变？嗯，我们呢有一个学习单，在你的抽屉里有一个学习单，学习单上有这些题目，请小组之间合作讨论。把答题单把学习单上的题目 两遍。 还有什么？ 他们不是说那题中的填写是怎么变的，时候没变，然后下面的长方体和原来圆柱体各部分之间的对应关系也请填写好 长方形的长方形的圆圈，圆圈， 圆圈，圆圈，圆圈上下圆圈上下圆的 这个是 就等于高， 很高很高，等于里面，里面里面圆，里面圆 这一条边是等他圆圈， 你看这这这就是，这个就是。 好， 都完成了吗？学习单完成了，好，请两个小组来展示一下你们的成果。嗯，好，请这边第二个小组， 请大家听我说。第一题，我的想法是长方体转化成圆柱，或者圆柱转化成长方体之后，它的形状变了，但是它的体积没变。 圆柱在转化成长方形的过程中，它的体积没有增加，也没有减少，所以转化后的长方体，它的体积是跟圆柱是相等的。嗯， 第二题，我的想法是长方体的长在转换之后，它就等于圆柱的底面周长的一半。嗯， 然后长方体的宽在转换成圆柱之后，是等于圆柱底面的半径。 长方体的高在转换成圆柱之后，它是等于圆柱的高。长方体的体积在转换成圆柱之后，它也就等于了圆柱的体积。 因为长方体它的面积体积计算公式是长乘宽乘高，所以圆柱的体积计算公式就是相应的。转换过来之后就是派 r 乘 r 乘高。 说，好不好，我的表达完毕，说，好不好，转换一下，看好了，还有哪一组我又来分享。好，请你来， 请大家听我说。呃呃，前面两题我跟他的想法是一样的，但是第一题我还要补充一点，他的面积也变了。好， 然后，呃，面积是指，面积是指他的表面面积。嗯，然后 就是因为长方体的体积我们都知道等于底面积乘以高，然后他长方体的体积他等于圆柱的体积，所以我觉得圆柱的体积也等于底面积乘以高。我的表达完毕，谢谢大家。 两位把你的学习单留给王老师一下好吗？好，他们两位同学说的太好了，我们再来看一下两位同两个小组的 他们的这个学习单。第二个部分就是中间这个部分啊，对应的各部分之间的对应关系，两个组写的是一样的，就只有最后这个结论不一样，请你们观察一下。 通过刚刚你们的发现啊，你们觉得都同意一个观点，就是长方体的体积是等于圆柱的体积，是吗？同意吗？同意同意。那你看他们的结果有什么联系？请你说他们都乘以了高， 嗯，多乘以高，长乘宽就等于它的底面积。嗯，说的非常好，长方体的这个长乘宽实际上就等于底面积，所以我们说因为长方体的 底面，呃，体积等于底面积乘高，那圆柱的 体积也等于底面积乘高，底面积乘高，请坐。这两个同学其实表达的是同一个意思，因为这里长乘宽就是这个底面积，所以啊， 我们经过大家探讨，得出了一个共同的结论，因为长方体的底筋等于底 面积乘高，所以圆柱的体积等于底面积乘高。哪位同学还记得用字母来表示圆柱的体积，会用字母表示吗？ 底面积用什么字母，体积用什么字母，记得吗？底面积是底面积用 h， 体积呢？体积用 h， 所以 圆柱的体积 v 等于 h 等于 h， 也就等于底面积乘方。嗯，底面积怎么求呢？圆圈的底面积太二二二二二二二二二二二二 h h， 你 们刚刚的探讨表现的太棒了，再次把掌声送给你们自己好吗？ 在这个过程当中，底面积一样高，也是一样的不变，所以都等于底面积乘高。 推出来了这个体积的公式了，我们能够解决这个模型的体积的吗？能算出来吗？可以，现在请你们动手测量并计算出它的体积，我的手是 我的， 谢谢谢谢。 四零五，对呀，我们当时四零五，四零二二八，二十八，二十八，二十九，二十九，二十二三八 十二 幺五六点二十六， 因为是 什么颜色出来 好，都算出来了吗？算了，请一个同学请来一组来分享一下你们的答案。好，请你来分享一下你的结果。 请大家听我说，因为我们刚才学习到了，圆柱的它的体积就等于 pi 的 二次方再乘以高，所以说我们现在就要先求出它 啊，他的 r 是 多长，然后我们我们量出，测量出他的 r 有 多长，我们量出的是二，然后再把厘米二厘米，我们再把高也量出来，也就是五厘米，我们就可以先算出。呃， 我们这里我们这里，因为，呃怕大家看不懂，就先把高的就我们先分布算了。我们先把圆的 先把这个圆的面积先求出来，然后再把它乘以这个高，圆的面积三点一四，乘以二的二次方就等于十二点五六嘛，然后我们这里算出来的就是，呃， 我们把圆的面积求出来了，然后再求再乘以它的高就是十二点五六，乘以五等于六十二点八。谢谢大家，老师，真好 答案，所以它算出来的答案是六十二点八立方厘米，你们的答案和它一样吗？一样一样一样答案的请举手。嗯，很不错，把手放下， 我们来看一看， 测量出班级是两厘米，高是五厘米，再根据公式，圆柱的体积等于底面积乘高算出结果，六十二点八立方厘米。 好了，解决了那个小模型的体积了，我们回到最开始这两位同学，我们班上同学在课间发现的问题能帮助他解决了吗？ 住的体积你需要知道哪些信息？请你来。我们首先要知道它底面积是多少，底面积，还有知道它的高是多少还是它的高是多少， 那底面积我们能求出来吗？不能能量出来吗？底面积可以可以，我们可以先求出它的周长哦，先求出周长除以三点一四等于直径， 利用周长求出直径，然后再用直径除以二求出半径。嗯，求出半径，再用 pi r 的 二次方求出面积。面积做的非常好，速度也很清晰。 嗯，我们再看看这两个同学啊，把你们需要的信息已经测量出来了。 通过测量我们知道了圆柱的底面周长是十八点八四分米高。通过测量我们知道了圆柱的底面周长是十八点八四分米，高是五十分米。 周长和高都知道了，现在你们动手吧， 现在我们就自己做自己的好不好，我们不再以小组的形式来讨论了， 然后里面折成是十八点八 八百五十七。 好，我看到大部分同学都已经做完了，而且做的特别好，请这位同学你来展示一下你的计算过程好吗？ 请大家听我说。我们知道了圆的周长是十八点八四分米，就可以求出它的直径。直径等于周长除以三点一四就是一十八点八四除以三点一四等于六分米。 我们知道了直径是六分米，就可以求出它的半径，半径就是用直径除以二就是六，除以二等于三分米。 然后我们再利用求圆柱的体积的公式，就是用 pi r 的 平方乘以高，就是用三点一四乘以三的平方，再乘以五十等于十四点 一十，一千四百一十三平方分米立方分米。好，回答正确啊，来，我们把掌声送给他， 我们一起来看一下它的体积的计算过程。 看你们的刚刚那位女生，结果一模一样，一千四百一十三立方分米，答案和他一样的请举手。 好，把手放下，我们班的孩子真的太聪明了啊，经过这节课的学习，所有同学都学会了，嗯，圆柱的体积，并且能够计算正确， 那这节课的学习你有什么收获呢？好，请你来谈一下，我知道了，怎么求圆柱的体积，嗯，圆柱体积等于多少？等于太阳， 可以没尺等于什么？底面积层高。还记得他是怎么推断出来的吗？ 好，请你说一下过程，就是把那个，呃圆柱，呃呃，把它分成若干份，然后拼插在一， 分成两半，然后分成若干份，拼插在一起就能变成一个近似的长方形，然后近似的 这是长方体，然后用长方，然后用用长方体求体积的公式来推导出圆柱的。呃，体积公式，嗯，说得非常清楚，请坐。 我们这节课学习了这么多的知识，现在请你想象一下一个圆柱，它的圆柱，我们说它的底面是什么图形？一个圆，如果现在我把这个圆慢慢的请想象啊，慢慢的越来越小，越缩越小，变成一个点， 它会变成一个什么图形呢？它会，它会变成一个圆锥，变成一个圆锥。好，请坐。王老师也带来了一个视频，请看， 很神奇的一个字，变形。

全新三 d 可交互圆柱体积演示网页来了，左边演示步骤一目了然，实时点击实时变右边操作区，可调节切分数量、圆柱半径和高度，还有各种颜色来区分，最下边还能划快控制圆柱切割展开与拼合的力度，简直是课堂神器，助力老师课间更优质，赶紧试试吧！

同学们，今天的每日一题呢，是基于圆柱的体积公式的推导过程。我们在课上研究圆柱的体积公式的时候呢，带领大家操作，也动画演示过，我们当时呢，是将一个圆柱转化成了一个近似的长方体， 从而推出了圆柱的体积，通过观察转化前后的圆柱与长方体的变 与不变，而推导出了圆柱的体积公式。我们先来回顾一下当时的推导过程吧，大家请看这里呢，有一个圆柱，这个圆柱我们先把它十六等分，现在呢，我们把这个圆柱交叉展开， 展开以后呢，我们再把它拼成一个长方形，大家请看现在这个圆柱，由于转化前后的圆柱和长方体的体积是一样的， 而长方体的长刚好就等于圆柱的底面周长的一半，用字母表示就是 pi r， 长方体的高就是原来圆柱的高， 而长方体的宽呢，它是圆柱的底面半径，因为长方体的体积等于长乘宽 再乘高，所以圆柱的体积公式就等于派 r 的 平方 h。 这是我们上课的圆柱体积的推导过程。而今天的每日一题呀，我们在这个长方体的基础上，再把它进行一个翻转， 大家请看他现在就成了这个样子。第一题，观察上图，我们发现翻转后的长方体的底面积等于圆柱的什么呢？ 同学们，回顾我们刚刚拼成长方形的过程，大家请看现在，现在红笔涂出来的这一部分，大家可以清楚的看到，它就等于圆柱侧面积的一半， 而现在长方体的高大家可以看到是这里，这里呢，它刚好就是圆柱的底面半径， 大家请看这个翻转过来的长方体，长方体的体积呢，就等于底面积乘高，所以呢，它就等于侧面积的一半再乘高 r， 所以 啊，圆柱的体积还等于侧面积的一半乘底面半径呢。 现在用我们的发现来解决一下下面的问题吧，告诉了我们圆柱的侧面积和半径 要求它的体积。我相信如果没有刚刚的分析，很多同学会这么去做，他看到侧面积是八十平方分米，他就会想到二 pi r h 是 八十， 又根据半径是五，然后呢，先求出来圆柱的高，再通过 pi r 的 平方 h 求出来它的体积。而经过我们刚刚的分析，大家知道了，圆柱的体积还可以通过侧面积的一半乘底面半径直接求得。 所以这道题我们可以直接用八十乘五除以二求得是二百立方分，而不需要再通过测面积求出来 h， 再用原来的 pi r 的 平方 h 去计算了。所以同学们，任何时候我们换一个角度，就可能让事情变得简单。 这道题我们一旦把这个长方体翻转一下，我们就得到了另外一个求圆柱体积的公式。当呢，遇到已知条件中有侧面积有半径的时候，我们就不需要再翻回去重新求高，而是可以直接用侧面积乘半径来计算啦。 所以我们求圆柱的体积啊，可不一定要知道高哦。学们转化思想让我们的数学变得有趣又简单， 应用公式的时候，我们同样可以灵活的去转化，去翻转，从而从另外一种角度理解圆柱体积的推导过程， 这样在某些已知条件中就能很快的得到应用。希望大家都能把转化的数学思想牢牢的刻在你的脑海里，遇到题目的时候灵活变通。以上就是今天这道题的讲解啦，我们明天再见！

圆锥的体积与底面积和高有关。公式，十三分之一乘以底面积再乘以高。底面积由圆的半径决定，所以也和半径的平方相关。 小朋友们，通过本节课的学习，你掌握了圆锥的体积相关知识了吗？下面有四个关卡难住我了，你们能我闯关吗？ 的歌颂，谁能切金枪！ ready go！ ready go！ 是 否没冲胜利是否没冲！ ready go！ come on fly！ 是 否没冲胜利到我去！

同学们好呀，今天咱们来聊聊怎么推导出圆柱的体积公式，其实一点都不难，跟着我一起思考就好了。大家还记得长方体的体积公式吗？对了，就是长乘宽乘高，也可以说成是底面积乘高， 这个公式咱们先记在心里。现在想象一下，我们有一个圆柱体，比如一个罐头或者一个柱子，如果我们把这个圆柱体切成很多很多非常非常薄的小薄片，就像把一根黄瓜切成无数片很薄的圆片一样， 每一片虽然很薄，但他还是一个圆柱体，不过因为太薄了，我们可以近似的把他看作是一个非常薄的圆盘，就像一张圆形的纸片。 那如果我们把这些圆形的小薄片一片一片的叠起来，是不是又能重新组成原来的圆柱体呢？现在关键来了，如果我们把这些圆形薄片想象成是一个一个非常非常小的长方体，可能有同学会问， 圆形怎么能变成长方形呢？其实啊，我们可以把一个圆分成很多很多个小扇形，就像切披萨一样，切成很多小块，然后把这些小扇形巧妙的拼在一起，是不是就能拼成一个近字的长方形呢？ 这个长方形的长大概就是圆周长的一半，宽就是圆的半径，所以圆的面积公式 pi 平方就是这么来的，这个大家应该还记得吧。 好，那我们把每一个薄圆盘都这样近似看成一个底面积是 pi r 平方高非常非常小的长方体。那这么多小长方体叠在一起，总的体积不就是所有小长方体体积的总和吗？ 每个小长方体的体积是底面积乘高，那所有小长方体的体积加起来，底面积都是 pi r 平方高，加起来就是原来圆柱体的高 h 了，所以总的体积就是 pi r 平方乘 h， 也就是底面积乘高。 你看这样一想，圆柱的体积公式是不是就和长方体的体积公式联系起来了？都是底面积乘高，只不过圆柱的底面积是个圆形而已。 其实数学里很多知识都是相通的，用我们熟悉的东西去理解新的知识就会简单很多。那大家现在明白圆柱体积公式是怎么来的了吗？或者你们还有什么更巧妙的理解方法？欢迎在评论区分享哦！