2025山西中考数学压轴题怎么作图

折叠问题是平行线考察倒角问题当中的重中之重，在月考、期中、期末以及中考当中都可以见到他的身影。掌握好倒角的折叠要领，那么大家在处理折叠问题的时候将不在话下， 我们说折叠必出角，平分线必出相等角，其中折痕就是角，平分线两侧即为相等角，而且一出相等角必出两组。所以呢我们接下来带着大家利用这道题来处理一下折叠的倒角问题。 那么在折叠过程当中，大家也还要注意好一个关键词叫做还原，我们要把原折叠前的模样还原出来，这样的话配合折叠导角的基本要领，我们就可以很快的导角清楚。 所以首先呢我们先把这个图形呢给他折叠前的样式我还原一下，然后接下来我们就开始处理，首先他先沿着折痕 e f， 我们找到折痕，折痕就是角，平分线两侧呢有相等角，一找找两组，哪两组呢？第一组呢就是角 c e f 和 f e d， 第二个呢就是两个大角，就是我画黄色部分这两部分好了，那么我们把具体度数标一下，题当中给了 d 撇 e f 等于二十度， 所以上方这个角也是二十度，那么利用长方形本身自带平行，我们可以得到 e f b 内错角，得到二十度，那么黄色部分的角度呢，大家也可以得到是一百六十度。 好了，然后我们转移到下方下方这个 b f 旁边的这个角度呢，我们也能求一百六减去二十度等于一百四十度。 好，这个就是利用了折叠的基本要领去处理的。然后接下来我们再看二次折叠，二次折叠沿着 b、 f 折叠，那么折叠的过程是把哪个角折叠上去了？对了，把一百四十度角折叠到了哪个位置呢？折叠到了角 b、 f、 c 的 位置也等于一百四十度。 好了，角 b、 f、 c 等于一百四十度，里面呢含有一个角 e、 f、 b 等于二十度，所以我们要求解的角 c、 f、 e 其实就等于一百四十度 减去二十度，所以最后答案算下一百二十度我们就解决清楚了。所以大家只要掌握好折叠的倒角要领，那么处理折叠问题将不在话下。好了，你学会了吗？关注于老师学习数学不迷路，满分不是梦！

备战二零二零年山西中考，今天我们一起来看二零二五年百校联考一、二十三题。这道题的关键还是模型，有手拉手模型，有平行线加终点模型，以及考到了特殊角二十二点五度以及六十七点五度这样的三角形中呢？三边之比，我们一起来读题。 四，边形 a、 b、 c、 d 是 个正方形，边长是二一点。在 b、 c 上以 a、 e 为边，又做了个正方形，两个正方形共用个顶点，那就是手拉手模型。所以 d、 e 直接可以快速得出结论， b、 e 和 d、 g 它俩是相等的，因为这两个三角形它是全等的。手拉手全等， a、 b 和 a、 g 它也是相等的。 以及两个九度套在一起之后，所以这里面的角一和角二又是相等的，所以边角边可以正得图中红色阴影的两个三角形，那 b 就 等于 d、 j 了。 第二，在图一的基础上，连接 b、 d 小 正方形的对角线，连接 e、 g 大 正方形的对角线，连完之后把 a、 h 再连起来。让我们猜想这样一个三角形它的形状，这个三角形就是一个等腰 r、 t 三角形， 它其实就是平行线加中点的一个变形的一个应用。因为三角形 a、 e、 g 已经是个等腰三角形了。结合第一，用的正法， b、 e 的 长永远等于 d、 g 的 长， 这两条线呢，相等又好像没法用，所以我们做法过 e 点做一个 b、 c 的 垂线，交点是 m 点。做完之后，因为 b、 d 啊是正方形的对角线，所以顶点 b 处有个角是四十五度，也就是说三角形 b、 e、 m 是 个等腰直角，三角形 e、 m 的 长也是一个圈圈红色阴影的两个三角形，它就全等了。可以正得。这个 h 点，就是 e、 g 的 中点以及三角形 a， e、 g 是 个等腰直角三角形。所以等腰直角三角形三线合一之后啊，分出的这一半必然是个等腰直角三角形。 或者我们也可以过这点做 b、 c 的 平行线，然后再把 b、 d 给它延长出来，交点，如果也是个 m 点的话， 那么可以正得图中两个黑色的三角形，依然是全等的道理一样可以正得 h 就是 e、 g 的 中点，等腰直角三角形斜边的中点就三线合一了。三角形 a、 e、 h 是 个等腰直角三角形。第三，如果说 e 点是射线 bc 上的一个洞点，连接 e、 g 与射线 b、 d 相交于 h 点，再连接 c、 f， 其他条件不变。当 h 点落到了这个角平分线上的时候，让我们找三角形 b、 e、 h 和三角形 e、 c、 f 的 面积之比。那既然在射线上，所以啊，它又需要分类讨论 一种情况，就是这个图案，当一点还是在线段 b、 c 上的时候，把该连的线我们连起来之后，关键信息是 h 落到了角 e、 c、 f 的 角平分线上，所以我们先把 c、 h 连起来，我们继续来分析顶点一处，它是个九十度， 这里面首先有个三垂之全等模型，我们把 bc 给他延长出来，过 f 点做一条垂线段，这个点是 p 点，三角形 a、 b、 e 和三角形 e、 p、 f 他 俩是全等的。也就是说，前面证明的这个圈圈是等于 f、 t 的， 以及小正方形的边长 ab 本来等于 bc， 现在全等之后又等于 e、 p， 所以 我们得出来， c p 的 长也是一个圈圈， 也就是说我们得到角 e、 c、 f 啊，它其实是一百三十五度，把它给平分了，说明每一个角是六十七点五度， 顶点 c 处两个小角都是六十七点五度，再结合顶点 b 处这个角是四十五度。所以我又得出来三角形 b、 c、 h 啊，它是个等腰三角形，并且是四十五度、六十七点五度以及六十七点五度这样一个等腰。我们来写一下问题， s 三角形 b e、 h， 它要比 s 三角形 e、 c、 f 第一个面积可以表达为二分之一乘以 b e， 再乘以它差的高，这个高我们过 h 点向 bc 做一条垂线段，这个垂足是 q 点，乘以 h q， 再比上二分之一乘以 ec， 再乘以 f p， 二分之一和二分之一是相等的， f p 的 长和 b e 的 长是相等的，所以这两个三角形的面积之比，其实就是 h q 比上 ec 的 长 面积问题，我们把它转化成线段问题。那接下来要么找到 h q 和 e c 的 比值，要么分别算出 h q 和 e c 的 长度即可啊。 因为三角形 b、 c、 h 是 个等腰，所以 b x 的 长和 b c 的 长是一样的，都等于二。并且我们做了个垂线之后，那么 h q 的 长首先可以把它表达出来，它就是根号二。那 e、 c 的 长又如何去表达呢？ e、 c 它可以表达为是边长。 b c 二 减去这一个圈圈，减去 b e， 而 b e 呢，是等于 d g 的， 所以相当于是二减去这个 d g 的 长， 因为前面已经正过了，这个 h 点，其实就是 e g 的 中点，所以我们做了个垂线之后，这个 h q 其实就是三角形 e、 c、 g 的 一条中位线，中位线是根号二，所以 c g 的 长就是二倍根号二，那么 d g 就是 二倍根号二减二， ec 的 长是二减去二倍根号再加二，结果等于四减二倍根号二。 所以第一种算法我们就可以得出来，这个面积之比是根号二，比上四减二倍根号，把它化减即可。或者这道题我们还可以直接用特殊角来解决， 因为顶点 c 这个角是六十七点五度，以及这里面有正方形中的飞机模型，是正方形的对角线上任意一个点和两个端点，两个顶点连起来之后，永远有相同的线段。比方说图中 a、 h 这条边和 h c 永远是相等的， 以及前位的正等 a h 和 h e 也是相等的，所以此时三角形 h e、 c 它就是一个等腰三角形，并且顶角还是四十五度，底角是六十七点五度。做了个三线合一的线之后，那说明这个角一，我们能得出就是二十二点五度。 题干中两个三角形的面积之比，其实就是 h q 比上 e c 的 长，而 e c 又等于两倍的 c q， 所以 我们可以先得出来摊正角一，它其实就是 c q 的 长比上 h q 的 长，而 c q 的 长是等于二分之一 c 的 长 比上 h q 的 长。关键是找到二十二点五度这个角的正切即可。这个又涉及到二倍角的一个转化。来，我们快速的画一下， 画一个直角三角形，如果这个角是九十度，以及有个小角是二十二点五度，这个角是二十二点五度，这两条边是相等的，那你是一，你是一，你就是根号二，所以二十二点五度的正切其实就是一比一加根号二， 所以这个结果等于一比一加根号二。把它画点完之后，其实接下来还得取一个倒数，因为最终面积之比是 h q 比上一个 c e， 所以 应该是一加根号二比二，其实这就是结果了。 第二种情况，我们画出图之后，这个是不成立的，为什么呢？题目说 s 点在角 e、 c、 f 的 角分线，但这么画完之后，这个角 e、 c、 f 的 这个位置， 它的角分线上不可能存在 h 这样一个点，所以这种情况不成立，我们把它舍掉即可。这道题考到了特殊角，山西的中考特别喜欢考特殊角，但是像三十度、六十度、四十五度这样的特殊角， 以及什么一二三四五，摩羯三比四比五的这样的一些特殊角，其实已经相对来说见的比较少了，他会有意识的去让这样的题出的少一些。像这道题，他考到了二十二点五度或者六十七点五度啊，依然是特殊角， 考察孩子们到底对特殊奖理解到不到位。张老师对特殊奖的理解分成了四个境界，不知道你属于哪个境界？关注数学张老师，这个春季我们一起攻克山西中考压轴题！

诸位看官，这是一道中考数学压轴题，难度特别大，据说有百分之八十的同学都没做出来，来，我们给他治治。第一步，读题点 d。 在 bc 上，我们假设角 a 的 角度是 l 法，题目要求在 a、 c 边上找一点 e， 使得角 d、 e、 a 等于角 a。 倒数三个数。 我们知道平行线是可以构造出相等的角的，那么不妨经过点 b 做 ab 的 平行线，交 a、 c 与点 f。 根据平行线的性质，同位角相等，所以角 d、 f、 c 等于角 a。 但题目要求的是 d、 f、 a 这个方向的角要等于角 a。 怎么样才能找到这样一个点呢？看官们要注意听了啊，这是关键中的关键。既然让我们找点 e， 我 们不妨假设已经找到了点 e， 那 么角 d、 a 等于角 a。 注意了啊，很多同学就卡在这里了。我们很容易发现三角形 d、 e、 f 的 两个底角相等，也就是角 d、 e、 f 等于角 d、 f、 e。 所以 三角形 d、 e、 f 是 个等腰三角形，那么边 d、 e 等于边 d、 f。 这时问题就迎刃而解了，只要做出一条长度等于 d、 f 的 边就可以了。 于是以 d 为圆心， d、 f 为半径，画弧交边 ac 于另一点 e 连接 d、 e。 由于 d、 e 等于 d f， 三角形 d、 e、 f 是 等腰三角形，它的两个底角相等，也就是角 d e、 f、 e， 所以 角 d、 e、 a 也等于角 a。 图中的痕迹就是最终作图痕迹。 慢着先别走，还没完，回忆一下，我们先根据相同的角，联想到了平行线的构造，又用到了假设法 去发现更隐藏的线索，归纳与总结有利于形成更稳定的数学思维。如果这个视频对你有所帮助，请在评论区留言，有用让我知道。

从命题人的视角来秒杀这道数学压轴题究竟有多爽？当你在考场上看到此类题目会不会慌？今天我会领着大家一步一步拆解这道数学压轴题，从此见到他不再心慌。今天我们一起来看一下去年太原二模填空压轴题。 如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 等于十， b、 c 等于十二点， d 为 b、 c 边上一点且 cd 等于二倍的 b、 d 连接 a、 d 做 a、 d 的 垂直平分线，分别交线段 a、 b、 a、 d、 a、 c 于点 e、 f、 g， 则线段 f、 g 的 长度为多少？ 看到条件 ab 等于 ac 等于十， bc 等于十二。你的第一反应是什么？是不是想到了等腰三角形的三线合一？我们可以过点 a 作 a、 h 垂直于 bc 于点 h， 则 b、 h 等于 c， h 等于六。 在直角三角形 a、 b、 h 中，根据勾股定律就可以求得 a、 h 的 长度为八。有条件 b、 c 等于十二。结合 c、 d 等于二倍的 b、 d 不 难得到 b、 d 等于四， c、 d 等于八。所以 d、 h 等于 b、 h 减 b、 d 等于六，减四等于二。 接下来在直角三角形 adh 中，根据勾股定律就可以求得 ad 的 长度为二倍的根号十七。此时可以结合条件 eg 是 ad 的 垂直平分线，就可以得到 af 等于二分之一， ad 等于根号十七。 在直角三角形 a、 f、 g 中，只知道一条边 af 的 长度，另外两条边未知，且未告诉数量关系，暂时不考虑勾股定律。那么就想到构建相似三角形。我们发现合角 f、 a、 g 是 公共角的三角形， a、 d、 c 三边长都已知， 是不是它的三个角的三角函数值也可确定，所以我们可以过点 c 做 a d 的 垂线段 c m。 根据等面积法， cd 乘以 a h 等于 cd 乘以 c m， 可求得 c m 的 长度，再根据勾股定律可求得 a m 的 长度。此时可确定角 f a g 的 正切值，利用此角的正切值就可以求得 f g 的 长度。

备战二零二六年山西中考，接下来有四五十天时间，张老师每天会给孩子们分享一道历年中考专题卷或者模考卷里面的综合与实践或者综合与探索的题， 也就是我们传统意义上的两道解答压轴题二十二题和二十三题。今天我们一起来做一下二零二五年山西中考二十三题。 对于压轴题来说，它难度并不是很大。第一问，还是传统的判定四边形的形状，第二问的圈一是直角三角形斜中半定力的逆命题的一个证明过程。第三问涉及到等腰三角形的构造，孩子们可以暂停，先快速的浏览一下题干的条件， d 问核心式做了一个折叠，把三角形 abc， 把顶点 b 这个角角给翻折上来，折完之后说 d、 b 平和， bc 是 平行的，让我们判定这样一个四边形的形状。这是个非常经典的折出菱形的一个图， 因为折叠我们可以看出来这两个小角是相等的，再结合 d、 b 平和 bc 的 平行，两直线平行，内错角相等，所以这个 r 法由内错下来，又是个 r 法， 也就是说三角形 b、 d、 e 啊，此时是个等腰三角形。那折过去之后，三角形 d、 b 撇 e 依然是个等腰，所以我们简单标注一下，这角边和这角边等腰相等。折过去之后啊，来 d、 b 撇和 d、 b 又是相等的， e、 b 撇和 b 也是相等的，所以四角边相等，它就是个菱形。 第一嘛，非常简单。第二嘛，接下来继续去折叠，把顶点 h 这个角折到了 d、 b 撇的延长线上，然后把 a 撇 e 连起来，与 a、 c 交于这点。 题目中说了 a、 d 的 长是等于 b、 d 的 两倍，那我们标注一下，如果 b、 d 是 一份的话，那么 d、 a 就是 两份，那折过了 d， a 撇一定是两份。 再结合第一问，我们已经证明过了四边形 b， d， b 撇 e， 它是个菱形，所以这里面一份的量以及 d， a 撇等于 d， a 是 两份，所以 a 撇 b 撇它也是一份。 此时让我们判断一下 d、 e 和 a 撇 e 的 位置关系，那很明显， d、 e 和 a 撇 e， 它俩就是垂直的。这就是一个最经典的直角三角形斜中半 定力的秘密题的一个用法。说一个三角形如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么可以正得这个三角形一定是一个直角三角形。它的正法也比较统一，就是根据两个等腰以及三角形的内角和定力，就可以把它搞定。比方说这道题中， 因为啊 x x 都相等，所以这个角如果是 r， 那 这个角一定是 r。 同样道理，如果这个角是北塔的话，那么这个小角顶点 a 撇出的这个小角也是贝塔。在三角形 a 撇 d 中，根据内角的定义，两个 r 法加两个贝塔是等于一百八十度的， 由此得出来， r 法加贝塔必然等于九十度。也就说，此时三角形 a 撇 d， 它是个直角三角形，那么 d 和 a 撇 e 就 垂直了。接下来第二幕的圈二 又换了一个三角形三角形 abc 啊，现在变成一个三比四比五的直角三角形。题干中已经给我们做了明确的说明， ab 是 斜边， bc 是 三分的边，以及 ac 是 四分的边。 折完之后说三角形 a 撇 f、 g， 我 们找到目标三角形 a 撇 f g， 它是以 a 撇 f 为幺的等腰三角形，那么这个情况就减少了，说明 a 撇 f 要么等于 a 撇 g 或者 f， a 撇是等于 f g 的， 就这么两种情况。首先 a 撇 f 等于 a 的 g， 我 们标注一下顶点 a 这个角，如果是 r 法的话，那儿法是以直角，它的正切是三比四，那折过来之后，顶点 a 值这个角也是 r 法， 所以要求的是 a 撇 f。 我 们直接可以假设 a 撇 f 是 五分，因为这个地方它肯定是个九十度，这个点是 q 点，它是个九十度。所以呀， 阿尔法的正切呢，是三比四，所以 f q 就是 三方， a 撇 q 啊，是四方。因此时 a 撇 f 和 a 撇 g 是 相等的，所以 a 撇 g 也是五个 x， 进攻会得出来 q g 啊，依然是三个 x。 当我们假设了 x 之后，接下来我们的核心思路是要找到一个关于 x 的 等量关系，把这个等量关系建立起来，把这个方程解出来就是答案了。此时 a c 的 长是等于十二的，所以我们把 c g 可以 表达出来，这边应该是十二减去三 x， 三 x 以及 a f 是 五个 x， 所以 相当于减了十一个 x。 再结合三角形 ad， q 也是个三比四比五的直角三角形，现在较长的直角边是八分，所以斜边 ad 它应该是十个 x， b 的 长就是十五，减去十个 x。 因为菱形，所以 b e 这一段，它依然是十五减去十 x， 所以 我们可以得出来 c e 这段的长，它的长度就是九，减去 十五，减十个 x。 我 们稍作化解，就是十 x 减了个六。找到了 c e 和 c g 之后，此时三角形 e、 c、 g 和三角形 a 撇 d、 q， 它俩应该是相似的，也就是说，三角形 e、 c、 g， 它也是个三比四比五的直角三角形。 并且呢， c 一 的桥边占的是三缝，所以这种情况下，我们直接可以把它表达出来，就是十二减去十一， x 比上十 x 减六，它的结果是三比四的。由这个式子我们可以得出， x 的 值 x 等于三十七分之三十三， x 知道之后呢，所以 a 撇 f 的 长度啊，就是三十七分之三十三乘以五，所以是三十七分之一百六十五。好，接下来第二种情况， f a 撇等于 f g 的 时候，它的做法和刚才的思路完全一致。在同一道题目里面， 不管它分几种情况，大概率每一种情况的思路，核心思路是一致的。所以此时 f a 这一段是五 x， 这段 q、 g， 它应该是两个 x， 这种情况下， c、 d 的 长应该是十二减去十个 x。 同样道理，我们也可以表达出 c、 e 的 长度。 c、 q 的 长是没有变的，所以 a、 d 不 变，所以 b、 d 不 变，所以 b、 e 也不变。进一步得出， c e 啊，它是没有做改变的，它依然是十 x 减六， 十二减去十 x 除以十 x 减六，此时这个比值接下来就变了。因为此时三角形 h、 g、 q， 它现在是一比二的一个 直角三角形，所以此时 c 的 长是一缝， c 的 长是两缝，所以它应该是一比二。依然可以解出 x 值 x 等于一，所以 a 撇 f 的 长应该是等于五。这道题我们就给它解完了， 其实它核心考的是折叠，但对于这道题来说，难度其实并不是很大。关注数学张老师这个冲击，我们一起突破中考压轴题。

本期咱们来看一下逆等线第二个模型，加圈形直角三角形 a b c 中角 b c a 等于九十度 a c 一 b c 二 m n 分 别是动点，且 b m 比 a n 为一比二，求 c n 加二倍 a m 自消值。 那么此类问题咱们的做法呢？继续是进行线段的转换，一般用到的是平行线或垂线进行构造与目标赛行全等或相似的赛行。 而大家注意，问题中出现二 a m， 即此题咱们需要转化的线段为二倍 a m。 那 么接下来咱们选择 a m 所在的三角形 a b m 进行构造即可。 那么此其中提到 a c 一 b c 二角 b c a 等于九十度，即 a b 根据勾股定律可求得等于根号五。 然后接下来咱们选择过点 a 做 bc 的 平行线 ad， 且使得 ad 为二 ab 记二倍根号， 然后接下来连接 d n。 那 么由于平行线的原因，角 d a b 等于角 b。 又因为 a d 等于二倍的 ab 等于二二倍根号 a n 等于二倍的 b m。 此时已知三角形 a d， n 全等于三角形啊，抱歉，相似于三角形 b a m 用得的判定定律为，两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似，那么根据相似三角形的性质，咱们也可以求得此时 d n 为二倍 a m。 那 么问题就由 c n 加二 a m 转化为 c n 加 d n u 不共端点线段和的最小值，现在变成了共端点线段和的最小值。观察图形可知，当 c n d 三点共线时， c n 加 d n 取得最小值。 那么此时啊，在直角三角形 a c d 中， a c 等于一， a， d 为二倍根号， 有勾股定律可以求得 c、 d 为根号二十一，那么记此题答案为根号二十一。此题用到的作题原理为，利用辅助线可以是平行或垂直构造相似压线进行线段的转换， 这是加权型逆等线模型。大家需要注意的，它不再用三角形等，而利用到的是三角形相似。回头再再看这道题，优秀的你一定会感觉到 so easy！

所有抖友请注意，这道中考数学压轴题敢来挑战吗？二十秒内捋清思路，你就是十三亿人中的最强王者！我们一起来探索这道中考数学压轴题！先看题，如图，在直角三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度， a、 b 等于二倍的根号十三， time b 等于三分之二 a、 e 垂直于 cd， a、 d 等于二倍的 b、 d， 则 c、 f 的 长度为多少？首先又 time b 等于三分之二，这个条件你的第一反应是什么？ 是不是想到了直角三角形？在直角三角形 a、 b、 c 中，根据探 b 等于三分之二，可得 a、 c 比 b、 c 等于二比三。已知斜边 a、 b 的 长度为二倍的根号十三，所以可以解设 a、 c 等于二 x， bc 等于三 x。 根据勾股定律，可以列出关于 x 的 方程，解的 x 的 值为二，所以 a、 c 等于四， b、 c 等于六。要求 c、 f 的 长度可以把它放在直角三角形 a、 c、 f 中去求，因为只有一条边 a、 c、 f 知道可以寻求相似 结合角 a、 c、 f 等于九十度， a、 f 垂直于 c、 d。 这两个条件不难证出角 c、 f 等于角 d、 c、 b。 所以思路是以角 d、 c、 b 为角，构造一个和它相似的三角形，再结合 a、 d 等于二倍的 b、 d 这个条件我们可以过点 b 做 b m 平行于 a、 c 叫 c、 d 的 延长线与点 m 很 容易得到。三角形 a、 c、 f 相似于三角形 c、 b、 m。 三角形 a、 c、 d 相似于三角形 b、 m、 d， 所以 b、 m 比 a、 c 等于 b、 d 等于一。比二，因为 a、 c 等于四，所以 b、 m 等于二。 最后，因为三角形 a、 c、 f 相似于三角形 c、 b、 m， 所以 可得 a c 比 c， b 等于 c f 比 b m， 所以 四比六等于 c， f 比二计算，可得 c， f 等于三分之四。

大家晚上好啊，今天我们继续呃带领大家来刷题， 针对咱们山西中考数学十五题二十三题的解析思路来进行一个呃典型例题的分享吧。 解决解决十五题，除了呃咱们前面讲的解三角形跟相似构造的方法， 嗯，其实还可以从另外一条线索来分析，图形就是重要的辅助线吧，比如说位于中点 和那个角平分线，因为中点和角平分线是我们在 初中几何里面呃学的最多的一种辅助线，所以我今天想给大家针对这个终点的构图与终点构图和与角缝线的构图，呃，然后给大家再详细的说一下吧。 嗯，大家看看屏幕上这个这个图，这个图在咱们在咱们书的 屏幕上，这个图在咱们输的第七页，在咱们输的第七页，哈，在咱们输的第七页，这个就是呃告诉了大家遇到一个图形中，遇到终点的时候该怎么样做辅助线，该怎么样做辅助线， 这个是在第七页，有书的，有书的同学，呃或者或者家长可以打开第七页，然后咱们看一下这个终点的构图， 嗯，然后咱们这个这个直播有视频回放，直播明天，明天就有视频回放，没有放学的现在还没有放学的同学，我觉得也可以看明天的回放， 然后这个是第一期，那我就那我就给开始给大家说一下碰到终点吧，我们一般呃常见的有有四种，呃关于终点的构图，然后第一个就是 等腰三角形的三线合一，等腰三角形的三线合一， 当然，嗯，等腰三角形的三线合一，嗯，它和垂直平分线，也就是中垂线，嗯，它的关联度是是比较高的，也就是我们遇到等腰三角形的话，首先要 过呃顶点，然后做底边的垂线，这样的话就会形成等腰三角形三线合一的这个图形的特征。呃，同样， 如果这个图形里面的 ad， 它垂直平分 bc， 这样的话，连接 ab 和 ac 的 话， ab 和 ac 它也是相等的， 也是相等的。嗯，当然还有一种情况就是，嗯， a、 d 是 角平分线，是顶角的角平分线，然后 a、 d 又和 bc 垂直的时候，呃，这个时候是不能直接用等腰三角形三线合一的，这个性质 要先证明。嗯，三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 d 全等，通过全等来得到。 ab 等于 ac， 这个是呃，第一种域中点的构图。 第二种就是直角三角形斜边上的中项，然后等于斜边的一半，这个，呃，看这个图，这个，这个图形直角三角形斜边上的中项等于斜边的一半，这个也是分正反两个方面来说，如果 已经告诉你一个直角三角形，然后同时已经知道了斜边上的中点，比如说这个图形 已经知道了三角形 abc 是 直角三角形点， d 是 ab 的 中点，这样的话，我连接 cd 以后，那 cd 就是 直角三角形斜边上的斜边上的中项，这样的话， 他斜边上的中线等于斜边的一半，也就是这三条线呢，是相等的。 a、 d、 b、 d 和 c、 d， 这个是已知是直角三角形的时候。当然如果， 如果他没有告诉你是直角三角形的时候，这个就需要需要我们进行一个证明，也就是说，如果他告诉你 a、 c、 a、 d 和 b a 这三条线段就是右边这个图形，这三条线段是相等的时候， 我们现在是不能直接，是不能直接得出角 c、 b、 d 是 九十度的，这个是根据我们初中学的知识，他是不能得出这个结论的，他需要再进行一步证明，他需要再进行一步证明。比如说这个角 等于这个角，角一等于角二，然后角三等于角四，通过角一、角二、角三角这四个角的和是一百八，然后再推出来角二加角四等于九十度， 是这种情况，这个是容易容易犯错的，因为二零二五年，二零二五年山西中考第二十三题的第二问，其实就是考察的这样一个一个图形，它是需要证明的，不能直接得呃角 dbc 等于九十度， 嗯嗯，同样，嗯，这个里面这个图形里面就是一个双双双等腰的，双等腰的。同样，如果知道已知一个等腰三角形 a、 b、 c 的 时候，我通过过点 b 做做垂线和 c、 a 的 延长线交于一点 以后，这样的话也也可以通过做锤子来正双等腰三角形。嗯，这个是第二个，第二种直角三角形斜边上的中项的一个构图。第三种就是背长中项。背长中项 是我们在呃中考里面，中考数学里面用的比较多的，也是呃，也是考的考的比较多的就是背长中线，背长中线的话，他就是知道了一个终点，比如说这个这个图形里面知道了 三角形 a、 b、 c、 b、 c 边上的中点的时候，就需要呃通过背长中线来构造八字全等三角形，也就这两个蓝色的三角形 d 四中点，通过构造对顶八字全等三角形，或 呃通过平行线加钟点构造八字全的三角形，因为这两两个图形是是两种类型吧，比如说这个图形具体做， 具体做辅助线的时候，比如说已知中点构造八字全等三角形的时候，做辅助线的时候是有有两种，第一种就是过点 b 做 b， e 平行于 a， c 交 a， d 的 延长线与点 e， 这个时候，这个时候证明两个三角形全等的方法，这个时候证明。证明两个三角形全等的方法就是证明两个三角形全等的方法就是 a s a 就就是 asa。 呃，还有种做辅助键的方法就是延长 ad 至点 e， 延长 ad 至点 e， 使得 d e 等于 ad， 使得 d， e 等于等于 ad。 嗯，这个时候呃再连接 b， e， 这个时候也能证明三角形 a， d， c 和 e d， b 这两个三角形全等，这个时候全等用到的方法是 s a s 就是 边边角边就是辅助线不一样，它证明这两个八字三八字全等的三角形的方法也也也不一样。嗯，这里面所说的倍长中项法，它指的是指的是 这个延长 a d 使得 d， e 等于 a d， 这就是我们看的这个词语背长中项 a， d 是 是中项，我把它把它把把，把它加倍，这个这个是一种。然后第二个图形是 是另外一种有 ab 平行于 cd 的 时候，这已知一个中点，然后使得 ab 等于一个 cd 的 时候，然后一一连接它也能形成八字全等。嗯，这个是第 第第三种与终点的构图。第四种与终点的构图是多个终点出中位线，多个终点出出中位线，多个终点出出中位线。中位线，大家知道，呃，连接三角形两边， 呃，中点的线段是三角形的中位线，这个是中位线的性质，就是中位线平行于第三边， 比如说 d e 平行于 bc， 并且等于 bc 的 一半，这个我呃，大部分同学都能都能掌握。呃，但是如果把这个条件变一下，如果题目里面是是告你了，只告你，只告你一个终点， 只告你一个终点的时候，又告你 d e 平行于 bc， 这个时候要证明 a e 等于 e c， 也就是证明 e 是 a c 的 终点的时候，就要用到我们学过的平行线分线段成比例的推论。 平行线分线段成比例定律的它，它的一个一个推论。嗯，也就是说因为 d e 平行于 bc， 所以 a e 比 e c 等一个 a， d 比 db， 他 用的是这个就能推出来这个 e 是 中点，然后这个 d e 就是 中位线，也就是说一个中点加平行可以得到另外一个中点，他用的是平行线分线段成比例，嗯， 然后当然这个呃一个中点加平行得呃另外一个中点，嗯，在梯形里面 同样也满足，也就是梯形也有中位线，梯形也有中位线，有的时候，嗯，有的时候这个十五题里面也偶尔会考到梯形的中位线。梯形的中位线，它是， 呃平行于梯形的上上下底都和它平行，然后梯形的中位向等于上底加下底，呃，它们长度和的一半，这个是梯形的中位向，然后这个是与中。

山西省太原市中考十五题填空压轴题，好题分享，今天主要是给大家分享一道这个十五题填空压轴题，他是晋文元开学考的第十五题啊，那么目前阶段的话，主要是也看到抖音上有很多咱们数学的教育博主给大家分享这道题，那我今天用这个 啊，最普通的方式就是孩子们最容易在考场上想的方式，也是最节约时间的方式。来给大家讲一道题，他说如图，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 当中，角 b 是 九十度， d 和 e 呢，分别是 ab 和 ac 上的点，且 ad 等于 d e， 那 么 ad 等于 d e 啊，有两个相等的边， 那么是不是就可以得到三角形 a， d、 e 是 一个等腰三角形，也就是一个角 a 和这个角 a、 e、 d 是 不是相等的啊？这是得到看到题目里面第一个条件以后，我们得出来的一些结论。那么连接 c、 d 角 a、 d、 e 呢？等于角 b、 d、 c 好， a， d、 e 等于 b， d、 c 这两个角又相等， 然后呢，他说 a、 d 等于二， c、 d 等于个六，求谁呢？求下 b、 c 的 长度。首先啊，我们看到这样一个十五题，很多孩子可能一上来就是，哎， b、 c 多少， b、 c 多少， b、 c 多少，你反复的在想，他给你这个问题，你要求 b、 c， 哎，应该怎么办？ 但是我们正确的方式是一定要把已知条件和未知条件，也就是让你求的这个东西给它结合起来，到底他们之间有什么样一个关系呢？你想我要求的是 bc， 而已知的条件已知了什么？两组一组相等的角，一组相等的边，而一组相等的边又得出了一组相等的角， 那么还给了两个线段的长度，那对于要求 b、 c 而言， b、 c、 d 是 不是就在三角形 b、 c、 d 当中呢？那在三角形 b、 c、 d 当中是不是有一个角啊？有一个跟别别的角相等的角，还有一个已知的线段长度。 所以说，想要研究这道题，是不是三角形 b、 c、 d 就 成了我们必须研究的一个问题了，对吧？好，那么现在应该怎么做辅助线？求这道题呢？你想到 有相等的角，他还不在同一个三角形当中，我是不是只能想到相似这个知识点呢？ 有相等的角不在同一个三角形当中，并且这两个三角形的形状还不一样，是不能想到相似。相似的话，哎，三角形 a、 d、 e 跟三角形 b、 c、 d 明显不相似，那怎么就能相似呢？我如果过点 e 做一条 ab 的 垂线也好，或者是过点一做一条 bc 的 平行线也好啊，我把这个点叫做 f 点，此时这是不是就有一个垂直？ 有了垂直以后啊？这有角相等，这也有垂直的相等，是不是此时就可以得到这俩三角形的相似了？ 不光，你发现你做完这个 e、 f 以后，不光是这个 d、 e、 f 跟这个 b、 c、 d 的 相似，是不是还有一组 a 字形的相似，也就是 a、 e、 f 跟这个 abc 的 相似，对吧？那有两组相似， 有两种相似，你要求边长应该怎么办呢？我们只能给他来设了，对吧？缺边嘛，有很多边的长度是不一样的，因为这个三角形跟这个三角形，你知道他对应边的比例是多少呀？啊？包括这个， 他的这个每条边对应长度是多少，是不是只能设了啊？我们现在随便假设吧。我比如说我设一下这个，呃， 我说一下这个 d、 f 的 长度是 x 吧。啊，由于题里面告我了 a、 d 和这个 d 的 相等，是不是我能够得到这个 d， e 也是二呀？哎， d、 e 如果是二的情况下，这个三角形跟这个三角形的 他们两个三角形的相似比是多少？是不是二比六，也就是一比三的相似比，如果他俩的相似比，只要是一比三的情况下， 我设了这个 d f 是 x， 那 么此时是不是可以得到 b、 d 应该是三 x， 而这个 a、 f 是 不是二减 x， 对 吧？这是 x 和三 x 是 什么得到的呢？是这两个三角形一比三的比例关系得到的，而这个二减 x 是 由这个二减去设出来的 x 得到的。 那么刚才老师说两组相似啊，一组相似呢，是刚说的这两个相似，还有一组相似呢，是 a 字形的这个大的三角形的相似，所以我现在只要用大三角形的相似就可以解决问题了。刚才我们得出来这两个三角形的 相似比是一比三，所以说 e、 f 跟 bc 的 相似比是不是一比三？也就是说这个三角形跟这个大三角形的相似比 是不是也就是一比三了？那迁移到左边要求的这些边 af 和 ab 的 相似比是不就是一比三？所以题马上就可以解出来啊， af 比上 ab 应该等于一比上三，那 af 我 们设出来是二减 x， 而这个 ab 的 长度是多少呢？ ab 的 长度是不是这个二加三 x 呀？因为这是二嘛，这是三 x， 二加三 x， 现在解一下 x 等于几啊？ 把十字相乘给它乘出来啊。我们化简一下，二加三 x 就 等于这个六减三 x， 那 六 x 就 等于一个四 x 就 等于一个三分之二，对吧？ x 等于三分之二以后，那么是不是这个三 x 就 等于这个二呀？ 三 x 等于二，这是六勾股定律，是不是就可以把 bc 求出来了啊？六的平方减去二的平方，六的平方是三十六，减去二平方是个四，应该是三十二。三十二开方是多少？三十二开方是不是一个四倍根号二，所以 bc 就是 四倍根号二 啊？四倍根号二，我们梳理一下你，你怎么想到的啊？老师刚才是怎么想到的？做这个辅助线，只做一条辅助线，过点 e 做这个 bc 平行线就可以了呢？ 因为有相等的角，而这个相等的角呢，又在这个已知线段和未知线段三角形当中，所以就它就是我们研究的目标。那如何把这个相等的角利用起来呢？啊？就是在这做这个垂线，它俩三角形的这个相似， 然后利用起了这个相等的角，用蓝色这段相等的角就把它利用起来，这是一个条件。第二个条件呢，就是因为这个二啊，它这个相等，你会发现一个道理，没有，刚才我们题目里面告了 a， d 等于 d， e 只是仅仅是用了 a， d 等于 d， e 并没有用等腰三角形的三角合一， 也就是这两个绿色的角箱呢，其实没有发挥到什么用处，所以说不是所有的边相等出来都是考你等三角形三线合一的。我们要识别清楚题目，这道题就是一道非常常规的考你啊相似基本知识的一个啊，应用的一个题目。

各位，咱们今天这个视频，看一下百校两考一的第十五题。在三角形 a、 b、 c 中， a b 等于 a c， b c 呢是四 b， d 是 a c 边上的中线，那因为 d 点呢，就是中点， e 呢是 b、 d 边上的一点连接， c e 延长交 a b 于点 f 给了 b d 的 长，是根号十七 b 第一笔上 b e 是 七笔尺，让咱们求 b、 f 的 长，那在这个地方， b f 如何求呢？咱们一看到这种 b 式，我们肯定是想了，用什么呀？用等比是吧？平行线之间的等比例的关系进行求解， 那么你等比例，我们要想求 b、 f， 就 得想办法和 b e 和 d e 之间建立联系。如何建立联系？一般来说，我们都是过点 e 做一下 b、 f 的 平行线，那平行线我们做出来了，我们就知道 d 点是 a c 的 中点，那么 m 点呢，就是 af 的 中点， e f 呢是平行于 md 的， 所以 b f 比上 fm 呢，就等于 b e 比上 d e， 那 就十比七，那就十比七。那么到了这一步，我们知道 a m， 那 么比上 a、 f， 那 是等于一比二的，也就是说 am 是 等于 a 等于 m f 的， 因为平行向 ef 是 平行于 d e 的， 所以我们知道 b e 比上 d e， 它就等于 b f 比上 m f 的， 那么根据这个等比关系，那么它就是十比七。好。那么如果在这个地方，如果我求的是 b f 乘么那射 b f 为十 a， 那 么 m f 呢？那就是七 a m f 是 七 a， 那 么 a m， 所以 就是十 a， 这呢是七 a， 那 么这个也是七倍的 a， 只要我们能求出 ab 的 长来，那么 b f 是 不就出来了？那如何求 f 的 长？那这里边给了一个 b d 的 长，那给了 b d， d 是 总点，并且我们知道 bc 的 长是四，因为等圆三角形， 我们经常做一条辅助线，就是三线合一的高，然后再过 d 点做垂线，对吧？那么 d 点呢？是中点，那我们就知道这个是 p q 的 话，我们就知道，那么这个 d q 呢？它就偏心且等于二分之一倍的 a p， 并且 p 点呢是种点， b， c 是 四，所以是 c， q 呢，那就是一，那么高是多少呢？我们知道 b、 d 的 长是根号十七，那么 b q 的 长，那就是三， 从而我们就可以求出 d q 的 长来， d q 的 长，那就是十七减九开根号，那就是二倍根号二， 那么 d q 是 二倍根号二，那么 a q ap 那 么长，是不是就知道了？那不就是四倍根号二？当 ap 是 四倍根号二的时候，我们知道 b p 呢是 二，所以再根据勾股定律进行求减，那就是三十二加上四，那就是三十六，开出来就是六，那么这个六出来了，那么我们再代导这个式子里边， ab 呢，它是等于二十四倍的 a， 那 么 a 是 不是这个是等于六，那 a 就 等于四分之一，那么 b f 的 长，那是不是就是四分之十，也就是二分之五了呢？那么就求出 b f 长来， 这是一种方法，来，咱们看一下第二种方法，第二种方法呢，我们用的是没念劳斯定律，那么没念劳斯定律呢？在这里面我们选择三角形，选哪个三角形呢？咱们要想求的是 b、 f 的 长，那么咱们就以 a， 就以这个三角形为例，那就是 a f 比上 b f， 那 就乘以 b 比上 b， 再乘以 b， c 比上 bc， 那 么乘起来是等于 e， 这个呢就是离心力。 那么我们知道 a f 比 b e f， 我 们是不是就是要求这个比例呢？所以说 a f 比上 b f 呢？ 给大家写成 b 一 比上 b 一， b 一 比 b 一， 那就是十比七好。 dc 比上 ac， dc 比 ac， 那 就是一比二，那它是等于 一的，那么这个简单的一化简我们就出来了， a f 比上 b f， 那 是不就出来了呢？那就是十四比十化简一下，那就是七比 五，那这个就是 a f b b f 的 比例呢？就出来了。我们只要求出 ab 场来就对了。所以说如何求 ab 的 场？同理，这边我们根据还是原样做方法，勾股定律求出 ab 的 场来，带进去就行。那这个是咱们的第二种方法，同学们学会了吗？点赞收藏加关注，学习不迷路！

快速找到压轴突破口有多爽！主播的视频让数百万考生醍醐灌顶，直呼在学校白学啦！让主播带你轻松解决中考压轴题！ 先看题，在三角形 a、 b、 c 中， a、 c、 b 角 a、 c、 b 等于一百二十度点 d 是 a、 c 中点角 a、 c、 e 等于角 a、 b、 d、 e、 c 等于二倍的根号。下期求 a、 e 的 长。 看到顶角为一百二十度的等腰三角形，你第一个反应是什么？ 想到了等腰三角形的三线合一，因为顶角为一百二十度，所以底边与腰的数量关系已确定。 如图所示，在三角形 a、 b、 c 中，过点 c 做 ab 的 高线 c、 m。 设 c、 m 等于 a。 在 直角三角形 a、 c、 m 中，根据三十度角的定力和勾股定力容易得到 ac 等于二 a， a、 m 等于根号三 a。 再根据三线合一可知， ab 等于二倍的 am 等于二倍的根号三 a， 所以 ab 等于根号三倍的 ac。 接着我们看这个条件，角 a、 c、 e 等于角 abd 有 等角。这样的条件我们能联想到什么呢？ 是不是想到了全等或者相似？所以呢，我们可以过点 d 作 d， f 垂直于 a， b 于点 f， e、 g 垂直于 c， a 交 c， a 的 延长线于点 g， d 是 a、 c 的 中点，我们可以设 a， d 等于二 a， 那 么 a、 c 等于四 a 过 d 作 d， f 垂直于 b， e。 在 直角三角形 a、 d、 f 中角 d、 f 等于三十度，所以 d、 f 等于 a， a、 f 等于根号三 a、 ab 等于四倍的根号三 a， 所以 b、 f 等于 ab。 减 a、 f 等于三倍的根号三 a。 在 直角三角形 b、 d、 f 中，由勾股定律可求得 b、 d 等于二倍的根号。七 a 因为角 s 一 等于角 a、 b， d 角 e， g， c 等于角 d， f、 b 等于九十度，所以三角形 e、 g、 c 相似于三角形 d， f、 b， 所以 e、 g 比 e， c 等于 d， f， b， d、 b。 代入可得 e， g 比二倍的根号下七等于 a 比二倍的根号下七 a， 所以 e， g 等于一。最后，在直角三角形 e、 g、 a 中，角 e、 g 等于三十度，所以 a， e 等于二倍的 e， g 等于二。

同学们大家好，今天呢，我们来分享一下山西省二零二五年百校联考二第十五题。首先呢，我们还是老规矩，先分享一下，先分析一下这个题目的条件， 说如图呢，在直角三角形 a， b， c 中角 a， c， b 等于九十度 a 出现一个直角三角形 a， b 等于二倍，根号三，摊着它 b 等于三分之二。好，那这几个条件呢，我们要综合到一块分析。 首先呢，他说呢，角 b 的 正切值是三，这个三分之二啊，也就意味着呢， a， c 比上 bc 就 等于是二比三。 那因为 a， c 比上 bc 是 二比三了啊，所以呢，根据勾股定律呢，我们我们不难得到，那就是三角形 a， c， b 呢，它的三边比呢，是不是就是二比三比根号十三？嗯， 也说呢，这是一个二比三比根号十三的，是不是直角三角形。然后呢，已知条件呢，我们又知道 ab 等于二倍，根号十三 哎，除以多少是二倍根号十三，然后呢，它是根号十三份啊，所以呢，我们就可以得到，也就是 a， c 呢，正好就等于四， b， c 呢就等于啊， a， c 呢就等于四， b， c 呢就等于六啊，这是由第一个条件呢，我们可以推导得到一些数据。 接下来呢，题目说说呢，过点 a 呢，做 a， e 呢，垂直于 c， d 交于点 e 好 过点 a 做 a， e 垂直于 c， d 交 b， c 于点 f。 因为垂直，所以呢，我们说呢，这四个角呢，这四个角呢，就都是直角。而这个时候呢，注意，就这个图中呢，就出现了一个经典的图像， 这是一个直角，这是一个直角。所以呢，这就出现了我们某某反复强调的啊，直角三角形的斜高图，对吧？好，那看到这个图像，第一个呢，大家一定要想到件事，那就是这三个三角形呢，分别相似啊，就三个三角形呢啊，都是相似三角形。 第二个呢，也要记住一件事，那就是这个角和这个角，角一和角二相等啊，这是看到这个条件呢，我们一定要呢联想到一些基本的结落， 那接下来呢，我们继续往下看，说呢，当 a d 等于二倍 b d 时啊，已说呢， a d 呢，这条线段是 b d 的 二倍，那这段是这段的二倍了，所以呢，我们不难求出来，那就是 a d 呢，就是三分之四倍， 根号是三。 b d 呢，就是三分之二倍，根号是三啊，这是已知的一些数据。 那么题目分析完了啊，接下来我们来看一下问题，问题是什么呢？我们要求 c f 的 长度，那接下来呢，我们就看一下这个题的方法啊，今天呢，我们重点分享两个方法，那第一个方法呢，或者说这两个方法呢，其实都来源于一个共性的条件，那就是 a d 等于二倍的 b d。 我们说呢，一般来说啊，我们在做这个数体求线那场题的时候，如果条件中出现了一条线段是另外一条线段的几倍或者几分之几，或者说这种比例关系的时候，那其实这个条件或者说出题的老师呢， 他就在暗示大家一件事，那就是这个题呢，他需要构造相似啊，去构造相似三角形，那怎么构造相似呢？那 我们如果呢，知道一条线段被分开的比，那我们经常怎么构造相似，相似，那就过这条线段上面的比例点，或者说端点，做垂线，做平行线来构造相似。所以这个题的第一个方法呢，我们就过点的呢， 给他做一条垂线啊，设这个垂足为谁呢？ v h， 然后呢，做完垂线以后呢，这时候大难，大家不难发现，那就是这个三角形和这个三角形呢，是不是就形成了相似三角形啊？而相似比呢，正好是一比三，对吧？好，那所以 a c 等于四了，所以我是不是就可以求出来 d h 等于三分之四， 那同样呢，因为 b h 和 bc 的 比也是一比三，所以呢，我就可以求出来， b h 等于二啊， c h 等于几个四？好，那算到这，其实 c f 的 长度就已经可以计算了。那在这个图像中呢，大家注意，我们做完这个辅助线以后呢， 除了产生了经典的 a 字形相似，即使呢，在这个图像中，大家特别注意这个三角形和这个三角形是什么关系？ 两个直角三角形，还用阻锐角相等，那我说，哎，这是不是也是一组相似三角形，而且呢，这组像三相三角形相似的还非常还很特殊，你会发现呢，这条边和这条边正好相等， 所以其实本质上它是相似的特殊形态，也就是全短，是不是三角形啊？那我都知道这俩三角形是全的三角形了，那这一段是三分之四，那你就想 c f 是 多少，是不是出来了，所以呢， c f 等于多少呢？ 三分之四。好，这是这个题的第一个方法，那接下来呢，我们来分享这强调这个题的第二方法，还是呢，我们先把已知数据呢标上，标到这个啊，图像上 啊，这段是二倍，根号是三，这段是四，这段是六。刚才我们讲了，一般来说呢，做题的时候，如果出现了一条线段被分割开的比例啊，就是已知一条线段上一个点到两个端点的距离的这个比值， 那这时候呢，我们往往可以怎么办？过比例点，或者说过线端的端点做平行线，或者说做垂线来构造什么正 n 型或者正八型相似。那所以这个题呢，我们还可以怎么做呢？ 我们还可以过点 b 整条垂线哎，或者说做条平行线和 c、 d 相交。 假设呢，这个焦点为 m， 因为呢，这是直角，这是直角，所以呢，我说这条线和这条线呢，它就平行了，那这条线和这条线平行，所以我们是不是不难得到？那就是这个三角形和这个三角形是不是就相似了？ 因为这两三角形相似。然后呢，我们又知道 b d 和 ad 的 比啊，正好是多少呢？是不是一比二？所以我是不是就可以得到 b m 和 a c 的 比也是一比二，那 a c 长等于四了，所以 b m 长是多少呢？哎，是不是正好就等于几？ 正好是不等于二？然后呢，咱们在前面讲第一个方式，我们说这个角和这个角，哎，它是不是很容易证明相等啊？就是角一呢，加这个角是九十度，角二加这个角是九度，所以角一和角二是不相等，那角一等于角二，然后呢， a、 c、 f 和 c m b， 哎，都是直角三角形，那所以我是不是同样又能得到一的一组新的相似，也就意味着三角形 a c、 f 相似于三角形。什么呢？是不是这个 c、 b、 m？ 好， 那既然这俩三角形相似，那而且是直角三角形，那我来观察一下 这个直角三角形是一个什么样的三角形？这条变长是二，这条变长是六。哎，我们化简一下它的整数比，你会发现正好是一个一比二比根号是三的，什么一比一比三 比根号十的一个什么直角三角形？那所以我的 a、 c、 f 这个直角三角形，它是不是也应该是一个一比三比根号十的直角三角形？好，所以这个时候 c、 f 长是不是也很快就能算出来？那所以 c、 f 呢？是不是就等于三分之一个 a c 也就等于多少呢？ 是不是三分之四？好，这是这个题的两个经典的方法。那这样方法共性的地方在什么呢？那就是我们在求线段长的题目，如果遇到 线段上出现了什么比例点，也就说出现了一个点到一条线段两个端点的这个比例是知道的情况下，那这时候我们往往要怎么办？过比例点或者说过线段的端点做垂线，或者说做平行线，构造 a 字形或者八字形相似。好，今天的分享呢，咱们就到此为止了。

对于压轴题不熟的同学们，雷哥在这给你介绍几个点，你记好了就行啊！拿出小本本，第一个。当你看到线段相等的时候，马上去给我想等腰全等等边三角形。当你看到条件里给平行的时候，马上去给我想，相似相等的角。当你看到垂直的时候，马上去给我想勾股面积三角比。当你看到射线和直线这两个字眼的时候， 马上去告诉自己，你要分类讨论出多种情况多解。当你看到特殊角，三十度、六十度、四十五度的时候，立刻去构造直角三角形。当你看到顶点加等线段同时出现的时候，马上去给我想手拉手模型直接套用结论。当你看到中点出现的时候，马上去给我想中位线，非常中线、斜边中线，三选一式。 当你看到角平分线出现的时候，马上去给我构造对称构造全等，尤其是做这个几何压轴大体。不要忽略这三问的之间的联系， 第一问是用来铺路的，第二问是用来架桥的，第三问才是用来过河的。第一问的结论永远是第二问和第三问的钥匙。千万要记住，不要做完第一问，掏之脑后，不管了。 当你看到一百二十度，一百三十五度，一百五十度的时候，立刻去给我找他的补角，六十度、四十五度和三十度。当你看到一比二的比例，三比四的比例出现的时候，立刻去给我思考，构造相似三角形和勾股术相似三角形。

各位同学大家好，今天视频我们来解析到二零二三年山西的中考几何压轴题， 这一题呢，运用到我们等腰三角形，还有二位角的问题啊。先读题，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中啊，角 b、 c、 d 是 等于九十度对角线， a、 c、 b、 d 相交于点， o， a、 b 等于 a， c 等于五， b、 c 等于六角， a、 d、 b 是 等于二倍的角， c、 b、 d 的 则啊， a、 d 的 长为多少？ 拿到手之后啊，我们读完题发现什么？发现，首先 a、 b 等于 a、 c， 我 们能得出一个等腰三角形，除此之外，包括像我们的几何图形啊，它是得不出我们相对应的一些模型的。 那怎么办？还有这个嘛，二倍角对不对角 a、 d、 b 是 等于二倍的角， c、 b、 d 的 啊，有二倍角的时候，要学会用二倍角去啊，思考题目。 好，那我们拿这个已经得出的较为有用的解析思路的两个条件来操作一下。首先， a、 b 等于 a、 c、 a、 b、 c 说明什么？说明三角形 a、 b、 c， 它是一个等腰三角形， 那等腰三角形它常考的是什么？等边对等角，等角对等边啊，除了这个，也就说两腰是相等的，两底角是相等的。除此之外呢，还有一个什么三线合一。 那这一题呢，很明显考的就是什么三线合一了，为什么呢？因为它 bc 的 长度也告诉我们了，肯定优先考虑三线合一啊。我们假定过 a 点做， a 垂直于 bc， 那 么 ab 等于 a， c 是 等于五的， bc 是 得六，所以 b、 e 等于 c， e 是 等于三的。 好，接下来二倍角我们说了，二倍角呢，要么是把大角变成两个相等的小角，要么是把小角补成两个，呃，相等的大小 啊，那这一题应该怎么去做呢？这题我们有两种方法，就是把小脚补成两个，呃，两个相等的小脚之后补成相等于大脚啊，这是第一个，第二个呢，就是把大脚分割成小脚啊，这两种方法都可以。我们首先呢，用的这个大脚割成两个小脚的方法 啊，用我们这个初二就可以做的方法啊，你看角 a、 d、 b 很 明显是大的，那把角 a、 d、 b 分 割成两个相等的角啊， f 过 d 的 垂线啊，垂足为 f。 当然呢，也可以说什么啊，做 d、 f 平分角 a、 d、 b。 这样说可能更好一点，因为我们说了嘛，哈，解析它思路。那你看，它是等于它的啊，也就是角 a、 d、 f 是 等于角 f、 d、 b 的， 但它也等于角 c、 b、 d 也就是等于它，那是不是就可以说明 d、 f 是 平行于 bc 的， d、 f 平行于 bc 的 话，角 a、 e、 c 是 等于九十度，那是不是说明角 d、 f、 e 也是等于九十度啊？那么我们的 d、 f 是 垂直于 a、 e 的， 是不是？那四边形 c、 e、 f、 d 是 一个什么？是一个 矩形吧，为什么已经有三个角是九十度了，那肯定是矩形对不对？那可以得出 d、 f 是 等于 c、 e 是 等于三的，我们接下来怎么办？接下来证明三角形 a、 d、 f 是 全等于三角形， 这个是 g 啊， g、 d、 f 是 全等于三角形 g、 b、 e 的。 为什么？首先说上面两个，上面两个三角形为什么全等？首先，哎，两个叉相等，两个都是九十度，所以 d、 f 等于 d、 f 两三角形全等。那再来说 g、 d、 f 为什么等于 g b e？ 那 d f 是 等于 b e 的 一条边相等了，哎，两个叉相等，还有对顶角相等，或者说九十度角相等，对不对？也是全等的， 为什么？那证明这三个三角形全等有什么用呢？这时候不就是 a f 是 等于 g f 等于 g e 了吗？对不对？我们要求的是 a d 的 长度啊，求现在的长度怎么求啊啊？初二时候用学的是勾定力等积法，初三的时候有三角函数三角形啊，圆密定力和陀螺密定力， 这里面很明显用 a d f 啊，勾定理啊。那我们求出 a f 的 平方加上 d f 平方不就等于 a d 平方了吗？是不是 a f 是 多少？ a f 等于 g f 等于 g e， 我 们的 ab 是 等于五， b e 是 等于三，那么 a e 不 就等于四吗？ a e 等于四， a f 是 不是等于啊？三分之一， a e 也就是等于三分之四吧，对不对？所以三分之四括号平方加上三的平方等于 a d 平方啊，也就是三分之 呃，九分之十六加上九分之八十一等于九分之 九十七，开根号三分之根号九十七，就可以得出我们的答案了。这是我们什么？这是我们将大小分割成两个相等的小角的方法。这题啊，除了将大小分割成两个小角的方法之外呢，我们还可以将小角 啊补成一个大小，也就是如何去将小脚补成大小的形式啊。这个呢，我们也要讲一下啊，当然，这第二种方法呢，适合的是初三同学的啊，初二同学呢，可能啊，还不太 不能做出来，因为它用到了像三角形啊，依旧是老样子，因为 a b 是 等于 a、 c 的， 所以过 a 点做一条线， a、 e 垂直于 b、 c， 然后呢，我们将什么？将 a、 d 经延长， 然后再加 bc 进行延长？延长之后，它的焦点呢？是点 g 啊，或点 f 都可以，你看，它是二倍，它是一倍角， a、 d、 b 是 三角形 b、 g、 d 的 外角啊，所以它也是一倍。 那么我们是不是可以得出啊？ d、 b 是 等于 d g 啊？啊？当然，这个啊，可能用处不是很大啊。来，我们把已知的其他条件给标上去，它是五，它是三，它是三， 那么它是四。 a， dc 是 什么？ dc 是 我们 bg 的 垂直平分线，所以 c、 g 也是得六啊，为什么？因为我们的 b、 d、 g、 b、 d、 g 是 一个等腰三角形，等腰三角形 dc 又垂直于 b、 d 三角一嘛，对不对？所以呢， c 点呢，也是 b、 g 的 中点，所以 c、 g 等于 bc 等于六， 你看这时候好不好？算了，这时候好算了啊，呃，我们只需要将 a、 g 求出来就行了。 a、 g 等于什么？ a g 平方不就等于 a、 e 平方加上 eg 平方吗？ a、 e 平方是？呃，十六， eg 平方是九八十一，等于 啊，等于九十七啊，也就是说 a、 g 是 等于根号九十七的，是不是？所以啊，两 两直线平行，也就可以得出三角形相似，所以三角形 g、 d、 c 是 相啊，相似啊，相似于三角形 g、 a、 e 的， 那么我们的 d、 g 比上 a、 d 是 不是等于 c、 g 比上 c、 e 啊？ 啊？所以我们的 a、 d 是 不是就可以求出来了啊？它是一份，它是两份，它一份了嘛，对不对？因为三比六嘛，所以它是一份，它是两份，也就说 a、 d 是 三分之一嘛， a、 d 是 a、 g 的 三分之一， a、 g 是 根号九十七，所以 a、 d 是 三分之根号九十七。 拿到这一题之后，我们要读题之后，从题目的条件之中啊取出有利于我们解决题目的条件。这里面 a、 b 等于 a、 c， 所以 它是等腰三角形。等腰三角形考的常考都是三项合一啊，我们把它做出来，然后其他的就是 a、 d、 g 这个角等于 二倍的 c、 b、 d， 那 也就是我们的二倍角关系。用二倍角啊，割大角或补小角的方法啊哈，做出我们的辅助线。辅助线做出来之后呢？哎，通过 呃找出相对应的一些线段，勾定理或相似三角形啊等等方法，最终就可以求出我们最终 a、 d 的 具体值为多少了。

你想在一轮复习过后，惊艳你的老师和同学吗？今天要用一个视频教会你如何拆解中考数学压轴题。先看题，如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 b， c 等于十，新 b 等于五分之四。点 p 是 边 a、 b 上的一点， 过点 p 做 p， c 的 垂线与 c a 的 延长线交于点 d。 若 p d 等于 p c， 则 b、 p 的 场为多少 见到 c n、 b 等于五分之四这个条件，你的第一反应是什么？想到了构造角 b 所在的直角三角形，我们可以过点 c 做 c， h 垂直于 a， b 于点 h。 在 直角三角形 b、 c、 h 中，结合三 a， b 等于五分之四和 b， c 等于十，这个条件很容易求出 c， h 等于八。再根据勾股定律就可以求出 b， h 等于六。 结合条件 p， c 等于 p d， p c 垂直于 p d， ch 垂直于 ap。 观察图形你能想到什么？是不是想到了一线三直角模型？ 我们可以过点 d 做 d， e 垂直于 b a 交 b， a 的 延长线于点 e。 此时根据已有条件，很容易证出三角形 c， p、 h 全等于三角形 p d、 e。 所以 p h 等于 d e， c、 h 等于 p e。 若设 b p 等于 x， 则 d， e 等于 p， h 等于 b h 减 b， p 等于六减 x， pa 等于十减 x， e， a 等于 p， 一 减 pa 等于 x 减二、观察三角形 c、 h， a 和三角形 d、 e、 a 什么关系呢？ 是不是很容易得到相似？根据相似三角形的对应边乘比例，可得 c， h 比 d， e 等于 a， h 比 a， e。 代入即可列出关于 x 的 方程问题，就可以得到。解决这道题，你还有更好的方法吗？欢迎大家参与讨论。

米尼劳斯定律普罗摩基多模型这次的压轴相当有趣。大家好，我是专治压轴的杨老师，今天和大家聊一聊二零二六百校联考一的两道几何压轴。 如果选择常规方法去做这两道题，难度中等偏上，不太好思考。但如果你储备了足够多的定力方法模型的话，那这两个题读完题基本上立刻就会有思路，稍加计算即可得到最后的结果。 好，接下来我们一道一道的来看一下这两个题如何求解。先看十五题，如图，三角形 abc 中 ab 等于 ac， bc 等于四， b、 d 是 一条中线， e 是 b， d 上一点延长 c、 e 以后与 ab 交于点 f， 图形就基本成型了。最后给了信息， b、 d 等于根号是七，以及 b、 e 和 b、 e 的 比是七比十， 最后求 b、 f 的 长怎么做？读完题以后，脑子里应该立马有个想法， 这个题条件中已知了一个 d， e 比 b， e 是 七比七，呃，七比十，一个比例，同时从比例的角度出发的话，中线本身也是比例，所以还知道一个 a、 d 比 c、 d 是 一比一的情况， 那么我们学的已知比例求比例，构造 a 字和八字的相似即可解决。 所以通过构造 a 字和八字，我们先来分析，那这个题以这两个比例可以把题中所有的比例全部求出来，包括 a、 f 比上 f、 b 一定是可求的。但第二个问题随之也来了， af 未知， ab 也未知，那光知道 af 和 f、 b 这条线上的比例，不知道具体的长，那我是没办法计算的。所以随之而来的第二个问题就是如何能求出 af 或者 ab 的 长， 当然这个长度那肯定就跟这里的根号时期有关系，和比例无关了啊，比例已经通过构造比例求比利用过了，而这个具体的值根号时期还没有用，所以下一个点我们应该从这个根号时期来入手， 求具体的长怎么做？那我们思路可以放在三线合一上，原因就是等腰三角形出现了，要么等边对等角等边，要么就是三线合一。 那很显然，我们只能选择三线合一去尝试。于是我可以过 a 点去做一条辅助线，直接做 bc。 垂线垂足为 m， 本身长度是四，那 b， m 和 m、 c 各自为二。 做完以后还要想啊，一定跟根号十七是有关系，你这个三线合一做下来，并不能把这个根号十七得到一个很好的利用， 它很明显是一个直角三角形中某一条边的长，然后才能辐射出去。 所以我可以进一步借助根号式基再思考。 d 点恰好是一个中点，如果我过 d 点向 bc 做个垂线，垂足为 n 的 话，这个垂线很完美。 一个完美就是因为 d n 与 am 平行，这里不自然间构造了一个 a 字相似。另一个就是这条垂线能完美的把根号时期放到一个 r 四角形，方便勾股定律去使用根号时期。而只要这两条垂线，想到这个题就迎刃而解了， 这里的两个，这里的二啊变成一和一，原因就是 a 字模型一比一，这里也是一比一嘛。 那于是三角形 b b n 中 r t， 三角形 b， b， n 中，直接选择勾股定律就可以求出 d n 的 长，它等于根号十七的平方减去二加一十三，三的平方 十七减九等于八，然后再对八开方就行了。那化简一下，就是二倍根号二， 这就把 d n 求出来了，然后下一个三线合一的这个 a m 本质上是 d n 的 两倍，所以 a m 就 应该等于四倍，正好二，最后勾股定力 二，它是四倍根号二，然后求 a b 不 就行了吗？所以 a b 就 等于二的平方，加上四倍根号二的平方，然后再开放，等于三十六，开放六， 所以这个题即可得到。等腰上写的腰长 ab 或者 ac 等于六，这就完成了第一步了，接下来第二步，而第二步就是固定的计算模式，我把这个前面一擦， 第二步固定的，这里是一比一，这里是七比十，那我要求 a f 比 bf 已知比例求比例，那就做平行， 过比例分点可以做平行，过比例端点可以做平行。这里我方法比较多，我就选择一种比较简单一点的啊，我直接选择过地点这个比例分点做 c f 的 平行，这样做相对来讲会简单一点。好，这是垂足为 p。 好，接下来我们根据比例来导测啊。呃，这里的呃， a 比 a 是 一比一，那么在这样的一个 a 字模型里面， ap 比上 p f 也是一比一。好，其实还有一个 a 字在这里， 这是七比十，所以 p f 比 b f 也是七比十，这里我就直接标注它是七 c， 那 它就应该是十 c， 又因为这是一比一的话，上面 ap 也可以记作七 c， 所以 你看这样一标，我就可以得到 b f 的 长，它其实是十 c， 占总共的二十四 c 它的一个比例， 所以 b f 就 应该等于 ab， 糖度为六六，乘上一个总糖二十四分之十即可。好，最后约分下来，答案应该等于 六和二十四，约调是四分之十，然后最后就是二分之五， 这就是这个题的第一个方法，这也是常规的方法，需要我们想两大内容，第一大内容就是如何计算腰长，第二个内容就是已知比例，求比例这样一套。 那跟我说的那几个定律有什么关系呢？那我们再看一个更高级的方法，其实也不是更高级，而是我们如果知识储备足够多的话，那么它会有一些别的想法。 首先这个题它是有中线的 b、 d 长度是根号十七， bc 长度是四等腰，三角形，两腰是相等的，也就是如果设这个是 x x， 这个就是二 x， 所以 你会发现其实它的三边和中线之间只有一个未知数，所以不自觉的就会想到一个东西，叫做中线长定力。 我们先把这个定力来写一下啊，中线长定力指的是中线的平方， b 地方等于这两边平方都是一半啊， 也就是二分之一 ab 方，加上二分之一 c， b 方，再减去四分之一 a、 c 方，它联系起了三角形的三条边和中线长度之间的关系。 由于只有一个未知数，所以我把 x 代入到这个方程里面，即可得到对应的值，那我就可以很轻松的把 x 算出来来快速代一下。 b 地方应该等于是七，等于二分之一 ab， 也就是二 x 的 平方， 再加上二分之一 c， b， 那 就是十六，然后再减去四分之一 a， c 也是二 x 啊，四 x 方。 好，然后你快速化解它就可以了，这里是二 x 方，这里是八，这里是 x 方，所以这样一算的话，二 x 方减 x 方就应该等于十七减八，这里得到 x 等于三。 所以通过这个定力，可以很轻松地求出来这个三角形，它的腰长度为六。 那得到这个以后呢？还是已知比例求比例的问题。已知比例求比例，我们讲的时候，一方面是构造相似，但是也可以不做辅助线，直接通过梅涅劳斯定律来解决。梅涅劳斯定律， 好，我们来搞一下这个比例关系啊。这里是一比一，这里是七比十，我把这个一擦单独写比例， 一比一，七比十，那我选择一个三角形做媒十三角形，再选一条线做媒十线。比如说以 a、 b、 d 做媒十三角形， c、 f 做切开它的媒十线。那么我们接下来到一个 a、 f 比 f， b 乘上一个 b， e 比 e、 d， 再乘上一个 dc 比 ca， 这个结果等于一。这就是 minus， 等于相当于是这条截线来看一遍啊，它定律描述的是这么一件事情，当一个三角形 被一条线所截，这个 a、 d 被截了， b、 d 被截了， a、 d 呢？是在延长线上被截了。好，这个时候它的三条边转圈儿比乘积为 e， af 比 f， b 乘 b， e 比 e， d 乘 dc 比 c， a， 这个乘积为 好。把这个结论一记，一套公式，立马就可以出答案啊。 a、 f 比 f、 b 是 我们要求的，然后 b、 b、 e 比 e、 d 是 十比七，注意，这边是十，这边是七，那这里就是个十比七。然后 dc 比 ca 是 一比二啊，是一比二。好，这个结果是一，那你快速就能求出 a、 f、 b、 f、 b 的 结果，答案是一个七比五， 所以这个结果啊， af 写到这儿， af 比上 f、 b 就 等于七比五， ok， 所以 这个是七份儿，这个是五份儿，总长度是六嘛，这不就可以求解了吗？直接最后的答案， b、 f 等于六，乘上一个十二分之五，所以最后答案还是二分之五。 法二的好处就是不用思考，看到中线有具体的长，三边就只有一个未知数，那么就立刻可以使用中线长定力，同时看到两个比例已知要求第三个比例，就立马可以使用 venus 定力。 在思路上要比较简单一点，但前提是我们得有足够丰富的知识储备才可以。这是十五题， 下一个二、三题，那么这个题就是我所说的陀螺模型多模型啊，很有趣，这个在初一学手拉手的时候应该就提到过，到了初三学正方形的时候也再次巩固过。 好，我们来看一下啊。如图，活动课上，老师让同学们制作两个全等的制造三角形纸片，将这两个制造三角形纸片重合放置其中， a、 c、 b 等于 a、 e、 d 等于九十度， 然后将 a、 b、 c 保持固定，然后 a、 d、 e 绕 a 点逆时针旋转。那这个条件翻译成自己的话啊，就是这里有两个三角形的纸片子，然后绕着 a 点一个不动，一个绕着 a 点逆时针旋转。 而第一问一般比较简单啊，他说了，如果 a、 d、 c 是 三十度，他给个很特殊的信息，这里是个三十度，然后这个 a、 d、 e 还转到了这个位置，从 a、 b、 c 的 位置转过去了。 好逆点正好落在 a、 b 上时，连接 b、 d、 f 是 b、 d 的 中点来标注这两条边相等， 那么判断一下 a、 c、 b、 f 的 形状，这个形状肯定是一个矩形啊，因为这里有个直角呀，对吧？最简单的也得是平行四边形，一有直角立马变矩形。那这个矩形应该怎么去正呢？ 有个很特殊的东西叫三十度，这个三十度给的很到位啊，所以你看他是三十，就会得出这是一个三十、六十、九十的三角形，所以相当于这个旋转中你转过的是六十度，叫 d、 a、 e 也是六十度， d、 a、 e 是 六十度，同时旋转前是 ab， 旋转后是 ab， 这两个边是相等的， 所以有一个角十六十的等腰三角形是等边三角形。这个题核心只要证明等边三角形 a、 b、 d 即可， 它是等边的话，那这条 a、 f 就 应该是三线合一，因为已经是中线了嘛，所以肯定也是高线做垂直。 好吧，那三线合一的话，或者说等边三角形三个角度是六十度，这里是个六十度角，哎，加三十度也是一个直角，结合这里的直角，一共就有三个直角。 好，这就是第一问。第一问的话往往不在思路上恶心，我们主要是过程写好就可以了，这是一个考验与过程书写的题目。 好，再看第二问。第二问就是陀螺摩的多摩性，他和手拉手很类似，但他不是手拉手，我们仔细去辨比啊，仔细去辨比。第二问中也是旋转，他这次旋转的是一个九十度， 把三角形 a、 b、 c 转九十度，转到 a、 d、 e 这个位置，然后注意它连接的是 c、 d， 连接的是 b、 e、 c、 d 和 b、 e 连接，然后它又取什么呢？取 b e 的 中点， p 连接 ap， 那条件很乱，一个旋转，然后连接完以后，又来了一个中点连接 ap。 最后问的是 ap 和 cd 的 数量关系和位置关系啊，那很显然，数量关系绝对不会是相等，但位置关系看起来像垂直 这样的吧，那我们接下来怎么去应对它呢？数量关系不像相等，而屁点又是一个中点， 中点怎么办？能想到哈背长中线，背长背长以后的结果就是背长完你发现这两条边就相相等了，所以这是跟一定的猜想有关的，我们就可以猜测，其实这里的 c d 啊， 和 a p 的 关系很可能是一个二倍的关系，这是猜测，那位置关系呢？其实是一个垂直的关系。 ok， 那 顺着这个思路我们就可以解题了，直接倍长中线，把 a p 延长一倍， 把 a p 延长一倍，然后和 c b 的 延长线。呃，和 c b 这个相交啊，这里稍微说一下啊，你注意你辅助线的一个描述， 如果你是延长一倍的话，把 a p 延长一倍，得到一个点 m 的 话，那这个 m 会连接 b m。 连接完以后，你得证明 c b m 三点共线， 那三点共线往往不是我们喜欢的证明嘛，所以建议大家在做弧线的时候就不要延长一倍了，直接干嘛呢？直接将 a p 延长，与 c b 的 延长线相交。哎，这个相交自然而然就说明了上下两个平行了嘛， 对吧？有了这个平行中点加直对顶角加平行的内错角，即可证明上下两个三角形全等 你。这是一种平行加中点的逻辑，不过和被上角线本质上是一样的，就是我们这样辅助线做出来以后，立马可以得到一对全等是三角形 a e p m b p 这一对全等以后，那读到了信息， a m 和 cd 的 长度就长得像相等了， 对吧？那怎么证明线段相等呢？再找全等就可以了。这个全等应该是不难找了，能看出来两个扁扁的三角形，对吧？所以下一步证明三角形 a， c， d 全等于三角形 b m a 即可。条件够不够？首先，旋转前的 a、 c 等于旋转后的 a e， 那 全第一对全等以后就有等于 b m 了， 所以它们两个有一组变相的。其次，旋转前的 ab 等于旋转后的 ad 两组条件。 最后，找个假角，这个假角其实也好找，这个假角需要稍微倒一下角，因为已知两边只能死命的去找这个 钝角，对吧？找这个钝角，所以我们就可以假设啊，假设把这个撤掉，假设它是 r 法的话，那这个 abm 就 应该等于幺八零减 r 法， 那只要证明他也是幺八零减阿尔法就可以了。倒角啊，这里是阿尔法，所以这个角应该等于九十减阿尔法。锐角互余，那旋转过去以后，这个角也等于九十减阿尔法。上面这个位置九十减阿尔法，那好，加上下面这个直角， 直角加九十减阿尔法就是这个角了，那直角是九十度，所以合起来正好也是幺八零减阿尔法，即可。通过 s a s 证明全等， 这就是它的核心点。两次全等，这个全等一证明数量关系，就得到了 c d 等于二倍的 ap。 下一个就是位置关系。位置关系的话，我们可以通过倒角，因为正垂直本就是正九十度吗？你继续去倒角就可以了，借助第一问的，全等，全等以后应该有对应角相等啊。好，我们擦了，稍微借助一下啊， 全等以后这个角如果是北塔的话，那么对应的角的话，全等这个角也是北塔， ok 吧。那我们可以看出来，其实 beta 和伽玛这个角合起来是九十度，所以这里的 beta 和这个伽玛合起来也是九十度，所以你只要放到这个三角形中，就可以看到锐角互余了，所以它一定是一个直角三角形即可证明 这个模型就是陀螺摩极多模型。这个证明方式它主要源自于手拉手拉反了，手拉手拉反了，因为旋转本质上就是一个手拉手。给大家稍微描述一下啊， 旋转就是一个手拉手，你看它是这样一个等腰直角三角形， 和这样一个等腰折三角形，它是旋转嘛，对吧？旋转就是手把手，我可以看作是等腰三角形。 a、 c、 e， 左手拉，左手拉 b、 c， 右手拉，右手拉 d e， 对吧？这两个三角形就是一种正常的手拉手，但是他偏偏拉反了，他不是左手拉左手，右手拉右手，他是左手拉右手。拿 a、 c、 e 的 左手 c 换个颜色，拉了 a、 d、 e 的 右手 d， 所以它拉反了，同时拿 a、 c、 e 的 右手拉了 a、 b、 d 的 左手，你看它属于经典的这两条拉手的蓝色的线，它属于经典的拉反了，对吧？左拉右，右拉左，这就是破锣不吉多， 所以大家区分清楚即可。手拉手是左拉左，右拉右，滚动模型都是左拉右，右拉左啊。但这个模型带来的结论其实就是这个题中已经证明过了。好吧，一个是终点推垂直，另一个就是垂直推终点， 这是第二问，那第二问其实为我们第三问是埋下了一个伏笔。最后第三问， 他说还是转九十度三角形， a b c 转九十，到了 a d e 这个位置，连接 b e 以后， m 是 射线 a c 上的一个点。好，一说射线，那这个 m 的 位置就有得调了。 然后呢，他说连接 dm， 连接 dm， 使得过 a 点做了个 dm 的 垂线，做了个垂线与 b e， 欸，与 b e 交于点记。如果既是 b e 的 三等分点， 所以你看这个条件怎么来的啊？他怎么描述的啊？他说的是先找到 m 点，先找到一个 m 点，然后连接 dm 了，再做垂线垂到 d e 上，这里是个 g， 让 g 点是什么分点？ 当然，我们为我们从满足条件这样的一个思路去出发的话，我可以先找到三个分点了，反正你的 a g 和 dm 是 垂直，对吧？所以我索性我就先找到三等分点，直接连接就好了呀。 找到三等分点，对吧？直接连接，然后呢，要让它来垂直做垂线， 这不就行了吗？所以这个题脑瓜子稍微灵活一点啊，不敢那么死板画图的话，我可以选择先做三等分点，再做垂线即可。所以你看这里是 g 点，然后垂线一做，那我把 m 取到这个位置不就可以了吗？ 这不是第一幅图就画出来了。同理，第二幅图呢？三点三等分点应该有两个嘛，上面靠近上面的一个，那靠近下面的也是一个，所以第二个让 g 点往下面这个位置去靠，它是下面的三等分点。 好，那我接下来还是有了。以后我让 dm 和 a g 垂直吗？垂直， ok， 那 这不就是那个 m 点了吗？ 所以题目稍作翻译啊，这两幅图其实并不难画，并不难画。那最后就是怎么求解的问题，题中给了这里是一比二，跟这里的 a c a m a m a c 跟这个有什么关系呢？ 对吧？我得倒腾过去。其实这个题如果没有前面小问的铺垫，我们可能是非常难想的，但是这种大题的好处就是一问二问三问是一脉相承，是互相在提示的，它是一个递进型的题目， 所以前面的做法是倍长中线，就是把这里延长构造全等了吗？那变成三等分别以后，无非就是不全等改相似了吗？那思路上大体上应该不会变，所以我们选择直接 延长，这个 a g 和 c b 的 延长线交于一点，这里不会出现全等，但是会出现一对八字形的相似。假设这是一个屁， 那么由于三等分点 e g 比上 g b 是 一比二的情况下，那么 a e 比上 b p 就是 八字形比例的一比二。假设 a e 长度是 m， 那 这个就是二 m， 其实 a e 就 代表了 a c 的 长，因为它是旋转过去的嘛，对吧？所以和 a c 还有点关系。 然后再结合上一问的结论， b 一 问中被长中线完是两组全等啊，一组就是这的八字全等，这里全等改相似了。还有一组就是这里一个钝角三角形的全等。那你看这一问中这一对全等还在不在？还是说全等改相似， 对比一下啊？对比一下。首先你看这条边 ab 还是等于这条边 ab 的 吗？所以大概率上讲应该没有全等改相似。那我就努力正全等就好了。 首先第一个 a d 等于 ab， 这不是一组边相等吗？一组边相等。然后接下来来倒腾，倒腾脚啊，来倒脚。如果它是阿尔法，那内错角， 这个也是阿尔法，上面是阿尔法，然后找一个阿尔法的鱼角啊，鱼角应该是这个角，这个角，这个角。那么假设是北塔的话，阿尔法加北塔就应该等于一个九十度， 而由于这里是垂直，那在这样一个三角形中，下面这个角是不是也和贝塔式和为九十八？是，这个位置的角肯定也是二角同角的，与角相等。 于是我就可以证明什么呢？这两个三角形有一组角相等， 同理，再来一次就可以了。再来一次，假设这里有一个角，北塔，北塔。看好了，这个角 b a g 吧，正角是北塔。好，如果这个角是贝塔的话，好注意啊，我画到这个三角形里面， 上面这个位置是有直角的，这里是有直角的，对吧？所以 bet 应该和下面这个角互余， a 塔和下面这个互余。然后同时呢，你放到这个大三角形里面去看，这是个直角三角形和它互余的上面，所以这个位置它也是一个 a 塔，于是就可以证明，哎，这个角也等于这个角 互余，倒角即可。所以这个题的关键是两个啊，第一个和第二问一样，是这里的一对相似啊，相似。第二个是这儿的一对全等，是 a a x 型的全等。写出来三角形 a m， d 全等于三角形 b p a a a s， 它俩全等以后，所以这个 a m 就 会等于 b p 就 会等于 b p， 而 b p 是 二 m 二 m， 那 这个 a m 长是二 m， a c 长是一 m， 所以 a m b a c 就 等于二比一，答案就是二，这是第一个， 其实只要做了第一幅图，第二幅图就迎刃而解了，因为方法是一样的，第二幅图我们就稍微快一点过了啊，把 a g 给它延长与 c b 的 延长线交与一点， 教育一点还是 p 啊。那么这个如果是二 m 吧，这个就是 m， 因为现在三等分点是二比一的一个情况。好，那说明这个地方 a c， 它也是一个二 m， 二 m m， 这边也是二 m 啊，这个是二 m， 然后再去正全等还是倒角，这个角阿尔法等于内错角，上面这个小不点阿尔法等于下面这个位置的阿尔法， 而这个角贝塔等于上面这个贝塔自己去推导推导，和第一位是一样的，所以两个三角形依然全等。全等以后， b p， 这个 m 就 等于 am 它的长， 所以 am 是 一倍的 m， 然后 ac 是 两倍的 m， 因此 am 比 ac 就 等于一比二。 所以这个题两个答案，那我们今天讲解就到此结束。

山西中考百校联考一、数学试卷十五、二十三题压轴题思路分享，二十三题与十五、二十三题压轴题全解七、一百五十七页题目背景解法类似。