佛山中考一模数学19题标准答案

各位家长同学，大家下午好，我是张老师。应各位家长和同学的要求，今天分析刚考完的禅城区初三一模数学试卷。说句大实话， 这份卷子完全切中了现在中考反套路、考思维，去机械化的命题核心。接下来给大家详细拆解一下这套式题。第一点，除基础常规考法之外， 今年一模的情境化命题比重大。很多同学反馈，数学卷啊，考成了阅读理解。比如第三题， 结合二零二五年月考，按全运会图标考对轴对称。第十三题，用中国古代传统吉祥图案方式来考察正方形的平移和距离计算。第十八题，用共享单车实物图考察平行线和解三角形。 第十九题，紧跟时是用 ai 人工智能产品的各项能力测试来考察统计学。对于那些平常死读书只会刷题的孩子们，遇到这种题 常常连题目都读不懂，学生呢，必须从繁杂的文字和图形中提取核心数学模型能力。 第二个特点呢，就是基础题不按套路出牌，暗藏杀机。例如今年的十六题解不等式，没有让学生直接解不等式，而是给出了小明的解答过程，让同学挑错。这不仅考察计算能力，更考察对运算性质、底层逻辑的理解， 特别是乘以负号不变号的经典错误。第三点就是反比例函数的几何意义备受偏爱。第十五题呢，直接利用反比例函数图像上一点构成三角形面积来求 k 值。 这部分有问题的同学，后续老师会出一期完整视频，讲解反比例函数 k 的 几何含义，并教你如何破解。第四部分呢，就是几何重在 动态变换，死记硬背模型，彻底斜踩。比如第六题考察三角形纸片的折叠，第八题考察等腰三角的旋转。第二十三题压轴大题也是考察正方形加动点加旋转翻折加函数关系的重磅压轴题。从这个等腰直角三角形的判定， 到利用正切值求线段长，最后落在两个直角形面积之差的函数解析式上。第五个特点呢，就是新定义压轴，专治缺乏学习能力的学生。 例如第二十二题代数压轴，直接抛出一个全新的概念对话点和对话函数，要求学生在考场上不仅要读懂这个新规则，还要将其应用到反比例函数、一次函数和二次函数中去。求函数 k 和 m， 那视频时长有限，这期先给大家分析到这里，下次期给大家建议一模之后如何复习。

啊啊啊。

一模考过的题啊，不代表中考会考， 但是呢，它的能力却是相通的，所以我们通过考试去发现自己的不足，然后接下来去加一加强。 比如说有的同学就怕新的题型。那没关系啊，那我们就多练一些压轴题的这个新定义的题。有的同学几何能力弱。那我们就去专门去练嘛。 专门去练你不去练你怎么会进步呢？你一直刷基础题，怎么能解难题呢啊？一定要针对性的去训练。

佛山一模刚刚考完，卷子我拿到了，先跟大家说个结论吧，的确是比去年的要简单一点的，选择题第一到第八题真的就是送分，只要你的基础扎实，一眼就能看出答案。 第九题和第十题呢，是稍微需要打个草稿，但是也只是中位线垂线的事，完全是没有坑的。第十四题，这种开放性填空题，去年中考刚出的新题型，让你自己去推出 这种题呢，其实比固定答案更好拿分。第十五题考的是反比例函数，基础题四十五分了，只要你平时上课没有睡觉，基本上是 可以拿满分的。再来看看后面的压轴题吧。第二十二题，新定义，兑换函数，之前讲过的零点函数也是这个套路啊，从一次函数到二次函数，串起来考练心定。 定义练的是审题能力和计算能力，不是被答案哈。虽然最后一道几何题考的是最熟悉不过的圆了，去年中考压轴题没有考圆，但二四二三年圆 都是压轴题的大个大，所以今年还是不能掉以轻心哦。总的来说呢，这份卷子基础题已经 非常友好了，中档题考察手面题，压轴题考察你的灵活性。如果你家孩子基础打满分了，但是大题卡住，接下来两个月重点好好去练专题。对了，还有顺德区高明的联考卷子我也拿到了，想要的家长我一起发给你吧！

佛山市初三一模刚考完，拿到试卷了，还有顺德区跟高明区的初三联考都在我手里了。 南海区四月八号才考，还要先放个春假。这两套卷子赶紧给你家孩子做，想要的找我拿 来，赶紧看看这一次博一膜考了什么？有没有新题型？跟中考比起来，哪个更难呢？选择填空题，这全是送分的，就第九跟第十题要打个草稿，第九题连个 a d， 剩下的步骤小学生都会算了。 第十题，做个垂线段，中位线，没有难度。第十四题呢，是开放性的填空题。二四二五年的中考新题型，带入公式，能让刁塔大于零就可以了。第十五题，反比例函数 k 的 意义，这个上课我们讲过一模一样的了，好好听课的，四十五分全拿满过。 基础解答题三个，每个七分。第十六题，计算类的解答题，这是二五年中考的新题型，问哪一步开始出错， 我们上课已经练了很多次了。第十七题是条件型尺规作图，上星期的课我们刚讲过这类型的，他跟经典的尺规作图题不同呀，他不是直接告诉你啊，要去做假平分线呢，中垂线呢？而是 我要什么你自己想办法去做。像这一题，他要的是相等的弧，哎，等弧对什么呀？你们想到做什么了吗？评论区聊聊你的答案再来。第 第十八题，跟去年的南海区一模一样的图，他就是改了点条件变形了，应用题难度也不是很大。再来看看中档的解答题，三个，每个九分。第十九题，统计与概率完全没有难度啊， 综合实践跟几何，哎，居然换了个位置啊。第二十题是综合实践，第一题在三角形里面剪一个最大的矩形，我们也做过了。 第二题，加个反比例函数的图像，那就是要间隙啦。跟二五年的中考应用题一样，也是求最大值，设点法代入，求值面积变成二次函数，配个方，求最大值， 难度不是很大，但是要花的时间有点长啊。第二十一题几何，第一问挣个全等，第二问求个周长，都不是特别的难。第三问呢，让你家条件，哎，中考新题型， 十个学生可能用的方法都不一样，很灵活。好，最后压轴题来啦，一个十三，一个十四分。第一题是新定义问题，兑换函数，哎，我们上周刚讲过，不动点函数也是这一类题型。 一个新定义，从一次函数，反比例函数考到二次函数，给你考个遍。那有些人说，哎，这种题目反正每次考了都不一样呢，我干脆不练得了。哎，那语文的作文每次都不同啊，英语的阅读每一篇都不一样呀。 我们数学练新定义专题是为了锻炼审题跟计算的能力，结合知识点的性质，那不管你怎么考，我们都能够做对，这才是练习的意义。最后一个，圆形的几何，哎，虽然二五年的中考压轴题没有考圆形，但是 二四二三年乃至以前，圆形一直都是压轴题的大哥大，所以还是不能掉以轻心的。第一 一问证明，第一问证明等腰直角三角形。第二问，求 tan 角的值， m f 的 平方等于 m d 乘 m n。 那 很明显就是考相似呀。 最后一问，两个面积之差的函数表达是，嗯，这里的思路是有点长的，等我写完完整的过程再直接发出来吧，这两份卷子，想要的都给你们哦。

给我擦皮鞋，我要烟台。

佛山初三家长注意呢，咱们顺德区一模的数学呢，考完了，叶子老师呢，第一时间刷完卷子，说实话，这一套卷子的压轴题的难度呢，并不小，估计会卡住一大波学生。 第二十二题呢，考察的是一个二次函数的代数方向。第二问呢，偏重增减性，咱们只需要考虑对称轴。第三问呢，比大小要求的是一个代数变形，平时练习少的话，他是有一定的难度的。 第二十三题呢，属于是一个几何综合。那这道题呢，老师觉得出的非常好，背景呢，很简单，但是呢，问题却在层层递进。 第三问呢，就比较难想了，需要孩子有较强的几何直觉。第四问呢，是单线段的最值问题。叶子老师呢，给出了两种解答方式， 那方法一呢，需要用到咱们的一个超纲公式，托勒密定律，一步到位，但知道这个定律的孩子呢，并不多。 二是采用什么三线共点，咱们就必须考虑旋转旋出相似，再来考虑三点共线是什么，有取坠值思路呢？很巧哦，那这道题能完整的做下来的孩子呢，绝对是有真功夫的。 南海区一模呢，四月八号开考，那这套顺德卷呢，正好可以拿来练练手，查漏补缺。需要电子版的家长呢，评论区留言需要我发给您。

十三初三的家长注意了，佛山初三一模已经考完了，我这边整理了顺德长城的一模试卷，有需要的家长都可以找我拿。 南海区四月八号才考，还有时间，正好可以拿这些卷子给孩子练练手，看看新的题型，提前适应一下一模的节奏。

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刚看了佛山宋德和高明中考一模的作文题，我给大家放在下面，他实际上说笑看，围绕经典来征文，让你写一篇什么作文。这个题目他放的比较开， 就是说让你可以什么写你与经典相遇的故事，也可以写阅读经典给你的启发启示，也可以探讨什么啊，经典在当下的意义， 这个还有什么，你可以改写经典，续写经典等等。总之，他放的比较开，题目出的比较活。我相信，只要你读过任何一篇经典作品，对你有感触，那么这篇作文对你来说就不了啊。相对来说，这篇作文 比较好写。恰好啊，我在多年前也参加过一次中华书局和新浪网联合举办的阅读经典论语 啊的征文，结果我写了一篇投了过去，还获了一个全国三等奖，我把它附在后面，供大家参考。我读论语之三，最 像大多数人一样。最初读到论语，是在语文课本上。子曰，学而时习之，不亦悦乎？有朋自远方来，不亦悦乎？人不知而不愠，不亦君子乎？ 至今能背诵。那时隋炀老师解释后，懂得了其字面意思，但对其深意还是不懂。直到随着年龄的增大， 经历了一些世事后，特别是步入社会后，许多事和人要去面对，才真正对论语有了理解。而通读论语，也正是这个时候， 通读几遍之后，对其印象最深。对我很有启发的有几则，现选几则，己录如下。最喜欢读的一篇是作，这则写的是孔子和他的四个弟子谈理想的事，写的委婉简约， 栩栩如生，他四个弟子的形象跃然纸上。可以说这是论语李少有的没有直接说理，而通过描写来表述道理的一则，有人甚至将他当做一篇小说来解说，这正是我喜欢读的原因之一。 原因之二是孔子那种循循善诱教导弟子的方法给我启发很大。孔子为了让弟子们说出自己真实的理想， 首先启发他们，不要被老师的威严和年龄的差距给挡住了，实际上老师是非常想了解他们的，然后一一询问，特别是对不同于子路原有龚熙华的增西，他一句只不过是大家谈谈各自理想罢了， 便让有些顾虑的增西谈出了自己的理想。其次，孔子在他们四个人谈了各自的理想后，他并未多加评论， 只是笑笑或简单的一句，我与曾希的想法一样，更多的是让他们自己去比较领悟，这对我启发很大。当时我正好也在做老师，读 懂这篇后，我意识到老师只是一个指引者，不能代替学生去思考，所以应该鼓励启发学生自己去思考。无论是小到一个具体科目的问题，还是大到人生理想问题。想通之后，我不再整天教导学生该怎么做， 而是尽量的通过身体力行，身边的事实及时的启发学生。从此以后，我发现我和学生的关系没以前那么紧张和疏远了，有些学生也没以前那么看上去讨厌了。 最费思量和最具启示意义的一则，子曰，君子不器。刚开始读到这一则的时候，对这个器费尽了思量，查阅了一些资料，知道这个器是器敏的意思。这句话就是说君子不能像器敏一样有一种用途，略有醒悟， 既多不压身，这对我们现代人来说还是很有现实意义的。但是，孔子的本意真的是这样吗？我的脑袋还有这个疑问，姓敏还有什么特点？除了它特有的用途外， 就是一成不变。比如瓶子，你要使它有用，就得变成它的形状，否则就得让它空着，处于无用状态。要么就是打碎它，彻底让它无用。 从这一方面看来，孔子还有另一层意思，那就是君子不能像器皿一样一成不变，甚至把本来鲜活的东西诓死。对于教授，学生有味如此，老师不能将自己认为有用的东西而强加于学生， 这样的结果最多也是将学生变成一个器皿。后来读了一些关于孔子的书，对孔子有了更深的认识。 可以说，孔子的一生就是想将自己的政治理想推行于世，明知不可为而为之的一生。他希望一个君子不仅像器皿一样使自身有用，而且也要使别人像自己一样有用。穷则独善其身，实际上是一个基本的要求， 而更重要的是影响大家都去独善其身，实际上是一个基本的要求，而更重要的是影响大家都去独善其身，去监制天下。最沉重的是，士者如斯夫， 不舍昼夜。夕阳西下，一条河流在原野上静静地流淌着。一个孤零零的老者站在边上，看着被夕阳染成紫色的河面，发出了一声沉重的叹息。这声叹息穿透了他走过的七十多年， 也穿透了人类的历史。是啊，当我们一来到这个世界的时候，我们就迎来了一位残酷的对手。 时间，我们每个人最终都会败在他的脚下，只是有些人败得无憾，败得自豪，而有些人败得不甘，败得遗憾。我不知道孔子是在对自我人生，对人类寂寞的慨叹呢， 还是在对你我的人生的慨叹呢？朋友，让我们抓紧这流水般的时间吧！做一个不仅自己有用，还要使别人有用，使社会进步的君子吧！

好，咱们继续分享紧急重点初中，呃，一模数学试卷的填空题，那么讲之前孙老师说一点啊，一定你这个题哈，你不要因为这个题简单啊，就比如说十一、十二题简单，你就不认真去对待， 因为这个地方就是这些题师傅的多的是，所以说他你，你对这种简单题的就是重视程度，也是影响你成绩的，那你喜欢他，他也喜欢你，你重视他，他也重视你， 对不对？所以说就是这么一个关系啊，好，第一个同内向是不是？好，咱们说同内向的概念，什么是同内向啊？淡雅式的同内向，就是啊，字母相同。 第二个就是相同字母的指数相同。 好，然后根据这个关系，我们去看一下它的四种特性，那么相同的字母就是 m 加四等于二，是不是？那么 y 指数相同就不用再考虑啊，很简单啊，然后 m 等于一个啊，负二 啊，这是第十二题啊，十一题，十二题，我们看下，正多边形哈，正多边形，那么我这个接这个地方，我把这个数字点给大家总结一下，就是正多边形啊，首先是它的概念哈，正多边形，它的概念啊，各边相等， 各角相等 个角上的哈的多边形。然后咱们比如说我随便画一个，我画一个整体变形吧，然后我把里面的关系给大家捋一下， 你要光光讲这个题，它没多大意义是不是？好，比如说 a、 b、 c、 d、 e、 f， 好， 这是它的中心， 然后 o， 这是，这是直的啊，这是直的啊，然后 o 是 中心哈， o 是 中心。那么像角 a 叫做什么？哈？角 a， 角 b， 角 c， 角 d 叫做它的内角啊，正 a 边形哈，正 a 边形，内角， 那么我，我是以正对称正对边形为例哈，就是正 a 边形的里面这些东西， 那么它的内角，它的内角的度数是 n 减二乘以一百八十度除以 a 啊，用内角和公式除以它角 a 角，内角，那么角 b o c， 所以哈，我们把它叫做中心角啊，中心角，那么它等于多少？三百六十度除以 n。 第三个啊，我做一个吧，哈，隐藏一下 它，这个版字不好写，有点啊，然后我隐藏一下， 那么这个角哈，角一把，我们把角一叫做正多边形的外角啊， 外角和啊，外角和。所有的多边形，外角和都是三百六十度，这是三百六十度除以 a， 这是这一个，然后第四个哈，我们把 o b 啊 o b 叫做正多边形啊，外接圆的半径， 正多边形外接圆半径，这些关系，你要知道它是干嘛用的，是不是啊？外接圆半径， 然后第五个，然后我做一个垂直过点 o 做 o g 垂直 bc， o g 垂直 bc， 然后我们把 o g 叫做它的内切圆半径，也是正方正 a 边形的半径， 内切圆半径，这是这么一个关系哈，那么第六个，我要说的是，我要说的是什么？第六个，我就说，如果说他让我们研究是正多边形的面积哈，你只需求出一个面积乘以 a， 求出一个，就说你他哪怕是正一百边形来，是不是？那么你花的一个是不是花出一个，你去研究一个也可以，是不是？其他都重复的，是不是啊？重复的啊，中心角三百六十度除以一百，是不是？ 然后就是说，呃，咱们做这个题的时候啊，就要多说一点啊，一定和圆，一定与圆结合在一起学啊，结合起来 就是你一定要画它的圆，不画它的圆，这种题不好做啊，如果说遇到遇到稍微难一点的题，那么这个题就是多少啊，三百六十度除以七十二，是啊，边数是五啊，第三个 x y 的 倒数为会倒数，那么 x y 的 乘以等于一，没什么可说的哈， 这个题就是一个计算，仔细啊，一定要仔细，这道题你千万不能失分，展开哈，展开之后就是减一加二，然后再减去 x， y 分 之一，咱们代一下，就是二减一加二，再减一， 嗯，然后就是四减二，等于二，也没什么可说的哈。第十四题，十四题，我的视频号里面还有抖音里面这个关于这个地方讲的很多哈，咱们就直接说了哈啊，平行四边形， o， a， b， c 的 顶点， o 是 坐标原点 啊，在 a 在 x 的 正半边上， bc 在 第一项线，反比例函数 y 等于 x 分 之一啊，它的推向经过点 c 啊，经过点 c， 那 么 y 等于 x 分 之 k 推向经过点 b 啊，经过点 b， 然后若 o c 等于 a， c 好， o c 等于 a c， 那 么这个我们求 k 的 值哈，那么求 k 的是两种思路，各位哈，两种思路就是第一个是找一个点啊，一个点 代入，就是我能把这个点求出来。第二个就是利用把比例函数啊，它的系数 k 的 集合 e。 这个地方啊，太多，我就不再单说了哈，因为我之前讲了很多这个地方的哈，讲了很多。好，那你看这个题啊 你，你看这个题哈，你去用第一个方法，他很难，对，很难哈，一般的他大题里面比较多，你看这种题里面基基本上都是用到第二种啊，用到这一种是不是好？我们看 o、 c 等于 a， c 等，等完三角形是不是？等完三角形的话，咱们就做一个高呗，是不是？为什么？三线合一对不对？做 c， d 啊？ c， d 垂直它，那么我们根据那个反比例函数几，它的系数 k 的 几何意义，我们很清楚地知道啊， o、 d， c 的 面积是二分之一啊， a、 d， c 的 面积也是二分之一，又因为它这个平行是菱形，是不是？平行是菱形，所以说这一个三角形 abc， 它的面积啊，三角形 abc 啊，面积等于三角形 a、 o， c， 所以 说它的面积就是一啊，然后对不对？那么你要求 k， 你 肯定要做垂直，是不是啊？做垂直，做垂直 x 轴，垂直 y 轴的， 你们看，然后它的面积是二分之一，那么这个地方跟前呢？它也是二分之一，它也是二分之一，所以说我们又求出来一个什么？求出这一个哦，标号字母啊， c， d 啊， e 就是 s 矩形， 它的面积就等于一个二分之一啊，二分之一加上一个一加一，再加二分之一，它的面积就等于几等于一个啊？四 四吧。啊，二分之一一加一哦，我忘了说一点哈，那么你做完这个垂线之后，你注意哈啊，做完垂线之后，这个三角形，三角形 a、 b、 e， 它和三角形就那个什么 a， a， o， o， c， d， 它的面积也相同，是不是？我们可以正圈的，是不是圈的 这个角啊？等于这个角 a、 c 等于 ab， 是 不是？然后还有去指 a、 a， s 可以 正圈的，所以说就是二分之一加上这个 e 啊，加上这个 e， 加上这个二分之一，就是等于三，所以说 k 的 值不，它矩形的面积等于三，那么咱们知道哈，这个系数 k 就是 矩形的面积，等于啊，二分之 k 的 绝对值， 等于 k 的 就是他的矩形，是不是啊？等于三，因为他位于第一象限嘛，所以这就取中了等于三这道题哈。嗯，到到到了这个地步也不是很难。好，咱们看最后一道监考题的最后一道题，第十五题，第十五题看一下， 或者如图啊，圆 o 式啊，等边三角形把这种条件可以标一下，等边呢？是不是啊？ d 是 移动点，哪里动点？弧？ a c 上移动点，是不是啊？那么不与 a c 中下联结论正确的是，第一个是角 adb 啊， adb 怎么角 bdc， a， d， b 啊？ b， d， c 很 简单，都是六十度，是不是啊？都是六十度啊，角 a， d， b 等于这个角六十度。角 b， d， c 中这个角六十度，是不是等于它也行吗？第一个，没没没得没说的是不是？那么第二个，他说 d a 等于 dc， 那 么咱假设哈。第二个，假设 d a 等于 dc 的 话，那么 d a 等于 dc 的 话，那么这两个角应该相等， 是不是啊？根据那一个就是它的对称性，也可以，它俩应该相等，但是不可能，人家是一个动点，是不是？动点不可能一直相等，它是错的，是不是啊？好，第三个题， d b 最长，什么是 d b 最长什么时候啊？ d b 是 直径， 是直径，那个时候它最长，那么它最长的话，我们连一下， 你看直径是不是直径，它为我们 dc 的 长度哈， dc 啊， 倒到里的，然后这个地方就成了这个 d 就 没有了。倒到里是不是？那么你看这个地方，它是一个 i m sorry， 它没有过，那个没有过圆心，我再重新画一下，这个没有过圆心 还缺不掉嘞啊，他，他其实应该是过银杏的，过银杏的，过银杏的是不是过银杏的？然后那个这个地方就是直角 啊，就是直角，直角的话，那么那么他说 d b 等于 r b c 是 不是？你这个六十度三十度，是不是？这里是 d 对 不对？那么就是一二一二三嘛，是不是一二三？所以在这个地方啊，就是直角三角形中的三十度角啊， 三十度角就到直角边啊，直角边对不对？斜边的一半啊， 这一个到了这个时候对不对？都 b c 等于二十一 a b 是 不是啊？没问题。好，咱们看最后一个啊，最后一个我得把这个啊，怎么能去掉呢？我看一下啊，能去掉 不？好去啊，等我讲完这个题学一下，他说 d a 啊， d a 等于 d c， 也没有一个撤回啥的， 但是它也也受影响。嗯， 咱们先来讲题吧。好，来，你们看哈，他说 d a 加 d c 等于 d b， 好， 那么这个时候哈，这个时候我换一个颜色，我换一个颜色的那个，呃， 你来讲一下啊，去拼一下啊，啊，像这种题哈，你干嘛？你截啊，截取啊，截取法对不对？ d a 加 d c， 呃，就是 d a 加 d c 等于 d b， 好， 那么我就在 d b 上哈，我在 d b 上截取一个 啊，截取一个点啊，在 b d 上 截取。我们截取什么？截取 d 等于 d a， 那 么我们截取完之后，很显然三角形 a d e， 它就是一个正三角形，是不是正三角形？为什么？因为这个是六十度嘛？是不是六十度？又因为它是等幺三角形，所以都是六十度啊。然后 我们啊，他说怎么三角形，我们知道什么哈？我们就是下面，下面我们就是说我们只需要证明什么啊？只需要啊，证明出来 b 一 c、 d 就 ok 了，是不是好？ b、 e 等于 c、 d 的 话，咱们看一下，因为前面有一个等边三角形啊，啊，很显然啊，咱们根据图，很显然，我们要正什么？我们要正啊，三角形 a、 b、 e 啊，全等三角形 a、 b、 e 好， a、 c、 d， 是 不是啊？因为它在两个三角形的嘛？这个思路还是这个题，作为这个选择题的填空题，最后一个还是比较简单的哈，然后咱们看有没有条件啊，条件满足不满足哈， 咱们看，首先是等边三角形 a、 b 等于 a、 c 啊，三角形 a、 b、 c 是 等边三角形， a、 b 等于 a、 c， 然后还有一个啊， a， e 啊， a， e 等于 a、 d， 是 不是？刚才说完了，这不是正三角形吗？是不是 a 等于 a、 d 啊？那么咱们看一下啊，那么这个角 a、 b 啊， a、 b 等于一百二十度，是不是角 a、 b 一 百二十度，咱们看到的地方 a、 d、 b 和 a、 d、 c 都是六十度，是不是？所以说啊，它等于角 a、 d、 c 条件满足，证明全等，全等之后，你说我们证明出来了什么啊？ b、 e 等于 cd， 是 不是 b 等于 cd， 又因为 a、 d 等于 d、 e， 那 么我们是不是就可以推出的啊？ d， b 啊，等于一个 d， e 加 d e， 然后咱们换一下，换成就是 d， a 加上 d、 c， 是 不是啊？咱们换一下，所以这个题就一三四啊，总体来说这几道题难度不特别大哈。

所以，勤奋、重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。

今天我们用一张二零二六年最新的中考异模数学试卷，带领大家进行一场最完美的一轮复习。时间宝贵，咱们直接开始。首先我们来看第一题， 下来交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是哪一个？什么叫中心对称图形呢？就是把这个图形绕着某一个点旋转一百八十度，能够和自身重合，那么它就属于中心对称图形了。 什么是轴对称图形呢？就是关于某一条直线对称，对吧？哎呀，它能够左右两边完全重合，我把它叫做轴对称图形， 所以你有发现它属于轴对称图形，但不属于中心对称图形。它属于轴对称图形，但是不属于中心对称图形。而这个呢，它既不属于轴对称图形，也不属于中心对称，所以这里面满足条件的只有我们的 a 选项。好，我们看立二， 现在我告诉你，有一个坡坡高呢，是等于一的，就是这个是一，而且水平距离 bc 呢，等于根号三。问，我们整个斜坡 ab， 也就是这条坡，它的坡度是什么？ 其实我们一个斜坡的坡度是用这个斜坡的高啊，也就是用一比上整个斜坡水平上的宽度，也就是比上根号三，所以我们知道坡度呢，也就是三分之高三，所以这题我们选的依然是 a 选项。好，接下来我们继续往后第三题。 如果 x 比上 y 呢，等于四分之七，那么 x 减 y 比上 y 的 值等于多少？其实这个题考的是我们见比设参，它的一个怎么样的方法技巧啊？比方说呢，你可以令它是七 m， 对 吧？那么它就是四 m 了，那么整个分子呢，它就会变成七 m， 减去四 m， 整个分母呢？它就会变成怎么样呢？四 m， 对 吧？哎，我们除以四 m， 所以 也就是三 m 比上四 m 等于多少？等于四分之三，所以选 d。 当然，像这种题，其实尤其是选择题目，你我我建议大家直接怎么样呢？ 你把这个就当做七，你把这个呢？就当做四，那整个题目它就会变成七，减去四，再除以四等于几呢？那不也是四分之三吗？搞定 好，接下来我们再来看第四题。 o 第四题看起来好像有一点点难度，对吧？有一个立方体的木块静止在斜面 o v 上啊，就是，这是个木块对吧？这是我们的斜面。好，它的受力分析呢？如图所示哈， 受力分析其实是我们高中物理里面的一个分支了。好，它的重力计的方向数值往下啊，这个就是这个物体自身带的重力。 好摩擦力 f 一 的方向与鞋面平行，就这个方向呢，和我们的鞋面是平行的，往上了，他到底想干嘛？支持力啊，就是我们这个面对他的一个弹力，对吧？哦，往上弹的一个力怎么样呢？与鞋面是垂直的哦，也就是这个呢，你如果把它延长，跟整个鞋面是垂直的关系。好，我们继续往后了。 如果鞋面的坡角角一等于三十度，就这个角多少度呢？啊，我告诉你是三十度的。好，现在让我们求什么？求支持力？ f 二啊，就是这一条线与我们重力啊，重力计这条线他们的夹角的度数是多少？那么这个你一看就知道，他肯定是一个钝角，并且跟我们三十度有关吗？ 和三十度有关的钝角，你说是哪一个呢？很明显，对吧？当然如果你说这样呢，我想系统性的求其怎么办？其实这里面方法很多， 但我个人觉得比较常规，比较简单的方法是哪一种呢？举个例子，比方说我直接把它延长出来，你正面你可以用什么平行线来进行搞定，对吧？啊？亮，在这里我索性就用什么呢？就用我们的呃八字模型吧啊来进行处理 啊，因为你要知道这个是垂直的吗？也就是这个角呢，它是九十度，对吧？这个角是直角，这个角呢是 直角，能看到，画的比较小。哈，好，你会发现喏，还有啊，我把它标一下，也就是我们这个角能看到吗？这个角 跟我们这个角这两个绿角是相等，大家能不能看到？把它放大，可以吧，两个绿角相等啊，对顶角吗？那么此时你会发现在这个三角形以及这个三角形中能不能看到？在这个，这个，这个这个三角形跟这个三角形中，对吧？我的对顶角等于对顶角， 我的直角和直角对应相等，你垂直吗？所以这个角一定是九十度，对吧？三角形内角和呢？一百八十度。现在我有两组内角对应相等，一组内角对应相等，两组内角呢？对应相等，对吧？ 对，我们的第三组内角一定对应相等，你这个角是三十度，所以我们知道也就是这个角能看到吗？这个角它一定也是 三十度。理解没有。当我们求出这个角等于三十度，那剩下的它的零补角，也就是我们角二呢一百八减去三十度嘛，所以也就是一百五十度了，因此这里我们选什么？哎，我们刚才说和三十度有关的，对吧？很明显也就是 b 选项了。 当然在这里面，如果你像这样做平行可不可以呢？也可以做出来方法非常多啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，我们再来看一下第五题了， 第五题这个题其实本质上考的是我们相似的判定呐。首先我告诉你，三角形顶点都在正方形的网格格点上呐，像这种这种这种都在格点，对吧？那么下面鹰眼三角形，你发现它的顶点也在格点上，那么哪一个相似呢？ 其实我告诉你，这个题正常情况你应该怎么做呢？我讲两种方法，第一个呢就是我们所谓的常规的方法，第二个就是流氓法。好，首先标准方法他是这么描述的， 你这个三角形在网格里面三边可以求，你这个边长度是几呢？这个边的长度一定是我们的单位一，对吧？好，那这个边的长度呢？它是正方形的对角线，在这个等腰直角三角形中，你可以求出来它是根号二，没有问题吧？ 剩下的那这条边的长度等于多少呢？嗯，你会发现他在一个一乘以二的直角三角形是一根号二，根号五。 那么我请问各位同学们，那我们剩下的 a、 b、 c、 d 每一个三角形的边长可以求出来吗？百分百可以举一个例子，比方说这个边长是几呢？是根号二，对吧？这个边长是几呢？你会发现它在一个一乘以三的 一乘以三的直角三角形中，你用勾股定律可以求出来，这个边是根号十，也就是这里的每一个每一个三角形，它的三边你都可以求出来，哪怕慢一点。 求出来之后呢？我们知道相似的判定里面有一种两个三角形，如果三边对应成比例，那么这两个三角形一定相似，对吧？但是在这里面你会发现我们需要怎么样呢？一二三四， 我们要求四个三角形的三个边，我们要求十二条边，而且我们要比来比去的比较麻烦，那这里有没有稍微快一点点的方法呢？哎，首先你要知道我是不是一个钝角三角形，没问题吧？我这个钝角三角形的钝角等于多少度呢？首先这个角是九十度直角，没问题吧？ 剩下你会发现我们这个角呢，也就是这个角多少度呀？这个角这是等腰直角三角形吗？因此我们这个角一定多少度是不等于四十五度，没问题吧？ 那此时你会发现我们整个大大的钝角等于多少度？四十五度加九十度，也就整个钝角他一定是一百三十五度，没有问题吧？哦，我是一个含有一百三十五度的钝角三角形，你但凡跟我相似，你是不是必须得有一个一百三十五度才可以，对吧？ 那请问 abcd 哪个三角形，哪个钝角三角形它有一百三十五度角呢？很明显只有谁只有 a 选项，对吧？你这是九十度吗？ 你这是一个等腰直角三角形，这个角四十五度吗？九十度加四十五度，一百三十五度。除了 a 选项之外，你会发现 bc 里它都不含有一百四十五，一百三十五度，为什么呢？你比方说你这个角是四十五度，你这个角一定是小于九十度的，对吧？这个角是不是百分百小于九十度， 所以你整个角一定是小一百三十五度？不行，同样的，我们再看 c 选项，就你这个角是直角，对吧？但你这个角呢？它大于四十五度，为什么呢？你会发现我们连一下，对吧？连一下，你是个等腰直角三角形，因此我们这个角呢，等于四十五度， 对吧？那你整个大角不就大于四十五度吗？那你加在一起，所以我们知道，那整个大大大大的钝角一定大于一百三十五度，也不满足题。 好，最终我们再来看 d 选项，那 d 选项怎么判定呢？你想想，如果我这个角等于一百三十五度，那么这两个角相加一定等于四十五度，那么也就是每个角等于多少度呢？每个小角一定等于二十二点五度，对吧？那它等于二十二点五度吗？ 你想想，你连接一下，对吧？我们知道它是一个等腰直角三角形，咱们这个角呢，百分百等于四十五度嘛？ 四十五度是整个三角形的外角，那么肯定等于这个角加上这个角了。你想想，你是二十二点五度，那我这个角不也是二十二点五度吗？能不能理解？就这个角他也是二十二点五度， 那么也就是我们是一个等腰三角形了，也就是你这个边呢长度。哎，这个，这个边的长度怎么样呢？等于这个边的长度，你觉得可能吗？ 我这正方形的边长是单位一吗？你这个是正方形对角线根号，对吧？所以很明显，也就是我们可以推出来这个角，能理解吗？这个角跟我们这个角它的大小是不相等的，因此呢，它不可能是四十五度一分为二的二十二点五度。因此呢，我们 d 选项 它也不是一个含有一百三十五度的钝角三角形，因此满足题的只能是我们的 a 选项。好，我们继续往后了，再来看一下我们今天的例六， 这里考的就是我们位次图形，让我们找位次中心啊，也就是有一个三角形 a、 b、 c， 还有另外一个三角形 a、 b、 c， 对 吧？那么请问它的位次中心的坐标是什么？什么是我们的位次中心呢？它的特点就是你的 a 点跟 a 对 应点的连线， 以及你的 c 跟 c 点对应点的连线，对吧？哎，我不知道交于哪啊？包括你的 b 点跟 b， 你 对应点的连线，你一定会交于同一点，这个三条直线相交的同一点就是我们这两个位置图形的位置中心。 既然三条直线会交于两点，我们真的需要把三条直线都画出来吗？不需要，我们只需要画两条就可以了。比方说，首先我们画 a 跟 a 点，哎，这一条直线把它画出来，所以我们知道 v 四中心一定在我们的 y 轴上。好，接下来我们再找怎么样呢？找我们的 c 跟 c 点这两个对应点， 你会发现这两个多一点，他在一个二乘以三的怎么样的大大的长方形中，所以你接着画的话，他依然会在一个二乘以三的大的长方形中，也就是怎么样呢？他整个的连线是这么走的，他会走二乘以三的这个长方形矩形的对角线，对吧？ 所以也就是在哪里呢？啊？就在这个位置，那么这个点呢，很明显就是零负一，所以我们选择 d 选项。搞定。好，接下来我们再看一下 例期，其实你我发现前面整体来说都比较简单，例期其实也不难啊。好，我们给出一个烧瓶球的半径是五厘米。好，我们知道它的半径呢，等于五。好，液体已过半，现在我告诉你， c、 d 等于七厘米，整个 c d 是 七，那就相当于告诉你，这个边的长度呢，是等于二的，对吧？半径是五吧。 好，那么请问圆中的弦 a、 b 的 长度等于多少？这个题很明显考的是我们的垂径定理，那么正常情况下，我们的线应该用虚线表示，我就直接连了啊，我们知道圆的半径是五吗？你的半径是五。好，那么此时我们用勾股定理，我们可以求出来，那剩下这个边的长度呢？哎，求一下， 斜边是五，直角边呢是二，用勾股定律我们求出来，等于根号二十一，对吧？根据垂线定律，那么这个边也是根号二十一，所以整个长度呢，也就是二倍的根号二十一，选 c。 好， 我们继续往后了，这是我们今天的例题，我们再看例八， 例八，它属于我们三角函数的一个实际应用。好，首先学生甲在量体 a 处，量体在哪？在这里，对吧？测的弧形岛。 c 啊，就是弧形岛啊， c 点在其南偏西十五度的方向上，什么意思啊？就是 哦，把 a 当做一个我们的观测中心啊，这左西右东，上北下南嘛，这时候就是我们的南，这边就是我们的西，对吧？ c 在 a 的 南偏西，南偏西，就是从南边往西边，这边偏段，偏十五度，对吧？偏十五度的方向， 其实就是告诉你角一等于十五度嘛。哎，好，我们把它清掉。那说白了，咱们白说了，也就是这个角等于多少度呢？它等于十五度 是吧？哎，我把它标出来可不可以？哎，我把它写在旁边，这个角是等于十五度的。好，我们继续往后 右，从 a 处向正东，正东就是水平，往右干嘛呢？行驶三百米到达凉亭 b 处，也就是告诉你这个长度是三百。好，测得弧形 c 在 其南偏西，六十度，一样的嘛，对吧？ no， 这是南岸， 这是 c 在 b 的 南偏西，六十度啊，这个六十度已经给你标出来了。好，我们继续往后啊，已经标出来，我们就不用管他了。 好，那么请问此时 b 和 c 之间的距离，也就是 bc 的 长度等于多少？其实在这里面，我们知道他相当于告诉我们怎么样两个条件，第一个条件就是我们这个角他一定是三十度，没有问题吧？好，第二个条件是什么呢？他相当于告诉你这个角他的度数等于多少度。 这个角是九十度吧，没问题吧？九十度加十五度，其实也就是一百零五度。那我想问一下，剩下的我们这个角的度数等于多少度， 也可以求，对吧？三角形内角和一百八十度吗？减去一百零五度，再减去三十度，所以我们知道剩下的一定是 四十五度。挠，我就觉得比较简单了。在一个还有特殊角的直角三角形中，我们知道其中任何一条边，他所有的边长，所有边长全部都可以求解出来，为什么呢？比方说我们过 a 点直接做垂线 对吧？做垂线，比方说亮在这里放个屁，看到没有，我在这放了个红色的屁啊，臭死，那踢一半就逃跑了，各位同城。 哎，我们知道三十度所对的直角边是整个斜边的一半，就是一百五，对吧？所以你这个等腰直角三角形，我们这个边也是一百五了。 你不管用勾股定力，还是根据特殊直角三角形三边比的关系，我们都可以求出来，这个边呢是一百五十倍的根号三，所以整个程度呢，那自然就选择 b 选项了，一百五加上一百五十倍的根号三，其实比较简单啊。好，接下来 我觉得目前稍微有那么一点点难度的，也就是我们的第九题。嗯，这里看起来好像很火人的样子，就是很多推看到这么亮了，我脑袋都大了，对吧？这怎么处理？其实我个人觉得比较简单啊，给出一个抛物线啊，像这样的啊，我告诉你， a 大 于零，开口向上吧， 它与 x 轴交于 a 点 m 零交于 b 点 n 零，并且 m 呢，在这个范围里面，请问 n 的 取舍范围是什么？ 其实这个理本质上他也是有流氓法的，但我个人觉得我们完全没有必要去掌握那么多的，让大家觉得怎么样呢？ 呃，需要记的方法，我们直接用标准方法来搞定，可不可以？首先我们可以得到两个条件，第一个条件，开口是向上的。第二个条件，他的对称轴是二分之一，因此我们可以画出一个开口向上的抛线，就大概长这个样子，现在怎么样呢？他与 x 轴，注意他有两个焦点，对吧？他有两个焦点。 那问题来，有人亮亮，那你这个 a 点跟 b 点谁在左谁在右呢？你又没有说，对吧？那乌七八糟的，那谁知道呀？好，其实因为这个题目，我告诉你，我们的对正轴是什么？咱们整个抛线的对正轴多少呀？ 抛物线对中轴是二分之一，对吧？那对正轴也就是 x 等于二分之一嘛？你其中一个焦点是什么呢？我现在已经告诉你，其中一个焦点的横坐标是负一到零之间，对吧？也就是这个呢，是负一，这个呢是零吧， 对不对？所以很明显也就是你这个 m 呢，那一定在对称轴的左边吗？对称轴二分之一非零，不都在二分之一的左边吗？好，问题来了，那另外一个焦点的横格标 n 的 取值范围是什么？其实这个题你会发现看起来好像很难的样子，其实它考的是什么呢？三个字，抛物线的对称性。 什么意思呢？你想讲啊，那你这个焦点在两个整数之间，对吧？那关于对称，那我这个点他也可以在两个整数之间吗？那请问这两个整数分别是什么呢？比方说，那请问这个点，对吧？ 那比方说我另这个点跟他关于对称轴对称，大家告诉请问这个点是多少？你可以用对称器，你也可以用距离嘛。比方说，同学们，实在不会的，你到我们对称轴二分之一个单位吧，对不对？所以你到我们的这个，呃，这个对正轴呢，也是二分之一个单位嘛？ 对称轴本来就是二分之一，你再往右边走二分之一，所以我们是几呢？哦，就这个点，对呢，就是一嘛，对不对？ 那剩下的你说另外一个点呢？他在两个怎么样呢？整数点之间嘛？剩下一个点一样的道理。 no， 你 会发现，哎，你索性求吧，负一在对应轴，负一在二分之一的左边，二分之三个单位，对吧？那你往右边走个二分之三呢？ 二分之一加二分之三减，那不就是二吗？对吧？所以也就是我们剩下一个焦点，我把它清掉了，那么剩下你这个焦点呢？一定在一到二之间，所以这个题呢，我们选择 c 选项搞定，是不很简单，不过如此吗？ 好，接下来我们再看一下我们今天的例式哦。这个题看起来好像就有一点点的难度了，呃，是吧，很多同学比较头疼的什么？呃？选择题的压轴题，填空题的压轴题。 好，我们一起来看看这题它到底有什么样的一个难度啊？给出一个矩形纸片，我告诉你， a、 b 是 十二的哪一个？就这个边等于十二。好， a d 等于十，就这个边呢？它的长度是十，我把它在图中标注出来， 好点， e 是 中点，那么也就是这个边是六，这个边是六，我们尽量把题案中的条件标注在我们图示里面。好，现在问题来了，把这个纸纸片呢折叠两次，第一次怎么折？ 使得，哎，沿着他们这样翻折，对吧？使得 a 点翻折到 e 点。这里其实我跟大家说一下，你可以把这些边呐，这些边呐，这些边呐全求出来，为什么呢？他是六吗？ 你另他是 x 可不可以？这个边不就是十减 x 吗？没问题吧？你把这个图形翻折到这里，你这边是不是也是十减 x？ 你 在这个直角三角形中用勾定力，你一定可以把 x 求出来，就是你在拿到题干的时候，你的脑海里面一定要有怎么样呢？啊？第一种像这种反应， 好，接下来我们再看，当然我们先放一下干嘛呢？好，接下来连接我们的 m e， 呃， n e 就 连了很多，之后呢？第二次折叠，你怎么折？哎，使得 n 与 e 重合，就像这样再折一次，对吧？使得 n 点跟 e 点重合，这是怎么折的？大家观察一下 哦，也就是折痕是 h g 了，对吧？沿着这里折叠是不是？哎，是的，你这个 n 点呢？折到哪去？折到 e 点这里，你这个 b 点呢？就落在 b 点，说白了也就是把这个图形，对吧？沿着 h g 折叠到这个图形，哎，这看起来好像不是特别的友好，好，现在问题来了， 折完之后呢，其实整个图形的形状、位置、大小、折痕全都是固定的。现在让我们求什么？求 e h g 哪个角 啊？ e h g， 也就这个角，对吧？我把它标出来，也就是我们这个直角它的正切值，嗯，是不是这个角？ e h g， 求三角函数方法，它只有三种，第一种干嘛呢？就是你判断它是不是特殊角，对吧？如果这个角是一个特殊角，那就不用说了。哎，我，其实我就 今天就尽量不要见题讲题吧，这个题其实我们直接讲非常快啊，但是我希望跟大家去分析他的底层逻辑，分析他的一些怎么样的处理方法。这个特殊角，如果他是三十度，四十度、六十度，那你就不需要管他在什么样三角形中直接求解就可以了？ 好，第二种方法是什么呢？如果他不是特殊角，对吧？你根本就不知道他多少度，那么此时你就需要把它放在一个直角三角形中，如果不在呢？你可以作出一些，对吧？哎，我们需要构造 哎，或者寻找一个直角三角形，如果没有，你得做垂线，这是第二种方法。第三种方法是什么呢？就是等角转化， 如果一个角的三角函数，你会发现在这里面怎么都无法求解，不好求，对吧？那你此时你就需要稍微的转换一下，你不好求，我就找一个和你相等的角来转化一下，进行求解就可以了。比方说，那我想问一下各位同学们，因为你要知道 正面他会产生折痕啊，注意，我们把这个四边形翻折，得到这个四边形，对吧？那我请问，根据对称性，我们这两个直角相不相等是不一定相等的，对吧？ 啊？他一定等于我们这个直角两只角相等，我可不可以求这个角的三角函数呢？一定可以，其实你有发现，那根据对称性，这还是九十度呢？他本身就在一个直角三角形中，对吧？好， 他多少度你知道吗？反正我是不知道的，我相信在座各位同学，你们也无法直接判断出来他是具体多少度。好，问题来了，你把它变成这个角，那又能怎么样呢？我想问一下各位同学们，因为你要知道脑，咱们是把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？ 我们这个角是直角九十度吧，你翻折到这里面，这个角是不是也是九十度？没问题吧？我们刚才说了，那你这一条折痕他怎么样呢？就是你要知道啊，你对应点的连线 一定被我们的折痕垂直平分了。哎，这个大家懂不懂？也是，这个角一定是直角，对吧？那我想问一下你呢？垂直于 e n， 我呢也垂之于人，那我请问这两条线它平行吗？也就这两条绿边，这两条绿边它平不平行？ 百分百是平行的，两只线平行，对吧？哎，比方说被我们第三条边所接，所以你要知道哦，咱们的同位角相等， 也就是咱们这个角跟我们这个角它是不同一角，所以它相等的，是吧？啊，也就是我们这个角呢？哎，我们转换成，你只要求这个角就可以了。好，那这个角接下来那又该怎么求结呢？其实你会发现，这个角本质上它等于哪个角， 它就等于我们这个角，对吧？是不等于这个角有没有问题？所以你只要把这个角把它求出来，我们依然可以轻松搞定。 其实到这里我们就已经可以直接求解了，但是为了让整个题目变得更加简单，好，我继续等角转换。比方说，哎，我去干嘛呢？我去连接这一条线，大家看清楚啊，我连接一点跟 a 点，对吧？哎，我们把它标成一条虚线，可不可以？ 好，我们知道，因为咱们是干嘛呢？咱们是把这个三角形翻折到这个三角形了，对不对？所以我们 a 点和 e 点是对称点吧。说白了，我们知道这个角一定是直角九十度，如果把这个角标做 a r 法呢？你会发现我们剩下了这个小小的绿角，也就是我们这个角，哎，这个角 它一定等于多少度呢？一定是九十度减去 a r 法，对吧？好，这么标有什么好处呢？此时你会发现，在我们整个大大大大的直角三角形中，我一个锐角是九十度减 a r 法，此时你会发现剩下这个角， 它不就是我们想要找到的 alpha 吗？此时你会发现，我们需不需要像刚才这样引着未知数呀，去构造方程，完全没必要，对吧？最终你会发现我们要求解的这个角，我们最终把它转化到这个直角三角形中去了，也是怎么样呢？哎，我们知道这个边呢，它是六的吗？对吧？ 以及我们这个边呢，它等于多少？等于十，对不对？所以你方我们需不需要引入未知数？完全不需要。这个角它的正切值等于多少？等于它所对的直角边，比上相邻的直角边，也就用十比上六，所以我们最终求出来三分之五搞定。 所以你会发现所有很多所谓的压轴题，它其实处理的方法是非常有限的，而且它的突破口呢，也往往都是一些常规的内容。好，接下来我们看填空题第十一题，那给出一个三角形啊，告诉你， a c 大 于 a b， a c 大 于 a b， 我 们自己就可以看出来 好， d 点在 a c 边上啊， d 点呢？跟 a c 不 重合的。好，我们需要再增加一个条件，就可以使得 a、 b、 d 哪个三角形？就是这个三角形，相似于 a、 c、 b， 对 吧？哎，相似于整个大三角形，你这个都画的其实不是特别标准啊， 我们要学会利用不太标准的图形求出我们标准答案。其实很简单，你会发现这个三角形跟整个大三角形，它本身就有一个公共的顶角，对不对？所以在这里面你千万不要去为难自己啊，我们再加上一组等角就可以了，干嘛呢？我使得你这个三角形的角 a、 b、 d， 对 吧？ 等于什么呢？等于整个大三角形，它的角 c 就 可以了，也就是角 a、 b、 d 等于角 c 就 可以了。当然，如果你说我要舍得两组边对应成比例，可不可以呢？也可以。或者你说我们这个角等于这个角，呃，就是这个角等于这个大角，行不行呢？也可以，对吧？ 你只要属于我们相似的判定都可以了。简单，我们就过得稍微快一点点。好，接下来看一下我们的例式二，这个东西属于我们的反比例里面的等比模型。好，在这里我也尽量跟大家讲的详细一点。 首先给出一个反比例函数， y 等于 x 分 之一啊，就是这条直线呢，是 y 等于 x 分 之一，对吧？为什么？因为 k 大 于零嘛，它经过一三项线，对不对？所以经过第三项线的啊，它的 k 是 正的，那 x 小 于零，就是我们取它第三项线，是吧？横格标负数的，也就这个半截。好。现在我们连接 o a， 连接 o a， a 点在哪呢？不知道，你可以把它当做一个动点嘛？现在我永远过 o 点做 o a 的 垂线和另外一个反比的函数呢，交于 b 点，我告诉你，是 o b 等于三倍的 o a， 就是我这条线段的长度，永远是你的三倍。好，在正面我们就索性先，哎，我们先直接把它写出来吧。就是这条线段呢，它是三 m 好 不好，这条线段呢，是三 m 的 长度，你这个线段呢是小 m， 我是 你三倍。 好，现在问题来了，嗯，那当 a 点在这个图像上运动的时候，点 b 呢？在另外一个反 b 的 函数图像上运动，这个反 b 的 函数呢？就是 y 等于 x 分 之 k， 对 吧？现在让你求反比函数的表达式。其实我告诉你啊，这个等比模型的结论是什么呢？它的结论就是 你这两个 k 之比的绝对值，对吧？一比上 k， 哎，就是你要知道我们平常为什么要去学习很多的方法技巧，二者之比的绝对值一定等于什么呢？ 它一定等于。哎，这两个之比的平方等于这两条线段之比的平方啊，等于 o a 比上 o b 之比的平方，这个结论百分百成立， 对吧？ o a 比上 o b 是 一比三嘛，所以它就应该等于一比三的平方，所以它们的比值一定是一比九，理解了没有 啊？既然是一比九，那剩下你会发现他就比较简单了。为什么呢？因为你要知道你这个 k 是 呃，一，对吧，所以我们这个 k 呢？当然，我是经过二四象限的吗？ k 是 负的，所以他一定是负九。 所以你不妨当你学学会很多方法技巧之后，我们做题呢？那别人可能要五分钟呀，十分钟，甚至没有思路，那我们可能十秒钟就只能能够直接口算出来。好，问题来，这个问题我们该怎么去证明呢？其实很简单，对吧？因为你要知道，在我们这一条直线上呢，在一条直线上，我们出现了一个直角，九十度吗？ 那在一条线上出现了直角，所以如果你过端点分别往下做垂线，比方过 a 点往这边做垂线，对吧？哎，比方说就像这个样子，嗯，一样的，我们再过 b 点往这边做垂线，就像这样的， 对吧？那我把它标下，也就是咱们这个角呢？它是直角，它是直角，它是直角。那我请问 各位同学们，左右两个三角形相不相似？就是左边这个三角形跟右边这个三角形很明显，它一定是相似的，一线三垂直，我就不再说了，可不可以？ 那请问这两个三角形的相似比是多少呢？比方，这个我把它标作 m， 这个把它标作 n， 可以 吧？也就是三角形 o a m， 它一定相似于三角形 o a m 和怎么样呢？和我们的 b o n， 对 吧？和 b o n 两个三角形一定相似。相似比多少？很明显，你的斜边是 m， 我 的斜边是三 m， 也就是它的相似比呢？相似比多少？ 相似比，它就是等于 o a 比上 ob 的。 我先懒得用什么 e 比三呀啊，或者 m 比三 m 来表示，就是 o a 比 ob， 没问题吧？以这个线比上这个线，那不就是我们的相似比吗？好，那现在我想问一下，请问接下来那我们的 k 跟什么有关呢？ 相似比等于这么多，那我请问这两个三角形的面积比等于多少？大家能告诉吗？面积比等于多少？面积比是不等于相似比的平方是不等于 o a 比上 o b 的 平方没问题吧？你会发现 o a 比 o b 的 平方不就出来了吗？ 而这两个三角形的面积比还等于什么呀？举个例子，比方，你这个 x 分 之几呢？我就是 k 一， 可不可以？你这个呢？就是 k 二，可以吗？一个 k， 一个 k 二，那你要知道， ab 都是反比例函数图像上的点，你向 x 轴做垂线与坐标原点与坐标原点所围成这个直角三角形，面积等于多少？它是不是二分之 k 一 的绝对值？你这个面积是不等于二分之 k 二的绝对值，有没有问题？ 所以你用这个面积比上这个面积，那不就是 k 一 的绝对值比上 k 二的绝对值？ k 一 比 k 二， 那其实就是 k 一 比上 k 二的绝对值，我们是不是证明完毕？那也就是你只要过坐标原点，对吧？你发射一个九十度角，这个角呢，和两个反比的函数交 a b 两点，你要知道， 那么这两条线度啊，比值的平方一定等于这两个 k 之比的绝对值，因此这个结论呢，我们在这里就证明完毕了。你刚才这个就是 k 一 吗？对吧？你这个就是 k 二，理解没有？ 嗯，不就是怎么样呢？等于二者比值的平方吗？对吧？所以剩下你会发现，喏，它 o a 比上 o b 是 几比几？ o a 比上 o b 在 整个题目中，哎，我把整个题目还原了好不好，不然大家可能看起来觉得有一点点乱。 这个题我并没有单纯的说就题讲题啊，如果只是单纯就题讲题的话，我们完全可以脱离这个结论，对吧？啊？快速告诉大家，很明显，这个值多少就是一比九，是不是 啊？ k 等于多少？ k 一 他是一吗？所以也就是怎么样呢？ k 二的绝对值，你这个是一了，你这个下面 k 二绝对 k 二是负的吗？注意啊，他是经过二四象限的，所以你这个 k 一定是负的理解没有， 一比上一个负数绝对值等于一比九，所以这个 k 呢？你想想一比上一个负数的绝对值，对吧？中等一比九的，你这里面负数只能填几，只能填负九，理解没有。 好，那么接下来我们继续往后再来看一下我们的第十三题。这个题我个人觉得就简单一点点啊。首先给出一个平行四边形， a， b， c， d。 啊，我是一个大大大大的平行四边形， e 是 a、 d 的 中点，就是这条边呢，等于这条边两边相等， 现在点 f 是 c、 b 延长线上一点啊， f 在 整个 c b 的 延长线上，就像这个样子啊，并且 e、 f 的 平行 b d， e， f 平行 b， d 就 像这个样子，对吧？其实你要知道啊，咱们这一条线，它是平行于这条线的，对吧？ 另外这一条线呢，还平行这条线，是不是因此我们知道它也是一个平行四边形嘛？两组对边分别平行，它就是平行四边形了。好，现在我告诉你， a g 比上 a， e 等于 a。 呃，什么意思？ a g 比上 a e。 其实我告诉你各位同志们，就是在我们平常考试，如果你处理比例关系，尤其像这种，对吧？让你求比例关系最快的方式 就是令分母式单位一也是，我就令你是 a， 我 令你是一，对吧？那我比上你不就是 a 比一吗？你会发现整个题目里面就只含有一个字母了啊，对吧？那当然他也是一，但如果你说练了不行啊，那我们要是大题写过程怎么办呢？好，如果你大题写过程，你就引入两个未知数好不好？ 其实我更加建议平常自己做题的时候，尤其是选择填空，你就使得其中一个边为单位，一会更快的啊。好，我比上，你呢是 a 倍的。好，那我也是小 m， 你 这个边是二 m， 所以 这个边呢，也是二 m， 对 吧？以及你是 m， 所以 我们这个边呢，也是 m， 对 边相等吧。平行四边形 好，那接下来你会发现，喏，在这个三角形跟这个三角形中，大家能不能看到两直线平行？首先咱们知道内错角相等，对吧？ 哎，内错角相等，平行吗？另外，你还会发现我们的对顶角相等，咱们的对顶角相等，所以你会发现这两个三角形什么关系？它就不再是简单的相似，而是全等，对吧？这两个三角形，红角等于红角，绿角等于绿角。我有 m， 你 有 m， 所以 全等了。 你是 am， 所以 我们知道剩下这个边呢，它也是 am， 对 不对？就这个边是 am， 就是 这条边嘛。 好，剩下让我们求 b g 比上 f c。 b g 是 什么呀？它不就是 am 吗？好，整个 f c 呢，它不就是三倍的 m 吗？咔嚓，约掉了，所以等于三分之一。嗯，也是比较简单简单，我们就过得稍微快一点点啊，我们继续往后啦，哒哒哒。 好，再来看一下我们今天的例十四，其实这个题它的处理方法我个人觉得比较多，这个题我们最少可以用三种不同的方法来进行处理啊， 比方在边长为四的正方形，它的外侧啊，边长为四行，你的边长了四，你的边长了四，我们就把它标出来。好，现在我们干嘛呢？做一个直角三角形 a d， 使得这个角 a e d 呢，等于九十度，就这个角呢，是一个直角， 好， a d 呢？三十度，哪个角？也就是我们这个角是三十度的，对吧？啊？就是这个角啊，这个角 多少度？他是三十度，那其实我们可以求出很多线段的长度，比方说呢，你要知道咱们正方形的这个边长等于几？边长等于四吗？对吧？三十度所对的直角边等于斜边四的一半，所以我们知道这个边是二，以及你用勾股定律或者特殊直角三角形，我们求出来二倍根号三。 好，接下来我们看看这里到底想干嘛啊？好，第一个，让我们求 a e 和 d 的 长度和 a e 和 d， 哈哈，你这个有点瞧不起我了，也就是二加上二类根号三吧，对吧？长度和好。第二个，如果 o 是 a c 的 中点， 对角线的中点，正方形的性质大家必须得知道啊。连接 o e， 让我们求 o e 的 长是什么？ 这个题你可以直接怎么样的？用勾股定力，对吧？那求一条斜边，最常见就是把它放在一个横平竖直的直角三角形。先这么去求，可不可以？我告诉你，百分百可以， 你再遇到这种方正的几何图形里面，如果你没有思路，你想要拿下满分，你可以用间歇法都可以，对吧？那么在这面我用一个我个人觉得比较常见的方法啊，叫做边等角补模型，什么意思呢？首先你连接我的对角线也不算连接对角线吧，连接我们的 o d， 对吧？那么根据正方形的对，正方形的对角线是互相垂直平分且相等的，所以他是一个等腰直角三角形，明白了不？所以连接完毕之后，我们知道也就是这条绿边呢，他一定怎么样呢？等于这条绿边， 嗯，对吧？我这个方法，我个人觉得计算量是比较小的啊，绿边等于绿边，并且咱们这个角呢，一定是直角，他一定是九十度，对吧？ 哎，直角，好，现在我告诉你，所以你看看，你们平常错过了很多很多的几何，哎，哎，你们真的错过了很多的几何模型，什么叫做边等角补模型呢？边等角补就是一个四边形，如果零边相等， 对角互补，那你看看，这是不零边相的，这是不零边相的，对吧？我对角是不互补，对角是不互补，那么此时像这种图形，它的万能处理方法，旋转，你只要旋转，百分百就会轻松处理，你会翻很多答案，他会告诉你，同学们，转一下，为什么转呀？ 为什么要这么转，对吧？你倒是说呀，好，怎么转呢？你会发现连接对角线，他会把整个图形分成一个两个三角形，你随便旋转任何一个三角形就可以。怎么转呢？比方把这个三角形我们直接转到这里， ok， 哎，差不多就转到这里吧，就转过来，好不好？哎呦，我觉得稍微有一点点误差吧， 哎，就这样吧，好吧，就这样，我们把它转过来，有这样的，那对角互补有什么用呢？边等有什么用呢？你把这个三角形转到这里， 因为你这个绿边跟这个绿边相等，所以你把这个三角形转过来之后呢，你可以靠着这个绿边，对吧？那角补。对角互补有什么用？ 其实你要知道啊，我们这个角跟这个角对角互补，那么我们这个角跟这个角对角也是互补的。好，把它标一下，比方我把这里的三十度，我把它给清掉。嗯，如果我令这个角呢？比方这个角它是 arva， 可以 吗？这个角是 arva， 那 剩下我令这个角呢？它是贝塔， 就是用蓝角。这个角呢？我令它是 beta。 好， 角补有什么用？你把这个三角形旋转过来，你这个角是 alpha， 所以 我们知道，那剩下这个角它是不是也是 alpha， 对 吧？我们刚才说了吧，你的对角是互补的，你的 alpha 加 beta 一 百八十度， 那 ar 法在这，贝塔在这，那相加一百八十度，所以它是个大大的平角，懂了没有？如果你没有对角互补这个条件，你旋转过来呢？那它就不再是一个平角，它就不再是一条线，它就会翘起来，就翘成什么样子，就翘成可能像这个样子。懂了， 不对吧你，你整个图形，它就不再是一个完整的三角形了，它是一个三角形加另外一个三角形，它是个四连形，懂了吧？ 哎，对角互补可以保证，哎。比方放个哎屁，可以保证 p d e 三点在同一条线上。好，那旋转完毕，我们可以得到什么呢？其实我们百分百可以得到一个等腰三角形，哎，为什么呢？比方说我另这个边是一个红边好不好？你这个三角形有一条边是红边，可以吧？ 你把这个三角形旋转到这里之后呢？你这个边是红边，我们这个边一定也是红边，所以看到没有，你只要旋转边等角部，一定可以得到一个等腰三角形。 当然了，你把这个三角形转过来，你这个边是二，所以我们知道这个边呢，它也是二，对吧？就是 p d 这个边它也是二。那然后呢？注意啊，咱们这个角是九十度，九十度意味着什么？你可以用旋转的思想去处理，或者你说这样哈，我不太会用各种思想。行，那你这个角是 a r 法，可以吧？ 好，接下来你这个角呢，是贝塔行不行？哎，我们就不再用刚才的 a r 法，贝塔重新再来这个角直角嘛。那你不就相当于告诉 a r 加上贝塔是不一定等于九十度的，没问题吧？ 你把这个三角形旋转到这里，你这个角是 alpha， 所以 我们知道这个角呢，一定也是 alpha， 对 不对？我们刚说 alpha 加 beta 等于九十度嘛，你这个是 alpha， 你 这个是 beta， 所以 相加等于九十度呢。这个角是一个大大的直角，因此你会发现 我们可以得到一个大大大大等腰直角三角形。我们知道斜边是二加二倍根号三，那么请问直角边 o e 的 长度呢？等腰直角三角形，你从斜边到直角边，你除以根号就可以了，理解没有， 对吧？从斜边到直角边，二加上二倍根号三，这个就是我整个斜边吗？从斜边到我们的直角边，你除以根号就行了。除以根号，你除以根号呢？他就是根号，对吧？你除以根号呢？你算出来的根号六。嗯， 所以这个题你看，虽然是个大题，他为什么敢出填空呢？一般同学你去猜什么根号三呀，根号七呀，对吧？哎，什么二倍根号呀，你们猜一个的话，很难猜中的，根号加根号六。搞定。好，那接下来我们继续往后再来看一下我们今天的解答题。 那么解答题其实我们全国有百分之八十以上的中考，我们整个大题里面特别喜欢考我们这种怎么样呢？实数的运算跟我们逆的运算呀，啊，绝对值的化解呀，我们这种三角函数呀，对吧？哎，综合起来考察分值比较高。 呃，然后呢，又比较简单，所以大家千万不要轻易的丢分。好，一样的，首先我们我就不写几了，扩散六十度等于多少？ 扩散六十度，其实大家得知道啊，你画一个六十度的直角三角形，对吧？六十度，这个角就是三十度嘛， 哎，一二根号三，对不对？所以扩散六十度就是他的邻边比上斜边是不是二分之一，所以也就是三乘以二分之一。好，我们减去一个数，只要他不等于零， 他的零次方呢？一定等于几？一定是一，明白，没有什么派的零次方呀，哎，这个八的零次方呀，七分之五零次方都等于一，好减去。那么像这种负指数密怎么办呢？比方说七的负二次方，他说等于七的二次方，再来一个分之一的 比方说呢？哎，这个这个五的负三次方，他就是先把五三次方再来个分之一就可以了。好，这是我们负指数密，他的怎么样呢？一个运算的法则，所以在这里面你去算他怎么办呢？首先负四分之一，你先来一个平方，对吧？ 不，四分之一，你先求它的平方，它的平方等于多少？等于十六分之一嘛，对吧？你再把它倒过来，求它的倒数，你想想十六分之一，它的倒数呢？是不等于十六，所以这个东西你求出来它就是十六的，理解了吧， 我们减去十六。好，最终我们减去，最后还有一个什么呢？有一个绝对值，一样的绝对值，你在去处理的时候，你首先判断里面的正负根号三减二，那这个不用说了，一定是负数吧，负数带绝对值去掉之后呢，变成自身相反数，那么它的相反数等于多少？ 你减我的相反数，就是我减你根号三减二，相反数就是二减根号三，所以最终我们求出来等于多少？等于二减根号三，所以最终我们求出来等于二，再减根号三， 所以也就是，哎，加上根号三，呸，所以最终我们求它等于根号三，怎么样呢？我们最终再减去十七又二分之一， 对吧？把前面放在一起等于这么多，你用这种代分数或者假分数都可以啊，这种答案都是对的。好，我们继续往后了，我们再来看一下今天的例十六，这个题其实我个人觉得也比较常规啊，然后把这个图稍微的缩小一下，不然大家可能看不到，哎，再缩一点点好不好？ 这里你会发现我们整个中考里面喜欢考我们这种旋转呀面积哈，那往往也是送分了。好，那首先给出一个格点图形，它每一个小正方形的边长呢？都是一个档位 啊，就是边长都是一边长，都是一对吧。好，现在 abc 的 顶点都在格点上面， o 就是 这个，就是三角形 abc， 它的格点呢？顶点都在格点上面。好，普通，建立平面直角坐标系，使得圆点是 o， ab 坐标分别是这么多，其实这个量呢，就直接画就可以了好不好？ 嗯，负三负一，所以我们整个平面直角坐标系呢，就大概长这个样子？好，大家来验证啊，你会发现 a 点坐标包括我们 b 点坐标呢？是不是题干中所给出的这样，嗯，这是我们的 x 轴，这是我们的 y 轴，以这个呢是我们的坐标原点，可以吧？ 好，接下来这个题第二问，我觉得有些同学他可能就会丢分了，他干嘛呢？现在我们要以 o 为位次中心， 化州三角形的 v 四三角形 a d、 c， 干嘛使得这两个三角形的相似比是二比一，注意啊，我和你相似比是二比一，对吧？你说前面是后面这个图形的二倍， 注意以谁以 o 为 v 四中心吗？其实我告诉你，它应该正常情况下，它应该有两种怎么样的图形？我可以像这样去发射一个 v 四中心吧，大家懂不懂？使得我们的 a 一 在这里，明白吗？ 对吧？我们的 c 呢？在这里，以及你的 b 一 呢？ b 一 在这里，懂吗？哎，这个边等于这个边， 这个边等于这个边，以及呢？这个边等于这个边，懂了没有？他也是以 o 为谓词中心的，但是你要注意这个题目，那两个第一个呢？他要求我们怎么样呢？嗯， 呃，在格格点这个图形中去作图，对吧？另外一个，你想想你，你这边都没有格点，你怎么找呀？你不好找，是不是我们要利用网格来进行作图嘛？所以在这面我们有第二种方法，也是怎么样呢？哎，我们连接 a o b 延长，是吧？ 注意啊，因为你要知道你这个连接 a o， 他 在一个什么？他在一个一乘以三的长方形中，他跟我们前面题目比较像，那你就反复的走一乘以三的 长方形，对吧？走它的对角线，这不就是一乘以三的这个长方形的对角线吗？这不就是一乘以三的长方形的对角线吗？对吧？走到对角线，你说走到哪个位置呢？你就走到这个位置，这个点就是我们要找到的 啊，怎么样呢？ a 一 了，对吧？这是我们的 a 一， 好，一样道理，接下来我们再找另外一个啊。好，我把它清掉了，清掉，不要了。 呃，然后接下来我们再找另外一个。呃，找 b， 他的位置对应点。好，一样的，你看他也是一乘以三的直角三角形吗？我们走走走，走一乘以三的直角三角形，走一乘以三的直角三角形，是不走到这里了呀，所以这个点他就是我们的 b e， 对 吧？好，最终我们再来找下 c 点啊，清掉，清掉，大家看起来可能会更加舒服一些。 c， 他 就在一个什么呢？他在一个二乘以三的直角三角形，对吧？二乘以三的直角三角形，我们走二乘以三的， 我们走二乘以三的吗？这不就二乘以三的一个直角三角形，对吧？二乘三，二乘三，所以你有发现我们这个点呢？哎，哪个就是这个点， 对吧？他就是我们的 c 了，所以这种扭法我们连接起来，我换个颜色连啊，好不好？换个比方说，胖胖的紫色吧， 连一下，他就是我们要找的我们的 v 四图形了。好，接下来我们看第三个，第三个是把某一个三角形绕着某一个点顺时针方向旋转九十度。什么叫顺时针呢？这是你们家的钟表，对吧？哎，你们家中表一边往这边转，这个叫顺时针， 那这边呢？就叫逆时针。首先你不要把这个方向给弄混了啊，不然的话你就直接嗝屁了，也就是把这个三角形绕着 b 点顺时针往这边转九十度。很多同学亮亮，我怎么去把一个三角形旋转呢？其实很简单啊，你就转什么呢？转对应顶点或者转转边，你直接旋转的话，很多同学可能不知道， 为了方便大家理解，我把这坐标系都清掉了，这样的话，我们做起来可能会更加的直观一点点。其实很简单，你把这一条线绕着 b 点设置针转个九十度是不可以了。那怎么样旋转线呢？很简单，你把这个线放在一个直角三角形中，理解没有， 对吧？他在一个二乘以四的直角三角形中，你旋转完毕之后呢？你把这个整个直角三角形绕着 b 点旋转九十度吗？你这个数值的他不就转到水平的位置了吗？就转到这里了，懂了没有？你这个水平的，他不就转到数值的位置了吗？ 懂了吗？就像这个样子吗？各位同学能不能理解，你这个二乘以四的直角三角形绕 b 点旋转九十度，就会到达我们的 a 二， 看到没有，这个点就是我们的 a 二了，明白了不啊？就像这样一样的道理，那接下来我们再转 o 这个 c 点，我觉得旋转是比较简单的啊，为什么呢？你这个线它就是水平的吗？三个单位，所以你转完之后是不是就是三个单位啊？所以我们这个，哎，我们的 c 二呢？就在这里，对吧？ c 二就在这里，是不是？其实我个人觉得这个图好像也不是特别标准，为什么呢？你绕 b 点旋转的话哈，其实有 b 二吗？他没有，对吧？其实这个三角形他就是我们旋转后的我们对应的图形。 b 点呢？你绕着 b 点转吗？这不就转完之后的我们旋转之后的三角形吗？ 搞定好简单，我们就过的稍微快一点点，我们继续往后了，一起来，再来看我们今天的历时期。 这个题其实本质上是我们三角函数的一个应用，其实我们现在全国各个地方三角函数以前有什么呢？有什么羊角福角问题，有什么方位角的问题，对吧？有我们的什么坡度问题。但是全国现在 慢慢慢慢的更形成我们三角函数的生活中的实际应用，比如水龙头呀，我们的行李箱呀，对吧？哎，我们的夹子呀，我们的这个平常生活的这种什么呢？照明灯呀，就是跟我们的实际生活联系的，它依然是什么呢？ 依然是我们所谓的什么仰角、俯角的问题啊。好，现在某校为了检测师生的体温，再需要这么安装了。某型号的侧卧门。好，如图，是侧卧门的。呃，前面是一图，现在我告诉你整个 a d 的 顶部 a 处距离地面是二点二米。你发现这种题的就是比较啰嗦， 你就直接告诉整个高度是二点二就可以了，对吧？就整个高度多少呢？是二点二我就不带单位了。 好，为了了解自己有效的测温区间，身高一点五米的小熊做了如下实验。啊，身高一点五米对吧？他在地面 n 处时测的，嗯，就是测温门开始显示额头的温度，就是在这里的时候开始测温度，此时在额头 b 测的阳角是十五度，阳角是什么呢？ 就是这个角，说白了啊，就这个角，对吧？你抬头去看你这个 a 嘛，你的水平视线跟你的啊，就是水平线跟你的视线所夹的这个角，就是我们，怎么样的啊？阳角十五度， 好，那然后呢？在地面 m 处就是你小葱跑到这里，对吧？那么此时阳角十五度，阳角十五啊，四十五度， 仰角多少度呢？仰角是四十五度，也就是告诉你怎么样呢？这个角它又等于四十五度了啊，就这个角对吧？它等于四十五度，一般像这种角度呢，我们都会尝试把它放在直角三角形中。好，我们继续往后了。 小聪的身高是一点五米，所以也说你这个 b n 是 一点五，你这个 c m 也是一点五，对吧？好，现在我告诉你，小聪在地面有效测温 m n， 让我们去求这一段的长度该怎么办？ 这个长度也就是求 bc 或者求 m 都可以，对吧？怎么求结呢？首先你要知道啊，这个十五度和这个四十五度。十五度，知道三角函数四十五是一个特殊直角三角形，所以我们都容易想到要把它放在一个横平竖直的直角三角形中，哎，也就大概长这个样子， ok， 好， 把它延长出来。 好，延长出来之后呢，比方说，呃，这个角呢，也就是九十度了，我在这里就放一个屁，行不行？你这二点二，先走开， 放个黑色的屁吧，看到没有？亮了，放个屁，臭死。那些听一半逃跑的各位同学们，好，现在你要知道咱们整个的高度多少？整个高度是二点二吗？ 而你这个高度一点五，这个高度一点五，所以咱们这个高度也是一点五，对吧？因此我们可以知道剩下的这一段的长度等于多少呢？这一段长度他这一点是二点二，减去一点五，也就零点七，没有问题吧？ 啊？这个长度它一定是零点七。好，现在我想问一下，四十五度怎么用的？你是一个等腰直角三角形，所以我们知道这个边的长度是不是也是零点七没问题吧？零点七。好，剩下的你让我求谁？你让我求 m n， 对 吧？我不，我只要求 bc 不 就可以了吗？ 求 bc， 我 不，我只要求整个 p b 是 不是就可以了？那接下来怎么求？这是一个含有十五度的直角三角形，我知道它的对边，我要求它的邻边，我要用什么？我一定要用它的正切值，对吧？也就是我们知道 tan 紧的 十五度，它等于多少呢？我就不再写什么 a p 比上 pb， 我 就不再写了，我直接用零点七比上 pb， 可不可以用零点七比上 pb， 它等于多少？约等于零点二七嘛？哦，约等于零点二七，但说白了 也就怎么样呢？左边乘以 pb， 右边乘以 pb， 右边乘以 pb 呢？也就是零点二七倍的 pb 等于多少？等于零点七，对吧？ 那接下来也就是 p b， 你 可不可以求出来？一定可以吗？你把 p b 求出来，约等于多少？你用零点七除以零点二七吗？哎，我们打个草稿，零点七除以它呢？其实就是七除以二点七，就是七十除以二十七嘛？ 七十除以二十七，我们上几呢？上三不够上二，好吧，二五十四，也就是剩下十六十六，我们上几呢？呃，你借了一个零，也是我们上 九，可以吗？试一下好不好？哎呸呸呸，什么叫亮亮你唱我揍你啊，求你，我们上上六行吗？六，一百二，四十二，不行，我们上五，对吧？好，五七三十五，一百三，剩下二十五，对吧？ 呃，那剩下也就二百五十除以二二十七呢？那此时我们好像真的可以上亮刚才所说的 九了。对，我们试一下啊，你上个九七九六十三，对吧？哎，六十三，嗯，一百八，二百四十三，所以也就于七。哦，也就是怎么样呢？ 他是二点五九，你在上就是上二三也不够，对吧？所以也就是他是约等于二点五九的，有没有问题？ p b 是 二点五九吗？整个是二点五九，所以我们整个 bc 的 长度呢？也就是我们要求的你的 m n， 对 吧？它就等于 bc， 等于什么呢？用这个二点五九，我减去你这个零点七吗？减去零点七，所以等于多少？等于一点 八九，但你要知道这个题目精确到零点一啊，精确到怎么样？精确到我们小数点后一位，所以我们知道它约等于多少？约等于一点九。 好，我就不带单位了，最终作答的部分呢，量就省略了好不好？所以其实你有办法像这种题呢，我个人觉得还是比较常规，也是比较简单的。好，接下来我们继续往后了， 我们再来看一下我们今天的例十八这个题，它相当于是我们相似的一道简单的综合应用了啊，我个人觉得难度也不高。好，首先呢，我们给出一个三角形 abc， 大 大大大三角形 好， d 分 别在两边上， d 点在这，一点在这啊。然后呢， d、 e 平行 bc， 而我们 d、 e 呢， 是平行于 bc 的， 对吧？哎，那既然平行，我们知道这个三角形跟整个大三角形百分百就是相似的。好，现在 a、 f 比上 f、 d， 我 告诉你 a、 e、 f 比上 f、 d 干嘛呢？等于 a， d 比 d， b 等于 a， d 比上 db， 这啥呀， 这个边比这个边，等于这个边比这个边，风马牛不相及，乌七八糟的，对吧？好，第一步，让我们求成 e f 平行 d， c， e f 平行 d， c。 其实我们去求两直线平行啊，当然，你可以用什么同位角，内错角，同旁内角，对吧？除此之外呢，在我们整个相似里面，你有两种方法，第一个，就用相似去证明我和你相似了吗？ 这个三角形要是相随整个大三角形，那不用说，我一定跟你平行，我就不再多解释了啊。第二个呢，用平行线分线段成比例定义，什么意思呢？比方说 d， 我 直接放这里啊， 因为 d 平行 bc， 好 吧，我们知道 d 是 平行 bc 的， 我考试，哎呀，我怎么直接比了呢？因为他 d 是 平行 bc 的， 对吧？两直线平行这个边，平行这个边。那我请问各位同学们， a、 d 比上 b、 d 等于什么？所以我们知道 a、 d 比上 b、 d， 它一定等于什么呢？ 哎，当然，这个题说了，等于 af 比 f、 d， 对 吧？啊，还等于 af 比 f d 好， 行，等于 af 比上 f、 d， 题目说的嘛，是不是 还等于什么呢？你这个线跟这个线平行，所以我左边比左边，那就一定等于右边比右边，对吧？所以它一定等于 a e 比上 e、 c， 结束了， 没了，搞定了你会发现 a、 f 比 f、 d 就是 这个边比这个边等于什么呢？等于这个边比这个边吧，对吧？所以我们知道，那这两条线一定平行， 平行线分线段乘比例定里是不是？那你只有这两条线平行，才能左边比左边，等于右边比右边吧，理解了，没有百分百是平行的啊。 好吧，好，当我们推出来平行之后呢？那第一问不就搞定了？那其实我们也知道这个三角形一定相似于整个大三角形，对吧？好，接下来我们继续往后了。这里我告诉你， a f 这三 af 这个边是三， f d 是 六，这个边是六，那你比我是一比二吗？所以这个边比这个边一定也是一比二了，对吧？没问题吧？所以也就是我们知道 a e 呢，比上 e、 c 就 等于你的三比六，也就是一比二的吗？是不是？我是 m， 你 一定就是二 m 了，一比二， 好，你要注意啊，世界上没有无缘无故的爱恨，也没有不明不白。第一小问，第一问我们就用到了吗？一边，好，现在我告诉你， d 是 六倍根号三，这个题太简单了，这个边呢？六倍根号三，让我们求什么？求整个底边 bc 的 长度等于多少？我们刚才说了， 这个三角形一定相似于整个大大大大三角形，相似比是几比几，你不要觉得是一比二啊，这个三角形它的 m 比上整个大三角形三 m 相似比是一比三的，你是六倍的高三，所以整个里边十八倍的高三。简单，我就快一点，我就不再写标准过程啊， 我们直接过了。好，接下来我们来看一下我们后面的例十九。好，其实在我们正考里面，除了我们常规的像全等的判定呀，箱子的判定这种题目之外，还有一种他很多题目他喜欢考我们这种常规的四边形， 什么平行四边形，矩形啊，菱形，正方形，他简单的性质与判定的综合，比方说他就是一道非常具有代表性的题目。好，我们一起来看看。 首先我给出一个长方形，也就是矩形 a b， c， d 在 这里，对吧？好，延长 a d 至 f 点延长 a d 到 f 有 什么要求呢？使得 d f 等于 a d 好， d f 等于 a d， 并且我们知道这个角一定是直角。哎，其实你会发现啊，各位同学们， 那你这条线不就是 a f 的 垂直平分线，有没有问题？我这个线我既垂直，你吗？我怎么样？我还平分你吗？对吧？ 所以它是垂直平分线，垂直平分线上点到线段两端距离相等对不对？以及垂直平分线上点到线段两端距离一定相等的。好，我们继续往后了，说白了就是怎么样呢？子边等于子边对吧？ 以及呢？绿边等于绿边，但是子边跟绿边相不相等，不知道啊，你目前为止你是不知道的，明白了没有？子边等于子边，绿边等于绿边。 好，这个题目先来告诉你，那过 a 点做 a e 平行， c f 就是 a e 呢？和 c f 是 平行的，那平行其实在几个题目里面就相当于怎么样呢？嗯，告诉你内错角同位角之间的关系，就这个角呢？它等于这个角，对吧？ 是不是这两个角相等？那又能怎么样？注意啊，因为你这个三角形，对吧？绿边的绿边等腰三角形，它有三线合一的性质， 你是底边上的中线，底边上的高，你一定是顶角的角平分线，所以这两个角相等，明白没有？ 这两个角相等，你是 a r 法，我也是 a r 法，我也是 a r 两个 a r 相等，所以咱们是等腰三角形，所以紫边跟绿边相等，也就我们可以推出四边相等，好不好？四边相等我就不再说了。这边，哎呦吼，四边相等，也就是这些角呢，我都把它清掉，可以吗？ 哎，这边角度七秒，我们正出它是个啥呀？它就是个菱形嘛，我就把它都标成子边，咱们都把它标成子边，可以吗？好，你给我发第一问，让我们证明菱形，我们就搞定了。 好，接下来我们看一下第二问好，连接我们的 b 交 a d 于点记。什么意思啊？但你发现我们后面好像跟点记没有关系啊，他说当 ab 等于二， ab 是 二，你角 a c b a c b 是 哪个角？ a c b 是 我们这个角，对吧？这个角， 这个角的正切值是一比二的啊，就是我的对边比上我的零边是一比二的，所以我们知道旁边这个边呢，他就一定是四啊，就是咱们这个边是四。其实让我求什么？求 b 的 长，这是不是有点过于简单了， 对吧？你是二吗？所以我这个边不也是二吗？那菱形的对角线相等且互相平分，这个边不也是二吗？你让我求 b， 这这这啥意思呀，对吧？ 而且你要知道这是一个长方形，长方形这个角还是个直角，对吧？所以你发现在这个大大大大直角三角形中，一条直角边四，另外一条直角边也是四，根据勾股定律，所以也就求出来四倍根号。这个题你会发现我们没有写任何的我们的函数标准过程，求解完毕，我们直接过了啊 啊，所以你看前面大题，我个人觉得都比较常规。好，接下来我们再看第二十题。这个题我觉得也不难。好， ab 是 圆的直径啊， ab 呢？而不是圆的弦啊。好， o d 垂直 ab， 那 你过圆心向弦做垂线，不用说了，垂进定力，这个边一定等这个边，对吧？ 好，垂直是 h， 好， bc 呢？垂直 ab， bc 垂直 ab， 那 已经标出来了，好，连接 a、 d 延长交 b 啊，这个，这个交 a d 的 延长线呢？于 c 点。好，现在问题来了，第一个求证， d 是 ac 的 终点， d 是 整个 ac 的 终点，也就是求证这个边等于这个边，对吧？其实证明的方式也有很多，比方说我求证，嗯，你用相似于整个大三角形一定相似的， 相似比是几比几呢？你这个三角形用这个边比上整个大三角形的这个边，相似比是一比二， 所以你这个三角形的这个边比上整个大三角形的这个边相似比是不是也是一比二？那 d 不 就是终点了吗？对吧？那除此之外，还有还有没有什么其他的方法呢？有，比方说，各位同学们， 我们就用到我们刚才所谓的垂进定律的结论吧，好不好？我们比方说连接一下 b d， 连完之后你要知道，首先这两个角相等，我觉得各位同学应该没有问题吧，是吧？就是这个角，对不对？ 等于这个角没问题吧，为什么呢？因为你垂直于弦，你平分弦，而且平分弦所对应的弧，也就是这条弧一定跟这个弧相等，等弧对等弦嘛，所以也就这条弦等于这条弦，对吧？嗯？等弦 对等角吗？所以，哎，也也不呸。不是啊，说你是个等腰三角形，所以两底角相等，除此之外，你还可以垂直平分线的。我既垂直你，我又平分你，我不就是等腰三角形了吗，对吧？哎，我到你两边距离相等吗？等腰三角形，所以这两个直角一定相等。 好，我离你是阿尔法，我离你是阿尔法。好，接下来你有法，我们用最笨的方式，你是个大大大大直角三角形，对吧？啊，这个角是直角的，题目中说的 对不对？你这个角是 ar 法，所以我们知道这个角一定多少，一定是九十度减 ar 法，你这是一个大大的直角，没问题吧？拿走 ar 法，所以这个角呢，也是九十度减 ar 法。 好，到这里就证明完毕了。那依然是重点。为什么呢？你是个等腰三角形，所以咱们这个蓝边一定等于蓝边，对吧？等腰， 同时我也是一个等腰三角形，这个绿角等于绿角嘛。所以呢，我也是个蓝边。哦，你是蓝边，我是蓝边，你也是蓝边。三条蓝边相等地是个重点，所以我发现我们不管怎么样都可以挣出来搞定， 我们用两种不同的方法去推倒他了。啊。好，现在我们再来看一下那。哎呦，这个行吧，不要就不要，有什么大不了的，清掉 都不要了，可以吗？我们主要来看第二问，第二问现在告诉你， ab 呢是六，这个是三，这个是三了， ac 是 二倍的根号十三，那你这个边呢，就是根号十三，对吧？ 你要知道我们刚才第一问求证，你是终点吗？这不就根号十三吗？这个不也是根号十三吗？对吧？我们都知道根号十三，但是中间呢，我把它用一个彩色的点把它割开， 让我们求圆的半径，这是有点过于简单。首先你要知道啊，这是个直角三角形，知道斜边，直角边，我们可以求出这条边的长度几呢？这个边的长度一定是二，虽然这个度不是很标准啊，你让我求半径，那我首先得把半径给构造出来，对吧？好比方我们去连接 o a 吧， 可以吗？好，连接完毕之后，也就是差不多长这个样子，连接 o a， 那 此时扭法我们要求半径，我就令半径是 r， 可以吗？你这个是不是也是半径呀？对吧？也是半径拿走两个单位，所以剩下你会发现这条线段的长度呢？是 半径减去二，是吧？那最终在这个直角三角形中，咱们用勾股定律可以直接求解吗？你的平方，也就是半径减二的平方， 加上你的平方，就是我们垂径定律非常常见的一种题型，对不对啊？等于斜边的平方，所以我们求出半径的平方减去四倍，半径加上四加上九等于多少？等于半径的平方左右两边咔嚓了，我们知道四倍的半径等于十三，所以我们求出的半径呢，等于四分之十三。 计算过程，那样写的就稍微快一点点啊，我们继续往后了。好，接下来我们再来看看，我们后面稍微有一点点的，终于来了，对吧？我觉得这个题目算是我们所有大题里面有那么一点点分量。第二十一题， 好，首先我告诉你，你是角 e r 法角贝塔都是锐角，一个角的正切是二分之一，一个角正切是三分之一啊，求这两个角的度数之和。 好，如图一，小亮同学呢，在边上唯一的正方形的网格中画出了角 b a d 和角 c a d。 其实我告诉你，这个叫做一二三四五模型，他在我们处理某些特殊三角形或者某些怎么样的，嗯，线段求解的时候非常非常的快啊， 好，然后干嘛呢？在图中画出角 b a、 d 和角 c a d， b a d 是 哪个角？ b a、 d 是 这个角，对吧？你发现这个角呢？它的正切值不就是，喏，它在个一比二的直角三角形中吧，对吧？所以这个角的正切值呢，就是二分之一的，对不对？这个角的正切值二分之一， 好，剩下还有一个角 c a d c a d 在 哪？ c a d 其实就是这个角嘛，对吧？你会发现这是一，这是三，所以这个角的正切值呢，不就是三分之一吗？啊，一个是 a r a， 一个是 beta， 所以这两个角的度数之隔也就是这个角了，是不是阿尔法加贝拉就这个角嘛，对吧？好，现在问题来了，嗯，按照这个思路，求阿尔法和贝拉，也就是求这个角的度数之隔，这个很简单啊，那我们去求，既然能求出来，你觉得这个角可不能比方七十三度呀， 哎，四十六度呀，像这个咋求我都不会，对吧？更不要说你们了，说他很显然是一个特殊角，特殊角，它往往出现在特殊的直角三角形中，我们连接 bc 好 不好？ 连接 bc 之后，你会发现我们可以得到什么结论呢？你会发现呐，各位同学们呐，我们这是什么？这是一个一乘以二的直角三角形，对吧？同样的，我们这是一个什么呢？这也是一个一，哎，这也是一乘以二的直角三角形，看到没有 啊？大家都是一乘二，大家都是一乘二的直角三角形，所以这两个三角形一定全等。理解了。没有全等对边相等嘛，所以你这个子点 一定怎么样呢？等于此边，我们目前正出它等腰了，我们再正出一个直角就可以了，对吧？直角怎么正的？非常简单，比方说啊，我用最快的方式把它标注出来，我令这个角呢，是 a r f 可以 吗？那你全等对应角相等，这个角一定也是 a r f 没问题吧？好，接下来我再用这个角呢，我再令这个角是，嗯，比方说，这个角我把它丢一边去啊，这个一走开，我再令这个角是 b 的， 对吧？再用这个表示 beta 搞定了。因为你会发现，在我们这个直角三角形中，喏，在这个直角三角形中， a r 加 beta， 哎，我我，我们这个题有 a r 加 beta， 哎，你就忽略一下好不好？忽略忽略啊，你把 a r 加 beta 一定是九十度嘛，对吧？ a r 加 beta 一定是九十度直角，你这是 alpha， 你 这是 b 呢？我们刚说 alpha 加倍到九十度，苏宁凡他一定是一个直角，理解，没有。苏宁凡，我们是一个等腰直角三角形。因此，这个题，我们本来要求的这个角多少度呢？就这个角，对吧？一定是四十五度 好不好？哎，所以第一问呢，我们求出来四十五度，搞定了。好，接下来我们再来看一下啊。呃，第二问，第二，我觉得他跟第一问好像没有什么关系啊，那我就直接把它清掉了，我把这个也清掉了，可不可以？ 我把这个咱本来就不能带有阿尔法和贝塔，所以我都把它清掉。四十五度。好，现在我告诉你，如果一个角正切是刚好三，另外一个角正切是三分之刚好三，求阿尔法解密了，其实你要知道谁的正切等于刚好三呢？在这里面我就不再详细解释了。可不可以？我们前面其实已经讲的比较憨了，对吧？这个角是六十度， 对吧？你这个角多少度呢？这个角三十度，对应完我们再处理三角函数，我们如果知道它的特殊角，你就先把它求出来，就这两个角相加呢？你这完全送分的吗？九十度。 第二问比第一问更简单。好，这个题难的是我们的第三问。好，现在我告诉你，埃尔法，贝塔，呃，包括那个，这，这个念什么我已经有点忘了啊，对吧？他们都是锐角。嗯，现在我告诉你，我的正极是七分之一，对吧？ 啊？并且这两个角相加等于它让我们求它的正值，该怎么办？嗯？ 是 c 卡马还是 f 七龙啊？好像不对啊，好像是，不管读什么，嗯，就是求它的正值。就是首先我们需要构造一个三，一比三和一比七的。首先一比七，你要知道它是比较难构造的，我们先把它构造出来。可不可以画一个七， 这是怎么样呢？这是长度为七，没问题吧？是不是你数一下长度为七，然后另外一个长度为一，是吧？就像这个样子，那所以你要知道这个角就是我们的 beta 角，这个角是不是我们的 beta 角 把它标出来，就这个角，是不是这个角是咱们的贝塔角？好，那，呃，正确，是一比七。那现在这个一比三怎么弄的？一比三，你会发现如果你像这样画的话，他就有点麻烦了，是吧？我们用用用这个蓝色的画吧。一比三，你这么画出来， 这有啥用呀？你这个角呢？是埃尔法，埃尔法加贝塔，就这个角你放根本搞不定，对吧？这，这怎么求解？ 有点麻烦。那么在这面我们会想，一比三为不要放在一乘以三，我可以放在二乘以六的直角三角形中，可不可以，可以吗？对吧？我做两个一乘以三吧，所以你有法，也就这个边是二，剩下一个边是六，行不行？行吧？那所以也就是这个角呢？它就是我们的阿尔法，是吧？ 它就是我们的 a r 法，所以你所谓的就是让我们求这个角的正切值了，怎么求呢？有量了，可是这个好像也搞不定啊，大家会发现，其实我们刚才标注的是一个什么，它就是一乘以三的直角三角形，大家记不记得等下我在这里把它标出来啊？黑色的， 黑色的，大家记得吗？这是一个二乘以六，哎呸，二乘以六的一个直角三角形，对吧？ 好，接下来你会发现，各位同学们，如果我把这个去掉呢？看清楚啊，你，你，我这个红线怎么移动？你这个贝纳角肯定是不变的吗？对吧？我红线怎么移动，你这个贝纳角肯定不变吗？是吧？你这个角依然是不变的。好，接下来大家看看，如果我连接这条线呢？ 连接起来，大家观察一下，你会发现我把这条线放在了一个直角三角形呢，我也把它放在了一个 v， 为，能看到吗？所以切正反，这个边是一吧，这个边是三吧？哦，你是个二乘以六直角三角形，你两边这里是一比三，我也在一个一比三的直角三角形中。请问接下来各位朋友 护理完毕了没有？是不是已经搞定了？然后把它清掉不要了？把它清掉不要了，可不可以？所以大家能想到吗？你会发现呐，咱们这个直角三角形两只角边是一比三，我们这个直角三角形两只角边，这里也是一比三，所以这两三角形一定是相似的，对吧？ 啊，那既然相似，那我请问一下，举个例子，比方说我们令这个角，我就不再去像刚才那样犯错了啊，比方我令这个角是 x， 好吧，相似了，那你这个角是不是也是 x？ 没问题吧？好，接下来我再令这个角是 y， 比如这个角我们令它是 y， 对 吧？你告诉 x 加 y 等于多少度？它是一个直角三角形嘛？所以我们知道 x 加上 y 一定等于九十度，那你是 x， 你 是 y， 我 们刚说 x 加 y 等于九十度嘛，所以我们可以推出，那这个角百分百是一个直角， 对吧？所以我们把 ar 法加倍啦，直接把它放在了一个直角三角形中，你让我求整个大角它的正切值，对吧？你只要用这条边比上这条边就可以，那这个需要求出来吗？你可以把这个边求出来吗？你可以把这个边求出来，但这需不需要？求不需要， 因为你会发现这个三角形跟这个三角形相似比是几比几？我的一比上，你的二相似比是一比二吗？所以你用这个直角三角形的斜边比上这个直角三角形的斜边，那不就等于相似比吗？那不就是一比二吗？所以你把它的正切值呢？就是二分之一。 嗯，好吧，其实这个题主要考察我们所谓的一种转化思维了，我们接下来继续往后了，再来看一下我们今天的第二十二题，其实这个题你会发现呢，我个人觉得还没有我们前面那道圆难的 好。首先，在我们三角形 a、 b、 c 中，我告诉你， ab 的 ac 的 啊，就是 ab 这个红边，对吧？等于 ac 这个红边，这两个红边是相等的好 啊， d 是 bc 终点。你这么说的话，我觉得就有点看不起我，你连接 bc， 他 百分百是个等腰三角形吗？你取终点，所以也就是我们知道这个边等于这个边，对吧？你这会还知道这个角呢？一定是直角，对吧？这个角一定是直角啊，就这个角一定是 我标这里吧，一定是九十度，可以吧？嗯，好，现在你看它又给出一个条件，角 abc 谁啊？ abc 就是 这个角，对吧？它的角平分线，交 a， 交 a d 一 点啊，这是个角平分线，角平分线。那行吧，我就把它标出来，你这两个角角相等吧，就是咱们这个角，对吧？ 怎么样呢？哎，我画的稍微好看一点点吧，就咱们这个角怎么样？一定等于这个角， 两个小角相等，两个蓝角相等。好，问题来了，嗯，现在我们以 o a 圆心啊， o e 为半径，以 o a 圆心， o e 为半径干嘛呢？ 呃，点 o 在 延长线上面，对吧？我们画个圆。好，如果 ab 是 二倍根号三，你想想啊，你这是二倍根号三，对吧？你是二倍根号三，我也是二倍根号三，你 b d 是 刚好三呀，你 b d 是 刚好三。其实说白了它是个什么东西？各位同学们， 他不就是一个等边三角形吗？对不对？等边三角形，你现在让我求半径，这咋处理？等边三角形 每个内角怎么样？六十度，你平分这个角三十度，所以呢，你要知道没有问题吧？等边三角形吧，所以这两个角都是三十度， 你是个直角三角形，所以我们知道这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们要求怎么样呢？求圆的半径。哎，我把这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道，这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道，这个角呢？拿走 连一下，这不就是半径吗？嘿嘿，那，那你会发现剩下我觉得非常简单。为什么呢？这个边是半径吧， 这个边是半径吧，两边相等吧。等腰三角形，等腰三角形一旦含有六十度，他立马是个等边，对吧？这不百分百是等边，那其实说白了也就是我们这个角呢，他也是六十度，是不是这个角，这不也是六十度的直角三角形，你看看较长直角边是刚好三吧。 嗯，这个直角边是刚好三，所以你不管根据勾股定律还是特殊直角三角形三边比的关系，这个边呢，他是一，这个边呢十二， 所以也就是我们求了第一半，你十二，当然这个题的方法很多啊，对吧？方法非常非常多啊，我们在这里随便说其中的一种。好，我们把它清掉了。清掉了好，第一个的条件在第二个里面有能用吗？他就不能了，因为他说的弱吗？对吧？ 那所以你会发现这些长度呀，这些特特殊的线段呀，你就不能再用了啊。好，我们都把它清掉。好，接下来我们一起来看第二问清的。第二问是什么呢？是圆和 a d 延长线交界 f， 呃，你把 a d 延长，对吧？和圆交 f 点好， m 是 c f 的 中点好，也就是我们告诉你这两边相等的，对吧？这个边等于这个边。其实我们知道这是一个直角三角形嘛，直角三角形斜边中线一定等于斜边的一半，也就是这三条线段一定相等。好，接下来 连接 md， 边延长的交于 n 点，对吧？让我们求什么？求 b n 等于 b d， 哈哈， b n 等于 b d， 这太简单了，我们为什么这么说呢？首先你会发现呐，各位同学们， 咱们可以标注一些角度啊，也就是我们可以推出这个小的蓝角，它一定等于这个小的蓝角，对吧？等于幺三角形，两底角相等吗？ 而你要知道，这个角呢，是我们这一段弧所对的圆周角，那么一定等于这段弧所对的另外一个圆周角也是怎么样呢？咱们这个角它也是一个蓝角。 好，那到这里你会发现还有什么呢？这个蓝角它的对应角是谁？我先把你这个绿色的九十度清掉啊，好，它等于这个角，对吧？ 好，当我们知道这两个角相等之后，整个题目就结束了，为什么呢？因为你要知道咱们这个角是直角的，是吧？我们刚才已经标注出来了。嗯，好，你会发现呢，那也就是你跟我相加是直角九十度，那么我跟你相加自然也是直角九十度，没问题吧？ 也就你会发现咱们这是一个直角三角形，我标哪比较好？标这里，对吧？这个角一定是九十度，那这时你会发现 我这是一个三角形。那我顶角的角平分线吗？角 abc 的 平分线，一个三角形，顶角的角平分线同时是底边上的高，那么他一定是等腰三角形，所以也就是我们可以推出怎么样呢？哦，也就是 b， d 这个边呢？一定等于边，这个边证明完毕，搞定 好，接下来我们看最后一题。那么给出一个抛物线 y 等于 a， x 方加 b x 减三，与 x 轴交于 a 点，负四零啊，就是 a 点坐标呢，是负四零的，我们把它在途中呢，把它标注出来。 好， b 点坐标是一零， b 点坐标一零，与 y 轴交于 c 点，其实 c 点坐标我们也可以求出来，对吧？也就是零负三，我们看一下它到底想干嘛？ p 点是直线 a， c 下方抛物线上一点，也就是又在直线 a， c 的 下方，又在抛物线上，所以 p 点只能在这一段红色的圆。哎，这个，呃，弧线上运动好。 b 问，让我们求 a 加 b， 其实说白就是让我们求二次函数表达式啊，你想想知道，三个点坐标求二次函数表达式，我就直接省略了好不好。 y 等于四分之三， x 平方加上四分之九 x， 再怎么样呢？减去三，所以 a 等于四分之三， b 等于四分之九。因此呢，我们可以求出来 a 加 b 等于几，我们直接求出来。等于啊三， 好不好？简单，我们就过的稍微快一点点。好，这个题的第二个主要考察我们所谓的面积问题啊，好连接 a、 p、 c， p、 bc 啊，你会发现，把 a、 p 连接起来，把 c、 p 连接起来，把 bc 连接起来干嘛呢？ 好过 p 点做 x 轴的垂线啊，垂轴是 f， 和直线交一点，对吧？好，他帮我们做了很多线， 说当 p、 a、 c， 也就是这个三角形的面积等于五分之四倍的 a、 b、 c 等于这个三角形面积五分之四倍的时候，让我们求 p 点坐标。 其实我告诉你这个题常规的方法是什么呢？注意就是把 a、 b、 c 的 面积求出来，可不可以求知道 a、 b、 c 的 面积一定可以求出来，对吧？ 求完出，求完之后呢，那么五分之四倍的我们自然就会轻松搞定了，也就是我这个面积，整个三角形的面积等于一个固定的值， 你可以把这个三角形面积把它表示出来吗？用我们的牵扯法就可以了。在这里面我们会用到另外一个我个人觉得更加有意思的方法，叫做什么呢？叫做平行线的方法。什么意思呢？你想讲你这个三角形跟这个三角形，他们是不是有一条公共的底边？ a、 c 没有问题吧？ 那现在我要面积等于你的五分之四，底是公共的，是相等的，是重复的，我如何使得面积是你的五分之四呢？ 很简单，我只要使得 p 点到你的距离我的高和 b 点到你的距离，我只要使得这两条高是一个四比五的关系，说白了 就是我这条高是你的高的五分之四是不就可以了？好，如何保证我的高是五分之四呢？我们只要做一条平行线就可以轻松搞定了。首先呢，我们把直线 a、 c 把它画出来，那我想问一下，直线 a、 c 的 表达式咱们可不可以求出来？各位同学 一定可以，对吧？为什么呢？因为你要知道我们 a 点坐标是负四零， c 点坐标零负三吧，是吧？你是负四零，你是呃，零负三，呸，所以我们知道整个直线表达式一定给求出来，给我一点时间，好吧，零减负三三，呃，负四减零，负四三除以负四，也就是 负四分之三，也就是 y 等于负四分之三， x 再减去三。好吧，大家可以验证一下，你会发现量求的是对的。好，接下来我们过 b 点呢，直接做他的平行线，过 b 点做你这条直线的平行线。好，做完之后大概长什么样子呢？就大概长。哎，我把它画一下啊， 我把它画成虚线，可以吗？嗯，也就差不多长这个样子。那你要知道啊，两直线平行 k 是 相等的吧，你的 k 是 负四分之三，所以我的 k 一定也是负四分之三，对吧？好，那问题来了，我这个 b 怎么求呢？ 因为你要知道，咱们经过一零，我们不是随便画的平行线，我们是过一零点所做的平行线，有时候你把一零带进去，一定一定可以使得整个等式成立，对不对？所以你说你后面加的是几，你把一零带进去吗？横坐标零等于负四分之三，对吧？ 哎，有数量的我不理解，注意听清楚啊。你把横坐标一带进去吗？右边不就是负四分之三加上谁吗？等于左边你把 y 等于零带进去吗？是吧？所以你发现这里面就是四分之三了， 是不是你加上四分之三才能等于零吗？哦，也就是我们的屁股是什么呢？咱们后面这个屁股是加上四分之三。好，问题来了，各位同学，我如何使得 b 点到你的距离和你这个 p 点到你距离是 五分之四倍的关系呢？其实很简单，你首先看看他相当于往上平移了几个单位。我把这个都清掉啊，你想想从我们下面这个线到上面这个线，从这个线到这个线往上平移了几个单位得到的呀？你往上平移了，从负三到四分之三，他相当于往上平移了 四分之十五，相当于往上平移了四分之十五个单位，对吧？ 你往上平，我往下平移距离只要是你的四分啊，只要是你的五分之四是不就可以了？你往上平两个单位和往下平移两个单位之间距离相等吗？你往上平移和往下平移距离，对吧？哎，我往下平移，如果往下平移 四分之十五个单位，那么 p 点到你距离跟你 b 点到它距离百分百是相等的。但现在我要保证我的高是你的五分之四吗？那我干嘛？我直接乘以五分之四就可以了。理解，没有 咔嚓，咔嚓咔嚓也是。我们怎么样呢？往下平移三个单位就可以了。好，也是怎么样呢？我们往下移三个单位就可以轻松搞定了。 往下移三个单位我们可以得到什么样的直线呢？也就是差不多啊。哎，我随便画一下，在哪不知道啊，就差不多在这个位置，可不可以？嗯，大概长这个样子，你想想这条直线往下平移嘛，那也是在屁股上直接减三，对吧？所以也就是等于负四分之三 x， 你再减三呢？那不就减六了吗？哦，也就是我们这条直线上与抛线的交点就是我们要的 屁点了，理解没有？则是 b 到我的距离跟屁到他距离，我的距离一定是你的五分之四，面积就是五分之四，所以这个交点呢？这个就是我们的第一个屁，这个就是我们第二个屁。我们可以把所有屁点一个不拉全都求出来 好吗？可是问题来了，这个屁怎么求呢？太简单了，你讲讲二函数表达式，知道了你这个一函数表达式，也知道求二者的焦点简不简单？非常简单，对吧？使得它等于它构造方程吧。所以也就是怎么样呢？嗯，我写一下， 四分之三 x 平方加上四分之九， x 减三等于负，四分之三 x 减去六啊，这里的空间不够了，所以我直接稍微口算一下，给我点时间啊， 等一下我好不好？我同时移过去，四分之三 x 加上四分之二，也是加三， x 加上三分之四 x 方加上三分四 x 加上四。哎，刚我们求出来也就是他是 x 加二的平方，对吧？哎，等于零，所以我们求出来也是 x 一 等于 x 二等于负二啊。比如我们求出来 x 一 等于 x 二等于负二，其实这个意味着什么？各位同学们，就意味着也就是我们最终怎么样的。 它刚好是相切的，是吧？它只有一个焦点。为什么呢？我们算出来整个方程的解只有一个对应的数字吗？也是，我们求出来。你这个坐标呢？我写哪？写这里吧。哎，好不好？这里写不下，所以屁点的横坐标也就是负二，对吧？ 嗯，那纵坐标是多少呢？纵坐标。一个把屁点带到这里面去啊一个把屁点带到整个抛线里面去啊。那我们肯定带到这里面去了。乘一下二分之三减去二分之十二也是怎么样呢？等于负的二分之九 好不好？负的，哎，等于这个负的二分之九，我们直接写负的二分之九。好，我们写到这里。嗯，好，接下来我们再继续往后来看一下。第三问啊，其实我个人觉得第三问这个题 有一点放水了。你就是他属于角度的存在性问题，但是我个人觉得有点过于简单了。他是怎么描述的？你看啊，他是这么问的，有点过分。清掉清掉，都清掉，好不好？都清掉，这都不要了。 嗯，他这么说的。那同学们点 m 是 直线， a c 上方，抛线上一动点啊，又在 a c 的 上方，又在抛线上，所以要么在这一段，要么在这一段，对吧？哦，要不要分类讨论呢？嗯，并且使得 m a o 等于 o c a o c a 是 哪个角？ o c 是 这个角吗？就这个角的，它的大小多少呢？我不知道，但我知道这个角一定是固定的，对吧？哎，我只要舍得这个角等于这个角就可以了啊。其实你要知道啊， m a o m a o 是 什么呀？ m a o 其实你会发现 就是我们一条线。哎呦吼，就是我们这一条线怎么样呢？跟我们 a o 的 夹角，对吧？哎，我要跟整个 a o 的 夹角呢，会产生一个锐角，我要舍得。这个锐角怎么样呢？等于你这个角，是不是这个意思？ 好，其实正常情况下这个锐角应该有几个呢？应该是有两个的，为什么呢？我可以在你的上方产生一个加角，我使得这个加角等于你，对吧？我还可以怎么样？我还可以在你下方产生一个加角，对吧？使得这个加角，但你有办法下方呢？ 我们这个点就跟 c 点重合了，是不是？而且这个题目明确要求只能在抛线的上方，所以这个题我个人觉得它就比较简单，是不是？嗯，就这个点呢？就是我们的 m 点，这个该怎么求？这个我个人觉得比较简单啊， 我们在角度的存在性问题。我顺便说一下啊，整个初中阶段所有角度存在性问题，他只有三种方法，第一种方法干嘛呢？我写哪？我写这吧，好不好？第一种方法也就是构造全等或者相似。第二个就是干嘛呢？嗯，构造直角三角形斜边中线。 构造直角三角形斜边中线，好不好？来进处理。第三个干嘛呢？第三个做平行， 做平行啊，所有角度的存在性问题用这三个方法都可以搞定，比方说在正面，原来呢，我们该怎么处理呢？其实这个理我觉得用这三种方法中的任何一个都有点小题大做了，我怎么样使得这个角等于这个角呢？ 你这个题太没有水平了，你其其实直接把 c 点对吧？你对称上去找 c 一 撇啊，这两个角是不就相等了？其实我们这个原理是什么呢？这个原理它就相当于是构造全等啊，明白了没有？嗯，好，也就是我在这先把这个线清掉， 好不好？咱们首先找一个对应点，四点坐标是零三吧，我又找出一个点，使得这个点的坐标，是啊，零负三，我找出这个点是零三，这样的话，我这个点跟这个点啊，是不是就对称的？对称完毕之后，你会发现，你一旦把它连接起来连一下， 你这么想吧，其实你这么连，对吧？这个三角形跟这个三角形是不一定全等呀，全等三角形对应角，对应角自然就相等了，是不是？所以一定相等，你把这条线延长吧。哎呦，你这个还有点为难，我还把它延长， 对吧？延长。所以你要知道，这个点就是我们要找到 m 点，此时 m a、 b 呢，指的不就是这个角吗？它自然就等这个角了，是吧？ 那剩下我们该怎么求解呢？一样道理非常简单喏，我们知道 a 点坐标，知道这个点的坐标，知道两点坐标，求这个一次函数表达式非常简单，等于三减零，等于三零减负，四三除以四，四分之三，哎，口算一次函数 四分之三 x 加上三就可以了。好，现在你会发现，知道一次函数表达式，知道二次函数表达式，求二者的焦点，这个求焦点还需要量去描述吗？ 使得这个函数和这个函数表达式相等，对吧？也就是四分之三 x 平方加上四分之九 x 减三，等于什么呢？等于这个东西我真的担心，有些同学可能我不构造，他就觉得有点卡壳啊，所以最终我们求出来整个方程的解是什么呢？ 呃，等一下，我觉得我用表达定理求是不是更快一些？移过去，移过来，负六，对吧？二者相乘等于三分之四，乘以负六， 负八，负四二，对吧？也就是我们的 x 一 呢，等于负四， x 二呢？等于二，是吧？这个方法我们也会讲哦，在这里面我们就不再多说了啊。你说我们最终求出来有两个焦点，一个焦点横坐标负四。为什么呢？因为这条线与抛线的焦点是 a 点吗？横坐标不就负四吗？ 所以另外一个焦点横坐标是二，也就是指的是 m 点的横坐标是二。纵坐标呢？你肯定带到这里面去吗？ 嗯，二分之三加上二分之六，也就是怎么样呢？二分之九好不好？所以我们求出来也就是 m 点的坐标， m 点的坐标，横坐标二，纵坐标二分之九。搞定，跟着亮亮无脑学习。