2022年陕西中考数学标准答案

好的同学们，今天我们继续来看二零二二年西安中考填空题的最后一道。 如图，在菱形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于四， b、 d 等于七。若 m、 n 分 别是边 a、 d、 b、 c 上的动点，且 a、 m 等于 b， n 作 m， e 垂直， b， d、 n、 f 垂直， b、 d 垂足分别为 e、 f， 则 m、 e 加 n、 f 的 值为多少？ 首先我们要明确 m、 e 加 n、 f 的 值是不是一个定值。我们看一下 m 和 n 点的轨迹， m 点是从 a 点向 d 点来运动， n 点是从 b 点向 c 点才来运动，这样才能表，才能保证它的 a， m 等于 b、 n。 同样的话，那我们看一下它极端条件下，它们两个的 m、 e 加 n、 f 的 值的和是多少？当 n 点在 b 点的时候，那么 m 点就在 a 点，那我们过 a 点做 b、 d 的 垂线 啊。垂足我们写为 h， 我 们知道 m、 e 加 n、 f， 这个时候就是 a、 h 的 长度。当 n 点在 c 点的位置，那么 m 点就在 d 点的位置，那么 m、 e 就是 零， n、 f 就是 过 c 点做 b、 d 的 垂线， c、 h 的 长度。 好的，如果是一道填空题或选择题，那我们直接把 a、 h 的 长度求出来，这道题就做出来了。如果是一道计算题，我们就需要严谨证明一下。 好，我们看一下这道题的话，如果眼底证明怎么证？同样 m、 e 加 n、 f 的 值的话，我们看一下它是两个分散的线段。根据我们几何的核心思想聚散思想，我们要把两个分散线段给它聚在一起， 这个时候我们怎么做呢？我们过点 m 做 a、 h 的 垂线好，垂足我们写为 g， 这个时候的话，我们就可以得到什么呢？ g h， e， m 就是 一个矩形， 那么我们就可以把 m e 转换到 g h 的 位置。根据我们刚才的分析，如果再能把 f n 转移到 aj 的 这一块的话，那么这道题就非常好做了，我们看一下能不能转过去呢？我们的这块要利用全等，看一下三角形 aj m 和 嗯 b， f n 的 话是不是全等呢？首先有一个直角，其次 am 等于 b n， 那 么我们看一下角 a m， g 等于角 a d b， 那 内错的话，这个角又等于角 f b n， 所以 我们就可以得到 这个角等于 fbn， 所以 三角形 a， g， m 就 全等于三角形 n， f b 全等条件是 a a s， 这个时候的话我们就可以得到 f， n 等于 ag， 那 么原题 m e 加 n， f 的 值就等于 ag 加 gh。 好的， a g 加 g h 就是 a h。 我 们知道 ab 的 长度是四 b h 长度是七的一半二分之七。我们利用勾股定律就可以求出， a h， a h 就 等于根号下 四的平方十六，减去二分之七的平方是四分之四十九，就等于根号下四分之十五，是四分之十五，没有问题。 好的，我们把它开出来，是二分之，根号下十五。好的， m e 加 n， f 值就是二分之根号下十五。好，这道题我们就讲到这里。

我是只讲基础，带你中考数学稳拿九十五的小熊老师。今天我们来做二零二四陕西中考数学解答题第七道。 hello， 同学们挑战中考数学只做基础题，带你稳定拿到九十五分。 那这里呢，是二零二四年陕西中考数学试卷这道题呢，我们已经累计拿到了六十六分。那今天我们继续来看简答题的第二十个，这个题呢是一个比较简单的方程题。首先我们来看一下题， 星期天妈妈做饭，小风和爸爸进行一次家庭卫生大扫除。根据这次大扫除的任务量，如果小风单独完成需要四小时，如果爸爸单独完成需要两小时。当天小风先打扫一段时间后去参加了篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务。小风和爸爸这次一共打扫了三个小时， 求这次小风打扫了多长时间？那你看，我们要求的是小风打扫的时长。那我们这里在解方程的过程中，首先我们要设未知量。好的，我们首先解这个题，然后来设小风本次打扫了 x 个小时，那我们设完未知量之后呢？我们要列等式，那这道题的等式会是什么呢？你看，我们已经有了时长，那则 哎，爸爸就打扫了三减 x 个小时，因为他们总共打扫了三个小时。如果将小风设为 x， 那 爸爸就是三减 x， 那 就是说我们已经表示出来了时长，那时间呢？乘以工作效率就是总共的工作量，对吧？我们知道的等式时间 时间乘以工作效率等于工作量。好了，这里我们来看一下他们每一个人的工作效率应该是怎么样的？首先呢，我们假设本次大扫除的任务量是单位一，那我们看到小风单独完成需要四个小时，那也就是说小风的工作效率他是 四分之一，那爸爸单独完成需要两个小时，那爸爸的工作效率就是二分之一，那你看根据这个等式，工作效率是不是就等于工作量除以工作时间呀？那工作量，我们说我们假设总的任务量是单位一，那他的时间是四，那他的效率是不就是四分之一， 它的效率是不是就是二分之一？那没问题，那我们再来用这个公式，时间乘以工作效率又等于工作量，那本次小风打扫了 x 个小时，那小风的工作效率是四分之一，那四分之一乘以 x 就是 小风的工作量。小风的时间乘以小风的效率是小风的工作量， 那加上爸爸的时间三减 x 乘以爸爸的工作效率二分之一就是爸爸的工作量。那小芳的工作量加上爸爸的工作量是不等于单位一啊？这个是不是就是我们列出来的等式列出来的方程？好了，我们现在来整理这个方程，他说四分之一 x 加上二分之一，三减 x 等于一。 我们看一下等式两边同时乘以一个四 x 加上二倍的三减 x 等于四，那 x 加上六减二 x 等于四，负 x 等于负二 x 等于二。 所以说本次小风打扫的时间为两小时。好了，这个方程题到这里就做出来了，他其实呢主要应用的就是工作时间乘以工作效率等于工作量这样的一个等式，然后反复去应用， 根据总的工作量算出他们单独完成工作时的工作效率，然后应用这个工作效率乘以他们现在的工作时间，算出他们现在的工作量，加在一起等于总的单位一工作量。这样列出方程。 好了，这道题呢，也比较简单，我们给大家把在总分中加上这道题的五分分值，现在我们这套题累积得到了七十一分。好的同学们，我们下个视频继续进行做题。

同学们，这题不会考试全会 a b。 平行 c d 求角 c 等于多少度？

大家好，我是超哥，我们来讲解八年三月二十四日八年级每日练这道题，也是二十四年陕西的一个中考题。那么如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a c， a， b 等于 a、 c 啊，这两个边是相等的点， e 是 a b c 上一点连接 c e， b， c 连接 c e， 我 在 b c 的 右侧做了一个 b f 平行于 a、 c， 然后 b f b、 f 这条边是等于 a、 e 的 好，然后 ac 等于十三， bc 等于十四。边形的一个面积等于多少？那我们这道题里面主要还是考了平行线的性质啊。平行角平行线，那么 ab 等于 ac， 那么所以角 a、 c、 b 就 等于角 a、 b、 c。 又因为 b、 f 平行于 a、 c， 所以 角 a、 c、 b 就 等于角 c、 b、 f。 好， 说白了就是这个角，这个角，然后这还有这个角，所以等量代换之后，所以角 a、 b、 c 就 等于角 c、 b、 f。 在 这线上就是角平分线，对不对？所以角平分线上的点到角两边距离相等，所以过 c 点做 c。 比如说 e 垂直于 ab， 哦， c g 垂直于 ab 或 c h 垂直于 b f， 所以 过这个点做两条垂线 啊。比如说这是 g， 这是 h， 那 我们就可以得到 c g 等于 c h。 这就是我之前一直在说到的角平分线。平行线。等腰三角形，它出现两个星点的时候，它一定会考第三个点。看这道题里面，它出现了一个呃，等腰三角形，它出现了一个 平行线，那么它就考了角平分线啊。那么 c、 g 跟 c、 h 相等之后，又因为 a、 e 等于 b、 f， 那 么所以我们就可以得到 s 三角形 a e， c 就 等于 s 三角形 b、 c、 f。 那 为啥呢啊？你看，对于 a、 c、 a、 e、 c 来说，它的底就是 a、 e， 它的高就是四 h a。 对 于 c、 b、 f 来讲，它的 b、 f 就是 它的底，四 h 就是 它的高等底，等高等面积。所以我们就可以把 s 四边形 abcd a， b， c， f 就 转化成 s 三角形 a、 b、 c 了啊，他要这个四边形。哎，我写写错了， 他要这个四边形 e、 b c f e b c e b f c e b f c e b f c 就 转化成 s 三角形 a、 b、 c 了，就是相当于这道题就算 s 三角形 a、 b、 c 面积。然后我们把 a、 b、 c 面积就是抽出来啊，抽出来，抽出来，抽出来做。 这样说， a、 b 等于 a、 c， 你 看这道题， a、 b 等于 a、 c， 然后 a、 c 是 十三，那 ab 是 不是也是十三， bc 是 十，然后根据我们现在学到的，那么等三角形一般情况下做辅助线是三线合一，对不对？是不是三线合一？那么三线合一之后，五五 是不是这高就变成十二了？所以 s 三角形 a、 b、 c 的 面积是不是等于二分之一？乘以十，乘以十二，等于六十，所以它最终的结果就等于六十。这是陕西二四年中考题的小亚洲题啊，小亚洲题。

好的同学们，今天我们继续来看二零二二年西安中考选择题的最后一道已知二次函数 y 等于 x， 平方减二， x 减三的自变量。 x 一 x 二， x 对 应的函数值分别为， y 一、 y 二、 y 三。 当负一小于 x 一 小于零，一小于 x 二小于二， x 三大于三时， y 一、 y 二、 y 三三者之间的大小关系是什么？ 对于这种类型题目，我们如果是选择或填空的话，通常的话可以直接用设特殊值的方法求出来，是比较快的。我们先试一下设 x 一 等于负二分之一， x 二等于二分之一， x 三等于四，设的这个值只要在它取值范围之内都是可以的。 那我们把这三个值全部代入到二次函数中去，求一下， y 一 就等于负二分之一的平方减二乘括号，负二分之一减三， 四分之一加一减三，就等于负的四分之七。好， x 二代入到原式中，我们得到 y 二是二分之一的平方，减二乘二分之一再减三， 四分之一减一减三，四分之一减四，就是负的四分之十五。然后将 x 三代入到原始中，我们得到了 y 三是 四的平方是十六，减去个二四到八，再减三就等于五。好，从结果我们可以看出来， y 三大于 y 一 大于 y 二。所以选 b 这道题如果是计算题的话，那么我们就需要严谨证明一下，我们来看一下怎么来做。 首先，对于二次函数， y 等于 x， 平方减二， x 减三，我们需要先把它的函数图像画出来，我们就可以看出它 y 一、 y 二、 y 三的大小关系。我们先把与 x 轴的两个交点求出来，我们另， y 等于零， 那么原式就等于 x 平方减二， x 减三等于零。好，我们需要配方一下， x 平方减二， x 加一减四等于零，那么这原式就变成了 x 减一的平方减四等于零。好，我们把它算出来， x 的 减一的平方就等于四， x 减一就等于正负二。好，我们得到了 x 一 等于正二加一是三， x 二是 负一。好，那与 x 轴的两个交点我们求出来了，我们再看它的对称轴，对称轴 x 等于负二分之 b， 我 们代入到原始中，我们可以看一下是一，那么这个函数图像我们就可以画出来， 它是一个对称轴为 x 等于一 与 y 轴交点为负，三与 x 轴交点分别为负一和三 这样的一个图形。 好的，我们看一下 x 一 是在负一到零，也就是这段这段 x 二是一到二， 也就是这块 x 三是大于三，那么就是这段。 从图形上我们也可以很容易看出 y 三大于 y 一 大于 y 二，所以仍然是选 b。 好 的，这道题我们就讲到这里。

我是只讲基础，带你中考数学稳拿九十五的小熊老师。今天我们来做二零二四陕西中考数学解答题第一道， 哈喽，同学们挑战中考数学只做基础题，带你稳拿九十五分。前面呢，我们已经累积得到了三十六分。今天呢，我们继续来看二零二四年陕西中考的简答题。那首先呢，是一个比较简单的计算，首先呢，我们来写解 等于根号下二十五，我们说二十五的平方根，也就是说谁的平方等于二十五，给二十五开根号呢，等于五减去负七的零次密，我们在学密的运算的时候，学习了任何数的零次密都等于一 好的，然后呢，再加上负二乘以三，负二乘三，我们知道它等于负六好，这里呢，在加减乘除都有的情况下，我们先算乘法，然后再算加减 好，剩下的呢，我们就从左往右进行，嗯，加减运算就行了。五减一等于四，加上负六等于负二好，这个题呢，最终的答案就等于负二，没有问题。那好，我们来看第二个计算题，这里呢是先化减再求值的一类题。那这种题呢，我们首先在写的过程中先写减， 然后在这里写圆式等与。这时候呢，我们就直接可以将这个式子的下一步写到等号后面，或者我们写完解之后，把这个式子先抄下来，然后再向下面写，等于这两种情况都是可以的啊， 那我们既然已经这样写了，就继续来进行解圆式等于看下圆式，圆式呢，首先他这里是一个完全平方公式， x 加 y 的 平方，然后加上第二项呢，是一个完全平方公式 x 加 y 的 形式，那我们首先把这两个 两项呢都进行一个展开，现在展开完全平方公式， x 加 y 的 平方，等于 x 的 平方，加上二 x， y 加上 y 的 平方。好的，第二项加上，把它单项式乘给多项式的每一项 x 的 平方减去二 x y。 好，那这里呢？进行整理 x 的 平方，这里还有一个 x 平方，那就是二 x 的 平方，然后加二 x， y 减二 x， y 没有了，然后这里剩了一个加 y 的 平方。好的，那我们原式化简下来呢，就等于二 x 方加 y 方，那这里说了，其中 x 等于一， y 等于负二，将 x 等于一， y 等于负二，代入二 x 平方加 y 方中 得来代入一下二乘以一的平方，加上负二的平方，那当然就等于二加四等于六。 好，那这道题的答案呢，最终化解下来是这个代入再求值，求出来的值呢？等于六。好了，这两个题呢，每道题是五分，那我们给我们的总成绩再加上十分，现在二零二四年的这个陕西中考试卷，我们累积得到了四十六分。

我是只讲基础，带你中考数学稳拿九十五的小熊老师。今天我们来做二零二四陕西中考数学解答题第五道， 哈喽，同学们挑战中考数学只做基础题，带你稳定拿到九十五分。今天呢，我们继续来看二零二四年陕西中考数学的十八题，这呢是一个证明题，那在这道题之前呢，这张试卷我们已经累积拿到了五十六分， 那今天我们继续来看这个题，我们看能不能拿到这五分。那这个题呢，我们先来看题，如图所示，四边形 a、 b、 c， d 是 一个矩形， 点 e 和点 f， 在 这边上有一个点 e 和点 f， 并且呢， b， e 等于 c f， b， e 和 c f 相等。这里呢，这道题目让我们求证的是 a， f 等于得 e， 要求证的是两个斜边相等。那首先呢，我们来观察一下所要求证的 a， f 等于得 e， 我 们可以看到 线段 a、 f， 它位于三角形 a、 b、 f 中，那线段得 e， 它位于三角形，得 e、 c 中。那这里我们显然可以共通过观察这两个三角形，能够想到要求这两个线段相等。首先我们肯定要求的是两个三角形全等。 好了，那我们已经猜到了，我们要求的是三角形 a， b， f 和三角形得 e， c、 e 相全等。那我们来看三角形如何全等呢？ 首先来看这道题目的大背景是在一个矩形中，那来回忆一下矩形的特点，矩形首先有角，并且角是九十度的直角，四个角都是九十度的直角，那接下来呢，是边矩形的边，哎，对边 相等。好了，那也就是说这个题目中隐形的条件有很多，那来看一下，在三角形 a、 b f 和三角形得 c e 中，我们可以看到，哎，这个角 b 和角 c 是 不都是直角九十度呀？ 哎，那我们还可以看到 a b 和得得 c 线段 a b 和线段得 c 是 不矩形的对边呀，所以说它俩相等 对吧？啊，那现在呢，这两个三角形已经有一个边相等，有一个角相等了，那 s a s 我 们只要再求出以组对边相等就可以了。那我们看到题目中的已知条件告诉你， b e 等于 c f， 那 b e 和 c f 中间还有一个公共边 e f， 那 b e 如果等于 c f 的 话，也就是说 b e 加上 e f 也等于 c f 加上 e f 喽，那 b e 加上 e f 是 不等于 b f， c f 加上 e f 是 不等于 c e 啊？好，那对于两个三角形而言， a b 等于得 c， 角 b 等于角 c， b f 等于 c e， 那 这两个三角形是不全等了。好了，那全等之后，对应边当然就相等了， a f 也等于得 e 了。好，这道题的思路就是这样，没有问题吧。那接下来呢，我们来整理一下这道题的求证过程。 好的同学们，现在呢，我已经把这个证明过程给大家整理到了这里，大家可以浏览一下这道题完整的证明过程。现在呢，因为四边形 a， b， c d 是 矩形，所以说对边相等，两个角是九十度，又因为题目中已知的等量关系，所以说他俩加上他俩的公共边也分别相等， 所以说 b f 就 和 c e 相等。这个时候，在三角形 a b f 和得 c e 中，有一个边相等，有一个角相等，还有一个边相等，所以它呢，全等用的是 s a s 这样的一个判定定例，那当两个三角形全等之后，三角形的对应边 a， f 就 和得 e 也相等了。到这里这道题就证明完了。 好，这道题是一个非常简单的证明题，他只需要证出一组三角形全等就可以了。那大家给自己的总成绩可以继续加上五分，现在我们累积得到了六十一分。好的同学们，我们下个视频再见吧。

中考压轴助神黄昏。哈喽啊，我们给大家分享一下二零二三年陕西中考的大压轴，也就是全卷的最后一道题，十二分，看看你能拿几分 说呢？如图所示，点个象形 o a 等于 o b， 它是一百二十度，那就是一百二十度的等腰，这样去买 ab 是 二十四，然后呢， p 点和 m 点分别是两个动点，问什么时候 p m 最好值，简单的就这样做圆心，过圆心往下做垂直，哎，这是 p 点，这是我们的 m 点， 也就是说 pm 最小值是我们图中的 p 一 m 一， 而 p 一 m 一 怎么求与圆相关呢？就是拿圆心去求，也就是 o m 一 减去 o p 一 就行， 剩下的就给答案呗，应该挺好做的啊，好给吗？这是二十四，你往下做垂直的话，这个就是十二，所以说明我们的 o m 一 就是六呀，六减去 o p 一， o p 一 是半径呗，半径给的是四，所以它的最小值是二，简单动一下分吗？上来先来看看这样的， 这样的题目有点长，我们一起读啊。题目意思说，这有个五边形，然后呢，一个直角，两个直角，三个直角，并且这个总长是一万，这个总长是一万， 然后呢，这个长度是六千，这个长度就是六千。那你这样一来的话，我们如果把这边稍微补一下的话，则这个长度是四千，这个长度也是四千呗，对吧？也就说 b f 的 长度是四千， 没问题啊，好，他看要干嘛？他说在上面这个矩形区域内要修一个圆，半径为三十， 然后现在过圆心，往这边做个垂直，产生的 m n， 它的要求是，第一个要求，它俩之合要最短。 第二条九，在这个基础之上，它要最短。第三个要求，请求出此时的 o m 是 多少，我们一步一步来哦，先看第一个要求， b n 加上 p， e 又小值， p 是 圆心的问题，所以我们扣 p 一 点， 那就是请求 b m 到这个圆，再从圆到 e 又垂直，而且我们要求，因为它这是垂直的话，说明 o m 这条线是跟 a e 水平的， o n 呢？又是固定的三十，因为半径是三十嘛。 那这个时候 o n 这个东西，它其实方向也确定，长度也确定，你摆在中间就很违和，其实要干嘛呀？平移，我们可以把 b n 向右平移三十个单位长度，这个即为 b 撇，这是三十， ok 吗？这样一来，它本来要求的是 b n 加 e p， 而现在平移半处是不是变成了 b 撇 o 加 e p， 知道为什么有平移吗？因为你这个三十很碍事嘛。方向距离中确定你卡在中间干什么？没有用？好，那现在就是求它的对值，求它的对值，你想是不是它的长度加上它的长度，而它们之间的这个长度又是固定的三十， 那我是不是可以说其实是在求这三段的长度，因为这是三十五度的吗？加他有他没他无所谓，对吧？那你知道这三段什么时候有对称吗？那最简单，那不就是从 b 撇到 e 吗？所以我们直接连接一下 b 撇 e 就 行， 我们直接连接下 b b e， 我 们可以说两点之间相差最短，也就说这三段相加是比这个东西要大的。那当然我们两段相加的话，它就是大于等于 b 撇 e， 再减去个半径， 能理解吗？就这个三十的这个半径，你最终再如果要算长度还是要减掉，那说明什么？说明他们想要最小。我们的 b 撇、 o、 p、 e 这四个点就得共线，而想要共线必须在这条这条线上。共线说明什么？说明圆就在这条线上， 能理解吗？圆就在这条线上，它可能是这样的啊， o 点在这儿，也可能在这儿也有， 好的吧。好，因为它没问到最短值是多少，我就不晓得啊。好，来回答第二个问题，在这个基础之上。什么叫在这个基础上？就是在圆圆在这条线的基础之上，想要 m n， 这个 m n 最短，其实就是 o m 最短。想要 o m 最短，就是让圆心到这条线的距离最短，但是圆心要必须在这条线上，而且，而且它还要求我们要在这个矩形框内修一个圆， 那圆在这条线上想要离 ab 越近的话，是不是圆心要越靠下越好？是吧？我巴不得圆心在这呢，圆心要越靠下越好，但是最靠下，最靠下，你不能出了这个矩形，那你说最靠下是什么时候？ 就是当圆与这个矩形的边框相切的时候， o 也在这的时候。哎，这个我们切 o p 吧。 当圆 o 在 这个位置的时候，此时就是最靠下，因为它已经和 f d 相切了，再往下就要出这个矩形好了。那么这个时候我们请求 o m 的 最值，不就是过这个点做垂直吗？ 哎，这个就是我们要的 m 撇，这个就是咱要的 n 撇。 所以回答第二个问题，当圆 o 在 b 撇， e 切，圆 o 与 f d 相切，哎，这个时候我们是有最小值的， m n 是 最小的， 然后它的意思是请求出此时的 o m， 第三个要求，请求出此时的 o m， 此时的 o m 就是 等于我们的 o 撇 m 撇呗。也就是说请把这段长度算出来。那你做了这么多垂直，又有一些平行线，那大概就像相似三角形的一些问题了。我们看羽绒数据放大一些看吧， 与圆相切，所以说明这是垂直的，然后呢，半径是三十，那这样一来的话，这个造型明显和这个造型是相似的吗？ a 字形相似吗？我如果假设这个交点为 g 点的话， 我再做垂直，这个交点为 h 点的话，我如果假设 g h 为 x 的 话，那么我们是不是可以说 g h 比上 g d， 它是等于 o 撇 h 比上 e d 的 这两个叉形相似，所以这段比上这段就等于这段比上这段。那个地方。好，你再出去呗。 g h 是 一个 x， g d 就 等于 o p h 三十比上这边是六千， 所以三十比六千，是三比六，一比二百呗。那就说我们的 g d 呢，是两百个 x， g d 是 两百个 x， 但是 x b 要放出来怎么办呢？还有这列个数字，拿谁列个数字？别忘了，我们这平行这个三十还没用。说是三十的话，那我们其实可以再做一个相似，比如说我们过 b 撇往上做垂直，这个点呢？记为 r 点，那我马上可以说 b 撇 r 是 四千， 它俩相等，然后呢，这是三十，到这就是三十。哎，这个时候我们是不是再次可以说这个三角形和这个三角形它是相似的， 而且总长是一万，左边是三十 x， 右边出去了两百个 x， 我 们其实可以表示一下这个 g r 的 长度，它就是一万，减去左边的三十，再减去右边的两百个 x， 也就是九九七零，减去两百倍的 x。 哎，再来一次相似就好了，我直接列出来啊， o 撇 h 比上 b 撇 r 是 等于 g h 比上 g r 的。 我再给你画一遍，你看，也就是它比上它是等于这段比上这段，因为它俩是个面对面的，这样的相似嘛。 来，把数据往里一带， o 撇 h 三十比上 b 撇 r 是 四千，就等于 g h 是 一个 x， 比上它呢是九九七零，减去两百个 x， ok 啊。哎，所以这个 x 是 不就能算上？虽然说看起来数据挺抽象，但没办法，人家考试给的，我们在这就不给你展示了，一句算吧，我给你答案啊， x 也是二十九点九一，好吧，也还行，它最后是除以一万，其实也还好算。哎，这时候我们就可以给出它想要的 o m 的 长度，就是此时此刻我们的 o p m， 而 o p m 是 这段长，它不就是等于 f x 吗？ 对吧？ f h 总长是一万，你想去 f h， 只需要减掉 h d， 而 h d 总共是两百个 x， 这已经占了一个 x， 所以 它就是一百九十九个 x， 也就是一万，减去一百九十九个 x， 等于四千零四十七点九一。好吧， 怎么样，感受到强度了吗？一个是画出的原理，再一个呢，是相似列式子，甚至我相信对于很多同学来说，我就把这个式子给你，你都可能算不开，因为这个计算量的要求还挺高的。好吧，顺利满分。

我们现在讲到了二二年的第十八题，这道题目呢是我们最开始这种两问，一问是填空，一问是我们具体的计算。我们来看这种题目我们应该怎么去做 成有十克的钙片，给里面加盐酸，然后呢反应完了之后，它的质量减少了三点三，其实也用到了差量，你看最近几年的这个中考，他都趋向于这个差量， 那减少了三点三，那是谁呢？就是易散的二氧化碳的质量，第一问我们已经拿出来了，第二问计算该品牌钙片中碳酸钙的质量分数。那咱们说了，你取了十克的钙片，最后只生成了三点三克，那我们可以解设碳酸钙的质量 为 x， 那 么写出正确的化学方程是碳酸钙和碱生成氧化钙和水和二氧化碳， 这里是一百，这里是四十四，那二氧化碳用的是三点三克，写在它的正下方，然后这里边写的是 x， 一 百比四十四等于 x 比三点三克， x 就 等于七点五克，这是我们算出来它的质量。那么现在我们要算质量分数对不对？那我们说质量分数为 七点五克，比十克乘以百分之百，就等于百分之七十五。最后我们不要忘记答好了，那么这道题就是这样的结。

我是只讲基础，带你中考数学稳拿九十五的小熊老师。今天我们来做二零二四陕西中考数学解答题第四道， 哈喽，同学们挑战中考数学只做基础题，带你稳定拿到九十五分。那前面呢？这张试卷我们已经累积拿到了五十一分。 今天呢，我们来看二零二四陕西中考数学试卷中的尺规做图题。那这道题呢？我们首先来读一下题，如图，已知直线 l 和直线 l y 一 点 a， 仅用尺规做图的方法，求做一个等腰直角三角形，使得顶点 b 和顶点 c 在 直线 l 上 做出符合提议的一个等腰直角三角形即可。保留作图痕迹，不写做法，那他既要等腰，还要直角，然后这样的一个三角形，那他说做出符合提议的一个等腰直角三角形即可，也就是说做法不止一个，对吧？那我们首先来看等腰和直角哪个好做， 那当然是直角好做了，对吧？因为现在你的腰还没出来呢，三角形一条边都还没有呢，那你何谈等腰呢？是吧？所以我们首先把直角做出来，那点 a 已经是三角形的一个顶点了，那我们可以让点 a 作为直角顶点，也可以让点 a 作为底角的顶点，然后把直角坐在 l 上， 那如果点 a 为底角的顶点，那也就是说直角在 l 上，直角顶点在直线 l 上，那此时我们要做的是不是就是过点 a 做一个直线，使它垂直于直线 l， 那 垂足就是这个等腰直角三角形的直角顶点。 好了，那问题转换成如何过点 a 做一个直线 l 的 垂线呢？大家来看一下啊。首先我们要拿出圆规，以点 a 为圆心，任意长度为半径，然后锁定去画弧 a， 以点 a 为圆心，任意长为半径去 画弧，这个弧线呢，会与直线 l 交于两点，那接下来呢，分别以这两个点为圆心，继续以任意长为半径去画弧，那这个任意长呢？随便啊，那这个时候我就不去修改这个长度了，继续用刚才的这个任意长，反正都是随机的 好，分别以这两个点为圆心，任意成为半径画弧好了，那这时刚才这是两个弧线交于了一个点，有一个交点了，那这个交点与点 a 的 连线。看与点 a 在 同一条线上，那将这个点与点 a 连接起来， 我们所得到的这条直线就是点 a 过点 a 向直线 l 做出来的垂线，那此时他与直线 l 的 交点就是垂足，我们将它命名为点 b。 好了，那等腰直角三角形 a、 b、 c， a、 b 都有了，现在来看， ab 就 可以作为一个腰了，对吧？直角顶点有了，腰有了，那我们要去看另一个腰的长度好了，另一个腰怎么找？来看，以点 b 为顶点，然后呢？哎，我们先去，我们先去丈量一下这个，这个点 b 到点 a 的 长度有多少？好好量出来了，点 a 到点 b 的 长度是这么多，好，我们锁定这个长度，以点 b 为圆心，以这个长度为半径向下画弧，这个弧线呢，将会与 l 又交为一点，那这个焦点呢，就是我们的另一个顶点 c， 那这时我们量下来了啊， ab 的 长度和 bc 的 长度是相等的，那也就是说直线段 ab 等于线段 bc， 那 是这是不是三角形的两个腰相等了？好，下面呢，我们继续来把 ac 连接起来。好，来看连接 ac。 好了，现在的这个三角形 a、 b、 c 是 不就是一个等腰直角三角形啦？好了，我们现在给旁边写上如图，三角形 a、 b、 c 即为 所求。这道题我们到这里就画完了，然后作图痕迹也给他保留下来了，没问题吧？好了，我们在做这个垂线的时候呢，运用到的就是中垂线的一个做法，垂直平分线嘛，对吧？过线的过直线，外一点做已知直线的垂直平分线的做法。 那同学们下去呢，可以复习一下这个东西。这个题呢，他考的稍微简单一点，只考了一个钟垂线，然后等腰，这里呢就相对来说是更简单了，对吧？就是一个丈量，一个等边就行，长度相等就可以。 好，这个题没有问题，我们给我们的总成绩加上五分，现在二十四年的陕西中考试卷我们已经累积得到了五十六分。那下个视频呢，我们继续来进行做题。

咱们陕西中考数学计算有十五分，他是白送的，拿满分你是比死磕压轴题香的多。陕西中考的这个数学试卷有三道计算题，基本就是送分题，题目的位置就是在填空的后面。 第一道题呢，一般就是实数的混合运算。第二题分式化，减了，或者用分式的方程，或者分式相加减。还有一道呢，就是减不等式，走套路呢，是比较固定的下来。三道题呢，总共十五分，全都是计算的基础， 你会做呢，就能把这十五分拿到手。我呢，天天喊计算能力给咱练起来。真的，这十五分比压轴题呢，你非 半天的劲，可能才拿到两分，甚至拿三分。而这三道题，只要细心不马虎，轻松的全部就能拿下。也别眼高手低，总想着我出难题， 结果呢，基础分你全丢了，公式只要记牢，定力，记住，计算熟练，满分咱就稳了。这些题他其实并不难的，但必须是零十五，快速提分呢，别整那些虚啊，你先把这十五分紧紧的攥在自己的手里，从今天起，把计算好好练一下。

各位同学大家好，今天我们来看一下二零二六年陕西中考数学中一个高 p u 关键的板块原综合题。那么从近五年的呃考勤数据来看，原综合呢，始终是中考数学的一个重头戏，它每年都会考，分值呢固定在十一分，其中呢，填空有三分，解答题呢有八分， 而且他的题型、考点及难度梯度都有一定的规律。那么接下来呢，我给大家梳理一下考勤拆解重点，并且呢会给出一些具体的复习策略，帮助大家高效的拿下这十一分。从这个表格中呢，我们可以看出，每一年他的基础考点是非常明确的。 呃，无论是哪一年，员的基本性质，他一定是选择或者填空的考察核心。那么来看一下解答题，解答题，他的考点呢，更综合一些。 嗯，他始终会围绕圆以及其他几何知识的综合应用，但是呢，具体的组合每年他会稍微调整一下，比如说像这个二五年， 他考的是切线平行以及相似三角形。二四年呢，考的是切线圆周角以及特殊的三角形和相似三角形。二三年呢，是圆周角，特殊三角形和相似。 二二年呢，是切线特殊三角形和相似。二一年呢，他只考察了一个圆周角弧弦角定律和相似。那么他们的共同点就是每年他都会考一个相似。 虽然说组合不同，但核心的始终都是以圆为背景，叠加了一个直线和圆的位置关系以及特殊的三角形。还有问题呢，都是角度与线段的计算。其次就是他的一个难度分层是比较明显的， 那么从二二年之后，他的难度是上升了一个档次，意味着他需要你不仅会用单一的知识点，更学会去搭桥。比如说通过一个切线的性质，我们可以推出垂直啦，再结合直径所对应的圆周角是直角哎，最后利用一个相似求得呃，这个线段长。这种多步推理是很多同学留分的关键，所以一定要注意一下。 嗯，那么这里呢，特别做一个提醒，二一年到二五年解答题的第二小问呢，都是去求线段长。通过问题的提问方式，那我们就得明白，计算落地一定是解答题的最终目标。而前面的证明呢，比如说去证明线段相等，角相等，它往往都是计算的前置条件， 结合刚刚的考情分析，那我们知道元这一个板块，在陕西中考中，他的分值不小，难度也有层次，所以我们在复习的时候，一定要分阶段有重点的进行安排。那么在一轮复习的时候呢，我们主要去抓元综合的选择和填空题。这一类的题目呢，难度相对适中，有些也比较简单， 重在考察学生对圆的基本性质哎，像这个圆周角、圆心角等等基础知识的掌握，建议用时呢控制在一到两分钟一道题，不能拖太久。做这些题的时候呢，我们一定要训练做题的速度和准确率。 那么到了二轮复习呢，重点就转移到了圆综合的解答题上面了，这类题目呢，他往往都会涉及多个知识点的综合应用，比如圆和三角形、四边形的结合等等。那我们可以把这一类的题分两个层次来练习， 其中第一类呢是相对基础的解答题，建议用时呢在三到四分钟，主要的目的呢去疏理解题的思路和规范答题的步骤。第二类呢是难度较大的综合题，建议用时呢在五到十分钟， 重点在于培养分析能力和辅助线的构造能力。那么接下来我再说一下练习题的选择。在一轮复习的时候呢，我们主要用的是学校的资料，这里呢，我建议大家可以做一下往年的模拟题，最好呢是按专题分类的集中去练习 元相关的选择题和填空题，这样呢，更有利于你去突破某一个知识点。到了二轮复习，那么你的重点就要放在元综合的辅助线思路上面。那很多学生做不好元的综合题，其实不是不会知识点，而是不会去添加辅助线， 所以我们在选择题的时候呢，要做好筛选。在中考元综合题目难度递增的情况下呢，呃，部分学校可能不会在这里花太多的时间，所以呢，学校也不会给学生大量相应的习题资料。 那么在这种情况下，你可以按原的性质专题专项的去练习解答题，尤其是做副主线的思路。那么再结合近几年的模拟题，综合题去练习， 那么在准备专题练习的时候呢？呃，你们可以参考这样一些资料，比如说像这个网上的会编的电子资料，以及中考的分类专题，还有监考卷，中考四十五套以及二六年各校的模考卷， 这些都是非常好的一个 ct 的 来源。那么总的来说，原综合这部分内容既考察基础，也考验综合能力，在复习的过程中呢，要做到分阶段有重点，精选题目，那么高效的把这一块内容吃透练熟。 以上呢，就是我今天的分享，希望能给大家在中考复习中带来一点帮助。后续我也会出一些专题的复习课视频，那包括基础的知识点和专项的练习题讲解，感兴趣的同学可以点点关注。如果你身边有同样需求的小伙伴，可以帮忙转发一下视频，谢谢大家！

不敢在线，逻辑不偏。大家好，今天我们来看一下铁一中模考的这个填空小压轴，这个题呢，不是一个线段最直的一个考法，他考察到了一个引元加相似这么一个结合的问题，难度上不算特别大，但是关键点在于你能不能定位出来两个相似三角形， 我们一起来做一下哈。四边形 a、 b、 c、 d 中角 a、 b、 c、 d 和角 a、 d、 c 相等，都等于九十度，看到这个条件，直接什么？直接就把引元给它划出来， a、 b、 c、 d 四点共圆。 好，那么接下来的话呢，我们看到了第二个条件是 ab 和 bc 相等，等于十，所以此时 a、 c 的 长度等于十倍的根号。二啊，接下来 a、 c 和 b、 d 相交于点 e， 然后呢 d， e 比 b、 d 给了一个比例关系，看到比例直接去设比例，所以此时我们设 d， e 等于 x， 那 么 b、 e 呢，就是二 x， b、 d 的 长度就等于三 x。 好，到这之后呢，我们是把题读完了，最后呢，让我们来求 b、 d 的 长，也就是说必须得求出来这个 x 等于多少，这个题就结束了，对吧？好，那么接下来我们分析一下这个题目你看到了什么？有引元出现，有引元出现呢，就一定要考虑什么同弧所对圆周角相等， 所以此时角 d 和角 b， 此时角 d 和角 c 以及角 b、 a、 c 这三个角相等， 因为他们所对的弦是 ab 和 bc， ab 等于 bc， 所以 这三个角相等。所以接下来最关键的是能不能定位找到两个相似三角形，也就是三角形 a、 b、 e， 它呢是相似于三角形 d、 b、 a 的 这两三个相似，相似呢是因为角 d 和角 b、 a、 c 这两个角相等，以及呢，角 b 是 个公共角， 那么通过这一组相似呢，去列出来相似比，这个题其实就结束了，好吧，来吧，那么也就是 a b 比上一个， b， d 等于 b， e 比上一个， 然后把该带的数字带进去，这题就结束了哈，来吧， ab 的 长呢是十， b、 d 的 长度呢是三 x， 然后等于 b， e 的 长度呢是二 x， 然后比上一个 十，也就是六 x 方等于一百 x 方等于三分之五十 x 等于 三分之 x， 等于三分之五倍的根号六好。极 b， d 等于五倍根号六好。这题结束。好，我们简单总结一下，这题呢，核心难度不是特别大，但是很多同学看到这样的一组图形之后，他第一反应呢是找到一组八字相似，或者说两组八字相似， 你通过八字相似呢，你发现这个题你转化不了，最后呢，解决不了，所以你要考虑的是找到另外一组相似关系， 这里边关键因素呢是在于 ab 和 bc 相等，并且呢等于十，对吧，然后呢，这样一组边相等，那么边相等呢，就一定会有什么圆周角相等，所以呢，角 d 和角 b、 a、 c 这两个角相等是解决这问题的核心突破点。好吧，大家仔细琢磨琢磨。

hello， 大家好，今天我们继续来讲二函数图像与二残。 hello， 嗯， hello， 大家好，今天继续来讲二函数图像与性质的选择题。然后今天讲的我们是讲它的负体，我们来看一下二零一九年的这个负体，在平面直角坐标系中，将抛物线 给了这个向右平移四个单位，四个单位长度以后，抛物线与外轴的交点为 a， 那 这个你看又问的是走平移后的抛物线的对称轴，对称轴 问的是对称轴，对吧？那你对称轴要知道，那我们是不是得知道平移后的抛物线的表达式，如果把这个知道的话，那我们对称轴就很容易做出来了。那首先他给了原来的表达式向右平移四个，这个是上节课讲过的啊，专门强调过的一个， 我们来看一下。有第一种办法，我们就根据这个一般式子来平移，大家还记得是怎么移的吧？左加右又是减的，然后它是随，是不是紧跟着 x， 紧跟着 x 走动？那我们来看一下它是向右平移四个，那它平移后的表达式应该是 x 减四的平方减去 a 减二不动，对吧？然后这是不是 x 现在变成了 x 减四，那下一个后面要不要变化？ 是不是不用再继续变化了？那就是再加一个，然后 a 平方减一，然后我们就把这个式子去给它整理一下，当然是有一点复杂的，大家下去自己去画一下，好吧。然后弄出来就是 a 平方减去一个 a 加 a 加六的 x 加上 a 平方加四， a 再加七，我们来看这个式子化简到这儿，然后题干上是不是又给了一个，这个就是平移后抛物线与 y 轴的交点为 a 零三， 那零三这个你想一下，我们是不是一直讲过就是抛物线它最后的这一个，对于一般的是指 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 这里的 c， 它就是与 y 轴交点的动作标 动坐标，那所以相当于这里就是我们这里的 c， 那 这里 c 又等于几？是不等于三，那也就意味着有 a 平方加四， a 加七等于三， 然后再去给它化简，最后化简完应该是 a 加二的平方，它是等于零，所以我们就得出了 a 等于负二， a 求出来，那是不是得待到我们刚刚化简出来这个式子里面， 把这个抛物就是移动平移后的这个抛物线的表达式可以写出来，也就 x 平方减去，我们来看把负二带到这里面去，应该是负二加六，那就变成了四 x， 然后再加一个三，那最后这个时候的它的对称轴是不是很容易做出来，就是负的二， a 分 之 b， 然后带进去，你看一下就是二，然后这是负四， 然后这就算出来是二，那所以这个对称轴就弄出来，那如果你觉得这个 对你来说比较不太熟悉，那我们就把这个抛物线给他弄成顶点式的，那给他画成顶点式的，他就变成了 x 减去二分之 a 减二的平方平方，然后加一个 a 平方减一，再减去 一个二分之 a 减二，你看大家对这个熟悉不？会不会配方，我们来看一下，给的是这个你二倍之积在中央，你这是不是相当于 那个完全平方式的 a， 然后呢？这一块是不是就是二倍的后面 b， 那 所以你这配的肯定是二分之 a 减二，那你既然给他展开以后，你会发现多了一个啊， 二分之 a 减二的平方，所以你后面再给减了。这个的话我们这个不多强调，大家下去得自己去练习，去动手计算。弄完以后我们来看，它是向右平移四个单位，向右 移四个单位，那它就变成了 y 等于 x 减去 a 减二， 这是减二。左加右减减去四，然后后面是不动，也就是 a 平方减去二分之 a 减二的平方 就是这个样子。然后你是不是我们现在把这个零三给它带入，就是带到这个式子里面，然后 那就变成了三，等于你这个变成了 x 等于零，那就是 a 减二减四的平方啊？ a 平方减一，再减去二分之 a 减二。其实不管是前面这个还是后面这个，它的计算的步骤都是挺多的， 你看 a 平方加上四 a， 然后加四等于零，所以我们最后得出来它 a 还是等于五二， 那依旧，那当然这个 a 等于负二，我是不是可以直接带到这里面去？我要的是它的对称轴，那对称轴来看一下是不是和这有关系， 那大家仔细看清楚，也就是 a 等于负二，是带入哪个里面的？是带入二分之 a 减二加四这里面，然后算出来它是等于二， 那这个具体是为什么？大家得给小心一点。比如说到这到这，我们一般式子里面是 y 等于 a 倍的 x 减去 h 的 平方加 k， 对 吧？这是减，我们会发现这也是个减，但关键后面怎么样，你这个 h 应该是一个整项，对于它也是一个整项，那所以我们应该写的时候，比如我们再来个大括号，那就是 x 减去 二分之 a 减二是不是加四，然后把这个括号去掉，后面我就不写了，才会变成这个样子。所以用这种方法的时候，大家得仔细仔细，再仔细就会变号 啊。然后这就是这个二零一九年的，接下来我们来看一下二零年的这个题。在同一平面直角坐标系中做抛物线给了这个，又给了另一个。关于 x 轴对称，那你问 m n 的 值具体为多少？那大家回想一下，就是两个对， 两个抛物线，关于 x 轴对称，那它 abc 是 如何变化的？对于一般的表达式，但是比如这个， 那那就不要，也不用去死记那些变化会这一个图你自己就清楚。比如这是原来的，那是零 c， 那 你对称完以后是不是零负 c， 那 所以我们首先变动的就是 c 是 不是变成负 c？ a 有 没有变化？ a 明显的变了，从 a 变到负 a， 那 b 呢？我们来看一下谁不变？ 是不是它两的对称轴不变？负二 a 分 之 b 不 变，那我现在判定了 a 必须变，那我是整体不变，那是不是 b 也得变？ 好，那就我们遵循这个原则来把这个题来看一下。那第一个式子就是 m x 的 平方加上二 x 减去 n， 第二个是 y 等于负六 x 的 平方减去二 x 减去二 x， 加上 m 减 n。 好， 我们来看一下，那依据我们刚刚得到的，谁变谁变这种情况，那是不是 a 必须变，那相当于是负 m 的 某它某一个原来的一个相反数是不是与另一个相等？那就负 m 等于负六，你看这个二和负二是不是互为相反数，哎，和这个变了对不对？ 那只剩下最后一个了，那是不是现在的负 n 就 变成了负 n 的 什么相反数？它等于 m 减 n， 然后去解这个二元 a 四即可，然后这个解出来呢？呃， m 等于 六，然后 n 是 等于三的，那这是不是也就出来了？这个相对来说，嗯，没有前面那一道复杂，计算量要比那个小很多。接下来我们看二一年的，二一年，这个也是给了一定的图像问题， 然后然后说是是什么？呃，喷水巨龙从 c 从 c 口处水流成抛物线，然后该抛物线高度 y 与水平 x 之间的啊关系如图所示。然后地点 d d 为改水流的最高点，它既然说的是呈抛物线，那最高点它是不是就在对称轴上？大家要把这个给理解清楚，一定是在对称轴上，那么 d a 垂直 ob 垂垂足为 a， 已知 o c o b 都为八 啊， oc 这是八， ob 它也为八。那我们来看一下它问的具体是什么？也就是该水流距水平面最大高度，该水流水平面的最大高度，其实也就是问 c 是 不是到这的最大的距离啊？ c 点距离 o a 也就 c 点的坐标，嗯，这个该怎么办呢？是不是我如果把这个表达式给弄出来，那我的对称轴再算出来呢？我最高点是不是解出来？那现在相当于是放到这个直角坐标系里面， b 点知道它是八，零 c 点我也知道是零八。好，知道这两个点，还知道一个什么？ 你看 o a， 哎，这还有一个条件， o a 它等于二， o a 等于二，也就意味着 x 等于负的二， a 分 之 b， 也就是我那个对称轴。哎，这道题里面不一定要用负二 a 分 之 b 来表示了，就直接写它的对称轴，对吧？它对称轴 x 是 等于二，对称轴等于二。对称轴。我们在哪里面能够直接体现对称轴？是不是在顶点式的时候就是 a 倍的 x 减 h 的 平方加 k， 你 看这里的 h 是 不是就是我那个对称轴？那所以这道题里面我们设的时候就直接设为 x 减去二的平方加 k， 你 看现在未知数是不是有 a 以及 k， 我 们有几个点，是不是 b 和 c 这两个点？那 完全够了，够用了，对吧？那就是第一个就是我们先代 b 就 零等于 a 去乘个八减二的平方加 k， 那 还有零，八就是八等于 a 倍的零减二的平方加 k， 然后去解这个即可， 然后这个结出来， a 等于负的四分之一，然后 k 等于九，那所以这个完整的表达式我们就出来了，零点式的它就它就是等于 负的 a 分 四分之一， 负的四分之一 a， 然后就是 x 减去二的平方加 九，对吧？那所以最高点是多少？你从这直接看出来了，那就是九。哎，这就是二一年的。好，我们继续来看二二年的呗， 二二年的给了这个表达式给了你，然后只经过，只经过一二三项选择满足什么条件 只经过一二三，只经过一二三。我们先来判断一下这个式子能有哪些东西？不能，是不是？首先 a 大 于零，那就是开口是向上的，对吧？ 那对称轴是不是也可以计算它等于负的二 a 分 之 b， 我 们在这算一下，这就是二，然后这是负，呃，不对，这就是二倍的根号五，那所以这个算出来应该是负的根号五，那它的对称轴是 y 轴的左侧，我们画一个简易的图像， 首先 a 大 于零，而且对称轴是负的，嗯， 假设这个就是那个负根号五，他要经过一二三，一二三，一二三，那大致是这样， 这是不就是一二三这种情况，那我们来想一下，那他经过一二三。如果我是这个样子，我给大家绘制其他颜色笔，如果是这样的，可以吗？ 不可以，因为他没有经过第三象限，所以不可以。那你想一下，如果是这个样子呢？ 哎，不可以。因为它没经过第二象限，所以这两种情况。那你，那你说最大最主要的那个临界点在哪呢？是不是就是在这呀？ 是吧？这是不是也经过一二三象限？那所以这几个来看，是不是我把这就擦掉了？是不是这两个就不符合？那我们就留一个临界点， 你说这种情况，对吧？临界情况是这样，那再往前，再往前，比如说再画一个刚刚是不是这样的？不行？那所以必须他什么情况下？ 是不是他的最小值？应该是小于零的最小值？ 你就我们这个看，如果把这对上轴，对上轴上，它就最小值吗？我们把这个最小值给算一下，带进去，那就当 x 等于负的根号五时，我带进去算一下，它 y 是 等于三 m 减六，那如果要满足体干上条件，是不是必，必须它这个顶点在第三象限，那它的值，它的纵坐标的值一定是小于 小于零，我哪怕是这个样子，他也不成，我刚相切他也不成，他也没有过第三张线，所以这个结出来他就是 m 小 于二，对吧？那还有我们刚刚说零界的还有一个是谁？这个 是不是这样？我把刚刚画的那两个都给大家画着，你就有明显的实感，是不是画了一个这个，还有一个是这个样子，那是不是位于这种情况呢？其他的这种情况我都可以，那你看一下这些有什么特点呢？ 是不是它的 y 零的这个值，它是怎么样子的？一定是 一定是大于等于零的，你一旦小于了，他都跑到第四项去了， 是不是？那所以那第一个条件就是这样子，那第二个条件条件就是这样了，那外零的话，外零带进去，那就是三 m 减一必须大于等于零，然后这个结出来就是 m 大 于 等于三分之一，那所以最终的一个取值范围就是 m 大 于等于三分之一，然后小于二。 因为你必须得满足这两个条件，第一个以及第二个，这个绘制图像很容易就呃，你接下来来看一下二三年的 下表中列出的是一个二函数的自变量 x 与函数 y 的 极对数值，然后 给了你 a、 b、 c、 d， 让你去判断正确的是哪一个。那这种题其实在真题里面我们也讲过，那第一个办法就是实实在在的去计算，给了这些点，那我们直接去挑三个点，那当然去挑的时候大家尽量去挑数字比较小的即可。那第一个是不就是负五，它就等于等于 c， 负五等于 c， 第二个就是负八等于，我们是不是得把这个设出来，等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 摆的这是会更容易一些。这个呃，下来一个就是负八，它等于九， a 加三， b 加 c 啊，还有一个是零等于二十五， a 再加 b 加 c 啊，去实实在在把这个计算出来，那计算出来以后呢？这个就是 a 等于一， b 等于负四， c 等于 五，然后写出来的话，先写到这啊， y 等于 x 的 平方减去四， x 减五，那这个是不可以很容易写去它的交点式的样子，就是 x 减五乘 x 加一，那这个是不是很容易就 配成完全平方的形式？那是不是可以写出它的顶点式，就是 x 减二的平方减九。如果你把这三个式子写出来，那 其实呢就更容易了。你看顶点，我们是不是可以根据这个顶点式把顶点写出来，那就是二 负九，二负九在第几项线？在第四项线，所以他这个错了。最小值是多少？明显从这看出来他是负九，所以这个也是错的。那图像与 s 轴的一个焦点是负一零，对不对？你看这嘛，我们从这解出来，一个是五，一个是负一， 那它的焦点就是五零以及负一零，那所以这个就对了。那开口怎么样？向 上，对吧？因为我们得出来 a 是 等于一，它是大于零。 ok， 这个是你纯纯的一个计算，那如果我不计算，通过绘图看能不能得到， 把图像绘的就到这。 首先 s 等于五的时候，它是等于零，这儿有个点，然后三的时候是负八。好，大概估算一下，三等于负八低一点，然后零的时候是负五 啊，然后还有一个负三是十六，那就是更上面，对吧？那我们就大致的去过这几个点去画一下， 就它是这样，我们把这个点搬到这来，还在这吧，这是那个负三，那个八就长这样，那个从这个图像上就能知道 a 是 大于零， d 选项是直接排除掉的， 对吧？那它的顶点是 d 几象限？我们从图像上是不是也可以看出它是在 d 四象限？那所以只剩下 b 和 c， 我 们来判断一下 b， b 正确了，那 c 就 错误了，对吧？那我们来看一下 b， b 怎么去判断 b 最小值？我们知道当它为零的时候，就是当 s 为零的时候，这个呢？它算出来是负五，如果它最小值为负八，那也就意味着是不是对称轴是 x 等于多少？等于三， 对不对？它等于三，你看当 s 为五的时候，它为这个坐标是 g， 那 也就意味着是不是？当 比如它的对称性，我们可以知道，就是这样写的， x 等于五的时候， y 对 应的是零，它的对称轴是多少？这整个对称轴， 对称轴是 x 等于三，那 x 等于三，那它另一个点与五对称的另一个点是多少？关于 x 等于三对称一个点，是不是 x 等于 一，那对应的 y 应该也为零，但是我们从题上看能为零吗？它明显是怎么样小于零的，那所以 b 选项也有错误了，那只有答案 c 了，所以这个就是回头了。 好，这是二三二四二四是关于图像，其实图像我们也讲吧，对吧？无外乎就是顶点与外轴的交点，对称轴，就这三个东西来判断一下就好了，我们来看一下， 你看这是与 y 轴，算一下最容易的嘛？从最容易的开始，首先就我们拿式子来得到的话，是不是与 y 轴的角点就是 m 平方减一，那 m 平方减一， m 平方减一， 这个式子我们题干上知道什么 m 是 大于 m 大 于一，那那你说 m 平方减一，它肯定大于多少？大于零，那所以这个 d 它就是不对的，那现在对称呃，与 y 轴的交点判断完了，现在是不是该判断对称轴了？ 对称轴 x 等于负的二 a 分 之 b， 好 把带进去啊，这里又是二，然后这里是负二 m， 所以 最后这是不是能够算出来它就是 m， m 怎么样大于一，那所以对称轴一定是在外轴的 右侧，右侧那是不是这个判断完了，那下来你看它这两个是有什么关系？就是 b 和 c 怎么判断？是不是就是有无焦点？你看这有两个焦点，它没有焦点，那我们接下来就是要判断的是德塔， 对吧？那德塔等于 b 平方减去四 a c， 那 就是负二 m 的 平方减去四倍的 m 平方减一，然后把它去化简一下， 然后算出来这个是你看四 m 的 平方减去四 m 的 平方，再加四它，最终你看一减一减，它就等于四了，那是大于零，所以有根，对吧？而且是有两个根，有两个根也就意味着有 两个交点，那所以就是答案 c。 还有一个判断的方式就是 你看我们既然可以不用到的差，我们可以通过这对称轴来算，你对称轴是不是这出来了，就是 x 等于 m， 我 把这个是，我把这个东西直接给他带到这里面去 看，直接带到这里面去，那就变成了多少啊？应该是 m 的 平方减去二 m 的 平方，然后再加上 m 平方减一，你这最后算出来它是等于多少？不一， 那是肯定是小于零，那我们这个是通过什么来判断是不是顶点来判断？那顶点 顶点一看， m 大 于一，然后，呃，最后它的 y 值是小于不一，那肯定是在第四象限，那这个肯定不对，那这个就是通过有无焦点来判断，对吧？ 与 x 中有无焦点判断？好，这是二四年，那么最后这一道呢？就是二五年的了，这样吧， 这是二五年的一道伏贴，已知二次函数给了你这个，然后当 x 大 于零的时候， y 随 x 增大而减小，你看一遇到这种情况与谁有关？大家要想到它是与对称轴有关的， 那我们下面结论正确的，给的东西比较少，但我们知道当 x 大 于零的时候，它 y 随 x 增大而减小，我们是不是可以把这个图像稍微画一部分也就可以啊？ x 大 于零， x 这是 x 轴，是 y， 这是圆点大于零， y 随 x 增大而 x 增大而减小，能否这样？ 可以吧？而且我们从这知道它与 y 轴的交点应该是零负三，我们这还画的不是很标准。 零负三，那过零负三呢？大概这样吧， 对吧？我也不知道它正面是什么情况，但是我知道这样，那你既然知道是这个样子，那怎么办？是不？首先 a 我 们可以判断出来它是小于零， 那你对称轴能不能判断？能吗？那既然 x 大 于大于零的时候，它是一一个就是增减性的，就是 s 增大， y 也 x 增大， y 再减小，那所以它的对称轴一定是在外轴的左侧，那就是负二， a 分 之 b 应该是小于等于零 a 我 们知道是小于零的，那所以这个 b 就 能看得出来 b 是 大于等于零。那你说 a 乘 b 是 不是应该小于等于零？它缺了一个等于号，所以这个 a 就 不对， 那现在看哪一个了？该图像的顶点位于第四象限，从图像上来看它就不可能，所以这 b 直接排除掉。那关于 c 选项，它问的是这个方程有没有十根，那我们来看一下 a 平方， a x 平方加 b x 加一，它等于零，有没有根是和谁有关系的？它， 对吧？那德塔这里面就是 b 平方减去四 a， c 就是 等于 b 平方减去四 a， 我 们从这判断出来了 a 是 小于零， a 小 于零，来写到这 a 小 于零，那则负四， a 应该是大于零， 对吧？然后是不是 b 平方，又是大于等于零，那整体的这个 b 平方减四 a 应该是大于零，故是有十根的， 故有十根，那就 c 也不对，那就正确答案就是 d。 但是我们把这个选项 d 看一下，该函数的最大值不小于负三不小于负三，那这个我们用什么来判断呀？ 什么来判断？标就用顶点嘛，顶点最小值，那就是四， a 分 之四 a， c 减去 b 平方，然后把这个带入这个 c 等于负三，然后带进去，它就变成了四 a 分 之负十二的 a， 然后减去 b 平方，那它就等于你看稍微给它处理一下，它就变成了负三，减去一个四 a 分 之 b 平方。我们知道 a 小 于零， 然后四 a 那 必然小于零，然后又得到了 b 平方大于等于零，那所以四 a 分 之 b 平方负的 c， a 分 之 b 平方一定是大于等于零，那也就是负三，然后加一个 这样大于等于零的数，那它一定是大于等于负三， 那所以答案 d 它就是正确的。好，这就是这几年的这个复体啊，这是二残数选择。那我们下一个视频就是讲它的应用题，就是那个到稍微有点难度，但也不是特别特别难的那个题。好，那我们就拜拜。

二三中考小鸭咒，送分获送命。哈喽啊，给大家分享一下二零二三年陕西中考的小鸭猪。看一下 题目告诉我们说这是个长方形， a， b 是 三， b， c 是 四，然后呢，取了两个动点，现在有个 b m 是 等于 b n 的， 导，为了方便描述，不如假设这两个都是 x， 好 吧，那当然，这样的话，这个 c n 就是 四减 x 呗。 p 是 c e 上的一个动点，若 p m 加 p e 等于四，哎，一个折线怎么才能把它加到一起？ 大家题目还有一个条件说 e d 等于三，这是三，这也是三，说明什么？在带一个直角的情况下，那这岂不是一个等腰直角角形？等腰直角角形，说明这个角是四十五度， 那总共是九十度，你上面四十五度，下面肯定也是四十五度。 ok， 现在所有的条件都是好用的，唯独这一个 p m 加 p n 等于四，这个条件怎么用？ 你说两个线段如何才能加到一起？这个好像跟将军码有点像，无非呢，就是将军码呢，它是给定条件让我们求最值，它现在呢，是给了最后的这个值数。 差不多喽。你想把这两个线段加在一起的话，就得画折为值，而画折为值，在同侧的情况下， 我们可以用对称对称一下。哎，我们不妨把图中的这个 n 呢给它对称过来，关于 p d， s 加上直线，也就是关于 c， e， 给它对称过来，则它大概在这个位置记 n 撇， 我们连接 p n 撇走。这个时候我们可以说 p m 加 p n 就 变成了 p m 加 p n 撇等于四，哎，你想 这个线段加这个线段等于四，而我主题干当中也有一个四，我的 bc 这个总长才是四，说明什么？你如果它们三个现在是歪歪扭扭的不共线的话，它这两个线段加在一起一定比这个四要长，对吧？那为啥它刚好等于四呢？ 说明它是等于 bc 的， 也就是说它其实应该是三点零线，怕你想象不到，我给你把图画一下， 也就是说它其实应该是在这儿的，这是 n 撇，这是 p 点，这是 m 点。哎，只有这样，它们加在一起才会等于四，才有可能等于这条边长。 那如果它们共线的话，那岂不是说下半部分它也是个长方形，那就可以列式子了呗。我们假设的这个长度为 x， 这个就是 x， 因为它是相等了，这是四减 x， 那 这是四减 x， 它对称过去的话，这个长度也是四减，这个长度也是四 x， 知道为啥吗？ 知道为啥你 n 撇对称过去就一定在这。因为我们刚说了，它是四十五度，它是角平分线，角平分线本身就是个轴对称，所以你 n 对 称过去的话呢，一定会落在 c d 朝边上，那这是四减 x 的 话，这个就是四减 x， 那我们只需要列一个对边相等的式子， ok 吧？也就说我们只需要列一个 m b 等于 n 撇 c， 说明 m p n 撇它是共线，而且不光是简单，并且它也是垂直的 m n 撇，它是等于咱们的 b c 的。 哎，所以我们说 mb， 也就是 x， 它是要等于这边的 n 撇 c 的， 而 n 撇 c 是 咱们的四减 x， 那 如此可以解得， x 等于二， x 等于二，它的值是测 p c 的 长。 x 等于二，那就是说这个长度是二，这个长度是二，这个长度是二，这个长度也是二。那你 p 点在这， c 点在这，你说 p c 是 多少？ p c 是 不是还是一个等腰这样三次，它还是一个一比一比根号二的这样条件，所以我们可以说 p c 的 长就是二倍根号二，它其实是相距一码的一个变式， 对吧？你相距一码无非也是把它对折过去，然后两点一连嘛。只不过他提前把最小值给咱改好了，那他就想要最小就必须得贡献，好吧？看咱这样的三分好答不？