苏锡常二模数学立体几何

这道题目是刚考完的苏北七市联考的第八题，是一道立体几何的题目，那么这道题呢，其实出的还是比较有创新度的，大家来看一下， 它告诉我们二面角阿发 a b b， 它的一个大小为四十五度，那么这里为了让大家看得清楚一点的话，我们可以借助一个正方体去把这个夹角四十五度把它画出来。呃，然后呢，它告诉我们 o 点是在它的一个交线 a b 上的，我们也把 o 点点出来。 好再来他说 p 点是在阿法平面内的，告诉我们 p o a 是 等于三十度啊，也就是这个角度是等于三十度，实际上到了这边我们 p o 它的一个方向其实就已经确定了。那么这时候我们怎么去求 p o q 的 一个最小值呢？我们可以先去分析一下， 我们把底下的这个北塔平面给它画出来，那么 p 是 在这， o 是 在这， q 点是在这个北塔平面内的一个动点， 那么我们猜也可以去猜一猜看他取到最值应该是一个比较特殊的情况，我们过 p 点往他做一个垂直，即为 p 一 撇连接这个 o p 一 撇，那么这个线面角我感觉就应该是他取到最小值的时候， 那么是不是呢？我们可以证明一下，比如说我 q 点在这个位置，我连接 o q， 那 么这时候我们就要去看这个角的一个大小， 那么这时候我们可以在 o q 这条线上面截取一段，我们这里即为 q 一 撇，使得这个 o q 一 撇等于这个 o p 一 撇，那么我们把这个 p q 一 撇连接起来，你会发现对于三角形 o p p 一 撇，还有三角形 o p q 一 撇，它们是 o p 等于 o p， o p 一 撇等于 o q 一 撇，也就是说只有角所对的那条边是有差异的。而我们可以很明显的发现，那么在这个三角形里面，他所对的这个 p q 一 撇显然是大于 pp 一 撇的，因为 pp 一 撇是垂线段的， 所以我们就可以知道他这个角啊明显是变大了。所以最小的时候，确实就是应该是 p 点往下做垂直， 然后连接这个 o p 一 撇，就 q 点在这里的时候，此时这个角是最小的。那么我们怎么去求他呢？ 我们肯定要利用题目的条件啊，题目条件告诉我们， p o a 是 等于三十度的，所以在这里我们可以过 p 点 往 a 点，往这 ab 做垂线，我们记它为 h， 连接一下这个 q h。 好， 所以我们可以得到三角形 p b h 这个三角形，它实际上是一个三十度的一个直角三角形 p b h， 并且三角形 p q h， 它实际上是一个等腰直角三角形。因为面面角是等于四十五度，所以在这里我们不妨假设， 假设 p q 长度等于一，所以我们就可以得到 h q 的 长度等于一，所以就可以得到 p h 等于根号二， p h 等于根号二，我们就可以推到 b p 就 等于二，根号二。所以最后我们算这个角度，我们记它为 c t， 我 们可以得到 sine c t 就 等于 p q 比上一个 p o， 所以就等于一，比上一个二，根号二。所以这道题的答案就出来了，选 dog。

屏幕前的各位同学，你们好，今天咱们把自治区二模数学第十六题两问完整，一步不落的讲透。高考理题结合大题，就靠这两个套路，线面平行证明和体积比计算，学会这道同类题，直接拿下。先看一下第一问，证明亦是 a， b 的 中点， 那么题目给了 b m 平行平面 n， d， e 四边形 a， b， c， d， a， d， m， n 是 矩形 dm 垂直平面 a， b， c， d。 那 么看到线面平行，直接用线直线平行于平面，就平行于平面内的交线， 我们在这先连接 am， am 和 d n 相交于点 f， 把 e， f 给它连接起来，那么四边形 a， d， m， n 是 矩形，矩形的这个对角线是互相平分，所以 f 是 am 的 中点， bm 平行于平面 n， d， e， b， m。 在 平面 abm 里，两个平面的交线是 ef， 所以 bm 平行 ef， 那 么在三角形 abm 当中， ef 是 中微线，那么 f 是 a m 的 终点， e 是 ab 的 终点。那么第一道题是证明出来了， 那么在这第一道题当中，它的核心思路是利用线面平行的性质定力，将线面平行转化为线线平行的关系，结合矩形的形值推到了终点。 好，我们看一下第二个，求线面角与体积之比。那么这道题的核心思路是先利用线面角的定义找对应角，再通过几何关系求求解它的边长。好，因为在这呢， dm 它是垂直于底面 e， m 的 射影，那么就是 d e， 所以 这个 d， e， m 即为所求的线面角，那么这个 d， e， m 就是 四十五度 d， m 垂直于底面好，那么三角形 m d， e 它是一个等腰直角三角形，那么 d， m 和 d e 它是相等的， 那么我们的这个 a d 一， 它也是个等。这个直角三角形 a， d 一， 我们知道是三 d 一， 它是五，那么勾股定律可以算出 a 一 的长度，它是等于四。好，那么这一块，嗯，这是我们的第一步骤，好，我们再看一下第二步骤，那么这个， 嗯，好，那么在这呢，这个利用等高呃，等高的锥体体积比等于底面之比的技巧化解第二问题，那么这个 ab 的 长度当中， ab 是 六， a 一， 它是，呃，这个 a 一， 我们知道是四，那六减去四，也就是能得到 b 一 的长度是二。好，三角形，这个 d， a 一， 它的这个面积很好，求 a t 在 上一道题当中写过是三，那 a， e， 我 能知道是四，那能知道这个底面积二分之一乘三乘这个四啊，好，然后呢，我们的这个高是 dm 好， dm， 所以 我们可以表示出，这个，呃， m a， d， e 的， 它的体积三分之一，呃，乘这个 d 面积乘高 dm， dm 是 五，把这些数值带进来，能得到 m， a， d 的 体积是等于十。 好，那么通过这个等量关系呢？体积 e a， d， m， n 和这个等于三倍的 e， a， d， m 的 体积等于二倍的 m， a， d， e 的 体积，所以它是等于十乘二，等于二十， 好，那么 e， b， c， m 的 体积等于 m， b， c， e 的 体积也就是等于五，所以这两个体积之比是等于四比一。 好，那么在这同学们要记住一个秒杀技巧，同搞的这个锥体体积比等于面积之比好，那么这道题呢？第一份考，呃，考察的是一个线面平行 啊，线面平行。第二问考察的是线面角加体积技巧，全是高考高平的考点，听懂的同学呢？评论区打学会了关注我下期呃，继续讲新疆高考整体。

好，我们来看一下这个二模的这个卷子。先看下第一问，让你证明平面与平面垂直。首先我们来看第一个条件，人家说了 pa 垂直于底面 abcd， 所以 pa 肯定垂直于底面所有的直线， 那 pa 垂直于谁呢？我们看出来 pa 肯定垂直于 bc， 这是我们得到第一个条件。那第二个条件，题目又说了， b p 也垂直于 p c， 所以 第二个条件肯定是 b p 垂直于 b c。 那 这就是咱讲的五步推一步垂直垂直相交补一个下结论。所以接下来写什么呢？写 pa 交 b p 等于点 p 垂直垂直相交补一个补什么？补 pa 逗号， b p 属于哪个平面？属于平面 p a b， 所以 就可以下结论，所以会得到 b c 垂直于平面 p a b 又因为 b c 属于平面 p b c， 所以 相结合平面 p b c 垂直于平面 p a b。 证明完毕。第一问大概有五六分，所以说说一下第一问的核心要点。首先你要正线面垂直，然后才能去正面面垂直， 垂直垂直相交补一个下结论，五步推一步五推，一， 缺一不可。然后又因为线面垂直， bc 又属于均匀 pbc， 所以 会得到面面垂直。这是第一本还是比较简单的啊。这道题十五分。那我们来看第二本。 第二问，这里边儿它是什么呢？ n 在 p c 上， n 在 p c 上，说明一个什么问题呢？三点共线，三点共线，你可以去表示一下 n 在 p c 上，你可以写 c n 等于那么大倍的啊。 c p， 这是你可以来表示出来的。表示出来之后，接下来是干嘛？写点的坐标间隙，那这个题间隙就比较好间隙了，以 a， b 是 x 轴， a， d 为 y 轴， p， a 为 z 轴。间隙间完隙之后的核心问题是什么呢？核心问题就是找点的坐标，那我们需要看一下点的坐标给一些长度，很明显，我们给什么长度呢？比如说我们让 b p 等于根号二， 也就是说让 b p 等于根号二，证明 ab 等于一， pa 也等于一，长度都是一， a 的 长度就是二。那接下来我们需要算一下点的坐标。这里边首先来看一下 a 点坐标， a 点坐标零到零是比较好找的。其次寻找一下 b 点坐标， b 点坐标是一零零， 然后再来看 n 点坐标， n 不 太好找，我们待会再去求 n 点坐标。好，我们先求 bnc， bnc 点坐标， 很明显 c 点坐标应该是 bc， 题目也应该给了 bc 也是一，所以说 c 点坐标应该是幺幺零， c 点坐标是幺幺零，那接下来只有 n 点不知道，那我们去寻找一下 p 点坐标， p 点坐标是零零一。那结合这个式子，咱们去把 n 点坐标给它表示出来。设 n 点坐标 a， b， c， 那 如果是 a， b， c 的 话，我们来看一下 c n c， n 的 话，就是 a 减一 逗号， b 减一逗号，哎， c 等于朗塔倍的 c p， 那看一下这个阿拉伯的 c p 应该是多少 p 减 c 负一负一零，所以说我们就会得到一个什么式子呢？会得到一个 a 减一等于负阿拉伯， b 减一等于负阿拉伯，哎， c p 负一负一一啊，这个地方写错了，我们改一下， 应该是一，然后是 c 就 等于 lama， 进而我们能求出来什么呢？小 c 等于一减 lama， 小 b 等于一减 lamata， 小 c 等于 lamata， 进而 n 点坐标就给它求出来了，也就是说咱的 n 点坐标就表示成了一减 lamata 逗号，一减 lamata， 逗号 lamata。 那接下来所有的问题是什么问题呢？你要求什么呀？你要求平面 a b n 的 法向量，求平面 b n c 的 法向量。两个法向量夹角的余弦是五分之二，也就是说，假如说第一个法向量是 n 一， 另外一个法向量是 n 二， 就是说 cosine sine sine 就 等于 n 一 乘 n 二绝对值比上 n 一 的周长， n 二的周长，哎，算出来一个值等于多少？五分之根号十。 哎，这样的话，咱们就能确定 n 点的位置，经过计算，这个 lm 等于三分之二，这个题就写完了。 好，最近这种题还是经常考的，我的方法就是需要把 n 点坐标用已知的拉布塔表示出来。表示出来之后呢，我们去把拉布塔解出来，这个题就结束了。

hello， 同学们，大家好，我是老黄，跟着老黄走，高考幺四九，呃，今天呢，我们来分享一套这个比较新的题目啊，就前天呢，我们昆明市进行了二模考呃，我也是第一时间赶紧把这个卷子给大家整理梳理出来。 呃，整个这套卷子呢，我觉得出的还是有一定的水平的，当考完呢，我在我的视频号包括小红书抖音下面去看了一下呢， 很多高三的同学都在骂啊，没必要啊，在老黄的这个底炼里呢，包括跟着老黄一起走的同学们呢，依然感觉是小菜一碟啊， 希望同学们呢，慢慢的会找到这种感觉啊，我们一起来分析一下这一套题目的。首先呢，我们先来讲一下第十八的一个题，这个题呢，考的是一个立体几何的问题， 但现目前呢，总体的这个考试背景下呢，大家会发现例题几何考的越来越难了。呃，它的难度呢？比如说像我们之前在课上给大家有讲过的一道题啊，像武汉的这一个模拟题， 聪明的同学们呢，可以思考一下，你看看这个问题好不好解析。 呃，在我们的课上呢，有同学说几何法是可以纯粹的搞不定的，这个没有问题啊，毋庸置疑啊， 我们来看看，像类似于这样的问题呢，有时候他，呃，除了几何法以外，你就发现不太好见气。那么对于不太好见气的问题呢，黄老师这里呢，给大家分享一个方法，就是我们在课上讲的叫做肌底法， 具体的过程呢，我在这里呃，写了一下啊，那同学们呢，可以翻到这里的话截屏。我们这里今天主要是来分析那个四二五的题，我们就不在这里来赘述这样一个题了， 需要的同学呢，你可以截个屏慢慢来研究一下。如果当你发现哪个地方有点研究不透的时候呢，欢迎在后台私信黄老师啊，我们一起来交流交流。 当我说刚才那个题几何法是可以轻松地去搞定的，就说我们给大家呢提供一个就是保命法则啊，当你发现你用剑气搞不定，又没有几何法的思路呢，你可以不妨想想，我刚才分享的那个方法就是我们的基底法。 好，那我们还是回到这一个前天考试的十二某个十八题啊。我们首先来一起从第一问，我们来分析分析题意啊， 它告诉我们呢，这里有个直角三角形 abc， 它的斜边等于四角， b 等于的是三十度的点，为它的中点。那此时的话将 a c 的。 当然呢， 呃，机制的同学们已经发现了，这个 a c 的 应该是个等边三角形，对吧？首先你角 a 是 个六十度， 呃，在我们的直角三角形中呢，斜边的中线应该等于斜边的一半，所以 c 的 跟 a 的 也是相等的，都应该等于二，对吧？好，那所以此时的话，有六十度内角的等腰三角形必然是等边，这是我们初中学过的。 那将 a c 的 a 点呢，折到 p n 点，构成了一个三角形，偏 c 兜， 假设二面角 p n c d， a 的 大小是 c 塔 n， 当然这一个 c 塔 n 呢？其实大家发现了， 在我们折的左边，既然是个等边三角形，是一个高度对称的玩意儿，那它折过来的话，你会发现 此时的 p n 它在底面上的摄影点，大家发现是不是很好找啊？我来找一下 c 的 中点 o， 然后呢，并且我连接一下这里的 a o， 让同学们想想，你们觉得 p 点的摄影是不是应该就在这条线上啊？ 当然你再连一下这里的 p o 啊，因为我们第一问的这里需要这个线，那此时也就意味着你的 p n o 在 底面的摄影所在的直线是不就应该是 a o 啊？这个应该很简单， 根据对称性就可以了。好，那此时呢，他说满足这个角度 c 塔 n， 当然你这么一来，两个三线合一，所以此时的 c 塔 n 就 应该是 a o p n， 那 也就意味着这个条件翻译过来就是这个角就是 c 塔 n 咯。 好，同学们呢，发现呢，此时我们所有的条件应该都翻译完了，在我们的数学题里面呢，我们一再强调，最重要的就是要把我们的数学的语言 翻译成你看的我们的话啊，那其实就是该塑形结合的，塑形结合该用代数的式子列出来的，你用代数的式子给它列出来就 ok 了啊。 好，接着我们来看需要解决的问题，第一问呢，要证明 c 的 去垂直 a p n， 那 这一问减送分，如果这三分送给你，你都不要。好， 那以后我们就不送了啊，以后全出难题了。很多同学，真是啊，给你一个简单的问题，一定要送的出去。 而且呢，同学们一定还有另外一个点，不要一门心思的去琢磨那些难题，考试中没有那么多的时间让你去一道一道去琢磨难题， 琢磨难题呢，我们反复强调，要在平时去琢磨，考试中呢，要把那些你能拿到的分拿到满，你说你有时候费劲巴拉的，你说你去吧。呃， 选择最后一道或者填空最后一道，你可以去花十分钟去给他搞定。那你想想，你在这一问， 这三分难道得的不开心吗？你非要去搞那搞那个五分六分吗？不一定啊，你要一定要对自己的目前的能力模型要有个把控，能把握的住的就把握的住，把握不住的就像那个手中的流沙，给他扬掉啊。 朋友们一定要去合理的规划自己的时间和这一个考试答题的经历啊。我们来看一下第一问啊， 要证明他啊，我们这里就简写的我这里写了的，我这个过程 不代表着你高考的答题过程啊，你要高考你给我抄成我写的这个过程的话，你就完了啊。你这一这一问，你就得不到分了，本来送给你的你也知道怎么写啊，结果分还是没送出来啊，这个有点难为人呐，有点 不近别人的人情。好，我们来看，那此时易得啊，它是怎么来的？ a o 是 垂直于 c 得的， p n o 也是垂直 c d 的， 所以我们就得到了 c d 是 垂直于面 a o p n 的， 所以说此时的 c d 就 垂直于 p a n。 ok， 第一问非常的清楚啊， 好的，我们再看一下第二个疑问，求一下直线 p 五 c 与平面所成的角的大小注意看清楚啊。给了一个 c 塔 n 的 关系的，就第几个点跟它的这个指数是指是有关系的， 所以呢，此时呢，我们就把 p 五带进去，所以此时 p 五所对的 c 塔五的话，你就可以 得到它的正切值，它间的 c 叉五应该是等于根号二乘以十减九次方，但就是根号二， 那也就意味着我们看到的这个 c 叉 n 呢，就是等于根号二。那当然我们此时的话 要去求解它，那我们就当你说你去解三角形，可以啊，其实呢，这里构造一个直角三角形是非常的简单，我就过 p n 来做一下底面的垂足， 比如叫 h 点，那此时呢，既然 c t n 它等于根号二， c t n c t n 就 等于 p n h， 除以一个 o h 就 等于根号二。当然你又发现这里的 p n o 是 等于根号三的，那很简单，对吧？所以 p n h 等于根号二， o h 等于一，一比根号二，根号三。现在让我们来求一下 p c p 五 c， 那 我们就是这里的 题目中的 p n， 给它换成一个 p 五就 ok 了啊，要求这条线跟底面所成的夹角，那底面的话，你发现我这个 p n 点到底面的射影就是这里的 h 点，所以此时呢， p n h 是 垂直于底面的啊， 那这里是 p 五 h 是 垂直于底面的， 所以，那你这里的角的话，那我很容易表示出它的正弦值喽。所以三引 r 法就等于但就是 p n c h 这个角的啊，也就等于 p 五 h。 再比上 p 五 c， 当这个 p 五 h 呢，应该是等根号二的，但你发现 p n c 不是 那么的好求，是吧？同学们，那我可以怎么办呢？看， 哦不，不好，求得很啊， p n c 就 等于三角形的那个 a c 就 等于二，所以此时阿尔法就应该等于四十五度喽。 好，所以我们也就求得了 p n c 跟这个面的夹角啊，就是四十五度啊，当然也可以在纠结这个三 e 等于二分之二，不是也可以等于四分之三拍吗？好好地记一记我们的角的范围啊， 边根面的线根面的夹角是零到九十度啊，不会超过九十度的， 只有向量跟向量，还有二面角他是零到一百八，那包括你的线与 面，还有面与面，千万不要把这个二面角搞混了，面与面取的也是那个小于等于九十度的角，这两个都是零到九十度范围内。好的，那我们这里的第二个呢，依然是拿的非常轻松的。 那对于同学们来讲呢，你无论在这个考试中时间多么的紧张，你这前两问的三，这一次的评分呢，应该是三分加六分，然后再加上最后一问的八分， 那对于前两问的这九分难道不轻松吗？我估计对于聪明的你们来讲的话，前两问坐下来五六分钟差不多了吧。同学们 比你去拿下一个单选多选的压轴题可能要轻松一些啊，但这是基于你后面的题没时间，你不合理分配的前提之下，如果你能把前面的也都拿到完美，那我觉得也要基于什么呢？你把那些能拿的分拿完以后， 快速的把那些能做的做完以后，再折回去想那些问题啊。我希望同学们呢，要合理的分配好了以后呢？你把你能拿的题拿下大概需要在多长时间呢？我认为最合理的就是一个小时十分钟到一个小时二十分钟之间， 然后剩下个四十分钟左右，再来攻克那些最难最难的问题啊，我已经把这个方法呢反复讲给同学们，以后呢，很多同学已经利用这个方法呢，使得自己每次的数学多得了十分到 呃，十五分之间，这个是很轻松的，很容易去扩大你这个分数的啊。好的，接着我们来看到第三的疑问， 当这个四面体偏 c 的 偏加一的体积最大的时候，求一下 n， 很多同学被这个位已经吓得腿都发软了，腿都发麻了，他已经不知道咋搞了，看着这个玩意，他说这么多的未知量，而且那个 c 弹其实挺虎人的。 那对于你要来求一个四面体的体积，无非就用底面积乘以高呗。但是你来看这个底面积呢，好像是个动态的，然后呢，此时的这个高好像也挺虎人的。那我们来看看这玩意到底应该怎么来求它啊？ 好，那我们先至少你得把 p n 加一所在的位置要找到吧。同学们， p n 加一的角呢，肯定比那个 p n 的 角要大那么一点点，因为它的正切值变得更大了，我就假设这里是 p n 加一，那我把这里的 p n 和 p n 加一给它连起来。 此时呢，我们要求的就是这个四面体的体积， 但对于他来讲呢，我们先考虑好不好见气，不好见气呢，我们再考虑其他的几何法或者是基底法。但这个问题呢，其实你发现特别好见气，对吧？ 那有有朋友说我的 p n 点不好表示啊，但你去看你的 p n 点，它的正切值有啊，而且这个正切值呢，通过你前两问的分析，你发现它应该就是跟底面的垂线 p n h 的 这一个，呃， 对角的那个角嘛？所以呢，此时的话，你发现无非就是这个 p n 点，你觉得可能不少不是那么好表示，但实际你知道角度的话，那我见个戏也还挺好表示的。所以此时呢，我们 以刚才已有垂直关系的就 c 的 点的中点， o 点来做一个间隙呗。我就以 o a 作为我们的 x 轴，以这里的 o c 所在的线呢，作为我们的 y 轴，当然呢，我们这里的话，要 来给它架空一个 z 怎么办？也就是在 o 点处来做一条跟 p n h， 我 们刚才做了 p n h 平行的线，这个就是 z 怎么办？好，那现在我们尝试着来把 各个点的坐标给它写一写 c 点的坐标，简单吧， c 点应该是 零逗，负一逗，当然我们习惯呢，还是把这一个从里到外的给它标成 xo， 方便一点，符合我们一般的这个习惯。 好，那此时的 c 点应该是一逗零逗零，因为它在 x 轴上啊，那当然我们的多点应该是负一逗，零逗零。好，那此时我们再来看一下。呃， a 点呢，其实已经不太需要了，对吧？我们需要的是 c d， p n， p n 加一 好， p n 点，当然 p n 点呢，你发现它应该是在投在了 y 轴上，所以此时它的 x 坐标应该是等于了零，那就零逗。当然它的重坐标的话，那我连接一下这里的 o p n， 注意， o p n 它是不变的，是那个等边三角形的高，应该是根号三，所以那此时的 p n h 就是 重坐标， o h 就是 它的外坐标。 呃，当你别忘了要呃，它此时取的就是正方向，那所以此时的 h 点的 呃重坐标 y 的 话，也就等于根号三倍的 cosine c， 它 n。 好， 当我们的竖坐标就是根号三倍的 cosine c， 它 n， 同理，那 p n 加一，是不就是把 n 换成 n 加一就可以了？根号三倍的 cosine c， 它 n 加一，根号三倍的 三引 c 叉 n 加一。好，那现在我们就搞定了这些点呃，接下来呢，那么就一件事情，我们只需要去把这个 面积给它呃体积给它表出来就可以了。那么你发现此时的 o 呃 c p n 的， 或者是 c p n 加一的来做体面就不方便了，因为这个面积压根就没变呀。 所以呢，此时的话，我们只需要去求一个什么东西呢？你要么就来求 o p n 到 c d p n 加一的高，或者去表示 o p n 加一到呃， c d p n 的 高是不就可以了？好，那我们来表示一下， 当你要表示高呢，我们就给它投影到它的反向上就可以了。比如说我们来把 o p n 加一给它投过去吧。 所以呢，此时我们需要去求出来 c d p n 的 这个反向量。我们假设 c d p n 的 反向 n 等于 x y z。 好， 那此时呢，我们去把 p n c p n c， 我 看 c p n 可能好减一点，对吧？ c p n， 那 c p n 的 话，也就是 负一根号三倍的扩散引 c 幺 n， 根号三倍的三引 c 幺 n， 同理的， c p n 加一。 c p n 加一。很简单，只需要把上面的四指的 n 换成 n 加一就 ok 了，也就是 负一根号三倍的负三引 c 幺 n 加一，根号三倍的三引 c 幺 n 加一。好，那现在我们要成为它的反向量，那当然就是我们的数量级应该等于零， 所以负的。 oh sorry sorry。 我 们的反向的话，应该是要去把 c p n 呢，就是勾 p n 应该是一逗，根号三倍的负三引 c 塔 n， 根号三倍的三引 c 塔 n， 好的，那此时呢，我们 c p n 去跟这个法项乘起来，应该等于零，所以是负 x 加根号三， y 乘以一个 cosine c， 它 n 再加根号三倍的 z 乘以 cosine c， 它 n 应该等于零。下边一个呢，应该是 x 加根号三 y 乘以 cosine c， 它 n 加上一个根号三 z 乘以 cosine c， 它 n 等于零。 观察这个式子呢，你会发现 x 特别好解出来，对吧？ x 应该等于零，好，那接下来我们这是个不定方程，对于我们的法向量的求解过程呢，我们就要令一个得一个，那此时你发现我可以很轻松的，你看我把 z 来令成一个负一，是不是就好了呀？ z 如果等于负一，那我们的 y 是 不是就应该等于 贪心特 c 叉 n， 好 的，那此时我们就得到了 n 就 应该等于零。逗，贪心特 c 叉 n 逗负一，好的，搞定了反向，那现在我们就把 o p n 加一，给它投到它的反向上去， 那这里的 o p n 加一呢，叫位置向量，就是它的这个终点 p n 加一的坐标就好，所以是零度。根号三倍的 cosine sine 加一，根号三倍的 cosine c 档加 e， 好 的，那此时呢，我们把这个项链给它对应的投到我们的反向上，那此时我们要算的玩意呢，也就是它所对应的这个高高就是它的投影， 比如说我们就用得来表示啊，别忘了待会儿加绝对值得的话，那我们就用它们两个的数量积加个绝对值，它们的数量积呢？横乘横等于零，然后根号三倍的 cosine theta n 加一，乘以一个 cosine theta n 再减去一个根号三倍的 cosine theta n 加一， 然后呢，我们再除以这两个的模。呃，我看求得的话，那我就只需要求法除以法向的模，如果是求角度就除两个的，所以我只需要除上一个 parameter c 叉 n 的 平方，再加上一个 e。 好， 我看了一下考场上的很多同学的那个草稿纸，给我发了一下啊，就对应的，呃，好多同学写到这里就有点写不下去了， 我们来看看到这里的话，应该怎么来解决啊？那当然，你剩下的就把它化成了与 n 有 关的一个函数。 那对于我们的不等式的问题呢？范围的问题呢？我们要么就基本不等式，要么就函数，但这个问题呢，你发现是一些二的多少次方的形式，那大概率应该是用函数的思想来解决喽。 我们要求的是这个体积最大，那其实呢，就只需要这个 d 最大是不是就可以了，因为底面积是不变的。 好，那对应的，我们里面的它键的 theta n 已经有了，但是 cosine theta n 加一， cosine theta n 加一呢？还没有，那我们给它表示一下， 那我们知道一加正切的平方是等于正割的平方的，所以呢， cosine theta n 加一，我们就可以用这个式子给它求出来了。所以 cosine theta n 加一 应该是等于一加 tanigma theta n 加一的平方再开根。好，那同理的 sin theta n 加一是不是就应该等于 根号下一加 tanigma theta n 加一分之 find 它 c 它 n 加一的平方啊。呃，你把这两个平方加起来等于一嘛？ 好的，所以此时呢，我们就轻松地去表达出了这里的 d 这个里边儿的对应的三引括号三引那两个复杂的词，那相应的接下来就是一个代数的过程 啊。所以此时的 d 就 应该等。 呃，我们先把上边儿的四十呢提个根号三出来，根号三倍的 里边儿的话，就是扩散引 c t n 加一的平方，那就是一加上 tan 减 t， tan 加一的平方分之一，再乘以 tan 减 t， c， t n 再减去一个根号三引提出去啦，一加上 tan 减 t， c， t n 加一，开根的平方开根分之 tan 减 t， c， t n 加一，再除以一个根号下 ctrl c t n 的 平方加一。好的，那接下来呢，我们把这里的 c， t n 给了我们的式子呢，给它代入到上述的式子里边儿去就可以了，等于根号三。 第一个式子的话就是一除以一加上，呃，根号二的 它是二 n 减九，但是你现在求的是 c 幂加一，所以要把 n 换成加一，那应该是二 n 减七 中括号的平方再乘上一个根号二，二 n 减九，再减去一个。刚才我们也算过它逆 c 幂加一了啊，在这里 也就是根号二倍的二 n 减七除以根号下一 加根号二，二 n 减七的平方 在绝对值以下，然后底下的话，同理的我们也给它带进去，就是根号二的二 n 减九， 然后再给他平方一下加一。好，这个事实呢，看着还是相当的复杂的，但是你来仔细的观察一下这个复杂的函数呢，你说我直接就求倒，这是肯定不可能的，对吧？ 我们观察一下，其实你会发现有很多很类似的结构，包括你的那个二 n 减九次和二 n 减七次，这两个玩意其实就差了一个根号二的平方，那其实就差了个二倍呗。 呃，就是根号二的二 n 减七比根号二的二 n 减九，那你相当于比下来就等于二，所以此时呢，这个问题的话，我要把它变成一个更加简洁的单一变量的函数，是不是非常的简单的做个基础化圆就好了。所以我就另一下， 呃，比如说 m 就 等于根号二的二 n 减九，所以我的 根号二的二 n 减七，我给它算一下，是不是就应该比刚才那个式子多乘了两个根号二了，那就是二倍的 m。 好的，所以我的多就等于根号三里边儿的话，也就变成了一除以。呃，底下这里还开了开了方的底下这里的话就是根号下 一加上那里边你会发现是二倍的 m 在 平方，所以是四倍的 m 的 平方再乘上一个，这里是 m 再减去啊，后边这个式子当然是二倍的 m 再除以根号下一加四倍的 m 的 平方。呃，然后我们的分母的话，也就是 m 的 平方再加一，所以此时就等于 分子这里我们可以通分一下，根号下一加四， m 的 平方分之 根号三倍的 m 除以根号下 m 的 平方加一。好到这里呢，逐渐的大家发现有点熟悉的味道了，对吧？ 就是我们的这种分式型的啊，用基本不等式来解决的问题，根号三呢，上面我给它拿到根号里面去 m 的 平方 除以一个根号下啊，乘下来应该是四 m 的 平方，再加五倍，四 m 的 四次方，再五 m 的 平方再加一，于是我再把这个 m 的 平方给它除下来，所以就根号三倍的根号下， 四 m 的 平方，再加 m 的 平方分之一，再加五，当这个玩意儿呢，要求的是它的最大，那么你很快会发现 m 出现的地方呢，叫互导模型，这里的分母应该有最小值，倒过来减就应该有最大值， 所以是当什么时候取到最大值，当这里的四倍的 m 方等于 m 方分之一，所以说 m 的 平方等于二分之一，所以说此时的 m 等于， 呃， m， 也就是等于二分之根号二，那就是 根号二的负一次方，对吧？好，那于是我们看前边儿的我们的换元呢，叫 m 等于的是根号二的二 n 减九，所以呢，对应的我们给它带回去的话，就是二 n 减九等于负一， 所以二 n 就 等于八，当然这里的 n 就 等于四。好的，那我们就把这个问题给搞定了啊，同学们理解了吗？ 就是我们有一些问题啊，他是动态的，但是你会发现一般动态的，如果说他的动点比较的复杂的话，大概率就是你的那个角度来作为一个设定参数的方案呢，这个问题可能在我们去 运用他去节点就会比较的方便一点。当这个问题他其实已经给我们做好了充分的铺垫，就是把那个角度给我们假设出来了，所以下一次如果万一不给你假设角呢？ 当你的那个 z 轴不好定的时候，呃，那你借气呢，你发现平面上已经有互相垂直的线，而且此时呢，大概率他是一个比较对称的图形，就是底边上有等腰三角形，可以三线合一， 这样我们再找轴和找那个夹角的时候，跟 z 轴的夹角的时候就会比较的方便，比较的快捷一点。 好的，总体我们再理一下这个问题啊，这个问题里边最关键的呢，我觉得第一个点就是你要理清楚偏在里面的顺一点，因为它是一个复杂的动点问题。第二的一个呢， 就是在我们最后一问里边，那么你见戏的时候呢，很多同学看到动态的问题有点 怕了，有点慌张了，不知道怎么办，你就大胆的去见戏，只要你的这个坐标能写的出来， 他题目给你的条件足以让你把这些点写出来了呀，因为给了角度呀，给了这个角度，你会发现恰巧给的也就是跟 z 轴的那个与角的夹角，所以此时呢， 我们的点偏就特别轻松的表示。但这个题呢，最难的应该算是计算，包括在最后的这个式子化解和技巧，很多人看到这个式子呢，可能就放弃掉了， 那你要去想，反正我们呢，在高中阶段的这一个复杂的范围问题，或者褶子问题呢，左手不等式，右手就是函数， 但这个不等式呢，我们现目前有的基本不等式，科西不等式，包括还明克夫司机不等式，包括我们还有一些呢，像我们的全方和不等式，包括琴声不等式等等，这一些呢，都有可能作为我们的一个事实的拓展， 所以同学们呢，要丰富自己的知识量，包括我们刚才说到的几个，我觉得还是比较重要，大家要掌握的全方和的不等式， 也就是我们的 a e 的 m 次分之 b e 的 m 加一次，加上一个 a 二的 m 次， b 二的 m 加一次。呃，当然你还可以多写几个啊， 到 a k 的 m 次分之 b k 的 m 加一次，它是大于等于 a 一 加 a 二加到 a k 的 m 次分之 b 一 加 b 二，再加到 b k 的 m 加一次。那写到这里呢，给大家留一个课后的思考题啊，同学们可以去想一想， set 属于的是锐角，我们现在求一下 cosine theta 分 之一 加 cosine theta 分 之八的最小值，大家去想一想这个问题吧，包括呢，还有我们一些在呃，我们的这个导数里面经常用到的就是形参不等式啊，决定我们一个函数的凹凸性的就是 f t 倍的 x 一 加一减 t 倍的 x 二，是比如说小于等于 f t 倍的 f x 一， 再加一减 t 倍的 f x 二。好，那同学们可以去想一下，你来利用以下我们这一个函数的 凹凸性去证明一下它，也就是二阶导大于零小于零的结论，你来证明一下这个玩意，看能不能证明的到啊，提示一下呢，就是可以比较轻松的用一下函数的主元。 好的，那同学们，我们今天的这个问题呢，我们也就讲到这里了，同学们有任何的问题呢，欢迎在我的评论区呢，呃，留言，然后呢，我们有什么问题一起来交流，希望在最后的时刻呢，能够陪伴着大家越挫越勇。 呃，希望同学们呢，能够在二零二六的高考中，高考大捷，同学们加油！

这道题目是苏西长镇一模的十八题，这份试卷整体就不算太难，像这个十八题的第三问，如果你不能在考场上迅速把它做出来的话，就说明，呃，这种函数题，导数题你实在是练的太少了。我们来看一下这道题， 它要我们去证明这个 f x 是 大于两倍的三 x 的， 那么这种带着三角函数分析的问题的话，我们一般都会把它分开来去分析。 我们可以先分析这个函数 f x， 我 们对它求导，它求一阶导下来就是二 a 平方， x 减去一个三 a loin x 再减去一个三 a， 好， 一阶导下来之后，它还有 loin， 我 们看不出来，那么我们可以再求一次导，二阶导下来，它就变成二 a 平方，减去一个 x 分 之三 a， 这里我们提取一个三 a， 它就变成三 a， 乘以一个三分之二 a， 再减去一个 x 分 之一。 而在这里我们知道 a 是 大于二分之三的，所以这个实际上是大于一的，所以我们就可以得到，当 x 属于一到正无穷的时候，它的二阶导 是很正的，那么也就意味着他的一阶导是在单调递增的。那么我们不妨算一下， f 一 撇一， f 一 撇一带进去是等于二 a 的 平方减三 a， 那 么我们又会发现这个东西呢，也肯定是大于零的，因为 a 是 大于二分之三的， 所以我们就可以得到这个函数，它一旦大于一之后啊， f x 是 单调递增的，我们可以再算一下，这个 f 一 f 一 得下来是等于 a 平方，那么 a 平方显然是大于二的，所以不管怎么样，过了一之后，你 f x 都会大于二三 x 的， 所以我们现在唯一的问题就是要去证明他在零到一上的时候也是大于二、三 x 的 就可以了。好，接下来就是问题的难点，我们怎么去证明？那么 x 属于零到一， 如果说我们要把这个函数拉到一边合并的话，其实你是很难分析的，因为你求多少遍的倒，它里面照样还是会有三角函数在里面，你会变得很麻烦，所以在这里我们可以尝试去进行一点放松啊，我们要证明他是在零到一上很成立的，我们可以证明 a 方 x 方减去三， a x 洛林 x 是大于二， x 是 横乘以的。好，我们可以把三 x 放成 x， 适当的放大一点，我们只要占到它，这个问题就结束了。好，我们这时候把它甩过去，我们也就要证明 a 方 x 方减去一个三， a x 零 x 要减，二 x 要大于零，横乘力 两边可以约掉一个 x， 函数正卷被简化， a 方 x 减去一个三， a 零 x 减去一个二，我们只要占它大于零就可以了。我们可以令它为 h x 来求导， h e p x 就 等于 a 方再减去一个 x 分 之三 a， 嗯，没有了，所以我们可以提取一下，提取一个 a， 它就变成了 a， 减去一个 x 分 之三， 我们接下来可以分一下，它在零到 a 分 之三的时候，应该是一个递减的，在 a 分 之三到正无穷的时候是递增的。那么由于我们只讨论零到一之间，所以我们就要去分一下情况。第一种情况， a 分 之三大于等于一，也就是 a 小 于等于三大于二分之三的时候，那么这时候我们就可以得到 h 的 最小值是等于 h 一， 我们把一带进去，它就等于 a 平方减去一个二，那么我们显然得到它是大于零的， 又因为他在这个零到一上面的时候是单调递减的，一的时候又大于零，所以他肯定是很正的好。第二种情况，我们讨论 a 分 之三大于零，小于一，所以 a 的 范围应该是大于三的，这时候我们的最小值就在 a 分 之三的时候取到了，我们把 a 分 之三带进去就可以得到，他就等于九，减去一个三， a 乘以 a 分 之三，再减去一个二，由于这边的话， a 分 之三是比一小的，所以我们就可以得到这里是一个正数，所以我们就可以得到 h， a 分 之三也是大于零的， 所以我们这里也可以得到这个 h x 啊，是恒大于零的啊。所以整个问题我们就已经讨论结束了，那么这种三角函数的，大家只要去分段分情况去进行分析，一步一步看，嗯，它其实也不是一道很难的题目。

主播主播，上期例题几何习题课我已经看完了，现在特别担心自己的解析书写不规范，能不能专门出一期视频重点讲一下这个呀？没问题，同学，这期视频就从证明题到二面角求解，手把手带你把解析过程写的规范又工整 好。同学们，今天我们开启立体几何题型部分的第二期讲解，那么上一期视频呢？我们主要是针对第一问这些证明问题啊，以及第二问的这个二面角涉及到的一些思路要怎么去想出来。那这一期视频呢，我们就针对立体几何的过程书写规范问题啊，再进行一个强调， 看，我们每一题都进行了一个详细的书写过程啊，每一题都是。好，我们直接看这个第三题啊， 看一下他让我们证明什么，他说证明 a、 d 平行于这个面 p、 b、 c。 好， 我们先找一下 a、 d 在 这里面， p、 b、 c 在 这里。好，你要证明这两这个线和这个面平行的话，那我们看一下第一点的第一个思路，应该是想这个 a、 d 能不能平行于这个 bc 吧，因为它们看起来好像是平行的嘛。 那具体能不能我们再看一下题目有给我们什么条件好？第一个， pa 垂直于底面， a、 b、 c、 d。 好， pa 垂直于这里面的 a、 b、 c、 d。 也就是说这个 pa 会垂直于这这里面的任意一条边吧。 再来，好，给了我们一二三四四条边的数据，那给数据你就要把它标到图里面去啊，不然你是记不住的，标到图里面去，像我这样四条边都标出来了。再看第一问，他说 a、 d 垂直于 p b。 好， 我们刚刚得到了一个什么条件？这一条边垂直于这个底面吧， 现在我们又有了 a d， 它垂直于 p b 啊，那同学们想到什么？是不是要把尽量把两个条件联合联联系起来啊？你看我 pa 垂直于这个底面，是不就可以得到 pa 它垂直于 ad， 对 不对？因为 ad 属于这个面内吧？好，我们得到 pa 垂直于 ad 后，又因为 ad 会垂直于 p b， 那 不就可以得到 ad， 它垂直于左边这个平面了吗？ 好，得到 a d 垂直左边这个平面，你看，又因为 ab 在 这个平面内，那我们就可以得到 a、 d 会垂直于这条边，那有什么用呢？我们观察一下，刚刚得到了这三条有数据的边呢？你看一下这个数据的特点， 一根号三二。那么对这些数据敏感的同学呢，其实可以一眼就会发现他这是一个勾股定律吧，一的平方加根号三的平方会等于二的平方吧，那不就说明这是一个直角三角形吗？ 那我们就可以得到 bc 也垂直这条边，而刚刚得到了 ad 垂直这条边，那不就够，那不就可以得到 ad 会平行于 bc 吗？ 好，我们看一下这个过程怎么写。先来线面平行，然后线在面内，所以得到线线平行。好，第一步啊，先 pa 垂垂直于这条线 ad， 然后又因为这个题目给的啊， p b 垂直于 ad 的。 好，我们把这个写出来之后，你再来看一下这两个条件联系起来，你要先说明这两条边他们是有，是，他们是交叉的啊，那就可以说 pa 交 a 交 p b 于点 p， pa 交 p b 于点 p， 再来这两条线都属于这个面 p a b， 然后你就可以得到所以 ad 它会垂直于这个面 p a b。 好。再来，又因为 ab 啊，它是属于左边这个平面的啊，它包含于，那我们在这里就读作且 ab 包含于这个面 p a b， 那 你就可以得到 a、 d 是 垂直于 ab 的 了。然后再把这三条边的数据写一下，然后勾股定律，那你就可以得到这是个九十度，也就是说垂直，也就是说垂直啊， 好的，看我用红色方框圈起来的这两条是帮助我们解析的关键啊， a、 d 垂直于 ab， bc 也垂直于 ab， 那 不就可以得到 a、 d 会平行于 bc 吗？好，接下来我们再由线线平行来正到线面平行，大家看一下，你得说明 bc 是 属于这个面 pbc 的， 并且 a、 d 它不包含于这个面 pbc。 看懂了吗？看懂了吗？ 这里要说明出来啊，要强调出来一个，一个面在这个面内一啊，一条线在这个面内，然后另一条线不在这个面内，那我们读作就读作 a， d 不 包含于面， p b， c， b， c 包含于面 p b， c， 然后就可以了啊，大家再看一下这个，第一问好，然后我们看下第二问。第二问的话，首先是间隙问题啊， 间隙问题，然后对我，我在后台经常会看到有的同学会说，老师，这个间隙我总是找不到垂直，怎么办？或者说他这个图形不规则，怎么办？在这里啊，你看这个图形好像也不是那么规则吧，但是你会发现你，哎，你总能找出两条， 你总能够找出两条垂直的直线，什么意思呢？我们间隙是不是要建成建出一个两两垂直，两两垂直的 x、 y、 z 轴啊， 对不对？你三条线必须两两垂直吗？但是如果有的图形他不那么规则，你可能找没办法直接找出来，但是你一定能够找出来两条是垂直的，能听懂吗？然后你再做出另外一条，另外一条你就直接强调说做出一条线垂直于这个平面，那就可以了。 好，具体我们看一下过程怎么写的啊？那这里先来。题目已经告诉你 a、 d 垂直于 d、 c 了，所以你就以这两条边为 x 轴和 y 轴，然后建立一个，建立一下，然后再看直角。怎么说？ 我们有过点 d， 你 看过这个坐标原点过点 d， 做直角所在直线垂直于这个面 abcd， 那 前面我们说 da 垂直于 dc 嘛，那你就可以强调以做 d， a、 dc 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，然后再来过点 d， 做轴所在直线垂直于这个面 a、 b、 c、 d， 那 你这样子的话，不就把这个空间直角坐标线给它表示出来了吗？ 好，然后我们再看这个问题要怎么正？问题是怎么问啊？他先告诉我们这个二面角的正弦值，让我们求 a、 d， 你 求谁，你就在这里假设谁嘛，因为你这个 a、 d， 它也没有说在哪条线之内嘛，那你就直接就是 a、 d 这条线，你假设它为 t， 夹上一条 t 之后，我们看下这个二面角是什么样的？ a， 然后 c p。 好， 那就是 a， c p 这个半平面以及 c p， d 这个半平面， c p， d， 好 在这里这是一个，然后这又是一个吧。 好，同学们看一下啊， a、 c、 p 和 c p d。 行，然后把这两个半平面找出来之后呢？你怎么去解析这个 a d 呢？你要想啊，你一定是要翻译条件，你要把这个二面角的正弦值为这个形式给它表示出来。怎么表示啊？我们是不是说了二面角，二面角，你是怎么样去求二面角的？ 假如说一个面 r 法，一个面贝塔是不有，你另其中，呃，求出其中一个面的法向量为 m， 另一个法向量为 n， 然后你可以算出这两个法向量所乘的夹角，它是等于一个 m 向量乘以 n 向量，然后除以它们的摩的乘积， 对吧？你算出来之后，这一个角度啊，它就是这个二面角的余弦值，当然是绝对值啊，余弦，二面角的余弦值的绝对值。行，然后你这么算出来之后，你这里是正弦值吧，你怎么把余弦值换为正弦值呢？那就是 sine theta， 它又等于一个根号下的 e 减 cosine 方嘛， 对不对？那这个是三角函数的知识。好，那么我们讲到这里的目的就是为了告诉你，你要先把这个条件给它拆出来翻译出来。好，怎么翻译呢？ 先把这这四个点，这四个点的坐标里头有吧？好看，我们假设 a， d 为 t， 之后以 d 为圆点，那这个 d 就是 零零零。好， a 呢？ a 在 x 轴上吧。好，这里没标出来啊，我写一下 x， y， z 行，那 a 点坐标是不是有了 t 零零，然后 p 点坐标呢？ p 点坐标，你看我这个 pa， 它是垂直于底面的啊，所以它的 y， 它的它在 y 轴上的坐标应该是为零的，而 x 轴坐标肯定就是跟 a 点的坐标是一样的，因为它在这个 a 点的正上方嘛。 好， t 零二，因为高度是二嘛。好，剩下这个 c 点坐标呢？你就自己再看啊，这个垂直，这个也垂直，然后它的 y， 它的 y 值上这一条距离应该是，我们看一下 应该是什么好，这个垂直嘛，你这个是二，那就四，那就平方嘛，二的平方减掉 a d 的 平方，再开根号嘛。好， y 值出来了，然后它既然这个 c 点在 y 轴上，你 x 轴和 z 轴上的距离都是为零的嘛， 所以就是零这个字在零好，四个点做八都有了。按照这个形式，我们把它所需要的向量写出来，首先我们看一下，你这个向量是一定要有的啊， cp， 然后 cp 向量写出来 再来，然后啊，当然你不写也可以啊，你也可以写 a， c 啊， a p， 然后再来 c， d 啊， p d， 能懂吗？就是把这两个面给它写出来，把这两个，把这两个面所涉及到的向量给它写出来。那我刚刚为什么说 c p 一定要写呢？ 因为如果你写了 cp 啊，你看你左边这个面是不是再写一个 ac 就 好了呀？然后你右边这个面是不是也可以用一下 cp， 然后写一个 cd 或者 pd 都行啊？那这是这样子写会比较方，方便一点， 但你不按照这种方便的方法写也行啊，无所谓的，你只要写的能写出来就行。好，看，我们这里选用了 ac 向量、 ap 向量。好的，这是这是不是 a c p 这个平面的向量呀？然后再来 p d 向量， c， d 向量。好，这个就是 c p d 平面的向量了。好，我们看四条向量都写出来之后再来，你假设面 p a， c 和 p c， d 的 法向量分别为 m 好， n 写着标写完之后再来发限量，是不是会？都说了发限量是会垂直于这个面吧，对不对？那，那不就会有 p a， c 里面的两条边 a， c 和 ap 乘这个发限量等于零。好， p c， d 里面的两条边乘这个法向量等于零。好，现在你写出这个形式之后，再来把坐标带进去，把坐标带进去，这个坐标带进去之后得到这一个，这一个坐标带进去后得到这一个。好，我们右边是同理的啊，同理的。然后再来，你写到这一步怎么办？ 写到这一步的时候，我们要令负值了啊，负值了，在这里负谁呢？你看这个形式是负 t x 加上这一串吗？那你不就可以令 x 它等于这一串吗？ x 等于这个的话，你的 y 不 就可以直接等于个 t 了吗？对不对？相加等于零吗？好， roger 他 一定是等于零的。行，这个是左边的负值，那右边呢？右边你再观察一下， 要复制啊，你这一串这么长，你肯定另把这个 b 给他负为零嘛，这样比较方便一点。那再看一下 b 负为零之后，啊，不是 b 啊，不是 b 负为 b 为零，不是我们负的啊，他一定为零了啊，你看他一定为零了，只有零乘以这个数才会等于零嘛。再来看上面这个，这个我们怎么复制呢？ 负 t， a 减掉二 c 等于零，那你就找 a 跟 c 之间的关系吗？对不对？如果我们令这个 c 等于 t 的 话，那很明显你这个 a 是 不是为负二就好了呀？ 大家看一下，令 c 等于 t 的 话， a 为负二就好了，为 a 为负二的话，它左边就会变成负 t 乘负二，也就是二 t 嘛，那就变成二 t 减二 t 了，等于零，是不是没问题？ 好，这个赋值不是乱赋的啊，你要根据这个算式的特点来赋值。行，然后我们得到两个坐标之后，再来 按照刚刚说的，你把这个二面角的给他写出来，但是我们这里得到的是余弦值啊，而题目给我们的值是正弦值，怎么办呢？你把这个正弦值给他画成余弦值就好了呀， 对不对？你开个根号一减掉正弦值的平方嘛，那不就是余弦值。那你这样子来，你看，我们通过翻译条件得到了这一个带 t 的 式子，你不就一定能写出 t 等于几吗？而我们 a d 不 就是 t 吗？ 好，我们第一问讲到这里啊，同学们不懂的话，再多看一看，暂停一下，再看看这个步骤，然后我们准备讲第二问， 第四题。好，第四题我们准备讲第二问什么问， ef 会垂直于 p d 吗？ e f 垂不垂直于这个 pd 啊？那我们这样子看，应该也是很明显的，你 e f 想要垂直这条线，如果说我 e f 垂直于这个线所在的这个平面内啊，所在的这个平面，那不就可以了吗？ 那看，如果想证明 e f 垂直于这个平面的话，你应该是要证明 e f 垂直于这个以及 e f 垂直于这个吧。好，这一切都是在你拿到题之后在脑海里过的一遍思路啊，你猜一下这个 是，你猜一下这个解析过程是不是这样子的，然后你再带着这个假设，你再带着这个假设去看一下问题，去看一下条件，看下条件能不能帮你证明这些假设。好，我们来看， 首先他告诉我们啊，又是给了一堆数据啊，那同样的同学们，有这些数据的话，你给他标上去啊，这个和这个以及这些数据，我们看给出 ab 等于八。好， ab 等于八， f 又是终点吧， f 是 终点，所以这是四，这是四。再来 cd 等于三，好，直接写 a d 等于五倍根号三，并且 a e 等于五分之二的 a d 啊，你这个是五分五倍根号三，然后你 a e 不 就是两份吗？两倍根号三吗？所以 e d 它就是三倍根号三吗？好，每一条边都标出来之后，哦，还有个 p c 啊，好，每一条边都标出来之后，我们看一下有什么用？ 看一下这个图形，我们这个 p e f 和 af 是 什么关系啊？ p e f 是 不是由 af 它沿着 ef 这条边给它翻折上去的呀？对不对？那你看它题目是有说的啊，是有说的，给它翻上去的，很好。那么再来， 你既然是这样翻上去的，我们想要证明这个线垂直于这条边就好了呀， 同学们看一下能不能听懂。在我们第二题也是一样的啊，前面的第二题有讲过这个思路，因为如果说你这个 e f 垂直于这条边呢？是不是就有 e f 垂直这条边， 对不对？而你这个 p e 它又是由 a e 给它沿着这个 e f 翻折上去的呀？所以你只要 e f 垂直这条边，你 e f 一定也会垂直于这个 p e 啊。好，那两条相交直线垂直就出来了， 所以我们现在看一下能不能证明一下 e f 垂直于这一个线啊？好，我们给出那么多条边，然后看一下能不能去证明什么？ 这个角度我们是不是也知道角 b a d 是 等于三十度的吧？ b a d 等于三十度。你看在这个三角形里面，有两边有一角，那是不是可以得出这条边？那得出这条边后有什么用呢？ 我们得到这条边后，你不就可以发现这个三角形，它是一个直角三角形吗？对不对？用一下勾股定你嘛，一比二，比根号三嘛，对不对？很明显的，这是一个直角。好，这个是直角，不就可以得到 e f 会垂直于这条边了吗？ 那这一道题就出来了，我们看一下具体过程怎么写啊？来，在三角形 a f 这三角形中，你写由于先定你得，然后我们代公式。 那这个计算过程你可以不用写出来啊，因为比较多，然后得到一个等于四的时候， e f 的 平方等于四，那 e f 就 会等于二了。好，再来下一步勾股定律，然后说明出 e f 是 垂直于 a e 的， e f 垂直于 a e 再来。 所以你看你我这个 e f 垂 a e 是 不是可以得到 e f 会垂直于 pe 啊？因为这个 pe 是 它翻上去的嘛。好，有这一步， a e 就 会得到 pe。 再来 a e 交这个 pe 会等于点 e， 也就是强调一下这两个点啊，这两条线它们是相交的，有一个交点。好， 两条线线垂直，两线相交，然后两线都属于这个平面，那你就可以得到 e f， 它会垂直于这个平面，又因为 p d 它在这个面内，所以 e f 就 会垂直于 p d。 好， 很清晰的思路啊，这思路很清晰的， 同学们看一下。然后我们准备讲一下第二问啊，没听懂的可以先暂停一下，看一下过程，好看。第二问，让我们求出这个面 p c d 与 p b f。 我 们找一下 p c d 与 e b f 啊，它二面角正弦值其实是哪个面不太重要啊，因为你其实都可以根据这个给出的字母，然后求出坐标，再表示出向量，再利用我们的那个公式嘛，直接把它算出来。那这一题麻烦的是什么呢？你要先想办法把这个间隙的条件说出来 看啊，我在这里是给你直接建好了，那你要怎么说呢？那我们这里间隙怎么样才能够建出 x y z 轴啊？你是不是必须要表示出来它们三个轴两两垂直，对吧？两两垂直？好，我们刚才通过第一位已经得到了你 e f 是 垂直于这个平面的，所以我们先得到 e f 会垂直于这个， e f 也会垂直于这个吧。好，那我们现在还需要什么？是不还需要这个和这个垂直就可以得到他们三条线两两垂直了呀？所以我们这一题的思路就是看一下能不能证明出来 p e 垂直于 e d 啊？ p e 垂直于 e d， 它怎么证明 p e 垂直于 e d 的 话，这两条线对不对？那我们就观察一下 能不能够证明出 p e 它垂直于这个 e d 所在的平面。所在的平面，那至于为什么我在这里连接了 c e 啊？因为你要想，我第一问有没有用到这个 pc， 没有吧，对不对？所以你怎么样把这个 pc 给它连立起来呢？连立起来呢？你看我 p c p e， 那 这里不就可以连接起来得到一个 c e 吗？好，如果连接起来之后，我们这里初期都是在尝试啊，都是在尝试。那联系起来之后，我们看一下 这个 c、 e， 我 们是不是可以求啊？对不对？如果 c、 e 能求出来的话，我这个三角形三条边就都有了，那我就可以看一下这个勾股定律，这个是不垂直的，那 c、 e 怎么求呢？ 哎，我们这里是直角啊，对不对？题目给出来了， a、 d、 c 是 直角，而这一条边和这条边都有了呀，那直角三角形里有两条边了，它的平方加它的平方，再开根号，我们不就可以得到 e、 c 吗？ 好，所以我们算出来得到这个 ec 啊，在这里啊，你看，我们得到这个 ec 之后，它是等于一个六的， ec 等于六，那 ec 等于六，我们再观察一下 这条边，我们知道的这条边 p e， 它也是等于二倍根号三的，因为 a、 e 是 二倍根号三吗？它翻折上去，好，三条边都有了，一个是二倍根号三，一个是四倍根号三，一个是六，那你不就可以发现它们也构成了一个勾股定律吗？ 对不对？那我们又可以把勾股定律给它强调一下，那我们现在就得到了 p e 会垂直于 e、 c。 又由第一问，我们得到了 p e 是 垂直于这个 e、 f 的， 那 p e 不 就垂直于这个底面了吗？而 e、 d 也属于这个，也包含于这个平面内，那就可以得到 p e， 它是垂直于 e、 d 的。 好，那我们现在就可以得到了 x、 y 解轴，他们所在的直线都是两两垂直的，然后下一步就按照套路，再像上一题一样啊，按照套路再把它写出来就行了。好，我们把这个证明思路也给他讲一下， 连接 c e， 好， 你看把这个九十度， c、 d 等于三，给他说一下，还有 e、 d， 那 你把这个九十度，然后两条边的长度说出来的目的是为了得到你这个 e、 c 的 长度啊， e c 长度啊，也就是知道这条边和这条边还有九十度嘛。好，得到 e、 c 长度，得到之后呢？再来，你把 pe 是 多长， pe 是 多长，也表示出来， pe 和 bc 的 长度表示出来，那就可以直接得到勾股定离了。好，那我们就是 pe 会垂直 e， c， 好 在这里是线线垂直，推出线面垂直看 pe 垂直 e， c， pe 又要垂直 ef， 我 们 e、 c 又交 ef 于点 e， 这里是说明两条线垂直，然后 这一条线它垂直，两条线是相交，直线表示出来，并且这两条相交直线构成了一个平面，是面 a， b， c， d。 好， 然后你要证明出来的 pe， 你 就可以证明出来 pe 会垂直于这个面 a、 b， c、 d， 又因为线在面内，那你不就可以得到 pe 是 垂直于这个 e、 d 的 吗？ 然后就说，所以他们三条线是两两垂直的，然后下一步就是以这个 e f 为 x 轴， 然后 e、 d 为 y 轴， e p 为 z 轴，建立这个空间直角坐标系，然后哭哭哭哭哭的把这个坐标写出来，向量表示出来，那二面角也就出来了。好吧，所以这个这个后面因为前面写过了，我这里就不多，不过多追数了， 我们看下一题啊，第五题好看，第五题，第五题，我们看一下它第一位，让我们证明 p、 b、 m 会平行于这个面 c， d， e， b， m 平行面 c， d， e 的 话，那很明显啊，你看这里这个图形也比较规则嘛，那如果我们能证明出来 b、 m 平行于这个 c、 d 就 可以了呀， 对不对？那你要证明 bm 平行于 c、 d， 那 题目做的多的同学就会发现，你看这很明显四条边长得很像平行四边形嘛。那如果你能够证明这两条边平行且相等的话， 那它就是平行四边形了，那 bm 就 会平行于 c、 d 了。好，所以我们先拿这一题的思路看一下能不能证明出来这两 条边平行且相等。好，观察一下题目的条件吧。 嗯，等腰梯形啊，这两个边相等，这两个边也相等。好，再下一步啊。 ef 平行于 a、 d 在 哪里？ ef 平行于 a、 d 好， bc 平行于 a、 d， 这一点平行于 a、 d。 哎，那不就得到一个平行了吗，对不对？好，我们平行有了再看相等怎么办？ b、 c 在 这里， bc 啊， bc 它等于二。好， bc 等于二，再来 a、 d 又等于四，这一条又等于四，这个是二，这个是。是。如果我的 m 为终点，那是不是就可以得到 bc 等于 md 啊？ 好，我们看 m 刚好就是终点啊，对不对？那我们答案就出来了，这个这两条线，它们平行且相等，所以这是个平行四面形，所以这个就平行这个，这个就会平行于这个面。好，看一下过程。 第一问过程，先把这个边边的长度都表示出来啊，因为 a、 d 等于四， b、 c 等于二， m 又是 a、 d 的 中点，所以我们就可以得到两个边是相等的。好，又因为 b、 c 平行于 a、 d， 而我们就可以强调出来这个四边形，它是平行四边形， 所以就可以得到 b、 m 它是平行于 c、 d 的。 好，再来 c d 包含于这个面， c d e b m， 你 看不在这个面 c d e 内，那不就可以得到？呃，两线平行啊，然后一条线在面内，另一条线不在面内，就可以得到。这个线是平行于这个面的。 好，第一位没问题吧？我们再看第二位啊，又是让你求二面角，那我们想办法见系就行了。这题看怎么见啊？ 嗯，怎么建呢？你要留意一下他这个等腰梯形啊。等腰梯形，等腰梯形，那是有什么用？这个是不是等于这个呀？对不对？而我们这个 m 是 中点啊，你看他 e f 是 不等于二， e f 等于二， m 是 中点，所以 m d 也等于二。那不就会有这条边这两条边它们平行且相等吗？所以这也是个平行四边形， 所以这条边这两条边他们就相等，这两条边相等，而我这条边又跟这条边相等，不就可以得到这个边，这两条边他也相等吗？所以这个等腰三角形，那我们直接利用一下三线合一就好了。 这个取个中点为 o， 那 你连接 o f， 你 这个 o f， 他 一定是垂直于这个底面底边 am 的 啊， 因为三线合一嘛，好，垂直之后再来，你看下面这个，下面这里是不是也同理啊？这个等腰三角形，这俩又相等，所以这个不就会等于这个吗？ a b 和 b m 也是等腰的，那同样的，我们连接 o b 嘛，所以就可以得到 o b 也是垂直于这个底边 o d 的。 行，那我们不就有了这个三角形啊，不是这三角形啊，这三角边两两垂直嘛，对不对？好，两两垂直就可以建立空间直角坐标系了。那我们看下过程怎么写？ 取 a d 中点为 o， 连接 o b， o f， o b o f。 行，你现在是把这个轴线给它画出来，然后你去证明它就可以得到。所以 o f 啊，由先由 t 的 啊，这个边 a f 是 等于 d e， 然后又等于 f m 的， 然后这一问呢，其实你是可以直接得到的，因为你想要证明这个平四面形吗？我们第一问已经证过了，对不对？第一问已经证过了，所以你在这边可以不用过多赘数，可以不用过多赘数，你就直接得到这个三条边相等于根号十，然后所以 o f 就 会垂垂这个边的。 你下面同理嘛，下面放在下面这个四面形里面同理。那又因为这三条边形都相等，所以重要的是这两条边相等，所以 o b 也会垂直于 a d 嘛。 好，然后你再把这个 o b， o f 的 长都给它表示出来，表示出来的目的在哪里？目的在哪？在哪里呢？你刚刚是证明了它垂直于它， 和它垂直于它吧？你还没有证明它和它是垂直的吧？所以你看，你再正一下它和它垂直就可以了。那 o b 有 了， o f 也有了， b f 的 长度我们是不知道的， o b 杠上三呢，所以它的长度和它的长度各自平方，会等于它的平方，你就可以得到 o b 和 o f 也是垂直的，那么就可以直接间隙了。以 o b 为 x 轴， o d 为 y 轴，然后 o f 为 z 轴，建立空间直角坐标系。行，你写到这一步， 看啊，你要又要求这个二面角，那我们刚刚是写的形式，是说求这个 f b 和 fm 吧， b e 和 m e 吧。那我们这里就换一种减变的方法，我们把这个 b m 求出来 看，把 b m 求出来，在这里 b m 把它表示出来之后，你下一步是不是只要左边这个平面，你只要再得到一个 m f 就 可以了？右边这个平面你是不是只要再得到一个 m e 就 可以了，对吧？好，我们这里多写了一点啊，看这个好像多写了个 m。 好， 这样就可以了。 行，三个坐标都表示出来之后，再来设法限量，其中一个是 m， 另一个是 n， 然后两条边乘这个 m 都等于零， n 乘这个都等于零，然后把这个带式的去计算啊，这中间还少了一步啊。你把这个过程带进去计算，然后假设 二面角 f b m e 为 c， t 为 c， t 形，就可以得到 cosine c t 是 等于这个值的。好，算出来之后你要求正弦值吗？ cosine c t 就 等于这一个啊，过程都写的很详细了啊，只是计算没给你表示出来而已。 好，同学们，再看下这个第五题啊，然后不会的可以暂停一下，再看看过程，我准备讲第六题了。 好，我们看第六题。第六题，你看这个图形，哇，太漂亮了，是不是你在考场上拿到这样一个图形，你应该笑的嘴都合不拢了。那方方正正，哎，方方正正的对不对？哎，咋回事啊？ 啊，不能太得意啊，你得意忘形了，这个平板他都不听话，那考试还是要冷静一点啊。好看，这个方方正正的正是能做底面是正，底面是这个 正四变形，也就是这个正方形啊，然后侧能很明显也是垂直于底面的，这个正四能柱行，然后他有什么特点呢？你是不可以直接间系的呀，对不对？你尤提一得 它，它和它两两垂直嘛。所以以 c 为坐标原点， cd 为 x 轴， cb 为 y 轴， cce 为 z 轴，建立空间直角。坐标系建立之后呢？为什么我们要这么建立啊？你观察一下它要求什么？ b 二 c 二这条边， a 二 d 二这条边，那我建立作坐标系了，你看这一题，而且它写坐标很容易啊，对不对？你把这两个向量写出来之后，如果说一个向量 是另一个向量的那么大倍，那我们不就可以说明这两个向量是共向量吗？同时他们也是平行向量呀，对不对？ 好，我们就把它写出来啊，写出来，你发现他这道题出的刚好是相等的啊，相等的，相等的话，那就直接直接说明他们向量是平行的啊，不是直接说明这两条线是平行的就可以了啊。 那这个坐标是很好写的啊，同学们不要害怕啊，你看，每一条都给你写出来了，我们这里给你标出来吧。 a a 二，这个是一， b b 二好， b b 二是二，我这里标出来了，然后 d d 二也是二，再来 c c 二是三， c c 二是三，然后这一整条啊，这下面这个边长是二，然后这个高啊，这个侧能，侧能，它是四，那你看，你不是每一个点的坐标都可以写出来吗？ 好啊，然后我们看一下这个第二问，哎，又来了，又来了，告诉你前，有的是让你求二面角，有的是把二面角告诉你，让你求边，怎么办？ 无所谓啊，他告诉你这个角度，你就把这个条件翻译出来嘛，对不对？你按照我们正常求二面角的逻辑，把这个列式列出来之后，然后等于 q 三的一百五十度。 好看，什么意思啊？大家同学们看一下。什么意思？那我们求 b 二 p 对 不对？这里这里没必要，这里不用先假设这一个为 t 啊，你直接假设这一整条为 t， 为什么呢？因为你看你假设这一整条为 t 之后，如果说你这个 t 算出来比二大，那不就是在他的上方吗？你要算 b 二 p， 你 再拿 t 减二不就可以了吗？那二减 t 就 可以得到 b 二 p 了吗？ 好，我们假设这一整条为 a 啊，我我我，为什么假设这一整条为 a？ 是 为了方便你后面写坐标啊。写坐标，你看这一条长度是 a， 你 如果写 p 点坐标是比较好。写 好这条长度是 a 的 话，然后把 p 点坐标写出来， a 二 c 二写出来， d 二写出来，这些坐标都写出来之后，再来把向量表示出来。看这里我又偷懒了，只写出来 a 二 c 二的向量，对不对？我这么写的话，我两个面都可以用这个向量呀。 好，左边我就写一个，左边写一个 pc 二啊， pc 二，右边我再写一个 a 二 d 二。好，你看这个面向量是完全都是数字，这一个面向量，因为它带 p 了嘛， p 点坐标是我们设出来的，而你带 p 之后，我们这个坐标就会带 a 啊。带 a 无所谓啊，你要带 a 才能够解题，然后再把这个向量的法向量求出来，这个面的向量法向量求出来之后，然后翻译这个条件，翻译这个条件 q 三 c， 它等于什么？ 等于 q 三，以一百五十度的绝对值啊。好，然后写出来之后，按照这个形式向量的坐标 相乘魔长的乘积得出来等于二分之根号三。你再化简就可以了呀。只是看起来比较吓人啊。你再化简就可以得到 a 等于一或者 a 等于三了啊。我这里设的 b 二 p 是 等于 a， 二不是等于 t。 好， a 等于后， a 等于三。那不就说 a 等于三的话，说明它的上方吗？那 p 点坐标为 为这个，这个不写这个不写这个你们自己在看啊。自己在看，我这强调这个高高就删了。然后另一个呢？就是这个这个，然后这个应该是一。好喽，你把 p 的 两个点坐标写出来之后就可以得到。所以 b 二 p 他 肯定是等于一的吗？对不对？ 因为你三减二等于三减二等于一嘛，二减一也等于一嘛。好，这一题我们也就过了。那我们今天就讲到这里，同学们有疑问的话再发到群里，再发到群问我就行。

坐咱们那今天我们要开始立体几何初步。那你对立体几何的认识从幼为人就开始了， 幼儿园你就干这事情是吧？小学也设计，初中也设计，那我们要继续往下来研究，那粒粒皆禾初步主要是研究什么呢？粒粒皆禾是研究现实世界中物体的形状、大小、位置关系的数学分支， 在解决实际问题中也是广泛的应用啊。那小学的上幼儿园的时候，你就开始认识这东西了， 那立体学的图形是各式各样的，千姿百态的，如何认识和把握它们？本章我们将从空间几何体的整体观察入手，研究他们的结构特征，学习他们的表示方法， 了解他们的表面积、体积的计算方式。其次借助于长方体， 从构成立体几何的基本元素点、线面入手，来研究他们的位置关系，特别是平行跟垂直的位置关系。 总之一句话，我们立体几何干什么活？一两个位置关系，两个关系，平行跟垂直。第二个我们要研究三个角， 两条异面，直线所成角，线跟面所成角，面跟面所成角。三个角离三七个距离， 两点间的距离，点到线的距离，点到面的距离。然后两异面直线距，两平行直线距离， 还有线面距离，点面距离啊，七个距离啊，就是要掌握这些东西，两个位置，三个角，七个距离。 那研究方法是什么呢？它是由现实物理、物体抽象而成的， 所以我们在研究的方法下面一直观，要直观的感知，也就是要空间想象能力 啊，要空间想象能力，第二去操作，切乱，第三推理论证。第四，那就去度量计算啊，这是各式立体图形的基本方法， 那么有效的图形就是整体局部整体之间的切换，那第一节是基本立体图形之间的切换，那第一节是基本立体图形， 那么我们研究的空间几何体啊，它是由 哎现实的这些物体抽象出来的，抽象的哪些东西，我们只关心它怎么样旋转 大小啊，只考虑它的形状大小，不考虑其他因素，你什么材质构成啊？你密度多少啊？这些东西是不与上关系的，我们只关心什么形状跟大小啊，形状跟大小。好，那第一个是 多面体跟旋转体的概念，那么这一些图形啊，这十个图形 是我们日常里面经常碰到图形，是吧？你给他归类一下，分类一下，我记得这活就幼儿园大家都干过了，是不是？哎，最近有什么共同之争啊？分类一下 哦，我们从整体上面来问，这个纸杯， 他跟纸箱的区别在哪里？哈哈哈。哦，刚才就没没认真听讲对不对？我们只关心什么 形状大小，你关心材质，你去三里客啊，哎，这个腰骨呢？金字塔呢？茶叶盒呢？ 这前面五个我们可以分升级的呀，我们从整体上面来感知它，有的包起来，它的旁边是什么啊？平的有的是，是不是这样子啊？ 所以从这两个整体上面去认识他们啊，你到底是由这平的面构成的，还是曲的面构成的，是不是 啊？这就是我们要认识的这个概念，那如果 从他们的这个平面去构成这个面的形状，去认识他们，那我们就可以给他分成什么，你看把谁归在一起？纸杯跟谁归在一起？腰鼓，还有还有没有奶粉罐，还有球，还有 因为他是有一些面是什么面，而我们剩下的这些呢？他的面都是什么？平的？都是平的，所以， 所以我们得到的一个特点就是围起来的面的形状，面的形状，如果它是由平面多边形围起来的，那我们把这种结体就叫做多面，多面， 由平面多边形围起来的就叫做多面啊，多面， 那多面体里面这些面，我们就叫做多面体的。什么呀？面， 围成多面体的这个这个多边形，我们就把它叫做面，面是里面的，所以我们写的上 a、 b、 e 加一个。什么前面加一个啊？中文面 abc 啊，面 abc。 再说呢，这个 a、 b、 c、 d 是 它的面吗？哎，这 a、 b、 c、 d 是 不是它的面？是，是围成它的这个面才叫做啊，这个多边形才叫做它的面啊。那线呢？线， 比如我们这条线是 a、 e、 a、 e 是 两个面的公共的直线，那在这里的话，我们把这条线叫做多面里的来棱，多面里的棱也就是两个面的公共边，我们叫做棱，然后点呢？ 这些线是有公共点，那这些公共点就叫做它的什么呀？零点， 零点，那比如说用字母来表示，就零点 a， 那 就直接写 a、 b、 c、 d， 我 们注意点啊，所以点线面啊，点线面，点就它的零点，这线就是它的人啊。多面体的面， 那当然了，我们这里研究的多面体啊，都叫做凸的多面体。你怎么定义凹的？ 秃的话，如果变延展呢？那所有的顶点都在这个面的什么呀？哎，同色在同色的叫做秃的哈， 那凹的就是我这面延展完以后呢？这平面的两侧怎么样都有顶点。那就是啊，不是秃的了， 那这个点的数目，面的数目，人的数目之间有什么关系啊？啊？那个公司叫什么公司啊？ 什么叫做欧拉公司啊？点线面之间的跟个数的关系。什么叫欧拉公司？哎，有兴趣的同学自己跟客户啊，上网去看一下，自己去做一些研究，然后看一下视频去验证欧拉公司啊。 啊，那这不是我们这节的重点啊，那怎么我们要强调的，我这里的面是要围成多边啊，围起来是吧，所以它不是这个三角形， 我们解，我们解三角形是不是三条边构成，如一张三角形，不是我们这边的一个面子的热门要包括他什么啊？这个多边形以及他的内部啊，内部，这个叫做他的面 啊，围起来吧，主要这个几个体是吧？就这几个体，所以是多边形以及它的内部啊，以及它的内部。第二，至少要几个面才能围得起来啊， 哎，四个，那这个四个，所以我们把这个几何体就叫做，哎，四面体，哎，这个四面体也叫做什么来着？哎，四面体也是什么三轮锥啊，三轮锥， 所以至少要有四个面啊，至少要四个面。第三，如果各个面都是正多边形，我们把这种几何体就叫做正的多面体 啊，那正的多面体就是五种，哎，这个多边形可以是什么？三角形行不行？哎，正多面体 我可以数，三角形行不行？四边形行不行？四边形是啥？围起来是什么？正方形？五边形行不行？六边形行不行？ 哎，这六边形能不能围成一个几何体？哎，行不行？能不能用这六边形围成正东面体？ 这六边形这个角度几度？一百二，那我三块给它拼在一起多少度？ 三百六会怎么样？哦，所以，所以能不能用六这六边形去？那七边形能不能编，编起来啊？肯定不行是吧？啊，所以呢？ 所以他就这这几种，你看这样子围成什么呀？这个四面，然后用三角形，我们就可以围成这钻石形状的，这叫什么？这个八面是八个面，正的八面，还有正方形，正十二面的正二十面啊，没有了， 五边形，四边形，三角形，是吧？啊，这是 第二个的话，我们刚才如果旁边是水面的呢？那水面的往往是可以由一个平面图形旋转出来的，所以我们把这一种图形就叫做什么体啊？叫做旋转体， 由一个平面图形绕着一条边旋转得到的图形就叫做旋转体。旋转体 啊，那圆锥呢？圆锥，圆锥可以由什么？什么？三菱直角三角形，是不是然后呢？ 绕着谁直角边，我们给他旋转一下，那是不是这样子的？ 所以他的旁边是曲面，以下是一个圆面，所以这个就叫圆锥。那能不能说绕着一条边旋转出来，如果绕着斜边旋转出来是啥啊？ 那这斜边旋转出来是什么？几个圆锥？两个圆锥，那这种结体我们就叫做组合体啊，有两个圆锥组合起来的嘛？啊，组合起来了，那不就，那就不叫圆锥，是吧？ 所以由他旋转出来的。好，那我们把这条直线就叫做他的走，就叫他走。那我们刚才的纸杯啊，这个足球、篮球啊，这些都是这样子旋转出来的。 好，那接下来我们来看一下这个多面体里面， 那我们最熟悉的就是助追台，助追台，那首先我们来认识一下助，人助， 那我一讲助，大家想到啥东西来，人助是吧？人助，那么这个食物呢？ 就是到寺庙里面，再看到旁边有很多柱子是吧？宫殿里面是不是有很多柱是圆的？那有的稍微的美观他也不一定是圆的。柱也有是什么弯的是吧？比如说右边形呢？右边形啊，柱，所以什么是柱呢？你们 柱给你的感觉应该什么样子的叫柱呢啊？一根一根的是不是？那，那可以是几人的 啊？很多时候是四人的是吧？呃，美观一点，我们可以做成什么啊？六人的这种是吧？但是给你感觉的柱都是什么啊？都是只从你的在那边是吧？不歪一点呢？角度要歪一点，柱来斜一点柱是不也是柱啊？ 所以住我们该怎么来定义呢？住的话都是顶天，然后怎么样立地这种感觉是不是？所以住的话我们就要这样来定义了。 怎么来定义住呢？那就是有两个面要互相怎么样平行？互相平行，那旁边的各个面呢？都是六人柱的形状，那旁边都是什么？都是四边形，是不是都四边形， 并写到相邻的两条公共边，相邻的两个公边是互相平行的啊？相邻的两条公边互相平行，所以三个条件 有两个面要互相平行，那第二个条件都是旁边的都是四边形， 第三个四边形的公共边是互相平行的。那我们把这一种几何体就叫做能柱，就叫做能柱，比如这，这就叫做什么，哎，六能柱，对吧？那能柱怎么来？ 怎么来？命名呢？那我们就叫做楞住，然后是上下笔写到那边来，你上里下里下里上里都可以，那就楞住， a、 b、 c、 d、 e、 f 中间用 啊，这个横线横一下啊，然后呢？ a 撇、 b 撇、 c 撇， a 撇、 f 撇，楞住这啊，楞住这 啊，那这两个面，我们就把它叫做什么啊？叫做底，上底、下底吧。什么叫底？两个互相的平面就叫做底面，所以有两个底 在那旁边的这些，旁边的这些面呢？我们就把它叫做什么面，哎，旁边的这些图形我们就叫做车面。然后呢线车面的公共时间，那就叫做，哎， 公共时间，我们就叫做撤人，撤人，撤人，那撤人是不是也叫啊？是不是人只要公共时间就叫人啊？所以撤人也是人的一种啊？撤人。 那还有呢？车轮的公共点就叫做什么呀？这个人的公共点我们就叫做啊，叫做顶点啊，车面跟底面的公共顶点，我们就叫做顶点啊，这是名称上面我们要认知， 那能住哈有什么特点？他的特点就是这里面应该是什么关系的， 哎，里面是什么关系的？那长得是不是一模一样的？所以他的底是全等的，且互相。 那车面是什么图形啊？哎，车轮又互相平行，然后上下底这边也互相平，所以车面都是什么形？平行是平行，车面都是平行是平行， 那么他们呢？他既然是平四位，所以侧棱是什么关系？平行且相等，侧棱平行且相等啊，这是棱柱的特点啊。底跟侧面还有这样的性质 分类，按照底的多边形来分，那就分成三棱柱、四棱柱、五棱柱，几边形就是几棱柱。 再来，那刚才大家看到第一个是没有歪掉的，是吧？没歪掉的就叫什么轮住，直轮住，什么叫没歪掉？侧轮跟里面怎么样？垂直，那不垂直就叫什么轮住， 斜的轮住啊，所以轮住分成直的轮住，斜的轮住。有个这样的分类，那 还有呢？是正能住，这个正是两个正，一底是什么？底是正的，多边形底是正的，那还有个正呢？ 你歪掉叫不叫正能住？这第二个正的话就是车轮怎么样？车轮要跟底面垂直， 这顶是正多边形的直棱柱，我们把它叫做正棱柱。当然还有一种人寿是很特殊，叫做平行六面顶。那么六面顶几个面？六个面长什么样子会六个面啊？ 啊？是长这样子的，里面是平行四边形的四棱柱，我们经常叫做平行六面， 那人们那这是平行四边形，所以这个平行六面的我们也可以这样认识，你看把平行四面整个面怎么样？沿着同一个方向平移， 得到了这个几何底，就叫做平移六面底，可以用平移的角度去定义它啊，这是特殊的棱柱 啊。首先它的结构特点我们按照侧棱来分，那就是斜的棱柱跟什么啊？直的棱柱，斜的棱柱跟直的棱柱。那斜的四棱柱里面有一种很特殊的，就叫做平行六面体。 那直人柱，这两个里面谁是叫做直人柱？直人柱里面有一种很特殊的，就叫做什么能柱啊？直人柱里面有很特殊的，就叫做正的能柱，对吧？里面是正多边形，正的能柱，那直的是能柱呢？ 直的四棱柱，里面再特殊一些是什么样的啊？长方体是不是？你若是矩形，那是不是长方体的？长方体直的能做，那长方体再特殊一些。什么啊？还是正方对不对？ 那长方形是不是平行六面体啊？能住，只要是平行，四边都是。那你看我长方形底下矩形，矩形是平行四边形，所以这些是平行六面体啊。平行六面体啊，看见没，来辨析一下概念。 有两个面平行，其他跟面都是四边形。几何体叫人柱，一个板栗。哎， 有两个面互相平行，其他面都是四边形，一定是能做吗？可能是什么梯形吗？旁边是梯形，是不是四边形？ 所以这边的话可能是人。什么呀？可能是人台啊，所以这判断应该是来 b 选项， 如果我是人柱，有没有这性质？ 哎。哎，那干嘛不这么简洁来这来定义啊。 有两个面平行，其他面都是平行四边形，围起来他不是人台啊，为什么他不是人台啊？ 哎，我给你放在这里了，看到没？两个面是平行，其他其他维他的面是不是平行四边形？ 这是轮胎啊，这是柱吗？不是，关掉了，这是主问题的。所以为什么要这样子定义哈，这样定义的原因就在哪里？在这里，这是一个典型的法令， 因为我是平行四边形，且写它怎么样。我是四边形，写公共的都要平行，你看你这条会跟这条平行吗？就不会了吧。所以都要平行。这句话就把这种形状给它怎么样排除掉了。 所以不能简单说啊，他是平行四边，底下旁边也是平行四边，那是不对的啊，所以这个是什么典型的错误啊？记记起来是典型错误来。 c 选项有两个车面是矩形的，他是直角柱， 反字对不对？哎，反字对不对？直角柱旁边是矩形吗？ 他们是有两个矩形，就是只能做对吗？来想象一下反面，哎，我长短体是不是只能做的一种？哦，我旁边四个面都有呢， 我能不能构造一个不是只能做的，哎。推一下是不是斜的， 那我使力的这两个车面是不是还是保持着什么什么形状？矩形，但是前后两个面平行的吧。所以有没有两个矩形？有，有两个矩形，侧面有两个矩形，但是不是得住 啊，所以这就不对了。 b 选项，有两个相邻的车面都垂直于地面是吗？ 啊，相邻的两个面如果是底面，那这条棱跟底面什么关系？ 那就会垂直的吧，所以是不是能住？所以啊，面不是有两个面的矩形就好了，应该要两个层面来，相邻的是矩形就行了。相邻的是矩形，那这条棱就跟底面怎么样垂直它就只能住了， 所以概念的辨析哈。 再来看一下哪一些是人肉，这是在幼儿园干过的活，是不是分类一下。 那最好认的是哪一个？三啊，三长方你肯定是忍住了，还有没有五啊， 那四是什么柱不是人的，是圆的是吧，所以我们从整体上面赶是只要是呃曲面的，我们就会先去掉先吗？ 那剩下来的七是什么？哎，七是追六是台啊，可能是台来这呢。这是台，这肯定不是什么啊， 肯定不是柱吧。哎，你怎么判断是不是柱啊？我们先应该要看底是不是有没有底，还有没有底？没有，所以他肯定不是什么没有两个面平行的 啊，这个叫除闷啊。除闷。 哎，那这个是呢，那我们先看有没有两个面平行的？有哪里有？左右是不是 其他的面都是平？四边都是四边形吗？是。然后公共直线平行吗？ 会平行，所以是不是？是，所以这个也是柱，因此我们要看一个斜里是不柱。先要找什么平行的面是吧？先找底面 再来看旁边啊，旁边应该是四边形，且公共直线都不相平行，也就旁边应该是一个平行四边形啊，所以答案应该是一三五。一三五概念。 那为什么要能变形？这样，那你变形完以后，你比如我要你求这个体型，你应该怎么写啊？ 你知道他的助理的那几级底面积层高，你如果弄不出来，那你怎么修？这几级你就没法修了，是吧？所以这是基本功。下面说法不正确的是谁呢？ 哦，就这几种特殊的四棱柱是吧？直四棱柱是长的啊，直的，直的要加什么才是长的底？抵押是什么？ 抵押是什么东西啊？抵押举行，那直四棱柱底一定要举行呢？ 正方形是平行问题，平行问题可以从变化角度来讲就是一个平行四边移过去就是了，是吧？那我正方形是平行四边形，所以它是个平行问题。 来长方形也是平行问题，对吧？因为 底下是矩形，矩形是平行四边形，所以平行过去是不是就是平行的底？平行六面顶是四棱柱 啊？平行是六面顶是四棱柱，对不对啊？有两个面平行，然后旁边这边是不是四棱柱？这个也是什么啊？这也是对的， 所以人住的概念比另一面的概念来。第三，下面说法正确的是谁啊？ 这些元素。哎？面都是四边形吗？那我们就没三人住这概念了是不是？这，这一定是 车面，一定是平行四边对不对？但是反之车面都是平行线，一定能围成围成轮柱。刚才那个歪掉了，是不是？这个很厉害？那轮子车面不全的，不全相等， 车轮都是平行四边的，肯定是相等的，对不对？各条轮胎都相等的，轮柱一定是正方形的， 怎么取法呢？就把帐篷里的来怎么样？推一把歪掉就行了吧。 啊？那第二个追有没有？你想追，那就感觉有哪个感觉？尖尖的？尖尖的，是不是要追来第一个图形？你就想到什么追，你就想到什么来。金字塔，金字塔路追你的节奏。 那这个金字塔是什么东西围起来的？旁边都是什么三角形？然后上面是不是有一个顶点底下呢？ 底下是不是也是一个三角形？所以我们这个就叫做正的三人追，正的三人追，那个一般的追，你应该怎么定义呢？有四人追， 首先剩下一个底，底是一个什么图形啊？底是一个什么图形？多边形是吧？ 对吧？可以是三角形，可以是四边形，也可以是五边形，然后旁边都是什么？都是三角形。这三角形有什么特点 才会有进阶的感觉？共顶点，所以这里有一个面是多边形， 其他各个面都是有公共顶点的三角形，那我们就把它叫做能追，能追这个多边形，我们就把它叫做它的底， 然后呢旁边这三角形我们就叫做侧面，侧面的公共直线就叫做侧能， 那刚才那个公共的顶点就叫做能追的顶点，能追的顶点，那我们记错什么？记错能追啊， 轮锥，然后顶点 a、 b、 c、 d 是 比啊，顶点啊，一旦 a、 b、 c、 d 啊， a、 b、 c、 d， 我 们就叫做轮锥。 那它的特点的话，只有一个面是多边形，其他都是什么三角形？都是三角形，然后剩下的公共顶点就叫做它的顶点。 要分类一下，如果底是三角形呢，那我们就把它叫做三棱锥。底下四边形，我们就叫做四棱锥，四棱锥 特别呢？三棱锥几个面为起来了，所以叫做什么？四面？四面。那如果底面是正的多边形呢？我们能不能叫做正棱锥？ 不能，两个字底是正的多边形，第二个字没有歪掉，没有偏掉，是吧？你怎么体现没有偏掉？ 顶点在里面，摄影在哪里？里面在摄影就是他的什么中心啊，所以不歪啊，不歪。什么叫做不歪啊？ 就是仅仅在里面摄影师他什么。这种人追，我们叫做正人追，正人追特别的有一种很特殊的正人追，多特殊， 所有的人都相等的这种正人追。你看我正人追可以高一点，可以矮一点，是不是都叫正人追啊？那有一种是所有的人才都相等这种正人追，我们就给他一个名称，叫什么正的四面，正的四面 啊，所以正四面里是特殊的正三人追。那么那我们来观察一下，三人追，四人追，五人追，六人追 啊，底呢，对吗？这个三人追跟他们区别在哪里？ 四轮锥底只能四边形是吧？五轮锥是五边形，那这个呢？底谁做底啊？都可以啊，都可以，只有他可以这样子是吧？其他行不行？ 所以我们要认识轮锥，先认识底啊，可见三轮锥的处理上面，我们可以从不同的角度去观察这个三轮锥嘛。 我可以以 b、 c、 d 做底，我也可以 a、 b、 c 做底，对不对？那我的体积用三个底面积乘高，那就计算方式就不一样了，是吧？ 所以从不同的角度过来，可能得到了一个计算结果的这个房价程度就不一样了啊。所以三人追特殊对他说任何一个面都可以作为 c 底面，其他人追行不行？不行，其他的多边形作为底面。 好，各位来看下第四题，把这个三棱柱，把这个底下这个角给它切掉，剩下来部分是啥？ 把棱柱去掉一个。哎，那我们要观察一下围成围成的图形，是不是旁边都是三角形，还有一个是几边形，所以你应该谁做底？ 四边形是不是做底？所以得到的这个结论叫做四人追，四人追， 那对吧，那如果我这边再砍一刀呢？再把这鞋面部分给扔掉呢？中间叫什么？把这个 a e， a b e， c e 去掉，也就 a a e b e c e 去掉 啊，这一切是不是他这个三轮锥？那这三个三轮锥体积有什么关系？因为底是不一样的，底是平，随便可以切一刀啊，是底是一样的高，要不要啊？所以这三个的体积是不一样的， 因此这个人椎的体积是整个人柱体积的三分之一，所以人椎的这个体积是人柱的三分之一的人椎的体积，那就三分之一的人椎体的体面呈高 啊，所以我们经常用科普的办法来研究这个几何形，也就是整体切成局部去研究它。第三，人台， 那什么是人台呢？什么图形是人台？ 要台上是不是上下是两个面？旁边是什么图形？梯形是吧？上旁边是不是都梯形？ 那这样来定义轮胎会不对呢？啊？这有问题的，等一下我们再讲。轮胎要这样来定义的，我们是用锥来定一台， 把一个轮锥用平行底面的一面去切，然后在底面跟洁面之间的部分，我们就把它叫做轮胎啊，就叫做轮胎。 那轮胎的概念，轮胎的概念，这里下面的这一部分我们就叫做上底面，上底，然后这边是下底，旁边是他的侧面，侧面的通过直线就叫车轮啊，这是车轮。 然后如果你用文字来打字母来表示，那就人台上底下都给它标出来，人台， a、 b、 c、 d， a 撇， b 撇， c 撇、 d 撇，但是那么那有的时候我这样子， 你看我这书可以把延长成这样子的，那这是轮胎吗？哎，如果这图形啊，旁边给大家，然后是这个胶在这里，这胶在这里，那这个是轮胎吗？所以衡量事故轮胎的标准是什么？ 就是他还原回去会不会是什么？ 所以判断是不是台，你要还原回去是不是追，或者说我要研究轮胎，我的方法是什么？ 把这个局部补成什么整体，所以他的研究的方法就是去补底啊，补底。所以是不是轮胎呢？轮胎有什么性质呢？晒到底是什么关系的？ 长的数，一模一样的值，大小怎么样不同，就这两个叫做什么来着？相似，所以刚才的特点，上下底面是互相平行写相似的多边形， 其次旁边都是什么梯形，第三侧人要有什么征信延长以后要交一一点，也就是可以把它还原为，所以他才叫做台，否则就不是台的。 那跟前面一样的，如果是三轮车割出来的就叫三轮台，四轮车割出来的就叫做四轮台 啊。大家们，那刚才这些概念我们讲的很多，大家要能找出他们之间关系哈。多面体，长方体，能助，能追，能抬，只能助四面体，平行六面体。给他找一下他们之间的关系。 哪个级的追的多面女？他们都是多面女是吧，都没有当拳击。然后呢 啊，再给他归成助。追什么呀？ 啊？那追的是不是能追？还有没有别的地方是追，没有了追，还有一个是什么台，自己是不是也归类？所以多面李是柱追台，然后剩下来都是什么？ 都是柱，是不是来啊？四面李。四面李是什么？四面李是追 是那些特殊人啊，他是几人追，三人追，所以剩下来的再把这些去找关系是吧？那这些里边谁最特殊啊？全方你就最特殊， 全方你是最特殊，全方你是，然后谁是最一般的人？就应该最大的时候你应该是什么是吧？ 那值人数跟频率的比呢？你们，哎，公共的就是谁啊？是不是长方里现在关系是不可以写出来了 啊？所以他们之间的关系我们可以用文献图来看啊，就这样直观了 啊。再来就这几个，几个几，我们如何用集合来表示呢？ 所有的正式人数构成了这个几何，所有的长方形构成的几何 谁去再说？所以答案应该，哎。 应该是哪两个啊？ cd 是 吧？ cd 区别就在谁啊？ m 跟 a 这两个什么关系？ 正是能住，什么叫正是能住？底是正呢？还有什么正没有歪掉正对吧？这底是正方形的什么值得人住是不是？ 那什么底呢？是不值得住，但是底呢？矩形就行了是不是？那我正能住底，底必须是什么正方形， 所以谁就不能说，哎。所以应该写的是哪个单哎就写的是 d 啊，写的是 d 啊，所以正的四人数是常温里的一种是吧。 哎，那这个是人数是这么低吗？啊不是啊，因为这个高可以。什么高可以跟里面一样一样长吗？啊，所以所以他不是， 他判断一个几何底是不是人柱啊，关键要看底，先看底，底看完看旁边都应该是平行边形。 第三这个侧轮啊，两个相邻的两个平行四边形啊，两个四边形公共边应该都要互相平行啊，不但视频，视频应该公共边都是一样的啊。 来，朋友们，让我们继续来判断一下下列说法不正确的是谁？ a 对 吗？因为他旁边都是什么平行四边形是吧。嗯，四轮锥几个零点？五个来五个零点啊，五个零点四轮锥， 三轮胎轮胎算一下底肯定是的吧，相似的没问题，有些人的三轮胎都相的 什么轮胎就行了，这轮胎是不是就行了？所以啊，这个台柱针啊，这个能顶点 来进行。那立体形，立体图形研究的方法是什么呢？ 正三人座，人侧人长是 a， 里面的边长是 b， 一 只蚂蚁要从 a 出发到 a 一， 路线是到这边最短的路程是， 所以立体写的里面啊，空间问题，我们接下来降维，哦，也就是说降维是吧？把三维变成几维啊，那就要把空间问题转化为， 那就要拿一把剪刀来把它给剪开，然后把这一些都放在同一个平面底下来研究，是吧？ 那请问 a m m a n a 是 折线，折线什么时候会最短呢？ 折线要最短，就把它给拉直的时候最短了，拉直的时候最短了， 那现在这个以 a a 撇多长？哎，三 b 车轮选这条边长 a， 因此最短的长度是 来根号九 a 方啊，九 b 方在谁对吧？ a 方啊， a 方在九 b 方是不是在最短呢？所以研究方法的话，我们就把空间的问题转换成什么啊？平面 空间问题不好研究，我们就转化成平面的问题来研究啊，就是。 好，那我们今天的任务就讲完了，那昨天我们还有这个题目啊，第一位，我们是匀称的是吧？ 来，现在第二位， a、 d 的 长度是二， b c 是 二根号三， c d 也是二根号三，这是二根号七，这里来了一个六十度， 那这个面积的话是什么呢？啊？如果要求面积呢？ 那么我们昨天是不是已经证明了这四条边跟什么里面的两个对角线是不是有这关系？那现在我四条边知道了， 如果四条边知道了，那什么就可以求出来了，两条对角线极数知道了。那请问对角线的极跟这个这个四边的面积有什么关系 啊？我这面积是不是可以用对角线来表示？二分之一的反二分之一，什么 a、 c 乘 b、 d 再乘以它的什么值高高是它什么值？我们这是减值，所以我这四条边知道所以急，知道不知道急叫我求出来带下来搞定了没？ 第二，如果 a、 b、 d 跟 b、 c、 d 面积相等，求证他们取 面积相等，同样 这两个面相，这两个伞有什么关系啊？那面具相对，所以高，如果相的伞伞 啊，高如果相等，所以啊， o 是 a c 的 啊， o 是 不是 a c 的 终点啊？好，那我们接下来是不是再来去看？所以啊，面积相等，我们要看到它是它的终点啊。

那么画展开图的时候要注意什么呢？李欣宇， 左边和右面是相对的，中间隔一个面，前面和后面是相对的，中间也隔一点，上下面相对，中间也要隔一个面。所以啊，我们画展开图的时候一定要注意， 相对的面，中间要隔一个面。 还有要注意的地方吗？还有没有 韩信远，前后左右上下面积都相等。对，不能够忘记这一点，相对的面面积要相等，这边是一二，这里也要是一二，不能够违反他的特征。好，张清风还想说， 如果要找他的长画不高的话，必须要以前面为主哦，他还想到了前面当中涉及到的两种人，一种叫做唐，一种叫做包，这个是包多次多次用到这个知识点， 前面当中竖直的这条就是他的腰，非常好，我们一定要记住一起读一遍，相对的面中间必须要隔一个面，相对的面完全相同。第二题 要求从下面的长方形纸上剪下一部分，折成一个人长二厘米的正方体。可以怎样剪？设计两种不同的方案。在图中，图色表示，我们这一道题目要注意些什么呢？ 看看书要注意些什么？杨小薇，要注意，要画六个面。好，一定要画六个面，还有吗？ 每一个格子都得代表两厘米，第一幅图六厘米当中只有三格，所以一个格子得代表两厘米。请做这道题目和我们原来做的题目有点。

好，真好，请坐。来吧，咱们今天继续来学简单的几何体，这就是圆柱、圆锥、圆台球 啊，那这一类的几何体都叫做什么体啊？顶称为什么体？旋转体。 那什么是旋转体啊？倒着一个圆头，然后做圆形平面图形，那是该平面的一条线，旋转一周得到的图形叫做旋转体， 所以，所以是平面的曲线，对吧？然后绕着所在的平面的一条直线，那我们的线运动成什么啊？面， 那这个曲线得到的就是叫做什么呢？这个曲面就得到曲面，我们把这个曲面就叫做旋转面。旋转面，那跟 b 的 旋转面围起来的体合体就叫做旋转体 啊，这围起来的叫做他的旋转力，那就包括他什么呀？内部的啊。那我们把这一条直线就叫做他的轴，他的轴， 那你要不要 a 撇 o 是 跟轴数垂直的，跟轴垂直转出来的图形是什么呢？啊？ a 撇 o 转出来的图形是什么呢？ a 撇转出来是圆， 那别的点转出来是圆，对的点，所以得到的是一个什么？圆面，这是一个最基本的图形，最基本的图形，所以复杂的曲线绕着一条线转，我要看他这个点的相对位置怎么来看， 比如说我要看 a 点转出来的效果呢？ 那我就过 a 点去做轴的垂线是不是在这个这个圆上？圆上，所以 a o 那 是不是就变成圆面了？圆面了，那这样子得到一个最基本的图形。 好，那接下来我们看一下圆柱，圆柱是怎么算出来的？旁方底，旁方底 绕着长方形，绕着一条，一条什么边，一条边 转出来的是不是都是圆柱？所以圆柱这个简单的图形是矩形所在的直线为我们的轴啊，为我们的轴， 那其余的边是一个封闭的图形，转出来所形成的旋转体，我们就叫做柱，叫做柱体。 因为你看我 a 撇 a 撇转一下是一个圆， a 撇呢？转出来是一个圆， 然后其实我们有个看做什么啊？你的点每一点都是什么？那把这一圆怎么样？那截起来是不是我们圆柱了？截起来圆柱了，可是 这上面任何一点做垂直过来，跟上面数都相等的，所以所以转出来图形，每个点到轴的距离都是等于什么？等于这个半径，是不是半径？ 好，那我们给他起一些名称。首先是轴，轴就是什么旋转轴， o o 撇叫做它的轴，叫做圆处的轴。 那沿着圆柱的轴切进去的平面是什么样子的啊？是一个矩形啊，那这个面我们经常叫什么呀？轴截面啊？轴截面第二个的话是 第二个的话是底面，这个圆 o 撇跟圆 o 这两个， 哎，这两个圆面，那就叫做它的底面，底面，注意我们这底是圆以及它的内，叫做底啊，这里叫上底，这个下两个底， 那么再来叫 a 撇 a 就 叫做它什么线啊？叫做母线啊， a 撇 a 叫做它的母线， 就是刚才我们这 a 撇 a 跟我们轴是怎么样平直的？那这条是不是有线？那无论你转到哪个位置， 这两个图形，这两个矩形都有什么关系？ o 撇 o b b 撇，这个矩形跟刚才那个矩形是相等的啊，相等，转到哪个位置都是相等的。 还有的话，一个面是侧面，侧面，我们刚才 a 点 a 这条线运动形成的面是什么线运动成面，面就是旁边这个曲的面，是吧？是曲的面，那这个面我们就叫做它的侧面、 正面。哎，那我们出宫就知道了，车面我们怎么研究啊？啊？展开，车面，展开是什么图形呢啊？ 展开来是一个长方形，长是几啊？嗯，高是几？高就是母线长是吧？高就是母线长。 所以这里很重要的一点，一个思想就是要化取，为什么呀？为直啊？那我们这里是化取为品，把这曲面就展开变成平面，把曲面展开成平面来凝聚这个曲面的属性， 但是就那追呢？对吗？追，追是什么？三，直角三角形，直角三角形绕着一边旋转出来，对吗？绕着直角边旋转出来的东西， 所以以直角三一一条直角边所在的直线为旋转轴，其与两边旋转形成的面所围成的几何体。这样圆锥围起来的啊，也包括在内部啊？圆锥， 那首先这个 s o 是 不是很重要？那 s o 就 叫它的轴啊，圆锥的轴就是我们的旋转轴 s o， 那如果我移到到这个位置呢？那我这 s o 跟 o b 什么关系？还是那这个 s o b 跟 s o a 这两个平面图形有什么关系啊？全等啊，全等。 第二个，第二个概念就是底了，那这里是不是有个底？什么圆后啊？圆后以及他的这个圆面，圆后以及他内部就叫做圆面，这就在他的底面。 再来，侧面是啥东西呢？哎，侧面，侧面是 s a 啊，这个斜边旋转而成的。什么啊？哎，曲面 旋转成曲面，那这个曲面我们怎么研究啊？展开，沿着 s a 把它剪开，剪完以后是长什么样的？再剪开了以后是一个扇形， 这扇形的弧长呢？二拍，二拍，二拍啊，这扇形的半径呢？又是它的什么线长度？线长度啊？那我们这条 啊，斜边，对吧？斜边就叫做它的线，那 s a 是 母线， s b 呢？哎，也是母线，也是母线，也就是无论旋转到什么位置，不垂直于啊轴的边 啊？不垂直轴的边这条 s a 啊，因为我们直角三斜边嘛，就他怎么样母线这样三根斜边叫母线， 但易受点。我如果一不小心我绕着直角边转出来呢？斜边转出来呢？这样转来，我们刚才说你是轴， 所以现在我们要看 o 点的位置。怎么看啊？做轴的什么线？垂线，那这是什么原理？直角绳这条是什么边？所以这是一个 圆锥，那这呢？所以这边也是一个圆锥，所以得到的是一个组合体啊，组合体，所以得到的是一个组合体啊，否则就是一个组合体了。 第三，才， 什么叫才不是才叫呢？就叫才，是不是？哎，我们要化才为追，化才为追，能还原成追的才叫。所以我们怎么定义才啊？ 我们看已经是一圆的，是二啊，圆锥，然后按照什么来圈？平行于底面的平面去截啊？那这两个 平面切的部分就叫做圆，就叫圆裁。用平行圆切底面的平面去截圆针，在底面跟前面之间的部分就叫做圆。 那当然，那它的轴前面是一个什么图形啊？ 啊？是一个，是一个什么体？轴斜面等腰梯形，那轴斜面的一半是什么？所以他也可以看作是直角梯形，绕着 这条算什么？ c 形的什么什么样的腰？跟底垂直的腰是直角的那个腰，直角的这个腰旋转出来的曲线围成的图形叫做圆台，是不可以站立， 所以才可以绕着这个转出来的。那，那我们来认识一下那轴是谁啊？轴就是 o 点， o 是 不是它的轴，所以第一个 d 圆台的轴， 圆台的轴就是圆锥的轴吧，还是 o， 那 这两个圆呢？就叫做上底跟下底面，那它的侧面是什么呢？ 哎，圈面，那他的圈面是什么？我不认识，那我就认识了。什么？圆锥的是扇形，然后再扇形剪掉一个啊，那么大圆心小圆叫做 圆环，那这一部分，这一部分是一个扇环，是吧？ 所以我们把它展开来是一个上法啊。那这个面我们就叫做原来的层面啊，原来的层面，那么哪一条是它的母线？ a a 撇是它的母线啊，是它的母线， 那母线撞到哪里的位置？他跟 o 啊，跟轴相对的位置都是什么？不变的对不对？因为你撞到哪里，这两个直角梯形都是什么关系的？哎，长得是一模一样，是旋转的， 所以这是母线它的一个特性。那你要成母线，你撞到这里来，跟原来是什么一样的一个东西，一样的一个平面， 来一些概念的变形， 那就说我们概念系数为什么那么严密？哎，如果出现一点皮肉的话， 那可能就不对了，是吧？那第一个他的皮肉在哪里啊？直脚边，直脚边，直脚边，那万一是斜边是一个组合体是吧？所以第一个是错了，第二 那个比较比较会斜交跟。哎，所以我们应该是 按照高所在的这个腰，是不是？所以他，如果不是， 他说一边所在直线旋转一周的图，那肯定怎么样？不是原来的对不对？哎，那我们刚认识一下，那如果我绕着 a o 转出来是啥？ 一个上面一个，下面一个，就是刚才那张是不是做轴的呈现进行分割，这底下矩形是一个住，那上面是一个嘴，住贴一个嘴，那如果是 a 撇 o 撇呢？ 那是柱挖掉一个，那如果我绕着 a a 点吗？一样的，你切割的时候是不是做垂直过来切割啊？ 这柱柱柱底下挖了一个洞，是吧？ 这样一个角度，所以啊，一定是绕着这条转出来是吧？怎么转不出来？那 c 平行四边形，一边所在直线转出来是圆柱形，台下面画的，下面画的。哎，那我们看一下，如果我是一个平行四边形， 如果是这条边绕着他转出来是啥东西呢？该怎么操作记得吗？该怎么操作？做轴的垂线，垂线把它分割为简单的几何体， 所以这一部分是不是直角可以绕着直角边，所以是。对，那这一部分呢？那应该这里做垂直过来，这个是角相迎，所以是柱弯，那跟刚才这个连台那边差不多，是不是？这也不对，所以只有谁是对的？ 可是球可以看做什么圆绕车直径转多少就够了，一百八就够了，或者半圆绕，直径三百六十也行。啊。 啊，这是概念的变形啊。第二，刚才这几圆的结构 我们不太熟悉的，就是侧面是不是？而侧面是一个曲面怎么办？ 发曲为直，发曲为平的吧，这个曲面把它换成平面吧，都是曲线就换成什么样啊？拉成直线来研究。那我们看这题，一个圆柱的侧面展开是长为四，宽为二的矩形，那圆柱的轴角面的面积是多少呢？ 哈哈哈哈， 这钱是啥 来？里面的圆周长，那我设它的半径为二，所以有二派二等于四，二派二等于四，所以二等于 二。二分之二宽为二股线为 概念轴前面。什么叫轴前面？沿着轴切下来得到的，是吧？沿着轴沿着轴切下来的， 所以他的这个图形是什么？矩形的长等于谁啊？ 二啊，不是刚才我们那个直角边所在的这一部分，而是什么？这个洁面是不是这个平面跟几何体？平面跟几何体怎么样？公共的部分在它洁面的， 那公共的部分应该是一个长为几为二，二宽为二的一个，是吧？所以答案应该是什么？二分之四乘以二，所以写的是啊。二分之 二展开是啥？展开？我们看一下这几的 已知。一个圆锥的轴节面是等边三角形，那把它的圈面展开得到上行的圆形角多大？ 选二没？选了一下 c 是 吧？怎么算呢？要求圆心角， 按照弧度的定义，圆形角会等于弧长比去半径，弧长比去半径，那我设的半径底的半径为二，所以我弧长为几？ 二，二二二。那这个扇形的半径是谁啊？ 这个是圆锥的什么东西？母线，他的轴前面是整边是母线，长度二二，所以是二派二属于，因此是 第二个的话，是球体的结构特征，那就是半圆帽子直径转出来，图形 半圆，以它直径所在的直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面， 曲面叫做球面，那球面所围成的旋转体就叫做球体，简称球，所以我们讲的球是这个球面以及它的内部以及它的内部 来。那刚才我们这个直径是他的球啊，是在球，那球心就是半圆的。什么呀？圆心？球心就是半圆的，圆心叫球心， 那球的半径呢？那球面上任何一点到球心的距离是不都等于半径啊？都等于半径， 那直径就是过球心的啊，这个球面上两点只要过球心都是他的直径。 那还有呢？洁面轴洁面是一个什么轴洁面？什么叫轴洁面？ 那其实只要过球心都是他的折前面，只要过球心都在折前面，所以这个折前面是一个很大的圆，所以我们把它叫做大圆，大圆，这个大圆的圆的半径就是球的怎么样？半径。 哎，看见没？那如果我从底下这里切进去呢？啊？不过悬心，那这个圆就叫什么小圆啊？小圆圆心，我叫 o 撇。 哎，这个小圆和球心这样子连起来，这每个点连起来是啥东西呢？圆锥，是不是圆锥？ 所以这里切进去我们可以得到一个图形，怎么样？圆锥？什么圆锥？ o o 撇，是不是只得到圆锥 o o 撇？ 哎，那圆圈有什么特性呢？圆圈的顶点在底面射影是什么呢？哦哦哦，所以我用平面去截，我用平面去截这个球， 那我洁面圆心跟球星连起来跟我这洁面什么关系？ o o p。 跟我这洁面阿法是，阿法是。 再反过来，今后我要去定位球星在哪里，我怎么定位啊？我就把那个小圆圆心找出来，球星跟我连起来肯定要跟我在前面，那就在这个呃，前面的法线上面是不是所以球星就在我法线上 我就可以用这个办法来定这个球形的位置啊。定球形的位置你看大家们再看这里已知球的半径是十若他的洁面面积是六十四派，请问球形的洁面距离是多少？ 这前面是一个 哎远是不是是个小圆小圆的半径是 小明的半径是半。那我们现在要求谁啊？距离哪一个是他的距离啊。哦哦哦哦哦撇是不是距离 那哦哦撇是跟这面是垂直的。请问这个 d 等于几呢往哪里算呢？点那个啊这个求面上的点是不是 所以这道是什么半是等于几所以所以距离为几啊啊啊距离为六啊距离为六 啊。那就是这个碱面的结构哈。碱面的结构要大一些 哈哈哈哈 我在地理学了快四十年了啊那你们刚学的是不是 地球是半径为二的，那这个是球心。地球上 ab 两点都在北纬四十五度的纬线上 地理课代表是谁我看一看哎。北纬 五度的尾线。这个尾线怎么定义啊。赤道一点赤道这里是赤道平面是吧 指的是哪个角？四角就是这条线啊。纬度上面这个线 怎么样跟赤道平面的假角多少度？四十度假角数四十度 你看你这里是不是过来竖一个角那就这一圈都是几度的。四十四十 那根赤道平面四十五，那跟这个法线是多少哎啊也是四十五这个角度是四十五那法线就是我们的什么啊法线是不是就是我们的轴啊。那你是球面上的点 所以要做什么工作啊？过这个点去做轴的什么线？垂线，轴的垂线。 那这个动物在哪里？一个小圆上面是吧？这个小圆就叫北纬四十度。是北纬四十度， 可是应该啊，不知道，不认识，那这个小人半径为几啊？二分之根，号二啊。明白，那如果我是北纬三十度呢？ 三十五度，那这个角度应该几度？六十，这是二十，应该是二分之一号三。哈啊，这个纬度线，我们明白了，经线 一个人在 a 点处， 在一点，就你看上北，那就这个是什么方向？北这呢？左西这边是西方，这边是东方，是不是？ 那现在他是东京。二十度指的是什么？指的是他站的这个里面跟谁啊？想想是不是二十度的这条线上啊？ 这边在什么线？本初十五线就在这平面，是吧？那这里是二十度，东京二十度。这里呢？东京多少？一百一，一百一， 九十度，他在北极的那个地方的夹角，所以他们这两个半平面夹角几度。那哪个东西九十度啊？是不是九十度， 然后向东前进的多少呢？指的是哪一段？在圆面？圆面圆后移里面 的什么东西是他前进的？五 ab 的 长度是吧？ 这圆形角知道吗？这个加了几度？六十度，所以无穷等于谁啊？圆形角乘半径，半径是， 懂了没？啊？ 啊，那现在地理提高一分，要表扬我啊，那我们刚才这些简单的几何体做这一台，那我加个上一节， 对吧？下一节我们讲楞柱。那我们这一节讲什么啊？圆柱，那楞柱，圆柱都是柱，那柱体的体积都怎么形容？同底同高，所以我们经常会把这两个放在一起叫做什么啊？因为柱体的体积都是顶层高， 那我们把楞锥跟圆锥都叫做锥体，锥体的体积三分之一面形成， 那柱体跟锥体中间有一个台体，是不是台体？那台体的体型是柱体尖锥体。没那么简单啊，没那么简单，那可见柱吹台。如果我从 变换的角度来一下，可以看他们之间关系了，我们可以把柱体的圆柱的柱体的底上面向里变小，那就变什么了？ 再小的就变小了，变小了就变谁？锥是锥，那锥的上面从点放大以后就是还是要放大呢，就锥是吧。 啊，可见如果我们知道台底的体积是三分之一高，上底的面积加下底的还有多了一部分是上下底的横比中下整起来 k k 二。 所以台底的体型啊，柱体的体型是什么？ 他就把上里的膨胀为下里那么大，谁的括号里面是三 s， 所以 他就谁啊。 s h 那 台变成锥呢？三分之一，上面没了就变成谁是三分之一，谁 h， 谁谁谁谁。 所以我们从这根变换的角度来看啊，上笔变小了就变台了，再继续变小了就变了，说成一个点就变成，所以从这个角度来认识啊，助追台啊助追台。 第三，简单的组合笔， 现实生活中的物体表示的几何体，除了简单几何体以外，大量的是由简单几何体组合而成的， 那我们就把它叫做简单的组合体来。那第一个，这是啥啥组合的？ 住，然后才住，所以顺风过程呢？ 那我们就一部分一部分来研究吧。你要是圆柱，我是关键把母线就找出来，然后做母线的垂线是不可以进行分割成简单处理。 第二个球啊，住台柱是不是？ 那刚才是不是都把它啊？拼起来的？是不是拼起来了？那这缺掉一个角是吧？缺掉一个角，那缺掉一个角也叫做什么呀？也是主要理。 哎，那体积就是把这个切掉的部分给表面筋呢啊，三个这个角的三个切面的是不是 减掉三个切面完了呢？小心哈，你切完以后，那底面就变成我的表面了，只有表面筋会多出一块，少了三块是不是一样的？这个是 把长方体挖掉两个也是组合体，挖掉也是组合体，那体积就减了，表面体有去掉，有增加哈，有去掉有增加，有可能表面体会变大的，对不对？挖掉以后有可能表面体变大啊，小心。 所以拼接起来的叫做组合体。蛙跳呢？蛙去一部分呢，也叫做怎么样？也叫做组合体。节去或者蛙去都叫组合体，那么他的球减就把它转化为简单组合体的球减。 看课本上有这样一个题，将直角梯形绕着 a、 b 所在的直线旋转一周，由此得到的图形是什么样子的呢？ a、 b 是 轴，得到的图形是什么呢？那如果是这样子，我们要怎么操作啊？ 你怎么把它齿轮体变成简单的简单的齿轮体的组合呢？第一点的位置在这里，所以要怎么办？左轴的垂线上半部分是 直角，三角形绕车直角边，下半部分是矩形绕车 来，矩形绕着一边转出来，是吧？所以它的体组合体应该是上面是锥，下面是锥锥，所以得到的几何体是一个圆柱跟一个圆锥组成的。来放一条 c、 d 还是抓住一点跟轴什么呀？垂直跟轴，垂直 b 所以 过 b 做他的垂线，这是一个直角三度锥，所以他的几何体是 注刮掉嘴里沿 a、 d， a、 d 做轴是 哎。直角梯形绕着直角的这个腰是吧，刚好是什么？求圆台 绕 b， c， b， a、 e 是 直角三角形绕出 斜边转出来是哎。这里过来是不是两对， 是不是两追？下面这也是绕着他转出来的，他也是两追， 所以这样子的一个两追组合。你在啊挖掉这个是吧，有点像什么， 你要站起来像陀螺一样的啊。哎。有没有像陀螺那样子的？ 小姐姐们刚才我们讲的你要把这个旋转笔弄明白，那就是做轴的什么线？垂线进行分割，做轴的斜线进行分割是不是可以看清楚来再来。第六 如图所示的空间图形是一个圆柱挖掉挖掉锥，圆柱挖掉锥，那如果我平行底气切切到了多少？ 哎。修的那个环照的斜照都是环照的啊。他不是这样切，他怎么切的？现在是，现在是怎么切？竖直的平面去截这个复杂的空间图形则截面的图形可能是谁 怎么切的啊？走前面切进去是不是一个等腰三角形，外面是个矩形， 他说 a 是 对的啊， a 是 对的，那还有谁是对的呢？没有没有， 我满画一下，你们想我吗？ 对不对啊？一头到底的是不是到底啊。 走垂直的切拼拼是什么？走有一个假假切拼是什么？ 跟手有一个小小的这样切进去是什么？是果园是不是果园跟母线平行的去切它是什么？ 哎。抛物线那根轴平行的去切是什么？这里有一部分，是不是底下有没有一部分？ 所以他叫啥来着？穿曲线。所以我们在高二要学什么？悬椎曲线。悬椎曲线 我们这里讲的有没有想理论，没有直观感知，是不是 直观上面来看有没有到底没有半半是直的？肯定不是，那不就选好了吗？ 不需要你说知道这是圆锥曲线，我刚刚只是拓展了一下，你不要怕啊。拓展了一下啊，这是什么圆 锥曲线？接下来啊，所以我们要能直观的判断他是什么样一个图形啊，所以答案应该是 c a d。 好， 下个吧。