抚顺市高三一模2026哪出的题

昨天咱们抚顺高三一门英语刚考完啊，就是分析一下这次卷子，这次一门英语提出的很不错啊。先说作文，只是大作文续写简单到不行，可以说是白给啊，人间有真情，人间有真爱，对不对？就那个小哥俩给老奶奶扫雪， 每段首句的提示也非常清楚，就是第一段，你就写那个小哥俩和老奶奶交流之后扫雪的过程，对吧？第二段写扫完雪之后，老奶奶对小哥俩表示感谢的过程， 就值得注意的，一共两点啊，说一下，一个是原文说了老奶奶有时候呢会塞给我苹果，所以二段啊，老奶奶感谢的方式如果能沿用，这个送苹果的细节会更好，续写会更严谨。还有一个啊，是那个二段的结尾啊，就是妈妈如果出现一下也会更好。妈妈这个人物原文笔墨写的还不少，一点不出现的不太好。 小作文啊，考了一个非常简单的高字信，就是书信，平时写的是最多的，只要你基本结构对，要点写全，现在起步就是八分，八分，如果都没得到的，那你抓紧练一练吧啊， 再说一下前面的选择题啊，就是甭管阅读七选五还是完型，这一次一模啊，就是紧扣考纲主题，像这一次七选五考了一个那个数码人文主义讨论 阅读 b 篇，谈了对电子书纸质书的理解和看法，对吧？这属于科技生活类，而且每个题都不白给。咱就拿那个 b 篇的二十六题为例啊，就是他问作者为啥优先选择纸质书，原文说他获得了专注力，并且纸质书呢，是一种能够增强认知和记忆能力的思维训练 第一项啊，是对这句话的高度概括，而且我之前视频就说过了，目前啊，除了 a 篇阅读以外，全部都是考文章逻辑关系，语义表达，你要想靠找对词做对题啊，就根本不可能你就放弃了啊，单词不背的文章也不爱读的孩子啊，及格你想都不要想， 基本就这样吧啊，行了，今天最后一天也考完了，就是大家通过这次一模呢，看看自己欠缺哪一块再调整，也不知道同学们这次发挥的咋样啊，就满意不？

已知定律为 r 的 r， 函数 f x 满足后面这个关系，且 f x 在 零道上单调递增。若函数 t x 的 f x 减， f x 减一，判断下列四个结论正确的是，首先根据第一个这个条件， 我们可以将 x 加三分之二，再带入一次去得到一个关系， f x 加二，等于 f x 加三分之四，然后再减去 f x 加三分之二。 那么结合这两个条件的话呢，我们可以得到 f x 加二，就等于将 f x 加三分之二消掉，刚好等于负的 f x， 它又是偶函数，也就等于 f 负 x， 因此可以得到一个点对称，那么所以得到 f x 关于点这个一零对称。另外呢，它又是关于 y 轴对称而函数， 所以的话呢，得到周期 t 是 等于四的，接下来呢，接下来呢，我们类比去得到这个函数，大概画这个图。关于一零对称，又有关于 y 轴对称， 它在零到二上是单调递增，我们就以三角函数这个曲线来画图，周期的话呢，是四，这边是负一，这边是负二，大致的话 画出来是这个样子，所以的话呢，这个函数 f x 可以 类比 f x 等于就就用余弦曲线，当然它是前面加个负的负号，负的 cosine 周期是四，那么是二分之 pi x 满足这个条件， 它关于零对称，也关于 y 轴对称，是函数，所以的话呢，呃，这个 g x 的 话就可以直接表示，那么 g x 就 应该是等于呃， f x 减， f x 减一，那就是 cosine 二分之 pi， 后面是 x 减一，然后再减去 cosine 二分之 pi x， 给给它化简一下，它就等于 sine 二分之 pi x， 再减去 cosine 二分之 pi x， 因此的话呢，它就等于用负极角公式等号后被的 sine 二分之 pi x 减去四分之 pi。 接下来呢，直接去判断四个选项。 g x 的 这个解析式已经得到它是偶函数，所以这个容易判断 a 是 错误的。在凹到三上是单调 d 增，那直接把这个整体角范围求出来，是不是落在正区间上？正弦函数的正区间上， 那么 b 选项在这个区间上也容易判断并不是单调增，所以 ab 错。这个 c 的 很 c 的 话呢，直接带进去算值很明显是正确的。 d 选项的周期是四不变，所以选 c。 我 们直接类呃类比去得到这个函数的具体函数，从而去判断四个选项，呃容易得到答案。

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哈喽，各位同学，今天呢给大家分享的是东北三省三校的一模化学试卷啊，这道题的试卷质量也是非常的高啊，那今天呢，我们一起来讲解一下，看看又有怎样的收获。我们先看第一题，下列说法错误的是 a 选项， 空气捕捉法能实现空气中捕获二氧化碳，有利于什么？碳达峰碳中和啊，那当然了，对的， b 选项呢， 这是天文一号所用的太阳能电池板，主要是硅啊，这个也是对的啊，硅是可以做太阳能电池板的啊，二氧化硅是光导纤维。 c 选项呢，我国空间站 这个什么核心舱使用的氮化膨陶瓷基复合材料属于，这，我认为它就属于复合材料，对吧？我们化学里面呢，材料呢是分为 啊，这个有机高分子啊，无机非金属金属材料以及复合材料啊， 在这里呢，他都已经提到了复合材料啊，他其实是蛋化棚陶瓷基的复合材料，肯定是还有其他材料啊，这个混合在一起的。那你如果就问我蛋化棚陶瓷属于什么，这个是属于 新型无机非金属啊，所以呢， c 还是一个明显的错误。我们再看四 d， 食品中添加适量的二氧化硫可以漂白哎，防腐抗氧化，对，你像葡萄酒里面就可以添加二氧化硫啊，就起到一个抗氧化和防腐的效果。再看第二题，下列化学用语正确的是 a 选项，次滤酸写法了，这里 氧在中间，绿在边上啊。嗯，他之所以这么写呢啊，你可以认为是正价写前，副价在写后，对吧？我们这个书写啊，在九年级的时候学习， 刚开始学习化学的时候要求化学式的这种书写，正价在前，副价在后，但是他真正的结构呢，是长这个样子啊，是氧在中间啊，两头分别是氢和卤素。再看 b 选项， 磷强积苯，甲醛的分子内氢键，这个是一个典型的错误，各位同学注意啊，这块是点点点， 什么是氢键对吧？你得氮氧氟身上的氢再遇到，对吧？像氮氧啊，氟啊这类的元素才会形成氢键，这个氢是在碳身上，这是坚决的错误，没有氢键，所以他的氢键应当怎么画呢啊，你可以这么画 在这里呢，这个还是这肯定是抢击上的轻，然后，哎，遇到拳击上的痒啊，点点点，这个才是它的分子内侵减 b 从 c 选项呢，各的价电子排布式， 三 d 五四 s 一 啊，我认为没有问题啊，就是它啊，三 d 轨道半满，四 s 轨道半满啊，这红特特立对吧，哎，能量啊，是最低的啊，所以选 c， 四 d 选项呢，就是绿化的电子式啊。嗯， 这里的绿是阴离子，我们应该这么表示才对啊。再看第三题，嗯，中华诗词啊，这解读错误的。是啊，看 a 选项， 这个什么烟笼寒水月笼沙，对吧？野泊秦淮近酒家名句。那这里的这个烟雾属于气溶胶吗？那就看后面的啊，当然属于啊，对吧。啊，这个什么叫气溶胶呢？你得去看你的这个 胶体的分散剂，对吧？分散剂是气体啊，那你就是气溶胶对吧？分散剂是固体呢，就固溶胶啊，那你像这个烟雾分开看，烟就是固体小颗粒，对吧？分散在记忆当中啊，那都是气溶胶，没问题的。 b 选 项，柳絮主要成分是蛋白质吗？这个柳絮啊，各位同学肯定都见过对吧？啊，那这怎么可能会是蛋白质呢？纤维素， 所以呢，生活常识呢啊，算 b 错， c 选项呢？孙三到死四方进啊，说这个古代的蜡是 动物脂肪，不属于高分子哎，对啊，这个脂肪啊，这油脂对吧，这不是高分子啊，那像这种多糖啊，或者是蛋白质啊，这类的是高分子。 四 d 选项呢，金属的验色实验属于物理变化哎，对啊，其实就是这种电子跃迁啊，然后你放出这个能量，对吧，如果你的能量位于可见光范围内啊，那你就能看到这个 艳色的火焰的颜色啊，所以呢，选 b 啊，再一个吧，这里那些这个艳色艳的那些现象啊，那些火焰的颜色，咱课本上也有啊，各位同学，如果背不下来的啊，赶紧去背一背啊， 什么蜡黄加紫铜贝绿呀，对吧，钙是砖红的，离子红丝阳红的啊，这个都得熟悉熟悉。我们再看第四题，下列操作正确且能达到实验目的的是， 嗯， a， 观察呐，在空气中加热的变化啊，这个呐呢，我们课本里吧，都是取一个绿豆大小的呐。啊，我遇到题都讲过说黄豆大小啊，这个笑死我了，这黄豆，黄豆比绿豆大啊， 不会不知道黄豆绿豆什么模样啊，在家里看看啊，一定是绿豆大了放到这里面，然后吧，这个，那就观察啊，趁会观察，所以没有问题啊，选 a， b 选项呢，去探求碳酸钠，碳酸氢钠这稳定性啊，这个反了， 嗯，你这个呢，是一个典型的不对等实验，你得是把这个热稳定性更强的这个碳酸钠放到离火源更近的位置啊，结果反而你发现里面这个呢，还是澄清的， 而放在里面的这个碳酸氢钠，它对吧，离火源远，温度更低，反而它偏浑浊了，对应的这个石灰水，那这太能证明 这个碳酸氢钠的热稳定性差啊，对吧，不对的去做这个实验啊，所以 b 错误啊， c， 它是去转移溶液，这个画的还是很清晰的啊， 你的这个玻璃棒引流应该插到这个刻度线以下啊。错误，四 d 选项呢？证明乙醇消去里面有乙稀啊，这浓硫酸一百七对吧，乙醇脱水变乙稀啊，生成气体用碱洗啊，没有碱液， 氧化钠溶液跟上啊，洗完这个气体呢，你发现啊，高锰酸钾褪色了，那证明有乙稀，对吧，那为什么要用碱洗器呢 啊，这是不是里面有二氧化硫啊，对吧？哎，主要是除它啊，也有二氧化碳，那为什么有二氧化硫呢，对吧？那是因为啊，你这个浓硫酸脱水啊，这一醇碳化，对吧，加热条件下这负反应，负反应来了啊，生成二氧化硫二氧化碳 啊，这个碳和这个浓硫酸在加热条件下是能反应的。所以综上选 a， 再看第五题，这个下列说法正确的。是啊，嗯， a 呢？先是，这是什么？这是乙酸胺 啊，这个乙酸胺啊，经常和这个分抢剂呢，去搭配来考啊，那干嘛呢，看见没有 去取代啊，这个得到了，这是乙酸苯分子啊，然后呢，再是绿化铝，这是一算一个易勾化啊，这怎么回事呢，这边还有个氢吧，对吧？哎，这这这这啊，易勾一下啊，就跑成这样了啊， 然后紧接着到了嘚这就有点看不出来了，不过这是什么东西对吧，这个你可以这么展开看看啊。哎 这瞅着好像像什么东西，这是不是叫碳酸 e 二酯啊，其实你完全也可以这么去写它对吧？括号 c o 三啊。碳酸 e 二酯它跟碳酸 e 二酯怎么反映到了这个 f 呢？这个时候吧，我们就是逆合成分析啊，都倒着推了啊，你去观察对吧， 这个你看呢这一坨的东西像不像这一坨太像了啊，你仔细看对吧， 这胰腺肌是吧本环啊，这碳数一个也不差，其实就是这个什么双剪断了啊，那所以呢，我觉得通过逆合成分享 我们可以把这个的倒着推断，那我觉得在这里呢，他更应该像这么样一个结构。这是一个本环啊，先给他画出来 双键呀，这个分抢记啊，那他怎么双键打开和谁加成对吧？其实呢你这里对吧是有一个清的哎，你补一个双键你看看呢，你想象一下对吧这个画面啊那其实呢就是这个清， 对吧？断开探弦间断裂啊，断裂之后呢，这个和这个探探双键去加长呗啊对吧，这个双键都我给补上了啊，所以呢这个得吧，理论上应该长这个样子啊，但是说如何从 c 到 d 呢 啊，那这个好像就有点对吧，这个不是解释的很通透了，不过我觉得我们也可以去 啊，去思考一下，对吧，那你看呢他和他怎么去反应啊，去结合这个这个我给你们说一下啊，他应当是这样的，我认为 其实他和这个啊碳酸乙二酯呢，也是发生一个像类似这样取代啊，你看他的分抢机已经不存在了啊所以呢这块吧这个乙酰基呢还保持不变啊他呢应当是这样啊，哎他还是去取代 对吧哎这个地方断了啊然后呢这个氧氢键断裂啊这个太阳键断裂取代出这么一个结构啊，这个时候再怎么办呢啊你去看呢 啊那个握成一个环啊哎这个乙对吧这乙基都没了啊氧也没了其实是这个位置和这上面的一个氢发生一个取代你可以认为啊 c h r 再来个 h 这块呢取代取代完之后吧这个环这个骨架啊其实就出来了就是这个样子 这就是 c h r 啊然后因为那块取代了嘛 c h r 然后再是一个氧啊呃 这个地方呢呃你取代完之后 c 二啊就不是它氧了碳氧双键对吧，五元的啊往往这边弯。这个呃再怎么办呢啊这个地方吧我觉得啊你去看看从这到这是 吧哎啊这个位置是是不是碳化了一个两个啊两个氧三个碳 到了四个摊五六一二三四五六啊画的有点丑啊但是是对的啊是六个啊所以呢从这到这呢再怎么去变化呢你看啊那其实呢在这里 啊就相当于一种易勾画了啊，你这么看吧看的不舒服，但是我告诉你各位同学倒着看就舒服了，你发没发现呢这是什么这是一个吸唇士 是吧我们总讲过对吧有机物里面啊吸尘石不稳定还会一勾画啊一勾画出这种像这种太阳双箭啊这种形式所以这个双箭在哪就在这对吧我是倒过来画的啊， 所以呢，嗯，但是在这里呢，为什么啊？说这个他能一勾画出这种吸尘石呢？那你就得有这个思路来看了啊。 这个我记得去年好像大连二四的五模呢，就在这顶上做的文章啊，他说这个吸尘石啊，不稳定 啊，那你不稳定怎么还存在呢？那你看呢，这里是会出现这种共恶结构，就是这样，所以在这里你看呢，这些都是这种共恶的形式啊，所以呢，这样的物质啊，他才能量更低啊，所以他会这样子，因此呢，从这走这，哎，这就更明确了啊， 所以呢，我把这块蹭一下啊。好，我们再看看看问题啊。嗯， a 选项说物质 a 和的与三菱画铁都能显紫色， 这个的呢，我们画出来在这啊，这个的呢，它是一个纯强剂，不是分强剂啊，那就错在兜上了， a 能的不能啊，然后 b 选项呢，说 c 最多有多少个原子共平面， 我们来看以本环呢为基准啊，那本环所在碳和它相邻的原子呢，肯定会共平面，这就十二个， 加上这个氢十三，对吧，再加上这个氧十四，加上这个碳十五，那这是个假积，假积还能再带一个氢十六，所以应当是十六个原子共平面。再看 c 选项呢，这个 e 的 分子式 啊，那你这个吧，其实可以去算一算啊，这个你要去点吗？啊，我喜欢拿不饱和度来看，比如说在这里呢，一看本环是四，一一，不饱和度等于六，你看它呢，仰不算探，加一十一减二分之十二， 对吧，减一半，请你发现呢，它的不饱和度是五，那就对不上，对吧，所以就错了。嗯，四 d 选项呢？ f 共有四种关东盘啊，那看下，只能选四 d 了啊，因为 abc 都都错了。这个 f 呢，看看是不是四个呢？同汤鸡，脂鸡 抢击探探双剑啊，就这四个。再看 de 六题，某有机物呢，是合成这个药物的中间体啊，然后问我下列说法错误的是 a 选项，说该物质中碳原子的杂化方式只有 s p 三， s p 二啊，在这里呢，别忘了啊，刑击各位同学，他是一个 sp 打法啊，他是碳氮三键啊，那你都是三键了，那就 sp， a 错了就选 a 啊，很简单对吧，再看 b 怎么对的啊，有两个手型碳的，我们来找一下啊，连有四个不同原子核，原子团这个位置有个氢对吧，这一个啊，还有哪个呢？ 嗯，在这，这不还有一个吗？所以就这俩。再看 c 选项， e 摩尔的，该物质与足量的氢气加成消耗五摩尔，氢本环就三摩尔。 想着这又写一遍，氢基氢基两摩尔，所以这就是这个三加二是这么来的。 c 对 c d 选项呢？该物质能发生氧化啊，这氧化反应取代反应，有机物基本上都能发生基本上。好吧，你别给我唠四氧化碳啊， 主要看看还原对吧，能加清就算还原吗？加成对吧。已经加清也加成啊，所以太可以了啊，我们再看第七题，一种油就是太啊，这是阴啊地对吧，氧流 c t 啊，应该是 t 对 吧，组成的这个 难融合金死方劲爆如图啊，这给了夹角，给了边长，给了分数坐标，然后如 a 点， b 点原子，分数坐标分别为这个啊，这个各位同学要记着啊，像这种分数坐标啊，得会看啊， 你别看啊，通过这个题也看明白。你看这个 b 啊，你别看，他的这个 c 和 a 不 相等，对吧，但是他的坐标都是二分之一，二分之一 这件事说明什么呢？就是各算各的啊，没明白。就是你可以认为它是一个比值关系啊，就是说他这个位置呢，去比上这个整个的所占比，占了二分之一，好吧，那有这样的一层意思 啊，我们来看题，那我错误的是 a 选项，化学式，那这就是考菌肽啊，菌一下啊。嗯，先看黑球，这是肽啊，八个顶点呢，那就是一了 啊，乘以八分之一嘛，然后这是一对，是一个一，这是一对，是个一对吧，这就是二啊，再加二，哎，里面还有一个，再加一，所以呢，它也是四个， 那你这个音呢，对吧？这是一对，是一个一啊，这是一对，是二，这是一，对，是三，然后这是零，四个四乘四分之一还是四， 再看这个 t 呢，对吧，这里面就八个呗，啊，四四八一一二，所以 a 就是 对的，这怎么办？ b 选项呢？说晶体中这个 t 原子填充在它的四面 t 孔隙中，哎，对吧，这个啊，你看这个连线， 这就是他的这个四面体啊，连成一个小四面体啊，这个画这个吧，有点不是很啊，很清晰啊，我们换一个描，嗯，你比如说看这个吧，啊，就是其中一个顶点啊，和三个面型， 好吧，哎，这看见没有，各位同学啊，这个小四面体啊，这是他的体系，所以在这里啊，前半句对了，后说后半句啊，说四面体这个孔隙的占有率，就填隙率百分之五十嘛，哎，对啊，就是说，你看啊， 他有空的，你比如说我连的这个啊，他这块有，那他后面这个四面体的位置他就无，对不对？所以呢，总共有八个四面体空隙，你只用了四个啊，那在这里上下两个，对吧？你总共有十六个，你用了八个呗，所以就是五十。 再看 c 选项呢，问你 d 的 这个分数坐标啊，那有了刚才我们的这个解释呢，那我们来看看啊，那这个 d 是 怎么办呢？这个圆点在这了，对吧？因为他告诉你了啊， a 点零点零嘛，这圆点，所以你看这个 d 呢，它应该怎么回事？ 它你仔细看，它是应该稍微靠后一点的位置，所以对于沿 x 轴方向来讲的话，它是一个四分之一， 那么你沿这个 y 轴来讲是也是一个比较靠前的位置，还是四分之一，关键你的高呢啊，沿 z 呢是多少？你看这是他告诉你二分之一，那这个二分之一匹一半，这块就其实是四分之一，他说是四分之一匹一半，那他应当是八分之一 啊，所以呢，应该是四分之一，四分之一，八分之一，这俩都不对，所以呢， c 错选它四 d 选项，该晶体的密度是这样子，那这个时候啊，你就去这个算一下了啊，就是四去乘以什么呢啊？括号里面 把这些物质的这个相对原子质量都加一起啊，你像这个 time 多少？四十八，对吧？啊？再加音呢？一百一十五啊，再加上这个对吧？ t 呢？这我也背不下来啊，这查一查，去一看，在这 一百二十八，对吧？哎，所以加一百二十八啊，去除于 a 方 c， 对 吧？乘以 n a 单位换算 p m 乘以十的三十次幂啊，这个值你加起你看是不是一六七六啊？肯定是因为 c 错，好吧？

试卷分享，高三一模，辽宁省二零二六年抚顺市普通高中应届毕业生高三年级高考模拟考试试卷及答案。抚顺一模视频时长有限，展示的是语文学科部分资料，如有需要完整试卷及答案的，可以微长来取，整理不易。

太原市高三一模考完了，画像风出来了，一婚一段表也出来了，还不知道在哪里领取的家长记得赶紧留言进粉丝群，看看咱们孩子的位次，我教你怎么换算成省排名、推荐院校和专业。

好，今天呢，我们来评讲一下我们刚刚考过的一模考试的一个数学试卷，嗯，那本视频呢，主要是从单选和多选择题啊，给大家去讲解 啊。首先呢，我们来看啊，看第一个题，第一个题呢就是一个集合问题，但是这个题呢，实际上是一个易错问题，是一个易错问题啊，通过这些题呢，我们去给大家复习这些相应的知识点 啊。那首先呢，我们看其集合 a， 集合 a， 它 x 属于 n， 那 么这里面第一个易错点就是这个 n 啊，同学们做的时间长了，他就忘记了， n 呢是自然数，它包含零啊，包含零一二三四这些正整数。那所以我们在解这个不等式的时候，一定要注意一下，就是它是含零的，那我们首先呢对这个式进行一个因式分解，进行一个因式分解， 然后我们看这里面配啊，十字相乘法的话是一负一，然后一三，因此呢它一式分解以后呢，写成这样的一个形式，然后我们画的是啊，这个二函数，相应的二函数，那对应的方程的根呢，是负一和三，然后开口朝下。 那因此我们解集大于零的话，对于集合 a 来说啊，它这个地方就是 x 大 于负一，然后小于三，那么因为呢 x 它又得是什么呢？自然数，所以对于集合 a 来说，它等价于零一和二。 好，这是集合 a 中的注意事项，就是 n， 可能时间长了容易忽略零。第二个是对数型函数的一个解不等式， 那么我们看就是你在解对数函数对数不等式的时候，一定要注意，真数怎么样呢？是大于零的，这也是一个第二个易错点。 那么这个呢，我们可以转化成是以二为底 x 小 于二呢，它可以转化成是以二为底四的对数，那因此这个对数不等式的话，它的解集就是小于等于四。同时咱们不要忽略了零 啊，因此集合 b 呢，他看成是一个 s 集合的话，他应该是零到四啊，零到四，左开右闭，那对应的话，我们再去求交集啊，最后再去求交集的话，他就很好求了。那最后的交集应该是什么呢？应该是一个整数 啊，同时呢，他不包含零，所以应该是一和二，那么正确答案选的是 c， 我们在做这个，呃，第一题集合问题的时候一定要注意，比如说第一种啊，易错的是分式形啊，分母不能为啊，为零啊。第二个呢，是对数形啊，对数形，我们强调的是啊，真数大于零。 第三个呢，你要区分是 z 整数级啊，自然数级和啊正整数 n 星啊。第四个呢，你要分清楚是求的是交集并集还是补集还是补集啊。第五个呢，你要注意清楚，是求的是元素个数啊， 是元素个数还是子集个数啊，还是真子集个数啊，这是第五个。那么第六个呢，我们强调的是什么呢？强调的就是啊， 呃，强调这是子集，那我能想到的易错点啊，就这些。还有一个很重要的就是你的竖线前面是元素还是点啊？这些都是我们在做集合中问题所容易出现的，所容易出现的易错点。 好，接下来我们看一下第二个题。第二个题呢，是他考察的是百分位数，他考察的是百分位数啊，这个百分位数我们应该怎么做呢啊？ 我们通过观察，其实在题干已知信息中啊，他是从小到大已经给大家排过了。那我们的百分位数在做题的过程中啊，第一个一定是从小到大 啊去排列，从小到大去排列，然后第三个，第三个是屁分位数。第二个是啊，就是屁分位数，应该怎么求？我们先数一数，题干信息中有几个数字，我们 n 乘以屁，如果是一个整数 啊，如果是一个整数，比如说啊，比如说它等于 k 了啊，整数，那我们就取，我们就取 ak d k 的 数和 d k 加一个数的 平均数。好。第二个，如果 n p， 它为什么呢？它为小数，它为小数部分啊，也就比如说我们取的是大概是七点五，对不对？那我就取下一个 a 八 数作为这个 p 分 为数的一个求值。那因此我们看一下，对上面数字来说，我们从小观察到他是从确实是从小到大排的，那这一步我们就可以不用去处理了，那么我们依次标上一二 三四五六七八啊，我们按照刚才老师教给大家的这个百分位数的求法，我们来去实施，然后我发现 n 是 几， n 是 八，然后他又求的是百分之七十分位数，那么 n p， 也就是啊，八去乘以零点七五 啊，相当于八乘以四分之三啊，八乘以四分之三，那它应该是一个六，那我们发现呢，它是一个整数了，那因此此时的话，我就取第六个数和第七个数的平均数啊， n p 为整数，就取这个整数和下一个整数的平均数。如果是一个小数，那我就取比它大一，比它大的一个最小的整数就可以了。所以我们就选取第六个和第七个的平均数，也就是二二三，然后加上二五二，然后除以二， 算出来的话，应该是啊，四七五除以二，那最后是二三七点五啊，二三七点五 啊，这个地方他应该是二三七点五，你看这个是标错了啊，这个是标错了， 好，是标错了，答案应该选的是啊，二三七点五。好，这是第二个题，那我们在一楼复习的，在在这个二楼复习阶段，就是我们如何做到查漏补缺啊？如何做到啊？查漏补缺，那就是说我们啊， 我们如何有效的去复习？就是我们看到一个题，我们错的时候，我们一定要去啊，去了解，去啊，反复的去复习啊，去复习我们的这个知识盲区啊，知识盲区，那下次出到别的你也会啊，比如说我们下次出到了小数点，那你也是 会求这个百分位数的，这种问题是不容不允许丢分的啊。然后我们看第三题，那么第三题呢？实际上他考察的是比较复杂的这个问题啊，那我如何去下手？首先我们看到这个周期派，还有他的一个指令哈， 啊，我们去用排除法去做一下，那首先我们看一下，就是说它的这个，呃，既然它的周期是派，我们去验证一下，那周期是派的话，我是不是横有 f x， 它就等于 f x 加派 啊？那我去验证验证，如果它是 x 加派的话，它是 x 加派的话，那么与原来的啊，与原来的这个函数究竟是否是相等的关系啊？那么口算 x 加派对不对？好，这里面呢，实际上就是大家 还有还有个注意细节，就是说在做题的时候，其实他后面是一个乘法啊，是口三 x 乘以后面这个框里面的绝对值函数，然后去乘以括号啊，那就是三 x 加派， 然后再减去啊，三 x 加派，那实际上呢啊，他这个题放在第三题的位置啊，很容易吓到同学们啊，那我觉得他第一个知识点呢，应该是考察大家的，是 啊，诱导公式的一个应用，诱导公式的应用，那比如说我 f s 加派啊， f s 加派，它等于什么呢？它等于这个是负口三 x 对 不对？然后我去乘啊，中括号里面是负的 三 x， 那 绝对值里面对它是没有影响的啊，绝对值里面对它是没有影响的，那所以说啊，所以说这个地方呢，还是减去三 x 里面是没有影响的。那所以说啊，所以说这个地方呢，还是减去三 x 里面，其实是负的，但是有加了一个绝对值 啊，所以最后的 f x 啊，它加个 pi， 它加 pi 应该等于什么呢？应该这个有符号， 这里面也有符号，所以负负为正了，就是口三 x， 它乘以啊，三 x 怎么样？加上三 x 的 啊，绝对值啊，这是这样的一个函数，那我们很明显发现啊，就是这个函数，它其实跟原来的这个负负号是不对的，所以说它的周期不会派，那因此我们在 cd 之间去选 啊， cd 之间去选，也就说它的周期一定是二派，那我们每个函数它周期啊，这个口三 x， 它的周期是二派啊，绝对值是派，那综合完以后，它周期就是二派啊， 我们也可以去验证啊，这是啊，第一层面去通过周期去算。第二是值域，那在算值域的时候，我们就不得不去考虑绝对值函数的这个， 呃，如何去拆分啊？它的本质呢？就是一个绝对值的一个拆分，我们知道 x 的 绝对值，那分两种情况，它大于等于零的时候，就是它的本身， 如果它小于零的话，就是它的相反数。那因此对于 sin x 来说，我们先画出啊 sin x 的 整体的一个图像啊，整体的图像，那么整体的图像它是这样的一个趋势啊，它这样的一个趋势，这边是 pi， 这边是二 pi， 那 因此对于 sin x 的 绝对值来说啊，我，我整体来去啊去处理啊，这部分。 好，我们来看一下，那他就分两部分啊，第一个是啊，当 x 我 就先研究一个周期就行了，因为我的周期是二派啊，大于等于零，然后小于等于派的时候， 它的这个三是不是等于它本身，所以减完以后是一个零。如果是大于派啊，大于派，然后小于等于二派的时候，那它会多少呢？它是一个负值，所以我们看它实际上就是三 x 呀，然后加上，因为你提个符号，负负为正，加上三 x， 那他所以就是一个二倍的三 x。 好， 那么接下来呢，我们来看一下，就这个地方呢啊，这个地方，我写到这个步骤以后呢，就是我对这个括号里面呢进行一个处理。 那接下来呢，我再结合口三 x， 所以 原来的函数，整体来说他也是一个分段函数，那么零乘任何数是零，所以在啊零到派上啊，他这个是零，然后呃，在派到二派上，他是一个这样的一个 呃，这样的一个二倍的三 x， 所以 二倍的三 x， 原来 s 相乘的话，实际上就是二倍的三 x 乘以口三 x， 那 么这里面的它的范围呢？就是派到几？派到二派啊？ 派到二派，那么这个地方呢？我们啊，刚才呢，我们是考察了诱导公式啊，考察了诱导公式， 然后这个呢，又考察了绝对值函数，同时又考察了一个背角公式，所以它的啊，综合性是比较强的啊，综合性比较强的，从前面题已经开始啊，这个考察大家知识点是比较多的，那这个的话，我直接就换成是三 e 二 x sin x， 那 么整个来说，我们去画出 sin 二 x 图像， sin x 图像，那么 sin 二 x 图像，它的周期呢？是派啊，它的周期是派，然后这个是派，对不对？ 这个是呃，相当于是呃周期呢？为什么是派呢？是二派，除以它的系数是 二，所以周期是派，我们先画出呀，三 e 二 x， 它的完整的图像啊，完整的图像啊，大概是这样的一个趋势，对不对？然后我们再去 啊，再去描述这个是二派了，对不对？好，现在呢，我们去综合的去看一看啊，原来我们这个本期中所想要的零到派，我们现在去看综合了零到派上啊，它是零，所以我们整合完以后的 f s 函数，零到派上是零， 然后呢，派到二派是三 e 二 x， 那 么三 x 的 图像是这样去画的啊，是这样去画的， 所以说整个来说呢，我们最后的啊，这个这个值域呢，应该属于什么呢？应该属于负一到一啊，所以本题的答案选的是 c 啊，本题的答案选的是 c 啊，我们看到这种复杂的问题，一定要从题干去下手啊，不要害怕， 那我们第一层呢，我们再复盘下，第一层呢，我们通过周期去筛选啊，那如果派是周期呢？是不是横有 f x 跟 f x 加派相等，那发现它不等啊，发现它不等，那这样的话，我们的周期肯定就是二派了， 肯定就是二派了。然后接下来呢，我们去求它的值域，我们在求值域的时候可以分两段啊，可以分两段，就是我们先研究三 x 减去它的绝对值 啊，我们该如何去处理，那去绝对值就考虑三 x 什么时候为正啊，零到派上是正的，减完以后是零，然后派到二派呢，它是负的，负负为正，所以是二倍的三 x， 那 这个时候呢，我们不能单独的看二倍三 x 的的之余和口算的之余，我们要联合在一起，是吧？啊，获得了，在这个函数呢，他在派到二派上啊，实际上是一个这样的一个图像，是一个三，是个三二 x 图像啊，所以说呢，我们的最大值是一，最小值是负，一好就获得了。 那么在领导派上呢，他的这个值实际上是恒为零的啊，好，这是我们考察的知识点，诱导公式呀，去绝对值呀，书型结合呀啊，这些思想得用上。 好，接下来呢，我们看下第四题，那么第四题呢，是考察的是向量啊，什么是投影？什么是投影？向量？我们先呢啊，对知识进行一个复习，比如说投影是什么意思呢啊？比如说这是啊， b 向量啊，这是 a 向量， 那么投影啊，我们先解释投影该怎么求，然后什么是投影，什么是投影向量啊？概念不能模糊是吧？我们 a 向量在 b 向量的投影，实际上就是影子嘛，对不对？影子的大小只是说在向量中呢，它有正向投影呢，它是有正有负有零的。 好，那么如何来求这个投影啊？其实就是投影呢，就是 a 的 模哈，乘以口塞 c 塔，但是直接去求，那如何来间接求呢？我们是 a 向量，点去 b 向量，然后除以 b 向量的模。哎，这是投影的概念。 第二个呢是投影像量啊，投影像量，我们注意啊，我们注意，投影像量呢，就是我们刚才这个投影啊，它是一个数啊，它是一个数，它有正有负有零啊，正投影负，投影零， 那么投影像量呢？它最终呢是一个向量的形式呈现的啊，那就是这个向量就是它的投影向量。我们刚才算啊， a 向量乘以口算 c 塔，实际上算投影的数量， 投影的大小，投影的正负，对不对？然后我们再乘以 b 方向上的单位向量，就获得了 a 在 b 方向上的投影向量， 也就是说前面是一个数值，后面是一个单位向量，组合成相乘以后就是投影向量，那么进而我们得到一个公式啊，我们把这个放过来，就是 a 向量啊，点成 b 向量， 去除以 b 的 模，然后再乘以 b 方向上的单位向量，组成了投影向量。 好，我们在理解清楚呀，理解清楚这些啊，相关量以后呢，我们再去解决问题。那我现在我的目标是非常清晰明了的 啊，我的目标呢，就是求 a 向量在 b 向的投影向量，我就拿 a 向量点成 b 向量，除以 b 的 模， 然后再乘以 b 方向上的单位向量。那么这里面呢，我们要解决的是，我们要解决的是 a 与 b 的 数量级，从哪里解决？就从这个式子， 我们知道向量的啊，模方就是向量方，对不对？所以我们把这个 a 向量减 b 向量啊，向量方就是魔方，它就等于五， 通过这个式子，我们能够获取啊，能够获取出什么呢？ a 与 b 的 向量的数量级啊， 好，这是解决问题的关键切入点啊，切入点第一步好，那么因此我们看 a 模是一，然后减去二倍的向量， a 点成向量 b 加上 b 的 模， b 模呢，我们知道啊，它的运算呢，就是根号下 x 方加 y 方，就是根号二，那所以这个地方就是一个五 啊，进而得到 a 向量啊，点乘 b 向量，它等于几呢？它等于负一啊，所以我们的目标带过来啊，我们的目标带过来就可以是负一， b 向量的模呢，是根号二，然后这里面 b 的 模式，这是根号二， 那么 b 向量这里面呢，你就用点乘坐标来表示啊，它其实就是一个负二分之一的 b 向量。那如果说题目中是啊，以 b 向量的形式来展现，我这个答案就对的，但是呢，它已坐标，所以我再把 b 向量的坐标带进去，那就得到负二分之一， 负二分之一，所以本题的答案选的是 a 啊，这个相对来说是比较简单的，就是我们在做题的时候呢啊，要搞清楚，要搞清楚啊，它是一个数，它是可正可负可为零 啊。第二个是投影向量，投影向量最后一定是以向量的形式来展现啊，它可以是啊， b 向量前面加一个 lm 的 数字，对不对？也可以是一个点乘坐标。好，这是考察的是基本量。 好，那么接下来呢，我们来看一下第五题，其实这个，呃，这个一模考试的题呢，相对来说 难度还是还是比较大的，就每个题呢，他考察的点是比较多的，然后知识也是非常零碎的，就是任何考察考察你任何知识点，你必须得是非常熟练才能解决问题。那么这个就是你看到题啊，你就要知道出题人他想考察的是什么， 他想考察的是二项式定律啊，二项式定律，通过二项式定律来找余数来找余数的问题。好，我们知道啊，他说今天呢，是三月十九号，是星期四，问，再过这么多天是星期几， 那我们知道他的，呃，这个我们知道一周是七天，所以以期为一个他的周期 啊，那我就看，比如说啊，我看七的余数，比如说我是这个我，我假如说再过，再过十天，对不对？都究竟是星期几，那我十呢？是不是七加三啊？我一个周期过去以后余了三，那我就往后再数啊，五 啊，六日，那就是星期天。是这样的，所以我们实际上就是他的核心问题啊，他的核心问题就是找二的八十次方这个数呀，啊，他除以七以后的余数啊，我们就是找余数的。 好，那么我们知道二的二的一次方，二的二次方，二的三次方，二的四次方中，这个二的三次方是比较特殊的，它是八，那么八跟七是比较接近的，所以我就想办法凑出一个八， 那这里面呢，我们知道二的三次方才是八啊，是不行的，对不对？他凑不出来一个三，不能整除，那我们就在想啊，八十，我除以三以后会是等，会是多少呢？我们看二三得六，然后是二十 啊，三六一十八，然后余个二，对不对？所以我们是啊，八十呢，它可以等于什么呢？等于三乘以二十六，再加个减，再加个二， 哎，是不是这样的，那这样的话，我就能凑，凑出三，三呢？凑出八呀，八是七加一，因为我自始至终呢，想要找的是七的除七以后的余数，那因此我们啊，二的八十次方啊， 它等于什么？它等于二的啊，三乘以二十六，再加上二，那因此就换成是四去乘以二的三次方的二十六次方，哎，那就是变成四乘以 八，八的话，就是七加一的二十六次方。那么我们本题呢，主要想拆解的二项式是它，想拆解二项式它，我们这里面也要复习一下二项式的定律，是不是二项式的展开式呀？ 啊的 n 次方，那么首项呢？是 c n 零啊，看清楚，是 a 的 n 次方，加上 c n 一 a 的 n 减一， b 的 一次方 啊，一直加加到通项 d r 加一项，它是多少？它是 c n r， 然后 a 的 n 减二， b 的 二次方，一直加加最后一项是 c n n， 然后 b 的 n 次方啊，二项式的展开式，二项式的展开式，它是按照 好，他是按照什么呢？ a 的 升密排列， a 的 降密排列， b 的 升密排列。那因此呢，我们看一下啊，对于这个，呃，先看研究七加一的二十六次方来说啊，他应该是 c 二十六 零，然后是七的多少次方啊？二十六次方，然后再加上 c 二十六一，然后七的二十五次方啊，一直加加到啊， c 二十五， c 二十六，二十五次方呢，就是七，再加上 c 二十六的 二十六次方是一，那因此就是对于这个七加一的二十六次方的运算呀，我们这个地方啊，他其实啊，被七除以后呀，被七除以后，余的是一， 但是整个来说他的余数不是一，他前面还有一个四，对不对？还有一个四啊，还有一个四 啊，所以说啊，所以说啊，他的最后二的八十次方啊，他除完七以后啊，余的数应该是几啊？余数应该 是啊，因为前面都能被七整除，所以余的是四，余的是四。好，余的是四。那我再往后数四天，星期五，星期六，星期天，然后就到第四天是星期一，所以本期答案选的是 a 啊，本题答案选的是 a。 好，那么在这里面呢，大家要注意一个问题，是什么样的问题呢？就是我们看到这个题我就知道他考察的是二项式定律，利用二项式定律求余数的问题，求余数的问题，但是呢，他并不是说直接就可以去拆分了 啊，因为我们是按星期周期是七，所以肯定是在二项式定律的这个展开式中，肯定是有七的，肯定是有七的，那我们这里面的二怎么样才能换成七？那么离七近的是八 啊，这个地方的话就是说八十啊，它的转化啊，八十，它的转化是三乘二十六，再加几啊，再加个二， 哎，这个也是有问题的，这个转化可能大同学会陷入迷区啊，会陷入迷区，或者有的同学我看到这个题，我说二的三次方啊，八跟七接近嘛，然后是三分之八十啊，那这样的话它是展不开的，它是展不开的 啊，它得换成二的三次方，然后是二十六，是吧？二十六，然后再加几啊， 再再加个这个三分之几啊，三分之啊，三分之二。哎，这个地方是需要大家注意的啊，也是一个难点和呃就是不好突破啊，所以大家做做做的过程中肯定是很难受的，这这个这个过程，所以他更多的是考察大家的思维能力啊。 好，接下来我们看一下这个第六题，其实第六题呢，相对来说是比较简单的，就是我们看那么多啊，我们看了这个这么多，就是说它这个地方啊，它这个地方就是啊， 这个天顶距 c 塔的正切值。哎，这个关系我们要我们要看清楚啊，这关系一旦弄清楚的话，我们就好算了啊，比如说他说的这个实际上就是一个呃，实际的模型，就是这是 c 塔对不对？ sat 呢？是等于 l 影长嘛？你假如说太阳光啊，从这直射下去，那么这个是啊，这个是它的影子对不对？然后这个是实际上的一个高，那这样的话，我们看 tan 的 sat 啊，它就等于这个 l 除以高了， 一旦你这个这个数学模型构建好了以后，你再去解决问题就好了。你看他说第一次的话啊，他的这个是 r 法对不对？这个隐藏啊和表高的是二倍，那所以我认为呢，他想给大家传达信息，就是他的 r 法，他就是二， 然后呢，他又已知到贪镜塔 r 法减去贝塔等于二分之一，然后去求贪镜塔贝塔的值，那这个模型一一旦转化的话，他就很好处理。我认为突破口就是在于这个关系，你把这个关系用直角三角形 啊去给他构建成以后实践考察。问题就是两角和一差的正切值，那么贝塔角啊，贝塔角，我们已知的是贪镜塔 r 法，还有就是 啊，这个 r 法减贝塔，那么贝塔角该怎么去求呢？就是 r 法减去 r 法减贝塔啊，原来的数据你就不要拆了。那所以啊，贪心他贝塔，我们的目标啊，就是贪心他这两个角的正切值的这个差值，对不对 啊？直接就是相当于是啊给值求值了，对吧？ 好，这是一个数学文化的一个应用啊，数学文化的应用 啊，他的这个数学文化实际上就是转化成我们的正切的定义了啊，正切的定义你去啊，给他画出这个直角三角形，问题就很好解决了，然后再用两脚叉的正切就可以解决。那这里面呢，是不允许出现啊，不允许出现公式的一个误用的啊 啊，正切值他们的差除以一加上啊， tan 它 r 法和 tan 它 r 法减倍它啊，所以算出来以后应该是一个二减二分之一，然后除以一加上一加上几一加一啊，所以就是四分之三 分数三，所以答案选的是啊，答案选的是 b， 答案选的 b。 这个其实呢，相对前面那几个题来说还是比较容易的啊，就是考察了一个正切的这个和以查和查公式。

这两天啊，抚顺高三一模成绩陆续出来了，就是甭管好与坏啊，我再给同学们一些复习的备考建议，因为二模呢，时间也确定了，就在四月七号，还有两周的时间，抓紧练啊。 首先第一个啊，就是这次大作文，如果你没过十五的，肯定是动词的储备不够，从头部动作到脸部动作，再到手部动作和脚部动作，你都得背啊。就是很多同学呢，因为不会写动词，限制了表达，导致不会描写， 只能拿对话呢去凑字数，你得分自然就低，就是必须积累动作类动词，同时呢，你要配合情绪和环境的描写才能过十五。 第二点啊，就是七选五，一直不好的一整就错，三个以上的啊，你就别再盲目刷题了啊，你刷多少都没有用，你们马上找十五篇有答案的七选五，然后直接呢把那个答案带进去翻译原文， 然后按我屏幕上的内容啊进行总结，总结后你们就明白了，英文译论文说明你们的写作框架和写作要素。答，七选五就开窍了，你试一试吧啊，你肯定会回来感谢我。 第三个就是单词的复习，你一定要持续到最后的一天，每天及时把套卷里的单词总结出来，反复的滚动背，这比啥都管用啊，千万不要再脱离阅读题，然后只啃那个单词书， 这个时候呢，就是纯扯淡，其实模考啊，就是体检，这也是个好事啊，就是早发现问题早解决嘛。然后最后啊，我想问问大家，就这次模考成绩还满意吗？和预讲的一样吗？

难题都能变简单？ hello， 大家好，我是帮大家把函数难题变简单的肖飞老师。 哎，今天这个视频呢，肖老师就借助我们高三风台一模刚刚考完的这道填空压轴题，给大家分享一下啊，这道函数的综合问题，我们靠哪些招数就能变简单啊？如果，哎，如果你是那种我只想选一个选项就走人的，那肖老师告诉你， 圈一这个选项，你如果学会了找返利啊。你对于做选填压轴题，你特别会用这两大提速法宝，找特殊值，用选项那圈一，你三秒钟就能搞，就能判断出来， 哎，圈二和圈四，如果大家面对这种高次的函数，非常会用我们的分差大法去画草图，那圈二圈四你也能在一分钟之内判断出来零点和值点个数分别是几个 啊。这道题呢，相对有点难的就应该是圈三，但是圈三的话，我们也有软式的点，如果你真的明白什么叫轴对称图形，那我们压根不用画出这个完整的图像，我们也能判断他能否是一个轴对称图形。 好来，那肖老师接下来给大家示范一下啊，我是怎么做出这几个选项的啊，用什么样的一些方法好？首先，哎，如果作为一个函数高手， 我看到这个解析式，我就能看出很多东西啊，可能普通同学想的就是，哎呀，这解析式真烦对吧，这个时候智商就已经关闭了，因为你已经被这个庞大的式子啊，又有 a 又有 b 又有 c 啊这三个字母给吓着了，对吧？但是我告诉大家，哎， 真正的函数高手，在这个简易式上就能看出很多方法了。首先大家可以看一看，这里面有我们熟悉的什么，只要你善于找熟悉，哎，只要你善于挖确定，你就能看出很多别人别的同学还在烦的时候，你就已经看出很多思路了，哎！比如说这个式子当中，他是不是有绝对值？ 绝对值，那我从初一就开始学，有绝对值代表什么？有绝对值代表这个式子一定是一个大于等于零的数， 对不对？那这个函数我就能大概看出来它的值域啊，它至少应该是一个大于等于 c 的 啊，对不对？哎，因为它前面大于等于零，然后加 c 大 于等于 c， 是 不是？这就是我，通过绝对值这个符号我就挖出来了。 接着其次，我又能看到这是一个高次方程呀，前面是 x 的 平方，后面也是 x 的 平方，是一个 x 的 四次方程。同学们，你有学过四次方程的什么东西啊？ 那四次方程其实你想研究无非就两招，要么只能靠我们的高阶的导数，对吧？靠我们万能的导数这个工具干，要么呢？就是一个穿间引线，能解决高次方程的一个啊，草图的问题是不是？所以在这里我想到了，哎，这个题我是不是可以尝试用一下穿间引线法啊，画出它的草图，哎。接着 我又看到乘积，对不对？这是个乘积形式，那乘积形式如果我总体来看，它还是比较困难的，但是我可以干嘛？我可以分着看呀，那每一个都是我最最最可爱的二次函数啊，对不对？每一个都是最可爱的二次函数，并且 我还能看出来，这两个二次函数实在是太可爱了，为什么他俩一样胖，对不对？都是一个开口向上 a 得一的二次函数，所以他俩的形状还是一样的，对吧？哎，同学们，你可以看一看啊，肖老师通过看到这个式子，哎，在别人很烦的时候，哎，我先烦了一下，之后我马上就能去挖熟悉， 对不对？所以任何题吧，任何数学题，真的，他都是第一眼难题，只要你在第一眼之后，哎慌了三分三秒钟之后，你立马能看看，哎，这个题有没有什么我熟悉的呀，有绝对值，有高次，有乘积，对不对？有确定性信息，你会发现这个时候你就安心多了， 对吧？哎，这就是我们看到这个解析式啊，我可以想到的，嗯，来，那肖老师接着说啊，这个圈一啊圈一真的 三秒钟搞定，为啥？因为我最我做选择填空题，他比大题最大优势就是他可以偷鸡摸狗方法，对不对？他可以投机取巧啊，没有人让你证，没有人让你严格的证明，对不对？所以呢， 所以我发现我直接找个反例啊，他让我证明这个值域能不能是 c 加一到正无穷。那我就看看，我就看看这个值里面有没有比 c 加一还小的呗，对不对？有没有啊，那你想想 c 加一是怎么来的呀？这个人是 c 对 不对？那不就让他得一吗，对不对？那我就说白了，就是看这里面能不能存在一个小于一吗？那太容易了， 我只要把一往里带，我发现这个人得零，那不就小于一了吗？那这个人得零，零加 c 得 c 啊，那肯定不在这个值域范围内啊， 对不对？所以你看，你只要带一个最简单的一，你就瞬间发现了它的此时的外值是 c， 而不是从 c 加一到中无穷，是不是？所以圈一我没夸张吧？是不是真的三秒钟，只要你善于找返利，三秒钟就搞定，而且这个返利也非常好找， 是不是？好，那咱们来看一下圈二和圈四啊。圈二和圈四无论是研究零点还是研究极致点，都是非常依赖草图的，对吧？那我们就把这个函数的草图咱们研究研究呗，那它的极致点和零点我们也都能看出来了，是吧？好，那首先我们看啊， 首先我们先看看圈二，研究这个零点啊。零点？那研究零点的话，你让我画这整个函数，我肯定烦， 对不对？因为它这整个函数还加个 c， 对 吧？怪烦的，所以零点问题基本上咱们都要变成焦点问题，所以我可以令它得零。哎，变成这个绝对值函数，跟 y 等于负 c， 对 吧？跟 y 等于负 c， 什么时候能有八个焦点， 是吧？好，那我就画一下这个绝对值函数。这个绝对值函数怎么画呀？我是不是可以先画里头，对不对？先画里头这个函数 是吧？先画里头，然后有个绝对值，那没难度，不就是把下翻上吗？对不对？把下面的外值的负数翻到上面就可以了， 对吧？好，那我先画里头，里头好画吗？里头好画呀，我穿针引线就行呀，对不对？反正我就画草图吗？我穿针引线就可以， 对不对？那我会发现这个人呢，他肯定有两个根了，对不对？因为他可以一是分解成 x 减一乘 x 加一，是不是？那他肯定有两个根，那我先安排上，哎，一个根呢是负一，一个根呢是一，哎， 好，后面这个人，后面这个人呢？那我得分一分啊，我得分一分，就是他呢，有可能有俩根，有可能有 两个等根，有可能有两个不等根，有可能就是没有根，是不是？如果他要是没有根，那他不就相当于是一个正数吗？对不对？他现在是一个正数，那，那这个时候肯定不可能存在八个零点，只能靠他呀，对不对？那这个时候不对啊，所以我如果想找有， 那它的存在吗？我想找有，那我肯定先从两个根找起啊，对不对？那这个式子如果它嘚儿它大于零，有两个根的时候，那它一定也能因式分解成 x 减 x 一， 乘 x 减 x 二，对不对？一定也能这么因式分解啊。然后这两个根呢？ 我不知道标哪，但我先大概先随便标一个，是不是？比如说这是 x 一， 这是 x 二，然后我就穿呗，对不对？从右上角开始穿，因为他的二系数都是正数啊，从右上角开始穿，基穿，我不穿，因为全是基数次方，全都是基数次方，所以我都是穿过去的，是吧？哎，就是这样的一个趋势 啊。好，然后呢？因为它整体套了个绝对值，是不是？哎，整体套了个绝对值，那我就把它的下面那个 y 轴， y 轴下面的 x 轴下面的部分翻到上面，哎，就变成这样式儿了，所以我就画出来了。啊，原来这个人的草图啊，他就长成这样， 是吧？哎，他就长成这样，哎，三座山峰，哎，就这样式的，那这个人他跟咱们的 y 等于负 c， 此时此刻几个里能不能干出八个焦点呀？你数数， 一二三四五六七八，哎，刚好八个，所以这个时候你会发现他是存在的，对不对？他肯定能，他就能存在啊。好，可能有同学坐到这跟我说，老师，你这个根的话，确实是这几个吗？对不对？万一他中间这 还会拐这么多个弯呢，对不对？还会，那翻上去就不一定八个了呀，对不对？好，那这个你稍安勿躁啊，在肖老师的视频最后你可以听一听啊，那块我会给大家讲一讲，这块不可能，他只能是这样这样上去啊，我给大家讲一讲，他这个是一个四次函数，所以他在画图的时候， 哎，他最多只能拐三个弯啊，等会我会给大家讲一讲，你可以先往后听啊。好， ok， 所以 圈二我们就通过这个穿针引线法就把它轻松的草图画出来了，所以圈二就没问题 啊。好，再来看一下我们圈四啊，圈四呢，他跟这个做法是一样一样的啊，也是也是这么搞，哎，圈四咱们看看啊，圈四呢？ 他说，哎，那他还是画这个图呗，对不对？为圈四，首先大家看他研究的对象是什么？他研究的对象是极指点 是吧？极值，那不就是找先增后减就极大值先增后减吗？对不对？那这个时候你有没有发现，同学们，你根本就不用理这个人了， 对吧？这个加 c 是 负责主导什么呢？这个加 c 负责主导的是上下平移，那我研究增减性，研究先增后减这个事，那我跟平不平移有什么关系啊？ 所以这个时候你一定要学会找你真正的研究对象啊，所以我根本就不用理这个人了，我只需要去理这个人就好了，对不对？我就把这个人的草图画一画，看看他能不能有三个价值呗。好，那我就画他的草图，那画他的草图呢？是不是跟刚才的节奏是一样的呀？ 对吧？那就也是，哎，跟刚才圈二是一样的，这是负一，这是一，然后这个人呢？ 因为他说对于任意的实数 b 啊，就是不管 b 是 几，哎，就存在一个 a， 对 吧？只要有一个 a 就 行，那我就找找他，只要是，那我看看啊，如果他还是有两个根，哎，他还是这样式的，那我看一看， 这个时刻能不能行呢？哎，他还是从右上穿啊，就跟刚才画的图其实是一样的，哎哎哎，是吧？然后把下面的翻到上面，哎，那最后翻完之后其实还是长成这样， 对吧？好，那你数数，这个时候刚好几个呀？刚好是一个、两个，三个，刚好有三个极大之点，所以我这个时刻就找到了呀， 对不对？这个时刻就行。这个时刻是什么时刻？是不是只需要满足咱们这个二次函数，它跟这个 x 轴得有两个交点是不是？那就是 b 方减 c， a， c 要大于零，是吧？哎，就这个时刻啊， b 方减，我这个 b 方减 c， c 就是 指的是这个系数啊，所以这个改成这个的话，哎嘚，它大于零，那说白了不就是 b 方 a 方减四， b 要大于零吗？ 另外这里还得注意啊，什么限制呢？他的限制情况就是说你这两个根能跟一相等吗？你想想，如果他这两个根有一个根跟负一和一相等了，你看看能不能行啊？那就说明，比如说这跟这相等了， 哎，这就是咱们的 x 一， 那这个时候你再穿穿穿，然后这个再翻上去，你会发现此时此刻他就变成几个几值了，就俩了，对不对？所以这里还有一个限制，就是咱们这个两个根啊，他不能跟负一和一相等， 也就是说负一和一并不是这个方程的两个根，是吧？那你就把负一往里带，那就是一减 a 加 b 不 得零。把 一往里带，那就是一加 a 加 b 不 得零。哎，那你看他说，对于任意的实数 b 有 能不能存在这样的 a， 那 肯定能存在啊，你想想能不能存在一个这个 a， 它既符合什么呢？既符合什么？既符合它得大于四 b， 是吧？又符合什么呢？又符合他。这个 a 得不等于 b 加一，还不等于什么？负 b 减一，对不对？能不能有？那当然能有这么一个 a 值了，你随便找一个 a 值，又不等于 b 加一，又不等于负 b 减一，然后呢，还得大于四 b， 那 肯定能找到，对不对？所以圈四就是正确的。 所以圈二和圈四就是草图，因为这个图像我看出来了，高四方程我不太会画，要么求导，要么穿间引线，是不是？所以我用我们的穿间引线法就轻松的把圈二和圈四草图画出来了，那这个圈二圈四就搞定了。好，再来看圈三啊，圈三呢？算是这个题稍微有点难度的了，但是，哎，我们 用肖老师教的这个，碰到不确定，我们 any one 大 法加有序动，再加上你对轴对称图形这个词儿，足够你明白它的背后到底要什么，圈三也能很快搞定。嗯， 好，我们来看一看啊。首先呢，我还是先画确，就首先它让我们研究的是这个图形是不是一个轴对称图形，那你会发现我还是不用搭理这个加 c， 是 不是？ 你加不加 c， 我 该轴还轴，对不对？因为加 c 就是 上下动，他并不影响这个图形的对称性啊，所以我还是不用理这个加 c 的 事。 所以你们有没有发现这个 c 其实就是个炮灰，他就是，他就是在这给你增加难度，让你看起来难的，因为圈一圈二不用理这个 c， 圈三圈四这个 c 没用， 是不是？所以这个 c 它放在这里就是命题老师故意给你增加难度，让你看见这个题更复杂一些啊，实际上它根本就没啥用 好，所以圈三仍然不用理这个 c 啊，我们就只需要研究前面这个带绝对值的函数就好了，哎，那这个函数呢，我们来看看里面怎么研究啊？还是先研究绝对值里面的，对吧？绝对值里面的，因为绝对值就是把下面翻到上面，所以它也不影响这个图的这个对轴对称性， 是吧？所以这个题其实我真正的研究对象就是这两个二次函数相乘，对吧？就是他就研究这个人就行了，只要这个人是轴对称，那他套绝对值，把下面翻到上面依然轴对称，他加个 c 依然轴对称，是不是？我就只需要研究这个，哎，里面这个人， 好，那我们就研究它吧，研究它，那。同学们，那我们这个题啊，这个题，那我就得分差着研究了。哎，因为穿针引线法，他只能画草图，你让我看拐几个弯，你让我看正负，那这我能看明白，但是你要让我看轴对称， 哎，这个事穿针引线就臣妾做不到了啊。所以这个时候你就可以分拆，对不对？我们可以分拆去看。那首先我可以看看这个函数，这个函数，那我太会了，这太简单了， x 方减一嘛，就是一个普通的二次函数，是吧？嗯， 好，那这里呢？就是这个根是负一，这个根是一是吧？哎，那我们看看右边这人，右边这个人，他说对于任意的实数 a， 有 同学可能坐到这就不太会画图了。什么任意实数 a 啊？不会 任意实数 a 以 a 决定什么？同学们， a 决定什么？ a 难道不就是决定这个抛物线的对称轴吗？对不对？他会影响这个函数的对称轴 啊？这个函数的对称轴是不是？所以它就是说明这个函数啊，在任意的一个对称轴的位置，哎，都会存在着一个 b， 是 不是？那只要看到任意。各位同学，那就 any one 先随便画一个， 那我先随便画一个，好吧，我就画这，比如说画这好，然后他说存在一个 b， b 影响什么？ b 影响这个图像的高矮， 对吧？那他就是说在这个位置的时候啊，哎，那我就上下动看，什么时候能让这个他俩成一块啊，蓝的成紫的，然后成为一个轴对称。那有同学老师，这怎么看呀？我怎么能看？这每个我都能看明白，但是他俩成一块，我真看不明白。 你别说我也看不太明白啊，这两个函数嵌在一块，我也看不太懂，这很正常，但是我懂什么呢？我懂轴对称。各位同学，什么叫轴对称？你想想他动到哪能让他俩嵌在一块的？之后的图形是个轴对称。 首先你大胆猜一猜，同学们，你们觉得他如果但凡想轴对称，你想想这个图形得动到哪？ 你大胆猜，你得猜他俩得一个高度的时候吧？是不是？那我接下来验证一下，我大胆猜完之后，我验证一下，是不是只要他俩一样高度， 哎，只要他俩一样高度的时候，各位同学，最小值在同样的高度的时候，这个时候他俩呈在一块，就真的是个轴对称图形了，那我可以验一验，哎，我要验一验啊，好， 因为它俩呢，首先它俩的 a 是 一样的，所以胖瘦是一样的，这点大家一定要把握住啊。那我验一验，是不是只要它俩一样高度，就一定是轴对称了？好，什么叫轴对称？同学们， 图我不会画，但原则我知道，对不对？图我不会画，但原则我知道，什么叫轴对称？ 轴对称图形的意思就是，这个图像上的每个点，它到对称轴距离相等的时刻，它的 y 是 一样的，这就是轴对称，对不对？图像上每个点到对称轴距离相等到这个轴对称，轴等距的点，它的 y 是 一样的，这就是轴对称， 对不对？好，那你会发现，各位同学，如果肖老师把对称轴安在这里， 按在这里啊，你看啊，我找等距的点，比如说肖老师，在这边找一组，哎，在这边找一组啊，我把这个图稍微往这边挪点，这样画起来更更 好，就这样，好，我把这个线在这边找一组，行吧？哎，我跟他等距的再找一组，再找一个 x 值，对吧？哎，再找一个 x 值， 看到没？哎，比如说肖老师设这个，这两个点是不是到对称轴都是等距的？那我就看他俩此刻成绩。此刻呢，这个人，这个人，哎，肖老师给他设成是 y 一， 是吧？然后此刻呢，这个人，这个人，肖老师给他设成是 y 二，那这个时候他的乘积就是 y 一 乘 y 二，对不？哎，好，那同样的，这边这个线呢？此刻啊，此刻我这个图画的有点歪了啊，稍微给他改一改， 应该是这样式儿。好，此刻呢，这个人，我给他设成 y 一 撇儿，是不是？哎，此刻这个人， 我，这个图吧，稍微有点不对称啊， 好，差不多这样哈，好，这个时候呢，我给它设成是 y 二撇啊，哎，那你会发现，这个时候它俩相乘，就是 y 一 撇乘 y 二撇，是不是？哎，然后我问你， y 一 乘 y 二等于 y 一 乘 y 二撇， y 撇乘 y 二撇，那肯定等，为啥呀？为啥等？因为 y 一 等于 y 一 撇啊？因为你看看对不对？因为这俩人关于这个线对称，是不是？所以 y 一 等于 y 一 撇， 对不对？这俩人等不等？这俩人也关于这根线对称啊，对不对？这俩人也关于这根线对称，所以 y 二等于 y 二撇，所以 y 一 乘 y 二，就等于 y 一 撇成 y 撇，看见了不？ 哎，有这么一组了，那你想想，如果肖老师再把这根线往左挪点，再把这根线往右挪点，那是不是一样的道理？再把这根线往左，这根线往右，你看，那是不是能，就是，我就不写了啊，是不是能满足每一组都行， 对吧？嘿，你看这个咱们就判断出来了，它确实我不用画出操，不用画出 f x 准确图像，只要我对轴对称足够理解，它就是到对称轴等距外值相等，是吧？那我也能看出这个选项没问题 啊，所以这个题二三四都是对的啊。好，最后总结一下，各位同学，哎，通过这道题啊，肖老师想给我们，哎，想给我们同学们嘱咐一下，如果你现在是一个高三的学生啊，你看我这个视频，你是一个高三的学生，那肖老师希望你通过我这个题学到的就是 我在考场上面对一道比较陌生的填空压轴题，或者比较陌生的一道函数题，那我应该怎么能够？比如说在这个选择选择填空压轴题，我怎么能够一秒钟找到思路，怎么能够一秒钟找到软柿子，对不对？要么就是 我找返利，返利是最保险，最准的，一定对，是不是只要能找到返利，我就能一定判断这个选项对还是错啊？所以我希望大家肯定是对咱们选填压轴，选填题目这种提速攻略能够更清楚啊，要么玩找特殊就找返利，要么用选项，如果是个选择题，一定要用选项把选项用好 啊。其次就是草图对不对？高次方程不穿针引线，那干嘛？只能求到是吧？哎，那就是高次方程的这个事，哎，希望大家通过这个题，对高次方程背后，我可以通过穿针引线法去画草图这个事情，哎，更熟悉啊。另外第三个就是， 哎，有的时候虽然草图不会画，但是我不会画草图，但是我会分拆， 对不对？我用分拆大法分别画每个人，那真是 so easy， 对 不对？并且我虽然看不出来总总整个的图像，但我能够找到轴对称，说白了就是到对称轴距离相等的点， y 相等，我只要确认这个事儿，那我就能验证它是个轴对称， 对吧？哎，所以任何一道难题，它背后一定有能够我们熟悉的点去切入的好。 哎，那视频的最后呢？肖老师再给大家稍微说两句啊，就刚才那个啊，小细节，好吧。哎，关于这个细节就是其实大家需要记住啊，哎，这个可以当做一个经验把它记下来啊。任何一个二次函数，它只能有一个弯， 任何一个三次函数，它最多只能拐两个弯，任何一个四次函数，它最多只能拐三个弯啊。这个的证明方法呢，也很简单，利用咱们的导数就可以证明。比如说肖老师以四次函数为例，给大家说一说啊，如果是一个四次函数，它最多拐三个弯，最多拐三个弯，为什么？ 因为四次函数它求完倒之后一定是个三次函数，是吧？你想想， x 四次方，它求完倒之后是三 x 的 啊，是四 x 的 三次方，是吧？哎，四次函数求倒之后一定是个三次函数，那我们知道三次函数要么增减增，要么减增减， 是吧？那导数的穿轴零点，那就是咱们原函数的什么导数的穿轴零点就是咱们原函数的极致点，是不是？所以你会发现，你把 x 轴上下动一动，你会发现这个 x 轴跟咱们这三次函数最多 只有三个穿轴零点，那说明它的原函数最多有什么？三个极值点，那有三个极值点，那不就是拐几个弯啊？你想想，有三个极值点，那不就拐仨弯吗？ 极致点不就是拐弯点吗？对不对？哎，所以就证明出来了，包括这个也一样啊，你把这个 x 轴上下动一动，对不对？包括你是减增减的也没问题啊。你把这个人上下动一动，你会发现这个人他跟他的导函数也是最多有三个穿轴顶点，那三个穿轴顶点背后，那就是也是有 三个基指点，三个基指点就是拐三个弯，是吧？哎，所以这个呢，大家可以当做一个经验啊，选填压轴，选择填空题就可以直接使用了啊。

到底是哪个大聪明，每次数学考试都能够考一百四的， 记得点赞关注哦！

高三紧急通知！二零二六，高考数学变天！八省最新异模卷泄露高考六大命题趋势！今天用两分钟给大家拆解武汉、杭州、长沙等最权威的九套异模卷，帮你找准复习方向。首先，第一点课标就是红线，九套异模卷百分之一百对标最新公布的课标，没有一道超纲题 特标，新增升级的考点向量、立体几何试卷里都有体现。这些题一定重点练，别等高考吃亏。第二，教材地位越来越重要。博主预测高考教材改编题会比去年多百分之五。 此次异模，很多题从教材改编来，这充分体现了高考一号文件教材的精神，所以复习别只刷难题，一定吃透教材。第三，常规题也能玩出新花样。异模很多对传统题进行改编，打破固定解析思维，比如把地推公式改个细节， 把直线和圆的问题融入导数，考察灵活运用能力，而不是死记题型。第四，科技感拉满，命题结合科技前沿。比如杭州一模就考了二进制和技术原理的结合，既能考察知识，又贴合时代。博主此前分享的二零二五年中国十大科技成果高考命题 预测，大家重点关注。第五，真实情境题越来越多。教育局一号文件明确要求，要加强真实情境的探讨式、项目式命题。如长沙市考了港口水深和货船吃水问题，用数学解决实际问题，这就是二零二六年高考的重点。第六，开放题鼓励创新，向沈阳市让写函数变换过程。 济南二选一证明不限制解析思路只要合理就得分，这要求我们平时多锻炼创新思维，不限制解析思路，只要合理就得分。这要求我们平时多练一模卷，精选卷。

紧急提醒！抚顺所有二零二六年高考考生及家长注意了！高考体检官方发布信息了，一是体检对象， 所有参加我省二零二六年高考报名的考生均需参加身体健康状况检查。二是体检地点如下，大家可以截图保存。再次提醒哈，体检一共六个项目，检验科、内科、外科、五官科、放射线科，也就是咱们常说的胸透。市区考生的检查顺序记好了哈，先查听力，然后是胸透，五官科，外科 测血压，内科，最后是视力，按顺序来高效，不耽误时间。体检前呢，按时参加，如实填病史，忌烟酒，清淡饮食，采血要空腹，带好体检表，按时签字。家长不得进入体检单位。 体检中呢，着装要宽松，胸透，不带金属饰品，测血压，视力要遵守要求，手续里不弄虚作假，放松心态。体检后呢，有疑问当场复检核对，医生签名，色盲色弱，避开献报专业体检后呢，立即离开，注意防范安全。 最后呢，跟大家附上咨询电话哈，有任何疑问都可以打电话咨询。以上就是抚顺市二零二六年高考体检的全部须知了，考生和家长们一定要仔细记好，提前做好准备，祝大家体检顺利！

最近高三开学之后啊，各地都在进行一模考试，看到一份特别有意思的试卷，也就是三月四号，由深圳市教科院秘制的深圳市的一模试卷，那么这份试卷与全国其他地方的模拟题不同的不同在哪里？这份试卷呢的十九道题全部来自于课本的改编，这就非常有意思了。 以往啊，广东深圳的一模题其实考的很偏，但是我看这份试卷就是非常接近于二四年二五年高考题的命题的逻辑，就从这份试卷当中透露出来了。以下的四个比较大的命题趋势，值得我们二零二六年的高考学生去重视。 第一个就是从这份试卷当中，你看选择题和填空题，他注重基础考察，不设那种小压轴题了，他的单选择题的第八题，多选择题的十一题，包括填空题的第十四题，相对于以往的试卷来看，难度不是那么大， 当然也有难度就没有以往的像那种压轴题的那种难度。那么这是第一个注重基础知识考察，他试题打乱了以往的顺序。这份试卷有意思的是，第一题考察的是统计的相关知识。从我们的认知当中，一份高考的模拟卷或者高考试题，第一题一定是考集合题， 但是从二五年的高考题就看出来了，很多题的顺序是打乱的，那么这也是迎合高考的一个变化。第二个是基础题的考察，它结合生活实际，从前面的单选择题，多选择题、填空题，包括解答题的这个基础题能看出来， 体现出层次性出来。第一类他直接是对教材当中的重要概念定义进行的一些相关考察，比如这个单选择题的前面的七个题和填空题的前面两道题， 都是对教材当中重要概念、重要的定义的一些基本元素，基本命题点的考察，那么它的第二类是通过引入一些新定义，结合生活的实际来进行考察，你像多选题的第十一题和填空题的第十四题都属于这一类，这也说基础考察进行了分层。 第三个趋势是难题的考察，设计了多个细分的命题点，这个是我们以往一直在给同学们说的，要注重基本命题点的考察。比如这份试卷当中的选择题的第十题，关于圆锥曲线的考察，它涉及的基础命题点就比较多， 你像是斜立，像是长度，像是三角形的基本命题点的计算，在一道题当中会考察多个点。那么第四个趋势是解答题，他出出了不同章节之间的组合， 改变了以往的一些长期固化的考察的模式。你比如我们第十七题这个空间几何的这个考察，他不侧重于建立坐标系了，那么这道题你通过垂直推理去做二面角来进行计算就可以做出来。 第十八题导数的考察，求导后你得变形，通过分子有理化变为二次函数之后才可以去计算。那么引零点的代换，他也是打破常规的， 只是选举其中的部分进行代换，然后观察相同的构成去进行抵消，找相同结构，不是整体代换，部分代换。那么这个题和二五年的新高考二卷的第十八题的考察，其实比较像注重于预算逻辑，那么第十九题圆锥曲线你不用去连理方程来求解了， 通过射出点的坐标，用点的坐标计算平行和垂直，以往的圆锥曲线其实非常套路化的，射出直线方程直取连力，最后去求参数。那么从以上的这份试卷当中反映出来的这些信息和趋势，我们二六年高考时要引起足够的重视。 这份试卷对标着我们二四年、二五年的高考真题，他真的很贴近于高考题的命题逻辑，特别是对基础知识、基本能力、基本题型的考察。所有题来自于教材试题，他是怎么改编的？想要这份试题的可以主页来找我们打出来，让孩子可以看一看。

朝阳一摸的这个导数大题，希望通过这道题，大家一定要学会，只要卡壳拆遍倒解析简导数爽，新定义至少做出前两问。大家好，我是老谢啊，我进来给大家讲一下新鲜出炉的高三啊，朝阳一摸的这个导数大题，这道题挺有意思的，首先，这道题的第二问比第三问的啊，有点像二五年高考这道题大家看啊，哎，解析式里边有 k， 然后呢，第二个又给了 m 和给了 n 三变量，对不对？你看着很烦，但是你要按照我，哎，无敌土师里边的看透有何要？你会发现零点看透啥意思？零点背后有方程啊，零点不本质不就是方程的根吗？哎，你会发现第二个给了俩方程， 要什么呢？要证明 n 乘以 e 的 m 减一次方，等于说白了就是要证明一个没有 k 的 式子，你给了俩方程，削个 k 还不容易吗？ 虽然这个式子看上去有点讨厌，但是你坚信条件一定是够的，你只要不停的变往前推倒，你最终一定能得出来这个结论 啊。第三问呢，哎，我们毛貌似是一个多变量问题，其实因为这里边有的是方程，所以我们第三问仍然可以消元啊。 ok， 各位啊，这道题，首先第一问，你们简单，我让你们看一眼啊。第一问，第一问呢，我，你们现在现在如果想看的话可以暂停啊，我马上就过去了。 好，我们现在重点看下第二问。第二问呢，他让说的是首先说的弱 g x 在 区间零到一上，尤且只有一个零点 m， 首先注意， 这是个条件，你得先利用这个条件。啥意思？其实这道题啊，某种程度上，第二问简直就相当于三道题，朝阳这个词出题出的够狠的，因为他让你首先基于这个条件得到一些有关 k 或者什么的取值范围， 然后在这样一个条件下，再证明他有一个零点 n， 并且再证明他这个第二问要不狠吗？三问相当于。好，我们首先先哎解析一下 g x 在 零到一上有且只有一个零点，啥意思？ 好，我们求导画图，把点找证明有且只有一个零点，先求导画图，然后呢，找正点，找负点， 来，我们求导求导整理完以后就变成这个，因为这个部分是大于零的，所以他是个无关项，按照我们双提的理论就是他不影响找出的正负，所以只看他，他这个简单呀， 是吧？然后呢，因为咱们说的是它在零到一上，所以 x 是 小于一大于零的，那么这样的话，它也是大于零的，所以它是单增的啊，它大于零啊，原函数是单增的， 原函数在零到一上单增，那么咱们证明只有一个零点，就这零带进去，发现等于负 k j 带进去啊，这就很简单，解出来呢，是 k 的 取之范围零到一啊，咱们现在已经知道了 k 小 于一大于零了。 那么接下来证明 f x 在 一到正无穷上，尤其只有一个零点。各位稍微回忆一下子， f x 导函数长成这个样子的，它在一到正无穷上，它导函数负的，所以在一到正无穷上。哎， f x 是 单减的， 单减的，咱们把 e 带进去，把 f 一 带进去，发现它是大于零的。然后呢，你可以带 e， 也可以带啊，比 e 更大的，反正这玩意可以大力出奇迹，为啥呢？因为咱们已经知道 k 是 大于零的了，所以负 k 是 小于零的 啊。负 k 是 小于零的，那么咱们会发现，只要保证这一部分也小于零这一部分，你提取一个 x， x 乘以一减零 x， 你 会发现，只要保证这个 x 是 大于一的，大于等于一的这一部分就是小于等于零的， 对不对？所以整个这一部分就是小于等于零的啊，我们带个 e 就 够了，所以很容易就证明了 f x 在 一到正无穷上有一个唯一的零点 n 啊，并且它的取值范围我们看是一到 e。 好， 接下来重点来了， 我们已经证出来它，这个，接下来重点是我们要证 n 乘以 e 的 m 减一次方等于。有时候老师这道题太难了，你只要看透，只要掐壳拆变导的变，你会发现这道题其实挺简单的， 来，各位请看啊。首先，因为 n 和 m 分 别是零点，所以有零点背后就有方程，对不对？ 并且我们要什么呀？各位，我们要证明这个式子，这个式子里边是没有 k 的， 所以咱们想办法把 k 消了， 通过这个式子我们就知道 k 等于什么， k 等于这部分，因为把减 k 挪过去是吧？等号这边是 k， 所以 k 等于它，同理 k 也等于它。 各位，现在就是你有这样一个式子证明这个式子，你会发现这两个式子都是由 n 和 m 组成的式子，它俩本质肯定是一回事， 所以这道题你只需要变形，不需要干任何事情。各位啊，你只需要变形， ok， 那么怎么变形呢？各位，听过老习讲过一个哲学吗？就是指就是对，对就是指，因为指和对就跟加和减一样，它是个逆运算，你稍微变变形就行。咱们呢，看到这个式子有点复杂哎，咱们可以给 e 的 一减 m 次方，各位， 咱们给 e 的 一点 m 四方找一个瘦的形象代言人。各位啊，一般情况下，纸对互换的时候，你就可以给 e 的 多少四方哎，设一个这样一个形象代言人，然后呢，我们还知道是吧？然后 m 的 取值范围是零到一 啊，那么 t 啊，它就在一到一之间，对不对？因为 m 在 零到一，一减， m 也在零到一啊，然后呢，所以 t 就 在一到一之间，然后这个时候我们对这个式子两边同时去对数 啊，同时取对数，就是 lo and t 等于一减 m， 然后呢， m 呢，就等于一减 lo and t。 你 把 m 等于一减 lo and t， 这个等于 t， 这个等于一减 lo and t。 你 带进去，你会发现一个很神奇的东西，命题老师早就给你设计好了， 你会发现啊，这个是 t， 这是一减 lo and t， 所以 t 乘以一减 lo and t 等于 n 乘以一减 lo and n。 各位，你会发现，那这俩不是一回事吗？当然了，要严谨的话， 它俩有可能，这个不一定能推出来， n 正好等于 t， 不 一定能推出来， n 等于 e 的 啊， e 减 m 四方，除非证明它单调，它单调的话就意味着一个 y 就 对应一个 x， 所以我们接下来只需要证明，哎，它俩长的这个函数就是 t 乘以一减零 t， 或者说就是长得像 x 乘以啊，就是一减零 x 这样的函数 啊，然后它在它们的区间内是单调的，在哪个区间啊？ t 的 取值范围是大于一的 啊， n 的 取值范围也是大于一的啊，大家看一看，因为他说的一到正无穷上，而且只有一个零点 n， 所以 当咱们通过一个简单的换元，只对互换，然后发现他俩满足一个同样形状的式子的时候， 我们只需要再构造一个函数，这个函数你会发现其实就是 f x， 哎，加上 k 减 k 消了啊，所以你会把 h x 啊，就等于 f x 加 k， 你只要证明他是单调的，他在一道正无穷上单调的，一道正无穷上早就知道是单调的呀，一道正无穷，这不就是单调递减的吗？所以这道题第二个就做完了，各位看了吗？ 啊，因为 h x 在 一道正无穷上单减的单调的话，那么同样的 y 啊，就一个 y 只对应一个 x， 所以既然 t 乘以一减六 n， t 等于 n 乘以一减六 n， 你 比如说，假设它俩是一个 s 这个数吧啊，你比如这是 s， 那 你会发现一个 s 只能对应一个啊，一个 s 代表的是 y 啊，然后呢，咱们写成 y 零吧啊， y 零，哎，一个 y 零就对应一个 x， 那么你会发现 t 和 n 就是 一个数， t 和 n 是 一个数， t 是 e 的 e 减 m， 四方正好是 e 的 e 减 m， 四方等于 n， 就 整完了。 所以啊，各位，没有什么难题，只要卡壳拆变倒。你看，你还记得我刚才说那句话吗？咱们有这个条件证明这个，也就是证明这个，他俩是一回事啊，你告诉我，那既然都是含有 n 和 m 的 等式，他俩本质上肯定是一回事啊， 所以本质上一回事，你只需要变一变形式，所以咱们就 e 的 e 减 m， 四方等于 t 就 变了个形式。哎，这道题做完了啊，这第二问第三问也不难啊，当然，如果 你想研究一下啊，有关指对的这种变换啊，你要想熟悉熟悉的话，各位啊，这些东西你都可以看一看啊，然后呢，你可以暂停啊，我现在给你过一遍啊，你可以暂停看一看。 好了，我们再看第三问。第三问呢？对于第二问中的 n， 这句话的潜台词啥意思？就是说，哎，他的 n 满足这样一个零点方程， n 满足这个式子，让你证明 j n 大 于零，我们把 j n 带进去，是这个式子， 这是个条件，时刻看透有何药。有一个 n 和 k 的 方程，所以就可以消 k， 我 们就可以把 k 变成这个玩意 啊，它可以变成这个玩意，其实是减 n， 减去 n 倍的 l n 啊，这个，这个给的 n， 太搞笑了，这 l n 和 n 都分不清了啊。然后呢，证明它，你看这是不是就是一个单变量的式子了，所以所有的双变量、多变量都可以变成单变量， 并且 n 呢，我们还知道是大于一的，所以我们证明，在 n 大 于一的情况下，证明这个式子大于零，对不对？证明这个式子大于零。那咱们就构造一个函数 f x， 然后呢，求导画图把点找，我们只需要找到它最低点，证明它最低点的坐标大于零就完了。哎，求导啊，然后求完导以后发现这是个相关项， 其实根据咱们那个重要切线，咱们很容易知道他是大于零的，对不对？那条重要切线各位知道吗？嗯，就是 e 的 x 四方，这是 e 乘以 x， 嗯，就那个重要切线，对不对？他永远是大于等于零的啊，然后呢，所以，哎，他是大于零的啊，你在这可以暂停一下啊，如果觉得过程快，然后呢，我们就会发现， 这个 far far 到 x 啊，它呢，就是横大于零的啊。然后呢，所以 far x 就是 递增的， far x 递增它在一到正无穷上最小值就是一。然后呢， far x， 我 们看看，大于 f 一 啊，大于 far 一， 把 far 一 带进去，你会发现，哎，正好等于零 啊。所以呢，这道题就做完了第二文。其实是啊，第三文比第二文还简单， ok， 总的来讲呢，这道题放在高考中肯定算难题了 啊。然后呢，我刚才说的最关键的一条就在于，当你得到了啊，这个式子，要证明这个式子，既然这两个等式里边都是含有 n 和 m， 不 含别的，他俩的本质是一样的，你只需要变变形。所以我希望通过这道题，大家一定要学会什么叫只要卡壳拆变等。

大家好，我是宋老师，今天咱们来评价和解析一下刚结束的二零二六年太原市一模的数学卷。 我也是昨天晚上啊，现实做了一下这套卷子。先说我的评价，这次的太原市一模卷子真的是太优秀了，看得出来是下血本了啊。 可以说呢，这是目前我见过的卷子中，模仿去年高考题最像的一套卷子也不为过。强烈推荐咱们高三的学生做一下往年的太原一模呀，可以说是愈肤陈旧，毫无创新，经常被我吐槽。但今年的这个 卷子啊，创新度极高，区分度呢也挺好的，题目非常灵活，与高考的这个导向也是非常吻合的。 整个卷子的运算量安排呢，也十分合理，不像某些试卷无脑堆积运算量。下面我们来就欣赏一下这套卷子， 对于其中的难题，我会从如何找到解析思路这个角度来做一下解析。这份卷子的选填啊，和他的前三道大题，基本上难度是跟去年的新高考二卷是差不多的，这也是说他模仿的比较像的原因之一吧。 他的后两道大题啊，则是比较新颖，难度也比较大。来，咱们现在主体看一下这道卷子的前六道题啊，都比较简单，我就不多说了，咱们从啊第七题开始看。那么第七题其实也是一道比较常规的问题，他考察了函数的对称性 还有单调性问题，其中，呃，需要构造辅助函数呢，也比较简单，你看他是不是在 x 属于负无穷到零时， f， x 加上 x 乘上 f 撇 x 大 于零，那么很显然，他是不是在告诉你某个函数的单调性啊，那么这个函数是谁呢？谁求导长这个样，那么很显然是不是 x 乘上 f x， 我 们设其为大 f x， 那么是不是就说明了大 f x 在 负无穷到零上是不是一个单调递减的？而他又告诉你 f x 加一的图像，关于负一逗零对称，那么把负一给它带进去，那么这个地方是变成零， 那么所以呢，这个函数 f x 就是 一个奇函数，那么 x 是 不是也是一个奇函数， f x 也是一个奇函数？积乘积是不是就是偶？那么所以它的视域图大概就是一个先增后减的这样的一个图像模型， 那么这个考察套路是不是很常规？那么下面我们来看一下 a、 b、 c 的 大小关系，那么 b 呢，是不是就是大 f 等于二， c 就是 大 f 贪镜的一，那么根据这个图像啊，是不是距离外轴的到外轴的距离越远，是不是函数值是越小的？所以我们可以对这三个数做一个估值处理，那这个数呢，是个零点五，那这个数呢，是大概是个零点六九， 那么贪镜的一呢，是贪镜的五十七点三度，那肯定大于贪镜的四十五度，是不是它是一个大于一的数啊？那么所以它的大小关系是不一目了然。 而第八个题呢，就是有一定的创新性，他考察了一下蒙日圆，他既告诉了你蒙日圆的方程啊，是不是 x 方加 y 方等于 a 方加 b 方，他也告诉你蒙日圆的一个性质，也就是椭圆上任意两点的线段为直径的圆， 内涵或内切于该蒙日元。现在说已知点 a， b 是 椭圆上的任意两个点，那么动点 m 呢，是在一条确定的直线上， 若角 a m b 小 于九十度，横成立，让我们求啊，离心率的取值范围， 那么要求离心率的曲值范围啊，我们是不是就要应该要去构造不等关系，而听不懂，又告诉你这个角是不是小于九十度的，那么等于九十度呢？是不是我们可以联想到 圆的一个性质，那就是直径所对的圆角是不是等于九十度？那么现在呢，角 a m b 是 不是是小于九十度的？说明这个点 m 啊，是不是在以 ab 为直径的圆的外面，是不是才能才可能啊？而题目中呢，又告诉你， 椭圆上任意两点为直径的圆，都内涵或内切于该蒙日圆，所以呢，我们是不是就可以把这个已知条件就可以转化为点 m 横在蒙日圆的外面，那么进而呢，我们是不是就可以把这个已知条件 转化为了？直线是不是与蒙日元之间的位置关系应该是相离的，因为动点 m 是 不是也在这条直线上吧，那么也就是说这个条直线上的点是没有点在蒙日元内或蒙日元上的， 那么从而将问题是不是就转化为直线与圆的位置关系？那么所以呢，这就可以得到了是不是圆点到这条直线的距离 d 是 吧，应该是大于 摩日圆的半径，所以 d 应该要大于根号下 a 方是不是加一？而 d 呢，是不是又可以用圆点到直线的距离公式？那么是不是就变成了负十的绝对值？比上根号下三方加四方 是吧，就应该等于二，所以 a 方是不是就可以解出它的范围来，是不是小于三？当然了， a 方是不是还要大于一？因此我们的离心率的范围是不是也就能够求解出来了呀？ 好，那么再往下看，第九题啊，这个题是不是就是考察了一个统计当中的这些平均数啊？中位数，这个比较简单， 那么第十题呢？这道题，第十道题啊，这道题其实最简单的解法，最简解法呀，就是列局就可以啊，那我现实做的时候呢，懒得去给他，去给他构造新数列，如果正常的做法，应该是找不动点，利用不动点法来构造他的通项公式。 但是这个题你通过简单的列局，我们是不是就能够发现？你看，但是要注意哈，他是前 n， 向基是 p n， 那 么所以呢， p 一 是不是就应该等于一减 a 一 应该就等于 a 一， 所以我们的 a 一 啊，是不是就能解出来它是等于二分之一的？ 我把 a 一 带进去，就是令 n 等于二，是不是就是呃， a 一 乘 a 二，是不是等于一减 a 二，然后呢，就能解出二分之一个 a 二是不是等于一减 a 二， 也就是二分之三个 a 二是不等于一，所以 a 二等于三分之二。那么同理啊，我们也可以解出 a 三等于四分之三， a 四呢，等于五分之四。所以啊，当你碰到了竖列题不会做的时候，首先应该要考虑的是不是列距，甚至有些情况下，我们即使会做，我们也可以先用列距找找它的规律，不要轻易的去对它进行放弃。 那么一旦解出呃 a n 的， 那么我们是不是你看 a n 是 不是就应该等于 n 加一分值 n 呐，那么有了 a n 了，是不是也就很容易解出它的 p n 了？有了 p n 呢，是不是也就很容易的算出来了一个 b n 啊？ 所以第十题是不也是一个比较送分的题？第十一题啊，他的难度呢，也不是特别的大，嗯，也算是较为常规吧，他是属于两个球的切相切的问题。那么咱们看一下题，说在棱长为二的正方体容器当中放了两个小球， 然后呢，是不是两个小球的本面积分别是 s 一 和 s 二？那么这个题啊，就有点像是去年的新高考二卷的呃，那道题，那道填空压轴题吧， 是不是在一个圆柱当中是不是塞了两个球？那么问这两个球的呃，半径的最大值好像是， 那么在这是变成了一个正方体，那么咱们画一下图，他们看一下 a 选项，说当 r 一 等于 r 二时， s 一 的最大值是个多少？那么要想在这个正方体里塞的这两个铁球半径尽可能的大， 那么只可能是这样的放置的方式，是不是一个是挨着一个角，另外是挨着这样一个对面的这个点，这个顶点的这个角，这样呢，是不是给他塞了两个铁球 啊？这是不是塞了一个铁球？那么这两个球的球心啊，都势必是在他的体对角线上， 是在他的体对角线上。那么解这道题的一个核心在哪里呢？其实就是利用了这样的一个技巧，任意的一个正三棱锥当中里面如果放一个内切球内，这个内切球的半径与球心到顶点的距离 之间的比值横为是一个定值，只要你这个三棱锥是不是一个确定的，正三棱锥是确定的， 所以就利用这样的一个性质来去寻找它们之间的一个等量关系，那么在这里正三棱锥是不是相当于它们的侧棱之间是不是都是相互垂直的？那每一个侧棱的长度是不是都是二二二，那么所以这里面放了一个球， 那么咱们假设它的球的半径是个耳，那么耳，我们再来计算一下它的 半径与它的高，因为半径与球心到顶点的距离的比值是固定的，那么半径与这个锥体的这个高的长度比值是不是也是固定的？ 所以我们来先计算一下这个三能追的高，那么用等体积法是不？三分之一乘上二分之一，乘二乘二，再乘二， 应该等于三分之一乘上四分之根三倍的 a 方，因为底面是不是一个正三角形，它的长度边长啊？是二根二乘上八，再乘上它的 h， 所以我们可以来计算一下 h 的 值， h 是 不是就应该等于二比根三？那 r 的 计算是不是也可以用等体记法？那么也就是三分之一乘上二分之一，是不是乘上个八应该等于三分之一乘上它的是不是表面积之和 再乘上半径啊？这个表面积是不是应该是二加二加二，再加上四分之根三？一方的话，是不是是一个二根三 再乘上二，那约掉这是不是成了个四，然后四等于六加上二根三倍的二，所以二呢？是不是就应该等于二除以三加根三， 所以二比 h 就 应该等于二除以三加根三乘上一个根三除以二一约，是不是这就应该等于一个一比上 一加上根三，所以也就是说 h 等于一加根三倍的二， 那么有了这样的一个比例关系，我们再来计算这道题啊，其实这四位都非常好解决的，就是算起来可能稍微有点麻烦，那么 a 选项说当他俩的 半径相等时， s 一 的最大值是个几，那么是不是只需要计算此时的一个半径啊？那么这个时候是不是相当于我们这样的继续膨胀，这两个球是不将会切于这个体对角线的终点处， 是吧？那么这个时候呢，他的耳和这块的比值是不是固定的，一直是不会发生变化的，因此呢，耳呢，与体对角线的一半的比值是不是也是一加根三呀？那所以呢，耳 比上根三是不等于一？比上是不是一加根三，然后就等推出，而是不是应该等于根三除以上的一加根三啊？那么这个时候是不是可以计算 s 一 的这值啊？ 那么第二种情况呢，是说当 r 一 去最大值的时候， s 二的最大值是个几？其实还是利用这个模型， r 一 要想取得最大，那么是不是就就是一个正方体的内切球？ r 一 是不是等于一的时候， r 一 等于一的时候，是不是在这里面给它塞上？在这个时候啊？ r 二第二个球啊，是不是只可能是在，你看是不是在这样的一个状态，那 r 二呢，是不是只能挤在这个角角上？ r 二是不是只能挤在这个角上？ 那所以呢，这个时候我们列的等量关系是不是就应该是等于什么？是不是？呃，大，这个大的半径是一，那么这块舍他的半径小的半径是二，那么是不是就变成了一加上一加根三倍的 二是不是等于根三？所以呢，二是不是等于根三减一比上根三 加一啊？嗯，化解，我就不化了哈。所以 b 选项其实可以算出他是对的。那么对于 c 选项呢？说 r 一 加 r 的 最大值，那么 r 一 加 r 二日常取的最大值是不是肯定也是这样？斜的，顶的， 斜对角的，这样这样放着的，对不对？所以我们还是可以利用刚才的这样一个性质，列出他俩的等量关系来。也就是说，呃，这块的长度 设第一个球的半径是个 r， 还用这个矢图吧。第一个球的半径是不是个 r 一？ 第二个是不是 r 二？然后它俩是不是相切于这个位置？ 两个球是不是相切于这个位置？那么 r 一 比上它对应的这块的长度和 r 二比上对应的这块的长度 是不是都是等于呃，一比上一加根三的呀？所以呢，我们就能拿到能量关系，一加根三倍的 r 一 加上 r 二是不是应该等于二根三的？ 因此我们会发现，在这种情况下， r 一 加二是不是恒为定值的？所以 r 一 加上 r 二应该等于二根三，比上个一加根三，那再给它有理化一下，是不是根三减一，根三减一， 那这个地方是不是变成二了？这个二和这个二一约是不是等于三减去根三啊？所以二一加二等于这个时候最大的时候应该是个三减根三，三减根三呀。去计算一下，与这两个值比较一下，会发现，会发现呀， c 选项的这个值是要大于三减根三的，所以 c 选项是不正确的。 而对于 d 选项呢，大家要小心一点，他要求的 s 一 加 s 二的最大值，这个时候可千万别把它想象成了什么，就是两个半径相等的时候取的最大，为什么呢？你看，相当于我们现在的已知条件是 r 一 加上 r 二，是不是应该等于三减根三为一个定值， 而我们要研究的是四派倍的 r 一 房加 r 二房的一个对值问题啊。那如果用基本不等式的话，你看，我们是应该给它写成了可以利用了均值不等式的一个性质哈。呃，一个一个均值不等式吧，就是 二分之二一方加二，二方永远大于等于二分之二一加二，所以你这个二一和二二相等的时候，其实取得的是最小值，而不是最大值。那， 那这个情况不能用基本不等式，该怎么办呀？那么我们是不是就可以给他利用了二次函数给它统一下变量是吧？那么统一下变量，你想想，二次函数要么是不在对称轴处取得对值，要么是不在两侧是不是取得对值啊？ 呃，所以呢，这个时候两侧的情况是什么？所谓的两侧的情况是什么情况呢？就是 r 一， 比如说等于一，那 r 二是不是等于二减根三的时候， 那么这个时候是不是取得了最大值？他是利用了二次函数取得对值的条件，是不是来给他做的研究带进去验证一下啊，你就会发现 d 选项也是对的，所以最后的答案其实选了 a b d， 所以 这个题啊，思维难度其实并不是很大，但是主要是这个数据可能不太好看。那咱们下面再看填空题， 填空题啊，两个都前两个比较简单，第四个你看是不是又出来了一个创新的题目？所以呢，你看看的是不是比较唬人的，然后给了你一个什么多相似屁什么，是吧？啊，我就不读了，然后满足屁，如果满足了屁 n 口三 x 等于口三 x， 我 们就把屁小数乘以一个新定义型的问题，那么给他给举了一个例子 是吧？二 cos 方 x 减一等于 cos 二 x， 所以 p 二 x 是 不是就二 x 方减一？那么有三倍角公式呢？是不是就能得到了？ p 三 x 等于四 x 方减三。现在已知函数 f x， 你 看这个家伙在负一到一上 有三个不同的零点，那么分别记为 x 一 x 二 x 三。那这个题是还是非常不错的一道题啊，至少一开始让人看了，给你一个心理的震慑作用。 但事实上呢，其实计算下来他的运数量也不是很大，也是模仿型的问题。那么咱们去关注一下，是不是八 x 方减六 x， 他 俩的系数是不是正好是四比三？所以呢， f x 的 零点问题你看，并且他的零点是不是还是负一到一的？所以我们可以设， 你看 f x 等于零，是不是就等价于四 x 方减三 x 四 x 三次方减三 x 是 不是应该等于二分之根号二，那么令 令，我们做一个三角还原是不是可以啊？令 x 是 不是应该等于口三 t 那 么有三个根嘛，所以 x 一 等于口算 t 一 x 二是不等于口算 t 二 x 三是不等于口算 t 三？所以是会拿到了是不是四倍的口算 t 的 三次方减去三倍的口算 t 是 不应该等于二分之根二？ 而这个是不是利用切比穴这个多相似，我们就能知道它是不是正好是等于口三三 t， 所以 口三三 t 是 不是等于二分之根二？那我们的三 t 应该等于什么呢？是不是应该等于正负四分之派 加上二 k 派，所以 t 呢，是不是等于正负十二分之派，是不是加上三分之二 k 派？ 那么在这里啊，我们给 k 负值，所以得到了 t 一 呢，是不是应该等于十二分之派？ k 等 k 取零吧，是不是 t 就 得等于十二分之一 k 取？要是取负号呢，是不是还得等一个负的十二分之一？但是大家要小心，口算十二分之一和口算的负的十二分之一的取值是不是一样的呀？所以我们就取一个就够了， 那么再给 k 取值 t 二呢，是不是应该？至少我们给 k 取值的效果要满足啊？口算 t 的 值是不是有三个互不相同的值就可以？ 所以呢，给 k 如果取个正一的话，那么是不是就会得到了 t 二是不是应该等于三分之 二判，是不是减去十二分之判，是不是应该等于十二分之七？判？ 如果 k 等于一，前面取负号呢？取正号呢？是不是三分之二派再加上十二分之派？那么这个是不是应该等于四分之三派？所以啊，我们现在是不是 就要把 x 一 x 二 x 三和口算十二分之派，十二分之七派和四分之三派是不给他做一个对照，对照上去就可以了。 那 x 一 是不是最小的？那么在这里是不是数值最小的就是谁啊？ x 一 就应该等于口三是不？ t 三是不应该等于负的二分之根二，那么 x 二呢，是不就应该等于口三是不十二分之七派？ 那么 x 三呢，是不应该等于口三是不十二分之派？大家要注意，这两个角之间是不相差的，是二分之派， 所以给他代入进去，是不是 x 一 方减 x 二方减 x 三方就应该等于二分之一减去括号里面是不是口三方？十二分之派 加减去口三二分之派是不是加十二分之派的平方？ 那么最后呢，这个地方是不是应该等他是应该等于三一方是不是十二？哎，这是个加号哈。三一方是不是十二分之二分之一？最后不就是负的二分之一吗？ 那十五题，十六，十七这三个题啊，都是非常常规的问题，其中十五题的第二位是不要注意一下，一个多解问题就可以啊，多解。 咱们来看一下第十八题，那十八题啊，这道题看着是不是乱七八糟的，这个线很多是吧？是像像渔网似的 对吧？但他的第一问比较简单，那我就不多说了，是 x 方减去二分之外方等于一，而第二问考察了个什么呢？他说啊，过点上面任意点 p 是 不是做了渐近线的是不是平行线？ 而 p 和 q 呢？是不还关于原点是对称的，那么做了两，呃，做了渐近线的平行线过 p 是 吧？做两条渐近线的平行线过 q 是 不是再做两条渐近线的平行线，那么让你求证它的面积为定值，那这是一个非常常见的呃，双曲线当中的二级结论。 那上过我课的所有的，不管是高二的还是高三的学生都会跟他们讲到这个性质的，其实因为这个性质用的非常频繁，那么这里面不但是他的面积是个定值，谁是面积是个定值呢？就是 这个这个四边形的面积是一个定值，那么怎么去正呢？他的正法可以使用什么？就是点 p 到两条渐近线的距离是一个定值，来给他做一个证明。 那么咱们不妨啊，设它是一个第一，一个是第二。然后呢，我们设设这个点，我们叫它 a 点吧，设这个点呢，我们叫它是 b 点， 那你看啊，如果我们能证明第一乘第二是一个定值，那为什么要证它是一个定值？因为它是一个很常见的二次结论啊， 那么我们就能够证明了，面积 s 是 不是等于一个定值，那怎么有推它来推它呢？你看，我们可以把四边形的面积用底乘高，是不是来进行计算，也就是等于 o a 的 长度是不是乘上 d 一 d 一 是不是数高啊？而 o a 的 长度呢，又等于 p b 的 长度， 而 p b 的 长度我是可以把它放在这个直角三角形中来进行计算的。我们设这个小角是不是等于阿尔法？那么 p b 是 不是就应该等于 d 二 除以 sine 阿尔法，而阿尔法呢？与两条渐近线的夹角，这个夹角啊，是不是互补的关系？ 与夹角互补，也就是说当双曲线确定的时候，两条渐近线是不是就是确定的？因此这两条渐近线之间的角度是不是就形成的角度是不是就是确定的？那如果我们设渐近线的倾斜角， 渐近线的倾斜角为贝塔，是不是这两条渐近线的这个角是不是是二贝塔？那么所以 sin r 法是不是一定是等于三二倍它的，也就是说这是一个定值，那所以啊， s 不是 等于第一乘第二，是不是除以一个 sin r 法，现在它是一个定值，我是不是只要能证明了第一乘第二是个定值就可以了，而第一乘第二是定值，怎么去证啊？是不是就直接用点到直线的距离公式来证？是 p 点为 x 零外零。那么 l 一 呢？第一的距离是不是它到 l 一 的距离？ l 一 的方程啊，是不是应该是等于 y 等于根二倍的 x l 二的方程是 y 等于负的根二倍的 x 二 倍的 x 零减 y 零的绝对值比上根号三。那么第二呢，是不是就是根二倍的 x 零加 y 零的绝对值比上根号下三， 是不是就应该等于三分之二 x 零方减 y 零方，而对数和虚线的方程已知是不是它很显然是不是等于二的 等于二的。因此我们就证明了是不是第二位它的这个面积是一个定值，这个大的面积。注意哈，人家要求的是 p q m n p q m n 的 面积是不是这个小的四边形的面积的四倍？那么这个题的难点是在第三位， 第三位啊，说实话，我在这个现实做的过程中啊，这道题我也是解题失败的，当时我尝试过用挖掘几何关系，但是呢， 呃，这个图实在是乱的不行，感觉像渔网似的，是没有太多的耐心去挖，再加上啊，一个思维的定式，总想的是用计算的方式，但是计算量实在太大，最后我就放弃了，然后我去做第十九题去了， 那么这个第三位的设置非常非常好，因为在这里他利用了挖掘几何关系的方式来去证明了这一点，就是这个形式，我们很容易猜想。咱们来看一下题说 t i 是 四边形内部的一个不含边界的点啊， 那这点了一个 t i 对 不对？那么他说 g d k 是 等于啊，呃， 一个求和啊，就是 f k t i， 那 什么意思呢？我们先把第一来看一看啥意思？第一是不是就应该等于 t c 等于 sigma？ 呃，上下标我就不写了哈，就是 f e t i， 那么就等于啊， t 一 f 一 加上 t 二 f 一， 是不是一直加加加，加到 t 五十个 f 一， 那么同理 d 二呢，是不是就应该等于等于 t 二？ t 一 f 二加上 t 二 f 二，一直加加加加到 t 五十 f 二。 那么在这里啊， t 点不同的 t 点之间是不是没有任何的关联性？就是随便取呗，你可以取到同一个点是不是也没有问题？所以他让我们证明的事呢，就是第一减第二是不是要小于一百， 那么就等价于呢？ t 一 f 一 减去 t 一 f 二，是吧？这一组再加上 t 二 f 一 减去 t 二 f 二，是不是这是一组一直加，是不是加五十组，那么它是不是要小于一百？那它这是不是代表的是一个绝对值的符号，那么这里面是不是有五十组？ 那么根据绝对值的性质，那么它的绝对值是不是很显然是小于 t 一 f 一 减去 t 一 f 二的绝对值加上绝对值倍的绝对值的？ t 二 f 一 减去 t 二 f 二，是吧？一直加是不是加五十组是不是小于一百？那么你只要里面的每一个是不是证明它是不是小于二，是不就可以？ 这一点是很容易想得到的，但是就是在证明的时候，你选择了方向，如果你选择了一个代数运算方向，那这个题是特别的麻烦，那，但是呢，如果从几何的 关系的挖掘，以及啊双曲线的定义这个角度，那反而就变得异常的简单，所以这个题出的特别的妙，不是让你一味死算，现在好多这个圆锥曲线大题， 呃，好多地方的一模啊，我看了一下，基本上预算量都是非常非常大的，那在这里你看思维量上去，你的预算量就会下来，那它是怎么来正的呢？它是做了这样的一个辅助线，你看， 为了能用上双曲线的定义，它把 t e f e 与双曲线的交点我们取作，比如说 c 点，那么我 再连接 c f 二，由于这个图形啊具有对称性，所以我们不妨设 t 一 f 二大于 t ti 吧， ti f 一， 所以我只需要来证明 ti f 二减去 ti f 一， 是不是是小于二数就可以了？而 t i f 负一呢，是不是又等于 t i c 加上 c f 一？ 所以呢，左边是不是就应该等于 t i f 二减去 t i c， 再减去 c f 一？ 而在这个三角形啊， c f 二 t i 当中，也就是这个三角形当中，那么我们是不是利用三角形法则会知道 t i f 二减去 t i c 是 不是将会一定是小于 c f 二的， 而 c f 二减 c f 一 呢，是不是就正好是等于二的？那么所以我们就能证明了， t i f 二减去 t i f 一 是不是小于二的呀？ 你看这个题的最后一位，设置的是不是非常的精彩，如果是能够几及时的挖掘几何关系啊，他的计算量就是几乎约等于零的，但是如果不去挖掘几何关系，他的计算量将会暴大。 好，下面我们来看到整个卷子中最精彩的第十九题，那么这个第十九题啊，我相信好多同学看到他以后啊，是不是脑袋都炸了，你看，不知道他这个形式上是不是很吓人，不知道他在说了些什么， 那么咱们来看一看。那么作为这道题啊，他们这三位之间是有一些关联性的，所以呢，我从第一题给大家做解析，可能有些同学啊，第一题也不知道该如何证明， 那么当我们不知道如何证明的时候呢，我们就把已知条件对他进行加工一下，那么因为在这里啊，我们这个他的问题是实在是不知所云，为什么呢？要证这个证这个需要证什么东西是吧？所以我们就只好从已知条件出发，这也是咱们常用的解题模式之一， 也就是从已知条件出发，看看能不能推到问题当中，去，拉近已知和问题之间的距离。那么没有什么好做的，只好带入。也就是二 x 加一减去三，二 x 加一 减去二 x 减一，加上三，二 x 减一，那么它就会等于二 x 加一减去三，二 x 加一， 是不是减二 x 再加一减去三，二 x 减一是不是它要大于二？ 那么整理一下呢，就会发现，二 x 和二 x 约掉了，这个二和这个二是不是约掉了？也就是 等价于？哎，这个地方错了啊，是加号等价于三二 x 加一 是不是大于三？二 x 减一，那么拿到了这个推到这一步之后啊，呃，千万别给我做成二 x 加一，大于二 x 减一哈，这里是没有单调性的三 x， 对 吧？所以呢，它就又该等价于是不是三 二 x 口三一，是不是只好展开？我没用别的路可走啊，加上口三二 x 三一是不是要大于三二 x？ 口三一 减去口三二 x 三，那么这两个是不是给约掉了？也就是说，最后咱们推出来的是 两倍的口三二 x 三一是不是要大于零？也就推出口三二 x 是 不是要大于零呢？那么也就推出，哎，二 x 一定是不是是大于 负的二分之派，是不是加上二 k 派，小于二分之派加上二 k 派，那么也就是 x 呢？是不是要大于负的四分之派？加 k 派是不是小于四分之派加上 k 派？那这个时候我们再来看是不是三 x 的 取值范围，那很显然，是不是负的二分之二到正的二分之二， 那么从第二位才开始变得有意思了。那么第二位呢？咱们看一下，它是说 a n 等于口算二 n 的， 那么 s n 是 它的牵线盒，让我们来证明这个东西 sn 大 于等于负的三一分之一，小于三一分之一。那么在这个题啊当中，是不是感觉完全是无从下手啊？那么像这种情况下，我们到底该如何分析问题呢？你看我们的已知的 a n 是 不是等于口算二 n， 那 么让我们研究的是， sn 的 取值范围大于负的三一是不是小于一，比上三一 好，那么你要正 sn 是 不是在这样的一个范围，是不是就得去求 sn 是 吧？你要求解 sn， 那 么你想我们的 sn 又等于呢？是不是口算二加上口算四， 一直口算六是吧？一直加下去，那么而这个式子呢，在我们目前的日常的接触当中，是不是想不到该如何求和，那么这个时候就开始想一想， 那么我们求和的方式是什么呢？其实我们求和方式无非是两种，就是先放松了，他是不是再求和，那么要么是先求和，是不是再放松， 那么在这里呢，你看，在这里啊，我们看一看能不能？而我们的求和方式当中，无非就是那么几种，什么列项了是吧？错位了，什么垒加了 对吧？呃，没有累加啊，胡说八道了，倒序相加法了等等。那么在这里呢，你看，像这样的问题， 往往啊会跟第一问就是会有一些密切的关系，他们的第一问可能会再告诉你点什么，你看一看啊，在这个地方当中，如何跟第一问这里关联呢？第一问当中，在这个已知条件的加工处理当中，我们是不是碰到了口算二 x 这个家伙， 对吧？那么 x 如果给他改成 n 呢？是不是口算二 n？ 但可惜的是，他这是不是一个不等关系？但是如果把这个不等关系改成等量关系，又能发生什么呢？对吧？这也是是不是跟第一位有一个密切联系的地方， 所以我们不妨试一试口塞，呃，也就是三，你看啊，他这的是二 n 加一和这的二 n 减一是不是会消掉？所以我们写了是不是也没有什么太大的意义？我们直接给他写成是不是三二 n 加一 减去三二 n 减一，是吧？它能发生什么呢？是不是它跟这个事是不是一定是有一些关联性的？因为我们把这个地方，其实我找到这个解析的思路的时候，主要因为我也不知道口算二 n 该如何去列项，但是我看到了这是不是有一个口算二 x， 然后我就逐步逐步逐步给他倒的往上，往上倒回去，我就发现他其实这个式子把它展开以后，就跟口三二 n 有 一些关系，他就等于 是不是三二 n？ 口三一加上口三二 n 是 不是三一减去三二 n 扣三一加上扣三二 n 是 不是三一？ 而这个式子是不整理一下是不？这两个约掉之后，正好是等于两倍的三一乘上口三二 n 啊？那看你看，所以这样以来的话，我们就知道了，口三二 n 是 不是就应该等于二 n 分 之二，三一分之 二倍的三一分之一乘上三二 n 加一减去三二 n 减一， 对吧？这样一来我们是不是就可以对 s n 进行求和？所以 s n 等于什么呢？是不是应该等于二倍的三 一分值？一是不给他提取出来，这里面就是三三减去三一加上三五减去三三一直加的，是不是三二加一 减去三二 n 减一啊？好，这样一来的话，是不是这里面是不能削到一大片？最后呢，是不是留下了一个等于一除以二倍的三一， 这里面呢，是不是是一个三二 n 加一减去三一？ 而这个式子，你再看看和这个我们的要求解的问题是不是就已经非常接近了，而这个这个综合号的内容是不是属于一个负二到二之间的这样一个数值，对吧？所以是不第二位就 证明了，因此他是完以后大家再碰到类似的题啊，一定要看看他跟第一问的之间的关联是什么，他不可能平白无故的给你三问之间没有任何关联性。 好，那么第三这个第三问呀，这个题就是整个卷子当中可能最难的一道题了， 那么我是如何发现他的解析思路的呢？你看，在这里建立大功的是猜想，所以我们来看一看。怎么去猜想呢？他说是一个等差数列 b a 公差 d 啊，是等于二零二六， t a 呢，是他的牵一项和， 然后 c 个码这么多，等于二零六派，让我们去求解啊，他的 b n 的 前二零二六项的和是个多少？我们大概带进去写一写，是不是 c 个码上下标我就不写了哈，是 fbi 是不是就应该等于 c 的 吗？ bi 加上 c 的 吗？三是 bi， 是 这个家伙是不是等于二零二六个 pi？ 我 们的解题目标呢，是不是要求这块家伙是个几？ 那么要既然能求出这块家伙是个几了，那么这个家伙是不是一定也能够求出来？也就是说我们得通过这个家伙的以求出来之后才能解得了是不是 t 二零二六的值啊？ 可是你看啊，这个式子当中一直是不是带 sign， 那 么带 sign 最后呢？结果还是等于二零二六派？ 那么你想这个让我们去猜一个数字的话，是不只可能来猜说这个家伙是不是零，那么如果它是零又会发生什么呢？是不是我们的 b i 是 不就能确定 你这个 b 呃， b n 这个数列是不就能够确定？那么 b n 这个数列是不是就等于，也就是说它等于零的话，那么也就是 b 一 加 b 二是不是一直加下去，加到 b 二零二六，是不是就应该等于 二零二六派？也就是说平均下来是每一个数是不是都是派？所以呢，我们是不是就能够想到是不是 b 一 加上 b 二零二六，是不是一定是等于二派的？ 那么 b 一 是谁数不知道，但我们在这用基本量来进行表示的话，是不是就可以得到是 b 一 加上 b 一， 再加上二零二五个公差，公差是二零二六啊，是不是应该等于二 pi？ 那么我们就能解得我们的 b 一 呢，是不是应该等于派减去二零二五个幺零幺三？那么 b 一 确定了公差 d 是 不是又等于二零二六？那么这个时候我们来看一看 sine b i 相加的话，是不是真的是等于零呢？那么我们可以看一下，是不是也就是相当于是 sine 派减去二零二五乘上幺零幺三加上？那么第二项呢？是不是三派减去二零二五乘上幺零幺三， 再加上一个二零二六，那么他加了个二零二六，就是相当于加了两个幺零幺三，是不是就变成了二零二三个幺零幺三？二零二三乘上幺零幺三，那么再往下加加加，那么看一下他的最后一项是什么呢？ 是不是就应该变成了三？派减二零二五乘上幺零幺三，再加上一个二零二五个，是不是 二零二六？而这个地方是不是相当于四零五零个幺零幺三啊？那么再加减去二零二五，是不是这个地方就变成了三派加上二零二五乘上幺零幺三？注意，这个时候你看 三元派加一个数和三元派减一个数是不是相加的话，是不是正好是等于零的？因此我们为了谨慎起见，再验证他的第二项与倒数第二项相加，是不是也是这样的一个零的值呢？ 所以叠倒数第二项是不是就应该是等于三 a 派减去二零二三乘上幺零幺三，再加上二零二四个二零二六个，公差嘛？是吧？这样就变成了四零四八个幺零幺三， 那么四零四八减二零二三是不是正好是一个？哦，这里出错了，是派减二零二五个，他的手相是二零二五个，是幺零幺三，那么这样四零四八减二零二五，是不是正好是二零二三个？也就是等于三 派加上二零二三个幺零幺三，那么这一项和这一项是不是相加又等于零？这样以来是不是正好每一对相加是不是都是零？所以这个时候我们就把这个是不是给它证明了？ 那么现在还差最后一个问题，那么这个解是具有唯一性的吗？那么这个时候该怎么办呢？这时候你看大家再想一下，这个相当于在这道题当中，大前提是不是给了我们一个 f x 等于 x 加上 c x， 而这道题这套卷子当中是不是从头到尾还没有考过求导的问题？大题当中是吧？所以你看这个时候联想到我们的零点问题当中，零点问题当中是不是就相当于我们在这里大 f x 小 f x 是 不是等于 x 加上 sin x， 那 么而 sigma fbi 是 不是就应该等于 sigma bi 加上 sigma 三 bi 是 吧？那么现在如果我们用基本量来表示的话，是不是大家都能用 b 一 来进行表示，是不是就相当于 b 一 加上 b 一 加二零二六，是吧？这是一个一直往下加，那么最后一下是 b 一 加上二零二五个，二零二六加上是不是三比一一直加到三三，呃，三比一加上三比一加上二零二六一直加到三， 说 b 一 加上二零二五乘上二零二六是吧？那么这个式子是不是是一个关于 b 一 的函数？我们还证明了一点，是不是令它等于大 f b 一 吧， b 一 看成自变量，那么我们证明了一件事，当 b 一 等于派减二零二五乘幺零幺三时，这个大 f b 一 是不是正好是等于二零二六派的？ 那么如何证明这个 b 一 是具有唯一解的呢？是不是我们可以通过单调性来证明？若 f b 一 是不是具有 单调性，那么是不是这个解一定是具有唯一解的？那么所以我们对 b 一 进行求导，是不 f 撇 b 一 是不是就应该等于一加一加是不是一直加一？这一共是二零二六个， 是不是再加上口三 b 加上口三 b 一 加上二零二六一直加到，是吧？那这些是不是也是二零二六个？那么但是这个加起来 口算值啊？是不是一定是大于等于负一的？那么所以这个玩意是不是大于等于零的？所以我们就能够得到 f b 一 是不是为增？ 那么所以这个 b 一 是不是具有唯一的解？因此我们也就证明我们也就解得了。说正好就是 t 二零二六，他是不是正好就等于二零二六派？ 所以你看这整套卷子是不是很棒啊？该送分的送分，该有区分度的是不是有区分度，预算量呢？是也能够让人接受。好，咱们今天的评析就到这里。