浙教版八下新教材证平行四边形方法

八下数学最难的平行四边形，八大技巧全部掌握，逆袭班级前三！八个平行四边形中求最值技巧！技巧一，做对称点技巧二，取斜边中点 技巧三，确定轨迹技巧三，确定轨迹 技巧五，旋转构造权等技巧八，平移线段完整版分享！

几何基础要记牢，平行四边形性质跑不了。来看这道题，已知平行四边形的性质，咱们怎样推它的结论，所以今天是总结结论以及公式。来看这个哈，已知平行四边形，它是平行四边形，咱们所得到的第一个 来，接着第一个对边平行，也就是说它是平行四边形，可以推出什么？对边平行，也就说 a b 平行于底 c， 或者是 a d 平行于底 bc， 是 不是？所以这两个可以去推推出来。第二个是对角相等，也就是说可以推出角 a 等于角 c， 然后角 b 等于角 d， 所以 就是两个， 然后对边平行，对边相等，也就是说 a、 b 就 等于个底 c 和 a d 等于 bc， 对 吧？ 然后菱角互补和为一百八，所以也就菱角就是角 a 加角 d， 角 a 加角 d 等于一百八， 还有一个是角 b 加角 c 等于一百八，或者是角 a 加角 b 等于一百八， 还一个是角 d 加角 c 等于一百八，都可以，所以它这个邻角互补和为一百八，就这样得的啊。第三第五个哈，对角互相平分， 哎，互相平分，也就是说这里如果是 o， 那 可以得出的结论是什么？ a o 等于 c o， 然后 d o 等于 b o， 哎，他这是对角线互相垂直互相平分的啊。然后第四个，第六个是中心对称图形，那他旋转一百八十度和原来的图形重合，就是中心对称图形，所以 平行四边的性质有六个，只要有六个，他的有，他的有平行线，有平行四边形，就可以完全推出他的这些结论。关注王老师无脑学习。

学习平行四边形，可能孩子们记这些性质和判定记不得住 这个东西怎么记啊？从边到角到对角线这么一个逻辑记。你看，先记边， 平行四边形，先学的是性质，它的边的性质是每组对边都平行，这是小学学的是吧？初中上来就学了。每组对边都相等，它可以正啊正，那个就全等三角形。 这边说完了，角啊，角边说完了，角，角是每组对角都相等对着的那个角， 这掉斜掉斜角的那个角啊，正正相等，这边是每组对边相等，每组对边平行， 每组对角分别也相等，是吧？那对角线吗？对角线互相平分，这性质，性质是正着来，性质正着来。呃，判定呢？判定是倒着来 知道。呃，两组对边分别平行的四边形，那肯定是四边，那肯定是平四，平行四边形，知道两组对边分别相等，那这个四边形也是平行四边形，要注意分别两个字啊。 边说完了，角，两组对角分别相等，那也是平行四边形，是吧？再说对角线，对角线互相平分的四边形就是平行四边形。 边角对角线吧，边有两个。不过这个判定啊，还有一个特殊的就是，你看这都是两个锁他吧，两个把他锁住了，锁锁成他平行四边了。你还有一个，如果是一组呢？那只仅知道一组对边， 你必须有两个东西锁它，一个是平行，一个是相等，就是一组对边。不要紧，你必须平行，必须相等，你这个才能把它锁成个平行四边形。 最后他加了一个三角形的中位线，三角形中位线等于平行，且等于 他底边的一半啊，还有个平行线，平行线间的距离处处相等。这个都常识性的东西，很好记啊，这都不用死记硬背， 你看平行四边形的性质和判定。呃，你不能硬记， 这个学习，你得迁移一下。迁移，你把这个模式，你，你用平行线的性质和判定迁移过来，你回忆一下平行线 性质，就是知道两直线平行有什么性质。两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补。哎，这是正着过来，哎，倒着再过来呢，倒着再回去呢。就是 同位角相等，他就能判断这两支线平行。内错角相等，他也能判断这两支线平行。同旁内角互补，也能判断这两支线平行。 哎，他到最后又学了平行线的这个传递性，就两支线平行，有第三条直线和其中的任意一条直线，他就平行于另一根直线， 你看这个数学就有意思的。什么地方他正着过来，很多东西他能再反着回去，你看一正一正一反，你看就一阴一阳，这种感觉 就和我们这个世界一样，有黑有白啊。你看有正数吧，他相对他的就是负数。这上初中刚学的， 初一上学期小学还没学，是吧？好，你现在初中学实数了？ 学过实数吗？就实数，有实数就有虚数，上了高二你就会学到虚数就是复数开平方啊，很神奇吧。啊，你还有 正着旋转就有倒着旋转，你看这个世界也是很有意思啊。有，嗯，有正电核，还有负电核啊，缺物理电的， 他有有很多东西，你看你得琢磨，特别是这个数学，你就他，他很多东西就是正着过来，他还反着过去，这个平四 他就是性质就是正着过来的。哎，你慢慢怎么判定就反着过来？还有那个勾股定律，刚学的勾股定律， 正常的就是勾股定律，知道他是二 t 三角形，那就是三边之间关系，知道了两只脚边的平方的和等于斜边平方，那反过来呢？知道这三边的关系，哎， 就能判定这个三角形是 r t 三角形。你看这个数学，有些东西你不要硬记 你，你记住正就行，那反过来你自己倒过来就行。所以说你学习你得琢磨琢磨那个味，你比方说吃了一个东西，感觉好吃，哎，哎，感觉 这个你，咱们咱们那个味，对吧？不能像猪八戒吞人参果一样哈。抽抽，抽，进去了还不知道咋回事。

平行四边形的性质问题是八下第一个月的月考以及期中考试一定会考的一个考点，很多的孩子呢，在处理这些边角关系的时候呢，总是会丢分， 根本原因啊，就是他缺少一个很好的方法，把这些已知条件串起来。那今天李老师呢，会教你一个小技巧，只要略施小计，这种题就能够轻松出答案。 那学完这道题之后，再把林老师给大家整理的平行线专项练习，还有四月份的月考押题卷，拿去系统训练一下，把重难点都突破之后，可以多拿二十分。我们来看题， 如图，平行四边形， a、 b、 c、 d 的 周长是二十厘米， a、 e 平分 b a、 d， 也就是说这两个角 相等，若 c 一 等于二厘米，好，这个位置是二。然后呢，让你求 ab 的 长度，也就是 ab 或者说 cd 的 长度，对吧？ 那这种题我们应该怎么处理呢？其实老师要教你的技巧啊，就是两个字叫做标记。很多的孩子碰到这种题的时候呢，他只会把眼睛停留在题目，然后 一会看题目，一会看图，结果导致最后什么条件都没记住。那这种题为什么标记就很好出答案呢？因为啊，当你会做标记之后呢，你就会想这个 a d 和这个 b c 它也是平行的，所以你就很自然的把这个角也标下来了， 然后你就会发现这个角，这个角，这个角都被你标出来了，而且它是相等的，你就很容易能够发现这两个角啊， 相等了，也就是说这两条边它是干嘛？它是相等的，因为这里是个等腰三角形嘛，所以呢，要我们求 a b， 我 们就可以把 a、 b 设成 x， v， e 呢？跟它相等，也变成了 x， 然后呢，所有的边都可以用 x 表达出来了，例如这个 a、 d 边呢，就变成了 x 加二，然后这个 c、 d 呢，它也变成了 x， 所以 啊，我们就可以用方程来最后收割它了。怎么处理呢？我们就可以列成 x 啊，这条边 x 加上这个 x 加二， 对吧？因为它是周长，是二，你就得到二十， 那这个方程就非常简单了，我们可以得到二， x 加二是等于十的，然后把二移过来就得到二， x 等于八，最后 x 等于四。好的，轻松得到答案，四厘米搞定。

八下数学最难的八大技巧全部吃透！逆袭班级前三！八个平行四边形中的求最值技巧！技巧一，做对称点将军引马问题。技巧二，取斜边中点。 技巧三，确定轨迹技巧四，做垂直构造直角三角形做对称点技巧五，旋转构造全等完整版分享！

同学们好，今天我们一起来看一道八年级下菱形期中必考题，今天两句口诀教你了解问题。来看题目，菱形 a、 b、 c、 d 中角 d， a、 b 等于六十度 b， e 等于 e， c 等于二点， e 为 bc 中点，那么由中点加平行，我们会想到构造八字形全等。在这张图上，我们可以延长 f 一、 ab 构造这两个三角形全等，也可以延长 a、 e、 d、 c 构造这两个三角形全等。具体看题目要求。往后读 又告诉我们一个二倍角关系，即角 d、 f、 a 等于二倍的角 e、 a、 b。 那 么在菱形当中，我们由对边平行内错角相等，可以知道角 d、 f、 a 等于角 ab， 那这两个小角就是相等的。再根据平行加角平分线，我们可以得到等腰。据这两个口诀，我们就可以构造八字形全等，即延长 a、 e、 d、 c 交于点记，那么这里这两个三角形就是全等的关系 问题。让我们去求 c、 f 的 长度，那我们就设 c、 f 的 长度为 x， 那 根据全等可以知道， c、 g 和 ab 相等都等于四， a、 f 等于 f， g 等于 x 加四， d、 f 等于四减 x， a、 d 等于四。那所有的条件都集中在这个三角形 a、 d、 f 当中，这 a、 d、 f 不是 一个直角三角形，我们不能直接用勾股定律。再看题目条件， 角 d、 a、 b 等于六十度，那么这个角 d 就 等于一百二十度。过 a 做 a、 h 垂直于 c、 d 的 延长线，构造这样一个直角三角形，这个角是六十度，这个角是三十度。 那么对于三、六、九直角三角形，我们有三边的比，是一比二，比根号三。因此我们可以求出 a、 h 的 长度是二，根号三 h d 的 长度是二。 那么最后我们只要把 x 放入一个直角三角形中，用勾股定律就可以解决问题了，可以放在直角三角形 a h f 当中。接下来的任务就交给同学们了，评论区打出这道题目的答案。

八下数学最难的平行四边形计算题全部吃透，考试稳上九十五加二六新。八下数学平行四边形计算题专项训练，训练一，平行四边形性质与线段一到四训练二、性质与角度一到五 训练三，性质与面积一到四训练四，平行四边形的判定一到五完整版取件码零一三。

平行四边形的判定，我们也是从三个角度来去思考，第一是边，第二是角，第三是对角线。 边的话有三条，第一个呢是它的定义，叫做两组 对边分别平行，这样的四边形呢，是平行四边形，用字母表示呢，就是 a、 d 平行于 bc， a、 b 平行于 dc， 因为这个，所以四边形 abcd 为平行四边形 好。第二个呢是两组对边分别相等，那这里呢，给大家写几个圆圈，写下半部分，也就是 a、 d 等于 bc， 同时呢要求 a、 b 呢等于 dc， 这个也是可以的。 第三个是一组对边平行且相等，这个写下来的话是 a、 d 平行于 b， c， a、 d 呢还等于 b、 c， 或者同学们直接用一个平行且相等的符号来表示也可以，所以得到平次变形。那通过角度来证明平次变形呢，是它有一个叫两组 对角分别相等，这其实跟咱们那个性质呢，是对应的，对吧？它们是互为逆定力的，这个用几何原表述就是角 b、 a、 c、 b， a、 d 等于角 b、 c、 d。 还有一个是角 a、 b、 c 等于角 a、 d、 c。 这两组对角分别相等，最后一个对角线那也是互相平分，对角线互相平分的四边形是平四边形，我们用几何语言可以表示成 o， a 等于 o c， o， b 等于 o d， 所以 四边形 abcd 为平四边形。 我写这么详细，主要是有些同学在学习的过程中，不知道哪些证明步骤，该省略哪些需要详细，所以我们证明平四边形呢，在你得到平四边形前一步呢，一定要体现出这五个判定中的一个。

八下数学平行四边形的解决问题，包括证明题，我们针对这样一道简单的题目，直接把里面所有的关键过程以及证明的过程详细讲解，如图，这在同一条直线中啊，这三个点， a、 b 等于 d、 c。 想解决关于图形的问题，从八下数学，我们有平行四边形，菱形，矩形，正方形啊，还有这种梯形，甚至那么所有关于四边形这种特殊的四边形 和平形四边形有关的这种四边形，我们不管是解决问题还是正问题，我们最好用的方法其实就四个字嘛，竖形结合。把你们的条件， 题目的条件都在图上给它标出来，你至少先学会第一张竖形结合。 他说 a、 b 等于 d、 c， 那 你就帮他画个等号，就代表 a、 b 等于 d、 c， 继续他说角 c 等于角 c、 b、 e， 那 你就找到角 c， 然后再找到角 c、 b、 e， 然后呢画两条弧线， 一条弧线代表一个角，两条弧线代表这两个角相等。接下来呢，他让我们求证 a、 d 等于 bc， 哎，他提过给我这两条相等，又给了我两个角的相等，怎么让我证他俩呢？那这个手就不要忘。如果我们学过平行四边形的判定和平行四边形的性质，什么叫判定？就是证明 一个四边形是平行四边形。什么叫幸运？就是他已经是平行四边形了，或者是你已经证明他是平行四边形。接下来，那既然是平行四边形，平行四边形能具备的东西就叫它的性质。 所以我们来根据出题条件一个一个来用，既然我们用的时候呢，也挑好用的下手。当然你也可以按照题目的先后顺序 先，有哪个条件，你就先用水也行，只不过呢，用他俩呢？他俩相等，目前为止呢，也没有什么太大的用处，所以我们先用脚入手。 因为这两个角，题目给我们相等，它不但相等啊，它还是什么关系？内错角的关系啊，当你看到一个在左，一个在右， 那这不就错左右错开了吗？一个上，一个下，一个左，一个右，你看，所以内错角你就记住反义词了。有的同学连内错角都分不清楚的，你一定记住反义词，记住反义词就记住内错角了。一个在上面，一个在这条线的左边，一个在这条线的右边，这就是内错角呀。 那既然他俩相等，那就代表是内错角相等了。内错角相等，两直线是不是就平行了？好，那我们就先用这个，因为角 c 等于角 c、 d、 e， 所以 那就 a、 b 平行， d、 c。 你 想写元音啊，写元音把理由写在括号里面是吧？内错角相等的话，两直线平行，如果老师没要求，可以不写。 接下来啊，那既然都平行了，我们再用。还有一个条件，就是他是不是 a、 b 等于 b、 c。 刚才我们已经证他俩平行了，现在还有一个已知条件，他俩是相等的，那现在是不是就所以 a、 b 平行且等于 b、 c 啊？这个符号就既代表平行，又代表相等，所以这叫 a、 b 平行且等于 b、 c。 那既然在四边形 a、 b、 c、 d 这个四边形里边有一组对边，也就是 c、 d 和 ab 既平行又相等，它俩既平行又相等，能推出什么？所以我就知道了，四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形，想写理由，写理由有一组对边，既平行又相等的四边形，是平行四边形。 好，既然是平行四边形的，那我就知道了，平行四边形的对边相等，对边还平行，那下一步就可以。所以 a、 d 等于 b、 c 这一步详细写理由也可以写啊，平行四边形的对边相等。 所以呢，这道题虽然题目简单，你可千万不要觉得它简单，你要把它的因为所以包括它的逻辑啊，给他推理清楚。 别看这么简简单单一道小题，它包含的已经包含了所有平行四边形最常用的两大内容，两大板块。第一就是平行四边形的判定，你看我们一个条件，两个条件，所以证明 平行四边形，这就叫判定。有了平行四边形，我们接下来为什么得到它，这用的就是平行四边形的性质啊。所以你看，我们在解决问题的时候，如果给你平行四边形了，你直接用它的性质，如果没有给你，你自己证明，证明出来了，继续用它的性质。 所以判定和性质在做题中是如何来为我们做题服务的，这就是为我们做题服务的。所以先如果能证明平行命题，就先证平行命题，证完了再推性质。

我们来看平行线间的距离和平行四边形判定与性质的综合运用。 那我们看在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平衡指末是否一样长。我们像这样的问题，我们就要把实际问题通过画图转化为几何问题来解决。 我们来看已知直线 a 平行于 b， a、 b 是 直线 a 上任意两点， a、 c 垂直于 b， b、 d 垂直于 b， 垂足分别是 c 和 d。 求证 a、 c 等于 b、 d。 那么因为 a、 c 垂直于 c、 d， b、 d 垂直于 c、 d， 所以 角一等于角二等于九十度，所以 a、 c 平行于 b、 d。 那 么又因为 ab 平行于 c、 d， 所以 四边形 a、 c、 d、 b 是 平行四边形，所以 a、 c 等于 b、 d。 那么我们就得出结论，如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等，那么这个距离被称为平行线间的距离。那么这个结论我们简记为两条平行线间的距离处处相等。 我们再来一下两条平行线之间的距离和点与点之间的距离。点到直线的距离有何区别和联系？那么我们可以把这两个都可以看成是点到点的距离， 也就是说点和点之间的距离是定义点到直线的距离，两条平行线之间的距离的基础，那么它们的本质都是点和点之间的距离， 所以任何两条平行线之间的距离都是存在的，唯一的都是夹在这两条平行线间的最短的线段长度，那么这个最短的线段就是和两条平行线都是垂直的关系。 来看这个图，已知 l 一 平行于 l 二， ab 平行于 cd， h、 e 垂直于 l 二， f、 g 垂直于 l 二，垂足分别为 e 和 g。 在 下列说法错误的是 a 选项 ab 的 长就是 l 一 和 l 二之间的距离，这个说法不对， 那么它们之间的距离应该是垂直于这两条线之间的线段，也就是 h、 e 或者是 f、 g。 例二，直线 a、 e 平行于 b、 d， 点 c 在 b、 d 上，若 a、 e 等于五， b、 d 等于把三角形 a、 b、 d 的 面积为十六。问，三角形 a、 c、 e 的 面积， 那么我们根据平行线之间的距离处数相等，我们设高为 h。 三角形 a、 b、 d 的 高和三角形 a、 c、 e 的 高相等， 那么三角形 a、 b、 d 的 面积等于二分之一， b、 d 乘高等于十六。我们求出啊，高为四，所以三角形 a、 c、 e 的 面积就等于二分之一， a、 e 乘以 h 等于十。 再来看第二题，设点 p 是 平行四边形 a、 b、 c、 d 的 边， ab 上任意一点设三角形 a、 p、 d 的 面积是 s 一， 三角形 b、 p、 c 的 面积是 s 二，三角形 c、 d、 p 的 面积是 s 三。 那么 s 一 等于二分之一， a、 p 乘高， s 二等于二分之一， b， p 乘高， s 三等于二分之一， c、 d 乘高，这里的高都相当， 那我们发现 a、 p 加 b， p 等于 c、 d， 所以 s 一 加 s 二等于 s 三。 再来看这个图， a 平行于 b， c 平行于 d， 我 们要求出 a、 d 等于 bc， 那 么我们有平行四边形的概念和性质，可以得到四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， 所以得到 ab 等于 cd。 那 么我们也可以得出一条结论，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等 来看。例三，在平行四边形 abcd 中，点 m、 n 分 别在 ad 和 bc 上，点 ef 在 b、 d 上，且 dm 等于 b， n， d， f 等于 b， e。 求证四边形 m， e， n， f 是 平行四边形，那我们可以借助这两个三角形全等来证明， 因为平行四边形 a， b， c， d， 所以 a， d 平行 bc， 所以 角 m， d， f 等于角 n， b， e。 又因为 dm 等于 b， n， d， f 等于 b， e， 那 么这就是 a， s， a， 所以 三角形 m， d， f 全等于三角形 n， b， e， 所以 m， f 等于 n， e。 角 m， f， d 就 等于角 n， e， b， 所以角 m， f， e 就 等于角 n， e， f， 所以 f， m 平行于 e， n， 那 么 e 组对边平行且相等，所以四边形 m， e， n， f 是 平行四边形 a， b， c， d 沿过点 a 的 直线 l 折叠，使点 d 落到 a、 b 的 边 d 撇处折痕 l 交 cd 边于点 e 连接 b， e。 求证四边形 b， c， e， d 撇是平行四边形。 那么根据对折我们可以得到角 d， e 等于角 d 撇 a， e 角 d， e， a 等于角 d 撇 e， 那么又因为 d， e 平行于 a， d 撇，所以叫 d， e， a 就 等于叫 e， a， d 撇，所以叫 d， a， e 就 等于叫 e， a， d 撇就等于叫 d， e， a 还等于角 d 撇 e， a。 也就是说这四个角相等，所以角 d， a， d 撇就等于角 d， e， d 撇，所以四边形 d， a， d 撇 e 是 平行四边形， 所以 d， e 等于 a， d 撇。那么因为四边形 abcd 是 平行四边形，所以 ab 平行于 dc， 并且 ab 等于 dc， 所以 c、 e 平行且等于 d 撇 b， 所以 四边形 b， c， e， d， p 是 平行四边形。 来看这个图，三角形 abc 中 b， d 平分角 abc， df 平行于 bc， ef 平行于 ac。 问 b、 f 和 c、 e 是 否相等？先说结论是相等，那么因为 d、 f 平行于 bc， ef 平行于 ac， 所以 四边形 f、 e、 c、 d 是 平行四边形，所以角 f、 d、 b 等于角 d、 b、 e、 f、 d 等于 c、 e， 那么又因为 b、 d 平分角 abc， 所以 f， b、 d 等于角 e、 b、 d， 所以 角 f， b、 d 等于角 f、 d、 b。 那 么等角对等边，所以 f、 d 等于 b、 f， 所以 b、 f 又等于 e、 c。 来看这个图点 e、 f 分 别在平行四边形 a、 b、 c、 d 的 边 a、 b、 c、 d 的 延长线上，且 b、 e 等于 d， f 连接 a、 c、 e、 f、 af、 c、 e， 那 么 a、 c、 e、 f 相交于点 o 求证 a、 c、 e、 f 互相平分，那么也就是求 a、 c、 f 是 平行四边形。 我们来看，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以 ab 等于 cd， 并且 ab 平行于 cd， 那 么又因为 b、 e 等于 df， 所以 a、 e 等于 c、 f， 那 么因为 a、 e 和 c、 f 平行且相等，所以四边形 a、 e、 c、 f 是 平行四边形，所以 a、 c、 e、 f 互相平分 来看这题。在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 平行于 c、 d， a、 b 等于 c、 d， 那 么四边形 a、 b、 c、 d 就是 一个平行四边形，则下列结论不一定成立的是 a 选项 a、 b 等于 c、 d， 那 么这是零点，不一定相等，所以选 a。 第二，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中点， e、 f 分 别为边 b、 c、 a、 d 的 中点。问，图中共有平行四边形 a、 b、 c、 d， a、 b 等于 c， d， a、 d 等于 bc， 因为 e、 f 分 别是中点，所以啊，它们都相等并且平行， 所以平行四边形的有一个、两个、三个以及四个。 第三，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 o 等于 o， c、 b、 o 等于 d、 o， 那 么这是对角线互相平分，所以它是平行四边形，所以 b、 c 等于 ad 等于六。 第四， ab 平行于 cd， bc 垂直于 ab。 若 ab 等于五，三角形 abc 的 面积等于二分之一乘 ab 乘 bc 等于二分之一乘五乘 bc， 所以 bc 等于四。 那么三角形 a、 b、 d、 a、 b 边上的高应该等于 bc 等于四。第五题，在三角形 a、 b、 c 中， ab 等于 ac 等于十五点 d 在 bc 边上 d， e 平行于 ab， 交 ac 于点 e， d、 f 平行于 a， c 交 a、 b 于点 f， 那 么四边形 a、 f、 d、 e 应该是一个平行四边形， 那么因为 e、 d 平行于 a、 b， 所以 角 e， d、 c 等于角 c。 因为 d、 f 平行于 a、 c， 所以 角 f， d、 b 也等于角 c， 所以这四个角相等，那么等角对等边 c、 e 等于 d e， b、 f 等于 b， f， 所以 四边形 a、 f、 d、 e 的 周长，也就是 ab 加 ac 等于三十。 第六，已知 e、 f 分 别是平行四边形 a、 b、 c、 d 的 边 a、 d、 b、 c 上的点，且 d、 e 等于 b f， e、 m 垂直于 a， c 与点 m， fn 垂直于 a， c 与点 n， e、 f 交 a， c 与点 o。 求证 e、 m 等于 f n， 那 么因为平行四边形 abcd， 所以 ad 和 bc 平行且相等， 所以角 e， a、 m 等于角 f c、 n。 那 么又因为 d、 e 等于 b f， 所以 a， e 等于 c， f， 又因为 e、 m 垂直于 a， c 于 m， fn 垂直于 a， c 于 n， 所以 角 ame 和角 c、 n、 f 都是直角，那么这就是 a a、 s， 所以 三角形 a、 e、 m 全等于三角形 c、 f、 n， 所以 e、 m 等于 fn。 第二，求 e、 f 和 m、 n 互相平分，那么我们就连接 e、 n 和 m、 f 形成一个四边形，因为 e m n 垂直于 ac， fn 垂直于 ac， 所以 e m 平行于 fn。 那么又因为 em 等于 f n， 所以 四边形 e m f n 是 平行四边形，所以对角线 e f 和 m n 互相平分。

同学们好，今天我们继续来看一道八年级下平行四边形的压轴题，今天教你一招截长补短法。先来看题目，在四边形 a、 b， c、 d 平行于 bc， a， b， c， d 等于 c， d 加 c， b， 要求四边形 a， b， c、 d 是 一个平行四边形。那么分析一下题目中的已知条件， 已经有一组对边平行的情况下，我们要去证明它是一个平行四边形。是不是会想到平行四边形其中一个判定一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 所以接下来我们的思路就是要去证明 a、 d 等于 bc。 好，再来看一下题目的另外一个条件， ab 加 ad 等于 cd 加 cb， 那 么这是一组线段和的条件，那么线段和呢？我们一般会想到的方法就是截长补短的方法。 也就是说，在这张图上，我们可以通过延长 d a 到 m， 使得 am 等于 ab 连接 bm。 用同样的方法延长 bc 至 n， 使得 c， n 等于 cd 连接 d， n。 那 么我们做完这条辅助线以后，我们有等长的线段，那再根据等边对等角，我们可以得出角 m 等于角 abm， 角 n 等于角 c、 d、 n。 结合我们刚才做的辅助线，我们就可以把条件中的一些等长线段替换掉，也就是说，我们可以把 ab 替换成 am， c， d 替换成 c， n， 我 们就可以得到 a m 加 a， n 等于 c， n 加 c， b， 即 d m 等于 b n。 那么再根据题目的已知条件， a、 d 平行于 b c， 也就是 dm 平行于 b， n， 我 们就可以得到四边形 m， b， d， n 是 一个平行四边形， 那得到它是平行四边形以后，我们有什么用呢？我们的目的是要证明线段 a d 等于线段 b c， 那么已经有 d m 等于 b n 的 情况下，我们是不是可以考虑再次去证明线段 a m 和线段 c、 n 相等， 我们就可以用等长线段相加减得到等长线段。那咱们再来看一下这两条线段怎么去证明相等？ 我们刚才得到它是一个平行四边形的情况下，是不是可以得到对角相等 这个角 m 与角 n， 那 因为刚才我们等边对等角，得到这个角 m 等于角 abm， 而这个角 n 是 等于角 cdn， 那因为它是一个平行四边形，我们又可以得到 b m 这条线段等于 d n 这条线段。因此在这两个三角形 a， b， m 和三角形 c d， n 中，我们就可以用角边角 a s a 证明这两个三角形全等， 那在全等的情况下，我们就可以得到 a m 等于 c n， 那 用 dm 减去 a m 就 等于 b n 减 c n， 也就是 a d 等于 b c， 再结合题目条件中的 a d 平行于 bc， 我 们是不是就可以证明出这是一个平行四边形啦？ 所以这道题目的方法就是，当我们看到题目当中有线段和或者是线段差的关系，我们就可以采用截长补短的方法做辅助线， 你学会了吗？详细的解析过程放在视频的结尾，同学们可以观看一下。

八、下数学最难的平行四边形性质全部吃透，稳进班级前三。平行四边形重难点题型总结，考点一，平行四边形性质的运用 考点二，判定与性质考点三，三角形中位限定里的运用考点四，菱形的性质 考点五，菱形的判定与性质考点六，考点七，完整版分享！

平行四边不用愁，公式口诀记心头来看这道题，如图，平行四边形 a、 b、 c、 d， 然后对角线 b、 d 和 a、 c 相交于点 o， 然后其中这里面边是给了哈，已知是 bc， 是 给了，是七，然后 b、 d 好， 这个长的是十， 然后这个 a、 c 这个长的对角线，这个是六，然后现在让求的是 a、 o、 d 的 周长， 那求三角形的周长，那肯定是三边啊，三边求出来之后，三边相加之和就是周长。所以咱这道题有有平行四边形的性质，上节课已经讲过啊，因为这个结要写哈， 因为四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形 啊，然后，所以我可以得出什么？所以对角线，然后 a、 c 和 b、 d 相互平分，也就是 a o 等于 c o， 然后 b o 等于 d o 啊， a o 等于 c o 就 等于多少，这等于几啊？ 是不是等于二分之一？ a、 c 也就等于六，除二等于三，就是 是不是？然后 bo 等于 d， o 又 bo 等于十，也就是说就等于个多少？十除二就等于五啊， 是不是？所以它是五，也就是这一段是五，这一段是三，那因为这个平行形对边是平行，且相等是 b， c 等于 a， d， 这个是 t， 那 这个的周长有了吧？ 哎。然后还有一个就是 a、 d 等于 bc， 就 等于个七，所以在三角形 a、 o、 d 中， 那它的周长，也就是说等于个。让 a o 加 o， d 加 a d， 也就等于 a、 o 等于三，加五加七就等于个十五。关注王老师无脑学习。

前面我们看了平行四边形的性质，现在我们来看一下平行四边形的判定，什么是判定呢？就是在你不知道这个四边形是平行四边形的 情况下，知道哪些条件可以得到它是一个平行四边形，那么这个你就要知道平行四边形的定义了。平行四边形的定义是什么？两组对边平行的四边形 就是平行四边形，对吧？好，那么你知道哪些条件可以证明两组对边平行呢？如果你能证明出两组对边平行，你就可以证明它是平行四边形，对不对？好，思考一下，我们知道平行四边形呢？对边相等， 对角相等，并且对角线互相平分，那如果反过来，你能不能通过对边相等得到它是平行四边形？ 能不能通过对角相等得到它是平行四边形，或者说知道对角线互相平分得到它是平行四边形，那么也就是说平行四边形的性质的逆命题成立吗？ 就得反过来，我们知道平行四边形对边是相等的，那反过来呢？如果四边形的对边相等，能不能得到它是平行四边形，这个就是在看它是不是判定，知道吧。那么这里是不是有一个对角线互相平分呢？ 平行四边形，对角线互相平分，那如果我们知道对角线互相平分的话，能不能得到这个四边形是一个平行四边形的？好，所以我们这里就来证明一下这个逆命题是否都成立。下面对角线互相平分是平行 对角线互相平分的，平分的四边形是平行四边形。为例，我们根据平行四边形的定义进行证明，来看一下，这里有个图，它说在四边形 a、 b、 c、 d 当中，注意这个是四边形，它不是平行四边形吗？对不对？那我们就证明出它是平行四边形， 这个 a、 c 和 b、 d 交于点 o， 并且这个 o、 a 和 o、 c 是 相等的， o、 b 和 o d 是 相等，那是不是就说明对角线互相平分，那我也就是知道了四边形对角线互相平分，那你能不能证明出它是平行四边形呢？证明过程是这样的，你看 o、 a 等于 o c， o b 等于 o d， 对 吧？再加上对零角相等，你看在这左右两个三角形当中，边角边、边角边，是不是三角形全等 啊？它的证明条件是边角边全等之后，你就可以得到内错角，得到两组内错角相等，就是这个 o、 a、 b 这个角和这个 o、 c、 d 是 相等的，看到没有啊？你就可以得到这两个角是相等的， 这两个角相等，是不是属于内错角相等，你是不是就可以得到左右平行，对吧？再用相同的道理再去证明 a 上下平行，那么怎么证呢？你就可以写，因为这个什么 a 等于 o c， o b 等于 o d， 并且角 a、 o、 d 等于角 b、 o、 c， 我 们就正上下两个三角形全等，你就可以得到三角形 a、 o、 d 全等于三角形 c、 o、 b 全等，条件也是边角边，边角边全等之后，你就可以得到这两个内错角相等，所以角 o d， a 等于角 o、 b、 c， 这个属于内错角相等， 内错角相等，所以你就可以得到 a、 d 平行 b、 c， 哎，就是同理，就这个意思知道吧，你就可以得到上下平行，左右平行，上下平行，是不是两组对边平行， 两组对边平行，那么这个四边形就是平行四边形。你看这里就是两组对边平行。我写一下这个就是两组对边平行。我写一下这个就是两组对边平行，我写一下， 这个就是两组对边平行，我写一下，这个就是两组对边平行， 两组对边平行的四边形是平行四边形，这个是平行四边形的。判定平行四边形的 这个定义，那么就可以判定它是平行四边形了。好了，你看，所以我们如果知道了对角线互相平分的话，那我们就可以判定这个四边形是一个平行四边形，这个就叫做判定之一。那其他的也是一样的。 无论是两组对边分别相等，还是两组对角分别相等，还是对角线互相平分，那这些性质这些条件都可以得到。这个四边形，它是平行四边形，是因为这些条件随便拿出来一个，你都可以证明 上下平行，左右平行，知道了吧？这个就是它的判定啊。 那么剩下的两个前两个你就可以自己去证一下了。这个例题四呢，咱们就可以用对角线互相平分来证明它是一个平行四边形。来看到题目 如图，平行四边形 a、 b、 c、 d， 它的对角线 a、 c 和 b d 交于点 o， 然后这个点 e 和点 f 在 a c 上，并且呢 a e 等于 cf， 咱们标一下 这个 a、 e 和 c、 f 是 相等的，这个是题目条件对不对？好，那么你想要证明里面的这个四边形，它是一个平行四边形，我们可以用对角线互相平分，那怎么正呢？你看这个 o， 这个 o 点本来就平分， b、 c 本来就平分 b、 c。 你 现在只要证明 o、 e 和 o f 相等，那么这里面的四边形是不是对角线互相平分，对角线互相平分，那么它就是平行四边形，对不对？好，那我们就来正一下。 书上其实也有写啊，我们自己写一遍来看。因为四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形，所以它的对角线是相互平分的， 所以这个 o、 a 等于 o c， o、 b 等于 o d， 对 不对啊？那么你再说，这个 a、 e 和 c、 f 是 相等的， 因为 a、 e 等于 c、 f， 所以 我们用 o、 a 减去 a、 e， o、 c 减去 c、 f， 剩下的也相等，因为这两段相等，减去的两条线段也相等，对不对？所以这个 o、 a 减去 a、 e 就会等于 o、 c 减去 c、 f， 所以 我们就可以得到 o， e 等于 o、 f。 你 看这里 o e 等于 o f， 这个 o、 b 等于 o、 d， 就是 这两个条件，所以四边形， 这个 b、 f、 d、 e 对 角线互相平分， 所以我们就可以得到这个四边形 b、 f、 d、 e 是 平行四边形。 好，那么这里呢？他问我们还有没有其他的证明方法，也可以，我们可以用两组对边分别相等，去证明这个四边形是平行四边形。怎么证呢？你要证的就是这个 a、 b、 e 和 d、 c、 f 全等，那么就可以得到 b， e 和 d、 f 相等。也再证 a、 d、 e 和这个 c、 b、 f 全等，就可以得到 d、 e 和 b、 f 相等，那么上下相等，左右相等，是不是两组对边分别相等，它就是平行四边形，对吧？好，那么第二种方法我们也来证一下， 这里标一下角，好吧，因为本来它就是平行四边形嘛，那所以对边是相等的，这两边是相等的，这两条边也是相等的。然后我们再加上一组内错角相等， 上下平行，角一和下面这个角二相等，左右平行，可以得到这个角三和角四平行。好吧，我们就写一下这个角三和角四平行，好吧，这里也写，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， 所以上下平行，这个 a、 d 平行 b、 c， 对 吧？啊？左右平行， a、 b 平行 c、 d， 并且 a、 d 等于 b、 c、 a、 b 等于 c、 d， 所以 通过这两个上下平行，咱们可以知道角一和角二相等，角一等于角二，左右平行，我们可以知道角三等于角四。 好了，两组边相等，一个角相等，你再加上 a、 e 和 c、 f 相等。 因为题目告诉我们这个 a、 e 等于 c、 f， 所以 你看上下两个三角形的条件就够了。 边角边，边角边全等，对不对？所以我们可以直接得到两组左边也是一样的，左右两边也是一样的，边角边，边角边，三角形全等，所以我们可以得到三角形 a、 d、 e 全等于三角形 c、 b、 f， 然后三角形 a、 b、 e 全等于三角形，这个 c、 d、 f。 那 看到没有，这两个全等 啊？这两个全等，全等之后，所以我们就可以得到 d、 e 等于 b、 f， 然后 b、 e 等于 d、 f 上下相等，左右相等，那么就是两组对边分别相等，对吧？所以四边形 b、 f、 d、 e 两组对边 分别相等， 咱们就可以得到，所以这个四边形 b、 f、 d、 e 是 平行四边形 就可以了。再来看到练习第一个，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 当中，角 a、 d、 b 等于角 c、 b、 d。 来标一下这两个角，一个在这儿， 一个在这，这两个角相等，它是属于内错角，我们可以得到上下平行，对不对？因为内错角相等，两直线平行，再看这个角 c 加上角 abc 等于一百八十度，角 c 和这个角互补，那么这两个角互补说明什么？左右平行，这是同旁内角， 同旁内角互补，两两直线平行，所以左右平行。那么上下平行，左右平行，它是不是就是平行四边形呢？对不对？好，我们证明一下。因为角 a、 d、 b 等于角 c、 b、 d， 它们是属于内错角相等， 所以两直线平行，所以这个 a、 d 平行 bc 啊，再加上这两个角相等啊，因为角 c 加上角 a、 b、 c 等于一百八十度，他俩是属于同旁内角的关系，同旁内角互补，所以左右平行 ab 平行 c、 b。 那 根据这两个条件，我们就可以直接判定了。因为四边形如果上下平行，左右平行，那么他就是平行四边形，对不对？好，所以，因为 a、 d 平行 b、 c、 a、 b 平行 c、 d。 它满足什么条件？满足平行四边形的定义，满足平行四边形的定义， 所以 a、 b、 c、 d 为平行四边形 a、 b、 c、 d 就可以了。第二题，如图， a、 b 等于 dc 等于 e、 f， a、 b 等于 dc 等于 e、 f。 这三条线段相等， a、 d 等于 b、 c、 a、 d 等于 b、 c、 d、 e 等于 cf， d、 e 等于 cf。 那 么这里相等的线段有很多，对不对？问，我们图中有哪些互相平行的线段？哎，怎么用相等转成平行呢？那么我们就可以直接用平行四边形的判定。平行四边形的判定有一条是什么？ 有一条是两组对边分别相等的四边形，就是平行四边形。你直接判定出它是平行四边形，那么它的对边自然而然也就平行了，对不对？所以呢，我们可以通过对边相等，这里有两个平行四边形， 你看上下相等，左右相等，所以这个是平行四边形，这里也是左右相等，上下相等，它也是平行四边形，对吧？好，我们就因为 a、 d 等于 b， c， a， b， c， d 等于 d、 c， 所以 我们就可以得到四边形。四边形 a， b， c、 d 为平行四边形。 再看第二个，那再来，因为 dc 平行 e、 f。 啊，不对，不是平行，是等于啊， 因为这个 dc 等于 e、 f， 然后 de 等于 c、 f， 所以 我们就说右边这个平行四边，这个四边形也是平行四边形， 右边这个视频是 d， c、 f， e 也为平行四边形，那么你知道了两组平行四边形，那么你就可以得到什么呢？你就可以得到。哎，这里是上下平行，左右平行，那么所以 a、 b 平行 d， c， a， d 平行 bc。 好， 那么由右边这个平行四边形，你可以得到左右平行，上下平行，所以我们可以得到 d， c 平行 e， f， d， e 平行 c、 f。 但是这里就写完了吗？没有。你看 这个 ab 是 平行 dc 的， 这个 dc 又平行 ef， 所以 我们还可以得到一组，所以这个 ab 还平行 ef， 这个是 平行的传递性，知道吧？那这样的话，所以它这里就有五组平行线，平行线段，知道吧？ 第三题，如图，平行四边形 a、 b， c、 d， 它的对角线 a、 c 和 b、 d 交于点 o， e， 点和 f 点又分别是 o a 和 o c 的 中点，叫我们连接 d、 e、 b、 f、 d、 f 和 b e 这四条线段，叫我们求证里面这个四边形 d、 e、 b、 f 是 平行四边形，注意，外面的本身就是平行四边形，有这个符号，它就是平行四边形，对吧？好，那么根据 平行四边形的性质，它的对角线是不是相互平分，所以这个 o、 d 等于 o b， 对 吧？然后呢，这个 o， 这个 e 点和 f 点又平分这两个， 所以这两段也是相等的，这两段也是相等的，所以在里面这个四边形当中，它的对角线就可以证明出相互平分，那么它就是平行四边形了，对不对？那我们就证明 o、 e 和 o f 相等就完事了，对吧？好，因为 a、 b、 c、 d， 或者是说因为四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形这题目条件， 所以我们可以得到的是对角线互相平分，所以这个 o a 等于 o c， o d 等于 o b， 对 吧？好，那么因为这个 e 点和 f 点，因为点 e 为 o a 中点， 点 f 为 o c 中点，所以这个 o e 就 会等于二分之一的 o a， 这个 o f 就 会等于二分之一的 o c。 你 看 o a 和 o c 是 相等的呀，对不对？所以它们的二分之一也相等，所以我们可以得到 o e 等于 o f， 那 么根据这两个条件前面写了，对吧？因为 o e 等于 o f， o d 等于 o b， 所以 在四边形、 四边形 d、 e、 b、 f 当中，对角线互相平分， 所以它这个四边形是平行四边形，把它写出来就可以了。

八、下数学最难单元平行四边形十大题型，吃透冲刺班级前三平行四边形十大压轴题型题型一，平行四边形传统解答证明题题型二，平行四边形动点问题题型三，平行四边形旋转问题 题型四，平行四边形翻折问题题型五，备长中线法构造平行四边形题型六，平行四边形情景探究题题型七，平行四边形在平面直角坐标系中的应用，让孩子全部练熟，考试不下一百一十加。

从定义和三个维度理解， 你记住平行四边形的五种判定方法了吗？

前面我们知道了，如果想要证明一个四边形是平行四边形，那么你可以用两组对边分别平行，或者是两组对边分别相等，你都可以得到它是平行四边形。但是如果你只考虑四边形，一组对边， 那么他们要满足什么样的条件？这个时候四边形才是平行四边形呢？哎，他这里抛出来了一个猜想，他的猜想是什么呢？他的猜想是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 那这个猜想呢？是正确的，我们是可以通过证明四边形的一组对边平行且相等来完成的。那么你来看到下面他是怎么证的？ 如图所示，在四边形 a、 b、 c、 d 当中，这个 a、 b 和 c、 d 是 平行且相等的，你看这个是平行且相等的符号，它这里有写， 那么怎么证明呢？啊？叫我们求证。这个四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，它的方法是连接 a、 c， 你 连接 a、 c 之后，因为 左右两边是不是平行的，你就可以得到一组内错角相等，就这个角一和角二相等，你看 这个 a、 b 等于 a、 c， 角一等于角二，中间这个 a、 c， 它又是一个公共边，对吧？所以在全等三角形里面，你就可以用边角边 以及边角边证明这两个三角形全等你看就得到了。全等全等之后，你就可以得到另外一组对边相等，你看这个 a、 d 和 b、 c 是 对应相等，那么它是不是 两组对边分别相等，你看两组对边分别相等，看到了没有？它可以通过一组对边平行且相等得到两组对边分别相等，从而怎么样得到它是一个平行四边形？所以这里就证明出来了 一组对边平行且相等的四边形，它是一个平行四边形，所以它也是平行四边形的判定之一，知道了吧？啊？所以你看一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，把它画起来， 我们知道了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。再来看到这个立体五，你就能用上了。如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 当中，那最外面的这个四边形，它是平行四边形， e 点和 f 点分别是 ab 和 c、 d 的 中点，叫我们求证这个 d、 e 和 b、 f 也是平行且相等的，那么你只需要证明中间这个四边形是平行四边形就可以了，因为平行四边形，它的对边就是平行且相等的，对不对？那怎么证呢？ 你看这个 c、 d 和 ab 本身就是平行且相等的，再加上中点，对吧？所以上面的这个 d、 f 和 b、 e 也是平行且相等的，你就可以证明中间这个四边形是平行四边形，那就可以得到 d、 e 和 b、 f 平行且相等了。来我们写一下过程啊。 因为四边形 abcd 为平行四边形， 所以我们就可以得到这个 dc 和 ab 是 平行且相等的，这个 dc 和 ab 是 平行且相等的。然后因为一应该是点，一 为 ab 中点，点 f 为 dc 中点， 所以这个 d、 f 会等于 dc 的 一半，所以 d、 f 会等于二分之一 dc， 这个 b、 e 会等于 ab 的 一半，所以这个 b、 e 会等于二分之一 ab。 你 看这个 dc 和 ab 是 平行且相等的，所以我们可以得到这个 d、 f 和 b、 e 是 平行且相等的，看到了没有？这个 d f 和 b e 是 平行且相等的，而 e 组对边平行且相等的四边形是平行四边形。我们直接用上这句话，直接用上这句话，你就可以得到四边形， d e、 b、 f 为平行四边形， 那么中间这个四边形是平行四边形，我们就可以得到它的 e 组对边是平行且相等的，所以 d e 平行且相等 于 b、 f， 那 么这个就证出来了。还看到练习，第一个如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，就是这两条， 那么只要使得互相平行的夹在铁轨之间的整木长度相等就可以了，这个就是整木 夹在铁轨之间的这个整木的长度相等就可以了。那么你能说出其中的道理吗？那么其实就是我们前面讲的一组对边平行且相等就可以了，怎么来的呢？你看这里，他说了这里面的这个木枕怎么样？ 相互平行，互相平行，他本来就是平行的，你再加上什么他们相等，来一组对边平行且相等，那这里围起来的一个四边形，他是不是就是平行四边形？ 你这里得到了平行四边形，那上面的这个铁轨和下面这个铁轨他是不是就平行了？我们就达到了保证两条直铺的铁轨互相平行，这就是它的道理啊，我们写一下它的规律， 道理就是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，你看他这里不是说了这句话吗？对不对？ 互相平行的夹在铁轨之间的整木长相等，那么你看又互相平行又相等，那说明什么？ 说明这个整木所在对边平行且相等，对吧？因此我们就可以通过一组对边平行且相等，可以得到这个整木与铁轨。这个整木与铁轨就怎么样就构成了平行四边形，那么就可以保证这个铁轨上下是平行的就 ok 了。 第二题，如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 当中，这个 b、 d 是 它的一条对角线，过 a 点和 c 点分别做这个对角线的垂线，垂足点是 e 点和 f 点， 叫我们求证里面这个四边形，它是一个平行四边形。那这个呢？也可以用 e 组对边平行且相等来证，思路是什么呢？先证这个 a、 d、 e 和 c、 b、 f 三角形全等，你就可以得到 a、 e 和 c、 f 相等，然后由于是垂直的，所以这里面的两个角也是直角，那么这两个直角呢？构造出是什么？一对 内错角，而内错角相等，两直线平行，所以这个 a、 e 和 c、 f 就是 平行且相等的，你就可以推出它是平行四边形了。我们把步骤补一下，好吧，因为四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形， 所以我们可以得到这个 a、 d 是 等于 b、 c 的， 并且这个 a、 d 是 平行 bc 的， 对吧？那我们就可以得到内这个两直线平行，内错角相等，所以角 a、 d、 e 就等于角 c、 b、 f， 这是两直线平行，内错角相等。那我这里标一下这两个角， 这两角相等之后呢？你再通过垂直，这里不有两个垂直吗？可以得到这两个角是直角，对不对？因为 a、 e 垂直， b、 d、 c、 f 垂直 b、 d， 所以 角 a、 e、 d 等于角 c、 f、 b 等于九十度，条件够不够？够了，那这个 a、 d 和 bc 相等，对不对？ 然后这两个角也相等，这个内错角相等，然后再加上两个直角，对吧？角角边，三角形就全等了，所以我们就可以得到三角形 a、 d、 e 全等于三角形 c、 b、 f 全等，条件是角角边，所以我们就可以得到 这个 a、 e 是 等于这个 c、 f 的 那对边相等了吧？对不对？再因为，那再来一次， 因为这个两个垂直，我们可以得到什么呢？所以我们可以得到角 a、 e、 f 等于角 c、 f、 e， 它俩都等于九十度， 这两个角里面也等于九十度，所以这两个角呢，又属于内错角。内错角相等，我们可以得到这个 a、 e 平行 c、 f， 对 吧？好，所以结论就写一下，因为这个 a、 e 平行且等于 c、 f， 所以 四边形， 这个 a、 f、 c、 e 为什么为平行四边形 就可以了。第三题，如图，由六个全等的正三角形拼成的图形当中，有多少个平行四边形？为什么呢？ 哎？它是什么正三角形？也就是说每条边都相等，对吧？因为它是六个全等的正三角形，说明这里的每条线段是不是都相等啊？对不对？好，每条线段都相等，而在平行四边形当中，有一个判定对边相等 两组，就可以判定它是平行四边形了，对吧？你比如说这两条平，这个两条相等，这两条也相等，那么它就是一个平行四边形，它一共有几个呢？咱们来画一下，咱们来画一下啊，这里是有六个的，你看，这里是我们刚才讲的，这里算一组，我们连一下。 好，然后呢？接下来从这里下来就是这一个， 它也是两组对边相等，对吧？这个是平行四边形，然后接着再往下走，这两个也是平行四边形，它们组合起来就是平行四边形。 好，这第三组再接着走，这一组好，再往这边走， 这第五组，第五个、第六个，一共有六个平行四边形。当然有可能会问，哎，这两条线段不也是相等吗？你连接这两条它不也是相等的吗？它不是平行四边形吗？为什么说只有六个？ 你看这里有线段吗？没有线段，他是要让你从图里面去找，不是让你去增添一个，知道吗？你要在这个图形当中不添加辅助线的情况下去找，看一下有几个平行四边形，我们这里能找出来的就六个，知道吧？就六个，然后呢他问我们 有多少个，那就就说六个，那为什么呢？因为两组对边相等，就两组对边分别相等，你就可以得到它是平行四边形了。我们写一下， 先说有六个平行四边形，为什么呢？因为六个正三角形全等的话，它的边长都是相等的，然后两组对边分别相等的四边形就是平行四边形。那我们就可以根据这个特性一个一个去找，你会找到有六个，这个就是它的原因。