高一小必修一数学斜二侧画法

这个视频我来讲讲如何用斜二侧画法来画直观图。比如要画这个六边形的直观图，方法分四步，第一步，画坐标系，先在六边形上剪个直角坐标系，然后 x 轴不变， y 轴倾斜四十五度，分别写成 x 一 撇轴和 y 一 撇轴，这就是斜二侧画法的坐标系了。 画好了坐标器。第二步，画坐标轴上的点，规则是 x 的 轴上的长度不变， y 轴上的长度减半，简称横不变，竖减半。现在来看， x 的 轴上是 a 和 d 对 应，画到 x 一 撇轴上，根据横不变， a 对 应着二是 a 一 撇， d 对 应着二是 d 一 撇。再看 y 轴上是 h 和 g， 根据竖减半， o h 减一半，这儿是 h 一 撇，显然这儿就是 g 一 撇。搞定。接着第三步，画平行坐标轴的线，规则是平行关系不改变，并且还是横不变竖减半， 看 e、 f 平行， x 轴划过去还是平行， x 轴根据横不变，所以长度是一样的。再看 bc 也平行， x 轴划过去也不变，平行线就搞定了。最后就是连点，把这些点连起来，就得到正六边形的直观图了。 图画好了，咱来总结下斜二测画法。方法主要分这四步，从坐标器到坐标轴上的点，再到平行坐标轴的线，其中的规则一定要记好，横不变，竖解半，平行关系不改变。 刚才是给你平面图，让你画直观图，如果给你这个直观图，你能画出它的平面图吗？步骤跟刚才一样，第一步还是画坐标轴上的点，根据横不变，显然这二是 a， 还有这二是 c， 这样坐标轴的点就搞定了。 接着第三步，画平行坐标轴的线，它平行 y 轴对应 ab， 就是 平行 y 一 撇轴的。要注意， a 一 撇 b 一 撇，长度是减半以后的，所以 ab 的 长度是它的两倍， 这样 ab 就 画好了，最后连接 bc， 就 得到三角形的平面图了。像这样给你直观图，要你画平面图，步骤是一样的，原来长度不变的还是不变，但是原来长度减半的就别忘了乘二 图你已经会画了。如果我进一步问你，这两个图形的面积有啥关系，你能找出来吗？比较一下这两个三角形，先看底，分别是 a、 c 和 a 一 撇 c 一 撇，显然是相等的。再看高，这个是 b 一 撇 d 一 撇，这个是 ab， 有 啥关系呢？ 想一想， a 一 撇 b 一 撇，等于二分之一， ab， 这是四十五度角，那 b 一 撇 d 一 撇，就等于这一段乘上二分之根号二，所以 b 一 撇 d 一 撇，等于四分之根号二。 ab 底相等高，是它的四分之根号二，那直观图的面积就等于平面图的四分之根号二。 你可以记住这个结论，它不仅在三角形里成立，由于任意多边形都能分成三角形，所以也都成立 好了。回顾刚才的内容，关键掌握两点，首先是习二策画法的规则，横不变，竖减半，平行关系不改变。其次，直观图面积等于平面图的乘四分之根号二。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速去刷题吧！

本期视频来看高一数学立体几何章中涉及平面图形斜二侧画法、面积结论的深度讲解。看这道例题，如果一个水平放置的平面图形的斜二侧直观图是底角为四十五度，上底为一，腰为根号二的等腰梯形，则求圆图形面积。 那么首先我们先画图吧，先画他的斜二侧直观图，告诉了上底是一，底角四十五度，幺是刚好二。那可以根据等腰、直角、三角形的性质，我分别求出底边、下底应该是三个一对吧，高呢？应该也是一，这是它的直观图。 咱们有了斜二侧的直观图，如何去画圆图形呢？正着画怎么画？已知圆图形如果是直角，那么变成斜二侧的话，就变为四十五度斜向上啊，这么画， 那现在反过来呢？直观图中出现了左侧的四十五度角，那我画成圆图的话，应该给他掰直了，给他掰成直角，所以我建立一个坐标系，坐标系中，水平方向长度不变，下底依然是三，只是这个高 高原来是斜向四十五度，现在是垂直的，原来是腰长是根号二，那扩大二倍以后，原图形的高就是二倍，根号二，下底依然是三，那上底呢？水平方向依然是一，最后我再把另外一条腰连出来，就是这样子。 所以在原图形中啊，这是一个直角梯形，那直观图变成了一个等腰梯形吧。好，咱们下面分别算一下原图和直观图的面积。先看原图面积，都是利用梯形的面积公式， 二分之一高乘上底加下底等于四倍，刚好二。好，那这道题答案就出来了。然后咱们再看一下，看这道题背后的一个深层次的结论， 我再算一下左边这个直观图的面积，也是上底加下底乘以高除以二，这个发现算完了，直观图面积是二。咱们得到一个重要结论，任何一个平面图形， 它的直观图的面积，也就是斜二侧的图形面积和它原图的面积比永远都是一比二倍，根号二。 大家如果在做小题的时候遇到这种题，可以直接套用这个面积比例公式，就可以直接得出来答案，而不用再去反化它的原图或者是直观图了，大家理解了吗？

斜二侧画法在进入立体结合以后，我们往往会用一种斜二侧画法来画空间图形或者水平放置的平面图形的直观图。这种画法的规则我们通过一个水平放置的矩形来进行说明。 首先在这个原图中分别取 x 轴和 y 轴，他们两个互相垂直，原点是点 o。 画直观图的时候，我们保持 x 轴不变，把它记为 x 撇轴。 而外轴呢，倾斜四十五度，并且标记为外撇轴，圆点不变，于是就变成了一个所乘的角为四十五度的平面坐标系。然后在新的 这个坐标系中，平行关系保持不变。也就是说，原图中平行于 x 轴的，在新的图当中仍然平行于 x 撇轴。原图中平行于外轴的，那么在新图当中仍然平行于外撇轴。 比如说这条线段 a b 在原图中平行于 x 轴，那么跑到了直观图中， 就平行于 x 撇轴。 ad 这条线呢？原来平行外轴，那在新的图当中，他就平行于外撇轴，这是平行关系保持不变。 然后长度的规则是，原来平行于 x 轴的线段长度保持不变，所以说这个 a b 变到 a 撇 b 撇，这来了一 以后，他的长度仍然跟原来一样。但是原来平行于外轴的线段呢，到直观图当中，长度要变为原来的一半， 所以我们就取 ad 的一半。然后呢，让它平行于外片轴，画到这个直观图当中，于是这个 apd 片就变成了这样的一个线段。 同样的道理， d c 这条线段在原图中跟 x 轴平行，那么在新的直观图当中，也会跟 x 轴平行，并且以 d 撇为一个端点，它的长度与 d、 c 长度相等， 这样我们确定了它的四个顶点以后，再连接 b 片、 c 片，就得到了一个完整的直观图。 所以我们发现，本来一个矩形，用斜二侧画法画出直观图以后，变成了一个平行四边形，这样画也是为了突出立体感。所以如果要画一个图形的直观图，我们抓住这两点，平行关系不变。 原来平行于 x 轴与 y 轴的，现在还平行于 x 片轴与 y 片轴，只不过这个轴呢，它的夹角是四十五度， 原来平行 x 轴线段长度不变，平行外轴的线段长度变为原来的一半。那既然这样，我们发现对于一个平面图形，他画成直观图以后，他的底没有变，他的高应该在这条线段的基础上再 乘以三四十五度，这条线段是原来这个高的一半。所以假设原来的高度是一的话，现在这个长度是二分之一， 而这个长度呢，它是倾斜的，还不能代表现在这个图形的高，应该过地片向底边做垂线，而这个高呢，是四十五度所对的直角边，所以说他又是斜边的二分之根二倍， 二分之一再乘以二分之根二，就应该等于四分之根二。这样的话，它的底长度没有变，它的高变为了原来的四分之根二倍。于是像这样的平面图形，它的面积与直观图面积之间的关系 是 s， 原图乘以四分之根号二，等于 s 直管图。我们来看一个例子，这里给了一个直角三角形 o 撇、 a 撇、 b 撇， 说他是一个平面图形的直观图，也就是用斜二侧画法画完了以后的那个图，若 o 片、 b 片等于根号二，这是他的底边长。 问这个平面图形的面积，也就是原土的面积。我们刚才讲原土乘以四分之根号二，等于直观图的面积。 现在直观图是一个等腰直角三角形，那么它的底和高都是根号二，所以它的面积应该等于 二分之一，乘根号二，再乘根号二，也就是一，于是原图的面积乘以四分之根号二等于一，那么原图的面积就应该等于一， 再除以四分之根号二，等于二倍根二，所以选择 c 项。当然我们也可以通过把这个直观图进行还原，把它的外轴竖起来，保持 x 轴与外轴垂直， 然后利用我们刚才的规则去还原他的原图，再求面积，得到的结果是一样的。每天一个知识点，跟袁老师系统学习高中数学。

同学们好，今天给大家讲解直观图与原平面图的面积关系，也是我们的斜二侧画法的应用。 那么我们知道，在斜二字画法中，平行与 x 轴线端的长度在直观图中长度不变。好，那也就是说，我们这里的直观图 a、 b 一的长度和 a、 b 的长度是相等的， d， e、 c， e 的长度和这里 d、 c 的长度是相等的。 平行与歪轴的线段长度在直观图中的长度呢，要减半，那么此时 a、 e、 d、 e 的长度就是 a、 d 长度的二分之一。 并且呢，我们还知道，这里的角 x 撇 o 撇 y， 要么等于四十五度，要么等于一百三十五度，那么在此题中，这个角度是四十五度，因此呢，平面多般多边形的直观图中， 任意一点到 x 轴的距离都为原图形中对应到 x 轴距离的多少呢？是距离是原图中为 h， 那么则 直观图中 h 片它等于多少呢？好，那么现在呢，我们用这个图哎，给它假设一下，假设这个高度为 h， 那么这个长度呢，是不是就变成了二分之一 h， 由于这个加角是四十五度，所以呢，这个时候他的距离变成多少了呢？变成了 h 是不是就等于二分之跟二倍的二分之一 h， 那么算出来结果是不等于四分之跟二倍的 h。 好，那么结论就出来了，等于 四分之跟二 h 没有问题吧。好了，那么这个时候呢，我们来算一下这道题，然后来应用这个结论。好，题目呢，告诉我们说， a、 b 一的长度为二， 那么这里 a、 b 的长度呢也为二， c， e、 d、 e 的长度呢就为三。好，我们能算出来啊，这是题目中给的一致条件，还有呢， a、 e、 d、 e 长度为一，那么就有 a、 d 的长度为二。 好，现在看题目的第二问，他说，请你求出水平放置的平面图的面积，那么很显然，这个平面图形是一个什么样的梯形呢？对了，是一个直角梯形。好，我们来先算直角梯形的面积。第二问， s 梯形 a、 b、 c、 d 的面积等于上底加下底乘以高， 然后呢，再乘个二分之一，我们算出来他的面积为五，没问题吧？好，但是呢，没完，他还要要求我们算出直观图的面积，那么这个直观图中，他的上底的长度变没变？没变，下 大底的长度变没变？没变，那么唯独变的是谁呢？唯独变的是他的高，那么他的高变成了原来的多少呢？变成了原来的四分之跟二倍，那么上底不变，下底不变，只有高变了。那么所以我们这个时候直观图的面积就变成了多少呢？对了，这个时候提醒 a、 b、 c、 e、 d 的面积就变成了四分之跟二倍的圆梯形的面积， 最终结果应该等于四分之五倍的根号二。好，这是我们这道题，那么从这道题目中我们可以得出另外一个关于面积的结论，那么刚刚我们在这里得到的是关于谁的结论呢？关于点到 x 轴距离的结论。好，那么接 下来我们来写关于面积的结论。那么如果说我们在这里设设什么呢？圆平面图面积为 s 圆图，那么则 直观图的面积等于多少呢？等于四分之跟二倍的原图的面积。好，这是我们今天给大家讲的有关 斜二侧画画法以及直观图和原平面图面积以及高度之间的倍数关系。好，这样的两个结论呢，大家都要记下来，方便我们再做选择题，还有填空题是直接得出结论。好，你听懂了吗？

这节课我们一起来学习写二册画法。首先我们来了解一下什么是立体图形的直观图。直观图是观察者站在某一点观察一个空间结合体或者图形，比如说这些图形是观察者站在某一点观察一个空间结合体得到的图形。 那么立体图形的直观图该怎么样画呢？我们要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图，那么水平放置的平面图，我们需要学会一种画法是斜二层画法， 利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，这边正方形是原图，那么利用斜二侧画法得到的图形呢？它的直观图会是一个平行四边形，那么这个画法是怎样得来一个平行四边形的呢？接下 下来我们一起来学习斜二侧画法的一个步骤。原图它是一个正方形，而直观图呢，变成了一个平行四边形。怎么样利用斜二侧画法得到这个平行四边形？我们分为几步，现在看。第一步，先建立坐标系。 原图中 s 轴和外轴是垂直的，但是呢，直观图中 s 一撇和外一撇他们是成了四十五度的角。 坐标系建立好了以后呢，我们再进行第二步，坐标轴上的点，我们把它找出来。先来看很坐标，很坐标，也就是说 s 轴上的长度它是不变的，很不变， s 轴上的长度不变。开始的时候 a 点在远点，那么 ab 的长度假设是四横坐标，它的长度不变，所以 a 撇 b 撇，它的长度也是四是不变的。 a 撇呢， 也在原点 b 点的位置，根据 ab 的长度四来确定他的位置，我们也能确定外轴上的长度是减半的。重要减半。 假设 ad 刚才也是讲了，因为是正方形，所以它的长度为四，那么外轴上的长度减半，这边就变成了二。这是第二步，坐表轴上的点，把它标出来。 第三步，平行坐标轴的线平行关系怎么样理解呢？只要平行于 坐标轴的线呢？最后经过写二次画法得到的直观图依旧是与坐标轴平行的。比如说原图中的 ab 和 cd 与 x 轴平行，那么直观图中 apb 一撇， cpd 一撇，这两条线也是与 x 轴平行。那么原图中的 ad、 b 和 bc 这两条线与外轴平行，那么直观图中的 a 撇第一撇， b 一撇， c 撇，这两条线与外轴也是平行的。 那么再进行第三步，连点，我们把所有的点连接起来，然后就组成了我们的直观图，这是有关利用写二字画法画直观图的方法。接下来我们做一个练习题。 已知在平面直角坐标系中，一个平面图形上的一条线段 ab 的实际长度呢，是等于四，若 ab 它是与 s 轴平行，那么现在画出直观图以后呢？线段 a 撇 b 撇 ab， 它是原图。那么直观图的线段呢？用 a 撇 b 撇来标志它的长度是等于多少？我们这里有讲， s 手上的长度是 不变，横不变，因为与 s 轴是平行的，所以它的长度不变。所以 a 撇 b 撇呢？它的长度呢，也是四厘米。 但是呢，如果与外轴平行， ab 与外轴平行，画出直观图以后呢？对内线段 app 呢？他的长度呢，是减半的，外轴上的长度是减半，所以他的长度是等于两厘米。 接下来我们做一下 miss t， 判断下列说法是否正确。相等的角在直观图中仍然相等。刚才我们讲了正方形的直观图， 正方形的四个角都是直角，但是呢，这个角和这个角不相等，这个角等于四十五度，而这个角呢，等于一百三十五度，所以第一个是错误的。第二个，长度相等的线段，在直观图中长度仍然相等。长度相等的线段呢， 刚才这个正方形四条边都相等，但是呢，这边只有对边相等。所以长度相等的线段呢，在直观图中不一定相等，也是错误的。 他的很与 x 轴平行的线段，与原图中的线段是相等的，但是呢，与外轴平行的线段呢，是原来的一半。 第三个，若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍然平行，这个是没有问题的。我们在讲第三步的时候有讲到 第四个，若两条线段垂直，在直观图中对应的线段也互相垂直。不一定，这边呢，四条线段都是，这里都是两两垂直的，但是在这边呢，都不垂直，所以第四个也是错误。最后我们来做下小结，这些课呢，我们就学习了斜二侧画法， 有四步。第一步，我们先画坐标系，坐标系，注意，原图中 x 轴和外轴它是垂直的，但是呢，在直观图中， s 一撇和外一撇呢，他们俩是乘四十五度角。第二呢，坐标轴上的点， x 轴上的长度不变，横不变，外轴上的长度呢，是减半， x 轴上的长度是与原来长度是一样的，但外轴上呢，是减半。平行关系。 开始与坐标系平行的那些线呢？最后还是会与坐标系平行，开始这些线段是平行的，那么最后直观途中还是会平行的。好，我们确定了一二三以后呢？最后我们把剩下的点那些线全部连接起来即可。好，这节课我们就讲到这。