八下数学第一章四边形的综合几何题

四边形的综合考察堪称初二下册考试当中的绝对拉分神器，这类题的难点之处就是他会综合我们之前所学习过的 所有全等三角形当中的辅读线，以及我们所有四边形的性质进行一个综合考察，难度系数特别大。来，同学们，今天我们一起来看到四边形和被藏中线综合的一道填空亚洲题。好吧，来，我们先来一起读下题。哎，题目是这样说的， 首先呢，告诉这个四边形 a、 b， c， d 呢，是一个菱形，好。第二个角 d， a、 b 这个角是等于六十度，同时呢，我们的 e 点是 b、 c 边上的中点啊，这两个边相等啊，都等于二。 好，最后一个条件，那就是 d、 f、 a 这个角呢等于二倍的角， e， a， b 啊，这两个角呢是一个二倍，关系好。最后呢，题目最后求的是 c、 f 这个边应该等于多少？ 徐老师已经把初二四边形板块中所有必考经典题型，包括平行四边形十大题型、矩形十大题型、 菱形十大题型、正方形十二大题型、中立线八大题型等，再结合往年考试真题，优中选优，整理成了初二四边形经典一百题，练完四边形考试直接拿满分，需要的家长我发领一份 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题啊。首先呢，我们先把已知条件给他标一下好吧，哎，正好四边形呢，是一个菱形啊，四条边相等。然后呢， d， a、 b 这个角呢等于六十度，好。第二个，他说 e 点是 c、 b 的 中点啊，这两边呢，正好等于 二，对吧？那所以呢，菱形四条边相等，所以呢，边长就正好为四啊，一点是一个中点啊，这是我们关键点，好，第二个角度关系来， d f a 等于二倍的角， e a b， 我 把这个角设为阿尔法，那这个角就是二倍阿尔法，怎么来？读到这里面，我们就会出现一个什么角平分线， 哪个是角边边线呢？是吧？来认真思考一下，哎，它们俩是平行的，对吧？这个角为二倍阿尔法，那这个角呢，也是为二倍阿尔法。内错角相等好，二倍阿尔法减去这个小角，所以这个角呢，也是为 算法。你看这，所以我们的 a e 正好是 f a b 的 小平分线， ok， 好， 最后呢，题目求的是 c f 这个边应该等于多少，那么这道题很明显它的突破口呢，就是这个中点，对吧？那中点，下面我们来思考一下跟中点相关的辅助线 啊，有哪些呢？第一个啊，我们最初学的就是背长中线，好。第二个呢，斜边中线对吧？中点跟直角有关系好。第三个就是四边形当中的中位线。来，这个题到底用哪个辅助线呢？我们一起来分析一下。 首先题目当中这里有一组平行线，平行线之间正好又有一个中点，哎，我们的口诀就是什么，哎，平行加中点，延长 b 出全等，对吧？那所以呢，我们应该用到是我们的被藏中线来，我把 a e 给它延长好，延长 a e 之后呢，和我们的这个边 dc 的 延长线 交于我们的系列，你看到没有？好，这个时候呢，延长 b 出全等，对吧？不是说倍长哈，是延长这两边相交于点系，那么这个时候呢，这个三角形跟这个三角形它就应该是全等的啊，来，我们来证明一下，非常简单，首先这里有一组对顶角，好。第二个，这个角跟这个角呢， 内错角相等，好。第三个边 c e 等于 e b， 对 吧？两个角一个边，一定是全等的，好了吧，全等之后哈，我们就可以什么就可以倒边了啊？倒边了，来，题目告诉 ab 等于四， 那这个边呢，也是为四啊，也是为四。好，接下来我们看我们一箭双雕哈，我延长之后，不仅会有全等，同时呢，我们还会出现一个等腰三角形，哪个是等腰？ f a t， 哎，它应该是等腰，为什么呢？哎，因为我们的角分线加平行线， b 出等腰三角形，看到没有，这个角是阿尔法，这个角呢也是阿尔法。好，这个平行，这个角呢也是阿尔法内错角了，所以这两个角呢是 相等的，等腰不就出来了吗？那所以我的 a f 和 f t 应该是相等的，对吧？好，最后的 a f 和 f t 应该是相等的，对吧？那么这个边就出来了 两个小便相加 x 加四，那我的 fa 也出来了， x 再加四。好，这个大便我们知道为四，这个小便为 x， 所以 这个小便 d f 就 为四减 x， 对 吧，是吧？好，接下来 同学们知道，这个边，这个边也为四啊，我只要把这个 x 求出来，最后就出来了，那如何求 x 呢？你不设了未知数吗？肯定要什么去列方程，那列方程的关键找等量关系，对吧？图形当中的等量关系 有哪些特殊角啊？三十、四十五、六十对吧？以及我们的勾股定律啊，这些都是我们的等量关系，大家找找哈，你会发现，在这个三角形当中啊，我们三个边，四件 x， x 加四和四，三个边其实都已经表示出来了，而且呢，这个三角形当中我们还有一个特殊角 为一百二十度，你看没有，所以呢，我们就可以去解三角形的啊，解三角形的怎么解呢？一百二十度，我们想到的特殊角度就是延长它的零补角为六十度，对吧？来，所以接下来我把它 d f 延长 啊，我们再过这个 a 点，向这个延长线做一个垂线，好吧，这个是我们的 p 点，那么接下来这个多少？这个是六十度啊，零步角六十度，特殊角嘛，好，这个角呢？是多少？三十度。哎，我知道这个边为四， 三所对边，等于斜边一半，那这个边就为二，你看这样子吧。好，这个边也出来了啊，一比根号三比二，这个边就为二倍。 好，三啊，你最后什么，我们是要找等量关系列方程。哎，这里面等量关系其实已经出来了，这个直角三角形 我们三边都出来了，你看这个为四减 x， 这个为二，那所以我们的 p f 就 等于二，再加上四减 x， 等于六减 x， 对吧？好，这个边出来了，这个边为二倍根号三，这个边呢为 x 加四。哎，我们的勾股方程就可以算作为我们的等量关系啊。来，所以得到什么？这是六减 x 的 平方，再加它的平方就是二倍根号三的平方，十二就等于 x 再加四的平方。来，再看一下，三十六 减去十二 x， 再加 x 平方，再加十二等于 x 平方，再加八 x， 再加上十六来 x 方， x 方抵消掉。好，最后移过来呢，就是二十 x。 好， 那么这个十六移过来，三十六减十六等于二十二十，加上十二等于三十二，那么 x 就 得到二十分之三十二啊。我们化简一下，约个四吧啊，就是五分之 五分之八，那么 x 就是 要求的 c f， 对 吧？所以最后 c f 应该等于五分之八啊。知道四边形和我们的背长中线的结合，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路。

四边形的综合考察堪称初二下册考试当中的绝对拉分神器，这是一道正确率不到百分之五的初二下册半级填空压轴题，它的难点之处在于综合了四边形和对角互补模型的综合考察，难度系数 特别大。来，同学们，我们一起来分析一下哈。首先来，我们先来一起读下题，题目是这样做的，那告诉我们四边形 a、 b、 c、 d 呢？哎，它是一个菱形。然后呢，告诉我们的 e、 b、 f 和角 a 啊，这两个角相等都等于六十度。好，接下来告诉我们菱形的边长 a、 b 等于四。题目最后求的是三角形 d、 e、 f 的 面积的最大值应该等于多少。 徐老师已经把初二四边形板块中所有必考经典题型，包括平行四边形十大题型、菱形十大题型、正方形十二大题型、中立线八大题型等，再结合往年考试真题 u 中选 u， 整理成了初二四边形 经典一百题，练完四边形考试直接拿满分。需要的家长我来同学们，我们一起来分析下这道题哈。 这道题呢，主要考察我们四边形当中一个非常重要的结论啊，叫做我们的对角互补模型。来，同学们，我们一起来学习下这个模型哈。来看这个图，这个模型呢，是这样说的，首先告诉我们两个条件， 第一个是 b、 d 平分角 abc， 所以呢，角一和角二是相等的好。第二个条件，那就是角 b 这个角和角 e、 d、 f 这个角呢，它们俩相加等于一百八十度，哎，就是互补的对吧？那么这个时候呢，我们一定会得到一个条件啊，就是来我们的 e、 d 是等于 d、 f 的， 就是这两个边一定是相等的。好，我总结下哈。最后结论就是啊，角平分线 b、 d 上的任意一个点，选个点 d， 对 吧？然后过这个点 d 呢，向这个角的两边发射一个角， 这个角呢，和角 b 是 互补的，相加等于百八，那么这个时候呢，我们形成两边 d， e 和 d f 就 一定是相等的啊，下面呢，我们来证明一下子们， 怎么来证明这两个边是相等的呢？哎，我们最应该想到全等三角形，对吧？哎，全等三角形对应边是相等的，那如何去构造全等呢？很简单来，我可以过地点分别向这两个边 做什么？做垂线，你看，我就可以把这两个斜边包含在我们的两个直角三角形当中来，这个是 s， 这个是我们的气垫，对吧？来，这个时候呢，我们只要证明这个三角形跟这个三角形它是全等的不就可以了啊，来证明一下，首先做了垂线之后，有一直角是相等的，角 t 等于角， s 等于九十度。好，第二个， 这组边 d， t 等于 d s， 角分线上一点到角，两边距离应该是相等的，所以看做了垂线之后，我们就有一组角和一组边相等。好，接下来我们还需要找一个等量关系，怎么找呢？来，从这个互补的角去出发， 看一下。啊，我们这个角跟这个角是互补的，对吧？所以我把这个角设为 r 法，那么 e、 d、 f 就 应该是一百八减， r 法没问题吧。好，再来看，在这个四边形当中， b、 t、 b、 s、 d 来这个四边形当中，这两个角 都等于九十啊，也是互补的，相加等于多少？一百八，那么四边形，我们知道内角和等于三百六，对吧？好，它跟它互补，所以剩下的这个角 跟这个角，对吧？也是互补的，所以这个角为一百八减二法，那这个角呢，也是为一百八减二法，哎，这两个角是正好相等的，而且这两个相等的角呢，中间还有一个公共角，就是 e、 d s， 对 吧？好，所以呢，他们两个都减去公共角以后， 剩下的小角，角三和角四呢，也是相等的，所以两个角一组边相等，所以呢，这两个三角形一定是对应全等的，所以得到什么？哎，我们的 d e 和 d f 是 相等的，就出来了，没问题吧？好，这是我们的对角 互补模型，那么来这个模型好，我们总结下就三个条件，第一个角平分线，第二个 互补好，第三个边相等啊，对吧？这三个条件，其实呢，我们只要知道其中两个啊，任意知道其中两个，都可以推其余的一个。比如说，现在我只知道角分线和互补推边相等，好， 我可以反过来，比如说，我知道角一等于角二， d， e 等于 d f， 哎，我也可以推，这两个角是互补的，对吧？好，再比如说，我知道 d， e 等于 d f 边相等，好，这两个角互补的，我也可以反推小一等于小二，反正这三个条件，我们只要知道其中两个都可以推其余的一个，好，叫做之二 推一啊，任意知道两个推其中的另一个，好，这是我们的对角互补模型，大家听懂了吗？好，学了这个模型之后来我们看这道题，那就非常简单。好，什么？他说来四边写 a、 b、 c、 d 是 个菱形 啊，我们的 e、 b、 f， e、 b、 f 这个角等于六十度，好，角， a 呢，也是为六十度，那么它是菱形，所以这个角呢？为一百二十度。看到这里正好有一个互补的角，我们来找找哈，这里面当中有没有对角互补模型？首先我们已经找到一组 角是什么互补的，好，再来，因为这个 a、 b、 c、 d 是 吗？是菱形，菱形的对角线。同学们，菱形的对角线什么？它是平分对角的，所以我连接 d、 b， 哎，连接 d、 b 之后啊，干，哎，连接 d、 b 之后，那么所以这两个角是相等的角平分线了。好，角，平分线，再加一组角是互补的，那么所以这个时候呢，我们一定可以得到那个 b、 e 和 b、 f 这两个边是相等的，对吧？哎，这里面存在一个对角互补模型啊，证明呢，也非常好证明啊，我们怎么样做垂线就可以了，过 b 点来向我们的两边做一个垂线，我们就可以证明啊，很好证明。来做垂 线啊，这个是我们的 s 点，你看到啊，我这证明这两个三角形它是 全等的，不就可以了吗？很好证明啊。首先来，我们的 b、 t 等于 b、 s， 因为角分界上一点到角两边距离是相等的。好。再来，还有一组相等的九十度，好，还需要找一个角，哎，冲稳对角互补去出发。好吧，那这个是 一百二，那这个角是多少？六十。好，再来一个，这个角是六十，你看没有，哎。然后呢，在这个新的四边形当中，我们的四边形内角和等于三百六。好，这两个角是互补的，相加等于一百八，所以剩下的咱们这个角跟这个角 也是互补的，他为一百二，所以这个角呢，也是为六十，你看没有？哎，一样的，好，什么看他为六十，好，这个角呢，也是为六十，两个六十度中间有一个公共角，减去公共角，我们剩下的这个角一和这个角二自然就是相等的，所以呢， 三角形 t、 b、 f 和 s、 b、 e 就 一定是全等的，对吧？好，我们再来看哈，那么这个时候看，既然它们俩是全等的，那面积就应该是相等的，对吧？所以看什么这个四边形，我们瞄一下啊， 这个四边形虽然我们有两个动点， e 点和 f 点是动点，这个四边形呢，也在动，对吧？但是它的面积是一个定值，因为我可以把这个三角形 转移到这个三角形，把它旋转过来，因为面积相等吗？啊，补过来好，补过来之后呢，哎，我们就会发现，咱们这个四边形 d， e、 b、 f， 它是等于这个 四边形的面积，对吧？补过来，这个四边形又正好等于两个相等的直角三角形的面积，对吧？来，所以呢，我们就可以把这个三四边形它的面积是固定的，然后算出来，好来算。算。这个时候呢， s 四边形，我们的 d、 e、 b、 f， 它就等于 s 四边形，那个 d s， b t， 对 吧？ d s b t 好， d s b t 呢？又等于两个直角三角形的面积相加啊，我们去算算哈， s 三角形 d， s、 b 该怎么算呢？啊？题目告诉我们，这个菱形的边长 ab 等于四， 那么它是一个等边三角形，那所以这个呢，也是为四啊，也是为四。好，再来，这个角是六十度， 所以这个角呢，三十度，对吧？三十度对的边等于斜边一半，那么这个边就为界，这个边就为二啊，就为二。好，这个呢， b、 s 就 为界，为二倍根号 二倍根号三，一比根号三比二嘛。来，所以 d、 s、 b 的 面积得啊，等于二分之底乘以高，那就是二，乘以二倍根号三， 等于二倍根号三，那所以四边形面就出来了，我们的 d、 e、 d、 f， 对 吧？哎，就等于它的两倍等于四倍 根号三。 ok， 好， 接下来我们求什么呢？它是求 d、 e、 f 的 面积的最大值，那么你连接吗？ e、 f 啊，连接 e、 f 之后，同学们，你看，首先我们知道了这个四边形，它的面积是个定值啊，是定值。好，这个小三角形呢， 它是包含在这个固定的四边形当中，你看，没有。好，这个四边形呢，又是由这个三角形跟这个等边三角形构成的，那么你想它们两个之合是一个定值，我要求这个三角形 面积最大，那所以呢，我只要求 s 三角形 e、 b、 f 的 面积的最小值就可以了啊，这个最小， 那么这个三角形面积就应该是最大的，对吧？好，来，它的面积最小，怎么求呢？哎，我们知道它是一个等边三角形，等边三角形，你想面积要最小，我只要让这个边 b、 e 和 b、 f 最小不就可以了吗？那 b、 e 和 b f 什么时候最小呢？哎，垂直的时候，你看到它是斜边，它是斜边，当这两个斜边变成直角边，就必点到 我们的 dc 垂线的最短， b 点到我们那个到 a、 d 的 垂线段是不是最短？所以呢，当我们的斜边变成直角边， 这个等边三角形的边长就应该是最小的，那边长最小就应该等于 b s 啊， b s 正好是垂直的，等于二倍根号三，没问题吧？好，那么就出来了。哎，所以呢，我们知道等边三角形的面积等于到 四分之根号三倍边长的平方啊，这是我们等边三角形的面积的公式哈，没问题吧，四分之根号三倍边长平方，边长最小是等于二倍根号三，所以乘以二倍根号三的平方，那就出来了吗？等于几？等于四倍根号三， 再乘以十二点到三倍根号三，所以来这个面积最小，用它减去它剩下的 s， 三角形 d、 e、 f 的 面积就应该是最大，对吧？哎，等于四倍根号三固定的值减去三倍根号三，那么最大值就应该得到等于根号 三啊。知道四边形的综合考察你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！

这道题一旦考出来，我敢说百分之九十五以上的孩子都拿不到分。这是一道初二月考关于一线三等角和四边形综合考察的一道填空压轴题，难度系数特别大。来，同学们，今天我们一起来分析下这道题啊！首先来，我们先来一起读下题， 题目告诉我们，角 b 等于九十度啊， c、 d 和 bc 是 垂直的，那所以这个角呢，也是为九十度好。第三个条件呢， d、 f、 c 等于四十 五度， a、 c 边等于二倍根号下十五 c、 e 边呢？等于三倍根号三啊！然后呢，最后一个条件， b、 e 这个边又等于 c、 d 好。 最后，题目求的是 a、 e 啊，这个边最后应该等于多少？ 徐老师已经把初二四边形板块中所有必考经典题型，包括平行四边形十大题型十大题型、 菱形十大题型、正方形十二大题型、中立线八大题型等，再结合往年考试真题 u 中选 u 整理成了初二四边形经典一百题，练完四边形考试直接拿满分，需要的家长我发你一份， 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题啊！首先呢，很多同学一看到这两个条件，他立马想到了我们的一线三等奖，哪两个呢？第一个是我们的 b， 一 边 等于 c、 d， 对 吧？第二个呢，是角， b 等于角，这个 d， c、 e 等于九十度。哎，很多同学看到这两个条件，他立马想到我们的三等角，对吧？但是呢，这个题呢，不是我们的三等角，为什么呢？因为这两个直角三角形，很明显， 它不是全等的，它大它小，如果是三等角的话，它们俩是吧，应该是全等的。问题的关键就在于 中间这个角，它是一个钝角，它不是直角。如果我要构造三等角的话，那么这条直线上这三个角都应该相等等于九十度，对吧？好，所以接下来我们去构造一下一线三等角。哎，如何构造呢？哎，我可以过一点， 哎，做一条垂线和 e、 d 是 垂直的，对吧？好，那么这个时候你看，哎，我在延长 b、 a 和它相交，这是我们的 t 点啊，我们是，它是垂直的，哎，辅助线就是 t、 e， 哎，垂直于我们的， 我们的 e、 d， 对 吧？ e、 d， 好， 那么接下来，那么这个时候，你看这个三角形 t、 b、 e 和我们的 e、 c、 d， 它不就是全等了吗？啊，很好，证明。来，我把这个角设为 alpha， 那 么这个角设为 beta， alpha 加 beta 呢，正好等于九十度，好，再来，它也是九十，所以这个角呢，也设为 阿尔法，对吧？阿尔法等于阿尔法，九十等于九十。还有 e 组边 c、 d 等于 b、 e， 所以呢，哎，我们就得到三角形，这个是 c、 b， e， 哎，全等于三角形。 e， c、 d。 好， 全等。以后呢，我们得到什么？ c， e 等于我们的， 这个是 e、 d， 对 吧？好，中间呢，这里有个九十度来，所以呢，我连接 t、 d 之后呢，我们就可以得到一个什么 等腰直角三角形，对吧？啊， t， e、 d 就是 等腰值来，接下来我们再读题哈，题目又告诉 d， f、 c 这个角等于四十 五度啊， a、 c 边呢？等于二倍根号下的十五， c， e 边呢？等于三倍根号三。好，最后呢，题目求的是 a、 e 这个边应该为多少，对吧？那么接下来这道题的突破口呢，就在于这个角度啊，四十五度，四十五度如何去利用呢？ 大家思考一下。哎，我们已经构造出来 t、 e、 d 是 一个等腰值，对吧？那所以这个角就正好是四十五度。来，咱们观察一下， 这里有个四十五，这里有个四十五，哎，这两个角呢，正好互为内错角，内错角相等，两直线 平行。哎，所以呢，我们就得到这两个边是平行的，因为这两条线都和 bc 边是垂直的，所以它们俩一定是平行的，它和它平行， 它和它现行。两组对边分别平行，说明什么？哎，我们的 t、 a、 c、 d 应该是一个特殊的我们的平行四边形，对吧？好，所以呢，我们就得到哈四边形， 哎，我们的 t、 a、 c、 d 为我们的平行四边形，没问题吧？那平行四边形，这两组对边正好是平行且相等的来，所以 t、 d 就等于 a、 c、 a、 c 知道二倍根号十五，所以这个边呢，也是为二倍根号十五，对吧？好，二倍根号十五，正好又是 t、 e、 d 等腰值的斜边来，那所以直角边我的 t、 e 就 出来了， 等于几呢？哎，一比一比根号二，他除以根号二，哎，就多少根号下的三十啊。 t 出来了，好，这个为根号下的 三十，好，哎，题目又知道 c 一 等的三倍根号三啊，因为他们俩是什么 k 型全等，对吧？那三倍根号三，那这个边呢，也应该是为三倍根号三，对吧？同学们，哎，来，这个直角三角形， 斜边知道，直角边也知道，那这个直角边 b 是 不是出来了？好，我们接下来算好，所以 b 一 边 六等解，等于他的平方减他的平方啊，等于根号下三十，减去三倍根号三的平方就是二十七，就得到根号下的 三。啊，这个边来，哎，他就为到就为根号三。奥特曼，我最后求什么呢？求的是 t e 这个边。哎， t e 正好在 a b e 这个直角三角形当中。哎，我们已经知道了一个直角边，我只要再把 ab 求出来了， 勾股 a e 不 就出来了吗？好不好？求， a b 好 求，因为这个 c b 已经出来了。哎，我们知道这个边 cd 和 a t 是 相等的，同时呢， b e 也等于 cd， 因为我们的 k 型全等嘛，对应边相等，所以呢，这个也是为根号三，那这两个边相等，它也是为 根号三，对吧？所以就得到我们的 a b， 哎，就等于三倍根号三， 减去根号三，等于二倍根号三。好，最后呢，我们求的是 a e 再用勾股，那就等于， 哎，它是为解，这个是二倍根号三，对吧，它的平方就是十二，再加这个平方三，所以 a e 呢， 等于根号下的十五。所以这道题 a e 的 最终答案应该为根号下的十五。好，这道一线三等角和我们四边形的综合考察的题，你听懂了吗？来关注数学老师，数学满分不迷路！

八下数学平行四边形的解决问题，包括证明题，我们针对这样一道简单的题目，直接把里面所有的关键过程以及证明的过程详细讲解，如图，这在同一条直线中啊，这三个点， a、 b 等于 d、 c。 想解决关于图形的问题，从八下数学，我们有平行四边形，菱形，矩形，正方形啊，还有这种梯形，甚至那么所有关于四边形这种特殊的四边形 和平形四边形有关的这种四边形，我们不管是解决问题还是正问题，我们最好用的方法其实就四个字嘛，竖形结合。把你们的条件， 题目的条件都在图上给它标出来，你至少先学会第一张竖形结合。 他说 a、 b 等于 d、 c， 那 你就帮他画个等号，就代表 a、 b 等于 d、 c， 继续他说角 c 等于角 c、 b、 e， 那 你就找到角 c， 然后再找到角 c、 b、 e， 然后呢画两条弧线， 一条弧线代表一个角，两条弧线代表这两个角相等。接下来呢，他让我们求证 a、 d 等于 bc， 哎，他提过给我这两条相等，又给了我两个角的相等，怎么让我证他俩呢？那这个手就不要忘。如果我们学过平行四边形的判定和平行四边形的性质，什么叫判定？就是证明 一个四边形是平行四边形。什么叫幸运？就是他已经是平行四边形了，或者是你已经证明他是平行四边形。接下来，那既然是平行四边形，平行四边形能具备的东西就叫它的性质。 所以我们来根据出题条件一个一个来用，既然我们用的时候呢，也挑好用的下手。当然你也可以按照题目的先后顺序 先，有哪个条件，你就先用水也行，只不过呢，用他俩呢？他俩相等，目前为止呢，也没有什么太大的用处，所以我们先用脚入手。 因为这两个角，题目给我们相等，它不但相等啊，它还是什么关系？内错角的关系啊，当你看到一个在左，一个在右， 那这不就错左右错开了吗？一个上，一个下，一个左，一个右，你看，所以内错角你就记住反义词了。有的同学连内错角都分不清楚的，你一定记住反义词，记住反义词就记住内错角了。一个在上面，一个在这条线的左边，一个在这条线的右边，这就是内错角呀。 那既然他俩相等，那就代表是内错角相等了。内错角相等，两直线是不是就平行了？好，那我们就先用这个，因为角 c 等于角 c、 d、 e， 所以 那就 a、 b 平行， d、 c。 你 想写元音啊，写元音把理由写在括号里面是吧？内错角相等的话，两直线平行，如果老师没要求，可以不写。 接下来啊，那既然都平行了，我们再用。还有一个条件，就是他是不是 a、 b 等于 b、 c。 刚才我们已经证他俩平行了，现在还有一个已知条件，他俩是相等的，那现在是不是就所以 a、 b 平行且等于 b、 c 啊？这个符号就既代表平行，又代表相等，所以这叫 a、 b 平行且等于 b、 c。 那既然在四边形 a、 b、 c、 d 这个四边形里边有一组对边，也就是 c、 d 和 ab 既平行又相等，它俩既平行又相等，能推出什么？所以我就知道了，四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形，想写理由，写理由有一组对边，既平行又相等的四边形，是平行四边形。 好，既然是平行四边形的，那我就知道了，平行四边形的对边相等，对边还平行，那下一步就可以。所以 a、 d 等于 b、 c 这一步详细写理由也可以写啊，平行四边形的对边相等。 所以呢，这道题虽然题目简单，你可千万不要觉得它简单，你要把它的因为所以包括它的逻辑啊，给他推理清楚。 别看这么简简单单一道小题，它包含的已经包含了所有平行四边形最常用的两大内容，两大板块。第一就是平行四边形的判定，你看我们一个条件，两个条件，所以证明 平行四边形，这就叫判定。有了平行四边形，我们接下来为什么得到它，这用的就是平行四边形的性质啊。所以你看，我们在解决问题的时候，如果给你平行四边形了，你直接用它的性质，如果没有给你，你自己证明，证明出来了，继续用它的性质。 所以判定和性质在做题中是如何来为我们做题服务的，这就是为我们做题服务的。所以先如果能证明平行命题，就先证平行命题，证完了再推性质。

我们今天来看一下平行四边形中需要利用到辅助线来证明的题目。在梯形 a、 b、 c、 d 中， a、 d 平行于 c、 d， 这是梯形的一组对边平行，角 a 等于角 b， 让他们证明 a、 d 和 b、 c 相等。这里我们可以选择构造一个平行四边形，也就是过点 d 做 c、 b 的 平行线，比如说 过 d 做 d， m 平行 c、 b， 注意是交 a、 b 于 m， 这是我们这个辅助线的书写方式。然后呢，由于这个平行，我们可以把题干上的 a、 b 平行于 d、 c、 d、 m 呢，也平行于 c、 b， 所以 我们可以得到四边形 d、 m、 bc 呢，为平行四边形。 好，这个平行边得到之后呢，我们可以得到这里角 e 呢，是等于角 b 的， 对吧？这是平行得到的，还可以得到咱们这个 dm 是 等于 bc 的， 得到这个了 我们再写。又因为角 a 也等于角 b， 所以 我们可以得到角 a 是 等于角 e 的 两底角相等。六角三角形的一个性质呢，是可以得到 a、 d 是 等于 dm 的， 那结合我们这个 dm 等于 bc， 所以 a、 d 呢，就最后就等于 bc 了， 这是我们的第一种做法。第二种做法呢，我们可以不用平次面想啊，简单说一下，可以延长 a、 d， 然后再延长 c、 b， 它俩是交一点的，这两条线，比如角点 q， 我 们还能得到角 a 和角二，角三和角 b 呢，它们都是同一角，而且 dc 和 ab 平行。所以第二种方法呢，就是得到角 a 等于角二，角 b 等于角三， 角 a 还等于角 b， 所以 角二等角三，角二等角三呢，我们可以得到上端的 q、 d 是 等于 q、 c 的。 由于这个角 a 等角 b 呢？在大三角形里边角 a 等角 b， 我 们可以得到 q， a 呢，是等于 q、 b 的。 那这两条线段呢？分别做差得到的 a、 d 呢？等于 bc 啊，这个是简写版的啊，大家可以做一个思考的方向。

数学的重点在哪里？抓住这几块，孩子的成绩大概率不会差。我是北京海淀任老师，今天我们讲第三部分，四边形， 初二下册几何最难最容易出压轴题的就是这张了。从普通的四边形到平行四边形，再到菱形、矩形、正方形，性质特别多，变化也多，引含的条件多，辅助线 思路自然就多，难度几乎没有天花板。学这一张，千万不能碎片化学习，一定要形成框架，系统化去学，从边角、对角线、对称性四个角度理清他们之间的转化关系，把性质和判定彻底吃透。 很多孩子都说辅助眼画出来我也会，可是自己做的时候想半天也不知道这个辅助线到底该怎么做。核心就是要吃透各种几何模型， 比如矩形的翻折模型、菱形正方形的对称模型、正方形的对角线旋转模型、悬图十字架十字架模型、半角模型、手拉手模型等等。 常考的题型也给大家梳理清楚了，比如用方程的思想在平行四边形中构造全等，结合勾股定律求线段的长度，线段的坠值问题与将近一码问题的综合，还有动点问题，构造中位线 啊，特别是直角、三角形、斜边中线等，都是压轴体高频考法。我是北京海淀任老师，关注我，带孩子一起学好数学！如果你的孩子数学有困惑，欢迎私信我，咱们具体问题具体分析。

哈喽，大家好，今天咱们来讲一道关于初中几何的经典易错题。呃，这是关于动点的平行四边形的题目，咱们百分之八十的同学呢，第一次做都会漏答案， 我们来看一下这道题目。在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 d 平行于 bc， a， d 等于八， bc 等于十啊。点 q， 从 a 点出发，以一厘米每秒的速度向点 d 运动。点 p， 从点 b 出发，以两厘米每秒的速度在线段 bc 间往返运动， p、 q 两点同时出发，设运动时间为 t 秒，当点 q 到达点 d 时，两点同时停止运动。若以 p、 q、 c、 d 为顶点的四边形是平行四边形，那么求 t 的 值 啊，这块儿需要注意的啊，它是往返运动啊，如果是往返运动的话，咱们考虑一下，有可能是有两种情况啊，很多人呢，直接漏了第二种情况。好，咱们来看一下第一种情况。第一种情况就是说这个点 p 未到点 c 啊，还未到点 c 时，然后呢，它们构成一个平行四边形。 那假设说，如果是平行四边形啊，这个 q， 假如 p 点在这儿， q 点在这儿，这个时候，如果说要使得它是平行四边形的话，我们应该根据平行四边形的判定啊，我们的这个两组对边分别相等， 那么它可以判定它是一个平行四边形。呃，也就是说，这块这个时候的 q、 d 啊，就应该等于 p、 c， 对 吧？ 那我这块题上告诉我们说，这个 a、 d 等于八，然后呢？呃，这个 a 点是以一厘米速度，一厘米每秒的速度向 d 运动，那么 t 秒的话，它就运动了，这个一乘以 t， 也就是 t 啊，它的路程是 t， 然后呢， a d 是 八，所以呢 d q 呢？就是一个八减 t， 那下边这一块的 p c 呢？呃，它应该是 b c 减去 b q 是 吧？那 b q 的 话就是 q 点，它的速度是二，时间是 t， 所以 应该是路程是二 t， 那 p c 呢？应该是 b c 减二 t， 也就是 呃，十减二 t 是 吧？所以说这个 q d 等于 pc 的 话，那么也就是八减 t 等于十减二 t， 那这个时候我们可以算出来 t 等于二啊，有很多同学做完这就完事了，但是我们还有第二种情况啊，因为它是往返运动，也就是说这个 p 点到达 c 点之后也有可能会返回来，是吧？那返回来之这个时候的话 啊，点 p 到 c 点后返回啊，返回的话我们可以看一下如果再返回它的总路程啊， p 点走的总路程是二 t 是 吧？ 那这个时候的 p c 的 话，应该就是它总路程减去 bc 啊，减十，对吧？然后同样的我们还是 p c 等于 d q d q 的 话，它不变，还是一个八减 t 啊，那这个时候的话，我们算一下，这个时候的 t 呢，应该是等于六秒啊，所以这道题的话，其实最终有两个答案，是吧？ 这是咱们的一个易错题啊，这个看到往返运动啊，必须是分情况讨论，不能只算单乘。点赞、收藏、转发给你身边容易漏解的同学，关注我，每天一个初中几何易错题。

哈喽，大家好，我是数学张老师，欢迎大家来到我的满分数学课堂。欢迎来到满分数学八年级下册第五周题型，四边形综合模型了。 我们带着三个问题进入课堂，第一，如何应用对角互补模型？第二，如何去应用正方形风车模型？第三，如何应用实价模型？好，我们在讲之前，先看一下例题一， 这道题中，它告诉我们，在正方形中啊，对角线 a、 c、 b、 d 交于 o 点，我们还做 o、 f 垂直于 o、 e 啊， 且 ab 是 等于二，求四边形 b、 e、 o、 f 的 面积是多少？ 那这道题中要求这个四面形面积，它很明显是不规则的，我们没法直接去求，但这下我们需要去转化，我们可以看下图中啊， bo、 f 这三角形和这个 a、 o、 e 这三角形有什么关系？同学们可以思考一下。 bo、 e 这三角形呢，跟右边这个 o、 f、 c 三角形有什么关系？你也可以去思考一下。好，大家可以按一下暂停键作答，请暂停。 好，同学们，我们来看例题。这道题我们求的是 b、 o、 f 的 面积，那我们既然面积没法直接求我们先进行转化，那 我们先观察一下 a、 o、 b， 由于正方形的对角线是互相垂直的，这 a、 o、 b 也是垂直，发现这里出现了两个九十度角了。好，那我们把这两个垂直先擦掉， 出现了两个垂的时候，你就要去考虑了，我们要标上角一加角二会等于九十度，角三加角二也等于九十度，我们就会追出来角一等于角三了。啊，我都知道角一跟角三的关系了， 而且呢，正方形的对角线还有很多特点，它这些对角线的与角角啊，都是四十度啊，所以角边相等了，以及它的对角线互相平分，且每一段都相等， o a 就 会等于 o b 了。 a、 s a， 我 们就能证明三角形 a、 e、 o 全等于三角形啊， b、 f、 o 了啊，通过 a、 s、 a 证明 其这两块连穿权的。同理啊，同理，其实我们也可以直接证出来，三角形 o、 e、 b 也会全等于三角形 o、 f、 c 啊，这两个是一样的，都能证明权的，我们证明权的目的在哪里呢？ 人们要求的是四边形 e、 b、 o、 f、 o 的 面积，那么四边形 e、 b、 f、 o， 它的面积就会等于什么呢？是就等于 e、 b、 o 加上 o、 b、 f 啊，它等于两个三角形之合， e、 b、 o 加上三角形 o、 b、 f， 其中我们刚证明全的呢，你可以转换一个，比如我们可以把三角形 o、 b、 f 转换成 a、 e、 o 啊，换成 a、 e、 o， 这么一换成 a、 e、 o 之后，我们观察它是不是两个三角形组合成了一个大的三角形 a、 o、 b 嘞？首先呢，我们只要求出三角形 a、 o、 b 的 面积就可以了啊，那 a、 o、 b 的 面积怎么求的啊？方法比较多，我们可以利用它是等腰直角三角形，求出它的直角边 a、 o 啊，是勾号啊，去求面积，这是一种方法， 当然我们也可以走慢啊，我们也可以选择利用正方形的面积的四分之一去求啊，也是可以的啊，方法比较多，我们也可以选择用四分之一的大正方形的面积， a、 b、 c、 d。 大 正方形面积边长至到了十二，那就面积是二乘二，得到了是一，所以答案出来了，它的面积为一， 在测距板我们注意了，下次遇到这种对角线中，再给两条垂线的话，或得到交点做垂线的话啊，那它就会得正两组全等。我们前面通过立体一啊证明出了一些结论， 对于一个正八形，如果我们呢，把对角线做出来的焦点是 o， 那 过 o 点做两条垂线啊， o m 和 o n 垂直关系的话，那就会得到以下的结论啊，第一， o m a 全等于太阳形 o b f 啊， o m e 全对，它叫 o b f， 这是我们通过立体我们得证的，以及 o b， e 会全对太阳形 o c， f 啊，它证明过程我们在复习一下， 由于正方形的对角线的特点啊，这是四十五度角啊，对角线，这都四十五度角啊，所以我们可以轻易得到一直角相等， 以及这半年的特点，他的 o a， o b， o c 这三条边都会互相相等，那又会得到一条边相等。还有呢，利用他两个九十度角，我们可以指出 角一跟角三是相等的，以及角二跟角四相等，利用我们的角度关系去证明，所以通过 a s a 就 能证明两个全等了。好，这是我们第一个结论。 第二个，由于全等，我们还能推导出来， o e、 f 会是等腰直角三角形，这怎么证明呢？ 题目告诉我们它是九十度，那所以它至少是个直角，我们只要证明出任意一组全等之后，由于全等就可以推出来， o e 会等于 o f 啊，全等对应边相等，那么等腰加直角，它就是等腰直角三角形，所以第二个也得这么 啊。第三个就是我们前面例题一提到的三角形 a、 o b 和三角形 b、 o、 c， 它的都会等于正方形面积的乘以之一，它就会等于中间这个 b、 e、 o、 f 这个四边形的面积。 b f、 o 这个四边形面积啊， 原因是我们可以把其中一个这上去的面积转移到这里来，那你转移过来是不是就变成了 o、 b、 c 了啊？或者你也可以选择把 obf 这个面积转移上来，那挪下来之后呢，就变成 a、 o、 b 了，所以这么去转换，实际上要求这四边形面积，它就会是正方形的什么之一啊，这也是非常好用的知识点。 第四个， b e 加 b f 会等于 a e 加 c f 啊，这里我们来看一下 b e 加 b f 会等于 a e 加 c f 啊，这里就利用到我们也是说前面的全等了，由于全等我们还可以得到啊，由于学的我们可以得到 a e 会等于 b f 以及 b e 会等于 c f 啊，利用前面的两个弦的对应面相等，所以自然这两条边就可以转移出去了啊，那转移出去有什么好处呢 啊？我们全面选择一组来做来看啊，如果我们选择是 b e 加 b f 啊，我们转移其中一组是不是就变成了 b f c 加 b f， 它是什么？它是不是好是 bc？ 你 说我们这两条线呢？之合刚好是一条正方形的边长，正方形边长和这个 o a o b o c 有 什么关系？它这个等腰直角角形，它要符合一比一比根号二的关系， 所以这条边长会是对角线一半啊，一半的对角线的根号二倍，所以它都会等于根号二倍的。 o a 也会等于 o b 也会等于 o c 啊， 这么来的第四个啊，第五个，我们再来看一下 a e 的 平方加 c f 的 平方这种半，它也是利用我们前面提到这个转换啊，也是提到这种变换过程， a e 会等于 b f， c f 会等于 b e， 最后把两边的转引进来了， 然后再利用中间就这样的是一个直角三角形勾股定律，所以就得到了直角的边的平方和会等于斜边平方 e f 的 平方 啊。然后我们前面的第二点也提到了 o e f 会是一个等腰直角三角形，那既然是等腰直角三角形，它要满足的吗？满足一比一比较好啊，它的边长关系一比一比较好， 但 e f 的 平方平方之比是不是二比一比一啊？所以 e f 的 平方就会是 o e 这条直角边的点倍，也会是 o f 平方的点倍 啊。所以我们下次遇到这种正方形中间带有一个直角的话，这种属于叫正方形风车模型，像风车一样转动的情况。好，我们就可以去首先抓住第一个正全，等有全等之后，你就可以逐步推出以下这些结论 啊。学会这个分寸模型，我们来做一个例题巩固一下。我们前面学会了分寸模型的几个结论，我们来看例题三，可以来应用上入出 正码点对角线 a c 和 b d 会交于点 o， 以 o 引出的两条垂线 o n 不 o n 分 别交 e f 点啊，因此 o e 和 o f 是 垂直关系的。 求证 o e 等于 o f。 第一题，第二题，如果正方形的边长为四，求 e f 的 最小值。好，同学们先来思考一下这道题该怎么去解决 o e 等于 o f， 其实其题目中要求 o e 和 o f， 我 们只要是干嘛是只要去证其中一组全等就好了，这里很明显有两组全等供我们选择。第二题要去求 e f 的 最小值，思考一下 e f 的 最小值该如何去转换呢？ 好，节后我们前面所学的结论你可以去思考，大家花点时间按下暂停键作答。请暂停， 我们一起来看例题三，如图正方形啊，它告诉我们的一些信息，以及 o e 垂直于 o f， 让我们去求证 o e 和 o f 相等，那这个时候我们先找出全等，比如我们可以先去证 o e， a 和 obf 这两组相交成的题目中各以及有什么信息呢？由于正方形可以在四十五度角啊，两个四十五度角，它相等了，和 o a 和 o b 相等， 所以我们大家再找一组就够了，我们就利用中间这个两个九十度去做文章啊，我们给它标一角一，角二和角三。好，我们一起来写一下这好，第一题在正方形 a、 b、 c、 d 中啊，这方 c 中有非常多信息，有角 o a、 b 会等于角， o b、 c 等于四十五度，四十五角。还有呢， o a 会跟 o b 相等啊， 这些吸引都可以用上，以及还要怎么还有角 a、 o b 会等于九十度，这些都可以用上，所以我们可以知道了，角一加角二就会等于九十度。题目又告诉我们， 又因为题目告诉我们角二加角三也等于九十度，所以等量再换一下啊，角一跟角三同角，它们的与角会相等，角一跟角三就相等了，那我们就可以直接证明出全等，所以三角形 a、 e、 o。 好 在三角形 a、 e、 o 和三角形 b、 f、 o 中，我们去证明全等 第一组啊，两个角相等，角 o a， b 等于角 o b c。 第二个边相等 a 等于 o b， 第三个角相等，角一等于角三，我们就证明出来了，三角形 a、 e、 o 全等于三角形 b f、 o 用的判定力 a s a 全对完之后就可以得到啊，由于全对，所以 o e 等于 o f 对 应边相等啊。这是第一小问，我们就得到 o e 和 o f 相等了。我们再来看第二小问，第二小问要求的是边长 为四 e f 的 最小值，它告诉我们正方形面长呢？求 e f， 我 们要先去想一下它 e、 f 可以 怎么转换？ 那那 e、 f 的 转化方式非常多啊，我们也可以去选择去找中间这个 o e、 f。 这个三角形 o， e、 f 的 三角形是什么？是不等腰直角三角形啊，因为 o e 和 o f 相等，又有直角， 所以此时等于幺直角三角形有什么特点？边长是一比一，比根号二，也说此时的 e f 会等于根号二倍的 o e。 但我发现了要求 e f 的 最小值。实际求。什么是实际求？是 o e 的 最小值啊， 就转换，我们把 e、 f 都转换出去了， o e。 记好字，怎么求？那很简单，一个点 o 是 定点， e 呢？ e 是 一个动点，我们并不知道 e 的 具体位置，所以当 e 怎么样 是垂线断的时候，最短，对点到直线，垂线到最短。当我们的 e 点刚好 让我们的 o e 垂直于 a b， 也就是它这角是 a b 的 中点的时候啊，这个位置的时候啊，一撇点的时候它会学到，所以 o e 的 这角我们也可以求了，边长为四，那这里也是个等腰直角，所以一半就是二啊。 当啊一撇 e 在 a b 中点的时候，是 o e 取最小值， 那我们来算一下这个 o e 的 最小值啊啊，只是因为 e 是 中点，所以 a e 也会等于啊， 二分之一的 ab 等于二，且 o e 会等于 a e 等下直角也等于二，那我们知道了 e f 的 最小值，也就能求了 e f 的 最小值，那么小值等于根号二倍的 o e 的 最小值， 再进来根号二乘上二也得是二根号啊，我们就得到了 e f 的 最小值符号二。 所以同学们好，我们遇到了分寸模型，所熟知的就是它可以证明两组全等，这是我们一个基础逻辑，证明出两组全等之后，我们证明一组，再根据证明的全等得到的信利息，你再继续往下推倒就可 啊。如果遇到这种 e f 求一个线段的最小值，我们不好求的话，我们不妨去转换，对了，你转换成别的线段去求对值，比如你可以转换 o e， 你 去求对值也是没问题的啊。 以上呢，就是例题三的讲解过程，大家核对完毕后，我们继续来学习。好，我们前面讲了分车模型的一个应用，现在我们来看一下对角互补模型。 对角互补模型指的是有一组对角啊，在市面京东有九对角，它加起来是一百八。那么第一种参考的是两个九十度角的对角互补模型啊，已知两个九十度角以及一条边， a， d 和 d c 相等。 首先要这样模型我们可以去做辅助线去构造出啊，一些特殊的图形，我们可以第一种方法，我们可以过点 d 做 d， e 吹去 b， c 啊， d， f 垂直于 a、 b 做两条垂线啊，这是我们的做辅助方法，做垂线，做完垂线，你会发现这里的直角，直角，直角跟我们的三个直角已经就可以证明了四边形 d， e， b， f 是 一个矩形嘛啊， 其次，我们还能证明第四个角也是直角啊，还有呢，我们做完全验之后呢，可以去证明两个三角形全等。哪两个？我们的 a， d， f 和 c， d， e 这两三角形会全等啊，这张全等怎么去等呢？我们快速推导一下 一条边啊， a、 d 边和 d、 c 边，题目给了一条边相等啊，以及我们做的垂直之后，得到了一九角九十度相等。还有呢，观察上面这个区域啊，我们把这三亚上面的区域给它标下角一角二和角三， 这里角一加角二等于九十度，角二加角三也等于九十度，所以我们可以快速推导出来角一等于角三啊，是呢，就得到新的一角相等了，那就可以用 a、 a、 s 去证明全等啊， 通过这样的方法，我们证明出全等之后呢，可以得到一些 b a 相等的关系啊，比如我们可以得到 啊， d、 f 会等于 d、 e， 它会得到 f， a 等于 e、 c， 得到一些边的关系，得到边的关系，我们就可以尽可能去证明全四边形是正方形，因为我们提到了它有三个角是直角， 它就能说明它是矩形了。其实呢，矩形要证明正方形，我再加上一组零边相等， 所以就证明出正方形了， 这个时候让我们发现它，通过证明出啊，三个直角得到矩形，再利用我们刚才正比全的得到了一组菱边相的推出，这正是个正方形。 推出这方系以后，我们还可以得到一些结论，进而找到一些结论。比如第一个 b、 d 会平分角 abc 啊，因为正方形它的对角线 b、 d 就 会平分这个对角，且它平分后两个的四十五度。第二， ab 加 bc 会等于根号二倍的 b d， a b 加 b c， 我 们来看这种慢呢，怎么追倒呢？ a b 加上 b c， 学到 b c 是 不是看过 e c 加上 b e 两段啊？啊，对不对？而 e、 c 跟谁相等啊？ e c 跟 fa 是 相等关系，我们前面 从全等证明出来的，所以实际上都可以变成 b f 加上 b e 啊，也就是可以得到正方弦两条边长 和我们的对角线的关系。我们知道正方形的边长这条线什么关系啊？我们对角线会是边长的根号二倍啊，但是我是两个啊，两边边长，所以它就会等于根号二倍的对角线啊， 两边边照等于根号二倍的对角线，二次根号的根号倍吧，嗯，所以第二个头正了。 第三个，我们还有能知道原始的这四面形 a、 b、 c、 d， 它的面积可以怎么去有？它会刚好是 b、 d 的 平方的一半啊， b、 d 平方一半，这怎么得到呢？其还简单啊，我们通过面积去转换，实际上这个面积就会等于正方形 啊，它的面积就会跟我们正方形 e d 啊， e d， f b 这个面积是相等的啊，正方形面积可以怎么求啊？ 对角线平方的一半啊，这是一种方法，你也可以选择用边长的平方去求啊，也可以用对角线平方的一半去求这个面积，所以我们就得正了啊， 所以对于九十度、九十度这两种对角互补薄型，我们记住你可以去做垂线去变形啊，去证明权的，去证明正方形，还可以得到一些特定的结论 啊。我们前面讲到了，如果是两个九十度对角互补这种情况啊，我们可以去做垂线，我们再来看一下，还有个参考的就是一个角是一百二十度，另外一个角是六十度的 对角互补啊，这两个角是对角互补的题目。可以告诉我们边相等的信息，也可能会告诉我们平分的信息啊，如果告诉我们平分的信息的话，我们也可以是这么做，去辅助线， 它告诉我们 b d 会平分角， abc 也做，此时这左右两边角是相等的关系，那平分了 好，遇到这样的题型呢，我们该怎么去择这一些条件呢？一样的，做辅助线，过地点做垂线啊，做两边做垂线啊， 可以垂直于 d e， 也可以垂直于 d f 啊， d f 和 d e 都分别垂直于这两条边啊。做垂线的目的其实也是为了进一步去构造全等， 我们首先可以先去证明 b d f 和 b d e 啊，这两个场应全等，我们先证这两个啊。 如果是角平分线告诉我们这平分线的话，我们优先证这两个。为什么？因为它给了一组角平分线啊，一组角箱的，还有一组公物边，以及一个九十度，我们自己勾到垂直九十度是直接就可以证明它全的啊， a s 直接证明全等，证明全等的目的是为了推出一些信息，比如我们可以推出 df 等于 d e， 推出一边的信息 啊为还有呢，我们的 b f 等于 b e 推出边的信息，帮助我们去证第二个全等。第二个全等哪呢？就是我们这 e 的 这两个全等啊， a d f 和 c d e， 那 这两个线段怎么证明呢？我们来看一下，第二组线段中，其实一个直角有了起步杆，得到了 d f 和 d e 相等呢？一条边有了一角，一边再找一个， 找什么呢？再找角，为什么题目中告诉我们对角互补，我们要利用好这个信息再去占一个角相等，我们来看呢？前面呢是告诉我们 a、 d、 c 是 六十度，接下来我们看由于全等之后啊，我们再来观察我们新构造出来的这个四边形 啊， d e b f 这是一百二十度角，有两个九十度角，九十度角，所以它射角角是多少呢？是四边形的内角，分是三百六十度，我们发现它的对角也是六十度，那我们就知道了，角 d f e 啊， f d e， 角 f d e， 它会等于角 a， d c 都等于六十度。我们就在这里找到了一组啊相等的角，再利用我们非常常见的转换条件啊，我们标一下， 这是角一，这个大的是角二，边在角三，我们在利用非常常见的条件，角一加角二等于六十度啊，对了，角三加角二等于六十度，所以什么？所以角一等于角三， 非常常用的一个套路证明啊，证明出角一和角叉相等了，就可以得证了啊，一样，这里用到的是 a s a 啊，去证明判定， 所以我们依次可以把两个三角形全等都给它证明完了，证明出这些全等之后，就可以尽可能去得到一些结论呢。比如第一个，由于全等 a、 d 或 c、 d 相等，这是我们通过全等就可以直接得到 a、 d 等于 c、 d 的。 第二个， ab 加 bc 会等于 b、 d 啊，原来的这两条边将加会等于中间这一条，这怎么来的呢？我们来观察啊， ab 加 bc， 此时我们观察 bc 是 不是跟我们的 fa 相等啊， 所以我们把这样挪过来， ab 加 bc， 它本身就会等于什么？是不是等于 b、 f 加上 b、 e 啊？那我们再来看 b、 f 和 b、 e 有 什么关系？我们找到这个这右边这一个来看，因为它是全等式，我们只要找一个来看的号 角平分键，这是九十度，这是三十度，所以我们就知道了它的个比值关系是一比根套三比二呀。 b、 e 是 一份， b、 d 是 两份。好，所以其中 b、 e 是 等于二分之一的 b、 d， 而 b、 f 也等于二分之一的 b、 d， 但两个二分之加起来是刚好是等于 b、 d 就 得证啊。我们可以先细写列啊，它都等于二分之一的 b、 d， 所以 两个二分之一 b、 d， 它就等于 b、 d 啊，就证明出来了。好，我们再来看第三小题，面积 要在原来的四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，它会发现它会等于四分之根号三倍的 b、 d 的 平方啊， 但这位置的平方就比较多了。首先我们来观察一下这个四边形面积可以转换成什么，是由于挪过来，我们把这右边的 d、 e、 c 这个黑色的挪到左边这个灰色的部分过来，挪过来之后呢，这个面积就变成了啊，四边形。 新的四面形 d、 f、 b 是 不跟我们前面一种九十度流的很相像嘛？对了，那此时要证它的面积，其实就可以看作两个三角形 d、 e、 b 的 面积，所以越大的四面形就可以看作两个小的 d、 e、 b 的 面积。我们只要知道 d、 e、 m 面积就好了， 那面积怎么求？是不是等于二分之一底层高呀？ b、 e 乘上底底层高，其中我们如果要都转化为 b、 d 来看的话，来注意前面两个二乘二分之一正好抵消掉了。 b、 e 可以 看作什么？ b、 e 可以 看作二分之一的 b、 d， 而 d、 e 呢，是可以看作二分之根号三的 b、 d 共什么比之关系，所以一层就是四分之根号三 b、 d 的 平方，我们就得证这个结论嘛。 啊，所以发现这个四面形，只要这角互补，它们跟这个 b、 d 线段就非常有关系了啊，线段有关，面积也有关系。 以上呢，就是两种对角互补的情况，两个九十度或一个六十度，一个一百二的情况。他题目通常会附加一个条件，比如告诉我们边相等，或是告诉我们一个角是平分的关系，我们都可以得到这些证明过程啊，学会了这个对角互补，我们来做一下例题， 我们来看例题二，怎么去做。 在四边形 a、 b、 c 之中， d、 a 等于 d、 c 给我们一组边相等了好，还告诉我们角 d、 a、 b 会跟这个角 c 合起来是一百八十度，以及 d、 e 垂直于 b、 c 和几个边的关系。让我们求 a、 b 的 长度，所以我们要思考一下 a、 b 的 长度，这样式的斜的线段，它跟我们已知的这两个线段没有太大关系，所以你没法直接求我们得想办法去转换。 出现了对角互补，又出现接边相等，那这个时候就要考虑去做辅助键勾到全档了啊，既然他已经给我们做出来了一条 d、 e 垂直于 b、 c， 我 们可以过地点向 ab 再做一条垂线啊，我们可以做一条 df 去垂直 ab， 好，这样我们就可以去证明了这两个占线全的，然后你再看看如何去推导出 ab 的 长度。好，同学们请按下暂停键思考作答，请暂停。 好，我们来看例题哦，我们先交代一下这个辅助线的做法啊啊， 这第一个啊，复原做法，过点 d 做 d， f 垂直于 a、 b， 然后交 b a 的 延长线与点 f。 我 们先交代一下辅助线是怎么做的，做完辅助线，我们去可以思考一下如何去证明这两三角形的啊，逻辑的明， 首先垂直是一条了啊，题目给的边也是一个，还差一个，还差一个条件，题目给了我们互补的关系，要用上这个是提供我们角度关系了，角 d a、 b 跟角 c 互补有什么用呢？ 我们观察到它俩夹台是一百八十度，角 d、 a、 b 跟他旁边这个角什么关系？我们标一下它的角一，别人的角 a。 对 了，所以我们就可以去证明了 啊，因为角一加角二是等于一百八十度，零，不要互补啊，而且呢，角二加角 c， 题目给的也是一百八十度，那么我们可以知道同角的补角相等，角一等于角 c。 接下来可以直列证明结论了，在三角形 d、 f、 a 和三角形 d、 e、 c 中，我们罗列信息好，角一等于角 c 一个条件 啊，我们先罗列直角吧，那角 f 等于角 d e、 c。 角一等于角 c， 再来调边 d a 等于 d c， 所以 直接是正方形 d、 f a， 它就证明出全等了。 e、 c 用到了判定定理啊， a s 证明学的目的在哪里？目的为了边角转换，此时我们就可以得到了 d、 f 会等于 d， e 是一角边相等了，以及这个 fa 和 ec 也相等了。 fa 会等于 ec 好， ec 怎么去求啊？请不告诉我们。 b 是 三， bc 是 五，那 ec 是 二了。对了，它可以用 bc 减去 be 得到二，所以 ec 是 二的同时 fa 也是二了，我们就成功把一些边的信息转移到左边来了。那题目还要我们去求 b a， 但我现在只知道 fa 怎么求 b a 啊？ 是我希望把 b、 f 也求出来，因为如果我知道 b、 f 的 长度扣掉 fa 就是 ab 的 长度，那至少去思考该怎么办。 我们可以先去观察 b、 f 会跟谁是有关系的， b、 f 是 不是会跟这个 b、 e 有 关系啊？哦， 所以此时我们可以去连接 b、 d 去证券的去得到这个 b、 f 的 信息。我连接 b、 d， 约连接完 b、 d 这个三角形 b、 d、 f 和 b、 d、 e 是 就全等了，我们可以去证明了啊，可以直接证了。 注意了，这里用到判定定点。注意了，斜边公共边相等，直角边前面得正了，全的还有个直角，它用到什么？用到了 h l， 所以 注意在用 h、 l 的 时候，我们要怎么去写判定定理？在 r t 三角形。注意了， r、 t 要带上在直角三角形 b、 d、 f 和另外一个直角三角形 b e， d、 e 中。好，阿力加减。我们只需要罗列两个信息，因为直角是已经固定，有这我们直角列直角边对应相等的，以及斜边对应相等的就好， 就能够证明出两个直角三角形是全等的关系。 用了 h l 好， 旋到完之后我们就知道了， b f 会等于 b e 等于三，那么 ab 的 长度也就做出来了， ab 就是 等于 b f 减去 fa 等于 e。 好， 以上呢，就是立体二的一个证明过程啊，大家可以核对完毕后，我们继续来学习。 我们前面学了对角互补模型啊，现在呢，我们来看一下正方形的十字架模型。在正方形中，如果有两条线段是相互垂直的关系，我们可以证明这两条线段它会相等啊，可知它们相等， 怎么去证明呢？要这段线段相等，可以先去这三角形全等，我们找两个三角形，且 b、 f、 a、 e 都是它的一组对应边，那就是三角形 a d， e 和 b a、 f 这两组， 我们利用正方形的列性质，直角啊，一个角相等了，还有呢边长关系 a b 和 a d 相等，那再结合我们前面题目中给的一个垂直之我，再找一个角就能证明了。 好，由于这里出现三个直角，那必然会出现两两相加，会是九十度的关系。我们比如说找这一组角一，角二，还有角三，我们可以找这一组角一加小二是等于九十度啊，角一加角针呢，也等于九十度， 所以角二等于角三，我们就推导出一直角相等啊，当我们题目中出现多个直角时候，我们就可以去寻找这样的关系，得正两角相等，那我们证明全等之后呢，也就可以得到 a e 等于 b f 了。 那我们再看一下，如果这里还有直线，它不过这个顶点更加一般的情况在中间，我们能不能得到相同的结论， 等于 g h 呢啊，也是可以的，我们还是要通过三角形全等去证。但由于我们现在观察到它并没有三角形出现，所以我们可以去做一个弧度线啊，我们过 f 点做垂直，过 h 点做垂直，我们这样子做两条垂直线之后呢 圈的苍蝇找到了，哎，对了， e、 n， f 和 g m h 等一圈的，我们可以去正它们两圈的。怎么证明呢？思路跟我们前面是一样的，首先有一个九十度直角，其次呢，由于正方形的边长是一样的啊，所以 n f 会等于 h m 啊，蒸发器边长一样，这个 n f 会等于 b c 啊， h m 等于 dc， 所以 它们也会相等。再我也掌握一个角度关系了，这里出现了一个直角，两个直角，三个直角。出现多个直角的时候，我们还是会去利用 两两相加等于九十多种方法去折正啊。比如我们标记一下，这里是角一啊，那这里是角二，这角三， 我先来观察角一加，角二怎么九十度，对了，那角一加的也等于九十度，所以我们都推导出来了，角二跟角三什么关系啊？是等于相等的关系，好 角二角三的油耗，角三是三角形的一个内角，而角二还不是。我们发现底下这个角跟角有什么关系啊？是平行同位角相等啊，所以我们角二还可以转化为角四比角三嘛，就没有得正一组角相等了，也就可以证明它是全能了。 所以发现证明的只要出现多个直角的时候，我们一定去寻找这种两两相加九十度的关系，去寻找一些角度相等啊，证明线了之后，也就能得这两条直线，两条线段是相等关系。 学会了十字架模型啊，我们来看看例题 三二一，我们前面学过了十字加模型之后，我们来看一下例题四，这道题在正反并中啊，它告诉我们 b 一 边会等于 d， f 啊， b 等于 d， f 以及 a n 会垂直于这个啊， e f 写 b， e 是 五，那这里的图虽然不是很像，那我们知道这两段的数好， c， n 等于八，这一段是八要依据的弹住， 所以要着重依据。我们发现很多的图上很多的边弹细线我们还是不知道的，所以我们要先去推导一下。 对了，其实题目中 g e 很 有特别啊，我们要求 g e， 其实如果能把 a n 求出来也是可以的，因为实质第二模型，我们知道 g e 和 a n 是 相等的关系，所以求 a n， 那 我只要看哪一条边能求出来。好， 这里的话，我们还是需要去做一些辅助线才能解决这道题的。姐，我们做辅助线怎么去思路构造呢？我们观得到这个 b， e 和 f d 是 相等的，题目给了我们一些相等的边， 加上这个 a d 跟我们的 ab 数也是相等的，还有直角，所以我们只需要把 a， e 和 a b 数也是相等的，还有直角，所以我们只需要把 a， e 和 a f 一 连，就已经直接能够出现全等三角形了 啊，所以我们可以把 a e 跟 a f 连起来，直接出全等啊，出完全等就会得到别的信息，可以继续再推导啊。来，同学们可以暂停思考一下这道题啊，请作答，请暂停！ 好，我们一起来看例题四，前面我们分析到了题目点的信息， b e 和 f d 相等，我们只要连接 a f， a e 跟 a f， 我 们可以轻松证明出来，三角形 a b e 会乘等于三角形 a d f。 好， 我们可以利用 s s 来判定，证明全等完之后就可以得到 a e 等于 a f， 我 们可以得到这两条边是相等的关系，那么这正方形就是一个等腰三角形了。好， 题目来告诉我们，中间有个垂直等腰三角形，三角合一，它既然是垂直，那它也会是中线，也会是角平分线，所以此时 am 五就会是 ef 的 中垂线啊。 am 五是 e f 的 中垂线，中垂线有什么用嘛？中垂线，它的点到线到两端点的距离相等，那我们也转过来看一下，是 n 点，刚好也是在这条中垂线上，那它的两段是什么呢？一端是 f n 这一段，一端是 f n， 还有一段呢，我们要去连跟什么，还需要把 e n 连起来，我们把 e n 也让它连起来。 好，所以这两道它都会相等了啊， f n 跟 e n 这两道会相等，那么相等之后呢，我们的观察这里出现了我们之前见过的啊，成雷劈模型，看到没有？雷劈模型长这样子好，雷劈模型， 遇到雷劈模型，我们可以设未知数，利用勾股定律去求出它的边长啊。这个时候呢，我们就可以设未知数了，比如我们可以设 d n 为 x 啊，因为此时 d n 是 不知道的，所以 d n 可以 用 x 来表示。那接下来由于 f n 是 等于 e n 的 好，所以 e n 可以 表示什么？那 x 加五，那因为这里面是五加 x， 所以 e n 就是 x 加五了，我们表示出来了。 既然我们还要去表示 e、 c， e、 c 怎么办？我们先把正方形的边长表示出来，正方形边长 d， c 可以 用八加 x 来表示 啊，那它还会等于我们的 b、 c， 所以 剩下的 e、 c 怎么办呢？就是八加 x 等段式八加 x 减去的五，得到三加 x， 所以我们就知道了， e、 c 可用三加 x 来表示，也做 x 加三来表示。那么利用三角形 e、 c， n 是 个直角三角形勾股定律，我们就能求出 x 具体的值了啊。我们列个式子，勾股定律，两直角边的平方和会等于斜边的平方， 记住可以得到 x 等于十二。你说我们求出来了， d， n 的 长度是十二，边长也能求了，边长 d， c 就是 八加十二就是二十啊，我们这样求出来了， d， n 是 十二， d， n 是 十二，我们用换一个颜色笔来标是，标注一下 d， n 是 十二就出来了，而且边长是二十， a， d 是 不是也是这样边长啊，所以 a、 d 也是二十。那么观察这里，在新的一个特写区 a、 n、 d 中， 我的两个直角边都求出来了，斜边是不就能求了？用勾股定律求出 a、 n 是 就可以求出 e， 所以 我们接下来要把我们的斜边求出来。 a、 n 会等于根号下黑地的平方，加上 d， n 的 平方代进来也是根号下十二的平方加二十的平方开根号得到四根号三十四， 因为 e g 会等于 a n， 所以 它也等于四根号三十四，我们就求 啊，就同学们这道题的最大不等式相对会复杂一些，其主要抓住的就是十字架模型要求 e g， 我 们可以六十字架结论去求 a n 就 够了。 其次，遇到了一些线段相的，我们要学会构造辅助线，去构造一些全的以及用到我们之前所学的知识，比如钟垂线的性质啊，别勾股定力去设位之处求出它的一个边长 啊，这都是我们要结合之前所学的知识去解决问题。同学们，我们这节课皮筋线的综合模型呢，三种模型啊，第一，对角互补模型，正方形风车模型以及十字架模型 啊。对于对角互补围形来说，我们就要注意了，我们可以去过顶点做两条垂线去构造权的啊，我们可以构造第一组小权的 啊，二组，其实这个大的权的也是能证明的大权的啊，证明这两个权的之后，就有更多的信息去得到别的解闷了。同样的，如果他告诉我们呢，是 长着一百二十度和六十度直角啊，六十度对角互补一样的，我们过这个地点做垂线，也是能证明第一组小的权的 以及第二组大权的啊，一小一大，记住，对角互补模型做完垂线之后呢，一小一大权的，我们可以抓住它去证明啊，以及后面会衍生出其他结构。 第二个，对于正方形风车模型来说，我们也是抓住这个权的啊，两个权的可以证明啊，一组权的啊，一个还有第二的权的 啊，这两组权权的完之后，剩下就可以推导出隐其他的条件嘛啊， 第三十字架模型也是抓住全等啊，抓住全等 a b f 和 a d 这组全等去推导啊，如果是第二种奇幻呢？我们记住啊，可以做辅助线啊，你可以这样做辅助线啊，做两条垂线就可以了啊，就会产生两个全等太阳系，也许这 证明线段之后呢，就可以得到这两组线段会相等的关系以及其他的隐身条件。所以实际上我们在记用模型的时候，你还要学会他的推导过程，知道我们模型最重要的第一步该去找什么，这样的话，我们可以以此为基础去推导出其他的结论。 以下呢就是本节课的全部内容，大家课后呢回去记得及时复习巩固啊，拜拜。

看下这个第十题啊，这个题非常好啊，非常好。呃，那么来一起分析一下这道题。说实话，如果他前面没有给你这些提示的方法的话，上来就让你证明，我告诉你这个题第一问你可能都不会做 好在这个数人把它改编之后呢，这道题已经告诉你每一步的切入思路，它其实还好一点了， 我们当时讲这道题的时候是连切入思路都没有了，直接让大家去做的啊，我们来试试看看一下这道题讲的是什么内容啊？好，那么，呃，有一个正方形，有一个正方形啊，边长是三条件先看啊，边长是三点 e 来 射线，有没有？看到这个题难点就是射线了，既然射线就一定在线段和延长线是不是都是可以的，对不对？好，继续看。还有一个角 a e f， 我 直接做的就是九十交外角角平分线于点 f， 所以它本质是这样的，就是比如说来了一个动点，我夸我先做九十，但是至于我在哪我不清楚，我在这边是不是又做了一个角平分线，是，我两条线是不是交于 f 了？ 听懂这个思路了吗？是不是它想让你求证一下这个 a e 跟 e f 相等吗？大部分同学如果没有提示的情况下，你的思路都是会考虑到是不是要用 k 字型去做， 你是不是会这样来想，那我们来想一个问题，如果这道题今年改编之后没有提示的话，我直接想让你证明他俩相等，你肯定想，哎，我要做一下垂直，我能挣出来他俩全等就好了。但是你发现一个问题，这两个三角形想挣全等，没有一条边可以挣相等 这个通篇里面是不是没有提到谁等于谁这个条件？你挣全等最起码是不得需要边长相等。听懂意思了啊，所以他没有，他什么都没有，所以你这样是挣不出来的，我们当时模拟过这个过程的，他是挣不出来的。 那你看，你如果这样去正他全等，相当于我本身这个三角形，还有这个三角形是不是在这？我如果这样做相当于是不是把小三角形是补大了，我是不是用了补的思想？那么补不行的情况下，你能不能想到我是不是还有割的方法？我能不能将这个三角形裁一个小的下来，让我跟他全等呀？ 听懂了没？是不是所以想证他俩全等用的什么方法呢？哎，他还先取了一个特殊的例子，我们来看一下，当点 e 是 bc 的 终点的时候， 如果我是终点，想证裁一下他俩全等，是不是至少要保证一条边是不得先相等？想要保证可以啊，那肯定咱俩相等，所以我只需要裁这边中点是不是就相等？所以做全等的本质是一定要保证至少有一条边相等的才可以， 所以我先保证我俩相等，那么我俩相等之后来有一条边准备好了，那他说，哎，但是他说无需证明啊，我们，但是我们把它正一下，我们把它正一下啊，这两条边一旦相等了，那看好不好正确的呢？ 现在边倒准备好，角没了，哎，到时这里有个特殊的角是不是一百三十五，你告诉我这个角是不是一百三十五？ 因为这两条边什么关系？这个点的切入点其实就在这了，因为是正方形，我俩一样的话我裁完之后我剩下的是不是也会一样？所以这道题难点其实在这了，知道吧？哎，所以咱们这两个小短边形呢？所以我也是等腰直角，所以旁边是不是就是一百三十五了？ 有一个角，但是到底难点右手边还差一个角呢。我说还差一个角，你不能干的呀，你是个而法呀，倒是你这而法来开始转移了。我这是不是九十减而法，你说我这个角是不是而法 能不能正确的可以正，所以用这个思路来开始类比了。那第一问，当然他探求不让你正第一问从这里才正式开始。如果这个点意不是终点了呢？ 我们来试试看啊。如果不是终点我们的本质是不是还是要裁这一段？是不是等于，是不是要等于这段？那我这个应该往下边来点是不是应该裁这段？是不是等于这段？是不是？所以本质就在于我要先保证我的边相等。它用的什么字母？用的 h。 我 也用 h 啊。 所以是不是裁的时候就让这两段相等？有没有听懂我意思是不是我要确保选等是不是要让他俩相等？那你俩相等来开始推角了啊。好，我顺便这两小段是不是就相等了？ 那我俩相等我就会有四十五，那我旁边就会有一百三十五，那我当然也是一百三十五。那我还是 r 法呢，那我还是九十减 r 法呢。我是不是还是 r 法呢？ 跟刚有区别吗？没有任何区别，听懂了没？是不是。哎，思路一模一样，只不过它的辅助线要想明白了，辅助线你只需要截取 a h 等于这个 e c 就 可以了。 听懂了啊，好，然后我们继续来看，继续探讨了啊，因为它毕竟现在是不是还只在线段上，它接下来肯定要考你是不是在延长线的时候了，是不是？好，所以来接下来啊，他问 a e， 那 你整晚全等，你 a e 肯定是等于 e f 了嘛，是不是？ 好，然后继续来看一下，下一问啊，好，那么如图三所示。第二问了啊，如果点一变成延长线呢？那一样，那你想你都在延长线，我要相等的话，我是不是也得在延长线上？ 听懂意思吧，你看，都类比的都是这样发散性的，你看啊，这个点发散是不是这段等于这段，这小段是不是等于这小段是不是都这样来的，是不是？好，所以我们来看，我们要找那个 h b e 要等于 b h 啊，那你 b e 在 这，我 b h 肯定要在这个位置， 会不会类比，是不是？所以我也得在延长线上，我开始类比了，我还是用 h， 为了保持统一性。听懂了啊，那紧接着我 h 找到之后，等会他连了什么？他连到 h e， 那 我也连 h e， 我 也连这段，那么连完之后，他紧接着全等，是不是就是这个三角形是不是和这个细长条的三角形是不是要全等了？那来试试看，因为我做的时候就是这一小段是不是相等了，那么再来看， 刚刚还使用了当他俩也相等，是不是这两个长的是不是就相等了？就会导致我这里是不是会有个四十五出现了？我这次没有一百三十五，但是我有四十五也倒是可以啊。哎，我这个角等于四十五， 那我这个角是不是也等于四十五？所以我们这两个三角形是不是有一个角，还有一个边是不是都相等了？来，继续找，那我还可以设 r， 我， 但是我就不设内部了。那旁边是不是就会有一百八减 r？ 那同学们来看，我们刚不都是用直角三角形吗？你是而法，那这个角是不是就是九十减而法？对，九十减而法旁边有个九十，那我们一家是不是还是一百八减而法？听懂了没？是不是，所以啊，这个角也能挣出来，还是一百八减而法的， 所以依旧可以证全等，听懂了没？哎，所以还是可以证全等的啊。哎，方法是一模一样的啊。方法一模一样，所以它的结论是不发生变化的。哎，不发生变化的啊， 能听懂了吧？能听懂啊，来，继续。 好，前两问解决掉了，来第三问，连接 a f， 交 c d 与 i。 请探究一下 b e e i i d 之间的数量关系。 他给了两个备用图，但是我们就不用备用图了。你想想这个题的第三问是不是一定是两种情况的？因为点 e 是 不是可以在延长线，是不是也可以在线段上？所以我就直接就是这两个图来展开了啊。好，那么紧接着他连谁呢？他连 a f， 那 我也连来连 a f， 交 c d 与点 i。 哎，是不是到这是不是连接 e i 好 找哪三个的关系呢？找这段和这段，你有没有看出来我这个三角形？你告诉我是什么三角形？是不是等腰直角？我正它俩相等，我还有九十度， 你没有发现跟半角模型又扯上关系了，所以你看这道题出的多好，是不是出的非常好，我正外四十五直接可以用它了，我又半角又出来了，是不是？好，我四十五度出来之后，我直接因为它这道题好在让我直接写出结论吧，是不是？所以你第三位再写的时候，当 e 在 b c 上时， 你肯定要分情况了吧，是不是？这个时候 e i 就 等于 b e 加上这个 d i 是 id， 是 不是？ 不用我正了吧，绊脚模型都会正吧，是不是？哎，他要真让你正，你也应该会正，就是，哎，也，呃，转过去就行了啊。那么第二种情况，咱们就来看下面这个图了啊。好，下面这个图来连接 a f， 连接 a f， 好 交 c d 这条直线，所以看要把它延长一下了啊。 i 连接 e i 对不对？找什么呢？找 e i 和这个 b e 还有一个 i d 之间的关系，你看啊，这个我又正好要拓展一下我们绊脚模型这个四十五一般是不是来放在内部的，但是这次你发现了，我正方形还在这，但是我的四十五发现没事跑出去了， 他跑出去永远是不是都是旋转，那么这个四十五被裁成两部分，所以你是不是要将这个三角形是不是转九十？ 那你肯定要往这侧去转吧，听懂我意思了，是不是应该这样？他跑出去你是不是给他还回来？是不是？如果在内部就给他转出去，是不是永远都是这样的？听懂我意思了呗，是不是？好，所以大家一定要记住啊，如果绊脚模型 这个四十五跑出去的情况下，我们还是因为这个四十五在内的三角形不是被分成了两部分吗？我们肯定要拿一部分，是不是去旋转了，是不是？所以我们将这一部分其实给它补到这儿就可以了，一定要记住这个了啊。好，所以我们将这个图形如果真要正的话，你就记住了，好在它这道题没有让你正嘛，对不对？ 好，假如说 m 相当于这个 id， 等会儿是不是就跑这儿了， 那么 b 也准备好了， b 也在这，那 id 也在这，看来啊，这个 e i 肯定要跟这段相等，你绊脚是不是还要挣二次全等，你肯定要挣全等了，是不是？很明显我都做出来这条线了，那这个全等不要太清晰啊，这两个大大的三角形，你说好不好挣全等 好正了吧？哎，好，正，因为四十五度环，你还是可以设 r 法那样去转化嘛，你肯定能转。哎，这个角四十五，你能不能挣出来这个四十五，那肯定可以挣出来的，是不是？那我都四十五了，那公共边我这个边还一样，你说跟半角的证明方法有区别吗？ 没有区别，所以我这个 e i 这条边呢，可以转化到这个位置了，这个其实就是 e i， 对 不对？这个是 id， 所以 这么一写的话，你就你第三问，在回答的时候，你就说当这个 e 在 bc 延长线上时， 哎，延长线上的时候啊，这个时候咱们 b 呢，就比较长了，是不是它等于，呃，这个，嗯， b 啊，不是 b 了，是不是 i d 是 不是 i d 加上，呃，这个 e i 啊，是这样的一个形式啊， 能不能听懂？能听懂。其实到这我都觉得这道题已经撑死了，一定要到顶部了，已经很难了， 它还有一问，哈哈，它还有一个空，是不是啊？第四问，当 c e 等于一，那你想想，当 c e 等于可以，这一侧等于是不是也可以？这一侧是不是还是分两种情况？ 建议，我不想画图，所以我就直接还用它这个图了。来，我们依旧从这个形式开来，但是它这个图肯定不准，知道吧？好，那么这种情况来当 c e， 假如说这段等于一， 想求什么呢？想求 e i f 的 面积，想求它的面积，想求这个三角形的面积，这个三角形。你会发现，如果它等于这段是不是二，这段是不是三？ 这个等腰直角三角形是非常明确，那么既然它很明确，我这个高是不是就也很明确？所以看来我是不是只需要把 i f 求出来是不就行了？ 能不能听懂思路，是不是想求 f？ 参考答案给的方法呢？就比较复杂了啊，就是来回在那转化，来回在那转化。其实我们当时上上一节课给大家拓展过这个，想求一段长度，如果很复杂的时候，但是其实我做这道题会比较简单，为什么？ 因为我可以用相似呀，或者我可以用什么别的东西啊？因为想求这个面积，其实刚暗示了，你有没有发现，此时此刻这个三角形，是不是非常确定的一个三角形？想求它的面积，我是不是只要看一下我这一段跟这段的比值是不就行了？ 你们想卖这个问题，想求比值，是不是有相似在里边？有相似来能把这两段放进去的？你这个边已经在这个三角形，所以我是不是只要做个垂直是不就行了？ 是不是？好？因为我就只要做个垂直，也就这道题，我只需要能求出来这段和这段的比值，这道题就全部就结束了。 而且想求 i f， 我 不知道大家会怎么去想啊？如果转化的话，这个题很复杂，其实这道题最简单的方法，我给大家一个思路，你用间隙的法，其实最简单， 有没有回忆起来，这个间隙法我们当时不是讲过这个问题，有没讲对吧？所以这道题为什么要用间隙？我不知道大家没有看到这块，既然这块都等腰直角，为什么没有看到？对呀，想到了没？我说在看到等腰直角三角形，想求一些长度的时候，间隙法其实反而是首选， 记住了啊，哎，所以为什么去年大部分没有人去做这道题的，其实它不复杂，你要真转化，这就是计算量很大，来回去利用全等啊等等，这些转化你可以求出来，这个 f 的 当然是可以求出来的，知道吧？但是你求出为什么大家不做的原因， 数据太大了，但是如果你变成间隙，这道题就变得非常轻松，因为你有 k 字形，同学，你这段是二，你这段是不是五逗号？二，你这个点坐标是不是零逗号？三，你这个表达是，你写不出来吗？ 你这个 i 点坐标，你写的出来不，你必须能写出来，你写出来之后，你 i f， 你 还求不出来吗？这个题变得不要太简单啊， 两步就出来了，是不是很简单？你用参考答案方法，你就很复杂了，知道吧？但是如都间隙了，我这五逗号。二，同学，我这段长一看是二，我这段长一看三，我这俩三角形一看是二比三的关系， 我都二比三了。同学，我这两段是不是二比三的关系？那我更简单的方式我都知道二比三了，我这个三角形面积是不是占了整个的五分之二不就行了吗？ 我是不是更快速了，听懂了没？我建一期的好处就在这，我一旦建完一期，我什么方法都可以用了。听懂了呗，是不是好，所以你如果真想去做的话啊，就是你可以用，我觉得用相似其实也能用，反正是填空题嘛，对不对？反正能算出来都行， 你真不想用，你就把 f 都写出来，两点之间距离公式你还不会用吗？是不是？哎，很好求的啊。好，所以第一种情况，哎，我这个就不再给大家展开计算了，五分之十三， 那么第二种一模一样的方法，你还见信啊，你还见信对不对？哎，我还是见一个坐标系， 我这个大大的 k 还在这呢，我有个大大的等腰直角，我是不是还是可以去 f 的 坐标一写这个坐标完了，这个直线表达式有我这个 i 的 坐标也可以写出来，你说我这段长还写不出来吗？ 能不能写出来？必须能写出来是不是？但是你也可以用相似的方法去比一下是不是都行，是不是？好，所以思路点到位就行了啊，你们回去可以自个算一下，或者是七分之五十啊，所以是两个答案。 那这道题是不是出的也非常好？要我来说，我告诉你我第一问的暗示条件，我都不告诉你，这个题就变得非常难了，你第一问你都做不出来，你信不信？你第一问你做不出来啊？懂吧？其实原本这道题就是没有第一问的，他没有暗示的话会变得更难，这道题懂了吧？他还好有提示，他有提示方法其实好一点，是不是？

八下一共就有两大亚洲难点，一个是依次函数，另外一个就是平行四边形，平行四边形对应这个章节，菱形、矩形、正方形性质判定加起来有二十多条，所以需要孩子足够的熟悉才能够解除这种题目，快速的选出方法来解析。 那有关平行四边形这一章节啊，有关于题目当中常考的这二十三个几何模型和题型，我都给大家做了一个梳理啊， 孩子几何证明题没思路，不会做辅助线的，抓紧时间，孩子可以根据这套题目逐个题型的去进行练习，家长们监督，帮着孩子查缺补漏， 赶紧把孩子整个的几何思维咱们建立起来啊！下面咱们就来看一道平行四边形这一块的经典考题吧。 平行四边形和角平分线结合在一起说 b、 f 在 这平分，然后呢， c、 e 在 这平分，告诉你， ab 等于六， ef 这一段等于二，想要求 bc 的 场平行四边形有什么性质， 叫做对边平行且相等对不对？所以对应这是六，这也是六，这是不是又有平行线，又有角平分线，所以引含了一个角分相等腰成的结论， 这两边小的三角形都是等腰三角形，所以你会发现这是六，那整个这条长度也是六，那这的长度 a、 e 不 就是四了吗？ 同样啊，这是六，那这个角分平等腰乘，这也是六，所以这不也也是四了吗？那整个 bc 的 长度不就等于 a、 d 的 长度等于四加二，再加四也就是等于十了吗？直接秒出答案！

同学们好，上一期视频夏老师给大家留了一道天一试卷填空压轴题，不少同学都做出来了，还提到了刮豆模型。刮豆模型确实是动点问题里的必考题型，今天夏老师就用一分钟时间给大家讲透刮豆模型到底是什么，还不清楚的同学一定要听好了。 刮豆模型简单概括来说就是两点一加角，两点指的是东点，一加角指的是固定角。比如说 a、 p、 q， 这里的 p 和 q 都是动点，这 q 会随着 p 点的运动而运动，那我们就把 p 叫做主动点 q 叫做被动点，这里的角 a 是 一个固定角，不变，那当点 p 运动到这个位置的时候，点 q 大 概运动到这个位置。 那如何确定点 p 和点 q 的 运动轨迹？我们说如果点 p 的 运动轨迹是一条直线，那么点 q 的 运动轨迹也是一条直线。 因为刮豆模型的由来就是种瓜得瓜，种豆得豆，所以 p 点是怎么运动的，那 q 点也是相对应的，怎么运动？那接下来我们就通过一道例题来实践一下。 已知在这个矩形当中， a b 等于五， bc 等于五倍的根号。三点 p 是 b c 上的一个动点三角形， p， a q 是 等边三角形，求 d q 的 最小值。点的运动轨迹是一条直线， 那么 q 是 随着点 p 的 运动而运动的，因此我们把 p 叫做主动点， q 叫做被动点，那肯定是先要把 q 的 运动轨迹求出来的。 那怎么去求 q 的 运动轨迹？我们可以使 p 点的位置特殊化，可以让它和点 b、 点 c 重合，那么找到两个位置对应的，我们就可以得到两个 q 点的位置， 通过两点确定一条直线，我们就可以得到 q 的 运动轨迹，那我们想要让这个等边三角形画的更准确一些，要求同学们对数字有一定的敏感程度。这边提到了两条边五和五倍根号三， 那也就是一比根号三的关系。我们在一个特殊三角形，也就是三六九直角三角形中，我们会有三边比，是一比根号三比二。因此当我们去连接这个矩形的对角线的时候，那这里就出现了三六九直角三角形 abc 以及 adc。 那么这个角 b， a、 c 是 不是就是六十度啊？因此我们画的点 q， 它确切的位置应该是在 b、 d 和 a、 c 的 交点处， 这个位置就是点 q， 那 我们找到了第一个位置，那第二个位置呢？就是当 p 点和点 c 重合的时候，因为这个角 a、 c、 d 也是六十度，因此这个三角形我们画出来它应该正好是在 c、 d 的 延长线上， 并且我们知道 a、 d， c 是 九十度，那通过三线合一，我们可以知道 d 是 c d 的 中点啊，连接 a、 q 二，那得到了一个大的等边三角形 a、 q 二 c， 那 么我们把 q 一 和 q 二的轨迹连接起来， 就是这样的一条直线，要求 d q 的 最小值，那点到一条线上的最小值，很明显就是过点 b 做 q 一 q 二的垂线，垂线段最短，那我们就找到了这个 q 点的位置 d q 我 们怎么去求它的长度呢？我们 d 是 q 二 c 的 中点，由于这边我们做的是垂线，通过三线合一，我们知道这里也是垂直的，因此 d q 是 三角形 q 二 q e c 的 中位线，因此 d q 就 等于二分之一， c q 一 等于二点五。这个就是一道刮动模型的典型应用，同学们听懂了吗？

好，我们继续看四边形第六个模型， t 字模型。首先它给你的条件是，线段 a、 b 的 两端点在坐标轴上滑动，角 a， b， c 等于九十度， ab 的 中点为 q， 连接 o q c q o c。 它的结论是，当 o、 q、 c 三点共线时， o c 取得最大值，最大值为 o q 加上 c q。 我 们一起来看一下这道题。 三点共线，这个 o c 是 最大的证明， 因为角 a、 o b 是 不等于九十度，同时 ab 的 中点 为 q， 对 吧？所以 o q 是 不是等于 q b 等于二分之一 ab， 对 吧？ 然后在二 t 三角形 b q、 c 中，就这个 b q c 这个三角形 能得到什么？ three 角的 c q 等于根号下 q b 的 平方，再加上 b， c 的 平方，等于 二分之一 ab 的 平方，再加上 b c 的 平方，对吧？ q b 是 不是等于二分之 a b 啊？给它等下，再换一下，然后再三角形 o q c 中 o c 小 于等于谁呀？三角形 两边之隔是不是大于第三边？小于 o q 加上 q c， 对 吧？所以当 o q、 c 三点共线时， o c 取得最大值， 此时什么？此时？是不是所以 o c 等于 o q 加上 c q 共线了吗？这个 o c 是 不等于这个 o q 加上 c q 啊，对吧？ 所以继续。所以 o c 等于二分之一 ab， 再加上 根号下二分之一 ab 的 平方，再加上 b c 的 平方，对吧？ 最大值为 o q 加 c q， 这个 o c 怎么求？是不是等于这个公式，明白吗？你做这种题，你就知道它 a b， d， c 的 长度，然后这个 o c 就 可以直接求出来， 明白吗？求最大值是不是比较简单？大家理解怎么样？

同学们好，今天我们来看一道平行四边形的思维题，我们来看一下这道题目它的条件，角 a 等于角 c 大 于九十度，那说明这两个角是一个钝角 a、 b 等于 c、 d 好， 对边相等。让我们去证明这个四边形是一个平行四边形，它的图形呢也给的非常简单，那既然要证明它是一个平行四边形，那我们先来回顾一下有关平行四边形的四个判定， 第一个对边互相平行的四边形是平行四边形，第二个两组对边分别相等，第三个一组对边平行且相等。第四个对角线互相平分， 那么我们看到这道题目已经有了角 a 等于角 c 大 于九十度，那么这是对角相等，再来角 ab 等于 cd， 那 就是一个对边相等，那么有对边相等呢？我们就会想两组对边分别相等呢？ 这个时候很多同学呢就会想到，那我们把这个平行四边形的 对角线 b、 d 把它连接起来，哎，得到了这两个三角形 a、 b、 d 和三角形 c、 d、 b， 那 如果我们可以证明出这两个三角形是全等的话， 那么我们是不是可以证明出 a、 d 等于 bc？ 好， 除了题目给的这两个条件外，我们连接的 b、 d， 它是一个一条公共边，那么一组边两组边加上一个角， 那这是 s、 s、 a， 那 我们知道在三角形全等的判定里面，我们是没有 s、 s、 a 这个判定的， 也就是说我们连接 b、 d 这条对角线，不能够证明出这两个三角形全等，那我换一条对角线去连接，比如说连接 a、 c， 那我们看到如果我们连接 a、 c 的 话，那么我们就把题目给的已知条件角 a 和角 c 相等 这个有用条件破坏掉了，所以显然我们也是不可以连接 a、 c 的。 角 a 等于角 c， 那 么这两个角等是不是可以说明它的零补角也是相等的？ 也就是说我们可以延长 d、 a 和 bc， 那 么得到的这两个零补角是相等的关系， 那这里零补角相等又有一组边等，那我们可以选择去构造一个三角形全等来帮助我们解决问题。也就是说我们可以过 b 点做 d、 a 的 垂线，比如说垂足为 e， 过 d 点做 bc 的 垂线，垂足为 f， 那 么这两个三角形就是全等的，可以证明三角形 a、 b、 e 和三角形 c、 d、 f 全等，理由是 a、 a、 s， 那 么这两个三角形全等对我们解决 平行四边形有什么帮助呢？那我们要来看了，既然这两个三角形全等，那我们是不是可以得到 a、 e 这条线段等于 c、 f， 那 我们如果想要证明 a、 d 这条线段等于 b、 c， 那 是不是只要证明 e、 d 等于 b、 f， 那么等长线段再减去一条等长线段，那剩下的 a、 d 和 b、 f 就是 相等的。 我们已经证明出了这两个直角三角形等，那么它除了可以带给我们 a、 e 等于 c、 f 这组边相等以外，是不是也可以带给我们 b、 e 等于 d、 f， 再把对角线 b、 d 把它连起来？直角三角形 d、 e、 b 全等于直角三角形 b、 f、 d， 它的理由是 h、 l， 那 么这两个直角三角形全等，我们是不是可以得到 d、 e 等于 b、 f 啊？ 啊，因为上面我们已经知道了这个 a、 e 啊等于 c、 f， 所以 这两个条件一合起来，我们就可以推出 a、 d 等于 b c 啊， a d 等于 b c， 再加上题目已经有的 a、 b 等于 c、 d， 那 么这两个条件我们是不是可以证明出这个四边形是一个平行四边形啊？ 所以这道题目它条件比较少，图形也简单，我们拿到手看似是一个简单的题目，但实际上它考验的思维还是非常多的。那今天这道题目你听懂了吗？

好，再来看到综合运用第五题，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 当中，角 a 等于角 c， 角 b 等于角 d， 那 这里给我们标好了，对吧？角 a 和角 c， 角 b 和角 d。 问我们 ab 和 dc 有 什么样的位置关系？ ab 和 dc 有 什么样的位置关系？你一看就是平行，对吧？好，那我们就往这个方向去靠，为什么呢？那我们就解释一下了， 还问我们这个 b、 c 和 a d， b、 c 和 a d， 啊，也是平行对不对？所以我们要证明平行就可以了。 那么你看这四个角它有什么位置关系啊？啊，两两之间是什么？是同旁内角，所以我们要证明同旁内角互补，可以用四边形 a、 b、 c、 d， 它们的内角和是三百六十度去正好。那我们把相同的角先设个未知数，设 角 a 等于角 c 等于 x， 角 b 等于角 d 等于 y， 这个是 x， 这个是 y。 好， 那么就写因为四边形，因为 a、 b、 c、 d 是 四边形， a、 b、 c、 d 为四边形， 所以角 a 加角 b 加角 c 加角 d， 就 会等于内角和内角和公式是四 减二乘上一百八，内角和公式是 n 减二乘一百八，这是四边形，所以就是四，然后把它算出来，所以角 a 加角 b 加角 c 加角 d 就 会等于三百六十度。然后你再把 a、 c 还原成 x， b、 d 还原成 y， 那 就是 x 加 y 加 x 加 y 等于三百六十度，所以二 x 加二 y 就 等于三百六十度。 提一下，把这个二提出来，两倍的 x 加 y 等于三百六十度，那么 x 加 y 就 等于三百六十度。除以二 x 加 y 就 会等于一百八十度。你看左右有 x 加 y， 上下也有 x 加 y 对 不对？是不是有两组同胞内角互补啊？所以，因为 x 加 y 等于一百八十度，所以我们把 x 还原成角 a， 把 x 还原成角 a。 第一个他问的是 ab 和 dc， 那 我们就把这个 y 还原成 d 等于一百八十度。角 a 和角 d 是 同旁内角， 所以 a、 b 会平行， d、 c 好， 这是第一个对不对？再正第二个左右的，左右的话，我们可以用角 a 和角 b 去正。因为 x 加 y 等于一百八十度， 所以这个 x 可以 换成角 a， y 换成角 b 等于一百八十度。它俩也是同旁内角， 所以这个 b、 c 就 平行。 a、 d 两同旁内角互补，两直线平行就 ok 了。 再来看到第六题，如图，在 n 边形内任取一个点 o， 然后连接点 o 与 n 边形的各个顶点连接，连接，连接，连接，有几个顶点，就连几下， n 边形会被分成几个三角形。你利用这样的方法去推导 n 边形的内角和公式，好，这里有两问对不对？问，我们 n 边形会被这样分成几个三角形，你自己画一下。 假如是四边形，你中间找个点连接这四个顶点，对不对？是不是就分出了四个三角形？如果是五边形的话， 或者六边形，这里画个六边形，你连接它六个顶点，它就会被分出六个三角形。所以是有几边形，它是几边形，就会被分出几个三角形。所以我们这里先回答。第一个 n 边形 被分成 n 个三角形。 好，那么被分成 n 个三角形，每一个三角形内角和是不是都是一百八十度，对不对？好，那么 n 个三角形就会有 n 个一百八十度，但是呢，它中间会有一个周角，你看 这个点 o 围着一圈，它这里角是不是一个周角？所以你想要求出内角和，你就把所有的三角形的内角加起来，然后减去中间这个周角就可以了，知道吧？所以 n 边形内角和 就等于 n 个三角形内角和 减去中间的一个周角。 好，我这里画一下啊，比如说这是角一、角二，角三，对吧？角四、角五，这个是角 n， 对 不对？好，我这里就写一下了。 因为角一加角二加角三加角四一直加，加到角 n 是 会等于三百六十度的，它是一个周角， 这些角加起来正好是一个周角，所以我们这里 n 个三角形内角和就会等于 n 乘一百八十度，减去中间的那一个周角。角。啊，没错了， 那么中间这个周角的度数呢？就是三百六十度，然后三百六十度，咱们可以把它写成二乘一百八十度，你再把一百八十度提供音式提出来，就变成了 n 减二乘上一百八十度， 那你看这个就是什么？这个就是 n 边形内角和的公式。 再来看第七题，如图，五边形 a、 b、 c、 d、 e， 它们的内角都相等，也就说每一个内角都是相等的，那就是正五边形喽，对吧？ 并且角一等于角二，角三等于角四，角一和角二相等，角三和角四相等，叫我们求中间这个 x 的 值。好，我们来算一下，先把它的每一个内角都求出来，内角和，咱们先算一下五边形内角和 等于五减二，乘上一百八十度，也就等于五百四十度，每一个内角 它都等于五百四十度，除以五等于一百零八度，因为他说了内角都相等，对吧？所以我们把这个一百零八度标上去，这里是一百零八度， 这里也是一百零八度，对不对？好，那我们就可以把角一和角二、角三、角四都求出来了。在三角形 a、 d、 e 当中， 并且角一等于角二，对吧？这两个角是相等的，所以我们可以得到角一 等于角二，他们都等于一百八十度，减去一百零八度除以二，对不对？等？腰三角形的两个底角等于一百八十度，减去顶角除以二，所以他就会等于七十二度除以二等于三十六度。啊，这两个角都是三十六度，我们写上去 角三和角四也是一样的啊。在三角形 b、 c、 d 当中， 角三等于角四，所以角三等于角四等于一百八十度。减去一百零八除以二，那这两个角也等于三十六度，三十六度，三十六。那么因为 最上面的这个角也是属于一个内角，它是等于一百零八度的，所以中间这个 x 就 会等于一百零八度，减去左右两边这两个三十六度，对不对？好？因为角 e、 d、 c 等于一百零八度，角一等于三十六度， 角三也等于三十六度，所以中间这个 x 就 等于 x、 a、 d、 b 中间这个夹角就是 a、 d、 b， 它会等于什么呢？它会等于角 e、 d、 c 减去角一，减去角三就等于一百零八度，减去三十六度，减去三十六度就会等于三十六度， 那这两个相减减完之后就等于三十六度，所以 x 等于三十六度，它问 x 的 值，所以你要单独回答一下 x， 它就。

这个视频我们一起来看一下这道反比例函数与平行四边形的综合。在讲解这道题目之前呢，我们首先来复习一下关于反比例和平行四边形的两个知识。第一个就是反比例函数本身是一个中心对称图形，也就是说过左边圆点画一条直线，与这样一个反比例函数分别相于 ab 两点。如果点 a 字坐标为 ab， 那点 b 的 坐标就是负 a， 负 b。 另外一个就是平行四边形的这样一个面积，在平行四边 a、 b、 c、 d 中，在 a、 d 上任取一点 e， 那 这个三角形 b、 e、 c 的 面积就等于这样一个平行四边形的一半。 我们来看一下这道题，就是在平行四边形 a、 b、 c、 d 的 顶点 a 在 x 的 轴上的负半轴 零点 c、 b、 d 都在他们家说 y、 x 分 之 k 上，然后 b、 c 是 过圆点的。若平行四边形的面积为二十四，那么求 k 的 值， 那已知这样一个平行四边形的面积二十四。根据我们刚才所讲的知识，我们连接这里的 d、 o， 那 显然这样一个三角形 a、 o、 d 就是 平行四边 a、 b、 c、 d 的 一半，也就是它取十二。 然后因为 bc 是 过圆点的，根据我们刚才讲的反面来说的中心对称线， bc 是 关于圆的对称。我们可以去试一下这里的点 c 的 坐标为 b， b 分 之 k， 那 点 b 的 坐标就应该是负 b， 负 b 分 之 k， 同时试一下，点 a 的 坐标为 a 零。根据这样一个 a、 o、 d 的 面积等于十二，我们可以把 a、 o 看成 d， 也就是二分之一。因为点 a 在 负半轴上，所以 a、 o 的 距离是负为乘 以这个点 d 的 总坐标，也就是 y， d 是 等于十二，所以点 d 的 总坐标我们就可以表示为二十四，除以负 a， 点 d 的 坐标我们又可以表示为 纵坐标是负的 a 分 之二十四，横坐标就是二十四分之 a， 再乘以 k， 这时候 a、 b、 c、 d 都用 a 和 b 可 k 来表示出来了。根据平行边形的角线相互平分，所以点 a、 点 c 的 横坐标的和，也就是 a 加 b 就等于点 b 和点 d 的 反作用的和，也就是负 b 加上二十四分之 a k， 负的二十四分之 a， 点 a、 点 c 的 总作用的和，也就是零。加上 b 分 之 k 等于负的 b 分 之 k 加上负的 a 分 之二四 解这样一个方程组，最终我们就能求得 a， k 等于负十二 b， 然后得到 a 是 等于负的二分之三 b 的， 然后我们再将这里的 a 等于负三，负二分之三 b 带入到这样一个， 带入到这个式子里面去，哎，我们就能得到负的二分之三 b， 再乘以 k 是 等于负的十二 b， 这时候 b 约掉，我们就能求得 k 的 值等于八，所以 k 的 值为八。这道题考察到反比例函数的中心对称性， 平行四边形的面积关系，然后平行四边形的对角线相互平分，包括了 key 及 e， 你 学会了吗？