雅礼高三学生做立体几何思维导图

用模型和结论解立体几何小题。首先正三棱台可以从正三棱锥里截出，有题目的数量关系，我们可以得到补全的正三棱锥其实是一个正四面体，我们在正四面体 o、 a、 b、 c 上把 a、 e、 b、 e、 c、 e 分 别标出来， 而我们的正四面体其实又可以从正方体里面截出，所以我们可以把原来的正方体先画出来。接下来我们先推导一下正四面体的外接球半径，内切球半径和体高与棱长之间的这个数量关系。 正四面体、外接球、内切球以及体高的关系我们就不再做推导。耳外比耳内比体高，应该是三比一比四的关系，有兴趣的小伙伴可以自己推导，或者有疑问的可以私信提问。这样我们在这个正方体一个顶点取三条面对角线，然后依次连接起来，可以得到一个正四面体。 假设正方体的能长为 b， 正四面体的能长为 a， 这样我们可以得到耳外应该等于四分之根号二个 a。 所以 我们就能知道耳外应该等于四分之根号六 a， 耳内就等于三分之一个耳外。正四面体的提高就等于耳外加耳内等于三分之根号六个 a。 我 们通过题目的数据可以知道，正四面体的能长是六，所以它的提高是二根号六。轮胎的提高就应该是三分之二乘以二根号六，等于三分之四根号六，所以 a 选项是错的。 接下来看 b 选项，我们在这个 o、 a、 o、 b、 o、 c 上先把 a、 e、 b、 e、 c、 e 取出来。由题目给出的线面 b、 c、 e、 b、 e 的 垂线 在哪里？垂足在哪里？结合正方体的特征看，我们连接 a 点和另外一个顶点 t， a， t 就 可以得到 a， t 是 垂直于平面 b， c， o 的 连接 a t 交平面 b， c， c， e， b， e 于点 m。 垂线和垂足都找到了，我们把平面 a， s， t， o 可以 给它截出来，这样看看我们点 a 到平面的距离。 在这个界面图上，我们需要画出 s， t 和 a o 的 中点，分别为 e、 f， 然后我们的 m 应该是我这个 o， e 和 a o 的 交点， 再连接我们的 s、 f， 就 可以由相似三角形得到我的 a m， 它应该等于三分之二个 a t。 正方体的能长是根号二分之六， a m 又等于三分之二个 a t， 这样我们就可以算出来， a m 的 长应该等于二根号六。线面角的正切值等于 a m 比上 m p 等于二根号二，所以就能得到 m， p 应该等于二根号六。比二根号二等于根号三。所以点 p 在 以点 m 为圆心，半径为根号三的圆上运动， 这个圆在平面 b， c， c， e， b， e 上，也就是在我这个三角形 o， b， c 上。看来我们就需要判断一下这样的一个圆是不是在三角形里面是一个完整的圆， 由三角形中心 m 到各个边的距离为根号三。我们可以知道 p 的 轨迹就是一个完整的圆，它的半径是根号三，所以我们能得到周长应该是 r， 根号三排，所以 b 选项是对的。 接下来我们看 c 选项，如果 a、 b 选项都没有问题，那 c 选项就会感觉简单一些。由 a 可知，正四面体的提高是二根号六，我们正三轮胎的提高就应该是三分之二乘以二根号六应该是三分之四根号六，而选项所给的高为三分之四根号六正好相等 上底面三角形 a、 e、 b、 e 的 内切圆半径是六分之根号三乘以二应该等于三分之根号三，比我们选项给的六分之根号三要大一些，所以 c 是 对的。接下来我们看 d 选项，由题中给出的 q 点在 c、 c、 e 上的位置，我们可以得到 q 点在 c、 o 上的位置正好是 c、 o 的 中点， c、 q 等于三， q， c、 e 等于一。 由此我们看平面 a、 b、 q 就 可以知道 a、 b、 q 平面是过正方体的中心的， 因为正方体和正四面体的中心是重合的，所以前面也过正四面体的中心，即我们正四面体 a、 b、 c、 o 的 外接球和内切球的球心。由我们前面的结论可以知道正四面体内切球的半径，而内应该等于十二分之根号六乘以六等于二分之根号六， 这样我们可以得到我们的直径就是根号六，所以我们的内切球的直径是小于这个台体的提高的。所以轮胎内的最大的球就是我们正四面体的内切球，又由我们刚刚平面 abq 经过 正四面体的中心，也就是我们正四面体内切球的球心， 所以我们就能得到我们的结面半径，就是我们内切球的半径应该等于二分之刚好六，所以我们的结面面积等于 pi， 二的平方等于二分之三 pi， 所以 d 选项也是对的。 这样每一道立体几何的小题就用我们的模型和结面能够去把它解决掉了。

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会方法、会技巧、会思维，与佩佩老师一起搞定数学学会思维导图，每天利用碎片时间高效复习，深夜入学，分班考考什么期上与期下前两个单元知识点，花三分钟时间唤醒全部知识。 七上七下主要学习代数与几何代数。首先学习有理数，我们要认识到有理数由符号与数值两部分组成，有理数间的关系具有相反数和为零，倒数积为一两种基本关系。绝对值具有去符号取数值的功能。有理数运算重要在于搞明白符号运算规则。 四、正运算，加减乘除，其中加减互利乘除互利减法变相反数或加法除法变倒数或乘法 加法中，同号取相同符号，异号取绝对值大的符号，乘法看负号个数积负偶正。另外，我们还学习到第五种运算，它是一种同数连乘的简易记法。 要认识到代数式是一种结构化的符号表达，不仅表达符号运算关系，还表达一个整体结果，它反映出数学上的整体思想。整式是一种代数式结构，它的基本结构是单向式。 单项式是由数与字母乘积得到数 c 为系数，字母次数为单项式，次数单项式的和为多项式。整数的运算计同类项相加，本质上是乘法分配律。 一元一次方程是一种等式结构，任意的一元一次方程都可以变行为 a， x 等于 b 的 形式。注意， x 的 系数 a 不 等于零，是一元一次方程存在的前提条件。 实数运算算数平方根，平方根、立方根是平方立方的力运算。注意，算数平方根、立方根只有一个结果，平方根有两个 几何部分。首先初步认识几何图形典型面体反映出空间的从低维到高维的变化。与联系端点数不同，是区分直线、射线、线段的关键。具备公共端点的两条射线所组成的图形是角， 其中两角互余九十度，互补一百八十度。同一平面内，两直线具有相交和平形两种位置关系。相交是 x 型， 具有对角相等、零角互补的性质。同位角、内错角、同旁内角是由三线形成的角，是一种位置关系。同位角为 f 型，内错角为 z 型，同旁内角为 u 型。 特别的平行线被另一直线所截后形成的图形具有 f 等 z 等优补的性质。反之，通过 f 等 z 等优补也可判断两直线平行。充分利用碎片时间激活大脑，建立自己的知识宫殿。

具体做法呢，分三步，第一步，回归基本概念，用自问自讲加默写的方式过关，先把课本啃干净，每天十来分钟，第一件事就是对着定理自己讲出来，写出来。比如问自己，线面平行怎么正，线面垂直怎么正， 你能讲清楚才叫真会讲不出来，就是概念夹上每天默写一遍，平行四条，垂直四条，判定加性质，把文字语言、符号语言、图形语言都写对。这一步啊，是立体几何不丢分的根。 第二步，画思维导图，把必考题型锁死。例题几何大题呢，三年只考这几类，你把框架呀梳理出来。第一问，考两类，平行线面平行面，面平行垂直，线线垂直垂直。 第二问，考这几种二面角线面角点到面的距离。新高考二卷呢，最常考的是二面角，你把这个思维导图啊画在错题本的第一页，看到平行，要想中位线平行四边形，看到垂直呢？要想勾股等腰 面面垂直推线面垂直，看到球角直接间隙，用法向量框架一清啊，做题就不慌了。那第三步是回归错题，只做溯源复盘。把最近的月考模拟卷的例题，几何错题啊，全都拿出来，只做三件事，第一， 错在哪一步，是概念不会证明跳步坐标写错，还是法向量算错？第二，对应哪个知识点补回去，重新默写定律。第三，同类型的题呢，再做两道，直到不再错。 错题呀，不是用来抄的，是用来堵漏洞的。例题几何错一次就要堵死一个坑。 四步，每天针对性的精练，不搞题海战术。每天咱就练三道题，一道 证明题，练第一问一道间隙求角，主要是练第二，问一道选填主要是关于体积表面积或切接问题。 每道题都要限定时间，只练常考模型，能追十三棱柱啊，折叠问题啊，不求多，一定要做一道会一类。 最后建议每周再给数学加一个现实的综合卷，训练一模前还有三次机会，把握速度，规范，计算准确率。 你要记住啊！立体几何最容易丢分呐！不是不会，是坐标写错法，向量算错证明少写条件，知道常见问题，再针对性练习，上考场啊，就稳了。立体几何不是只靠空间，想象也要靠规范，靠步骤，靠套路。 一毛钱把概念讲清楚，题型锁死，错题复盘，每天精练，每周限时。那这二十分你一定能稳稳拿住！三周复习时间，给大家一些实用的复习建议。

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